Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Учебно-методическое пособие по дисциплине "Математика" для изучения раздела "Логарифмы. логарифмическая функция"
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Педагогическая деятельность в соответствии с новым ФГОС требует от учителя наличия системы специальных знаний в области анатомии, физиологии, специальной психологии, дефектологии и социальной работы.

Только сейчас Вы можете пройти дистанционное обучение прямо на сайте "Инфоурок" со скидкой 40% по курсу повышения квалификации "Организация работы с обучающимися с ограниченными возможностями здоровья (ОВЗ)" (72 часа). По окончании курса Вы получите печатное удостоверение о повышении квалификации установленного образца (доставка удостоверения бесплатна).

Автор курса: Логинова Наталья Геннадьевна, кандидат педагогических наук, учитель высшей категории. Начало обучения новой группы: 27 сентября.

Подать заявку на этот курс    Смотреть список всех 216 курсов со скидкой 40%

Учебно-методическое пособие по дисциплине "Математика" для изучения раздела "Логарифмы. логарифмическая функция"

библиотека
материалов

ЗАПАДНЫЙ

ФИЛИАЛ



hello_html_m325155cb.gif


УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

Дисциплина: Математика

Тема: «Логарифмы. Логарифмическая функция»

Составитель: Горская Н.В - преподаватель



Пояснительная записка

Данное пособие предназначено для студентов 1 курса(базовый уровень) для самостоятельной работы..

Дидактические материалы в пособии снабжены решениями или указаниями сразу после их формулировки.

В пособии содержатся:

  • дидактические материалы к теме программы, а также материалы, позволяющие организовать повторение изученного;

  • самостоятельные работы по теме.

Каждый раздел включает;

справочные сведения;

примеры и задачи с подробными решениями;

разноуровневые задачи для самостоятельной работы в двух вариантах, позволяющие организовать «плавную» дифференциацию работы с группой (каждое задание имеет условную балловую оценку степени его сложности).

  • Используя балловую оценку заданий для самостоятельной работы и для подготовки к экзаменам, можно организовать: «плавную» дифференциацию обучения математике: в зависимости от качества усвоения темы каждому студенту предлагать конкретный балловый диапазон выполняемых заданий, помогая постепенно поднимать уровень своих математических знаний и умений;

  • разнообразные виды частично-самостоятельных; самостоятельных и проверочных работ, предложив, например, к выполнению избыточный

иной оценки («3», «4» или «5»),

Обязательному базовому уровню знаний и умений соответствуют задания, оцененные в пособии, в основном, баллами 1, 2, 3,4.

Студенты, претендующие на отличную оценку, должны справляться с заданиями, оцененными в 1—7 баллов.



Содержание:

  1. Логарифмы

  2. Свойства логарифмов

  3. Десятичные и натуральные логарифмы

  4. Логарифмическая функция и ее график

  5. Обратная функция

  6. Логарифмические уравнения

  7. Логарифмические неравенства



ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ

ФУНКЦИЯ


Логарифмы

Справочные сведения

Логарифмом положительного числа b по основанию а (записывают logа b), где а > 0, а ≠ 1, называют показатель степени, в которую нужно возвести число a, чтобы получить число b.

Равенство

hello_html_m57a8a757.gif

где b > 0, а > 0, а ≠ 1 называют основным логарифмическим тождеством.

х = logab — корень уравнения ах = b. где а > 0. а ≠ 1, b> 0.

Примеры с решением

  1. Найти 1) hello_html_m72453a65.gif; 2) hello_html_23a52c26.gif; 3) hello_html_494b4974.gif.

Решение. 1) По определению логарифма (согласно основному логарифмическому тождеству) hello_html_4e5bc5ec.gif;

2) hello_html_m3af96bd.gif

3) hello_html_3d6d3098.gif.

  1. Вычислить : 1) hello_html_m4fc00b68.gif; 2) hello_html_m34040acd.gif; 3) hello_html_m6ab05b13.gif.

Решение. 1) hello_html_m53f17ce9.gif, так как hello_html_m2ccf257c.gif.

2)Пусть hello_html_m70a3d892.gif. Тогда определению логарифма hello_html_m41a1ef09.gif=

= 16 или hello_html_3fe094e2.gif. откуда hello_html_m56f396c3.gif



Пусть hello_html_m4400293.gif. Тогда по определению логарифма hello_html_m218857c2.gif

=27 , откуда hello_html_21940c0.gif

  1. Выяснить при каких значениях x имеет смысл выраженное:

1) hello_html_517220c2.gif: 2) hello_html_63b53bd2.gif.

Решение. 1) Выражение hello_html_m2a5929d5.gif имеет смысл , когда hello_html_b39bcb6.gif

и hello_html_m6a68acf9.gifТак как hello_html_416e7ec3.gifто hello_html_5e90400.gif имеет

смысл при hello_html_m1d68fb60.gif, т.е. при hello_html_54d2ed96.gif

2)Так как hello_html_1cdd06c2.gifто hello_html_m69b4947.gif имеет смыл при hello_html_c47f22d.gif

hello_html_39107a1f.gifи hello_html_3561d2dd.gifт.е. при hello_html_m73ff5a01.gif и hello_html_m20acf13.gif

  1. Решить уравнение 1) hello_html_m48cd1fec.gif; 2) hello_html_4560501e.gif.

Решение. 1)Из равенства hello_html_m48cd1fec.gifпо определению

логарифма следует, что , hello_html_m4f73d294.gif откуда hello_html_ece1d40.gif.

2)Корень уравнения hello_html_m1f71fe08.gifесть число

hello_html_m5cb4e1de.gif. В данном случае hello_html_639c7568.gif.

Задание для самостоятельной работы

Вариант I

Вычислить (1-14):

  1. 2 hello_html_7ecf13ee.gif

  2. hello_html_40b2d1fc.gif

  3. 4 hello_html_m73b8e4ef.gif

  4. 4 hello_html_m397c748c.gif

  5. 4 hello_html_m6814714d.gif

  6. 5 hello_html_2a7a30f2.gif

  7. 3 hello_html_m417fa7c1.gif

  8. 4 hello_html_6706c883.gif

  9. 4 hello_html_468029d0.gif

  10. 5 hello_html_30a165d4.gif

  11. 6 hello_html_m38d4f384.gif

  12. 6 hello_html_m24110674.gif

  13. 5 hello_html_60f12794.gif

  14. 5 hello_html_186e9383.gif



Вариант II

Вычислить (1-14):

  1. 2 hello_html_m6861238c.gif

  2. 4 hello_html_m7db5aa24.gif

  3. 4 hello_html_m274164f1.gif

  4. 4 hello_html_16b24fc.gif

  5. 4 hello_html_3ad2217a.gif

  6. 5 hello_html_750cc019.gif

  7. 3 hello_html_m3ecdda14.gif

  8. 4 hello_html_m5be9e86.gif

  9. 4 hello_html_m16f05dc5.gif

  10. 5 hello_html_m2f3fec18.gif

  11. 6 hello_html_m646829f1.gif

  12. 6 hello_html_m755d5dc5.gif

  13. 5 hello_html_5b2349f3.gif

  14. 5 hello_html_43a6aa60.gif




Выяснить при каких значениях x имеет смысл выражение

(15-23):

  1. 2 hello_html_m7ae1cc3c.gif

  2. 3 hello_html_24277728.gif

  3. 3 hello_html_m683a6851.gif

  4. 4 hello_html_m3c5bc792.gif

  5. 5 hello_html_3f7c5774.gifгде hello_html_38f333ed.gif

  6. 4 hello_html_6ad3a720.gif

  7. 4 hello_html_m471ddca6.gif

  8. 5 hello_html_m4c2da9be.gif

  9. 4 hello_html_6bc9d034.gif

Решить уравнение(24-37)


  1. 2 hello_html_6f078a2b.gif

  2. 3 hello_html_m32336a5.gif

  3. 3 hello_html_22fcf311.gif

  4. 3 hello_html_m1eca4dc2.gif

  5. 4 hello_html_m5b9e6967.gif

  6. 4 hello_html_m3f684d2c.gif

  7. 4 hello_html_m39572ad8.gif

  8. 4 hello_html_43112f2a.gif

  9. 4 hello_html_m6c3c8038.gif

  10. 4 hello_html_37f13c01.gif

  11. 4 hello_html_3a296ecb.gif

  12. 3 hello_html_3d2a3f54.gif

  13. 4 hello_html_7af40ea3.gif

  14. 4 hello_html_15739419.gif


Выяснить при каких значениях x имеет смысл выражение

(15-23):

  1. 2 hello_html_mac521f5.gif

  2. 3 hello_html_m2f11f011.gif

  3. 3 hello_html_4d7b3c8f.gif

  4. 4 hello_html_m208e7e11.gif

  5. 5 hello_html_7956018.gif, где hello_html_4c453cc5.gif

  6. 4 hello_html_144c1c0c.gif

  7. 4 hello_html_3b3a62d9.gif

  8. 5 hello_html_m1dd555a4.gif

  9. 4 hello_html_m56ac1e9b.gif

Решить уравнение(24-37)


  1. 2 hello_html_m2f8c3c1a.gif

  2. 3 hello_html_ce7b8b8.gif

  3. 3 hello_html_m7ae1cc3c.gif

  4. 3 hello_html_m219d601c.gif

  5. 4 hello_html_195291f7.gif

  6. 4 hello_html_m64a8f97d.gif

  7. 4 hello_html_3803d333.gif

  8. 4 hello_html_m385528ec.gif

  9. 4 hello_html_d00ece1.gif

  10. 4 hello_html_72617051.gif

  11. 4 hello_html_644af609.gif

  12. 3 hello_html_m46217362.gif

  13. 4 hello_html_1e404529.gif

  14. 4 hello_html_c80257c.gif




Свойства логарифмов

Справочные сведения

Если hello_html_6c2e9736.gif- любое действительное число,

то:

  1. hello_html_m6037e27a.gif

  2. hello_html_6152721.gif

  3. hello_html_19490d7e.gif, в частности ,hello_html_4e4491b.gif


  1. hello_html_m6037e27a.gif

  2. hello_html_6152721.gif

  3. hello_html_19490d7e.gif, в частности ,hello_html_4e4491b.gif

  1. hello_html_m6037e27a.gif

  2. hello_html_6152721.gif

  3. hello_html_19490d7e.gif, в частности ,hello_html_4e4491b.gif

  1. hello_html_m6037e27a.gif

  2. hello_html_6152721.gif

  3. hello_html_19490d7e.gif, в частности ,hello_html_4e4491b.gif

  1. hello_html_m6037e27a.gif

  2. hello_html_6152721.gif

  3. hello_html_19490d7e.gif, в частности ,hello_html_4e4491b.gif

  1. hello_html_m6037e27a.gif

  2. hello_html_6152721.gif

  3. hello_html_19490d7e.gif, в частности ,hello_html_4e4491b.gif

  1. hello_html_m6037e27a.gif

  2. hello_html_6152721.gif

  3. hello_html_19490d7e.gif, в частности ,hello_html_4e4491b.gif

  1. hello_html_m6037e27a.gif

  2. hello_html_6152721.gif

  3. hello_html_19490d7e.gif, в частности ,hello_html_4e4491b.gif

  1. hello_html_m6037e27a.gif

  2. hello_html_6152721.gif

  3. hello_html_19490d7e.gif, в частности ,hello_html_4e4491b.gif

  1. hello_html_m6037e27a.gif

  2. hello_html_6152721.gif

  3. hello_html_19490d7e.gif, в частности ,hello_html_4e4491b.gif


  1. hello_html_m6037e27a.gif

  2. hello_html_6152721.gif

  3. hello_html_19490d7e.gif, в частности ,hello_html_4e4491b.gif

  1. hello_html_m6037e27a.gif

  2. hello_html_6152721.gif

  3. hello_html_19490d7e.gif, в частности ,hello_html_4e4491b.gif

  1. hello_html_m6037e27a.gif

  2. hello_html_6152721.gif

  3. hello_html_19490d7e.gif, в частности ,hello_html_4e4491b.gif


  1. hello_html_m6037e27a.gif

  2. hello_html_6152721.gif

  3. hello_html_19490d7e.gif, в частности ,hello_html_4e4491b.gif

  1. hello_html_m6037e27a.gif

  2. hello_html_6152721.gif

  3. hello_html_19490d7e.gif, в частности ,hello_html_4e4491b.gif

  1. hello_html_m6037e27a.gif

  2. hello_html_6152721.gif

  3. hello_html_19490d7e.gif, в частности ,hello_html_4e4491b.gif


Примеры с решениями

  1. Вычислить:

1) hello_html_2bbfd3d5.gif

2) hello_html_6faf250e.gif

3) hello_html_2ab39608.gif

Решение.

  1. hello_html_m76a08ab.gif

  2. hello_html_1076e5a5.gif

  3. hello_html_1cdd5d67.gif

hello_html_4df9eb0.gif

  1. Зная что hello_html_m7aad86d7.gif.найти: 1) hello_html_54c634ca.gif; hello_html_ma652bbf.gif.

Решение.

1) hello_html_m353fb22c.gif;

2) hello_html_mc15559e.gif.

3. Даны числа: 1)1; 2)0; 3) hello_html_61f29ae2.gif. Записать каждое из них в виде логарифмов некоторого числа по основанию 2.

Решение. 1) hello_html_m44ed4577.gif; 2) hello_html_m7c8103f6.gif:

3) hello_html_m4340eadc.gif.

  1. hello_html_m6037e27a.gif

  2. hello_html_6152721.gif

  3. hello_html_19490d7e.gif, в частности ,hello_html_4e4491b.gif




  1. hello_html_m6037e27a.gif

  2. hello_html_6152721.gif

  3. hello_html_19490d7e.gif, в частности ,hello_html_4e4491b.gif

  1. hello_html_m6037e27a.gif

  2. hello_html_6152721.gif

  3. hello_html_19490d7e.gif, в частности ,hello_html_4e4491b.gif

  1. hello_html_m6037e27a.gif

  2. hello_html_6152721.gif

  3. hello_html_19490d7e.gif, в частности ,hello_html_4e4491b.gif

  1. hello_html_m6037e27a.gif

  2. hello_html_6152721.gif

  3. hello_html_19490d7e.gif, в частности ,hello_html_4e4491b.gif

  1. hello_html_m6037e27a.gif

  2. hello_html_6152721.gif

  3. hello_html_19490d7e.gif, в частности ,hello_html_4e4491b.gif

  1. hello_html_m6037e27a.gif

  2. hello_html_6152721.gif

  3. hello_html_19490d7e.gif, в частности ,hello_html_4e4491b.gif

  1. hello_html_m6037e27a.gif

  2. hello_html_6152721.gif

  3. hello_html_19490d7e.gif, в частности ,hello_html_4e4491b.gif

  1. hello_html_m6037e27a.gif

  2. hello_html_6152721.gif

  3. hello_html_19490d7e.gif, в частности ,hello_html_4e4491b.gif

Задание для самостоятельной работы

Вариант I

Вычислить (1-9):

  1. 2 hello_html_m2eb16dd6.gif

  2. 3 hello_html_mc1b7a77.gif

  3. 3hello_html_2fc7a232.gif

  4. 3 hello_html_6f660382.gif

  5. 3 hello_html_m2131f664.gif

  6. 4 hello_html_m59b99a14.gif

  7. 5 hello_html_m26acaf6d.gif5

  8. 5 hello_html_m4b76bc9a.gif

  9. 6 hello_html_2aac44cb.gif

  10. 5 Зная ,чтоhello_html_m49319df.gif, найти:

1) hello_html_m2f33c8ef.gif; 2) hello_html_m16dbdba3.gif.

  1. 6 Зная ,чтоhello_html_69d378a.gif, найти: 1) hello_html_63a6dfcb.gif; 2) hello_html_475073d4.gif.

  2. Какие из выраженийhello_html_9a976a3.gifhello_html_m522f7214.gif имеют смысл?

  3. 4 Записать в виде логарифма Некоторого числа по основанию10 число: 1)1; 2)5: 3)hello_html_e7e68cf.gif.

Вариант II

Вычислить (1-9):

  1. 2 hello_html_440653a.gif

  2. 3 hello_html_m42fd5cf6.gif

  3. 3 hello_html_m6abe6097.gif

  4. 3 hello_html_m5742b294.gif

  5. 3 hello_html_m7afdaa44.gif

  6. 4 hello_html_43f123a4.gif

  7. 5 hello_html_m6e2c88b0.gif

  8. 5 hello_html_79152941.gif

  9. 6 hello_html_m46f50bea.gif

  10. hello_html_m568baa23.gif

  11. 5 Зная ,чтоhello_html_4bec70b1.gif, найти:

1) hello_html_4c16711f.gif; 2) hello_html_16c0d189.gif.

  1. 6 Зная ,чтоhello_html_38b7f65f.gif, найти:1) hello_html_246d11b5.gif; 2) hello_html_m280baf58.gif

  2. 4 Какие из выраженийhello_html_m5830a283.gifhello_html_7e4c00ad.gif имеют смысл?

  3. Записать в виде логарифма Некоторого числа по снованию

10 число:1)0; 2)-2: 3)hello_html_m169ade45.gif.





Десятичные натуральные логарифмы.

Формула перехода

Справочные сведения

Вместо hello_html_678100de.gifпишут lg b(читается: «десятичный логарифм числа b»)

Вместоhello_html_678100de.gif пишут lg b(читается: «натуральный логарифм числа b»)

Формула перехода от логарифма по одному основанию к логарифму

по другому основанию:

hello_html_m3b595848.gifгде b > 0, n > 0, hello_html_686fb712.gif,c > 0, hello_html_m3a67fdf3.gif.

Частные случаи формулы перехода:

a)hello_html_m5bc6f5a9.gif где hello_html_m5a5bddc2.gif;

б) hello_html_960336c.gif,где hello_html_46aa7a65.gif


Примеры с решениями

  1. С помощью микрокалькулятора вычислить hello_html_m61a9de8b.gif. Результат округлить до

сотых долей.

Решение . Микрокалькуляторы, позволяющие выполнять действия с

логарифмами, имеют только клавиши вычисления десятичных и натуральных

логарифмов, поэтому с помощью формулы перехода запишем данное число в

одном из возможных для вычисления видов: hello_html_m507a8ef.gif или hello_html_3763a3e2.gif.

Вычислив с помощью МК значение любой из этих дробей, получим hello_html_a12f966.gif.

  1. Зная, что hello_html_105e2592.gif.hello_html_m71949cd5.gif, найти : 1) hello_html_m58b9744d.gif; 2) hello_html_m8ab216f.gif

Решение. 1) hello_html_m145f493b.gif;

2) hello_html_m2bb2e3d4.gif

  1. Решить уравнение:

  1. hello_html_1b4ac532.gif

  2. hello_html_2935070a.gif

  3. hello_html_m368275d1.gif



Решение.

1)Преобразуем правую часть уравнения hello_html_m3ccd1a4f.gif

hello_html_m4542a4ab.gif. Таким образом, hello_html_m653f8f56.gif, откуда hello_html_646cbc95.gif

2)Выразим все логарифмы через логарифмы по основанию 2,учитывая что hello_html_m7c662aa8.gif

hello_html_682f4a3.gifТогда исходное уравнение запишется в виде hello_html_743fefa4.gif, откуда hello_html_m1219209c.gif,т.е. hello_html_74b0df5f.gif

3)Перейдем отhello_html_m13303582.gifк логарифму по основанию 6:

hello_html_2a538393.gif

Пусть hello_html_92331eb.gif, тогда исходное уравнение запишется в виде hello_html_68779249.gifили hello_html_m4771bbe4.gif,откуда hello_html_629f0ec3.gif

hello_html_4575e586.gif.Если hello_html_4c1e926f.gif,то hello_html_201a2ba9.gif а если hello_html_m470807f6.gif, то hello_html_m3a8b448b.gif.

Ответ. hello_html_m69205bf5.gif

Задание для самостоятельной работы

Вариант I

  1. Выразить hello_html_m678ce85c.gifчерез логарифм по основании 2.

  2. 2 Выразить hello_html_m12a628d1.gif через Логарифм по основанию 3. Зная, что hello_html_7203fb2f.gifhello_html_m15e9215c.gifс точностью до hello_html_7c83eb0f.gif найти (3-6):

  3. 3 hello_html_289aba40.gif

  4. 4 hello_html_m40d8d8a7.gif

  5. 4 hello_html_4a92945.gif

  6. 5 hello_html_mf0d841e.gif

  7. 6 Найти hello_html_6a085df.gif если hello_html_m686ac8e7.gif

Вариант II

  1. 2 Выразить hello_html_7ec52934.gifчерез логарифм по основании 2.

  2. 2 Выразить hello_html_72e3ef2c.gif через

Логарифм по основанию 3. Зная, что hello_html_m74eb2754.gifhello_html_m4600def6.gifс точностью до hello_html_7c83eb0f.gif найти (3-6):

  1. 3 hello_html_38fe7d8d.gif

  2. 4 hello_html_m699cd2f1.gif

  3. 4 hello_html_m9965de6.gif

  4. 5 hello_html_m2580f524.gif

  5. 6 Найти hello_html_38a5bb88.gif еслиhello_html_5ae8ef25.gif




Известно что hello_html_433cf5e6.gif

Найти (8-11):

  1. 3 hello_html_5e739594.gif

  2. 4 hello_html_m22f14145.gif

  3. hello_html_6aebd207.gif

  4. 4 hello_html_3664ab0e.gif

  5. 5 Используя МК, найти с

точностью до 0,01 значение

hello_html_45b3fa40.gif

  1. 5 Найти значение выражения

hello_html_m5622cd14.gif

  1. 5 Известно, что hello_html_1780babb.gif

hello_html_2c9545b1.gif; найти hello_html_60cdff43.gif.

Решить уравнение (15-23):

  1. 3 hello_html_d749c68.gif

  2. 4 hello_html_5af50f27.gif

  3. 4 hello_html_m60df24a3.gif

  4. 5 hello_html_m5c7f62c5.gif

  5. 5 hello_html_1ecb2081.gif

  6. 5 hello_html_21ac2717.gif

  7. 6 hello_html_25422733.gif

  8. 7 hello_html_m21497c07.gif

  9. 7 hello_html_m1b4d61ba.gif



Вариант II

Известно что hello_html_55030dca.gif

Найти (8-11):

  1. 3 hello_html_m5fb5fe45.gif

  2. 4 hello_html_277a08f4.gif

  3. 4 hello_html_6b6920f5.gif

  4. 4 hello_html_m334c2eae.gif

  5. 5 Используя МК, найти с

точностью до 0,01 значение

hello_html_m3fc0bd34.gif

  1. 5 Найти значение выражения

hello_html_m2e406a34.gif

  1. 5 Известно, что hello_html_m4082b35f.gif

hello_html_m20a5d6e5.gif; найти hello_html_m179534c5.gif.

Решить уравнение (15-23):

  1. 3 hello_html_298560c3.gif

  2. 4 hello_html_1b13b84d.gif

  3. 4 hello_html_m5ed21158.gif

  4. 5 hello_html_414bfb1.gif

  5. 5 hello_html_78579ea2.gif

  6. 5 hello_html_b53500e.gif

  7. 6 hello_html_5f8041c2.gif

  8. 7 hello_html_4249a74d.gif

  9. 7 hello_html_5f13b5.gif






  1. 8 Сбербанк начисляет по вкладам 12% годовых. Через какое время вклад удвоится?


  1. 8 Некоторая разновидность бактерий размножается таким образом, что через День их количество увеличатся на 40%.Через какое время количество бактерий утроится?



Логарифмическая функция и ее графиком


Справочные сведения

Логарифмическая функция – это функция вида hello_html_19f02d51.gif, где а –

Заданное число , hello_html_6f80ad56.gif.

Свойства логарифмической функции hello_html_19f02d51.gif

  1. Область определения – множество всех положительных чисел (x>0).

  2. Множество значений – множество всех действительных чисел hello_html_654a6819.gif

  3. График функции проходит через точку(1;0).

  4. hello_html_m5e5747ca.pngНа промежутке x>0 функция является :

возрастающей (рис.11). убывающей(рис.12).

  1. Функция принимает положительное значение (y>0):

При x>1 (рис 11) при 0<x<1 (рис 12).

  1. Функция принимает отрицательные значения(y<0):

При 0<x<1 (рис 11) при x>1 (рис 12).

При решении логарифмических уравнений и неравенствах используется следующие утверждения :

  1. Если hello_html_md07c549.gif то равенство hello_html_4756796.gifсправедливо тогда и только тогда, когда hello_html_m15b965a2.gif.

  2. Если hello_html_m6e6d94dd.gif то равенство hello_html_636fcb1f.gifсправедливо тогда и только тогда, когда hello_html_41354412.gif.

  3. Если hello_html_711e13d6.gif то равенство hello_html_636fcb1f.gifсправедливо тогда и только тогда, когдаhello_html_386af5b2.gif.



Примеры с решениями

  1. Построить график функции hello_html_1330a75.gif и с его помощью ;

  1. найти приближенное значение hello_html_4ca85425.gif и hello_html_m15d42999.gif;

  2. сравнить hello_html_61e54cc4.gif1 , 9 и 2.

Решение. Составим таблицу значений функции для некоторых значений аргумента:

x

hello_html_c106225.gif

hello_html_533e8f12.gif

hello_html_2d85e586.gif

hello_html_533e8f12.gif

hello_html_mf2f45d6.gif

hello_html_m3bd00ca8.gif

hello_html_4bc30aad.gif

-2

-1

0

1

2

3

На координатной плоскости отметим найденные точки (см. таблицу) и проведем через них плавную линию (рис. 13); при этом учитываем что функция hello_html_1ea2b777.gif определена при hello_html_m799bc7e5.gif.

  1. По графику функции находим hello_html_1ea2b777.gif

  2. Точка графика функции находим hello_html_1ea2b777.gif с абсциссой 1.9 лежит

Ниже прямой hello_html_7eca84dc.gif значит hello_html_m1c815aae.gif



hello_html_426da24.jpg


2. Выяснить ,является ли возрастающей или убывающей функция :

1) hello_html_2085bd31.gif 2) hello_html_m1de6cd0b.gif

Решение . 1) Так как hello_html_m491c5675.gif то (по свойству 4 ) функция hello_html_2085bd31.gif - возрастающая .

2) Так как hello_html_62fae124.gif то (согласно свойству 4) функция hello_html_m1de6cd0b.gif - убывающая

3. Изобразить схематически график функции :

1) hello_html_m50d87649.gif; 2) hello_html_474ba03e.gif

Решение. 1) При схематическом построение графика функции hello_html_m50d87649.gif (рис 14 ) учитываем, что :

функция определена при hello_html_m799bc7e5.gif;

график функции проходит через точку (0;1);

функция возрастающая , поскольку основание логарифма hello_html_198cc25b.gif.

Для более точного приближения схемы графика к графику функции hello_html_m799bc7e5.gif можно учитывать , что он проходит через точки (a;1) и hello_html_m5d099d5e.gif . В данном случaе график функции проходит через точки (5;1) и hello_html_m6c217d34.gif (рис .14).

2) Используя свойства логарифмической функцией hello_html_m7e48aa10.gif и зная , что график проходит через точки (1;0), hello_html_2cd8d25a.gif,(3;-1), строим схематически график функции hello_html_m7e48aa10.gif (рис. 15)

4. Сравнить числа 1) hello_html_m1b465e3d.gifиhello_html_m2b55dcc2.gif;2) hello_html_m65f5bb7f.gifиhello_html_m45cdd0d.gif.hello_html_m7ca228fa.png

Решение

1) Функция hello_html_656c5cf0.gif-возрастающая поскольку основание логарифма hello_html_198cc25b.gif; далее так как hello_html_3bbad457.gif то hello_html_m163ce70a.gif

2) Функция hello_html_7666145d.gif-убывающая hello_html_m472645d4.gifи hello_html_m3ca9e1b0.gifпоэтому hello_html_m57de5f22.gif

5. Выяснить положительным или отрицательным является число

1) hello_html_7b6d10eb.gif 2) hello_html_27e118f.gif.

Решение 1) Согласно свойству 6 функция hello_html_m65313ec4.gif (основание логарифма hello_html_m377e98ba.gif) при hello_html_m3572d.gifпринимает отрицательное значение т.е. hello_html_3a6608fa.gif (рис. 16)

2) В силу свойства 5 функция hello_html_md8d2c5d.gif (основание логарифма) hello_html_801de18.gif при hello_html_m6e7df4ae.gifпринимает положительное значение , т.е. hello_html_27abd44a.gif(рис. 17).

6. Сравнить с единицей число hello_html_3537dda6.gif если 1) hello_html_408dbea6.gif ;2) hello_html_m34dc8470.gif.

Решение Иллюстрируя свойства 5 и 6 схема графиков логарифмических функции (возрастающих или убывающих. В зависимости от основания логарифма ), находим :

1) hello_html_220886f0.gif; 2) hello_html_318f61c0.gif.

7. Решить уравнения 1) hello_html_29c74816.gif;2) hello_html_6dc500cc.gif

Решение

1) Согласно утверждению (1) (см. справочные сведения ) имеем hello_html_m628b3093.gif , откуда hello_html_m131a0a9c.gif.


hello_html_mc191800.png

1. 2 Найти приближенные значения hello_html_m23ecea1e.gif;

hello_html_m2bfe6085.gif;hello_html_m30dc76fc.gif;hello_html_540480d5.gif.

2. 2 Сравнить hello_html_m4a153daa.gif и hello_html_648e3c67.gif;hello_html_49b28218.gif

и hello_html_274d00af.gif.

3. 2 Сравнить hello_html_m16db4bee.gif и hello_html_83feff6.gif

4. 1 Определить знак чисел (сравнить с нулем ):

hello_html_m7ea56a62.gif;hello_html_m73c0a6ef.gif.

Используя графики функции hello_html_2227ce4a.gif(рис. 20),

Выполнить задания (5-8)

1. 2 Найти приближенные значения hello_html_m4a6683c2.gif;

hello_html_m68810a66.gif;hello_html_5cf125f2.gif;hello_html_4bab694d.gif.

2. 2 Сравнить hello_html_m48ca86c9.gif и hello_html_m4bb831db.gif;hello_html_m4a6683c2.gif

и hello_html_m279bcbe1.gif.

3. 2 Сравнить hello_html_5cf125f2.gif и hello_html_m5061d158.gif

4. 1 Определить знак чисел (сравнить с нулем ):

hello_html_m68810a66.gif;hello_html_15a47ffc.gif.

Используя графики функции hello_html_2dc38d83.gif(рис. 20),

Выполнить задания (5-8)

hello_html_m3945dea5.png



5. 2 Найти приближенные значения hello_html_4fed918c.gif;

hello_html_5ac6be86.gif;hello_html_m1da14f3b.gif;hello_html_m761ce745.gif.

6. 2 Сравнить hello_html_m675dd0c6.gif иhello_html_m3fead6c.gif;hello_html_m120cb428.gif

и hello_html_m50a034d9.gif.

7. 2 Сравнить hello_html_m2b26fcd.gif и hello_html_5cee92a3.gif

8. 1 Cравнить с нулем :

hello_html_15139be8.gif;hello_html_28c93653.gif.

Выяснить, является ли возрастающей или

убывающей функция (9-10)

9. 1 hello_html_m2823ceb.gif

10. 2 hello_html_m291bd361.gif

Сравнить числа (11-15):

11. 2 hello_html_7ec41494.gif иhello_html_78c75916.gif

12. 2 hello_html_32c14100.gif иhello_html_33e30a27.gif

13. 2 hello_html_53b900d8.gif иhello_html_6ee3d628.gif

14. 2 hello_html_m51097972.gif иhello_html_ab609.gif

15. 2 hello_html_m58ddf6dc.gif иhello_html_m2553067b.gif

Используя заданное соотношение, сравнить

с единицей положительное число x (16-19)

16. 2 hello_html_7727c648.gif

17. 2 hello_html_m365f19ba.gif

18. 2 hello_html_16394229.gif

19. 2 hello_html_64229e52.gif

Используя заданное соотношение, сравнить

с единицей положительное число x (20-23)

20. 3 hello_html_47a015f6.gif

21. 3 hello_html_m2f320944.gif

22. 3 hello_html_m13ee8411.gif


5. 2 Найти приближенные значения hello_html_4fed918c.gif;

hello_html_248c5419.gif;hello_html_62acc0e0.gif;hello_html_753c7879.gif.

6. 2 Сравнить hello_html_7b9dca5.gif и hello_html_m289bd58a.gif;hello_html_2b09b376.gif

и hello_html_m586627e7.gif.

7. 2 Сравнить hello_html_m775382d9.gif и hello_html_4ae8996b.gif

8. 1 Сравнить с нулем :

hello_html_406876e3.gif;hello_html_mac9eaee.gif.

Выяснить, является ли возрастающей или

Убывающей функция (9-10)

9. 1 hello_html_7a732e1d.gif

10. 2 hello_html_m41bfb8f3.gif

Сравнить числа (11-15):

11. 2 hello_html_69224c7b.gif иhello_html_m5c405bf8.gif

12. 2 hello_html_3c0c1224.gif иhello_html_6b33a4d2.gif

13. 2 hello_html_7829ad10.gif иhello_html_mc3af2dc.gif

14. 2 hello_html_517e0b18.gif иhello_html_m58ddf6dc.gif

15. 2 hello_html_ab609.gif иhello_html_m325f2533.gif

Используя заданное соотношение, сравнить

с единицей положительное число x (16-19)

16. 2 hello_html_m6d7f38e0.gif

17. 2 hello_html_m42eedcca.gif

18. 2 hello_html_mbe68e20.gif

19. 2 hello_html_m5bcb07c4.gif

Используя заданное соотношение, сравнить

с единицей положительное число x (20-23)

20. 3 hello_html_5e286577.gif

21. 3 hello_html_472d5d06.gif

22. 3 hello_html_m415796b0.gif





23. 3 hello_html_m136107a5.gif

Решить уравнение (24-27):

24. 2 hello_html_2f8d8f4d.gif

25. 2 hello_html_m3e230e63.gif

26. 3 hello_html_m10eb3a08.gif

27. 3 hello_html_m6c6403f3.gif

Решить неравенство (28-31):

28. 3 hello_html_451cb8d7.gif

29. 3 hello_html_17320da7.gif

30. 4 hello_html_48e3d775.gif

31. 5 hello_html_251f0bff.gif

Решить графически уравнение (32-33):

32. 4 hello_html_m39953bba.gif

33. 4 hello_html_m35136dbd.gif

Определить, какие точки с целочисленными координатами принадлежат графику функции

(34-35):

34. 7 hello_html_15b6efce.gif

35. 8 hello_html_745cf4f9.gif

23. 3 hello_html_706c8322.gif

Решить уравнение (24-27):

24. 2 hello_html_7fc70df3.gif

25. 2 hello_html_m47226520.gif

26. 3 hello_html_3f7aab73.gif

27. 3 hello_html_m2af0bfd2.gif

Решить неравенство (28-31):

28. 3 hello_html_621252fd.gif

29. 3 hello_html_m18726fb3.gif

30. 4 hello_html_m35e5385e.gif

31. 5 hello_html_750e6c55.gif

Решить графически уравнение (32-33):

32. 4 hello_html_m7c83190.gif

33. 4 hello_html_m780ed48e.gif

Определить, какие точки с целочисленными координатами принадлежат графику функции

(34-35):

34. 7 hello_html_63f59ba6.gif

35. 8 hello_html_m8c01f0d.gif

Обратная функция


Справочные сведения

Для нахождения функции, обратной к функции у = f(x). нужно решить уравнение f(x) = у относительно х (если это возможно), а затем поменять местами х и у. Если это уравнение имеет более одного корня, то функции, обратной к функции у = f(x), не существует.

Функции у = аx (показательная) и у = loga х (логарифмическая) взаимно обратные (рис. 22. 23).

Графики взаимно обратных функций симметричны относительно) прямой у = х.

hello_html_m369feeb.png


Примеры с решениями

  1. Найти функцию, обратную к функции hello_html_45faa192.gif.

Решение Решить уравнение hello_html_m21c38c4f.gifотносительно hello_html_3537dda6.gifнаходим hello_html_m61c47fb.gif. Заменив hello_html_1ccfdb64.gif на hello_html_m19baafca.gif и hello_html_m19baafca.gif на hello_html_1ccfdb64.gif,получим формулу, задающую обратную функцию : hello_html_m7b2f0635.gif.

  1. На одном рисунке построить графики функции hello_html_m484859c0.gifпри hello_html_m1a83f283.gif и обратной к ней функции. Найти обратную функцию. Указать область определения и множество значений исходной и к ней функций.

Решение. Строим график функции hello_html_m484859c0.gif при hello_html_m1a83f283.gifи симметричный ему относительно прямой hello_html_7cfa8d85.gifграфик обратной функции (рис. 24).

Для отыскания обратной функции выразим х черезhello_html_bf29fc8.gif, откуда hello_html_m10ea3b82.gif; так как по условию hello_html_44f58231.gif. то hello_html_5ea7cc3.gif. Заменив hello_html_1ccfdb64.gif на hello_html_m19baafca.gif и hello_html_m19baafca.gif на hello_html_1ccfdb64.gif. получаем формулу hello_html_m7772a128.gif, задающую обратную функцию.

Для функцииhello_html_m484859c0.gif область определения заданаhello_html_44f58231.gif; тогда множество значений hello_html_m48aa758c.gif. Для функции hello_html_m7772a128.gif область определения hello_html_m41a3ef19.gif, а множество значений hello_html_27d917a9.gif.

Найти область определения и множество значений функции , обратной к функции hello_html_2665505b.gif.



hello_html_64fc7ab.png

Решение. Находим функцию, обратную к данной: hello_html_m5c0e4126.gif,hello_html_m1807f255.gif, заменяем hello_html_1ccfdb64.gif на hello_html_m19baafca.gif и hello_html_m19baafca.gif на hello_html_1ccfdb64.gif: hello_html_60ddac12.gif. Область определения обратной функции — множество всех действительных чисел, кроме hello_html_2eb46a41.gif.

Множество значений обратной функции совпадает с областью определения исходной функции hello_html_m1949feae.gifЭта область; представляет собой множество всех действительных чисел, кроме hello_html_m77b0d379.gif, поэтому для обратной функции множеством значений является множество всех действительных чисел, кроме hello_html_m7dcd22ea.gif.

Задание для самостоятельной работы

Вариант I

Найти функцию, обратную к данной ;указать ей область определителя и множество значений (1-10):

1. 3 hello_html_m3d3ad9cc.gif

2. 4 hello_html_77e90623.gif

3. 5 hello_html_m523ab2bb.gif

4. 6 hello_html_m50c686f8.gif

Вариант II

Найти функцию, обратную к данной ;указать ей область определителя и множество значений (1-10):

1. 3 hello_html_m7a7df743.gif

2. 4 hello_html_m3a82267f.gif

3. 5 hello_html_306efdd5.gif

4. 6 hello_html_3e2b5ff4.gif


5. 4 hello_html_m29e029cf.gif

6. 5 hello_html_m21e5f45a.gif

7. 4 hello_html_75b801bc.gif

8. 5 hello_html_m24fd6b19.gif

9. 5 hello_html_m539f7499.gif

10. 5 hello_html_2a64d14c.gif

На одном рисунке построить графики данной функции и функции, обратной к данной (11-13):

11. 4 hello_html_48e824cd.gif

12. 6 hello_html_m67a86ecc.gifприhello_html_m1a83f283.gif

13. 6 hello_html_3770fd04.gifпри hello_html_m8af4c08.gif


5. 4 hello_html_m469fbcfa.gif

6. 5 hello_html_m7bea275a.gif

7. 4 hello_html_24f68325.gif

8. 5 hello_html_594979a5.gif

9. 5 hello_html_m4b08c944.gif

10. 5 hello_html_m77ad9be8.gif

На одном рисунке построить графики данной функции и функции, обратной к данной (11-13):

11. 4 hello_html_m3b8a598d.gif

12. 6 hello_html_4ab11c72.gifприhello_html_m5c39b473.gif

13. 6 hello_html_m6be81de7.gifпри hello_html_m41a3ef19.gif



Логарифмические уравнения

Справочные сведения

Если нее корни первого уравнения являются корнями второго уравнения, то второе уравнение называется следствием первого уравнения.

Если при решении уравнений переходят к следствиям исходного уравнения, то могут появиться посторонние корни. В таких случаях после нахождения корней необходима проверка. Например, после возведения обеих мастей уравнения в квадрат или после применения свойств логарифмов в ходе решения уравнения могут появиться посторонние корни.

Уравнения, имеющие одно и то же множество корней, называются равносильными.

Преобразования, которые приводят к потере корней, при решении уравнений делать нельзя.

При решении уравнений можно:

1) заменять уравнение равносильным ему уравнением (без. последующей проверки);





2) заменять уравнение ого следствием (с проверкой на выявление посторонних корней).


Примеры с решениями

  1. Выяснить, какое из уравнений hello_html_5f04fa37.gifиhello_html_68bc6ce2.gif является следствием другого.

Решение Первое уравнение имеет корни hello_html_m4c86f1d6.gif и hello_html_729dd9dc.gif, а второе – единственный корень hello_html_m77b0d379.gif. Поэтому первое уравнение является следствием второго .

  1. Выяснить, равносильны ли уравнения 1) hello_html_m3d121b45.gifиhello_html_m670f8f3a.gif;2) hello_html_55eb8829.gifиhello_html_m7b673b72.gif3) hello_html_m7b57d3b.gifиhello_html_m229cdb50.gif.

Ответ. 1) Равносильны; 2) равносильны; 3) не равносильны, так как множества их корней различны (в первом уравнении: : hello_html_m751635d8.gif; во втором уравнении: hello_html_m602aeba.gif, hello_html_m40616a04.gif).

  1. Решить уравнение, hello_html_m60a3891a.gif.

Решение. Заменим данное уравнение (на основании свойства суммы логарифмов) его следствием: hello_html_m3df3a23a.gif. Решим это уравнение. Имеем hello_html_2646c0f5.gif. откуда hello_html_m530a0b92.gif.

Проверка. 1) hello_html_m511b1975.gif является корнем исходного уравнения: hello_html_m2f113df5.gif:

2) hello_html_m511b1975.gif не является корнем исходного уравнения, поскольку при hello_html_m511b1975.gifлевая часть уравнения теряет смысл.

Ответ, hello_html_m59c96760.gif.

Задание для самостоятельной работы

Вариант I

Выяснить, какой из двух данных уравнений является следствием другого (1-4)

1 3 hello_html_36a2e9fe.gifиhello_html_641863c5.gif

Вариант II

Выяснить, какой из двух данных уравнений является следствием другого (1-4)

1 3 hello_html_1a12002.gifиhello_html_m287c29d5.gif


2. 4 hello_html_m3a855ea.gifиhello_html_m10b83bbc.gif

3. 5 hello_html_3f4522b7.gifиhello_html_600185ca.gif

4.6hello_html_f622074.gifиhello_html_m2a972afe.gif

Записать какое-нибуть следствие уравнения (15-14):

5. 3 hello_html_m535e822.gif

6. 4 hello_html_5938e14e.gif

7. 5 hello_html_10b413e1.gif

8. 6 hello_html_m3583d170.gif

9. 5 hello_html_m79c330f5.gif

10. 6 hello_html_m37036da3.gif

11. 5 hello_html_7d6f5578.gif

12. 5 hello_html_be3af37.gif

13. 6 hello_html_ma86295c.gif

14. 3 hello_html_m3203b063.gif

Объяснить, почему данные уравнения равносильны (15-17):

15. 3 hello_html_m5acc25cd.gifиhello_html_m50b1182a.gif

16. 3 hello_html_a4e6428.gifиhello_html_21a2f281.gif

17. 3 hello_html_m7c070be.gifиhello_html_m10084932.gif

Выяснить, равносильны ли уравнения

(18-21):

18. 3 hello_html_6ec46d0b.gifиhello_html_33d310a6.gif

2. 4 hello_html_m4d371a33.gifиhello_html_m4bd62efb.gif

3. 5 hello_html_m7565cd4e.gifиhello_html_7120879.gif

4.6hello_html_57f5bb5e.gifиhello_html_5353327a.gif

Записать какое-нибуть следствие уравнения (15-14):

5. 3 hello_html_m5d34aca3.gif

6. 4 hello_html_me746621.gif

7. 5 hello_html_61e801c6.gif

8. 6 hello_html_332d6628.gif

9. 5 hello_html_m6ced9acd.gif

10. 6 hello_html_m8830fea.gif

11. 5 hello_html_762004c9.gif

12. 5 hello_html_18ddd0f5.gif

13. 6 hello_html_7c959e29.gif

14. 3 hello_html_461b0a4e.gif

Объяснить, почему данные уравнения равносильны (15-17):

15. 3 hello_html_m4e25f39c.gifиhello_html_m1927265a.gif

16. 3 hello_html_m1fbafc2c.gifиhello_html_79051df2.gif

17. 3 hello_html_m3d911768.gifиhello_html_5b551dde.gif

Выяснить, равносильны ли уравнения

(18-21):

18. 3 hello_html_m719c87e7.gifиhello_html_6bc1dd5e.gif




19. 4 hello_html_m5a5efa56.gifиhello_html_m670f8f3a.gif

20. 5 hello_html_7c228e20.gif иhello_html_m36c6fe2b.gif

21. 5 hello_html_1e3ea9e6.gifиhello_html_7fff2b8.gif

22. 7 Следствие некоторого уравнения имеет три корня. Сколько корней может быть у исходного уравнения?

23. 8 Решить без ошибок два различных следствия одного и того же уравнения, в первом случае учащийся получит в качестве корней числа -2, 1 и 5, а во втором случае – числа -2, 0, 5 и 7 .

1) Можно ли на основании приведенных данных определить корни уравнения ?

2) Какие числа могут быть корнями исходного уравнения ?

Решить уравнение (24-39):

24. 4 hello_html_m4472c054.gif

25. 4 hello_html_m1dbe4282.gif

26. 4 hello_html_1021e1e3.gif

27. 4 hello_html_m35424eb2.gif

28. 5 hello_html_m5609b56b.gif

29. 5 hello_html_m11a0f382.gif

19. 4 hello_html_m4cad334d.gifиhello_html_m5acc25cd.gif

20. 5 hello_html_m10827a31.gifиhello_html_m242f6d86.gif

21. 5 hello_html_m1ca4ce0f.gifиhello_html_3196589e.gif

22. 7 Следствие некоторого уравнения имеет два корня. Сколько корней может быть у исходного уравнения?

23. 8 Решить без ошибок три различных следствия одного и того же уравнения, в первом случае учащийся получит в качестве корней числа -3, 0 и 2, а во втором случае – числа 0 и 5 , в третьем – числа 2 и 7.

Что можно сказать о корнях уравнения ?




Решить уравнение (24-39):

24. 4 hello_html_4e6521f.gif

25. 4 hello_html_5b4620f0.gif

26. 4 hello_html_m5406b214.gif

27. 4 hello_html_m429b613a.gif

28. 5 hello_html_7a497542.gif

29. 5 hello_html_46cbea6c.gif




30. 5 hello_html_7b9459d2.gif

31. 5 hello_html_m7f568ea7.gif

32. 6 hello_html_4a52a3.gif

33. 7 hello_html_2ec82a24.gif

34. 8 hello_html_5b3b01eb.gif

35. 4 hello_html_m46db7d98.gif

36. 5 hello_html_5cf2a167.gif

37. 4 hello_html_m1413c1a6.gif

38. 4 hello_html_569a91d4.gif

39. 5 hello_html_m2755552e.gif

Решить систему уравнений (40-41):

40. 7 hello_html_m65fbf28b.gif

41. 6 hello_html_m2e4a1c4a.gif

30. 5 hello_html_305bed74.gif

31. 5 hello_html_2eea4664.gif

32. 6 hello_html_m2389983a.gif

33. 7 hello_html_m4b023700.gif

34. 8 hello_html_m3808aa53.gif

35. 4 hello_html_m57f58fac.gif

36. 5 hello_html_397acec6.gif

37. 4 hello_html_m3a6dc44a.gif

38. 4 hello_html_139fda5f.gif

39. 5 hello_html_m6a5933e4.gif

Решить систему уравнений (40-41):

40. 7 hello_html_m2112ed15.gif

41. 6 hello_html_m174127c4.gif

Логарифмические неравенства


Справочные сведения

Простейшие логарифмические неравенства

hello_html_5ba766a7.gif (1)


и


hello_html_1497ff84.gif (2)


где hello_html_ffdcc44.gif, имеет решения при любом hello_html_1d00b35d.gif.





hello_html_m4c3eef5e.jpg


Если hello_html_m22dc0f88.gif (рис. 25), то множество решений неравенства (1) — промежуток hello_html_4386c9ba.gif,а множество решений неравенства (2) — интервал hello_html_m8474d39.gif.

Если hello_html_565b5d35.gif (рис. 26), то множество решений неравенства

интервал hello_html_m8474d39.gif, а множество решений неравенства

промежуток hello_html_4386c9ba.gif. Неравенство


hello_html_m1eb07572.gif

при hello_html_m287c29d5.gif равносильно двойному неравенству

hello_html_74edba6e.gif

а при hello_html_m287c29d5.gif — двойному неравенству

hello_html_m3686d62c.gif





Примеры с решениями


  1. Найти область определения неравенства


hello_html_m3a54ab97.gif


Решении. Область определения данного неравенства — множество значений х, при которых выражения, стоящие под знакамилогарифмов, положительны, т.е. множество знаменийhello_html_1ccfdb64.gif ,удовлетворяющих системе неравенств

hello_html_5a7e8189.gif

Множество решений первого неравенства системы — промежуток hello_html_m55758bef.gif; множество решений второго неравенства состоит из двух промежутков hello_html_7d064ef5.gif и hello_html_m7b0c3fca.gif., Оба неравенства системы выполняются при hello_html_m7b0c3fca.gif

Ответ, hello_html_m7b0c3fca.gif.

2. Решить неравенство: 1) hello_html_58fedd74.gif; 2) hello_html_m3f4ada9b.gif; 3) hello_html_m812b2c5.gif.

| Решение. 1) Так как hello_html_129d343d.gif, то данное неравенство можно записать в виде

Согласно свойству возрастания функции hello_html_5ba766a7.gif данное неравенство равносильно неравенству

hello_html_6549b30b.gif.

Ответ, hello_html_3df41f9b.gif.

2) Запишем данное неравенство в виде

hello_html_5ba766a7.gif.

Это неравенство равносильно системе неравенств

hello_html_2909dbe2.gifоткуда hello_html_e32847c.gif

Ответ. hello_html_713e8e51.gif

3)Данное неравенство, записанное в виде

hello_html_m61bd3ac.gif

равносильно системе неравенств

hello_html_3aa1a226.gif



Эта система равносильна каждой из следующих систем :

hello_html_1ea6125c.gif hello_html_54f56845.gif hello_html_m7e6c34b9.gif

Ответ. hello_html_6ef7376b.gif

Задание для самостоятельной работы

Вариант I

Найти область определения функции (1-2):

1. 1hello_html_63accabe.gif

2. 3hello_html_mbdfc8a7.gif

Найти область определения неравенства (3-4):

3. 4hello_html_51bcfaf1.gif

4. 5hello_html_32e0fbab.gif

Решить не равенство (5-34):

5. 3hello_html_27c23b97.gif

6. 3hello_html_m5181422a.gif

7. 3hello_html_605882f4.gif

8. 3hello_html_5923ee00.gif

9. 4hello_html_m6c948aab.gif

10. 4hello_html_m27d41d5d.gif

11. 4hello_html_46a2ac8a.gif

12. 4hello_html_m1e87ac42.gif

13. 4hello_html_4f85bf15.gif

14. 4hello_html_m329a10d5.gif

15. 4hello_html_408d3b4a.gif


Вариант II

Найти область определения функции (1-2):

1. 1hello_html_meb7b546.gif

2. 3hello_html_3f631e82.gif

Найти область определения неравенства (3-4):

3. 4hello_html_m19a4aaf.gif

4. 5hello_html_m2883c3f8.gif

Решить не равенство (5-34):

5. 3hello_html_m22ac12f6.gif

6. 3hello_html_m34e34303.gif

7. 3hello_html_m293f132b.gif

8. 3hello_html_m39715dc0.gif

9. 4hello_html_m2413a13c.gif

10. 4hello_html_20d207a9.gif

11. 4hello_html_54257287.gif

12. 4hello_html_m23fde68a.gif

13. 4hello_html_72fff5dd.gif

14. 4hello_html_66ed682d.gif

15. 4hello_html_33c211a8.gif




16. 4 hello_html_789ed356.gif

17. 4 hello_html_m1bd92d0c.gif

18. 4 hello_html_4adb3e5f.gif

19. 4 hello_html_m265d7aad.gif

20. 5 hello_html_m35895b3c.gif

21. 5 hello_html_2efc44e3.gif

22 5 hello_html_1228101b.gif

23. 5 hello_html_73523191.gif

24. 5 hello_html_m44574c0e.gif

25. 6 hello_html_ma711d17.gif

26. 6 hello_html_5905a5ed.gif

27. 5 hello_html_522f9865.gif

28. 5 hello_html_6ef7c665.gif

29. 5 hello_html_m34944614.gif

30. 6 hello_html_m4d484c2e.gif

31. 6 hello_html_mf5351d4.gif

32. 6 hello_html_50c39e3a.gif

33. 7 hello_html_58fda74f.gif

34. 7 hello_html_28743dd1.gif

16. 4 hello_html_7ab3b0b8.gif

17. 4 hello_html_10418389.gif

18. 4 hello_html_77072ec7.gif

19. 4 hello_html_40157c2a.gif

20. 5 hello_html_m61928aa.gif

21. 5 hello_html_28e87bbc.gif

22 5 hello_html_1f9c22f8.gif

23. 5 hello_html_29cf4281.gif

24. 5 hello_html_m303a1432.gif

25. 6 hello_html_m56b3a381.gif

26. 6 hello_html_md33918e.gif

27. 5 hello_html_m2f06ade6.gif

28. 5 hello_html_m6ecccc8b.gif

29. 5 hello_html_mc5487fd.gif

30. 6 hello_html_7c4b323a.gif

31. 6 hello_html_eca476c.gif

32. 6 hello_html_m6c5cee06.gif

33. 7 hello_html_233f3b42.gif

34. 7 hello_html_680b6fa.gif



Общая информация

Номер материала: ДВ-426372

Похожие материалы