Учебно-методические материалы по организации и проведению самостоятельной работы по геометрии в 7 классе во внеурочное времяю

казенное общеобразовательное учреждение

«Средняя школа №4 (очно-заочная)»

Учебно-методические

материалы

по организации и проведению

самостоятельной работы

по геометрии  в 7 классе

во внеурочное время.

СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОГО КУРСА.

Глава I Начальные геометрические сведения

Прямая и отрезок. Точки, прямые, отрезки. Провешивание прямой на местности.  Луч и угол.  Сравнение отрезков и углов. Равенство геометрических фигур.  Измерение отрезков. Длина отрезка. Единицы измерения. Измерительные инструменты.  Измерение углов. Градусная мера угла. Измерение углов на местности.  Перпендикулярные прямые. Смежные и вертикальные углы. Перпендикулярные прямые . Построение прямых углов на местности.

Глава II Треугольники

Первый признак равенства треугольников. Медианы, биссектрисы и высоты треугольника. Перпендикуляр к прямой.  Свойства равнобедренного треугольника.  Второй и третий признаки равенства треугольников. Задачи на построение.   Окружность. Построения циркулем и линейкой.

Глава I Начальные геометрические сведения

Обучающийся должен знать: 
понятия отрезка, луча, угла; определение биссектрисы угла; определение и свойство смежных углов; определение и свойство вертикальных углов; определение перпендикулярных прямых. 
 Обучающийся должен уметь: 
находить среди углов, обозначенных на рисунке, вертикальные и смежные углы, применять их свойства. 

                                                                       Краткая теория.
 1. Прямая  и отрезок.

Название нового предмета ГЕОМЕТРИЯ произошло от древнегреческих слов ЗЕМЛЯ иИЗМЕРЕНИЕ.

Наука геометрия одна из самых древних наук, и возникла в связи с практической необходимостью в измерениях, продолжении границ, строительстве дорог и зданий, а сейчас мы знаем геометрию как науку, которая изучает свойства геометрических фигур. 

В дальнейшем будут определения для разных фигур кроме двух - точка и прямая. С помощью этих фигур мы определим все остальные геометрические фигуры, а точку и прямую можем попытаться только представить: точку — как что-то бесконечно малое, а прямую — как что-то бесконечно простирающееся в обе стороны.

Точка – результат мгновенного касания, укол.

Отсюда же произошел медицинский термин пункция-прокол.

Пунктир.

Линия – льняная нить.

- Прямая безгранична, поэтому на чертеже изображают часть.

- Прямые обозначают двумя заглавными латинскими буквами, соответствующим двум точкам на прямой или одной малой буквой.

- Точки обозначают заглавными латинскими буквами.

Основные фигуры:                                          Обозначения:

точка,                                                                 А, В, С,  D, F, М, R….

прямая.                                                              а, b, c, d ,к….

                                                                             АВ, СD,  MN…

. Символы ∈ и ∉ означают соответственно «принадлежит» и «не принадлежит» и называются символами принадлежности. Используя символы принадлежности запишем.

K ∈ a, или K ∈ AB, E ∈ a, или E ∈ AB,

D ∈ a, или D ∈ AB, C ∉  a, или C ∉ AB.

Можно сказать, что прямая a проходит через точки А, K, B, E, D, но не проходит через точку C.

Пример 1.. Используя рисунок и символы ∈ и ∉ , запишите, какие точки принадлежат прямой b, а какие - нет.

 

F ∈ b, В ∈ b, А ∈ b, С ∈ b;K ∉ b,E ∉ b,N ∉ b.

Опр.:  Отрезок  –  это  часть  прямой,  ограниченная двумя точками (концами отрезка).

Одно из самых важных предположений в геометрии:. Св-во 1  Через  любые  две  точки  можно  провести прямую, и притом только одну.

Св-во2  Две прямые либо имеют только одну общую точку, либо не имеют общих точек.

Следовательно две прямые могут иметь только одну общую точку и пересекаться или не иметь ни одной общей точки и никогда не пересекаться.

Символически записываем a∩b=A

Опр.:  Отрезок  –  это  часть  прямой,  ограниченная двумя точками (концами отрезка).

Символически записываем отрезок AB.

Обрати внимание!

1) Отрезки AB и CD пересекаются, отрезки CD и DE имеют общий конец,

    отрезки AB и HF, AB и DE, CD и HF , HF и DE не пересекаются.

2) Все прямые a, b и c пересекаются!

2.  Луч и угол.

Опр.:  Луч  –  это  часть  прямой,  ограниченная  одной точкой (начало луча).

Опр.:  Угол  –  это  геометрическая  фигура,  которая состоит из точки и двух  различных  лучей, исходящих из этой точки (лучи - стороны угла, точка – вершина угла).

Опр.:  Угол  называется  развернутым,  если  обе  его стороны лежат на одной прямой.

Св-во  2.1:  Любой  угол  разделяет  плоскость  на  две части.  Если  угол  неразвернутый,  то  одна  из  частей называется внутренней, другая – внешней областью.

3.  Сравнение отрезков  и углов.

Опр.:  Две  геометрические  фигуры  называются равными, если их можно совместить наложением.

Опр.:  Серединой  отрезка  называется  точка, лежащая на отрезке и делящая его пополам.

Опр.:  Биссектриса  угла  –  это  луч,  исходящий  из вершины  угла  и  делящий  его  пополам  (на  два  равных угла).

4.  Измерение отрезков.

Опр.:  Длина отрезка  –  это некоторое положительное число,  указывающее  расстояние    между  концами  этого отрезка.

Св-во  4.1:  Равные  отрезки  имеют  равные  длины; меньший отрезок имеет меньшую длину.

Св-во  4.2:  Если  точка  делит  отрезок  на  два  отрезка, то длина всего отрезка равна сумме длин его частей.

5.  Измерение углов.

Опр.:  Градус  (единица  измерения  углов)  –  это  угол, равный   части развернутого угла.

Опр.:  Градусная мера угла  –  положительное число, которое  показывает,  сколько  раз  градус  и  его  части укладываются в данном угле.

Св-во  5.1:  Равные  углы  имеют  равные  градусные меры; меньший угол имеет меньшую градусную меру.

Опр.:  Развернутый  угол  равен  180°;  неразвернутый угол меньше 180°.

Св-во  5.2:  Если  луч  делит  угол  на  два  угла,  то градусная  мера  всего  угла  равна  сумме  градусных  мер его частей.

Опр.:  Угол  называется  прямым,  если  его  градусная мера равна 90°; Угол  называется  острым,  если  его  градусная  мера меньше 90°; Угол  называется  тупым,  если  его  градусная  мера

больше 90°, но меньше 180°.

6.  Смежные  и вертикальные углы.

Перпендикулярные прямые.

Опр.:  Два  угла,  у  которых  одна  сторона  общая,  а  две другие  являются  продолжением  друг  друга,  называются смежными.

Теорема 1.1.Сумма смежных углов равна 180°.

Опр.:  Два  угла  называются  вертикальными,  если стороны одного являются продолжением сторон другого.

Теорема 1.2. Вертикальные углы равны.

Опр.:  Две  прямые  называются перпендикулярными,  если  они  пересекаются  под

прямым углом.

Св-во  6.1:  Две  прямые,  перпендикулярные  к  третьей, не пересекаются.

Образец выполнения заданий.

№1.Дано: А ∈ а, В ∈ а, С ∈ а, АВ = 12 см, ВС = 13,5 см.

Найти: АС.

Решение

На прямой а отложим отрезок АВ, а затем отрезок ВС. Возможны два случая.

1) Точки А и С лежат по разные стороны от точки В.

АС = АВ + ВС

АС = 12 + 13,5 = 25,5 (см)

АС = 25,5 см.

2) Точки А и С лежат по одну сторону от точки В.

АС = ВС — АВ

АС = 13,5 - 12 АС = 1,5 см.

АС = 1,5 (см)

Ответ: АС = 25,5 см или АС = 1,5 см.

№2. Решить задачу

Замечание: если за единицу измерения принять отрезок АВ, то 

№3.Дано: ∠AOE = 12°37'; ∠EOB = 108°25'.

Найти: ∠AOB.

Решение: ∠AOB = ∠AOE + ∠ВОЕ; ∠AOB = 12°37' + 108°25' = 120°62' = 121°2'.

№4.Прямые АВ и СД пересекаются в точке О так, что ∠AOД = 35°. Найдите углы АОС и ВОС.

Решение:

1) Углы АОД и АОС смежные, поэтому ∠BOC = 180° - 35° = 145°.

2) Углы АОС и ВОС также смежные, поэтому ∠BOC = 180° - 145° = 35°.

Значит, ∠BOC = ∠АОД = 35°, причем эти углы являются вертикальными.

Выполни по образцу.

№1. Дан луч h с началом в точке О; В ∈ h, А ∈ А; точка В лежит между точками О и А. а) Какой из отрезков ОВ или О А имеет большую длину? б) Найдите АВ, если О А = 72 см, ОВ = 4,2 дм.

№2.Луч ВД делит развернутый угол ABC на два угла, разность которых равна 46°. Найдите образовавшиеся углы.

№3.Один из смежных углов на 27° меньше другого. Найдите оба смежных угла.

№4. Найдите все неразвернутые углы, образованные при пересечении двух прямых, если сумма двух из них равна 226°.

Глава II Треугольники

Обучающийся должен знать: -понятие треугольника; признаки равенства треугольников

- уметь доказывать равенство треугольников с помощью изученных признаков; строить треугольники с помощью циркуля и линейки;

- овладеть понятиями медианы, биссектрисы и высоты треугольника;

- совершенствовать умение применять полученные знания при решении задач.

Краткая теория. Треугольник -это фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки - его сторонами.
	Обозначения в треугольнике. Вершины треугольника обычно обозначаются заглавными латинскими буквами (A, B, C), а длины противоположных сторон — прописными латинскими буквами (a, b, c).
	Виды треугольников: (по величине углов)
	Остроугольный треугольник - это треугольник, в котором все три угла острые, т.е. меньше 90°.
	Прямоугольный треугольник - это треугольник, содержащий прямой угол. Две стороны, образующие прямой угол, называются катетами (АС и АВ), а сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой (ВС).
	Тупоугольный треугольник - это треугольник, содержащий тупой угол, т.е. один из его углов лежит в пределах между 90° и 180°. (по числу равных сторон)
	Равносторонний (правильный) треугольник - это треугольник, у которого все стороны и все углы равны (каждый угол равен 60°). Равнобедренный треугольник - это треугольник, у которого  две стороны равны.
Разносторонний треугольник - это треугольник, в котором все углы и стороны попарно различны.
Признаки равенства треугольников: 1. Две стороны одного треугольника равны двум сторонам другого треугольника и углы между этими сторонами также равны (по двум сторонам и углу между ними).2. Два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, и любая сторона первого треугольника равна соответствующей стороне другого треугольника. 3.Три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника (по трем сторонам).
Высотой треугольника, опущенной из данной вершины, называется перпендикуляр, проведённый из этой вершины к прямой, которая содержит противолежащую сторону треугольника (рис. 20, а; б). ВН – высота в треугольнике ABC (ВН ? АС). Биссектрисой треугольника, проведённой из данной вершины, называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий эту вершину с точкой на противолежащей стороне.
AL – биссектриса в треугольнике ABC (?BAL = ?CAL). Медианой треугольника, проведённой из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противолежащей стороны треугольника.  AM – медиана треугольника ABC (BM = MC). Окружностью называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, равноудалённых от заданной точки. Эта заданная точка называется центром окружности. Расстояние от точек окружности до её центра называется радиусом окружности. Радиусом называется также отрезок, соединяющий любую точку окружности с её центром (рис. 27).  ОА – радиус окружности.
Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой. Хорда, проходящая через центр, называется диаметром окружности.  АВ – диаметр окружности, CD – хорда
Задачи на построение.
Пример 1: На заданном луче от его начала отложить отрезок, равный данному. Отрезок АВ и луч ОС даны по условию:    Рис. 2.1. Условие к примеру 1 Построение: Рис. 2.2. Решение к примеру 1 Построение выполняем следующим образом: строим окружность с центром в точке О и радиусом АВ. Точка D является точкой пересечения окружности и луча. Отрезок OD – искомый, так как он равен АВ. Построение выполнено. Пример 2: Отложить от данного луча угол, равный данному. Заданы угол А и луч ОМ. Построить . Построение:                                     Рис. 3.1. Условие к примеру 2 1. Построить окружность Окр(А, r = AB). Точки В и С – являются точками пересечения со сторонами угла А. Рис. 3.2. Решение к примеру 2 2. Построить окружность Окр(D, r = CB). Точки E и M являются точками пересечения со сторонами угла А. Рис. 3.3. Решение к примеру 2 3. Угол МОЕ – искомый, так как . Построение выполнено. Пример 3: Построить биссектрису данного угла. Дан угол А, необходимо выполнить построение биссектрисы АЕ. Рис. 4.1. Условие к примеру 3 Построение: 1. Построим окружность Окр(А, r = АB). Точки В и С – точки пресечения окружности со сторонами угла. 2. Выполним построение окружности Окр(В, r = CB) и окружности Окр(С, r = CB). Данные окружности пересекаются в точке Е. 3. Луч АЕ – биссектриса – искомый, так как . Из этого следует, что . Рис. 4.2. Решение к примеру 3 Построение выполнено. Пример 4: Через точку, не лежащую на прямой, провести перпендикуляр к данной прямой. Дано: прямая a, Ma. Построение: 1. МА = МВ. Мы зафиксировали определенные равные отрезки по обе стороны от заданной точки. 2. Построим окружности Окр(А, r = АB) и Окр(В, r = АB). Эти окружности пересекаются в точках P и Q. 3. PМ – искомая прямая. Медиана РМ есть и высота в равнобедренном треугольнике РАВ. . Рис. 5. Решение к примеру 4 Построение выполнено. Пример 5: Построить середину данного отрезка. АВ – отрезок. Найти точку О, такую, что АО = ОВ.  Рис. 6.1. Условие к примеру 5 Построение: 1. Построим окружности Окр(А, r = АB) и Окр(В, r = АB). Эти окружности пересекаются в точках P и Q. 2. PQ пересекает АВ в точке О, точка О – искомая, так как , поэтому PQ – биссектриса в равнобедренном треугольнике РАВ. Следовательно, PQ – медиана. Рис. 6.2. Решение к примеру 5 Построение выполнено. Образец выполнения заданий. №1.Дано: ΔДЕК - равнобедренный; EF - биссектриса; ДК = 16 см, ∠ДЕF = 43°. Найти: KF, ∠ДЕК, ∠ЕFД.   Решение: 1) По условию EF - биссектриса ΔДЕК и ∠ДЕF = 43°, тогда ∠ДЕК = 2 · ∠ДEF = 43° · 2 = 86°. 2) EF - медиана равнобедренного ΔДЕК (по свойству биссектрисы, проведенной к основанию), тогда KF = 1/2ДК; KF = 16 : 2 = 8 (см). 3) EF - высота равнобедренного ΔДЕК (свойство биссектрисы, проведенной к основанию равнобедренного треугольника). Значит, ∠EFД = ∠EFK = 90°. Ответ: KF = 8 см; ∠ДEK = 86°; ∠EFД = 90°. №2. Дано: ΔАВС и ΔА1В1С1, АВ = A1B1; ВС = В1С1, ∠В = ∠В1; и Д ∈ АВ; Д1 ∈ A1B1; ∠АСД и ∠А1С1Д1.  Доказательство: 1) ΔАВС = ΔА1В1С1 по двум сторонам и углу между ними, первый признак (АВ = A1B1; ВС = В1С1, ∠В = ∠В1 по условию), значит, ∠АСВ = ∠А1С1В1. 2) ∠ВСД = ∠АСВ - ∠АСД, ∠В1С1Д1 = ∠А1С1В1 - ∠А1С1Д1. Так как ∠АСВ = ∠А1С1В1 и ∠АСД = ∠А1С1Д1 (по условию), то ∠ВСД = ∠В1С1Д1. 3) ΔВСД = ΔВ1С1Д1 по стороне и прилежащим к ней углам, второй признак (ВС = В1С1, ∠В = ∠В1, ∠ВСД = ∠В1С1Д1), что и требовалось доказать. Выполни по образцу. №1.Найдите пары равных треугольников и докажите их равенство.
№2.Докажите равенство треугольников АВЕ и ДСЕ на рисунке 1, если АЕ = ЕД, ∠А = ∠Д. Найдите стороны треугольника АВЕ, если ДЕ = 3 см, ДС = 4 см, ЕС = 5 см.   №3.На рисунке 2 АВ = АД, ВС = СД. Докажите, что луч АС - биссектриса угла ВАД.