Учебно-методическое пособие по математике по теме "Основы дифференциального и интегрального исчисления"

МИНИСТЕРСТВО ЗДРАВООХРАНЕНИЯ ЧЕЛЯБИНСКОЙ ОБЛАСТИ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«САТКИНСКИЙ МЕДИЦИНСКИЙ ТЕХНИКУМ»

Учебно-методическое пособие

Для студентов медицинских техникумов и колледжей

по дисциплине:

«Математика»

Тема «Основы дифференциального и интегрального исчисления»

специальности 310201 «Лечебное дело», 340201 «Сестринское дело»

Сатка 2015

Рассмотрено на цикловой                                                       Утверждаю

методической комиссии                                                 зам. директора

«ОГСЭ, ОПД, ЕН»                                                         по учебной работе

_____________________                                      _____________________

_____________________                                      _____________________

Составитель преподаватель математики и физики ГБОУ СПО «Саткинский медицинский техникум» Валеев Руслан Фаилович

Содержание

Пояснительная записка…………………………………………………...…3

1. Производная функции…………………………………………………..8

1.1 Скорость прямолинейного движения…………………………………..8

1.2 Касательная к кривой…………………………………………………....8

1.3 Правила дифференцирования…………………………………………10

1.4 Производная сложной функции…………………….…………………10

1.5 Таблица производных………………………………….………………10

Вопросы для самоподготовки……………………………...………………11

Задания для самостоятельной работы…………………….………………11

2. Дифференциал функции………………………………………………16

2.1 Понятие дифференциала функции…………………………….………16

2.2 Геометрический смысл дифференциала функции…………………...16

2.3 Применение дифференциала к приближенным вычислениям……...17

Вопросы для самоподготовки……………………………………………..18

Задания для самостоятельной работы…………………………………….18

3. Неопределенный интеграл……………………………………………22

3.1 Понятие неопределенного интеграла…………………………………22

3.2 Свойства неопределенного интеграла………………………….……..23

3.3 Основные формулы интегрирования (табличные интегралы)………23

3.4 Метод непосредственного интегрирования…………………………..23

3.5 Интегрирование методом замены переменной……………………….24

Вопросы для самоподготовки……………………………………………..25

Задания для самостоятельной работы…………………………………….25

4. Определенный интеграл………………………………………………30

4.1 Определенный интеграл как предел интегральной суммы………….30

4.2 Геометрический смысл определенного интеграла…………………...30

4.3 Свойства определенного интеграла……………………………….......31

4.4 Формула Ньютона-Лейбница………………………………………….32

4.5 Интегрирование методом замены переменной……………………….33

Вопросы для самоподготовки……………………………………………..33

Задания для самостоятельной работы…………………………………….33

Литература…………………………………………………………………..39

Пояснительная записка

Цель преподавания математики в ССУЗе – ознакомить студентов с основами математического аппарата, необходимого для решения теоретических и практических задач; привить студентам умение самостоятельно изучать учебную литературу по математике и ее приложениям; развивать логическое мышление и формировать математическую  культуру; выработать навыки математического исследования прикладных вопросов и умение перевести задачу на математический язык.

Данное пособие предназначено для студентов 2-го курса отделений «Сестринское дело» и «Лечебное дело» для самостоятельной подготовки по темам «Производная функция», «Дифференциал», «Неопределенный интеграл» и «Неопределенный интеграл».

В соответствии с государственным стандартом в области математики после изучения темы:

Вы должны иметь представление:

·о математике как части мировой культуры и о месте математики в современной цивилизации, о способах описания на математическом языке явлений реального мира;

·о математических понятиях как о важнейших математических моделях, позволяющих описывать и изучать разные процессы и явления; понимание возможности аксиоматического построения математических теорий;

·об основных понятиях математического анализа и их свойствах, владение умением характеризовать поведение функций, использование полученных знаний для описания и анализа реальных зависимостей;

Вы должны уметь:

· решать прикладные задачи в области профессиональной деятельности

Вы должны знать:

· значение математики в профессиональной деятельности и при освоении профессиональной образовательной программы;

· основные математические методы решения прикладных задач в области профессиональной деятельности;

· основы интегрального и дифференциального исчисления.

Формируемые компетенции

OK 1-Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.

OK 2-Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

OK 3-Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность

OK 4-Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения возложенных на него профессиональных задач, а также для своего профессионального и личностного развития.

OK 5-Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности

OK 8-Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать и осуществлять повышение своей квалификации.

OK 9-Ориентироваться в условиях частой смены технологий в профессиональной деятельности.

OK12-Организовывать рабочее место с соблюдением требований охраны труда, производственной санитарии, инфекционной и противопожарной безопасности.

OK 14-Исполнять воинскую обязанность, в том числе с применением полученных профессиональных знаний (для юношей).

Методические указания

Уважаемые студенты вам предлагается поэтапное изучение темы «Основы дифференциально-интегрального исчисления».

В каждом разделе предлагаются контрольные вопросы и задания, приводятся решения некоторых примеров и задач, а также приводятся задачи и упражнения, предназначенные для самостоятельной работы.  

Выбор варианта производится соответственно номеру студента в списке группы.

1. Производная функции.

Понятие производной является одним из основных математических понятий. Производная широко используется при решении целого ряда задач математики, физики, биологии, других наук, в особенности при изучении скорости разных процессов.

1.1 Скорость прямолинейного движения.

Пусть материальная точка М движется неравномерно по некоторой прямой. Каждому значению времени t соответствует определенное расстояние OM=S до некоторой фиксированной точки O. Это расстояние зависит от истекшего времени t, т.е. S=S(t).

Это равенство называют законом движения точки. Требуется най­ти скорость движения точки.

Если в некоторый момент времени t точка занимает положение M, то в момент времени  t + Δt  (Δt — приращение времени) точка займет положение M₁, где ОМ₁ = S+ΔS  (ΔS — приращение расстояния) (см. рис. 1). Таким образом, перемещение точки М за время Δt будет ΔS = S(t +Δt) - S(t)

Отношение  выражает среднюю   скорость движения точки за время Δt:

Средняя скорость зависит от значения Δt: чем меньше Δt, тем точнее средняя скорость выражает скорость движения точки в данный момент времени t.

Предел средней скорости движения при стремлении к нулю про­межутка времени Δt называется скоростью движения точки в данный момент времени (или мгновенной скоростью). Обозначив эту скорость через V, получим

,

или

                                                                           (1.1)

1.2 Касательная к кривой.

Дадим сначала общее, определение касательной к кривой.

Возьмем на непрерывной кривой L две точки М и M₁ (см. рис.1.2).

Прямую MM₁ проходящую через эти точки, называют секущей.

Пусть точка M₁, двигаясь вдоль кривой L, неограниченно прибли­жается к точке М. Тогда секущая, поворачиваясь около точки M₁, стре­мится к некоторому предельному положению МТ.

Касательной к данной кривой в данной точке М называ­ется предельное положение МТ секущей МM₁, проходящей через точку М, когда вторая точка пересечения M₁  неограниченно прибли­жается по кривой к точке M₁.

Рассмотрим теперь график непрерывной кривой у = f(x), имею­щий в точке М(х:у) невертикальную касательную. Найдем её угловой коэффициент , где α — угол касательной с осью Ох.

Для этого проведем через точку М и точку M₁  графика с абсцис­сой х+Δх секущую (см. рис. 1.3). Обозначим через φ — угол между секущей МM₁ и осью Ох. На рисунке видно, что угловой коэффициент секущей равен

При Δx→0  в силу непрерывности функции приращение Δу тоже стремится к нулю; поэтому точка М₁  неограниченно приближается по кривой к точке М, а секущая МM₁, поворачиваясь около точки М, переходит в касательную. Угол φ→α, т. е.

Следовательно.

Поэтому угловой коэффициент касательной равен

                                   (1.2)

Пределы (1.1) и (1.2) имеют одинаковый вид; везде требуется най­ти предел отношения приращения функции к приращению аргумента. Этот предел называют производной.

Производной функции у = f(x) в точке x₀ называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Итак, по определению

Производная функции f(x) есть некоторая функция f'(x), произ­веденная из данной функции.

Функция у=f(x), имеющая производную в каждой точке интерва­ла (a;b), называется дифференцируемой в этом интервале; опе­рация нахождения производной функции называется дифференциро­ванием.

Значение производной функции у = f(x) в точке х = х₀ обознача­ется одним из символов: f'(x₀), или у'(х₀).

Обобщая, можно сказать, что если функция у=f(х) описывает какой-либо физический процесс, то производная y’  есть ско­рость протекания этого процесса. В этом состоит физический смысл производной.

В задаче про касательную к кривой был найден угловой коэффи­циент касательной  Это равенство перепишем в виде , т. е. производная f’(x) в точке х рав­на угловому коэффициенту касательной к графику функции у=f(x) в точке, абсцисса которой равна х. В этом заключается геометрический смысл производной.

1.3 Правила дифференцирования.

Пусть функции u=u(x) и v=v(x) две дифференцируемые в некотором интервале (a;b) функции.

1.   Производная суммы (разности) двух функций равна сумме (разности) производных этих функций:

2.   Производная произведения двух функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго:

3.   Производная частного двух функций , если  равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя дроби на производную числителя и числителя дроби на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего знаменателя:

1.4 Производная сложной функции.

Пусть y=f(u) и u=φ(x), тогда y=f(φ(x)) – сложная функция с промежуточным аргументом u и независимым аргументом x.

Если функция u=φ(x) имеет производную u_x’  в точке  x, а функция y=f(u) имеет производную y_u’ в соответствующей точке u=φ(x), то сложная функция y=f(φ(x)) имеет производную y_x’  в точке x, которая находится по формуле

1.5 Таблица производных.

1.   , с-const;                                                                                 (1.3)

2.   ;                                                                              (1.4)

3.   ;                                                                                 (1.5)

4.   ;                                                                             (1.6)

5.   ;                                                                                         (1.7)

6.   ;                                                                          (1.8)

7.   ;                                                                                   (1.9)

8.   ;                                                                              (1.10)

9.   ;                                                                            (1.11)

10.                  ;                                                                   (1.12)

11.                  .                                                                  (1.13)

Вопросы для самоподготовки

1. Что такое приращение функции? Приращение аргумента?

2. Дайте определение производной функции.

3. Что такое дифференцирование?

4. Какие формулы из таблицы производных используются чаще всего?

5. Как находится угловой коэффициент касательной к графику функции?

Задания для самостоятельной работы

Найдите производные следующих функций:

1.  ;

Используя правило (1), вынесем постоянный множитель за знак производной, а затем применим формулу (1.4);

.

2. ;

Сначала представим корень четвертой степени в виде степенной функции, а затем, используя правило (2) и формулу (1.4) найдем производную;

.

3.  ; вычислить

Имеем . Следовательно,

.

Для вычисления  нужно в значение выражения производной вместо х подставить значение 8:

4.  

Используя правила (3), (2), (1), а также формулы (1.3) и (1.4), находим

5. ; вычислить

Полагая , получим . По формуле (1.5) находим

.

Для вычисления  нужно в значение выражения производной вместо х подставить значение 1:

6. Найдите производные следующих функций:

Вариант 1. а) ; б) , вычислите; в) .	Вариант 2. а) ; б) ; в) .
Вариант 3. а) ; б) , вычислите                      ; в) .	Вариант 4. а) ; б) , вычислите; в) , вычислите.
Вариант 5. а) ; б) , вычислите; в) .	Вариант 6. а) ; б) , вычислите; в) .
Вариант 7. а) ; б) , вычислите; в) .	Вариант 8. а) ; б) , вычислите; в) .
Вариант 9. а) ; б) , вычислите; в) .	Вариант 10. а) ; б) ; в) .
Вариант 11. а) ; б) , вычислите; в) .	Вариант 12. а) ; б) , вычислите; в) .
Вариант 13. а) ; б) , вычислите; в) .	Вариант 14. а) ; б) , вычислите; в) .
Вариант 15. а) ; б) , вычислите; в) .	Вариант 16. а) ; б) ; в) .
Вариант 17. а) ; б) ; в) .	Вариант 18. а) ; б) , вычислите; в) .
Вариант 19. а) ; б) , вычислите; в) .	Вариант 20. а) ; б) , вычислите; в) .
Вариант 21. а) ; б) ; в) .	Вариант 22. а) ; б) , вычислите; в) .
Вариант 23. а) ; б)  вычислите; в) .	Вариант 24. а) ; б) ; в) .
Вариант 25. а) ; б) , вычислите; в) .	Вариант 26. а) ; б) ; в) .
Вариант 27. а) ; б) ; в) .	Вариант 28. а) ; б) , вычислите; в) .
Вариант 29. а) ; б) ; в) , вычислите.	Вариант 30. а) ; б) ; в) .
Вариант 31. а) ; б) ; в) .	Вариант 32. а) ; б) , вычислите; в) .
Вариант 33. а) ; б) ; в) .	Вариант 34. а) ; б) ; в) .
Вариант 35. а) ; б) , вычислите; в) .	Вариант 36. а) ; б) , вычислите; в) .
Вариант 37. а) ; б) , вычислите; в) .	Вариант 38. а) ; б) ; в) .
Вариант 39. а) ; б) , вычислите; в) .	Вариант 40. а) ; б) ; в)

2. Дифференциал функции.

2.1 Понятие дифференциала функции.

Если функция f(x) имеет в точке х₀ производную f(x_Q), то произведение f(x_Q) и Δх называется дифференциалом функции f(x) в точке x₀ и обозначается df(x₀).

Таким образом, .

Для функции f(x), имеющей производную в каждой точке интервала (a,b), можно записать

                                                                                   (2.1)

где Δx — произвольное приращение аргумента.

Так как , определим дифференциал независимой переменной как ее приращение, тогда диф­ференциал функции f(x):

.

дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной.

Значит, , т.е. обозначение  для производной от функции f(x) можно понимать как дробь, в числителе которой стоит дифференциал функции f(x), а в знаменателе — дифференциал аргумента.

Пример 1.

Найти дифференциал функции

Решение:

2.2 Геометрический смысл дифференциала функции.

Выясним геометрический смысл дифференциала.

Для этого проведем к графику функции у = f(x) в точке М(х;у) ка­сательную MТ и рассмотрим ордина­ту этой касательной дня точки  х+Δx. Из прямоугольного треугольника МАВ имеем:

,  т.е. 

Но, согласно геометрическому смыслу производной, . По – этому  .

Сравнивая полученный результат с формулой (2.1), получаем dy = AВ, т. е. дифференциал функции у = f(x) в точке х ра­вен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда х получит приращение Δх.

В этом и состоит геометрический смысл дифференциала.

Для диф­ференцируемых функций и = и(х) и v = v(x) справедливы равенства:

1.             ;

2.             ;

3.            

Дифференциал сложной функции равен произведе­нию производной этой функции по промежуточному аргументу на дифференциал этого промежуточного аргумента.

Пусть у = f(и) и и = φ(х) две дифференцируемые функции, образу­ющие сложную функцию у=f(φ(x)). По теореме о производной слож­ной функции можно написать

Умножив обе части этого равенства на dx, получаем . Но  и . Следовательно, последнее равенство можно переписать так:

2.3 Применение дифференциала к приближенным вычислениям.

Как уже известно, приращение Δу функции у = f(х) в точке х можно представить в виде , где α → 0 при Δх → 0, или . Отбрасывая бесконечно малую а·Δх более высокого порядка, чем Δх, получаем приближенное равенство

                                                                                              (2.2)

причем это равенство тем точнее, чем меньше Ах.

Это равенство позволяет с большой точностью вычи­слить приближенно приращение любой дифференцируе­мой функции.

Дифференциал обычно находится значительно проще, чем прира­щение функции, поэтому формула (2.2) широко применяется в вычи­слительной практике.

Подставляя в равенство (2.2) значения Δу и dy, получим

или

                                                         (2.3)

Формула (2.3) используется для вычисления приближенных зна­чений функций.

Применяя формулу (2.3), легко получить различные формулы для нахождения приближенных числовых значений. Ниже рассмотрим формулы, имеющие практическое значение в приближенных вычислениях.

Формула для приближенного вычисления степеней:

                                                                         (2.4)

Формула для приближенного вычисления корней:

                                                                          (2.5)

Вопросы для самоподготовки

1. Что такое дифференциал функции?

2. Перечислите основные правила вычисления дифференциалов?

3. Как определяется приближенное значение приращения функции, вычисленное с помощью дифференциала в точке.

4. В чем заключается геометрический смысл дифференциала?

5. Где используется понятие дифференциала?

Задания для самостоятельной работы

1. Найдите дифференциал функции

Решение:

2. Найдите приближенное значение приращения функ­ции

 при х = 2 и Δх = 0,001.

Решение: Применяем формулу (2.3):   

Ответ

Посмотрим, какую погрешность допустили, вычислив дифферен­циал функции вместо ее приращения. Для этого найдем Δy:

Абсолютная погрешность приближения равна

.

3. Вычислите

Решение

Полагая х=4 и Δх=0,002 и применяя формулу (2.5) получим

5.  Вычислите дифференциал функции

Вариант 1. .	Вариант 2. .
Вариант 3. .	Вариант 4. .
Вариант 5. .	Вариант 6. .
Вариант 7. .	Вариант 8. .
Вариант 9. .	Вариант 10. .
Вариант 11. .	Вариант 12. .
Вариант 13. .	Вариант 14. .
Вариант 15. .	Вариант 16. .
Вариант 17. .	Вариант 18. .
Вариант 19. .	Вариант 20. .
Вариант 21. .	Вариант 22. .
Вариант 23. .	Вариант 24. .
Вариант 25. .	Вариант 26. .
Вариант 27. .	Вариант 28. .
Вариант 29. .	Вариант 30. .
Вариант 31. .	Вариант 32. .
Вариант 33. .	Вариант 34. .
Вариант 35. .	Вариант 36. .
Вариант 37. .	Вариант 38. .
Вариант 39. .	Вариант 40. .

6.  Вычислите приближенное значение выражения с помощью дифференциала

Вариант 1. .	Вариант 2. .
Вариант 3. .	Вариант 4. .
Вариант 5. .	Вариант 6. .
Вариант 7. .	Вариант 8. .
Вариант 9. .	Вариант 10. .
Вариант 11. .	Вариант 12. .
Вариант 13. .	Вариант 14. .
Вариант 15. .	Вариант 16. .
Вариант 17. .	Вариант 18. .
Вариант 19. .	Вариант 20. .
Вариант 21. .	Вариант 22. .
Вариант 23. .	Вариант 24. .
Вариант 25. .	Вариант 26. .
Вариант 27. .	Вариант 28. .
Вариант 29. .	Вариант 30. .
Вариант 31. .	Вариант 32. .
Вариант 33. .	Вариант 34. .
Вариант 35. .	Вариант 36. .
Вариант 37. .	Вариант 38. .
Вариант 39. .	Вариант 40. .

3. Неопределенный интеграл.

3.1 Понятие неопределенного интеграла.

В дифференциальном исчислении решается задача: по данной функции f(x) найти её производную (или дифференциал). Интегральное исчисление решает обратную задачу: найти функцию F(x), зная её производную F’=f(x) (или дифференциал). Искомую функцию F(x) называют первообразной функции f(x).

Функция F(x) называется первообразной функции f(x) на интервале (a;b), если для любого  выполняется равенство

       или    

Пример 1.

Для функции  первообразной является функция

так как

Очевидно, что первообразными будут также любые функции

где С – постоянная, поскольку

 

Множество всех первообразных функций F(x)+C для f(x) называется неопределенным интегралом от функции f(x).

Таким образом по определению

                                                                              (3.1)

знак ∫ называют знаком интеграла;

функцию f(x) называют подынтегральной функцией;

выражение f(x)dx называют подынтегральным выражением.

Операцию нахождения неопределенного интеграла называют интегрированием функции. Проинтегрировать функцию значит найти все её первообразные.

Геометрически неопределенный интеграл представляет  собой семейство «параллельных» кривых  (см. рис. 1.3)

График каждой первообразной (кривой) называется интегральной кривой.

3.2 Свойства неопределенного интеграла.

1 Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:

2 Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:

3 Интеграл от дифференциала первообразной равен самой первообразной плюс произвольная постоянная:

4 Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

5 Интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых:

3.3 Основные формулы интегрирования (табличные интегралы).

1 ;                                                                                      (3.2)

2 ;                                                                  (3.3)

3 ;                                                                                 (3.4)

4 ;                                                                              (3.5)

5 ;                                                                                (3.6)

6;                                                                        (3.7)

7 ;                                                                          (3.8)

8 ;                                                                    (3.9)

9 ;                                                                       (3.10)

10 ;                                                                         (3.11)

11 .                                                                       (3.12)

3.4 Метод непосредственного интегрирования.

Метод интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам, называется непосредственным интегрированием.

При сведении данного интеграла к табличному часто используются следующие преобразования дифференциала (операция «подведения под знак дифференциала»);

 

Пример 1.

Пример 2.

3.5 Интегрирование методом замены переменной

Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования (т.е. подстановки). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся. Общих методов подбора подстановок не существует.

Допустим требуется вычислить интеграл . Сделаем подстановку , где  - функция имеющая непрерывную производную.

Тогда  и на основе свойства инвариантности формулы интегрирования неопределенного интеграла получаем формулу интегрирования подстановкой.

Данная формула называется формулой интегрирования методом замены переменных в неопределенном интеграле. После нахождения интеграла правой части этого выражения следует перейти от новой переменной интегрирования t назад к переменной x.

Иногда целесообразно подбирать подстановку в виде , тогда

Вопросы для самоподготовки

1. Какое действие называется интегрированием?

2. Какая функция называется подынтегральной?

3. Перечислите основные свойства неопределенного интеграла.

4. Перечислите основные методы интегрирования.

5. Чем отличаются друг от друга различные первообразные функции для данной функции f(x)?

Задания для самостоятельной работы

Найдите следующие интегралы.

1.

Используя свойство (5) раскроем скобки.

Согласно свойству (4) постоянный множитель можно вынести за знак интеграла

По формулам (3.2) и (3.3), полагая, что n=4, найдем интеграл.

где С=С₁+С₂.

2.  

Решение:

3.

Решение

4.

Данный интеграл находится методом замены переменной.

5.  

Решение

6.

Решение

7.

Решение

8. Найдите следующие интегралы.

Вариант 1. а); б) ; в).	Вариант 2. а); б) ; в) .
Вариант 3. а); б) ; в) .	Вариант 4. а); б) ; в) .
Вариант 5. а); б) ; в) .	Вариант 6. а); б) ; в) .
Вариант 7. а); б) ; в) .	Вариант 8. а); б) ; в) .
Вариант 9. а); б) ; в) .	Вариант 10. а); б) ; в) .
Вариант 11. а); б); в) .	Вариант 12. а); б) ; в) .
Вариант 13. а); б); в).	Вариант 14. а); б) ; в) .
Вариант 15. а); б) ; в) .	Вариант 16. а); б) ; в) .
Вариант 17. а); б) ; в) .	Вариант 18. а); б) ; в) .
Вариант 19. а); б) ; в) .	Вариант 20. а); б) ; в) .
Вариант 21. а); б) ; в) .	Вариант 22. а); б) ; в) .
Вариант 23. а); б) ; в) .	Вариант 24. а); б) ; в) .
Вариант 25. а); б) ; в) .	Вариант 26. а); б) ; в).
Вариант 27. а); б) ; в) .	Вариант 28. а); б) ; в) .
Вариант 29. а); б) ; в) .	Вариант 30. а); б) ; в) .
Вариант 31. а); б) ; в) .	Вариант 32. а); б) ; в) .
Вариант 33. а); б) ; в) .	Вариант 34. а); б) ; в) .
Вариант 35. а); б) ; в) .	Вариант 36. а); б) ; в) .
Вариант 37. а); б) ; в) .	Вариант 38. а); б) ; в) .
Вариант 39. а); б) ; в) .	Вариант 40. а); б) ; в) .

4. Определенный интеграл.

4.1 Определенный интеграл как предел интегральной суммы.

Пусть функция определена на отрезке . Выполним следующие действия.

С помощью точек  x₀=a, x₁, x₂,…x_n=b (x₀<x₁ <x₂<x_n) разобьем на n частичных отрезков

В каждом частичном отрезке  выберем произвольную точку и вычислим значение функции в ней, т. е. величину .

Умножим найденное значение функции  на длину соответствующего частичного отрезка:  .

Составим сумму всех таких произведений:

                         (4.1)

Сумма вида (4.1) называется интегральной суммой функции  на отрезке .

Обозначим через λ длину наибольшего частичного отрезка: .

Найдем предел интегральной суммы (4.1), когда  так, что .

Если при этом интегральная сумма S_n имеет предел I, который не зависит ни от способа разбиения отрезка на частичные отрезки, ни от выбора точек в них, то число I называется определенным интегралом от функции  на отрезке .

                                                               (4.2)

4.2 Геометрический смысл определенного интеграла.

Пусть на отрезке задана непрерывная функция . Фигура, ограниченная  сверху графиком функции , снизу осью Ox, сбоку – прямыми x=a и x=b, называется криволинейной трапецией. Требуется найти её площадь.

Для этого отрезок  точками x₀=a, x₁, x₂,…x_n=b (x₀<x₁ <x₂<x_n) разобьем на n частичных отрезков . В каждом частичном отрезке  возьмем произвольную точку с_i и вычислим значение функции в ней, т.е. .

Умножим значение функции  на длину , соответствующего частичного отрезка. Произведение  равно площади прямоугольника с основанием  и высотой . Сумма всех таких произведений

равна площади ступенчатой фигуры и приближенно равна площади S криволинейной трапеции:

С уменьшением всех величин , точность приближения криволинейной трапеции ступенчатой фигурой и точность полученной формулы увеличиваются. Поэтому за точное значение площади S криволинейной трапеции принимается предел S, к которому стремится площадь ступенчатой фигуры S_ст, когда n неограниченно возрастает так, что:

                                                               (4.3)

Итак, определенный интеграл от функции численно равен площади криволинейной трапеции.

В этом и состоит геометрический смысл определенного интеграла.

4.3 Свойства определенного интеграла.

1.                     Если верхний и нижний пределы интегрирования равны, то интеграл равен нулю:

2.                     При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак на противоположный:

3.                     Если функция  интегрируема на отрезке  и a<c<b,  то

4.                     «Теорема о среднем». Если функция  непрерывна на отрезке , то существует точка  такая, что:

5.                     Оценка интеграла. Если m и  M– соответственно наименьшее и наибольшее значения функции   на отрезке , то

6.                     Неравенство между непрерывными функциями на отрезке  можно интегрировать. Так, если  при , то

7.                      Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

8.                     Интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых:

4.4 Формула Ньютона-Лейбница.

Формула Ньютона-Лейбница дает правило вычисления определенного интеграла: значение определенного интеграла на отрезке  от непрерывной функции  равно разности значений любой ее первообразной, вычисленной при x=b и x=a.

Здесь a и  b – соответственно нижний и верхний предел интегрирования.

Общность обозначения определенного и неопределенного интегралов подчеркивает тесную связь между ними, но это разные понятия по смыслу: определенный интеграл – это число, а неопределенный интеграл – совокупность первообразных функций. Связь между определенным и неопределенным интегралом выражается методами интегрирования.

Пример 1.

Вычислите 

Решение

4.5 Интегрирование методом замены переменной.

Этот метод, как и в случае неопределенного интеграла, позволяет упростить вычисления, т.е. привести подынтегральное выражение к соответствующей табличной форме. Применение замены переменной в определенном интеграле базируется на следующей теореме.

Теорема. Если функция  непрерывна на отрезке , а функция  непрерывна дифференцируема на отрезке , причем и , то справедлива формула

Вопросы для самоподготовки

1. Как найти площадь криволинейной трапеции?

2. Перечислите свойства определенного интеграла.

3. В чем заключается геометрический смысл определенного интеграла?

4. Назовите формулу Ньютона-Лейбница.

Задания для самостоятельной работы

1. Вычислите 

Решение

2. Вычислите 

Решение

3. Вычислите интеграл

Решение

4. Вычислите интеграл

Решение

5. Вычислите интеграл

Решение

6. Вычислите определенный интеграл

Вариант 1. а) ; б) ; в) .	Вариант 2. а) ; б) ; в) .
Вариант 3. а) ; б) ; в) .	Вариант 4. а) ; б) ; в) .
Вариант 5. а) ; б) ; в) .	Вариант 6. а) ; б) ; в) .
Вариант 7. а) ; б) ; в) .	Вариант 8. а) ; б) ; в) .
Вариант 9. а) ; б) ; в) .	Вариант 10. а) ; б) ; в) .
Вариант 11. а) ; б) ; в) .	Вариант 12. а) ; б) ; в) .
Вариант 13. а) ; б) ; в) .	Вариант 14. а) ; б) ; в) .
Вариант 15. а) ; б) ; в) .	Вариант 16. а) ; б) ; в) .
Вариант 17. а) ; б) ; в) .	Вариант 18. а) ; б) ; в) .
Вариант 19. а) ; б) ; в) .	Вариант 20. а) ; б) ; в) .
Вариант 21. а) ; б) ; в) .	Вариант 22. а) ; б) ; в) .
Вариант 23. а; б) ; в) .	Вариант 24. а) ; б) ; в) .
Вариант 25. а) ; б) ; в) .	Вариант 26. а) ; б) ; в) .
Вариант 27. а) ; б) ; в) .	Вариант 28. а) ; б) ; в) .
Вариант 29. а) ; б) ; в) .	Вариант 30. а) ; б) ; в) .
Вариант 31. а) ; б) ; в) .	Вариант 32. а) ; б) ; в) .
Вариант 33. а) ; б) ; в) .	Вариант 34. а) ; б) ; в) .
Вариант 35. а) ; б) ; в) .	Вариант 36. а) ; б) ; в) .
Вариант 37. а) ; б) ; в) .	Вариант 38. а) ; б) ; в) .
Вариант 39. а) ; б) ; в) .	Вариант 40. а) ; б) ; в) .

Литература

1. Афанасьев О.Н. Сборник задач по математике для техникумов на базе средней школы. - М.: Наука, 2008. - 520с.

2. Башмаков М. И. Алгебра и начала анализа. М.: Дрофа, 2014.

3. Берман Г.В. Сборник задач по курсу математического анализа. –М., Наука, 1985.

4. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учебное пособие для средних специальных учебных заведений. М., Высшая школа, 2003.

5. Гилярова М. Г. Математика для медицинских колледжей. Р. - на Дону. «Феникс» 2013. 

6. Краснов М.Л, Киселев А.И. Макаренко Г.И., Шикин Е.В., Заляпин В.И, Соболев С.К. Вся высшая математика. Т.1.  –М.: Эдиториал УРСС, 2011.

7. Н. Ш. Кремер и др. Высшая математика для экономистов. Учебник. 3-е изд. — М. : Юнити, 2010

8. Кудрявцев В.С. Курс высшей математики. – М.: Высшая школа, 1989.

9. Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике. М, Айрис-Пресс, 2013.

10. Шипачев В.С. Задачник по высшей математике: учебное пособие для вузов. –М.: Высшая школа, 2005.

11. Яковлев Г.Н. Алгебра и начала анализа. Москва «Наука», 1988.