Инфоурок Алгебра Другие методич. материалыУчебный проект: "Показательная функция и её применение в жизни".

Учебный проект: "Показательная функция и её применение в жизни".

Скачать материал

Тема проекта: Показательная функция и ее применение в жизни человека

В 11 классе на уроке математики мы познакомились с показательной функцией, её свойствами и графиками, но мы не узнали о том, где в реальной жизни можно встретиться с этой моделью, и как человек использует свойства показательной функции в своей практической деятельности. В своём проекте мне хотелось рассмотреть применение показательной функции в окружающем меня мире. Ознакомится с примерами применения данной функции для решения задач в области других наук. Практическая значимость работы заключается в том, что она позволяет объективно оценить значение показательной функции, основываясь на рассмотренных фактах, раскрыть особенности применения показательной функции в современной жизни человека. Материал исследовательской работы может быть использован в форме презентации для выступления различных публичных мероприятиях, в школе; для публикации в печатных изданиях (в научно-популярной литературе), размещения данных о проекте на сайте нашей школы и других сайтах определенной тематики

Целью моей работы является исследование сфер применения показательной функции.

Объект исследования: показательная функция.

Данная работа состоит из следующих этапов:

1.     Подбор, изучение, анализ информации о показательной функции и её свойствах и истории создания.

2.     Примеры применения показательной функции в различных областях науки.

3.     Примеры применения показательной функции в современных востребованных профессиях

4.     Заключение

Задачи проекта:

1.     Изучить историю создания показательной функции

2.     Рассмотреть свойства показательной функции

3.     Доказать, что свойства показательной функции используются многими науками;

4.     Доказать, что показательная функция существуют во многих сферах жизни;

5.     Узнать, какие явления из жизни и некоторых наук описывает показательная функция;

История возникновения показательной функции

Еще 40 веков назад в египетском папирусе записан ряд. Про семь домов, где кошек 49, и каждая из них по 7 мышей съедает и тем всем столько зерен сохраняет, что мер 17000 составляет. Мы объяснили факт немножко, священна почему в Египте кошка.

О том еще известна нам легенда, что как-то у арабского царя
изобретатель шахматной доски, наверно потребовал за доску ту зерна. Причем за клетку первую – зерно, а за вторую – два просил изобретатель, за третью – снова больше раза в два, немало времени царь на подсчет потратил. Когда же подсчитали – прослезились: число двадцатизначно получилось! Хватило б зернами засеять нам всю сушу и миллионы лет пришлось зерно бы кушать. С древних веков люди придумывали задачи, которые решали долгое время. Современные люди решают подобные задачи очень быстро, используя свойства степени.

История возникновения показательной функции начинается с 14-15 веков, когда в Западной Европе возникают банки, которые давали деньги под
большие проценты. И при этом приходилось делать большие, сложные расчеты. Вскоре появляется идея степени с дробным показателем, потом создаются таблицы логарифмов и антилогарифмов. Оставался один шаг, чтобы ввести степени с любым действительным показателем. И этот шаг, в
конце концов, был сделан в конце XVII в. Исааком Ньютоном. И уже после этого Иоганн Бернулли рассмотрел степени с переменным действительным
показателем, т.е. ввёл показательную функцию. Возведение в степень на немецком языке звучит - potenzie. Отсюда и происходит слово потенцировать.

Свойства показательной функции

Показательная функция -это пример трансцендентной функции— аналитическая функция, не являющаяся алгебраической . Если трансцендентные функции рассматривать как функции комплексного переменного, то характерным их признаком является наличие хотя бы одной особенности, отличной от полюсов и точек ветвления конечного порядка.

Функция вида y=ax, где a — заданное число, x — переменная. Такие функции называют показательными. Это название объясняется тем, что аргументом показательной функции является показатель степени, а основанием степени — заданное число. Функция, заданная формулой y=ax (где a>0,a≠1), называется показательной функцией с основанием a.

Основные свойства показательной функции:

1. Область определения — множество R действительных чисел.

2. Область значений — множество R+ всех положительных действительных чисел.

3. При a>1 функция возрастает на всей числовой прямой; при 0<a<1 функция убывает на множестве R.

  Графики показательных функций изображены на рисунках:

 

 Примеры применения показательной функции в различных областях науки.

«Некоторые наиболее часто встречающиеся виды трансцендентных функций, прежде всего показательные, открывают доступ ко многим исследованиям» Леонард Эйлер, швейцарский математик (1707-1783)-Эти слова были сказаны в 16 столетии, а подтверждения этих слов можно найти в в самых различных областях науки - в физике, химии, биологии, экономике и т.д. Показательная функция, подобно линейной и квадратичной, очень часто реализуется в физических, биологических и иных законах. И это, конечно, не является случайностью. В жизни нередко приходится встречаться с такими фактами, когда скорость изменения какой-либо величины пропорциональна самой величине (размножение бактерий, ход химической реакции и т.д.). В этом случае рассматриваемая величина изменятся по закону: y = y0ax.Рассмотрим некоторые из них

ФИЗИКА И ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ

Физика-наука о физических явлениях. Многие физические явления описываются при помощи показательной функции. Рассмотрим некоторые из них

1.Механические явления

При помощи показательной функции физики описывают движение тела в поле тяжести с учётом сопротивления воздуха. , где Vx(T)-скорость падающего тела с учетом сопротивления воздуха, К-сопротивление воздуха, m- масса тела, t-время полёта, е-число Эллера.При помощи данных вычислений можно доказать , что при наличии сопротивления воздуха движение тела стремится к равномерному, Это можно доказать экспериментально рассматривая движение груза с парашютом. Парашютист сначала движется ускоренно, а потом начинает двигаться равномерно (даже до раскрытия парашюта).Эта очень важные расчёты так как парашюты используются и как вид спорта, в военном деле, даже в космонавтике космонавты возвращаются на Землю в капсуле при помощи парашюта. После вхождение в атмосферу над аппаратом автоматически раскрываются два парашюта - сначала затяжной, потом основной. Они снижают скорость корабля до 20 км/ч также для мягкой посадки. И это очень сложная задача-вернуть космонавтов на Землю. Показательная функция даёт возможности правильно рассчитать движение капсулы с учетом сопротивления воздуха.

2.Тепловые явления

При помощи показательной функции физики изучающие тепловые явления, нашли закон позволяющий определить изменение температуры чайника со временем:T=T0α-kt , где: Т- изменение температуры чайника со временем; Т0- температура кипения воды; t-время, к, α- некоторые постоянные. Этот закон помогает выбрать правильный материал для изготовления данного электрического прибора. Так же он позволил создать так называемые «Умные чайники»-чайники с регулированием температуры. Истинные любители чая знают, что при заваривании некоторых сортов чая не всегда необходима температура 100 градусов, которая разрушает целебные свойства этого напитка.

3.Электрические явления

Переменный ток — электрический ток, который с течением времени изменяется по величине, обычно и по направлению в электрической цепи. Данные изменения, выходящие из-под контроля, могут разрушить электрические цепи высоковольтных линий и что бы это не произошло необходимо теоретически уметь рассчитывать характеристики электрических колебании. Показательная функция помогает описать электрические колебания переменного тока. Вот один из законов нахождения силы переменного тока в электрической цепи: I=Aeλt? , где I- сила переменного тока  t-время, А и λ-некоторые постоянные.

4.Электромагнитные явления

Электромагнитные волны -распространяющееся в пространстве возмущение (изменение состояния) электромагнитного поля[1].

Среди электромагнитных полей, порождённых электрическими зарядами и их движением, принято относить к излучению ту часть переменных электромагнитных полей, которая способна распространяться наиболее далеко от своих источников — движущихся зарядов, затухая наиболее медленно с расстоянием. Таким образом электромагнитные волны образуются при колебании электрического заряда, колебания которого можно рассматривать как колебания маятника, гири, качающейся на пружине, не пренебрегать сопротивлением воздуха, то амплитуда колебаний становится все меньше, колебания затухают. Отклонения точки, совершающей затухающие колебания, выражается формулой: . Так как множитель е-kt уменьшается с течением времени, то размах колебаний становится все меньше и меньше. Эта формула позволяет определить условия затухания электромагнитных колебаний, которые необходимо знать при использовании ЭМВ в технике.

5.Световые явления

Одним из самых интересных и неоднозначным явлением нашего мира является свет Свет — электромагнитное излучение, испускаемое нагретым или находящимся в возбуждённом состоянии веществом. Для физики это один из основополагающих параметров многочисленных расчетов. С помощью света ученые надеются отыскать разгадку существования нашей Вселенной, а также открыть для человечества новые возможности. В повседневной жизни свет также имеет большое значение, особенно при создании качественного освещения в различных помещениях. При прохождении света через мутную среду каждый слой этой среды поглощает строго определенную часть падающего на него света. Сила света I определяется по формуле: I = I0e-ks, где: s – толщина слоя, – некоторый коэффициент, характеризующий мутную среду. Как видно, что при нахождении характеристик электромагнитной волны так же используются свойства показательной функции.

6.Квантовые явления

Физики ядерщики, изучающие явления радиоактивности, открыли закон радиоактивного распада. Радиоактивные вещества распадается в зависимости от времени  Пользуясь этой формулой, ученые смогли подсчитать возраст Земли, то есть время, в течение которого радиоактивный элемент радий смог распадаться нормально.В атомных электростанциях происходят цепные ядерные реакции, теорию которых в 20-х годах описал молодой химик Н.Н. Семенов, а потом развили ученые-атомщики. Как управлять этим процессов в мирных целях? На этот вопрос можно ответить только при помощи знаний о показательной функции и умений рассчитывать массу топлива, необходимую для погружения в ядерный реактор-закон радиоактивного распада позволяет решить все эти задачи: М = Мe-kt , где: М0 – начальное количество радия, k – некоторый коэффициент.

БИОЛОГИЯ И ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ

Биология- Наука о живой природе, о закономерностях органической жизни. В биологии есть законы, которые основаны на свойствах показательной функции:
Закон органического размножения

Закон органического размножения: при благоприятных условиях (отсутствие врагов, большое количество пищи) живые организмы размножались бы по закону показательной функции. N = N0ekt
Например: одна комнатная муха может за лето произвести 8  1014 особей потомства. Их вес составил бы несколько миллионов тонн (а вес потомство пары мух превысил бы вес нашей планеты), они бы заняли огромное пространство, а если выстроить их в цепочку, то её длинна будет больше, чем расстояние от Земли до Солнца. Но так как, кроме мух существует множество других животных и растений, многие из которых являются естественными врагами мух их количество не достигает вышеуказанных значений. По такому же принципу распространились завезённые в Австралию кролики, которые стали экологической катастрофой для этого уникального региона. Рост различных видов микроорганизмов и бактерий, дрожжей, ферментов все эти процессы подчиняются одному закону.Ещё по этому закону возрастает количество клеток гемоглобина в организме человека, который потерял много крови
.

Закон органического затухания.

Закон органического затухания: N = N0ekt подобен размножению, происходит с той же скоростью и по тем же условиям, но происходит в обратную сторону. Этот закон позволяет предугадать исчезновение различных видов флоры и фауны нашей планеты и вовремя занести в красную книгу виды исчезающих животных и растений. Примером обрат­ного процесса может служить восстановление концентрации гемоглобина в крови у донора или у раненого, потерявшего много крови. В этом случае по показательному закону убывает разность между нормальным содержанием гемоглобина и имеющимся количеством этого вещества.

Закон выравнивания

Адреналин — один из ключевых гормонов человеческого организма. Он возник в процессе эволюции для быстрой реакции на экстремальные ситуации и помогает организму работать на пределе возможностей. Наши древние предки жили во враждебном мире, где нужно было всегда быть начеку, быстро реагировать на возможные угрозы и мобилизовать все ресурсы за небольшой промежуток времени. Когда к зайцу подбирается волк, ему нужно убегать, а волку — догонять его с максимально возможной скоростью. Адреналин, который вырабатывают надпочечники зайца и волка, мобилизует все системы организма, чтобы позволить ему работать при максимальной нагрузке.  Реакция «бей или беги» связана с первобытным инстинктом хищника или жертвы, когда организму для интенсивной работы нужна помощь адреналина. Адреналин повышает приток крови от сердца к работающим мышцам, что позволяет принести к ним больше кислорода и питательных веществ и обеспечить активную работу мышц; под его воздействием сердце бьется чаще, печень выделяет в кровь глюкозу, а жировые ткани высвобождают жирные кислоты и глицерол, которые питают мышцы. Кроме того, адреналин расширяет дыхательные пути в легких, что позволяет дышать быстрее и легче. Процесс выравнивания встречается при разрушении адреналина в крови; Nt =N e−λt, где Nt -исходное количество распавшихся клеток адреналина, N-количество активных клеток оставшихся после распада e-число Эллера, λ-постоянная, t-время распада.

АСТРОНОМИЯ И ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ

Астроно́мия (от др.-греч. ἄστρον — «звезда» и νόμος — «закон») — наука о Вселенной, изучающая расположение, движение, структуру, происхождение и развитие небесных тел и систем.

В частности, астрономия изучает Солнце и другие звёздыпланеты Солнечной системы и их спутникиэкзопланетыастероидыкометыметеороидымежпланетное веществомежзвёздное веществопульсарычёрные дырытуманностигалактики и их скопленияквазары и многое другое.

Планеты

Применение в астрономии. Исследуя расположение планет солнечной системы вокруг Солнца, немецкий астроном И.Э. Боде в 1772Исследуя расположение планет солнечной системы вокруг Солнца, немецкий астроном И.Э. Боде в 1772.К тому времени было открыто только шесть планет, поэтому все вычисления останавливаются на Сатурне.Эти вычисления произвел И.Э.Боде по следующей формуле: Данная формула особенно точна для Венеры, Земли и Юпитера. Как известно, между Марсом и Юпитером планеты не существует, но если следовать таблице Боде, на данной орбите должно находиться какое-либо космическое тело. И действительно, после некоторых исследований учёными был открыт пояс астероидов. Это было воистину торжеством науки и триумфом математики!

Звезды

Звезда — это небесное тело, видимое простым глазом в форме светящейся точки на небе. Для описания различных звёзд астрономы ввели множество характеристик, одна из которых видимая звездная величина. Видимая звездная величина, m — определяет количество света, попадающего от звезды в глаза человека.2 век до н.э. – греческий астроном Гиппарх разделил все видимые звезды по яркости на 6 классов.

19 век английский астроном Н. Погсон дополнил определение звездной величины одним условием: звезда первой звездной величины должны быть в 100 раз ярче звезды шестой звездной величины.

ормула Погсона служит для определения шкалы звёздных величин (или видимых звёздных величин)была выведена с использованием свойств показательной функции.

 Космос

Много трудных математических задач приходится решать в теории межпланетных путешествий. Одной из них является задача об определении массы топлива, необходимого для того, чтобы придать ракете нужную скорость v. Эта масса М зависит от массы m самой ракеты (без топлива) и от скорости v0, с которой продукты горения вытекают из ракетного двигателя. Если не учитывать сопротивление воздуха и притяжение Земли, то масса топлива определиться формулой:  Например, для того чтобы ракете с массой 1,5 т придать скорость 8000 м/с, надо при скорости истечения газов 2000 м/с взять примерно 80 т топлива
ХИМИЯ И ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ

Химия — наука о веществах, их строении, свойствах и превращениях. В широком понимании, вещество — это любой вид материи, обладающий собственной массой, например элементарные частицы. Превращения веществ, сопровождающиеся изменением состава молекул, называются химическими реакциями. Традиционная химия изучает реакции, которые происходят на макроскопическом уровне (в лаборатории или в окружающем мире), и интерпретирует их на атомно-молекулярном уровне. Известно, например, что сера горит на воздухе голубым пламенем, давая резкий запах. Это — макроскопическое явление. Современная химия способна изучать химические реакции с участием отдельных молекул, обладающих строго определенной энергией. Пользуясь этим, можно управлять течением химических реакций, подавая энергию в определенные участки молекулы. Управление химическими процессами на молекулярном уровне — одна из основных особенностей современной химии и показательная функция помогает химикам в управлении скоростями реакций. Химические реакции протекают с различными скоростями- Мгновенно ( при взрыве; в водных растворах, например, при смешивании растворов хлорида бария и сульфата натрия образуется сульфат бария в виде белого осадка);Быстро ( растворение цинка в соляной кислоте; горение магния);

- Медленно (образование ржавчины на железных предметах; окисление меди).ри увеличении температуры на каждые 10° С скорость реакции увеличивается в 2-4 раза.Число, показывающее, во сколько раз увеличивается скорость реакции при повышении температуры на 10° С, называют температурным коэффициентом.

Правило Вант-Гоффа математически выражается следующей формулой:

1где –скорость реакции при температуре t 2 ,

2– скорость реакции при температуре t  ,– температурный коэффициент.

Примеры применения показательной функции в востребованных профессиях

 При подготовке данного проекта, я провел опрос среди учеников 10-12 классов. Тема опроса: востребованные профессии в наше время. Результаты опроса показали, что по мнению наших учащихся самыми востребованными являются: экономист, статистик, банкир, врач, вирусолог. Меня заинтересовала информация о том, используются ли знания показательной функции в этих профессиях? Оказывается, и в данных профессиях имеет место использование свойств показательной функции.

 

ВИРУСОЛОГИЯ И ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ

Вирусология — раздел микробиологии, изучающий вирусы, их морфологию, физиологию, генетику, а также эволюцию вирусов и вопросы экологии .

Вирусы - это мельчайшие живые организмы, размеры которых варьируют в пределах примерно от 20 до 300 нм; в среднем они раз в пятьдесят меньше бактерий. Рассмотрим распространение вирусов на примере Аденовирус. Цикл репродукции данного вируса продолжается 14 и более часов. В одной клетке образуется до 1000 вирусных частиц, при этом клетка разрушается. В свою очередь новые вирусные частицы, попав в новые клетки, становятся способными к созданию других вирионов и т.д. Таким образом только один вирион через двое суток после попадания в клетку человека способен дать потомство около 1 млрд вирионов. То есть размножение аденовируса, как и всех других, подчиняется формуле n-ого члена геометрической прогрессии или проще сказать рост вирусов происходит по  показательной функции  bn = b1n  1, Эта формула позволяет определить количество клеток вируса в любом организме с течением времени, что очень важно, так как от количества вирусов зависит состояние больного человека. Этим фактом можно объяснить и течение болезни, вызванной респираторным (простудным) вирусом: на 2-3-й день к ознобу, насморку и кашлю присоединяется чувство рези в глазах; еще через пару дней в уголках глаз появляется пленка, которой покрываются также миндалины и горло; на шее, под нижней челюстью, в других местах можно нащупать увеличенные лимфоузлы; они же воспаляются и в брюшной полости, из-за чего болит живот.

ЭКОНОМИКА И ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ

В экономике существует понятие показательный тренд- Данный вид тренда на практике обычно заменяется экспоненциальным, так как любую показательную функцию можно представить в виде экспоненциальной , если принять , то   Нас, однако, интересует не интерпретация коэффициентов моделей, а то, какие именно тенденции они описывают. В данном случае как показательный, так и экспоненциальный тренды описывают либо рост со взрывным ускорением, либо снижение с замедлением.

МЕДИЦИНА И ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ

Медици́на (лат. medicina от словосочетания ars medicina — «лечебное искусство», «искусство исцеления», и имеет тот же корень, что и глагол medeor, «исцеляю») — система научных знаний и практической деятельности, целями которой являются укрепление и сохранение здоровья, продление жизни, предупреждение и лечение болезней человека и животных (ветеринарная медицина)[3][4], а также облегчения страданий от физических и психических недугов .И в данной науке очень важно знать свойства показательной функции.Скорость изменения лекарств в организме пропорциональна их количеству

СТАТИСТИКА И ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ

Статистика — отрасль знаний, наука, в которой излагаются общие вопросы сбора, измерения, мониторинга, анализа массовых статистических (количественных или качественных) данных и их сравнение; изучение количественной стороны массовых общественных явлений в числовой форме. Статистик — специалист по статистике. В данной профессии так же используются свойства показательной функции при анализе различных жизненных процессов. Например: прирост населения, рост спроса на товар и т.д.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В заключении работы можно сказать, что я не исчерпал всех примеров применения показательной функции, так как сделать это очень сложно. Но я узнал , что без показательной функции не были бы сделаны великие открытия в физике, химии, биологии и астрономии. Математика-царица всех наук!-это замечательные слова еще раз могут подтвердить мои исследования в области показательной функции и ее применения. Так же я понял, что без математических знаний сложно получить хорошую и востребованную профессию.Я достиг свой цели и понял как широко применяются знания о показательной функции.

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Учебный проект: "Показательная функция и её применение в жизни"."

Методические разработки к Вашему уроку:

Получите новую специальность за 2 месяца

Ландшафтный дизайнер

Получите профессию

Секретарь-администратор

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 625 828 материалов в базе

Материал подходит для УМК

  • «Алгебра и начала математического анализа. Базовый и углубленный уровни», Алимов А.Ш., Колягин Ю.М. и др.

    «Алгебра и начала математического анализа. Базовый и углубленный уровни», Алимов А.Ш., Колягин Ю.М. и др.

    Тема

    § 11. Показательная функция, её свойства и график

    Больше материалов по этой теме
Скачать материал

Другие материалы

Презентация "Применение показательной функции в жизни"
  • Учебник: «Алгебра и начала математического анализа. Базовый и углубленный уровни», Алимов А.Ш., Колягин Ю.М. и др.
  • Тема: § 11. Показательная функция, её свойства и график
  • 08.12.2021
  • 974
  • 19
«Алгебра и начала математического анализа. Базовый и углубленный уровни», Алимов А.Ш., Колягин Ю.М. и др.
Технологическая карта урока "Сумма и разность косинуса"
  • Учебник: «Алгебра и начала математического анализа. Базовый и углубленный уровни», Алимов А.Ш., Колягин Ю.М. и др.
  • Тема: § 32. Сумма и разность синусов. Сумма и разность косинусов
  • 08.12.2021
  • 218
  • 12
«Алгебра и начала математического анализа. Базовый и углубленный уровни», Алимов А.Ш., Колягин Ю.М. и др.

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

  • Скачать материал
    • 08.12.2021 3131
    • DOCX 2.8 мбайт
    • 31 скачивание
    • Рейтинг: 1 из 5
    • Оцените материал:
  • Настоящий материал опубликован пользователем Егошина Татьяна Александровна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

    Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

    Удалить материал
  • Автор материала

    Егошина Татьяна Александровна
    Егошина Татьяна Александровна
    • На сайте: 7 лет и 3 месяца
    • Подписчики: 1
    • Всего просмотров: 45000
    • Всего материалов: 50

Ваша скидка на курсы

40%
Скидка для нового слушателя. Войдите на сайт, чтобы применить скидку к любому курсу
Курсы со скидкой

Курс профессиональной переподготовки

Технолог-калькулятор общественного питания

Технолог-калькулятор общественного питания

500/1000 ч.

Подать заявку О курсе

Курс профессиональной переподготовки

Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Учитель математики и информатики

500/1000 ч.

от 8900 руб. от 4450 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 680 человек из 79 регионов

Курс повышения квалификации

Особенности подготовки к проведению ВПР в рамках мониторинга качества образования обучающихся по учебному предмету «Математика» в условиях реализации ФГОС НОО

72 ч. — 180 ч.

от 2200 руб. от 1100 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 76 человек из 31 региона

Курс повышения квалификации

Ментальная арифметика: умножение и деление

36 ч. — 144 ч.

от 1700 руб. от 850 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 223 человека из 56 регионов

Мини-курс

Экономика и управление

6 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Эффективное взаимодействие с детьми: стратегии общения и воспитания

4 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 332 человека из 65 регионов

Мини-курс

Психология развития личности: от мотивации к самопониманию

4 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 73 человека из 29 регионов