Учебно-методический комплекс ученика по информатике (10 класс). Основы логики

Основы логики и логические основы компьютера

Ты узнаешь:

Ø  что такое высказывание;

Ø  основные понятия формальной логики;

Ø   алгебра высказываний;

Ø   базовые логические функции;

Ø  логические законы и правила преобразования логических выражений;

Ø  логические схемы основных устройств компьютера (сумматор, регистр);

Ø  что такое переключательная схема;

Ø  функции переключательных схем.

Ты научишься:

Ø  строить таблицы истинности логических выражений;

Ø  упрощать логические формулы;

Ø  реализовывать простейшие логические схемы для логических функций с помощью логических элементов И, ИЛИ, НЕ;

Ø  находить функции проводимости переключательных схем.

!

__________ Коротко о главном ________________________

Основы логики

Логические операции

Наименование	Инверсия (логическое отрицание ) не верно, что…, не	Конъюнкция (логическое  умножение) и, а, но, хотя	Дизъюнкция (логическое сложение) или	Строгая  дизъюнкция (исключающее «или»; сложение по модулю два)	Импликация (логическое следование)	Эквиваленция (логическое равенство) «…тогда и только тогда…»
Обозначение (в настоящее время не существует унифициро-ванной символики)	_ А;   НЕ  А;  ¬А;             NOT A;	A И B; A Ù B; A & B; A × B; A AND B; A Ç B	A ИЛИ B; A Ú B; A çB; A + B A OR B; A È B	A  Å  B A XOR B A ÚB	A Þ B A ® B	A º B A Û B A ~ B

Таблицы  истинности

A	B	A & B	A Ú B	A  Å  B	A Þ B	A Û B
0	0	0	0	0	1	1
0	1	0	1	1	1	0
1	0	0	1	1	0	0
1	1	1	1	0	1	1

A	_ A
0	1
1	0

 Логические операции имеют следующий приоритет:

1)    действия в скобках;

2)    инверсия Ø;

3)    конъюнкция &;

4)   дизъюнкция Ú,Å;

5)   импликация Þ;

6)   эквиваленция Û.

ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ

Закон	Для   ИЛИ	Для   И
Переместительный (коммутативный)	x Ú y = y Ú x	x × y = y × x
Сочетательный (ассоциативный)
Распределительный (дистрибутивный)
Общей инверсии ( де Моргана)
Идемпотентности	x Ú x = x	x × x = x
Поглощения
Исключения (склеивания)
Исключения третьего		-
Противоречия	-
Исключения констант
Двойного отрицания
Контрапозиции	( x Þ y ) = (Ø x Þ Ø y )

 

Как упростить логическую формулу?

В алгебре высказываний все логические функции могут быть сведены путём логических преобразований к трём базовым:

Ø  логическому умножению;

Ø  логическому сложению;

Ø  логическому отрицанию.

Логические выражения, у которых последние столбцы таблиц истинности совпадают, называются равносильными.

	_ АÚB

 

Операция импликации A Þ B равносильна логическому выражению           

	_ (AÚB)		_ (АÚB)

 

Операция эквивалентности A Û B   равносильна  выражению                    &

Равносильные преобразования логических формул имеют то же назначение, что и преобразования формул в обычной алгебре. Они служат для упрощения формул или приведения их к определённому виду путем использования основных законов алгебры логики.

Под упрощением формулы, не содержащей операций импликации и эквиваленции, понимают равносильное преобразование, приводящее к формуле, которая либо содержит по сравнению с исходной меньшее число операций конъюнкции и дизъюнкции и не содержит отрицаний неэлементарных формул, либо содержит меньшее число вхождений переменных.

Некоторые преобразования логических формул похожи на преобразования формул в обычной алгебре (вынесение общего множителя за скобки, использование переместительного и сочетательного законов и т.п.), тогда как другие преобразования основаны на свойствах, которыми не обладают операции обычной алгебры (использование распределительного закона для конъюнкции, законов поглощения, склеивания, де Моргана и др.).

Покажем на примерах некоторые приемы и способы, применяемые при упрощении логических формул:

1)

(законы алгебры логики применяются в следующей последовательности: правило де Моргана, сочетательный закон, правило операций переменной с её инверсией и правило операций с константами);

2)

(применяется правило де Моргана, выносится за скобки общий множитель, используется правило операций переменной с её инверсией);

3)

(повторяется второй сомножитель, что разрешено законом идемпотенции; затем комбинируются два первых и два последних сомножителя и используется закон склеивания);

4)

(вводится вспомогательный логический сомножитель (); затем комбинируются два крайних и два средних логических слагаемых и используется закон поглощения);

5)

(сначала добиваемся, чтобы знак отрицания стоял только перед отдельными переменными, а не перед их комбинациями, для этого дважды применяем правило де Моргана; затем используем закон двойного отрицания);

6)

(выносятся за скобки общие множители; применяется правило операций с константами);

7)

(к отрицаниям неэлементарных формул применяется правило де Моргана; используются законы двойного отрицания и склеивания);

8)

(общий множитель x выносится за скобки, комбинируются слагаемые в скобках — первое с третьим и второе с четвертым, к дизъюнкции применяется правило операции переменной с её инверсией);

9)

(используются распределительный закон для дизъюнкции, правило операции переменной с ее инверсией, правило операций с константами, переместительный закон и распределительный закон для конъюнкции);

10)

(используются правило де Моргана, закон двойного отрицания и закон поглощения).

Из этих примеров видно, что при упрощении логических формул не всегда очевидно, какой из законов алгебры логики следует применить на том или ином шаге.

 

s   ______ Вопросы и задания ________________________

1. Упростите следующие формулы, используя законы склеивания:

а)

б)

в)

г)

д)
Решение: .

2. Упростите следующие формулы, используя законы поглощения:

а)

б)

в)

г)

3. Постройте таблицы истинности для логических формул и упростите формулы, используя законы алгебры логики:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

и)

к)

4. Три девочки — Роза, Маргарита и Анюта представили на конкурс цветоводов корзины выращенных ими роз, маргариток и анютиных глазок. Девочка, вырастившая маргаритки, обратила внимание Розы на то, что ни у одной из девочек имя не совпадает с названием любимых цветов. Какие цветы вырастила каждая из девочек?

5. Виновник ночного дорожно-транспортного происшествия скрылся с места аварии.

• Первый из опрошенных свидетелей сказал работникам ГАИ, что это были “Жигули”, первая цифра номера машины — единица.
• Второй свидетель сказал, что машина была марки “Москвич”, а номер начинался с семёрки.
• Третий свидетель заявил, что машина была иностранная, номер начинался не с единицы.

При дальнейшем расследовании выяснилось, что каждый из свидетелей правильно указал либо только марку машины, либо только первую цифру номера. Какой марки была машина и с какой цифры начинался номер?

6. Пятеро одноклассников: Ирена, Тимур, Камилла, Эльдар и Залим стали победителями олимпиад школьников по физике, математике, информатике, литературе и географии.
Известно, что:

·         победитель олимпиады по информатике учит Ирену и Тимура работе на компьютере;

·         Камилла и Эльдар тоже заинтересовались информатикой;

·         Тимур всегда побаивался физики;

·         Камилла, Тимур и победитель олимпиады по литературе занимаются плаванием;

·         Тимур и Камилла поздравили победителя олимпиады по математике;

·         Ирена cожалеет о том, что у нее остается мало времени на литературу.

Победителем какой олимпиады стал каждый из этих ребят?
 

7. Ирена любит мороженое с фруктами. В кафе был выбор из таких вариантов:

·         пломбир с орехами;

·         пломбир с бананами;

·         пломбир с черникой;

·         шоколадное с черникой;

·         шоколадное с клубникой.

В четырёх вариантах Ирене не нравились или тип мороженого, или наполнитель, а в одном варианте ей не нравились ни мороженое, ни наполнитель. Она попросила приготовить из имеющихся продуктов порцию по своему вкусу.Какое же мороженое и с какими фруктами любит Ирена?

8. На очередном этапе автогонок “Формула 1” первые четыре места заняли Шумахер, Алези, Хилл и Кулхардт. Опоздавший к месту награждения телерепортёр успел заснять пилотов, занявших второе и третье места, которые поливали друг друга шампанским. В это время Шумахер с четвёртым гонщиком пожимали друг другу руки. Далее в кадр попал мокрый Хилл, поздравляющий пилота, занявшего второе место. Напоследок оператор снял сцену, в которой Шумахер и Кулхардт пытались втащить на пьедестал почёта пилота, занявшего четвёртое место. Просматривая отснятый материал, режиссёр спортивного выпуска быстро разобрался, кто из пилотов какое место занял. Он знал, что, в соответствии с церемонией награждения победителей гонок, пилоты, занявшие первые три места, поливают друг друга шампанским из огромных бутылок знаменитой фирмы — спонсора соревнований.

Какое же место занял каждый пилот?

9. В некотором царстве-государстве повадился Змей Горыныч разбойничать. Послал царь четырёх богатырей погубить Змея, а награду за то обещал великую. Вернулись богатыри с победой и спрашивает их царь: “Так кто же из вас главный победитель, кому достанется царёва дочь и полцарства?” Засмущались добры молодцы и ответы дали туманные:

§  Сказал Илья Муромец: “Это все Алеша Попович, царь-батюшка”.

§  Алеша Попович возразил: “То был Микула Селянинович”.

§  Микула Селянинович: “Не прав Алеша, не я это”.

§  Добрыня Никитич: “И не я, батюшка”.

Подвернулась тут баба Яга и говорит царю: “А прав то лишь один из богатырей, видела я всю битву своими глазами”. Кто же из богатырей победил Змея Горыныча?

10. При составлении расписания на пятницу были высказаны пожелания, чтобы информатика была первым или вторым уроком, физика — первым или третьим, история — вторым или третьим. Можно ли удовлетворить одновременно все высказанные пожелания?

11. Обсуждая конструкцию нового трёхмоторного самолёта, трое конструкторов поочередно высказали следующие предположения:

1) при отказе второго двигателя надо приземляться, а при отказе третьего можно продолжать полёт;

2) при отказе первого двигателя лететь можно, или при отказе третьего двигателя лететь нельзя;

3) при отказе третьего двигателя лететь можно, но при отказе хотя бы одного из остальных надо садиться.

Лётные испытания подтвердили правоту каждого из конструкторов. Определите, при отказе какого из двигателей нельзя продолжать полёт.

12. В соревнованиях по плаванию участвовали Андрей, Виктор, Саша и Дима. Их друзья высказали предположения о возможных победителях:

1) первым будет Саша, Виктор будет вторым;

2) вторым будет Саша, Дима будет третьим;

3) Андрей будет вторым, Дима будет четвёртым.

По окончании соревнований оказалось, что в каждом из предположений только одно из высказываний истинно, другое ложно. Какое место на соревнованиях занял каждый из юношей, если все они заняли разные места.

13. Для длительной международной экспедиции на околоземной космической станции надо из восьми претендентов отобрать шесть специалистов: по аэронавтике, космонавигации, биомеханике, энергетике, медицине и астрофизике. Условия полёта не позволяют совмещать работы по разным специальностям, хотя некоторые претенденты владеют двумя специальностями. Обязанности аэронавта могут выполнять Геррети и Нам; космонавигатора — Кларк и Фриш; биомеханика — Фриш и Нам; энергетика — Депардье и Леонов; врача — Депардье и Хорхес; астрофизика — Волков и Леонов. По особенностям психологической совместимости врачи рекомендуют совместные полеты Фриша и Кларка, а также Леонова с Хорхесом и Депардье. Напротив, нежелательно, чтобы Депардье оказался в одной экспедиции с Намом, а Волков — с Кларком. Кого следует включить в состав экспедиции?

&

   __________ Темы для сообщений  ____________________

1. Джордж  Буль. Отец булевой алгебры.
2. Клод Шеннон. Автор теории информации и практического воплощения булевой алгебры.