Учебный проект "Тригонометрия в окружающем нас мире и жизни человека"

Описание презентации по отдельным слайдам:

• 

  1 слайд

  "Тригонометрия в окружающем нас мире и жизни человека"
  
  

• 

  2 слайд

  Почему знания тригонометрии необходимы для современного человека?
  
  

• 

  3 слайд

  Цели исследования:
  Связь тригонометрии с реальной жизнью.
  
  

• 

  4 слайд

  Проблемный вопрос
  1. Какие понятия тригонометрии чаще всего используются в реальной жизни?
  2. Какую роль играет тригонометрия в астрономии, физике, биологии и медицине?
  3. Как связаны архитектура, музыка и тригонометрия?
  
  

• 

  5 слайд

  Гипотеза
  Большинство физических явлений природы, физиологический процессов, закономерностей в музыке и искусстве можно описать с помощью тригонометрии и тригонометрических функций.
  

• 

  6 слайд

  Тригонометрия (от греч. trigonon – треугольник, metro – метрия) – микрораздел математики , в котором изучаются зависимости между величинами углов и длинами сторон треугольников, а также алгебраические тождества тригонометрических функций.
  Что такое тригонометрия???
  

• 

  7 слайд

  Зачатки тригонометрических познаний зародились в древности. На раннем этапе тригонометрия развивалась в тесной связи с астрономией и являлась ее вспомогательным разделом.
  

• 

  8 слайд

  История тригонометрии
  По звездам вычисляли местонахождение корабля в море.
  Древние люди вычисляли высоту дерева, сравнивая длину его тени с длиной тени от шеста, высота которого была известна.
  Истоки тригонометрии берут начало в древнем Египте, Вавилонии и долине Инда более 3000 лет назад.
  Слово тригонометрия впервые встречается в 1505 году в заглавии книги немецкого математика Питискуса.
  
  
  Впервые способы решения треугольников, основанные на зависимостях между сторонами и углами треугольника, были найдены древнегреческими астрономами Гиппархом и Птолемеем.
  

• 

  9 слайд

  Следующий шаг в развитии тригонометрии был сделан индийцами в период с V по XII в.
  В отличие от греков индийцы стали рассматривать и употреблять в вычислениях уже не целую хорду ММ соответствующего центрального угла, а только ее половину МР, т. е. синуса - половины центрального угла.
  Наряду с синусом индийцы ввели в тригонометрию косинус, точнее говоря, стали употреблять в своих вычислениях линию косинуса. Им были известны также соотношения cos=sin(90-) и sin2+cos2=r2, а также формулы для синуса суммы и разности двух углов.
  Сам термин косинус появился значительно позднее в работах европейских ученых впервые в конце XVI в.из так называемого «синуса дополнения», т.е. синуса угла, дополняющего данный угол до 90. «Синус дополнения» или ( по латыни) sinus complementi стали сокращенно записывать как sinus co или co-sinus.
  

• 

  10 слайд

  Ф.Виет
  В XVII – XIX вв. тригонометрия становится
  одной из глав математического анализа.
  Она находит большое применение в механике,
  физике и технике, особенно при изучении
  колебательных движений и других
  периодических процессов.
  О свойствах периодичности тригонометрических функций знал еще Виет, первые математические исследования которого относились к тригонометрии.
  
  Доказал, что всякое периодическое
  движение может быть
  представлено (с любой степенью
  точности) в виде суммы простых
  гармонических колебаний.
  

• 

  11 слайд

  Леонард Эйлер
  Основоположник аналитической
  теории
  тригонометрических функций.
  Исключил из своих формул
  R – целый синус, принимая
  R = 1, и упростил таким
  образом записи и вычисления.
  
  Во «Введении в анализ бесконечных» (1748 г)
  трактует синус, косинус и т.д. не как
  тригонометрические линии, обязательно
  связанные с окружностью, а как
  тригонометрические функции, которые он
  рассматривал как отношения сторон
  прямоугольного треугольника, как числовые
  величины.
  
  Разрабатывает учение
  о тригонометрических функциях
  любого аргумента.
  

• 

  12 слайд

  В XIX веке продолжил
  развитие теории
  тригонометрических
  функций.
  
  Н.И.Лобачевский
  « Геометрические рассмотрения,- пишет Лобачевский,- необходимы до тех пор в начале тригонометрии, покуда они не послужат к открытию отличительного свойства тригонометрических функций… Отсюда делается тригонометрия совершенно независимой от геометрии и имеет все достоинства анализа».
  
  

• 

  13 слайд

  Стадии развития тригонометрии:
  
  
  Тригонометрия была вызвана к жизни необходимостью производить измерения углов.
  
  Первыми шагами тригонометрии было установление связей между величиной угла и отношением специально построенных отрезков прямых. Результат - возможность решать плоские треугольники.
  
  Необходимость табулировать значения вводимых тригонометрических функций.
  
  Тригонометрические функции превращались в самостоятельные объекты исследований.
  
  В XVIII в. тригонометрические функции были включены
  в систему математического анализа.
  
  

• 

  14 слайд

  Где применяется тригонометрия
  Тригонометрические вычисления применяются практически во всех сферах жизнедеятельности людей. Следует отметить применение в таких областях как: астрономия, физика, природа, биология, музыка, медицина и многие другие.
  

• 

  15 слайд

  Тригонометрия в астрономии
  Потребность в решении треугольников раньше всего обнаружилась в астрономии; поэтому, в течение долгого времени тригонометрия развивалась и изучалась как один из разделов астрономии.
  Значительных высот достигла тригонометрия и у индийских средневековых астрономов.
  Главным достижением индийских астрономов стала замена хорд
  синусами, что позволило вводить различные функции, связанные
  со сторонами и углами прямоугольного треугольника.
  Таким образом, в Индии было положено начало тригонометрии
  как учению о тригонометрических величинах.
  

• 

  16 слайд

  
  Составленные Гиппархом таблицы положений Солнца и Луны позволили предвычислять моменты наступления затмений (с ошибкой 1—2 ч). Гиппарх впервые стал использовать в астрономии методы сферической тригонометрии. Он повысил точность наблюдений, применив для наведения на светило крест нитей в угломерных инструментах — секстантах и квадрантах. Ученый составил огромный по тем временам каталог положений 850 звезд, разделив их по блеску на 6 степеней (звездных величин). Гиппарх ввел географические координаты — широту и долготу, и его можно считать основателем математической географии.
  (ок. 190 до н. э. — ок. 120 до н. э.)
  
  Гиппарх
  

• 

  17 слайд

  Достижения Виета в тригонометрии
  Полное решение задачи об определении всех элементов плоского или сферического треугольников по трем данным элементам, важные разложения sin пх и cos пх по степеням cos х и sinx. Знание формулы синусов и косинусов кратных дуг дало возможность Виету решить уравнение 45-й степени, предложенное математиком А. Рооменом; Виет показал, что решение этого уравнения сводится к разделению угла на 45 равных частей и что существуют 23 положительных корня этого уравнения. Виет решил задачу Аполлония с помощью линейки и циркуля.
  Решение сферических треугольников- одна из задач астрономии Вычислять стороны и углы любого сферического треугольника по трем подходящим образом заданным сторонам или углам позволяют следующие теоремы: (теорема синусов) (теорема косинусов для углов) (теорема косинусов для сторон)
  
  

• 

  18 слайд

  Тригонометрия в физике
  В окружающем нас мире приходится сталкиваться с периодическими процессами, которые повторяются через одинаковые промежутки времени. Эти процессы называются колебательными. Колебательные явления различной физической природы подчиняются общим закономерностям и описываются одинаковыми уравнениями. Существуют разные виды колебательных явлений, например:
  Механические колебания
  Гармонические колебания
  

• 

  19 слайд

  Гармонические колебания
  Гармоническое колебание — явление периодического изменения какой-либо величины, при котором зависимость от аргумента имеет характер функции синуса или косинуса. Например, гармонически колеблется величина, изменяющаяся во времени следующим образом:
  или
  
  Где х — значение изменяющейся величины, t — время, А — амплитуда колебаний, ω — циклическая частота колебаний,   — полная фаза колебаний, r  — начальная фаза колебаний.
  Обобщенное гармоническое колебание в дифференциальном виде x’’ + ω²x = 0.
  

• 

  20 слайд

  Механические колебания
  Механическими колебаниями называют движения тел, повторяющиеся точно через одинаковые промежутки времени. Графическое изображение этой функции дает наглядное представление о протекании колебательного процесса во времени.
  Примерами простых механических колебательных систем могут служить груз на пружине или математический маятник.
  

• 

  21 слайд

  Математический маятник
  На рисунке изображены колебания маятника, он движется по кривой, называемой косинусом.
  
  

• 

  22 слайд

  Траектория пули и проекции векторов на оси X и Y
  Из рисунка видно, что проекции векторов на оси Х и У соответственно равны
  υx = υo cos α
  υy = υo sin α
  

• 

  23 слайд

  Тригонометрия в природе
  Мы часто задаем вопрос «Почему мы иногда видим то, чего нет на самом деле?». Для исследования предложены следующие вопросы: «Как возникает радуга? Северное сияние?», «Что такое оптические иллюзии?» ,«Как тригонометрия может помочь найти ответы на эти вопросы?».
  

• 

  24 слайд

  Оптические иллюзии
  естественные
  смешанные
  искусственные
  

• 

  25 слайд

  Теория радуги
  Впервые теория радуги была дана в 1637 году Рене Декартом. Он объяснил радугу, как явление, связанное с отражением и преломлением света в дождевых каплях.
  Радуга возникает из-за того, что солнечный свет испытывает преломление в капельках воды, взвешенных в воздухе по закону преломления:
  
  sin α / sin β = n1 / n2
  где n1=1, n2≈1,33 – соответственно показатели преломления воздуха и воды, α – угол падения, а β – угол преломления света.
  

• 

  26 слайд

  Северное сияние
  Проникновение в верхние слои атмосферы планет заряженных частиц солнечного ветра определяется взаимодействием магнитного поля планеты с солнечным ветром.
  Сила, действующая на движущуюся в магнитном поле заряженную частицу называется силой Лоренца. Она пропорциональна заряду частицы и векторному произведению поля и скорости движения частицы.
  
  

• 

  27 слайд

  Многофункциональная тригонометрия
  Американские ученые утверждают, что мозг оценивает расстояние до объектов, измеряя угол между плоскостью земли и плоскостью зрения.
  
  К тому же в биологии используется такое понятие как синус сонный, синус каротидный и венозный или пещеристый синус.
  
  Тригонометрия играет важную роль в медицине. С ее помощью иранские ученые открыли формулу сердца - комплексное алгебраически-тригонометрическое равенство, состоящее из 8 выражений, 32 коэффициентов и 33 основных параметров, включая несколько дополнительных для расчетов в случаях аритмии.
  

• 

  28 слайд

  Тригонометрия и тригонометрические функции в медицине и биологии.
  Одно из фундаментальных свойств живой природы - это цикличность большинства происходящих в ней процессов.
  
  Биологические ритмы, биоритмы – это более или менее регулярные изменения характера и интенсивности биологических процессов.
  
  Основной земной ритм – суточный.
  
  Модель биоритмов можно построить с помощью тригонометрических функций.
  
  

• 

  29 слайд

  Тригонометрия в биологии
  Тригонометрия играет важную роль в медицине. С ее помощью иранские ученые открыли формулу сердца - комплексное алгебраически-тригонометрическое равенство, состоящее из 8 выражений, 32 коэффициентов и 33 основных параметров, включая несколько дополнительных для расчетов в случаях аритмии.
  Биологические ритмы, биоритмы связаны с тригонометрией.
  
  Какие биологические процессы связаны с тригонометрией?
  

• 

  30 слайд

  Связь биоритмов с тригонометрией
  Модель биоритмов можно построить с помощью графиков тригонометрических функций.
  
  Для этого необходимо ввести дату рождения человека ( день, месяц, год ) и длительность прогноза.
  

• 

  31 слайд

  Движение рыб в воде происходит по закону синуса или косинуса, если зафиксировать точку на хвосте, а потом рассмотреть траекторию движения.
  При плавании тело рыбы принимает форму кривой, которая напоминает график функции y=tgx.
  Тригонометрия в биологии
  
  

• 

  32 слайд

  При полёте птицы траектория взмаха крыльев образует синусоиду.
  

• 

  33 слайд

  Возникновение музыкальной гармонии
  Согласно дошедшим из древности преданиям, первыми, кто попытался сделать это, были Пифагор и его ученики.
  
  Частоты, соответствующие
  одной и той же ноте в первой, второй и т.д. октавах, относятся, как 1:2:4:8…
  
  диатоническая гамма 2:3:5
  
  

• 

  34 слайд

  У музыки есть своя геометрия
  Тетраэдр из различных типов аккордов четырех звуков:
  
  синий – малые интервалы;
  более теплые тона - более «разряженные» звуки аккорда; красная сфера- наиболее гармоничный аккорд с равными интервалами между нотами.
  
  
  

• 

  35 слайд

  
  С
  
  А
  
  Н
  
  РИС. 1
  
  С
  РИС. 2
  
  
  Н
  cos2 С + sin2 С = 1
  АС – расстояние от верха статуи до глаз человека,
  
  АН – высота статуи,
  
  sin С - синус угла падения взгляда.
  А
  

• 

  36 слайд

  Детская школа Гауди в Барселоне
  Тригонометрия в архитектуре
  

• 

  37 слайд

  Страховая корпорация Swiss Re
  в Лондоне
  x = λ
  y = f(λ)cos θ
  z = f(λ)sin θ
  

• 

  38 слайд

  Феликс Кандела
  Ресторан в Лос-Манантиалесе
  [adcos(t) + ddt , bdsin(t), cdt + edt2]
  

• 

  39 слайд

  Заключение
  Выяснили, что тригонометрия была вызвана к жизни необходимостью производить измерения углов, но со временем развилась и в науку о тригонометрических функциях.
  
  Доказали, что тригонометрия тесно связана с физикой, встречается в природе, музыке, астрономии и медицине.
  
  Думаем, что тригонометрия нашла отражение в нашей жизни, и сферы, в которых она играет важную роль, будут расширяться.
  
  
  

• 

  40 слайд

  Тригонометрия прошла длинный путь развития. И теперь, мы можем с уверенностью сказать, что тригонометрия не зависит от других наук, а другие науки зависят от тригонометрии.
  Заключение
  

• 

  41 слайд

  Использованные материалы
  Маслова Т.Н. «Справочник школьника по математике»
  Программа Maple6, реализующий изображение графиков
  «Википедия»
  Учеба.ru
  Math.ru «библиотека»
  История математики с Древнейших времен до начала XIX столетия в 3-х томах// под ред. А. П. Юшкевича. Москва, 1970г. – том 1-3 Э. Т. Бэлл Творцы математики.
  Предшественники современной математики// под ред. С. Н. Ниро. Москва,1983г. А. Н. Тихонов, Д. П. Костомаров.
  Рассказы о прикладной математике//Москва, 1979г. А. В. Волошинов. Математика и искусство// Москва, 1992г. Газета Математика. Приложение к газете от 1.09.98г.