Учебно-методические материалы по организации и проведению самостоятельной работы по геометрии в 8 классе во внеурочное время

казенное общеобразовательное учреждение

«Средняя школа №4 (очно-заочная)»

Учебно-методические

материалы

по организации и проведению

самостоятельной работы

по геометрии в 8 классе

во внеурочное время.

СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОГО КУРСА.

Глава  Четырёхугольники
 Многоугольник. Выпуклый многоугольник. Параллелограмм. Трапеция. Прямоугольник, ромб, квадрат.  Осевая и центральная симметрии.

Глава  Площадь
 Понятие площади многоугольника. Площадь квадрата.  Площадь прямоугольника. Площади параллелограмма, треугольника и трапеции.  Теорема Пифагора.

Глава  Четырёхугольники

Цели изучения:

Изучить наиболее важные виды четы­рехугольников и их свойства: параллелограмм, прямоугольник, ромб, квад­рат, трапецию; знать представление о фигурах, обладающих осе­вой или центральной симметрией.

В результате изучения данной главы учащиеся должны:

знать какой многоугольник называется выпуклым; определения параллелограмма, ромба и трапеции, формулировки свойств и признаков; симметричных точек и фигур относительно прямой и точки;

уметь объяснить, какая фигура называется многоугольником; вывести формулу суммы углов выпуклого многоугольника; доказывать свойства и признаки изученных фигур и применять их при решении задач.

Краткая теория

Определение. Многоугольник – фигура, состоящая из нескольких точек (больше двух) и соответствующего количества отрезков, которые их последовательно соединяют. Эти точки называются вершинами многоугольника, а отрезки – сторонами. При этом никакие две смежные стороны не лежат на одной прямой и никакие две несмежные стороны не пересекаются.

   Отрезок, соединяющий две вершины, не лежащие на одной стороне, называется диагональю многоугольника.

  

Рис. 2 АВСДЕ –выпуклый.

A, B, C, D, E — вершины; AB, BC, CD, DE, AE — стороны; AC, AD, BE, BD, CE — диагонали.

Определение. Правильный многоугольник – это выпуклый многоугольник, у которого все стороны и углы равны.

Любой многоугольник разделяет плоскость на две области: внутреннюю и внешнюю. Внутреннюю область также относят к многоугольнику.

Иными словами, например, когда говорят о пятиугольнике , имеют в виду и всю его внутреннюю область, и границу. А ко внутренней области относятся и все точки, которые лежат внутри многоугольника, т.е. точка  тоже относится к пятиугольнику.

Многоугольники еще иногда называют n-угольниками, чтобы подчеркнуть, что рассматривается общий случай наличия какого-то неизвестного количества углов (n штук).

Определение. Периметр многоугольника – сумма длин сторон многоугольника.

Теперь надо познакомиться с видами многоугольников. Они делятся на выпуклые и невыпуклые. Например, многоугольник, изображенный на Рис. 2, является выпуклым, а на Рис. 3 невыпуклым.

Рис. 3. Невыпуклый многоугольник

Определение 1. Многоугольник называется выпуклым, если при проведении прямой через любую из его сторон весь многоугольник лежит только по одну сторону от этой прямой. Невыпуклыми являются все остальные многоугольники.

Легко представить, что при продлении любой стороны пятиугольника на Рис. 2 он весь окажется по одну сторону от этой прямой, т.е. он выпуклый. А вот при проведении прямой через  в четырехугольнике на Рис. 3 мы уже видим, что она разделяет его на две части, т.е. он невыпуклый.

Но существует и другое определение выпуклости многоугольника.

     Для описания свойств многоугольников существуют две важнейшие теоремы об их углах: теорема о сумме внутренних углов выпуклого многоугольника и теорема о сумме внешних углов выпуклого многоугольника.

 Теорема. О сумме внутренних углов выпуклого многоугольника (n-угольника).

, где  – количество его углов (сторон).

Например, в треугольнике , а сумма углов . В четырехугольнике , а сумма углов –  и т.д.

Теорема. О сумме внешних углов выпуклого многоугольника (n-угол)

Сумма внешних углов выпуклого n-угольника равна  от количества его углов (сторон

Параллелограмм.

Определение. Параллелограмм – четырехугольник, у которого каждые две противоположные стороны параллельны (см. Рис. 1).

 

Рис. 1. Параллелограмм

Основные свойства параллелограмма:

 

Теорема. Первый признак параллелограмма. Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны (см. Рис. 2), то этот четырехугольник –параллелограмм.  параллелограмм.

   

Рис. 2. Первый признак параллелограмма  Рис. 3. Второй признак параллелограмма Рис. 4. Третий признак параллелограмма

Теорема. Второй признак параллелограмма. Если в четырехугольнике каждые две противоположные стороны равны (см. Рис. 3), то этот четырехугольник – параллелограмм. параллелограмм.Теорема. Третий признак параллелограмма. Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам (см. Рис. 4), то этот четырехугольник –параллелограмм.  параллелограмм.

 Трапеция.  

Определение. Трапецией называется четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.

Параллельные стороны называются основаниями трапеции, а две другие – боковыми сторонами.

Трапеции такого вида, у которых

боковые стороны равны,

называются равнобедренными.

Трапеции такого вида, у которых есть прямой угол,

 называются прямоугольными.

Свойства трапеции.

Средняя линия трапеции: Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований. Средняя линия трапеции параллельна её основаниям.

·         У равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.

·         У равнобедренной трапеции диагонали равны.

·         У равнобедренной трапеции высота, опущенная из вершины на большее основание, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, другой – полуразности оснований.

   признаки равнобедренной трапеции:

1⁰ Если в трапеции углы при основании равны, то трапеция равнобедренная.

2⁰   Если в трапеции диагонали равны, то трапеция равнобедренная.

Прямоугольник – параллелограмм, все углы которого прямые.

Свойства и признаки прямоугольника:

Диагонали прямоугольника равны: AC=BD AC=BD.

если диагонали параллелограмма равны, то такой параллелограмм — прямоугольник;

 Квадрат и его свойства. Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Квадрат обладает всеми свойствами прямоугольника и ромба. А именно:    все углы квадрата прямые;

диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делят углы квадрата пополам.

      

У квадрата угол между диагональю и стороной равен 45⁰.

Если сторона квадрата равна   a, то его диагональ равна a2√a√​2​​​.

 Ромб и его свойства

Ромб – это частный случай параллелограмма, поэтому он обладает всеми свойствами параллелограмма. Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.

  

Свойства ромба:

все свойства параллелограмма;

противолежащие стороны равны;

противоположные углы равны;

диагонали точкой пересечения делятся пополам;

сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°;

сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон;

диагонали перпендикулярны;

диагонали являются биссектрисами его углов.

Признаки ромба:

Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то параллелограмм — ромб.

Если диагональ параллелограмма является биссектрисой его угла, то параллелограмм — ромб.

Центральная симметрия

Симметрия относительно точки или центральная симметрия – это такое свойство геометрической фигуры, когда любой точке, расположенной по одну сторону центра симметрии, соответствует другая точка, расположенная по другую сторону центра. При этом точки находятся на отрезке прямой, проходящей через центр, делящий отрезок пополам.

Осевая симметрия

Симметрия относительно прямой (или осевая симметрия) – это такое свойство геометрической фигуры, когда любой точке, расположенной по одну сторону прямой, всегда будет соответствовать точка, расположенная по другую сторону прямой, а отрезки, соединяющие эти точки, будут перпендикулярны оси симметрии и делятся ею пополам.

1.Центральная симметрия –  это симметрия   относительно точки.

Точки А и В симметричны относительно некоторой точки О, если точка О является серединой отрезка АВ. Точка О называется центром симметрии фигуры, а фигура называется центрально-симметричной.

Алгоритм построения центрально-симметричной фигуры

Построим треугольник А ₁В ₁ С ₁, симметричный треугольнику АВС, относительно центра (точки) О.

Для этого:

Соединим точки А,В,С с центром О  и продолжим эти отрезки;

      2.   Измерим отрезки АО, ВО, СО  и отложим с другой стороны от точки О, равные им отрезки (АО=А ₁ О ₁, ВО=В ₁ О ₁, СО=С ₁ О ₁ );

       3.Соединим получившиеся точки отрезками А ₁ В ₁,   А ₁ С ₁, В ₁ С ₁.

       4. Получили ∆А ₁ В ₁ С ₁ симметричный ∆АВС.

Точка О называется центром симметрии фигуры, а фигура называется центрально-симметричной.

Осевая симметрия – это симметрия относительно проведенной оси (прямой).

Точки А и В симметричны относительно некоторой прямой а, если эти точки лежат на прямой, перпендикулярной данной, и на одинаковом расстоянии.

Осью симметрии называется прямая при перегибании по которой «половинки» совпадут, а фигуру называют симметричной относительно некоторой оси.

Алгоритм построения фигуры, симметричной относительно некоторой прямой

Построим треугольник   А ₁В ₁С ₁, симметричный треугольнику АВС относительно прямой а.

Для этого:

1. Проведем из вершин треугольника АВС прямые, перпендикулярные прямой а и продолжим их дальше.

2. Измерим расстояния от вершин треугольника до получившихся точек на прямой и отложим с другой стороны прямой такие же расстояния.

3. Соединим получившиеся точки отрезками А ₁В ₁, В ₁С ₁, В ₁С ₁.

4. Получили  ∆ А ₁В ₁С ₁симметричный ∆АВС.

Образец выполнения заданий.

Задача1. Дано:  n-угольник, α=90°, 
Найти n.  Решение: 90n=(n-2)180 
                             90n=180n-360 
                            360=180n-90n 
                              360=90n 
                             n=4 
                       Ответ: 4 стороны. 

Задача 2. В параллелограмме  проведены биссектрисы  и , которые пересекаются в точке . Найти .

Решение. Изобразим Рис. 5.

Рис. 5

Обозначим для удобства: . Следовательно,  поскольку  и  биссектрисы.

По теореме о сумме внутренних углов треугольника .

Вспомним свойство параллелограмма о сумме углов, прилежащих к одной стороне: . Тогда:

.

Ответ. .

Задача 3. Прямая , проведенная через середину  стороны  параллельно стороне  треугольника  пересекает третью его сторону в середине. Доказать, что  – это середина .

Доказательство. Изобразим Рис. 6 с дополнительными построениями: проведем .

Рис. 6

Рассмотрим четырехугольник :

 параллелограмм по определению. Тогда по свойству равенства противоположных сторон , но по условию еще известно, что , следовательно, .

Рассмотрим треугольники  и :

 по второму признаку равенства треугольников (по стороне и прилежащим углам).

Из равенства указанных треугольников следует равенство их соответствующих сторон, т.е., например, что . Это означает, что точка  является серединой стороны . Что и требовалось доказать.

Доказано.

Задача 4.

Высота СН равнобедренной трапеции АВСD делит основание АD на отрезки 8 и 15.Найдите длину основания ВС.       

   Дано: АВСD-трапеция, АВ=CD,СН - высота,  АН=15, НD=8.             В                 С

Найти: ВС.                                                                                         

   

 

Решение.                                                                                              А          К                  Н            D

1) Из вершины В проведём высоту ВК, четырёхугольник ВСНК – прямоугольник, значит ВС=КН, ВК=СН.

2) Т.к. трапеция АВСD - равнобедренная, то прямоугольные треугольники АКВ и DНС  равны по гипотенузе и острому углу (⦟А=⦟D, АВ=СD- по условию), тогда АК=НD=8.                                                          3) АD=АН+НD=15+8=23, КН=АD- 2АК=23-16=7.

4)ВС=КН=7 АВЕ Ответ:7.

Задача 5.

        С           В                  Дано: АВСD – трапеция, угол А = 36⁰, угол С = 117⁰.

                                           Найти: угол В и угол D.   Решение:

Углы С и D являются соответственными при пересечении параллельных прямых СВ и АD секущей СD. Следовательно угол С + угол D = 180⁰. Отсюда угол D = 180⁰ – 117⁰, угол D=63⁰. Рассуждая аналогично получим, что угол В = 114⁰.

Ответ: 63⁰ и 114⁰.

Выполни по образцу.

№ 1. Дано:  n-угольник, α=120°, Найти n. 

№2. Найдите углы четырехугольника, если они пропорциональны числам 2, 3, 10 и 21. Выпуклый или невыпуклый этот четырехугольник?

№3. Дано: прямоугольная трапеция, а и b – основания, угол @.                                                     а) а = 4 см, b = 7 см, @ = 600. б) а = 10 см, b = 15 см, @ =450. Найти: а) c; б) d.

№4.Треугольник KMN симметричен треугольнику NAK относительно некоторой прямой. Сделай схематический рисунок

№5. В параллелограмме   см,  см, биссектрисы углов  и  пересекают сторону  в точках  и . Найдите длину отрезка .

Глава  Площадь

Цели: Расширить и углубить полученные в 5-6 классах представления учащихся об измерении и вычисле­нии площадей; вывести формулы площадей прямоугольника, па­раллелограмма, треугольника, трапеции; доказать одну из глав­ных теорем геометрии: теорему Пифагора.

В результате изучения данной главы учащиеся должны:

знать основные свойства площадей и формулы для вычисления площадей; теорему об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу; теорему Пифагора и обратную ей теорему;

уметь вывести формулу для вычисления площадей; применять все изученные формулы при решении задач.

Краткая теория.

Площадь — это некая величина, характеризующая геометрическую фигуру, расположенную на плоскости или на иной поверхности.. Обычно площадь обозначается буквой S.

Как измерить площадь фигуры? Сначала нужно выбрать единицу площади, т.е. указать единичный квадрат, т.е. квадрат, сторона которого служит единицей длины.

 единицы измерения площади1 см², 1 мм², 1 дм², 1 м², 1 ар = 1 сотка = 100 м², 1 га = 10000м², 1 км² = 1000000м²/

     Если форма многоугольника сложная, то данный процесс усложняется, и на практике неудобен.

Поэтому обычно измеряют некоторые отрезки, связанные с многоугольником, и затем вычисляют площадь многоугольника по специальным формулам.

Вывод этих формул основан на свойствах площадей.

Свойство 1. Равные многоугольники имеют равные площади. 

ОПРЕД. Многоугольники, имеющие равные площади, называются равновеликими.

При этом форма таких фигур может быть различной

 Как поступить, если многоугольник сложной формы? Разбить его на части.

Свойство 2. Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей его частей.  _{S = S1 + S2 + S3}

Свойства 1 и 2 называются основными свойствами измерения площадей.

Свойство 3 Квадрат: , где а – длина стороны квадрата.

 Площадь квадрата равна стороне в квадрате S = a²

Площадь квадрата равна , где d-диагональ.

                                                                                                                                        а

Теорема о площади прямоугольника:  Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон. S = ab. где а и b – длины сторон прямоугольника                                                                                  

                                                                                              а

 

                                                                                    в

Параллелограмм.  Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, опущенную к ней. .   Площадь определяется стороной и опущенной к ней высотой.

, где а и b – длины сторон,  и  – длины высот, опущенных к соответствующим сторонам.

Площадь треугольника:

Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, опущенную к ней.

Треугольник можно рассматривать как половину параллелограмма, если провести в параллелограмме диагональ, получим два треугольника (см. Рис.) В таком случае имеем формулу: 

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов , где  a  и  b – катеты треугольника.

Площадь трапеции.  Площадь трапеции равна произведению полусумме оснований на высоту .   Пусть заданы трапеция ABCD и ее средняя линия MN (см. Рис.). Напомним, что средняя линия соединяет середины боковых сторон трапеции, параллельна ее основаниям и равна их полусумме: .

Напомним, что высотой трапеции называют расстояние между ее основаниями. Обозначим высоту данной трапеции h.

Площадь ромба равна половине произведению диагоналей  (для любого четырехугольника, у которого диагонали перпендикулярны)

Теорема Пифагора. Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Гипотенуза =    Катет =         Гипотенуза больше катета.                                  

                  Дано:   ∆АВС; С=90;  АВ=с, ВС=а, АС=в           

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                           

Образец выполнения заданий.

 №1.На берегу реки рос тополь одинокий. Вдруг ветра порыв его ствол надломал. Бедный тополь упал. И угол прямой с теченьем реки его ствол составлял. Запомни теперь, что в том месте река в четыре лишь фута была широка. Верхушка склонилась у края реки, осталось три фута всего от ствола. Прошу тебя, скоро теперь мне скажи: у тополя как велика высота?

Решение: Пусть CD – высота ствола. BD = АВ. По теореме Пифагора имеем  АB²=AC²+BC²,  АB²=9+16=25,      АВ = 5.  CD = CB + BD, CD = 3 + 5 =8.  Ответ: 8 футов.

№2. Стороны АВ и ВС треугольника АВС равны соответственно 16 см и 22 см, а высота, проведенная к стороне АВ, равна 11 см. Найдите высоту, проведенную к стороне ВС.

Решение:

S_АВС =   S_АВС = Следовательно, АМ=8 (см).

№3. Найдите площадь параллелограмма, изображенного на рисунке.

Проведем высоту СН к прямой АВ. Рассмотрим прямоугольный треугольник АНС. Угол А равен 30⁰, следовательно, катет СН равен 7 см. S_ABCD=АВ*СН=8,1*7=56,7 (см²).

№4. Сторона ромба равна 6 см, а один из углов равен 150⁰. Найдите площадь ромба.

 Рассмотрим треугольник АВН. Он прямоугольный, угол В равен 30⁰. Катет в прямоугольном треугольнике, лежащий напротив угла в 30⁰, равен половине гипотенузы. Следовательно, АН = 3 см. S_ABCD=ВС*АН=6*3=18 (см²).

Выполни по образцу.

№1.В трапеции основания равны 6см и 10см, а высота равна полусумме оснований. Найдите площадь трапеции.

№2.Найдите диагонали ромба, если одна из них в 1,5 раза больше другой. Площадь ромба равна 27см².

№3.Найдите стороны прямоугольника, если его площадь равна 250см², а одна сторона в 2,5 раза больше другой.

№4.Найдите площадь квадрата, если его сторона равна 3см.

№ 5.Решение задач на готовых чертежах.