Ученическая презентация к уроку "Применение производной"

• 1 слайд

  практическое применение производной
  
  Учащиеся 10 А Класса
  Мбоу Сош № 15 Г. Мичуринска
  

• 2 слайд

  «…Нет ни одной области в математике, которая когда-либо не окажется применимой к явлениям действительного мира…»
  
  Н.И. Лобачевский
  

• 3 слайд

  Применение производной в физике
  

• 4 слайд

  Производная в физике:
  Скорость материальной точки
  Мгновенная скорость как физический смысл производной
  Мгновенное значение силы переменного тока
  Мгновенное значение ЭДС электромагнитной индукции
  Максимальная мощность
  
  
  
  
  

• 5 слайд

  Пусть зависимость пути s от времени t в данном прямолинейном движении
  материальной точки выражается уравнением s = f(t) и t0 -некоторый
  момент времени. Рассмотрим другой момент времени t, обозначим ∆t = t - t0 и вычислим приращение пути:∆s = f(t0 + ∆t) - f(t0). Отношение ∆s / ∆t называют средней скоростью движения за
  время ∆t, протекшее от исходного момента t0. Скоростью
  называют предел этого отношения при ∆t → 0.
  Среднее ускорение неравномерного движения в интервале (t; t + ∆t) - это
  величина <a>=∆v / ∆t. Мгновенным ускорением материальной
  точки в момент времени t будет предел среднего ускорения:
  
  То есть первая производная по времени (v'(t)).
  
  Скорость материальной точки
  

• 6 слайд

  
  Задача. Зависимость пройденного телом пути от времени задается уравнением:
  s = A+Bt + Ct2 +Dt3 (C = 0,1 м/с, D = 0,03 м/с2).
  Определить время после начала движения, через которое ускорение тела будет равно 2 м/с2.
  Решение:
  v(t) = s'(t) = B + 2Ct + 3Dt2;
  a(t) = v'(t) = 2C + 6Dt = 0,2 + 0,18t = 2;
  1,8 = 0,18t; t = 10 c
  Пример решения задач
  

• 7 слайд

  Физический смысл производной x`(t) от непрерывной функции x(t) в точке t0 – есть мгновенная скорость изменения величины функции, при условии, что изменение аргумента Δt стремится к нулю.
  Мгновенная скорость (величина пути, пройденного за мгновение) и есть производная величина от функции, описывающей путь самолёта по времени. Мгновенная скорость - это и есть физический смысл производной
  Мгновенная скорость как физический смысл производной
  

• 8 слайд

  Согласно закону электромагнитной индукции:
  
  
  Например, при равномерном вращении проводящего контура площадью S в однородном магнитном поле с индукцией B c угловой скоростью магнитный поток, пронизывающий данный контур, изменяется по закону
  
  Тогда
  
  
  
  Мгновенное значение ЭДС электромагнитной индукции
  

• 9 слайд

  
   
  
  Например, при электромагнитных колебаниях, возникающих в колебательном контуре заряд на обкладках конденсатора изменяется
  по закону
  
  
  Тогда
  
  
  
  
  
  
  Мгновенное значение силы переменного тока
  
  
  

• 10 слайд

  Мощность тока
  Известно, что функция имеет экстремум (max или min) в точке в которой ее производная равна нулю. В данном случае
  
   
  Из решения полученного уравнения следует, что максимальная мощность при нагрузке может быть достигнута, если ее сопротивление R равно внутреннему сопротивлению источника тока r. Т.е.
  
  
  
  Максимальная мощность
  

• 11 слайд

  Решение
  задач
  
  

• 12 слайд

  Задача. Вычислить количество теплоты, которое необходимо для того, чтобы нагреть 1 кг вещества от 0 градусов до t градусов (по Цельсию).
  Теплота
  

• 13 слайд

  Решение
  Пусть Q=Q(t).
  Рассмотрим малый отрезок [t; t+t],
  на этом отрезке
  Q=c(t) • t
  c(t)= Q/t
  При t0 lim Q/t =Q′(t)
  t0
  c(t)=Q′(t)
  

• 14 слайд

  Заряд
  Задача. Вычислить силу тока I, который несет на себе заряд, заданный зависимостью q=qm cos ω0t (Кл) через поперечное сечение проводника.
  

• 15 слайд

  Таким образом, применение производной довольно широко. В связи с быстрой эволюцией вычислительных систем, дифференциальное исчисление становится всё более актуальным в решении как простых, так и сверхсложных задач.
  

• 16 слайд

  Производная в химии.
  

• 17 слайд

  Производную в химии используют для определения очень важной вещи – скорости химической реакции, одного из решающих факторов, который нужно учитывать во многих областях
  научно-производственной деятельности .
  
  
  
  
  
  Как используют производную в химии?
  

• 18 слайд

  Например, инженерам-технологам при определении эффективности химических производств, химикам, разрабатывающим препараты для медицины и сельского хозяйства, а также врачам и агрономам, использующим эти препараты для лечения людей и для внесения их в почву. Одни реакции проходят практически мгновенно, другие идут очень медленно. Поэтому в реальной жизни для решения производственных задач в медицинской, сельскохозяйственной и химической промышленности просто необходимо знать скорости реакций химических веществ.
  

• 19 слайд

  
  Скоростью химической реакции в химии называется изменение концентрации реагирующих веществ в единицу времени или
  производная от концентрации реагирующих веществ по времени (на языке математики концентрация была бы функцией, а время – аргументом)
  Определение
  

• 20 слайд

  Если P(t) – закон изменения количества вещества, вступившего в химическую реакцию, то скорость v(t) химической реакции в момент времени t равна производной:
  
  
  V (t) = p ‘(t)
  Формула производной в химии
  

• 21 слайд

  Пусть количество вещества, вступившего в химическую реакцию задается зависимостью:
  р(t) = t2/2 + 3t –3 (моль)
  Найти скорость химической реакции через 3 секунды.
  
  
  
  
  
  Пример задачи по химии:
  

• 22 слайд

  Решение:
  р(t) = t2/2 + 3t –3 (моль)
  1. Найдем производную функции:
  Р’(t) = t +3
  2. Подставим значение t = 3 сек:
  P’(3) = 3 + 3 = 6 (моль/сек )
  Ответ: 6
  

• 23 слайд

• 24 слайд

  Заключение
  Понятие производной очень важно в химии при определении скорости течения реакции.
  

• 25 слайд

  Использование производной
  В экономике
  25
  Использование производной в экономике
  

• 26 слайд

  Цели и задачи работы
  Изучить экономический смысл углового коэффициента
  Увидеть приложение производной в экономической теории
  Прорешать задачи с помощью производной.
  26
  

• 27 слайд

  Производная и ее связь с экономикой
  
  Экономика – основа жизни, а в ней важное место
  занимает дифференциальное исчисление- аппарат для экономического анализа. Базовая задача экономического анализа- изучение связей экономических величин в виде функций.
  
  
  27
  

• 28 слайд

  Производная решает важные вопросы.
  В каком направлении изменится доход государства при увеличении налогов или при введении таможенных пошлин?
  Увеличится или уменьшится выручка фирмы при повышении цены на ее продукцию?
  Для решения этих вопросов нужно построить функции связи входящих переменных , которые затем изучаются методами дифференциального исчисления.
  Также с помощью экстремума функции( производной) в экономике можно найти наивысшую производительность труда, максимальную прибыль , максимальный выпуск и минимальные издержки.
  Поэтому , производная важна для экономики, и мы рассмотрим основные аспекты.
  28
  

• 29 слайд

  Экономическое приложение производной
  В экономической теории используется понятие «маржинальный», то есть «предельный». Введение понятия в XIX веке позволило создать новый инструмент описания экономических явлений,посредством которого стало возможно решать научные проблемы. Экономическая теория Смита имела дело со средними величинами: средняя цена, средняя производительность труда . Но сложился иной подход. Существенные закономерности можно обнаружить и в области предельных величин. Предельные величины характеризуют не состояние , а изменение экономического объекта. Следовательно , производная выступает как интенсивность изменения экономического объекта.
  29
  

• 30 слайд

  Рассмотрим ситуацию: пусть y - издержки
  производства, а х - количество продукции, тогда x1- прирост продукции, а y1 - приращение издержек производства.
  В этом случае производная выражает предельные издержки производства и характеризует приближенно дополнительные затраты на производство дополнительной единицы продукции.
  
  
  Где:
  MC - предельные издержки (marginal costs);
  TC - общие издержки (total costs);
  Q - количество.
  
  30
  Решение задач. №1
  

• 31 слайд

  № 2. Производительность труда
  Через производную можно определить и производительность труда:
  Пусть функция u = u(t) выражает количество произведенной продукции u за время t. Необходимо найти производительность труда в момент tο.
  За период времени от tο до tο + Δt количество произведенной продукции изменится от значения uο = u(tο) до значения uο + Δu = u(tο + Δt). Тогда
  средняя производительность труда за этот период времени Zср = Δu :Δt. Очевидно, что производительность труда в момент tο можно определить как предельное значение средней производительности за период времени от tο до tο + Δt при Δt → 0, т.е.
  z = lim Zср = lim Δu/Δt = u'(t) при Δt→0
  
  31
  

• 32 слайд

  Задача по экономической теории.
  Предприятие производит Х единиц некоторой однородной продукции в месяц. Установлено, что зависимость финансовых накопления предприятия от объема выпуска выражается формулой f(x)=-0,02x^3+600x -1000. Исследовать потенциал предприятия.
  
  Функция исследуется с помощью производной. Получаем, что при Х=100 функция достигает максимума.
  
  Вывод: финансовые накопления предприятия растут с увеличением объема производства до 100 единиц, при х =100 они достигают максимума и объем накопления равен 39000 денежных единиц. Дальнейший рост производства приводит к сокращению финансовых накоплений.
  
  Таким образом , задачи ,решаемые с помощью производной, широко используются в производстве.
  
  32
  

• 33 слайд

  Предельный анализ в экономике. Эластичность функций
  Применение производной в экономике позволяет получать так называемые предельные характеристики экономических процессов.
  Анализ состояния и изменения экономического объекта - проблема, стоящая перед специалистами в этой области. Цель этого исследования - рассмотреть примеры применения предельных характеристик экономических процессов с помощью производной.
  
  Эластичность функции. Пусть дана функция y = f(x), для которой существует производная y' =f(x) .Эластичностью функции y = f(x) относительно переменной x называют предел Ex (y) = x / y = .
  Эластичность относительно x -процентный прирост функции ,  соответствующий приращению независимой переменной на 1%.
  33
  

• 34 слайд

  Производственные издержки
  Производственные издержки - это денежное выражение затрат производственных факторов, используемых в производстве и реализации.
  Они бывают:
  постоянные - не зависимые от объема и структуры производства.
  переменные -  зависят от объема производства.
   Средние или удельные - на единицу продукции
  Предельные или маржинальные - это отношение прироста переменных издержек к вызванному ими приросту продукции.
  34
  

• 35 слайд

  Ценовая эластичность спроса.
  Реакция величины спроса на изменение цены товара – это ценовая эластичность спроса.
  Спрос эластичен по цене, если процентное изменение объема спроса превышает процентное изменение цены. Если процентное изменение объема спроса отстает от процентного изменения цены, то спрос по цене неэластичен. Например, если все сорта растительного масла подорожают на 49 %, а объем спроса снизится только на 19%, то спрос на растительное масло неэластичен по цене.
  При эластичном спросе доход продавца и цена товара изменяются в противоположных направлениях.
  35
  

• 36 слайд

  Неэластичный спрос
  Если спрос на товар неэластичен, цены и доход изменяются в одном направлении.  Данные величины измеряются формулой:
  где ЕрD - эластичность спроса по цене;
  ДQd - относительное изменение спроса (в процентах);
  ДP - относительное изменение цены (в процентах).
  где Q1 , Q0 - величина спроса до и после изменения цены;
  P1 , P0 - цена до и после изменения.  ЕрD берут по модулю.
  С увеличением цены объем спроса снижается.
  36
  

• 37 слайд

  Дополнительно.
  Информация о эластичности или неэластичности спроса на товар очень важна для предпринимателей, целью которых является увеличение дохода, или выручки от продажи товара, которую можно подсчитать, умножив цену одной единицы товара на количество реализованных товаров: Y = P*Q .
  Где Y - доход, или выручка от продажи товаров, P - цена единицы товара, Q - количество проданного товара.
  37
  

• 38 слайд

  Ценовая эластичность предложения
  ценовая эластичность предложения- это реакция на изменение цены со стороны производителей. Эластичность предложения определяет степень реагирования производителей различной продукции на цены.
  Ценовая эластичность предложение показывает, на сколько изменится в З процентом соотношении величина предложения при изменении цены товара (услуги) на 1%.
  Предложение эластично, если при изменении цены на 1% его объем изменится более чем на 1%
  Например, при повышении цены на мороженое на 10 % величина предложения его вырастет на 15%
  Предложение неэластично, если при изменении цены товара на 1 % объем его предложения изменится менее чем на 1 %.
  Например, если цена на нефть вырастет на 40 % , а объем предложения увеличится на 32 %
  
  38
  

• 39 слайд

  Формула для расчета Ц.Э.П.
  Показатель (коэффициент) ценовой эластичности предложения рассчитывается по формуле:
  
  где ∆Q – изменение величины предложения товара;
  ∆р – изменение цены товара
  
  Если  ЕрS >1, то предложение эластично по цене т. е. величина предложения гибко реагирует на изменение цены
  Если  ЕрS = 1, то предложение с единичной эластичностью
  Если ЕрS < 1, то предложение неэластично по цене.
  
  
  39
  

• 40 слайд

  Вывод: Экономическое приложение производной помогает как экономистам и бизнесменам, так и обычным гражданам в распоряжении бюджетом.
  40
  

• 41 слайд

  Применение производной в географии
  

• 42 слайд

  Задача :
  Вывести формулу для вычисления численности населения на ограниченной территории в момент времени t.
  Рост численности населения
  ЭТО Я
  ЭТО Я
  ЭТО Я
  ЭТО Я
  ЭТО Я
  ЭТО Я
  

• 43 слайд

  N (t) = у ‘(t)
  Решение:
  

• 44 слайд

  Формулы, где используется производная.
  
  υ(t) = х/(t) – скорость
  a (t)=υ/ (t) - ускорение
  J (t) = q/(t) - сила тока
  C(t) = Q/(t) - теплоемкость
  d(l)=m/(l) - линейная плотность
  K (t) = l/(t) - коэффициент линейного расширения
  ω (t)= φ/(t) - угловая скорость
  а (t)= ω/(t) - угловое ускорение
  N(t) = A/(t) - мощность
  П (t) = υ / (t) - производительность труда,
  где υ (t) - объем продукции
  J(x) = y / (x) - предельные издержки производства,
  где y– издержки производства в зависимости от объема выпускаемой продукции x.
  
  

• 45 слайд

  Дифференциальное исчисление- это описание окружающего нас мира, выполненное на математическом языке. Производная помогает нам успешно решать не только математические задачи, но и задачи практического характера в разных областях науки и техники
  

• 46 слайд

  Производная функции используется всюду, где есть неравномерное протекание процесса: это и неравномерное механическое движение, и переменный ток, и химические реакции и радиоактивный распад вещества и т.д.
  Мы убедились в важности изучения темы "Производная", ее роли в исследовании процессов науки и техники, в возможности конструирования по реальным событиям математические модели, и решать важные задачи.
  

• 47 слайд

  Информационные источники:
  http://ru.wikipedia.org/wiki/Экономический_смысл_производной
  http://masteroid.ru/content/view/1582/42/
  http://ru.wikipedia.org/wiki/Математика
  http://www.bestreferat.ru/referat-46695.html
  http://nsportal.ru/shkola/algebra/library/primenenie-proizvodnoy-v-drugih-naukah