Учебно-методическое пособие "Решение сложных задач по теории вероятностей".

1. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 25 % этих стекол, вторая – 75 %. Первая фабрика выпускает 4 % бракованных стекол, а вторая – 2 %. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.	НЕЗАВИСИМЫЕ(умножаются)                                   Выпуск   *    Брак   = 1ф            0,25      *     0,04   = 0,01 +                                                + 2ф            0,75      *     0,02   = 0,015                                                   0,025
2.  С первого станка на сборку поступает 40% , со второго – 30% и с третьего – 30% всех деталей. Вероятности изготовления бракованной детали равны для каждого станка соответственно 0,01, 0,03 и 0,05. Найти вероятность того, что наудачу взятая деталь, поступившая на сборку, бракованная.	Сборка  *  Брак  = 1с                0,4      *    0,01    = 0,004 +                                                 + 2с                0,3      *    0,03    = 0,009 +                                                 + 3с                0,3      *    0,05    = 0,015                                                    0,028
3. Ковбой Джон попадает в муху на стене  с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из не пристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 10 револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.	Попадание    *  Схватывание  = Пристр.                0,9       *         0,4    =  0,36 +                                                               + Не пристр.           0,2       *         0,6    =  0,12                                                                   0,48(попадание) Промах: 1-0,48 =0,52
4. Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,01. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,95. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,04. Найдите вероятность того, что случайно выбранная из упаковки батарейка будет забракована.	Изготовление  *   Забраковка  = Испр                 0,99        *        0,04    = 0,0396 +                                                               + Неиспр             0,01        *        0,95    = 0,0095                                                                  0,0491
5. Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ даёт положительный результат с вероятностью 0,9. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,01. Известно, что 5% пациентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным.	Наличие заболевания * Анализ  = Больны                      0,05        *           0,9    = 0,045 +                                                                          + Не больны                0,95         *          0,01   = 0,0095                                                                           _____________                                                                             0,0545
6. . В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,8 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 3 июля, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 6 июля в Волшебной стране будет отличная погода.	3 июля * 4 июля * 5 июля * 6 июля = 1     Х       0,8   Х    *  0,8  Х     *  0,2  О    = 0,128 +                                                                     + 2      Х       0,8   Х    *  0,2  О     *  0,8  О   = 0,128 +                                                                      + 3      Х       0,2   О    *  0,2   Х    *  0,2  О   = 0,008 +                                                                      + 4       Х      0,2   О    *  0,8   О    *  0,8  О    = 0,128                                                                          0,392
7. Чтобы поступить в институт на специальность «Лингвистика», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на специальность «Коммерция», нужно набрать не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов —математика, русский язык и обществознание. Вероятность того, что абитуриент З. получит не менее 70 баллов по математике, равна 0,6, по русскому языку — 0,8, по иностранному языку — 0,7 и по обществознанию — 0,5.Найдите вероятность того, что З. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.	Матем.  *   Русск.яз. *   Ин.яз.   *    Общ. = 1        0,6 (сд) *   0,8(сд)     *  0,7(сд)    *  0,5(сд)    = 0,168 +                                                                                     + 2        0,6(сд)   *  0,8(сд)     *  0,7(сд)    *  0,5(нсд)   =0,168 +                                                                                      + 3        0,6(сд)   *  0,8(сд)     *  0,3(нсд)  *  0,5(сд)    = 0,072 +                                                                                     0,408 4        0,6(сд)   *  0,8(сд)      *  0,3(нсд)  * 0,5(нсд)  =не удовл
8. Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 40% яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — 20% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 35% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства	Закупка    *  Высш. категория  = 1 агр.ф.          Х           *            0,4    = 0,4Х +                                                             + 2 агр.ф.        1 – Х       *            0,2    = 0,2 (1-Х)                                                                 0,35 Решить уравнение:  0,4Х +0,2(1-Х) = 0,35
9. При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,4, а при каждом последующем – 0,6. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98?

• 1 слайд

  Решение сложных задач по теории вероятностей
  Ольхова Е.Ю.
  учитель математики и
  физики МБОУ ССШ №7
  

• 2 слайд

  Решение сложных задач по теории вероятностей
  «… большей частью жизненные вопросы являются на самом деле задачами из теории вероятностей».
  П. Лаплас
  
  
  

• 3 слайд

  Решение сложных задач по теории вероятностей
  Пьер-Симо́н, маркиз де Лапла́с 
  (фр. Pierre-Simon de Laplace; 
  23 марта 1749 — 5 марта 1827) - 
  французский математик,
    механик, физик и астроном;
  известен работами в
  области небесной механики,
  дифференциальных уравнений,
  один из создателей теории
  вероятностей.
  
  

• 4 слайд

  Решение сложных задач по теории вероятностей
  Формула классической
  вероятности
  Р(A)= m\n
  
  Несовместные события.
  Формула сложения вероятностей
  P(A+ B) = P( A) + P(B)
  P(A) + P(A)=1
  Р(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB)
  Независимые события.
  Формула умножения вероятностей
  P(AB) = P( A)* P(B)
  P(A) = P(С1)·P(B_/С1) + P(С2)·P(B_/С2)
  
  
  
  

• 5 слайд

  Решение сложных задач по теории вероятностей
  Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 10 револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.
  

• 6 слайд

  Решение сложных задач по теории вероятностей
  Решение. Запишем, как могло случиться, что “Джон промахнулся”.”Ковбой схватил пристрелянный револьвер И не попал в муху, ИЛИ ковбой схватил не пристрелянный револьвер И не попал в муху.”Сначала разберемся с пистолетами:- Вероятность схватить пристрелянный пистолет равна 4/10 = 0,4. Мы вычислили её по определению вероятности: здесь один пистолет = одно элементарное событие, один пристрелянный пистолет = одно благоприятствующее событие.- Вероятность схватить не пристрелянный пистолет равна (10−4)/10 = 0,6. Вычислили аналогично, определив число не пристрелянных пистолетов. Затем разберемся с мухой:- Если ковбой стрелял из пристрелянного револьвера, то он НЕ попал в муху с вероятностью 1−0,9=0,1. - Если ковбой стрелял из не пристрелянного револьвера, то он НЕ попал в муху с вероятностью 1−0,2=0,8. Здесь мы воспользовались формулой для вероятности противоположного события, потому что в условии даны вероятности попадания в муху из разных пистолетов, но не промахов. Теперь вернемся к нашей формулировке события: “Ковбой схватил…” и вместо текста, описывающего составляющие события, подставим полученные числа – их вероятности, а вместо союзов “И” и “ИЛИ” знаки “·” и “+” соответственно. Получаем: 0,4·0,1 + 0,6·0,8 = 0,04 + 0,48 = 0,52. Мы получили ответ, а заодно вывели формулу полной вероятности для группы из двух событий. Только последнее для нас не главное, для этого типа задач вообще формулы не главное. Гораздо важнее понять и хорошо сформулировать событие, о котором спрашивается в условии задачи. Математически наше решение выглядит следующим образом.
  Решение. Обозначим события: A – “Джон промахнулся”; B – “попадание в муху”; С1 - “выстрел из пристрелянного пистолета”; С2 - “выстрел из не пристрелянного пистолета”.Тогда искомая вероятность события А определяется по формулеP(A) = P(С1)·P(B_/С1) + P(С2)·P(B_/С2)
  Находим вероятности составляющих событий так, как это было описано выше: P(С1) = 0,4; P(С2) = 0,6; P(B_/С1) = 0,1; P(B_/С2) = 0,8 и подставляем их в формулу.P(A) = 0,4·0,1 + 0,6·0,8 = 0,04 + 0,48 = 0,52.
  Ответ: 0,52
  Замечания. В формуле для P(A) правило сложения записано в простой форме – для несовместимых событий, поскольку пистолет не мог быть одновременно пристрелянным и не пристрелянным, а правило умножения в сложной форме – с учетом условной вероятности, поскольку “попадание в муху” зависело от выбора пистолета. Символом B_, как обычно, обозначено событие противоположное событию В, т.е. “не попадание в муху”.
  

• 7 слайд

  Решение сложных задач по теории вероятностей
  

• 8 слайд

  Решение сложных задач по теории вероятностей
  Определение.
  События называют
  несовместными, если
  они не могут происходить одновременно в одном и том же испытании.
  
  Определение.
  Два случайных события
  называют независимыми, если наступление одного из них не изменяет вероятность наступления другого.
  

• 9 слайд

  Решение сложных задач по теории вероятностей
  
  Н
  Е
  С
  О
  В
  М
  Е
  С
  Т
  Н
  Ы
  Е
  
  Независимые события
  Попадание * Схватывание =
  Пристр. 0,9 * 0,4 = 0,36
  + +
  Непристр. 0,2 * 0,6 = 0,12
  -----------------
  0,48
  (попадание из
  любого револьвера)
  Промах: 1-0,48 =0,52
  

• 10 слайд

  Решение сложных задач по теории вероятностей
  Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ даёт положительный результат с вероятностью 0,9. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,01. Известно, что 5% пациентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным.
  

• 11 слайд

  Решение сложных задач по теории вероятностей
  Н
  Е
  С
  О
  В
  М
  Е
  С
  Т
  Н
  Ы
  Е
  
  Независимые события
  Наличие заболевания * Анализ =
   
  Больны 0,05 * 0,9 = 0,045
  + +
  Здоровы 0,95 * 0,01 = 0,0095
  -----------------
  0,0545
  

• 12 слайд

  Решение сложных задач по теории вероятностей
  

• 13 слайд

  Решение сложных задач по теории вероятностей
  

• 14 слайд

  Решение сложных задач по теории вероятностей
  

• 15 слайд

  Решение сложных задач по теории вероятностей
  Теоре́ма о бесконе́чных обезья́нах (в одном из многочисленных вариантов формулировки) утверждает, что абстрактная обезьяна, ударяя случайным образом по клавишам пишущей машинки в течение неограниченно долгого времени, рано или поздно напечатает любой наперёд заданный текст.
  
  

• 16 слайд

  Решение сложных задач по теории вероятностей
  Вероятность написания романа Л.Н.Толстого «Война и мир»:
  
  4.76*(10^- 4 039 918) или 
  
  0,000 000 . . . четыре миллиона тридцать девять тысяч девятьсот восемнадцать нолей . . . 000 000 476.
  

• 17 слайд

  Решение сложных задач по теории вероятностей
  
  
  Спасибо за внимание!
  

Элементы теории вероятностей

Частота события

Пусть при проведении n случайных

опытов событие А наступило k раз. Ча-

стотой события А называют отношение

k\n

Сумма частот всех элементарных со-

бытий случайного опыта равна единице.

Формула классической

вероятности

Вероятность – есть число, характери-

зующее возможность наступления собы-

тия.

Определение. Вероятностью Р со-

бытия А называют отношение числа m

исходов, благоприятных этому событию,

к общему числу n исходов Р(A)= m\n

     Сумма вероятностей всех элементар-

ных событий случайного эксперимента

равна 1.

Несовместные события.

Формула сложения вероятностей

Рассмотрим теоремы, при помощи ко-

торых по вероятностям одних случайных

событий вычисляют вероятности других

случайных событий.

Определение. События называют

несовместными, если они не могут про-

исходить одновременно в одном и том же

испытании.

Например, выигрыш, ничейный исход

и проигрыш одного игрока в одной пар-

тии в шахматы – три несовместных собы-

тия.

Теорема. Вероятность суммы двух

несовместных событий А и В (появления

хотя бы одного события) равна сумме ве-

роятностей этих событий:

P(A+ B) = P( A) + P(B).

Теорема обобщается на любое число

попарно несовместных событий.

Следствие. Сумма вероятностей про-

тивоположных событий А и A равна 1:

P(A) + P(A)=1.

Совместные события.

Формула сложения вероятностей

Рассмотрим формулу для вероятности

суммы двух событий в общем случае (не

обязательно несовместных).

Определение. События называют

совместными, если они могут происхо-

дить одновременно. Например, при бро-

сании двух монет выпадение решки на

одной не исключает появления решки на

другой монете.

Теорема. Вероятность суммы двух

совместных событий А и В (появления

хотя бы одного события) равна сумме их

вероятностей без вероятности их сов-

местного появления, то есть

Р(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB).

Частным случаем приведенной фор-

мулы является формула сложения веро-

ятностей для несовместных событий, так

как их совместное наступление есть не-

возможное событие и P(AB) = 0 .

Независимые события.

Формула умножения вероятностей

Часто возникает вопрос о том, как

влияет на возможность осуществления

некоторого события В наступление неко-

торого другого события А.

Определение. Два случайных события

называют независимыми, если наступле-

ние одного из них не изменяет вероят-

ность наступления другого. В противном

случае события называют зависимыми.

Теорема. Вероятность произведения

(совместного появления)двух независи-

мых событий равна произведению веро-

ятностей этих событий:

P(AB) = P( A)* P(B).

Теорема обобщается на любое число

попарно независимых событий.

Следствие. Вероятность появления

хотя бы одного события из n попарно не-

зависимых событий равна разности меж-

ду 1 и произведением вероятностей со-

бытий, противоположных данным.

1. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 25 % этих стекол, вторая – 75 %. Первая фабрика выпускает 4 % бракованных стекол, а вторая – 2 %. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.	НЕЗАВИСИМЫЕ(умножаются)                                           Выпуск   *    Брак   = 1ф + 2ф
2.  С первого станка на сборку поступает 40% , со второго – 30% и с третьего – 30% всех деталей. Вероятности изготовления бракованной детали равны для каждого станка соответственно 0,01, 0,03 и 0,05. Найти вероятность того, что наудачу взятая деталь, поступившая на сборку, бракованная.	Сборка  *  Брак  = 1с + 2с + 3с
3. Ковбой Джон попадает в муху на стене  с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из не пристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 10 револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.	Попадание  *  Схватывание  = Пристр. + Не пристр.
4. Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,01. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,95. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,04. Найдите вероятность того, что случайно выбранная из упаковки батарейка будет забракована.	Изготовление  *   Забраковка  = 1б + 2б
5. Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 40% яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — 20% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 35% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.	Закупка  *  Высш. категория  = 1 агр.ф. + 2 агр.ф.
6. Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ даёт положительный результат с вероятностью 0,9. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,01. Известно, что 5% пациентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным.	Наличие заболевания * Анализ  = Больны + Не больны
7. Чтобы поступить в институт на специальность «Лингвистика», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на специальность«Коммерция», нужно набрать не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов —математика, русский язык и обществознание. Вероятность того, что абитуриент З. получит не менее 70 баллов по математике, равна 0,6, по русскому языку — 0,8, по иностранному языку — 0,7 и по обществознанию — 0,5.Найдите вероятность того, что З. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.	Матем.*  Русск.яз. * Ин.яз. *  Общ. = 1 + 2 + 3 + 4
8. В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,8 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 3 июля, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 6 июля в Волшебной стране будет отличная погода.	3 июля * 4 июля * 5 июля * 6 июля = 1     Х                                             О + 2      Х                                            О + 3      Х                                            О + 4       Х                                           О
9. При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,4, а при каждом последующем – 0,6. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98?

Учебно-методическое пособие «Решение сложных задач по теории вероятностей».

Ольхова Елена Юрьевна, учитель математики .

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение  средняя общеобразовательная школа №7 городского округа – город Камышин

1.Актуальность. Теория вероятностей и математическая статистика сформировались в научные дисциплины позже большинства других разделов математики. Задание по теории вероятностей в ЕГЭ по математике впервые появилось в 2012 году. Это были задачи самого простого уровня, решаемые по формуле представляющей собой классическое определение вероятности. Большинство из них решались в одно действие, и для решения были необходимы лишь самые основные понятия. В 2013 году добавились более сложные задачи, в них необходимо знать и  понимать теоремы сложения и умножения вероятностей. Число и разнообразие прототипов, опубликованных на сайте ФИПИ, постоянно растет, регулярно добавляются новые.

2. Цели и задачи. Интеллектуальные возможности ученика в процессе обучения математике проявляются с одной стороны в том, как он воспринимает и понимает открывающиеся ему новые математические знания, и с другой стороны в том, как он решает задачи, применяя полученные знания. Одними из основных познавательных стилей в решении задач являются:

–       алгоритмический (решение задач по образцу, известному правилу, алгоритму);

–       прикладной (использование готовых математических моделей, построение и исследование новых);

Целью разработки учебно-методического пособия «Решение сложных задач по теории вероятностей» является создание универсальной формы записи условия задачи в форме таблицы, позволяющей решать широкий круг задач на основе умения учащихся решать текстовые задачи.

3.Основа работы. В основе работы лежит сравнительный анализ различных методов решения задач по теории  вероятностей. Представлен новый метод решения задач с пошаговой инструкцией выполнения всех этапов.

4.Результативность. Использование учебно-методического пособия «Решение сложных задач по теории вероятностей» способствует повышению уровня обученности и качества знаний обучающихся.

5.Выводы. Обобщенный и систематизированный методический материал и разработанное учебно-методическое пособие способствуют достаточно успешному преподаванию теории вероятностей в общеобразовательной школе.

Текст к презентации.

       2015 год объявлен в России годом литературы. Недавно по нескольким центральным каналам телевидения прошла акция – всех желающих приглашали принять участие в чтении романа  Льва Николаевича Толстого «Война и мир». Я не принимала участия в этом мероприятии, но задумалась: «А смог ли бы кто-нибудь другой написать это поистине величайшее произведение? Ну, например, обезьяна!»

          Сейчас услышу возгласы протеста: « Это кощунственно! Это просто невозможно!» Да, с точки зрения обычного человека, а тем более филолога, это абсолютно невозможное событие, но с точки зрения специалиста по теории вероятностей, это рядовое случайное событие, вероятность которого можно легко подсчитать.

          Один из создателей теории   вероятностей  Пьер-Симон Лаплас писал: «Замечательно, что наука, которая начала с рассмотрения азартных игр, обещает стать наиболее важным объектом человеческого знания…».

           Теорию вероятностей можно определить как раздел математики, в котором изучаются закономерности, присущие массовым случайным явлениям. Методы теории вероятностей широко применяются при математической обработке результатов измерений, а также во многих задачах экономики, статистики, страхового дела, массового обслуживания.

       Теория вероятностей и математическая статистика сформировались в научные дисциплины позже большинства других разделов математики.

Задание по теории вероятностей в ЕГЭ впервые появилось в 2012 году. Это были задачи самого простого уровня, решаемые по формуле представляющей собой классическое определение вероятности. Большинство из них решались в одно действие, и для решения были необходимы лишь самые основные понятия.

В 2013 году добавились более сложные задачи, в них необходимо знать и  понимать теоремы сложения и умножения вероятностей. Число и разнообразие прототипов, опубликованных на сайте ФИПИ, постоянно растет, регулярно добавляются новые задачи.

       Так как изучение теории вероятностей и математической статистики в школьный курс было введено недавно, то в настоящее время существуют проблемы с реализацией этого материала в школьных учебниках. Также, в связи со специфичностью данного курса, количество методической литературы тоже пока невелико. Согласно подходам, изложенным в подавляющем большинстве литературы, считается, что главным при изучении данной темы должен стать практический опыт учащихся, поэтому решение поставленной проблемы на фоне реальной ситуации.

Интеллектуальные возможности ученика в процессе обучения математике проявляются с одной стороны в том, как он воспринимает и понимает открывающиеся ему новые математические знания, и с другой стороны в том, как он решает задачи, применяя полученные знания. Одними из основных познавательных стилей в решении задач являются:

–       алгоритмический (решение задач по образцу, известному правилу, алгоритму);

–       прикладной (использование готовых математических моделей, построение и исследование новых);

       Одной из традиционных сложностей математических дисциплин является анализ текста условия задачи. Это особенно проявляется в курсе преподавания теории вероятностей и математической статистики, где все задачи являются сюжетными. Помимо «классических» задач на бросание кубиков, монет, существует огромное число прочих сюжетов. Методы решения таких задач в различных источниках сводятся либо к «описательно-рассуждательному» методу, либо к четкому применению формул. Приведем примеры таких решений хорошо известной задачи про ковбоя Джона.

Целью разработки учебно-методического пособия «Решение сложных задач по теории вероятностей» является создание универсальной записи условия задачи в форме таблицы, позволяющей решать широкий круг задач на основе умения учащихся решать текстовые задачи.

Предлагаю познакомиться с записью условия и решением данной задачи с использованием таблицы. Для записи условия необходимо знание определений  понятий «независимые события» и «несовместные события». Напомним: Определение. События называют несовместными, если они не могут происходить одновременно в одном и том же испытании.

Определение. Два случайных события называют независимыми, если наступление одного из них не изменяет вероятность наступления другого.

В результате анализа условия задачи выясняем, что независимыми являются события «схватить револьвер» и «попасть в муху». Несовместными являются события «пристрелянный револьвер» и «не пристрелянный  револьвер». Заполняем таблицу и после выполнения несложных математических расчетов получаем результат.

    Для ученика часто очень трудно решая «новую» задачу, понять, что это «старая», только что решенная задача, но в «новой упаковке». Увидеть аналогию в задачах способны только достаточно подготовленные ученики. Предлагаемое учебно-методическое пособие дает возможность в процессе работы с таблицей выявлять особенности взаимосвязи объектов в условии задачи и применять математический аппарат к решению прикладных задач. Давайте попробуем вместе с вами решить ещё одну задачу из варианта ЕГЭ. 1.Определите независимые события;

2.Определите несовместные события;

3.Заполните таблицу, используя условие задачи;

4.Произведите вычисления.

5.Поаплодируйте себе все, у кого получилось решить одну из самых запутанных задач.

 Итак: В основе работы лежит сравнительный анализ различных методов решения задач по теории  вероятностей. Представлен новый метод решения задач с пошаговой инструкцией выполнения всех этапов. Перед вами примеры  таких таблиц .

Важную роль в преподнесении материала играет:

1.Наглядность, ясность  и простота изложения;

2.Минимальный математический формализм в записях;

3.Возможность неоднократного повторения и закрепления материала.

Использование готовых таблиц интенсифицирует учебный процесс на уроках, Данный материал может применяться в качестве дополнительного пособия при ознакомлении с методикой преподавания теории вероятностей в школе как учителями, так и обучающимися.

Использование учебно-методического пособия  способствует достаточно успешному преподаванию теории вероятностей в общеобразовательной школе,  повышению уровня обученности и качества знаний обучающихся.

И возвращаясь к вопросу об обезьянах, хочу сделать два замечания:

1.     Теоре́ма о бесконе́чных обезья́нах (в одном из многочисленных вариантов формулировки) утверждает, что абстрактная обезьяна, ударяя случайным образом по клавишам пишущей машинки в течение неограниченно долгого времени, рано или поздно напечатает любой наперёд заданный текст.

Предыстория теоремы берёт свое начало с трудов Аристотеля («О возникновении и уничтожении») и Цицерона («О природе богов», «О дивинации»), связанные с ней идеи встречаются в работах Блеза Паскаля и произведениях Джонатана Свифта.

В 2003 году эксперимент по проверке теоремы в полушутливой форме был проведён в реальности Ученые из университета Плимут (США) решили все-таки экспериментально проверить эту теорему и посадили за машинки 6 макак. Однако их литературный вклад составил лишь пять листов печатного текста на 80% заполненных буквой S.

2.Вероятность написания романа Л.Н.Толстого «Война и мир» все-таки была подсчитана!  А чего удивляться? Знаете какое там число? 
4.76*(10^-4 039 918)% или 
0,000 000 000 . . . четыре миллиона тридцать девять тысяч девятьсот нолей . . . 000 000 476. Весьма и весьма маленькое число.

1. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 25 % этих стекол, вторая – 75 %. Первая фабрика выпускает 4 % бракованных стекол, а вторая – 2 %. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.	НЕЗАВИСИМЫЕ(умножаются)                                   Выпуск   *    Брак   = 1ф            0,25           0,04 + 2ф            0,75           0,02
2.  С первого станка на сборку поступает 40% , со второго – 30% и с третьего – 30% всех деталей. Вероятности изготовления бракованной детали равны для каждого станка соответственно 0,01, 0,03 и 0,05. Найти вероятность того, что наудачу взятая деталь, поступившая на сборку, бракованная.	Сборка  *  Брак  = 1с                0,4          0,01 + 2с                0,3          0,03 + 3с                0,3          0,05
3. Ковбой Джон попадает в муху на стене  с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из не пристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 10 револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.	Попадание  *  Схватывание  = Пристр.                0,9                0,4 + Не пристр.           0,2                0,6
4. Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,01. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,95. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,04. Найдите вероятность того, что случайно выбранная из упаковки батарейка будет забракована.	Изготовление  *   Забраковка  = Испр                 0,99                0,04 + Неиспр             0,01                0,95
5. Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ даёт положительный результат с вероятностью 0,9. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,01. Известно, что 5% пациентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным.	Наличие заболевания * Анализ  = Больны                      0,05                   0,9 + Не больны                0,95                    0,01
6. . В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,8 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 3 июля, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 6 июля в Волшебной стране будет отличная погода.	3 июля * 4 июля * 5 июля * 6 июля = 1     Х        0,8      Х       0,8   Х       0,2 О + 2      Х       0,8      Х       0,2   О       0,8  О + 3      Х       0,2      О       0,2   Х       0,2  О + 4       Х      0,2      О       0,8    О      0,8  О
7. Чтобы поступить в институт на специальность «Лингвистика», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на специальность «Коммерция», нужно набрать не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов —математика, русский язык и обществознание. Вероятность того, что абитуриент З. получит не менее 70 баллов по математике, равна 0,6, по русскому языку — 0,8, по иностранному языку — 0,7 и по обществознанию — 0,5.Найдите вероятность того, что З. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.	Матем.*  Русск.яз. * Ин.яз. *  Общ. = 1        0,6 (сд)    0,8(сд)      0,7(сд)    0,5(сд) + 2        0,6(сд)     0,8(сд)      0,7(сд)    0,5(нсд) + 3        0,6(сд)     0,8(сд)      0,3(нсд)  0,5(сд) + 4        0,6(сд)     0,8(сд)      0,3(нсд)   0,5(нсд)
8. Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 40% яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — 20% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 35% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства	Закупка  *  Высш. категория  = 1 агр.ф.          Х                        0,4 + 2 агр.ф.        1 – Х                    0,2
9. При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,4, а при каждом последующем – 0,6. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98?

1. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 25 % этих стекол, вторая – 75 %. Первая фабрика выпускает 4 % бракованных стекол, а вторая – 2 %. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.	НЕЗАВИСИМЫЕ(умножаются)                               Выпуск   *    Брак   = 1ф            + 2ф
2.  С первого станка на сборку поступает 40% , со второго – 30% и с третьего – 30% всех деталей. Вероятности изготовления бракованной детали равны для каждого станка соответственно 0,01, 0,03 и 0,05. Найти вероятность того, что наудачу взятая деталь, поступившая на сборку, бракованная.	Сборка  *  Брак  = 1с                + 2с                + 3с
3. Ковбой Джон попадает в муху на стене  с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из не пристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 10 револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.	Попадание  *  Схватывание  = Пристр.                 + Не пристр
4. Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,01. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,95. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,04. Найдите вероятность того, что случайно выбранная из упаковки батарейка будет забракована.	Изготовление  *   Забраковка  = Испр                  + Неиспр
5. Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ даёт положительный результат с вероятностью 0,9. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,01. Известно, что 5% пациентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным.	Наличие заболевания * Анализ  = Больны                      + Не больны
6. . В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,8 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 3 июля, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 6 июля в Волшебной стране будет отличная погода.	3 июля * 4 июля * 5 июля * 6 июля = 1     Х                                                   О + 2      Х                                                  О + 3      Х                                                  О + 4       Х                                                 О
7. Чтобы поступить в институт на специальность «Лингвистика», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на специальность «Коммерция», нужно набрать не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов —математика, русский язык и обществознание. Вероятность того, что абитуриент З. получит не менее 70 баллов по математике, равна 0,6, по русскому языку — 0,8, по иностранному языку — 0,7 и по обществознанию — 0,5.Найдите вероятность того, что З. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.	Матем.*  Русск.яз. * Ин.яз. *  Общ. = 1        + 2        + 3        + 4
8. Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 40% яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — 20% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 35% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства	Закупка  *  Высш. категория  = 1 агр.ф.          + 2 агр.ф.
9. При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,4, а при каждом последующем – 0,6. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98?