Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Учебно-методическое пособие по математике по теме "Введение в анализ"

Учебно-методическое пособие по математике по теме "Введение в анализ"



Осталось всего 4 дня приёма заявок на
Международный конкурс "Мириады открытий"
(конкурс сразу по 24 предметам за один оргвзнос)


  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Министерство здравоохранения Челябинской области

Государственное бюджетное образовательное учреждение

Среднего профессионального образования

«Саткинский медицинский техникум»









Учебно-методическое пособие


Для студентов медицинских техникумов и колледжей

по дисциплине:


«Математика»


Тема «Введение в анализ»


специальности 060101 «Лечебное дело», 060109 «Сестринское дело»























Сатка 2014

Рассмотрено на цикловой Утверждаю

методической комиссии зам. директора

«ОГСЭ, ОПД, ЕН» по учебной работе


_____________________ ________________


_____________________ ________________





































Составитель преподаватель математики и физики ГБОУ СПО «Саткинский медицинский техникум» Валеев Руслан Фаилович

Содержание

Пояснительная записка………………………………………………………4

Методические указания………………………………………….…………..7

1. Функция………………………………...……………………...………….8

1.1 Способы задания функции…………………………………...………….8

1.2 Понятие функции………………………………………….…………..…8

1.3 Свойства функции…………………………………………………...…...8

1.4 Основные элементарные функции……………………….…………..…9

Вопросы для самоподготовки……………………….………..……………..9

Задания для самостоятельной работы…………………….……………….10

2. Предел функции………………………………..……………………….15

2.1 Определение предела функции………………………………….……..15

2.2 Односторонние пределы……………………………….………………15

2.3 Свойства пределов…………………………………..…………….……15

2.4 Замечательные пределы………………………….…………….………16

Вопросы для самоподготовки………………………..…………….………16

Задания для самостоятельной работы………………..………….………...16

Литература…………………………………………..…………….………...22



Пояснительная записка

Цель преподавания математики в ССУЗе – ознакомить студентов с основами математического аппарата, необходимого для решения теоретических и практических задач; привить студентам умение самостоятельно изучать учебную литературу по математике и ее приложениям; развивать логическое мышление и формировать математическую культуру; выработать навыки математического исследования прикладных вопросов и умение перевести задачу на математический язык.

Данное пособие предназначено для студентов 2-го курса отделений «Сестринское дело» и «Лечебное дело» для самостоятельной подготовки по темам «Функциональная зависимость» и «Пределы».





В соответствии с государственным стандартом в области математики после изучения темы:

Вы должны иметь представление:

  • о математике как части мировой культуры и о месте математики в современной цивилизации, о способах описания на математическом языке явлений реального мира;

  • о математических понятиях как о важнейших математических моделях, позволяющих описывать и изучать разные процессы и явления; понимание возможности аксиоматического построения математических теорий;

  • об основных понятиях математического анализа и их свойствах, владение умением характеризовать поведение функций, использование полученных знаний для описания и анализа реальных зависимостей;


Вы должны уметь:

  • решать прикладные задачи в области профессиональной деятельности


Вы должны знать:

  • значение математики в профессиональной деятельности и при освоении профессиональной образовательной программы;

  • основные математические методы решения прикладных задач в области профессиональной деятельности;

  • основные понятия и методы теории вероятностей и математической статистики;

  • основы интегрального и дифференциального исчисления.



Формируемые компетенции

OK 1-Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.

OK 2-Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

OK 3-Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность

OK 4-Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения возложенных на него профессиональных задач, а также для своего профессионального и личностного развития.

OK 5-Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности

OK 8-Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать и осуществлять повышение своей квалификации.

OK 9-Ориентироваться в условиях частой смены технологий в профессиональной деятельности.

OK12-Организовывать рабочее место с соблюдением требований охраны труда, производственной санитарии, инфекционной и противопожарной безопасности.

OK 14-Исполнять воинскую обязанность, в том числе с применением полученных профессиональных знаний (для юношей).



Методические указания

Уважаемые студенты вам предлагается поэтапное изучение темы «Введение в анализ».

В каждом разделе предлагаются контрольные вопросы и задания, приводятся решения некоторых примеров и задач, а также приводятся задачи и упражнения, предназначенные для самостоятельной работы.

Выбор варианта производится соответственно номеру студента в списке группы.


1. Функция.

1.1 Понятие функции.

Одним из основных математических понятий является понятие функции. Понятие функции связано с установлением зависимости (связи) между элементами двух множеств.

Допустим, дано два непустых множества X и Y.

Функция — это соответствие между множествами X и Y, при котором каждому элементу множества X соответствует единственный элемент множества Y.

т. е.

hello_html_415fdbe9.gif

Множество X называется областью определения функции f и обозначается D(f). Множество Y называется множеством значений функции f и обозначается E(f).

Переменная x называется аргументом функции или независимой переменной, а yфункцией или зависимой переменной. Относительно самих величин x и y говорят, что они находятся в функциональной зависимости.

Числовое значение функции, соответствующее данному числовому аргумент, называется частным значением этой функции. Например, функция y=f(x) при x=a принимает значение y=f(a).

Чтобы задать функцию y=f(x) необходимо указать правило, позволяющее, зная x, находить соответствующее значение y.


1.2 Способы задания функции.

    1. Аналитический — с помощью одной или нескольких формул или уравнений.

Например: y=x2+6.

    1. Графический — с помощью графика.

График функции y=f(x) — множество всех точек плоскости Oxy, для каждой из которых x является значением аргумента, а y — соответствующим значением функции.

    1. Табличный — с помощью таблицы.


1.3 Свойства функции.

    1. Четность.

Функция f(x) называется четной если для любого hello_html_66e3e7dc.gif выполняется равенство hello_html_m253424ed.gif.

Функция f(x) называется нечетной если для любого hello_html_66e3e7dc.gif выполняется равенство hello_html_m3bc6ebe6.gif.

    1. Монотонность.

Функция hello_html_m47ec04a7.gif называется возрастающей если для любых hello_html_20a7370b.gif таких что hello_html_m367e219b.gif выполняется неравенство hello_html_54185a.gif.

Функция hello_html_m47ec04a7.gif называется неубывающей если для любых hello_html_20a7370b.gif таких что hello_html_m367e219b.gif выполняется неравенство hello_html_191c8333.gif.

Функция hello_html_m47ec04a7.gif называется убывающей если для любых hello_html_20a7370b.gif таких что hello_html_m367e219b.gif выполняется неравенство hello_html_m69c49608.gif.

Функция hello_html_m47ec04a7.gif называется невозрастающей если для любых hello_html_20a7370b.gif таких что hello_html_3871b6b7.gif выполняется неравенство hello_html_23873cf5.gif.

    1. Ограниченность.

Функция hello_html_m47ec04a7.gif называется ограниченной если существует такое число M, что для каждого hello_html_66e3e7dc.gif выполняется неравенство hello_html_m7924bd16.gif.

Если же точка М не существует, то функция называется неограниченной.

    1. Периодичность.

Функция hello_html_m47ec04a7.gif называется периодической, если существует число hello_html_64e8c5f8.gif, такое, что для любого hello_html_66e3e7dc.gif выполняется равенство hello_html_m3faa2d72.gif.

Число Т называется периодом функции.


1.4 Основные элементарные функции.

  1. Показательная функция hello_html_m5b0b7f64.gif;

  2. Степенная функция hello_html_4138b432.gif;

  3. Логарифмическая функция hello_html_m689f9c6.gif;

  4. Тригонометрические функции hello_html_m7c74f58f.gif, hello_html_2069237a.gif, hello_html_m37f5673a.gif, hello_html_41e86f40.gif;

  5. Обратные тригонометрические функции hello_html_4935c0ca.gif, hello_html_m55939e65.gif, hello_html_m6db767a6.gif, hello_html_m1cc090d0.gif.


Вопросы для самоподготовки

1. Что такое функция?

2. Перечислите основные свойства функций.

3. Перечислите способы задания функций.

4. Что такое область определения функции?

5. Что такое область значения функции?

6. Какие виды функции вы знаете?

7. На какие виды функции делятся по четности?


Задания для самостоятельной работы.

Постройте графики функции и перечислите их свойства.

1. hello_html_m6c2f8d23.gif;

Решение

Графиком функции hello_html_m6c2f8d23.gif является парабола, ветви у нее направлены вверх, так как а=1>0.

a=1, b=0, c=-3.

Вершина параболыhello_html_676d32e3.gif, где

hello_html_1ecad3e6.gif; hello_html_7b12cff.gif

Значит, вершина имеет координаты (0; -3).

Вычислим координаты контрольных точек и занесем их в таблицу.


X

-3

-2

-1

0

1

2

3

y

6

1

-2

-3

-2

1

6


Свойства функции hello_html_m6c2f8d23.gif:

1. Здесь на x не накладывается никаких ограничений, поэтому функция hello_html_m6c2f8d23.gif определена на множестве R. hello_html_m7c12e002.png

2. E(y)=[-3;∞).

3. График функции симметричен оси ординат, поэтому функция hello_html_m6c2f8d23.gif будет четной.

4. Функция убывает на отрезке hello_html_m65f8c9c.gif и возрастает на отрезке hello_html_1da9ad71.gif;

5. Функция ограничена снизу прямой y=-3, т. к. все точки графика лежат выше этой прямой.

6. Функция не периодическая.












2. hello_html_7008d4e8.gif;

Решение

Вычислим координаты контрольных точек и занесем их в таблицу.


x

hello_html_522885f8.gif

0

hello_html_f2b08d9.gif

hello_html_69eea861.gif

hello_html_fa9b759.gif

hello_html_e70db7c.gif

hello_html_m73a3a823.gif

y

0

2,12

3

2,12

0

-3

2,12


Свойства функции hello_html_m86714dd.gif:

1. hello_html_1699e0fe.gif;hello_html_m60b166be.png

2. hello_html_m1b767a14.gif;

3. Функция нечетная;

4. Функция убывает на отрезке hello_html_4e3b2645.gifи возрастает на отрезках hello_html_209e0d6c.gif;

5. Функция ограничена: снизу прямой y=-3; сверху y=3;

6. Функция периодическая, период равен .


3. Постройте графики функции и перечислите их свойства.

Вариант 1.

а) hello_html_mac6c314.gif;

б) hello_html_6c416abf.gif, hello_html_3e2758a0.gif;

в) hello_html_m4dffdb21.gif, hello_html_7988595b.gif.

Вариант 4.

а) hello_html_67bf3ead.gif;

б) hello_html_m1db32920.gif;

в) hello_html_m5979305e.gif, hello_html_756c08c8.gif.

Вариант 2.

а) hello_html_7bb09bab.gif;

б) hello_html_5af11e1d.gif, hello_html_m6410af7f.gif;

в) hello_html_m2a397a21.gif.

Вариант 5.

а) hello_html_7126c512.gif;

б) hello_html_m2e015a19.gif, hello_html_m3a2be10f.gif;

в) hello_html_43db20d9.gif, hello_html_7cc99fa2.gif.

Вариант 3.

а) hello_html_m315f71ad.gif;

б) hello_html_m5cc5dd1f.gif, hello_html_m6deea29.gif;

в) hello_html_13ec3b06.gif, hello_html_m5b57e0ca.gif.

Вариант 6.

а) hello_html_m3f14c735.gif;

б) hello_html_m783b8876.gif, hello_html_67527614.gif;

в) hello_html_7970a972.gif.

Вариант 7.

а) hello_html_m63cae658.gif;

б) hello_html_7bb36b04.gif, hello_html_766c0ff.gif;

в) hello_html_531094b4.gif, hello_html_66c14c7.gif.

Вариант 14.

а) hello_html_c3257cc.gif;

б) hello_html_4af5bab6.gif, hello_html_m5effc38d.gif;

в) hello_html_9502b7f.gif.


Вариант 8.

а) hello_html_47063d8.gif;

б) hello_html_5ecf9c63.gif, hello_html_m2f2abb94.gif;

в) hello_html_313430e6.gif, hello_html_24d581d8.gif.

Вариант 15.

а) hello_html_m1e249a5a.gif;

б) hello_html_6478c642.gif;

в) hello_html_d0fdfaa.gif.

Вариант 9.

а) hello_html_22ade745.gif;

б) hello_html_73398dbf.gif, hello_html_3e2758a0.gif;

в) hello_html_m4dffdb21.gif, hello_html_7988595b.gif.

Вариант 16.

а) hello_html_m2e6432ad.gif;

б) hello_html_m79b13d3e.gif, hello_html_m4f6f1855.gif;

в) hello_html_1e713eef.gif.


Вариант 10.

а) hello_html_m7c81179d.gif;

б) hello_html_m60c99e18.gif, hello_html_646e3522.gif;

в) hello_html_69f054d0.gif.

Вариант 17.

а) hello_html_m48ec43fe.gif;

б) hello_html_m51424b80.gif, hello_html_2cf46b84.gif;

в) hello_html_3dba20d3.gif, hello_html_67527614.gif.


Вариант 11.

а) hello_html_md730fd7.gif;

б) hello_html_m3ed14049.gif, hello_html_1f701b97.gif;

в) hello_html_5574e24a.gifhello_html_ddf8d75.gif.

Вариант 18.

а) hello_html_md9a2226.gif;

б) hello_html_m679f6d9e.gif;

в) hello_html_6a3ca3bc.gif.


Вариант 12.

а) hello_html_51f55296.gif;

б) hello_html_79a81d70.gif, hello_html_646e3522.gif;

в) hello_html_m3c5aa239.gif.

Вариант 19.

а) hello_html_mfcfa18.gif;

б) hello_html_6ec504a6.gif, hello_html_m11bebffe.gif;

в) hello_html_14268cb7.gif.

Вариант 13.

а) hello_html_m52ac8336.gif;

б) hello_html_d23cb2e.gif, hello_html_m6deea29.gif;

в) hello_html_m385486a4.gif.

Вариант 20.

а) hello_html_m69004091.gif;

б) hello_html_m4420edba.gif, hello_html_m6410af7f.gif;

в) hello_html_22dfeb8c.gif.


Вариант 21.

а) hello_html_2c29aee8.gif;

б) hello_html_m40634a5d.gif; hello_html_6d2fafe5.gif

в) hello_html_18cfd701.gif, hello_html_m658398e0.gif.

Вариант 28.

а) hello_html_10c47edf.gif;

б) hello_html_mdcf72f6.gif, hello_html_313f734.gif;

в) hello_html_m388cf420.gif, hello_html_352329a.gif.

Вариант 22.

а) hello_html_acb409a.gif;

б) hello_html_m37165e3d.gif;

в) hello_html_m798e7326.gif, hello_html_5fa30f36.gif.

Вариант 29.

а) hello_html_44ec1ef.gif;

б) hello_html_m65fe00a7.gif, hello_html_746297b7.gif;

в) hello_html_14fd54b0.gif.

Вариант 23.

а) hello_html_m3080e899.gif;

б) hello_html_1c3c9def.gif, hello_html_333012d6.gif;

в) hello_html_m4c3508c.gif, hello_html_m762e800c.gif.

Вариант 30.

а) hello_html_m1dd8bb31.gif;

б) hello_html_m373e8769.gif,hello_html_e0d3b0b.gif;

в) hello_html_m76b12140.gif, hello_html_40442d73.gif.

Вариант 24.

а) hello_html_3d788054.gif;

б) hello_html_m4a00a1d9.gif;

в) hello_html_m7696503b.gif.

Вариант 31.

а) hello_html_1a5d799e.gif;

б) hello_html_7c3d87a3.gif, hello_html_1e775cf7.gif;

в) hello_html_435ea7df.gif, hello_html_66c14c7.gif.

Вариант 25.

а) hello_html_m55650bce.gif;

б) hello_html_m628f2bb.gif, hello_html_m11bebffe.gif;

в) hello_html_41db7964.gif, hello_html_7988595b.gif.

Вариант 32.

а) hello_html_m2c35ef9c.gif;

б) hello_html_mccd785c.gif;

в) hello_html_a9d07bd.gif, hello_html_15fa5281.gif.

Вариант 26.

а) hello_html_4968147c.gif;

б) hello_html_6c416abf.gif, hello_html_3e2758a0.gif;

в) hello_html_1bba38ff.gif.

Вариант 33.

а) hello_html_79d2ca89.gif;

б) hello_html_6c303f62.gif, hello_html_m3a2be10f.gif;

в) hello_html_10602f29.gif, hello_html_2a49cbb4.gif.

Вариант 27.

а) hello_html_m600a8e39.gif;

б) hello_html_m736d3224.gif;

в) hello_html_654edf90.gif.

Вариант 34.

а) hello_html_3af1e109.gif;

б) hello_html_m783b8876.gif, hello_html_67527614.gif;

в) hello_html_6d6a6fc8.gif, hello_html_m1c32b.gif.


Вариант 35.

а) hello_html_m28714ad0.gif;

б) hello_html_7ab99ac5.gif, hello_html_40fe678b.gif;

в) hello_html_2e755165.gif, hello_html_7988595b.gif.

Вариант 38.

а) hello_html_ma48519b.gif;

б) hello_html_m634ff93f.gif, hello_html_m2fc1137f.gif;

в) hello_html_2f1c8917.gif.

Вариант 36.

а) hello_html_750c1656.gif;

б) hello_html_m57ef0544.gif, hello_html_m3355bcdb.gif;

в) hello_html_58d7108.gif.

Вариант 39.

а) hello_html_m4fa77463.gif;

б) hello_html_a551eb7.gif;

в) hello_html_376597f.gif.

Вариант 37.

а) hello_html_6ee296c3.gif;

б) hello_html_2337acf7.gif, hello_html_m6410af7f.gif;

в) hello_html_m2a397a21.gif.

Вариант 40.

а) hello_html_m4e265903.gif;

б) hello_html_m268f0fc6.gif, hello_html_m387f7329.gif;

в) hello_html_408578ea.gif





2. Предел функции.

2.1 Определение предела функции

Число А называется пределом функции y=f(x) при x, стремящемся к a, если для любого числа ε>0 существует такое число σ>0, что для всех xa, удовлетворяющих условию |x-a|<σ, имеет место неравенство |f(x)-A|<ε.

hello_html_d82c77.gif

Пример 1.

Вычислить предел.

hello_html_m670960cc.gif

Решение

hello_html_m16ad0333.gif

2.2 Односторонние пределы

Число А1 называется пределом функции y=f(x) слева в точке х0, если для любого числа ε>0 существует числоhello_html_64b39156.gif такое, что при hello_html_m5b991e9.gif выполняется неравенство hello_html_m7c9be62b.gif.

hello_html_7655b4a9.gif

Число А2 называется пределом функции y=f(x) справа в точке х0, если для любого числа ε>0 существует число hello_html_64b39156.gif такое, что при hello_html_7c58883c.gif выполняется неравенствоhello_html_47decc6b.gif.

hello_html_m61287ba6.gif

Пределы функции слева и справа называется односторонними пределами.


2.3 Свойства пределов

    1. Если С – постоянная величина, то существует предел:

hello_html_m447942e8.gif

    1. Предел суммы (разности) двух функции равен сумме (разности) их пределов:

hello_html_m2bea34ba.gif

    1. Предел произведения двух функции равен произведению их пределов:

hello_html_ccf0f9b.gif

    1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

hello_html_5c5dbead.gif

    1. Предел степени с натуральным показателем равен той же степени предела:

hello_html_4bc9ba8e.gif

    1. Предел дроби равен пределу числителя, деленному на предел знаменателя, если предел знаменателя не равен нулю:

hello_html_m3639aabb.gif

2.4 Замечательные пределы

При вычислении пределов выражений, содержащих тригонометрические функции, часто используют предел

hello_html_m25c8c6a7.gif

называемый первым замечательным пределом. Читается: предел отношения синуса к его аргументу равен единице, когда аргумент стремится к нулю.

Второй замечательный предел:

hello_html_m2c6f158a.gif


Вопросы для самоподготовки

1. Дайте определение предела функции.

2. Перечислите основные свойства пределов функций.

3. Что означает односторонний предел?

4. Сформулируйте первый замечательный предел.

5. Сформулируйте второй замечательный предел.

6. Какие вам известны способы раскрытия неопределенности вида hello_html_m7422bafc.gif?

7. Какие вам известны способы раскрытия неопределенности вида hello_html_m29074d5a.gif?


Задания для самостоятельной работы

1. Вычислить предел.

hello_html_m306d4cf6.gif

Решение

hello_html_m32a15dd3.gif

2. Вычислить предел.

hello_html_m671c483a.gif

Решение

Здесь применить свойство о пределе дроби нельзя, т. к. предел знаменателя, при x 3 равен 0. Кроме того, предел числителя равен 0. В таких случаях говорят, что имеем неопределенность вида hello_html_m7422bafc.gif. Для ее раскрытия разложим числитель и знаменатель дроби на множители, затем сократим дробь на x – 3 0 ( x 3 , но x ≠ 3 ):

hello_html_3b94a045.gif

3. Вычислить предел.

hello_html_559ebdbf.gif


Решение

При x ∞ числитель и знаменатель – величины бесконечно большие. Применяя свойство 5, получаем выражение hello_html_m29074d5a.gif, которое представляет собой неопределенность. Для нахождения предела данной дроби разделим числитель и знаменатель на наивысшую степень аргумента в знаменателе, т.е. на х3:

hello_html_m2b7d72f8.gif

При x ∞ имеем

hello_html_m7eed64a6.gifи hello_html_m53cc7088.gif

Так как знаменатель величина ограниченная, то

hello_html_89627eb.gif



4. Вычислите пределы.

Вариант 1.

а) hello_html_m1bc3eb10.gif;

б) hello_html_440f0302.gif;

в) hello_html_m5013b234.gif.



Вариант 2.

а) hello_html_m27384be2.gif;

б) hello_html_m4a58fbba.gif;

в) hello_html_776847f5.gif.

Вариант 3.

а) hello_html_m1d559cc3.gif;

б) hello_html_c539eaa.gif;

в) hello_html_m644b93e7.gif.

Вариант 8.

а) hello_html_m5cc242d5.gif;

б) hello_html_m3d2d9b08.gif;

в) hello_html_mbb8292d.gif.

Вариант 4.

а) hello_html_220bae00.gif;

б) hello_html_5079a04a.gif;

в) hello_html_m34d7054a.gif.

Вариант 9.

а) hello_html_3574e739.gif;

б) hello_html_5259cf.gif;

в) hello_html_2c82e00e.gif.


Вариант 5.

а) hello_html_828fb6c.gif;

б) hello_html_1ee6e528.gif;

в) hello_html_2190fc22.gif.

Вариант 10.

а) hello_html_13fca410.gif;

б) hello_html_507dea25.gif;

в) hello_html_3d00ce66.gif.


Вариант 6.

а) hello_html_m1a014258.gif;

б) hello_html_252a4c03.gif;

в) hello_html_m51cd058f.gif.

Вариант 11.

а) hello_html_m25370049.gif;

б) hello_html_38c8e269.gif;

в) hello_html_m5136f975.gif.

Вариант 7.

а) hello_html_m33943eb1.gif;

б) hello_html_m30e3702b.gif;

в) hello_html_m61714e54.gif.



Вариант 12.

а) hello_html_m99540bd.gif;

б) hello_html_m5a495296.gif;

в) hello_html_m1b814fdc.gif.

Вариант 13.

а) hello_html_m2e4ce13e.gif;

б) hello_html_57cb227b.gif;

в) hello_html_m14963201.gif.

Вариант 18.

а) hello_html_m6dddbb46.gif;

б) hello_html_72f825e.gif;

в) hello_html_385b7c6a.gif.

Вариант 14.

а) hello_html_me39b6a6.gif;

б) hello_html_m23075815.gif;

в) hello_html_7395fbd3.gif.

Вариант 19.

а) hello_html_m43e5249d.gif;

б) hello_html_2150d118.gif;

в) hello_html_m1893a713.gif.

Вариант 15.

а) hello_html_4abea2fc.gif;

б) hello_html_m4567afdb.gif;

в) hello_html_m1f6dc42e.gif.

Вариант 20.

а) hello_html_3b67e123.gif;

б) hello_html_5ed27167.gif;

в) hello_html_m1893a713.gif.

Вариант 16.

а) hello_html_m1f43fcfd.gif;

б) hello_html_48609e2.gif;

в) hello_html_m34a659e2.gif.

Вариант 21.

а) hello_html_m48bae959.gif;

б) hello_html_40be4629.gif;

в) hello_html_m62537ea3.gif.

Вариант 17.

а) hello_html_2940233d.gif;

б) hello_html_2d32364e.gif;

в) hello_html_52a8c48.gif.



Вариант 22.

а) hello_html_m637d34f5.gif;

б) hello_html_5f55468c.gif;

в) hello_html_m6c4a989c.gif.

Вариант 23.

а) hello_html_m29955588.gif;

б) hello_html_m73447ffd.gif;

в) hello_html_5adce67c.gif.

Вариант 28.

а) hello_html_m5da3486.gif;

б) hello_html_7b329420.gif;

в) hello_html_m3a7dbbb.gif.

Вариант 24.

а) hello_html_m3f617c3a.gif;

б) hello_html_m3952cc70.gif;

в) hello_html_362fc12f.gif.

Вариант 29.

а) hello_html_m78248708.gif;

б) hello_html_7b329420.gif;

в) hello_html_1a546207.gif.


Вариант 25.

а) hello_html_m2b2e4e5c.gif;

б) hello_html_m250d9a21.gif;

в) hello_html_6721b797.gif.

Вариант 30.

а) hello_html_38e4569f.gif;

б) hello_html_m48150fbe.gif;

в) hello_html_m66b8ac03.gif.

Вариант 26.

а) hello_html_m436b5d8e.gif;

б) hello_html_m183d5dec.gif;

в) hello_html_m427b781e.gif.

Вариант 31.

а) hello_html_m2924af46.gif;

б) hello_html_5598981b.gif;

в) hello_html_b71b81.gif.

Вариант 27.

а) hello_html_m3535670b.gif;

б) hello_html_30522b58.gif;

в) hello_html_m410c7375.gif.



Вариант 32.

а) hello_html_fcf7e9a.gif;

б) hello_html_m39ec20b.gif;

в) hello_html_mccbdf4d.gif.

Вариант 33.

а) hello_html_283345a5.gif;

б) hello_html_444d9b29.gif;

в) hello_html_m6da78206.gif.

Вариант 37.

а) hello_html_57d57746.gif;

б) hello_html_m507aea19.gif;

в) hello_html_5a3cce3a.gif.

Вариант 34.

а) hello_html_m3535670b.gif;

б) hello_html_30522b58.gif;

в) hello_html_m410c7375.gif.

Вариант 38.

а) hello_html_m47b74bd.gif;

б) hello_html_7b78f15f.gif;

в) hello_html_m24f7dc75.gif.

Вариант 35.

а) hello_html_471248c4.gif;

б) hello_html_42bbc58d.gif;

в) hello_html_2ac7c3c2.gif.

Вариант 39.

а) hello_html_23645fbe.gif;

б) hello_html_m50e496fc.gif;

в) hello_html_m105aaf1a.gif.

Вариант 36.

а) hello_html_514058d9.gif;

б) hello_html_b1748c8.gif;

в) hello_html_553cf76b.gif.

Вариант 40.

а) hello_html_m153128d6.gif;

б) hello_html_1ee91b25.gif;

в) hello_html_m4b550ad7.gif.





Литература

1. Афанасьев О.Н. Сборник задач по математике для техникумов на базе средней школы. - М.: Наука, 2008. - 520с.

2. Башмаков М. И. Алгебра и начала анализа. М.: Дрофа, 2004.

3. Берман Г.В. Сборник задач по курсу математического анализа. –М., Наука, 1985.

4. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учебное пособие для средних специальных учебных заведений. М., Высшая школа, 2003.

5. Гилярова М. Г. Математика для медицинских колледжей. Р. - на Дону. «Феникс» 2013.

6. Краснов М.Л, Киселев А.И. Макаренко Г.И., Шикин Е.В., Заляпин В.И, Соболев С.К. Вся высшая математика. Т.1. –М.: Эдиториал УРСС, 2001.

7. Кудрявцев В.С. Курс высшей математики. – М.: Высшая школа, 1989.

8. Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике. М, Айрис-Пресс, 2009.

9. Шипачев В.С. Задачник по высшей математике: учебное пособие для вузов. –М.: Высшая школа, 2005.

10. Яковлев Г.Н. Алгебра и начала анализа. Москва «Наука», 1988.





57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)


Автор
Дата добавления 08.11.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров203
Номер материала ДВ-136040
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх