Введение
Иррациональные
уравнения и неравенства играют важную роль в повышении математической культуры
студентов. При их решении студенты встречаются с такими фактами и понятиями как
появление посторонних корней, потеря корней, области допустимых значений,
использование свойств монотонности. Они также должны владеть навыками
тождественных преобразований рациональных и иррациональных выражений, знать
алгоритмы сведения иррациональных уравнений и неравенств к рациональным
уравнениям и неравенствам и системам таких уравнений и неравенств.
Учебное
пособие составлено на основе действующей учебной программы по элементарной
математике. В нем рассмотрены основные методы и приемы решения различных
классов иррациональных уравнений и неравенств; рассмотрены ситуации, связанные
с потерей или приобретением посторонних корней в процессе решения, показано,
как распознать и предотвращать их; подобраны примеры для самостоятельного
решения.
Более
подробно можно ознакомиться с теоретическим материалом из учебников, указанных
в пособии.
1.
Иррациональные уравнения и основные способы их решения
1.1.
Основные понятия и предварительные замечания о решении иррациональных уравнений
Определение. Уравнение,
содержащее неизвестное под знаком корня или под знаком операции возведения в
дробную степень, называется иррациональным.
Прежде,
чем приступить к решению сложных иррациональных уравнений, должны научиться
решать простейшие иррациональные уравнения.
Простейшими
иррациональными уравнениями считаются уравнения вида: 
, которые решаются возведением обеих
частей в степень. При этом важно запомнить следующие утверждения:
1)
Если обе части иррационального уравнения возвести в одну и ту же четную
степень, то получится уравнение, являющееся следствием исходного;
2)
В таком случае возможно появление посторонних решений уравнения, но не возможна
потеря корней;
3)
Если обе части иррационального уравнения возвести в одну и ту же нечетную
степень и освободиться от корней, то получится уравнение, равносильное исходному.
Причина
приобретения посторонних корней состоит в том, что при возведении уравнения в
четную степень чисел, равных по абсолютной величине, но разных по знаку,
получается один и тот же результат.
Раз
могут появиться посторонние корни, то необходимо сделать проверку, подставляя
найденные значения неизвестной только в первоначальное уравнение, а не какие-то
промежуточные.
Иногда
при решении уравнений получаются громоздкие корни, такие корни проверять
подстановкой сложно. В таком случае путем доказательства равносильности
уравнений, получаемых на всех этапах решения, либо каким-то другим путем (с
использованием области определения заданного уравнения, с обращением к
промежуточным уравнениям и т.д.) делается соответствующий вывод.
Пример 1. Решить
уравнение 
Решение. Возведем обе
части этого уравнения в квадрат:
Получим: 
откуда,
Проверка: 
- верно
- неверно.
Значит,
число х = -5 – не является корнем данного уравнения.
Ответ: -1.
1.2.
Обобщение и систематизация способов решения иррациональных уравнений
Суть
решения сложных иррациональных уравнений заключается в том, чтобы путем
тождественных преобразований, применением того или иного метода решения, свести
их к решению простейших иррациональных уравнений.
1)
Решение иррациональных уравнений методом возведения обеих частей уравнения в
одну и ту же степень.
Пример 2. Решить уравнение
Решение. Перенесем один
из корней в левую часть: 
.
Возведем обе части уравнения в квадрат. Получим: 
Разделим
обе части уравнения на 2. Получим: 
Возведем
опять обе части уравнения в квадрат, имеем 
-
это уравнение является следствием исходного уравнения.
Решаем
квадратное уравнение, получим, 
Подставим
каждый из этих корней в исходное уравнение.
(верно)
(неверно).
Ответ: 6.
Пример 3. Решить уравнение
Решение. Вынося за скобку
общий множитель, имеем:
или 
,
,
,
,
,
Проверкой
убеждаемся, что корнями уравнения будут числа 
и
Ответ:
; 2.
2)
Сведение к эквивалентной системе уравнений и неравенств
Возведение
в четную степень уравнения вида 
состоит
в переходе к равносильной ему системе: 
Неравенство
в этой системе выражает условие, при
котором уравнение можно возводить в четную степень, отсекает постороннее
решение и позволяет обходиться без проверки.
Пример 4. Решить уравнение
Ответ: 0.
3)
Метод «уединения корня»
При
решении иррациональных уравнений полезно перед возведением обеих частей
уравнения в некоторую степень «уединить корень». Тогда, после возведения обеих
частей уравнения в некоторую степень корень с одной стороны исчезнет.
Пример 5. Решить уравнение
Решение. Уединим корень 
Это уравнение равносильно системе 
Оба
эти корня являются посторонними для исходного уравнения, т.к. 
Ответ:
Пример 6. Решить уравнение
Решение. Уединяя корень,
получим: 
Возводя
обе части этого уравнения в квадрат, получаем уравнение:
- это уравнение является следствием
исходного уравнения.
Возводя
обе части и этого уравнения в квадрат, получим:
Откуда, 
Проверка: 
(верно)
(неверно).
Ответ: 2.
4)
Введение новой переменной
Удачно
введенные новые переменные позволяют получить решение быстрее и проще. Иногда
без этой замены решить задачу вообще невозможно. Посредством подстановки иногда
удается привести иррациональное уравнение к рациональному.
Пример 7. Решить уравнение
Решение. Приведем
уравнение к виду
Обозначим
Имеем,
откуда 
- не удовлетворяет условию 
Тогда,
Оба
найденных значения 
являются корнями
заданного уравнения.
Ответ: 4; -1.
5)
Сведение к эквивалентной системе рациональных уравнений
Уравнение
вида 
где (
- некоторые числа, а 
и 
-
натуральные числа) и ряд других уравнений часто удается решить при помощи
введения двух вспомогательных неизвестных 
,
где 
и переходом к
эквивалентной рациональной системе.
Пример 8. Решить уравнение
Решение. Введем новые
переменные 
Тогда
Сложим оба уравнения и
получим: 
В
итоге получаем систему уравнений:
Вернемся
к начальной подстановке: 
Ответ:
1; 2; 10.
Пример 9. Решить уравнение
Решение. Введем новые
переменные:
(1)
Вычитая
из первого уравнения второе, получим:
Имеем
систему:
(2), т.к. 
Возведем
оба уравнения системы в квадрат, затем сложим их и получим:
Сложим уравнения системы (1). Имеем:
Получаем
следующую систему: 
Откуда получаем:
Нетрудно
угадать, что корнем будет 
Тогда
разложим многочлен на множители. Имеем: 
или
D
0 – нет
действительных
корней. После проверки убеждаемся, что 
-
корень уравнения.
Ответ: 2.
6)
Умножение обеих частей уравнения на функцию
Иногда
иррациональное уравнение удается решить проще, если обе части уравнения умножить
на удачно подобранную функцию. При этом могут появиться посторонние решения,
ими могут оказаться нули самой этой функции.
Поэтому,
требуется обязательное исследование получающихся значений.
Пример 10.
Решить уравнение 
Решение. Умножим обе
части уравнения на функцию 
,
которая является сопряженным для выражения 
Заметим,
что 
нигде в нуль не обращается
и не приведет к появлению посторонних решений.
Получим:
Решим
уравнение 
Уединим
корень и получим: 
Возведем обе
части уравнения в квадрат.
Заметим,
что 
, то уравнение 
не имеет решение.
Ответ:
.
Пример 11.
Решить уравнение 
(1)
Решение. Умножим обе
части уравнения на выражение 
сопряженное
выражению
Получим:
Вынося
за скобку, получим: 
(2)
Сложим
уравнение (1) с уравнением (2), тогда 
Возведем
обе части уравнения в квадрат и получим уравнение:
Проверкой
убеждаемся, что только 
является корнем
уравнения, а 
и 
- посторонние решения.
Ответ: 4.
7)
Решение иррациональных уравнений с использованием свойств входящих в них
функций
С
успехом можно применить свойства элементарных функций и при решении
иррациональных уравнений.
1.
Использование монотонности функции
Если
уравнение 
, где - возрастающая функция, а 
- убывающая функция и наоборот, то такое
уравнение имеет не более одного корня. Если удается нетрудно угадать корень, то
он и будет решением данного уравнения.
Пример 12.
Решить уравнение 
Решение. Это уравнение
можно попытаться решить возведением в квадрат (трижды!). Однако при этом
получится уравнение четвертой степени. Попробуем угадать корень. Это сделать
нетрудно: 
теперь заметим, что левая
часть уравнения – возрастающая функция, а правая – убывающая. Но это значит,
что больше одного корня такое уравнение иметь не может. Итак, 
- единственный корень.
Ответ: 1.
Пример 13.
Решить уравнение 
Решение. Традиционный
метод решения уравнений такого вида хорошо известен. Впрочем, легко заметить,
что 
- корень. Левая часть
уравнения задает возрастающую функцию, правая – константу. Следовательно,
данное уравнение может иметь не более одного корня. Итак, - единственный корень.
Ответ: 1.
2.
Использование ОДЗ
Иногда
знание ОДЗ позволяет доказать, что уравнение не имеет решений, а иногда
позволяет найти решения уравнения непосредственной подстановкой чисел ОДЗ.
Пример 14.
Решить уравнение 
Решение. ОДЗ этого
уравнения состоит из всех х, одновременно удовлетворяющих условиям 
и 
,
то есть ОДЗ есть пустое множество. Этим решение уравнения завершается, так как
установлено, что ни одно число не может являться решением, то есть уравнение не
имеет корней.
Ответ: корней нет.
Пример 15.
Решить уравнение 
Решение. Конечно, это
иррациональное уравнение можно решить путем традиционного возведения обеих
частей в квадрат. Однако, найдя ОДЗ этого уравнения, приходим к выводу, что ОДЗ
исходного уравнения – одноэлементное множество 
.
Подставив 
в данное уравнение,
приходим к выводу, что - корень
исходного уравнения.
Ответ: .
3.
Использование графиков функций
При
решении уравнений или неравенств иногда полезно рассмотреть эскиз графиков их
правой и левой частей в одной и той же системе координат. Тогда этот эскиз
графиков поможет выяснить, на какие множества надо разбить числовую ось, чтобы
на каждом из них решение уравнения (или неравенства) было очевидно.
Обратим
внимание, что эскиз графика лишь помогает найти решение, но писать, что из
графика следует ответ, нельзя, ответ еще надо обосновать.
Пример 16.
Решить уравнение 
Решение. ОДЗ данного
уравнения есть все х из промежутка 
Эскизы
графиков функций 
и 
представлены на
рисунке.
y
3
А(-1;2)
2 
-2 -1 0 2 х
Проведем
прямую у = 2. Из рисунка видно, что график функции f(x)
лежит не ниже этой прямой, а график функции g(x)
не выше. При этом эти графики касаются прямой у = 2 в разных точках.
Следовательно, уравнение не имеет решений. Докажем это. Для каждого 
имеем 
а
При этом, f(x)
= 2 только для х = -1, а g(x)
= 2 только для х = 0. Это означает, что исходное уравнение не имеет
корней.
Ответ: корней нет.
1.3.
Системы иррациональных уравнений
При
решении систем иррациональных уравнений применяются те же приемы, что и при
решении систем алгебраических уравнений.
Следует
подчеркнуть, что во многих случаях, прежде, чем применить тот или иной метод
решения систем, следует преобразовать каждое уравнение системы к возможно более
простому виду.
Пример 17.
Решить систему уравнений 
Решение. Введем новую переменную
для решения первого уравнения системы, т.е. 
Откуда,
Следует решить
совокупность двух систем.
при 
или 
Итак, получены 3 пары х и у,
которые являются решением их системы: 
Ответ:
Пример 18.
Решить систему уравнений: 
Решение. Упростим
отдельно первое уравнение:
Обозначим 
где 
Т.
к. 
, получаем:
Т. к. 
то
- не удовлетворяет
уравнению 
Переходя
к системе имеем: 
Сложим первое уравнение со вторым и
получим:
Откуда 
Подставим
полученные значения у в уравнение 
Проверкой
убеждаемся, что решением системы являются две пары переменных.
Ответ: 
Задания
для самостоятельной работы:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
21)
22)
23)
24)
25)
26)
27)
28)
29)
30)
2.
Иррациональные неравенства
Неравенства
вида 
называются простейшими
иррациональными неравенствами.
Основным
методом решения иррациональных неравенств является метод сведения исходного
неравенства к равносильной системе рациональных неравенств или совокупности
таких систем с учетом области определения, с оценкой знака левой и правой части
неравенства.
Неравенства
вида:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Пример 1. Решить
неравенство 
Решение. Область
определения неравенства 
На
множестве 
левая часть неравенства
неотрицательна, а правая часть может принимать как неотрицательные, так и
отрицательные значения. В первом случае можно обе части неравенства возвести в
квадрат (т.е. получится равносильное неравенство), а во втором этого делать
нельзя, т.к. получается, что левая часть неотрицательна, а правая часть
отрицательна, а это противоречит смыслу неравенства.
Итак,
неравенство равносильно следующей системе:
Ответ: 
Пример 2. Решить
неравенство 
Решение. Область
определения 
Как
и в предыдущем случае, правая часть может быть неотрицательна и отрицательна.
Оба случая не противоречат смыслу неравенства. Таким образом, неравенство
равносильно совокупности систем:
Ответ: 
Пример 3. Решить
неравенство 
Решение. Возведя неравенство
в третью степень, получим неравенство, равносильное данному.
Ответ: 
Пример 4. Решить
неравенство 
Решение. Решение
неравенства равносильно совокупности двух систем:
Ответ:
Пример
5. Решить неравенство 
Решение.
Данное неравенство равносильно совокупности двух систем:
Объединяя
оба решения, получим: 
Пример
6. Решить неравенство 
Решение.
Область определения неравенства 
Упростим
левую часть неравенства.
Обозначим
тогда имеем квадратное
неравенство 
Ответ:
Пример
7. Решить неравенство 
Решение.
Область определения неравенства: 
Обозначим
Имеем,
т.к. 
1)
Из 
При 
подкоренное выражение положительно,
поэтому возведем обе части неравенства в квадрат и получим:
Ответ: 
Пример 8. Решить
неравенство 
Решение. Область
определения неравенства 
множество
всех действительных чисел.
Обозначим
Тогда,
имеем: 
Это
выполнимо при 
Тогда 
(ОДЗ
, 
).
Тогда,
Ответ:
Задания
для самостоятельной работы:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
21)
22)
23)
Список
литературы:
1.
Алимов Ш. А. Алгебра и начала анализа. Учебник для 10-11 кл.ср.школы. – М.:
Просвещение, 2013. – 254 с.
2.
Болтянский В. Г. Математика: лекции, задачи, решения. – литва: Альфа, 2006. –
637 с.
3.
Вавилов В. В. и др. Задачи по математике. Уравнения и неравенства. Справочное
пособие. – М.: «Наука», 1987. – 144 с.
4.
Виленкин Н. Я и др. Алгебра и математический анализ. 11 кл. Учебное пособие для
школ и классов с углубленным изучением математики. – М.: Просвещение, 2008. –
288 с.
5.
Литвиненко В. Н., Мордкович А. Г. Практикум по элементарной математике. – М.:
Просвещение, 2007. – 157 с.
6.
Колмогоров А. Н. Алгебра и начала анализа: учебник для 10-11 кл. ср.школы. –
М.: Просвещение, 2001. – 206 с.
7.
Никольский С. М. и др. Алгебра и начала анализа. 11 кл. – М.: Просвещение,
2006. – 223 с.
8.
Симонов А. Я. и др. Система тренировочных задач и упражнений по математике. –
М.: Просвещение, 2008. – 30 с.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.