Учебно-методический комплекс по математике для профессий СПО

ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ИРКУТСКОЙ ОБЛАСТИ

«БАЛАГАНСКИЙ АГРАРНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ТЕХНИКУМ»

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС

дисциплины

«Математика»

Составила:

преподаватель  математики  Моськина Н.В.

Для специальности:

35.02.07 «Механизация сельского хозяйства»

2015
Выписка из государственного образовательного  стандарта

по специальности 35.02.07 «Механизация сельского хозяйства»

2.2. Требования к уровню подготовки выпускника по дисциплинам

в области математики:

-     иметь представление о роли и месте математики в современном мире, общности ее понятий и представлений;

-     знать основные понятия и методы математического анализа, дискретной математики, теории вероятности и математической статистики;

-     уметь решать обыкновенные дифференциальные уравнения.

ЕН.01

Математика: математический анализ: теория пределов; дифференциальное и интегральное исчисление; обыкновенные дифференциальные уравнения, дифференциальные уравнения в частных производных; последовательности и ряды; основы теории вероятностей и математической статистики: случайная величина, ее функция распределения, математическое ожидание и дисперсия; основы теории комплексных чисел; решение обыкновенных дифференциальных .

   Учебно-методический предназначен для использования в учебном процессе студентами очной формы обучения по дисциплине «Математика».

   Учебно-методический комплекс включает разделы: математический анализ, основы теории вероятностей и математической статистики. 

   В учебно-методическом комплексе изложены цели и задачи дисциплины, её содержание и структура, методические указания по изучению дисциплины; приведены задания для выполнения контрольной работы и теоретические вопросы к экзамену; указана литература, рекомендуемая для изучения курса. Приведены: краткие теоретические сведения, справочник.

СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

ВВЕДЕНИЕ

Студент должен:

иметь представление:

- о роли математики при изучении общепрофессиональных и специальных дисциплин и в профессиональной деятельности.

История возникновения, развития и становления математики как основополагающей дисциплины, необходимой для изучения профессиональных дисциплин. Цели, задачи математики. Связь математики с общепрофессиональными и специальными дисциплинами.

Раздел 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Тема 1.1. Теория пределов.

Студент должен:

иметь представление:

- об условиях существовании пределов;

- о двух замечательных пределах;

знать:

- символику и обозначение предела функции;

- теоремы о пределах;

- правила раскрытия неопределенностей;

- определение непрерывной функции;

- свойства непрерывных функций;

- первый и второй замечательные пределы.

уметь:

- вычислять несложные пределы элементарных функций;

- устанавливать непрерывность функции.

Понятие предела функции в точке. Теоремы о существовании предела функции. Основные теоремы о пределах. Правила предельного перехода, таблица  эквивалентных бесконечно малых. Два замечательных предела.

 Непрерывность функций. Предел функции на бесконечности. Вычисление пределов функции.

Практическое занятие №1. Вычисление пределов функций с использованием правил предельного перехода, первого и второго замечательного пределов.

ВСР 1. Исследование функции на непрерывность.

  Цель: Овладение практическими навыками определения непрерывности функции в точке и установления характера разрыва функции.

 Определения непрерывности функции в точке. Понятие непрерывности справа и слева. Непрерывность элементарных функций. Точки разрыва функции, их классификация. Непрерывность функции на множестве. Основные свойства функций, непрерывных на отрезке.

Литература: [2] –C.59-67; [4] – C.142-143; [7] – C.45-59.

Форма отчета:выполнение типового расчета

Тема 1.2. Дифференциальное исчисление

Студент должен:

знать:

- определение производной, ее геометрический смысл;

- таблицу производных;

- формулы производных суммы, произведения, частного;

- производные сложной и обратной функций;

- производные высших порядков.

уметь:

- вычислять производные функции;

- исследовать функции с помощью производной и строить графики.

Функции одной независимой переменной. Производная, геометрический смысл. Производные сложной и обратной функций, производные высших порядков. Исследование функций с помощью производных.

Практическое занятие №2. Вычисление производной сложных и обратных функций.

ВСР 2. Исследование функций с помощью производной и построение  графиков.

          Цель: Овладение практическими навыками полного исследования функции и построения графиков функции.

Схема проведения полного исследования функции. Возрастание и убывание функции, нахождение участков её монотонности. Стационарные и критические точки функции. Локальные экстремумы функции, условия их существования и нахождение. Глобальные экстремумы функции на отрезке, их нахождение. Выпуклость и вогнутость функции. Точки перегиба, условия их существования и нахождение. Вертикальные и наклонные асимптоты графика функции, условия их существования и нахождение. Построение графика функции.

Литература: [2] –C.94-108; [4] – C.289-301; [7] – C.141-150.

Форма отчета: выполнение типового расчета

Тема 1.3. Интегральное исчисление

Студент должен:

знать:

- основные методы интегрирования;

- таблицу простейших интегралов;

- формулу Ньютона-Лейбница;

- свойства определенного и неопределенного интегралов;

- приближенные методы вычисления определенных интегралов.

уметь:

- интегрировать определенные интегралы;

- вычислять площади плоских фигур;

- вычислять объем.

Неопределенный интеграл. Непосредственное интегрирование. Замена переменной. неопределенный интеграл Определенный интеграл. Вычисление определенного интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла. Приближенные методы вычисления определенных интегралов Приложение интеграла к решению прикладных задач.

Практическое занятие №3. Интегрирование функций. Вычисление определенных интегралов. Приближенные методы вычисления определенных интегралов.

ВСР 3. Геометрический смысл определенного интеграла. Приложение интеграла к решению прикладных задач.

          Цель: Овладение практическими навыками решения прикладных задач.

Геометрический смысл определенного интеграла. Приложения определенного интеграла: вычисление площадей фигур, объемов,  длин дуги, площади поверхности вращения. Решение физических и технических задач: вычисление работы, производимой силой; вычисление пути, пройденного материальной точкой.

Литература: [2] –C.143-150; [4] – C.342-353; [7] –C.178-186.

Форма отчета: выполнение типового расчета

Тема 1.4. Функции нескольких переменных

Студент должен:

знать:

- определение частной производной;

- дифференциал функции;

уметь:

- находить частные производные различных порядков;

- вычислять дифференциал функции.

Функции нескольких переменных. Частные производные. Дифференциал функции.

Практическое занятие №4. Нахождение частных производных и дифференциала функции.

ВСР 4. Нахождение экстремумов функций многих переменных.

          Цель: Формирование практических навыков нахождения экстремумов функции многих независимых переменных.

Частные производные. Дифференциал, его связь с частными производными. Геометрический смысл частных производных и дифференциала. Достаточное условие дифференцируемости. Градиент и производная по  направлению. Необходимые и достаточные условия экстремума функции нескольких переменных.

Литература: [2] –C.173-193.

Форма отчета: выполнение типового расчета

Тема 1.5. Дифференциальные уравнения

Студент должен:

знать:

- типы задач, приводящие к дифференциальным уравнениям;

- определение дифференциального уравнения;

- определение общего и частного решений дифференциальных уравнений, их геометрической интерпретации;

- методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными, дифференциальных уравнений первого порядка,  дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами;

уметь:

- составлять дифференциальные уравнения на простейших задачах;

- решать дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными;

- решать однородные дифференциальные уравнения первого порядка;

- решать линейные дифференциальные уравнения первого порядка;

- решать однородные линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Общие и частные решения. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка. Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Практическое занятие №5. Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными; однородных дифференциальных уравнений первого порядка.

Практическое занятие №6. Решение линейных дифференциальных уравнений первого порядка,  линейных однородных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.

ВСР 5. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.

          Цель: Формирование практических навыков решения задач, приводящих к дифференциальным уравнениям.

Типы задач, приводящие к дифференциальным уравнениям. Определение общего и частного решений дифференциальных уравнений, их геометрическая интерпретация. Методы решения дифференциальных уравнений.

Литература: [4] –C.381-383; [5] – C.241-253; [7] – C.187-199.

Форма отчета: выполнение типового расчета

ВСР 6. Дифференциальные уравнения в науке и технике.

          Цель:  Активизировать познания студентов. Познакомить студентов с широким спектром применения дифференциальных уравнений.

Составление дифференциальных уравнений. Дифференциальное уравнение показательного роста. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний.

Доп. литература: [3] –C.345-351.

Форма отчета: Написание реферата или создание презентации на тему «Дифференциальные уравнения в науке и технике».

Тема 1.6. Ряды

Студент должен:

знать:

- определения числовых и функциональных рядов;

- необходимый и достаточный признаки сходимости рядов, признак Даламбера;

- признаки знакопеременных рядов, признак Лейбница;

- метод представления функций в степенные ряды с помощью ряда Маклорена;

уметь:

- определять сходимость числовых и функциональных рядов по признаку Даламбера;

- применять признак Лейбница для знакопеременных рядов;

- разлагать элементарные функции в ряд Маклорена.

Числовые ряды. Сходимость и расходимость числовых рядов. Признак сходимости Даламбера. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость рядов. Функциональные ряды. Степенные ряды. Разложение элементарных функций в ряд Маклорена.

Практическое занятие №7. Определение сходимости рядов  по признаку Даламбера. Определение сходимости знакопеременных рядов. Разложение функций в ряд Маклорена.

ВСР 7. Практическое применение степенных рядов.

          Цель:  Активизировать познания студентов. Познакомить студентов с широким спектром применения степенных рядов.

Вычисление значений функций. Вычисление определенных интегралов. Решение дифференциальных уравнений.

Доп. литература: [3] –C.457-462.

Форма отчета: Написание реферата или создание презентации на тему «Практическое применение степенных рядов».

Тема 1.7. Комплексные числа

Студент должен:

знать:

-               определение комплексного числа, мнимой единицы, модуля комплексного числа;

-                алгебраическую форму комплексного числа;

-              определение сопряженных и противоположных чисел;

-               действия над комплексными числами;

-               геометрическую интерпретацию комплексного числа;

-               тригонометрическую и показательную форму комплексного числа.

уметь:

-  выполнять действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме;

-               переходить от алгебраической формы комплексного числа  к тригонометрической и показательной формам,  и обратно;

-  выполнять действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической и показательной форме.

Развитие понятия числа, комплексного числа. Алгебраическая форма комплексного числа. Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме. Геометрическая интерпретация комплексных чисел, суммы и разности комплексных чисел. Тригонометрическая и показательная форма комплексного числа. Переход от алгебраической формы комплексного числа  к тригонометрической и показательной формам,  и обратно. Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической и показательной форме.

Практическое занятие №8. Комплексные числа. Операции над ними.

ВСР 8. Комплексные числа. Операции над комплексными числами. Формула Муавра. Решение уравнений.

         Цель: Приобретение  практических навыков выполнения различных операций над комплексными числами.

Различные формы записи комплексных чисел. Переход от алгебраической формы комплексного числа  к тригонометрической и показательной формам,  и обратно. Действия над комплексными числами. Многочлены и алгебраические уравнения. Основная теорема алгебры. Теорема Безу. Формула Муавра.

Литература: [4] –C.484-499; [5] – C.309-318.

Форма отчета: выполнение типового расчета

Раздел 2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

Тема 2.1. Вероятность. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Те Случайная величина, ее функция распределения

Студент должен:

знать:

-               понятия: событие, частота и вероятность появления события, совместные и    несовместные события, полная вероятность;

-  теорему сложения вероятностей;

-  теорему умножения вероятностей;

-  способы задания случайной величины;

-  определения непрерывной и дискретной случайных величин;

-  закон распределения случайной величины;

уметь:

-  находить вероятность в простейших задачах, используя классическое определение вероятностей;

-  решать задачи с применением теоремы сложения и умножения  вероятностей для совместных и несовместных событий.

-  строить ряд распределения случайной величины;

-  находить функцию распределения случайной величины.

Понятие события и вероятности события. Достоверные и невозможные события. Классическое определение вероятностей. Теорема сложения вероятностей. Теорема умножения вероятностей. Случайная величина. Дискретная и непрерывная случайные величины. Закон распределения случайной величины.

Практическое занятие №9. Решение простейших задач на определение вероятности с использованием теоремы сложения  и умножения вероятностей.

ВСР 9. Примеры вычисления вероятностей.

          Цель: Овладение практическими навыками решения  задач на вычисление вероятностей событий.

Случайные события и предмет теории вероятностей. Статистическое определение вероятности случайного события. Алгебра событий. Комбинаторное правило умножения. Размещения, перестановки и сочетания. Классический способ подсчета вероятностей. Правило сложения вероятностей. Условная вероятность. Независимые события и правило умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Литература: [2] –C.259-276; [4] – C.456-466; [8] – C.15-57.

Форма отчета: выполнение типового расчета

Практическое занятие №10. Нахождение математического ожидания, дисперсии и среднего квадратичного отклонения дискретной случайной величины, заданной законом распределения.

ВСР 10. Случайная величина.

Закон распределения случайной величины.

          Цель: Овладение практическими навыками решения  задач на вычисление вероятностей событий.

Выборка. Выборочные распределения. Вариационный ряд. Числовые характеристики выборки. Гистограмма, эмпирическая функция распределения, выборочная средняя и дисперсия. Статистические оценки.

Литература: [2] –C.293-339; [8] – C.102-130, 181-197.

Форма отчета: выполнение типового расчета

ПЕРЕЧЕНЬ ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ

Раздел	Номер практической работы	Наименование работы
Раздел 1. Математический анализ.	Практическая работа № 1.	Вычисление пределов функций с использованием правил предельного перехода, первого и второго замечательного пределов.
	Практическая работа № 2.	Вычисление производной сложных и обратных функций.
	Практическая работа № 3.	Интегрирование функций. Вычисление определенных интегралов. Приближенные методы вычисления определенных интегралов.
	Практическая работа № 4.	Нахождение частных производных и дифференциала функции.
	Практическая работа № 5.	Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными; однородных дифференциальных уравнений первого порядка.
	Практическая работа № 6.	Решение линейных дифференциальных уравнений первого порядка,  линейных однородных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.
	Практическая работа № 7.	Определение сходимости рядов  по признаку Даламбера. Определение сходимости знакопеременных рядов. Разложение функций в ряд Маклорена.
	Практическая работа № 8.	Комплексные числа. Операции над ними.
Раздел 2. Основы теории вероятностей и математической статистики	Практическая работа № 9.	Решение простейших задач на определение вероятности с использованием теоремы сложения  и умножения вероятностей.
	Практическая работа № 10.	Нахождение математического ожидания, дисперсии и среднего квадратичного отклонения дискретной случайной величины, заданной законом распределения.

ТЕМАТИКА САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ

ВСР №1.  Исследование функций на непрерывность.

ВСР №2. Исследование функций с помощью производной и построение графиков.

ВСР №3. Геометрический смысл определенного интеграла. Приложение интеграла к решению прикладных задач.

ВСР №4.  Нахождение экстремумов функции многих переменных.

ВСР №5.  Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.

ВСР №6.  Дифференциальные уравнения в науке и технике.

ВСР №7.  Практическое применение степенных рядов.

ВСР№8. Комплексные числа. Операции над комплексными числами. Формула Муавра. Решение уравнений.

ВСР №9.  Примеры вычисления вероятностей.

ВСР №10.  Случайная величина. Закон распределения случайной величины.

ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРА

1.                 М.Я. Выгодский Справочник по высшей математике. – М.: Росткнига, 2001

2.                 С.Г. Григорьев, С. В. Задулина Математика: учебник для студ. учреждений сред. проф. образования. – М.: Издательский центр «Академия», 2008

3.                 С.Г. Григорьев, Ю.А. Дубинский Элементы высшей математики: учебник для студ. учреждений сред. проф. образования. – М.: Издательский центр

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА

1.                 О.Н. Афанасьева, Я.С. Бродский, А.Л. Павлов Математика для техникумов. – М.: Наука, 2001

2.                 Н.В. Богомолов Практические занятия по математике. – М.: Высшая школа, 2000

3.                 И.И. Валуцэ Математика для техникумов. – М.: Наука, 1990

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ

дисциплины

«МАТЕМАТИКА»

ПРЕДИСЛОВИЕ

1.Цель и задачи дисциплины, её место в учебном процессе.

   Цель преподавания дисциплины «Математика» - формирование системы базовых знаний по данной дисциплине, которая позволит будущим специалистам решать в своей повседневной деятельности актуальные задачи практики, понимать написанные на современном научном уровне результаты других исследований и тем самым совершенствовать свои профессиональные навыки.

   Основными задачами дисциплины являются:

- ознакомление студентов с ролью математики в современной жизни, с характерными чертами математического метода изучения реальных задач;

- обучение студентов теоретическим основам курса;

- привитие практических навыков математического моделирования реальных  задач с использованием математического аппарата данного курса;

- развитие у студентов навыков творческого и логического мышления, повышение общего уровня математической культуры.

   Данная дисциплина является основой при изучении таких дисциплин, как «Электротехника», «ГПС», «Статистика», «Техническая механика», а также других дисциплин. В свою очередь, для изучения данной дисциплины необходимо знание элементарной математики.

   В результате изучения данной дисциплины студент должен:

- знать теоретические основы дифференциального и интегрального исчислений, дифференциальных уравнений, числовых и функциональных рядов, теории вероятностей и математической статистики;

- уметь использовать полученные знания для решения практических задач.

   Изучение дисциплины предусматривает проведение лекционных, практических занятий и самостоятельную работу студентов. В лекциях излагается содержание тем программы с учётом требований, установленных для специалиста в квалификационной характеристике. Практические занятия проводятся с целью закрепления теоретических основ курса, получения практических навыков решения математических задач. Контроль знаний осуществляется с помощью контрольной работы и итогового экзамена в конце семестра обучения. 

МЕТОДИЧЕСКИЕ  РЕКОМЕНДАЦИИ

по подготовке  презентационного проекта.

Презентационный проект  по темам изучаемой дисциплины  проводится с использованием презентации, выполненной средствами PowerPoint, интерактивной среды Stratum 2000, в которой отражается весь ход исследовательской работы. Название слайдов и информация, представленная на них, соответствует схеме представления доклада. Однако не следует помещать на слайды сплошной текст, скопированный из доклада. В презентации вы размещаете структурированную информацию, выбирая самое главное и важное. Кроме того, на слайдах размещаются различные схемы, диаграммы, графики, таблицы и рисунки, поясняющие полученные результаты и сделанные вами выводы. Иллюстрации можно выполнять при помощи различных графических редакторов или средствами самой программы PowerPoint. Вы можете подготовить иллюстрации вручную, после чего отсканировать изображение и поместить на слайды.

Кроме того, целесообразно использование виртуальных лабораторий:

- Графер, модуль которого позволяет строить графики произвольных функций в различных системах координат, строить параметрические кривые, осуществлять преобразования графиков (растяжение, сдвиг, отражение), показывать результат алгебраических операций над функциями (сложение, умножение, деление, суперпозиция), строить касательные и нормали, подписывать на графиках точки, проверять построенные графики.

- Чертеж, модуль которого позволяет строить в режиме графического редактора геометрические чертежи при помощи стандартных инструментов (циркуль и линейка).

- Трехмерный чертеж - средство для построения трехмерных объектов и их сечений в стереометрии.

Также считается перспективным использование виртуальных лабораторий в комплексе с другими средствами обучения. Типичным примером такого объединения являются лабораторные работы. Учащийся проводит "эксперимент" на созданной разработчиками курса или сделанной им самим виртуальной установке, измеряет требуемые величины, после чего осуществляется компьютерная проверка ответа.

Подготовить текст выступления

 Для того чтобы лучше и полнее донести свои идеи до тех, кто будет рассматривать результаты работы, надо подготовить текст доклада. Он должен быть кратким, и его лучше всего составить по такой схеме:

1)почему избрана эта тема;

2) какой была цель проекта;

3) какие ставились задачи;

4) какие гипотезы проверялись;

5) какие использовались методы и средства проекта;

6) каким был план проекта;

7) какие результаты были получены;

9) что можно исследовать в дальнейшем в этом направлении.

На защите работы вы можете представить макеты или модели устройств, являющихся предметом вашего исследования.

Делая наглядные материалы — макеты, схемы, чертежи, рисунки надо понимать, что они могут не только показать сильные стороны проделанной работы, но и открыть слабые места в вашем исследовании.

Вопросы к экзамену по курсу изучения дисциплины.

Раздел I. Математический  анализ.

1.                     Понятие предела функции в конечной точке и на бесконечности. Условия существования предела функции в конечной точке.

2.                     Бесконечно малые и большие функции, их основные свойства и взаимосвязь. Примеры бесконечно малых и больших функций.

3.                     Основные теоремы о пределах функций (о пределе постоянной, суммы, разности, произведения и частного функций; о пределе элементарной функции).

4.                     Первый  и второй замечательные пределы, их следствия и применение при вычислении пределов.

5.                     Эквивалентные бесконечно малые функции, их основные свойства и применение при вычислении пределов.

6.                     Понятие функции. Понятие обратной и сложной функций.

7.                     Приращение функции. Определение производной. Понятие дифференцируемости функции в точке.

8.                     Непосредственное нахождение производной. Простейшие правила дифференцирования (постоянной, суммы, разности, произведения и частного функций).

9.                     Дифференцирование сложной функции.

10.                 Дифференцирование обратной функции.

11.                 Дифференциал функции. Правила вычисления дифференциалов.

12.                 Производные и дифференциалы высших порядков, их нахождение.

13.                 Первообразная и неопределенный интеграл. Основные свойства неопределенного интеграла.

14.                 Определенный интеграл и формула Ньютона – Лейбница.

15.                 Приближенные методы вычисления определенных интегралов: формула прямоугольников.

16.                 Приближенные методы вычисления определенных интегралов: формула трапеций.

17.                 Приближенные методы вычисления определенных интегралов: формула Симпсона.

18.                 Функции нескольких независимых переменных. Частные производные.

19.                 Функции нескольких переменных. Дифференциал функции.

20.                 Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши.

21.                 Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Общие и частные решения.

22.                 Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

23.                 Числовые ряды. Сходимость и расходимость числовых рядов.

24.                 Признак сходимости Даламбера.

25.                 Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость рядов.

26.                 Функциональные ряды. Степенные ряды.

27.                 Разложение элементарных функций в ряд Маклорена.

28.                 Комплексное число, его изображение на плоскости. Комплексно-сопряжённое число.

29.                 Модуль и аргумент комплексного числа.

30.                 Различные формы записи комплексного числа (алгебраическая, тригонометрическая, показательная).

31.                 Действия над комплексными числами (сложение, вычитание, умножение, деление) в алгебраической форме.

32.                 Переход от алгебраической формы комплексного числа  к тригонометрической и показательной формам.

Раздел II. Основы теории вероятностей и математической статистики.

33.                 Понятие события. Достоверные и невозможные события.

34.                 Понятие вероятности события. Классическое определение вероятностей.

35.                 Элементы комбинаторики. Размещения.

36.                 Элементы комбинаторики. Перестановки.

37.                 Элементы комбинаторики. Сочетания.

38.                 Теорема сложения вероятностей.

39.                 Теорема умножения вероятностей.

40.                 Случайная величина. Дискретная и непрерывная случайные величины.

41.                 Законы распределения случайных величин.

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ, ИХ СОДЕРЖАНИЯ

Практическое занятие № 1.

Тема: Вычисление пределов функций с использованием правил предельного перехода, первого и второго замечательного пределов.

Цель: Овладение практическими навыками вычисления пределов функций с использованием правил предельного перехода, таблицы  эквивалентных бесконечно малых, первого и второго замечательного пределов.

Порядок выполнения работы:

1.                 Повторить теоретическую часть.

2.                 Ответить на вопросы:

а) дайте определение предела функции;

б) сформулируйте теоремы о пределах;

в) сформулируйте правила раскрытия неопределенностей вида , , ∞ - ∞;

г) сформулируйте первый и второй замечательные пределы.

        3. Выполните практическое задание: стр. 58-59  №№ 2, 3 (все нечетные)

Литература:    [2] – стр. 46-59, п. 1.4.

Домашнее задание: [2] – стр. 46-59, п. 1.4.; стр. 58-59  №№ 2, 3 (все четные)

Практическое занятие № 2.

Тема: Вычисление производных сложной и обратной функций.

Цель: Овладение практическими навыками вычисления производных сложной и обратной функций.

Порядок выполнения работы:

1.                 Повторить теоретическую часть.

2.                 Сформулировать и записать:

а) теоремы дифференцирования сложной и обратной функций;

б) правила дифференцирования функций.

3. Выполните практическое задание: стр. 86  № 1(1-20).

Литература:    [2] – стр. 77-83, п. 1.6.7.

 Домашнее задание: [2] – стр. 77-83, п. 1.6.7.; [6] – стр. 258, № 7.11.

Практическое занятие № 3.

Тема: Интегрирование функций. Вычисление определенных интегралов. Приближенные методы вычисления определенных интегралов.

Цель: Приобретение практических навыков вычисления определенных интегралов приближенными методами.

Порядок выполнения работы:

1.                 Повторить теоретическую часть.

2.                 Запишите:

а) известные методы вычисления определенного интеграла;

б) формулы прямоугольников;

в) формулу трапеций.

3. Выполните практическое задание: стр. 341  № 10.69-10.72.

Литература:    [4] – стр. 336-341, п. 10.14.

Домашнее задание: [4] – стр. 336-341, п. 10.14; стр. 341  № 10.73

 Практическое занятие № 4.

Тема:  Нахождение частных производных и дифференциала функции.

Цель: Овладение практическими навыками нахождения частных производных и дифференциала  функции.

Порядок выполнения работы:

1.                 Повторить теоретическую часть.

2.                 Сформулировать и записать:

а) определение частной производной функции;

б) формулы дифференциалов функции первого и второго порядков.

3. Выполните практическое задание: [2] - стр. 182  № 1-4;  [3] – стр. 502 №№ 15.2-15.3.

Литература:    [2] – стр. 173-176, п. 3.1.1.-3.1.2,;  [3] – стр. 496-499, п. 86.3.  Домашнее задание: [3] – стр. 496-499, п. 86.3; [3] – стр. 502 №№ 15.4-15.5

Практическое занятие № 5.

Тема: Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными; однородных дифференциальных уравнений первого порядка.

Цель: Овладение практическими навыками решения дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными; однородных дифференциальных уравнений первого порядка.

Порядок выполнения работы:

1.                 Повторить теоретическую часть.

2.                 Ответить на вопросы:

а) дайте определение дифференциального уравнения и его решения;

б) запишите общий вид дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными; однородных дифференциальных уравнений первого порядка;

в) метод решения однородных дифференциальных уравнений первого порядка.

3. Выполните практическое задание: стр. 197  № 1-6; стр. 198 №1-3.    

 Литература:    [2] – стр. 194-198, п. 4.1- 4.3.

Домашнее задание: [2] – стр. 194-198, п. 4.1- 4.3; стр. 197№ 7-8; стр.198 №4.   

Практическое занятие № 6.

Тема: Решение линейных дифференциальных уравнений первого порядка,  линейных однородных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.

Цель: Овладение практическими навыками решения дифференциальных уравнений первого порядка, линейных однородных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.

Порядок выполнения работы:

1.                 Повторить теоретическую часть.

2.                 Ответить на вопросы:

а) запишите общий вид линейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка; линейных однородных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами;

б) метод решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка.

в) запишите три случая общего решения линейных однородных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.

3. Выполните практическое задание: стр. 200 № 1,3,5,7; стр. 212 № 1-4

 Литература:    [2] – стр. 198-213, п. 4.4- 4.6.

Домашнее задание: [2]–стр. 198-213, п. 4.4-4.6; стр.200 № 2,4,6; стр. 212 № 5

Практическое занятие № 7.

Тема: Определение сходимости рядов  по признаку Даламбера. Определение сходимости знакопеременных рядов. Разложение функций в ряд Маклорена.

Цель: Овладение практическими навыками определения сходимости рядов  по признаку Даламбера, определения сходимости знакопеременных рядов, разложения функций в ряд Маклорена.

Порядок выполнения работы:

1.                 Повторить теоретическую часть.

2.                 Ответить на вопросы:

а) сформулируйте признак Даламбера;

     б) сформулируйте признак Лейбница;

     в)  запишите формулу Маклорена.

3. Выполните практическое задание: стр. 158  № 1(1,3), 2(5,7,10,13,16,18); стр. 161 №1(1,3,5,7);    стр. 171 № 1

 Литература:    [2] – стр. 151-172, п. 2.1.

 Домашнее задание: [2] – стр. 151-172, п. 2.1.; стр. 158  № 1(2,4), 2(6,9);  стр. 161 №1(2,4)

Практическое занятие № 8.

Тема:  Комплексные числа. Операции над ними.

Цель: Овладение практическими навыками выполнения действий над комплексными числами, заданными в алгебраической, тригонометрической и показательной формах; перехода от алгебраической формы комплексного числа  к тригонометрической и показательной формам,  и обратно.

Порядок выполнения работы:

1.                 Повторить теоретическую часть.

2.                 Ответить на вопросы:

а) запишите общий вид комплексного числа в алгебраической, тригонометрической и показательной формах;

б) дайте геометрическую интерпретацию комплексных чисел;

в) запишите формулы перехода комплексного числа  от алгебраической формы к тригонометрической и показательной формам.

3. Выполните практическое задание: [5] – стр. 311, № 16.8-16.13, 16.67-16.71, 16.83-16.89, 16.109-16.113(все нечетные)

 Литература:    [4] – стр. 484-499 п. 16.1-16.6; [5] – стр. 309-319, п. 16.1-16.5

 Домашнее задание: [4] – стр. 484-499 п. 16.1-16.6; стр. 311, № 16.8-16.13, 16.67-16.71, 16.83-16.89, 16.109-16.113(все четные)

Практическое занятие № 9.

Тема: Решение простейших задач на определение вероятности с использованием теоремы сложения  и умножения вероятностей.

Цель: Овладение практическими навыками решения простейших задач на определение вероятности с использованием теоремы сложения  и умножения вероятностей.

Порядок выполнения работы:

1.                 Повторить теоретическую часть.

2.                 Ответить на вопросы:

а) дайте классическое определение вероятности события и перечислите его свойства;

     б) запишите формулы элементов комбинаторики: размещений, перестановок, сочетаний;

     в) запишите теоремы сложения и умножения вероятностей событий.

3. Выполните практическое задание: стр. 66 № 1,3,5,7; стр. 272 №  1,3,5,9,12,14,17,19.   

Литература:    [2] – стр. 259-272, п. 7.1- 7.3.

 Домашнее задание: [2] – стр. 259-272, п. 7.1- 7.3.; стр. 266  № 2,4,8; стр. 272 № 4,8,10,15,20.   

Практическое занятие № 10.

Тема: Нахождение математического ожидания, дисперсии и среднего квадратичного отклонения дискретной случайной величины, заданной законом распределения.

Цель: Овладение практическими навыками построения ряда распределения случайной величины, нахождения функции распределения случайной величины и ее числовых характеристик.

Порядок выполнения работы:

1.                 Повторить теоретическую часть.

2.                 Ответить на вопросы:

а) дайте определение дискретной и непрерывной случайных величин;

б) объясните, что такое закон распределения случайной величины;

в) запишите формулы для вычисления математического ожидания, дисперсии и среднего квадратичного отклонения дискретной случайной величины.

3. Выполните практическое задание: стр. 473  № 15.39,15.41; стр. 476 №15.42,15.44;    стр. 479 № 15.45

Литература:    [4] – стр. 471-479, п. 15.12-15.14

Домашнее задание: [4] – стр. 471-479, п. 15.12-15.14; стр. 473  № 15.40, стр. 476 №15.43;    стр. 479 № 15.46

Контрольная работа

Тема: Математический анализ

Дисциплина: Математика

Контрольная  работа  по  курсу изучения дисциплины

Вариант № 1

1. Вычислить предел функции:

  

2. Вычислить частные производные первого и второго порядков:

z = x⁴ + x³y² + y⁵ +5

3. Найти частное решение дифференциального уравнения:

 (х + 3)dy – ( y + 2)dx = 0, если у=3 при х=2

4. Используя признак Даламбера, исследовать на сходимость ряд:

5. Представить число в тригонометрической и показательной формах: -1 + i.

Вариант № 2

1. Вычислить предел функции:

  

2. Найти полный дифференциал функции первого и второго порядков:

z = 2х² y + 3xy + 1

3. Найти частное решение дифференциального уравнения:

у^'' - 10y^' + 25y = 0, если у=2 и y^’ =8 при х=0

4. Используя признак Даламбера, исследовать на сходимость ряд:

5. Представить число в тригонометрической и показательной формах: 1 - i.

Вариант № 3

1. Вычислить предел функции:

  

2. Вычислить частные производные первого и второго порядков:

z = xyLn(x + y)

3. Найти частное решение дифференциального уравнения:

  y^' = ycosx, если у=1 при х=0

4. Используя признак Даламбера, исследовать на сходимость ряд:

5. Представить число в тригонометрической и показательной формах: 1 - i.

Вариант № 4

1. Вычислить предел функции:

  

2. Найти полный дифференциал функции первого и второго порядков:

z = 3x²y⁵

3. Найти частное решение дифференциального уравнения:

  - 6  + 13y = 0, если у=1 и =5 при х=0

4. Используя признак Даламбера, исследовать на сходимость ряд:

5. Представить число в тригонометрической и показательной формах:  - i.

ОТВЕТЫ К КонтрольнОЙ  работЕ

  по  курсу изучения дисциплины

Вариант 1

1.     2/3

2.     = 4x² + 3x²y²;    

  = 2x³у +5у²;  

  = 12x² + 6xy²

 = 2x³ + 10y

  = 6x²y

3.     y = x + 1

4.   l = 0 < 1  ряд сходится

5.   z = · (cos)

Вариант 2

1.     ∞

2.     dz = 4xydx + 3xdy;

 d²z = 4ydx² + 4xdxdy

3.     y = e^5x(cos x + sin x)

4.   l = 3 > 1  ряд расходится

5.    z = 2· (cos)

Вариант 3

1.     6

 = y·ln(x+y) + ;    

  = x·ln(x+y) + ;  

  =  + (²

 = ln(x+y) +  + (²;  

  =  + (²

3. y = e^{sin x}

4. l = 3/2 > 1  ряд расходится

5. z = · (cos)

Вариант 4

1. 2/3

2.     dz = 6xy⁵dx + 15x²y⁴dy;

 d²z = 6y⁵dx² + 120x²y³dxdy + 30xy⁴

3.     y = e^3x(cos 2x + sin 2x)

4.   l = 1/5 < 1  ряд сходится

5.    z = 2· (cos)

Методические рекомендации

к написанию  реферата

Как написать реферат

Написание и защита реферата — одна из форм аттестации знаний.

Несколько НЕ 

Реферат НЕ копирует дословно книги и статьи и НЕ является конспектом.
Реферат НЕ пишется по одному источнику и Не является докладом.
Реферат НЕ может быть обзором литературы, т.е. не рассказывает о книгах.

В реферате собранный по теме материал систематизируется и обобщается.

Реферат состоит из нескольких частей:

·                     титульный лист (оформляется по требованиям учебного заведения);

·                     оглавление (содержание) требует наличие номеров страниц на каждый раздел реферата;

·                     введение;

·                     основная часть, состоящая из глав;

·                     заключение;

·                     список использованной литературы.

Во введении объясняется:

·                     почему выбрана такая тема, чем она важна (личное отношение к теме (проблеме), чем она актуальна (отношение современного общества к этой теме (проблеме), какую культурную или научную ценность представляет (с точки зрения исследователей, ученых);

·                     какая литература использована: исследования, научно-популярная литература, учебная, кто авторы… (Клише: «Материалом для написания реферата послужили …»)

·                     из чего состоит реферат (введение, кол-во глав, заключение, приложения. Клише: «Во введении показана идея (цель) реферата. Глава 1 посвящена.., во 2 главе …В заключении сформулированы основные выводы…»)

Методические указания по выполнению самостоятельных работ

Существенное значение при изучении математического анализа имеет самостоятельная работа студентов. В рамках самостоятельной работы, в обязательном порядке, студенты очной формы обучения выполняют типовые расчёты согласно графику, содержащемуся в рабочей программе по дисциплине. Правильное и своевременное выполнение типовых расчётов является необходимым условием для допуска студента к экзамену.

Самостоятельная работа  способствует укреплению связи учебного процесса с научно-исследовательской деятельностью, является необходимым средством целенаправленности профессиональной подготовки студента. Самостоятельная работа  способствует систематизации, закреплению и расширению теоретических знаний, формирует у студента умения и навыки самостоятельного анализа.

 В процессе изучения данной дисциплины студенты должны сначала изучить теоретический материал и выработать навыки решения типовых задач, используя рекомендованную литературу, а затем выполнить задания своего варианта.

     При выполнении работы необходимо придерживаться указанных ниже правил:

1.     Самостоятельная работа должна быть выполнена студентом в отдельной ученической тетради с полями не менее 3 см для замечаний преподавателя.

2.     На обложке тетради указываются: название дисциплины; номер варианта и номера решаемых задач; Ф.И.О. студента, выполнившего работу, его номер группы; Ф.И.О. преподавателя, проверяющего работу.

3.     Номер варианта соответствует номеру студента в списке группы или указывается преподавателем.

4.     Условия задач переписываются полностью, без сокращения слов, после чего приводится их подробное решение. В конце решения приводится ответ.

5.     В работу должны быть включены все задачи, указанные в задании, строго по порядку номеров. Работы, содержащие не все задания, а также задачи не своего варианта, не зачитываются.

6.     Если в работе имеются ошибки, студент должен выполнить все требования преподавателя, изложенные в рецензии, и сдать работу с исправлениями на повторную проверку.

7.     Никакие исправления в тексте уже проверенной работы не допускаются, все исправления записываются после рецензии преподавателя с указанием номера задачи, к которой относятся дополнения и исправления.

8.     Работа может быть выполнена заново в случае выявления серьёзных замечаний и ошибок.

9.     В конце тетради рекомендуется оставлять несколько чистых страниц для дополнений и исправлений.

     После проверки самостоятельная работа предъявляется к защите. На защите студент должен показать свое умение решать задачи, подобные тем, что имеются в его контрольной работе.

Оценки «отлично» заслуживает студент, который всесторонне и глубоко раскрыл содержание поставленных задач, показал взаимосвязь теории с практикой, продемонстрировал умение работать с литературой, делать теоретические и практические выводы. При этом должны быть полностью освещены теоретические вопросы и верно решены практические задания.

Оценки «хорошо» заслуживает студент, который обстоятельно владеет материалом, однако не на все вопросы дает глубокие исчерпывающие и аргументированные ответы. При этом должен быть полностью и верно решены практические задания.

Оценки «удовлетворительно» заслуживает студент, который в основном владеет материалом, однако поверхностно отвечает на вопросы, допускает существенные неточности. Ответы не отличаются ясностью и глубиной. При этом должен быть полностью и верно решено практическое задание.

Оценки «неудовлетворительно» заслуживает студент в том случае, когда не может ответить на вопросы рецензента, не владеет материалом работы, не в состоянии дать объяснения решению задач, работа оформлена крайне неряшливо. При этом, независимо от правильности ответа на теоретические вопросы, если не решены практические задания, студенту также выставляется оценка «неудовлетворительно». В этом случае студенту предстоит повторная защита.

Защита и оценка  работы - это подведение итогов самостоятельной работы студента и получение права допуска к экзамену.

Самостоятельная работа студентов

   Самостоятельная работа студентов предполагает изучение теоретического материала и выполнение практических заданий.

Тема 1. Исследование функции на непрерывность.

  Цель: Овладение практическими навыками определения непрерывности функции в точке и установления характера разрыва функции.

 Определения непрерывности функции в точке. Понятие непрерывности справа и слева. Непрерывность элементарных функций. Точки разрыва функции, их классификация. Непрерывность функции на множестве. Основные свойства функций, непрерывных на отрезке.

Литература: [2] –C.59-67; [4] – C.142-143; [7] – C.45-59.

Пример выполнения задания.  Определить точки разрыва функции и исследовать их характер.

а) ;     б)

Решение.

а) Функция  не определена в точке , следовательно, она не является непрерывной в этой точке. Так как

то - точка устранимого разрыва первого рода. Данную функцию можно доопределить по непрерывности при , взяв за значение функции в этой точке величину односторонних пределов:

б) Функция определена и непрерывна на множестве , так как в точке знаменатель обращается в нуль. Вычислим односторонние пределы в точке :

Так как оба односторонних предела в точке бесконечны, то  является точкой разрыва второго рода.

Функция при определена и непрерывна. Функция  определена в точке , Вычислим односторонние пределы в точке :

 

Односторонние пределы функция в точке конечны, но не равны между собой. Следовательно, точка  является точкой  разрыва первого рода. Скачок функции в этой точке равен

Задание. Определить точки разрыва функции и исследовать характер точек разрыва:

1.1.        a)                 б) 

1.2.   а)                   б)

1.3.   a)               б)

1.4.   а)          б)

1.5.   a)                   б)

1.6.   а)             б)

1.7.        a)      б)

1.8.   а)         б)

1.9.  a)       б) 

1.10.a)           б)

1.11. а)          б)

1.12.  a)                б)

1.13.  а)                  б) 

1.14.  а)        б)

1.15.  a)            б)

1.16.  а)         б)

1.17.  a);     б)

1.18.  а)                б)

1.19.  a)             б)

1.20. а)        б)       

1.21.  a)         б)

1.22.а)            б)

1.23.  a)              б) 

1.24.  а)                     б)  

1.25.  a)     б) 

1.26.  а)              б)  

1.27.  a)              б) 

1.28.  а)                 б)  

1.29.  a)               б)  

1.30.  а)                  б)  

Тема 2. Исследование функций с помощью производной и

построение графиков.

          Цель: Овладение практическими навыками полного исследования функции и построения графиков функции.

Схема проведения полного исследования функции. Возрастание и убывание функции, нахождение участков её монотонности. Стационарные и критические точки функции. Локальные экстремумы функции, условия их существования и нахождение. Глобальные экстремумы функции на отрезке, их нахождение. Выпуклость и вогнутость функции. Точки перегиба, условия их существования и нахождение. Вертикальные и наклонные асимптоты графика функции, условия их существования и нахождение. Построение графика функции.

Литература: [2] –C.94-108; [4] – C.289-301; [7] – C.141-150.

Пример выполнения задания.  Провести полное исследование функции

 и построить её график.

   Для построения графика функции  нужно:

1) найти область определения функции;

2) найти область непрерывности функции и точки разрыва;

3) исследовать функцию на чётность, нечётность и периодичность;

4) найти точки пересечения графика с осями координат;

5) найти асимптоты графика функции;

6) найти интервалы возрастания и убывания, экстремумы функции;

7) найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба.

Решение.

1) Находим область определения функции:  =).

2) Поскольку   данная  функция  является  элементарной,  то   областью   её непрерывности является область определения , а точками разрыва являются точки  и , не принадлежащие множеству, но являющиеся предельными точками этого множества (точками в любой окрестности которых содержатся точки данного множества). Исследуем характер разрыва в точках и , вычислив в них односторонние пределы функции:

, ,

,         .

Так как односторонние пределы функции в точках  и  - бесконечные, то данные точки являются точками бесконечного разрыва.

3) Функция не является периодической.

   Функция , в аналитическое выражение которой входит хотя бы одна непериодическая функция периодической не является.

   Проверяем является ли функция чётной или нечётной. Так как область определения функции  =) не симметрична относительно точки , то данная функция – общего вида.

4) Находим точки пересечения графика с осями координат.

   Так как , то точек пересечения графика с осью  нет.   

   Положим и решим уравнение . Его решением является . Следовательно, точка- точка пересечения графика с осью .

5) Находим вертикальные и наклонные асимптоты графика функции.

   Прямая  является вертикальной асимптотой, тогда и только тогда, когда  является точкой бесконечного разрыва функции .

   Так как точки  и  - точки бесконечного разрыва данной функции, то вертикальными асимптотами графика функции являются прямые  и .

   Прямая  является наклонной асимптотой графика функции  при  тогда и только тогда, когда одновременно существуют конечные пределы: и .

   Вычисляем сначала пределы при :

,.

   В дальнейшем будем иметь в виду следующий часто встречающийся предел:

Следовательно , т.е.  - наклонная (горизонтальная) асимптота графика функции при .

   Аналогично вычисляем пределы при : , Следовательно , т.е.  - наклонная (горизонтальная) асимптота графика функции при .

6) Определяем интервалы возрастания, убывания, экстремумы функции. Для этого находим первую производную функции: 

 

и определяем критические точки функции , т.е. точки  в которых  или  не существует:

 ;

 не существует при  и .

Таким образом, единственной критической (стационарной) точкой функции  является точка .

   Исследуем знак производной  в интервалах, на которые критические точки функции  разбивают её область определения , и найдём интервалы возрастания, убывания, экстремумы функции. Результаты исследования представим следующей таблицей:

	+	+
	возрастает	возрастает		убывает	убывает

Так как при переходе слева направо через точку производная  меняет знак с «+» на «», то точка  является точкой локального максимума и .

7) Определяем интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба графика функции. Для этого находим вторую производную функции:

и определяем точки возможного перегиба , т.е. точки  в которыхилине существует:, так как (квадратное уравнение не имеет действительных корней);  не существует при  и .

Таким образом, функция  не имеет точек возможного перегиба.

   Исследуем знак второй производной  в интервалах, на которые точки возможного перегиба функции  разбивают её область определения , и найдём интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба графика функции. Результаты исследования представим таблицей:

	+		+
	график вогнутый	график выпуклый	график вогнутый

Точек перегиба нет.

8) На основании полученных результатов строим график функции

Задание. Провести полное исследование функции  и построить её график.

2.1.     2.2.      2.3.    2.4.      

2.5.     2.6.        2.7.     2.8.   

 2.9.    2.10.   2.11. 2.12.               

2.13.     2.14.      2.15.       2.16.                          

2.17.      2.18.    2.19.        2.20.                           

2.21.         2.22.  2.23.    2.24.                 

2.25.    2.26.    2.27.  

2.28.          2.29.               2.30.              

Тема 3. Геометрический смысл определенного интеграла.

Приложение интеграла к решению прикладных задач.

          Цель: Овладение практическими навыками решения прикладных задач.

Геометрический смысл определенного интеграла. Приложения определенного интеграла: вычисление площадей фигур, объемов,  длин дуги, площади поверхности вращения. Решение физических и технических задач: вычисление работы, производимой силой; вычисление пути, пройденного материальной точкой.

Литература: [2] –C.143-150; [4] – C.342-353; [7] –C.178-186.

Пример выполнения задания.

1. Вычислить площадь фигуры, ограничен­ной линиями:  у =- х²-1, у=0, х=-1, x = 2

                               

Ответ: S = 6 кв.ед.

2. Два тела начали двигаться одновременно из одной точки в одном направлении по прямой. Первое тело движется со скоростью м/с, второе — со скоростью v = (4t+5) м/с. На каком расстоянии друг от друга они окажутся      через 5 с?

Решение: очевидно, что искомая величина есть разность расстояний, пройденных первым и вторым телом за 5 с:

Задание 1 Вычислить площадь фигуры, ограничен­ной линиями

Задание 2.  [6] –C.268-269 №№ 8.70-8.76, №№8.80-8.86.

Тема 4. Нахождение экстремумов функций многих переменных.

          Цель: Формирование практических навыков нахождения экстремумов функции многих независимых переменных.

Частные производные. Дифференциал, его связь с частными производными. Геометрический смысл частных производных и дифференциала. Достаточное условие дифференцируемости. Градиент и производная по  направлению. Необходимые и достаточные условия экстремума функции нескольких переменных.

Литература: [2] –C.173-193.

Задание 1

4.1.Найти производную функции  в точке А(2;1) по направлению вектора

4.2. Найти производную функции  в точке М(1;1) в направлении вектора

4.3.Найти производную функции  в точке А(1;2) в направлении вектора

4.4. Найти величину и направление градиента функции  в точке М(2;1).

4.5. Найти производную функции  в точке М(1;2) в направлении вектора , где N (5,5).

4.6. Найти производную функции  в точке P(1;2) в направлении, составляющем с осью Ox угол 60°.

4.7. Найти производную функции  в точке М(2;0) в направлении вектора , где N (5,4).

4.8. Найти величину и направление градиента функции  в точке М(5;3).

4.9. Найти производную функции  в точке М(3;2;1) в направлении вектора , где N (5;4;2).

4.10. Найти величину и направление градиента функции  в точке М(2;1;1).

Задание 2.  Исследуйте на экстремум функции:

4.1.

4.2.

4.3.  

4.4.

4.5.

4.6.

4.7.

4.8.

4.9.

4.10.

Задание 3. Найти наибольшее и наименьшее значение функции:

 4.1.  в треугольнике, ограниченном прямыми  

4.2.  в треугольнике, ограниченном прямыми  

4.3. в треугольнике, ограниченном прямыми  

4.4 в треугольнике, ограниченном прямыми  

4.5.  в области D:  

4.6 в треугольнике, ограниченном прямыми  

4.7.  в области D:  

4.8 в треугольнике, ограниченном прямыми  

4.9. Найти экстремум функции  в области D, где  

4.10 в треугольнике, ограниченном прямыми

Тема 5. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.

          Цель: Формирование практических навыков решения задач, приводящих к дифференциальным уравнениям.

Типы задач, приводящие к дифференциальным уравнениям. Определение общего и частного решений дифференциальных уравнений, их геометрическая интерпретация. Методы решения дифференциальных уравнений.

Литература: [4] –C.381-383; [5] – C.241-253; [7] – C.187-199.

Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

 + p  + qy = 0, где p, q – постоянные величины.                                 (1)

 Для отыскания общего решения уравнения (1) составляется характеристическое уравнение r² + pr + q =0,                                                                                   (2)

которое получается из уравнения (1) заменой ,  и y на соответствующие степени r, причем сама функция y заменяется единицей.

  Тогда общее решение дифференциального уравнения (1) строится в зависимости от корней r₁ и r₂ характеристического уравнения(2). Здесь возможны три случая.

1_случай.  Корни r₁ и r₂  - действительные и различные. В этом случае общее решение уравнения (1) имеет вид:  Y = C₁ е ^X₁ + C₂ е   ^X₂

 2_случай.  Корни r₁ и r₂  - действительные и равные: r₁ = r₂ = r. В этом случае общее решение уравнения (1) имеет вид: Y = (C₁  + C₂х) е   ^X

 3_случай.  Корни r₁ и r₂  - комплексно-сопряженные: r₁ = a + bi; r₂ =  a - bi. В этом случае общее решение уравнения (1) имеет вид: Y =   е ^αX (C₁ cos bx + C₂ sin bx).

Задания  [7] –C.271 № 9.24-9.32

Тема 6. Дифференциальные уравнения в науке и технике.

          Цель:  Активизировать познания студентов. Познакомить студентов с широким спектром применения дифференциальных уравнений.

Составление дифференциальных уравнений. Дифференциальное уравнение показательного роста. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний.

Доп. литература: [3] –C.345-351.

Задания Написать реферат или создать презентацию на тему «Дифференциальные уравнения в науке и технике».

Тема 7. Практическое применение степенных рядов.

          Цель:  Активизировать познания студентов. Познакомить студентов с широким спектром применения степенных рядов.

Вычисление значений функций. Вычисление определенных интегралов. Решение дифференциальных уравнений.

Доп. литература: [3] –C.457-462.

Задание Написать реферат или создать презентацию на тему «Практическое применение степенных рядов».

Тема 8. Комплексные числа. Операции над комплексными числами. Формула Муавра. Решение уравнений.

         Цель: Приобретение  практических навыков выполнения различных операций над комплексными числами.

Различные формы записи комплексных чисел. Переход от алгебраической формы комплексного числа  к тригонометрической и показательной формам,  и обратно. Действия над комплексными числами. Многочлены и алгебраические уравнения. Основная теорема алгебры. Теорема Безу. Формула Муавра.

Литература: [4] –C.484-499; [5] – C.309-318.

Пример выполнения задания.

1. Даны комплексные числа , .

Найти: а)  ; б) ; в) ;  г) ;  д) .

Решение.

а) .

б)

, так как .

в)

.

г)

.

д) Для любого комплексного числа  существует сопряженное ему число .

.

Ответ: ; ; ; ;.

2.              Применяя формулу Муавра, найти  , где , .

Решение.  Формула Муавра для любого комплексного числа  в тригонометрической форме имеет вид:

где   аргумент  определяется из формул

Для комплексного числа  имеем:

   

При   имеем:

Ответ:

3.                  Решить уравнение  

Решение.

Уравнение  имеет n различных решений:  причем решения определяются формулами:

где

Для уравнения имеем

Для числа –1,

Тогда

Подставляем вместо последовательно значения 0,1,…,5, получим 6 различных решений уравнения:

Ответ:        

Задание 1. Даны комплексные числа Z₁ и Z_2.   Найти:

 а) Z₁ + 2Z_2;    б) Z₁ ·  Z₂;   в)  г)   д )

8.1.             8.2.    

8.3.         8.4. 

8.5.             8.6.   

8.7.       8.8. 

8.9.          8.10. 

8.11.     8.12.

8.13.         8.14.   

8.15.    8.16. 

8.17.   8.18.  

8.19.     8.20. 

8.21.        8.22.

8.23.     8.24.

8.25.        8.26.   

8.27.          8.28.   

8.29.  8.30.

  Задание 2. Применяя формулу Муавра, найти Zⁿ .

8.1.                      8.2.  

8.3.                    8.4.

8.5.                     8.6.

8.7.                  8.8.

8.9.                    8.10.

8.11.              8.12.

8.13.                    8.14.

8.15.                   8.16.

8.17.                 8.18.

8.19.                   8.20.

8.21.                8.22.

8.23.                 8.24.

8.25.               8.26.

8.27.                 8.28.  

8.29.                8.30.

Задание 3. Решить уравнение.

8.1.                                8.2.

8.3.                                8.4.

8.5.                                   8.6.

8.7.                                   8.8.

8.9.                                8.10.

8.11.                              8.12.

8.13.                       8.14.

8.15.                                8.16.

8.17.                             8.18.

8.19.                            8.20.

8.21.                             8.22.

8.23.                             8.24.

8.25.                           8.26.

    8.27.                              8.28.

8.29.                         8.30.  

Тема 9. Примеры вычисления вероятностей.

          Цель: Овладение практическими навыками решения  задач на вычисление вероятностей событий.

Случайные события и предмет теории вероятностей. Статистическое определение вероятности случайного события. Алгебра событий. Комбинаторное правило умножения. Размещения, перестановки и сочетания. Классический способ подсчета вероятностей. Правило сложения вероятностей. Условная вероятность. Независимые события и правило умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Литература: [2] –C.259-276; [4] – C.456-466; [8] – C.15-57.

Пример выполнения задания.

1.                 В группе 25 студентов, из них 10 юношей и 15 девушек. Какова вероятность того, что из вызванных наудачу трёх студентов: а) все три девушки, б) первые два юноши и одна девушка.

Решение: а) Р=m/n. Число элементарных событий n=_. Число  благоприятствующих событий  m = ˙. Тогда вероятность того, что из вызванных наудачу трёх студентов будут все три девушки равна

 .

б) Р=m/n. Число элементарных событий n=_. Число  благоприятствующих событий  m = ˙. Тогда вероятность того, что из вызванных наудачу трёх студентов будут два юноши и одна  девушка равна

 .

Ответ: а) 0,198;  б) 0,293.

2. В первой бригаде производится в три раза больше продукции, чем во второй. Вероятность того, что производимая продукция окажется стандартной для первой бригады равна 0,7, для второй - 0,8. Определить вероятность того, что взятая наугад единица продукции будет стандартной. Какова вероятность того, что она произведена второй бригадой?

Решение: Событие А – «деталь будет стандартной», Н₁ – «изготовлена в 1 бригаде», Н₂ – «изготовлена во 2 бригаде». Р(Н₁) = 0,75; Р(Н₂) = 0,25; Р(А\Н₁) = 0,7;    Р(А\Н₂) = 0,8. Следовательно, искомая вероятность Р(А) = 0,75·0,7 + 0,25·0,8=  = 0,525 + 0,2 = 0,725.

Вероятность того, что стандартная деталь произведена второй бригадой:
Р(Н₁\ А) =

Ответ: 0,725;  0,276.

3.  В конверте 10 фотографий, среди которых две нужные. Извлечено 5 фотографий. Какова вероятность, что нужные две среди них?

Решение: Число элементарных событий определим  способами, т.е. 5 фото из 10 можно выбрать  способами .

Число благоприятных исходов вычисляется следующим образом:

2 нужные фото из 2^х нужных можно выбрать  способами.

3 ненужные из 8 ненужных можно выбрать  способами.

Каждый выбор нужной фотографии может сочетаться с выбором ненужной.

Поэтому

Искомую вероятность находим по классическому определению вероятности:

m =  (2! / 2! 0!) * (8! / 3! 5!) = 1 *  56 = 56

n = 10! / 5! 5! = 252

 Р = 56 / 252 = 2 / 9

Ответ: 2/9.

4. Устройство содержит два независимо работающих элемента. Вероятности их отказа соответственно равны 0,2 и 0,3. Найти вероятность отказа устройства, если для этого достаточно, чтобы отказал хотя бы один элемент.

Решение: Событие А – отказал 1^ый элемент .

 Событие В – отказал 2^ой элемент .

 - не отказал 1^ый элемент.

 - не отказал 2^ой элемент.

Вероятность того, что устройство не отказала, находим по теореме умножения

Искомую вероятность находим как обратную к полученной:

Ответ: Р=0,44.

5. Нужная студенту книга с вероятностью 0,8 имеется в каждой из трёх библиотек А, В, С. Если в А книга не обнаружена, он идёт в В. Если в В книги нет, он идёт в С. Найти вероятность того, что студент книгу получит.

Решение:

 - вероятность того, что не найдя книгу в библиотеке А, найдет в В.

 - вероятность того, что не найдя книгу в библиотеке А и В, найдет в библиотеке С.

   Р (Ā) = 1 - Р (А) = 0,2

искомую вероятность находим по формуле:

Ответ: Р= 0,992

Задания

9.1. 1. При проведении конкурса «Мисс Академия» устанавливаются 5 главных призов. В финал вышли 25 студенток, среди которых 10 блондинок. Определить вероятность того, что среди обладателей призов окажутся две блондинки.

2. Два студента условились встретиться в определенном месте между 19 и 20 часами. Пришедший первым ждет другого в течение 20 минут, и в случае его неявки – немедленно уходит. Определить вероятность встречи, если каждый студент наудачу выбирает момент своего прибытия в течение указанного часа.

3. При приемке партии подвергается проверке половина изделий. Условиями приемки допускается не более 2% бракованных изделий. Определить вероятность того, что партия из 100 изделий, содержащая 5% брака, будет принята.

4. Рабочий обслуживает три станка, работающих независимо друг от друга. Вероятность того, что в течение часа не потребует внимания первый станок, равна 0,9, второй — 0,8, третий — 0,85. Найти вероятность, что в течение часа хотя бы один станок потребует внимания рабочего.

5. На трех автоматических станках изготовляются одинаковые детали. Известно, что 30 % деталей производится первым станком, 25 % — вторым и 45 % — третьим. Вероятность изготовления детали, отвечающей стандарту, на первом станке равна 0,99, на втором — 0,988 и на третьем — 0,98. Изготовленные на трех станках не рассортированные детали находятся на складе. Определить вероятность того, что взятая наугад деталь не соответствует стандарту.

9.2. 1. В урне 4 белых и 5 черных шаров. Из урны наугад вынимают два шара. Найти вероятность того, что один из шаров белый, а другой — черный.

2. На отрезке AB, длина которого l, наугад ставятся две точки, которые этот отрезок делят на три части. Найти вероятность того, что из трех получившихся частей можно составить треугольник.

3. На десяти карточках написаны буквы А, А, А, М, М, Т, Т, Е, И, К. После тщательного перемешивания вынимают наугад одну карточку за другой и раскладывают их в том порядке, в каком они были вынуты. Найти вероятность того, что на карточках будет написано слово "математика".

4. На обувной фабрике в отдельных цехах производятся подметки, каблуки и верхи мужских ботинок одного размера и фасона. Дефектными оказываются 0,5 % каблуков, 2 % подметок и 4 % верхов. Произведенные каблуки, подметки и верхи случайно комбинируются в цехе, где шьются ботинки. Найти вероятность того, что изготовленная пара ботинок будет содержать дефекты.

5. В группе из 20 стрелков имеется 4 отличных, 10 хороших и 6 посредственных стрелков. Вероятность попадания в цель при одном выстреле для отличного стрелка равна 0,9, для хорошего — 0,7, для посредственного — 0,5. На линию огня случайно вызывается один стрелок. Найти вероятность того, что он поразит цель при первом выстреле.

9.3. 1. В 25 экзаменационных билетах содержится по два вопроса, которые не повторяются. Экзаменуемый знает ответы на 48 вопросов. Какова вероятность сдачи письменного экзамена, если для этого необходимо правильно ответить на оба вопроса?

2. Плоскость разлинована параллельными прямыми, находящимися друг от друга на расстоянии 8 см. Определить вероятность того, что наугад брошенный на эту плоскость круг радиусом 3 см не пересечет ни одной линии.

3. На сборку механизма поступают детали с двух автоматов. Первый автомат в среднем дает 1,5 % брака, второй — 1 %. Найти вероятность попадания на сборку бракованной детали, если с первого автомата поступило 2000 деталей, а со второго — 1500.

4. Среди 1000 лотерейных билетов имеется два выигрыша по 50 руб., пять по 20 руб., десять по 10 руб., 25 по 5 руб. Некто покупает один билет. Найти вероятность выигрыша не менее 20 руб.

5. Известно, что 96 % выпускаемых заводом изделий отвечают стандарту. Упрощенная схема контроля признает пригодной стандартную продукцию с вероятностью 0,98 и нестандартную с вероятностью 0,05. Определить вероятность того, что изделие, прошедшее упрощенный контроль, отвечает стандарту.

9.4. 1. Из партии, состоящей из 20 радиоприемников, для проверки произвольно отбирают три приемника. Партия содержит пять неисправных приемников. Какова вероятность того, что в число отобранных войдут один неисправный и два исправных приемника?

2. На отрезок AB длиной 12 см наугад "бросают" точку M. Какова вероятность того, что площадь квадрата, построенного на AM, будет больше 36 и меньше 81 см²?

3. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,6. По мишени стреляют одиночными выстрелами до первого попадания, после чего стрельбу прекращают. Найти вероятность того, что будет сделано не более трех выстрелов.

4. На предприятии брак составляет в среднем 1,5 % общего выпуска изделий. Из не бракованных изделий изделия первого сорта составляют 80 %. Какова вероятность того, что взятое наугад изделие окажется изделием первого сорта, если оно взято из общей массы изготовленной продукции?

5. Имеются две урны: в первой 3 белых шара и 2 черных; во второй — 4 белых и 4 черных. Из первой урны во вторую перекладывают два шара. После этого из второй урны берут один шар. Найти вероятность того, что этот шар будет белым.

9.5. 1. В мастерскую для ремонта поступило 15 телевизоров. Известно, что шесть из них нуждаются в общей регулировке. Мастер берет наудачу пять телевизоров. Какова вероятность того, что два из них нуждаются в общей регулировке?

2. Найти вероятность того, что сумма двух наугад взятых на отрезке [0,1] чисел не больше единицы, а произведение не больше 3/16.

3. Три орудия ведут огонь по цели, вероятность попадания в которую при одном выстреле из первого орудия — 0,5, из второго — 0,6, из третьего — 0,7. Зная, что каждое орудие стреляет один раз, найти вероятность поражения цели, если для этого необходимо не менее двух попаданий.

4. Из пяти букв разрезной азбуки составлено слово "книга". Ребенок перемешал буквы, а потом наугад их собрал. Какова вероятность того, что он опять составил слово "книга"?

5. С первого автомата на сборку поступает 40 %, со второго — 35 %, с третьего — 25 % деталей. Среди деталей первого автомата 0,2 % бракованных, второго — 0,3 %, с третьего — 0,5 %. Найти вероятность того, что поступившая на сборку деталь бракованная.

9.6. 1. Среди претендентов в туристический полет в космос на станцию МКС на 4 места претендуют 4 женщины и 3 мужчин, прошедшие полный курс подготовки к полету. Какова вероятность того, что среди пассажиров космического корабля окажутся две женщины и двое мужчин?

2. Статистика показала, что вероятность выздоровления больного в результате применения нового способа лечения равна 0,8. Какова вероятность того, что количество вылечившихся больных будет не менее 75 из 100 лечившихся?

3. На пяти карточках написано по одной цифре из набора 1, 2, 3, 4 и 5. Наугад выбираются одна за другой две карточки. Какова вероятность того, что число на второй карточке больше, чем на первой?

4. В одном ящике 6 белых и 4 черных шарика, во втором — 7 белых и 3 черных. Из каждого ящика наугад вынимаются по одному шарику. Чему равна вероятность того, что оба шарика окажутся белыми?

5. Два автомата производят детали, которые поступают на общий конвейер. Вероятность получения нестандартной детали на первом автомате равна 0,075, а на втором — 0,09. Производительность второго автомата вдвое больше, чем первого. Найти вероятность того, что наугад взятая с конвейера деталь нестандартная.

9.7. 1. В урне 4 белых и 4 черных шара. Из этой урны наудачу извлекли 5 шаров. Какова вероятность того, что 2 из них белые, а 3 — черные?

2. Найти вероятность того, что сумма двух наугад взятых на отрезке [0,1] чисел не больше единицы, а произведение не больше 3/16.

3. Три стрелка поочередно ведут стрельбу по одной и той же мишени. Каждый стрелок имеет два патрона. При первом же попадании стрельба прекращается. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,2, для второго — 0,3, для третьего — 0,4. Найти вероятность того, что все три стрелка израсходуют весь свой боезапас.

4. На первом этаже семиэтажного дома в лифт зашли 3 человека. Вероятность выхода из лифта каждого человека на любом этаже одинакова. Найти вероятность того, что все трое выйдут из лифта на 4 этаже.

5. В цехе работает 20 станков. Из них 10 марки A, 6 марки B и 4 марки C. Вероятность того, что качество детали окажется отличным, для этих станков соответственно равна 0,9; 0,8; 0,7. Какой процент отличных деталей выпускает цех в целом?

9.8. 1. В урне 10 шаров, из которых 2 белых, 3 черных и 5 синих. Наудачу извлечены 3 шара. Какова вероятность того, что все шары разного цвета?

2. Расстояние от пункта A до пункта B автобус проходит за 2 минуты, а пешеход — за 15 минут. Интервал движения автобусов — 25 минут. Вы подходите в случайный момент времени к пункту A и отправляетесь в B пешком. Найти вероятность того, что в пути Вас догонит очередной автобус.

3. Истребитель атакует бомбардировщик и дает по нему две независимые очереди. Вероятность сбить бомбардировщик первой очередью равна 0,2, второй —0,3. Если бомбардировщик не сбит, он ведет по истребителю стрельбу из орудий кормовой установки и сбивает его с вероятностью 0,25. Найти вероятность того, что в результате воздушного боя будет сбит бомбардировщик или истребитель.

4. Три стрелка производят по одному выстрелу по цели, вероятности попадания в которую равны: для первого стрелка — 0,6, для второго — 0,7, для третьего — 0,8. Найти вероятность ровно одного попадания в цель.

5. Приборы одного наименования изготовляются на трех заводах. Первый завод поставляет 45 % всех изделий, поступающих на производство, второй — 30 %, третий — 25 %. Надежность прибора, изготовленного на первом заводе, равна 0,8, на втором —0,85 и на третьем — 0,9. Определить полную надежность прибора, поступившего на производство.

9.9. 1. В партии из 10 деталей имеются 4 бракованные. Какова вероятность того, что среди наудачу отобранных 5 деталей окажутся 2 бракованные?

2. Найти вероятность того, что сумма двух наугад взятых на отрезке [0,1] чисел не больше единицы, а произведение не больше 3/16.

3. Из колоды в 32 карты наугад одна за другой вынимаются две карты. Найти вероятность того, что вынуты валет и дама.

4. В ящике 7 белых и 9 черных шариков. Наугад вынимают один шарик, фиксируют его цвет и кладут обратно в ящик. После чего шары перемешивают. Затем опять вынимают один шарик. Какова вероятность того, что оба шарика белые?

5. В студенческом стройотряде 2 бригады первокурсников и одна — второкурсников. В каждой бригаде первокурсников 5 юношей и 3 девушки, а в бригаде второкурсников 4 юношей и 4 девушки. По жеребьевке из отряда выбрали одну из бригад и из нее одного человека для поездки в город. Какова вероятность того, что выбран юноша?

9.10. 1. В ящике 8 красных и 10 белых шариков. Одновременно наугад вынимаются 2 шарика. Какова вероятность того, что они разных цветов?

2. Стержень длины "a" наудачу разломан на три части. Найти вероятность того, что длина каждой части окажется больше a/4.

3. Из пяти карточек с буквами А, Б, В, Г, Д наугад одна за другой выбираются три и располагаются в ряд в порядке появления. Какова вероятность того, что получится слово "два"?

4. При наборе телефонного номера абонент забыл две последних цифры и набрал их наудачу, помня только, что эти цифры нечетные и разные. Найти вероятность того, что номер набран правильно.

5. При помещении в урну тщательно перемешанных 10 шаров (6 белых и 4 черных) один шар неизвестного цвета потерялся. Из оставшихся 9 шаров наудачу вынимают один шар. Какова вероятность того, что вынутый шар окажется белым?

9.11. 1. Из партии, в которой 30 деталей без дефекта и 5 с дефектами, берут наудачу 3 детали. Найти вероятность того, по крайней мере одна деталь без дефекта.

2. Найти вероятность того, что сумма наудачу взятых двух чисел из отрезка       [−1; 1] больше нуля, а их произведение отрицательно.

3. Ребенок играет с четырьмя буквами разрезной азбуки А, А, М, М. Какова вероятность того, при случайном расположении букв в ряд он получит слово "мама"?

4. Найти вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется кратным либо 2, либо 5, либо тому и другому одновременно.

5. В первой урне содержится 10 шаров, из них 8 белых; во второй урне — 20 шаров, из них 4 белых. Из каждой урны наудачу извлекли по одному шару, а затем из этих шаров наудачу взят один шар. Найти вероятность того, что взят белый шар.

9.12. 1. Владелец одной карточки лотереи "Спортлото" (в которой нужно угадать 6 чисел из 49) зачеркивает 6 номеров. Какова вероятность того, что им будет угадано 5 номеров в очередном тираже?

2. Два парохода должны подойти к одному и тому же причалу. Времена прихода судов к причалу случайны и независимы. Найти вероятность того, что одному из пароходов придется ждать освобождения причала, если время стоянки первого парохода 1 ч, а второго — 2 ч.

3. На 30 одинаковых жетонах написаны 30 двузначных чисел от 11 до 40. Жетоны помещены в пакет и тщательно перемешаны. Какова вероятность вынуть жетон с номером, кратным 3 или 2?

4. Произведен залп из двух орудий по мишени. Вероятность попадания первым орудием равна 0,85, вторым — 0,91. Найти вероятность поражения цели, если для этого достаточно хотя бы одного попадания.

5. Рабочий обслуживает 3 станка, на которых обрабатываются однотипные детали. Вероятность брака для первого станка равна 0,02, для второго — 0,03, для третьего — 0,04. Обработанные детали складываются в один ящик. Производительность первого станка в три раза больше, чем второго, а третьего — в два раза меньше, чем второго. Определить вероятность того, что взятая наудачу деталь будет бракованной.

9.13. 1. В лотерее выпущено 20 билетов, 10 из которых выигрывают. Гражданин купил 5 билетов. Какова вероятность того, что по крайней мере один из купленных билетов выигрышный?

2. Вероятность того, что покупателю требуется костюм 50 размера, равна 0,2. Найти вероятность того, что среди 100 покупателей потребуют костюм 50 размера 25 человек.

3. В денежно-вещевой лотерее на 1000 билетов приходится 24 денежных и 10 вещевых выигрышей. Некто приобрел два билета. Какова вероятность выигрыша хотя бы одного билета?

4. На десяти карточках написаны цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Две из них вынимают наугад и укладывают в порядке появления, затем читают полученное число. Найти вероятность того, что число будет нечетным.

5. На сборку попадают детали с трех автоматов. Известно, что первый автомат дает 0,3 % брака, второй — 0,2 % и третий — 0,4 %. Найти вероятность попадания на сборку бракованной детали, если с первого автомата поступило 1000, со второго — 2000 и с третьего — 2500 деталей.

9.14. 1. Партия из 10 деталей проверяется контролером, который наугад отбирает 3 детали и определяет их качество. Если среди выбранных контролером деталей нет ни одной бракованной, то вся партия принимается; в противном случае она посылается на дополнительную проверку. Какова вероятность того, что партия деталей, содержащая 4 бракованные детали, будет принята контролером?

2. Игральную кость бросают 180 раз. Сколько раз, вероятнее всего, выпадет шесть очков? Найти вероятность этого события.

3. В одном ящике 5 белых и 10 красных шаров, в другом — 10 белых и 5 красных шаров. Найти вероятность того, что хотя бы из одного ящика будет вынут один белый шар, если из каждого ящика вынуто по одному шару.

4. Для повышения надежности (вероятности безотказной работы) центрального блока, вероятность безотказной работы которого в течение заданного времени равна 0,85, устанавливается такой же резервный блок. При выходе из строя центрального блока происходит мгновенное переключение на резервный блок. Определить надежность дублирующих друг друга блоков.

5. Для контроля продукции из трех партий деталей взята одна деталь. Как велика вероятность обнаружения бракованной продукции, если в одной партии 1/3 деталей бракованные, а в двух других все доброкачественные.

9.15. 1. В ящике лежат 10 деталей 1 сорта и 5 деталей второго сорта. Наудачу вынимают три детали. Чему равна вероятность того, что хотя бы одна из деталей первого сорта?

2.  Вероятность наступления события A в каждом опыте равна 0,25. Найти наивероятнейшее число наступлений события A в 192 опытах и вероятность этого события.

3. В денежно-вещевой лотерее на 1000 билетов приходится 24 денежных и 10 вещевых выигрышей. Некто приобрел два билета. Какова вероятность выигрыша хотя бы одного билета?

4. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка 0,8, а для второго — 0,6. Стрелки независимо друг от друга сделали по одному выстрелу. Какова вероятность того, что в мишень попадет хотя бы один из стрелков?

5. В 3 урнах содержатся белые и черные шары. В первой — 2 белых и 3 черных шара, во второй — 2 белых и 2 черных шара, в третьей — 3 белых и 1 черный шар. Из первой урны положили шар во вторую. После этого шар из второй урны переложили в третью. Наконец, из третьей урны шар переложили в первую. Определить вероятность того, что во всех урнах состав шаров по их цветам останется без изменений.

Тема 10. Случайная величина.

Закон распределения случайной величины.

          Цель: Овладение практическими навыками решения  задач на вычисление вероятностей событий.

Выборка. Выборочные распределения. Вариационный ряд. Числовые характеристики выборки. Гистограмма, эмпирическая функция распределения, выборочная средняя и дисперсия. Статистические оценки.

Литература: [2] –C.293-339; [8] – C.102-130, 181-197.

Пример выполнения задания. В урне 6 белых и 4 чёрных шара. Из неё извлекают 3 шара. X — число белых шаров среди извлечённых.

Найти: а) ряд распределения X; б) функцию рас­пределения F(x), в ответе записать значения F(0,2), F(2,5); в) т_х; г)  D_x; д)  Р(0,2 < X < 2,5).

Решение:

а) Случайная величина Х может принимать значения 0, 1, 2, 3.

Вероятности этих значений:

Ряд распределения Х :

Х	0	1	2	3
Р

б)

F(x) – функция распределения х.

            

в)

=9/5

г)

= 14/25

д)

Задания [7] – C.275-278

10.1. №№10.32, 10.43                     10.2. №№10.40-10.48

10.3. №№10.33-10.44                    10.4. №№10.41-10.49

10.5. №№10.34-10.45                     10.6. №№10.42-10.50

10.7. №№10.35-10.46                     10.8. №№10.38-10.50

10.9. №№10.36-10.47                     10.10. №№10.37-10.50

10.11. №№10.37-10.48                     10.12. №№10.32-10.50

10.13. №№10.38-10.49                     10.14. №№10.35-10.50

10.15. №№10.39-10.50                    

Тема  Дифференциальное исчисление функции одного аргумента. Применение производной к исследованию функции.

Вопрос № 1.

Указать, чему равно приращение функции  в точке , соответствующее приращению аргумента :

а) 0,61; б) 0,39; в) 0,01; г) 0,03.

Вопрос № 2.

Указать, чему равно приращение функции  в точке , соответствующее приращению аргумента :

а) 0,261; б) 0,41; в) 0,001; г) 0,002.

Вопрос № 3.

Указать, чему равно приращение функции  в точке , соответствующее приращению аргумента :

а) 0,1; б) 0,01; в) 0,001; г) 0,0001.

Вопрос № 4.

Из данных утверждений выбрать то, которое является верным:

         а) функция дифференцируема в точке тогда и только тогда, когда непрерывна в ней; б) если функция непрерывна в точке, то она дифференцируема в ней; в) если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в ней; г) функция непрерывна в точке тогда и только тогда, когда дифференцируема в ней.

Вопрос № 5.

Из данных утверждений выбрать то, которое является верным:

         а) функция дифференцируема в точке тогда и только тогда, когда непрерывна в ней; б) если функция имеет разрыв в точке, то она не дифференцируема в ней; в) если функция не дифференцируема в точке, то она в ней имеет разрыв; г) функция непрерывна в точке тогда и только тогда, когда дифференцируема в ней.

Вопрос № 6.

Из данных утверждений выбрать то, которое является верным:

         а) если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в ней; б) если функция определена в точке, то она дифференцируема в ней; в) если функция не дифференцируема в точке, то она в ней имеет разрыв; г) функция непрерывна в точке тогда и только тогда, когда дифференцируема в ней.

Вопрос № 7.

Производная функции равна:

а) ; б) ; в) ; г) .

Вопрос № 8.

Производная функции равна:

а) ; б) ; в) ; г) .

Вопрос № 9.

Производная функции равна:

а) ; б) ; в) ; г) .

Вопрос № 10.

Производная функции равна:

а) ; б) ; в) ; г) .

Вопрос № 11.

Производная функции  равна:

а) ; б) ; в) ; г) .

Вопрос № 12.

Производная функции  равна:

а) ; б) ; в) ; г) .

Вопрос № 13.

Вторая производная функции  равна:

а) ; б) ; в) ; г)  .

Вопрос № 14.

Вторая производная функции  равна:

а) ; б) ; в) ; г) .

Вопрос № 15.

Вторая производная функции  равна:

а) ; б) ; в) ; г) .

Вопрос № 16.

Вторая производная функции  равна:

а) ; б) ; в) ; г) .

Вопрос № 17.

Вторая производная функции  равна:

а) ; б) ; в) ; г) .

Вопрос № 18.

Вторая производная функции  равна:

а) ; б) ; в) ; г) .

Вопрос № 19.

Материальная точка движется по следующему закону, выражающему зависимость пути от времени: . Какова будет мгновенная скорость этой точки в момент времени .

а) 2; б) 4; в) 8; г) 0.

Вопрос № 20.

Материальная точка движется по следующему закону, выражающему зависимость пути от времени: . Какова будет мгновенная скорость этой точки в момент времени .

а) 1; б) 0; в) 2; г) 4.

Вопрос № 21.

Материальная точка движется по следующему закону, выражающему зависимость пути от времени: . Какова будет мгновенная скорость этой точки в момент времени .

а) 0; б) 1; в) 2; г) 4.

Вопрос № 22.

Материальная точка движется по следующему закону, выражающему зависимость пути от времени: . Каково будет ускорение этой точки в момент времени .

а) 0; б) 1; в) 2; г) -4.

Вопрос № 23.

Материальная точка движется по следующему закону, выражающему зависимость пути от времени: . Каково будет ускорение этой точки в момент времени .

а) 0; б) 12; в) 4; г) 6.

Вопрос № 24.

Материальная точка движется по следующему закону, выражающему зависимость пути от времени: . Каково будет ускорение этой точки в момент времени .

а) -4; б) -3; в) -2; г) 0.

Вопрос № 25.

Известно, что для некоторой функции на интервале установлены следующие свойства: . Какая из перечисленных элементарных функций удовлетворяет всем этим условиям:

а) ; б) ; в) ; г) .

Вопрос № 26.

Известно, что для некоторой функции на интервале установлены следующие свойства: . Какая из перечисленных элементарных функций удовлетворяет всем этим условиям:

а) ; б) ; в) ; г) .

Вопрос № 27.

Известно, что для некоторой функции на интервале установлены следующие свойства: . Какая из перечисленных элементарных функций удовлетворяет всем этим условиям:

а) ; б) ; в) ; г) .

Вопрос № 28.

Указать, чему равно наибольшее значение функции  на отрезке :

а) ; б) ; в) 4; г) 8.

Вопрос № 29.

Указать, чему равно наибольшее значение функции  на отрезке :

а) 1; б) 3; в) 4; г) 6.

Вопрос № 30.

Указать, чему равно наибольшее значение функции  на отрезке :

а) 0; б) ; в) 1; г) .

Ключ к тесту « Дифференциальное исчисление функции одного аргумента. Применение производной к исследованию функции»

Вопрос	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
Ответ	а	а	г	в	б	а	в	в	в	г	б	г	б	б	г	А	в	а	в	б	а	г	б	в	а	б	в	а	а	в

Тема  Интегральное исчисление функции одного аргумента.

Вопрос № 1.

         Укажите среди перечисленных утверждений то, которое соответствует истине:

а) если функция имеет первообразную на некотором интервале, то она непрерывна на нём; б) если функция непрерывна на некотором интервале, то она имеет первообразную на нём; в) если функция дифференцируема на некотором интервале, то её первообразная выражается в элементарных функциях; г) если функция определена на всём данном интервале, то она интегрируема на нём.

Вопрос № 2.

         Укажите среди перечисленных утверждений то, которое соответствует истине: а) если функция монотонна на некотором интервале, то она интегрируема на нём; б) если функция дифференцируема на некотором интервале, то она имеет на нём первообразную; в) если функция дифференцируема на некотором интервале, то её первообразная выражается в элементарных функциях; г) если функция определена на всём данном интервале, то она интегрируема на нём.

Вопрос № 3.

         Укажите среди перечисленных утверждений то, которое соответствует истине: а) если функция непрерывна внутри некоторого отрезка, то она интегрируема на этом отрезке; б) б) если функция дифференцируема на некотором интервале, то она имеет на нём первообразную; в) если функция дифференцируема на некотором интервале, то её первообразная выражается в элементарных функциях; г) если функция непрерывна на всём данном интервале, то она интегрируема на этом интервале.

Вопрос № 4.

         Первообразной для функции  на интервале является функция:

а) ; б) ; в) ; г) ни одна из перечисленных функций.

Вопрос № 5.

         Первообразной для функции  на интервале является функция:

а) ; б) ; в) ; г) ни одна из перечисленных функций.

Вопрос № 6.

         Первообразной для функции  на интервале является функция:

а) ; б) ; в) ; г) ни одна из перечисленных функций.

Вопрос № 7.

         Функция является первообразной для функции  на интервале:

а) ; б) ; в) ; г) ни на одном из перечисленных интервалов.

Вопрос № 8.

         Функция является первообразной для функции  на интервале:

а) ; б) ; в) ; г) ни на одном из перечисленных интервалов.

Вопрос № 9.

         Функция является первообразной для функции  на интервале:

а) ; б) ; в) ; г) ни на одном из перечисленных интервалов.

Вопрос № 10.

         Укажите среди перечисленных вариантов ответа общий вид первообразных функции :

а) ; б) ; в) ; г) .

Вопрос № 11.

         Укажите среди перечисленных вариантов ответа общий вид первообразных функции :

а) ; б) ; в) ; г) .

Вопрос № 12.

         Укажите среди перечисленных вариантов ответа общий вид первообразных функции :

а) ; б) ; в) ; г) .

Вопрос № 13.

         Неопределённый интеграл  равен:

а) ; б) ; в) ; г) .

Вопрос № 14.

         Неопределённый интеграл  равен:

а) ; б) ; в) ; г) .

Вопрос № 15.

         Неопределённый интеграл  равен:

а) ; б) ; в) ; г) .

Вопрос № 16

         Неопределённый интеграл  равен:

а) ; б) ; в) ; г) .

Вопрос № 17.

         Неопределённый интеграл  равен:

а) ; б) ; в) ; г) не выражается в элементарных функциях.

Вопрос № 18.

         Неопределённый интеграл  равен:

а) ; б) ; в) ; г) .

Вопрос № 19.

         Неопределённый интеграл  равен:

а) ; б) ; в) ; г) .

Вопрос № 20.

         Неопределённый интеграл  равен:

а) ; б) ;  в) ; г) .

Вопрос № 21.

         Неопределённый интеграл  равен:

а) ; б) ; в) ; г) .

Вопрос № 22.     

Выберите среди перечисленных ниже вариантов ответа на поставленный вопрос правильный вариант. “Значение определённого интеграла  зависит от …”:

а) … способа разбиения отрезка ; б) … длины частичных отрезков ; в) … выбора точек  в каждом отрезке; г) … длины отрезка интегрирования.

Вопрос № 23.

         Выберите среди перечисленных ниже вариантов ответа на поставленный вопрос правильный вариант. “Значение определённого интеграла  зависит от …”: а) … подынтегральной функции; б) … длины частичных отрезков ; в) … выбора точек  в каждом отрезке; г) … способа разбиения отрезка .

Вопрос № 24.

         Выберите среди перечисленных ниже вариантов ответа на поставленный вопрос правильный вариант. “Значение определённого интеграла  зависит от …”: а) …знака подынтегральной функции; б) … длины частичных отрезков ; в) … выбора точек  в каждом отрезке; г) … способа разбиения отрезка .

Вопрос № 25.

         Определённый интеграл  равен:

а) 0; б) ; в) ; г) 1.

Вопрос № 26.

         Определённый интеграл  равен:

а) 0; б) ; в) ; г) 1.

Вопрос № 27.

         Определённый интеграл  равен:

а) 0; б) ; в) ; г) 1.

Вопрос № 28.

         Среди предложенных вариантов ответа выберите значение площади фигуры, ограниченной линиями :

а) 0; б) ; в) 1; г) .

Вопрос № 29.

         Среди предложенных вариантов ответа выберите значение площади фигуры, ограниченной линиями :

а) 0; б) ; в) 1; г) .

Вопрос № 30.

         Среди предложенных вариантов ответа выберите значение площади фигуры, ограниченной линиями :

а) 0; б) ; в) 1; г) .

Ключ к тесту

 «Интегральное исчисление функции одного аргумента»

Вопрос	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
Ответ	б	б	г	а	б	б	в	в	г	а	г	а	в	г	а

Вопрос	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
Ответ	в	г	г	а	б	г	г	а	а	в	а	а	в	в	в

Тема  Дифференциальное и интегральное исчисление функции двух (нескольких) переменных.

Вопрос № 1

         Из перечисленных вариантов ответа выберите правильный вариант. Область определения функции двух переменных  это:

а) все точки координатной плоскости; б) все точки координатной плоскости, кроме точки (0; 0); в) все точки координатной плоскости, кроме точек, лежащих на прямой ; г) все точки координатной плоскости, кроме точек, лежащих на окружности .

Вопрос № 2

         Из перечисленных вариантов ответа выберите правильный вариант. Область определения функции двух переменных  это:

а) все точки координатной плоскости; б) все точки координатной плоскости, кроме точки (0; 0); в) все точки координатной плоскости, кроме точек, лежащих на прямой ; г) все точки координатной плоскости, кроме точек, лежащих на окружности .

Вопрос № 3

         Из перечисленных вариантов ответа выберите правильный вариант. Область определения функции двух переменных  это:

а) все точки координатной плоскости; б) все точки координатной плоскости, кроме точки (0; 0); в) все точки координатной плоскости, кроме точек, лежащих на прямой ; г) все точки координатной плоскости, кроме точек, лежащих на окружности .

Вопрос № 4

         Из перечисленных вариантов ответа выберите правильный вариант. Область определения функции двух переменных  - это:

а) все точки координатной плоскости; б) все точки координатной плоскости, кроме точки (0; 0); в) все точки координатной плоскости, кроме точек, лежащих на прямой ; г) все точки координатной плоскости, кроме точек, лежащих на окружности .

Вопрос № 5

         Из перечисленных ниже вариантов ответа выберите правильный вариант. Область изменения (значений) функции двух переменных  равна:

а) R; б) ; в) ; г) .

Вопрос № 6

         Из перечисленных ниже вариантов ответа выберите правильный вариант. Область изменения (значений) функции двух переменных  равна:

а) R; б) ; в) ; г) .

Вопрос № 7

         Из перечисленных ниже вариантов ответа выберите правильный вариант. Область изменения (значений) функции двух переменных  равна:

а) R; б) ; в) ; г) .

Вопрос № 8

         Из перечисленных ниже вариантов ответа выберите правильный вариант. Область изменения (значений) функции двух переменных  равна:

а) R; б) ; в) ; г) .

Вопрос № 9

         Среди перечисленных ниже утверждений выберите то, которое не является истинным:

а) “если точка Р является граничной точкой области, то в любой её окрестности есть точки, не принадлежащие этой области”; б) “если точка Р является граничной точкой области, то в любой её окрестности есть точки, принадлежащие этой области”; в) “если точка Р является граничной точкой области, то в любой её окрестность есть точки, как не принадлежащие, так и принадлежащие этой области”; г) “если в любой окрестности точки Р есть точки, не принадлежащие этой области, то точка Р является граничной точкой области”.

Вопрос № 10.

         Среди перечисленных ниже утверждений выберите то, которое не является истинным:

а) “если точка Р является граничной точкой области, то в любой её окрестности есть точки, не принадлежащие этой области”; б) “если точка Р является граничной точкой области, то в любой её окрестности есть точки, принадлежащие этой области”; в) “если точка Р является граничной точкой области, то в любой её окрестность есть точки, как не принадлежащие, так и принадлежащие этой области”; г) “если в любой окрестности точки Р есть точки, принадлежащие этой области, то точка Р является граничной точкой области”.

Вопрос № 11.

         Среди перечисленных ниже утверждений выберите то, которое является истинным:

а) “если точка Р является внутренней точкой области, то в любой её окрестности есть точки, не принадлежащие этой области”; б) “если точка Р является внутренней точкой области, то можно указать её окрестность, содержащую только точки, принадлежащие этой области”; в) “если точка Р является внутренней точкой области, то в любой её окрестность есть точки, как не принадлежащие, так и принадлежащие этой области”; г) “если в любой окрестности точки Р есть точки, не принадлежащие этой области, то точка Р является внутренней точкой области ”.

Вопрос № 12.

         Среди перечисленных ниже утверждений выберите то, которое является истинным:

а) “если точка Р является внутренней точкой области, то в любой её окрестности есть точки, принадлежащие этой области”; б) “если точка Р является внутренней точкой области, то можно указать её окрестность, содержащую только точки, не принадлежащие этой области”; в) “если точка Р является внутренней точкой области, то в любой её окрестность есть точки, как не принадлежащие, так и принадлежащие этой области”; г) “если в любой окрестности точки Р есть точки, не принадлежащие этой области, то точка Р является внутренней точкой области ”.

Вопрос № 13.

         Частная производная первого порядка по х функции двух переменных  равна:

а) ; б) ; в) ; г) .

Вопрос № 14.

         Частная производная первого порядка по у функции двух переменных  равна:

а) ; б) ; в) ; г) .

Вопрос № 15.

         Частная производная первого порядка по х функции двух переменных  равна:

а) ; б) ; в) ; г) .

Вопрос № 16.

         Частная производная первого порядка по у функции двух переменных  равна:

а) ; б) ; в) ; г) .

Вопрос № 17.

         Частная производная первого порядка по х функции двух переменных  равна:

а) ; б) ; в) ; г) .

Вопрос № 18.

         Частная производная первого порядка по х функции двух переменных  равна:

а) ; б) ; в) ; г) .

Вопрос № 19.

         Частная производная первого порядка по х функции трёх переменных  равна:

а) ; б) ; в) ; г) .

Вопрос № 20.

         Частная производная первого порядка по у функции трёх переменных  равна:

а) ; б) ; в) ; г) .

Вопрос № 21.

         Частная производная первого порядка по z функции трёх переменных  равна:

а) ; б) ; в) ; г) .

Вопрос № 22.

         Частная производная второго порядка по x функции двух переменных  равна:

а) ; б) ; в) ; г) .

Вопрос № 23.

         Частная производная второго порядка по y функции двух переменных  равна:

а) ; б) ; в) ; г) .

Вопрос № 24.

         Частная производная второго порядка по x функции двух переменных  равна:

а) ; б) ; в) ; г) .

Вопрос № 25.

         Частная производная второго порядка по y функции двух переменных  равна:

а) ; б) ; в) ; г) .

Вопрос № 26.

         Смешанные частные производные второго порядка функции  равны:

а) ; б) ; в) ; г) .

Вопрос № 27.

         Смешанные частные производные второго порядка функции  равны:

а) ; б) ; в) ; г) .

Вопрос № 28.

         Градиент функции  в точке  равен:

а) ; б) ; в) ; г) .

Вопрос № 29.

         Градиент функции  в точке  равен:

а) ; б) ; в) ; г) .

Вопрос № 30.

         Градиент функции  в точке  равен:

а) ; б) ; в) ; г) .

Ключ к тесту «Дифференциальное и интегральное исчисление функции двух (нескольких) переменных»

Вопрос	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
Ответ	б	а	г	в	в	а	г	б	г	г	б	а	б	в	а

Вопрос	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
Ответ	в	г	в	а	б	в	г	в	в	г	а	в	а	в	в

Некоторые математические обозначения

Знак	Значение		Знак	Значение
=	равно			дуга
≠	не равно		||	параллельно
≈	приблизительно равно			перпендикулярно
>, <	больше, меньше		~	подобно
≥	больше или равно		o ’ "	градус минута секунда
≤	меньше или равно		sin	синус
| |	абсолютная величина (модуль)		cos	косинус
	корень n-ой степени		tg	тангенс
!	факториал		ctg	котангенс
log a b	логарифм числа b по основанию a		arcsin	арксинус
Σ	сумма		arccos	арккосинус
Δ	треугольник		arctg	арктангенс
	угол		arcctg	арккотангенс

Основные математические формулы

Формулы сокращённого умножения:

1.             2.

3.

4.        5.

Квадратное уравнение

     Дискриминант: D = b² – 4ac

     Если D > 0, то кв. уравнение имеет два различных корня: х₁, х₂ , которые могут быть вычислены по формулам:

или

     Если D = 0, то кв. уравнение имеет единственный корень  х =  . Если D < 0, то действительных корней нет.

 Степени и корни

     Степень с целым показателем

(n раз, ),

Свойства:

     Корень n-й степени

      - арифметический корень n-й степени из числа a, a ≥ 0,  ≥ 0, nN, n>1

     Свойства:

Степень с дробным (рациональным) показателем

Свойства степени с действительным показателем

Формулы тригонометрии:

1.                2.                               

3.               4.     .

5.  

6.  

7.             8.  

9.  

10.

11.

12.

13.          14.  

Формулы приведения.

Функция

Значения тригонометрических функций некоторых углов.

	0
	0				1		0		0
	1				0			0	1
	0		1				0		0
			1		0			0

Таблица производных и дифференциалов основных

элементарных функций.

№ п/п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17

Основные правила дифференцирования

1.

2.

2.1. , где c=const

3.

Таблица интегралов

1. , где C=const

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

Некоторые постоянные

Ресурсы Интернет

•         http://www.zavuch.info

•         http://www.dynastyfdn.com

•         http://researcher.ru

•         http://www.smartboard.ru

•         http://school-collection.edu.ru

•         http://mir-predmetov.narod.ru

•         http://www.edu.ru

•         http://festival.1september.ru

•         http://www.1c.ru/ - Фирма «1С»

•         http://www.nd.ru/ - компания «Новый диск»

•         http://www.solon-press.ru/ - издательство СОЛОН-ПРЕСС

•         http://www.int-edu.ru/ - Институт новых технологий

•         http://www.int-edu.ru/index.php?m1=444&m2=0&ms=2 – Программные продукты Институт новых технологий

•         http://www.prosv.ru – изд-во «Просвещение» (в основном книги)

•         bymath.net - "Вся элементарная математика". Темы: Арифметика, Алгебра, Геометрия, Тригонометрия, Функции и графики, Основы анализа, Множества, Вероятность, Аналитическая геометрия. Все темы содержат множество примеров с решениями.

•         uztest.ru - сайт "ЕГЭ математика" - подготовка к тестированию (ЕГЭ) по

           математике.

•      http://www.edu.ru/  - Российское образование.

•      http://www.mon.gov.ru – сайт министерства образования и науки Российской федерации

•      http://mon.tatar.ru/  - сайт министерства образования и науки Республики Татарстан.

•      http://www.nabchelny.ru/- официальный сайт города Набережные Челны

•      http://school-collection.edu.ru/ – единая коллекция цифровых     образовательных ресурсов