XI региональная научно-практическая конференция

«Физика и математика в условиях научно-технического прогресса»

Трапеция и числовые средние величины

Выполнил Ерофеев Алексей Олегович,

 ученик 9 класса,

воспитанник  кружка «Юный математик»

МКОУ ДО ДДТ МО Ейский район

Краснодарского края

Руководитель Ерофеева Татьяна Сергеевна,

руководитель кружка «Юный математик»

МКОУ ДО ДДТ МО Ейский район

Ейск

2019

Содержание

1.      Введение

2.      Числовые средние величины

2.1.            Определение числовых средних величин

2.2.            Анализ и обзор информации по исследуемому вопросу

2.3.            Числовые средние величины в трапеции

2.3.1.Среднее арифметическое

2.3.2.      Среднее геометрическое

2.3.3.      Среднее квадратичное

2.3.4.      Среднее гармоническое

2.3.5.      Доказательство неравенств о числовых средних величинах с помощью трапеции

3.                 Заключение

4.                 Список литературы

     ЕРОФЕЕВ Алексей Олегович

     Краснодарский край, Ейский район, поселок Советский,

     МКОУ ДО  дом детского творчества МО Ейский район, кружок «Юный математик»,

     9  класс

     ТРАПЕЦИЯ И ЧИСЛОВЫЕ СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ

     Научный руководитель Ерофеева Татьяна Сергеевна,

     руководитель кружка  «Юный математик» МКОУ ДО ДДТ МО Ейский район

1.      Введение

В школьном курсе геометрии изучаются определение трапеции, определение и свойства средней линии трапеции, свойство углов, прилежащих к боковой стороне, свойства диагоналей и углов равнобедренной трапеции. Изучив эти свойства, я заинтересовался «внепрограммными» свойствами трапеции. И особо интересным мне показался материал, связывающий трапецию со средними числовыми величинами.

Гипотеза: трапеция обладает свойствами, полезными для решения задач повышенной сложности.

Цель работы: исследовать свойства, дополнительные построения в трапеции, применить полученные знания для сравнения числовых средних величин с помощью трапеции.

Объект исследования: трапеция.

Предмет исследования: геометрическая интерпретация  числовых средних величин с помощью трапеции.

2.      Числовые средние величины

2.1.            Определение числовых средних величин

•      Средним арифметическим нескольких чисел называют частное от деления суммы этих чисел на число слагаемых

•      Средним геометрическим чисел называется такое число, которым можно заменить каждое из данных чисел так, чтобы их произведение не изменилось.

Средним геометрическим двух положительных чисел а и в называется число, равное квадратному корню из произведения чисел а и в.

•      Средним гармоническим нескольких положительных чисел называется число, обратное среднему арифметическому их обратных.

•     

2.2.            Анализ и обзор информации по исследуемому вопросу

В «Энциклопедическом словаре юного математика»[7] достаточно много места уделено теме «Средние величины»:

«Классическими средними значениями для двух положительных чисел а и b принято считать:

1)      среднее арифметическое     ,

2)   среднее геометрическое ,

3)   среднее гармоническое     ,

4)      среднее квадратичное  .

В одном из древнегреческих текстов, который приписывают древнегреческому математику Архиту (примерно 428 – 365 гг. до нашей эры), среднее арифметическое m, среднее геометрическое g и среднее гармоническое h определялись как равные члены арифметической, геометрической и «гармонической» пропорций соответственно:

1)      a – m = m – b;

2)      a : g = g  : b;

3)      (a – h) : a = (h – b) : b

Среднее квадратичное чисел a и b было введено несколько позже и также стало классическим» [7:с.280]. В данном источнике рассматриваются неравенства   , решаемые с помощью прямоугольного треугольника, вписанного в полуокружность. [7:с.281]. Авторы делают вывод: «Неравенства для средних и сами средние широко применяются не только в алгебре, геометрии, математическом анализе, но и в статистике, в теории вероятностей (откуда пришло среднее квадратичное), при обработке результатов измерений». [7:с.282].

В книге Блинкова А.Д. «Классические средние в арифметике и геометрии» в задаче 5.2 предлагается рассмотреть трапецию с основаниями a и b, найти отрезки, параллельные основаниям трапеции и равные четырем классическим средним чисел a и b, и, используя расположение найденных отрезков, автор доказывает неравенства о средних. [2: с.44-46]

Наибольший интерес у меня вызвала статья «Числовые средние и геометрия», опубликованная в журнале «Квант»[5: с.62-65]. Авторы статьи А.Гольдман и Л.Звавич не дают готовых решений при доказательстве неравенств о средних величинах, а дают лишь указания, которыми я и воспользовался при выполнении данной работы.

2.3.            Числовые средние величины в трапеции

2.3.1.      Среднее арифметическое

Средней линией трапеции называют отрезок, соединяющий середины её боковых сторон.  [6: с.44]

Докажем, что средняя линия трапеции параллельна  основаниям и равна их полусумме (рисунок 1)

Дана трапеция ABCD со средней линией KL. Для доказательства проведём  прямую через точки B и L до пересечения с прямой AD.

Рассмотрим полученные треугольники LBC и LQD:

1.      По определению средней линии  точка L является серединой отрезка CD. Отсюда следует, что отрезки CL и LD равны.

2.      ∠ BLC = ∠ QLD как вертикальные.

3.      ∠ BCL = ∠ LDQ как накрест лежащие при параллельных прямых AD и BC и секущей CD.

Из этих 3 равенств следует, что треугольники LBC и LQD равны по  стороне и двум прилежащим к ней углам. Следовательно, ∠ LBC = ∠ LQD, BC=DQ и BL=LQ => KL, являющаяся средней линией трапеции ABCD, также является и средней линией треугольника ABQ. Согласно свойству средней линии треугольника получаем:

1.      KL = 1/2AQ = 1/2 (AD+DQ) = 1/2 (AD+BC)

2.      KL || AD по свойству средней линии треугольника. А так как AD || BC по определению трапеции, то KL || BC.

Если обозначить основания трапеции a и b, то получим среднее арифметическое: . Итак, среднее арифметическое – это длина средней линии трапеции.

2.3.2.      Среднее геометрическое

Отрезок, разбивающий трапецию на две подобные трапеции, имеет длину, равную среднему геометрическому длин оснований.   

Докажем это (рисунок 2). Отрезок MN делит трапецию ABCD на две подобные трапеции AMND и  MBCN. Значит, отношения соответствующих сторон в этих трапециях равны.

  ;  ;  .  Обозначим длину отрезка MN  буквой  g.

2.3.3.      Среднее квадратичное

                           Докажем, что длина отрезка, делящего трапецию на две равновеликие трапеции, равна среднему квадратичному длин оснований.

Доказательство: Отрезок TG, проведенный параллельно основаниям (рисунок 3),  делит трапецию ABCD на две равновеликие трапеции.  P – точка пересечения боковых сторон трапеции. Площади трапеций ATGD и   TBCG обозначим S, так как они равны. Площадь треугольника BPC обозначим . Т.к. треугольники BPC, TPG и APD подобны, то можно применить свойство: отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия. Длину отрезка TG обозначим через x.

1)      Рассмотрим подобные треугольники BPC и TPG. Коэффициент   k = . Получим    

2)      Рассмотрим подобные треугольники APD и TPG. Коэффициент  k = .

3)      Складываем оба равенства, получаем:

 +  = ;     = ;  

 ; ;

2.3.4.      Среднее гармоническое

Задача 1. Пусть EF – отрезок длиной х с концами соответственно на боковых сторонах AB и CD трапеции ABCD, параллельный её основаниям a и b. Найдите х, если известно, что  = .[5:с.63]

Для решения выполним дополнительное построение. Проведём через точку F PH  AB. Треугольники    FCP и FDH подобны по первому признаку, так как  CFP = DFH как вертикальные, а  FCP =  FDH как накрест лежащие при параллельных прямых BP и AD и секущей CD.

 CP = x-a;  HD = b-x.

Из подобия треугольников и из условия задачи следует, что  =

x-a =  (b-x);

x – a =   x;

x + x =  + a;

x =  (*)

Задача 2. Найдём х, если отрезок EF проходит через точку О - точку пересечения диагоналей трапеции.

Решение:   =  = .

В данной задаче   = .

Подставим это значение в  (*), получим EF=(a +   b) / (1 +  ) =

= (2a)/(1 +  ) = .

2.3.5.      Доказательство неравенств о числовых средних величинах с помощью трапеции.

Итак, в трапеции ABCD появились все упомянутые средние чисел a и b.

Докажем неравенство

  .

Доказательство:

Пусть EF – отрезок, длина которого  равна среднему гармоническому чисел a и b; длина отрезка   MN  равна среднему геометрическому чисел  a и b,  KL – отрезок с длиной, равной среднему арифметическому чисел a и b, TG – отрезок, длина которого равна среднему квадратичному чисел a и b.

Тогда       = .

Найдем отношение .

Так как трапеции AMND и  MBCN подобны, значит, отношения соответствующих сторон в этих трапециях равны.   =  =  =

Так как KL средняя линия трапеции, то отношение  = 1.

Но   <  < 1, значит,   .

Теперь докажем последнее неравенство:   .

Для доказательства воспользуемся формулой для нахождения площади трапеции. Пусть высота трапеции TBCG, а  - высота трапеции ATGD. Так как площади этих трапеций равны, то

 (a + ): 2 = (b + ):2;

 /  = (b + )/ (a + ). Так как ab, то  /   1. Значит,    .

3.      Заключение

Данная работа была выполнена с целью исследования свойств трапеции с помощью  дополнительных построений, применения полученных знаний для сравнения числовых средних величин с помощью трапеции.

  В ходе исследования выявлено, что для трапеции ABCD  с основаниями AD и BC (BC = a, AD =b, a<b) справедливы следующие утверждения:

1)      Отрезок KL, соединяющий середины боковых сторон трапеции, параллелен основаниям и равен их полусумме (среднее арифметическое чисел a и b).

2)      Отрезок МN, разбивающий трапецию на две подобные трапеции, имеет длину, равную среднему геометрическому чисел a и b, ).

3)      Отрезок EF, проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции параллельно основаниям, равен  (среднее гармоническое чисел a и b).

4)      Отрезок TG, делящий трапецию на две равновеликие трапеции, имеет длину, равную (среднее квадратичное чисел a и b).

Чтобы увидеть связь между этими отрезками, построили их для данной трапеции на одном чертеже. Положение отрезков указывает на связь между числовыми средними величинами. Трапеция позволяет наглядно сравнить средние величины и убедиться в выполнении этих неравенств.

    .

Итак, мы доказали неравенства и убедились в том, что при a<b все неравенства – строгие. Нетрудно видеть, что если какие-либо два из отрезков, длины которых мы сравнивали, равны, то ABCD – параллелограмм и, следовательно, все неравенства превращаются в равенства.[5: с.63-64]

Доказаны зависимости между основаниями трапеции и отрезками, параллельными основаниям. Появился новый блок знаний, с помощью которых можно продвинуться в решении задач повышенной сложности. Эти знания понадобятся и на занятиях математического кружка, и при подготовке к олимпиадам.  Но числовые средние величины можно рассматривать и с помощью прямоугольного треугольника и с помощью правильного пятиугольника. Это будет тема моей следующей работы.

4.      Список использованной литературы

1. Атанасян Л.С. и др. Геометрия. Учебник для 7-9 классов средней школы. - М.: Просвещение, 2007
2. Блинков А.Д. Классические средние в арифметике и геометрии. – М.: МЦНМО, 2012
3. Ваховский Е.Б., Рывкин А.А. Задачи по элементарной математике. – М.: Наука, 1971
4. Виленкин Н.Я. и др. Математика. 5 класс. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2012
5. Гольдман А., Звавич Л. Числовые средние и геометрия. - Квант №9, 1990
6. Мерзляк А.Г. и др. Геометрия. 8 класс. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. – М.: Вентана – Граф, 2016
7. Энциклопедический словарь юного математика. Сост. Савин А.П. – М.: Педагогика, 1989