Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Учебно-методические и справочные материалы по математике

Учебно-методические и справочные материалы по математике



Осталось всего 4 дня приёма заявок на
Международный конкурс "Мириады открытий"
(конкурс сразу по 24 предметам за один оргвзнос)


  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

23

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ ТУЛЬСКОЙ ОБЛАСТИ


Государственное профессиональное образовательное учреждение

Тульской области

«Тульский государственный машиностроительный колледж

имени Никиты Демидова»

(ГПОУ ТО «ТГМК им. Н. Демидова»)









Учебно-методические
и справочные материалы
по математике









Подготовила преподаватель АбрамоваС.А.











Г.Тула – 2016 г.



Материал, изложенный в пособии, полностью соответствует действующей программе по математике для учреждений среднего специального образования.

Пособие включает в себя справочный материал 4 разделов по математике для студентов 1 курса при выполнении контрольных работ.

Изложение материала и расположение формул по темам рассчитано на то, чтобы при ксерокопировании непосредственно использовать его для проведения контрольных работ.

Может быть полезно студентам старших курсов при подготовке к экзаменам и использовано преподавателями спецдисциплин.





























Рецензия

на учебно-методическую и справочную литературу

по математике

составленную преподавателем математики

Абрамовой .С.А.




Материал, изложенный в пособии, полностью соответствует действующей программе по математике для учреждений среднего специального образования.

В помощь студентам 1 курса пособие включает в себя справочный материал по математике по 4 разделам при выполнении зачетных и контрольных работ.

Выполнение контрольных работ обеспечивает систематический и своевременный контроль и учет успеваемости и служит основой в достижении прочных и глубоких знаний.

Может быть полезно студентам старших курсов при подготовке к экзаменам и использовано преподавателями спецдисциплин.












СОДЕРЖАНИЕ





ВВЕДЕНИЕ 7


КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА 8


КОРНИ, СТЕПЕНИ И ЛОГАРИФМЫ 10


ОСНОВЫ ТРИГОНОМЕТРИИ 11


ФУНКЦИИ, СВОЙСТВА И ИХ ГРАФИКИ 14


ПРОИЗВОДНАЯ,

ПРАВИЛА И ФОРМУЛЫ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 16


ИНТЕГРАЛ, ФОРМУЛЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ 17


ПЛОЩАДИ И ПЕРИМЕТРЫ ФИГУР НА ПЛОСКОСТИ 19


ФОРМУЛЫ ПЛОЩАДЕЙ И ОБЪЕМОВ

ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ В ПРОСТРАНСТВЕ 20


ВЕКТОРЫ НА ПЛОСКОСТИ 23


ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ 24


УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ 26


СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 28








ВВЕДЕНИЕ



Важнейшим аспектом учебно-воспитательного процесса в системе среднего специального образования является контроль за усвоением знаний студентов. От правильной организации этого контроля во многом зависит достижение дидактической цели занятия, степень активности студентов в процессе обучения, их отношение к изучаемому материалу.

Выполнение контрольных работ обеспечивает систематический и своевременный контроль и учет успеваемости и служит основой в достижении прочных и глубоких знаний.

Своевременный контроль не только содействует углублению и закреплению знаний и выработке практических навыков у студентов, но и позволяет преподавателю выявить уровень знаний каждого из них, чтобы подходить к нему дифференцированно и при необходимости оказывать помощь для творческого усвоения материала.

Приведенный справочный материал поможет студентам успешно выполнять практические и контрольныезадания по математике и спецдисциплинам.










Тема:КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА


Комплексными числами называются числа вида a + j∙b, где а и в - действительные числа, а число iопределяемое равенством j2 = -1, называется мнимой единицей.

Действительное числоаназывается действительной частью комплексного числа z = a + j∙b, а действительное число в – мнимой частью.

Определение.Комплексные числа вида a + j∙b и a - j∙b называются сопряженными.

Например, а) z = -2 + j∙3; z = -2 - j∙3

Запись a + j∙b комплексного числа называется алгебраической формой комплексного числа.

- Суммойдвух комплексных чисел z1 = a1 + j∙b1 и z2 = a2 + j∙b2- называется комплексное число (a1 + a2) + j∙(b1 + b2)

- Вычитаниекомплексных чисел рассматриваем как действие, обратное сложению (a1 + jb1) – (a2 + jb2) = (a1 - a2) + j∙(b1 - b2)

- Произведениемдвух комплексных чисел z1 = a1 + j∙b1 и z2 = a2 + ji∙b2- называется комплексное число (a1a2b1b2) + j∙(a1b2 + a2b1)

Делениекомплексных чисел есть действие обратное умножению.

В практических вычислениях частное находят, умножая числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю число (избавляются от мнимости в знаменателе).

Например:

Степени мнимой единицы:

j4k = 1; j4k+1= j4kj = j; j4k+2 =j4kj2 = -1; j4k+3= j4kj2+1 = -j,

где .


Показательная форма комплексного числа


Действия над комплексными числами, заданными в показательной форме, выполняются по следующим формулам:

  1. 2.

3. 4.




Тригонометрическая форма записи комплексного числа

, где r>0,

r – модуль, φ - аргумент

Алгоритм перехода от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической и обратно.

  1. Найти модуль

  2. Вычислить

  3. По знакам а и b определить четверть, в которой находится число z.

  4. Найти φ, причем , если число находится в I четверти, то φ = φ1,

во II четверти – φ = 1800 - φ1, в III четверти - φ = 1800 + φ1,

в IV четверти - φ = 3600 - φ1 или φ = - φ1

5. Записать комплексное число в тригонометрической форме.


Переход от тригонометрической формы комплексного числа к алгебраической производится подстановкой в выражение числовых значений соs φ и sin φ, затем раскрываются скобки и производятся упрощения.



При умножении двух комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, их модули перемножаются, а аргументы складываются

z1 ∙ z2 = =


При делении двух комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, их модули делятся, а аргументы вычитаются.



Для возведениякомплексного числа в n-ю степеньиспользуется формула:

, ,

Для извлечения корня n-й степенииз комплексного числа используется формула


где арифметический корень, k=0, 1, 2 …, n-1


Тема: КОРНИ, СТЕПЕНИ И ЛОГАРИФМЫ



Свойства степени

с действительным показателем

4.

5.

Логарифмы

Логарифмом положительного числа b по основанию а (a>0, ) называется такой показатель степени N , в которую надо возвести а, чтобы получить число b.



Свойства логарифмов

  • Основное логарифмическое тождество:

  • Логарифм произведения:

  • Логарифм частного:

  • Логарифм степени:



  • Логарифм корня:

  • Формула перехода к другому основанию:





Во всех приведенных формулах a>0,

Тема: ОСНОВЫ ТРИГОНОМЕТРИИ

Значения тригонометрических функций некоторых углов

hello_html_3335d477.png

















Основные тригонометрические тождества



hello_html_54937dbe.png













Знаки тригонометрических функций по четвертям










Преобразование произведения

тригонометрических функций в алгебраическую сумму





Тригонометрические функции алгебраической суммы двух аргументов

(формулы сложения)








Преобразование алгебраической суммы

тригонометрических функций в произведение
















Тригонометрические функции удвоенного аргумента







Простейшие тригонометрические уравнения



sinx = a cosx = a

sin x =0 sin x = 1 sin x = -1 cos x =0 cos x = 1 cos x = -1



arcsin(-a) = - arcsin a arccos(-a) = π – arccos a



tg x = actg x = a


tg x = 0 ctg x = 0



arctg(-a) = π- arctg a arcctg(-a) = π – arcctg a



Обратные тригонометрические функции

hello_html_m1b904f8f.png

























Тема: ФУНКЦИИ, СВОЙСТВА И ИХ ГРАФИКИ



Зависимость переменнойyот переменной х называется функцией, если каждому значению х соответствует единственное значение y.

  1. Все значения, которые принимает независимая переменная, образуют область определения функции; все значения, которые принимает зависимая переменная, образуют множество значений функции.


  1. Функция f(x) называется возрастающей на данном числовом промежутке Х, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции f(x).


  1. Функция f(x) называется убывающей на данном числовом промежутке Х, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции f(x).


  1. Функция f(x) называется чётной, если f(x)=f(-x)


  1. Функция f(x) называется нечётной, если f(-x)=-f(x)


  1. Функция f называется периодической, еслиf(x)=f(x-T)=f(x+T),

где Т – период функции.



Графикинекоторых элементарных функций

hello_html_1c197403.png

hello_html_m1af781b.png











hello_html_m16b564de.pnghello_html_c10d3bc.png









hello_html_55305986.pnghello_html_m4e7b514b.pnghello_html_m6807aa22.png





hello_html_m2c229ef5.png

hello_html_m127d1809.png

hello_html_ce7736b.pnghello_html_68874ed7.png

hello_html_5337b089.png






Тема:ПРОИЗВОДНАЯ

ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

Обозначения: u, v, w – функции от х, имеющие производные; С – постоянное число.

  1. Производная алгебраической суммы функций:

  2. Производная произведения двух функций:

  3. Производная частного (дроби):

  4. Производная произведения постоянной на функцию:



ФОРМУЛЫ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

Тема: ИНТЕГРАЛ

Формулы интегрирования



1.

2.

3.

4.

5. a>0,

6.

7.



















Вычисление площадей плоских фигур

с помощью определенного интеграла

1. 2 3.

ОСНОВНЫЕ СЛУЧАИ РАСПОЛОЖЕНИЯ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ

И СООТВЕТСТВУЮЩИЕ ФОРМУЛЫ ПЛОЩАДЕЙ


  1. Фигура ограниченная графиком непрерывной и неотрицательной функции , осью абсцисс и прямыми .


  1. Фигура ограниченная графиком непрерывной и неположительной функции , осью абсцисс и прямыми .

___________________________________________

  1. Фигура ограниченная осью абсцисс, прямыми и графиком функции , которая непрерывна на и меняет свой знак конечное число раз на этом отрезке.

____________________________________________

  1. Фигура ограниченная графиками двух непрерывных функций и на и прямыми , где .

hello_html_2d91be92.png











ПЛОЩАДИ И ПЕРИМЕТРЫ ФИГУР НА ПЛОСКОСТИ


Площади оснований Периметр

;

; P = 2(a+b)

; P = 4 a

;

; P = a+b+c

; P = 3a

; P = 6a

Решение прямоугольного треугольника













;



Катет, лежащий против угла 30о,

равен половине гипотенузы.







ФОРМУЛЫ ПЛОЩАДЕЙ И ОБЪЕМОВ

ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ В ПРОСТАНСТВЕ



ПРИЗМА - многогранник, две грани которого параллельны, а остальные грани пересекаются по параллельным прямых.

Правильная призма – прямая призма, основаниями которой служит правильные многоугольники.









ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД- призма, основанием которой служит параллелограмм

Прямоугольный параллелепипед - прямой параллелепипед, основания которого - прямоугольники

;



КУБ - прямоугольный параллелепипед, все три измерения которого равны между собой.

;

ПИРАМИДОЙназывается многогранник, ограниченный гранями многогранного угла и плоскостью, пересекающей все его грани.

Правильная пирамида – пирамида, основанием которой служит правильный многоугольник, а высота проходит через центр этого многоугольника.

































Усеченная пирамида













ЦИЛИНДРОМ называется геометрическое тело, полученное вращением прямоугольника /АОО1D/ вокруг одной из его сторон /OO1 – ось вращения/

Равносторонний цилиндр – в осевом сечении лежит квадрат.

/АВСD – квадрат, H=2R/

















КОНУСОМназывается геометрическое тело, полученное вращением прямоугольного треугольника вокруг его катета.

Равносторонний конус – в осевом сечении лежит равносторонний треугольник /АВS – равносторонний треугольник, L=2R/













Усеченный конус











Шаровой поверхностью или сферойназывается геометрическое место точек пространства, равноудаленных от одной точки, называемой центром сферы.

СФЕРАможет быть получена вращением полуокружности вокруг ее диаметра.

/ АВ = диаметр, ОВ – радиус /

















Тема:ВЕКТОРЫ НА ПЛОСКОСТИ


Вектор направленный отрезок.

Обозначение - АВ или а

Расстояние |АВ| - называется длиной (модулем) вектора АВ.

Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Если два ненулевых вектора а и b коллинеарны, то они могут быть направлены либо одинаково (сонаправлены), либо противоположно (противоположнонаправлены).

Два вектора называются равными, если они совмещаются параллельным переносом или равные векторы сонаправлены и равны по модулю.



Действия над векторами










Действия над векторами,

заданными своими координатами на плоскости

;

Длина вектора







Координаты вектора: А(x1;y1), B(x2;y2) - находятся по формуле:

=( x2 - x1; y2 - y1)


Длина вектора



Условие коллинеарности двух векторов и

имеет вид x1 = m · x2, y1 = m · y2, т.е,

т.е. если соответствующие координаты двух векторов пропорциональны, то векторы коллинеарны.

m>0 – сонаправлены; m<0 – противоположно направлены

Скалярное произведение векторов и выражается через их координаты по формуле:

·= x1x2 + y1y2

Условие перпендикулярности двух векторов и

x1x2 + y1y2 = 0


Угол между векторами и находится по формуле:

Cosφ = ,




ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ










;

Длина радиус вектора







Правила действий над векторами, заданными своими координатами








Координаты вектора: А(x1;y1;z1), B(x2;y2;z2)

=( x2 - x1; y2 - y1;z2-z1)


Длина вектора

Условие коллинеарности двух векторов и

имеет вид x1 = m · x2, y1 = m · y2, z1 = m · z2т.е,


т.е. если соответствующие координаты двух векторов пропорциональны, то векторы коллинеарны.

m>0 – векторы имеют одинаковое направление;

m<0 – противоположно направлены

Скалярное произведение векторов и выражается через их координаты по формуле:


·= x1x2 + y1y2 + z1z2

Условие перпендикулярности двух векторов и


x1x2 + y1y2+ z1z2= 0


Угол между векторами и

находится по формуле:


Cosφ = ,












Тема: УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ


1.Общее уравнение прямой


Если на плоскости произвольно взята декартовая система координат, то всякое уравнение первой степени относительно текущих координат x и y

Ax + By + C = 0, (1)

где А и В одновременно не равны нулю, определяет прямую в этой системе координат.

Уравнение (1) называется общим уравнением прямой.

Частные случаи уравнения (1) приведены в следующей таблице:


2.Угловой коэффициент прямой

Уравнение прямой с угловым коэффициентом и начальной ординатой


Угловой коэффициент k определяется как тангенс угла наклона φ этой прямой к оси Ох, т.е. k=tg φ.


Уравнение прямой, имеющий угловой коэффициент k и пересекающий ось Оy в точке, ордината которой равна b (начальная ордината), записывается в виде

y = kx + b


Угловой коэффициент k прямой, заданной общим уравнением Ах + Вy +С =0, находится как коэффициент при х в выражении y через х: k=-A/B.


Угловой коэффициент k прямой, заданной двумя точками А(хА;yA) и В(хВ;yВ),

вычисляется по формуле:.


3.Уравнение прямой в отрезках

Уравнение прямой в отрезках называется уравнение вида: ,

где a и b – абсцисса и ордината точек пересечения прямой с осями Ох и Oy, т.е. длины отрезков, отсекаемых прямой на координатных осях, взятые с соответствующими знаками.




4. Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении


Уравнение прямой, проходящей через точку А(хА;yA) и имеющей угловой коэффициентk, записывается в виде y - yA = k(xxA).


5. Уравнение прямой, проходящей через две точки


Уравнение прямой, проходящей через две данные точки А(хА;yA) и В(хВ;yВ), имеет вид: .


6. Взаимное расположение двух прямых. Условие параллельности


Взаимное расположение прямых:

- пересечение;

- параллельность;

- совпадение.

Если известны угловые коэффициенты k1 и k2 прямых, то

условие параллельности:k1 = k2.


7. Условие перпендикулярности двух прямых


Если известны угловые коэффициенты k1 и k2 прямых, то

условие перпендикулярности - k1· k2 = -1или k1 = -1/k2 , т.е. угловые коэффициенты этих прямых обратны по абсолютной величине и противоположны по знаку.


8. Расстояние от точки до прямой


Расстояние от точки М00; y0) до прямой Ax + By + C = 0 находится по формуле:


9. Угол между двумя прямыми


Тангенс угла φ между двумя прямыми, угловые коэффициенты которых соответственно равны k1 и k2, вычисляются по формуле:

,

причем знак плюс соответствует острому углу φ, а знак минус – тупому.










СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ



  1. Богомолов Н.В. Математика: учеб. для ССУЗов /Н.В. Богомолов. -. М: Дрофа, 2008. – 395 с.


  1. Богомолов Н.В. Сборник задач по математике: учеб. пособие для ССУЗов / Н.В.Богомолов. - М.: Дрофа, 2008, 204 с.


ИНТЕРНЕТ-РЕСУРСЫ:

Математика для ССУЗ. 4-е изд., доп.иперераб

www.chtivo.ru/book/1374370/




57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)


Автор
Дата добавления 29.11.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров13
Номер материала ДБ-399756
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх