Учебно-исследовательская работа учащейся 8 класса по теме "Точки и прямые на плоскости", научный руководитель Ражева Н.В.

Муниципальное образовательное учреждение Подвязновская средняя общеобразовательная школа. Ивановский район.

___________________________________________________________________

Учебно-исследовательская работа по математике

                                                                  Работу выполнила: Коновалова Виктория

                                                                                            ученица 8 класса

                                                        Научный руководитель: Н.В.Ражева

                                                                                                   учитель математики

2012

Муниципальное образовательное учреждение Подвязновская средняя общеобразовательная школа

Учебно-исследовательская работа по математике ученицы 8 класса Коноваловой Виктории

Тема работы:  «Точки и прямые на плоскости»

Цель исследования: установить взаимную связь  количества  точек на плоскости, не лежащих на одной прямой, и количества прямых, которые через них можно провести. Вывести формулы для подсчета количества прямых на плоскости, которые можно провести через заданное количество точек.

Выдвигаем гипотезу: между количеством точек на плоскости, не лежащих на одной прямой, и количеством прямых, которые через них можно провести, существует закономерность.

Предмет исследования:

В начале изучения геометрии мы познакомились с аксиомой: «Через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну».

                      А          

                                                                 В

Я задалась вопросом, сколько прямых можно провести на плоскости через 3,4,5, … точек, не лежащих на одной прямой, и как подсчитать количество этих прямых.

Задачи исследования:

1.     Освоить поисково-исследовательские методы;

2.     Подтвердить или опровергнуть выдвинутую гипотезу;

3.     Подобрать формулы для подсчета прямых на плоскости, которые можно провести через заданное количество точек, не лежащих на одной прямой.

Литература:

·        Учебник. Алгебра – 9. Под редакцией С.А. Теляковского.

М. «Просвещение», 2011

Темы:

ü Арифметическая и геометрическая прогрессии;

ü Элементы комбинаторики.

Методы исследования:

Ø Наглядно-практический;

Ø Метод перебора возможных вариантов;

Ø Наблюдение, анализ полученных результатов;

Ø Поисковый.

Описание работы:

1.     В начале работы, прямые через заданное количество точек, я подсчитывала, выполняя чертеж:

Кол-во точек	чертеж	Кол-во прямых
3 точки	1                                       3                2	3 прямые: Первую точку можно соединить со второй и третьей, третью со второй, т.е. через каждую пару точек можно провести единственную прямую.
4 точки	1                                            2               3                                   4	6 прямых: Первую точку можно соединить  тремя прямыми со 2,3,4 точками. Вторую точку -  с 3,4, с первой она уже соединена единственной прямой. Третью точку – с 4, а со 2 и1 она уже соединена. Четвертая точка уже соединена с 1,2,3 точками
5 точек	1                                         2            3                                                5                            4	10 прямых: Первую точку соединяем прямой со 2,3,4,5. Вторую – с 3,4,5. Третью – с 4,5. Четвертую- с 5. Пятая точка соединена прямыми со всеми имеющимися точками.

Уже на этом этапе стало понятно, что провести подсчет прямых можно без рисунка.

2.     Например, количество прямых можно подсчитывать таким образом:

кол-во точек	Перебор возможных вариантов соединения точек.	Кол-во прямых
5	Соединяем точки: (1;2), (1;3), (1;4), (1;5) (2;3), (2;4), (2;5) (3;4), (3;5) (4;5)	1+2+3+4=10
6	(1;2), (1;3), (1;4), (1;5), (1;6) (2;3), (2;4), (2;5), (2;6) (3;4), (3;5), (3;6) (4;5), (4;6) (5;6)	1+2+3+4+5=15
7	(1;2), (1;3), (1;4), (1;5), (1;6), (1;7) (2;3), (2;4), (2;5), (2;6), (2;7) (3;4), (3;5), (3;6), (3;7) (4;5), (4;6), (4;7) (5;6), (5;7) (6;7)	1+2+3+4+5+6=21
8	(1;2), (1;3), (1;4), (1;5), (1;6), (1;7), (1;8) (2;3), (2;4), (2;5), (2;6), (2;7), (2;8) (3;4), (3;5), (3;6), (3;7), (3;8) (4;5), (4;6), (4;7), (4;8) (5;6), (5;7), (5;8) (6;7), (6;8) (7;8)	1+2+3+4+5+6+7=28
9	(1;2), (1;3), (1;4), (1;5), (1;6), (1;7), (1;8), (1;9) (2;3), (2;4), (2;5), (2;6), (2;7), (2;8), (2;9) (3;4), (3;5), (3;6), (3;7), (3;8), (3;9) (4;5), (4;6), (4;7), (4;8), (4;9) (5;6), (5;7), (5;8), (5;9) (6;7), (6;8), (6;9) (7;8), (7;9) (8;9)	1+2+3+4+5+6+7+8=36
10	(1;2), (1;3), (1;4), (1;5), (1;6), (1;7), (1;8), (1;9), (1;10) (2;3), (2;4), (2;5), (2;6), (2;7), (2;8), (2;9), (2;10) (3;4), (3;5), (3;6), (3;7), (3;8), (3;9), (3;10) (4;5), (4;6), (4;7), (4;8), (4;9), (4;10) (5;6), (5;7), (5;8), (5;9), (5;10) (6;7), (6;8), (6;9), (6;10) (7;8), (7;9), (7;10) (8;9), (8;10) (9;10)	1+2+3+4+5+6+7+8+9=45

Составим таблицу зависимости количества прямых от количества точек, не лежащих на одной прямой. Количество точек каждый раз будем увеличивать на одну.

Кол-во точек	Кол-во прямых	зависимость
3	3	Равное количество
4	6	Прямых на 2 больше или в 1,5 раза больше, чем точек
5	10	Прямых  на 5 больше или в 2 раза больше, чем точек
6	15	Прямых на 9 больше или в 2,5 раза больше, чем точек
7	21	Прямых на 14 больше или в 3 раза больше, чем точек
8	28	Прямых на 20 больше или в 3,5 раза  больше, чем точек
9	36	Прямых на 27 больше или в 4 раза больше, чем точек
10	45	Прямых на 35 больше или в 4,5 раза больше, чем точек

    По таблице видно, что при увеличении количества точек на одну, количество прямых увеличивается на разное число или в разное количество раз.  То есть, предположение о том, что между количеством точек и количеством прямых, которые через них можно провести существует закономерность, не подтверждается. Направим исследование на вывод формул для подсчета количества прямых по заданному количеству точек, не лежащих на одной прямой; так как, при достаточном увеличении количества точек, продолжать подсчет прямых методом перебора не рационально.

3.     Подсчитывая количество прямых в зависимости от количества точек, методом перебора, замечаю, что ряд чисел: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,… представляет собой арифметическую прогрессию, т.к. каждый член, начиная со второго равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом.

При нахождении количества прямых через 8 точек, нужно найти сумму первых 7 членов этой прогрессии, через 9 точек -  сумму 8 первых членов прогрессии, через 10 точек – сумму 9 первых членов прогрессии,…

Формула суммы n-первых членов:     S_n =   

Кол-во точек	Нахождение кол-ва прямых по формуле суммы n-первых членов арифметической прогрессии (аn): a1=1, d=1
9	S9-1=S8==36
10	S10-1=S9==45
25	S25-1=S24==300

4.     Еще один способ подсчета прямых:

Определение: Сочетанием из n элементов по k называется любое множество, составленное из k элементов, выбранных из данных n элементов.

Элементами (n) нашего множества являются точки, каждая прямая проводится через два (k) элемента этого множества.

 Подсчёт количества прямых, используя сочетания из n элементов по k выполняется по формуле:     C_n^k=  (! – знак факториала)

Например, для 25 точек на плоскости надо найти сочетание из 25 элементов по 2.

                    C₂₅² ====12=300

Получается 300 прямых.

Выводы:

Выдвинутая гипотеза была опровергнута. Хотя и нет закономерности, но для любого количества точек можно подсчитать количество прямых, которые через них можно провести.

Для подсчета количества прямых на плоскости я использовала четыре метода:

§  Наглядно-практический;

§  Метод перебора;

§  По формуле суммы n-первых членов арифметической прогрессии;

§  По формуле сочетаний из n элементов по k.