Угол между векторами. Скалярное произведение векторов. Разложение вектора. Решение задач на действия с векторами.

• 1 слайд

  УГОЛ МЕЖДУ ВЕКТОРАМИ.
  СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ. РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРА.
  РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА ДЕЙСТВИЯ С ВЕКТОРАМИ.
  Выполнили: Репина Дарья Валерьевна, Клочкова Мария Михайловна
  Обучающиеся 1 курса, группы 24ИТ17
  

• 2 слайд

  УГОЛ МЕЖДУ ВЕКТОРАМИ
  Градусную меру этого угла обозначим буквой α и будем говорить, что угол между векторами 𝑎 и 𝑏 равен α. Если же векторы сонаправлены (в частности, один из них или оба нулевые),то угол между ними равен 0°. Если угол между векторами равен 90°, то векторы называются перпендикулярными. Уголмежду векторами 𝑎 и 𝑏 обозначается так: 𝑎 ⃗𝑏 ⃗ .
  Углы между ними таковы: 𝑎 ⃗𝑏 ⃗ = 30°, 𝑎 𝑐 = 120°, 𝑎 𝑑 = 60°, 𝑏 𝑐 = 90°, 𝑑 𝑓 = 0°, 𝑑 𝑐 = 180°.Нa этом рисунке 𝑏 ⊥ 𝑐 , 𝑏 ⊥ 𝑑 , 𝑏 ⊥ 𝑓 .
  

• 3 слайд

  СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.
  Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними. Скалярное произведение векторов 𝑎 и 𝑏 обозначается так: 𝑎𝑏 .
  𝑎𝑏 = 𝑎 ⋅ 𝑏 cos ( 𝑎 ⃗𝑏 ⃗ )
  Справедливы следующие утверждения:
  Скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны;
  Скалярный квадрат вектора (т. е. скалярное произведение вектора на себя) равен квадрату его длины.
  
  
  
  
  

• 4 слайд

  Скалярное произведение двух векторов можно вычислить, зная координаты этих векторов: скалярное произведение векторов 𝑎 𝑥 1 ; 𝑦 1 ; 𝑧 1 и 𝑏 𝑥 2 ; 𝑦 2 ; 𝑧 2 выражается формулой:
  
  (1)
  
  В самом деле так:
  𝑎𝑏 = 𝑎 ⋅ 𝑏 cos 𝛼,
  то
  
  
  Если сюда подставить выражения для 𝑎 𝑏 , получим формулу (1).
  
  
  Формулы
  

• 5 слайд

  
  Для любых векторов 𝑎 , 𝑏 , 𝑐 и любого числа k справедливы соотношения:
  1 0 . 𝑎 2 ≥ 0, причём 𝑎 2 > 0 при 𝑎 ≠ 0 .
  2 0 . 𝑎𝑏 = 𝑏𝑎 (переместительный закон).
  3 0 . ( 𝑎 + 𝑏 ) 𝑐 = 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐 (распределительный закон).
  4 0 . k ( 𝑎𝑏 ) = (k 𝑎 ) 𝑏 (сочетательный закон).
  
  Основные свойства скалярного произведения векторов
  

• 6 слайд

  РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРА (КООРДИНАТЫ ТОЧКИ И КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА)
  
  Прямоугольная система координат в пространстве
  
  
  Если через точку пространства проведены три попарно перпендикулярные прямые, на каждой из них выбрано направление то говорят, что задана прямоугольная система координат в пространстве. Прямые с выбранными на них направлениями называются осями координат, а их общая точка — началом координат. Плоскости, проходящие соответственно через оси координат Ох и Оу, Оу и Oz, Oz и Ох, называются координатными плоскостями и обозначаются Оху, Oyz, Ozx. Луч, направление которого совпадает с направлением оси, называется положительной полуосью, а другой луч — отрицательной полуосью.
  
  В прямоугольной системе координат каждой точке М пространства сопоставляется тройка чисел, которые называются её координатами.
  

• 7 слайд

  Координаты вектора
  Единичный вектор - вектор, длина которого равна единице.Любой вектор 𝑎 можно разложить по координатным векторам, т. е. представить в виде 𝑎 = x 𝑖 + y 𝑗 + z 𝑘 , причём коэффициенты разложения х, у, z определяются единственным образом. Коэффициенты х, у и z в разложении вектора 𝑎 по координатным векторам называются координатами вектора 𝑎 в данной системе координат. Координаты вектора a будем записывать в фигурных скобках после обозначения вектора: 𝑎 {х; у; z}. Координаты равных векторов соответственно равны.
  
  

• 8 слайд

  Правила, которые позволяют по координатам данных векторов найти координаты их суммы и разности, а также координаты произведения данного вектора на данное число.
  
  1. Каждая координата суммы двух или более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов. Другими словами, если 𝑎 {х1; у1; z1} и 𝑏 {х2; y2; z2} — данные векторы, то вектор 𝑎 + 𝑏 имеет координаты {х1 + х2; у1 + у2; z1 + z2}.
  2. Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов. Другими словами, если 𝑎 {х1; у1; z1} и 𝑏 {х2; y2; z2} — данные векторы, то вектор 𝑎 – 𝑏 имеет координаты {х1 − х2; у1 − у2; z1 − z2}.
  3. Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число. Другими словами, если 𝑎 {х; у; z} — данный вектор, α — данное число, то вектор α 𝑎 имеет координаты {αх; αy; αz}.
  
  
  

• 9 слайд

  Связь между координатами векторов
  и координатами точек
  Вектор, конец которого совпадает с данной точкой, а начало — с началом координат, называется радиус-вектором данной точки. Каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала.
  
  

• 10 слайд

  РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРА.
  ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ В КООРДИНАТАХ
  1. Координаты середины отрезка.
  Каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов.
  

• 11 слайд

  РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРА.
  ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ В КООРДИНАТАХ
  2. Длина вектора по его координатам {x; y; z} вычисляется по формуле
  
  

• 12 слайд

  РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРА.
  ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ В КООРДИНАТАХ
  3. Расстояние между двумя точками
  Расстояние между точками M1 (x1; y1; z1) и
  M2 (x2; y2; z2) вычисляется по формуле:
  

• 13 слайд

  УРАВНЕНИЕ СФЕРЫ
  Уравнение с тремя переменными х, у, z называется уравнением поверхности F, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки поверхности F и не координаты никакой точки, не лежащей на этой поверхности. удовлетворяют
  В прямоугольной системе координат уравнение сферы радиуса R с центром
  С (x0; y0; z0) имеет вид:
  

• 14 слайд

  ЗАДАЧИ
  №1
  A
  B
  C
  D
  K
  N
  B
  M
  

• 15 слайд

  ЗАДАЧИ
  №2
  a
  b
  c
  

• 16 слайд

  ЗАДАЧИ
  №3
  Дано: AD ⊥ BC, BD ⊥ AC
  Доказать: CD ⊥ AB
  D
  A
  C
  B
  

• 17 слайд

  ЗАДАЧИ
  №4
  OB
  OC
  OA
  

• 18 слайд

  ЗАДАЧИ
  №5
  OA
  OB
  OC
  

• 19 слайд

  ЗАДАЧИ
  №6
  AB
  

• 20 слайд

  ЗАДАЧИ
  №7
  

• 21 слайд

  СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!