Ученический проект. Векторы в профессиях.

МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА № 46

ГОРОДА ТВЕРИ

Учебный проект по математике

ВЕКТОРЫ В ПРОФЕССИОНАЛЬНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ

Выполнил

Перетятый Михаил Тарасович

Ученик 10 класса

Руководитель

Машкова Евгения Григорьевна

Учитель математики

Тверь 2023

ОГЛАВЛЕНИЕ.

Введение –                                                                                       3

Глава 1

1.     История возникновения -                                                     4

2.     Векторы в геометрии –                                                         5

3.     Векторы в физике –                                                               8

4.     Герман Грассман –                                                                9

5.     Джеймс Клерк Максвелл –                                                  11

6.     Векторы в других науках -                                                  12

Глава 2

1.     Векторы в профессиональных деятельностях –                15

1.1   Инженерные профессии –                                                   15

1.2   Логистические профессии –                                               18

1.3   Проблемы данных профессий –                                         20

Заключение -                                                                                  23

Список литературы –                                                                   24

Введение

Люди не часто задумываются о значении векторов в профессиях. Многие воспринимают как геометрическую величину, но их использование мы можем заметить также и в химии, и в биологии. Слово вектор входит в повседневную жизнь многих людей, чья работа так или иначе связана с этим понятием.

Актуальность – вектор очень интересный объект, сочетающий в себе два аспекта скалярную величину (длину) и направление. Этой темой я занимаюсь второй год и могу утверждать, что векторы окружают нас повсюду. Продолжая изучение данной темы, я хочу познакомиться с профессиональной деятельностью людей, где темы «Векторы» надо знать очень хорошо. Сейчас для нас актуален выбор сферы деятельности и дальнейшее обучение, поэтому знакомство с некоторыми интересными профессиями и практическим применением векторов будет полезным и интересным.

Цель - изучение применения понятия «вектор» в разного рода профессиях.

Задачи проекта:

- обобщить знания о векторах;

- использование векторов на примере задач по физике и геометрии;

- знакомство с использованием векторов в различных сферах деятельности.

- использование векторов на примере задач для разных типов профессий.

Объект - векторы.

Предмет - использование векторных величин в различных сферах деятельности.

Гипотеза - вектор не заменим как инструмент изучения других наук и широко применяется в профессиональной деятельности.

Аудитория - учащиеся 8-11 классов.

Глава 1

История возникновения понятия «вектор».

Одним из самых известных понятий в математике является вектор.    Вектор относительно новое математическое понятие. Сам термин «вектор» впервые появился в 1845 году у ирландского математика и астронома Уильяма Гамильтона (1805 – 1865) в работах по построению числовых систем, обобщающих комплексные числа. Гамильтону принадлежат и термин «скаляр», «скалярное произведение», «векторное произведение». Почти одновременно с ним исследования в том же направлении, но с другой точки зрения вёл немецкий математик Герман Грассман (1809 – 1877). Англичанин Уильям Клиффорд (1845 – 1879) смог объединить два подхода в рамках общей теории, включающий в себя и обычное векторное исчисление. А окончательный вид оно приняло в трудах американского физика и математика Джозайи Уилларда Гиббса (1839 – 1903), который в 1901 году опубликовал обширный учебник по векторному анализу. Конец прошлого и начало текущего столетия ознаменовались широким развитием векторного исчисления и его приложений. Были введены векторная алгебра и векторный анализ, общая теория векторного пространства. Эти теории были использованы при построении специальной и общей теории относительности, которые играют исключительно важную роль в современной физике.

Интуитивно вектор понимается как объект, имеющий величину, направление и точку приложения. Зачатки векторного исчисления появились вместе с геометрической моделью комплексных чисел (Гаусс, 1831).

                                     Векторы в геометрии

Векторы - от латинского vector «несущий». Это математический объект, характеризующийся величиной и направлением. В геометрии вектор — направленный отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек является началом, а какая — концом. (рис.1.)

Векторы также могут обозначаться малыми латинскими буквами со стрелкой (иногда — чёрточкой) над ними. Другой распространённый способ записи - выделение символа вектора жирным шрифтом.

Вектор в геометрии, естественно, сопоставляется переносу (параллельному переносу), что проясняет происхождение его названия (от латинского vector, несущий).

Рисунок 1. Пример обозначения вектора.

Длина вектора –  то и есть длина этого отрезка. Для обозначения длины вектора используются две вертикальные линии по обоим сторонам: |AB|.

Отдельными точками плоскости, пространства удобно считать нулевым вектором. Длина нулевого вектора, или его модуль равен нулю.

Векторы называются колинеарными, только при условии, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых (рис. 2.). Векторы a, b, d коллинеарны друг другу. Вектор c не коллинеарен ни одному другому. Если совсем просто, то коллинеарность – это параллельность векторов.

Рисунок 2. Коллинеарность векторов. (где k || m, a=d=b)

Коллинеарные векторы могут быть сонаправлены, как a и b, или противоположно направлены, как d и b. Обозначаются двумя стрелочками в одну или разные стороны. Существуют также и противоположные векторы – это векторы, у которых модули равны, а направления противоположны, на рисунке ими являются векторы a и d.

Поскольку векторы определяются двумя характеристиками – модулем и направлением, то они будут равны, если у них совпадают оба эти параметра. То есть, равными будут векторы, у которых равны длины и которые также являются сонаправленными.

Компланарные векторы - это те векторы, которые при откладывании от одной точки будут лежать в одной плоскости. (рис. 3.). Таким образом, компланарные векторы используются для определения длины диагонали параллелепипеда например.

Рисунок 3. Компланарные вектора.

Вектором можно…

Складывать. Суммой векторов называется вектор, получившийся после ряда последовательных сложений: к вектору прибавляется вектор, к полученному вектору прибавляется ещё вектор и т.д. Такими действиями характеризуется так называемое правило треугольника или, как его ещё называют, правило цепи.

Для любых векторов справедливы неравенства переместительного и сочетательного законов.

Умножение вектора на число.

Для векторов существует три вида умножения векторов: скалярное и векторное произведение двух векторов, а также смешанное произведение трёх векторов. Результатом первого и последнего есть число, а результатом векторного произведения - вектор.(Рис. 4.)

Рисунок 4. Произведение вектора на число.

А теперь решим задачу.

Доказать, что прямая, проведённая через середины оснований трапеции, проходит через точку пересечения продолжений боковых сторон.

Решение:

Пусть ABCD-данная трапеция, M и N середины оснований BC и AD, а  О - точка пересечения прямых AB и CD. Докажем, что точка О лежит на прямой MN.

Треугольники OAD и OBC подобны по первому признаку подобия треугольников. Поэтому OA:OB=OD:OC=k.

Так как вектор OB сонаправлен с вектором OA и вектор OC сонаправлен с вектором OD, то вектор OA=k*OB, OD=k*OC.(1)

Точка М - середина отрезка ВС, поэтому вектор ОМ=0.5(ОВ+ОС). Аналогично ON=0.5 (OA+OD). Подставив в это равенство выражения (1) для векторов ОА и ОD, получим: OD = k (OB+OC)= k*OM.

Отсюда следует, что векторы ON и OM коллинеарны, и, значит, точка О лежит на прямой МN.

Векторы в физике

Векторы - один из наиглавнейших инструментов в физике и математике. С помощью векторов формулируются основные законы механики и электродинамики. Чтобы понимать физику нужно так или иначе ознакомится и научится работать с векторами. В физике, как и в математике, вектор - это величина, основными характеристиками которой являются численное значение и направление. В физике встречается большое количество важных величин, являющихся векторами, например, сила, положение, скорость, ускорение, импульс напряжённость электрического и магнитного полей. Или при формировании законов, к примеру, сила тяжести (притяжения) всегда действует в направлении центра Земли. (рис.5.)

Рисунок 5. Направление силы тяжести.

Хотелось бы отметить, что векторы являются важной частью при изучении этой науки.

Задача.

Тело массой m=10 кг движется по наклонной плоскости с углом наклона a=30 градусов. Найдите проекцию силы тяжести на ось Ох.

Решение.

           Проекция силы тяжести на ось Ох вычисляется по формуле:

 mg*sin a = 10кг*10 Н/кг*0.5=50 Н

проекция положительна, т.к. тело движется сонаправленно с осью Ох.

Ответ: 50

Герман Грассман

Немецкий физик, математик, филолог и языковед. (1809-1877) (Рис.6.)

В области физики уважаемому Грассману принадлежат работы по акустике, протяжённости и магнитному взаимодействию токов. Идеи Грассмана об абстрактных векторных пространствах привели его к открытию важного учения - возможности рассматривать цветовые ощущения как трёхмерные векторы, что лежит в основе современного представления о свете с помощью параллельного переноса. Например чёрный цвет имеет координаты 0,0,0, каждому цвету можно поставить в соответствие координаты точки трёхмерного пространства. И несмотря на то, что он жил в далёком 19-ом веке его учение до сих пор рассматривают как одино из основных учений о цветах.

 Параллельный перенос является движением, т.е. отображением плоскости на себя, сохраняющим расстояния. Например, пусть вектор а -данный вектор. Параллельным переносом  на вектор а называется отображение плоскости на себя, при котором точка М отображается в такую точку М1, что вектор ММ1 равен вектору а.

 

Рисунок.6. Параллельный перенос.

Представление вектора, как параллельного переноса, позволяет естественным и интуитивно очевидным способом ввести операцию сложения векторов - как композиции (последовательного применения) двух (или нескольких) переносов; то же касается и операции умножения вектора на число.

Первый учёный, который стал применять параллельный перенос - Фалес Милетский, эллинский профессор. Он использовал параллельный перенос для доказательства своей теоремы, она получила имя в его честь.

На рисунке 7 изображены два одинаковых колеса тепловоза. Радиусы О1А и О1В равны. Стержень АВ, длина которого равна расстоянию О1О2 между центрами колёс, передаёт движение от одного колеса к другому. Докажите, что отрезки АВ и О1О2 либо параллельны, либо лежат на одной прямой.

Рисунок. 7. Два одинаковых колеса тепловоза.

Дано: О1А=О2В; АВ=О1О2

Доказать: АВ параллельно О1О2

Доказательство: так как О1А=О2В, АВ=О1О2, следовательно АВО1О2-параллелограмм. Значит по свойству параллелограмма АВ параллельно О1О2

АH=h-высота параллелограмма, R<h<0, где R- радиус колеса

Если h=R, то АВО1О2-прямоугольник;

Если h=0, то АВ и О1О2-лежат на одной прямой.

Такие задачи предложены для решения в 7 классе. Мы встречали параллельный перенос ещё до нашего знакомства с ним.

Данный вид движения очень полезен для решения задач различного вида сложности на построение, а значит применяется в инженерных специальностях.

Рисунок 7. Герман Гюнтер Грассман.

Джеймс Клерк Максвелл

Джеймс Клерк Максвелл (1831 - 1879) был ученым шотландских корней, который специализировался в области математической физики и чей вклад отмечен до и после в истории этой науки. (Рис.7.)

Считается, что он был одним из наиболее важных ученых, которые имели записи, был признан специально для формулировки теории электромагнитного излучения. Его идея заложила основы, на которых строится известное сегодня радио. Кроме того, этот физик также разработал теории о причине устойчивости колец Сатурна, одной из планет Солнечной системы, он работал с кинетикой газов и, как известно, был первым, кто напечатал цветную фотографию.

Открытия Клерка Максвелла внесли вклад в фундамент современной физики. Многие эксперты в этой области считают его ученым 19-го века, оказавшим наибольшее влияние в области физики ХХ века.

 Вклад, который он внес в научную область, считается с той же степенью важности, что и вклад Исаака Ньютона и Альберта Эйнштейна.

Рисунок 8. Джеймс Клерк Максвелл.

Векторы в других науках

Векторы используются везде, даже в тех областях, где мы их не замечаем, например:

В литературе: можно вспомнить басню Ивана Андреевича Крылова о том, как «Лебедь рак и щука везти с поклажей воз взялись». Басня рассказывает, что «воз и ныне там», иначе говоря, он никуда не сдвинулся или говоря математическим языком равнодействующая всех сил, приложенных к возу, равна нулю. Ну и, как известно, сила является векторной величиной.

В химии. Нередко даже великими учеными была предложена мысль, что химическая реакция является вектором. Вообще-то, под понятие «вектор» также возможно подвести любое явление. Вектором обозначают действие или явление, имеющее чёткую направленность в пространстве и в конкретных условиях, отражаемое его величиной. Направление вектора в пространстве определяется углами, образующимися между вектором и координатными осями, а длина (величина) вектора - координатами его начальной точки и конечной. Тем не менее, утверждение о том, что химическая реакция является вектором, до сих пор было неточно. Однако, основой этого утверждения служит правило: «Любой химической реакции отвечает симметричное уравнение прямой в пространстве с текущими координатами в виде количеств веществ (молей), масс или объёмов». До таких глубин изучения химии нам пока далеко, но я посчитал нужным обратить ваше внимание на современные взгляды учёных.

В биологии. Вектором именуется организм, переносящий паразита от одного организма-хозяина к другому. К примеру, вши переносят возбудителей сыпного тифа, крысы-чумы. Вектор (в генетике) - молекула нуклеиновой кислоты, чаще всего ДНК, потребляемая в генетической инженерии для передачи генетического материала другой клетке.

В экономике. В высшей математике одним из разделов является линейная алгебра. Элементы линейной алгебры широко применяются при решении разного рода задач экономического характера. Среди них важное место занимает понятие вектора. Вектор представляется как упорядоченная  последовательность чисел. Числа в векторе при учете их расположения по номеру в последовательности называются компонентами вектора. Стоит отметить, что векторы можно рассматривать в качестве элементов любой природы, в том числе и экономической. Предположим, что некоторая текстильная фабрика должна выпустить за одну смену 30 комплектов постельного белья, 150 полотенец, 100 домашних халатов, следовательно, программу производства фабрики можно представить в виде вектора, где всё, что должна выпустить фабрика - это трёхмерный вектор.

В психологии. В настоящее время имеется огромное количество информационных источников для самопознания, направлений психологии и саморазвития. И не сложно заметить, что возрастает популярность такого необычного направления, как системно-векторная психология, в ней существует 8 векторов. Системно-векторная психология определяется не как отрасль классической психологии или определённое течение, а как отдельная наука изучения типологии личности. Вектор в психологии является симбиозом физиологических и психологических качеств человека. Иначе говоря, это характер, темперамент, здоровье и привычки индивида.

Мы рассмотрели, что векторы, помимо точных наук, встречаются нам каждый день, то есть повседневно. Векторы -своеобразные указатели, что помогают нам быстро разыскать тот или иной объект, отдел и сэкономить время, или стрелки дорожных знаков.

Глава 2

Векторы в профессиональной деятельности.

Так как векторы используются в разного вида науках, логично предположить, что векторы также используются и в профессиях, связанных с этими науками. Мы определили, что векторы используются также для моделирования различных процессов и явлений. Следовательно, это понятие потребуется для освоения профессии строителя и архитектора, в самолётостроении, в судостроении, автомобилестроении, при конструировании транспорта также применяются векторы и их свойства.

Инженерные профессии

      Это обширная группа специалистов, позволяющая работать в одном из четырёх направлений: разработка, производство, монтаж или сервис сложных систем оборудования. Во всех этих профессиях, как при строительстве архитектуры, так и при машиностроении используется такое  понятие, как сопротивление материалов.

Сопротивление материалов – это раздел «Технической механики». Основной задачей сопротивления материалов является изучение инженерных методов расчета простейших элементов конструкций на прочность, жесткость и устойчивость.

Прочность – это способность элемента конструкции сопротивляться действию приложенных к нему внешних сил не разрушаясь.

Жесткость – это способность элемента конструкции не изменять размеры и форму, т.е. не деформироваться под действием внешних сил или деформироваться в пределах установленных норм (малые упругие деформации).

Устойчивость – это способность элемента конструкции сохранять первоначальную форму равновесия под действием приложенных сил.

Рисунок 9. Сопротивление материалов.

Таким образом, можно сказать, что любой инженер, который занимается конструированием, должен рассчитать сопротивление материалов. Соответственно данные расчёты так или иначе затрагивают векторы. Также векторы используются и в строительстве, дисциплине, которая является частью инженерной специальности. Важно, чтобы конструкции были долговечны и надёжны. Необходимо также, чтобы в эксплуатации механизмы были экономичны.

Важность знания векторов для их использующих профессий можно проиллюстрировать на примере: строитель неправильно закрепил груз, груз упал и привёл к травмам рабочих, на которых он упал. Таким образом можно сделать вывод, что любой строитель, не знающий как применять векторы, нарушает технику безопасности, что делает его потенциальным виновником в причинении травм или смерти по неосторожности.

К примеру, в строительных дисциплинах используются такие векторные величины как:

Материальная точка – это точка, обладающая массой. Материальной точкой можно считать любое материальное тело, если его размерами в данной конкретной задаче можно пренебречь. На рисунке 10 мы видим яркий пример, где солнце выступает в роли материальной точки, относительно которой вращается Земля.

 

Рисунок 10. Пример материальной точки.

Механической системой называется любая совокупность материальных точек.

 Статика  – это раздел механики, в котором изучаются условия равновесия механических систем под действием физических сил. Кроме этого в статике рассматривают также законы, по которым системы сил могут преобразовываться.

Будущие инженеры учатся создавать такие конструкции, которые при самых малых затратах будут достигать максимальной грузоподъёмности. Для построения механизмов необходимо учесть все нюансы и рассчитать действия сил, для этого используются векторы.

Сила, как известно, векторная величина, характеризуется числовым значением и направлением. То есть приходим к решению геометрических задач с помощью векторов.

Тем, кто мечтает получить инженерную специальность, необходимо понимать, что это не только увлекательная и творческая профессия, но и требующая качественных знаний по математике, в частности по геометрии.

                               Логистические профессии

Название данной группы профессий произошло от английского слова «logistics». Оно означает «обеспечение материально техническими ценностями», «снабжение». Представители направления отвечают за прохождение товаром сложного пути от производителя до конечного потребителя.

Например, в такой науке как судовождение используются векторы и их свойства для определения кажущегося ветра во время движения судна.                В штилевую погоду на судне, имеющего ход, всегда ощущается ветер, равный скорости судна. Он называется курсовой ветер и имеет направление, противоположное движению судна. Таким образом, на движущемся судне наблюдается кажущийся (вымпельный) ветер, его вектор равен геометрической сумме истинного и курсового ветров. Для того, чтобы определить направление ветра используется способ построения векторного треугольника.

Рисунок 11. Построение направления кажущегося (вымпельного) ветра.

Векторы понадобятся и портному для правильного составления выкроек одежды.

Вектор состояния в теории управления: вектор, содержащий полную информацию о состоянии системы. В судовождении он содержит переменные (навигационные параметры), описывающие местонахождение судна, его скорости, а также, иногда, его взаимодействие с окружающей средой (отношение глубины к осадке) и прочее.

Также векторы очень важны для такой профессии как логист, так как Логистика – совокупность организационно-управленческих и производственно-технологических процессов по эффективному обеспечению организации движения материальных и иных ресурсов, следовательно, логисты должны аккуратно прокладывать и рассчитывать пути, чтобы минимизировать затраты. Рассмотрим задачу:

Условие задачи: отливки из литейного цеха поступают на склад заготовок еженедельно в количестве 5т. Кроме того, на складе хранится как гарантийный двухнедельный запас отливок. Отливки плотностью 7,9 кг/дм3 хранятся на односторонних стеллажах размерами 0,6 х 4 м, высотой 2,0 м. коэффициент заполнения стеллажей по объёму – 0,5. Допустимая нагрузка на 1 кв.м пола – 2,5 т. Определите необходимую общую площадь для хранения отливок, если коэффициент её использования равен 0,9.

Решение задачи:

Определяем максимальный запас на складе:

Сзм = а + Т = 5+2*5 = 15 т;

Рассчитываем объём стеллажа:

V = 0,6*4*2 = 4,8 м3;

Определим расчётное количество стеллажей:

Крс = сзм/Vkq = 15/(4,8*0,5*7,9) = 1;

Принятое количество стеллажей:

Крс.п = Сзм/Sст*дн = 15/ (0,6*4) = 2,5; принимаем 3 стеллажа;

Полезная площадь:

Sпол = Sост*Крс = =0,6*4*3 = 7,2 кв.м;

Необходимая общая площадь:

S = Sпол / кисп = 7.2/0.9 = 8 кв.м.

Ответ: таким образом, необходимая общая площадь склада для хранения отливок составит 8 кв.м.

Данный пример поможет нам трезво оценить знания логистов, ведь задачи подобного рода каждый из них решает каждый день.

Проблемы данных профессий

У многих профессий, связанных с использованием векторов есть одна общая проблема - не многие люди осмеливаются пойти работать туда, ведь они считаются сложными и неинтересными для многих людей. Так считается потому что не многие люди углублялись в пристальное изучение данных профессий. Здесь приведены только некоторые примеры непопулярных профессий, однако их достаточно чтобы показать, как красивы сложные на первый взгляд места работы.

Авиадиспетчер – данная профессия является не популярной из-за того, что больше людей слышали, что это сложная профессия, а не интересная. Хотя задача данной профессии в том, чтобы самолёт безопасно вылетел из точки А и безопасно сел в точке Б. Именно поэтому многие авиадиспетчеры считают, что их профессия является от части творческой, ведь они могут сгенерировать одну и ту же ситуацию в голове по-разному. В одно и то же время на аэродром может заходить довольно большое количество воздушных судов и их надо выстроить в такую очередь, чтобы они, не мешая друг другу, зашли поочерёдно на место посадки. И красота заключается в том, что многие авиадиспетчеры придумывают нестандартные решения проблемы, и с точки зрения приборов может получаться достаточно красиво. На рисунке 12 показан один из примеров, какие красивые рисунки может сделать авиадиспетчер на своём радаре, для решения задачи посадки воздушных судов в одно и тоже время.

Рисунок 12. Радар авиадепечера.

Машинист метро – данная профессия является не популярной из-за того, что её считают однообразной, хотя это не так. Задача профессии – доставка поезда из точки А в точку Б с остановками в определённых местах за определённое количество времени. Данная работа интересна тем, что в метро есть своя романтика. Многие работники метрополитена считают, что метро – это особый подземный город с особым ритмом, который подходит не каждому. Многим просто нравится управлять поездом и следить за ним, другим интересно помогать людям и выполнять их доставку в срок.

Судоводитель. Если человек влюблён в море, читает книги и смотрит фильмы о морских путешествиях, он наверняка представляет себя будущим капитаном. Однако судоводитель - это не только капитан корабля, как многие думают. Чем взрослее человек, тем меньше он желает выбрать эту профессию. К сожалению, это может быть из-за того, что эта профессия не популярна потому что сложна или длительные выходы в море пугают людей или суровые будни мореплавателя. Судоводитель – представитель командного состава судна, один из помощников капитана, в его обязанности входит: управлять суднами различного типа, а также при необходимости осуществлять командование экипажем. Однако в настоящее время за штурвалом могут стоять только сильные мужественные и выносливые люди. Однако в море всегда присутствует своя романтика. Пребывая в рейсе, судоводитель посещает самые отдалённые уголки нашей планеты и познакомиться с культурой народов мира, что расширяет кругозор.

Рисунок 13. Капитанский мостик, место работы судоводителя.

Заключение.

Математика - это интереснейшая наука, в познании которой нет границ. Один из разделов математики посвящён векторам. В работе я показал, что векторы необходимы для изучения других наук, далёких от математики. Каждому человеку в жизни приходится сталкиваться с понятием вектора не только во время учёбы в школе или другом учебном заведении, но и в обыденной жизни, а возможно и в будущей профессии.

Так, многие специальности остаются незамеченными многими из нас, только потому, что мы не знаем их интересные стороны. Нам, десятиклассникам, тоже необходимо знать как можно больше о теории векторов.

 Задачу проекта я выполнил, рассказал о понятии вектор, показал некоторые науки, в которых используется понятие, затронул ряд специальностей, где необходимо знание вектора. Таким образом я подтвердил свою гипотезу о том, что вектор не заменим как инструмент изучения других наук и широко применяется в профессиональной деятельности. Результатом моей работы будет буклет о векторах в профессиях, соответственно мою работу можно будет использовать как профориентационную для учеников выпускных классов.

Список литературы:

1.                 Учебник геометрия 7-9 классы Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутусов, И.В. Кормильцев, Е.Г. Позняк, И.И. Юдина; издательство «Просвещение» 2016.

2.                 Геометрия задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ: 7-9 классы. Э.Н. Балаян. Изд. 7-е Ростов н/Д; «Феникс», 2015.

3.                 Учебно-методическое пособие «решение векторных задач средствами начертательной геометрии» В.В. Тарасов, Ю.И. Садовский, Е.А. Телеш, И.М. Шуберт. «Белорусский технический университет», 2017.

4.                 Учебное пособие «Сопротивление материалов» М.А. Витюнин, О.А. Чикова. Рекомендовано Ученым советом федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Уральский государственный педагогический университет» в качестве учебного издания (Решение № 326 от 10.12.2014 г.)

5.                 Учебное пособие «Организация службы и делопроизводство на судах морского флота» А.А. Аксёнов, Москва, Альтаир-МГАВТ 2013