Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Учебно-исследовательский проект по теме:"Изучение диаграммных методов и их применение в решении арифметических задач"

Учебно-исследовательский проект по теме:"Изучение диаграммных методов и их применение в решении арифметических задач"

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

hello_html_e81eee1.gifhello_html_m43ce5925.gifhello_html_2beaa5c9.gifhello_html_7379c9d7.gifhello_html_m1d4be04.gifhello_html_m5a2f77bc.gifhello_html_22b2ea1b.gifhello_html_16902bb0.gifhello_html_m22154bd6.gifhello_html_2d346d8b.gifhello_html_m7262992c.gifhello_html_14c74928.gifhello_html_4e8e92a1.gifhello_html_m13b437ff.gifhello_html_medb79ed.gifhello_html_7f95fd73.gifhello_html_m8944ef0.gifhello_html_m364890eb.gifhello_html_m6c469c71.gifhello_html_m3f0c0c5b.gifhello_html_2f617389.gifhello_html_3be17023.gifhello_html_1521b110.gifhello_html_efb05cf.gifhello_html_4c881144.gifhello_html_m71050317.gifhello_html_m24ab9e94.gifhello_html_33eac957.gifhello_html_743175e.gifhello_html_m22648c31.gifhello_html_3d4bd91a.gifhello_html_56382564.gifhello_html_m22648c31.gifhello_html_3ea2732f.gifhello_html_66ed0be1.gifhello_html_m439deedb.gifhello_html_m1b76c989.gifhello_html_m7ae113e2.gifhello_html_74c3a846.gifhello_html_15dfa045.gifhello_html_m5538f66d.gifhello_html_2cc6c9dc.gifhello_html_15dfa045.gifhello_html_1d49bc0d.gifhello_html_m2fb384c7.gifhello_html_5817061b.gifhello_html_m1a7ccf8f.gifhello_html_mc29a4b5.gifhello_html_7edd8bf4.gifhello_html_5f913c5f.gifhello_html_m147a064f.gifhello_html_m2fb384c7.gifhello_html_m3da70c0b.gifhello_html_5bf36fcb.gifhello_html_5ccbc461.gifhello_html_5817061b.gifhello_html_m147a064f.gifhello_html_mc29a4b5.gifhello_html_a4c60fc.gifhello_html_34f56bbb.gifhello_html_2b3d765c.gifhello_html_m72f3bc2e.gifhello_html_m72f3bc2e.gifhello_html_m8ba47c9.gifhello_html_m8ba47c9.gifhello_html_63076c3f.gifhello_html_67e55498.gifhello_html_m3dc73c3f.gifhello_html_m8ba47c9.gifhello_html_m36fb0449.gifhello_html_m72c10.gifhello_html_m72c10.gifhello_html_7f95fd73.gifhello_html_m8ba47c9.gifhello_html_m8ba47c9.gifhello_html_4304201f.gifhello_html_m8ba47c9.gifhello_html_m3dc73c3f.gifhello_html_64b96d35.gifhello_html_m5e4879ac.gifhello_html_m36fb0449.gifhello_html_m8ba47c9.gifhello_html_2c7f9a48.gifhello_html_m67772dcf.gifhello_html_41719fc7.gifhello_html_m48cdc496.gifhello_html_mc62a678.gifhello_html_2c7f9a48.gifhello_html_41719fc7.gifhello_html_m7c30097d.gifhello_html_m4dfbd9d7.gifhello_html_7be18295.gifhello_html_7be18295.gifhello_html_497b027c.gifhello_html_497b027c.gifhello_html_41719fc7.gifhello_html_m11bd809c.gifhello_html_6bb7c237.gifhello_html_m2bba1dbb.gifhello_html_53faab17.gifhello_html_11113538.gifhello_html_m2b9b033d.gifhello_html_m3bb88ae9.gifhello_html_6f9a3344.gifhello_html_49f97eef.gifhello_html_33239718.gif












Учебно-исследовательский проект по теме: «Изучение диаграммных методов и их применение при решении арифметических задач»






















СОДЕРЖАНИЕ


ВВЕДЕНИЕ

3

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ


1 Понятия и принципы построения одномерных и двумерных диаграмм. Вспомогательная теорема и вспомогательные построения

5

2 Одномерные и двумерные диаграммы в решении арифметических задач

10

2.1 Применение одномерных (линейных) диаграмм в решении арифметических задач

10

2.2 Применение двумерных диаграмм в решении арифметических задач

14

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

18

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

19
























ВВЕДЕНИЕ



С арифметики, науке о числах, начинается наше знакомство с математикой. Наука арифметика изучает действия над числами, различные правила обращения с ними, учит решать задачи, сводящиеся к сложению, вычитанию, умножению и делению чисел.

Арифметика и геометрия – давние спутники человека. В истории математики процесс слияния арифметики и геометрии происходил на протяжении многих веков. Можно отчетливо проследить «геометризацию» арифметики: сложные правила и закономерности, выраженные формулами, становятся понятнее, если удается изобразить их геометрически.

На олимпиадах и конкурсах часто встречаются арифметические задачи, решения которых алгебраическим методом требует довольно громоздких вычислений. Поэтому у меня возник вопрос: «Существуют ли другие методы решения таких задач?» Познакомившись с книгами Александрова И. И. и Александровой А. И. «Методы решения арифметических задач» [1], А. И. Островского и Б. А. Кордемского «Геометрия помогает арифметике» [4], я остановила свой выбор на изучении решении арифметических задач с помощью построения диаграмм.

В нашей работе рассмотрено применение некоторых геометрических приемов, а именно одномерных и двумерных диаграмм, к решению разнообразных арифметических задач. Решение задач осуществляется при помощи чертежей-диаграмм. Построение этих диаграмм дает возможность «увидеть» задачу – установить и исследовать связи, существующие между величинами, входящими в задачу, выбрать кратчайший путь решения.

Цель исследования – показать возможность применения одномерных и двумерных диаграмм как альтернативного решения арифметических задач.

Для достижения поставленной цели были сформулированы следующие задачи:

  • изучить литературу по теме исследования;

  • научиться строить одномерные (линейные) и двумерные диаграммы, изображая подходящими геометрическими фигурами численные значения величин, входящих в условие задачи;

  • подобрать арифметические задачи, в решении которых возможно применение диаграмм;

  • провести сравнительный анализ решений арифметических задач.

Объектом исследования являются арифметические задачи.

Предметом исследования является диаграммный метод решения арифметических задач

Методы исследования:изучение литературы по теме исследования, геометрические построения, сравнительный анализ.

Актуальность исследования заключается в том, что умение пользоваться диаграммным методом имеет важное значение в практической деятельности, так как постоянно мы сталкиваемся с различными задачами, решение которых этим методом позволяет нам получить быстрые, наглядные и осмысленные решения.Диаграммные методы нужны для приобретения практических навыков применений геометрических знаний, и потому представляют познавательный интерес.

Нами была выдвинута гипотеза, что арифметические задачи, рассматриваемые в данной работе, можно решить с помощью построения одномерной или двумерной диаграмм, не проводя громоздких вычислений.























1 Понятия и принципы построения одномерных и двумерных диаграмм. Вспомогательная теорема и вспомогательные построения



Диаграмма – это чертеж или рисунок, на котором условно изображены в виде отдельных фигур различные значения одной и той же величины или нескольких сравнимых величин [1].

Простейшим геометрическим изображением величины и ее частей, входящих в условие задачи, является так называемая одномерная (или линейная) диаграмма. Одномерная диаграмма – это обычно отрезок или несколько отрезков, длины которых соответствуют численным значениям рассматриваемой величины (отрезки могут быть заменены прямоугольниками одинаковой ширины) [4].

Очень часто рассматриваемая величина является произведением двух других величин. Например, вес груза равен произведению количества ящиков на вес одного ящика; стоимость покупки равна произведению количества купленных килограммов на цену одного килограмма; путь, пройденный при равномерном движении, равен произведению скорости на время и т.д.

С другой стороны, известно, что площадь прямоугольника равна произведению двух его сторон.

Поэтому, в тех задачах, где одна из рассматриваемых величин является произведением двух других, целесообразно для наглядности представлять такое произведение в виде площади прямоугольника или параллелограмма, или треугольника, то есть в виде двумерной диаграммы.

Применение двумерных диаграмм в качестве моделей решения арифметических задач требует выполнения геометрических построений несколько более сложных, чем в случае применения линейных диаграмм. Для этого нам понадобилась вспомогательная теорема.

Теорема 1 (рисунок 1).

Если через произвольную точку Е диагонали АС прямоугольника АВСD проведены попарно параллельные прямые FG и АВ и HJ и AD, то

1) образовавшиеся при этом прямоугольники HBGEиFEJD (желтые) равновелики;

2) прямоугольники ABGF (синий) и AHJD (красный) равновелики;

3) отрезки FH,DB,JG параллельны.

Доказательство.


D J C


F E G





A H B

Рисунок 1


1) Диагональ АС делит каждый из трех прямоугольников АВСD, AHEFи EGCJ на два равных треугольника, т.е. hello_html_m2134e49a.gif

Вычитая из первого равенства второе, а затем третье, получим, что hello_html_m3354976a.gif

2) Дополним каждый из двух равновеликих прямоугольников HBGEи FEJD прямоугольником AHEF. Полученные таким способом два прямоугольника ABGFи AHJD также будут равновеликими. Следовательно, hello_html_m71ee1089.gif

3) FG || DB || JG как секущие при соответствующих параллельных прямых.

Теорема доказана.

Выполним теперь несколько построений, основываясь на доказанной теореме [4].

Построение 1.

Преобразовать данный прямоугольник ABGF (синий) в равновеликий прямоугольник (зеленый) с заданным основанием AH, лежащим на стороне АВ, причем AHhello_html_m7c48e444.gifAB (рисунок 2).



F G





A H B

Рисунок 2

Первый способ (рисунок 3). Проведем прямую hello_html_6c588829.gif, перпендикулярно сторонеAH; она пересечет сторону FGв точке Е. Проведем прямую АЕ до пересечения с продолжением BGв точке С. Точка С определяет высоту ВС искомого прямоугольника (зеленого) с основанием АH. Действительно, достраивая полученную фигуру до прямоугольника ABCD, получаем, на основании вспомогательной теоремы, что зеленый прямоугольник Аhello_html_6c588829.gifD с заданным основанием AH равновелик синему прямоугольнику ABGF.

D hello_html_m7b8473c8.gif C


F E G



A H B

Рисунок 3

Второй способ (рисунок 4). Проведем прямую hello_html_10223e8e.gifперпендикулярно стороне AH и прямолинейный отрезок HF. Из точки G проведем прямуюhello_html_3ce7fb83.gif, параллельную HF, до пересечения с прямой hello_html_10223e8e.gif в точке J. Точка J определяет высоту HJ искомого прямоугольника AHJD. Чтобы в этом убедиться, достроим полученную фигуру до прямоугольника ABCD и проведем прямолинейные отрезки АЕ и ЕС (штриховые). Образуются равные пары углов: hello_html_6457405.gif. Но так как hello_html_5a7fb02.gif вследствие параллельности HF и GJ, то hello_html_6bea8882.gif. Следовательно, АС – прямолинейный отрезок – диагональ прямоугольника ABCD. На основании вспомогательной теоремы заключаем, что прямоугольники ABGFи AHJD равновелики.

hello_html_m48d859b5.png






Рисунок 4

Построение 2. Преобразовать данную фигуру AEFGCD (зеленую), составленную из двух смежных прямоугольников ABCD и BEFG (рисунок 5) в равновеликий прямоугольник с основанием АЕ (синий). Применим способы построения, аналогичные предыдущим.




G

D C

F

A В Е

Рисунок 5

Первый способ (рисунок 6). Продолжим FG до пересечения со стороной AD в точке H. Построим прямоугольник HFGDи проведем диагональ HJ. Точка К пересечения HJ и ВС определяет высоту ВК искомого прямоугольника AELM с заданным основанием АЕ.В самом деле, на основании вспомогательной теоремы, желтые прямоугольники равновелики, следовательно, прямоугольник AELM равновелик первоначально данной фигуре AEFGCD.

D C J



M K L

H G F



A B E

Рисунок 6

Второй способ (рисунок 7). Построим прямолинейный отрезок FD и из точки G проведем прямуюGM || FD до пересечения с AD в точке М, АМ – высота искомого прямоугольника AELM.Для доказательства продолжимFG до точки H; тогда будем иметь:hello_html_m4a2021e6.gif.

Это значит, что прямоугольники MKCD и GFLK равновелики и, следовательно, прямоугольник AELM равновелик первоначально данной фигуре AEFGCD.

D C

M K L



H G F

A E

Рисунок 7

Построение третье (обратное предыдущему). Преобразовать прямоугольник AELM в два смежных прямоугольника, в сумме равновеликих данному прямоугольнику AELM, причем заданы высоты ADи EF искомых прямоугольников, а сумма их оснований должна равняться основанию АЕ данного прямоугольника (рисунок 8).

D


M L

F



A E

Рисунок 8

Решение.

Для решения задачи можно применить любой из предыдущих способов построения. Достаточно, например, на AD отложить AH = EF(рисунок 9), а на продолжении EFотложитьEJ = AD и провести прямуюHJ. Точка К пересечения HJ и ML определяет размеры MK и KLоснований искомых прямоугольников ABCD и BEFG. Равновеликость получившейся фигуры AEFGCD прямоугольнику AELM доказывается так же, как и в предыдущей задаче.

D C J


M K L

H G F



A B E

Рисунок 9



















2 Одномерные и двумерные диаграммы в решении арифметических задач

2.1 Применение одномерных (линейных) диаграмм в решении арифметических задач



Рассмотрим несколько арифметических задач, в решении которых применим линейные диаграммы.

Задача 2.1.1

Мальчика спросили, сколько у него братьев и сестер. Он ответил: «Столько же братьев, сколько и сестер». Тогда спросили сестру, сколько у нее братьев и сестер. Она ответила: «У меня сестер меньше, чем братьев». Сколько было братьев и сколько было сестер? (Мальчик и девочка, отвечая на вопросы, не считают себя).

Решение.

Построим диаграммы. Число мальчиков будем изображать синими отрезками, а девочек – красными.

Мальчик сказал: «У меня столько же братьев, сколько и сестер». Условно изобразим равными отрезками слева – всех его братьев, справа – всех его сестер (рисунок 10). При этом отрезок «мои сестры» (сестры мальчика) изображает неизвестное число девочек.

Девочка сказала: «У меня сестер вдвое меньше, чем братьев». Условно изобразим отрезками слева – всех ее братьев, справа – всех ее сестер (рисунок 10). На этой диаграмме отрезок «мои братья» должен быть в два раза больше, чем отрезок «мои сестры». Здесь отрезок «мои братья» (братья девочки) изображает неизвестное число всех мальчиков.

М

Мои братья Мои сестры

1

Д

Мои братья Мои сестры

№ 2

Мальчики Девочки

ВСЕ ДЕТИ

?

Рисунок 10

Так как общее число мальчиков и девочек вполне определенное (хотя еще и неизвестное), то длина всей диаграммы № 1 равна длине всей диаграммы № 2. Пусть мальчик и девочка «уйдут» из диаграмм. Сомкнем отрезки на каждой диаграмме. Образовались две новые диаграммы (рисунок 11) опять-таки одинаковой длины.


Братья мальчика Сестры мальчика

1 ½ оставшихся детей

1/2 - 1/3= 1/6

1/3 оставшихся детей


2 Братья девочки Сестры

девочки

Все дети без одного

?

Рисунок 11

Если ушел мальчик, то девочки (красный отрезок) составляют половину общего числа оставшихся детей: если же ушел не мальчик, а ушла девочка, то теперь девочки (красный отрезок) составляют только одну треть того же числа. Отсюда следует, что разность красных отрезков на рисунке 11 изображает одну девочку, которая составляет

1/2 - 1/3 = 1/6 часть от общего числа всех детей, уменьшенного на единицу.

Отсюда общее количество всех детей без одного равно 6. Всего детей 6 + 1 = 7. Из них девочек hello_html_m6dff3acf.gif мальчиков 7 – 3 = 4.

Ответ: 3 девочки и 4 мальчика.

Задача 2.1.2

Коля уплатил в кассу столовой за три блюда, а Саша – за два блюда (все пять блюд одинаковой стоимости). Только они сели за стол, как к ним присоединился Юра, и они втроем съели поровну все пять блюд. При расчете приятелей между собой выяснилось, что Юра должен уплатить за съеденное им 50 рублей. Сколько из этих денег следует Коле и сколько Саше?

Решение.

На листке клетчатой бумаги изобразим условие задачи в виде диаграммы. Зная, что за полную стоимость обеда придется разделить поровну между всеми тремя приятелями, изобразим стоимость каждого блюда отрезком длиною в три клетки (рисунок 12).




hello_html_79674b5d.png






50 р





10 р

40 р




Рисунок 12


Отрезок АВ – стоимость трех блюд, оплаченных Колей, отрезок ВС – стоимость двух блюд, оплаченных Сашей. Следовательно, отрезок АС – стоимость пяти блюд, съеденных всеми тремя.

По условию задачи, доля стоимости всего обеда Юры составляет 50 рублей. Сколько из них он должен отдать Коле и сколько Саше?

Ответ легко получить на самой диаграмме. Разделим отрезок АС на три равные части. Каждая часть изображает стоимость съеденного каждым из приятелей. Пусть средний из них изображает долю Юры – 50 рублей. Диаграмма показывает, что каждая клеточка на рисунке обозначает 10 рублей. Проведем через точку В вертикальную прямую. Она разделит средний из трех отрезков на две части – левую, длиной 4 клетки, примыкающую к доле Коли, и правую- длиной в 1 клетку, примыкающую к доле Саши. Следовательно, Коля должен получить с Юры 40 рублей, а Саша – 10 рублей.

Этот результат, полученный наглядным геометрическим способом, можно проверить при помощи вычислений.

Юра заплатил за долю обеда 50 рублей. Следовательно, полная стоимость всего обеда 50 hello_html_79c0f69b.gif 3 = 150 рублей.

Стоимость одного блюда равна 150 : 5 = 30 рублей.

Коля уплатил в кассу 30 hello_html_79c0f69b.gif 3 = 90 рублей.

Саша уплатил в кассу 30 hello_html_79c0f69b.gif 2 = 60 рублей.

Следовательно, Юра должен отдать Коле 90 – 50 = 40 рублей, Саше 60 – 50 = 10 рублей.

Ответ: 40 рублей и 10 рублей.


Задача 2.1.3 (задача Л. Н. Толстого)

Артели косцов надо было скосить два луга – один вдвое больше другого. Половину дня вся артель косила большой луг. После полудня артель разделилась пополам: первая половина осталась на большом лугу и докосила его к вечеру до конца, а вторая половина косила малый луг, на котором к вечеру остался участок, скошенный на другой день одним косцом, проработавшим целый день. Сколько косцов было в артели?

Решение.

Обозначим число косцов К. за первую половину дня К косцов скосят на большом лугу площадь, которую изобразим прямоугольником с высотой, равной К. Основание прямоугольника обозначим через А (оно произвольное).

За вторую половину дня половина косцов, т.е. hello_html_6eec8aff.gif К, скосит на том же лугу площадь, соответствующую прямоугольнику со сторонами А и hello_html_6eec8aff.gif К. Следовательно, левый составной прямоугольник соответствует площади большого луга. Высота этого прямоугольника hello_html_m4aae006e.gifК (рисунок 13).

Большой луг Малый луг


hello_html_7dac2017.gif hello_html_7dac2017.gif

1

hello_html_7dac2017.gif + 2

1

2


К




А А

Рисунок 13


За вторую половину первого дня hello_html_6eec8aff.gif К косцов скосят на малом лугу площадь, соответствующую прямоугольнику со сторонами А и hello_html_6eec8aff.gif К. За две половины второго дня один косец скосит на втором лугу площадь, соответствующую прямоугольнику, одна сторона которого по-прежнему А, а другая равна 1+1=2. Правый составной прямоугольник имеет высоту hello_html_6eec8aff.gif К + 2. И соответствует площади малого луга. По условию малый луг в два раза меньше большого луга. Значит, hello_html_6eec8aff.gif К + 2 = hello_html_48902fe8.gif или hello_html_685d8d49.gif К = 2. Отсюда число косцов К = 8.

Ответ: 8 косцов.

2.2 Применение двумерных диаграмм в решении арифметических задач



На примере решения задачи 2.2.1 покажем два возможных способа применения двумерных диаграмм, а так же приведем алгебраический способ решения этой задачи.

Задача 2.2.1

Поезд проходит расстояние от города А до города В за 10 часов 40 минут. Если бы скорость поезда была на 10 км/ч меньше, то он пришел бы вВ на 2 часа 8 минут позже. Определить расстояние между городами и скорость поезда.

Первый способ (графико-вычислительный). Сделаем чертеж (рисунок 14)


P Q

В

Р

Е

М

Я


2 ч 8 мин

R

L M

10 км/ч

10 ч 40 мин



O N K

СКОРОСТЬ


Рисунок 14

Пусть в первом случае, предусмотренном в условии задачи, продолжительность хода поезда 10 ч 40 мин изображается отрезком OL, а скорость поезда (ее величина нам пока неизвестна) – отрезком ОК. Тогда площадь прямоугольника OLMK соответствует расстоянию между городами А и В.

Пусть во втором случае скорость поезда изображается отрезком ON, а соответствующее время 10 ч 40 мин + 2 ч 8 мин – отрезком ОР. В этом случае то же расстояние между городами А и В определяется площадью прямоугольника OPQN, равновеликого прямоугольнику OLMK. А если это так, то, на основании выше доказанной вспомогательной теоремы должно быть NL || MQ и тогда треугольники OLN и RQM подобны. Из их подобия следует:

hello_html_m45540678.gifилиhello_html_m7d840c07.gif

Получаем, что ON = hello_html_m61015be.gif.

10 ч 40 мин + 2 ч 8 мин = 12 ч 48 мин = 12hello_html_36b5a9e0.gifч.Значит, расстояние между городами равно 50hello_html_m6512be94.gif

Путь к этому простому арифметическому решению помогла найти геометрия. Алгебраическое решение задачи потребовало более длительных вычислений. Приведем его для сравнения. Пусть S – расстояние между городами А и В. Тогда скорость поезда в первом случае hello_html_71e9d43d.gif Составляем уравнение: hello_html_m4a1b0bc6.gif.

Решив это уравнение, мы найдем расстояние между городами А и В, но вычисления в этом случае достаточно громоздкие. Не проще будут вычисления, если в качестве неизвестной величины взять скорость поезда.

Второй способ (конструктивное решение). Ответ можно получить не только путем вычислений, но и непосредственно на диаграмме (принято говорить – снять его с диаграммы).

Для решения необходим лист миллиметровой бумаги. Выбрав масштаб для изображения времени и скорости (например, 1 час = 6 мм и 1 км/ч = 1 мм), построим прямоугольный треугольникQRM, у которого в соответствии с выбранными масштабами вертикальный катет RQ изображает 2 часа 8 минут (отрезок RQ = 2hello_html_m1cb2f8bc.gif, а горизонтальный катет RM изображает 10 км/ч (длина отрезка RM = 10 мм) (рисунок 15).

hello_html_m36e73660.png













Рисунок 15

Продолжим катеты QRи MR вниз и влево за точку R и отложим отрезок RN, изображающий 10 ч 40 мин (RN = 64 мм). Через точку N проведем прямую NL, параллельную MQ, до пересечения в точке Lc продолжением MR. Тогда отрезок LR изобразит искомую скорость поезда. По масштабу определяем, что она равна 50 км/ч.

В этом решении ответ на задачу получился только при помощи построений с выполнением чертежа в масштабе. Такое решение называется конструктивным.

Ответ: 50 км/ч, 640 км.

Решим еще одну арифметическую задачу с помощью двумерной диаграммы.

Задача 2.2.2

Для выполнения работ поставили 57 рабочих, которые могли окончить работу за 45 дней. Но через 15 дней добавили еще нескольких рабочих, и работа была закончена на 12 дней раньше. Сколько рабочих добавили?

Решение.

Решим задачу графико-вычислительным способом (рисунок 16) .

hello_html_mf37c6c5.png












Рисунок 16


Выполненная работа прямо пропорциональна числу рабочих и числу рабочих дней, отработанных каждым из них. Следовательно, всю работу можно изобразить в виде прямоугольника ОАВС со сторонами ОА (57 рабочих) и ОС (45 дней). По условию, через 15 дней (т.е когда была выполнена работа, изображаемая прямоугольником OADE, где отрезок ОЕ обозначает 15 дней) добавили х рабочих. Оставшаяся часть работы изображается прямоугольником EDBC, где ЕС обозначает 45 – 15 = 30 дней. После того как добавили х рабочих, работа была закончена на 12 дней раньше срока, т.е. через 30 – 12 = 18 дней (EF на диаграмме обозначает 18 дней). Значит, второй период работ изобразится прямоугольником EHGF (где EH обозначает (57 + х) рабочих), равновеликим прямоугольнику EDBC. Но у этих двух прямоугольников есть общая часть – прямоугольник EDJF. Отсюда получается, что прямоугольники FJBC и DHGJ равновелики. Следовательно, 57 hello_html_52c22c71.gif

Ответ: 38 рабочих.

Диаграммными методами так же можно решать арифметические задачи на переливание, наследство, сплавы, скорости, работу и многие другие.



































ЗАКЛЮЧЕНИЕ



В ходе проведенного исследования я изучила литературу по рассматриваемой теме, научилась строить одномерные (линейные) и двумерные диаграммы, изображая подходящими геометрическими фигурами численные значения величин, входящих в условие задачи, познакомилась с графико-вычислительным и конструктивным методами решения арифметических задач. В работе рассмотрены несколько задач, в решении которых применены диаграммы, а так же их алгебраическое решение. Проведен сравнительный анализ полученных решений арифметических задач. Следует заметить, что конструктивный метод не всегда удобен в применении, так как требует наличие под рукой миллиметровой бумаги и очень точные построения, что не всегда возможно сделать.

Выдвинутая нами гипотеза нашла свое подтверждение. Используя диаграммный метод, можно решить арифметическую задачу, не проводя громоздких вычислений.

Таким образом, мы пришли к следующим выводам:

  • диаграммный метод решения арифметических задач нагляден, что позволяет «увидеть и снять» решение;

  • используя диаграммный метод, можно получить экономные и изящные решения;

  • непосредственное применение изложенный материал может иметь не только на уроках математики, на олимпиадах и конкурсах, но и в практической деятельности.

Существуют другие геометрические методы решения арифметических задач. В частности с применением графика линейной функции, графика равномерного движения, ломаных графиков, с помощью дополнительных построений к графикам. А это значит, что мои исследования геометрической арифметики будут продолжены.













СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ


  1. Александров И. И., Александрова А. И. Методы решения арифметических задач.М.: Физматгиз, 1953

  2. Березанская Е. С. Сборник задач и упражнений по арифметике.М.: Физматгиз, 1950

  3. Депман И.Я. За страницами учебника математики. М.. Просвещение, 1989

  4. Островский А. И., Кордемский Б. А. Геометрия помогает арифметике. М.: Физматгиз, 1960

  5. Энциклопедический словарь юного математика. М.: Педагогика, 1985



Выберите курс повышения квалификации со скидкой 50%:

Краткое описание документа:

Данная работа направлена на изучение и применение диаграммных методов в решении арифметических задач.

Цель исследования – показать возможность применения одномерных и двумерных диаграмм как альтернативного решения арифметических задач.

Для достижения поставленной цели были сформулированы следующие задачи:

  • -изучить литературу по теме исследования;
  • -научиться строить одномерные (линейные) и двумерные диаграммы, изображая подходящими геометрическими фигурами численные значения величин, входящих в условие задачи;
  • -подобрать арифметические задачи, в решении которых возможно применение диаграмм;
  • -провести сравнительный анализ решений арифметических задач.

Актуальность исследования заключается в том, что умение пользоваться диаграммным методом имеет важное значение в практической деятельности, так как постоянно мы сталкиваемся с различными задачами, решение которых этим методом позволяет нам получить быстрые, наглядные и осмысленные решения. Диаграммные методы нужны для приобретения практических навыков применений геометрических знаний, и потому представляют познавательный интерес.

Были сделаны следующие выводы:

  • -диаграммный метод решения арифметических задач нагляден, что позволяет «увидеть и снять» решение;
  • -используя диаграммный метод, можно получить экономные и изящные решения;
  • -непосредственное применение изложенный материал может иметь не только на уроках математики, на олимпиадах и конкурсах, но и в практической деятельности.
Автор
Дата добавления 04.05.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров626
Номер материала 264499
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх