Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Учебно-методическое пособие "Расчетная работа "Приближенное решение скалярного уравнения""

Учебно-методическое пособие "Расчетная работа "Приближенное решение скалярного уравнения""

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

hello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_5ce7a214.gifhello_html_m62459df7.gifhello_html_541da6d3.gifhello_html_70550f86.gifhello_html_5556e9a5.gifhello_html_m35897dc5.gifhello_html_m35897dc5.gif





МАТЕМАТИКА





РАСЧЕТНАЯ РАБОТА


«Приближенное решение скалярного уравнения»




Учебно-методическое пособие





----------------------------------------------------------------------------------






















Введение


Современная вычислительная техника требует от пользователей знаний основ вычислительной математики и применения этих знаний к решению различных задач народного хозяйства. Сложные вычислительные задачи, возникающие при моделировании различных процессов и явлений можно разбить на ряд элементарных: решение уравнений, установление функциональной зависимости между результатами эксперимента, вычисление интегралов, решение дифференциальных уравнений и т.д.

Цель учебно-методического пособия – помощь учащимся, углубленно изучающим математику, а также студентам 1 курса вузов в самостоятельном изучении численных методов и выполнении лабораторно-практических работ.

Настоящее пособие содержит расчетную работу: решение скалярных уравнений.

Работа содержит теоретическую часть, в которой дана общая постановка решаемой задачи и различные методы ее решения; порядок выполнения работы (решение задач в общем виде); приводятся примеры с решениями, контрольные вопросы, на которые студенту необходимо ответить, чтобы проверить степень усвоения материала; задачи для индивидуальной работы по вариантам двух уровней сложности: А,Б (для дифференцированного контроля знаний студентов0. Уровень А включает задачи среднего уровня сложности, уровень Б – более сложные задачи.













Расчетная работа

Приближенное решение скалярного уравнения


I. Теоретическая часть

  1. Постановка задачи

Пусть требуется решить скалярное уравнение

hello_html_m75073ad3.gif (1.1)

Методы исследования поведения функции дают возможность находить приближенные значения корней уравнения (1.1).

Если данное уравнение есть алгебраическое уравнение, т.е. hello_html_m2b51c4a7.gif есть многочлен, первой, второй, третьей или четвертой степени, то существуют формулы, позволяющие выразить корни уравнения через его коэффициенты с помощью конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения корней. Для уравнения выше четвертой степени таких формул, вообще говоря, не существует. Если коэффициенты любого уравнения, алгебраического или неалгебраического (трансцендентного), не буквенные, а числовые, то корни уравнения могут быть вычислены приближенно с любой степенью точности. Отметим, что даже в тех случаях, когда корни алгебраического уравнения выражаются через радикалы, на практике иногда целесообразно применять приближенный метод решения уравнения.


2. Графический метод, отделение корней

Задача о нахождении приближенных значений действительных корней уравнения (1.1) предусматривает предварительное отделение корня, т.е. установление промежутка, в котором других корней данного уравнения нет.

Будем предполагать, что функция hello_html_m2b51c4a7.gif в промежутке hello_html_m3c8d44c6.gifнепрерывна со своими производными hello_html_m45ba222.gif и hello_html_m32b6ac5c.gif, значения f(a) и f(b) функции на концах промежутка имеют разные знаки, т.е. hello_html_m336ba7b.gif, и обе производные hello_html_m45ba222.gifи hello_html_1b1b96f.gif сохраняют знак во всем промежутке hello_html_m3c8d44c6.gif.

Действительные корни уравнения (1.1) являются абсциссами точек пересечения кривой hello_html_m37b44e66.gif с осью Оx, а если это уравнение преобразуется к виду hello_html_m3877dcd8.gif, то его действительные корни будут абсциссами точек пересечения кривых hello_html_m16cf03f3.gif и hello_html_m285d6cfa.gif (см. рис. 1.1). hello_html_m7e49d1ef.png

С помощью графического метода можно находить

приближенные значения действительных корней

алгебраических и трансцендентных уравнений

путем построения соответствующих кривых.

Однако этим графическим методом можно получить

лишь грубо приближенные значения корней уравне-

ния, но нельзя их вычислить с наперед заданной

Рис. 1.1 большой точностью. Поэтому графический метод обычно применяется лишь как вспомогательное средство для определения числа действительных корней уравнения и для их отделения, т.е. для нахождения таких отрезков оси Ox, внутри которых содержится только по одному корню. Затем, после такого отделения корней, каждый из них может быть вычислен с любой желаемой точностью посредством аналитических методов. К таким методам относятся: метод хорд, метод касательных (метод Ньютона), комбинированный метод хорд и касательных, метод итераций и метод проб. Рассмотрим эти методы.


3. Метод хорд

Пусть требуется вычислить действительный корень уравнения (1.1), изолированный на отрезке hello_html_md8199a0.gif. Рассмотрим график функции hello_html_m12df11ba.gif. Пусть hello_html_md965b32.gif и hello_html_m533ccd9a.gif. hello_html_m57c4e646.jpghello_html_29353e3c.jpg

Рис.1.2.

Рис. 1.3.

Точки графика hello_html_793ecee4.gif и hello_html_dc53149.gif соединим хордой. За приближенное значение искомого корня примем абсциссу hello_html_m9777a9c.gif точки пересечения хорды АВ с осью Ox.

Это приближенное значение находится по формуле

hello_html_m85bd8d3.gif, (1.2)

где hello_html_50d85b4d.gif. Пусть, например, hello_html_2544c9c5.gif, тогда за новый (более узкий) промежуток изоляции корня можно принять hello_html_5d3bf5fd.gif. Соединив точки hello_html_m8fb3e80.gif и hello_html_dc53149.gif, получим в точке пересечения хорды с осью Ox второе приближение hello_html_m3599fb49.gif, которое вычислим по формуле

hello_html_50c0ae10.gif, (1.3)

и т.д. Последовательность чисел a, x1, x2,… стремится к искомому корню уравнения (1.1). Если было бы hello_html_m6763c6ad.gif, то за новый промежуток изоляции корня можно было бы принять hello_html_m4ca2193a.gif и тогда второе приближение hello_html_m5bfb6296.gifвычисляли бы по формуле hello_html_m1245338d.gif (1.3’)

Вычисление приближенных значений корней уравнения следует вести до тех пор, пока не перестанут изменяться те десятичные знаки, которые мы хотим сохранить в ответе (т.е. пока не будет достигнута заданная степень точности).

Если hello_html_m283be33a.gif- точный корень уравнения hello_html_4c05ac68.gif, изолированный на отрезке

hello_html_m3c8d44c6.gif, а hello_html_398bc4d5.gif – приближенное значение корня, найденное методом хорд, то оценка погрешности этого приближенного значения такова:


hello_html_1d12125d.gif, (1.4)

приняв за а и b концы промежутка изоляции, на котором найдено приближенное значение корня hello_html_398bc4d5.gif.


4. Метод касательных (метод Ньютона)

x2

b

a

M1

M0

A

Пусть действительный корень уравнения (1.1) изолирован на отрезке hello_html_md8199a0.gif. Пусть снова hello_html_md965b32.gif и hello_html_m533ccd9a.gif, причем первая производная на этом отрезке не меняет своего знака. Тогда в отрезке hello_html_md8199a0.gif имеется один корень уравнения hello_html_m50fe05cd.gif. Возьмем на отрезке hello_html_md8199a0.gif такое число x0., при котором hello_html_431791a7.gif имеет тот же знак, что и hello_html_22121596.gif, т.е. hello_html_m15db49b0.gif ( в частности, за x0 может быть принят тот из концов отрезка hello_html_m3c8d44c6.gif, в котором соблюдено это условие). Сохранение знака второй производной на отрезке означает, что кривая либо только выпукла, либо только вогнута на нем. Проведем в точке hello_html_66aae271.gif hello_html_30aaa37b.gif

B

касательную к кривой hello_html_m12df11ba.gif.

За приближенное значение корня

примем абсциссу точки пересечения

этой касательной с осью Ox.

Чтобы найти эту абсциссу напишем

Уравнение касательной в точке М0:

hello_html_42cbf294.gif, заметив, что

hello_html_12ff70b6.gif при hello_html_508ebbdc.gif, получим:

x0

x1

hello_html_6dcad6da.gif, или . hello_html_4a4013d2.gif

Рис. 1.4

Это приближенное значение корня находится по формуле hello_html_m29e4327.gif. (1.5)

Применив этот прием вторично в точке hello_html_m5964fc55.gif, найдем

hello_html_16aa71cf.gif, (1.6)

и т.д. hello_html_m1e456807.gif (1.7)

Полученная таким образом последовательность x0, x1, x2, … имеет своим пределом искомый корень.

Если hello_html_m283be33a.gif- точный корень уравнения hello_html_4c05ac68.gif, изолированный на отрезке hello_html_m3c8d44c6.gif, а

hello_html_398bc4d5.gifприближенное значение корня, найденное методом хорд, то оценка погрешности этого приближенного значения такова:

hello_html_649bb541.gif, (1.8)

приняв за а и b концы промежутка изоляции, на котором найдено приближенное значение корня hello_html_398bc4d5.gif.


5. Комбинированный метод хорд и касательных

Пусть требуется найти действительный корень уравнения (1.1), изолированный на отрезке hello_html_95425ac.gif.

Предполагается, что hello_html_m40a45fe5.gif и hello_html_65d06fae.gif имеют разные знаки, а каждая из производных сохраняет определенный знак на отрезке изоляции. Возьмем на отрезке hello_html_3858f8f6.gif такую точку x0 , что f(x0) и hello_html_22121596.gif (при x0, принадлежащем промежутку изоляции) имеют одинаковые знаки. Воспользуемся формулами методов хорд и касательных: hello_html_m2484bd6b.gif; hello_html_m34e6ce45.gif. (1.9)

Точки x11 и x12 принадлежат промежуткуhello_html_71dda68.jpg

изоляции, причем f(x11) и f(x12) имеют разные

знаки и лежат по разные стороны от искомого

корня. На отрезке hello_html_5c3ee534.gif снова применим

метод хорд и касательных.

Построим новую пару приближений к корню

hello_html_m69793558.gif;

Рис. 1 .5.

hello_html_m5bb075c3.gif . (1.10)

Точки x21 и x22 на числовой оси расположены между точками x11 и x12, причем f(x21) и f(x22) имеют разные знаки. На отрезке hello_html_698862a.gif опять применим метод хорд и касательных.

Вычислим теперь значения

hello_html_503f36a.gif ; hello_html_38961290.gif (1.11)

и т.д. Каждая из последовательностей hello_html_m7e745a68.gif

стремится к искомому корню, причем одна из последовательностей монотонно возрастает, а другая – монотонно убывает. Пусть, например, hello_html_m37dc8880.gif, тогда hello_html_m7f46cff.gif. Задав заранее достаточно малое hello_html_m3c52e13c.gif, мы можем, увеличивая n, добиться выполнения неравенства hello_html_4b5539f8.gif; следовательно, при этом же значении n будет выполняться неравенство hello_html_m5ef2f874.gif. Таким образом, xn1 является приближенным значением корня hello_html_m283be33a.gif, вычисленным с погрешностью, не превышающей hello_html_m2ee74ed6.gif.

Так, например, для нахождения приближенного значения hello_html_m283be33a.gifс точностью до 0,001 нужно определить n таким образом, чтобы значения xn1 и xn2, вычисленные с точностью до 0,001, совпали.


6. Метод итераций (метод последовательных приближений)

Метод простых итераций (метод последовательных приближений) решения уравнения (1.1): hello_html_m684856b.gif состоит в замене исходного уравнения эквивалентным ему уравнением hello_html_m44622504.gif и построении последовательности hello_html_m4395fc88.gif, сходящейся при hello_html_7af28225.gif к точному решению.

Если данное уравнение приведено к виду hello_html_m44622504.gif, где hello_html_m5b6300cc.gif всюду на отрезке hello_html_95425ac.gif, на котором исходное уравнение имеет единственный корень, то исходя из некоторого начального значения x0 , принадлежащего отрезку hello_html_3858f8f6.gif, можно построить такую последовательность:

hello_html_52d7a282.gif

Пределом этой последовательности является единственный корень уравнения hello_html_4c05ac68.gif на отрезке hello_html_3858f8f6.gif. Погрешность приближенного значения xn корня hello_html_m283be33a.gif, найденного методом итераций, оценивается неравенством

hello_html_m6f3bc792.gif. (1.12)

При использовании метода простых итераций основным моментом является выбор функции hello_html_mcb8899b.gifв уравнении hello_html_m44622504.gif, эквивалентного исходному. При этом следует помнить, что скорость сходимости последовательности hello_html_m44f95b86.gifтем выше, чем меньше число hello_html_m6f85e697.gif.

y=x

Метод допускает простую геометрическую интерпретацию. Построим графики функций hello_html_m4fe09e94.gif. Корнем hello_html_m283be33a.gifуравнения hello_html_m44622504.gifявляется абсцисса точки пересечения кривой hello_html_32619bfb.gif с прямой hello_html_m69f973c1.gif (рис. 1.6). Взяв в качестве начальной произвольную точку hello_html_44e3a37a.gif, строим ломаную линию (рис. 1.7).hello_html_529ff958.jpghello_html_2a838bdd.jpg

Рис. 1.6. Рис. 1.7.

Абсциссы вершин этой ломаной представляют собой последовательные

приближения корня hello_html_m283be33a.gif. Из рисунков видно, что если hello_html_m6c1e3363.gif на отрезке hello_html_95425ac.gif,

то последовательные приближения hello_html_m4395fc88.gif колеблются около корня hello_html_m283be33a.gif, если же производная hello_html_6bc86173.gif положительна, то последовательные приближения сходятся к корню монотонно.

Для нахождения приближенного значения корня с погрешностью, не превышающей hello_html_m2ee74ed6.gif, достаточно определить n так, чтобы выполнялось неравенст-

во hello_html_m7f9c1346.gif. (1.13)


7. Метод проб (метод половинного деления)

Интервал изоляции действительного корня всегда можно уменьшить путем деления его, например, пополам, определяя, на границах, какой из частей первоначального интервала функция f(x) меняет знак. Затем полученный интервал снова делят на две части и т.д. Такой процесс проводится до тех пор, пока не перестанут изменяться сохраняемые в ответе десятичные знаки. Для достижения точности hello_html_m3c52e13c.gif необходимо совершить hello_html_m63a1b220.gifитераций, где hello_html_6a24615f.gif.

Это означает, что для получения каждых трех верных десятичных знаков необходимо совершить около 10 итераций.

Если на отрезке hello_html_95425ac.gif находятся несколько корней уравнения (1.1), то процесс сходится к одному из них. Метод неприменим для отыскания кратных корней четного порядка. В случае кратных корней нечетного порядка он менее точен.


  1. Порядок выполнения работы

Задание 1

Найти графически интервалы изоляции действительных корней данного скалярного уравнения hello_html_4c05ac68.gif.

Решение:

1). Представим уравнение hello_html_4c05ac68.gif в виде hello_html_5977f526.gif.

2). Построим графики функций hello_html_7235e9dc.gif и hello_html_m568e021c.gif.

3). Определим приближенно по графику абсциссу точки пересечения этих графиков x0.

4). Определим промежуток изоляции hello_html_3858f8f6.gif, содержащий корень hello_html_6f352454.gifx0.


Задание 2

Методом хорд решить уравнение hello_html_4c05ac68.gif с точностью до hello_html_m3c52e13c.gif.

Решение:

Вычислим приближенное значение корня с заданной точностью hello_html_m3c52e13c.gif (уточним корень, найденный графически см. задание 1).

1). Найдем hello_html_m40a45fe5.gif, для этого в hello_html_m2b51c4a7.gif вместо x подставим a. Определим знак hello_html_m40a45fe5.gif.

2). Найдем hello_html_65d06fae.gif, для этого в hello_html_m2b51c4a7.gif вместо x подставим b. Определим знак hello_html_38ba73f8.gif.

3). Найдем первое приближенное значение корня по формуле (1.2):

hello_html_19a4c5bc.gif.

4). Найдем f(x1), для этого в hello_html_m2b51c4a7.gif вместо x подставим x1.

5). Определим знак f(x1).

6). Найдем новый (более узкий) промежуток изоляции.

а)Если f(x1) имеет знак противоположный знаку hello_html_m40a45fe5.gif, то за новый промежуток примем hello_html_m4ca2193a.gif.

б)Если f(x1) имеет знак противоположный hello_html_65d06fae.gif, то за новый промежуток примем hello_html_186329f.gif.

7). Найдем второе приближение корня в случае а) по формуле (1.3’):

hello_html_m1245338d.gif, в случае б) по формуле (1.3): hello_html_50c0ae10.gif.

8). Найдем f(x2), для этого в hello_html_m2b51c4a7.gif вместо x подставим x2.

9). Определим знак f(x2). Сравним его со знаками на концах промежутка изоляции (найденного в п.6).).

Если знак f(x2) противоположен знаку f(x1), то за новый промежуток изоляции примем hello_html_m595550bf.gif.

Если знак f(x2) противоположен знаку f(b), то за новый промежуток изоляции примем hello_html_m7105516a.gif.

10). Вычисление приближенных корней уравнения ведем до тех пор, пока не перестанут изменяться те десятичные знаки, которые мы хотим сохранить в ответе (т.е. пока не будет достигнута заданная степень точности): hello_html_m4d8e3b09.gif.

11). Результаты вычислений занесем в таблицу:

шага

hello_html_74d8b207.gif

Промежуток изоляции

hello_html_32024a27.gif

hello_html_m2ec1e4da.gif

hello_html_5887164d.gif







Задание 3

Методом касательных (методом Ньютона) решить уравнение hello_html_4c05ac68.gif с точностью до hello_html_m3c52e13c.gif.

Решение:

Вычислим приближенное значение корня с заданной точностью hello_html_m3c52e13c.gif (уточним корень, найденный графически см. задание 1).

1). Найдем hello_html_m45ba222.gif и hello_html_m32b6ac5c.gif для данной функции hello_html_m7a2cfc82.gif.

2). Возьмем на отрезке изоляции hello_html_3858f8f6.gifтакое число x0, при котором f(x0) имеет тот же знак, что и hello_html_22121596.gif, т.е. hello_html_m15db49b0.gif (в частности за x0 может быть принят тот из концов отрезка hello_html_3858f8f6.gif, в котором соблюдено это условие).

3). Найдем hello_html_2414d46c.gif.

4). Найдем первое приближенное значение корня x1 по формуле (1.5):

hello_html_742e7b48.gif.

5). Найдем значения hello_html_m585f9744.gif, подставив x1 в hello_html_m2b51c4a7.gifвместо x и hello_html_52f493d1.gif, подставив x1 в hello_html_558b48f7.gif вместо x.

6). Найдем второе приближенное значение корня x2 по формуле (1.6): hello_html_16aa71cf.gif.

7). Найдем значения x3,hello_html_m1c2c4ddc.gif;…;xn-1,hello_html_m1318a9c3.gif.

8). Найдем n-ое приближенное значение корня xn по формуле:

hello_html_m1e456807.gif.

9). Вычисление приближенных значений корней уравнения ведем до тех пор, пока не перестанут изменяться те десятичные знаки, которые мы хотим сохранить в ответе (т.е. пока не будет достигнута заданная степень точности hello_html_m3c52e13c.gif): hello_html_m4d8e3b09.gif.

10). Результаты вычислений занесем в таблицу:

шага

hello_html_74d8b207.gif

hello_html_32024a27.gif

hello_html_m2ec1e4da.gif

hello_html_m434d70d0.gif

hello_html_5887164d.gif







Задание 4

Комбинированным методом хорд и касательных решить уравнение hello_html_4c05ac68.gif с точностью до hello_html_m3c52e13c.gif.

Решение:

Вычислим приближенное значение корня с заданной точностью hello_html_m3c52e13c.gif (уточним корень, найденный графически см. задание 1).

1). Найдем на концах промежутка изоляции значения функции f(a) и f(b).

2). Найдем значения hello_html_4b1fa5e.gif и hello_html_m1ee3a784.gif на концах этого же промежутка.

3). За x0 примем то значение a или b, при котором f(x0) и hello_html_22121596.gif имеют одинаковые знаки.

4). По формулам (9): hello_html_m2484bd6b.gif; hello_html_m34e6ce45.gif найдем первую пару приближений x11 и x12. Величины x11 и x12 принадлежат промежутку изоляции hello_html_3858f8f6.gif.

5). Найдем f(x11) и f(x12), они имеют разные знаки.

6). Найдем hello_html_m7cb7cfd3.gif.

7). На новом промежутке изоляции с концами x11 и x12 найдем вторую пару приближений по формулам (10):hello_html_m69793558.gif; hello_html_m336a2fad.gif. Точки x21 и x22 на числовой оси расположены между точками x11 и x12.

8). Найдем f(x21) и f(x22), они имеют разные знаки.

9). Найдем hello_html_7a2383dd.gif.

10). На новом более узком отрезке изоляции с концами x21 и x22 найдем третью пару приближений x31 и x32 по формулам (1.11):

hello_html_503f36a.gif; hello_html_300d64f0.gif. Точки x31 и x32 расположены между точками x21 и x22.

11). Найдем f(x31) и f(x32), они имеют разные знаки.

12). И т.д.

13). Продолжаем до тех пор, пока разность между найденными приближенными значениями не станет меньше, чем требуемая степень точности, т.е. hello_html_m529574e8.gif.

14). Результаты измерений занесем в таблицу:

шага

hello_html_74d8b207.gif

Промежуток изоляции

hello_html_m680d83b4.gif

hello_html_1c82669f.gif

hello_html_m629e0777.gif

hello_html_m55ed1581.gif

hello_html_m1ab66714.gif









Задание 5

Методом итераций найти приближенное значение корня уравнения hello_html_4c05ac68.gif с точностью до hello_html_m2ee74ed6.gif.

Решение:

Вычислим приближенное значение корня с заданной точностью hello_html_m3c52e13c.gif (уточним корень, найденный графически см. задание 1).

1) Возьмем некоторое начальное значение hello_html_m50ebb21c.gif.

2) Запишем исходное уравнение в виде hello_html_58998ca7.gif.

3) Найдем hello_html_m7470c7c0.gif.

4) Если hello_html_m4b13ef05.gif всюду на hello_html_3858f8f6.gif, то метод итераций применим.

5) Найдем первое приближенное значение корня hello_html_6f352454.gifhello_html_m137d8fd.gif.

6) Найдем второе приближенное значение корня hello_html_58c8fa6b.gif.

7) Продолжим этот процесс и находим n-ое приближенное значение корня hello_html_77d64085.gif.

8) Процесс нахождения приближенных значений корня продолжим, пока не выполнится условие (13): hello_html_1ed73ab8.gif.

9) Результаты вычислений занесем в таблицу:

шага

hello_html_74d8b207.gif

hello_html_32024a27.gif

hello_html_m2e3f3445.gif

hello_html_5887164d.gif







Задание 6

Методом проб (половинного деления) решить уравнение hello_html_4c05ac68.gif с точностью до hello_html_m2ee74ed6.gif.

Решение:

Уточним корень, найденный графически см. задание 1 методом проб, т.е.

вычислим его с заданной степенью точности.

1). Найдем значение функции hello_html_m2b51c4a7.gif при hello_html_505bee13.gif, т.е. hello_html_m11d967c4.gif.

2). Найдем значение hello_html_65d06fae.gif, подставив hello_html_3b3b9329.gif в функцию hello_html_m7a2cfc82.gif.

3). Разделим интервал hello_html_1d49437c.gif пополам, получим hello_html_345c6830.gif.

4). Вычислим значение hello_html_2bbcfd9e.gif, подставив вместо x найденное значение c1 в исходную функцию f(x).

5). Определим знак f(c1).

6). Найдем новый интервал изоляции:

а) если f(c1) имеет знак противоположный знаку f(b), то этот интервал будет hello_html_m2b5f828a.gif;

б) если f(c1) имеет знак противоположный знаку f(a), то этот интервал будет hello_html_m4ad1ed71.gif;

7). Найдем середину нового интервала изоляции: в случае а) - находим по формуле: hello_html_m23615b32.gif; в случае б) - hello_html_m35f38ef6.gif.

8). Найдем f(c2), подставив в исходную функцию f(x) x=c2.

9). Определим знак f(c2).

10). Найдем новый интервал изоляции (см. п.6) и т.д.

11). Процесс продолжаем до тех пор, пока не перестанут изменяться сохраняемые в ответе десятичные знаки.

12) Результаты вычислений занесем в таблицу:

шага

hello_html_74d8b207.gif

Промежуток изоляции

hello_html_101f92f0.gif

hello_html_59f8299.gif

hello_html_7a8a65a2.gif







Задание 7

Применив дважды метод хорд, найти приближенное значение действительного корня уравнения hello_html_4c05ac68.gif, изолированного в промежутке hello_html_3858f8f6.gif. Приближенные значения hello_html_m9777a9c.gif и hello_html_m3599fb49.gif вычислить с тремя знаками после запятой. Оценить погрешность приближенного значения hello_html_m3599fb49.gif.

Решение:

  1. Найдем hello_html_m45ba222.gif.

  2. Найдем hello_html_m32b6ac5c.gif, т.е. производную от hello_html_m45ba222.gif.

  3. Найдем hello_html_m40a45fe5.gif, для этого в hello_html_m2b51c4a7.gif вместо x подставим a. Определим знак hello_html_m40a45fe5.gif.

  4. Найдем hello_html_65d06fae.gif, для этого в hello_html_m2b51c4a7.gif вместо x подставим b. Определим знак

hello_html_38ba73f8.gif.

  1. Найдем первое приближенное значение корня по формуле (1.2): hello_html_19a4c5bc.gif.

  2. Найдем f(x1), для этого в hello_html_m2b51c4a7.gif вместо x подставим x1.

  3. Определим знак f(x1).

  4. Найдем новый (более узкий) промежуток изоляции.

а)Если f(x1) имеет знак противоположный знаку hello_html_m40a45fe5.gif, то за новый промежуток примем hello_html_m4ca2193a.gif.

б)Если f(x1) имеет знак противоположный hello_html_65d06fae.gif, то за новый промежуток примем hello_html_186329f.gif.

9) Найдем второе приближение корня в случае а) по формуле (1.3’):

hello_html_m1245338d.gif, в случае б) по формуле (1.3): hello_html_50c0ae10.gif.

10) Оценим погрешность приближенного значения x2 по формуле (1.4):


hello_html_1d12125d.gif, т.е. hello_html_m1b137733.gif, приняв за а и b концы промежутка изоляции, на котором найдено второе приближение x2.

Для этого:

  1. Найдем наибольшее значение функции hello_html_m5c627e82.gif на отрезке hello_html_3858f8f6.gif.

    1. Найдем критические точки функции hello_html_m5dc5b1be.gifвнутри отрезкаhello_html_3858f8f6.gif. Для этого найдем производную hello_html_m6305d61.gif и те значения x, в которых hello_html_7231e259.gif

или не существует.

    1. Найдем значения функции hello_html_m5dc5b1be.gif в критических точках.

    2. Найдем значения функции hello_html_m5dc5b1be.gifна концах отрезка hello_html_3858f8f6.gif, т.е. hello_html_104c0714.gif, подставив вместо x в функцию hello_html_m5dc5b1be.gif a, и hello_html_9a3d629.gif, подставив вместо x в функцию hello_html_m5dc5b1be.gif b.

    3. Сравним все вычисленные значения функции во внутренних критических точках и на концах отрезка и выберем из них наибольшее.

  1. Найдем оценку приближенного значения корня hello_html_27711dad.gif по формуле hello_html_m1b137733.gif.


Задание 8

Применив дважды метод касательных, найти приближенное значение

действительного корня уравнения hello_html_4c05ac68.gif, изолированного в промежутке hello_html_3858f8f6.gif. Приближенные значения hello_html_m9777a9c.gif и hello_html_m3599fb49.gif вычислить с тремя знаками после запятой. Оценить погрешность приближенного значения hello_html_m3599fb49.gif.

Решение:

Вычислим приближенное значение корня с заданной точностью hello_html_m3c52e13c.gif (уточним корень, найденный графически см. задание 1).

1). Найдем hello_html_m45ba222.gif и hello_html_m32b6ac5c.gif для данной функции hello_html_m7a2cfc82.gif.

2). Возьмем на отрезке изоляции hello_html_3858f8f6.gifтакое число x0, при котором f(x0) имеет тот же знак, что и hello_html_22121596.gif, т.е. hello_html_m15db49b0.gif (в частности за x0 может быть принят тот из концов отрезка hello_html_3858f8f6.gif, в котором соблюдено это условие).

3). Найдем hello_html_2414d46c.gif.

4). Найдем первое приближенное значение корня x1 по формуле (1.5): hello_html_742e7b48.gif.

5). Найдем значения hello_html_m585f9744.gif, подставив x1 в hello_html_m2b51c4a7.gifвместо x и hello_html_52f493d1.gif, подставив x1 в hello_html_37e729f3.gif вместо x/

6). Найдем второе приближенное значение корня x2 по формуле (1.6): hello_html_16aa71cf.gif.

7). Оценим погрешность приближенного значения x2 по формуле (1.8):

hello_html_649bb541.gif, т.е. hello_html_m54b54ed3.gif, приняв за а и b концы промежутка изоляции, на котором найдено второе приближение x2.

Для этого:

1. Найдем наибольшее значение функции hello_html_m5c627e82.gif на отрезке hello_html_3858f8f6.gif.

1.1.Найдем критические точки функции hello_html_m5dc5b1be.gifвнутри отрезкаhello_html_3858f8f6.gif. Для этого найдем производную hello_html_m6305d61.gif и те значения x, в которых hello_html_7231e259.gif или не существует.

1.2. Найдем значения функции hello_html_m5dc5b1be.gif в критических точках.

1.3. Найдем значения функции hello_html_m5dc5b1be.gifна концах отрезка hello_html_3858f8f6.gif, т.е. hello_html_104c0714.gif,

подставив вместо x в функцию hello_html_m5dc5b1be.gif a, и hello_html_9a3d629.gif, подставив вместо x в функцию hello_html_m5dc5b1be.gif b.

1.4.Сравним все вычисленные значения функции во внутренних критических точках и на концах отрезка и выберем из них наибольшее.

2. Найдем оценку приближенного значения корня hello_html_27711dad.gif по формуле

hello_html_m54b54ed3.gif.


  1. Пример

Задание 1.1

Найти графически интервалы изоляции положительного корня уравнения hello_html_34903042.gif.

Решение:

1). Представим уравнение hello_html_4c05ac68.gif в виде hello_html_5977f526.gif: hello_html_m796bcec7.gif.

2). Построим графики функций hello_html_7235e9dc.gif и hello_html_m568e021c.gif в декартовой системе координат (рис. 1.8). hello_html_m3014be81.jpg

f1(x)=x3

x

-2

-1

0

1

2

f1(x)

-8

-1

0

1

8


f2(x)=-2x+7

x

0

2

f2(x)

7

3

Рис. 1.8.

3). Определим приближенно по графику абсциссу точки пересечения этих графиков М.

4). Определим промежуток изоляции hello_html_4530213e.gif, содержащий корень уравнения.

Уравнение имеет один действительный положительный корень x0, hello_html_717a26b7.gif, т.к.

на концах отрезка функция f(x) имеет разные знаки:


hello_html_m9cbb284.gif2.


Задание 1.2

Методом хорд решить уравнение hello_html_34903042.gif с точностью до hello_html_m3c52e13c.gif=0,01.

Решение:

Вычислим приближенное значение корня с заданной точностью hello_html_m3c52e13c.gif=0,01 (уточним корень, найденный графически см. задание 1.1) в промежутке изоляции hello_html_4530213e.gif.

1). Найдем значение функции в левом конце промежутка изоляции hello_html_65203d29.gif, для этого в hello_html_m2b51c4a7.gif=hello_html_3f63a65d.gif вместо x подставим 1 и определим знак hello_html_65203d29.gif:

hello_html_91f8487.gif.

2). Найдем значение функции в правом конце промежутка изоляции hello_html_m54604c06.gif, для этого в hello_html_m2b51c4a7.gif=hello_html_3f63a65d.gif вместо x подставим 2 и определим знак hello_html_m13aa59f.gif: hello_html_m1b6f1571.gif

3). Найдем первое приближенное значение корня по формуле (1.2): hello_html_19a4c5bc.gif: hello_html_21b01a24.gif.

4). Найдем f(x1), т.е. hello_html_1e5118b5.gif. Для этого в hello_html_m2b51c4a7.gif вместо x подставим x1=1,444:

hello_html_m4378cbc6.gif.

5). Определим знак f(1,444): f(1,444)hello_html_m46bb4edc.gif-1,101<0.

6). Найдем новый (более узкий) промежуток изоляции. Т.к. f(1,444)<0, а на правом конце промежутка изоляции hello_html_4b95c557.gif f(2)>0 (т.е. имеют разные знаки), то за новый промежуток примем hello_html_aac241d.gif.

7). Найдем второе приближение корня по формуле (3): hello_html_50c0ae10.gif.

hello_html_50d94673.gif8). Так как hello_html_m50abfd85.gif, где hello_html_28800082.gif заданная точность, то вычисления необходимо продолжить.

9). Найдем f(x2), т.е. hello_html_2a916c45.gif, для этого в hello_html_m2b51c4a7.gif вместо x подставили 1,544.

10). Определим знак f(x2), т.е. hello_html_m7fa2b34f.gif. Сравним его со знаками на концах промежутка изоляции (найденного в п.6).). Т.к. f(2)=5>0 (т.е. функция принимает значения разных знаков), то за новый промежуток изоляции примем hello_html_m34cdd56c.gif.

11). Найдем третье приближение корня x3:

hello_html_28f55d2c.gif12). Так как hello_html_7a3899b7.gif, где hello_html_28800082.gif заданная точность, то вычисления необходимо продолжить.

13). Найдем f(x3), т.е. hello_html_3ce909f8.gif.

14). Т.к. hello_html_402ba6c8.gif а на правом конце промежутка hello_html_m34cdd56c.gif f(2)=5>0 (функция принимает значения разных знаков), то за новый промежуток изоляции примем hello_html_m7354de8c.gif.

15).Найдем четвертое приближение корня x4: hello_html_13340ac3.gif

16). Т.к. hello_html_m3c3ab954.gif, где hello_html_m81ae1c0.gifзаданная точность, то приближенное значение корня, найденное методом хорд с точностью 0,01 равно 1,56.

17). Результаты вычисление занесем в таблицу:

Таблица 1.1

шага

hello_html_74d8b207.gif

Промежуток изоляции

hello_html_32024a27.gif

hello_html_m2ec1e4da.gif

hello_html_5887164d.gif

1

hello_html_m5b30867c.gif

1,444

-1,101

-

2

hello_html_m3fc0b91c.gif

1,544

-0,231

0,1

3

hello_html_m5edf0ec.gif

1,564

-0,046

0,02

4

hello_html_a12d2b2.gif

1,568

-

0,004


Задание 1.3

Методом касательных (методом Ньютона) решить уравнение hello_html_34903042.gif с точностью до hello_html_m3c52e13c.gif=0,01.

Решение:

Вычислим приближенное значение корня с заданной точностью hello_html_m3c52e13c.gif=0,01 (уточним корень, найденный графически см. задание 1.1) в промежутке изоляции hello_html_4530213e.gif.

1). Найдем hello_html_m45ba222.gif и hello_html_m32b6ac5c.gif для данной функции hello_html_m7a2cfc82.gifhello_html_m82eb18f.gif:

hello_html_m212db337.gif; hello_html_7a2c2010.gif.

2). Возьмем на отрезке изоляции hello_html_4530213e.gifтакое число x0=2, при котором f(2) имеет тот же знак, что и hello_html_318b80cc.gif, т.е. hello_html_m6d2457f2.gif (за x0 принимаем тот из концов отрезка hello_html_4530213e.gif, в котором соблюдено это условие, в данном случае правый его конец): hello_html_3ff618b8.gif hello_html_78fad72f.gif

3). Найдем hello_html_2414d46c.gif, т.е. hello_html_m60c6c5a2.gif

4). Найдем первое приближенное значение корня x1 по формуле (1.5): hello_html_742e7b48.gif: hello_html_m21477a2b.gif

5). Найдем значения hello_html_m585f9744.gif, подставив x1=1,643 в hello_html_c100b96.gif вместо x:

hello_html_m5dcda6e5.gif;

найдем , подставив x1=1,643 в hello_html_14ce99b2.gif вместо x:


hello_html_7fe363fd.gif.

6). Найдем второе приближенное значение корня x2 по формуле (1.6): hello_html_16aa71cf.gif: hello_html_1a66a8d7.gif.

7). Так как hello_html_650027a8.gif, где hello_html_28800082.gif заданная точность, то вычисления необходимо продолжить.

8). Найдем значения hello_html_c67af6d.gif, подставив x2=1,572 в hello_html_c100b96.gifвместо x:

hello_html_m27b443ef.gif;

найдем hello_html_4a8054bd.gif, подставив x2=1,572 в hello_html_14ce99b2.gif вместо x: hello_html_20a91bb8.gif.

9). Найдем третье приближенное значение корня x3 по формуле:

hello_html_618b33ce.gif: hello_html_m62371d3f.gif

10). Т.к. hello_html_m6df1cd7a.gif, где hello_html_m42e8bac3.gif, то приближенное значение

корня найденное методом Ньютона с точностью до 0,01 равно 0,56.

11). Результаты вычислений занесем в таблицу:

Таблица 1.2

шага

hello_html_74d8b207.gif

hello_html_32024a27.gif

hello_html_m2ec1e4da.gif

hello_html_m434d70d0.gif

hello_html_5887164d.gif

1

1,643

0,721

10,098

-

2

1,572

0,029

9,414

0,071

3

1,569

-

-

0,003


Задание 1.4

Комбинированным методом хорд и касательных решить уравнение hello_html_34903042.gif с точностью до hello_html_m3c52e13c.gif=0,01.

Решение:

Вычислим приближенное значение корня с заданной точностью hello_html_m3c52e13c.gif (уточним корень, найденный графически см. задание 1.1) в промежутке изоляции hello_html_4530213e.gif.

1). Найдем на концах промежутка изоляции значения функции f(1), подставив для этого 1 в f(x)hello_html_m78612597.gif вместо x и f(2), подставив 2 в f(x) вместо x: hello_html_m28d35d42.gif; hello_html_m4e2de802.gif.

2). Найдем значения hello_html_6d7d8abb.gif и hello_html_4cad7e86.gif на концах этого же промежутка. Так как hello_html_7a2c2010.gif(см. п. 1) задание 1.3), то чтобы найти hello_html_6d7d8abb.gif подставим 1 в hello_html_m689e7911.gif вместо x, получим hello_html_3d9224cd.gif. Аналогично находим hello_html_4cad7e86.gif=hello_html_m4a956ae1.gif

3). За x0 примем то значение концов промежутка изоляции hello_html_4530213e.gif , при котором f(x0) и hello_html_22121596.gif имеют одинаковые знаки. Так как hello_html_m19c51cba.gif, то возьмем x0=2.

4). По формулам (9): hello_html_m2484bd6b.gif; hello_html_m34e6ce45.gif найдем первую пару приближений x11 и x12, величины x11 и x12 принадлежат промежутку изоляции hello_html_3858f8f6.gif: так как hello_html_m212db337.gif, а hello_html_36df1c43.gif, то hello_html_6e6ee194.gif

hello_html_m7f308d00.gif

hello_html_1e5790a0.gif; hello_html_660790c8.gif.

5). Найдем f(x11) и f(x12), т.е. hello_html_m9c923c9.gif и hello_html_26bd3ccd.gif. Для этого подставим сначала hello_html_m1b2a946f.gif вместо x в hello_html_46a0e0cd.gif, а затем hello_html_4f363916.gif и получим: hello_html_ma7f0460.gif

hello_html_m63d67d61.gif.

Найденные значения имеют разные знаки.

6). Найдем hello_html_m7cb7cfd3.gif, т.е. hello_html_m34b3d1ae.gif. Для этого подставим hello_html_m1b2a946f.gif вместо x в hello_html_m212db337.gif. Получим hello_html_m6972f812.gif

7). На новом промежутке изоляции с концами hello_html_m1b2a946f.gif и hello_html_4f363916.gif hello_html_2214d113.gif найдем вторую пару приближений по формулам (1.10):

hello_html_m69793558.gif. Так как hello_html_m4925e61e.gif(hello_html_m3a3196a1.gifявляется левым концом нового промежутка изоляции, а hello_html_140037ae.gif - правым), то в формуле (1.10) для вычисления hello_html_5fc449dd.gif: hello_html_m336a2fad.gif меняем местами hello_html_75808f4.gif и hello_html_23e0eada.gif, и вычисляем hello_html_5fc449dd.gifпо формуле hello_html_m51f2b188.gif.

Тогда hello_html_m2824b3c7.gif

hello_html_m71151f5e.gif Точки x21hello_html_m5e501d0a.gif и x22hello_html_2c964b0a.gif на числовой оси расположены между точками x11hello_html_m26ff0529.gif и x12hello_html_m67338132.gif.

8). Найдем f(x21), т.е. hello_html_4bf9785b.gif, подставив 1,572 вместо x в hello_html_46a0e0cd.gif:

hello_html_23911842.gif .

Найдем f(x22), т.е. hello_html_m65acc255.gif, подставив 1,564 вместо x в hello_html_46a0e0cd.gif:

hello_html_m20a2aa7c.gif

Найденные значения имеют разные знаки. Следовательно, искомый корень принадлежит промежутку hello_html_4199d996.gif.

9). Найдем hello_html_7a2383dd.gif, т.е. hello_html_m13b217db.gif, подставив 1,572 в hello_html_m212db337.gif вместо

x: hello_html_33ef0472.gif.

10). На новом более узком отрезке изоляции hello_html_4199d996.gif с концами x21hello_html_m5e501d0a.gif и x22hello_html_2c964b0a.gif найдем третью пару приближений x31 и x32 по формулам (1.11): hello_html_503f36a.gif; hello_html_300d64f0.gif. Получим hello_html_m2b512c8d.gif Так как hello_html_m47cbf2cb.gif, то в формуле для вычисления hello_html_m10a27310.gif поменяем местами hello_html_47ee9735.gif с hello_html_5fc449dd.gifи получим для

вычисления формулу: hello_html_m2af69842.gif. Тогда

hello_html_101defb6.gif

hello_html_7db5b67b.gif

11). Так как hello_html_11860e25.gif, где hello_html_m42e8bac3.gif- заданная степень точности, то искомое приближенное значение корня данного уравнения, найденного комбинированным методом хорд и касательных, с точностью до 0,01 равно 1,57.

12). Результаты вычислений занесем в таблицу:

Таблица 1.3

шага

hello_html_74d8b207.gif

Промежуток изоляции

hello_html_m680d83b4.gif

hello_html_1c82669f.gif

hello_html_m629e0777.gif

hello_html_m55ed1581.gif

hello_html_m1ab66714.gif

1

[1;2]

1,643

1,444

0,721

- 1,101

0,199

2

[ 1,444;1,643 ]

1,572

1,564

0,029

- 0,046

0,008

3

[ 1,564;1,572 ]

1,568

1,569

-

-

0,001


Задание 1.5

Методом итераций найти приближенное значение корня уравнения hello_html_m78ada7a.gif с точностью до hello_html_m2ee74ed6.gif=0,001.

Решение:

1. Найдем графически интервалы изоляции действительных корней данного скалярного уравнения hello_html_m78ada7a.gif.

1). Представим данное уравнение в виде hello_html_5977f526.gif: hello_html_m7fc237b1.gif.

2). Построим графики функций hello_html_7235e9dc.gif и hello_html_m568e021c.gif: hello_html_1079eade.gif и hello_html_2e149d96.gif.


y=lgx

x

0.01

0.1

1

10

y=lgx

-2

-1

0

1

y= -x+2

x

0

2

y= -x+2

2

0

x

0

2

y= -x+2

2

0



x

0

2

y= -x+2

2

0

x

0

2

y= -x+2

2

0

x

0

2

y= -x+2

2

0



hello_html_386b5170.png Рис. 1.9.

3). Определим приближенно по графику абсциссу точки пересечения этих графиков x0 это точка M. Отметим ее на графике.

4). Определим промежуток изоляции, содержащий корень hello_html_6f352454.gifx0: так как x0hello_html_m5d2a140c.gif, то примем его за промежуток изоляции.

2. Найдем корень данного уравнения методом итераций с точностью до 0,001.

Для этого:

1) Возьмем некоторое начальное значение hello_html_1e4ec9be.gif, за него можно принять один из концов промежутка. Пусть hello_html_6b6a37fc.gif

2) Запишем исходное уравнение в виде hello_html_58998ca7.gif: hello_html_549cce6b.gif Здесь hello_html_m6c7daba1.gif

3) Найдем hello_html_m7470c7c0.gif: hello_html_5e1ed429.gif Здесь мы воспользовались табличным значением hello_html_679d2a8f.gif, правилом дифференцирования hello_html_m609f0926.gif, правилом перехода от натурального логарифма к десятичному: hello_html_3ca10967.gif. Следовательно hello_html_m7c27ef1b.gif, так как hello_html_352df1c5.gif (по определению логарифма числа).

4) Проверим выполнение условия hello_html_m4b13ef05.gif всюду на hello_html_1c4121e5.gif.

hello_html_41332e62.gif. Так как hello_html_1b9f5e29.gif и hello_html_41fed4d4.gif, то в промежутке изоляции hello_html_6d5f8de4.gif. Следовательно, метод итераций применим.

5) Найдем первое приближенное значение корня hello_html_6f352454.gifhello_html_m137d8fd.gif для этого подставим hello_html_15722f46.gif вместо hello_html_79f1ffde.gif в hello_html_m6c7daba1.gif. Тогда hello_html_254fd246.gif (т.к. hello_html_6d1900a4.gif)

6) Найдем второе приближенное значение корня hello_html_58c8fa6b.gif, подставив hello_html_69dbb49b.gif вместо hello_html_m19a1cf26.gif в hello_html_m6c7daba1.gif. Получим hello_html_6092ed3d.gif Значения функции hello_html_m249dcb7e.gif находим с помощью таблиц логарифмов или калькулятора.

7) Аналогично найдем третье приближенное значение корня hello_html_m31d1a1f0.gif, hello_html_65fcfcc5.gif

8) Находим последующие значения приближенных значений корня:

hello_html_50d774ff.gif

hello_html_m149016f3.gif

hello_html_286a2563.gif;

hello_html_m3e35696b.gif.

8) Процесс нахождения приближенных значений корня закончим, т.к. выполняется условие (13): hello_html_1ed73ab8.gif; hello_html_m15b6ea85.gif. Следовательно, искомый корень, найденный методом итераций с точностью до 0,001 равен 1,755.

9). Результаты измерений занесем в таблицу:

Таблица 1.4

шага

hello_html_74d8b207.gif

hello_html_32024a27.gif

hello_html_m2e3f3445.gif

hello_html_5887164d.gif

0

1

2

1

1

2

1,6990

0,301

2

1,6990

1,7698

0,0708

3

1,7698

1,7520

0,0178

4

1,7520

1,7565

0,0045

5

1,7565

1,7555

0,001

6

1,7555

1,7556

0,0001

7

1,7556

-

-



Задание 1.6

Методом проб (половинного деления) решить уравнение hello_html_34903042.gif с точностью до hello_html_m2ee74ed6.gif=0,01.

Решение:

Так как промежуток изоляции действительного корня данного уравнения найден в задании 1.1, то воспользуемся полученным результатом. Искомый корень заключен внутри промежутка hello_html_8e78eca.gif. Уточним значение корня методом проб (половинного деления).

Для этого

1). Найдем значение функции в левом конце промежутка изоляции hello_html_65203d29.gif, для этого в hello_html_m2b51c4a7.gif=hello_html_3f63a65d.gif вместо x подставим 1 и определим знак hello_html_65203d29.gif:

hello_html_91f8487.gif.

2). Найдем значение функции в правом конце промежутка изоляции hello_html_m54604c06.gif, для этого в hello_html_m2b51c4a7.gif=hello_html_3f63a65d.gif вместо x подставим 2 и определим знак hello_html_m13aa59f.gif: hello_html_m1b6f1571.gif

Так как функция имеет на концах промежутка значения разных знаков, то корень заключен внутри промежутка hello_html_8e78eca.gif.

3). Разделим промежуток hello_html_8e78eca.gif пополам, для этого воспользуемся формулой hello_html_345c6830.gif (где a и b концы промежутка). Тогда hello_html_2833bf9.gif.

4). Вычислим значение hello_html_2bbcfd9e.gif, подставив вместо x найденное значение c1=1,5 в исходную функцию f(x)=hello_html_3f63a65d.gif, получим hello_html_527b05ee.gif

5). Определим знак hello_html_m5e2d03c7.gif.

6). Так как значение противоположного знака функция принимает в правом конце промежутка изоляции hello_html_8e78eca.gif: hello_html_m796e3db6.gif, то за новый более узкий промежуток возьмем hello_html_78676053.gif.

7). Найдем середину нового промежутка изоляции по формуле: hello_html_m23615b32.gif (где с1 и b – концы промежутка). Получим hello_html_m20ab9c0c.gif.

8). Найдем f(c2), т.е. hello_html_m43e845db.gif подставив в исходную функцию f(x)=hello_html_3f63a65d.gif

x=1,75. Получим hello_html_6d05aaf4.gif

9). Определим знак функции в точке деления f(1,75)=1,859>0.

10). Так как значение противоположного знака функция принимает в левом конце промежутка изоляции hello_html_78676053.gif: hello_html_m5e2d03c7.gif, то за новый более узкий промежуток возьмем hello_html_427303e5.gif.

11). Найдем середину нового промежутка изоляции hello_html_3ae6aee3.gif.

12). Найдем значение функции в точке деления hello_html_m2477c8e3.gif.

13). Определим знак функции в точке деления hello_html_m45bfeab1.gif

14). Так как значение противоположного знака функция принимает в левом конце промежутка изоляции hello_html_m3f69dcd0.gif: hello_html_m5e2d03c7.gif, то за новый более узкий промежуток возьмем hello_html_35755463.gif.

15). Найдем середину нового промежутка изоляции hello_html_20ad568a.gif.

16). Найдем значение функции в точке деления hello_html_4acbecb4.gif.

17). Определим знак функции в точке деления hello_html_4eca7df9.gif

18). Так как значение противоположного знака функция принимает в правом конце промежутка изоляции hello_html_7da17ff5.gif: hello_html_m45bfeab1.gif, то за новый более узкий промежуток возьмем hello_html_m389576e0.gif.

19). Найдем середину нового промежутка изоляции hello_html_m13dfd165.gif.

20). Найдем значение функции в точке деления hello_html_1f3dc39b.gif.


21). Определим знак функции в точке деления hello_html_281f1832.gif


22). Так как значение противоположного знака функция принимает в левом конце промежутка изоляции hello_html_28d9aabc.gif: hello_html_4eca7df9.gif, то за новый более узкий промежуток возьмем hello_html_28af7ef3.gif.


23). Найдем середину нового промежутка изоляции hello_html_m20c2bd77.gif.


24). Найдем значение функции в точке деления hello_html_m2b40a2c8.gif.

25). Определим знак функции в точке деления hello_html_7c33051d.gif

26). Так как значение противоположного знака функция принимает в левом конце промежутка изоляции hello_html_m38e3a291.gif: hello_html_4eca7df9.gif, то за новый более узкий промежуток возьмем hello_html_ma562222.gif.

27). Найдем середину нового промежутка изоляции hello_html_58b35005.gif.

28). Найдем значение функции в точке деления hello_html_6c6d12fd.gif.

29). Определим знак функции в точке деления hello_html_m55baefe7.gif

30). Так как значение противоположного знака функция принимает в левом конце промежутка изоляции hello_html_1a1afe42.gif: hello_html_4eca7df9.gif, то за новый более узкий промежуток возьмем hello_html_7615bf8f.gif.

31). Найдем середину нового промежутка изоляции hello_html_m37f61a56.gif.

32). Найдем значение функции в точке деления hello_html_m26d140f4.gif.

33). Определим знак функции в точке деления hello_html_7675ce9a.gif

34). Так как значение противоположного знака функция принимает в правом конце промежутка изоляции hello_html_712a0253.gif: hello_html_m621087f5.gif, то за новый более узкий промежуток возьмем hello_html_11950c8.gif.

35). Так как по условию задачи мы ищем приближенное значение корня с точностью до 0,01, округлив концы последнего промежутка изоляции до сотых, получим искомое значение корня 1,57.

36). Результаты вычислений занесем в таблицу:

Таблица 1.5

шага

hello_html_74d8b207.gif

Промежуток изоляции

hello_html_101f92f0.gif

hello_html_59f8299.gif

hello_html_7a8a65a2.gif

1

hello_html_m5b30867c.gif

1,5

- 0,625

-

2

hello_html_8b7679c.gif

1,75

1,859

0,25

3

hello_html_45d7fc09.gif

1,625

0,541

0,125

4

hello_html_m9f9789d.gif

1,563

- 0,056

0,062

5

hello_html_m40b5ba5a.gif

1,594

0,238

0,031

6

hello_html_73044967.gif

1,579

0,195

0,015

7

hello_html_m51fd15b6.gif

1,571

0,019

0,008

8

hello_html_m3f6e804c.gif

1,567

- 0,018

0,004


Задание 1.7

Применив дважды метод хорд, найти приближенное значение действительного корня уравнения hello_html_6e689a90.gif, изолированного в промежутке hello_html_4530213e.gif. Приближенные значения hello_html_m9777a9c.gif и hello_html_m3599fb49.gif вычислить с тремя знаками после запятой. Оценить погрешность приближенного значения hello_html_m3599fb49.gif.

Решение:

1). Найдем hello_html_2bd1453b.gif: hello_html_40c774dc.gif

2). Найдем hello_html_m32b6ac5c.gif, т.е. производную от hello_html_m45ba222.gif: hello_html_m8978f2.gif

3).Найдем hello_html_65203d29.gif, для этого в hello_html_m2b51c4a7.gif вместо x подставим 1 и определим знак hello_html_65203d29.gif: hello_html_91f8487.gif

4). Найдем hello_html_m54604c06.gif, для этого в hello_html_m2b51c4a7.gif вместо x подставим 2 и определим знак hello_html_m13aa59f.gif: hello_html_m1b6f1571.gif

5). Найдем первое приближенное значение корня по формуле (1.2): hello_html_19a4c5bc.gif: hello_html_21b01a24.gif

6). Найдем f(x1), для этого в hello_html_m2b51c4a7.gif вместо x подставим hello_html_5880c9d9.gif: hello_html_m4378cbc6.gif

7). Определим знак f(1,444): hello_html_335505b9.gif

8). Найдем новый (более узкий) промежуток изоляции. Т.к. f(1,444)<0, а на правом конце промежутка изоляции hello_html_4b95c557.gif f(2)>0 (т.е. имеют разные знаки), то за новый промежуток примем hello_html_aac241d.gif.

  1. Найдем второе приближение корня по формуле (1.3): hello_html_50c0ae10.gif:

hello_html_3f0dc4a2.gif

10) Оценим погрешность приближенного значения x2 по формуле (1.4): hello_html_1d12125d.gif, т.е. hello_html_m1b137733.gif,

приняв за а и b концы промежутка изоляции, на котором найдено второе приближение x2: hello_html_aac241d.gif.

Для этого:

1.Найдем наибольшее значение функции hello_html_77e49624.gifна отрезке hello_html_aac241d.gif. Обозначим через hello_html_56bc0caa.gif.

1.1.Найдем критические точки функции hello_html_m5dc5b1be.gifвнутри отрезка hello_html_aac241d.gif. Для этого найдем производную hello_html_m6305d61.gif и те значения x, в которых hello_html_7231e259.gif

или не существует: hello_html_m10d9dbc9.gif=

hello_html_md6491ec.gif

Приравняем найденную производную к нулю: hello_html_23eb3210.gif;

hello_html_3f6e78b3.gif; или hello_html_714b4e93.gif; или hello_html_2223140e.gif; или hello_html_m25fc1a67.gif; или hello_html_461900e3.gif.

1.2.Найдем значения функции hello_html_m5dc5b1be.gif в критической точке: hello_html_2063e220.gif

1.3.Найдем значения функции hello_html_m5dc5b1be.gifна концах отрезка hello_html_aac241d.gif, т.е. hello_html_3ee9d234.gif, подставив вместо x в функцию hello_html_m5dc5b1be.gif 1,444, и hello_html_33eb6c63.gif, подставив вместо x в функцию hello_html_m5dc5b1be.gif 2. Тогда получим: hello_html_31e01aef.gif

1.4.Сравним все вычисленные значения функции во внутренней критической точке и на концах отрезка hello_html_23757d86.gif hello_html_m52fd3fae.gif hello_html_288a86be.gif и выберем из них наибольшее: hello_html_m31343f4f.gifТак как hello_html_m640d4f13.gif на отрезке hello_html_aac241d.gif, то hello_html_227b53a9.gif.

2.Найдем оценку приближенного значения корня hello_html_27711dad.gif по формуле hello_html_m1b137733.gif, где hello_html_715eb9b.gif; hello_html_mba323d1.gif - концы промежутка изоляции, на котором найдено второе приближение x2hello_html_96c6dd8.gif: hello_html_aac241d.gif. Тогда hello_html_256548d5.gif; hello_html_211e71b9.gif - оценка погрешности приближенного значения корня hello_html_m6396bc7c.gif, найденного методом хорд. Следовательно, в приближенном значении корня hello_html_m6396bc7c.gif все цифры верны.


Задание 1.8

Применив дважды метод касательных, найти приближенное значение действительного корня уравнения hello_html_6e689a90.gif, изолированного в промежутке hello_html_4530213e.gif. Приближенные значения hello_html_m9777a9c.gif и hello_html_m3599fb49.gif вычислить с тремя знаками после запятой. Оценить погрешность приближенного значения hello_html_m3599fb49.gif.

Решение:

1). Найдем hello_html_m45ba222.gif и hello_html_m32b6ac5c.gif для данной функции hello_html_m7a2cfc82.gifhello_html_m82eb18f.gif:

hello_html_m212db337.gif; hello_html_7a2c2010.gif.

2). Возьмем на отрезке изоляции hello_html_4530213e.gifтакое число x0=2, при котором f(2) имеет тот же знак, что и hello_html_318b80cc.gif, т.е. hello_html_m6d2457f2.gif (за x0 принимаем тот из концов отрезка hello_html_4530213e.gif, в котором соблюдено это условие, в данном случае правый его конец): hello_html_3ff618b8.gif hello_html_78fad72f.gif

3). Найдем hello_html_2414d46c.gif, т.е. hello_html_m60c6c5a2.gif

4). Найдем первое приближенное значение корня x1 по формуле (1.5): hello_html_742e7b48.gif: hello_html_m21477a2b.gif

5). Найдем значения hello_html_m585f9744.gif, подставив x1=1,643 в hello_html_c100b96.gif вместо x: hello_html_m7718ea64.gif. Найдем hello_html_322f002d.gif. Следовательно, hello_html_m575e99d8.gif и новый промежуток изоляции hello_html_3165acac.gif. Найдем , подставив x1=1,643 в hello_html_14ce99b2.gif вместо x: hello_html_b649d8d.gif.

6). Найдем второе приближенное значение корня x2 по формуле (1.6): hello_html_16aa71cf.gif: hello_html_1a66a8d7.gif.

7). Оценим погрешность приближенного значения x2 по формуле (1.8):

hello_html_649bb541.gif, т.е. hello_html_m54b54ed3.gif, приняв за а и b концы промежутка изоляции, на котором найдено второе приближение x2hello_html_456c351a.gif hello_html_3165acac.gif.

Для этого:

1. Найдем наибольшее значение функции hello_html_77e49624.gif на отрезке hello_html_3165acac.gif. Обозначим через hello_html_56bc0caa.gif.

1.1.Найдем критические точки функции hello_html_m5dc5b1be.gifвнутри отрезка hello_html_3165acac.gif. Для этого найдем производную hello_html_m6305d61.gif и те значения x, в которых hello_html_7231e259.gif или не существует. hello_html_m10d9dbc9.gif=

hello_html_4954ac83.gif

hello_html_2a325ea.gif

Приравняем найденную производную к нулю: hello_html_23eb3210.gif;

hello_html_3f6e78b3.gif; или hello_html_714b4e93.gif; или hello_html_2223140e.gif; или hello_html_m25fc1a67.gif; или hello_html_461900e3.gif.

Значений, в которых hello_html_m7470c7c0.gif не существует, нет, так как нет таких действительных значений hello_html_6f352454.gifhello_html_79702d27.gif, при которых знаменатель обращается в ноль.

1.2.Найдем значения функции hello_html_m5dc5b1be.gif в критической точке: hello_html_2063e220.gif

1.3. Найдем значения функции hello_html_m5dc5b1be.gifна концах отрезка hello_html_3165acac.gif, т.е. hello_html_m3bed5b8d.gif, подставив вместо x в функцию hello_html_m5dc5b1be.gif 1, и hello_html_m6bc93af4.gif, подставив вместо x в функцию hello_html_m5dc5b1be.gif 1,643: hello_html_4ec28aae.gif; hello_html_6c06818b.gif

1.4.Сравним все вычисленные значения функции во внутренних критических точках и на концах отрезка hello_html_m3eaa9770.gif; hello_html_3ba86130.gifи выберем из них наибольшее: hello_html_3075c644.gif. Так как hello_html_m640d4f13.gif на отрезке hello_html_m694d4746.gif, то hello_html_m10fa49b0.gif.

2. Найдем оценку приближенного значения корня hello_html_75b1d8ae.gif по формуле hello_html_3bf1ae14.gif. Тогда hello_html_m2b3a3af8.gif; - оценка погрешности приближенного значения корня. Следовательно, в приближенном значении корня hello_html_m5b55030a.gif все цифры верны.


IV. Контрольные вопросы


  1. В каких случаях применяют приближенные решения скалярных уравнений?

  2. В чем состоит метод хорд? Формулы, по которым производят вычисления и оценивают погрешность.

  3. В чем состоит метод касательных? Как еще можно назвать этот метод? Формулы, по которым производят вычисления и оценивают погрешность.

  4. В чем состоит комбинированный метод хорд и касательных? Формулы, по которым производят вычисления.

  5. В чем состоит метод итераций? Как по другому этот метод называется? Формулы, по которым производят вычисления.

  6. Метод проб, в чем он состоит? Какие формулы применяются при решении уравнений с помощью этого метода? Как еще можно назвать этот метод?


V. Индивидуальные задания

Раздел А

Задача 1.1

1). Найти графически интервалы изоляции положительного корня уравнения.

2). С точностью до 0,01 решить уравнение:

1. методом хорд;

2. методом касательных (методом Ньютона);

3. комбинированным методом хорд и касательных;

4. методом проб (половинного деления).

Таблица 1.6

п/п

Уравнение hello_html_m8facd31.gif

п/п

Уравнение hello_html_m8facd31.gif

1

hello_html_14af92b8.gif

16

hello_html_6d866e2c.gif

2

hello_html_m39d3adef.gif

17

hello_html_m194ab428.gif

3

hello_html_m180d169e.gif

18

hello_html_613eda6d.gif

п/п

Уравнение hello_html_m8facd31.gif

п/п

Уравнение hello_html_m8facd31.gif

4

hello_html_7e0e7c92.gif

19

hello_html_3b812ab5.gif

5

hello_html_9600d3f.gif

20

hello_html_14cccf57.gif

6

hello_html_m76de704b.gif

21

hello_html_37399ef4.gif

7

hello_html_12d51a06.gif

22

hello_html_m62489e34.gif

8

hello_html_633801cb.gif

23

hello_html_m7d0525e2.gif

9

hello_html_m3e6f8323.gif

24

hello_html_m31872a0a.gif

10

hello_html_m4293ccf5.gif

25

hello_html_m39d5bdef.gif

11

hello_html_41533e5d.gif

26

hello_html_613eda6d.gif

12

hello_html_1376f19b.gif

27

hello_html_3a3ac609.gif

13

hello_html_1e7d0d24.gif

28

hello_html_131789a7.gif

14

hello_html_3c1314fe.gif

29

hello_html_m64d073fb.gif

15

hello_html_m6755e9cd.gif

30

hello_html_49c90143.gif


Задача 1.2

1). Найти графически интервалы изоляции положительного корня уравнения.

2). Решить уравнение: методом итераций с точностью до 0,001.

Таблица 1.7

п/п

Уравнение hello_html_m8facd31.gif

п/п

Уравнение hello_html_m8facd31.gif

1

hello_html_713a0870.gif

16

hello_html_m55b47c1f.gif

2

hello_html_m609a759b.gif

17

hello_html_m3e0efb1f.gif

3

hello_html_5b5afe56.gif

18

hello_html_m2c433864.gif

4

hello_html_1e7d0d24.gif

19

hello_html_m10e48fda.gif

5

hello_html_m76de704b.gif

20

hello_html_40b752f8.gif

6

hello_html_1f151607.gif

21

hello_html_cf5e657.gif

7

hello_html_14c946a3.gif

22

hello_html_6eb50e89.gif

8

hello_html_6d813bc3.gif

23

hello_html_m6af34724.gif

9

hello_html_m3dd4e2f9.gif

24

hello_html_m6391586c.gif

10

hello_html_m6fb7533b.gif

25

hello_html_7e00dbaf.gif

11

hello_html_m4e1f125.gif

26

hello_html_660d93b7.gif

12

hello_html_m490a550b.gif

27

hello_html_b618671.gif

13

hello_html_m727f30dd.gif

28

hello_html_40b752f8.gif

14

hello_html_m6e625266.gif

29

hello_html_7d2c395d.gif

15

hello_html_1482aed.gif

30

hello_html_398b2c4a.gif


Раздел Б

Задача 1.1

1). Найти графически интервалы изоляции положительного корня уравнения.

2). С точностью до 0,01 решить уравнение:

1. методом хорд;

2. методом касательных (методом Ньютона);

3. комбинированным методом хорд и касательных;

4. методом проб (половинного деления).

Таблица 1.8

п/п

Уравнение hello_html_m8facd31.gif

Точность hello_html_m67e26a3e.gif

п/п

Уравнение hello_html_m8facd31.gif

Точность hello_html_m67e26a3e.gif

1

hello_html_m17de4fa.gif

hello_html_54fab24e.gif

16

hello_html_28a8b246.gif

hello_html_m6c98c032.gif

2

hello_html_50ffc871.gif

hello_html_68b916c1.gif

17

hello_html_2ef22b50.gif

hello_html_68b916c1.gif

3

hello_html_dcf9051.gif

hello_html_68b916c1.gif

18


hello_html_68b916c1.gif

4

hello_html_6904d0a9.gif

hello_html_68b916c1.gif

19


hello_html_68b916c1.gif

5

hello_html_7e1c7d81.gif

hello_html_m6c98c032.gif

20

hello_html_m1567e10b.gif

hello_html_68b916c1.gif

6

hello_html_729c504f.gif

hello_html_m6c98c032.gif

21

hello_html_m56f9debf.gif

hello_html_m6c98c032.gif

7

hello_html_1a20d4da.gif

hello_html_m3abdab89.gif

22

hello_html_7440715f.gif

hello_html_m6c98c032.gif

8

hello_html_340447b9.gif

hello_html_68b916c1.gif

23

hello_html_3b89a609.gif

hello_html_m6c98c032.gif

9

hello_html_264a40eb.gif

hello_html_68b916c1.gif

24

hello_html_m9458c6d.gif

hello_html_m3abdab89.gif

10

hello_html_7ad93a14.gif

hello_html_68b916c1.gif

25

hello_html_1b5de49a.gif

hello_html_68b916c1.gif

11

hello_html_42ee924d.gif

hello_html_68b916c1.gif

26

hello_html_7415bc24.gif

hello_html_68b916c1.gif

12

hello_html_m6c73e359.gif

hello_html_m6c98c032.gif

27

hello_html_6e43c1ba.gif

hello_html_m6c98c032.gif

13

hello_html_76ee4f44.gif

hello_html_m6c98c032.gif

28

hello_html_m2e95d10.gif

hello_html_68b916c1.gif

14

hello_html_410e4d06.gif

hello_html_68b916c1.gif

29

hello_html_m530a477a.gif

hello_html_68b916c1.gif

15

hello_html_61852ff0.gif


30

hello_html_m21b52589.gif

0,001


Задача 1.2

1). Найти графически интервалы изоляции положительного корня уравнения.

2). Решить уравнение: методом итераций с точностью до 0,001.

Таблица 1.9

п/п

Уравнение hello_html_m8facd31.gif

п/п

Уравнение hello_html_m8facd31.gif

1

hello_html_m5c8f903f.gif

16

hello_html_3ded8abf.gif

2

hello_html_7c666e7.gif

17

hello_html_m586e47bb.gif

3

hello_html_m56f69663.gif

18

hello_html_m11e78dad.gif

4

hello_html_251cddde.gif

19

hello_html_4ddd32a.gif

5

hello_html_m4b6b587c.gif

20

hello_html_4f5dd19c.gif

6

hello_html_6f5cd704.gif

21

hello_html_m71cda1bf.gif

7

hello_html_13ea2dbd.gif

22

hello_html_m58142d25.gif

8

hello_html_m3124b6ca.gif

23

hello_html_m37d1599a.gif

9

hello_html_m5427346f.gif

24

hello_html_m6897f38e.gif

п/п

Уравнение hello_html_m8facd31.gif

п/п

Уравнение hello_html_m8facd31.gif

10

hello_html_m63daf0e5.gif

25

hello_html_m2778b2ee.gif

11

hello_html_2ea5d4a4.gif

26

hello_html_735b5a85.gif

12

hello_html_104993e2.gif

27

hello_html_m3a682fe0.gif

13

hello_html_4575d8ad.gif

28

hello_html_m54b726ae.gif

14

hello_html_me71e5a.gif

29

hello_html_18e36b6b.gif

15

hello_html_f002dc0.gif

30

hello_html_555cc364.gif



Задача 1.3

Вычислить с тремя знаками после запятой приближенные значения hello_html_m9777a9c.gif и hello_html_m3599fb49.gifдействительного корня уравнения hello_html_4c05ac68.gif, применив дважды: 1). метод хорд; 2). метод касательных.

Оценить погрешность приближенного значения hello_html_m3599fb49.gif.

Таблица 1.10

п/п

Уравнение hello_html_m8facd31.gif

п/п

Уравнение hello_html_m8facd31.gif

1

hello_html_m6fbcdd0e.gif

16

hello_html_m1fe077e3.gif

2

hello_html_m712a0e1d.gif

17

hello_html_2ab0c404.gif

3

hello_html_m2fb30d12.gif

18

hello_html_62fe3b28.gif

4

hello_html_46aafa1e.gif

19

hello_html_760af5cb.gif

5

hello_html_m5a4f5331.gif

20

hello_html_6bbc8175.gif

6

hello_html_m30df4376.gif

21

hello_html_51cef4e0.gif

7

hello_html_m137b8769.gif

22

hello_html_6e05084a.gif

8

hello_html_m471c07c9.gif

23

hello_html_255c445b.gif

9

hello_html_2612efde.gif

24

hello_html_458932dc.gif

10

hello_html_mb9f49b0.gif

25

hello_html_746188be.gif

11

hello_html_14d84b19.gif

26

hello_html_4e69d8c5.gif

12

hello_html_m1ac630ae.gif

27

hello_html_m1121717c.gif

13

hello_html_m343d8a19.gif

28

hello_html_m4722651d.gif

14

hello_html_m33262829.gif

29

hello_html_m21ecf81d.gif

15

hello_html_m3b979b13.gif

30

hello_html_m5f05aab8.gif






Литература


1) Барвин, И.И. Высшая математика: учебник для студентов естественнонаучных спец. пед. вузов / И.И.Баврин. - М.: «Академия», 2002. – 611с.

2) Высшая математика для экономистов/ Под редакцией проф. Н.Ш. Кремера. - М.: ЮНИТИ, 2000. – 600с.

3). Шипачев, В.С. Курс высшей математики: учебник/ В.С. Шипачев. – М.: Проспект, 2002. - 600с.

4) Данко, П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 2.:учеб. пособие для вузов/ П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова.- Изд. 6-е. –М.: Оникс 21 век: Мир и образование, 2003. – 406с.

5) Копченова, Н.В. Вычислительная математика в примерах и задачах/ Н.В. Копченова, И.А. Марон, - М.: Наука, 1972. – 367с.

6) Плис, А.И. Лабораторный практикум по высшей математике/ А.И. Плис, Н.А. Сливина, - М.: Высшая школа, 1983. – 208с.

7) Воробьева, Г.Н. Практикум по численным методам/ Г.Н. Воробьева, А.Н. Данилова, - М.: Высшая школа, 1979. 184с.

8) Кузнецов, Л.А. Сборник задач по высшей математике. Типовые расчеты: учеб. пособие/ Л.А. Кузнецов. - С.-Петерб.-М.-Краснодар: Лань, 2005. – 240с.

9) Шипачев, В.С. Задачник по высшей математике: учеб. пособие для вузов/ В.С. Шипачев. – М.: Высш. Шк., 2001. – 304с.






















Содержание




Введение


2


Расчетная работа. Приближенное решение скалярного уравнения


3


I. Теоретическая часть


3

1. Постановка задачи


3

2. Графический метод, отделение корней


3

3. Метод хорд


4

4. Метод касательных (метод Ньютона)


5

5. Комбинированный метод хорд и касательных


6

6. Метод итераций


7

7. Метод проб (метод половинного деления)


8


II. Порядок выполнения работы


8


III. Пример


15


IV. Контрольные вопросы


29


V. Индивидуальные задания


29

Раздел А


29

Раздел Б


30


Литература


33



45


Выберите курс повышения квалификации со скидкой 50%:

Автор
Дата добавления 16.09.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров250
Номер материала ДA-048164
Получить свидетельство о публикации

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх