Учебно-исследовательский
проект по теме: «Изучение диаграммных методов и их применение при решении
арифметических задач»
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
|
3
|
ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ
|
|
1
Понятия и принципы построения одномерных и двумерных диаграмм.
Вспомогательная теорема и вспомогательные построения
|
5
|
2 Одномерные и двумерные диаграммы
в решении арифметических задач
|
10
|
2.1
Применение одномерных (линейных) диаграмм в решении арифметических задач
|
10
|
2.2 Применение двумерных диаграмм в
решении арифметических задач
|
14
|
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
|
18
|
СПИСОК
ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
|
19
|
ВВЕДЕНИЕ
С арифметики, науке о числах,
начинается наше знакомство с математикой. Наука арифметика изучает действия над
числами, различные правила обращения с ними, учит решать задачи, сводящиеся к
сложению, вычитанию, умножению и делению чисел.
Арифметика и геометрия – давние
спутники человека. В истории математики процесс слияния арифметики и геометрии
происходил на протяжении многих веков. Можно отчетливо проследить
«геометризацию» арифметики: сложные правила и закономерности, выраженные формулами,
становятся понятнее, если удается изобразить их геометрически.
На олимпиадах и конкурсах часто
встречаются арифметические задачи, решения которых алгебраическим методом
требует довольно громоздких вычислений. Поэтому у меня возник вопрос:
«Существуют ли другие методы решения таких задач?» Познакомившись с книгами
Александрова И. И. и Александровой А. И. «Методы решения арифметических задач»
[1], А. И. Островского и Б. А. Кордемского «Геометрия помогает арифметике» [4],
я остановила свой выбор на изучении решении арифметических задач с помощью
построения диаграмм.
В нашей работе рассмотрено применение
некоторых геометрических приемов, а именно одномерных и двумерных диаграмм, к
решению разнообразных арифметических задач. Решение задач осуществляется при
помощи чертежей-диаграмм. Построение этих диаграмм дает возможность «увидеть»
задачу – установить и исследовать связи, существующие между величинами,
входящими в задачу, выбрать кратчайший путь решения.
Цель
исследования – показать возможность применения одномерных и двумерных диаграмм
как альтернативного решения арифметических задач.
Для
достижения поставленной цели были сформулированы следующие задачи:
-
изучить литературу по теме исследования;
-
научиться строить одномерные (линейные) и двумерные
диаграммы, изображая подходящими геометрическими фигурами численные значения
величин, входящих в условие задачи;
-
подобрать арифметические задачи, в решении
которых возможно применение диаграмм;
-
провести сравнительный анализ решений
арифметических задач.
Объектом
исследования являются арифметические задачи.
Предметом исследования является
диаграммный метод решения арифметических задач
Методы исследования:изучение
литературы по теме исследования, геометрические построения, сравнительный
анализ.
Актуальность исследования заключается
в том, что умение пользоваться диаграммным методом имеет важное значение в
практической деятельности, так как постоянно мы сталкиваемся с различными
задачами, решение которых этим методом позволяет нам получить быстрые,
наглядные и осмысленные решения.Диаграммные методы нужны для приобретения
практических навыков применений геометрических знаний, и потому представляют
познавательный интерес.
Нами была выдвинута гипотеза, что
арифметические задачи, рассматриваемые в данной работе, можно решить с помощью
построения одномерной или двумерной диаграмм, не проводя громоздких вычислений.
1
Понятия и принципы построения одномерных и двумерных диаграмм. Вспомогательная
теорема и вспомогательные построения
Диаграмма – это чертеж или рисунок,
на котором условно изображены в виде отдельных фигур различные значения одной и
той же величины или нескольких сравнимых величин [1].
Простейшим геометрическим
изображением величины и ее частей, входящих в условие задачи, является так
называемая одномерная (или линейная) диаграмма. Одномерная диаграмма – это
обычно отрезок или несколько отрезков, длины которых соответствуют численным
значениям рассматриваемой величины (отрезки могут быть заменены
прямоугольниками одинаковой ширины) [4].
Очень часто рассматриваемая величина
является произведением двух других величин. Например, вес груза равен
произведению количества ящиков на вес одного ящика; стоимость покупки равна
произведению количества купленных килограммов на цену одного килограмма; путь,
пройденный при равномерном движении, равен произведению скорости на время и
т.д.
С другой стороны, известно, что
площадь прямоугольника равна произведению двух его сторон.
Поэтому, в тех задачах, где одна из
рассматриваемых величин является произведением двух других, целесообразно для
наглядности представлять такое произведение в виде площади прямоугольника или
параллелограмма, или треугольника, то есть в виде двумерной диаграммы.
Применение двумерных диаграмм в
качестве моделей решения арифметических задач требует выполнения геометрических
построений несколько более сложных, чем в случае применения линейных диаграмм.
Для этого нам понадобилась вспомогательная теорема.
Теорема 1 (рисунок 1).
Если через произвольную точку Е
диагонали АС прямоугольника АВСD
проведены попарно параллельные прямые FG
и АВ и HJ
и AD,
то
1) образовавшиеся при этом
прямоугольники HBGEиFEJD
(желтые) равновелики;
2) прямоугольники ABGF
(синий) и AHJD (красный) равновелики;
3) отрезки FH,DB,JG
параллельны.
Доказательство.
D
J
C
F
E
G
A
H
B
Рисунок 1
1) Диагональ АС делит каждый из трех
прямоугольников АВСD, AHEFи
EGCJ
на два равных треугольника, т.е.
Вычитая из первого равенства второе,
а затем третье, получим, что
2) Дополним каждый из двух
равновеликих прямоугольников HBGEи
FEJD
прямоугольником AHEF. Полученные таким
способом два прямоугольника ABGFи
AHJD
также будут равновеликими. Следовательно,
3) FG
|| DB
|| JG
как секущие при соответствующих параллельных прямых.
Теорема доказана.
Выполним теперь несколько построений,
основываясь на доказанной теореме [4].
Построение 1.
Преобразовать данный прямоугольник ABGF
(синий) в равновеликий прямоугольник (зеленый) с заданным основанием AH,
лежащим на стороне АВ, причем AHAB
(рисунок 2).
F
G
A H B
Рисунок
2
Первый способ (рисунок 3). Проведем
прямую , перпендикулярно сторонеAH;
она пересечет сторону FGв точке Е.
Проведем прямую АЕ до пересечения с продолжением BGв
точке С. Точка С определяет высоту ВС искомого прямоугольника (зеленого) с основанием
АH.
Действительно, достраивая полученную фигуру до прямоугольника ABCD,
получаем, на основании вспомогательной теоремы, что зеленый прямоугольник АD
с заданным основанием AH равновелик синему
прямоугольнику ABGF.
D
C
F E
G
A H B
Рисунок
3
Второй способ (рисунок 4). Проведем
прямую перпендикулярно стороне AH
и прямолинейный отрезок HF. Из точки G
проведем прямую, параллельную HF,
до пересечения с прямой в точке J.
Точка J
определяет высоту HJ искомого
прямоугольника AHJD. Чтобы в этом
убедиться, достроим полученную фигуру до прямоугольника ABCD
и проведем прямолинейные отрезки АЕ и ЕС (штриховые). Образуются равные пары
углов: . Но так как вследствие
параллельности HF и GJ,
то . Следовательно, АС –
прямолинейный отрезок – диагональ прямоугольника ABCD.
На основании вспомогательной теоремы заключаем, что прямоугольники ABGFи
AHJD
равновелики.
Рисунок 4
Построение 2. Преобразовать данную
фигуру AEFGCD
(зеленую), составленную из двух смежных прямоугольников ABCD
и BEFG
(рисунок 5) в равновеликий прямоугольник с основанием АЕ (синий). Применим
способы построения, аналогичные предыдущим.
D
C
F
A
В Е
Рисунок 5
Первый способ (рисунок 6). Продолжим FG
до пересечения со стороной AD
в точке H.
Построим прямоугольник HFGDи проведем
диагональ HJ. Точка К пересечения HJ
и ВС определяет высоту ВК искомого прямоугольника AELM
с заданным основанием АЕ.В самом деле, на основании вспомогательной теоремы,
желтые прямоугольники равновелики, следовательно, прямоугольник AELM
равновелик первоначально данной фигуре AEFGCD.
D C
J
M
K L
H
G F
A
B E
Рисунок
6
Второй способ (рисунок 7). Построим
прямолинейный отрезок FD и из точки G
проведем прямуюGM || FD
до пересечения с AD в точке М, АМ – высота
искомого прямоугольника AELM.Для
доказательства продолжимFG до точки H;
тогда будем иметь:.
Это значит, что
прямоугольники MKCD и GFLK
равновелики и, следовательно, прямоугольник AELM
равновелик первоначально данной фигуре AEFGCD.
D
C
M K L
H G F
A E
Рисунок
7
Построение третье (обратное
предыдущему). Преобразовать прямоугольник AELM
в два смежных прямоугольника, в сумме равновеликих данному прямоугольнику AELM,
причем заданы высоты ADи EF
искомых прямоугольников, а сумма их оснований должна равняться основанию АЕ данного
прямоугольника (рисунок 8).
D
M
L
F
A E
Рисунок 8
Решение.
Для решения задачи можно применить
любой из предыдущих способов построения. Достаточно, например, на AD
отложить AH = EF(рисунок
9), а на продолжении EFотложитьEJ
= AD
и провести прямуюHJ. Точка К
пересечения HJ и ML
определяет размеры MK и KLоснований
искомых прямоугольников ABCD и BEFG.
Равновеликость получившейся фигуры AEFGCD
прямоугольнику AELM доказывается так
же, как и в предыдущей задаче.
D C J
M
K L
H
G F
A B E
Рисунок
9
2
Одномерные и двумерные диаграммы в решении арифметических задач
2.1 Применение одномерных (линейных) диаграмм в
решении арифметических задач
Рассмотрим несколько арифметических
задач, в решении которых применим линейные диаграммы.
Задача 2.1.1
Мальчика спросили, сколько у него
братьев и сестер. Он ответил: «Столько же братьев, сколько и сестер». Тогда
спросили сестру, сколько у нее братьев и сестер. Она ответила: «У меня сестер
меньше, чем братьев». Сколько было братьев и сколько было сестер? (Мальчик и
девочка, отвечая на вопросы, не считают себя).
Решение.
Построим
диаграммы. Число мальчиков будем изображать синими отрезками, а девочек –
красными.
Мальчик
сказал: «У меня столько же братьев, сколько и сестер». Условно изобразим
равными отрезками слева – всех его братьев, справа – всех его сестер (рисунок
10). При этом отрезок «мои сестры» (сестры мальчика) изображает неизвестное
число девочек.
Девочка
сказала: «У меня сестер вдвое меньше, чем братьев». Условно изобразим отрезками
слева – всех ее братьев, справа – всех ее сестер (рисунок 10). На этой
диаграмме отрезок «мои братья» должен быть в два раза больше, чем отрезок «мои
сестры». Здесь отрезок «мои братья» (братья девочки) изображает неизвестное
число всех мальчиков.
Мои братья Мои сестры
№ 1
Мои братья Мои сестры
№ 2
Мальчики
Девочки
ВСЕ ДЕТИ
?
Рисунок
10
Так как общее число мальчиков и
девочек вполне определенное (хотя еще и неизвестное), то длина всей диаграммы №
1 равна длине всей диаграммы № 2. Пусть мальчик и девочка «уйдут» из диаграмм.
Сомкнем отрезки на каждой диаграмме. Образовались две новые диаграммы (рисунок
11) опять-таки одинаковой длины.
Братья мальчика Сестры
мальчика
№ 1 ½ оставшихся детей
1/2 - 1/3= 1/6
1/3
оставшихся детей
№ 2 Братья
девочки Сестры
девочки
Все дети без одного
?
Рисунок
11
Если ушел мальчик, то девочки
(красный отрезок) составляют половину общего числа оставшихся детей: если же
ушел не мальчик, а ушла девочка, то теперь девочки (красный отрезок) составляют
только одну треть того же числа. Отсюда следует, что разность красных отрезков
на рисунке 11 изображает одну девочку, которая составляет
1/2
- 1/3 = 1/6 часть от общего числа всех детей, уменьшенного на единицу.
Отсюда общее количество всех детей
без одного равно 6. Всего детей 6 + 1 = 7. Из них девочек мальчиков 7 – 3 = 4.
Ответ: 3 девочки и 4 мальчика.
Задача 2.1.2
Коля уплатил в кассу столовой за три
блюда, а Саша – за два блюда (все пять блюд одинаковой стоимости). Только они
сели за стол, как к ним присоединился Юра, и они втроем съели поровну все пять
блюд. При расчете приятелей между собой выяснилось, что Юра должен уплатить за
съеденное им 50 рублей. Сколько из этих денег следует Коле и сколько Саше?
Решение.
На листке клетчатой бумаги изобразим
условие задачи в виде диаграммы. Зная, что за полную стоимость обеда придется
разделить поровну между всеми тремя приятелями, изобразим стоимость каждого
блюда отрезком длиною в три клетки (рисунок 12).
Рисунок 12
Отрезок АВ – стоимость трех блюд,
оплаченных Колей, отрезок ВС – стоимость двух блюд, оплаченных Сашей.
Следовательно, отрезок АС – стоимость пяти блюд, съеденных всеми тремя.
По условию задачи, доля стоимости
всего обеда Юры составляет 50 рублей. Сколько из них он должен отдать Коле и
сколько Саше?
Ответ легко получить на самой
диаграмме. Разделим отрезок АС на три равные части. Каждая часть изображает
стоимость съеденного каждым из приятелей. Пусть средний из них изображает долю
Юры – 50 рублей. Диаграмма показывает, что каждая клеточка на рисунке
обозначает 10 рублей. Проведем через точку В вертикальную прямую. Она разделит
средний из трех отрезков на две части – левую, длиной 4 клетки, примыкающую к
доле Коли, и правую- длиной в 1 клетку, примыкающую к доле Саши. Следовательно,
Коля должен получить с Юры 40 рублей, а Саша – 10 рублей.
Этот результат, полученный наглядным
геометрическим способом, можно проверить при помощи вычислений.
Юра заплатил за долю обеда 50 рублей.
Следовательно, полная стоимость всего обеда 50 3 = 150 рублей.
Стоимость одного блюда равна 150 : 5
= 30 рублей.
Коля уплатил в кассу 30 3 = 90 рублей.
Саша уплатил в кассу 30 2 = 60 рублей.
Следовательно, Юра должен отдать Коле
90 – 50 = 40 рублей, Саше 60 – 50 = 10 рублей.
Ответ: 40 рублей и 10 рублей.
Задача 2.1.3 (задача Л. Н. Толстого)
Артели косцов надо было скосить два
луга – один вдвое больше другого. Половину дня вся артель косила большой луг.
После полудня артель разделилась пополам: первая половина осталась на большом
лугу и докосила его к вечеру до конца, а вторая половина косила малый луг, на
котором к вечеру остался участок, скошенный на другой день одним косцом,
проработавшим целый день. Сколько косцов было в артели?
Решение.
Обозначим число косцов К. за первую
половину дня К косцов скосят на большом лугу площадь, которую изобразим
прямоугольником с высотой, равной К. Основание прямоугольника обозначим через А
(оно произвольное).
За вторую половину дня половина
косцов, т.е. К, скосит на том же лугу
площадь, соответствующую прямоугольнику со сторонами А и К. Следовательно, левый
составной прямоугольник соответствует площади большого луга. Высота этого
прямоугольника К (рисунок 13).
Большой луг Малый
луг
+ 2
2
К
А А
Рисунок 13
За вторую половину первого дня К косцов скосят на малом
лугу площадь, соответствующую прямоугольнику со сторонами А и К. За две половины
второго дня один косец скосит на втором лугу площадь, соответствующую
прямоугольнику, одна сторона которого по-прежнему А, а другая равна 1+1=2.
Правый составной прямоугольник имеет высоту К + 2. И соответствует
площади малого луга. По условию малый луг в два раза меньше большого луга.
Значит, К + 2 = или К = 2. Отсюда число
косцов К = 8.
Ответ: 8 косцов.
2.2
Применение двумерных диаграмм в решении арифметических задач
На примере решения задачи 2.2.1
покажем два возможных способа применения двумерных диаграмм, а так же приведем алгебраический
способ решения этой задачи.
Задача 2.2.1
Поезд проходит расстояние от города А
до города В за 10 часов 40 минут. Если бы скорость поезда была на 10 км/ч
меньше, то он пришел бы вВ на 2 часа 8 минут позже. Определить расстояние между
городами и скорость поезда.
Первый способ
(графико-вычислительный). Сделаем чертеж (рисунок 14)
P
Q
2 ч 8
мин
L M
10
ч 40 мин
O
N
K
СКОРОСТЬ
Рисунок
14
Пусть в первом случае,
предусмотренном в условии задачи, продолжительность хода поезда 10 ч 40 мин
изображается отрезком OL, а скорость
поезда (ее величина нам пока неизвестна) – отрезком ОК. Тогда площадь
прямоугольника OLMK соответствует
расстоянию между городами А и В.
Пусть во втором случае скорость
поезда изображается отрезком ON,
а соответствующее время 10 ч 40 мин + 2 ч 8 мин – отрезком ОР. В этом случае то
же расстояние между городами А и В определяется площадью прямоугольника OPQN,
равновеликого прямоугольнику OLMK.
А если это так, то, на основании выше доказанной вспомогательной теоремы должно
быть NL
|| MQ
и тогда треугольники OLN и RQM подобны. Из их подобия следует:
или
Получаем, что ON
= .
10 ч 40 мин + 2 ч 8 мин = 12 ч 48 мин
= 12ч.Значит, расстояние
между городами равно 50
Путь к этому простому
арифметическому решению помогла найти геометрия. Алгебраическое решение задачи
потребовало более длительных вычислений. Приведем его для сравнения. Пусть S
– расстояние между городами А и В. Тогда скорость поезда в первом случае Составляем уравнение: .
Решив это уравнение, мы найдем
расстояние между городами А и В, но вычисления в этом случае достаточно
громоздкие. Не проще будут вычисления, если в качестве неизвестной величины
взять скорость поезда.
Второй способ (конструктивное
решение). Ответ можно получить не только путем вычислений, но и непосредственно
на диаграмме (принято говорить – снять его с диаграммы).
Для решения необходим лист
миллиметровой бумаги. Выбрав масштаб для изображения времени и скорости
(например, 1 час = 6 мм и 1 км/ч = 1 мм), построим прямоугольный треугольникQRM,
у которого в соответствии с выбранными масштабами вертикальный катет RQ
изображает 2 часа 8 минут (отрезок RQ
= 2, а горизонтальный катет RM
изображает 10 км/ч (длина отрезка RM
= 10 мм) (рисунок 15).
Рисунок 15
Продолжим катеты QRи
MR
вниз и влево за точку R и отложим отрезок
RN,
изображающий 10 ч 40 мин (RN
= 64 мм). Через точку N проведем прямую NL,
параллельную MQ, до пересечения в точке Lc
продолжением MR. Тогда отрезок LR
изобразит искомую скорость поезда. По масштабу определяем, что она равна 50
км/ч.
В этом решении ответ на задачу
получился только при помощи построений с выполнением чертежа в масштабе. Такое
решение называется конструктивным.
Ответ: 50 км/ч, 640 км.
Решим еще одну арифметическую задачу
с помощью двумерной диаграммы.
Задача 2.2.2
Для выполнения работ поставили 57
рабочих, которые могли окончить работу за 45 дней. Но через 15 дней добавили
еще нескольких рабочих, и работа была закончена на 12 дней раньше. Сколько
рабочих добавили?
Решение.
Решим задачу графико-вычислительным
способом (рисунок 16) .
Рисунок 16
Выполненная работа прямо
пропорциональна числу рабочих и числу рабочих дней, отработанных каждым из них.
Следовательно, всю работу можно изобразить в виде прямоугольника ОАВС со
сторонами ОА (57 рабочих) и ОС (45 дней). По условию, через 15 дней (т.е когда
была выполнена работа, изображаемая прямоугольником OADE,
где отрезок ОЕ обозначает 15 дней) добавили х рабочих. Оставшаяся часть работы
изображается прямоугольником EDBC,
где ЕС обозначает 45 – 15 = 30 дней. После того как добавили х рабочих, работа
была закончена на 12 дней раньше срока, т.е. через 30 – 12 = 18 дней (EF
на диаграмме обозначает 18 дней). Значит, второй период работ изобразится
прямоугольником EHGF (где EH обозначает (57 + х) рабочих), равновеликим прямоугольнику EDBC.
Но у этих двух прямоугольников есть общая часть – прямоугольник EDJF.
Отсюда получается, что прямоугольники FJBC
и DHGJ
равновелики. Следовательно, 57
Ответ: 38 рабочих.
Диаграммными методами так же можно
решать арифметические задачи на переливание, наследство, сплавы, скорости,
работу и многие другие.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В
ходе проведенного исследования я изучила литературу по рассматриваемой теме,
научилась строить одномерные (линейные) и двумерные диаграммы, изображая
подходящими геометрическими фигурами численные значения величин, входящих в
условие задачи, познакомилась с графико-вычислительным и конструктивным
методами решения арифметических задач. В работе рассмотрены несколько задач, в
решении которых применены диаграммы, а так же их алгебраическое решение. Проведен
сравнительный анализ полученных решений арифметических задач. Следует заметить,
что конструктивный метод не всегда удобен в применении, так как требует наличие
под рукой миллиметровой бумаги и очень точные построения, что не всегда
возможно сделать.
Выдвинутая нами гипотеза нашла свое
подтверждение. Используя диаграммный метод, можно решить арифметическую задачу,
не проводя громоздких вычислений.
Таким образом, мы пришли к следующим
выводам:
-
диаграммный метод решения арифметических
задач нагляден, что позволяет «увидеть и снять» решение;
-
используя диаграммный
метод, можно получить экономные и изящные решения;
-
непосредственное
применение изложенный материал может иметь не только на уроках математики, на
олимпиадах и конкурсах, но и в практической
деятельности.
Существуют
другие геометрические методы решения арифметических задач. В частности с применением
графика линейной функции, графика равномерного движения, ломаных графиков, с
помощью дополнительных построений к графикам. А это значит, что мои
исследования геометрической арифметики будут продолжены.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Александров
И. И., Александрова А. И. Методы решения арифметических задач.М.: Физматгиз,
1953
2. Березанская
Е. С. Сборник задач и упражнений по арифметике.М.: Физматгиз, 1950
3. Депман
И.Я. За страницами учебника математики. М.. Просвещение,
1989
4. Островский
А. И., Кордемский Б. А. Геометрия помогает арифметике. М.: Физматгиз, 1960
5. Энциклопедический
словарь юного математика. М.:
Педагогика, 1985
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.