Учебно-методическое пособие по дисциплине "Математика" для изучения раздела "Логарифмы. логарифмическая функция"

 

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

Дисциплина: Математика

Тема: «Логарифмы. Логарифмическая функция»

Составитель: Горская Н.В - преподаватель

Пояснительная записка

Данное пособие предназначено для студентов 1 курса(базовый уровень) для самостоятельной работы..

Дидактические материалы в пособии снабжены решениями или указаниями сразу после их формулировки.

В пособии содержатся:

Ø  дидактические материалы к теме программы, а также материалы, позволяющие организовать повторение изученного;

Ø  самостоятельные работы по теме.

Каждый раздел включает;

•справочные сведения;

•примеры и задачи с подробными решениями;

•разноуровневые задачи для самостоятельной работы в двух вариантах, позволяющие организовать «плавную» дифферен­циацию работы с группой (каждое задание имеет условную бал­ловую оценку степени его сложности).

•   Используя балловую оценку заданий для самостоятельной работы и для подготовки к экзаменам, можно организовать: «плавную» дифференциацию обучения математике: в зависимости от качества усвоения темы каждому студенту предлагать конкретный балловый диапазон выполняемых заданий, помогая постепенно поднимать уровень своих математических знаний и умений;

•  разнообразные виды частично-самостоятельных; самостоятельных и проверочных работ, предложив, например, к выполнению избыточный

иной оценки («3», «4» или «5»),

Обязательному базовому уровню знаний и умений соответствуют задания, оцененные в пособии, в основном, баллами 1, 2, 3,4.

Студенты, претендующие на отличную оценку, должны справляться с заданиями, оцененными в 1—7 баллов.

Содержание:

1)   Логарифмы

2)   Свойства логарифмов

3)   Десятичные и натуральные логарифмы

4)   Логарифмическая функция и ее график

5)   Обратная функция

6)   Логарифмические уравнения

7)   Логарифмические неравенства

ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ

 ФУНКЦИЯ

Логарифмы                                                                                                          

Справочные сведения

Логарифмом положительного числа b по основанию а (записывают log_а b), где а > 0, а ≠ 1, называют показатель степени, в которую нужно возвести число a, чтобы получить число b.

Равенство

где b > 0, а > 0, а ≠ 1 называют основным логарифмическим тождеством.

х = log_ab — корень уравнения а^х = b. где а > 0. а ≠ 1, b> 0.

Примеры с решением

1.        Найти  1) ;  2) ;  3) .

Решение.       1) По определению логарифма (согласно основному логарифмическому тождеству) ;

2)

3) .

2.        Вычислить :  1) ;  2) ;  3) .

Решение.             1) , так как .

2)Пусть . Тогда определению логарифма =

= 16 или . откуда

Пусть . Тогда по определению логарифма  

=27 , откуда

3.        Выяснить при каких значениях x имеет смысл выраженное:

1) :  2) .

Решение.              1) Выражение  имеет смысл , когда

и Так как то  имеет

смысл при , т.е. при

2)Так как то  имеет смыл при

 и т.е. при  и

4.        Решить уравнение 1) ;  2) .

Решение.              1)Из равенства по определению

логарифма следует, что ,  откуда .

2)Корень уравнения есть число

. В данном случае .

Задание для самостоятельной работы
	Вариант I Вычислить (1-14): 1.    2      2.            3.    4      4.    4      5.    4      6.    5      7.    3      8.    4      9.    4      10. 5      11. 6      12. 6      13. 5      14. 5	Вариант II Вычислить (1-14): 1.        2       2.        4       3.        4       4.        4       5.        4       6.        5       7.        3       8.        4       9.        4       10.      5       11.      6       12.      6       13.      5       14.      5

Выяснить при каких значениях x имеет смысл выражение (15-23): 15.      2      16.      3      17.      3      18.      4      19.      5      где 20.      4      21.      4      22.      5      23.      4      Решить уравнение(24-37) 24.      2      25.      3      26.      3      27.      3      28.      4      29.      4      30.      4      31.      4      32.      4      33.      4      34.      4      35.      3            36.      4      37.      4

Выяснить при каких значениях x имеет смысл выражение (15-23): 15.      2      16.      3      17.      3      18.      4      19.      5      , где 20.      4      21.      4      22.      5      23.      4      Решить уравнение(24-37) 24.      2      25.      3      26.      3      27.      3      28.      4      29.      4      30.      4      31.      4      32.      4      33.      4      34.      4      35.      3      36.      4      37.      4

Свойства логарифмов

Справочные сведения

Если - любое действительное число,

то:

38.      39.      40.      , в частности ,

41.      42.      43.      , в частности ,
44.      45.      46.      , в частности ,
47.      48.      49.      , в частности ,
50.      51.      52.      , в частности ,
53.      54.      55.      , в частности ,
56.      57.      58.      , в частности ,
59.      60.      61.      , в частности ,
62.      63.      64.      , в частности ,

1.       

2.       

3.        , в частности ,

65.      66.      67.      , в частности ,
68.      69.      70.      , в частности ,
71.      72.      73.      , в частности ,

74.      75.      76.      , в частности ,

77.      78.      79.      , в частности ,

80.      81.      82.      , в частности ,

Примеры с решениями

1.        Вычислить:

1)

2)

3)

Решение.

1.       

2.       

3.       

2.        Зная что .найти: 1) ; .

Решение.

1) ;

2) .

3. Даны числа: 1)1; 2)0; 3) . Записать каждое из них в виде логарифмов некоторого числа по основанию 2.

Решение. 1) ;  2) :

3) .

83.      84.      85.      , в частности ,

86.      87.      88.      , в частности ,
89.      90.      91.      , в частности ,
92.      93.      94.      , в частности ,
95.      96.      97.      , в частности ,
98.      99.      100.   , в частности ,
101.   102.   103.   , в частности ,
104.   105.   106.   , в частности ,
107.   108.   109.   , в частности ,

Задание для самостоятельной работы

Вариант I Вычислить (1-9): 1.        2 2.        3 3.        3 4.        3 5.        3 6.        4 7.        5 5    8.        5 9.        6 10.      5 Зная ,что, найти: 1) ;  2) . 11.      6 Зная ,что, найти: 1) ;  2) . 12.      Какие из выражений имеют смысл? 13.      4 Записать в виде логарифма Некоторого числа по основанию10 число: 1)1;  2)5:  3).

Вариант II Вычислить (1-9): 1.     2  2.     3  3.     3  4.     3  5.     3  6.     4  7.     5  8.     5 9.     6  10.   11.   5  Зная ,что, найти: 1) ;  2) . 12.   6 Зная ,что, найти:1) ;  2) 13.   4  Какие из выражений имеют смысл? 14.   Записать в виде логарифма Некоторого числа по снованию 10 число:1)0;  2)-2:  3).

Десятичные натуральные логарифмы.

Формула перехода

Справочные сведения

Вместо пишут lg b(читается: «десятичный логарифм числа b»)

Вместо пишут lg b(читается: «натуральный логарифм числа b»)

Формула перехода от логарифма по одному основанию к логарифму

по другому основанию:

 где b > 0,  n > 0, ,c > 0, .

Частные случаи формулы перехода:

a) где ;

б) ,где

Примеры с решениями

1.        С помощью микрокалькулятора вычислить . Результат округлить до

сотых долей.

Решение . Микрокалькуляторы, позволяющие выполнять действия с

логарифмами, имеют только клавиши вычисления десятичных и натуральных

логарифмов, поэтому с помощью формулы перехода запишем данное число в

одном из возможных для вычисления видов:  или .

Вычислив с помощью МК значение любой из этих дробей, получим .

2.        Зная, что ., найти : 1) ; 2)

Решение. 1) ;

2)

3.        Решить уравнение:

1)       

2)       

3)       

Решение.

1)Преобразуем правую часть уравнения

. Таким образом, , ^откуда 

2)Выразим все логарифмы через логарифмы по основанию 2,учитывая что

Тогда исходное уравнение запишется в виде , откуда ,т.е.

3)Перейдем отк логарифму по основанию 6:

Пусть , тогда исходное уравнение запишется в виде или ,откуда

.Если ,то  а если , то .

Ответ.    

Задание для самостоятельной работы

Вариант I 1.        Выразить через логарифм по основании 2. 2.        2  Выразить  через Логарифм по основанию 3. Зная, что с точностью до  найти (3-6): 3.        3  4.        4  5.        4  6.        5  7.        6  Найти  если

Вариант II 1.        2  Выразить через логарифм по основании 2. 2.        2  Выразить  через Логарифм по основанию 3. Зная, что с точностью до  найти (3-6): 3.        3  4.        4  5.        4  6.        5  7.        6  Найти  если

Известно что           Найти (8-11): 8.      3        9.        4        10.                11.      4        12.      5        Используя МК, найти с точностью до 0,01 значение                13.      5        Найти значение выражения 14.      5        Известно, что ; найти . Решить уравнение (15-23): 15.      3        16.      4        17.      4               18.      5        19.      5        20.      5        21.      6        22.      7        23.      7

Вариант II Известно что Найти (8-11): 8.        3    9.        4  10.      4  11.      4  12.      5 Используя МК, найти с точностью до 0,01 значение 13.      5  Найти значение выражения 14.      5  Известно, что ; найти . Решить уравнение (15-23): 15.      3  16.      4  17.      4  18.      5 19.      5  20.      5  21.      6  22.      7  23.      7

24.      8  Сбербанк начисляет по вкладам 12% годовых. Через какое время вклад удвоится?

25.      8   Некоторая разновидность бактерий размножается таким образом, что через День их количество увеличатся на 40%.Через какое время количество бактерий утроится?

Логарифмическая функция и ее графиком

Справочные сведения

Логарифмическая функция – это функция вида , где а –

Заданное число , .

      Свойства логарифмической функции

1.        Область определения – множество всех положительных чисел (x>0).

2.        Множество значений – множество всех действительных чисел

3.        График функции проходит через точку(1;0).

4.       
На промежутке x>0 функция является :

возрастающей (рис.11).                                                      убывающей(рис.12).

5.        Функция принимает положительное значение (y>0):

При x>1 (рис 11)                                                                 при 0<x<1 (рис 12).

6.        Функция принимает отрицательные значения(y<0):

При 0<x<1 (рис 11)                                                                            при x>1 (рис 12).

При решении логарифмических уравнений и неравенствах используется следующие утверждения :

1)        Если  то равенство справедливо тогда и только тогда, когда .

2)        Если  то равенство справедливо тогда и только тогда, когда .

3)        Если  то равенство справедливо тогда и только тогда, когда.

Примеры с решениями

1.        Построить график функции  и с его помощью ;

1)        найти  приближенное значение  и ;

2)        сравнить 1 , 9 и 2.

Решение. Составим таблицу значений функции для некоторых значений аргумента:

x
	-2	-1	0	1	2	3

На координатной плоскости отметим найденные точки (см. таблицу) и проведем через них плавную линию (рис. 13); при этом учитываем что функция  определена при .

1)        По графику функции находим

2)        Точка графика функции находим  с абсциссой 1.9 лежит

Ниже прямой  значит

2. Выяснить ,является ли возрастающей или убывающей функция :

1)  2)

Решение .    1) Так как  то (по свойству 4 ) функция  - возрастающая .

2) Так как  то (согласно свойству 4) функция  - убывающая

3. Изобразить схематически график функции :

1) ; 2)

Решение.    1) При схематическом построение графика функции  (рис 14 ) учитываем, что :

функция определена при ;

график функции проходит через точку (0;1);

функция возрастающая , поскольку основание логарифма .

Для более точного приближения схемы графика к графику функции  можно учитывать , что он проходит через точки (a;1) и  . В данном случaе график функции проходит через точки (5;1) и  (рис .14).

2) Используя свойства логарифмической функцией  и зная , что график проходит через точки (1;0), ,(3;-1), строим схематически график функции  (рис. 15)

4. Сравнить числа 1) и;2) и.

Решение

1) Функция -возрастающая поскольку основание логарифма ; далее так как  то  

2) Функция -убывающая и поэтому  

5. Выяснить положительным или отрицательным является число

1)  2) .

Решение               1) Согласно свойству 6 функция  (основание логарифма ) при принимает отрицательное значение т.е.  (рис. 16)

2) В силу свойства 5 функция  (основание логарифма)  при принимает положительное значение , т.е. (рис. 17).

6. Сравнить с единицей число  если 1)  ;2) .

Решение               Иллюстрируя свойства 5 и 6 схема графиков логарифмических функции (возрастающих или убывающих. В зависимости от основания логарифма ), находим :

1) ; 2) .

7. Решить уравнения 1) ;2)

Решение

1) Согласно утверждению (1) (см. справочные сведения ) имеем  , откуда .

1. 2 Найти приближенные значения ; ;;. 2. 2 Сравнить  и ; и . 3. 2 Сравнить  и 4. 1 Определить знак чисел (сравнить с нулем ): ;. Используя графики функции (рис. 20), Выполнить задания (5-8)

1. 2 Найти приближенные значения ; ;;. 2. 2 Сравнить  и ; и . 3. 2 Сравнить  и 4. 1 Определить знак чисел (сравнить с нулем ): ;. Используя графики функции (рис. 20), Выполнить задания (5-8)

5. 2 Найти приближенные значения ; ;;. 6. 2 Сравнить  и; и . 7. 2 Сравнить  и 8. 1 Cравнить с нулем : ;. Выяснить, является ли возрастающей или убывающей функция (9-10) 9. 1  10. 2  Сравнить числа (11-15): 11. 2   и 12. 2   и 13. 2   и 14. 2   и 15. 2   и Используя заданное соотношение, сравнить с единицей положительное число x (16-19) 16. 2  17. 2  18. 2  19. 2  Используя заданное соотношение, сравнить с единицей положительное число x (20-23) 20. 3  21. 3  22. 3

5. 2 Найти приближенные значения ; ;;. 6. 2 Сравнить  и ; и . 7. 2 Сравнить  и 8. 1 Сравнить с нулем : ;. Выяснить, является ли возрастающей или Убывающей функция (9-10) 9. 1  10. 2  Сравнить числа (11-15): 11. 2   и 12. 2   и 13. 2   и 14. 2   и 15. 2   и Используя заданное соотношение, сравнить с единицей положительное число x (16-19) 16. 2  17. 2  18. 2  19. 2  Используя заданное соотношение, сравнить с единицей положительное число x (20-23) 20. 3  21. 3  22. 3

23. 3  Решить уравнение (24-27): 24. 2  25. 2  26. 3  27. 3  Решить неравенство (28-31): 28. 3  29. 3  30. 4  31. 5  Решить графически уравнение (32-33): 32. 4  33. 4  Определить, какие точки с целочисленными координатами принадлежат графику функции (34-35): 34. 7  35. 8

23. 3  Решить уравнение (24-27): 24. 2  25. 2  26. 3  27. 3  Решить неравенство (28-31): 28. 3  29. 3  30. 4  31. 5  Решить графически уравнение (32-33): 32. 4  33. 4  Определить, какие точки с целочисленными координатами принадлежат графику функции (34-35): 34. 7  35. 8

Обратная функция

Справочные сведения

Для нахождения функции, обратной к функции у = f(x). нужно решить уравнение f(x) = у относительно х (если это возможно), а затем поменять местами х и у. Если это уравнение имеет более одного корня, то функции, обратной к функции у = f(x), не существует.

Функции у = а^x (показательная) и у = log_a х (логарифмиче­ская) взаимно обратные (рис. 22. 23).

Графики взаимно обратных функций симметричны относительно) прямой у = х.

Примеры с решениями

1.        Найти функцию, обратную к функции .

Решение         Решить уравнение относительно находим . Заменив  на  и  на ,получим формулу, задающую обратную функцию : .

2.        На одном рисунке построить графики функции при  и обратной к ней функции. Найти обратную функцию. Указать область определения и множество значений исходной и к ней функций.

Решение. Строим график функции  при и симметричный ему относительно прямой график обратной функции (рис. 24).

Для отыскания обратной функции выразим х через, откуда ; так как по условию . то . Заменив   на  и  на . получаем формулу , задающую обратную функцию.

Для функции область определения задана; тогда множество значений . Для функции  область определения , а множество значений .

Найти область определения и множество значений функции , обратной к функции .

Решение. Находим функцию, обратную к данной: ,, заменяем  на  и  на : . Область определения обратной функции — множество всех действительных чисел, кроме .

Множество значений обратной функции совпадает с областью определения исходной функции Эта область; представляет собой множество всех действительных чисел, кроме , поэтому для обратной функции множеством значений является множество всех действительных чисел, кроме .

Задание для самостоятельной работы

Вариант I Найти функцию, обратную к данной ;указать ей область определителя и множество значений  (1-10): 1.  3  2.  4  3.  5  4.  6

Вариант II Найти функцию, обратную к данной ;указать ей область определителя и множество значений  (1-10): 1.  3  2.  4  3.  5  4.  6

5.  4  6.  5  7.  4  8.  5  9.  5  10.  5  На одном рисунке построить графики данной функции и функции, обратной к данной (11-13): 11.  4  12.  6  при 13.  6  при

5.  4  6.  5  7.  4  8.  5  9.  5  10.  5  На одном рисунке построить графики данной функции и функции, обратной к данной (11-13): 11.  4  12.  6  при 13.  6  при

Логарифмические уравнения

Справочные сведения

Если нее корни первого уравнения являются корнями второго уравнения, то второе уравнение называется следствием первого уравнения.

Если при решении уравнений переходят к следствиям исходного уравнения, то могут появиться посторонние корни. В таких случаях после нахождения корней необходима проверка. Например, после возведения обеих мастей уравнения в квадрат или после применения свойств логарифмов в ходе решения уравнения могут появиться посторонние корни.

Уравнения, имеющие одно и то же множество корней, называются равносильными.

Преобразования, которые приводят к потере корней, при решении уравнений делать нельзя.

При решении уравнений можно:

1) заменять уравнение равносильным ему уравнением (без. последующей проверки);

2) заменять уравнение ого следствием (с проверкой на выявление посторонних корней).

Примеры с решениями

1.        Выяснить, какое из уравнений и является следствием другого.

Решение     Первое уравнение имеет корни  и , а второе – единственный корень . Поэтому первое уравнение является следствием второго .

2.        Выяснить, равносильны ли уравнения 1) и;2) и3) и.

Ответ. 1) Равносильны; 2) равносильны; 3) не равносильны, так как множества их корней различны (в первом уравнении: : ; во втором уравнении: , ).

3.        Решить уравнение, .

Решение. Заменим данное уравнение (на основании свойства суммы логарифмов) его следствием: . Решим это уравнение. Имеем . откуда .

Проверка. 1)  является корнем исходного уравнения: :

2)  не является корнем исходного уравнения, поскольку при левая часть уравнения теряет смысл.

Ответ, .

Задание для самостоятельной работы

Вариант I Выяснить, какой из двух данных уравнений является следствием другого (1-4) 1  3  и

Вариант II Выяснить, какой из двух данных уравнений является следствием другого (1-4) 1  3  и

2.  4  и 3.  5  и 4.6и Записать какое-нибуть следствие уравнения (15-14): 5.  3  6.  4  7.  5  8.  6  9.  5  10.  6  11.  5  12.  5  13.  6  14.  3  Объяснить, почему данные уравнения равносильны (15-17): 15.  3  и 16.  3  и 17.  3  и Выяснить, равносильны ли уравнения (18-21): 18.  3  и

2.  4  и 3.  5  и 4.6и Записать какое-нибуть следствие уравнения (15-14): 5.  3  6.  4  7.  5  8.  6  9.  5  10.  6  11.  5  12.  5  13.  6  14.  3  Объяснить, почему данные уравнения равносильны (15-17): 15.  3  и 16.  3  и 17.  3  и Выяснить, равносильны ли уравнения (18-21): 18.  3  и

19.  4  и 20. 5  и 21. 5 и 22.  7  Следствие некоторого уравнения имеет три корня. Сколько корней может быть у исходного уравнения? 23.  8  Решить без ошибок два различных следствия одного и того же уравнения, в первом случае учащийся получит в качестве корней числа -2, 1 и 5, а во втором случае – числа -2, 0, 5 и 7 . 1) Можно ли на основании приведенных данных определить корни уравнения ? 2) Какие числа могут быть корнями исходного уравнения ? Решить уравнение (24-39): 24.  4  25.  4  26.  4  27.  4  28.  5  29.  5

19.  4  и 20.  5  и 21.  5  и 22.  7  Следствие некоторого уравнения имеет два корня. Сколько корней может быть у исходного уравнения? 23.  8  Решить без ошибок три различных следствия одного и того же уравнения, в первом случае учащийся получит в качестве корней числа -3, 0 и 2, а во втором случае – числа 0 и 5 , в третьем – числа 2 и 7. Что можно сказать о корнях уравнения ? Решить уравнение (24-39): 24.  4  25.  4  26.  4  27.  4  28.  5  29.  5

30.  5  31.  5  32.  6  33.  7  34.  8  35.  4  36.  5  37.  4  38.  4  39.  5  Решить систему уравнений (40-41): 40.  7  41.  6

30.  5  31.  5  32.  6  33.  7  34.  8  35.  4  36.  5  37.  4  38.  4  39.  5  Решить систему уравнений (40-41): 40.  7  41.  6

Логарифмические неравенства

Справочные сведения

Простейшие логарифмические неравенства

                                                                                                   (1)

и

                                                                                                   (2)

где , имеет решения при любом .

Если  (рис. 25), то множество решений неравенства (1) — промежуток ,а множество решений неравенства (2) — интервал .

Если  (рис. 26), то множество решений неравенства

— интервал , а множество решений неравенства

— промежуток . Неравенство

при  равносильно двойному неравенству

а при  — двойному неравенству

Примеры с решениями

1.        Найти область определения неравенства

Решении. Область определения данного неравенства — множество значений х, при которых выражения, стоящие под знаками
логарифмов, положительны, т.е. множество знамений ,удовлетворяющих системе неравенств

Множество решений первого неравенства системы — промежуток ; множество решений второго неравенства состоит из двух промежутков  и ., Оба неравенства системы выполняются при

Ответ, .

2. Решить неравенство: 1) ; 2) ; 3) .

| Решение. 1) Так как , то данное неравенство можно записать в виде

Согласно свойству возрастания функции  данное не­равенство равносильно неравенству

.

Ответ, .

2) Запишем данное неравенство в виде

.

Это неравенство равносильно системе неравенств

откуда

Ответ.

3)Данное неравенство, записанное в виде

равносильно системе неравенств

Эта система равносильна каждой из следующих систем :

                 

Ответ.

Задание для самостоятельной работы

Вариант I Найти область определения функции (1-2): 1.  1 2.  3 Найти область определения неравенства (3-4): 3.  4 4.  5 Решить не равенство (5-34): 5.  3 6.  3 7.  3 8.  3 9.  4 10.  4 11.  4 12.  4 13.  4 14.  4 15.  4

Вариант II Найти область определения функции (1-2): 1.  1 2.  3 Найти область определения неравенства (3-4): 3.  4 4.  5 Решить не равенство (5-34): 5.  3 6.  3 7.  3 8.  3 9.  4 10.  4 11.  4 12.  4 13.  4 14.  4 15.  4

16.  4  17.  4  18.  4  19.  4  20.  5  21.  5  22  5  23.  5  24.  5  25.  6  26.  6  27.  5  28.  5  29.  5  30.  6  31.  6  32.  6  33.  7  34.  7

16.  4  17.  4  18.  4  19.  4  20.  5  21.  5  22  5  23.  5  24.  5  25.  6  26.  6  27.  5  28.  5  29.  5  30.  6  31.  6  32.  6  33.  7  34.  7