Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Учебно-методическое пособие по математике по теме "Основы дифференциального и интегрального исчисления"

Учебно-методическое пособие по математике по теме "Основы дифференциального и интегрального исчисления"


  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

МИНИСТЕРСТВО ЗДРАВООХРАНЕНИЯ ЧЕЛЯБИНСКОЙ ОБЛАСТИ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«САТКИНСКИЙ МЕДИЦИНСКИЙ ТЕХНИКУМ»









Учебно-методическое пособие


Для студентов медицинских техникумов и колледжей

по дисциплине:


«Математика»


Тема «Основы дифференциального и интегрального исчисления»


специальности 310201 «Лечебное дело», 340201 «Сестринское дело»























Сатка 2015


Рассмотрено на цикловой Утверждаю

методической комиссии зам. директора

«ОГСЭ, ОПД, ЕН» по учебной работе


_____________________ _____________________


_____________________ _____________________



































Составитель преподаватель математики и физики ГБОУ СПО «Саткинский медицинский техникум» Валеев Руслан Фаилович

Содержание

Пояснительная записка…………………………………………………...…3

1. Производная функции…………………………………………………..8

1.1 Скорость прямолинейного движения…………………………………..8

1.2 Касательная к кривой…………………………………………………....8

1.3 Правила дифференцирования…………………………………………10

1.4 Производная сложной функции…………………….…………………10

1.5 Таблица производных………………………………….………………10

Вопросы для самоподготовки……………………………...………………11

Задания для самостоятельной работы…………………….………………11

2. Дифференциал функции………………………………………………16

2.1 Понятие дифференциала функции…………………………….………16

2.2 Геометрический смысл дифференциала функции…………………...16

2.3 Применение дифференциала к приближенным вычислениям……...17

Вопросы для самоподготовки……………………………………………..18

Задания для самостоятельной работы…………………………………….18

3. Неопределенный интеграл……………………………………………22

3.1 Понятие неопределенного интеграла…………………………………22

3.2 Свойства неопределенного интеграла………………………….……..23

3.3 Основные формулы интегрирования (табличные интегралы)………23

3.4 Метод непосредственного интегрирования…………………………..23

3.5 Интегрирование методом замены переменной……………………….24

Вопросы для самоподготовки……………………………………………..25

Задания для самостоятельной работы…………………………………….25

4. Определенный интеграл………………………………………………30

4.1 Определенный интеграл как предел интегральной суммы………….30

4.2 Геометрический смысл определенного интеграла…………………...30

4.3 Свойства определенного интеграла……………………………….......31

4.4 Формула Ньютона-Лейбница………………………………………….32

4.5 Интегрирование методом замены переменной……………………….33

Вопросы для самоподготовки……………………………………………..33

Задания для самостоятельной работы…………………………………….33

Литература…………………………………………………………………..39



Пояснительная записка

Цель преподавания математики в ССУЗе – ознакомить студентов с основами математического аппарата, необходимого для решения теоретических и практических задач; привить студентам умение самостоятельно изучать учебную литературу по математике и ее приложениям; развивать логическое мышление и формировать математическую культуру; выработать навыки математического исследования прикладных вопросов и умение перевести задачу на математический язык.

Данное пособие предназначено для студентов 2-го курса отделений «Сестринское дело» и «Лечебное дело» для самостоятельной подготовки по темам «Производная функция», «Дифференциал», «Неопределенный интеграл» и «Неопределенный интеграл».





В соответствии с государственным стандартом в области математики после изучения темы:

Вы должны иметь представление:

  • о математике как части мировой культуры и о месте математики в современной цивилизации, о способах описания на математическом языке явлений реального мира;

  • о математических понятиях как о важнейших математических моделях, позволяющих описывать и изучать разные процессы и явления; понимание возможности аксиоматического построения математических теорий;

  • об основных понятиях математического анализа и их свойствах, владение умением характеризовать поведение функций, использование полученных знаний для описания и анализа реальных зависимостей;


Вы должны уметь:

  • решать прикладные задачи в области профессиональной деятельности


Вы должны знать:

  • значение математики в профессиональной деятельности и при освоении профессиональной образовательной программы;

  • основные математические методы решения прикладных задач в области профессиональной деятельности;

  • основы интегрального и дифференциального исчисления.



Формируемые компетенции

OK 1-Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.

OK 2-Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

OK 3-Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность

OK 4-Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения возложенных на него профессиональных задач, а также для своего профессионального и личностного развития.

OK 5-Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности

OK 8-Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать и осуществлять повышение своей квалификации.

OK 9-Ориентироваться в условиях частой смены технологий в профессиональной деятельности.

OK12-Организовывать рабочее место с соблюдением требований охраны труда, производственной санитарии, инфекционной и противопожарной безопасности.

OK 14-Исполнять воинскую обязанность, в том числе с применением полученных профессиональных знаний (для юношей).



Методические указания

Уважаемые студенты вам предлагается поэтапное изучение темы «Основы дифференциально-интегрального исчисления».

В каждом разделе предлагаются контрольные вопросы и задания, приводятся решения некоторых примеров и задач, а также приводятся задачи и упражнения, предназначенные для самостоятельной работы.

Выбор варианта производится соответственно номеру студента в списке группы.




1. Производная функции.

Понятие производной является одним из основных математических понятий. Производная широко используется при решении целого ряда задач математики, физики, биологии, других наук, в особенности при изучении скорости разных процессов.


1.1 Скорость прямолинейного движения.

Пусть материальная точка М движется неравномерно по некоторой прямой. Каждому значению времени t соответствует определенное расстояние OM=S до некоторой фиксированной точки O. Это расстояние зависит от истекшего времени t, т.е. S=S(t).

Это равенство называют законом движения точки. Требуется найти скорость движения точки.

hello_html_m6d175562.pngРис. 1.1

Если в некоторый момент времени t точка занимает положение M, то в момент времени t + Δtt — приращение времени) точка займет положение M1, где ОМ1 = SSS — приращение расстояния) (см. рис. 1). Таким образом, перемещение точки М за время Δt будет ΔS = S(t +Δt) - S(t)

Отношение hello_html_7c6a7898.gif выражает среднюю скорость движения точки за время Δt:

hello_html_5e6c1295.gif

Средняя скорость зависит от значения Δt: чем меньше Δt, тем точнее средняя скорость выражает скорость движения точки в данный момент времени t.

Предел средней скорости движения при стремлении к нулю промежутка времени Δt называется скоростью движения точки в данный момент времени (или мгновенной скоростью). Обозначив эту скорость через V, получим

hello_html_4ae28a81.gif,

или

hello_html_m7c6b872f.gif (1.1)


1.2 Касательная к кривой.

Дадим сначала общее, определение касательной к кривой.

Возьмем на непрерывной кривой L две точки М и M1 (см. рис.1.2).

Прямую MM1 проходящую через эти точки, называют секущей.

Пусть точка M1, двигаясь вдоль кривой L, неограниченно приближается к точке М. Тогда секущая, поворачиваясь около точки M1, стремится к некоторому предельному положению МТ.

Касательной к данной кривой в данной точке М называется предельное положение МТ секущей МM1, проходящей через точку М, когда вторая точка пересечения M1 неограниченно приближается по кривой к точке M1.

hello_html_2fb525e9.pngРис. 1.2

Рассмотрим теперь график непрерывной кривой у = f(x), имеющий в точке М(х:у) невертикальную касательную. Найдем её угловой коэффициент hello_html_6266a76b.gif, где α — угол касательной с осью Ох.


Для этого проведем через точку М и точку M1 графика с абсциссой х+Δх секущую (см. рис. 1.3). Обозначим через φ — угол между секущей МM1 и осью Ох. На рисунке видно, что угловой коэффициент секущей равен

hello_html_4677ee8c.gif

hello_html_6b6335b4.pngРис. 1.3

При Δx→0 в силу непрерывности функции приращение Δу тоже стремится к нулю; поэтому точка М1 неограниченно приближается по кривой к точке М, а секущая МM1, поворачиваясь около точки М, переходит в касательную. Угол φα, т. е. hello_html_1c32e7f6.gif

Следовательноhello_html_4997bf0f.gif.

Поэтому угловой коэффициент касательной равен


hello_html_m1e1eeb3b.gif (1.2)

Пределы (1.1) и (1.2) имеют одинаковый вид; везде требуется найти предел отношения приращения функции к приращению аргумента. Этот предел называют производной.

Производной функции у = f(x) в точке x0 называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Итак, по определению

hello_html_m6ac27c34.gif

Производная функции f(x) есть некоторая функция f'(x), произведенная из данной функции.

Функция у=f(x), имеющая производную в каждой точке интервала (a;b), называется дифференцируемой в этом интервале; операция нахождения производной функции называется дифференцированием.

Значение производной функции у = f(x) в точке х = х0 обозначается одним из символов: f'(x0), или у'(х0).

Обобщая, можно сказать, что если функция у=f(х) описывает какой-либо физический процесс, то производная y’ есть скорость протекания этого процесса. В этом состоит физический смысл производной.

В задаче про касательную к кривой был найден угловой коэффициент касательной hello_html_66574ec2.gif Это равенство перепишем в виде hello_html_m27c96cf0.gif, т. е. производная f’(x) в точке х равна угловому коэффициенту касательной к графику функции у=f(x) в точке, абсцисса которой равна х. В этом заключается геометрический смысл производной.



1.3 Правила дифференцирования.

Пусть функции u=u(x) и v=v(x) две дифференцируемые в некотором интервале (a;b) функции.

  1. Производная суммы (разности) двух функций равна сумме (разности) производных этих функций: hello_html_m2f63f625.gif

  2. Производная произведения двух функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго: hello_html_2f35a4ed.gif

  3. Производная частного двух функций hello_html_7e197b65.gif, если hello_html_65057d66.gif равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя дроби на производную числителя и числителя дроби на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего знаменателя: hello_html_m646ad967.gif


1.4 Производная сложной функции.

Пусть y=f(u) и u=φ(x), тогда y=f(φ(x)) – сложная функция с промежуточным аргументом u и независимым аргументом x.

Если функция u=φ(x) имеет производную ux в точке x, а функция y=f(u) имеет производную yu в соответствующей точке u=φ(x), то сложная функция y=f(φ(x)) имеет производную yx в точке x, которая находится по формуле hello_html_m42c3af3e.gif


1.5 Таблица производных.

  1. hello_html_m70031182.gif, с-const; (1.3)

  2. hello_html_m40cd2dca.gif; (1.4)

  3. hello_html_m758079b5.gif; (1.5)

  4. hello_html_m798a116e.gif; (1.6)

  5. hello_html_2e0a0906.gif; (1.7)

  6. hello_html_55591fc3.gif; (1.8)

  7. hello_html_m108c6c4c.gif; (1.9)

  8. hello_html_m5a0b26c1.gif; (1.10)

  9. hello_html_3c3c7784.gif; (1.11)

  10. hello_html_2718043d.gif; (1.12)

  11. hello_html_m2d6f0da8.gif. (1.13)


Вопросы для самоподготовки

1. Что такое приращение функции? Приращение аргумента?

2. Дайте определение производной функции.

3. Что такое дифференцирование?

4. Какие формулы из таблицы производных используются чаще всего?

5. Как находится угловой коэффициент касательной к графику функции?


Задания для самостоятельной работы

Найдите производные следующих функций:

1. hello_html_2fc97f47.gif;

Используя правило (1), вынесем постоянный множитель за знак производной, а затем применим формулу (1.4);

hello_html_755d5804.gif.

2. hello_html_m481d3319.gif;

Сначала представим корень четвертой степени в виде степенной функции, а затем, используя правило (2) и формулу (1.4) найдем производную;

hello_html_m47c4bc60.gif.

3. hello_html_m5cd6e5b.gif; вычислить hello_html_752b2565.gif

Имеем hello_html_m4ac2fa36.gif. Следовательно,

hello_html_m1de2d38f.gif.

Для вычисления hello_html_752b2565.gif нужно в значение выражения производной вместо х подставить значение 8:

hello_html_mba799fc.gif

4. hello_html_1a271ea7.gif

Используя правила (3), (2), (1), а также формулы (1.3) и (1.4), находим

hello_html_53eb6e72.gif

5. hello_html_1236fcd7.gif; вычислить hello_html_50ac7a9d.gif

Полагая hello_html_12cfef1e.gif, получим hello_html_53d1acc3.gif. По формуле (1.5) находим

hello_html_m47274511.gif.

Для вычисления hello_html_50ac7a9d.gif нужно в значение выражения производной вместо х подставить значение 1:

hello_html_51b7a5f0.gif


6. Найдите производные следующих функций:

Вариант 1.

а) hello_html_m7247bead.gif;

б) hello_html_75f01ca3.gif, вычислитеhello_html_m77c3b2c8.gif;

в) hello_html_m7e799601.gif.

Вариант 2.

а) hello_html_a603998.gif;

б) hello_html_m614e2cb5.gif;

в) hello_html_m7a8a056f.gif.

Вариант 3.

а) hello_html_17476dee.gif;

б) hello_html_faa674c.gif, вычислите hello_html_m4ccc2b8f.gif;

в) hello_html_m5f1bd202.gif.

Вариант 4.

а) hello_html_653e6d46.gif;

б) hello_html_m29127323.gif, вычислитеhello_html_mfb55f76.gif;

в) hello_html_m49a138b4.gif, вычислитеhello_html_m34f3590f.gif.

Вариант 5.

а) hello_html_5b9add05.gif;

б) hello_html_f37c22a.gif, вычислитеhello_html_m77c3b2c8.gif;

в) hello_html_13ec3b06.gif.

Вариант 6.

а) hello_html_m2239e468.gif;

б) hello_html_25ee2edf.gif, вычислитеhello_html_1a250b06.gif;

в) hello_html_7a2776a1.gif.

Вариант 7.

а) hello_html_m63cae658.gif;

б) hello_html_m7214f244.gif, вычислитеhello_html_7e6e232a.gif;

в) hello_html_6b5dcbea.gif.

Вариант 8.

а) hello_html_6012792f.gif;

б) hello_html_44b6a4f0.gif, вычислитеhello_html_m35f4ceec.gif;

в) hello_html_59071133.gif.

Вариант 9.

а) hello_html_36d1fe98.gif;

б) hello_html_6c93811.gif, вычислитеhello_html_m75c140.gif;

в) hello_html_m4d6ae04f.gif.

Вариант 10.

а) hello_html_5336680f.gif;

б) hello_html_ac56eff.gif;

в) hello_html_1e3eb91.gif.

Вариант 11.

а) hello_html_ba0a768.gif;

б) hello_html_m482399dd.gif, вычислитеhello_html_m2f77c932.gif;

в) hello_html_dc5086d.gif.

Вариант 12.

а) hello_html_m4b923cb5.gif;

б) hello_html_m56bf2887.gif, вычислитеhello_html_m67e2e92c.gif;

в) hello_html_m406633b0.gif.

Вариант 13.

а) hello_html_m64ac20b4.gif;

б) hello_html_m3b9e268c.gif, вычислитеhello_html_3ffca202.gif;

в) hello_html_51bef0eb.gif.

Вариант 14.

а) hello_html_1b046123.gif;

б) hello_html_m7e6e5c64.gif, вычислитеhello_html_f924a37.gif;

в) hello_html_3cf097c8.gif.

Вариант 15.

а) hello_html_m211866cf.gif;

б) hello_html_756b9675.gif, вычислитеhello_html_m29691cfe.gif;

в) hello_html_mcb528cd.gif.

Вариант 16.

а) hello_html_754fd10e.gif;

б) hello_html_1ab80343.gif;

в) hello_html_m2ee325b4.gif.


Вариант 17.

а) hello_html_1b28cc94.gif;

б) hello_html_457e7ff8.gif;

в) hello_html_m5aaf53b2.gif.

Вариант 18.

а) hello_html_m258f89ba.gif;

б) hello_html_m6a240afc.gif, вычислитеhello_html_m575786c0.gif;

в) hello_html_9a46ded.gif.

Вариант 19.

а) hello_html_7d70e448.gif;

б) hello_html_284dca2c.gif, вычислитеhello_html_m4aa0466a.gif;

в) hello_html_m4e46283c.gif.

Вариант 20.

а) hello_html_m46fd5003.gif;

б) hello_html_7aa7e195.gif, вычислитеhello_html_66eb856.gif;

в) hello_html_m1b0bb00c.gif.

Вариант 21.

а) hello_html_2c29aee8.gif;

б) hello_html_m42edd159.gif;

в) hello_html_323a48a3.gif.

Вариант 22.

а) hello_html_1b67ff12.gif;

б) hello_html_m22f33d6.gif, вычислитеhello_html_m77c3b2c8.gif;

в) hello_html_99f94c1.gif.

Вариант 23.

а) hello_html_m2bc794b0.gif;

б) hello_html_7dd97243.gif вычислитеhello_html_50ac7a9d.gif;

в) hello_html_m229a65f4.gif.

Вариант 24.

а) hello_html_m70faea8.gif;

б) hello_html_15f7aaeb.gif;

в) hello_html_6cf1f462.gif.

Вариант 25.

а) hello_html_61b7ed75.gif;

б) hello_html_m4fca9312.gif, вычислитеhello_html_m35f4ceec.gif;

в) hello_html_5c6dfaf9.gif.

Вариант 26.

а) hello_html_m60967f70.gif;

б) hello_html_2fe3d81a.gif;

в) hello_html_m6c979ea9.gif.

Вариант 27.

а) hello_html_14832511.gif;

б) hello_html_m509f8e7d.gif;

в) hello_html_18091485.gif.

Вариант 28.

а) hello_html_m3c5e975f.gif;

б) hello_html_m3a109678.gif, вычислитеhello_html_7d40842e.gif;

в) hello_html_m4c845022.gif.

Вариант 29.

а) hello_html_7826a342.gif;

б) hello_html_ca9f1dc.gif;

в) hello_html_m7e6f4186.gif, вычислитеhello_html_bff2283.gif.

Вариант 30.

а) hello_html_18f17f72.gif;

б) hello_html_394ac3bf.gif;

в) hello_html_m76248b1e.gif.

Вариант 31.

а) hello_html_m5a55f44a.gif;

б) hello_html_6c416abf.gif;

в) hello_html_m237bf903.gif.

Вариант 32.

а) hello_html_m1027d810.gif;

б) hello_html_10f452f2.gif, вычислитеhello_html_m77c3b2c8.gif;

в) hello_html_m3751722f.gif.

Вариант 33.

а) hello_html_m7d1b9271.gif;

б) hello_html_m8bb20ce.gif;

в) hello_html_35d71fe6.gif.

Вариант 34.

а) hello_html_m6d7c7d2d.gif;

б) hello_html_165a397b.gif;

в) hello_html_2fa799d7.gif.

Вариант 35.

а) hello_html_47fd246.gif;

б) hello_html_m2e80da5a.gif, вычислитеhello_html_mfb55f76.gif;

в) hello_html_6369d9c5.gif.

Вариант 36.

а) hello_html_m4d8a74d8.gif;

б) hello_html_m1b2e75f2.gif, вычислитеhello_html_m7a99644e.gif;

в) hello_html_m7823f5f4.gif.

Вариант 37.

а) hello_html_7386a1ea.gif;

б) hello_html_m278838ea.gif, вычислитеhello_html_m77c3b2c8.gif;

в) hello_html_m38d7f4b5.gif.

Вариант 38.

а) hello_html_m2300974e.gif;

б) hello_html_651bfab.gif;

в) hello_html_m27f31cc6.gif.

Вариант 39.

а) hello_html_c6c39c1.gif;

б) hello_html_2b85ccfe.gif, вычислитеhello_html_mfb55f76.gif;

в) hello_html_m1523f02b.gif.

Вариант 40.

а) hello_html_m736174a8.gif;

б) hello_html_m375834a4.gif;

в) hello_html_16c8325d.gif







2. Дифференциал функции.

2.1 Понятие дифференциала функции.

Если функция f(x) имеет в точке х0 производную f(xQ), то произведение f(xQ) и Δх называется дифференциалом функции f(x) в точке x0 и обозначается df(x0).

Таким образом, hello_html_6bcfb592.gif.

Для функции f(x), имеющей производную в каждой точке интервала (a,b), можно записать

hello_html_367250e5.gif (2.1)

где Δx — произвольное приращение аргумента.

Так как hello_html_66d72d2c.gif, определим дифференциал независимой переменной как ее приращение, тогда дифференциал функции f(x):

hello_html_m278ede8b.gif.

дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной.

Значит, hello_html_7479fc57.gif, т.е. обозначение hello_html_4e4dee8b.gif для производной от функции f(x) можно понимать как дробь, в числителе которой стоит дифференциал функции f(x), а в знаменателе — дифференциал аргумента.

Пример 1.

Найти дифференциал функции

hello_html_5d2a1535.gif

Решение:

hello_html_32796609.gif


2.2 Геометрический смысл дифференциала функции.

Выясним геометрический смысл дифференциала.

Для этого проведем к графику функции у = f(x) в точке М(х;у) касательную MТ и рассмотрим ординату этой касательной дня точки хx. Из прямоугольного треугольника МАВ имеем:

hello_html_50a3fbdd.pngРис. 2.1

hello_html_m3d0c4fd.gif, т.е. hello_html_3f5d161e.gif

Но, согласно геометрическому смыслу производной, hello_html_69f50035.gif. По – этому hello_html_m205013f8.gif.

Сравнивая полученный результат с формулой (2.1), получаем dy = AВ, т. е. дифференциал функции у = f(x) в точке х равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда х получит приращение Δх.

В этом и состоит геометрический смысл дифференциала.

Для дифференцируемых функций и = и(х) и v = v(x) справедливы равенства:

  1. hello_html_m79c34611.gif;

  2. hello_html_d595ec7.gif;

  3. hello_html_m15fb3863.gif

Дифференциал сложной функции равен произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на дифференциал этого промежуточного аргумента.

Пусть у = f(и) и и = φ(х) две дифференцируемые функции, образующие сложную функцию у=f(φ(x)). По теореме о производной сложной функции можно написать

hello_html_m7d4d45b5.gif

Умножив обе части этого равенства на dx, получаем hello_html_m3c2259bc.gif. Но hello_html_6ecc2aa5.gif и hello_html_m6ea1a94c.gif. Следовательно, последнее равенство можно переписать так:

hello_html_1201363b.gif


2.3 Применение дифференциала к приближенным вычислениям.

Как уже известно, приращение Δу функции у = f(х) в точке х можно представить в виде hello_html_mb96e92e.gif, где α → 0 при Δх → 0, или hello_html_407cf226.gif. Отбрасывая бесконечно малую а·Δх более высокого порядка, чем Δх, получаем приближенное равенство

hello_html_7a29c570.gif (2.2)

причем это равенство тем точнее, чем меньше Ах.

Это равенство позволяет с большой точностью вычислить приближенно приращение любой дифференцируемой функции.

Дифференциал обычно находится значительно проще, чем приращение функции, поэтому формула (2.2) широко применяется в вычислительной практике.

Подставляя в равенство (2.2) значения Δу и dy, получим

hello_html_m37c094a1.gif

или

hello_html_72c3fc8a.gif (2.3)

Формула (2.3) используется для вычисления приближенных значений функций.

Применяя формулу (2.3), легко получить различные формулы для нахождения приближенных числовых значений. Ниже рассмотрим формулы, имеющие практическое значение в приближенных вычислениях.

Формула для приближенного вычисления степеней:

hello_html_mf302282.gif (2.4)

Формула для приближенного вычисления корней:

hello_html_m2e2b899d.gif (2.5)



Вопросы для самоподготовки

1. Что такое дифференциал функции?

2. Перечислите основные правила вычисления дифференциалов?

3. Как определяется приближенное значение приращения функции, вычисленное с помощью дифференциала в точке.

4. В чем заключается геометрический смысл дифференциала?

5. Где используется понятие дифференциала?


Задания для самостоятельной работы


1. Найдите дифференциал функции

hello_html_55d93e22.gif

Решение:

hello_html_m1baa77cd.gif

2. Найдите приближенное значение приращения функции

hello_html_14c8cfcd.gif при х = 2 и Δх = 0,001.

Решение: Применяем формулу (2.3): hello_html_m420dc9c5.gif

hello_html_2d058089.gif

Ответ hello_html_2e05f21d.gif

Посмотрим, какую погрешность допустили, вычислив дифференциал функции вместо ее приращения. Для этого найдем Δy:

hello_html_7267a0a8.gif

Абсолютная погрешность приближения равна

hello_html_293a62e7.gif.

3. Вычислите hello_html_7ab53d33.gif

Решение

Полагая х=4 и Δх=0,002 и применяя формулу (2.5) получим

hello_html_m3a86840b.gif

5. Вычислите дифференциал функции

Вариант 1.

hello_html_m1511a34b.gif.

Вариант 2.

hello_html_mf6ab804.gif.

Вариант 3.

hello_html_m1d8c33f0.gif.

Вариант 4.

hello_html_m23f14732.gif.

Вариант 5.

hello_html_79e10604.gif.

Вариант 6.

hello_html_m17b5a039.gif.

Вариант 7.

hello_html_721a2c70.gif.

Вариант 8.

hello_html_m79b8c40d.gif.

Вариант 9.

hello_html_m3c7fa80c.gif.

Вариант 10.

hello_html_m12a2f290.gif.

Вариант 11.

hello_html_m40e8faa5.gif.

Вариант 12.

hello_html_23178409.gif.

Вариант 13.

hello_html_3c7ba9b2.gif.

Вариант 14.

hello_html_245273d8.gif.

Вариант 15.

hello_html_m341363c1.gif.

Вариант 16.

hello_html_38d69057.gif.

Вариант 17.

hello_html_m748af30f.gif.

Вариант 18.

hello_html_m18b6fee1.gif.

Вариант 19.

hello_html_2987cace.gif.

Вариант 20.

hello_html_m749829cc.gif.

Вариант 21.

hello_html_m54a5d817.gif.

Вариант 22.

hello_html_22732f9f.gif.

Вариант 23.

hello_html_24cde421.gif.

Вариант 24.

hello_html_m2951b1d7.gif.

Вариант 25.

hello_html_6e1dfad5.gif.

Вариант 26.

hello_html_m4630b220.gif.

Вариант 27.

hello_html_5dc389be.gif.

Вариант 28.

hello_html_5654cddf.gif.

Вариант 29.

hello_html_m5c8c0517.gif.

Вариант 30.

hello_html_13385270.gif.

Вариант 31.

hello_html_4b7bc094.gif.

Вариант 32.

hello_html_7cb3aa65.gif.

Вариант 33.

hello_html_4a4c47a9.gif.

Вариант 34.

hello_html_m3fdf085d.gif.

Вариант 35.

hello_html_m23abea2e.gif.

Вариант 36.

hello_html_m20ea4eef.gif.

Вариант 37.

hello_html_2bc42016.gif.

Вариант 38.

hello_html_m54e0d4cc.gif.

Вариант 39.

hello_html_1f5c212a.gif.

Вариант 40.

hello_html_m5a0bad48.gif.


6. Вычислите приближенное значение выражения с помощью дифференциала

Вариант 1.

hello_html_30989d41.gif.

Вариант 2.

hello_html_m3e18154e.gif.

Вариант 3.

hello_html_m7e41bdb.gif.

Вариант 4.

hello_html_m4865d018.gif.

Вариант 5.

hello_html_48c756a8.gif.

Вариант 6.

hello_html_cb49c8d.gif.

Вариант 7.

hello_html_2f3b3c49.gif.

Вариант 8.

hello_html_13ddfe4e.gif.

Вариант 9.

hello_html_46c64909.gif.

Вариант 10.

hello_html_m2bdfc6ac.gif.

Вариант 11.

hello_html_6571c84f.gif.

Вариант 12.

hello_html_2df14d80.gif.

Вариант 13.

hello_html_1628543f.gif.

Вариант 14.

hello_html_mddf3edb.gif.

Вариант 15.

hello_html_m691c0028.gif.

Вариант 16.

hello_html_4c91d2cf.gif.

Вариант 17.

hello_html_m19f23a.gif.

Вариант 18.

hello_html_4ea5fd05.gif.

Вариант 19.

hello_html_m2bc72614.gif.

Вариант 20.

hello_html_m72c3db58.gif.

Вариант 21.

hello_html_m3fda0be2.gif.

Вариант 22.

hello_html_35fcd4b5.gif.

Вариант 23.

hello_html_m3fcf597d.gif.

Вариант 24.

hello_html_m23b1fcc9.gif.

Вариант 25.

hello_html_7efd59b5.gif.

Вариант 26.

hello_html_3939d6af.gif.

Вариант 27.

hello_html_7ce16d01.gif.

Вариант 28.

hello_html_4c91d2cf.gif.

Вариант 29.

hello_html_3a24910.gif.

Вариант 30.

hello_html_99aaa1d.gif.

Вариант 31.

hello_html_6e1ed90f.gif.

Вариант 32.

hello_html_6f2b9a60.gif.

Вариант 33.

hello_html_m114e570a.gif.

Вариант 34.

hello_html_m3b70ce0c.gif.

Вариант 35.

hello_html_m56a3e452.gif.

Вариант 36.

hello_html_bded0d0.gif.

Вариант 37.

hello_html_f836268.gif.

Вариант 38.

hello_html_m253c7900.gif.

Вариант 39.

hello_html_317104b6.gif.

Вариант 40.

hello_html_39315907.gif.


3. Неопределенный интеграл.

3.1 Понятие неопределенного интеграла.

В дифференциальном исчислении решается задача: по данной функции f(x) найти её производную (или дифференциал). Интегральное исчисление решает обратную задачу: найти функцию F(x), зная её производную F’=f(x) (или дифференциал). Искомую функцию F(x) называют первообразной функции f(x).

Функция F(x) называется первообразной функции f(x) на интервале (a;b), если для любого hello_html_m690b6f8f.gif выполняется равенство

hello_html_mca049cd.gifили hello_html_4cd34582.gif


Пример 1.

Для функции hello_html_22ef8b64.gif первообразной является функция hello_html_m1f8a8b7a.gif

так как

hello_html_27f7efbe.gif

Очевидно, что первообразными будут также любые функции

hello_html_49648f53.gif

где С – постоянная, поскольку

hello_html_76f5919c.gif

Множество всех первообразных функций F(x)+C для f(x) называется неопределенным интегралом от функции f(x).

Таким образом по определению

hello_html_316b7a4c.gif (3.1)

знак называют знаком интеграла;

функцию f(x) называют подынтегральной функцией;

выражение f(x)dx называют подынтегральным выражением.

hello_html_m4d9606d9.pngРис. 3.1

Операцию нахождения неопределенного интеграла называют интегрированием функции. Проинтегрировать функцию значит найти все её первообразные.

Геометрически неопределенный интеграл представляет собой семейство «параллельных» кривых hello_html_m2253a8ec.gif (см. рис. 1.3)

График каждой первообразной (кривой) называется интегральной кривой.



3.2 Свойства неопределенного интеграла.

1 Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:

hello_html_1cfce2e0.gif

2 Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:

hello_html_28998939.gif

3 Интеграл от дифференциала первообразной равен самой первообразной плюс произвольная постоянная:

hello_html_36f5f4e3.gif

4 Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

hello_html_m258d5a5b.gif

5 Интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых:

hello_html_7eccf2cd.gif


3.3 Основные формулы интегрирования (табличные интегралы).


1 hello_html_7676e89e.gif; (3.2)

2 hello_html_2937ad58.gif; (3.3)

3 hello_html_4ae91948.gif; (3.4)

4 hello_html_m4e2b0223.gif; (3.5)

5 hello_html_45fe62fb.gif; (3.6)

6hello_html_2220b67e.gif; (3.7)

7 hello_html_14270a2d.gif; (3.8)

8 hello_html_9e36564.gif; (3.9)

9 hello_html_5af8ed30.gif; (3.10)

10 hello_html_m23b3559c.gif; (3.11)

11 hello_html_m66875349.gif. (3.12)



3.4 Метод непосредственного интегрирования.

Метод интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам, называется непосредственным интегрированием.

При сведении данного интеграла к табличному часто используются следующие преобразования дифференциала (операция «подведения под знак дифференциала»);


hello_html_m2c4f325a.gif

hello_html_m336052b3.gif

hello_html_m67b5b944.gif

hello_html_1e106138.gif

hello_html_m4be16789.gif

hello_html_m70507070.gif

hello_html_m75797bf8.gif


Пример 1.

hello_html_m28b968c7.gif

Пример 2.

hello_html_m4200b8c.gif


3.5 Интегрирование методом замены переменной

Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования (т.е. подстановки). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся. Общих методов подбора подстановок не существует.

Допустим требуется вычислить интеграл hello_html_m3753b77f.gif. Сделаем подстановку hello_html_6ab92537.gif, где hello_html_f252731.gif - функция имеющая непрерывную производную.

Тогда hello_html_756ae493.gif и на основе свойства инвариантности формулы интегрирования неопределенного интеграла получаем формулу интегрирования подстановкой.

hello_html_6ebcbfa5.gif

Данная формула называется формулой интегрирования методом замены переменных в неопределенном интеграле. После нахождения интеграла правой части этого выражения следует перейти от новой переменной интегрирования t назад к переменной x.

Иногда целесообразно подбирать подстановку в виде hello_html_77919fbd.gif, тогда

hello_html_m47cfb35d.gif



Вопросы для самоподготовки

1. Какое действие называется интегрированием?

2. Какая функция называется подынтегральной?

3. Перечислите основные свойства неопределенного интеграла.

4. Перечислите основные методы интегрирования.

5. Чем отличаются друг от друга различные первообразные функции для данной функции f(x)?


Задания для самостоятельной работы

Найдите следующие интегралы.

1. hello_html_m53c81adf.gif

Используя свойство (5) раскроем скобки.

hello_html_m7eec56ea.gif

Согласно свойству (4) постоянный множитель можно вынести за знак интеграла

hello_html_328f21e1.gif

По формулам (3.2) и (3.3), полагая, что n=4, найдем интеграл.

hello_html_m798b348e.gif

где С=С12.

2. hello_html_357071ae.gif

Решение:

hello_html_m4fdf7566.gif

3. hello_html_96fdf20.gif

Решение


hello_html_m1085d91e.gif

4. hello_html_m443d3afc.gif

Данный интеграл находится методом замены переменной.

hello_html_6510f3dc.gif


5. hello_html_m2fd75571.gif

Решение

hello_html_m3b04f3ea.gif


6. hello_html_573d760d.gif

Решение

hello_html_m47212b9c.gif


7. hello_html_2eeffe8d.gif

Решение

hello_html_cfcd5d0.gif

8. Найдите следующие интегралы.


Вариант 1.

а)hello_html_ma22abc6.gif;

б) hello_html_m1548872.gif;

в)hello_html_204fd3ab.gif.

Вариант 2.

а)hello_html_m750a80b2.gif;

б) hello_html_m6f639a0a.gif;

в) hello_html_m73b12647.gif.

Вариант 3.

а)hello_html_2e20129b.gif;

б) hello_html_27a35dc.gif;

в) hello_html_5f665ec6.gif.

Вариант 4.

а)hello_html_m3be05680.gif;

б) hello_html_m55aba997.gif;

в) hello_html_120314f5.gif.

Вариант 5.

а)hello_html_m1e30a92.gif;

б) hello_html_1cf060c.gif;

в) hello_html_264beef7.gif.

Вариант 6.

а)hello_html_m3303f76d.gif;

б) hello_html_37747c8b.gif;

в) hello_html_afa5575.gif.

Вариант 7.

а)hello_html_m1e22a57b.gif;

б) hello_html_4a45d902.gif;

в) hello_html_1fcb5201.gif.

Вариант 8.

а)hello_html_m3dde26a8.gif;

б) hello_html_m4c655da6.gif;

в) hello_html_m40c87595.gif.

Вариант 9.

а)hello_html_7cf644ca.gif;

б) hello_html_38d7d335.gif;

в) hello_html_m688b0f6.gif.

Вариант 10.

а)hello_html_m2851e1a8.gif;

б) hello_html_m5016e48e.gif;

в) hello_html_1f0b42b.gif.

Вариант 11.

а)hello_html_m11a17d4b.gif;

б)hello_html_m2c0990c5.gif;

в) hello_html_m1e1dce5e.gif.

Вариант 12.

а)hello_html_69a0f5bc.gif;

б) hello_html_2969f9b.gif;

в) hello_html_599ebdb0.gif.

Вариант 13.

а)hello_html_m6e84a7fe.gif;

б)hello_html_m63da405f.gif;

в)hello_html_m59ca0f25.gif.

Вариант 14.

а)hello_html_m4a98cbd8.gif;

б) hello_html_73e6c86a.gif;

в) hello_html_513acdcc.gif.

Вариант 15.

а)hello_html_m6cc5f5b0.gif;

б) hello_html_m2ae8de94.gif;

в) hello_html_m75d3bd1.gif.

Вариант 16.

а)hello_html_m4cd6a964.gif;

б) hello_html_m61f382a1.gif;

в) hello_html_m3b60010f.gif.

Вариант 17.

а)hello_html_m5f3b9957.gif;

б) hello_html_m21808f88.gif;

в) hello_html_17091168.gif.

Вариант 18.

а)hello_html_484e7649.gif;

б) hello_html_m15befa57.gif;

в) hello_html_m79f025a0.gif.

Вариант 19.

а)hello_html_m765f8006.gif;

б) hello_html_m1003ca3d.gif;

в) hello_html_3611c28e.gif.

Вариант 20.

а)hello_html_663fda42.gif;

б) hello_html_m4c414629.gif;

в) hello_html_72651bd9.gif.

Вариант 21.

а)hello_html_m6c3fc38c.gif;

б) hello_html_2a9fde16.gif;

в) hello_html_m20c12c0e.gif.

Вариант 22.

а)hello_html_m2d715c58.gif;

б) hello_html_73723e94.gif;

в) hello_html_m15189485.gif.

Вариант 23.

а)hello_html_m22f8cc45.gif;

б) hello_html_67723a72.gif;

в) hello_html_m1d2b53ab.gif.

Вариант 24.

а)hello_html_m186731fe.gif;

б) hello_html_bdaa4fa.gif;

в) hello_html_m6d3ef817.gif.

Вариант 25.

а)hello_html_m53d2d0a3.gif;

б) hello_html_2089c96b.gif;

в) hello_html_m5ca64baf.gif.

Вариант 26.

а)hello_html_6d7ee5f3.gif;

б) hello_html_6f2a53b2.gif;

в)hello_html_m299e4493.gif.

Вариант 27.

а)hello_html_ma22abc6.gif;

б) hello_html_m1a4598ce.gif;

в) hello_html_4c3b10a0.gif.

Вариант 28.

а)hello_html_ma22abc6.gif;

б) hello_html_m705b13fe.gif;

в) hello_html_1489dac7.gif.

Вариант 29.

а)hello_html_m11b18acf.gif;

б) hello_html_41d7f9cd.gif;

в) hello_html_48142df6.gif.

Вариант 30.

а)hello_html_m63a4eead.gif;

б) hello_html_m7f55b7b2.gif;

в) hello_html_m6976f4cd.gif.

Вариант 31.

а)hello_html_1779e2dd.gif;

б) hello_html_2509dd68.gif;

в) hello_html_m3353d587.gif.

Вариант 32.

а)hello_html_m18408923.gif;

б) hello_html_m24ac6b29.gif;

в) hello_html_356141ee.gif.

Вариант 33.

а)hello_html_m2ab8e024.gif;

б) hello_html_m735395d2.gif;

в) hello_html_72125d5a.gif.

Вариант 34.

а)hello_html_ma22abc6.gif;

б) hello_html_m2cda6073.gif;

в) hello_html_m46a10015.gif.

Вариант 35.

а)hello_html_m557b0fd1.gif;

б) hello_html_2d68bbeb.gif;

в) hello_html_a6abe2f.gif.

Вариант 36.

а)hello_html_m28f4b8ad.gif;

б) hello_html_57cbe0bf.gif;

в) hello_html_6e391347.gif.

Вариант 37.

а)hello_html_m2d4f1445.gif;

б) hello_html_m55d808d9.gif;

в) hello_html_621fabb0.gif.

Вариант 38.

а)hello_html_319b694.gif;

б) hello_html_74a52357.gif;

в) hello_html_593b5ec0.gif.

Вариант 39.

а)hello_html_m7b963dd1.gif;

б) hello_html_1ad7a362.gif;

в) hello_html_2e20cd47.gif.

Вариант 40.

а)hello_html_m277db523.gif;

б) hello_html_m7dfd3033.gif;

в) hello_html_6961d232.gif.




4. Определенный интеграл.

4.1 Определенный интеграл как предел интегральной суммы.

Пусть функция hello_html_m4ad4c98a.gifопределена на отрезке hello_html_732e811c.gif. Выполним следующие действия.

С помощью точек x0=a, x1, x2,…xn=b (x0<x1 <x2<xn) разобьем на n частичных отрезков hello_html_m50f629f5.gif


hello_html_m3ec131eb.pngРис. 4.1






В каждом частичном отрезке hello_html_314bbb37.gif выберем произвольную точку hello_html_m18a37b1c.gifи вычислим значение функции в ней, т. е. величину hello_html_m4cd018fc.gif.

Умножим найденное значение функции hello_html_m4cd018fc.gif на длину hello_html_6a69df3e.gifсоответствующего частичного отрезка: hello_html_m10825ffe.gif .

Составим сумму всех таких произведений:

hello_html_58456527.gif (4.1)

Сумма вида (4.1) называется интегральной суммой функции hello_html_m4ad4c98a.gif на отрезке hello_html_784cf950.gif.

Обозначим через λ длину наибольшего частичного отрезка: hello_html_472983a5.gif.

Найдем предел интегральной суммы (4.1), когда hello_html_78b3a259.gif так, что hello_html_8cf398f.gif.

Если при этом интегральная сумма Sn имеет предел I, который не зависит ни от способа разбиения отрезка на частичные отрезки, ни от выбора точек в них, то число I называется определенным интегралом от функции hello_html_m4ad4c98a.gif на отрезке hello_html_732e811c.gif.

hello_html_49d51e8b.gif (4.2)


4.2 Геометрический смысл определенного интеграла.

Пусть на отрезке hello_html_784cf950.gifзадана непрерывная функция hello_html_m4ad4c98a.gif. Фигура, ограниченная сверху графиком функции hello_html_m4ad4c98a.gif, снизу осью Ox, сбоку – прямыми x=a и x=b, называется криволинейной трапецией. Требуется найти её площадь.

hello_html_m3be5dbc7.png

Для этого отрезок hello_html_784cf950.gif точками x0=a, x1, x2,…xn=b (x0<x1 <x2<xn) разобьем на n частичных отрезков hello_html_m50f629f5.gif. В каждом частичном отрезке hello_html_m285d3c76.gif возьмем произвольную точку сi и вычислим значение функции в ней, т.е. hello_html_m4cd018fc.gif.

Умножим значение функции hello_html_m4cd018fc.gif на длину hello_html_6a69df3e.gif, соответствующего частичного отрезка. Произведение hello_html_m10825ffe.gif равно площади прямоугольника с основанием hello_html_75d824cb.gif и высотой hello_html_m4cd018fc.gif. Сумма всех таких произведений

hello_html_9badc2b.gif

равна площади ступенчатой фигуры и приближенно равна площади S криволинейной трапеции:

hello_html_m6336a4.gif

С уменьшением всех величин hello_html_75d824cb.gif, точность приближения криволинейной трапеции ступенчатой фигурой и точность полученной формулы увеличиваются. Поэтому за точное значение площади S криволинейной трапеции принимается предел S, к которому стремится площадь ступенчатой фигуры Sст, когда n неограниченно возрастает так, что:

hello_html_m65c781f2.gif (4.3)

Итак, определенный интеграл от функции численно равен площади криволинейной трапеции.

В этом и состоит геометрический смысл определенного интеграла.


4.3 Свойства определенного интеграла.

  1. Если верхний и нижний пределы интегрирования равны, то интеграл равен нулю:

hello_html_m3099647a.gif

  1. При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак на противоположный:

hello_html_m6dc5bfdf.gif

  1. Если функция hello_html_m2d432eab.gif интегрируема на отрезке hello_html_784cf950.gif и a<c<b, то

hello_html_m6b31b38c.gif

  1. «Теорема о среднем». Если функция hello_html_m2d432eab.gif непрерывна на отрезке hello_html_784cf950.gif, то существует точка hello_html_m4ae70781.gif такая, что:

hello_html_m22b9f65f.gif

  1. Оценка интеграла. Если m и M– соответственно наименьшее и наибольшее значения функции hello_html_m2d432eab.gif на отрезке hello_html_784cf950.gif, то

hello_html_m772a4b35.gif

  1. Неравенство между непрерывными функциями на отрезке hello_html_784cf950.gif можно интегрировать. Так, если hello_html_m4f3dcdac.gif при hello_html_m2aab414a.gif, то

hello_html_52a72c6d.gif

  1. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

hello_html_202a16e9.gif

  1. Интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых:

hello_html_507a432e.gif


4.4 Формула Ньютона-Лейбница.

Формула Ньютона-Лейбница дает правило вычисления определенного интеграла: значение определенного интеграла на отрезке hello_html_784cf950.gif от непрерывной функции hello_html_m2d432eab.gif равно разности значений любой ее первообразной, вычисленной при x=b и x=a.

hello_html_m2418e31.gif

Здесь a и b – соответственно нижний и верхний предел интегрирования.

Общность обозначения определенного и неопределенного интегралов подчеркивает тесную связь между ними, но это разные понятия по смыслу: определенный интеграл – это число, а неопределенный интеграл – совокупность первообразных функций. Связь между определенным и неопределенным интегралом выражается методами интегрирования.


Пример 1.

Вычислите hello_html_d2afcef.gif

Решение

hello_html_2189ef73.gif


4.5 Интегрирование методом замены переменной.

Этот метод, как и в случае неопределенного интеграла, позволяет упростить вычисления, т.е. привести подынтегральное выражение к соответствующей табличной форме. Применение замены переменной в определенном интеграле базируется на следующей теореме.

Теорема. Если функция hello_html_m2d432eab.gif непрерывна на отрезке hello_html_784cf950.gif, а функция hello_html_6ab92537.gif непрерывна дифференцируема на отрезке hello_html_mea164b.gif, причем hello_html_8908fd.gifи hello_html_3ca695fe.gif, то справедлива формула

hello_html_mb4e4532.gif


Вопросы для самоподготовки

1. Как найти площадь криволинейной трапеции?

2. Перечислите свойства определенного интеграла.

3. В чем заключается геометрический смысл определенного интеграла?

4. Назовите формулу Ньютона-Лейбница.


Задания для самостоятельной работы


1. Вычислите hello_html_m2f864821.gif

Решение

hello_html_5e070015.gif

2. Вычислите hello_html_m5ae7bb0f.gif

Решение

hello_html_m7e396b41.gif


3. Вычислите интеграл hello_html_m52e02713.gif

Решение

hello_html_m3b1a1a6b.gif


4. Вычислите интеграл hello_html_m5d3d9314.gif

Решение

hello_html_253d60c4.gif

5. Вычислите интеграл hello_html_20cc5a54.gif

Решение

hello_html_6ff38c75.gif

6. Вычислите определенный интеграл

Вариант 1.

а) hello_html_m376e9030.gif;

б) hello_html_34c89597.gif;

в) hello_html_ma1373c6.gif.

Вариант 2.

а) hello_html_7ed323c8.gif;

б) hello_html_m50e9ff0f.gif;

в) hello_html_m6994db79.gif.

Вариант 3.

а) hello_html_m652f2485.gif;

б) hello_html_1dc4e341.gif;

в) hello_html_m1d70fe33.gif.

Вариант 4.

а) hello_html_2915c52b.gif;

б) hello_html_656347f0.gif;

в) hello_html_m6fd9974.gif.

Вариант 5.

а) hello_html_m31deb94e.gif;

б) hello_html_7a83558e.gif;

в) hello_html_4cd613cf.gif.

Вариант 6.

а) hello_html_6a5d3e3d.gif;

б) hello_html_m7b3e2d04.gif;

в) hello_html_m65b23e90.gif.

Вариант 7.

а) hello_html_2ef5a579.gif;

б) hello_html_31628a97.gif;

в) hello_html_2de7ea84.gif.

Вариант 8.

а) hello_html_mfd5aa4e.gif;

б) hello_html_3517fc3d.gif;

в) hello_html_m6be3467c.gif.

Вариант 9.

а) hello_html_f3973a1.gif;

б) hello_html_m51230ae6.gif;

в) hello_html_37860b27.gif.

Вариант 10.

а) hello_html_267477d2.gif;

б) hello_html_m541f80ab.gif;

в) hello_html_me1bc677.gif.

Вариант 11.

а) hello_html_m11b4b398.gif;

б) hello_html_m4cbab4e8.gif;

в) hello_html_20554e09.gif.

Вариант 12.

а) hello_html_m40d30342.gif;

б) hello_html_5d8249d4.gif;

в) hello_html_15590786.gif.

Вариант 13.

а) hello_html_m32fdd881.gif;

б) hello_html_547a525a.gif;

в) hello_html_687e9a55.gif.

Вариант 14.

а) hello_html_m61e4ec27.gif;

б) hello_html_3d6ecaae.gif;

в) hello_html_1ec2829f.gif.

Вариант 15.

а) hello_html_22b1d2ee.gif;

б) hello_html_m19af66d3.gif;

в) hello_html_77136d31.gif.

Вариант 16.

а) hello_html_4bf2b395.gif;

б) hello_html_4d06cb8f.gif;

в) hello_html_m94f127f.gif.

Вариант 17.

а) hello_html_m1e02c9d8.gif;

б) hello_html_m195be19b.gif;

в) hello_html_19351ffd.gif.

Вариант 18.

а) hello_html_m49ff6b8c.gif;

б) hello_html_706ca463.gif;

в) hello_html_272271fa.gif.

Вариант 19.

а) hello_html_m25c0fe4e.gif;

б) hello_html_m36b37b01.gif;

в) hello_html_m72f435a0.gif.

Вариант 20.

а) hello_html_3e1e58ef.gif;

б) hello_html_209fb7b0.gif;

в) hello_html_m549fb350.gif.

Вариант 21.

а) hello_html_30f786ec.gif;

б) hello_html_4b564ca0.gif;

в) hello_html_3e0d2ee4.gif.

Вариант 22.

а) hello_html_3b789949.gif;

б) hello_html_m79b7b42a.gif;

в) hello_html_m2520c3e.gif.

Вариант 23.

аhello_html_m4b08489f.gif;

б) hello_html_m2fbcc9e8.gif;

в) hello_html_m750e24a6.gif.

Вариант 24.

а) hello_html_m29b2e794.gif;

б) hello_html_5f23bf0b.gif;

в) hello_html_m5befad05.gif.

Вариант 25.

а) hello_html_m2f5b9a5a.gif;

б) hello_html_m31ce0fc5.gif;

в) hello_html_7f30c5cd.gif.

Вариант 26.

а) hello_html_m42590aa8.gif;

б) hello_html_m73e6e3a9.gif;

в) hello_html_2653688e.gif.

Вариант 27.

а) hello_html_64025b0b.gif;

б) hello_html_m67501ce7.gif;

в) hello_html_1b0d009.gif.

Вариант 28.

а) hello_html_m18a6f65d.gif;

б) hello_html_m3adaf17a.gif;

в) hello_html_m2db10b2e.gif.

Вариант 29.

а) hello_html_m57fe0854.gif;

б) hello_html_192412aa.gif;

в) hello_html_27b622f1.gif.

Вариант 30.

а) hello_html_728c1c51.gif;

б) hello_html_656702e4.gif;

в) hello_html_m2f914c52.gif.

Вариант 31.

а) hello_html_m7db68332.gif;

б) hello_html_m50753765.gif;

в) hello_html_m3f10e0a3.gif.

Вариант 32.

а) hello_html_m6b84d337.gif;

б) hello_html_2a398484.gif;

в) hello_html_m3453ead1.gif.

Вариант 33.

а) hello_html_m188e0462.gif;

б) hello_html_73a83c2c.gif;

в) hello_html_5cb7b14e.gif.

Вариант 34.

а) hello_html_7d91a931.gif;

б) hello_html_m20468767.gif;

в) hello_html_3a77227d.gif.

Вариант 35.

а) hello_html_m3f6ce244.gif;

б) hello_html_m62986ed0.gif;

в) hello_html_m418e9cc5.gif.

Вариант 36.

а) hello_html_m135819ec.gif;

б) hello_html_5f718217.gif;

в) hello_html_m233456e0.gif.

Вариант 37.

а) hello_html_m7bdbea13.gif;

б) hello_html_m1cf64f.gif;

в) hello_html_1793c675.gif.

Вариант 38.

а) hello_html_m7e238eb7.gif;

б) hello_html_m19d58b30.gif;

в) hello_html_m4dd240f5.gif.

Вариант 39.

а) hello_html_m1e10f626.gif;

б) hello_html_423d166e.gif;

в) hello_html_meba9667.gif.

Вариант 40.

а) hello_html_23140fa.gif;

б) hello_html_m48a701be.gif;

в) hello_html_2fbcfa20.gif.




Литература

1. Афанасьев О.Н. Сборник задач по математике для техникумов на базе средней школы. - М.: Наука, 2008. - 520с.

2. Башмаков М. И. Алгебра и начала анализа. М.: Дрофа, 2014.

3. Берман Г.В. Сборник задач по курсу математического анализа. –М., Наука, 1985.

4. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учебное пособие для средних специальных учебных заведений. М., Высшая школа, 2003.

5. Гилярова М. Г. Математика для медицинских колледжей. Р. - на Дону. «Феникс» 2013.

6. Краснов М.Л, Киселев А.И. Макаренко Г.И., Шикин Е.В., Заляпин В.И, Соболев С.К. Вся высшая математика. Т.1. –М.: Эдиториал УРСС, 2011.

7. Н. Ш. Кремер и др. Высшая математика для экономистов. Учебник. 3-е изд. — М. : Юнити, 2010

8. Кудрявцев В.С. Курс высшей математики. – М.: Высшая школа, 1989.

9. Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике. М, Айрис-Пресс, 2013.

10. Шипачев В.С. Задачник по высшей математике: учебное пособие для вузов. –М.: Высшая школа, 2005.

11. Яковлев Г.Н. Алгебра и начала анализа. Москва «Наука», 1988.





Автор
Дата добавления 08.11.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров319
Номер материала ДВ-136053
Получить свидетельство о публикации

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх