Инфоурок Математика Другие методич. материалыУМК для ОМД,1 КУРС (2013-2014)

УМК для ОМД,1 КУРС (2013-2014)

Скачать материал

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ ВСР,ОМД, 1КУРС.docx

Самостоятельная работа № 1

Тема: Составление опорного конспекта «Треугольники».

Цель работы:

  • повторить понятия: треугольники и их виды, признаки равенства треугольников, признаки подобия треугольников, теорема Пифагора, теорема синусов, теорема косинусов, решение треугольников;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

План работы:

  1. Определение треугольника и виды треугольников;

  2. Признаки равенства треугольников, признаки подобия треугольников;

  3. Теорема Пифагора, теорема синусов, теорема косинусов;

  4. Примеры на вычисления по теореме Пифагора, теореме синусов, теореме косинусов;

  5. Решение треугольников;

  6. Примеры на вычисление элементов треугольника;

Методические рекомендации к составлению конспекта:


Конспект– это работа с другим источником.

Цель –зафиксировать ,переработать тот или иной текст.

Конспект представляет собой дословные выписки из текста источника. При этом конспект это не полное переписывание чужого текста. При написании конспекта сначала прочитывается текст –источник, в нем выделяются основные положения , подбираются примеры , идет перекомпоновка материала, а затем уже оформляется текст конспекта. Конспект может быть полным, когда работа идет со всем текстом источника или неполным, когда интерес представляет какой-либо один или несколько вопросов, затронутых в источнике.

Общую последовательность действий при составлении конспекта можно определить таким образом:

1. Уяснить цели и задачи конспектирования.

2.Внимательно прочитать текст параграфа, главы и отметить информационно значимые места.

3. Составить конспект.

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : содержание соответствует теме, материал проработан глубоко, грамотно и полно использованы источники, приведены сложные примеры;

Оценка «4» выставляется , если : материал проработан не глубоко, использованы не все источники, приведены сложные примеры ;

Оценка «3» выставляется, если : материал проработан не полностью, приведены примеры.


Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.











Самостоятельная работа № 2

Тема: Типовой расчет по теме «Решение треугольников».

Цель работы:

  • повторить теорему Пифагора, теорему синусов, теорему косинусов, решение треугольников;

  • развитие умений и навыков работы с таблицами Брадиса,

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал:

  1. использовать материал : Самостоятельная работа № 1,

  2. использовать формулы:

а2+b2 = с2 , а2 = с2 - b2 , b 2 = с2 - а2,

, а = , b = , с = ,

с2 = а2 + b2 – 2 а b cos C , а2 = b2 + с2 -2 b с cos А, b2 = а2 + с2 – 2ас cos В,

cos А = (b2 + с2 - а2) : (2 b с), cos В = (а2 + с2 - b2) : (2ас), cos C = (а2 + b2 2) : (2 а b),

А+ В + С = 180°.

Решение типовых заданий:

Пример 1. а = 5, b = 12, найти с. Решение: с2 = а2+b2 = 52 + 122= 25 + 144=169, с = 13; Ответ: 13.

Пример 2. с = 41, а = 40, найти b. Решение: b 2 = с2 - а2 = 412-402=1681-1600 = 81, b = 9; Ответ: 9.

Пример 3. а = 10, b = , найти с. Решение: с2 = а2+b2 = 102 + 2 = 100 + 44 = 144,с = 12; Ответ: 12.

Пример 4. а = 10, b = 10, с = 12, найти h1, h2, h3.

Решение: p = (а + b + с) : 2 = (10 + 10 + 12) : 2 = 16, S = =

= = = 642 = 48,

h1 = 2S : a = 2 48: 10 = 9,6, h2 = 2S : b = 2 48:10 = 9,6, h3 = 2S : с = 2 48 : 12 = 8; Ответ: 8.

Пример 5. а = 12, b = 18, С = 50°, найти с, А, В.

Решение: с2 = а2 + b2 – 2 а b cos C = 122 +182 -2 12 18 cos 50° = = 144 + 324 - 2 12 18 0,6428 = 144 +3 24 – 278 = 190, с ≈ 14,

cos А = (b2 + с2 - а2) : (2 b с) = (182 + 142 - 122) : (21814) = 0,7460, А = 41°45 / ,

В = 180° - (50° + 41°45 /) = 180° - 91°45 / = 89° - 45 / = 88°15 /; Ответ: 14, 41°45 / , 88°15 / .



Пример 6. а =24,6, В = 45°,С = 70°, найти А, b, с.

Решение: А = 180° - (45° + 70°) = 65°,

b = = 24,6 = 24,6 = 19,2;

с = = 24,6 = 24,6 = 25,6; Ответ: 65°,19,2; 25,6 .

Пример 7. а = 14, b = 18, с = 20, найти А, В, С .

Решение: cos А = (b2 + с2 - а2) : (2 b с) = (182 + 202 - 142) : (2 18 20) = 0,7333;

А = 42°50 / ≈ 43°, cos В = (а2 + с2 - b2) : (2ас) = (142 + 202 - 182) : (21420) = 0,4857;

В = 60°56 / ≈ 61°, С = 180° - (43° + 61°) = 76°; Ответ: 43°,61°,76°.

Задание:

а = 10, b = 10, с = 16,

найти h1, h2, h3.

а = 20, b = 20, с = 32,

найти h1, h2, h3.

а = 6, b = 8, с = 10,

найти h1, h2, h3.

4.

а = 6,3, b = 6,3, <С = 54°, найти с, А, В.

а = 10, b = 7, <С = 60°, найти с, А, В.

а = 16, b = 10, <С = 80°, найти с, А, В.

5.

а =14, <В = 40°,<С = 60°, найти А, b, с.

а =4,5, <В = 30°,<С = 75°, найтиА, b, с.

а =32, <В = 45°,<С = 87°, найти А, b, с.

6.

а = 6, b = 7,3, с = 4,8, найти А, В, С .

а = 7, b = 9, с = 10, найти А, В, С .

а = 12, b = 14,6, с = 9,6, найтиА, В, С .



Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-6,

Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-4,

Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3.

Требования к оформлению самостоятельной работы:

Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.







Самостоятельная работа № 3


Тема: Составление опорного конспекта «Четырехугольники».

Цель работы:

  • повторить понятия: параллелограмм, прямоугольник, ромб, трапеция, квадрат, их свойства;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

План работы:

  1. Определение параллелограмма, изображение параллелограмма и его свойства;

  2. Определение прямоугольника, изображение прямоугольника и его свойства;

  3. Определение ромба, изображение ромба и его свойства;

  4. Определение трапеции, изображение трапеции и ее свойства;

  5. Определение квадрата, изображение квадрата и его свойства;

  6. Формулы для вычисления площади четырехугольников;

Методические рекомендации к составлению конспекта:


Конспект– это работа с другим источником.

Цель –зафиксировать ,переработать тот или иной текст.

Конспект представляет собой дословные выписки из текста источника. При этом конспект это не полное переписывание чужого текста. При написании конспекта сначала прочитывается текст –источник, в нем выделяются основные положения , подбираются примеры , идет перекомпоновка материала, а затем уже оформляется текст конспекта. Конспект может быть полным, когда работа идет со всем текстом источника или неполным, когда интерес представляет какой-либо один или несколько вопросов, затронутых в источнике.

Общую последовательность действий при составлении конспекта можно определить таким образом:

1. Уяснить цели и задачи конспектирования.

2.Внимательно прочитать текст параграфа, главы и отметить информационно значимые места.

3. Составить конспект.

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : содержание соответствует теме, материал проработан глубоко, грамотно и полно использованы источники, приведены сложные примеры;

Оценка «4» выставляется , если : материал проработан не глубоко, использованы не все источники, приведены сложные примеры ;

Оценка «3» выставляется, если : материал проработан не полностью, приведены примеры.


Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.












Самостоятельная работа № 4

Тема: Решение теста по теме «Планиметрия».

Цель работы: повторить, закрепить основные понятия планиметрии.

Методические рекомендации к выполнению теста: Решив задачу, нужно выбрать правильный ответ и записать номер, под которым он записан.

Задание:

hello_html_6a76ff4a.pnghello_html_5f7da47a.png

hello_html_49969193.png

hello_html_d25e025.png

hello_html_340838f4.pnghello_html_m1cf7c3c4.png

hello_html_5b10e420.pnghello_html_7b6af9ff.png



hello_html_m7fb89045.png

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-18,с записью решения, даже с недочетами.

Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-15, с записью решения,даже с недочетами.

Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-10.

Требования к оформлению самостоятельной работы:

Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.






Самостоятельная работа № 5

Тема: Составление опорного конспекта «Параллельность прямых и плоскостей».

Цель работы:

  • повторить понятия: параллельные прямые, параллельность прямой и плоскости, параллельные плоскости, их свойства;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

План работы:

  1. Определение параллельных прямых и их свойства( теоремы и лемма);

  2. Взаимное расположение прямой и плоскости(определение и чертежи);

  3. Определение параллельности прямой и плоскости, их свойства;

  4. Взаимное расположение прямых (определение и чертежи);

  5. Определение параллельности плоскостей, их свойства;

Методические рекомендации к составлению конспекта:


Конспект– это работа с другим источником.

Цель –зафиксировать ,переработать тот или иной текст.

Конспект представляет собой дословные выписки из текста источника. При этом конспект это не полное переписывание чужого текста. При написании конспекта сначала прочитывается текст –источник, в нем выделяются основные положения , подбираются примеры , идет перекомпоновка материала, а затем уже оформляется текст конспекта. Конспект может быть полным, когда работа идет со всем текстом источника или неполным, когда интерес представляет какой-либо один или несколько вопросов, затронутых в источнике.

Общую последовательность действий при составлении конспекта можно определить таким образом:

1. Уяснить цели и задачи конспектирования.

2.Внимательно прочитать текст параграфа, главы и отметить информационно значимые места.

3. Составить конспект.

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : содержание соответствует теме, материал проработан глубоко, грамотно и полно использованы источники, приведены сложные примеры;

Оценка «4» выставляется , если : материал проработан не глубоко, использованы не все источники, приведены сложные примеры ;

Оценка «3» выставляется, если : материал проработан не полностью, приведены примеры.


Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.












Самостоятельная работа № 6

Тема: Типовой расчет по теме «Параллельность плоскостей».

Цель работы:

  • повторить, закрепить основные понятия по теме «Параллельность плоскостей».

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал: Л.С. Атанасян. Геометрия 10-11 класс, глава 1.

Решение типовых заданий:

Пример 1. Два отрезка длин а и b упираются концами в две параллельные плоскости. Проекция первого отрезка (длины а) на плоскость равна с. Найдите проекцию второго отрезка, если а = 17 , b = 10, с = 15 см.

Дано: α || β, а = 17 , b = 10, с = 15 см

Найти: х

Решение: а2 – с2 = b2 – х2, х2 = b2а2 + с2 , х2 = 102 – 172 + 152 =

= 100 – 289 + 225 = 36, х = 6 см. Ответ: х = 6 см.


Пример 2. Две параллельные плоскости расстояние между

которыми 2 дм, пересечены прямой, составляющей с каждой из

плоскости угол в 300. Найти длину отрезка этой прямой, заключенной

между плоскостями.

Дано: α || β, АВα = А, АВβ = В, АВС = 30°, АС = 2 дм.

Найти: АВ

Решение: Δ АСВ – прямоугольный, АВС = 30°, АС = 2 дм.

АВ = 2 АС = 2 2 = 4 дм. Ответ: АB = 4 дм.


Пример 3. Расстояние между параллельными плоскостями равно 8 см. Отрезок прямой длина которого 17 см расположен между ними так, что его конец принадлежит плоскости. Найти проекцию этого отрезка на другую плоскость.

Дано: α || β, АВα = А, АВβ = В, АВ = 17 см, АС = 8 см.

Найти: ВС

Решение: Δ АСВ – прямоугольный, ВС2 = АВ2 – АС2 = 172 – 82 = 289 – 64 = 225, ВС = 15 см.

Ответ: BС = 15 см.

Пример 4. На параллельных плоскостях α и β, выбрано по паре точек А12 и В12 соответственно так, что прямые А1В1 и А2В2 пересекаются в точке S Вычислите SА1 и SВ2, если А1В1= 6см; SА2 = 2,5см; SВ2 : SА2 = 3 : 1 . S

Дано: α || β, А1 А2В1 В2 = S, А1, А2 α, В12 β,

А1В1= 6см; SА2 = 2,5см; SВ2 : SА2 = 3 : 1

Найти: 1, SВ2

Решение: Δ SА1 А2 ~ Δ SВ1В2 , (α || β), SВ2 : SА2 = 3 : 1, SА2 = 2,5см,

2 = 3 2,5 = 7,5 см. 1 : SА1 = 3 : 1, А1В1= 6см, SА1 = х ,

( х + 6 ) : х = 3 : 1, 3х = х + 6 , 2х = 6, х = 3, SА1 = 3 см.

Ответ:1 = 3 см, SВ2 = 7,5 см .





Пример 5.hello_html_m40fa69e3.jpg

Дано: α || β, а α, b β, а || b, с - секущая, 1 = 150°,

Найти: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

Решение: 3 = 1 = 150°(верт.), 3 = 5 = 150°(н.леж.),

5 = 7 = 150°(верт.), 1 + 2 = 180°(смежные),

2 = 180° - 1 = 180° - 150° = 30°,

2 = 4 = 30°(верт.), 4 = 6 = 30°(н.леж.), 6 = 8 = 30°(верт.).

Ответ: 3 = 5 = 7 = 150°, 2 = 4 = 6 = 8 = 30°.

Задание:

1 вариант.

  1. Два отрезка длин а и b упираются концами в две параллельные плоскости. Проекция первого отрезка (длины а) на плоскость равна с. Найдите проекцию второго отрезка, если а = 13 , b = 15, с = 5 см.

  2. Две параллельные плоскости расстояние между которыми 6 дм, пересечены прямой, составляющей с каждой из плоскости угол в 300. Найти длину отрезка этой прямой, заключенной между плоскостями.

  3. Расстояние между параллельными плоскостями равно 10 см. Отрезок прямой длина которого 26 см расположен между ними так, что его конец принадлежит плоскости. Найти проекцию этого отрезка на другую плоскость.

  4. На параллельных плоскостях α и β, выбрано по паре точек А12 и В12 соответственно так, что прямые А1В1 и А2В2 пересекаются в точке S Вычислите SА1 и SВ2, если А1В1= 12см; SА2 = 4,5см; SВ2 : SА2 = 3 : 1.

  5. Дано: α || β, а α, b β, а || b, с - секущая, 1 = 140°,

Найти: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

2 вариант.

  1. Два отрезка длин а и b упираются концами в две параллельные плоскости. Проекция первого отрезка (длины а) на плоскость равна с. Найдите проекцию второго отрезка, если а = 25 , b = 17, с = 20 см.

  2. Две параллельные плоскости расстояние между которыми 8 дм, пересечены прямой, составляющей с каждой из плоскости угол в 300. Найти длину отрезка этой прямой, заключенной между плоскостями.

  3. Расстояние между параллельными плоскостями равно 9 см. Отрезок прямой длина которого 15 см расположен между ними так, что его конец принадлежит плоскости. Найти проекцию этого отрезка на другую плоскость.

  4. На параллельных плоскостях α и β, выбрано по паре точек А12 и В12 соответственно так, что прямые А1В1 и А2В2 пересекаются в точке S Вычислите SА1 и SВ2, если А1В1= 18см; SА2 = 6,5см; SВ2 : SА2 = 3 : 1.

  5. Дано: α || β, а α, b β, а || b, с - секущая, 1 = 110°,

Найти: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.


Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-5,

Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-4,

Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3.

Требования к оформлению самостоятельной работы:

Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.

Самостоятельная работа № 7

Тема: Типовой расчет по теме «Параллельность прямых и плоскостей».

Цель работы:

  • повторить, закрепить основные понятия по теме «Параллельность прямых и плоскостей»,

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал: Л.С. Атанасян. Геометрия 10-11 класс, глава 1.

Решение типовых заданий:

Пример 1. Через основание AD трапеции ABCD проведена плоскость α. ВС α. Докажите, что прямая, проходящая через середины сторон АВ и CD, параллельна плоскости α. рис. 1

hello_html_m20ed3981.jpg

Дано: ABCD - трапеция; AD α, СВ α; АК = КВ, CN = ND (рис.1).

Доказать: KN || α.

Доказательство:1. KN - средняя линия трапеции, значит KN || AD.

2. KN || AD , AD α, KN || α (по теореме о параллельности прямой и плоскости).

Пример 2. Дан ΔВСЕ. Плоскость, параллельная прямой СЕ, пересекает BE в точке Е1,а ВС - в точке С1. Найдите ВС1, если С1Е1 : СЕ = 3 : 8, ВС = 28 см.

Дано: ΔВСЕ, α || СЕ , BE ∩ α = Е1, ВС∩ α = С1, С1Е1 : СЕ = 3 : 8, ВС = 28 см  (рис. 2).

Найти: ВС1. 

Решение:1. С1Е1 α, СЕ || αС1Е1||СЕ.hello_html_6b28556a.jpg

2. ΔВС1Е1 ~ ΔВСЕ (по двум углам);

 см.

Ответ: 10,5 см.

Пример 3. Дано: А, В, С, D; В (ACD). Е, F, М, К- середины сторон АВ, ВС, CD, AD; AC = 6 см, BD = 8 см (рис. 3). hello_html_m1a1d6694.jpg

Доказать: EFMK - параллелограмм. Найти: P(EFMK).   рис.3

Решение: 1) Δ АВС, АЕ = ЕВ, ВF = FС EF - средняя линия,

EF || АС, EF =1/2 АС,

2) Δ АСD, АK = KD, СM = MD КМ  - средняя линия, МК || АС, КМ = 1/2АС. EF || AC (значит EF || (ACD)), АС || КМ EF || КМ

по теореме о параллельности прямой и плоскости.

3) Аналогично ЕК || FM.

4) EFMK - параллелограмм, то есть EF || КМ, ЕК || FM.

5) Учитывая свойства параллелограмма EF = KM, ЕK = FM Р(EFMK) = 2(EF + ЕK).

рис. 4

  1. Из п. 1 и 2 следует, что KM = EF = 1/2АС, EF =1/2 6 = 6 : 2 = 3,

  2. ЕK = FM = 1/2 ВD, ЕK = 1/2 8 = 8 : 2 = 4, hello_html_m4507016a.jpg

  3. Р(EFMK) = 2(EF + ЕK) = 2 (4 + 3) = 14 см.

Ответ: 14 см.

Пример 4. Дано: ΔАВК, М (АВК); E.D- точки пересечения медиан

ΔМВК и ΔАВМ; АК = 14 см (рис. 4).

Доказать: ADEK - трапеция. Найти: DE

Решение:

1) Δ АВK, KO = OВ, ВN = NА ON - средняя линия ON || AK, ON = 1/2AK.

2) Рассмотрим (MNO). ΔMON (MNO). Точки Е и  D - точки пересечения медиан:

по свойству медиан ,

3) ΔMED ~ ΔMON, M – общий, ,  значит, MED = МОN, то есть ED || ON.

4) ON (АВK) , ED || ON ED || (АВK) ,(по теореме о параллельности прямой и плоскости).

5) Из п. 1,3 ON || АK, ON || ED АK || ED по признаку, значит, KEDA – трапеция, ED и AK - основания.

6) ON = 1/2AK = 1/2 14 = 14 : 2 = 7 см.(из п. 1),

7) Рассмотрим ΔMED и ΔMON, ΔMED ~ ΔMON (из п. 3), значит,

 Ответ:.

Пример 5. Дано: AC || BD, AC ∩ α = A; BD ∩ α = B. AC = 8 cm, BD = 6 см, AB = 4 см (рис. 5). Доказать: CD ∩ α = E.Найти: BE. hello_html_4fbb0191.jpg

Решение: 1) Проведем плоскость (ACDB), если CD || АВ, то ACDB - параллелограмм, то есть АС = BD, но это противоречит условию, значит, CDAB = Е.

  1. Рассмотрим ΔАСЕ и ΔBDE. CAE = DBE, АСЕ = BDE - как соответственные при параллельных прямых, значит, ΔEDB ~ ΔЕСА (по 3 углам) следовательно,

= , то есть ,  BE = 12 (см).

Ответ: BE = 12 см. рис. 6

Задание:hello_html_m41773e40.jpg

1 вариант.

  1. Дано: ABCD - трапеция; AD α, АЕ = ЕВ, CF = FD (рис. 6). Доказать: EF || α.  

  2. Дан ΔВСЕ. Плоскость, параллельная прямой СЕ, пересекает BE в точке Е1, а ВС - в точке С1. Найдите ВС1, если С1Е1 : СЕ = 3 : 7, ВС = 21 см.

  3. Дано: А, В, С, D; В (ACD). Е, F, М, К- середины сторон АВ, ВС, CD, AD; AC = 10 см, BD = 16 см. Доказать: EFMK - параллелограмм. Найти: P(EFMK).  

  4. Дано: ΔАВК, М (АВК); E.D- точки пересечения медиан ΔМВК и ΔАВМ; АК = 18 см.

Доказать: ADEK - трапеция. Найти: DE

  1. Дано: AC || BD, AC ∩ α = A; BD ∩ α = B. AC = 10 см, BD = 8 см, AB = 2 см.

Доказать: CD ∩ α = E.Найти: BE

2 вариант.

  1. Дано: ΔABC, AC α, AD = DB, BE = EC. Доказать: DE || α. (рис. 7) рис. 7  hello_html_m7f9b8754.jpg

  2. Дан ΔВСЕ. Плоскость, параллельная прямой СЕ, пересекает BE в точке Е1, а ВС - в точке С1. Найдите ВС1, если С1Е1 : СЕ = 3 : 5, ВС = 30 см.

  3. Дано: А, В, С, D; В (ACD). Е, F, М, К- середины сторон АВ, ВС, CD, AD; AC = 8 см, BD = 14 см. Доказать: EFMK - параллелограмм. Найти: P(EFMK).  

  4. Дано: ΔАВК, М (АВК); E.D- точки пересечения медиан ΔМВК и ΔАВМ; АК = 24 см.

Доказать: ADEK - трапеция. Найти: DE

  1. Дано: AC || BD, AC ∩ α = A; BD ∩ α = B. AC = 12 см, BD = 10 см, AB = 3 см.

Доказать: CD ∩ α = E.Найти: BE

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-5,

Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-4,

Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3.

Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.

Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.


Самостоятельная работа №8

Тема: Составление опорного конспекта «Перпендикулярность прямых, прямой и плоскости». 

Цель работы:

  • повторить понятия: перпендикулярность прямых, перпендикулярность прямой и плоскости, их свойства;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

План работы:

  1. Определение перпендикулярных прямых, их свойства;

  2. Определение перпендикулярности прямой и плоскости, их свойства(теоремы, чертежи, признак);

  3. Перпендикуляр и наклонные( определение и чертежи ) ;

  4. Теорема о 3 перпендикулярах;

Методические рекомендации к составлению конспекта:


Конспект– это работа с другим источником.

Цель –зафиксировать ,переработать тот или иной текст.

Конспект представляет собой дословные выписки из текста источника. При этом конспект это не полное переписывание чужого текста. При написании конспекта сначала прочитывается текст –источник, в нем выделяются основные положения , подбираются примеры , идет перекомпоновка материала, а затем уже оформляется текст конспекта. Конспект может быть полным, когда работа идет со всем текстом источника или неполным, когда интерес представляет какой-либо один или несколько вопросов, затронутых в источнике.

Общую последовательность действий при составлении конспекта можно определить таким образом:

1. Уяснить цели и задачи конспектирования.

2.Внимательно прочитать текст параграфа, главы и отметить информационно значимые места.

3. Составить конспект.

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : содержание соответствует теме, материал проработан глубоко, грамотно и полно использованы источники, приведены сложные примеры;

Оценка «4» выставляется , если : материал проработан не глубоко, использованы не все источники, приведены сложные примеры ;

Оценка «3» выставляется, если : материал проработан не полностью, приведены примеры.


Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.












Самостоятельная работа № 9

Тема: Типовой расчет по теме «Перпендикуляр и наклонная».

Цель работы: повторить, закрепить основные понятия:

  • перпендикуляра и наклонной, проведенных из точки к плоскости, проекции наклонной на плоскость;

  • расстояния от точки до плоскости;

  • проекции точки и произвольной фигуры на данную плоскость;

  • угла между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярную к ней;

Основной теоретический материал: Л.С. Атанасян. Геометрия 10-11 класс, глава 2.

(рис.1)

АС - перпендикуляр, АВ - наклонная, СВ – проекция наклонной, АВ2 = ВС2 + АС2.

φ - угол между наклонной и плоскостью α.




Рис.1 рис.2

Решение типовых заданий:

Пример 1. Из точки, не принадлежащей данной плоскости , проведены к ней две наклонные, равные 10см и 18см. Сумма длин их проекций на плоскость равна 16см. Найти проекцию каждой наклонной.(рис.2)

Дано: ОС - перпендикуляр, АС и ВС - наклонные, АО и ОВ – их проекции,

АС = 10 см, СВ = 18 см, АО + ОВ = 16 см,

Найти: АО, ОВ

Решение: АС = 10, СВ = 18, АО + ОВ = 16, АО = х, ОВ = 16 - х,

АС2 - АО2 = ВС2 – ОВ2 , 1022 = 182 – (16 - х)2, 100 - х2 = 324 – 256 + 32 х - х2 ,

32 х = 32, х = 1, АО = 1, ОВ = 16 – 1 = 15.

Ответ: 1 и 15 см.

Пример 2. Из точки к плоскости проведены две наклонные. Одна из них длиной 12см наклонена к плоскости под углом 60°, проекция другой на эту плоскость равна 6 см.

Найти длину этой наклонной.

Дано: ОС - перпендикуляр, АС и ВС - наклонные, АО и ОВ – их проекции,

СА = 12 см , САО = 60°, ОВ = 6 см ,

Найти: СВ

Решение: Δ АОС- прямоугольный, АСО = 90 ° - 60 ° = 30°, АО = СА : 2 = 12: 2 = 6,

СО2 = СА2 –АО2 = 122 – 62 = 144 – 36 = 108,

СВ2 = СО2 + ОВ2 = 108 + (6 )2 = 108 + 36 6 = 108 + 216 = 324, СВ = 18 см

Ответ: 18 см.


Пример 3. Из точки С к данной плоскости проведены перпендикуляр СО = 6см и две наклонные. Каждая из наклонных образует с плоскостью угол 60°. Угол между наклонными 120°. Найти расстояние между основаниями наклонных.

Дано: ОС - перпендикуляр, АС и ВС - наклонные, АО и ОВ – их проекции,

СО = 6см, САО = СВО = 60°, АСВ = 120°,

Найти: АВ

Решение: sin САО = СО : АС, АС = ВС = СО : sin САО = 6: sin60 ° = 6 : = 12 : = 4 ,

Δ АВС – равнобедренный, АВ2 = АС2 + ВС2 – 2АС ВС cos АСВ =

= (4)2 + (4)2 - 24 cos 120° = 16 3 + 16 3 - 216 3( - ) = 48 + 48 + 48 = 144,

АВ = 12 см.

Ответ: АВ = 12 см.

Пример 4. Из точки С к данной плоскости проведены перпендикуляр СО и две наклонные СВ и АС. ОВ= 4,САО = 30°, СВО = 60°, а угол между наклонными 90°. Найти расстояние между основаниями наклонных.

Дано: ОС - перпендикуляр, АС и ВС - наклонные, АО и ОВ – их проекции,

ОВ= 4,САО = 30°, СВО = 60°, АСВ = 90°,

Найти: АВ

Решение: ΔСОВ – прямоугольный, СВО = 60°, ОСВ = 90 ° - 60 ° = 30 °,

ВС= 2 ОВ = 24 = 8, СО2 = ВС2 – ОВ2 = 82 – 42 = 64 – 16 = 48, СО = = 4,

АС = 2 СО = 24 = 8 , АСВ - прямоугольный, АВ2 = АС2 + ВС2 = (8)2 + 82 =

= 64 3 + 64 = 256, АВ = 16 см.

Ответ: АВ = 16 см.

Пример 5. Диагонали квадрата АВСD пересекаются в точке О. Из точки О проведён к плоскости квадрата перпендикуляр ОМ. Найти расстояние от точки М до стороны ВС, если AD = 6см, ОМ = 4см. (рис.3)

Дано: АВСD - квадрат, ОМ - перпендикуляр, О - точка пересечения диагоналей квадрата,

МК - расстояние от точки М до стороны ВС, AD = 6см, ОМ = 4см.

Найти: МК

Решение: ОК = АВ : 2 = AD : 2 = 6 : 2 = 3, МОК - прямоугольный,

МК2 = ОМ2 + ОК2 = 42 + 32 = 16 + 9 = 25, МК = 5.

Ответ: МК = 5 см.

Рис.3








А В









Задание: Задачи № 1-4 по рис.2., задача № 5 по рис.3.

1 вариант.

  1. Из точки, не принадлежащей данной плоскости , проведены к ней две наклонные, равные 20 см и 36 см. Сумма длин их проекций на плоскость равна 32 см. Найти проекцию каждой наклонной.

  2. Из точки к плоскости проведены две наклонные. Одна из них длиной 24 см наклонена к плоскости под углом 60°, проекция другой на эту плоскость равна 12 см. Найти длину этой наклонной.

  3. Из точки С к данной плоскости проведены перпендикуляр СО = 12 см и две наклонные. Каждая из наклонных образует с плоскостью угол 60°. Угол между наклонными 120°. Найти расстояние между основаниями наклонных.

  4. Из точки С к данной плоскости проведены перпендикуляр СО и две наклонные СВ и АС. ОВ= 8,САО = 30°, СВО = 60°, а угол между наклонными 90°. Найти расстояние между основаниями наклонных.

  5. Диагонали квадрата АВСD пересекаются в точке О. Из точки О проведён к плоскости квадрата перпендикуляр ОМ. Найти расстояние от точки М до стороны ВС, если AD = 12 см, ОМ = 8 см.

2 вариант.

  1. Из точки, не принадлежащей данной плоскости , проведены к ней две наклонные, равные 5см и 9см. Сумма длин их проекций на плоскость равна 8 см. Найти проекцию каждой наклонной.

  2. Из точки к плоскости проведены две наклонные. Одна из них длиной 6 см наклонена к плоскости под углом 60°, проекция другой на эту плоскость равна 3 см. Найти длину этой наклонной.

  3. Из точки С к данной плоскости проведены перпендикуляр СО = 3см и две наклонные. Каждая из наклонных образует с плоскостью угол 60°. Угол между наклонными 120°. Найти расстояние между основаниями наклонных.

  4. Из точки С к данной плоскости проведены перпендикуляр СО и две наклонные СВ и АС. ОВ= 12,САО = 30°, СВО = 60°, а угол между наклонными 90°. Найти расстояние между основаниями наклонных.

  5. Диагонали квадрата АВСD пересекаются в точке О. Из точки О проведён к плоскости квадрата перпендикуляр ОМ. Найти расстояние от точки М до стороны ВС, если AD = 10 см, ОМ = 12 см.

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-5,

Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-4,

Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3.

Требования к оформлению самостоятельной работы:

Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.

Самостоятельная работа № 10

Тема: Составление опорного конспекта «Перпендикулярность плоскостей».

Цель работы:

  • закрепить понятия: перпендикулярность прямых, перпендикулярность прямой и плоскости, перпендикуляр и наклонная, теорема о 3-х перпендикулярах, перпендикулярность плоскостей, их свойства ;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

План работы:

  1. Двугранный угол, линейные углы двугранного угла, их виды ,свойство (определение и чертежи);

  2. Определение перпендикулярных плоскостей;

  3. Перпендикулярность плоскостей: изображение и свойства;

  4. Примеры на вычисление линейного угла двугранного угла.

Методические рекомендации к составлению конспекта:


Конспект– это работа с другим источником.

Цель –зафиксировать ,переработать тот или иной текст.

Конспект представляет собой дословные выписки из текста источника. При этом конспект это не полное переписывание чужого текста. При написании конспекта сначала прочитывается текст –источник, в нем выделяются основные положения , подбираются примеры , идет перекомпоновка материала, а затем уже оформляется текст конспекта. Конспект может быть полным, когда работа идет со всем текстом источника или неполным, когда интерес представляет какой-либо один или несколько вопросов, затронутых в источнике.

Общую последовательность действий при составлении конспекта можно определить таким образом:

1. Уяснить цели и задачи конспектирования.

2.Внимательно прочитать текст параграфа, главы и отметить информационно значимые места.

3. Составить конспект.

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : содержание соответствует теме, материал проработан глубоко, грамотно и полно использованы источники, приведены сложные примеры;

Оценка «4» выставляется , если : материал проработан не глубоко, использованы не все источники, приведены сложные примеры ;

Оценка «3» выставляется, если : материал проработан не полностью, приведены примеры.


Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.









Самостоятельная работа № 11

Тема: Типовой расчет по теме «Прямоугольный параллелепипед».

Цель работы:

  • повторить, закрепить основные понятия по теме «Прямоугольный параллелепипед»,

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал: Л.С. Атанасян. Геометрия 10-11 класс, глава 2.п.24.

Решение типовых заданий:

Пример 1. Найти площадь основания ABCD прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 если DB1 = см, DB = 5 см, BC1 = 4 см.

Решение: Для нахождения длин сторон ( поскольку параллелепипед в условии задачи прямоугольный, а значит, все ребра пересекаются под прямым углом  )  используем теорему Пифагора. Найдем BB1 в прямоугольном треугольнике  DBB1 :
BB
1 
BB12 =  (34 - 25) = 9. BB1 =3.Соответственно  СС1 = BB1 = 3 см. Для прямоугольного треугольника BC1C : BC2 =  ( BC12  - C1C2 ) , BC2 =  ( 16 - 9 ) = 7 . BC = В треугольнике BCD найдем CD:  CD2 =  ( BD2 - BC2 ), CD2 =  ( 25 - 7 ) = 18, CD = 3 . Откуда площадь основания параллелепипеда равна: 
S = BC CD =  3 = 3. Ответ:   площадь основания  прямоугольного параллелепипеда равна 3. Пример 2.Сумма трех измерений прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равна 40, AB : AA1 : AD = 2 : 2 : 4.   Найдите наибольшую из диагоналей граней параллелепипеда. Решение: Обозначим ребра 2х, 2х, 4х. 2х+2х+4х =40, 8х=40,   х=5. Ребра 10,10 и 20. Грани имеют размеры 10х10 или 10х20. Диагональ грани 10х10:   d12= (102+102) = 200, d1= 10, Диагональ грани 10х20:   d22= (102 +202) = 500, d2= 10- наибольшая диагональ . Ответ: d2= 10- наибольшая диагональ . Пример 3. Сумма всех ребер параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равна 120 см. Найти каждое ребро параллелепипеда. если АВ/ВС= 4/5 и ВС/ВВ1 = 5/6. Решение: Пусть АВ = 4х, тогда ВС= 5х,  ВВ1 = 6х. У параллелепипеда по 4 равных ребра, а всего 12 ребер. 4 (4х+5х+6х)=120, 4 15х=120, 60х=120, х=2, АВ = 8,  ВС = 10,  ВВ1 = 12. Ответ:  АВ = 8 см,  ВС = 10 см,  ВВ1 = 12 см. Пример 4. Дано: а = 3, b = 4, с = 12, Найти d. Решение: d2 = а2 + b2 + с2 , d2 = 32 + 42 + 122 = 9 + 16 + 144 = 169, d= 13. Ответ:  d= 13. Пример 5. Дано: ABCDA1B1C1D1 - прямоугольный параллелепипед, AB = 12 см, BC= 5 см, ÐBDB1 = 45° . Найти BB1. Решение: В треугольнике BАD найдем ВD:  ВD2 =  АD2 + АB2 , ВD2 = =  ВС2 + АB2 , ВD2 =  52 + 122 = 25 + 144 = 169, ВD = 13 см. В прямоугольном треугольнике BDB1 найдем BB1: ÐBDB1 = 45°, BB1 = ВD = 13 см. Ответ:  BB1 = 13 см. Пример 6. Дано: ABCDA1B1C1D1 - прямоугольный параллелепипед, 1 = 12 см, α = 30°, β = 45°. Найти измерения прямоугольного параллелепипеда а, b, с. Решение: В прямоугольном треугольнике BАD1, α = 30°, AB = а = BD1 : 2 = AС1: 2 = 12: 2 = 6 см. В прямоугольном треугольнике BDD 1, β = 45°, с = DD 1= BD = = 6 . В прямоугольном треугольнике АBD, BD = 6, АВ = 6 см, АD2 =  BD2  - АВ2  , АD2 =  BD2  - АВ2  = 72 - 36 = 36, АD = b = 6 см. Ответ:  а = b = 6 см, с = 6 см.
hello_html_m321ec67f.gif

Задание: 1 Вариант.

  1. Найти площадь основания ABCD прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, если DB1 = см, DB = 10 см, BC1 = 7 см.

  2. Сумма трех измерений прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равна 48, AB : AA1 : AD = 2 : 2 : 4.   Найдите наибольшую из диагоналей граней параллелепипеда.

  3. Дано: а = 8, b = 9, с = 12, Найти d.

  4. Дано: ABCDA1B1C1D1 - прямоугольный параллелепипед, AB = 24 см, BC= 10 см, ÐBDB1 = 45° . Найти BB1.

  5. Дано: ABCDA1B1C1D1 - прямоугольный параллелепипед, AС1 = 16 см, α = 30°, β = 45°. Найти измерения прямоугольного параллелепипеда а, b, с.

2 Вариант.

  1. Найти площадь основания ABCD прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 если DB1 = см, DB = 6 см, BC1 = 12 см.

  2. Сумма всех ребер параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равна 240 см. Найти каждое ребро параллелепипеда. если АВ/ВС= 4/5 и ВС/ВВ1 = 5/6.

  3. Дано: а = 6, b = 8, с = 24, Найти d.

  4. Дано: ABCDA1B1C1D1 - прямоугольный параллелепипед, AB = 30 см, BC= 15 см, ÐBDB1 = 45° . Найти BB1.

  5. Дано: ABCDA1B1C1D1 - прямоугольный параллелепипед, AС1 = 20 см, α = 30°, β = 45°. Найти измерения прямоугольного параллелепипеда а, b, с.

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-5,

Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-4,

Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3.



Требования к оформлению самостоятельной работы:

Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.







Самостоятельная работа № 12

Тема: Решение теста по теме «Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве». 

Цель работы: повторить, закрепить основные понятия по теме «Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве».

Методические рекомендации к выполнению теста:

Прочитать вопрос, ответить на его и записать букву , под которой записан правильный ответ.

Задание: тест по теме «Перпендикулярность прямых и плоскостей».

1.Если угол между двумя прямыми равен 90°, то эти прямые: а) пересекаются, б) параллельны, в) скрещиваются, г) перпендикулярны, д) совпадают. 2. Какое из следующих утверждений неверно: а) если прямая перпендикулярна к двум прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна и к этой плоскости, б) если прямая перпендикулярна к плоскости, то она ее пересекает, в) если две плоскости перпендикулярны к прямой, то они параллельны, г) если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны, д) если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости. 3.Если одна из двух скрещивающихся прямых перпендикулярна к плоскости, то будет ли перпендикулярна к этой плоскости вторая прямая? а) да, б) да, но при определенных условиях, в) определить нельзя, г) нет, д) другой ответ. 4. Прямая а перпендикулярна к прямым с и в, лежащим в плоскости hello_html_6f92222e.gif, прямая а перпендикулярна к плоскости hello_html_6f92222e.gif. Каково взаимное расположение прямых с и в? а) параллельны, б) пересекаются, в) параллельны или пересекаются, г) совпадают, д)определить нельзя. 5.Одна из двух параллельных плоскостей перпендикулярна прямой, тогда: а) другая плоскость параллельна прямой, б) прямая лежит в другой плоскости, в) другая плоскость перпендикулярна прямой, г) прямая не пересекает другую плоскость, д)выполняются все случаи, указанные в пунктах а - г. 6.Точка Е не принадлежит плоскости прямоугольника АВСD, ВЕ hello_html_m5d32ab2b.gifАВ, ВЕ hello_html_m5d32ab2b.gifВС. Тогда прямая и плоскость ВСЕ: а) параллельны, б) перпендикулярны, в) скрещиваются, г) прямая лежит в плоскости,  д) перпендикулярны, но не пересекаются. 7.Какое из следующих утверждений неверно? а) перпендикуляр и наклонная, выходящие из одной точки, имеют равные длины, б) проекцией прямой на плоскость является точка или прямая, в) наклонные разной длины, проведенные к плоскости из одной точки, имеют проекции разных длин, 

г) прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна к ее проекции, д) расстояние от произвольной точки одной из параллельных плоскостей до другой плоскости называется расстоянием между параллельными плоскостями. 8.Расстояния от точки М до сторон прямоугольного треугольника АВС (угол С равен 90°) равны. Какое из следующих утверждений верно? а) плоскости МАВ и АВС перпендикулярны, б) плоскости МВС и АВС перпендикулярны, в) плоскости МАС и АВС перпендикулярны, г) плоскости МАС и МВС перпендикулярны, д) условия в пунктах а - г неверны. 9.Угол между двумя плоскостями равен 80°. Какое из следующих утверждений неверно? а) плоскости пересекаются, б) в одной из плоскостей найдется прямая, перпендикулярная другой плоскости, в) в одной из плоскостей все прямые не перпендикулярны другой плоскости, г) в одной из плоскостей найдется прямая, параллельная другой плоскости, д) плоскости не перпендикулярны. 10.Какое из следующих утверждений верно? а) градусная мера двугранного угла не превосходит 90°, б) двугранным углом называется плоский угол, образованный прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей а, в) если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны, г) угол между плоскостями всегда тупой,  д) все линейные углы двугранного угла различны. 11.Какое из следующих утверждений верно? а) в прямоугольном параллелепипеде все шесть граней - произвольные параллелограммы, б) все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда - острые, в) прямоугольный параллелепипед, у которого все три измерения равны, называется кубом, г) квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме трех его измерений, д) параллелепипед называется прямоугольным, если его боковые ребра перпендикулярны к основанию. 12.Длины трех ребер, имеющих общую вершину, называются: а) высотами прямоугольного параллелепипеда, б) диагоналями прямоугольного параллелепипеда, в) измерениями прямоугольного параллелепипеда, г) диагоналями основания прямоугольного параллелепипеда, д) смежными ребрами прямоугольного параллелепипеда.



Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-12,

Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-10,

Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-6.



Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.



Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.









Самостоятельная работа № 13

Тема: Составление опорного конспекта «Виды пирамид».

Цель работы:

  • закрепить понятия: пирамиды и её элементов; правильной пирамиды и её свойства, усеченной пирамиды и её элементов ;

  • развитие графических и вычислительных умений и навыков: построение чертежей, вычисления по формулам площади пирамид;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

План работы:

  1. Определение пирамиды и её элементов;

  2. Определение правильной пирамиды и её свойства;

  3. Изображение пирамиды , формулы для вычисления площади правильной пирамиды(3-ой, 4-ой, 6-ой);

  4. Определение усеченной пирамиды и её элементов;

  5. Изображение усеченной пирамиды , формулы для вычисления площади усеченной правильной пирамиды(3-ой, 4-ой, 6-ой);



Методические рекомендации к составлению конспекта:


Конспект– это работа с другим источником.

Цель –зафиксировать ,переработать тот или иной текст.

Конспект представляет собой дословные выписки из текста источника. При этом конспект это не полное переписывание чужого текста. При написании конспекта сначала прочитывается текст –источник, в нем выделяются основные положения , подбираются примеры , идет перекомпоновка материала, а затем уже оформляется текст конспекта. Конспект может быть полным, когда работа идет со всем текстом источника или неполным, когда интерес представляет какой-либо один или несколько вопросов, затронутых в источнике.

Общую последовательность действий при составлении конспекта можно определить таким образом:

1. Уяснить цели и задачи конспектирования.

2.Внимательно прочитать текст параграфа, главы и отметить информационно значимые места.

3. Составить конспект.

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : содержание соответствует теме, материал проработан глубоко, грамотно и полно использованы источники, приведены сложные примеры;

Оценка «4» выставляется , если : материал проработан не глубоко, использованы не все источники, приведены сложные примеры ;

Оценка «3» выставляется, если : материал проработан не полностью, приведены примеры.


Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.



Самостоятельная работа № 14

Тема: Типовой расчет по теме «Пирамида».

Цель работы:

  • повторить, закрепить основные понятия по теме «Пирамида»,

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал: Л.С. Атанасян. Геометрия 10-11 класс, глава 3.§ 2.

Решение типовых заданий:

Пример 1. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого 8см, а радиус описанной около него окружности равен 5 см. Основанием высоты этой пирамиды является середина гипотенузы. Высота пирамиды равна 12см. Вычислить боковые ребра пирамиды. 
Решение:
В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на его гипотенузе. Соответственно, AB = 10 см, AO = 5 см.
 
Поскольку высота ON = 12 см, то величина ребер AN и NB равна
 
AN
2 = AO2 + ON2 , AN2 = 52 + 122 , AN = , AN = 13. 
Поскольку нам известна величина AO = OB = 5 см и величина одного из катетов основания (8 см), то высота, опущенная на гипотенузу, будет равна
 
CB
2 = CO2 + OB2 , 64 = CO2 + 25 , CO2 = 39 , CO = .
Соответственно, величина ребра CN будет равна
 :
CN
2 =  CO2 + NO2 , CN2 = 39 + 144 , CN = .
Ответ: 13, 13 , .hello_html_m48fa674b.gif

Пример 2. Боковая грань правильной треугольной пирамиды представляет собой правильный треугольник, площадь которого 16 корней из 3 см2 (16). Вычислить периметр основания пирамиды. 
Решение
:
Правильный треугольник - это равносторонний треугольник. Соответственно, боковая грань пирамиды представляет собой равносторонний треугольник.
 
Площадь равностороннего треугольника равна:
 . 
Соответственно:
 16 = a2 / 4 , 16 = a2 / 4 , a2 = 64 ,a = 8 см .
Основанием правильной треугольной пирамиды является правильный (равносторонний) треугольник. Таким образом, периметр основания пирамиды равен
  Р = 83 = 24 см .
Ответ: 24 см. 

Пример 3. Высота основания правильной треугольной пирамиды равна 3 см. а угол между боковой гранью и основанием пирамиды равен 45 градусов. Надо найти площадь полной поверхности пирамиды .
Решение:  В основании правильной треугольной пирамиды лежит равносторонний треугольник. Поэтому для решения задачи воспользуемся свойствами правильного треугольника: 
hello_html_m33c284ca.gif 
Нам известна высота треугольника, откуда можно найти его площадь.
 
h = /2 a
 , a = h / (/2),  a = 3 / (/2) , a = 6 / .
Откуда площадь основания будет равна:
  S = /4 a2 , S = /4 ( 6 / )2 , S = 3.
Для того, чтобы найти площадь боковой грани, вычислим высоту KM. Угол OKM по условию задачи равен 45 градусам.
 Таким образом:  OK / MK = cos 45°. 
Воспользуемся
 таблицей значений тригонометрических функций и подставим известные значения. OK / MK = /2. Учтем, что OК равен радиусу вписанной окружности. Тогда  OK = /6 a ,OK = /66/= 1. 
Тогда
  OK / MK = /2  ,1 / MK = /2  , MK = 2/ .
Площадь боковой грани тогда равна половине произведения высоты на основание треугольника.
 Sбок = 1/2 (6 / ) (2/) = 6/ .
Таким образом, площадь полной поверхности пирамиды будет равна
 
S = 3+ 36/ , S = 3+ 18/ .
Ответ: 3 + 18/ .hello_html_m3f19bf97.gifhello_html_m3f19bf97.gif

Пример 4. Высота правильной треугольной пирамиды 4 см, а ее апофемы 8 см. Вычислите площадь боковой поверхности пирамиды. 
Решение: 
Исходя из того, что MK = 8, MO = 4, синус угла OKM равен
  MO/MK = 1/2 , откуда угол равен arcsin 1/2 = 30 °. Откуда  KO / MK = cos 30° , KO / 8 = cos 30° , KO = 8 cos 30° .
По таблице тригонометрических функций найдем
 значение косинуса 30 °. KO = 8/2 = 4 .
Учтем, что KO является радиусом вписанной окружности в основание правильной треугольной пирамиды (согласно
 свойствам правильной пирамиды). Тогда по свойству равностороннего треугольника r = a/6.
Подставим в формулу известное нам значение радиуса вписанной окружности, откуда найдем значение стороны равностороннего треугольника
 4 = a /6 , a = 24. 
Теперь, зная размер основания боковой грани и ее апофему, найдем площадь боковой грани как площадь равнобедренного треугольника:
 Sт = 1/224 8 = 96 см2 .
Откуда площадь боковой поверхности пирамиды
 S = 3 Sт = 3 96 = 288 см2 . 
Ответ: 288 см2.

Пример 5. Высота и сторона основания правильной четырехугольной пирамиды соответственно равны 24 и 14. найдите апофему пирамиды. 
Решение: Поскольку пирамида правильная, то в ее основании лежит правильный четырехугольник - квадрат. Кроме того, высота пирамиды проецируется в центр квадрата. Таким образом, катет прямоугольного треугольника, который образован апофемой пирамиды, высотой и отрезком, их соединяющим, равен половине длины основания правильной четырехугольной пирамиды.  Откуда по теореме Пифагора длина апофемы будет найдена из уравнения:  72 + 242 = x2 , x2 = 625,  x = 25.  Ответ: 25 см .hello_html_m678d7f82.png

Задание:

1 вариант.

  1. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого 16 см, а радиус описанной около него окружности равен 10 см. Основанием высоты этой пирамиды является середина гипотенузы. Высота пирамиды равна 24 см. Вычислить боковые ребра пирамиды. 

  2. Боковая грань правильной треугольной пирамиды представляет собой правильный треугольник, площадь которого 64 корней из 3 см2 (64). Вычислить периметр основания пирамиды. 

  3. Высота основания правильной треугольной пирамиды равна 6 см. а угол между боковой гранью и основанием пирамиды равен 45 градусов. Надо найти площадь полной поверхности пирамиды .

  4. Высота правильной треугольной пирамиды 8 см, а ее апофемы 16 см. Вычислите площадь боковой поверхности пирамиды. 

  5. Высота и сторона основания правильной четырехугольной пирамиды соответственно равны 24 и 20. Найдите апофему пирамиды. 

2 вариант.

  1. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого 9 см, а радиус описанной около него окружности равен 6 см. Основанием высоты этой пирамиды является середина гипотенузы. Высота пирамиды равна 8 см. Вычислить боковые ребра пирамиды. 

  2. Боковая грань правильной треугольной пирамиды представляет собой правильный треугольник, площадь которого 4 корня из 3 см2 (4). Вычислить периметр основания пирамиды. 

  3. Высота основания правильной треугольной пирамиды равна 9 см. а угол между боковой гранью и основанием пирамиды равен 45 градусов. Надо найти площадь полной поверхности пирамиды .

  4. Высота правильной треугольной пирамиды 2 см, а ее апофемы 4 см. Вычислите площадь боковой поверхности пирамиды. 

  5. Высота и сторона основания правильной четырехугольной пирамиды соответственно равны 12 и 18. Найдите апофему пирамиды. 

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-5, Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-4, Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3. Требования к оформлению самостоятельной работы: Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.

Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.








Самостоятельная работа № 15

Тема: Составление опорного конспекта «Правильные многогранники».

Цель работы:

  • закрепить понятия: правильных многогранников, их виды, элементы симметрии правильных многогранников ;

  • развитие графических и вычислительных умений и навыков: построение чертежей, вычисление элементов правильных многогранников;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

План работы:

  1. Определение правильного многогранника;

  2. Виды правильных многогранников и их описание, изображения;

  3. Расчет элементов правильных многогранников по теореме Эйлера;

  4. Элементы симметрии правильных многогранников: центр, ось, плоскость;

Методические рекомендации к составлению конспекта:


Конспект– это работа с другим источником.

Цель –зафиксировать ,переработать тот или иной текст.

Конспект представляет собой дословные выписки из текста источника. При этом конспект это не полное переписывание чужого текста. При написании конспекта сначала прочитывается текст –источник, в нем выделяются основные положения , подбираются примеры , идет перекомпоновка материала, а затем уже оформляется текст конспекта. Конспект может быть полным, когда работа идет со всем текстом источника или неполным, когда интерес представляет какой-либо один или несколько вопросов, затронутых в источнике.

Общую последовательность действий при составлении конспекта можно определить таким образом:

1. Уяснить цели и задачи конспектирования.

2.Внимательно прочитать текст параграфа, главы и отметить информационно значимые места.

3. Составить конспект.

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : содержание соответствует теме, материал проработан глубоко, грамотно и полно использованы источники, приведены сложные примеры;

Оценка «4» выставляется , если : материал проработан не глубоко, использованы не все источники, приведены сложные примеры ;

Оценка «3» выставляется, если : материал проработан не полностью, приведены примеры.


Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.









Самостоятельная работа № 16

Тема: Типовой расчет по теме «Усеченная пирамида».

Цель работы:

  • повторить, закрепить основные понятия по теме «Усеченная пирамида»,

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал:

  1. Л.С. Атанасян. Геометрия 10-11 класс, глава 3. § 2.

  2. Самостоятельная работа № 13.

Решение типовых заданий:

Пример 1. Дано: усеченная правильная пирамида, n = 3, h = 4, a1= 16 , a2= 10 . Надо найти площадь полной поверхности усеченной пирамиды .

Решение: r1= a1 / 2  = 16  : 2  = 8, r2= a2 / 2  = 10  : 2  = 5,

l2 = h2 + (r2 r1)2, l2 = 42 + (5 8)2 = 16 + 9 = 25, l = 5.

Sn =  /4 (a12 + a22) + 1,5 l(a1 + a2) .

Sn =  /4 ((16 )2 + (10 )2) + 1,5 5(16  + 10 ) =  /4 (768 + 300) + 1,5 5 = =267 + 195  = 462  .

Ответ: 462 

Пример 2. Дано: усеченная правильная пирамида, n = 4, h = 3, a1= 16, a2= 8 . Надо найти площадь полной поверхности усеченной пирамиды .

Решение: r1= a1 / 2= 16: 2= 8, r2= a2 / 2= 8  : 2  = 4,

l2 = h2 + (r2 r1)2, l2 = 32 + (4 8)2 = 9 + 16 = 25, l = 5.

Sn = (a12 + a22) + 2 l(a1 + a2) .Sn = (162 + 82) + 2 5(16 + 8) = 320 + 240 = 560 .

Ответ: 560

Пример 3. Дано: усеченная правильная пирамида, n = 6, h = 2, a1= 2 , a2= 6 . Надо найти площадь полной поверхности усеченной пирамиды .

Решение: r1= a1 / 2  = 2  : 2  =  , r2= a2 / 2  = 6  : 2  = 3 ,

l2 = h2 + (r2 r1)2, l2 = 22 + ( )2 = 4 + 12 = 16, l = 4.

Sn =3  /2 (a12 + a22) + 3 l(a1 + a2) .Sn =3  /2 (22 + 62) + 3 4(2 + 6) = 60   + 96 .

Ответ: 60   + 96

Пример 4. В правильной усеченной четырехугольной пирамиде высота равна 2, а стороны оснований равны 3 и 5. Найдите диагональ усеченной пирамиды.

Решение: Проведем сечение через противоположные боковые ребра AA1 и CC1 данной усеченной пирамиды ABCDA1B1C1D1 с основаниями ABCD и A1B1C1D1(AB = 5, A1B1 = 3). Пусть O и O1 - центры оснований ABCD и A1B1C1D1соответственно. Секущая плоскость проходит через высоту OO1 усеченной пирамиды. В сечении получим равнобедренную трапецию AA1C1C с основаниями AC= 5  и A1C1 = 3 . Пусть A1K - высота трапеции. Тогда A1K = OO1 = 2, AK = 1/2 (AC  A1C1) = 1/2 (5 3) = , CK = AC  AK = 5   = 4.

Из прямоугольного треугольника A1KC находим, что

A1C =  =  =  = 6.

Ответ: 6.

Пример 5. Дано: усеченная правильная пирамида, n = 4, h = 3, r1=2, r2= 6 . Надо найти площадь полной поверхности усеченной пирамиды .

Решение: l2 = h2 + (r2 r1)2, l2 = 32 + (6 2)2 = 9 + 16 = 25, l = 5.

Sn = 4 (r12 + r22) + 4 l(r1 + r2) . Sn = 4 (22 + 62) + 2 5(2 + 6) = 160 + 80 = 240 .

Ответ: 240.

Задание:

1 вариант.

  1. Дано: усеченная правильная пирамида, n = 3, h = 8, a1= 14 , a2= 2 . Надо найти площадь полной поверхности усеченной пирамиды .

  2. Дано: усеченная правильная пирамида, n = 4, h = 8, a1= 16, a2= 4 . Надо найти площадь полной поверхности усеченной пирамиды .

  3. Дано: усеченная правильная пирамида, n = 6, h = 2, a1= 4 , a2= 8 . Надо найти площадь полной поверхности усеченной пирамиды .

  4. В правильной усеченной четырехугольной пирамиде высота равна 4, а стороны оснований равны 6 и 10. Найдите диагональ усеченной пирамиды.

  5. Дано: усеченная правильная пирамида, n = 4, h = 3, r1=5, r2= 9 . Надо найти площадь полной поверхности усеченной пирамиды .

2 вариант.

  1. Дано: усеченная правильная пирамида, n = 3, h = 6, a1= 18 , a2= 2 . Надо найти площадь полной поверхности усеченной пирамиды .

  2. Дано: усеченная правильная пирамида, n = 4, h = 6, a1= 18, a2= 2 . Надо найти площадь полной поверхности усеченной пирамиды .

  3. Дано: усеченная правильная пирамида, n = 6, h = 2, a1= 6 , a2= 10 . Надо найти площадь полной поверхности усеченной пирамиды .

  4. В правильной усеченной четырехугольной пирамиде высота равна 6, а стороны оснований равны 9 и 15. Найдите диагональ усеченной пирамиды.

  5. Дано: усеченная правильная пирамида, n = 4, h = 4, r1=5, r2= 8 . Надо найти площадь полной поверхности усеченной пирамиды .


Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-5,

Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-4,

Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3.


Требования к оформлению самостоятельной работы:

Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.










Самостоятельная работа № 17

Тема: Решение теста по теме «Многогранники» .

Цель работы: повторить, закрепить основные понятия по теме «Многогранники».

Методические рекомендации к выполнению теста:

Прочитать вопрос, ответить на его и записать букву , под которой записан правильный ответ.

Задание:

1) тетраэдр -  поверхность, составленная из…

 А) 4 треугольников;            Б ) 3 треугольников;

 В) 5 треугольников;             Г) 4 четырехугольников;

2) параллелепипед – поверхность, составленная из ….

 А) параллелограммов;        Б) 6 параллелограммов;

 В) 4 треугольников;             Г) 6 прямоугольников;

3) любая поверхность ограничивает….., отделяет …… от остальной части……..

А) многогранник, плоскости;  Б) тело, пространство;

В) геометрическое тело, плоскость; 

Г) геометрическое тело, пространство;

4) поверхность, составленная из многоугольников и ограничивающую геометрическое тело, называют…..

 А) многогранником;           Б) многоугольником;

 В) тетраэдром;                     Г) параллелепипедом;

 5) концы ребер многоугольника называют….

 А) грани;               Б) ребра;            В) вершины;               Г) диагонали;

6) Сколько ребер у тетраэдра?

А) 6; Б) 7; В) 8; Г) 12;

7) Двойственный многогранник это …

А) тетраэдр; Б) октаэдр; В) додекаэдр;

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-7,

Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-6,

Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-4.


Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.









Самостоятельная работа № 18

Тема: Составление опорного конспекта «Цилиндр» .

Цель работы:

  • закрепить понятия: цилиндра и его элементов, сечения цилиндра различными плоскостями, развертка боковой поверхности цилиндра;

  • развитие графических и вычислительных умений и навыков: построение чертежей, вычисления по формулам площади цилиндра;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

План работы:

  1. Определение цилиндра и его элементов: основания, ось, радиус, высота, образующая;

  2. Сечения цилиндра различными плоскостями;

  3. Развертка боковой поверхности цилиндра;

  4. Формулы для вычисления площади полной поверхности и площади боковой поверхности цилиндра;

Методические рекомендации к составлению конспекта:


Конспект– это работа с другим источником.

Цель –зафиксировать ,переработать тот или иной текст.

Конспект представляет собой дословные выписки из текста источника. При этом конспект это не полное переписывание чужого текста. При написании конспекта сначала прочитывается текст –источник, в нем выделяются основные положения , подбираются примеры , идет перекомпоновка материала, а затем уже оформляется текст конспекта. Конспект может быть полным, когда работа идет со всем текстом источника или неполным, когда интерес представляет какой-либо один или несколько вопросов, затронутых в источнике.

Общую последовательность действий при составлении конспекта можно определить таким образом:

1. Уяснить цели и задачи конспектирования.

2.Внимательно прочитать текст параграфа, главы и отметить информационно значимые места.

3. Составить конспект.

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : содержание соответствует теме, материал проработан глубоко, грамотно и полно использованы источники, приведены сложные примеры;

Оценка «4» выставляется , если : материал проработан не глубоко, использованы не все источники, приведены сложные примеры ;

Оценка «3» выставляется, если : материал проработан не полностью, приведены примеры.


Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.

Самостоятельная работа № 19

Тема: Типовой расчет по теме «Цилиндр».

Цель работы:

  • повторить, закрепить основные понятия по теме «Цилиндр»,

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал:

  1. Л.С. Атанасян. Геометрия 10-11 класс, глава 6. § 1.

  2. Самостоятельная работа № 18.

Решение типовых заданий:

Пример 1. В цилиндре параллельно его оси проведено сечение, диагональ которого равна 17 см, высота цилиндра равна 15 см., а радиус основания 5 см. На каком расстоянии от оси проведено это сечение? 
Решение. 
Сечение цилиндра в плоскости представляет собой прямоугольник. Таким образом, BM также представляет собой высоту цилиндра. Треугольник BMK - прямоугольный. Таким образом, можно найти длину стороны MK = B
C:
BK
2 = BM2 + MK2 , MK2 = BK2 - BM2 ,MK2 = 172 - 152 ,
MK
2 = 64 , MK = 8. 
Таким образом, MK = BC = 8 см.
 
Теперь, проведем сечение через основание цилиндра. Рассмотрим получившуюся плоскость.
 
(
это делать совершенно необязательно, сечение основания цилиндра проведено только для простоты понимания решения задачи). 
AD - диаметр цилиндра, проведенный как сечение, параллельное заданному в условии задачи. BC - прямая, принадлежащая сечению, параллельному оси цилиндра. Поэтому ABCD - трапеция. Если трапеция равнобедренная, то вокруг нее можно описать окружность. Таким образом, ABCD - равнобедренная трапеция. Найдя высоту трапеции, получим расстояние от проведенного по условию задачи сечения до оси цилиндра. Найдем величины некоторых отрезков.
 AD = 2R = 2 5 = 10 см, OC = OD = R = 5 см .
В равнобедренной трапеции высота, опущенная из вершины на большее основание, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, другой - полуразности оснований. Таким образом,
 
AN = DP = ( 10 -8 ) / 2 = 1 см
 , тогда OP = OD -DP = 5 - 1 = 4 см .
Треугольник CPO - прямоугольный, так как CP - высота трапеции. Откуда
 
CP
2 + OP2 = OC2 ,CP2 = OC2 - OP2, CP2 = 52 - 42 ,CP2 = 25 - 16 ,CP = 3. 
Ответ: Проведенное сечение цилиндра находится на расстоянии 3 см от его оси. hello_html_m1ed0129.gifhello_html_m2050d35.gif

Пример 2. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, если диагональ его осевого сечения, равная 8см, составляет с образующей цилиндра угол величиной 30° . Решение: Поскольку AC = 8 см, а угол ACD = 30°, то 
CD = AC cos 30°  . Пояснение. Треугольник ACD - прямоугольный. Соответственно, CD / AC = cos ACD по свойству тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике. Значение  cos 30 найдем из таблицы значений тригонометрических функций. CD = 8  /2 = 4. Аналогично,  AD = AC sin 30° , AD = 8 1/2 = 4, Откуда радиус основания цилиндра равен R = 4/2 = 2 см. Площадь основания цилиндра, соответственно, равна  S1 = πR2 = 4π. Площадь боковой поверхности цилиндра равна площади его развертки - произведению длины окружности основания и высоты цилиндра. То есть: S2 = 2πRh = 2π 2 4= 16π. Общая площадь поверхности цилиндра равна:  S =S1 + S2 =   4π +  16π. Ответ:  4π +  16π. Пример 3. Дано: цилиндр; ABCD - квадрат; АС = 4 см (рис. ). Найти: Sб.п.ц. Решение: Sб.п.ц. = 2πRH. Пусть АВ = х, тогда х2 + х2 = 42; 2х2 = 16; х2 = 8; х = 2. = ; Н = 2. . Sб.п.ц. = 2π · · 2= 8π (см2). Ответ: 8π см2. Пример 4. Дано: цилиндр, ABCD - квадрат; Sосн.ц. = 16π см2 (рис.). Найти: Sб.п.ц. Решение: πR2 = 16π; R2 = 16; R = 4. АВ = ВС = 4 · 2 = 8 (см). Sб.п.ц. = 2πRH, где R = 4; Н = 8.Sб.п.ц. = 2π · 4 · 8 = 64π (см2). Ответ: 64π см2. Пример 5. Дано: цилиндр, АВ1 = 16 см, B1AB = 30° (рис.). Найти: hRосн.  Решение:1) hк. = BB1; 2)Из ΔАВВ1 находим AB: AB = 16 cos 30° = 16 /2 = 8 R = 1/2 AB = 8 : 2 = 4 . 3) Из ΔВ1АВ находим BB1: BB1 = 16 sin 30 ° = 16 1/2 = 16 : 2 = 8 см. Ответ: = 8 см; R = 4 см.
hello_html_m2ae74cee.jpghello_html_40222fab.gif

Задание:hello_html_m5b1a35f0.jpghello_html_m41d996ff.jpg

1вариант.

1)В цилиндре параллельно его оси проведено сечение, диагональ которого равна 34 см, высота цилиндра равна 30 см., а радиус основания 10 см. На каком расстоянии от оси проведено это сечение?

2)Найдите площадь полной поверхности цилиндра, если диагональ его осевого сечения, равная 16 см, составляет с образующей цилиндра угол величиной 30 °.

3)Дано: цилиндр; ABCD - квадрат; АС = 16 см (рис. ). Найти: Sб.п.ц.

4) Дано: цилиндр, ABCD - квадрат; Sосн.ц. = 25π см2 (рис.). Найти: Sб.п.ц.

5)Дано: цилиндр, АВ1 = 8 см, B1AB = 30° (рис.). Найти: hRосн.

2 вариант.

1)В цилиндре параллельно его оси проведено сечение, диагональ которого равна 10 см, высота цилиндра равна 6см., а радиус основания 5 см. На каком расстоянии от оси проведено это сечение?

2)Найдите площадь полной поверхности цилиндра, если диагональ его осевого сечения, равная 4 см, составляет с образующей цилиндра угол величиной 30 °. 

3)Дано: цилиндр; ABCD - квадрат; АС = 8см (рис. ). Найти: Sб.п.ц.

4)Дано: цилиндр, ABCD - квадрат; Sосн.ц. = 36π см2 (рис.). Найти: Sб.п.ц.

5)Дано: цилиндр, АВ1 = 20 см, B1AB = 30° (рис.). Найти: hRосн.

Критерии оценки: Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-5, Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-4, Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3.

Требования к оформлению самостоятельной работы: Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.

Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.

























Самостоятельная работа № 20

Тема: Типовой расчет по теме «Конус».

Цель работы:

  • повторить, закрепить основные понятия по теме «Конус»,

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал: Л.С. Атанасян. Геометрия 10-11 класс, глава 6. § 2.

Решение типовых заданий:

Пример 1. Высота конуса равна 5см, а радиус основания 12см. Найдите площадь полной поверхности конуса. 
Решение
Для нахождения площади поверхности конуса воспользуемся следующими формулами: S
1 = rl - площадь боковой поверхности конуса, где r - радиус конуса, а l - длина образующей, S2 = r2 - площадь круга, то есть основания конуса. Таким образом, площадь поверхности конуса составит  S = S1 + S2 .
Поскольку S
1 = rl , найдем образующую. Поскольку высота конуса, радиус основания конуса и образующая являются сторонами прямоугольного треугольника, то  l2 = h2 + r2 , l2 = 52 + 122 = 25 + 144 = 169 , l = 13.
Тогда
 S = S1 + S2 = + 144 = 156+ 144 = 300 ≈ 942,48 
Ответ: 300 ≈ 942,48 см2 .hello_html_m6d6bd24b.jpg

Пример 2. Дано: конус, ОР = 15 см, ОВ = r = 8 см (рис.). Найти:РВ.  Решение: Из ΔОРВ по теореме Пифагора:PB2= PO2 + OB2, PB2= 152 + 82 = 225 + 64 = 289, PB = 17. Ответ: 17 см.

Пример 3. Дано: Конус, ABC = 120°, АВ = 6 (рис.). Найти: R,h.  Решение:1) ΔАВС - равнобедренный, угол при основании  С = 30°. 2)Из ΔАВО : h = ВО = AB : 2 = 3. 3)R = AO = AB · cos 30° = 6 ·  : 2 = 3 . Ответ: H = 3, R = 3.hello_html_m6bcb7613.jpg

Пример 4. Дано: Конус. ΔАВС - равносторонний, АВ = 12, = 10 (рис.). Найти: OK,h.  Решение:1) Из ΔВОС по теореме Пифагора: h2 = OB2 = BC2OC2, h2 = 122 – 102 = =144 – 100 = 44, h = = 2 2)ΔABC - равносторонний, АС = 12, СК = 6. Из ΔСОК по теореме Пифагора ОК2 = ОС2СК2, ОК2 = 102 62 = 100 36 = 64, OK = 8. Ответ: h = 2, ОК = 8.hello_html_m2d0d5103.jpg

Пример 5. Дано: конус, h = OP = 1,2 см, Sосев. = 0,6 см2 (рис.). Найти: Sполн. . Решение:hello_html_28ad1e01.jpg

  1. Осевое сечение - треугольник: высота 1,2 см и основание 2r.

Sосев. =  · 2r h = r h, r = Sосев. : h = 0,6 : 1,2 = 0,5 см.

  1. Из ΔАОР по теореме Пифагора: l2 = h2 + r2  = OP2 + OA2. l2 = 1,22 + 0,52 = 1,44 + 0,25 = 1,69, l = 1,3 см.

  2. Sполн. = · (r + l) , Sполн. = 0,5 · (0,5 + 1,3) = · 0,5 · 1,8 = 0,9 Ответ: 0,9π см2.


Задание:

1вариант.

  1. Высота конуса равна 10 см, а радиус основания 24 см. Найдите площадь полной поверхности конуса.

  2. Дано: конус, ОР = 12 см, ОВ = r = 9 см (рис.). Найти: РВ. 

  3. Дано: Конус, ABC = 120°, АВ = 8 (рис.). Найти: R, h. 

  4. Дано: Конус. ΔАВС - равносторонний, АВ = 24, = 20 (рис.). Найти: OK, h.

  5. Дано: конус, OP = 2,4 см, Sосев. = 2,4 см2 (рис.). Найти: Sполн. 

2 вариант.

  1. Высота конуса равна 6 см, а радиус основания 8 см. Найдите площадь полной поверхности конуса.

  2. Дано: конус, ОР = 15 см, ОВ = r = 20 см (рис.). Найти: РВ. 

  3. Дано: Конус, ABC = 120°, АВ = 10 (рис.). Найти: R, h. 

  4. Дано: Конус. ΔАВС - равносторонний, АВ = 32, = 20 (рис.). Найти: OK, h.

  5. Дано: конус, OP = 0,9 см, Sосев. = 1,08 см2 (рис.). Найти: Sполн. 

Критерии оценки: Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-5, Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-4, Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3.



Требования к оформлению самостоятельной работы: Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.



Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.





Самостоятельная работа № 21

Тема: Типовой расчет по теме «Уравнение сферы».

Цель работы:

  • повторить, закрепить основные понятия по теме «Уравнение сферы»,

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал: Л.С. Атанасян. Геометрия 10-11 класс, глава 6. § 3.

Решение типовых заданий:

Пример 1. Сфера задана уравнением x 2 + (y +3)2 + (z – 2)2 = 25.

Найдите координаты центра и радиуса сферы.

Решение: О - центр сферы, О(0,-3,2), R = = 5. Ответ: О(0,-3,2), R = 5.

Пример 2. Напишите уравнение сферы радиуса = 7 с центром в точке А(2; 0; -1). Решение: (x -2)2 + y 2 + (z +1)2 = 49.

Ответ: (x -2)2 + y 2 + (z +1)2 = 49.

Пример 3. Лежит ли А(2; 1; 4) на сфере, заданной уравнением  (x + 2)2 + (y 1) 2 + (z 3)2 = 1. Решение: Подставим координаты точки А в уравнение сферы (2 + 2)2 + (1 1) 2 + (4 3)2 = 1, 1 = 1(верно), точка А лежит на сфере. Ответ: точка А лежит на сфере.

Пример 4. Найти координаты центра и радиус сферы x2 + y2 + z2 + 4y2z = 4. Решение: x2 + y2 + z2 + 4y  2z = 4 выделим квадрат двучлена: х2 + у2 + 4у + 4 4 + z24z + 1 1 = 4, х2 + (у + 2)2 + (z  1)2 = 9, центр окружности С(0; 2; 1), радиус R = 3.

Ответ: С(0; 2; 1), R = 3.

Пример 5. Дано: уравнение сферы, х2 + у2z2 + 2у 4= 4.

Найти: а) О(х0; у0z0), R; б) m, при котором А(0; m; 2) и В(1; 1; m2) принадлежат сфере.

Решение: а) x 2 + y 2 +2у + z 24z = 4, x 2 + y 2 +2у+11 + z 2 – 4z + 4 4 = 4, x 2 + (y + 1)2 + (z – 2)2 = 9. О(0,1,2), R = = 3. б) А(0; m; 2) и В(1; 1; m2)

 , , ,

, m = 2. При m = 2 точки A и В принадлежат сфере. Ответ: а) О(0; 1; 2), R = 3; б) при m = 2.





Задание:

1вариант.

  1. Сфера задана уравнением (x – 1)2 + y 2 + (z – 2)2 = 9.

Найдите координаты центра и радиуса сферы.

  1. Напишите уравнение сферы радиуса = 4 с центром в точке А(2; 1; 0).

  2. Лежит ли А(5; -1; 4) на сфере, заданной уравнением  (x -3)2 + (y+ 1) 2 + (z4)2 = 4.

  3. Найти координаты центра и радиус сферы x2 – 6x + y2 + z2 = 0.

  4. Дано: уравнение сферы, х2 + у2z2 + 4у2= 4.

Найти: а) О(х0; у0z0), R; б) m, при котором А(0; m; 1) и В(1; 0; m2) принадлежат сфере.



2 вариант.

  1. Сфера задана уравнением (x – 3)2 + y 2 + (z + 2)2 = 16.

Найдите координаты центра и радиуса сферы.

  1. Напишите уравнение сферы радиуса = 6 с центром в точке А(3; 2; 0).

  2. Лежит ли А(5; -1; 4) на сфере, заданной уравнением  (x -5)2 + (y+ 2) 2 + (z - 3)2 = 2.

  3. Найти координаты центра и радиус сферы x2 + 6y + y2 + z2 = 0.

  4. Дано: уравнение сферы, х2 + у2z2 + 4у – 2= 4.

Найти: а) О(х0; у0z0), R; б) m, при котором А(3; m; 1) и В(1; m1; 0) принадлежат сфере.



Критерии оценки: Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-5,

Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-4,

Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3.

Требования к оформлению самостоятельной работы:

Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.



Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.









Самостоятельная работа № 22

Тема: Решение теста по теме «Тела вращения».

Цель работы: повторить, закрепить основные понятия по теме «Тела вращения».

Методические рекомендации к выполнению теста:

  1. Прочитать вопрос, ответить на его и записать букву , под которой записан правильный ответ.

  2. Решив задачу, нужно выбрать правильный ответ и записать номер, под которым он записан.

Задание:

Тест: «Тела вращения».

1. Сколько диаметров у сферы? А.1. Б.3.В.2. Г. бесконечно много.

2. Какой фигурой является сечение шара плоскостью?

А. отрезком. Б. Кругом. В. окружностью. Г. сферой.

3. Если радиус сферы увеличить в 2 раза то объём увеличиться

А. в 2 раза .Б. в 8 раз. В. в 4 раза. Г. в 16 раз.

4. В формуле V=4/3. R 3 ,V-объём

А. шара. Б. Цилиндра. В. конуса .Г. шарового сектора.

5. Конус можно получить, если вращать вокруг стороны

А. равносторонний треугольник .Б. остроугольный треугольник.

В. тупоугольный треугольник .Г. прямоугольный треугольник.

6. Площадь поверхности шара (сферы) уменьшили в 9 раза. Объём уменьшиться в ...

А. 3 раз. Б. 27 раз. В. 9 раз. Г.81 раз.

7.Площадь боковой поверхности конуса равна

А. 2, Б. 4 , В. ;

8.Тело вращения, площадь боковой поверхности которого равна 2 называется

А. цилиндр, Б. Шар, В. конус;

9.У какого тела вращения 2 основания

А. конус, Б. шар, В. цилиндр;

10.В сечении треугольник. В каком теле вращения это возможно?

А. конус, Б. шар, В. цилиндр;

11.В каком теле вращения нет высоты;

А. шар, Б. цилиндр, В. конус, Г. усеченный конус;

12.Какая фигура в осевом сечении у шара

А. квадрат, Б. ромб, В. круг, Г. прямоугольник;


Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-12,

Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-10,

Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-6.


Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.






Самостоятельная работа № 23

Тема: Типовой расчет по теме «Объём прямоугольного параллелепипеда».

Цель работы:

  • повторить, закрепить основные понятия по теме «Объём прямоугольного параллелепипеда»,

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал: Л.С. Атанасян. Геометрия 10-11 класс, глава 7. § 1. Решение типовых заданий:

Пример 1. Площадь грани прямоугольного параллелепипеда равна 12. Ребро, перпендикулярное этой грани, равно 4. Найдите объем параллелепипеда. Решение: Каждая грань прямоугольного параллелепипеда –прямоугольник. Пусть SABCD= a b = 12 , тогда АА1= h = 4, т.к. АА1 АВСD. Используем формулу объема прямоугольного параллелепипеда V = a b h , V = 12 4 = 48. Ответ: 48 см3. Пример 2. Объем прямоугольного параллелепипеда равен 12. Одно из его ребер равно 3. Найдите площадь грани параллелепипеда, перпендикулярной этому ребру. Решение: Пусть АА1 АВСD, V = 12 , АА1= h = 3. Найдём SABCD. Используем формулу объема прямоугольного параллелепипеда V = a b h, где SABCD= a b, S ABCD 3 = 12,S ABCD = 4. Ответ: 4 см2. Пример 3. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2, 4. Диагональ параллелепипеда равна 6. Найдите объем параллелепипеда. Решение: a = 4, b = 2, d = 6. Найдем V. Формула диагонали прямоугольного параллелепипеда: d2 = a2 + b2 + h2 , 16 + 4 + h2 = 36, h2 = 16, h = 4. Формула объема прямоугольного параллелепипеда: V = abh , V = 4 2 4 = 32. Ответ: 32 см3. Пример 4. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2, 3. Объем параллелепипеда равен 36. Найдите его диагональ и высоту. Решение: a = 3, b = 2. Формула объема прямоугольного параллелепипеда: V = abh , 3 . 2 . h = 36, 6h = 36, h = 6. V = 36.Найдем d. d2 = 9 + 4 + 36, d2 = 49, d = 7. Ответ: 7 и 6 см. Пример 5. Дано: ABCDA1B1C1D1 - прямоугольный параллелепипед, диагональ D1= 18 составляет угол в 30° с плоскостью боковой грани, и угол в 45° с боковым ребром (рис. ). Найти: V.

 Решение: BC1 - проекция D1на плоскость боковой грани BB1С1С, поэтому D1BC1 = 30°D1BB1= 45°. Рассмотрим ΔD1C1BD1C1= 90° (рис.). ∠В = 30°. => D1C1 = 18 : 2 = 9 см. Рассмотрим ΔD1B1- прямоугольный: BB1= 18 cos 45° = 18 : 2 = 9 см. Диагональ (d) и измерения (а, b, с) прямоугольного параллелепипеда связаны соотношением: d2 = a2 + b2 + h2 , 182 = 92 + (9)2 + B1C12 , (ΔD1B1B: B1B =D1 B1). B1C12 = 182 92 (9)2 = 324 – 8181 2 = 81, B1C1 = 9см. V = 99 9 = 729 см3hello_html_m49e41dc8.jpg

Ответ: V = 729см3.

Пример 6. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда 3 и 4. Найти его объём, если высота равна длине диагонали его основания.

Решение: BD - диагональ основания прямоугольного параллелепипеда. BD2 = АВ2 + АD2, BD2 = 32 +42 = 9 + 16 = 25, BD = 5, h = 5. V = 345 = 60 см3. Ответ: 60 см3.

Пример 7. Найти объём прямоугольного параллелепипеда, если стороны основания 2 и 3, а диагональ параллелепипеда .

Решение: d2 = a2 + b2 + h2 , ()2 = 22 + 32 + h2 , h 2 = 38 – 4 9 = 25, h = 5.

V = 23 5 = 30 см3. Ответ: 30 см3.

Задание: 1вариант.

  1. Площадь грани прямоугольного параллелепипеда равна 15. Ребро, перпендикулярное этой грани, равно 6. Найдите объем параллелепипеда.

  2. Объем прямоугольного параллелепипеда равен 24. Одно из его ребер равно 3. Найдите площадь грани параллелепипеда, перпендикулярной этому ребру.

  3. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 3, 4. Диагональ параллелепипеда равна 13. Найдите объем параллелепипеда.

  4. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 3, 6. Объем параллелепипеда равен 108. Найдите его диагональ и высоту.

  5. Дано: ABCDA1B1C1D1 - прямоугольный параллелепипед, диагональ  D1= 12 составляет угол в 30° с плоскостью боковой грани, и угол в 45° с боковым ребром (рис. ). Найти: V.

2 вариант.

  1. Площадь грани прямоугольного параллелепипеда равна 18. Ребро,перпендикулярное этой грани, равно 5. Найдите объем параллелепипеда.

  2. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 3, 4. Объем параллелепипеда равен 144. Найдите его диагональ и высоту.

  3. Дано: ABCDA1B1C1D1 - прямоугольный параллелепипед, диагональ  D1= 16 составляет угол в 30° с плоскостью боковой грани, и угол в 45° с боковым ребром (рис. ). Найти: V.

  4. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда 6 и 8. Найти его объём, если высота равна длине диагонали его основания.

  5. Найти объём прямоугольного параллелепипеда, если стороны основания 4 и 6, а диагональ параллелепипеда .

Критерии оценки: Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-5, Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-4, Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3.

Требования к оформлению самостоятельной работы: Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.

Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.





Самостоятельная работа № 24

Тема: Типовой расчет по теме «Расчет объёма прямой и наклонной призмы».

Цель работы:

  • повторить, закрепить основные понятия по теме «Объём прямой и наклонной призмы»,

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал: Л.С. Атанасян. Геометрия 10-11 класс, глава 7. § 2-3. Решение типовых заданий: 1 ЧАСТЬ. Объём прямой призмы.hello_html_m3970c1fc.jpg

Пример 1. Дано: АВСА1В1С1 - прямая призма, АС = ВС, ACB = 90°BN NACNC1 = 45°CC1 = 6 (рис.). Найти: V. Решение: V = Sh , S = BC2 : 2, BC2 = BN2 + CN2 , BN =CN (ΔABC – прямоугольный,AC =BC), ΔC1CN – прямоугольный,CNC1 = 45°CC1 = CN= 6, BC2 =2CN2 = 2 62 = 236 = 72, BC =6 , V = (62 6 : 2 = 216 см3.    
Ответ:216см3.     Пример 2. Дано: ABCDА1В1С1D1 - прямая призма,  ABCD - ромб, BAD = 60° (рис.). ВВ1 = 2, B1DB = 45°. Найти: V. РешениеSp = AB AD sin 60°. ΔABD – равносторонний( AB = AD,BAD = 60° ). AB = BD = AD. ΔB1DB –прямоугольный , B1DB = 45°. => ΔB1DB – равнобедренный, ВВ1 = ВD = 2, V = AB AD sin 60° BB1= BB13 sin 60° = = 23 / 2 = 4 см3.hello_html_6c1a9bbb.jpg

Ответ: 4 см3hello_html_72355ff0.jpg

Пример 3. Дано: ABCDFM...M1 - правильная шестиугольная призма. AD1 = 8 см - наибольшая диагональ.AD1= 30°(рис.). Найти: V.  Решение: V= S0 · h. h = DD1 в ΔADD1, = 90°. D1 = 30°, DD1 = AD1 · cos 30°. DD1 = 8 / 2 = 4 , AD = AD1 : 2 = 4 см, OD = OC = CD = AD : 2 = 2 см, S0 = 6S ΔOCD = 6 / 4) a2 = 6 / 4) 22 = 6 см. V = 6 = 72 см3.    

Ответ: 72 см3.     hello_html_m47ca6280.jpg

Пример 4. Дано: АВСА1В1С1 - прямая призма, АВ = ВС = 10 см, АС = 12 см, К - середина ребра,  KDB =60° (рис.). Найти: Vпр. Решение:1) Рассмотрим получившееся сечение: ΔАКС и определим угол между плоскостью (АКС) и плоскостью основания. В ΔАВС проведем BD AC, тогда AC  KD (теорема о трех перпендикулярах).KDB и есть линейный угол двугранного угла между плоскостью (АКС) и плоскостью основания;KDB = 60°. 2) V= S0 · h. 3) Найдем площадь основания. S0 = ah : 2 . Рассмотрим AВС: равнобедренный, поэтому BD - высота, медиана и биссектриса треугольника, т. е.AD DC = 6 см. Далее из BDC по теореме Пифагора находим высоту треугольника ABC: h2 = BD2 = BC2DC2 = 102 62 = 100 36 = 64, h = BD = 8 см. a = AC = 12 см,S0 = 128 : 2 = 48 см2. 4) Найдем высоту призмы ВВ1. Рассмотрим ΔBDK - прямоугольный, BDK =60°, BK = BD tg 60° = 8 = 8см. h = BB1 = 2BK = 16 см. 5) V= S0 · h. V= 48 · 16 = 768 см3.  Ответ: 768 см3.    

Пример 5. a) трапеция, S(BB1C1C) = 8 см2, S(AA1D1D) = 12см2, BH = 5 см (рис.).Найти: Vnp.  Решение:1)Расстояние между параллельными плоскостями ВВ1С1 и AA1D1 есть длина перпендикуляра ВН, который является высотой трапеции ABCD. hello_html_m62762a7f.jpg

2) Обозначим верхнее основание трапеции - а, нижнее - b, высоту призмы h, тогда S(BB1C1C) = ah, 8 = ah, a = 8 / h, S(AA1D1D) = bh , 12 = bh, b = 12 / h,

3) S0 = (AD + BC)BH : 2 = ( a + b ) BH : 2 = (8 / h + 12 / h) 5 : 2 = 50 / h,

4) V= S0 · h. V= 50 / · h = 50 см3.  Ответ: 50 см3.

б) Дано: АВСDА1В1С1D1 — прямая призма,  ABCD - трапеция. 

V np. = 40 см3, S(BB1C1C) = 6 см2, S(AA1D1D )= 14 см 2. Найдите: BH. Решение:1) Расстояние между параллельными плоскостями ВВ1С1 и AA1D1 есть длина перпендикуляра ВН, который является также высотой трапеции ABCD. 2) Обозначим: а - верхнее основание трапеции, b - нижнее основание, h - высота призмы, тогда S(BB1C1C) = ah, 6 = ah, a = 6 / h, S(AA1D1D) = bh , 14 = bh, b = 14 / h, S0 = (AD + BC)BH : 2 = ( a + b ) BH : 2= (6 / h + 14 / h) BH : 2 = 10 BH / h. 3) V= S0 · h.  40 = 10 BH / h h = 10 BH, BH = 40 : 10 = 4 см. Oтвет: 4 см.

2ЧАСТЬ. Объём наклонной призмы.

Пример 1. В наклонной призме боковое ребро равно 7 см, перпендикулярное сечение - прямоугольный треугольник с катетами: 4 см и 3 см. найдите объем призмы. Решение: V= Sперп.сеч. · а. Sперп.сеч – площадь перпендикулярного сечения, а – боковое ребро. Sперп.сеч = b·с : 2 = 4·3 : 2 = 6, V= Sперп.сеч. · а = 6 ·7 = 42 см3. Ответ: 42 см3. Пример 2. Дано: АВСА1В1С1 - наклонная призма, АВ = 10 см, ВС = 10 см, АС = 12 см, ВВ1 = 8 см,  B1BK = 60° (рис.).Найти: Vnp. Решение:1) V= S0 · h.  p = (a + b + c) : 2= (10 + 12 +10) : 2 = 16,hello_html_m2de4b194.jpg

S0 = (ф-ла Герона).

S0 = см2.

2) ΔBB1- прямоугольный, так как В1Н - высота. В1Н = ВВ1 · sin60°; В1Н = h = 8 · / 2 = 4 см.

3) V= S0 · h = · 48 = 192 см3

Ответ: Vnp. = 192 см3.

Пример 3. Дано: АВСА1В1С1 - наклонная призма, ВВ1С1С - ромб, B1С  (ABC), В1С = 3, ΔАВС - равносторонний, ВВ1 = 5 (рис.).hello_html_67079322.jpg

Найти: Vnp. Решение:1) V= S0 · h. BB1 = BC  (по условию).

2) S0 = 1/2 AB · BC · sin 60° = 1/2· 5· 5 · sin 60° = 1/2 · 25 · / 2 = 6,25

3) B1CK = 90° (по определению угла между прямой и плоскостью);

В1С = 3. V= 6,25 = 18,75  см3. Ответ: 18,75  см3. 

Пример 4. Дано: АВСА1В1С1 - наклонная призма, АВ = АС = 3 см; ВС = 2 см; АА1 = 4 см;  А1АН = 45°Vnp. = Vкуба. (рис.).hello_html_54f588cc.jpg

Найти: а - ребро куба. Решение:

1) Vnp.= S0 · h.  p = (a + b + c) : 2= (2 + 3 + 3) : 2 = 4,

S0 = по формуле Герона; 

S0 = см2.

2) AK  BС;  АК; ΔАА1Н - прямоугольный, A1H = A1A · sinА1АН, A1H = h = 4 · sin45° = 4 · / 2 = 2 см. 3) Vnp.= S0 · h =  2 = 8 см3. 4) Vк = Vnp. Vк = a3 = 8 , a = 2 см.

Ответ: а = 2 см.

Пример 5. Дано: ABCDA1B1C1D1 - наклонная призма;

ABCD - прямоугольник; АВ = 6 см; AD = 8 см,

AA1B1B - квадрат; KHF = 60° (рис.).

Найти: Vnp.

Решение:hello_html_m5492efc4.jpg

1. Vnp.= S0 · h. S0 = AB · AD, S0 = 6 · 8 = 48см2.

2. КО - высота призмы; ΔКОН - прямоугольный, KO = h = KH · sinKHF,

 KO = 6 · sin 60° = 6 · / 2 = 3 KH = AA1 = AB = 6 см.

3. Vnp.= S0 · h = 48 · 3 = 144 см3.

Ответ: 144 см3.

Задание: 1 ЧАСТЬ.

1вариант.

  1. Дано: АВСА1В1С1 - прямая призма, АС = ВС, ACB =90°BN NACNC1 = 45°CC= 8 (рис.). Найти: V.

  2. Дано: ABCDА1В1С1D1 - прямая призма,  ABCD - ромб, BAD = 60° (рис.). ВВ1 = 4B1DB = 45°. Найти: V.

  3. Дано: ABCDFM...M1 - правильная шестиугольная призма. AD1 = 16 см - наибольшая диагональ.AD1= 30° (рис.). Найти: V. 

  4. Дано: АВСА1В1С1 - прямая призма, АВ = ВС = 20 см, АС = 24 см, К - середина ребра,  KDB =60° (рис.). Найти: Vпр.

  5. a)трапеция, S(BB1C1C) = 10 см2, S(AA1D1D) = 14см2, BH = 10 см (рис.). Найти: Vnp.  б)Дано: АВСDА1В1С1D1 — прямая призма,  ABCD - трапеция. 

V np. = 35 см3, S(BB1C1C) = 4 см2, S(AA1D1D )= 10 см 2 .Найдите: BH.

2 вариант.

  1. Дано: АВСА1В1С1 - прямая призма, АС = ВС, ACB =90°BN NACNC1 = 45°CC= 10 (рис.). Найти: V.

  2. Дано: ABCDА1В1С1D1 - прямая призма,  ABCD - ромб, BAD = 60° (рис.). ВВ1 = 6B1DB = 45°. Найти: V.

  3. Дано: ABCDFM...M1 - правильная шестиугольная призма. AD1 = 4 см - наибольшая диагональ.AD1= 30° (рис.). Найти: V. 

  4. Дано: АВСА1В1С1 - прямая призма, АВ = ВС = 5 см, АС = 6 см, К - середина ребра,  KDB =60° (рис.). Найти: Vпр.

  5. a)трапеция, S(BB1C1C) = 6 см2, S(AA1D1D) = 10см2, BH = 8 см (рис.). Найти: Vnp.  б)Дано: АВСDА1В1С1D1 — прямая призма,  ABCD - трапеция. 

V np. = 80 см3, S(BB1C1C) = 8 см2, S(AA1D1D )= 12 см 2 .Найдите: BH.

2 ЧАСТЬ.

1вариант.

  1. В наклонной призме боковое ребро равно 5 см, перпендикулярное сечение - прямоугольный треугольник с катетами: 6 см и 8 см. найдите объем призмы.

  2. Дано: АВСА1В1С1 - наклонная призма, АВ = 5 см, ВС = 5 см, АС = 6 см, ВВ1 = 12 см,  B1BK = 60° (рис.). Найти: Vnp.

  3. Дано: АВСА1В1С1 - наклонная призма, ВВ1С1С - ромб, B1С  (ABC), В1С = 5, ΔАВС - равносторонний, ВВ1 = 6 (рис.). Найти: Vnp.

  4. Дано: АВСА1В1С1 - наклонная призма, АВ = АС = 6 см; ВС = 4 см; АА1 = 8 см; А1АН = 45°Vnp. = Vкуба. (рис.).Найти: а - ребро куба.

  5. Дано: ABCDA1B1C1D1 - наклонная призма; ABCD - прямоугольник; 

АВ = 8 см; AD = 10 см, AA1B1B - квадрат; KHF = 60° (рис.). Найти: Vnp.

2 вариант.

  1. В наклонной призме боковое ребро равно 10 см, перпендикулярное сечение - прямоугольный треугольник с катетами: 5 см и 8 см. найдите объем призмы.

  2. Дано: АВСА1В1С1 - наклонная призма, АВ = 15 см, ВС = 15 см, АС = 18 см, ВВ1 = 14 см,  B1BK = 60° (рис.). Найти: Vnp.

  3. Дано: АВСА1В1С1 - наклонная призма, ВВ1С1С - ромб, B1С  (ABC), В1С = 9, ΔАВС - равносторонний, ВВ1 = 4 (рис.). Найти: Vnp.

  4. Дано: АВСА1В1С1 - наклонная призма, АВ = АС = 9 см; ВС = 6 см; АА1 = 10 см; А1АН = 45°Vnp. = Vкуба. (рис.).Найти: а - ребро куба.

  5. Дано: ABCDA1B1C1D1 - наклонная призма; ABCD - прямоугольник; 

АВ = 4 см; AD = 10 см, AA1B1B - квадрат; KHF = 60° (рис.). Найти: Vnp.

Критерии оценки: Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-5, обе части, Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-4, обе части, Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3, обе части.

Требования к оформлению самостоятельной работы: Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2. Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.

Самостоятельная работа № 25

Тема: Типовой расчет по теме «Объём цилиндра».

Цель работы:

  • повторить, закрепить основные понятия по теме «Объём цилиндра»,

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал: Л.С. Атанасян. Геометрия 10-11 класс, глава 7. § 2.

Решение типовых заданий:

Пример 1. Дано: цилиндр, r = 2см, h = 3 см.

Найти: V.

Решение: V= S0 · h. V= πr2 · h = π()2 3 = π 8 3= 24 π см3.

Ответ: 24π см3.

Пример 2. Дано: цилиндр, r = h= 8π см3.

Найти: h.

Решение: V= S0 · h. V= πr2 · h, так как r = h, то V = πh3 => h3 = V / π, h3 = 8 π / π = 8, h = 2 см. Ответ: 2 см.hello_html_2cd2a3a8.jpg

Пример 3. Дано: цилиндр, ABCD - осевое сечение, ABCD - квадрат, 

АС = 8см. (рис.). Найдите: Vцил. 

Решение:1) V= S0 · h. 

2)Рассмотрим ΔАВС - прямоугольный, так как ABCD квадрат. Пусть АВ = ВС = x см(x >0), тогда

x2 + x2 = (8)2, 2x2 = 642,x2 = 64, x = 8. Итак: АВ = ВС = 8 см, т.е. = 8 (см).

3) Найдем радиус основания: = 1/2AD = h / 2 = 4 см, тогда S0 = πr2 , S0 = 16π см2. 

4) V= S0 · h. V= 16 π · 8 = 128 π см3.  

Ответ: 128 π см3.

Пример 4. Дано: цилиндр, ABCD - осевое сечение, ABCD - квадрат, АС = 6см (рис. Пример 3.).

Найдите: Vцил. Решение: 1) V= S0 · h.  2)Рассмотрим ΔАВС - прямоугольный и равнобедренный, так как ABCD – квадрат. Обозначим АВ = ВС = х см (x >0), тогда x2 + x2 = (6)2, 2x2 = 362,x2 = 36, x = 6, т. е. АВ = ВС = 6 см, и так = 6 см. 3) Найдем радиус основания r = AD : 2 = AB : 2 = 6 : 2 = 3см. S0  = πr2 = 9πсм2. 

4) V= S0 · h. V= 9π · 6 = 54πсм3.   Ответ: 54π см3.

Пример 5. Дано: цилиндр (MNKL) || OO1, ОН =15 см, МК = 20 см, r = 17 см (рис.). Найдите: Vцил. hello_html_60118f26.jpg

Решение:

1) Рассмотрим получившееся сечение: так как плоскость параллельна оси цилиндра, то MN || OO’ иKL || OO’, т.е. MN || KL; ОО1 основанию  MN  основанию и КО  основанию, кроме того NK ||ML - лежат в параллельных плоскостях, таким образом четырехугольник MNKL - прямоугольник.

2)  V= S0 · h. V= πr2 · h = 172πh = 289 πh см3

3) Рассмотрим ΔMOL: проведем ОН  ML; ОН и есть расстояние от плоскости сечения до оси цилиндра, т. е. ОН = 15 см. ОН - высота, медиана и биссектриса равнобедренного ΔMOL, HL = ML : 2 , HL2 = OL2OH2 = 172 – 152 = 289 – 225 = 64 , HL = 8см, ML = 16 см.

4) Находим высоту цилиндра из прямоугольного ΔMKL: h2 = KL2 = MK2ML2 = 202 – 162 = 400 – 256 = 144, h = 12см.

5) V =289π 12 = 3468π см3.

Ответ: 3468π см3.

Задание: 1вариант.

  1. Дано: цилиндр, r = 4см, h = 3 см.Найти: V.

  2. Дано: цилиндр, r = h= 27π см3.Найти: h.

  3. Дано: цилиндр, ABCD - осевое сечение, ABCD - квадрат, АС =10см.(рис.). Найдите: Vцил. 

  4. Дано: цилиндр, ABCD - осевое сечение, ABCD - квадрат, АС = 4 см (рис. Пример 3.). Найдите: Vцил.

  5. Дано: цилиндр (MNKL) || OO1, ОН =30 см, МК = 40 см, r = 34 см (рис.). Найдите: Vцил. 

2 вариант.

  1. Дано: цилиндр, r = 6см, h = 3 см.Найти: V.

  2. Дано: цилиндр, r = h= 64π см3.Найти: h.

  3. Дано: цилиндр, ABCD - осевое сечение, ABCD - квадрат, АС =12см.(рис.). Найдите: Vцил. 

  4. Дано: цилиндр, ABCD - осевое сечение, ABCD - квадрат, АС = 14см (рис. Пример 3.). Найдите: Vцил.

  5. Дано: цилиндр (MNKL) || OO1, ОН = 24 см, МК = 25 см, r = 26 см (рис.). Найдите: Vцил.

Критерии оценки: Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-5, Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-4, Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3.

Требования к оформлению самостоятельной работы: Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.

Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.



Самостоятельная работа № 26

Тема: Типовой расчет по теме «Объём конуса».

Цель работы:

  • повторить, закрепить основные понятия по теме «Объём конуса»,

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал: Л.С. Атанасян. Геометрия 10-11 класс, глава 7. § 3.

Решение типовых заданий:

Пример 1. a) Вычислите объем конуса, если его высота 6 см, а площадь основания 42 см2.

Решение: V= 1/3S0 · h. V= 1/3· 42 · 6 = 84 см3.

Ответ: 84 см3. 

б) Найти объем конуса с радиусом основания 4 м и высотой 6 м .

Решение: V= 1/3 πr2 · h. V= 1/3 · π ·42 · 6 = 32 π м3. 

Ответ: 32 π м3. 

Пример 2. Образующая конуса равна 60 см, высота 30 см. Найдите Vк (рис.).hello_html_22f040f9.jpg

Решение: Из ΔАOР (O = 90°): Так как РО = 1/2АР, то

= 30°,  R = AO = 60 · cos 30° = 60 · / 2 = 30 см,

 V= 1/3 πr2 · h. V= 1/3 π(30)2 · 30 = 27000 π см3.

Ответ: V = 27000π см3.

Пример 3. Образующая конуса, равна 12 см, наклонена к плоскости основания под углом 30° (рис.).hello_html_77625222.jpg

Найдите объем конуса.

Решение: V= 1/3 π ·AO2 · SO. 

Из ΔАSO (O = 90°): h = SO = 1/2 AC = 12 : 2 = 6 см.

R = AO = 12 · cos 30° = 12 · / 2 = 6 см.

V= 1/3 π(6)2 · 6 = 2 π · 36 · 3 = 216 π см3.

Ответ: V= 216π см3.

Пример 4. Образующая конуса 8 см, а угол при вершине осевого сечения 60°.

Найдите объем конуса. hello_html_6c88cf6d.jpg

Решение: (рис.) V= 1/3 πr2 · h. r = 8 : 2 = 4 см.

h = 8 · sin 60° = 8 · / 2 = 4  см.

V= 1/3 π · 42 · 4 = 64 / 3 21,3π см3.

Ответ: 21,3π см3.


Пример 5. Дано: конус, АР = см, PAB = 45° (рис. ).

Найти: V. hello_html_20ab41b2.jpg

Решение: V= 1/3 πr2 · h. 

 AO= РО. Из ΔAОР ((= 90°): APO = 45°, значит, AO = PO = r = h.

По теореме Пифагора 2r= 6, r2 = 3, r = h = .

V= 1/3 π()2 ·  = 1/3· π · 3 · = π см3.

Ответ: V = π см3.






Задание:

1вариант.


  1. a)Вычислите объем конуса, если его высота 3 см, а площадь основания 12 см2.

б) Найти объем конуса с радиусом основания 5 м и высотой 9 м .

  1. Образующая конуса равна 4 см, высота 2 см. Найдите Vк (рис.).

  2. Образующая конуса, равна 12 см, наклонена к плоскости основания под углом 30° (рис.).Найдите объем конуса.

  3. Образующая конуса 4 см, а угол при вершине осевого сечения 60°.

Найдите объем конуса. 

  1. Дано: конус, АР = см, PAB = 45° (рис. ).Найти: V. 


2 вариант.


  1. a)Вычислите объем конуса, если его высота 9 см, а площадь основания 15 см2.

б) Найти объем конуса с радиусом основания 7 м и высотой 3 м .

  1. Образующая конуса равна 8 см, высота 4 см. Найдите Vк (рис.).

  2. Образующая конуса, равна 12 см, наклонена к плоскости основания под углом 30° (рис.).Найдите объем конуса.

  3. Образующая конуса 6 см, а угол при вершине осевого сечения 60°.

Найдите объем конуса. 

  1. Дано: конус, АР = см, PAB = 45° (рис. ).Найти: V. 


Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-5,

Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-4,

Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3.

Требования к оформлению самостоятельной работы:

Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.

















Самостоятельная работа № 27

Тема: Типовой расчет по теме «Объём сегмента, слоя, сектора шара».

Цель работы:

  • повторить, закрепить основные понятия по теме «Объём сегмента, слоя, сектора шара»,

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал: Л.С. Атанасян. Геометрия 10-11 класс, глава 7. § 4.

Решение типовых заданий:

Пример 1. Какую часть шара составляет объем шарового сегмента, у которого высота равна 0,1 диаметра шара? Решение: Десятая часть диаметра есть пятая часть радиуса. Значит, высота сегмента h= R/5 , V сегм. = (R/5)2 (RR /15) = (R2/25) 14R/15 = 14 R3/375, V сегм.: V =( 14/375) : (4/3) = 7/250 = 2,8 % . Ответ:  2,8%. Пример 2. Плоскость, перпендикулярная диаметру шара, делит его на части 3 см и 9 см. На какие части делится объем шара? Решение: = (3 + 9) : 2 = 6 см. Высота меньшего сегмента h равна 3 см. Его V1 = h2 (Rh / 3) = 32 ( 6 1) = 45 см2. V = 4/3 R3 = 4/3 63 = 4/3 216 = 288 см3. Значит,  V2 = VV1 = 28845 = 243 см3. Ответ: 45 , 243 см3. Пример 3. Дано: шар, DС — диаметр секущей плоскости, АМ = 6 см, MB = 12см (рис.). V1 - объем меньшего шарового сегмента,  V2 - объем большего шарового сегмента. Найти: V1V2.  Решение: СD  АВ, ЛМ = 6 см, MB = 12 см. На рисунке: DС - диаметр круга, который является плоскостью, перпендикулярной к диаметру шара, делящей шар на два шаровых сегмента. Диаметр шара АВ = АМ + MB = 6 + 12 = 18 (см), R = 9 см. Объем шарового сегмента вычисляется по формуле: V = h2 (Rh / 3) ,  где h = AM - высота меньшего сегмента. V1 = AM2 (RAM / 3) = 62 (9 – 6/3) = 36 7 = 252 см3. Объем шара равен:   Vшара = 4/3 R3 = 4/3 93= 4 81 3 = 972 см3. V2 = VV1 =  972 252 = 720 см3. Ответ: 252π см3 и 720π см3. Пример 4. Чему равен объем шарового сектора, если радиус окружности основания равен 60 см, а радиус шара - 75 см. Решение: Пусть R - радиус шара, r - радиус основания сегмента. Вычислим высоту сегмента Н = РО1, OP = R. Из прямоугольного ΔОО1М:  OO12 = OM2O1M2 = = R2r2 = 752 602 = 5625 – 3600 = 2025, OO1 = 45 см. h = PO1 = OPOO1 = 75 45 = 30 см. V = 2/3 R2h = 2/3 75230 = 20 5625 = 112 500 см3. Ответ: 112 500 см3. Пример 5. Дано: шар, h = 30, R = 45 см. Найти: V1V2, V3. Решение: Объем шарового сегмента вычисляется по формуле: V1 = h2 (Rh / 3) ,  V1= 302 (45 – 30:3) = 900 35 = 31500 см3. V2 = 4/3R3 2 h2 (Rh / 3) = 4/3453 2 302 (45 – 30 / 3) = 121500 63000 = = 58500см3. V3= 2/3 R2h =2/3452 30 = 40500см3. Ответ: 31500 58500 40500см3.hello_html_m45f5722.jpghello_html_m4c44f677.jpg





Задание:

1вариант.

  1. Какую часть шара составляет объем шарового сегмента, у которого высота равна 0,2 диаметра шара?

  2. Плоскость, перпендикулярная диаметру шара, делит его на части 6 см и 12 см. На какие части делится объем шара?

  3. Дано: шар, DС — диаметр секущей плоскости, АМ = 3 см, MB = 9 см (рис.). V1 - объем меньшего шарового сегмента, V2 - объем большего шарового сегмента. Найти: V1V2. 

  4. Чему равен объем шарового сектора, если радиус окружности основания равен 12см, а радиус шара - 15 см.

  5. Дано: шар, h = 30, R = 42 см. Найти: V1V2, V3.

2 вариант.

  1. Какую часть шара составляет объем шарового сегмента, у которого высота равна 0,4 диаметра шара?

  2. Плоскость, перпендикулярная диаметру шара, делит его на части 8 см и 10 см. На какие части делится объем шара?

  3. Дано: шар, DС — диаметр секущей плоскости, АМ = 10 см, MB = 14 см (рис.). V1 - объем меньшего шарового сегмента, V2 - объем большего шарового сегмента. Найти: V1V2. 

  4. Чему равен объем шарового сектора, если радиус окружности основания равен 24 см, а радиус шара - 30 см.

  5. Дано: шар, h = 12, R = 15 см. Найти: V1V2, V3.

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-5,

Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-4,

Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3.

Требования к оформлению самостоятельной работы:

Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.

Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.

















Самостоятельная работа № 28

Тема: Составление опорного конспекта «Расчет объёмов тел».

Цель работы:

  • закрепить понятия: нахождение объемов тел;

  • развитие графических умений и навыков: построение геометрических тел;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

План работы:

  1. Формулы для нахождения объемов тел : параллелепипед, прямая и наклонная призма, пирамида, усеченная пирамида, цилиндр, конус, усеченный конус, шар, шаровой сегмент, шаровой слой, шаровой сектор;

  2. Изображение геометрических тел рядом с формулой;

Методические рекомендации к составлению конспекта:


Конспект– это работа с другим источником.

Цель –зафиксировать ,переработать тот или иной текст.

Конспект представляет собой дословные выписки из текста источника. При этом конспект это не полное переписывание чужого текста. При написании конспекта сначала прочитывается текст –источник, в нем выделяются основные положения , подбираются примеры , идет перекомпоновка материала, а затем уже оформляется текст конспекта. Конспект может быть полным, когда работа идет со всем текстом источника или неполным, когда интерес представляет какой-либо один или несколько вопросов, затронутых в источнике.

Общую последовательность действий при составлении конспекта можно определить таким образом:

1. Уяснить цели и задачи конспектирования.

2.Внимательно прочитать текст параграфа, главы и отметить информационно значимые места.

3. Составить конспект.

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : содержание соответствует теме, материал проработан глубоко, грамотно и полно использованы источники, приведены сложные примеры;

Оценка «4» выставляется , если : материал проработан не глубоко, использованы не все источники, приведены сложные примеры ;

Оценка «3» выставляется, если : материал проработан не полностью, приведены примеры.


Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.





Самостоятельная работа № 29

Тема: Решение теста по теме «Объёмы тел».

Цель работы: повторить, закрепить основные понятия по теме «Объёмы тел».

Методические рекомендации к выполнению теста:

  1. Прочитать вопрос, ответить на его и записать букву , под которой записан правильный ответ.

  2. Решив задачу, нужно выбрать правильный ответ и записать номер, под которым он записан.



Задание: 1 вариант.

1. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда с ребрами 3 см, 5 см и 8 см.

а) 120 см3; б) 60 см3; в) 32 см3; г) другой ответ.

2. Длина прямоугольной комнаты в 2 раза больше ширины и на 2 м больше высоты. Найдите объем комнаты, если ее длина равна 6 м.

а) 432 м3; б) 144 м3; в) 72 м3; г) другой ответ.

3.. Найдите ребро куба, если его объем равен  512  м3

а) 4 м; б) 8 м; в) 16 м; г) другой ответ.

4. Как изменится объем параллелепипеда, если его длину увеличить в 4 раза, ширину увеличить в 6 раз, а высоту уменьшить в 8 раз?

а) увеличится в 3 раза; б) уменьшится в 12 раз; в) не изменится; г) другой ответ.

5. Выберите неверное утверждение.

а) Объём прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник, равен произведению площади основания на высоту;

б) Объём правильной треугольной призмы вычисляется по формуле V = a2h, где а – сторона основания , h – высота призмы;

в) Объём прямой призмы равен половине произведения площади основания на высоту.

6. Сторона основания правильной треугольной призмы равна 2 см, а высота – 5 см. Найдите объём призмы.

а) 15 см3; б) 45 см3; в) 10 см3; г) 12 см3; д) 18 см3.

7.Выпишите формулу для нахождения объёма пирамиды.

а) V=Sоснh; б) V=Sоснh; в) V=Sоснh.

8.Найдите объем пирамиды, высота которой равна 1, а основание — прямоугольник со сторонами 4 и 6. а) 4; б) 8; в) 16.hello_html_37ae8577.jpg

9.Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 1, а высота равна hello_html_6f3a9b7f.png. а) 1,25; б) 1; в) 0,25.

10.В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 12 м, объем равен 200 м3. Найдите боковое ребро этой пирамиды. а) 10 м; б) 13 м; в) 8 м.

11.Найдите объём правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна 3 см, а высота – 4 см. а) 12 см3; б) 42 см3; в) 8 см3.

12.Диагональ квадрата, лежащего в основании правильной пирамиды, равна 8 дм, а её высота равна 12 дм. Найдите объём пирамиды. а) 768 дм3; б) 384 дм3; в) 128 дм3.

13. Найдите объём прямоугольного параллелепипеда, если его длина равна 6 см, ширина – 5 см, а диагональ 11 см. а) 60 см3; б) 2 см3; в) 85 см3.

14. Основанием пирамиды МАВС служит треугольник со сторонами АВ = 5 см, ВС = 12 см, АС = 13 см. Найдите объём пирамиды, если МВ (АВС) и МВ = 10 см.

а) 300 см3; б) 260 см3; в)100 см3.

15. а) Найдите объём цилиндра, если r = 4, h = 5. А) 80, В) 80 π, С) 16, Д) 21 π.

б) Найдите высоту цилиндра , если V = 100 π, r = 10 . А) 4, В) 3 π, С) 1, Д) 2 π.

16. а) Найдите объём конуса, если r = 2, h = 6. А) 4 π, В) 4, С) 8 π, Д) 8.

б) Найдите высоту конуса , если V = 144 π, r = . А) 4, В) 8 π, С) 144 π, Д) 4 π,

17. Найдите объём усеченного конуса, если h = 6, r1 = 3, r2 = 4.

А) 74, В) 74 π, С) 37, Д) 37 π.

18. а)Найдите объём шара, если его радиус R = 6. А) 288 π, В) 288, С) 72 π, Д) 72.

б) Найдите диаметр шара, если его объем V = . А) 6, В) 14, С) 7, Д) 12.

2 вариант.

1. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда с ребрами 6 см, 3 см и 4 см.

а) 72 см3; б) 13 см3; в) 22 см3; г) другой ответ.

2. Длина прямоугольной комнаты в 3 раза больше ширины и на 2 м больше высоты. Найдите объем комнаты, если ее длина равна 6 м.

а) 432 м3; б) 144 м3; в) 48 м3; г) другой ответ.

3. Найдите ребро куба, если его объем равен  729  м3

а) 9 м; б) 8 м; в) 16 м; г) другой ответ.

4. Как изменится объем параллелепипеда, если его длину увеличить в 5 раза, ширину увеличить в 8 раз, а высоту уменьшить в 10 раз?

а) увеличится в 4 раза; б) уменьшится в 12 раз; в) не изменится; г) другой ответ.

5. Выберите верное утверждение.

а) Объём прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник, равен произведению площади основания на высоту;

б) Объём правильной треугольной призмы вычисляется по формуле V = a2h, где а – сторона основания , h – высота призмы;

в) Объём прямой призмы равен половине произведения площади основания на высоту.

6. Сторона основания правильной треугольной призмы равна 3см, а высота – 4 см. Найдите объём призмы.

а) 15см3; б) 45 см3; в) 27см3; г) 12 см3; д) 18 см3.

7.Выпишите формулу для нахождения объёма пирамиды.

а) V=Sоснh; б) V=Sоснh; в) V=Sоснh. hello_html_37ae8577.jpg

8.Найдите объем пирамиды, высота которой равна 6, а основание — прямоугольник со сторонами 3 и 4. А) 48; б) 24; в) 12.

9.Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 4, а объем равен hello_html_m3b6e9642.png. а) 1,5; б) 3,5; в) 16.

10.В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 6 м, объем равен 200 м3. Найдите боковое ребро этой пирамиды. а) 86 м; б) м; в) м.hello_html_m390fd290.jpg

11.Найдите объём правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна 2 см, а высота – 3 см.

а) 8 см3; б) 4 см3; в) 3 см3.

12. Измерения прямоугольного параллелепипеда 25 м, 10 м, 32 м. Определите ребро куба, равновеликого прямоугольному параллелепипеду. а) 1,8 м; б) 3 м; в) 20 м.

13. Найдите объём прямоугольного параллелепипеда, если его длина равна 6 см, ширина – 7 см, а диагональ 11 см. а) 252 см3; б) 24 см3; в) 85 см3.

14.Найдите объём треугольной пирамиды, стороны основания которой 5 см, 5 см и 6 см, а высота равна 12 см. а) 144 см3; б) 48 см3; в) 12 см3.

15. а) Найдите объём цилиндра, если r = 6, h = 5. А) 80, В) 180 π, С) 16, Д) 21 π,

б) Найдите радиус основания цилиндра , если V = 100 π, h = 25. А) 2, В) 20 π, С) 4, Д) 4.

16. а) Найдите объём конуса, если r = 4, h = 6. А) 32 π, В) 4, С) 8 π, Д) 8,

б) Найдите высоту конуса , если V = 144 π, r = . А) 4, В) 8 π, С) 144 π, Д) 4 π,

17. Найдите объём усеченного конуса, если h = 3, r1 = 3, r2 = 4. А) 74, В) 74 π, С) 37, Д) 37 π.

18.а) Найдите объём шара, если его диаметр d = 6. А) 36, В) 36 π, С) 216 π, Д) 216,

б) Найдите радиус шара, если V = 112500 π, h = 30. А) 60 π, В) 75 π, С) 60, Д) 75.

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-4,

Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-3,

Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-2.



Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.



Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.

























Самостоятельная работа № 30

Тема: Составление кроссворда по теме «Тела вращения».

Цель работы: повторение и закрепление знаний, в части правильности написания терминов и определений к ним; формирование умений поиска информации.

Методические рекомендации к составлению кроссвордов

  1. Повторите теоретический материал, соответствующий теме кроссворда, воспользовавшись материалом учебника, справочной литературой, конспектом лекции..

  2. Запишите ответы по определениям.

  3. Проведите анализ, проверьте орфографию.

  4. Оформите пустую и заполненную сетку кроссворда.

Задание:

1) Тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя кругами называется ….

2) Круги называются ….

3) Длина образующей называется ….

4) За площадь боковой поверхности цилиндра принимается площадь ее ….

5) r - …. цилиндра.

6) Тело, ограниченное конической поверхностью и кругом называются ….

7) Точка, в которой сходятся образующие называется ….

8) Отрезок, соединяющий вершину конуса с любой точкой основания называется ….

9) Если у конуса отсечена верхняя часть, то оставшаяся часть называется …. конусом.

10) Цилиндр, получается при вращении ….

11) Конус получается при вращении ….

12) Усеченный конус получается при вращении ….

13) Поверхность, составленная из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки называется ….

14) Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через ее цилиндр,

называется ….

15) Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется ….

16) Тело, ограниченное сферой, называется ….

(таблица ниже)

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : отгаданы все слова верно и построена таблица с ответами,

Оценка «4» выставляется , если : отгаданы все слова верно, но не построена таблица с ответами,

Оценка «3» выставляется, если : отгаданы не все слова верно, не построена таблица с ответами,.

Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.












Кроссворд по теме «Тела вращения».







3




12




9





7


16




















13















14








































































15






8

















5
































































1













10




2


































11



























































4







6























































































































Самостоятельная работа № 31

Тема: Составление опорного конспекта «Умножение вектора на число». 

Цель работы:

  • закрепить понятия: умножения вектора на число и его свойства, законы;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

План работы:

  1. Определение умножения вектора на число;

  2. Свойства умножения вектора на число;

  3. Законы умножения вектора на число;

  4. Примеры задач;



Методические рекомендации к составлению конспекта:


Конспект– это работа с другим источником.

Цель –зафиксировать ,переработать тот или иной текст.

Конспект представляет собой дословные выписки из текста источника. При этом конспект это не полное переписывание чужого текста. При написании конспекта сначала прочитывается текст –источник, в нем выделяются основные положения , подбираются примеры , идет перекомпоновка материала, а затем уже оформляется текст конспекта. Конспект может быть полным, когда работа идет со всем текстом источника или неполным, когда интерес представляет какой-либо один или несколько вопросов, затронутых в источнике.

Общую последовательность действий при составлении конспекта можно определить таким образом:

1. Уяснить цели и задачи конспектирования.

2.Внимательно прочитать текст параграфа, главы и отметить информационно значимые места.

3. Составить конспект.

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : содержание соответствует теме, материал проработан глубоко, грамотно и полно использованы источники, приведены сложные примеры;

Оценка «4» выставляется , если : материал проработан не глубоко, использованы не все источники, приведены сложные примеры ;

Оценка «3» выставляется, если : материал проработан не полностью, приведены примеры.


Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.













Самостоятельная работа № 32

Тема: Составление опорного конспекта «Прямоугольная система координат в пространстве».

Цель работы:

  • закрепить понятия: прямоугольная система координат в пространстве, координатные плоскости, координаты точки, координаты вектора и их свойства;

  • развитие графических умений и навыков: построение чертежей;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

План работы:

  1. Прямоугольная система координат в пространстве: оси, начало координат, координатные плоскости, координаты точки;

  2. Координаты вектора и их свойства;

  3. Примеры задач;



Методические рекомендации к составлению конспекта:


Конспект– это работа с другим источником.

Цель –зафиксировать ,переработать тот или иной текст.

Конспект представляет собой дословные выписки из текста источника. При этом конспект это не полное переписывание чужого текста. При написании конспекта сначала прочитывается текст –источник, в нем выделяются основные положения , подбираются примеры , идет перекомпоновка материала, а затем уже оформляется текст конспекта. Конспект может быть полным, когда работа идет со всем текстом источника или неполным, когда интерес представляет какой-либо один или несколько вопросов, затронутых в источнике.

Общую последовательность действий при составлении конспекта можно определить таким образом:

1. Уяснить цели и задачи конспектирования.

2.Внимательно прочитать текст параграфа, главы и отметить информационно значимые места.

3. Составить конспект.

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : содержание соответствует теме, материал проработан глубоко, грамотно и полно использованы источники, приведены сложные примеры;

Оценка «4» выставляется , если : материал проработан не глубоко, использованы не все источники, приведены сложные примеры ;

Оценка «3» выставляется, если : материал проработан не полностью, приведены примеры.


Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.



Самостоятельная работа № 33

Тема: Типовой расчет по теме «Простейшие задачи в координатах».

Цель работы:

  • повторить, закрепить основные понятия по теме «Простейшие задачи в координатах»,

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал:

  1. Л.С. Атанасян. Геометрия 10-11 класс, глава 5. §1.

  2. Самостоятельная работа № 32.

Решение типовых заданий:

Пример 1. Дано: ΔАВС, А(-2; 0; 1), В(-1; 2; 3), С(8; -4; 9). ВМ - медиана.

Найти: координаты вектора BM . Решение: По определению медианы, М - середина отрезка АС. Следовательно, координаты М найдем по формулам координат середины отрезка  M ((82)/2, (4+0)/2,(9+1)/2), M(3,2,5). BM{3+1,22,53}, BM {4,4,2}. Ответ: {4; 4; 2}.

Пример 2. Дано: А(1; 5; 3), В(7; -1; 3), С(3;2; 6). Доказать: ΔABC - прямоугольный. Решение: По формуле расстояния между двумя точками найдем длины отрезков АВ, АС, ВС. AB2 = (7 + 1)2 + (5 + 1)2 + (33)2, AB2 = 64 + 36 = 100, BC2 = (73)2 + (2 + 1)2 + (6 3)2, BC2 = 16 + 1 + 9 = 26, AC2 = (3 + 1)2 + (5 + 2)2 + (63)2, AC2 = 16 + 49 + 9 = 74. Проверим равенство АВ2 = ВС2 + АС2, 100 = 26 + 74 верно. По теореме обратной теореме Пифагора делаем вывод, что ΔABC - прямоугольный с гипотенузой АВ.

Пример 3. Дано: ΔАВС; М, N, К - середины сторон соответственно АВ, ВС, АС. М(3; 2; 5), N(3,5; 1; 6), К(1,5; 1; 2). Найти: координаты А, В, С. Решение: Пусть A (х1; у1z1), В(х2; у2z2), С(х3; у3z3). По формулам координат середины отрезка составим системы для абсцисс, ординат и аппликат. Пользуясь методом сложения, решим эту систему:

Ответ: А(2; 0; 1), В(8; 4; 9), С(1; 2; 3).

Пример 4. Дано: А(2; 1; 2), B(6; 3; 2), С  оси OZ; АС = ВС. Найти: координаты точки С.

Решение: По условию С  оси OZ, значит она имеет координаты С(0; 0; z) и АС = ВС. Составим уравнение, пользуясь формулой расстояния между двумя точками: 

4 + 1 + (z 2)2 = 36 + 9 + (z + 2)2, 5 + z2 – 4z + 4 = 45 + z2 + 4z + 4, 8z = 40, z = 5. Ответ: (0; 0; 5).

Пример 5. Дано: А(2; 1; 2), B(6; 3; 2), С (0; 0; 5); АС = ВС. Найти: SABC).

Решение: По формуле координат середины отрезка АВ найдем координаты точки М — середины: M ((62)/2, (1 + 3)/2,(22)/2), M(4,2,0). AB2 = (6 + 2)2 + (31)2 + (2 + 2)2 = 16 + 4 + 16 = 36, AB = 6.

 СМ-высота равнобедренного ΔABC. CM2 = (40)2 + (20)2 + (0 (5))2 = 16 + 4 + 25 = 45, CM = 3 , SABC) = AB · CM : 2 = 6 · 3 : 2 = 9. Ответ: 9.

Задание: 1вариант.

  1. Дано: ΔАВС; А(1; 2; 3), B(1; 0; 4), С(3; 2; 1). AM - медиана.

Найти: координаты вектора AM .

  1. Дано: А(1; 5; 3), В(1; 3; 9), С(3; 2; 6).Доказать: ΔAВС - прямоугольный.

  2. Дано: ΔАВС, М, N, К - середины сторон соответственно ABBС, AС. М(3; 2; 4), N(6; 4; 10), К(7; 2; 12). Найти: координаты вершин А, В, С.

  3. Дано: A(4; 5; 4), B(2; 3; 4); С  оси  OXAC = ВС. Найти: координаты точки С.

  4. Дано: А(4; 5; 4), B(2; 3; 4), С(1; 0; 0), АС = ВС. Найти: S(ΔABC).

2 вариант.


  1. Дано: ΔАВС; А(1; 4; 3), B(2; 0; 4), С(4; 2; 2). AM - медиана.

Найти: координаты вектора AM .

  1. Дано: А(1; 4; 2), В(7; 2; 2), С(3; 2; 6).Доказать: ΔAВС - прямоугольный.

  2. Дано: ΔАВС, М, N, К - середины сторон соответственно ABBС, AС. М(3; 2; 1), N(3; 2; 2), К(2; 4; 3).Найти: координаты вершин А, В, С.

  3. Дано: A(1; 2; 1), B(3; 2; 1); С  оси  OXAC = ВС. Найти: координаты точки С.

  4. Дано: А(1; 2; 1), B(3; 2; 1), С(0; 0; 1), АС = ВС. Найти: S(ΔABC).

Критерии оценки: Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-5, Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-4, Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3.

Требования к оформлению самостоятельной работы: Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.

Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.







Самостоятельная работа № 34

Тема: Типовой расчет по теме «Скалярное произведение векторов».

Цель работы:

  • повторить, закрепить основные понятия по теме «Скалярное произведение векторов»,

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал: Л.С. Атанасян. Геометрия 10-11 класс, глава 5. §2.

Решение типовых заданий:

Пример 1. Даны векторы hello_html_m411373b9.jpgВычислите hello_html_m255ec84f.jpg

Решение: hello_html_m75aa0817.jpgОтвет: 6. Пример 2. Вычислить угол между прямыми AB и CD, если А(; 1; 0), В(0; 0; 2), С(0; 2; 0), D(; 1; 2). Решение:

hello_html_30566bad.jpgОтвет: 60°. Пример 3. Найдите скалярное произведение hello_html_mde78fa2.jpgесли hello_html_m3e197e0a.jpg Решение: hello_html_mde78fa2.jpg = 3·  cos 120° = 12· (1/2) = 6. Ответ: 6. Пример 4. В кубе ABCDA1B1C1D1 диагонали грани ABCD пересекается в точке N, а точка M ежит на ребреA1D1, причем А1М : MD1 = 1 : 4.Вычислите синус угла между прямой MN и плоскостью грани DD1C1C. Дано: ABCDA1B1C1D1 - куб, AC ∩ BD N A1D1, А1М : MD1 = 1 : 4 (рис.). Найти:  sin(MN,(DD1C1C)). Решение: Введем систему координат так, чтобы В(0; 0; 0), АВ  ох, ВС  оу, ВВ1  oz, А(а; 0; 0), С(0; а; 0), D(а; а; 0), В1(0; 0; а), А1(а; 0; а), С1(0; aa), D1(а; а; а), М(а; a/5; a), N(a/2;a/2; 0).Угол между прямой и плоскостью –это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость. hello_html_m1dc61b1.jpg В ΔMFNhello_html_5450a8af.jpg так как hello_html_6c6424dc.jpghello_html_7f82cb27.jpg Значит, hello_html_m399731d3.jpg  Ответ: hello_html_m249782ba.jpg.hello_html_4ab53b1a.jpg



Пример 5. Дано: прямые АВ и CD; А(8; 2; 3), В(3; 1; 4), С(5; 2; 0), D(7; 0; 2). Найти: hello_html_m7b608a66.jpgРешение: hello_html_m53566d8c.jpg hello_html_17d41745.jpghello_html_m32b98f0.jpg Так как углом между прямыми считают острый угол, то hello_html_m3112ab02.jpg Ответ: 5/9.

Задание:

1вариант.

  1. Даны векторы hello_html_13c664e1.jpg Вычислите hello_html_m255ec84f.jpg 

  2. Вычислите угол между прямыми АВ и CD, если А(6; 4; 8), В(8; 2; 4), С(12; 6; 4), D(14; 6; 2).

  3. Найдите скалярное произведение hello_html_47df0bda.jpg если hello_html_4cc243af.jpg

  4. В кубе ABCDA1B1C1D1 диагонали грани ABCD пересекается в точке N, а точка M ежит на ребреA1D1, причем А1М : MD1 = 1 : 4. Вычислите синус угла между прямой MN и плоскостью грани  AA1D1D.

  5. Дано: прямые АВ и CD; А(7; 8; 15), В(8; 7; 13), С(2; 3; 5),  D(1; 0; 4). Найти: hello_html_66809286.jpg

2 вариант.

  1. Вычислите скалярное произведение hello_html_6774ecbf.jpg если hello_html_6f5e66b5.jpg

  2. Вычислите угол между прямыми АВ и CD, если А(3; 2; 4), В(4; 1; 2), С(6; 3; 2), D(7; 3; 1).

  3. Найдите скалярное произведение hello_html_47df0bda.jpg если hello_html_4cc243af.jpg120 °.

  4. В кубе ABCDA1B1C1D1 диагонали грани ABCD пересекается в точке N, а точка M ежит на ребреA1D1, причем А1М : MD1 = 1 : 4. Вычислите синус угла между прямой MN и плоскостью грани  ABCD.

  5. Дано: прямые АВ и CD; А(4; 1; 2), В(5; 0; 1), С(3; 1; 0),  D(7; 3; 4). Найти: hello_html_66809286.jpg


Критерии оценки: Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-5, Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-4, Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3.

Требования к оформлению самостоятельной работы: Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.

Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.



Самостоятельная работа № 35

Тема: Решение теста по теме «Координаты и векторы».

Цель работы:

  • повторить, закрепить основные понятия по теме «Координаты и векторы»,

  • развитие вычислительных умений и навыков: вычисления по формулам координат векторов;

Методические рекомендации к выполнению теста:

Решив задачу, нужно выбрать правильный ответ и записать номер, под которым он записан.

Задание:

Тест по теме: « Координаты и векторы ».



  1. Найти сумму векторов AB и BC .

  1. AC , B) CA, C) BA , D) CB .

  1. Дано: a{1, -1, 3}, b {0,2; 0}. Найти координаты вектора c = a + b .

  1. c {0, 0, 1}, B) c {1, 1, 3}, C) c {1, 0, 3}, D) c {1; 1,1}.

  1. Дано: a {5, 4, 3}, b {0, 1, 1} . Найти координаты вектора c = ab.

  1. c {4, 3, 2}, B) c {0, 2, 3}, C) c {5, 3, 2}, D) c {5, 4, 2}.

  1. Дано: a {2, -3, 4}, k = 5. Найти координаты вектора c = k · a.

  1. c {10, -15, 20}, B) c {10, -10, 4}, C) c {10, -15, 8}, D) c {10, 0, 8} .

  1. Дано: A (5, 4, 7), B (10, 10, 0). Найти координаты вектора AB.

  1. {5, 0, 3}, B){0, 4, 6}, C) {5, 6, -7}, D) {5, 6, 3}.

  1. Дано: A (10, 4, -3), B (-6, 2, 1). Найти координаты точки M – середины отрезка AB.

  1. M (2, 3, -1), B) M (2, 3, 1), C) M (2, 3, 0), D) M (-2, -3, 0).

  1. Дано: a {0, 5, 0} . Найти длину вектора.

  1. 4, B) 0, C) 3, D) 5.

  1. Дано: a {2, -2, 1}. Найти длину вектора.

  1. 3, B) 4, C) 0, D) 5.

  1. Дано: a {0, 1, -1}, b {2, 2, 1}. Найти a · b.

  1. 5, B) 4, C) 3, D) 1.

  1. Дано: a {-1, 2, 3}, b {5, х, -1} , a · b = 4, х - ?

  1. 5, B) 10, C) 6, D) 1.

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-10,

Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-8,

Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-5.

Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.

Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.

Самостоятельная работа № 36

Тема: Составление опорного конспекта « Степень числа и ее свойства».

Цель работы:

  • повторить понятия: степень числа , основание и показатель степени, свойства степени;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом .

План работы:

  1. Определение понятия «Степень числа»;

  2. Определение основания и показателя степени;

  3. Свойства степени числа;

  4. Примеры на вычисление степени числа ;

  5. Составить таблицу степеней от 1 до 10 чисел от 2 до 9;

Методические рекомендации к составлению конспекта:


Конспект– это работа с другим источником.

Цель –зафиксировать ,переработать тот или иной текст.

Конспект представляет собой дословные выписки из текста источника. При этом конспект это не полное переписывание чужого текста. При написании конспекта сначала прочитывается текст –источник, в нем выделяются основные положения , подбираются примеры , идет перекомпоновка материала, а затем уже оформляется текст конспекта. Конспект может быть полным, когда работа идет со всем текстом источника или неполным, когда интерес представляет какой-либо один или несколько вопросов, затронутых в источнике.

Общую последовательность действий при составлении конспекта можно определить таким образом:

1. Уяснить цели и задачи конспектирования.

2.Внимательно прочитать текст параграфа, главы и отметить информационно значимые места.

3. Составить конспект.

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : содержание соответствует теме, материал проработан глубоко, грамотно и полно использованы источники, приведены сложные примеры;

Оценка «4» выставляется , если : материал проработан не глубоко, использованы не все источники, приведены сложные примеры ;

Оценка «3» выставляется, если : материал проработан не полностью, приведены примеры.


Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.











Самостоятельная работа № 37

Тема: Составление опорного конспекта «Пропорция».

Цель работы:

  • повторить понятия: отношения величин, пропорции, свойство пропорции, виды пропорций;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

План работы:

  1. Определение отношения величин;

  2. Составить таблицу перехода от одних величин к другим (единицы измерения массы, времени);

  3. Примеры на вычисление отношения величин;

  4. Определение понятия пропорции;

  5. Виды пропорций;

  6. Свойство пропорции;

  7. Примеры на вычисление пропорций;

  8. Примеры на вычисление пропорций профессионального характера.


Методические рекомендации к составлению конспекта:


Конспект– это работа с другим источником.

Цель –зафиксировать ,переработать тот или иной текст.

Конспект представляет собой дословные выписки из текста источника. При этом конспект это не полное переписывание чужого текста. При написании конспекта сначала прочитывается текст –источник, в нем выделяются основные положения , подбираются примеры , идет перекомпоновка материала, а затем уже оформляется текст конспекта. Конспект может быть полным, когда работа идет со всем текстом источника или неполным, когда интерес представляет какой-либо один или несколько вопросов, затронутых в источнике.

Общую последовательность действий при составлении конспекта можно определить таким образом:

1. Уяснить цели и задачи конспектирования.

2.Внимательно прочитать текст параграфа, главы и отметить информационно значимые места.

3. Составить конспект.

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : содержание соответствует теме, материал проработан глубоко, грамотно и полно использованы источники, приведены сложные примеры;

Оценка «4» выставляется , если : материал проработан не глубоко, использованы не все источники, приведены сложные примеры ;

Оценка «3» выставляется, если : материал проработан не полностью, приведены примеры.


Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.

Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.






Тема: Решение криптограмм по теме «Уравнения».

Цель работы:

  • повторить решение линейных уравнений;

  • расширение кругозора обучающихся;

  • развитие творческого интереса к математике;

  • воспитание стойкости, находчивости, любознательности;



Методические рекомендации :

Криптограммы- это зашифрованное письмо, где с помощью цифр можно найти ответ на вопрос или составить цитату, используя таблицу «цифра-буква».

В этой работе надо решить линейные уравнения, найти их корни, а затем по таблице найти ответ на вопрос или составить цитату.

Пример: (из к-2)

Решив уравнения, найти ответ на вопрос: «Что есть у каждого слова, растения и уравнения?»

1)2х -15 =5, 2) х + 6 = 20, 3) 12 – х = - 4, 4) 3х -8 = 10,5) 15 – х = 2, 6) х - 15 = 10 ,

Решение: решив данные уравнения, получим числа 10, 14, 16, 6, 13,25 ,

по таблице найдем буквы к, о, р, е, н, ь. Ответ: корень.

Задание: К-1. Составить цитату:

  1. 22 6 11 14 3 6 10 *15 14 5 14 2 6 13 *5 16 14 2 9,22 9 17 11 9 18 6 11 25*6 6*

18 14, 22 18 14*14 13* 6 17 18 25, 1* 8 13 1 12 6 13 1 18 6 11 25*18 14, 22 18 14* 14 13* 14* 17 6 2 6* 5 19 12 1 6 18. 22 6 12* 2 14 11 25 23 6*8 13 1 12 6 13 1 18 6 11 25, 18 6 12* 12 6 13 25 23 6*5 16 14 2 25. ( 11.13. 18 14 11 17 18 14 9 ).

  1. 13 6 * 5 19 12 1 9,22 18 14*4 14 3 14 16 9 18 25* 9* 5 6 11 1 18 25* 15 16 1 3 5 19*

13 19 7 13 14* 18 14 11 25 10 14 * 3 * 5 6 11 1 21* 3 1 7 13 30 21.

( 11.13. 18 14 11 17 18 14 9 ).

  1. 4 14 3 14 16 9 18 25* 9* 5 6 11 1 18 25* 15 16 1 3 5 19* 13 19 7 13 14* 3 17 6 4 5 1 ,

5 1 7 6 *3* 17 1 12 30 21 * 13 6 * 15 14 8 3 14 11 28 18 25* 17 6 2 6*11 7 9.

(11.13. 18 14 11 17 18 14 9).

  1. 3 9 5 6 18 25*13 6 17 15 16 1 3 6 5 11 9 3 14 17 18 25*9* 12 14 11 22 1 18 25*14* 13 6 9*--26 18 14 *8 13 1 22 9 18*17 1 12 14 12 19* 5 6 11 1 18 25* 18 1 10 19 27*7 6 * 13 6 17 15 16 1 36 5 11 9 3 14 17 18 25.(1.16. 19 17 17 14).

  2. 5 6 11 1 9* 1 9 23 28 *18 14, 22 18 14*3*15 14 17 11 6 5 17 18 3 9 9* 13 6*

14 4 14 16 22 9 18*18 6 2 28* 9* 13 6*15 16 9 13 19 5 9 18*

16 1 17 10 1 9 3 1 18 25 17 28 . ( 15 9 20 1 4 14 16) .

  1. 13 6*5 6 11 1 9*13 9 10 14 4 5 1*18 14 4*14, 22 6 4 14*13 6*8 13 1 6 2325.

13 14*13 1 19 22 9 17 25*3 17 6 12 19, 22 18 14*17 11 6 5 19 6 18*8 13 1 18 25.

( 15 9 20 1 4 14 16).

  1. 13 6* 15 16 6 13 6 2 16 6 4 1* 8 5 14 16 14 3 25 6 12 *17 3 14 6 4 14 * 18 6 11 1. ( 15 9 20 1 4 14 16).

  2. 15 16 9 19 22 1 9 17 28* 7 9 18 25*15 16 14 17 18 14* 9* 2 6 8*16 14 17 10 14 23 9. ( 15 9 20 1 4 14 16).



К-2. Найти ответ на вопрос:

  1. Решив уравнения, найти ответ на вопрос: «Что означает слово канитель»

1) 2х – 16 = 0, 2) 5х = 4х + 14, 3) 3х = 33, 4) 7х = 5х + 28,

5) 6х = 5х + 18, 6) 14в = 14, 7) 5а – 28 = 4а,

8) 2а – 26 = 0, 9) 5х – 45 = 0, 10) 6х – 18 = 5х, 11) 7у – 25 = 6у.

  1. Решив уравнения, найти ответ на вопрос:

«Как в мифологии называется богиня утренней зари»

  1. 15в – 15 = 0, 2) 12х = 36, 3) 7у = 6у + 16, 4) 7а – 14 = 6а, 5)6у – 96=0,6)17а – 17=0.

  1. Решив уравнения, найти ответ на вопрос:

«Какое растение оказало неоценимую услугу биологии в установлении законов генетики»

  1. 5к – 20 = 0,2) 6а = 5а + 14, 3) 7к = 6к + 16, 4) 2у = у + 14, 5) 9а = 8а + 21.

  1. Решив уравнения, найти ответ на вопрос: «Что означает слово Адам»

1) 2к = к + 22, 2) 7а = 42, 3) 4к = 44, 4) 7к = 6к + 14, 5) 12к = 36, 6) 8а – 48 = 0, 7) 7к – 70 = 0.

  1. Решив уравнения, найти ответ на вопрос: «Какой древний символ мудрости?»

  1. 7к = 56,2) 2х = х + 12, 3) 4а – 24 = 0, 4) 7к = 6к + 28.

  1. Решив уравнения, найти ответ на вопрос:

«В каком городе сначала убивают, а потом арестовывают?»

  1. 14х = 28, 2) 7х = 6х + 14, 3) 9у – 21 = 8у, 4) 17а = 17, 5) 5х = 4х + 16, 6) 8к = 48, 7) 3х = 2х + 17, 8) 4а = 3а + 17.

  1. Решив уравнения, найти ответ на вопрос: «Какая самая высокая трава?»

  1. 2х = х + 15, 2) 14к = 14, 3) 7а = 77, 4) 2а = 50, 5) 4к = 48, 6) 13х – 13 = 0.

  1. Решив уравнения, найти ответ на вопрос: «Кто всегда работает с огоньком?»

  1. 2х = 30, 2) 2к = к + 14, 3) 4к – 28 = 0, 4) 13а – 13 = 0, 5) 4к = 3к + 16, 6) 2х – 26 = 0, 7) 7к – 63 = 0, 8) 5к – 50 = 0.

  1. Решив уравнения, найти ответ на вопрос: «Какой самый дорогой металл?»

  1. 2х – 30 = 0, 2) 2у = у + 11, 3) 13к – 13 = 0, 4) 4а = 3а + 18,5) 3х = 27, 6) 6к = 5к + 13, 7) 15х – 15 = 0.

  1. Решив уравнения, найти ответ на вопрос: «Какой самый высокий злак?»

  1. 4х = 8, 2) 11к = 11, 3) 4х = 3х + 12, 4) 4у = 8, 5) 6к = 5к + 19, 6) 8х = 80.

  1. Решив уравнения, найти ответ на вопрос:

«Какое священное растение в Индии и Китае?»

  1. 2х = 22, 2) 2к = к + 14, 3) 7х = 6х + 18, 4) 2х = 28, 5) 5х = 4х + 17.

  1. Решив уравнения, найти ответ на вопрос: «Какое древнее название Ирака?»

  1. 4к = 3к + 15, 2) 4х – 24 = 0, 3) 7к – 16 = 6к, 4) 8х – 17 = 7х, 5) 10у – 90 = 0, 6) 5у – 28 = 4у.

  1. Решив уравнения, найти ответ на вопрос:

«Как называется всякий чужестранец у древних римлян и греков?»

1) 7х – 21 = 0,2) 12к – 12 = 0, 3) 4к = 3к + 16, 4) 5х – 25 = 0,

5) 14х = 14, 6) 3к = 48.

  1. Решив уравнения, найти ответ на вопрос:

«Как называется место впадения реки?»

  1. 2х = 38, 2) 2у = у + 17, 3) 4к – 72 = 0, 4) 3х = 75, 5) 7у – 42 = 0.



Таблица «цифра-буква».

цифра-буква

цифра-буква

цифра-буква

цифра-буква

цифра-буква

1) А

7) Ж

13) Н

19) У

25) Ь

2) Б

8) З

14) О

20) Ф

26) Э

3) В

9) И

15) П

21) Х

27) Ю

4) Г

10) К

16) Р

22) Ч

28) Я

5) Д

11) Л

17) С

23) Ш

29) Ц

6) Е

12) М

18) Т

24) Щ

30) Ы



Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнена работа полностью (к-1,к-2), с подробным решением уравнений;

Оценка «4» выставляется если : выполнена работа не полностью ( 70-80 % ) из к-1,к-2, с подробным решением уравнений;

Оценка «3» выставляется если : выполнена работа не полностью ( 50 %), уравнения решены кратко.

Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.

Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.


Самостоятельная работа №39

Тема: Типовой расчет по теме «Решение систем уравнений и неравенств».

Цель работы:

  • повторить понятия: решение систем уравнений разными способами;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал:

Ш.А. Алимов. Алгебра 7-9 класс.

Решение типовых заданий:

Пример 1.а) Решить систему уравнений .



Решение: Значения х и у можно рассматривать как корни квадратного уравнения

z ² 5 z + 4 = 0.

Имеем: z ₁ =1, z  = 4. Оба уравнения системы симметричны относительно х и у , поэтому получаем две пары решений: если одно решение х  = 1, y  = 4, то второе будет, наоборот: х  = 4, y  = 1.

Ответ: (1;4),(4;1).

б) Решить систему уравнений .

Решение: Здесь коэффициенты при у по абсолютному значению равны между собой, но противоположны по знаку. Для получения уравнения с одним неизвестным уравнения системы почленно складываем:



___________

5х = 20;

х = 4.

Полученное значение х = 4 подставляем в какое-нибудь уравнение системы (например, в первое) и находим значение у :

2 · 4 + у = 11,

y = 11 8,

y = 3.

Следовательно, система имеет решение: х = 4, у = 3.

Ответ: (4;3).

Пример 2. Решить систему уравнений .

Решение: .

Составляем уравнение

t ²41 t  400 = 0.

Откуда t  = 25, t  = 16.

Значит х ² = 25, у ² = 16 и, наоборот, у ² = 25; x ² = 16.

1, 2 = ±5; x 3, 4 = ±4;

1, 2 = ±4; y 3, 4 = ±5.

Учитывая, что ху > 0, получаем всего четыре решения данной системы.

= 5, у  = 4;

х  = -5, y  = -4;

= 4, y  = 5;

= -4, y  = -5.

Ответ:(5;4),(),(4;5),().

Пример 3. Решить систему уравнений .

Решение: Умножим обе части второго уравнения на 2 и прибавим к первому:

х ² у ² 2 ху  2( x y ) = 24.

Положим х  у = z , тогда z ² 2 z  24 = 0, откуда z  = 6, z  = 4. Получается две системы:

,

которые имеют два действительных решения:

= 1, y  = 3 и x  = 3, y  = 1

Ответ: (1;3),(3;1).

Пример 4. Решить систему .

Решение: Пусть  , тогда  .

Имеем:

z ; 15z234z 15 = 0, D = b2 – 4ас = – 4 · 15 · 15 = 1156 900 = 256,

Значит, получаем две системы уравнений:



Решим 1 систему, для этого из 2 уравнения выразим х и подставим в 1 уравнение :

x = 0,6y,

Решим 2 систему, для этого из 2 уравнения выразим у и подставим в 1 уравнение :

у = 0,6х,

Откуда находим четыре решения: x  = 3, у  = 5; х  = 3, y  = 5; x  = 5, y  = 3; x  = 5, y  = 3.

Ответ: (3;5),(),(5;3),().

Пример 5. Решить систему неравенств: а) , б) , в)

Решение: а) ; Ответ: (0,5; 5].

б) .

Ответ: (–1,25; 0,25].

в)

Решим 1 неравенство: , , х  = , х  = 16.

hello_html_5bd89a69.png

Получаем, что .
Решим 2 неравенство:х  = , х  = 4.

hello_html_5bd89a69.png

Получаем, что .

Общее решение системы будет являться пересечением полученных

промежутков, то есть . Ответ:.

Задание:

1 вариант.

  1. а) Решить систему уравнений .б) Решить систему уравнений .

  2. Решить систему уравнений .

  3. Решить систему уравнений .

  4. Решить систему .

  5. Решить систему неравенств: а) , б) , в)



2 вариант.

  1. а) Решить систему уравнений .б) Решить систему уравнений .

  2. Решить систему уравнений .

  3. Решить систему уравнений .

  4. Решить систему .

  5. Решить систему неравенств: а) , б) , в)



Критерии оценки:



Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-5,



Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-4,



Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3.



Требования к оформлению самостоятельной работы:

Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.



Самостоятельная работа №40

Тема: Составление опорного конспекта «Функция, график и её свойства».

Цель работы:

  • повторить понятия: функция, виды функций и их свойства, область определения и множество значений функции, график функции, виды функций и их графики;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.



План работы:

  1. Определение понятия «Функция»;

  2. Виды функций и их свойства;

  3. Область определения и множество значений функции;

  4. Примеры на вычисление области определения и множество значений функции;

  5. Определение понятия «График функции»;

  6. Виды функций и их графики;

  7. Примеры на построение функций;


Методические рекомендации к составлению конспекта:


Конспект– это работа с другим источником.

Цель –зафиксировать ,переработать тот или иной текст.

Конспект представляет собой дословные выписки из текста источника. При этом конспект это не полное переписывание чужого текста. При написании конспекта сначала прочитывается текст –источник, в нем выделяются основные положения , подбираются примеры , идет перекомпоновка материала, а затем уже оформляется текст конспекта. Конспект может быть полным, когда работа идет со всем текстом источника или неполным, когда интерес представляет какой-либо один или несколько вопросов, затронутых в источнике.

Общую последовательность действий при составлении конспекта можно определить таким образом:

1. Уяснить цели и задачи конспектирования.

2.Внимательно прочитать текст параграфа, главы и отметить информационно значимые места.

3. Составить конспект.


Критерии оценки:


Оценка «5» выставляется если : содержание соответствует теме, материал проработан глубоко, грамотно и полно использованы источники, приведены сложные примеры;


Оценка «4» выставляется , если : материал проработан не глубоко, использованы не все источники, приведены сложные примеры ;


Оценка «3» выставляется, если : материал проработан не полностью, приведены примеры.


Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.




Самостоятельная работа №41

Тема: Решение теста по теме «Степень с рациональным, действительным показателем, ее свойства».

Цель работы: повторить, закрепить основные понятия по теме «Степень с рациональным, действительным показателем, ее свойства».

Методические рекомендации к выполнению теста: Решив задачу, нужно выбрать правильный ответ и записать номер, под которым он записан.

Задание:

1 вариант.

А1. Вычислите .

1) 2; 2) 3; 3) 9; 4) .

А2. Вычислите .

1) 2; 2) 4; 3) 2; 4) 4.

А3. Упростите выражение

1) ; 2) ; 3) а; 4) .

А4. Вычислите

1) 0,25; 2) 0,5; 3) 0,15; 4) 5.

А5. Найдите значения выражения при у = 18.

1) 9(4+3); 2) ; 3) 4+3; 4) 9.

А.6. Упростите выражение

1) 2) 3) 4)

А7. Найдите значение выражения: .

1) 12; 2) 6; 3) 3; 4) –3.

А8. Найдите значение выражения: .

1) ; 2) 1,2; 3) ; 4) .

А9. Найдите значение выражения:

1) 4; 2) 9; 3) 5; 4) 5.

А10. Сократите дробь:

1) а; 2) ; 3) ; 4) а+1.




2 вариант.

А1. Вычислите .

1) 5; 2) 4; 3) 25; 4) .

А2. Вычислите .

1) 2; 2) 4; 3)2; 4) 4.

А3. Упростите выражение

1) ; 2) ; 3) а; 4) .

А4. Вычислите

1) 0,09; 2) 0,03; 3) 0,3; 4) 3.

А5. Найдите значения выражения при а = 4, b = 5.

1) ; 2) 2; 3) 0; 4) .

А.6. Упростите выражение .

1) 2) 3) 4)

А7. Найдите значение выражения: .


1) 45; 2) 5; 3) 3; 4) –45.

А8. Найдите значение выражения: .

1) 5,5; 2) 2; 3) ; 4) .

А9. Найдите значение выражения:

1) 4; 2) 25; 3) 9; 4) 16.

А10. Найдите значение выражения при р = 49.

1) 49; 2) ; 3) ; 4) 7.


Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-10,с записью решения, даже с недочетами. Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-8, с записью решения, даже с недочетами. Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-5. Требования к оформлению самостоятельной работы: Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2. Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.

Самостоятельная работа №42

Тема: Составление опорного конспекта «Свойства и график степенной функции» .

Цель работы:

  • повторить понятия: степенная функция, ее виды, их свойства и графики;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом .

План работы:

  1. Определение понятия «степенная функция»;

  2. Определение ограниченной функции;

  3. Виды степенных функций в зависимости от показателя р;

  4. Свойства и графики функций каждого вида.


Методические рекомендации к составлению конспекта:


Конспект– это работа с другим источником.

Цель –зафиксировать ,переработать тот или иной текст.

Конспект представляет собой дословные выписки из текста источника. При этом конспект это не полное переписывание чужого текста. При написании конспекта сначала прочитывается текст –источник, в нем выделяются основные положения , подбираются примеры , идет перекомпоновка материала, а затем уже оформляется текст конспекта. Конспект может быть полным, когда работа идет со всем текстом источника или неполным, когда интерес представляет какой-либо один или несколько вопросов, затронутых в источнике.

Общую последовательность действий при составлении конспекта можно определить таким образом:

1. Уяснить цели и задачи конспектирования.

2.Внимательно прочитать текст параграфа, главы и отметить информационно значимые места.

3. Составить конспект.


Критерии оценки:


Оценка «5» выставляется если : содержание соответствует теме, материал проработан глубоко, грамотно и полно использованы источники, приведены сложные примеры;


Оценка «4» выставляется , если : материал проработан не глубоко, использованы не все источники, приведены сложные примеры ;


Оценка «3» выставляется, если : материал проработан не полностью, приведены примеры.


Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.








Самостоятельная работа №43

Тема: Типовой расчет по теме «Иррациональные уравнения». 

Цель работы:

  • повторить понятия: равносильные уравнения, их свойства, потеря корней, посторонние корни, иррациональные уравнения;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал:

1) Ш.А. Алимов. Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс, глава 2, §8-9.

2) Способы решения:

Уединение радикала и возведение в степень.

Смысл таких преобразований в сведении данного иррационального уравнения к равносильному ему рациональному уравнению.

Уравнения, содержащие кубические радикалы.

Основным методом решения уравнений является последовательное возведение в куб обеих частей уравнения, используя формулы

hello_html_m19ab484b.gif, hello_html_7ce27d0.gif.

Решение типовых заданий:

Пример 1. Решить уравнениеhello_html_3be855b.gif Решение: Уединим радикал hello_html_m5a2fbf9f.gif Это уравнение равносильно системе hello_html_4e1d1e98.gif Решим уравнение (1): hello_html_6861a4c5.gif hello_html_m66272cef.gif hello_html_m211ee85b.gif hello_html_3fa90232.gif hello_html_1ba1685c.gif Найденное значение hello_html_m727f5169.gif удовлетворяет условиям (2) и (3). Ответ: – 1. Пример 2. а) Найдите корень уравнения = 3 . Решение: Возведем в квадрат правую и левую части уравнения: )2 = 32, 15 – 2х = 9, –2х = 9 –15, –2х = – 6, х = 3. Сделаем проверку. Для этого подставим число 3 в исходное уравнение: = 3, 3 = 3 – верно. Ответ: 3. б) Решить уравнение = . Решение: = => => => => х = – 1. Ответ: –1. Пример 3. Решить уравнение = х -7 . Решение: = х -7 => => => => => х = 14. Ответ: 14.

Пример 4. Решите уравнение   = .

Решение:  = => 7 х + х 2 2 = 2х 5 =>

5 – х = => 25 – 10х + х2 = х2 + 9х – 14 =>

2 19х + 39 = 0,

D = (19)2 42 39= 361 – 312 = 49,

х1= (19 + 7) : 4 = 6,5, х2 = (197) : 4 = 3,

Проверка:  а)  х1= 6,5,   = ,   = –  неверное равенство.

б) х2 = 3,   = ,   = , –  верное равенство.

Ответ: 3.

Пример 5. Решить уравнение hello_html_11c97566.gif

Решение: Возводим в куб обе части уравнения hello_html_m5925937d.gif получим hello_html_36f8101a.gif Учитывая, что выражение в скобках равно 1 (см. условие), получаем hello_html_m4386db45.gif hello_html_m523bd08c.gif hello_html_73392c.gif Возводим в куб: hello_html_m30f89b75.gif hello_html_m522b6165.gif hello_html_m3348bac9.gif Проверкой убеждаемся, что hello_html_m294b9fba.gif и hello_html_3a69ee1b.gif корни уравнения.

Ответ: 80, – 109.

Задание:

  1. вариант.

  1. Решить уравнение   = 4.

  2. а) Найдите корень уравнения = 5. б)Решить уравнение = .

  3. Решить уравнение = х 7 .

  4. Решите уравнение   = .

  5. Решить уравнение

  1. вариант.

  1. Решить уравнение   = 5.

  2. а) Найдите корень уравнения = 5. б)Решить уравнение = .

  3. Решить уравнение = х 3 .

  4. Решите уравнение   = .

  5. Решить уравнение


Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-5,

Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-4,

Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3.

Требования к оформлению самостоятельной работы:

Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.

Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.








Самостоятельная работа №44

Тема: Составление опорного конспекта «Показательная функция, ее свойства и график».

Цель работы:

  • повторить понятия: показательная функция, ее виды, их свойства и графики;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом .



План работы:

  1. Определение понятия «показательная функция»;

  2. Виды показательных функций в зависимости от основания а;

  3. Свойства и графики функций каждого вида.

  4. Примеры применения показательной функции .


Методические рекомендации к составлению конспекта:


Конспект– это работа с другим источником.

Цель –зафиксировать ,переработать тот или иной текст.

Конспект представляет собой дословные выписки из текста источника. При этом конспект это не полное переписывание чужого текста. При написании конспекта сначала прочитывается текст –источник, в нем выделяются основные положения , подбираются примеры , идет перекомпоновка материала, а затем уже оформляется текст конспекта. Конспект может быть полным, когда работа идет со всем текстом источника или неполным, когда интерес представляет какой-либо один или несколько вопросов, затронутых в источнике.

Общую последовательность действий при составлении конспекта можно определить таким образом:

1. Уяснить цели и задачи конспектирования.

2.Внимательно прочитать текст параграфа, главы и отметить информационно значимые места.

3. Составить конспект.


Критерии оценки:


Оценка «5» выставляется если : содержание соответствует теме, материал проработан глубоко, грамотно и полно использованы источники, приведены сложные примеры;


Оценка «4» выставляется , если : материал проработан не глубоко, использованы не все источники, приведены сложные примеры ;


Оценка «3» выставляется, если : материал проработан не полностью, приведены примеры.


Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.







Самостоятельная работа №45

Тема: Типовой расчет по теме «Решение показательных и логарифмических уравнений».

Цель работы:

  • повторить понятия: показательные уравнения, логарифмические уравнения , их способы решения;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал: Ш.А. Алимов. Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс, глава 3, §12, глава 4, §19.

Решение типовых заданий:

Пример 1. Решить уравнение:

Решение:

Ответ: 3.

Пример 2. Решите уравнение 

Решение: ,

Ответ: 1.

Пример 3. Решите уравнение.

Решение:

Ответ: 4.

Пример 4. Решите уравнение Решение: Используем метод - решение логарифмических уравнений заменой.

ОДЗ: х > 0. Введем замену , чтобы записать исходное уравнение в виде стандартного квадратного уравнения. Тогда уравнение примет вид:

у2 – 4у + 4 = 0, ( у – 2)2 = 0, у – 2 = 0, у = 2.

Вернемся к  х : .

Тогда по определению логарифма получаем, что х = 32, х = 9 - уд.ОДЗ.

Ответ: 9.

Пример 5. Решите уравнение:.  

Решение: Вновь начнем решение с определения области допустимых значений уравнения.

Она определяется следующей системой неравенств:



  hello_html_5a081809.png

Воспользовавшись правилом сложения логарифмов, переходим к равносильному

в области допустимых значений уравнению:



Основания логарифмов одинаковы, поэтому в области допустимых значений

можно перейти к следующему квадратному уравнению:

(х + 2) (х + 3) = 1 х , х2 + 6х + 5 = 0,

 D = (6)2 41 5= 36 – 20 = 16,

х1= ( 6 4) : 2 = , х2 = ( 4) : 2 = 1.  

Первый корень не входит в область допустимых значений уравнения, второй — входит.

Ответ: x = -1.

Задание:

1 вариант.

  1. Решить уравнение:

  2. Решите уравнение 

  3. Решите уравнение.

  4. Решите уравнение .

  5. Решите уравнение

2 вариант.

  1. Решить уравнение:

  2. Решите уравнение 

  3. Решите уравнение.

  4. Решите уравнение .

  5. Решите уравнение

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-5,

Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-4,

Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3.

Требования к оформлению самостоятельной работы:

Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.

Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.


Самостоятельная работа №46

Тема: Составление опорного конспекта «Логарифмическая функция, ее свойства и график».

Цель работы:

  • повторить понятия: логарифмическая функция, ее виды, их свойства и графики;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом .



План работы:

  1. Определение понятия «логарифмическая функция»;

  2. Виды логарифмических функций в зависимости от основания а;

  3. Свойства и графики функций каждого вида.

  4. Примеры применения логарифмической функции .


Методические рекомендации к составлению конспекта:


Конспект– это работа с другим источником.

Цель –зафиксировать ,переработать тот или иной текст.

Конспект представляет собой дословные выписки из текста источника. При этом конспект это не полное переписывание чужого текста. При написании конспекта сначала прочитывается текст –источник, в нем выделяются основные положения , подбираются примеры , идет перекомпоновка материала, а затем уже оформляется текст конспекта. Конспект может быть полным, когда работа идет со всем текстом источника или неполным, когда интерес представляет какой-либо один или несколько вопросов, затронутых в источнике.

Общую последовательность действий при составлении конспекта можно определить таким образом:

1. Уяснить цели и задачи конспектирования.

2.Внимательно прочитать текст параграфа, главы и отметить информационно значимые места.

3. Составить конспект.


Критерии оценки:


Оценка «5» выставляется если : содержание соответствует теме, материал проработан глубоко, грамотно и полно использованы источники, приведены сложные примеры;


Оценка «4» выставляется , если : материал проработан не глубоко, использованы не все источники, приведены сложные примеры ;


Оценка «3» выставляется, если : материал проработан не полностью, приведены примеры.


Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.








Самостоятельная работа №47

Тема: Типовой расчет по теме «Решение логарифмических уравнений и неравенств» .

Цель работы:

  • повторить понятия: логарифмические уравнения и неравенства , их способы решения;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал: Ш.А. Алимов. Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс, глава 4, §19-20.

Решение типовых заданий:

Пример 1. Решите уравнение:

Решение: В область допустимых значений входят только те x, при которых выражение, находящееся под знаком логарифма, больше нуля. Эти значения определяются следующей системой неравенств:



С учетом того, что получаем промежуток, определяющий область допустимых значений данного логарифмического уравнения:.

На основании теоремы 1, все условия которой здесь выполнены, переходим к следующему равносильному квадратичному уравнению:

  D = (5)2 41 () = 25 + 56 = 81, х1= (5 + 9) : 2 = 7, х2 = (5 9) : 2 = .

В область допустимых значений входит только первый корень.

Ответ: x = 7.

Пример 2. Решите уравнение:

Решение: Найдем ОДЗ по определению логарифма. ОДЗ:

.

Перепишем исходное уравнение, используя свойства суммы логарифмов и логарифма степени. Получим следующее уравнение:

Приравняем подлогарифмические выражения:

(3х ) (х) = ,

Найдем корни полученного квадратного уравнения:

D = (92)2 41 () = 8464 + 8436 = 16900,

х1= (92 + 130) : 6 = 37, х2 = (92 130) : 6 = .

Учитывая ОДЗ, корнем исходного логарифмического уравнения будет только х = 37.

Ответ: х = 37.

Пример 3. Решите уравнение:

Решение: Используем метод - решение логарифмических уравнений, переходя к одному основанию.

ОДЗ: 

К логарифму по основанию x (второе слагаемое) вначале применим свойство логарифма степени, а затем по формуле замены основания логарифма приведем его к основанию 2:





Так как  то



Введем замену  тогда уравнение примет вид: у2 – 5у + 4 = 0.

Найдем корни полученного квадратного уравнения:

D = (5)2 41 = 25 = 9, y1= (5 + 3) : 2 = 4, y2 = (5 3) : 2 =1.

Вернемся к x, используя определения логарифма:

x = x = 16, x = , x = 2, Оба значения принадлежат ОДЗ.

Ответ: 16 и 2.

Пример 4. Решите уравнение:

Решение: Область допустимых значений уравнения определяется здесь легко: x > 0.

Используем подстановку: Уравнение принимает вид: 3у2 + 5у = 0,

D = (5)2 43 () = 25 + 24 = 49, у1= (5 + 7) : 6 = 1/3, у2 = (5 7) : 6 = .

Вернемся к x, используя определения логарифма:

x = , x = , x = 4. Оба ответа входят в область допустимых значений уравнения, поскольку являются положительными числами.

Ответ: и 4.

Пример 5. Решить неравенство

Решение: По определению логарифма, область допустимых значений:

Решение данного неравенства найдем с помощью метода интервалов, для этого левую часть разложим на множители. Решим квадратное уравнение 

D = ()2 41 3 = 1612 = 4, х1= ( + 2) : 2 = , х2 = ( 2) : 2 = .

Значит, левую часть неравенства можно представить в виде:

Отметим нули каждого множителя на числовой прямой и определим знаки неравенства в полученных интервалах:

hello_html_6f29e869.png

Учитывая знак неравенства, определим ОДЗ:

ОДЗ определили, теперь приступим к решению исходного логарифмического неравенства:



Представим правую часть неравенства как логарифм по основанию 2:



Перейдем от неравенства относительно логарифмов к неравенству для подлогарифмических функций: так как основание логарифма больше единицы ( 2 > 1 ), то знак неравенства не изменится:

Приравняем к нулю левую часть неравенства и решим полученное квадратное уравнение 

D = (4)2 41 () = 16 + 20 = 36, х1= (4 + 6) : 2 = 1, х2 = (4 6) : 2 = .

Таким образом, получили корни х1= 1, х2 = . Отметим точки на числовой оси и определим знаки неравенства в полученных интервалах.

hello_html_m4bc8c62a.png

Учитывая, что нас интересуют все значения х, при которых данное неравенство принимает положительные значения, то получаем следующие интервалы:  Это ответ, так как данные интервалы полностью принадлежат ОДЗ.

Ответ: 

Пример 6. Решить неравенство

Решение: Находим ОДЗ по определению логарифма.



Перейдем в неравенства от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма, при этом, так как основание логарифма меньше единицы ( 0,5 < 1 ), знак неравенства поменяем на противоположный:

С учетом ОДЗ, окончательно имеем, что  

Ответ: 

Пример 7. Решить неравенство

Решение: ОДЗ: х > 0. Логарифмируем левую и правую часть неравенства:

.

По свойству логарифма степени получаем:



Ведем замену  Тогда наше неравенство принимает вид:

Решаем данное неравенство методом интервалов. Для этого левую часть надо разложить на множители. Приравняем ее к нулю и  решаем полученное квадратное уравнение

  D = (1)2 41 () = 1 + 8 = 9, y1= (1 + 3) : 2 = 2, y2 = (1 3) : 2 = .

Неравенство примет вид: Отметим точки на числовой оси и определим знаки неравенства в полученных интервалах.

hello_html_5bd89a69.png



Решением будет отрезок  Перейдем обратно к x:

.

В пересечении с ОДЗ получаем этот же промежуток 

Ответ:

Пример 8. Решить неравенство

Решение: По определению логарифма, находим ОДЗ:

Используя свойство логарифма степени и формулы замены основания, приведем второй логарифм к основанию 3:

Введем замену   y + Перенесем 2 в левую часть и приводим к общему знаменателю:



Данное неравенство равносильно следующему: y(y2) > 0.

Для решение полученного неравенства применим метод интервалов, для этого трехчлен y2 разложим на множители. Приравняем его к нулю и решим полученное квадратное уравнение y2

D = (2)2 41 2 = 4 .

Дискриминант меньше нуля, и старший коэффициент a = 1 > 0, следовательно, при любом значении y выражение y2 > 0. А тогда произведение y(y2) положительно, когда y > 0. Перейдем к x, для этого делаем обратную замену:

Пересекая с ОДЗ, окончательно имеем промежуток : 

Ответ: 



Задание:



1 вариант.

  1. Решите уравнение:

  2. Решите уравнение:

  3. Решите уравнение:

  4. Решите уравнение:

  5. Решить неравенство

  6. Решить неравенство

  7. Решить неравенство

  8. Решить неравенство



2 вариант.

  1. Решите уравнение:

  2. Решите уравнение:

  3. Решите уравнение:

  4. Решите уравнение:

  5. Решить неравенство

  6. Решить неравенство

  7. Решить неравенство

  8. Решить неравенство


Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-8,

Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-3,5-7,

Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-2,5-6.

Требования к оформлению самостоятельной работы:

Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.

Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.



Самостоятельная работа №48

Тема: Решение теста по теме «Показательная и логарифмическая функции».

Цель работы: повторить, закрепить основные понятия по теме «Показательная и логарифмическая функции».

Методические рекомендации к выполнению теста: Решив задачу, нужно выбрать правильный ответ и записать номер, под которым он записан.

Задание:

Часть А.

  1. Записать соответствие между графиком функции и ее формулой ( буква - цифра):

hello_html_a25cd71.jpg



1)у = 2х , 2) у = 3х , 3) у = , 4) у = .

  1. Найти число больше единицы: А) 0,32; В) 1,64; С) 0,79; D) 1,5- 3.

  2. Найти число меньше единицы: А) 1,32; В) 1,64; С) 0,79; D) 0,5- 3.

  3. Выяснить какая функция является возрастающей : А) ; В) ; С) у = 1,7; D) у = 0,4- х.

  4. Выяснить какая функция является убывающей : А) ; В) ; С) у = 0,7; D) у = 0,4- х.

  5. Записать соответствие между графиком функции и ее формулой ( буква - цифра): hello_html_m55eede16.jpg

1) ; 2) ; 3); 4) .

  1. Найти число больше единицы: А) ; В) ; С) ; D) .

  2. Найти число меньше единицы: А) ; В) ; С) ; D) .

  3. Выяснить какая функция является возрастающей : А) ; В) ; С) ; D) .

  4. Выяснить какая функция является убывающей :

А) ; В) ; С) ; D) .

Часть В.

hello_html_m5ae09131.png

hello_html_m67583fb8.png



hello_html_m5fca5a59.png

hello_html_m1d63210d.png




Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание : часть А № 1-10, часть В № 1-8,с записью решения, даже с недочетами. Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание : часть А № 1-10, часть В № 1-6, с записью решения, даже с недочетами. Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание : часть А № 1-10. Требования к оформлению самостоятельной работы: Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2. Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.





Самостоятельная работа №49

Тема: Составление опорного конспекта «Синус, косинус, тангенс числового аргумента, их знаки».

Цель работы:

  • повторить понятия: синус, косинус, тангенс числового аргумента, их знаки, их вычисление для углов в радианной мере ;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом .



План работы:



  1. Определение понятия синус, косинус, тангенс числового аргумента;

  2. Знаки тригонометрических функций ;

  3. Формулы для вычисления синуса, косинуса, тангенса , их преобразование;

  4. Примеры вычисления тригонометрических функции.


Методические рекомендации к составлению конспекта:


Конспект– это работа с другим источником.

Цель –зафиксировать ,переработать тот или иной текст.

Конспект представляет собой дословные выписки из текста источника. При этом конспект это не полное переписывание чужого текста. При написании конспекта сначала прочитывается текст –источник, в нем выделяются основные положения , подбираются примеры , идет перекомпоновка материала, а затем уже оформляется текст конспекта. Конспект может быть полным, когда работа идет со всем текстом источника или неполным, когда интерес представляет какой-либо один или несколько вопросов, затронутых в источнике.

Общую последовательность действий при составлении конспекта можно определить таким образом:

1. Уяснить цели и задачи конспектирования.

2.Внимательно прочитать текст параграфа, главы и отметить информационно значимые места.

3. Составить конспект.


Критерии оценки:


Оценка «5» выставляется если : содержание соответствует теме, материал проработан глубоко, грамотно и полно использованы источники, приведены сложные примеры;


Оценка «4» выставляется , если : материал проработан не глубоко, использованы не все источники, приведены сложные примеры ;


Оценка «3» выставляется, если : материал проработан не полностью, приведены примеры.


Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.




Самостоятельная работа №50

Тема: Составление опорного конспекта «Преобразование тригонометрических выражений».

Цель работы:

  • повторить понятия: cинус, косинус и тангенс двойного и половинного угла, формулы сложения и приведения ;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом .



План работы:



  1. Формулы сложения;

  2. Формулы для вычисления синуса, косинуса и тангенса двойного угла ;

  3. Формулы для вычисления синуса, косинуса и тангенса половинного угла;

  4. Формулы приведения;

  5. Преобразование тригонометрических выражений с помощью формул(примеры).


Методические рекомендации к составлению конспекта:


Конспект– это работа с другим источником.

Цель –зафиксировать ,переработать тот или иной текст.

Конспект представляет собой дословные выписки из текста источника. При этом конспект это не полное переписывание чужого текста. При написании конспекта сначала прочитывается текст –источник, в нем выделяются основные положения , подбираются примеры , идет перекомпоновка материала, а затем уже оформляется текст конспекта. Конспект может быть полным, когда работа идет со всем текстом источника или неполным, когда интерес представляет какой-либо один или несколько вопросов, затронутых в источнике.

Общую последовательность действий при составлении конспекта можно определить таким образом:

1. Уяснить цели и задачи конспектирования.

2.Внимательно прочитать текст параграфа, главы и отметить информационно значимые места.

3. Составить конспект.


Критерии оценки:


Оценка «5» выставляется если : содержание соответствует теме, материал проработан глубоко, грамотно и полно использованы источники, приведены сложные примеры;


Оценка «4» выставляется , если : материал проработан не глубоко, использованы не все источники, приведены сложные примеры ;


Оценка «3» выставляется, если : материал проработан не полностью, приведены примеры.


Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.




Самостоятельная работа №51

Тема: Типовой расчет по теме «Формулы сложения».

Цель работы:

  • повторить понятия: формулы сложения, преобразования с помощью формул сложения;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал:

  1. Ш.А. Алимов. Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс, глава 5, §28.

  2. Самостоятельная работа № 50.

  3. Формулы:

sin(α β) = sin α cos β cos α sin β; sin(α β) = sin α cos βcos α sin β;


cos(α β) = cos α cos β sin α sin β; cos(α β) = cos α cos β sin α sin β;




Решение типовых заданий:

Пример 1.Вычислить : а) cos 18° cos 12° sin 18° sin 12°; б) cos 107° cos 17°sin 107° sin 17°;

в) sin 17° cos 13° sin 13° cos 17°; г) sin 43° cos 13° sin 13° cos 43°;

д) , е) .

Решение: а) cos 18° cos 12° sin 18° sin 12° = cos(18°12°) = cos 30° = ;

б) cos 107° cos 17° sin 107° sin 17° = cos(107°17°) = cos 90° = 0;

в) sin 17° cos 13° sin 13° cos 17° = sin(17°13°) = sin 30° = 0,5;

г) sin 43° cos 13° sin 13° cos 43° = sin(43°13°) = sin 30° = 0,5;

д) = tg (9°51°) = tg 60° = ;

е) = tg (65°20°) = tg 45° = 1 .

Ответ: а); б) 0; в) 0,5; г) 0,5; д) ; е) 1.

Пример 2.Вычислить : а) cos π /7 cos /21 sin π/ 7sin /21; б) sin π /3 cos π /12  cos π /3sin π /12; в) .

Решение: а) cos π /7 cos /21 sin π /7sin /21 = cos /7 4π /21) = cos (3π /21 4π /21) =

= cos /21 = cos π /3 = 0,5.

б) sin π /3 cosπ /12 cos π /3 sin π /12 = sin /3 π /12) = sin (4π /12π /12) = sin /12 =

= sin π /4 = /2;

в) = tg (π /7 4π /21) = tg π /3 = .

Ответ: а) 0,5; б) /2; в).

Пример 3. Упростить: а) cos α cos 3α sinα sin3α; б) sin 2α cos α cos 2α sin α;

в) sin α cos 3α cos α sin 3α; г) .

Решение: а) cos α cos 3α sinα sin3α = cos (α 3α) = cos 4α;

б) sin 2α cos α cos 2α sin α = sin (2α α) = sin α;

в) sin α cos 3α cos α sin 3α = sin (αα) = sin 4α; г) = tg (x 3x) = tg 4x.

Ответ: а) cos 4α; б) sin α; в) sin 4α; г) tg 4x.

Пример 4. Упростить : а) cos α cos β sin α sin β, если α = 42 °, β = 18 °;

б) cos(x y) cos(x + y) + sin(x y) sin(x + y).

Решение: а) cos α cos β sin α sin β = cos (α β) = cos (42 ° 18 °) = cos 60 ° = 0,5.

б) cos(x y) cos(x + y) + sin(x y) sin(x + y) = cos ((x  y) – (x + y)) = cos (–2y) = cos 2y.

Ответ: а) 0,5; б) cos 2y .

Пример 5. Докажите справедливость равенства 
sin 2α ( sin 2α sin 2β ) cos 2α ( cos 2α cos 2β ) = 2 cos 
2 ( α β ) . Доказательство: sin 2α ( sin 2α sin 2β ) cos 2α ( cos 2α cos 2β ) = 
=
sin 2 2α sin 2α sin 2β cos 2 2α cos 2α cos 2β =  1 cos ( 2α 2β ) = 2 cos 2 ( αβ ) , что и требовалось доказать.

Задание:

1 вариант.

  1. Вычислить : а) cos 38° cos 22° sin 38° sin 22°; б) cos 55° cos 10°sin 55° sin 10°;

в) sin 47° cos 13° sin 13° cos 47°; г) sin 103° cos 13° sin 13° cos 103°;

д) , е) .

  1. Вычислить : а) cos  π /5 cos π /20 sin π/ 5sin π /20;

б) sin π /4 cos π /12  cos π /4sin π /12; в) .

  1. Упростить: а) cos 2α cos 6α sin 2α sin 6α; б) sin 3α cos α cos 3α sin α;

в) sin 2α cos 3α cos 2α sin 3α; г) .

  1. Упростить : а) cos α cos β sin α sin β, если α = 42 °, β = 48 °;

б) cos(2x y) cos(2x + 3y) + sin(2x y) sin(2x + 3y).

  1. Докажите справедливость равенства 
    sin 2
    α ( sin 2α sin 2β ) cos 2α ( cos 2α cos 2β ) = 2 sin 2 ( α β ) .

2 вариант.

  1. Вычислить : а) cos 95° cos 35° sin 95° sin 35°; б) cos 125° cos 35°sin 125° sin 35°;

в) sin 35° cos 25° sin 25° cos 35°; г) sin 123° cos 33° sin 33° cos 123°;

д) , е) .

  1. Вычислить : а) cos  π /5 cos 2π /15 sin π/ 5sin 2π /15;

б) sin 4π /7 cos π /14  cos 4π /7sin π /14; в) .

  1. Упростить: а) cos 4α cos 3α sin 4α sin 3α; б) sin 5α cos 3α cos 5α sin 3α;

в) sin 2α cos 7α cos 2α sin 7α; г) .

  1. Упростить : а) cos α cos β sin α sin β, если α = 12 °, β = 18 °;

б) cos(3x y) cos(3x + 2y) + sin(3x y) sin(3x + 2y).

  1. Докажите справедливость равенства 
    sin 2
    α ( sin 2α sin 2β ) cos 2α ( cos 2α cos 2β ) = 2 sin 2 ( α β ) .

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-5,

Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-4,

Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3.



Требования к оформлению самостоятельной работы:

Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.



























Самостоятельная работа №52

Тема: Типовой расчет по теме «Синус, косинус и тангенс двойного и половинного угла».

Цель работы:

  • повторить понятия: cинус, косинус и тангенс двойного и половинного угла, их способы нахождения;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал:

  1. Ш.А. Алимов. Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс, глава 5, §29-30.

  2. Самостоятельная работа № 50.

  3. Формулы:

Формулы половинного аргумента:

sin2 α/2 = ( 1 cosα) / 2, cos2α/2 = ( 1cosα) / 2, tg2α/2 = ( 1 cosα) / ( 1 cosα) , ctg2α/2 = ( 1cosα) / ( 1 cosα),











Формулы двойного аргумента

sin2x = 2sinx cosx , cos2x = cos2х  sin2x = 2cos2x  1 = 1 2sin2x.

Решение типовых заданий:

Пример 1. Вычислить

Решение: .

Ответ: .

Пример 2. Вычислить

Решение:

Ответ: .

Пример 3. Вычислить sin2α, если sinαcosα = 1/3.

Решение: Возведем обе части равенства в квадрат: (sinαcosα)2 = ,

sin2α – 2sinαcosα + cos2α = , 2sinαcosα = – 1, 2sinαcosα = ,

sin2α = . Ответ: .

Пример 4. Вычислить sin2α, если sinα = - 0,6,

Решение: sin2α = 2sinα cosα . Т.к. ,то cosα < 0,

cos α =

sin2α = 2() () = 0,96.

Ответ: 0,96.

Пример 5. Вычислить sinα/2, cosα/2, tgα/2, ctgα/2, если cosα = 0,8,.

Решение: cos2 α/2 = (1 + cosα) : 2 = 1,8 : 2 = 0,9, cosα/2 = .

sin2 α/2 = (1 cosα) : 2 = 0,2 : 2 = 0,1, sinα/2 = .

tgα/2 = sinα/2 : cosα/2 = 0,33 : 0,95 = 33/95, ctgα/2 = cosα/2 : sinα/2 = 0,95 : 0,33 = 95/33.

Ответ:

33/95; 95/33.

Задание:

1 вариант.

  1. Вычислить .

  2. Вычислить .

  3. Вычислить sin2α, если sinαcosα = 1/4.

  4. Вычислить cos 2α, если sinα = - 0,8,

  5. Вычислить sinα/2, cosα/2, tgα/2, ctgα/2, если sinα = 0,8,.

2 вариант.

  1. Вычислить .

  2. Вычислить .

  3. Вычислить sin2α, если sinαcosα = 1/5.

  4. Вычислить cos 2α, если sinα = - 0,6,

  5. Вычислить sinα/2, cosα/2, tgα/2, ctgα/2, если cosα = 0,6,.

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-5,

Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-4,

Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3.

Требования к оформлению самостоятельной работы:

Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.

Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.

Самостоятельная работа №53

Тема: Типовой расчет по теме «Решение простейших тригонометрических уравнений». 

Цель работы:

  • повторить понятия: простейшие тригонометрические уравнения, их способы решения;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал:

Ш.А. Алимов. Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс, глава 6,§33-35.

Решение типовых заданий:

Пример 1.Решите уравнение sin6xcos3x = 0.

Решение: sin6x – co3x = 0 , 2sin3x cos3x – cos3 x = 0 , сos3x(2sin3x – 1) = 0 ,

сos3x=0 или sin3x=1/2 .

3x= π/2 + π k, k , 3x = (-1)n π/6 + π n, n Z .

х1= π/6+ π k/3 , k Z, x2=(-1)n π/18+ π n/3 , n Z .

Ответ: х1= π/6+ π k/3 , k Z; x2=(-1)n π/18+ π n/3 , n Z .



Пример 2. Решите уравнение (2 sin x – 1)(tg x - ) = 0.

Решение: ( 2 sin x – 1)(tg x - ) = 0,

2 sin x – 1= 0 или tg x = 0,

sin x = 1/2 tg x = ,

х1= (-1) n π/6 + π n, n Z , х2 = π/3 + π k, k .

Ответ: х1= (-1) n π/6 + π n, n Z , х2 = π/3 + π k, k .



Пример 3. Решите уравнение ( ctg x – 1)(2sin + 1) = 0.

Решение: ( ctg x – 1)(2sin + 1) = 0,

ctg x – 1 = 0 или 2sin + 1 = 0,

ctg x = 1 sin = – 1/2, х/2 = (-1) n +1 π/6 + π n, n Z,

х1 = π/4 + π k, k , х2 = (-1) n +1 π/3 + 2π n, n Z.

Ответ: х1 = π/4 + π k, k , х2 = (-1) n +1 π/3 + 2π n, n Z.

Пример 4. Решите уравнение . Решение: , cos (3x – 2x) = , cos x = , x = Ответ: x =

Пример 5. Решите уравнение 2cos( х + π/3) = .

Решение: 2cos( х + π/3) = , cos( х + π/3) = , х + π/3 = ± 5π/6+2πn, nZ, x = π/3 ± 5π/6+2πn, nZ. x1 = π/3 + 5π/6+2πn, nZ, x1 = π/2 +2πn, nZ,

x2 = π/3 5π/6+2πn, nZ, x2 = 7π/6 +2πn, nZ.

Ответ: x1 = π/2 +2πn, nZ, x2 = –7π/6 +2πn, nZ.

Задание:

1 вариант.

  1. Решите уравнение sin4xcos2x = 0.

  2. Решите уравнение (2 sin x – )(tg x – ) = 0.

  3. Решите уравнение ( ctg x – )(2sin + ) = 0.

  4. Решите уравнение cos 4xcos3x + sin4xsin3x = / 2.

  5. Решите уравнение 2cos(х + π/4) = .

2 вариант.

  1. Решите уравнение sin2xcosx = 0.

  2. Решите уравнение (2 cos x – 1)(ctg x – ) = 0.

  3. Решите уравнение ( tg x – 1)(2sin – ) = 0.

  4. Решите уравнение cos 4xcosxsin4xsinx = / 2.

  5. Решите уравнение 2cos(х + π/6) = .



Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-5,

Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-4,

Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3.

Требования к оформлению самостоятельной работы:

Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.

Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.





Самостоятельная работа №54

Тема: Типовой расчет по теме «Решение тригонометрических уравнений».

Цель работы:

  • повторить понятия: виды тригонометрических уравнений, их способы решения;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал:

  1. Ш.А. Алимов. Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс, глава 6,§36.

  2. Решение тригонометрических уравнений с помощью замены одной из тригонометрических функций и сведением к квадратному уравнению.

Выделим признаки, по которым произвольное тригонометрическое уравнение может быть классифицировано, как уравнение, сводящееся к квадратному.

Первым действием нужно убедиться, что все тригонометрические функции, входящие в уравнение, имеют единый аргумент. Если это не так, то их нужно свести к единому аргументу. Для этого используются формулы блока: “формулы двойного аргумента”

Вторым действием нужно пытаться привести уравнение к виду: Af 2(x) + B f(x) + C = 0 , где A,B,C – некоторые числа, f(x) – одна из тригонометрических функций. Для этого используется основное тригонометрическое тождество или взаимосвязь между тангенсом и котангенсом.

Третьим действием общая тригонометрическая функция заменяется буквой t, при этом учитывается область значений обозначаемой функции.

Таким образом, некоторые тригонометрические уравнений могут быть сведены к видам из таблицы

Решение типовых заданий:

Пример 1. a)Решите уравнение sin2 x + 5sin x – 6 = 0.

Решение: sin2 x + 5sin x – 6 = 0.

Данное уравнение соответствует (1) таблицы, поэтому делаем замену  sin x = t, t ,

получаем квадратное уравнение: t2 + 5t – 6 = 0, 

находим корни  t1 = 1,t2 = – 6,

замечаем, что t2 = – 6 посторонний корень, поскольку t  ,

делаем обратную замену, т.е. решаем уравнение sin x = 1 , у которого корнями

будут числа x = π/2 +2πn, nZ .

Ответ: x = π/2 +2πn, nZ.

б) Решите уравнение tg2 x – 3tg x + 2 = 0.

Решение: Данное уравнение соответствует (5) таблицы, поэтому делаем замену  tg x = t,

получаем квадратное уравнение: t2 – 3t + 2 = 0, находим корни  t1 = 1,t2 = 2, делаем обратную замену: tg x = 1, x1 = π/4 + πn, nZ  или tg x = 2, x 2= arctg 2 + πk, kZ .

 Ответ: x1 = π/4 + πn, nZ  , x 2= arctg 2 + πk, kZ .

Пример 2. Решите уравнение 2sin2 x + 3cos x – 3 = 0.

Решение: 2sin2 x + 3cos x – 3 = 0.

Данное уравнение соответствует (3) таблицы, поэтому cделаем замену cos x = t, t . Из основного тригонометрического тождества следует, что sin2x = 1 –cos2x, sin2x = 1 – t2 ,  получим квадратное уравнение: 2t2 – 3t + 1 = 0 , находим корни:

D = (3)2 42 1 = 9 8 = 1, t1= (3 + 1) : 4 = 1, t2 = (3 1) : 4 = .

делаем обратную замену: cos x = 1, x 1= n, nZ или cos x = 1 / 2, x2 =

Ответ: x 1= 2πn, nZ  , x2 =  .

Пример 3. Решите уравнение cos 2x = 4cos x – 1.

Решение: cos 2x = 4cos x – 1.

Данное уравнение непосредственно не имеет вид, описанный в таблице. Как правило, легко классифицировать уравнения, если привести тригонометрические функции в него входящие к одному аргументу. Поскольку cos 2x = cos2xsin2 x = 2 cos2x –1 , то уравнение 2 cos2x = 4 cos x сведено к (2) виду таблицы. Поэтому делаем замену cos x = t, t  и получаем неполное квадратное уравнение t2 – 2t = 0, откуда t1 = 0, t2 = 2. ( t2 = 2 посторонний корень, поскольку t  .

Делаем обратную замену: cos x = 0, x = , nZ .

Ответ: x = , nZ .

Пример 4. Решить уравнение 4 – cos2x = 4 sin x.

Решение: Вместо cos2x подставим тождественное ему выражение 1 – sin2x . Тогда исходное уравнение примет вид

4 – (1 –sin2x) = 4 sin x, 3 + sin2x = 4 sin x, sin2– 4 sin x + 3 = 0.

Если положить y = sin x, получим квадратное уравнение y2 – 4y + 3 = 0. Оно имеет корни y1= 1 и y2 = 3. Значит, исходное уравнение равносильно совокупности уравнений

sin x = 1 или  sin x = 3.

Уравнение sin x = 1 имеет решение . Уравнение sin x = 3 решений не имеет. Ответ: .

Пример 5. Решите уравнение 6 sin2 x+7 cos x-1= 0 .

Решение: 6 sin2 x + 7 cos x – 1= 0 .

Вместо sin2x подставим тождественное ему выражение  1 – cos2x . Тогда исходное уравнение примет вид 6(1 – cos2 x) + 7 cosx – 1=0;

6 cos2 x + 7 cos x + 5=0; 6 cos2 x – 7 cos x – 5=0;

Замена cos x = t, |t|≤1

6t2 – 7t – 5 = 0;

D = (7)2 46 () = 49 + 120 = 169, t1= (7 13) : 12 = , t2 = (7 13) : 12 = .

t1 = ,t2 = -не удовлетворяет условию |t|≤1;

Делаем обратную замену cos x = ;

x = ±arccos() + 2πk, kZ ,

x = ± (ππ/3) + 2πk , kZ, x = ± 2π/3 + 2πk , kZ .

Ответ: x = ± 2π/3 + 2πk , kZ .

Пример 6. Решить уравнение .

Решение: .

Поделим обе части уравнения на cos x или sin x. Но предварительно надо доказать, что это выражение никогда не обращается в нуль. Предположим, что cos x= 0. Тогда 5sin x2∙0 = 0 , sin x = 0. Получается, что если sin x = 0, то и cos x = 0 , чего быть не может ввиду равенства . Значит можно поделить уравнение на cos x:

. Получим уравнение 5tg x 2 = 0, tg x = 2/5= 0,4.

Отсюда .

Ответ: . Пример 7. Решить уравнение : а) ; б) .

Решение: a) , , , , ,

,

б) ,,

, можно поделить уравнение на , , , a = 3, c = 1 , k = – 2, D1 = k2ac = 4 – 3 = 1, , ,

, , .

, , .

Ответ: ,.

Пример 8. Решить уравнение 4 sin x cos x - cos2 x = 0.

Решение: 4 sin x cos x - cos2 x = 0, обе части уравнения можно поделить на .

Получим 4tg x – 1 = 0, tg x = 1/4, tg x = 0,25; x = arctg 0,25 + πn, n Z.

Ответ: x = arctg 0,25 + πn, n Z.

Пример 9. Решить уравнение .

Решение: Данное уравнение не является однородным. Но его можно превратить в однородное, заменив 3sin2x на 6sin x cos x и число 2 на .

Приведя подобные слагаемые, получим уравнение . Тогда можно обе части уравнения поделить на . Получим , a = 10, c = – 4 , k = 3, D1 = k2ac = 9 – (– 40) = 49, ,

или . Отсюда .

Ответ: .

Пример 10. Решите уравнение 2 sin2 х –3 sinх cos х –5 cos2 х = 0 .

Решение: 2 sin2 х –3 sinх cos х –5 cos2 х = 0 .

2 sin2 х – 3 sinх cos х –5 cos2х = 0 | : cos2х ≠ 0,

2 tg 2x – 3 tg x – 5 = 0, замена tg x = t.

2 t2 – 3t – 5 = 0,

D = (3)2 42 (– 5) = 9 + 40 = 49, t1= (3 7) : 4 = 1, t2 = (3 7) : 4 = .

t1 = -1; t2 = 2,5.

Решением уравнения tg х = – 1 являются числа вида х1 = – π/4 + πk , k Z.

Решением уравнение tg х = 2,5 являются числа вида х2 = arctg 2,5+ πn, n Z.

Ответ: х1 = – π/4 + πk , k Z, х2 = arctg 2,5+ πn, n Z.

Задание:

1 вариант.

  1. a)Решите уравнение 5sin2 x +21sin x + 4 = 0 ,

б) Решите уравнение 2tg2 x – 11tg x + 5 = 0.

  1. Решите уравнение 5sin2 x – 7cos x + 1= 0.

  2. Решите уравнение cos 2x = 6cos x – 1.

  3. Решить уравнение 3 – cos2x = 3 sin x.

  4. Решите уравнение 6 sin2 x + 5 cos x– 7=0 .

  5. Решить уравнение .

  6. Решить уравнение : а) ; б) .

  7. Решить уравнение 5 sin x cos x – 3cos2 x = 0.

  8. Решить уравнение 3.

  9. Решите уравнение hello_html_4479420f.gif .

2 вариант.

  1. a)Решите уравнение 6cos2 x – 19cos x +3 = 0,

б) Решите уравнение 8tg2 x +10tg x + 3 = 0.

  1. Решите уравнение 8sin2 x + 10cos x – 5 = 0.

  2. Решите уравнение cos 2x = 8cos x – 1.

  3. Решить уравнение 5 – cos2x = 5 sin x.

  4. Решите уравнение 4 sin2 x + 3 cos x– 3 = 0 .

  5. Решить уравнение .

  6. Решить уравнение : а) ; б) .

  7. Решить уравнение 4 sin x cos x– 3cos2 x = 0.

  8. Решить уравнение .

  9. Решите уравнение sin2 x - 5 sin x cos x + 6 cos2 x = 0.

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-10,

Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-8,

Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-5.

Требования к оформлению самостоятельной работы:

Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.

Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.



Самостоятельная работа №55

Тема: Решение теста по теме «Решение тригонометрических уравнений».

Цель работы: повторить, закрепить основные понятия по теме «Решение показательных и логарифмических неравенств». Методические рекомендации к выполнению теста: Решив задачу, нужно выбрать правильный ответ и записать номер, под которым он записан. Задание:

Вариант 1

А1. Решите уравнение .

1) , 2) (-1)n, 3) , 4)

А2. Решите уравнение 2 sin2х - cos2х = 1.

А3. Решите уравнение ctg2 x = 3.

1) 2) 3) 4)

А4. Найдите сумму корней уравнения sin2x –4sinx = 5 на промежутке [-;2].

1) ; 2) ; 3) 2; 4) -.

А5. Решите уравнение

А6. Решите уравнение .

1) х=π+k, k Z; 2) х=+k, k Z; 3) х=2k, k Z; 4) х=π+2k, k Z.

А7. Решите уравнение .

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

А8. Решите уравнение .

1) ,2) , 3) , 4) .

А9. Решите уравнение .

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

А10. Найдите сумму наименьшего положительного и наибольшего отрицательного корней уравнения . 1) ; 2) ; 3) ; 4) .


Вариант 2.

А1. Решите уравнение cos2x = 0.

1) , 2), 3) , 4) .

А2. Решите уравнение

А3. Решите уравнение tg2x=.

А4. Найдите сумму наименьшего положительного и наибольшего отрицательного корней уравнения cos(-x)= . 1) -1; 2) 1; 3) 2; 4) 0.

А5. Решите уравнение .

А6. Решите уравнение .

1) x=π+2πk, k Z; 2) x=-πk, k Z; 3) x= -+πk, k Z; 4) x=2πk, k Z.

А7. Решите уравнение 2cos= 1.

1) ;2) ; 3); 4) .

А8. Решите уравнение sinx - cosx = 0.

1) +k, k Z; 2) +2k, k Z; 3) +k, k Z; 4) -+k, k Z.

А9. Решить уравнение

А10. Найдите сумму корней на указанном промежутке

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1- 10,

Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1- 8,

Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1- 6.

Требования к оформлению самостоятельной работы:

Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.

Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.



Самостоятельная работа №56

Тема: Типовой расчет по теме «Область определения и множество значений тригонометрических функций».

Цель работы:

  • повторить понятия: область определения и множество значений тригонометрических функций;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал:

Ш.А. Алимов. Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс, глава 7, §38.

Решение типовых заданий:

Пример 1.Найти область определения D(y) тригонометрических функций: а) y = sin 2x , б) y = cos , в) y = sin , г) y = cos , д) y = sin , е) y = cos . Решение: а) y = sin 2x , D(y) = R , б) y = cos , D(y) = R , в) y = sin , D(y) : x , г) y = cos , D(y) : x , д) y = sin , x1, x , D(y) : x , е) y = cos , x, D(y) : x .

Ответ: а), б) D(y) = R, в), г) D(y) : x , д) D(y) : x , е) D(y) : x .

Пример 2. Найти область определения функции  f(x) = tg 2x.
Решение: в данном случае   в область определения не войдут следующие точки:

Скинем «двойку» левой части в знаменатель правой части:

В результате  :
hello_html_m644d540.jpg
Ответ: область определения:
D(f) = R \ { } .

Пример 3. Найти множество значений E(y) тригонометрической функции

y = 2sin2x cos2x.

Решение: y = 2sin2x cos2x = a , 2sin2x (1 2 sin2x) = 4 sin2x 1 = a, 4 sin2x = a 1, 2(1cos 2x) = a 1, 2 2cos 2x = a 1, 2 cos 2x = a 1, cos 2x = (a) : (), cos 2x = (1) : ,

E(y) = [ 1; 3]. Ответ: E(y) = [ 1; 3].

Пример 4. Найти множество значений E(y) тригонометрической функции

y = 3 cos 2x 4sin2x.

Решение: y = 3 cos 2x 4sin2x = g, a = 3, b = , k2 = a2 b2 = 32 ()2 = 9 16 = 25, k = 5, 3/5∙ cos 2x 4/5∙ sin 2x = g /5, sin(φ) = g/5, E(y) = [ 5; 5]. Ответ: E(y) = [ 5; 5].

Пример 5. Найти множество значений E(y) тригонометрической функции

y = 10cos2x 6sin x cos x 2sin2x.

Решение: y = 10cos2x 6sin x cos x 2sin2x = a.

Oбе части уравнения поделим на cos2x. Получим, 10 6 tg x 2tg2x = a∙ (1 tg2x),

10 6 tg x 2tg2 x a tg2x = 0, (2) ∙ tg2 xtg x (10) = 0, tg x = t, (2) ∙ t2t (10) = 0, D = ()2 4∙ (2)∙ (10) = 36 4∙ (20 2) = =3680 48a 2 = 48a 2 = 4∙ (2 , 2

2 a1 = 11, a2 = 1.

hello_html_5bd89a69.png


E(y) = [1; 11]. Ответ: E(y) = [1; 11].

Задание:

1 вариант.

  1. Найти область определения D(y) тригонометрических функций: а) y = sin 4x , б) y = cos , в) y = sin , г) y = cos , д) y = cos , е) y = sin .

  2. Найти область определения функции  f(x) = tg 4x.

  3. Найти множество значений E(y) тригонометрической функции y = 4sin2x cos2x.

  4. Найти множество значений E(y) тригонометрической функции y = 6 cos 2x 8sin2x.

  5. Найти множество значений E(y) тригонометрической функции

y = 5cos2x 2sin x cos xsin2x.

2 вариант.

  1. Найти область определения D(y) тригонометрических функций: а) y = sin 6x , б) y = cos , в) y = sin , г) y = cos , д) y = cos , е) y = sin .

  2. Найти область определения функции  f(x) = tg 3x.

  3. Найти множество значений E(y) тригонометрической функции y = 6sin2x cos2x.

  4. Найти множество значений E(y) тригонометрической функции y = 9 cos 2x 12sin2x.

  5. Найти множество значений E(y) тригонометрической функции

y = 6cos2x 8sin x cos x 6sin2x.

Критерии оценки:


Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-5,


Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-4,


Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3.


Требования к оформлению самостоятельной работы:


Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.










Самостоятельная работа №57

Тема: Составление опорного конспекта «Свойства и график функций у = cos x, у = sin x, у = tg x».

Цель работы:

  • повторить понятия: свойства для построения графиков функций у= cos x, у= sin x; основные свойства функций у= cos x, у= sin x, применение графиков этих функций при решении уравнений и неравенств; свойства для построения графика функции у= tg x; основные свойства функции у= tg x, применение графика функции у= tg x при решении уравнений и неравенств;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

План работы:

  1. Свойства для построения графика функции у= cos x, ее график;

  2. Основные свойства функции у= cos x;

  3. Применение графиков функции у= cos x при решении уравнений и неравенств;

  4. Свойства для построения графика функции у= sin x, ее график;

  5. Основные свойства функции у= sin x;

  6. Применение графиков функции у= sin x при решении уравнений и неравенств;

  7. Свойства для построения графика функции у= tg x, ее график;

  8. Основные свойства функции у= tg x;

  9. Применение графиков функции у= tg x при решении уравнений и неравенств;

  10. Применение в физике тригонометрических функций.;


Методические рекомендации к составлению конспекта:


Конспект– это работа с другим источником.

Цель –зафиксировать ,переработать тот или иной текст.

Конспект представляет собой дословные выписки из текста источника. При этом конспект это не полное переписывание чужого текста. При написании конспекта сначала прочитывается текст –источник, в нем выделяются основные положения , подбираются примеры , идет перекомпоновка материала, а затем уже оформляется текст конспекта. Конспект может быть полным, когда работа идет со всем текстом источника или неполным, когда интерес представляет какой-либо один или несколько вопросов, затронутых в источнике.

Общую последовательность действий при составлении конспекта можно определить таким образом:

1. Уяснить цели и задачи конспектирования.

2.Внимательно прочитать текст параграфа, главы и отметить информационно значимые места.

3. Составить конспект.

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : содержание соответствует теме, материал проработан глубоко, грамотно и полно использованы источники, приведены сложные примеры;

Оценка «4» выставляется , если : материал проработан не глубоко, использованы не все источники, приведены сложные примеры ;

Оценка «3» выставляется, если : материал проработан не полностью, приведены примеры.


Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.

Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.




Самостоятельная работа №58

Тема: Решение теста по теме «Свойства и график тригонометрических функций» .

Цель работы: повторить, закрепить основные понятия по теме «Свойства и график тригонометрических функций».

Методические рекомендации к выполнению теста: Решив задачу, нужно выбрать правильный ответ и записать номер, под которым он записан.

Задание:

1 вариант.

  1. Укажите четные функции. А) cos x; B) sin x ; C) tg x; D) ctg x.

  2. Определите на каком промежутке функция y = cos x возрастает: А) [ 0; π ], В) [ π; 2π ], С) [ 2π; 3π ], D) [ ].

  3. Определите на каком промежутке функция y = sin x убывает:

А) [ 0; ], В) [ ; π ], С) [ ; 2π ], D) [- ; 0 ].

  1. a) Укажите область определения функции y = cos x.
    A) [- ; ] ;B) (); C) [π; π ]; D) [ 0; 2π ]. б) Укажите область определения функции y = tg x.
    A) [- ; ] ; B) (); C) D)

  2. Периодом функции f(x) = cos x является: A) B) π ; C) ; D) 2π .

  3. Периодом функции f(x) = tg x является: A) B) π ; C) ; D) 2π .

  4. Найдите наименьший положительный период функции y = sin 3t .
    A) B) ; C) ; D) .

  5. Найдите наименьший положительный период функции y = tg (3t.
    A) B) ; C) ; D) 4π .

  1. Определите, на каком из рисунков изображен график четной тригонометрической функции.

А)

hello_html_57d177f5.png

B)

hello_html_m1bba5779.png

C)

hello_html_7fbeda10.png1) А и С; 2) В ; 3) С; 4) В и С.


  1. Найдите множество значений функции y= -1/3 cos 3x.

A) (-1/3;1/3); B) [-3; 3]; C) [-1/3;0]; D) [-1/3;1/3].


2 вариант.

  1. Укажите нечетные функции. А) cos x; B) tg x, cos x ; C) tg x, sin x; D) ctg x, cos x.

  2. Определите на каком промежутке функция y = cos x убывает: А) [ -π; 0 ], В) [ π; 2π ], С) [ 0; π ], D) [ - ; 0 ].

  3. Определите на каком промежутке функция y = sin x возрастает: А) [ - ; ;], В) [ ; π ], С) [ π; ], D) [ -π; 0 ].

  4. a)Укажите область определения функции y = sin x. A) [- ; ] ;B) (); C) [π; π ]; D) [ 0; 2π ]. б) Укажите область определения функции y = ctg x. A)[- ; ] ; B) (); C) D)

  5. Периодом функции f(x) = sin x является: A) B) π ; C) ; D) 2π .

  6. Периодом функции f(x) = ctg x является: A) B) π ; C) ; D) 2π .

  7. Найдите наименьший положительный период функции y = cos( ). A) B) ; C) ; D) 4π .

  8. Найдите наименьший положительный период функции y = tg (2t. A) B) ; C) ; D) .

  9. Определите, на каком из рисунков изображен график четной тригонометрической функции.

А) B)

hello_html_57d177f5.pnghello_html_m1bba5779.png

C) 1) А и С; 2) В ; 3) С; 4) В и С.

hello_html_7fbeda10.png

  1. Найдите множество значений функции y = sin x3.

A) [-4; 0];B) [-4; -2]; C) [-3; 3]; D) [-3; -2];


Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-10,с записью решения, даже с недочетами.

Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-8, с записью решения, даже с недочетами.

Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-5.

Требования к оформлению самостоятельной работы:

Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.

Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.






Самостоятельная работа №59

Тема: Составление опорного конспекта «Правила дифференцирования».

Цель работы:

  • повторить понятия: правила вычисления производных суммы, разности, произведения, частного, сложных функций ;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

План работы:

  1. Правила вычисления производных суммы и разности функций, примеры;

  2. Правила вычисления производных произведения функций, примеры;

  3. Правила вычисления производных частного функций, примеры;

  4. Правила вычисления производных сложных функций, примеры;.


Методические рекомендации к составлению конспекта:


Конспект– это работа с другим источником.

Цель –зафиксировать ,переработать тот или иной текст.

Конспект представляет собой дословные выписки из текста источника. При этом конспект это не полное переписывание чужого текста. При написании конспекта сначала прочитывается текст –источник, в нем выделяются основные положения , подбираются примеры , идет перекомпоновка материала, а затем уже оформляется текст конспекта. Конспект может быть полным, когда работа идет со всем текстом источника или неполным, когда интерес представляет какой-либо один или несколько вопросов, затронутых в источнике.

Общую последовательность действий при составлении конспекта можно определить таким образом:

1. Уяснить цели и задачи конспектирования.

2.Внимательно прочитать текст параграфа, главы и отметить информационно значимые места.

3. Составить конспект.


Критерии оценки:


Оценка «5» выставляется если : содержание соответствует теме, материал проработан

глубоко, грамотно и полно использованы источники, приведены сложные примеры;


Оценка «4» выставляется , если : материал проработан не глубоко, использованы не все источники, приведены сложные примеры ;


Оценка «3» выставляется, если : материал проработан не полностью, приведены примеры.


Требования к оформлению самостоятельной работы:



Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.



Самостоятельная работа №60

Тема: Типовой расчет по теме «Правила дифференцирования».

Цель работы:

  • повторить понятия: правила дифференцирования, производная показательной ,степенной функции ;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал:

  1. Ш.А. Алимов. Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс, глава 8, §46-47.

  2. Самостоятельная работа № 59.

Решение типовых заданий:

Пример 1. Найти производную функции  y = .

Решение: По свойству дифференцирования произведения,

hello_html_m667262fc.png.

Используя формулу для нахождения производной показательной и степенной функций, получим: hello_html_m33ce9c10.png , hello_html_m7a155e45.png

Для нахождения производной использовались правила дифференцирования и таблица производных функций. Ответ: hello_html_m7259a439.png .

Пример 2. Найти производную функции  y = .

Решение: Воспользуемся правилом дифференцирования частного:

hello_html_m6c0be978.png.

Производная суммы/разности равна сумме/разности производных и константу можно выносить за знак производной, поэтому имеем:

hello_html_m6d9e2531.png,

hello_html_m4661b9f4.png,

hello_html_5aeb11a1.png, hello_html_303e1e97.png , hello_html_47c000ce.png .

Ответ: hello_html_6873cbb0.png .

Пример 3. Найти производную функции y =   .

Решение: По правилу дифференцирования частного:

hello_html_m2652334c.png ,

Далее воспользуемся формулами из таблицы производных - формулам для производных степенной и тригонометрических функций, а также учитываем тот факт, что производная суммы равна сумме производных:

hello_html_6bfbb3b0.png ,

hello_html_4f5a6440.png ,

hello_html_345a5152.png , hello_html_3dd92d7d.png .

Ответ: hello_html_5f22ddde.png .

Пример 4. Найти производную функции  hello_html_mb62401c.png .

Решение: По свойству дифференцирования частного получаем:

hello_html_m1bbacdfd.png ,

Далее пользуясь формулами для производных логарифмической и степенной функции, получим:

hello_html_m7e5e4019.png , hello_html_7fc6a7d9.png , hello_html_m68b092d7.png .

Ответ: hello_html_ecc0376.png . Пример 5. а) Найти производную функции  .

Решение:

Примените таблицу основных производных и формулы производных линейной комбинации и отношения функций.




Ответ:  .

б) Вычислить производную функции y = cos ln ().

Решение: Примените таблицу основных производных и формулу производной сложной функции.

y / = sin ln (3x2 ) (ln (3x2)) / = sin ln (3x2 ) / =

= sin ln (3x2 ) .

Ответ:  sin ln (3x2 ) .

Задание:


1 вариант.


1) Найти производную функции  y = .

2)Найти производную функции  y = .


3)Найти производную функции y = .

4) Найти производную функции .

5) а) Найти производную функции  .

б) Вычислить производную функции y = cos ln (2x2).




2 вариант.


1) Найти производную функции  y = .

2)Найти производную функции  y = .


3)Найти производную функции y = .


4)Найти производную функции   .

5) а) Найти производную функции  ,

б) Вычислить производную функции y = cos ln (4x2).


Критерии оценки:


Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-5,


Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-4,


Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3.


Требования к оформлению самостоятельной работы:


Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.


























Самостоятельная работа №61

Тема: Типовой расчет по теме «Производная».

Цель работы:

  • повторить понятия: производная степенной функции, правила вычисления производных суммы, разности, произведения, частного, сложных функций, правила вычисления производных элементарных функций;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал:

Ш.А. Алимов. Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс, глава 8-9.

Решение типовых заданий: конспект, самостоятельная работа № 60.

Задание:

1 вариант.

ЧастьА.

А1. Найдите производную функции y = ex - x7 . А2. Найдите производную функции у = ехsinx.

1) = ех + cosx; 2) = ех - cosx; 3) = ½ е2x - cosx; 4) = е2x - cosx.

А3. Вычислите значение производной функции у=3ех+cos2x в точке хо=0. 1) 3; 2) -1; 3) 1; 4)2. А4. Вычислите значение производной функции у = в точке хо=2. 1) 11,5; 2)10,5; 3) 11; 4) 9,5.

А5. Вычислить значение производной функции у = ех sinx + x2 в точке xo=0. 1) 0; 2) 1; 3) 2; 4) 3. А6. Вычислите значение производной функции у = cos2x + 4x в точке хо=. 1) 2; 2) -2; 3) 4; 4) 0. А7. Вычислите значение производной функции у = - ln2x в точке хо = 2. 1) 3; 2) 4; 3) 2; 4) 1. А8. Вычислите значение производной функции у = -5х3+ 25x2 – 24x +23 в точке хо = 1. 1) 15; 2)11; 3) 17; 4) 9. А9. Найдите производную функции . 1) ; 2) ; 3) ; 4) . А10. Вычислите значение производной функции в точке хо= . 1) 2; 2) 4; 3) -2; 4)1/2.

Часть В.

В1.Найдите производную функции:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;


В2. а) К графику функции проведена касательная через точку с абсциссой . Вычислите тангенс угла наклона этой касательной к оси абсцисс.

б) Напишите уравнение касательной к кривой в точке с абсциссой .

В3. а) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

б) Площадь прямоугольника равна 81 см2. Найдите наименьший возможный периметр этого прямоугольника.

В4.Найдите область определения, промежутки монотонности, точки экстремума, экстремумы функции:

В5.Найдите корень (или сумму корней, если их несколько) уравнения f ' (x) = 0, если f(x) = 4x + 8/x.


2 вариант.


ЧастьА.


А1. Найдите производную функции y = e -x -2x7 . 1) y´= - e-x -14x6; 2) y´= - e-x –; 3) y´= -e-x –2x6; 4) y´= e-x -14x6. А2. Найдите производную функции у = 4х3+ е .

1) у´=12х2 ; 2) у´=12х2 – е ; 3) у´=х4 - е ; 4) у´=12х2 – хе -х-1.

А3. Найдите производную функции у = x2 + sinx в точке х0 =.

1) 2 -1; 2) 2 + 1; 3) 2 -1; 4) 2. А4. Вычислите значение производной функции в точке хо=2. 1) 10; 2) 12; 3) 8; 4) 6.

А5. Найдите производную функции у = sinх ex – 9x3 в точке xo=0.

1) 0; 2) -1; 3) 1; 4) -9.

А6. Найдите значение производной функции у = 5cos x – 7x в точке хо = 0 . 1) -14; 2) -7; 3) -9; 4) -2. А7. Найдите производную функции .

1) 4х – 6+; 2) (2х - 3)2+; 3) 8х – 12 +; 4) 4х – 6 - . А8. Вычислите значение производной функции в точке хо= 4. 1) 21; 2) 24; 3) 0; 4) 3,5.

А9. Вычислите значение производной функции y = ln(2x+11)+ 5x в точке хо= -5. 1) 7; 2) -25; 3) 6; 4) 1. А10. Вычислите значение производной функции в точке хо= .

1) 1; 2) 2; 3) 0; 4) 4.


Часть В.


В1.Найдите производную функции:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;


В2. а) К графику функции проведена касательная через точку с абсциссой . Вычислите тангенс угла наклона этой касательной к оси абсцисс.

б)Напишите уравнение касательной к кривой в точке с абсциссой .

В3. а) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

б )Площадь прямоугольника равна 25 см2. Найдите наименьший возможный периметр этого прямоугольника.

В4.Найдите область определения, промежутки монотонности, точки экстремума, экстремумы функции:

В5.Найдите корень (или произведение корней, если их несколько) уравнения f ' (x) = 0,

если f(x) = 3x + 9/x.



Критерии оценки:


Оценка «5» выставляется, если : выполнено задание : часть А № 1-10, часть В № 1-5.


Оценка «4» выставляется, если : выполнено задание : часть А № 1-8, часть В № 1-4.


Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание : часть А № 1-10.


Требования к оформлению самостоятельной работы:

Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.












Самостоятельная работа №62

Тема: Составление опорного конспекта «Геометрический смысл производной».

Цель работы:

  • повторить понятия: геометрический смысл производной, уравнение касательной, способ построения касательной к параболе, признак возрастания и убывания функций, экстремумы функции ;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

План работы:

  1. Геометрический смысл производной, формула, примеры;

  2. Уравнение касательной, формула, примеры ;

  3. Способ построения касательной к параболе;

  4. Признак возрастания и убывания функций, примеры;

  5. Экстремумы функции, примеры.


Методические рекомендации к составлению конспекта:


Конспект– это работа с другим источником.

Цель –зафиксировать ,переработать тот или иной текст.

Конспект представляет собой дословные выписки из текста источника. При этом конспект это не полное переписывание чужого текста. При написании конспекта сначала прочитывается текст –источник, в нем выделяются основные положения , подбираются примеры , идет перекомпоновка материала, а затем уже оформляется текст конспекта. Конспект может быть полным, когда работа идет со всем текстом источника или неполным, когда интерес представляет какой-либо один или несколько вопросов, затронутых в источнике.

Общую последовательность действий при составлении конспекта можно определить таким образом:

1. Уяснить цели и задачи конспектирования.

2.Внимательно прочитать текст параграфа, главы и отметить информационно значимые места.

3. Составить конспект.


Критерии оценки:


Оценка «5» выставляется если : содержание соответствует теме, материал проработан глубоко, грамотно и полно использованы источники, приведены сложные примеры;


Оценка «4» выставляется , если : материал проработан не глубоко, использованы не все источники, приведены сложные примеры ;


Оценка «3» выставляется, если : материал проработан не полностью, приведены примеры.


Требования к оформлению самостоятельной работы:



Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.

Самостоятельная работа №63

Тема: Составление опорного конспекта «Метод интервалов».

Цель работы:

  • повторить понятия: метод интервалов, применение для различных функций;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

План работы:

  1. Решение простейших неравенств, представленных в виде произведения линейных множителей , методом интервалов;

  2. Решение простейших неравенств, разлагающихся на произведения линейных множителей, методом интервалов;

  3. Решение простейших дробно – рациональных неравенств без кратных корней методом интервалов;

  4. Решение неравенств с множителями , не имеющих критических точек , методом интервалов;

  5. Решение простейших неравенств с кратными корнями методом интервалов( метод лепестков);

Методические рекомендации к составлению конспекта:


Конспект– это работа с другим источником.

Цель –зафиксировать ,переработать тот или иной текст.

Конспект представляет собой дословные выписки из текста источника. При этом конспект это не полное переписывание чужого текста. При написании конспекта сначала прочитывается текст –источник, в нем выделяются основные положения , подбираются примеры , идет перекомпоновка материала, а затем уже оформляется текст конспекта. Конспект может быть полным, когда работа идет со всем текстом источника или неполным, когда интерес представляет какой-либо один или несколько вопросов, затронутых в источнике.

Общую последовательность действий при составлении конспекта можно определить таким образом:

1. Уяснить цели и задачи конспектирования.

2.Внимательно прочитать текст параграфа, главы и отметить информационно значимые места.

3. Составить конспект.


Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : содержание соответствует теме, материал проработан глубоко, грамотно и полно использованы источники, приведены сложные примеры;

Оценка «4» выставляется , если : материал проработан не глубоко, использованы не все источники, приведены сложные примеры ;

Оценка «3» выставляется, если : материал проработан не полностью, приведены примеры.


Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.



Самостоятельная работа №64

Тема: Типовой расчет по теме «Экстремумы функции». 

Цель работы:

  • повторить понятия: точки минимума, точки максимума, точки экстремума, стационарные точки, критические точки ;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал:

  1. Ш.А. Алимов. Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс, глава 9, §49-50.

  2. Самостоятельная работа № 62- 63.

Решение типовых заданий:

Пример 1. Найти точку максимума функции

hello_html_m1f99d07c.gif

Решение: Требуется найти критическую точку, в которой знак производной меняется с плюса на минус. Область определения функции: hello_html_4fb18fd6.gif

Найдем критические точки функции:

hello_html_m7ccf63b9.pngКритические точки.

Исследуем знак производной на интервалах, разделенных критическими точками:



х

- 4 2

max min

Ответ: x = 4.

Пример 2. Найти точку минимума функции hello_html_1ad34ebd.gif

Указание. Не забывайте, что критическими точками функции являются не только точки, в которых производная равна нулю, но и точки, в которых производная не существует (если сама функция определена в этой точке). Решение: Область определения функции: hello_html_4fb18fd6.gif

hello_html_m5c8d472b.png

Функция имеет две критические точки: hello_html_m1501d35d.png

Исследуем знак производной на интервалах, разделенных критическими точками:

х

- 8/27 0

max min

При этом график функции имеет вид: (рис. справа).hello_html_me485a4.jpg

Ответ: x = 0.

Пример 3. Найдите точки экстремума функции и определите их характер.

y = x 4 8x2.

Решение:

y = x 4 8x2 , D(y) = R , y = (x 4 8x2) = 4x 3 – 16x, y = 0,

4x 3 – 16x = 0, 4x(x2 4) = 0, 4x(x2) (x2) = 0,

x1= 0 или х2=0 или х2=0

х2 = 2 х3 =2

х1= 0, х2 = 2, х3 = 2 – это стационарные точки.





-2 0 2 х



Функция убывает на (-;2, на 0; 2. Функция возрастает на -2; 0, на 2; +).

х3 = 2, х2 = 2 – это точки минимума. х1= 0 – это точка максимума.

Ответ: х3 = 2, х2 = 2– это точки минимума, х1= 0 – это точка максимума.



Пример 4. Найдите точки экстремума функции и определите их характер.

y= x2 6x1.

Решение:

y = x2 6x1, D(y) =R,

y = ( x3 x2 6x1) = x25x6 = (х3)(х2) , y = 0, x 2 5x6 = 0,

x1 = 3, x2 = 2

x1 = 3, x2 = 2 – это стационарные точки.

х

2 3

Функция возрастает на (-; 2, на 3; +).Функция убывает на 2; 3.

x2 = 2 – это точка максимума, х1 = 3 – это точка минимума.

Ответ: х2 = 2 – это точка максимума, х1 = 3 – это точка минимума.



Пример 5. Найдите точки экстремума функции и определите их характер.

y= 2x5 5x4 10x3 3.

Решение: y = 2x5 5x4 10x3 3, D(y) = R,

y = (2x5 5x4 10x3 3) = 10x4 20x3 30x2 = 10х2 (х1)(х3), y = 0 ,

10x4 20x3 30x2 = 0, 10x2 (x2 + 2x 3) = 0,

x 2 = 0 или х2 2х3=0,

х1= 0 х2 = 1, х3 =3.

х1 = 0, х2 = 1, х3 = 3 – это стационарные точки.





-3 0 1 х



Функция возрастает на ( ; 3, на 1; ). Функция убывает на 3; 1.

х3 = 3 – это точка максимума. х2 = 1 – это точка минимума.

Ответ: х3 = 3 – это точка максимума, х2 = 1 – это точка минимума.

Задание:

1 вариант.

  1. Найти точку максимума функции y = x3 6x2 15x 3.

  2. Найти точку минимума функции y = 2x .

  3. Найдите точки экстремума функции y = x 4 2x2 и определите их характер.

  4. Найдите точки экстремума функции y = x2 4x3 и определите их характер.

  5. Найдите точки экстремума функции y = 2x5 10x4 40x3 5 и определите их характер.

2 вариант.

  1. Найти точку максимума функции y = x3 9x2 48x 7.

  2. Найти точку минимума функции y = 4x .

  3. Найдите точки экстремума функции y = x 4 18x2 и определите их характер.

  4. Найдите точки экстремума функции y = x2 5 и определите их характер.

  5. Найдите точки экстремума функции y = 2x5 15x4 90x3 7 и определите их характер.

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-5,

Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-4,

Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3.

Требования к оформлению самостоятельной работы:

Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.

Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.





Самостоятельная работа №65

Тема: Типовой расчет по теме «Нахождения наибольшего и наименьшего значения функции ». 

Цель работы:

  • повторить понятия: правило нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке, в задачах;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал:

Ш.А. Алимов. Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс, глава 9, §52.

Решение типовых заданий:

Пример 1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = 2x3 12x2 18x  3  на отрезке [– 1;2] .

Решение: 1) Вычислим значения функции в критических точках, принадлежащих данному отрезку:
hello_html_m7adea545.png 

Полученное квадратное уравнение имеет два действительных корня: х1= 1, х2 = 3
 – критические точки.

Ещё раз подчёркиваю, что нас не интересует, есть в них максимумы/минимумы или нет.

Первая критическая точка принадлежит данному отрезку: х1= 1 .
А вот вторая – нет: hello_html_1b55cb85.png, поэтому про неё сразу забываем.

Вычислим значение функции в нужной точке:
hello_html_11ef2813.png

2) Вычислим значения функции  на концах отрезка:
hello_html_m60be06fd.png

3) Дело сделано, среди «жирных» чисел выбираем наибольшее и наименьшее.

Ответ: hello_html_m1fe94605.png

Пример 2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = 3x4 12x2  5

на заданном отрезке [– 2;1] .

Решение: 1) Вычислим значения функции в критических точках, принадлежащих данному отрезку:
hello_html_7b7f6017.png .

Да, критических точек тут и правда целая команда: hello_html_2b14852a.png.

Первые две точки принадлежат нашему отрезку: 
hello_html_m53d3bbb4.png

Но третья оказывается вне игры: hello_html_m4493ad4c.png

(надеюсь, все сумели сосчитать hello_html_17c20f10.png)

Вычислим значения функции в подходящих точках:
hello_html_m4a5ceb45.png

Чтобы не заблудиться в трёх соснах, не забываем выделять результаты,

2) Вычислим значения функции на концах отрезка:
hello_html_m7eec4422.png

Среди «жирных» чисел выбираем наибольшее и наименьшее значения. Максимальное значение («пятёрка») достигается сразу в двух точках, и это необходимо указать в завершающей записи:

Ответ: hello_html_32e82365.png

Пример 3. Число 24 представьте в виде суммы двух неотрицательных слагаемых так, чтобы сумма квадратов этих чисел была наименьшей.

Решение: Пусть х – первое слагаемое, тогда (24-х) – второе слагаемое. Сумма квадратов этих чисел По условию задачи Рассмотрим функцию Она на интервале (0;24) непрерывна и дифференцируема. Найдем критические точки.

Это значение единственное, поэтому первое число – 12, второе – 12. Ответ: 24=12+12. Пример 4. Найти максимальное и минимальное значения функции f(x) = на отрезке [– 8;0] .

Решение:  1) Найдём критические точки. Предварительно можно раскрыть скобки, но не особо сложнее использовать и правило дифференцирования произведения:
hello_html_m13e5c9.png

hello_html_m70c6c9b8.png – критические точки.

Обратите внимание, что точка hello_html_4021cfb.gif обращает знаменатель производной в ноль, но её следует отнести к критическим значениям, поскольку САМА ФУНКЦИЯ определена в данной точке. Кроме того, данная точка совпала с правым концом отрезка, а значит, в следующем пункте будет меньше расчётов. В следующем, но не сейчас:
hello_html_2bd5b529.gif

2) Вычислим значения функции на концах отрезка:
hello_html_7e0e47f.gif,hello_html_64afaeed.gif уже известно.

Ответ: hello_html_3c137c07.gif. Пример 5. Найдите размеры участка прямоугольной формы, имеющего наибольшую площадь, если его периметр равен 200 м.

Решение: A B

x

D C

b

Так как функция S(x) непрерывная на всей числовой прямой, то будем искать ее наибольшее значение на отрезке .

Значит, наибольшей будет площадь участка 2500 м2, а стороны участка равны 50 м и 50 м. Ответ: 50 м и 50 м.


Задание:

1 вариант.


  1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = x3 3x2 – 72x  90 на отрезке [– 4;5] .

  2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = 2x4 8x2  5на отрезке [– 2;1] .

  3. Число 12 представьте в виде суммы двух неотрицательных слагаемых так, чтобы сумма квадратов этих чисел была наименьшей.

  4. Найти максимальное и минимальное значения функции f(x) = на отрезке [– 8;0] .

  5. Найдите размеры участка прямоугольной формы, имеющего наибольшую площадь, если его периметр равен 120 м.


2 вариант.


  1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = 2x312x2 – 30x 9 на отрезке [– 4;2] .

  2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = x4 4x2  8 на отрезке [– 1;2] .

  3. Число 12 представьте в виде суммы двух неотрицательных слагаемых так, чтобы сумма квадратов этих чисел была наименьшей.

  4. Найти максимальное и минимальное значения функции f(x) = на отрезке [– 8;0] .

  5. Найдите размеры участка прямоугольной формы, имеющего наибольшую площадь, если его периметр равен 160 м.


Критерии оценки:


Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-5,


Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-4,


Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3.


Требования к оформлению самостоятельной работы:


Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.






Самостоятельная работа №66

Тема: Составление опорного конспекта «Первообразная».

Цель работы:

  • повторить понятия: первообразная, формулы и правила для нахождения первообразных ;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом .

План работы:

  1. Определение понятия «первообразная»;

  2. Примеры на вычисление первообразных;

  3. Таблица первообразных;

  4. Правила для нахождения первообразных;

  5. Примеры нахождения первообразных по формулам и правилам;

  6. Определение понятия криволинейная трапеция, интеграл;

  7. Формулы для вычисления площадей с помощью интегралов ;



Методические рекомендации к составлению конспекта:


Конспект– это работа с другим источником.

Цель –зафиксировать ,переработать тот или иной текст.

Конспект представляет собой дословные выписки из текста источника. При этом конспект это не полное переписывание чужого текста. При написании конспекта сначала прочитывается текст –источник, в нем выделяются основные положения , подбираются примеры , идет перекомпоновка материала, а затем уже оформляется текст конспекта. Конспект может быть полным, когда работа идет со всем текстом источника или неполным, когда интерес представляет какой-либо один или несколько вопросов, затронутых в источнике.

Общую последовательность действий при составлении конспекта можно определить таким образом:

1. Уяснить цели и задачи конспектирования.

2.Внимательно прочитать текст параграфа, главы и отметить информационно значимые места.

3. Составить конспект.

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : содержание соответствует теме, материал проработан глубоко, грамотно и полно использованы источники, приведены сложные примеры;

Оценка «4» выставляется , если : материал проработан не глубоко, использованы не все источники, приведены сложные примеры ;

Оценка «3» выставляется, если : материал проработан не полностью, приведены примеры.


Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.





Самостоятельная работа №67

Тема: Типовой расчет по теме «Вычисление площадей с помощью интегралов».

 Цель работы:

  • повторить понятия: первообразная, интеграл, правила нахождения первообразных;

  • навык вычисления интегралов, нахождение площади криволинейной трапеции;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал:

  1. Ш.А. Алимов. Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс, глава 10, §56-58.

  2. Самостоятельная работа № 66.

Решение типовых заданий:

Пример 1. а)Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

у = х2 2, у = 0, х = 2, х = 1.

Решение: Это типовая формулировка задания. Первый и важнейший момент решения – построение чертежа. Причем, чертеж необходимо построить правильно. 

При построении чертежа я рекомендую следующий порядок: сначала лучше построить все прямые (если они есть) и только потом – параболы, гиперболы, графики других функций. Графики функций выгоднее строить поточечно. Выполним чертеж (обратите внимание, что уравнение у = 0  задает ось  ОХ): Штриховать криволинейную трапецию я не буду, здесь очевидно, о какой площади идет речь. Решение продолжается так: На отрезке [– 2;1]  график функции у = х2 2  расположен над осью ОХ, поэтому:hello_html_m6ea081fc.png

hello_html_m66ea86e1.gif

Ответ: hello_html_m38f4e2b2.gif.

б)Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у =  , х = 1  и координатными осями.

Решение: Выполним чертеж: Если криволинейная трапеция расположена под осью OX (или, по крайней мере, не выше данной оси), то её площадь можно найти по формуле: S =  .
В данном случае:
hello_html_m673f2ffd.gif
hello_html_m521974c9.png

Ответ: hello_html_596a849f.gif

Пример 2.а)Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями  у = 2х , у =  .hello_html_m34e0aa0e.png

Решение: Найдем точки пересечения параболы у = 2х   и прямой у =   . Это можно сделать двумя способами. Первый способ – аналитический. Решаем уравнение: =  , 3х = 0, х(3) = 0, х1 = 0, х2 = 3.

Значит, нижний предел интегрирования а = 0, верхний предел интегрирования b = 3 . Этим способом лучше, по возможности, не пользоваться. Гораздо выгоднее и быстрее построить линии поточечно, при этом пределы интегрирования выясняются как бы «сами собой». Тем не менее, аналитический способ нахождения пределов все-таки приходится иногда применять, если, например, график достаточно большой, или поточенное построение не выявило пределов интегрирования (они могут быть дробными или иррациональными). Возвращаемся к нашей задаче: рациональнее сначала построить прямую и только потом параболу.

А теперь рабочая формула: Если на отрезке[a;b  некоторая непрерывная функция f(x) больше либо равна некоторой непрерывной функции g(x), то площадь фигуры, ограниченной графиками данных функций и прямыми x = a ,x = b , можно найти по формуле:

S = . Здесь уже не надо думать, где расположена фигура – над осью или под осью, и, грубо говоря, важно, какой график ВЫШЕ (относительно другого графика), а какой – НИЖЕ. В рассматриваемом примере очевидно, что на отрезке [0;3]   парабола располагается выше прямой, а поэтому из 2х   необходимо вычесть .

Искомая фигура ограничена параболой y = 2х   сверху и прямой у =    снизу.
На отрезке
[0;3]  2х  , по соответствующей формуле:
hello_html_2591002a.gif

Ответ: hello_html_m3371d40d.gif. б)Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , y = x  , y = 0  , x = 3 .

Решение: Сначала выполним чертеж: Площадь фигуры считается с помощью двух определенных интегралов. Действительно:hello_html_m6cf9f122.jpg

1) На отрезке [– 1;1]  над осью OX расположен график прямой y = x   ;

2) На отрезке [1;3]   над осью OX  расположен график гиперболы

 .

Совершенно очевидно, что площади можно (и нужно) приплюсовать, поэтому:

hello_html_7b302486.gif

Ответ: hello_html_7064da30.gif.

Пример 3.a) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиямиhello_html_dfee4aa.png

 ,2x  .
Решение: Представим уравнения в виде y =  , y =  и выполним поточечный чертеж:
Из чертежа видно, что верхний предел у нас «хороший»:
  b = 1.
Но чему равен нижний предел?! Понятно, что это не целое число, но какое? В таких случаях приходиться уточнять пределы интегрирования аналитически.

Найдем точки пересечения прямой y =   и параболы y =  .
Для этого решаем уравнение:   =
, 3x2 = 2x 3x2 2x D = 4 12 = 16, = 4, , x1 = , x2 = 1. Действительно, a = .

На отрезке[;1]     , по соответствующей формуле:
hello_html_m18a80b68.gif

Ответ: hello_html_m6099e5c3.gif.

б)Найти площадь фигуры, ограниченной линиямиhello_html_3f5273e5.png

y =  , y = 2x  .

Решение: Выполним чертеж:
На отрезке[– 1;3]  2x  , по соответствующей формуле:


Ответ: hello_html_7fc2b5c2.gif.

Пример 4.a) Найти площадь фигуры, ограниченной линиями x , xy = 3 .hello_html_m2e7c3126.png

Решение: Выполним чертеж . На отрезке[1;3]  4  , по соответствующей формуле:
hello_html_215c209e.gif
Ответ: hello_html_5770b1a2.gif.

б) В каком отношении парабола у = х2 + 2 делит площадь четырёхугольника, вершины которого находятся в точках с координатами (0;0); (2;0); (0;6); (2;6)? hello_html_m59ee8dfd.jpghello_html_m1a016af7.jpg

Решение:

hello_html_m619162d1.jpg

Ответ: 4:5 или 5:4.

Пример 5.a) Найти площадь фигуры, ограниченной параболой

у = х2 +10 и касательными к этой параболе, проведёнными

из точки (0;1). 

Решение:

Неизвестна абсцисса точки касания х = а. Чтобы её найти, составим уравнение касательной:  y = f (x0) .

Имеем f(x) = x2 f (x) = 2x;значит, f(a) = a2

f (a) = 2a; уравнение касательной имеет вид:

y = a2 2 a(x ) = a2 2 ax ;

Уравнение касательной y = (1)

По условию касательная должна проходить через точку (0;1), то есть координаты точки (0;1) должны удовлетворять уравнению (1):

1 = 2a0 ; , a1 = a2 = 3.hello_html_m4ddcefe6.jpg

Подставим найденные значения в уравнение (1):

Если a =  то y = 9 10 Если a = 3 , то y =  .

Получили два уравнения касательных

y =  . Параболы y = х2 + 10 они касаются в точках А(-3;19) и В(3;19).

Найдём площадь фигуры DACB: SDACB = 2SDCB ,

hello_html_m157678ba.gif



SDACB = 2 9 = 18.

Ответ: 18.

б) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

у = 4/x, y = х, х = 4.

Решение: SABC = SMBAD SMBCD; SMBAD = 1/2(MB )MD = = 1/2 (2 ) 2 = 6;





Ответ: 6 – 4ln2.

Задание:

1 вариант.


  1. а)Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = х2 2, у = 0, х = 3, х = 3.

б)Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у =  , х = 2  и координатными осями.

  1. а)Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями  у = 4х , у =  .

б)Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , y = x  , y = 0  , x = 4 .

  1. a) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями  , 5x  .

б)Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y =  , y = 2x  .

  1. a)Найти площадь фигуры, ограниченной линиями x , xy = 5 .

б) В каком отношении парабола у = х2 3 делит площадь четырёхугольника, вершины которого находятся в точках с координатами (0;0); (2;0); (0;6); (2;6)? 

  1. a)Найти площадь фигуры, ограниченной параболой у = 3х2 4 и касательными к этой параболе, проведёнными из точки (0;1). 

б) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = 4/x, y = х, х = 6.

2 вариант.


  1. a)Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = 3х2 4, у = 0, х = 1, х = 1.

б)Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у =  , х = 3  и координатными осями.

  1. а)Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями  у = 6х , у =  .

б)Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , y = x  , y = 0  , x = 4 .

  1. a)Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями  , 4x  .

б)Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y =  , y = 2x  .

  1. a)Найти площадь фигуры, ограниченной линиями x , xy = 7 .

б) В каком отношении парабола у = х2 4 делит площадь четырёхугольника, вершины которого находятся в точках с координатами (0;0); (2;0); (0;6); (2;6)? 

  1. a)Найти площадь фигуры, ограниченной параболой у = 3х2 13 и касательными к этой параболе, проведёнными из точки (0;1). 

б) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = 4/x, y = х, х = 8.

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-5, Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-4, Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3.

Требования к оформлению самостоятельной работы:

Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.

Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.

Самостоятельная работа №68

Тема: Решение теста по теме «Первообразная».

Цель работы: повторить, закрепить основные понятия по теме «Первообразная».

Методические рекомендации к выполнению теста: Решив задачу, нужно выбрать правильный ответ и записать номер, под которым он записан.

Задание:

1 вариант.

  1. Найдите первообразную функции f(x) = 4x3– 3x2 , график которой проходит через

точку M(–1; 2).

а) 0,5x4 x3 + 5; б) x4 x3; в) x4 x3 – 4; г) таких нет.

  1. Для функции f(х) = еx найти первообразную, график которой проходит через точку М(0; 2).

а) F(х) = е х+ 3; б) F(х) = еx; в) F(х) = ex +1; г) F{х) =ex 1.

  1. Какая из данных функций является первообразной для функции y = 2x3 – 3x2?

а) 3x2 – 6x; б) 0,5x4 x3 + 5; в) x4 x3; г) таких нет.

  1. Какая из данных функций является первообразной для функции y = sin2x?

а) cos2x; б) –cos2x; в) sin2x; г) –sin2x.

  1. На каком из указанных промежутков функция F(x) = cos2x – 2 + 1 является первообразной для функции f(x) = – 2sin2x – ?

а) ; б) ; в) ; г) .

  1. Для функции y = –1–2x2 найдите первообразную, график которой проходит через

точку М(–3; 12).

а) y = –xx3 – 2; б) y = –xx3 – 9; в) y = –xx3 + 7; г) свой ответ.

  1. Известно, что F1, F2, F3– первообразные для f(x) = 4x3 –3x2 на R, графики которых проходят через точки M(–1; 2), N(1; 4), K(2; 5) соответственно. Перечислите, в каком порядке (сверху вниз) графики этих функций пересекают ось ординат?

а) F1, F2 ,F3; б) F1, F3, F2; в) F2, F1, F3; г) свой ответ.

  1. Материальная точка движется прямолинейно со скоростью v(t) = 12t + 4. Найдите закон движения точки, если в момент времени t = 1c пройденный путь составил 12 м.

а) s(t) = 6t2 + 4t + 3; б) s(t) = 3t2 + 4t; в) s(t) = 6t2 + 2t – 2; г) свой ответ.

  1. Какое расстояние пройдет материальная точка (см. задание 8) за первые 3 секунды своего движения?

а) 69 м; б) 60 м; в) 39 м; г) свой ответ.

  1. Найдите наименьшее значение первообразной функции y = 2x + 4, проходящей через

точку (2; 8) .

а) –8; б) –5; в) –6; г) свой ответ.


2 вариант.


  1. Найдите первообразную функции f(x) = 4x–3x2 ,график которой проходит через точку M(1; 0),.

а) x3+2x–6; б) –x3+2x2–6; в) –x3+2x2–1; г) таких нет.

  1. Для функции f(х) = найти первообразную, график которой проходит через точку М(1;3).

а) F(х) = 4 +; б) F(х) = – 5; в) F(х) =+ 4; г) F{х) = x3 4.

  1. Какая из данных функций является первообразной для функции y = 6x3 – 3x5?

а) 2x3 – 0,5x6 – 4; б) 12x – 15x4; в) x5 + x3 + 1; г) таких нет.

  1. Какая из данных функций является первообразной для функции y = 2sin2x – 1?

а) sin3xx; б) xsin3x; в) sin2x + 5; г) 1 – sin2x.

  1. На каком из указанных промежутков функция F(x) = 2sinx – –3 является первообразной для функции f(x)= 2cosx – ?

а) ; б) ; в) ; г) .

  1. Для функции y=3x2+2 найдите первообразную, график которой проходит через

точку М(–2; –6).

а) y = x3 + 2x + 6; б) y = x3 + 2x – 6; в) y = 3x3 + 8; г) свой ответ.

  1. Известно, что F1, F2, F3– первообразные для f(x)= 4x–3x2 на R, графики которых проходят через точки M(1; 0), N(–2; 1), K(0; –3) соответственно. Перечислите, в каком порядке (сверху вниз) графики этих функций пересекают ось ординат?

а) F1, F2 ,F3; б) F3, F2, F1; в) F2, F1, F3; г) таких нет.

  1. Материальная точка движется прямолинейно со скоростью v(t) = 3t – 2. Найдите закон движения точки, если в момент времени t = 2c пройденный путь составил 3 м.

а) s(t) = 3t2 – 2t – 5; б) s(t) = 1,5t2 – 2 + 1t; в) s(t) = t2 – 2t3 + 1; г) свой ответ.

  1. Какое расстояние пройдет материальная точка (см. задание 8) за первую 1 секунду своего движения?

а) 4 м; б) 5 м; в) 3 м; г) свой ответ

  1. Найдите наибольшее значение первообразной функции y = –1 – 2x, проходящей через

точку (1; 2).

а) 1,75; б) –1,75; в) –1; г) свой ответ



Критерии оценки:


Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-10,с записью решения, даже с недочетами.


Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-8, с записью решения, даже с недочетами.


Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-5.


Требования к оформлению самостоятельной работы: Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.











Самостоятельная работа №69

Тема: Составление опорного конспекта «Основные понятия комбинаторики».

Цель работы:

  • повторить понятия: правило произведения, перестановки, перебор вариантов, размещения, сочетания, треугольник Паскаля, бином Ньютона ;

  • повторить понятия: событие, вероятность события, несовместимые события, независимые события, сложение и умножение вероятностей;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

План работы:

  1. Перестановки, размещения, сочетания, задачи на перебор вариантов;

  2. Треугольник Паскаля, примеры;

  3. Формула бинома Ньютона;

  4. Примеры вычисления вероятности событий с помощью треугольника Паскаля и бинома Ньютона;

  5. Несовместимые события, примеры;

  6. Сумма несовместимых событий, примеры;

  7. Независимые события, примеры;

  8. Умножение вероятностей ;

  9. Произведение вероятностей для независимых событий, примеры ;


Методические рекомендации к составлению конспекта:


Конспект– это работа с другим источником.

Цель –зафиксировать ,переработать тот или иной текст.

Конспект представляет собой дословные выписки из текста источника. При этом конспект это не полное переписывание чужого текста. При написании конспекта сначала прочитывается текст –источник, в нем выделяются основные положения , подбираются примеры , идет перекомпоновка материала, а затем уже оформляется текст конспекта. Конспект может быть полным, когда работа идет со всем текстом источника или неполным, когда интерес представляет какой-либо один или несколько вопросов, затронутых в источнике.

Общую последовательность действий при составлении конспекта можно определить таким образом:

1. Уяснить цели и задачи конспектирования.

2.Внимательно прочитать текст параграфа, главы и отметить информационно значимые места.

3. Составить конспект.

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : содержание соответствует теме, материал проработан глубоко, грамотно и полно использованы источники, приведены сложные примеры;

Оценка «4» выставляется , если : материал проработан не глубоко, использованы не все источники, приведены сложные примеры ;

Оценка «3» выставляется, если : материал проработан не полностью, приведены примеры.


Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.

Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.



Самостоятельная работа №70

Тема: Типовой расчет по теме «Элементы комбинаторики и теории вероятностей».

Цель работы:

  • повторить понятия: событие, противоположное событие, вероятность события ;

  • формирование умения решать простейшие текстовые задачи на расчет вероятности случайного события;

  • повторить понятия: дискретная случайная величина, ее числовые характеристики, функция распределения;

  • формирование умения решать простейшие текстовые задачи на расчет числовых характеристик дискретной случайной величины ;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал:

Ш.А. Алимов. Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс, глава 12-13.

Решение типовых заданий:

Пример 1. a)В партии из 100 деталей имеется 5 бракованных. Определить вероятность того, что, взятая наугад, деталь окажется стандартной.

Решение: А: взятая наугад деталь оказалась стандартной.

Число исходов, благоприятствующих наступлению события А, равно 95.Поэтому вероятность события равна P(A) = m/ n = 95/100 = 0,95 .hello_html_m27618eb7.gif Ответ: 0,95.

б) Из пяти букв разрезной азбуки составлено слово «книга». Ребенок, не умеющий читать, рассыпал эти буквы, а затем собрал их в произвольном порядке. Найти вероятность того, что у него снова получится слово «книга».

Решение: А: из рассыпанных букв сложится слово «книга»

Число всех возможных исходов равно n = Pn = 5! = 120. Число исходов, благоприятствующих событию А равно m =1. Вероятность события А равна P(A) = m/ n = 1/120 = 0,0083 .hello_html_m27618eb7.gif 

Ответ: 0,0083.

Пример 2.a) В коробке лежат 8 зеленых, 7 синих и 15 красных карандашей. Вычислить вероятность того, что взятый наугад карандаш будет, синим или зеленым.

Решение: А: взяли синий карандаш, В: взяли зеленый карандаш, С: взяли синий или зеленый карандаш. Событие С равно сумме событий А и В: С = А + В

Вероятность события А равна P(A) = m/ n = 7/30. 

Вероятность события В равна P(B) = m/ n = 8/30. 

Вероятность события С равна P(C) = P(A) = 7/30 8/30 = 15/30 = 0,5.

Ответ: 0,5. б) В урне лежат шары, двузначные номера которых составлены из цифр 1,2,3,4,5. Какова вероятность вынуть шар с номером 15? Решение: А: вынут шар с номером 15.

Число всех возможных исходов равно n = Число исходов, благоприятствующих событию А, m = 1. Вероятность события А равна P(A) = m/ n = 1/20 = 0,05 .

Ответ: 0,05.

Пример 3.a) Набирая номер телефона, абонент забыл последние две цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наугад. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

Решение: А: абонент наугад набрал нужные цифры.

Число всех возможных исходов равно n = Число исходов, благоприятствующих событию А, m = 1.Вероятность события А равна P(A) = m/ n = 1/90 = 0,011. 

Ответ: 0,011.

б) Устройство содержит два независимо работающих элемента. Вероятности отказа элементов равны соответственно 0,05 и 0,08. Найти вероятности отказа устройства, если для этого достаточно, чтобы отказал хотя бы один элемент. 

Решение: Пусть событие А — «устройство не работает», В1 — «отказал первый элемент», 

В2 — « отказал второй элемент». Событие А соответствует тому, что может отказать один из «цементов либо оба элемента. События  В1 и В2  независимы в совокупности, поэтому:

q1 = 10,05 = 0,95,   q2 = 10,08 = 0,92. P(A) = 1 q1q2= 10,950,92 = 10,874 = 0,126.

Ответ:  0,126.

Пример 4. a)Вероятность хотя бы одного попадания в цель при четырех выстрелах равна 0,9984. Найти вероятность попадания в цель при одном выстреле.

Решение: Пусть p - вероятность попадания в цель при одном выстреле. Введем событие 

X = {при четырех выстрелах есть хотя бы одно попадание} и противоположное ему событие  

= {при четырех выстрелах нет ни одного попадания}.

Вероятность события  равна P(  ) = (1p)4, тогда вероятность события Х равна 

P(X) =1P(  ) = 1 (1p)4. По условию эта вероятность равна 0,9984, откуда получаем уравнение относительно p: 1 (1p)4 = 0,9984, (1p)4 = 0,0016, (1p) = 0,2, p = 0,8.

Таким образом, вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,8.

Ответ: 0,8.

б)На полке в случайном порядке расставлено 40 книг, среди которых находится трехтомник Пушкина. Найти вероятность того, что эти тома стоят в порядке возрастания номера слева направо, но не обязательно рядом.

Решение: Используем классическое определение вероятности: P = m/n, где n- число всех равновозможных элементарных исходов, m - число элементарных исходов, благоприятствующих осуществлению события A = (Тома стоят в порядке возрастания номера слева направо, но не обязательно рядом),n=403938=59280, так как первый том можно поставить на любое из 40 мест, второй - на любое из 39 мест и третий - на любое из оставшихся 38 мест. А число

m= 40! / (37! 3!) = (403938) : (123) = 9880.

Тогда искомая вероятность P(A)= m/n = 9880/59280 = 1/6.
Ответ: 1/6.

Пример 5. a)В коробке имеется 250 лампочек, из них 100 по 90Вт, 50 - по 60Вт, 50 - по 25Вт и 50 – по 15Вт. Определить вероятность того, что мощность любой наугад взятой лампочки

не превысит 60Вт.

Решение:

1. Рассматриваем следующие события: А = {мощность лампочки равна 90Вт}, вероятность Р(А) = 100/250 = 0,4; В = {мощность лампочки равна 60Вт}; С = {мощность лампочки равна 25Вт}; D = {мощность лампочки равна 15Вт}.

2. События А, В, С, D образуют полную систему, так как все они несовместны и одно из них обязательно наступит в данном опыте (выборе лампочки). Вероятность наступления одного из них есть достоверное событие, тогда Р (А)Р (В)Р (С)Р (D) = 1.

3. События {мощность лампочки не более 60Вт} (т.е. меньше или равна 60Вт), и {мощность лампочки более 60Вт} (в данном случае – 90Вт) являются противоположными. По свойству противоположных чисел Р (В)Р (С)Р (D) = 1Р (А).

4. Учитывая, что Р (В)Р (С)Р (D) = Р (ВСD), получим Р (В СD) = 1Р (А) = 10,4 = 0,6.

Ответ: 0,6. 

б) Вероятность поражения цели первым стрелком при одном выстреле равна 0,7, а вторым стрелком – 0,9. Найти вероятность того, что 

1) цель будет поражена только одним стрелком;

2) цель будет поражена хотя бы одним стрелком.

Решение: 1. Рассматриваем следующие события:
А
1 = {первый стрелок поражает цель}, Р (А1) = 0,7 из условия задачи;
А̄
1 = {первый стрелок промахнулся}, при этом Р (А1)Р (А̄1) = 1, поскольку А1 и А̄1 – противоположные события. Отсюда Р (А̄1) = 10,7 = 0,3;
А
2 = {второй стрелок поражает цель}, Р (А2) = 0,9 из условия задачи;
А̄
2 = {второй стрелок промахнулся}, при этом Р (А̄2) = 10,9 = 0,1.

2. Событие А={цель поражена только одним стрелком} означает, что наступило одно из двух несовместных событий: либо А1А̄2, либо А̄1А2.
По правилу сложения вероятностей Р (А) = Р (А1А̄2) + Р (А̄1А2).По правилу умножения вероятностей независимых событий:
Р (А1А̄2) = Р (А1)Р (А̄2) = 0,70,1= 0,07; Р (А̄1А2) = Р (А̄1)Р (А2) = 0,30,9 = 0,27.
Тогда Р (А)= Р (А1А̄2) Р (А̄1А2) = 0,070,27 = 0,34.

3. Событие B ={цель поражена хотя бы одним стрелком} означает, что либо цель поразил первый стрелок, либо цель поразил второй стрелок, либо цель поразили оба стрелка.

Событие B̄ = {цель не поражена ни одним стрелком} является противоположным событию В,

а значит Р(В) = 1Р (B̄).
Событие B̄ означает одновременное появление независимых событий Ā1 и Ā2, следовательно

Р (B̄) = Р (Ā12) = Р (Ā1)Р (Ā2) = 0,30,1 = 0,03. Тогда Р (В) = 1Р (B̄) = 10,03 = 0,97.

Ответ: 1) 0,34; 2) 0,97.

Пример 6. Выпущено 1000 лотерейных билетов: на 5 из них выпадает выигрыш в сумме 500 рублей, на 10 – выигрыш в 100 рублей, на 20 – выигрыш в 50 рублей, на 50 – выигрыш в 10 рублей. Определить закон распределения вероятностей случайной величины X – выигрыша на один билет.

Решение: По условию задачи возможны следующие значения случайной величины X:

0, 10, 50, 100 и 500.

Число билетов без выигрыша равно 1000 – (5+10+20+50) = 915, тогда P(X=0) = 915/1000 = 0,915.

Аналогично находим все другие вероятности: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01, P(X=500) = 5/1000=0,005. Полученный закон представим в виде таблицы:


Пример 7. a)Закон распределения случайной величины X имеет вид:

Вычислить Dx   и Ϭx .

Решение: Найдем вначале математическое ожидание случайной величины X:

Mx = .

Вычислим дисперсию Dx :

Dx = .

Тогда среднее квадратическое отклонение: Ϭx = .

Ответ: Dx = 1, Ϭx = 1.

б) Закон распределения случайной величины X имеет вид:

Найти x. Составить функцию распределения. Вычислить: P{X > 0,7} , Mx , Dx и Ϭx .

Решение. Согласно условию нормировки имеем уравнение: 0,1   Отсюда x = 0,7 .

Далее, воспользовавшись рядом распределения, найдем:

P{X > 0,7} = P {X = 1}P{X = 2} = 0,2 0,7 = 0, 9; Mx =

Dx = ; Ϭx = .

Ответ: x = 0,7 ; P{X > 0,7} = 0, 9; Mx Dx ; Ϭx

Пример 8. a)Известно, что случайная величина X, принимающая два значения  x1 = 2 и x2 = 3 , имеет математическое ожидание, равное 2,2. Построить ряд распределения случайной величины X, найти дисперсию, среднее квадратическое отклонение и составить функцию распределения.

Решение. Пусть P{X = 2} = p . Тогда, согласно условию нормировки,P{X = 3} = 1  . Используя определение математического ожидания, получим Mx = 2p . Имеем уравнение 3 , откуда находим p = 0,8 . Ряд распределения имеет вид:

Теперь вычислим дисперсию и среднее квадратическое отклонение:

Dx = ; Ϭx =  .

Согласно определению функция распределения имеет вид

Fx(x) =

Ответ: Dx ; Ϭx =   Fx(x) =

б) Возможные значения случайной величины X таковы: x1 = 2 , x2 = 3, x3 = 3 . Известно, что Mx = 2,3 ,α2 = 5,9 . Найти вероятности, соответствующие возможным значениям X, и записать ряд распределения.

Решение. Ряд распределения, с учетом возможных значений случайной величины X, будет выглядеть следующим образом:

Найдем вероятности p1 , p2 и p3, соответствующие возможным значениям X.

По условию Mx = 2,3 , поэтому имеем первое уравнение, связывающее p1p2 и p3 :

 . Аналогично из условия α2 = 5,9   получим второе уравнение:

 . Третье уравнение возникает из условия нормировки:

p1 p2 p3 = 1. Итак, имеем систему:


Ответ: ряд распределения имеет вид

Пример 9. Имеется боезапас 4 патрона. Ведётся независимая стрельба по мишени с вероятностью попадания при каждом выстреле 0.2. Построить ряд распределения с.в. --- числа выстрелов, если стрельба ведётся: 1) до 1-го попадания или окончания боезапаса;2) до 2 попаданий (не обязательно подряд) или окончания боезапаса.

Решение: 1). Возможные значения с.в. : 1,2,3, 4; попадание --- успех (У); промах --- неудача (Н);

;

(мы записали, какие элементарные исходы соответствуют каждому знач. с.в.)

; = 0,16; = 0,128;

= 0,512. Ряд распределения с.в. будет выглядеть с.о.

2). Возможные значения с.в. : 2,3, 4; попадание --- успех (У); промах --- неудача (Н);

;

(мы записали какие элементарные исходы соответствуют каждому знач. с.в.)

;

. Ряд распределения с.в. будет выглядеть с.о.

Пример 10. Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,1. Составить закон распределения числа отказавших элементов в одном опыте, построить многоугольник распределения. Найти функцию распределения F(x) и построить ее график. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины.

Решение. 1. Дискретная случайная величина X={число отказавших элементов в одном опыте} имеет следующие возможные значения: х1= 0 (ни один из элементов устройства не отказал), х2= 1 (отказал один элемент), х3= 2 (отказало два элемента) и х4= 3 (отказали три элемента).

Отказы элементов независимы друг от друга, вероятности отказа каждого элемента равны между собой, поэтому применима формула Бернулли. Учитывая, что, по условию, n = 3, р = 0,1,

q = 1р = 0,9, определим вероятности значений:
P
3(0) = С30 p0 q3-0 = q3 = 0,93 = 0,729; P3(1) = С31 p1 q3-1 = 30,10,92 = 0,243; P3(2) = С32 p2 q3-2 = 30,120,9 = 0,027; P3(3) = С33 p3 q3-3 = р3= 0,13 = 0,001;
Проверка: ∑p
i = 0,7290,2430,0270,001=1.
hello_html_7b85caba.jpg

Таким образом, искомый биномиальный закон распределения Х имеет вид:

2. Для построения многоугольника распределения строим прямоугольную систему координат.

По оси абсцисс откладываем возможные значения хi, а по оси ординат – соответствующие им вероятности рi. Построим точки М1(0; 0,729), М2(1; 0,243), М3(2; 0,027), М4(3; 0,001). Соединив эти точки отрезками прямых, получаем искомый многоугольник распределения.

3. Найдем функцию распределения F(x) = Р(Х<х):hello_html_261ad08e.jpg

Для x ≤ 0 имеем F(x) = Р(Х<0) = 0;
для 0 < x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
для 1< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) Р(Х=1) =0,729 0,243 = 0,972;
для 2 < x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) Р(Х = 1) Р(Х = 2) = 0,9720,027 = 0,999;
для х > 3 будет F(x) = 1, т.к. событие достоверно.

4. Для биномиального распределения Х:
- математическое ожидание М(X) = np = 30,1 = 0,3;
- дисперсия D(X) = npq = 3∙ 0,10,9 = 0,27;
 
- среднее квадратическое отклонение σ(X) = = ≈ 0,52.




Задание:

1 вариант.

  1. a)В партии из 100 деталей имеется 3 бракованных. Определить вероятность того, что, взятая наугад,

деталь окажется стандартной.

б) Из 4 букв разрезной азбуки составлено слово «мама». Ребенок, не умеющий читать, рассыпал эти буквы, а затем собрал их в произвольном порядке. Найти вероятность того, что у него снова получится слово «мама».

  1. a)В коробке лежат 5 зеленых, 3 синих и 12 красных карандашей. Вычислить вероятность того, что взятый наугад карандаш будет, синим или зеленым.

б) В урне лежат шары, двузначные номера которых составлены из цифр 1,2,3,4. Какова вероятность вынуть шар с номером 123?

  1. a)Набирая номер телефона, абонент забыл последние 3 цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наугад. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

б) Устройство содержит два независимо работающих элемента. Вероятности отказа элементов равны соответственно 0,04 и 0,09. Найти вероятности отказа устройства, если для этого достаточно, чтобы отказал хотя бы один элемент. 

  1. a)Вероятность хотя бы одного попадания в цель при четырех выстрелах равна 0,9919. Найти вероятность попадания в цель при одном выстреле.

б)На полке в случайном порядке расставлено 21 книга, среди которых находится трехтомник Пушкина. Найти вероятность того, что эти тома стоят в порядке возрастания номера слева направо, но не обязательно рядом.

  1. a)В коробке имеется 200 лампочек, из них 60 по 90Вт, 60 - по 60Вт, 40 - по 25Вт и 40 – по 15Вт. Определить вероятность того, что мощность любой наугад взятой лампочки не превысит 60Вт.

б) Вероятность поражения цели первым стрелком при одном выстреле равна 0,4, а вторым стрелком – 0,7. Найти вероятность того, что 

1) цель будет поражена только одним стрелком;

2) цель будет поражена хотя бы одним стрелком.

  1. Выпущено 200 лотерейных билетов: на 5 из них выпадает выигрыш в сумме 500 рублей, на 10 – выигрыш в 100 рублей, на 20 – выигрыш в 50 рублей, на 40 – выигрыш в 10 рублей. Определить закон распределения вероятностей случайной величины X – выигрыша на один билет.

  2. a)Закон распределения случайной величины X имеет вид:

X

1

0

1

2

P

0,1

0,15

0,3

0,45

Вычислить Dx и Ϭx . б) Закон распределения случайной величины X имеет вид:

X

0

1

2

P

0,2

0,3

x

Найти x. Составить функцию распределения. Вычислить: P{X > 0,7} , Mx , Dx и Ϭx .

  1. a)Известно, что случайная величина X, принимающая два значения  x1 = 2 и x2 = 3 , имеет математическое ожидание, равное 2,4. Построить ряд распределения случайной величины X, найти дисперсию, среднее квадратическое отклонение и составить функцию распределения.

б) Возможные значения случайной величины X таковы: x1 = 2 , x2 = 3, x3 = 3 . Известно, что Mx = 2,5 ,α2 = 6,7 . Найти вероятности, соответствующие возможным значениям X, и записать ряд распределения.

  1. Имеется боезапас 4 патрона. Ведётся независимая стрельба по мишени с вероятностью попадания при каждом выстреле 0.2. Построить ряд распределения с.в. --- числа выстрелов, если стрельба ведётся: до двух попаданий подряд или окончания боезапаса.

  2. Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,2. Составить закон распределения числа отказавших элементов в одном опыте, построить многоугольник распределения. Найти функцию распределения F(x) и построить ее график. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины.

2 вариант.


  1. a)В партии из 100 деталей имеется 6 бракованных. Определить вероятность того, что, взятая наугад, деталь окажется стандартной.

б) Из 3 букв разрезной азбуки составлено слово «сон». Ребенок, не умеющий читать, рассыпал эти буквы, а затем собрал их в произвольном порядке. Найти вероятность того, что у него снова получится слово «сон».

  1. a)В коробке лежат 7 зеленых, 2 синих и 11 красных карандашей. Вычислить вероятность того, что взятый наугад карандаш будет, синим или зеленым.

б) В урне лежат шары, двузначные номера которых составлены из цифр 1,2,3,4. Какова вероятность вынуть шар с номером 42?

  1. a)Набирая номер телефона, абонент забыл последние 4 цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наугад. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

б) Устройство содержит два независимо работающих элемента. Вероятности отказа элементов равны соответственно 0,03 и 0,07. Найти вероятности отказа устройства, если для этого достаточно, чтобы отказал хотя бы один элемент. 

  1. a)Вероятность хотя бы одного попадания в цель при четырех выстрелах равна 0,9744. Найти вероятность попадания в цель при одном выстреле.

б)На полке в случайном порядке расставлено 34 книга, среди которых находится трехтомник Пушкина. Найти вероятность того, что эти тома стоят в порядке возрастания номера слева направо, но не обязательно рядом.

  1. a)В коробке имеется 400 лампочек, из них 280 по 90Вт,40 - по 60Вт, 40 - по 25Вт и 40 – по 15Вт. Определить вероятность того, что мощность любой наугад взятой лампочки не превысит 60Вт.

б) Вероятность поражения цели первым стрелком при одном выстреле равна 0,5, а вторым стрелком – 0,8. Найти вероятность того, что 

1) цель будет поражена только одним стрелком;

2) цель будет поражена хотя бы одним стрелком.

  1. Выпущено 200 лотерейных билетов: на 5 из них выпадает выигрыш в сумме 500 рублей, на 15 – выигрыш в 100 рублей, на 30 – выигрыш в 50 рублей, на 60 – выигрыш в 10 рублей. Определить закон распределения вероятностей случайной величины X – выигрыша на один билет.

  1. a)Закон распределения случайной величины X имеет вид:

X

1

0

1

2

P

0,1

0,25

0,3

0,35

Вычислить Dx и Ϭx . б) Закон распределения случайной величины X имеет вид:

X

0

1

2

P

0,1

0,3

x

Найти x. Составить функцию распределения. Вычислить: P{X > 0,7} , Mx , Dx и Ϭx .

  1. a)Известно, что случайная величина X, принимающая два значения  x1 = 2 и x2 = 3 , имеет математическое ожидание, равное 2,3. Построить ряд распределения случайной величины X, найти дисперсию, среднее квадратическое отклонение и составить функцию распределения.

б) Возможные значения случайной величины X таковы: x1 = 2 , x2 = 3, x3 = 3 . Известно, что Mx = 2,6 ,α2 = 7,2 . Найти вероятности, соответствующие возможным значениям X, и записать ряд распределения.

  1. Имеется боезапас 4 патрона. Ведётся независимая стрельба по мишени с вероятностью попадания при каждом выстреле 0.2. Построить ряд распределения с.в. --- числа выстрелов, если стрельба ведётся: до 2 попаданий подряд или пока есть возможность такого исхода.

  2. Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,3. Составить закон распределения числа отказавших элементов в одном опыте, построить многоугольник распределения. Найти функцию распределения F(x) и построить ее график. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины.


Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-5, Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-4, Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3.

Требования к оформлению самостоятельной работы:

Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.

Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.









































Самостоятельная работа №71

Тема: Решение теста по теме «Элементы комбинаторики и теории вероятностей».

Цель работы: повторить, закрепить основные понятия по теме «Элементы комбинаторики и теории вероятностей».

Методические рекомендации к выполнению теста: Решив задачу, нужно выбрать правильный ответ и записать номер, под которым он записан.

Задание:

1 вариант.


1. Сколькими способами можно составить расписание одного учебного дня из 5 различных уроков?

1) 30; 2) 100; 3) 120; 4) 5 ;

2.В денежно-вещевой лотерее на 1000000 билетов разыгрывается 1200 вещевых и 800 денежных выигрышей. Какова вероятность выигрыша?

1) 0,02; 2) 0,00012 ; 3) 0,0008; 4) 0,002;

3. В футбольной команде 11 человек. Необходимо выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?

1) 22; 2) 11; 3) 150; 4) 110;

4.Завод выпускает 15% продукции высшего сорта, 25% - первого сорта, 40% - второго сорта, а все остальное – брак. Найти вероятность того, что выбранное изделие не будет бракованным.

1) 0,8; 2) 0,1; 3) 0,015; 4) 0,35;

5. Аня решила сварить компот из фруктов 2-ух видов. Сколько различных вариантов (по сочетанию фруктов) компотов может сварить Аня, если у нее имеется 7 видов фруктов?

1) 14; 2) 10; 3) 21; 4) 30;

6. Каждый из трех стрелков стреляет в мишень по одному разу, причем вероятность попадания 1 стрелка составляет 80%, второго – 70%, третьего – 60%. Найдите вероятность того, что двое из трех стрелков попадет в мишень.

1) 0,336; 2) 0,452; 3) 0,224 ; 4) 0,144;

7. Вычислите: .

1) 48; 2) 94; 3) 56; 4) 96;

8. Дана выборка: 3; 8; 5; 3; 6; 8; 9; 2; 8. Найти моду.

1) 3; 2) 8; 3) 5; 4) 6;

9.Дана выборка: 7; 4; 5; 3; 6; 8; 7; 2; 7. Найти медиану.

1) 7 ; 2) 8 ; 3) 5 ; 4) 6 ;

10. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 30% этих стекол, вторая  — 70%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая — 4%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло, окажется бракованным. 1) 0,03; 2) 0,009; 3) 0,037; 4) 0,028;

2 вариант.


1. Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5?

1) 100; 2) 30; 3) 5; 4) 120;

2. В ящике лежат карточки с буквами, из которых можно составить слово «электрификация». Какова вероятность того, что наугад выбранная буква окажется буквой к?

1) ; 2) 7; 3) ; 4) ;

3. В теннисном турнире участвуют 10 спортсменов. Сколькими способами теннисисты могут завоевать золото, серебро и бронзу?

1) 600; 2) 100; 3) 300; 4)720;

4. Музыкальная школа проводит набор учащихся. Вероятность быть не зачисленным во время проверки музыкального слуха составляет 40%, а чувство ритма – 10%. Какова вероятность положительного тестирования?

1) 0,5; 2) 0,4; 3) 0,6 ; 4) 0,04;

5. На полке стоят 12 книг. Наде надо взять 5 книг. Сколькими способами она может это сделать?

1) 792; 2) 17; 3) 60; 4) 300;

6. Из партии изделий товаровед отбирает изделия высшего сорта. Вероятность того, что наудачу взятое изделие, окажется высшего сорта равна 0,8. Найдите вероятность того, что из трех проверенных изделий только два высшего сорта.

1) 0,384; 2) 0,5; 3) 0,3; 4) 0,4;

7. Вычислите: .

1) 1; 2) 13; 3) 12; 4) 32;

8. Дана выборка: 5; 8; 5; 4; 6; 2; 5; 2; 4. Найти моду.

1) 4 ; 2) 8 ; 3) 5 ; 4) 6 ;

9. Дана выборка: 4; 7; 9; 3; 2; 5; 6; 7; 3. Найти медиану.

1) 7 ; 2) 5; 3) 6 ; 4) 2 ;

10. На сборочное предприятие поступили однотипные комплектующие с трех заводов в количестве: 35 с первого завода, 15 со второго и 50 с третьего. Вероятность качественного изготовления изделий на первом заводе 0,8, на втором 0,7, на третьем 0,8. Какова вероятность того, что взятое случайным образом изделие окажется качественным?

1) 0,280; 2) 0,175; 3) 0,495; 4) 0,855.


Критерии оценки:


Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-10,с записью решения, даже с недочетами.


Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-8, с записью решения, даже с недочетами.


Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-5.


Требования к оформлению самостоятельной работы: Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.









Самостоятельная работа №72

Тема: Составление кроссворда по теме «Алгебра и начала анализа».

Цель работы: повторение и закрепление знаний, в части правильности написания терминов и определений к ним; формирование умений поиска информации.

Методические рекомендации к составлению кроссвордов

  1. Ознакомьтесь со списком рекомендуемой литературы и источников.

  2. Повторите теоретический материал, соответствующий теме кроссворда, воспользовавшись материалом учебника, справочной литературой, конспектом лекции..

  3. Запишите ответы по определениям по горизонтали и вертикали.

  4. Проведите анализ, проверьте орфографию.

  5. Оформите второй вариант кроссворда с заполненной сеткой.

Задание:

По горизонтали:

1) Одна из координат точки в пространстве.

5) Закон умножения ab = ba.

8) Математическое действие, обозначенное точкой.

10) Арифметическое действие.

11) Действие, заключающееся в нахождении числа по данному логарифму.

По вертикали:

2) Из определения логарифма следует основное логарифмическое …

3) Как называется равенство с переменными.

4) Одна из тригонометрических функций.

6) Логарифм по основанию е называется …

7) Равенство двух отношений.

9) Разность F(b) – F(a) называется …

12 ) Логарифм по основанию 10 называется …

13) Если F / (x) = f (x), то F(x) называется …

14) Основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции.

15) Точное предписание, которое задает вычислительный процесс.









Кроссворд по теме «Алгебра и начала анализа».



10






9















































































8


6



















13



































































































5 7







2











14



































12
































15










3


































4


























1










































11



























































































































































Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : отгаданы все слова верно и построена таблица с ответами,

Оценка «4» выставляется , если : отгаданы все слова верно, но не построена таблица с ответами,

Оценка «3» выставляется, если : отгаданы не все слова верно, не построена таблица с ответами,.

Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.

Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.


Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "УМК для ОМД,1 КУРС (2013-2014)"

Методические разработки к Вашему уроку:

Получите новую специальность за 3 месяца

Системный администратор

Получите профессию

Копирайтер

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ Зачет №2 (2 часть).docx



Зачет №2 «Стереометрия». 2 часть.1 вариант.



  1. Может ли каждая из двух скрещивающихся прямых быть параллельна третьей прямой?

  2. Через вершину A прямоугольника ABCD проведена прямая AK перпендикулярна к плоскости треугольника. КABCD – пирамида. Известно, что KD=6 см, KB=7 см, KC=9 см.

Найдите: а) КА - расстояние от точки K до плоскости прямоугольника ABCD;

б) DA - расстояние между прямыми AK и CD.

  1. Отрезок OH - высота тетраэдра OABC ,выясните взаимное расположение сферы радиуса R с центром O и плоскостями ABC, если: а) R=6 дм, OH=60 см; в) R=5 дм, OH=45 см.

  2. Площадь сферы равна 324 см². Найдите радиус сферы R.

  3. Даны точки (1,5; 1; -2), B (2; 2; -3); и C (2; 0; -1).

Найдите: периметр треугольника ABC.





Зачет №2 «Стереометрия». 2 часть.2 вариант.



  1. Даны параллелограмм ABCD и трапеция ABEK с основанием EK, не лежащие в одной плоскости.

а) Выяснить взаимное расположение прямых CD и EK.

б) Найдите периметр трапеции, если известно, что в нее можно вписать окружность и AB=22.5 см, EK=27.5 см.

  1. В правильной n-угольной призме сторона основания равна α и высота равна h. Вычислите площади боковой и полной поверхности призмы, если: n=3, а=10 см, h=15 см.

  2. Площадь боковой поверхности конуса равна 80 см². Через середину высоты конуса проведена плоскость, перпендикулярна к высоте. Найдите площадь боковой поверхности образовавшегося при этом усеченного конуса.

  3. Вершины прямоугольника лежат на сфере радиуса 10 см. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости прямоугольника, если его диагональ равна 16 см.

  4. Даны точки А(1;3;0),В(2;3; - 1),С( 1; 2; - 1). Вычислите угол между векторами


СА и СВ.












Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "УМК для ОМД,1 КУРС (2013-2014)"

Получите профессию

Менеджер по туризму

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ Зачет №2(1 ЧАСТЬ,билеты).docx

Зачет №2 по геометрии (1курс):

Билет № 1.

  1. Аксиомы стереометрии (А123).

  2. Определение перпендикулярности прямой и плоскости.

  3. Определение многогранника, его элементы, примеры.

  4. Цилиндр, его элементы, сечения, формулы для нахождения площади.

  5. Понятие вектора, его длина, направление, равенство векторов, примеры.

  6. Формула для нахождения объема параллелепипеда(теорема №22).

Билет № 2.

  1. Теорема о плоскости, проходящей через две пересекающиеся прямые (теорема №1, 2).

  2. Свойства перпендикулярности прямой и плоскости (теорема №10,11).

  3. Призма, ее элементы, формулы для нахождения площади(теорема №17).

  4. Конус, его элементы, сечения, формулы для нахождения площади.

  5. Правила сложения и вычитания векторов.

  6. Формула для нахождения объема пирамиды(теорема №26).

Билет № 3.

  1. Определение параллельных прямых.

  2. Признак перпендикулярности прямой и плоскости (теорема № 12).

  3. Пирамида, ее элементы, формулы для нахождения площади.

  4. Усеченный конус, его элементы, формулы для нахождения площади.

  5. Умножение вектора на число, его свойства.

  6. Формула для нахождения объема цилиндра(теорема №24).

Билет № 4.

  1. Параллельные прямые в пространстве (теорема №3,4).

  2. Теорема о прямой перпендикулярной к плоскости (теорема №13).

  3. Правильная пирамида, ее элементы, формулы для нахождения площади.

  4. Сфера, ее элементы, уравнение сферы.

  5. Компланарные векторы(теорема №29).

  6. Формул для нахождения объема прямой и наклонной призмы (теоремы №23 и № 25).

Билет № 5.

  1. Лемма о параллельных прямых.

  2. Расстояние от точки до плоскости, перпендикуляр и наклонные.

  3. Формула площади боковой поверхности правильной пирамиды (теорема №18).

  4. Взаимное расположение сферы и плоскости.

  5. Координаты вектора, их свойства.

  6. Формула для нахождения объема усеченного конуса.









Билет № 6.

  1. Взаимное расположение прямой и плоскости.

  2. Теорема о трех перпендикулярах и ей обратная теорема (теорема №14).

  3. Усеченная пирамида, ее элементы, формулы для нахождения площади(теорема №19).

  4. Касательная плоскость к сфере, свойства (теорема №20,21).

  5. Простейшие задачи в координатах.

  6. Формула для нахождения объема цилиндра(теорема №24).

Билет № 7.

  1. Определение параллельности прямой и плоскости.

  2. Определение угла между прямой и плоскостью.

  3. Симметрия в пространстве.

  4. Цилиндр, его элементы, сечения, формулы для нахождения площади.

  5. Скалярное произведение векторов, его свойства.

  6. Формула для нахождения объема шара(теорема №28), формулы и определение шарового сегмента, слоя, сектора.

Билет № 8.

  1. Признак параллельности прямой и плоскости (теорема №5).

  2. Определение двугранного угла, линейного угла двугранного угла.

  3. Правильные многогранники.

  4. Конус, его элементы, сечения, формулы для нахождения площади.

  5. Понятие вектора, его длина, направление, равенство векторов, примеры.

  6. Формулы для нахождения объема пирамиды, усеченной пирамиды(теорема №28 и следствие).

Билет № 9.

  1. Определение скрещивающихся прямых (теоремы №6,7,8).

  2. Градусная мера двугранного угла, виды двугранных углов.

  3. Элементы симметрии правильных многогранников.

  4. Усеченный конус, его элементы, формулы для нахождения площади.

  5. Правила сложения и вычитания векторов.

  6. Формула для нахождения объема параллелепипеда(теорема №22).

Билет № 10.

  1. Взаимное расположение прямых в пространстве.

  2. Определение перпендикулярности плоскостей.

  3. Определение многогранника, его элементы, примеры.

  4. Сфера, ее элементы, уравнение сферы.

  5. Умножение вектора на число, его свойства.

  6. Формула для нахождения объема усеченного конуса.







Билет № 11.

  1. Определение параллельности плоскостей.

  2. Признак перпендикулярности двух плоскостей (теорема №15,следствие).

  3. Призма, ее элементы, формулы для нахождения площади(теорема №17).

  4. Взаимное расположение сферы и плоскости.

  5. Компланарные векторы(теорема №29).

  6. Формула для нахождения объема цилиндра(теорема №22).

Билет № 12.

  1. Признак параллельности плоскостей (теорема №9).

  2. Определение прямоугольного параллелепипеда, свойства.

  3. Пирамида, ее элементы, формулы для нахождения площади.

  4. Касательная плоскость к сфере, свойства (теорема №20,21).

  5. Координаты вектора, их свойства.

  6. Формула для нахождения объема конуса, усеченного конуса(теорема №27 и следствие).

Билет № 13.

  1. Свойства параллельных плоскостей.

  2. Свойство параллелепипеда, связанное с его измерениями (теорема №16,следствие).

  3. Правильная пирамида, ее элементы, формулы для нахождения площади.

  4. Цилиндр, его элементы, сечения, формулы для нахождения площади.

  5. Простейшие задачи в координатах.

  6. Формула для нахождения объема конуса(теорема №27).

Билет № 14.

  1. Определение тетраэдра, параллелепипеда, их элементы.

  2. Определение куба.

  3. Формула площади боковой поверхности правильной пирамиды (теорема №18).

  4. Конус, его элементы, сечения, формулы для нахождения площади.

  5. Скалярное произведение векторов, его свойства.

  6. Формула для нахождения объема шара(теорема №28), формулы и определение шарового сегмента, слоя, сектора.

Билет № 15.

  1. Построение сечений тетраэдра, параллелепипеда.

  2. Определение перпендикулярности прямой и плоскости.

  3. Усеченная пирамида, ее элементы, формулы для нахождения площади(теорема №19).

  4. Сфера, ее элементы, уравнение сферы.

  5. Простейшие задачи в координатах.

  6. Формула для нахождения объема цилиндра(теорема №22).

Указания: 1 часть-теория по билетам, ответы на все вопросы в письменной форме и еще устно (№ 3,4,6), на «3» кратко, на «4 и 5» полный ответ;

2 часть – задачи, на «3»-УК (УК - учебная карта), на «4 и 5»-задачи по билетам (1-5 вариант).



Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "УМК для ОМД,1 КУРС (2013-2014)"

Получите профессию

Экскурсовод (гид)

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ Зачет№3-5.docx

Зачет №3 «Показательная функция».

1 вариант.

  1. Решить уравнения:

  1. 4х = 64,

  2. 6х-2 = 36,

  3. 36-х = 33х-2,

  4. 4х+1 + 4х = 320,

  5. 5х+1 = 8х+1 ,

  6. 4х – 2х -2 = 0,

  7. 9х -83х -9 = 0,

  8. 36х - 46х -12 = 0,

  9. 35х+3 + 25х+1 = 77,

  10. 4х - 2х+1 - 8 = 0,

  11. 3х+2 + 3х-1 = 28.

  1. Решить неравенства:

  1. 3х 27, .

, 4) 45-2х 0,25 ,

5) 5х-3 125 , 6) 4х+2 64 ,

7) 1, 1,

9) 22х-1 + 22х-2 448,

10) ,

11) 3х+2 + 3х-1 28,

12) 4х - 2х+1 - 8 0 .




Зачет №3 «Показательная функция».

2 вариант.

  1. Решить уравнения:

  1. 5х = 125,

  2. 4х-2 = 16,

  3. 66-х = 6х+2,

  4. 2х+1 + 2х = 192,

  5. 7х+3 = 9х+3 ,

  6. 49х –8 7х + 7 = 0,

  7. 100х -1110х + 10 = 0,

  8. 4х - 52х + 4 = 0,

  9. 23х+1 + 3х = 15,

  10. 6х+1 + 35 6х-1 = 71,

  11. 59х + 9х-2 = 406.

  1. Решить неравенства:

  1. 4х 64, .

, 4) 55-2х 0,2 ,

5) 2х-3 128 , 6) 4х+5 64 ,

7) 1, 1,

9) 42х-1 + 42х-2 320,

10) ,

11) 6х+2 + 6х-1 217,

12) 9х - 3х+1 - 54 0 .




Зачет №3 «Показательная функция».



  1. Решить уравнения:

  1. 5х =625, 5х =54 , х= …,

  2. 4х-2 = 64 , 4х-2 =43 , х-2=3, х=2+3=…,

  3. 26-х = 2х+2, 6-х=х+2, 2х=6-2, 2х=4, х=… ,

  4. 3х+1 + 3х = 36, 3х (3+1) = 36, 3х =9, х= … ,

  5. 36-32=… , х1=(6+2)/2=8:2=… , х2= (6-2)/2=4:2=… ,

  6. 5х+3 = 3х+3, х+3=0, х= … ,

  7. 25х –6 5х + 5 = 0, 5х = а, а 0, а2 -6а+5=0, D = 36- 415= 36-20=…, а1=(6+4)/2=10:2=… , а2= (6-4)/2=2:2=… ,

5х =51 , х1=…, 5х=1, 5х = 50 , х2=…

  1. 5х+1 + 35 5х-1 = 60, 5х-1 (52 +35)= 60, 5х-1 =1, х-1=0, х=… ,

  2. 3 - 43х + 3 = 0, 3х = а, а 0, а2-4а+3=0, D = 16-12= … , а1=(4+2)/2=6:2=… , а2= (4-2)/2=2:2=… ,

3х =31 , х1=…, 3х=1, 3х = 30 , х2=…

  1. 25х+1 + 5х = 11, 5х (2) =11, 5х =1, х= … ,









  1. Решить неравенства:

  1. 5х 25, х … ,

  2. , х-12 , х … ,

  3. , х … ,

  4. 25-2х 0,5 , 5-2х -1 , 2х 6, х … ,

  5. 4х-3 64 , х-3 3, х … ,

  6. 6х+2 216 , х+2 3, х 3-2, х … ,

  7. 1, 0, =0, D =4+12=… ,

х1=(-2+4)/2=2:2=… , х2= (-2-4)/2=-6:2=… , х-3, х 1

  1. 1, 0, D =16-12 =… , х1=(-4+2)/2= - 2:2=… , х2= (-4-2)/2= - 6 :2=… ,

- 3х- 1

  1. hello_html_237026d.gif, hello_html_22dd5255.gif

hello_html_m78971f8a.gif, т. к. 2 > 1, 10х + 15 < - 2, х < - 1,7,

  1. hello_html_m5710c253.gif т. к. 0,75 < 1, то 2 + 4х 1 – 8х, 12х ≤ - 1, х ≤ -1/12









Зачет №4 «Тригонометрические преобразования».

1 вариант.

  1. Вычислить: а) sin , б) cos , в) cos2sin2 , г) 2 sin cos , д) sin α = - 0.8, α 4 четв. , cos α = ? , tg α = ?,

  2. Перевести из градусной меры в радианную и наоборот углы:

а) 45°, 60°, 90°, б) , , ,

  1. Вычислить: а) sin , б) cos , в) tg,

г) 2 sin15° cos 15° , д) sin150°,е) cos 210°,

ж) cos 630° - sin 1470°, з) 3 cos 3660° + sin (- 1560°),

  1. Вычислить:

а) cos 50° cos 40° - sin 50° sin 40°,

б) cos 80° cos 20° + sin 80° sin 20°,

в) sin100°cos 50° + sin 50° cos 100,

г) sin 70° cos 40° - sin 40°cos 70°,

  1. а) cos α = 0.8, α 1 четв. , cos 2α = ? ,

б) sin α = - 0.6, α 3 четв. , sin2α = ?

в) tg α = 2, = ?

г) sin α + cos α= 0,3, sin α cos α=?,

  1. Вычислить: а) cos 100° + cos 80°, б) sin 105° - sin 75°, в) Доказать тождество: (1 - sin α) ( 1+ sin α) = cos2 α.



Зачет №4 «Тригонометрические преобразования».

2 вариант.

  1. Вычислить: а) sin , б) cos , в) cos2sin2 , г) 2 sin cos ,д) cos α = 0.6, α 4 четв. ,sin α = ? , tg α = ?,

  2. Перевести из градусной меры в радианную и наоборот углы:

а) 120°, 135°, 210°, б) , , ,

  1. Вычислить: а) sin , б) cos , в) tg,

г) 2 sin75° cos 75° , д) sin210°,е) cos 150°,

ж) cos 990° - sin 1110°, з) 3 cos 3300° + sin (- 1200°),

  1. Вычислить:

а) cos 20° cos 70° - sin 20° sin 70°,

б) cos 70° cos 10° + sin 70° sin 10°,

в) sin80°cos 10° + sin 10° cos 80°,

г) sin 50° cos 20° - sin 20°cos 50°,

  1. а) sin α = 0.6, α 1 четв. , cos 2α = ? ,

б) cos α= - 0.6, α 3 четв. , sin2α = ? ,

в) tg α = 2, = ?

г) sin α + cos α= 0,4, sin α cos α=?,

  1. Вычислить: а) cos 40° + cos 50°,

б) sin 125° - sin 55°,

в) Доказать тождество: (1 - cos α) ( 1+ cos α) = sin 2 α.



Зачет №4 «Тригонометрические преобразования».

  1. Вычислить: а) sin = sin = … , б) cos = - cos = … , в) cos2sin2 = cos cos = …, г) 2 sin cos = sin = =sin = …, д) cos α = 0.6, α 4 четв. ,sin α = ? , tg α = ?,

sin α = = - = - = …,

tg α = = = …,

  1. Перевести из градусной меры в радианную и наоборот углы:

а) 120° = … 135° = , 210° = = =… б) = …, =

  1. Вычислить: а) sin = sin ( 2)= - sin, б) cos = … , в) tg = =tg =…, г) 2 sin75° cos 75°= sin 150°= sin 30°= sin =… , д) sin210° = sin (180° + 30°) = - sin 30° = - sin = …, е) cos 150° = cos (180° - 30°) = - cos 30°= - cos = …,

ж) cos 990° - sin 1110° = cos (720° + 270°) - sin (1080° +30°) = =cos (4) – sin(6) = cos

з) 3 cos 3300° + sin (- 1200°)= cos ( 3240° +60°) - sin( 1080° + 120°) = = cos (18) –sin (6) = cos - sin = …,

  1. Вычислить:

а) cos 20° cos 70° - sin 20° sin 70°= cos (20° + 70°) = cos 90° = cos =…,

б) cos 70° cos 10° + sin 70° sin 10° = cos (70° - 10°) = cos 60° = cos =…,

в) sin80°cos 10° + sin 10° cos 80° = sin (80° +10°)= sin 90° = sin =…,

г) sin 50° cos 20° - sin 20°cos 50°= sin (50° -20°)= sin 30° = sin =…,



  1. а) sin α = 0.6, α 1 четв. , cos 2α = ? ,

cos α = = = = =…, cos 2α = 2 - 1= 20,64 – 1=…,

б) cos α= - 0.6, α 3 четв. , sin2α = ? ,

sin α = = - = - = =…, sin2α = 2(-0,8)(-0,6)=…,

в) tg α = 2, = ?

= = …,

г) sin α + cos α= 0,4, sin α cos α=?,

sin α cos α= (1 – 0,42 ) : 2 =(1-0,16) : 2 =…,



  1. Вычислить: а) cos 40° + cos 50° = - 2 sin sin =

б) sin 125° - sin 55° = 2 sin = =2 cos 90° = 0

в) Доказать тождество: (1 - cos α) ( 1+ cos α) = sin 2 α,


(1 - cos α) ( 1+ cos α) = 1 - =












Зачет №5 «Решение тригонометрических уравнений».

1 вариант.

  1. Вычислить: а) arcsin 0, arcsin , arcsin( - ),

б) arccos 0 , arccos , arccos (-1),

в) arctg , arctg , arctg (-1),

  1. Решите уравнения:

а) sinх = 1, sinх = , sinх = - ,

б) cos х = , cos х = 1, cos х = - ,

в) tgх = 0, tgх = 1 , tg х = - ,

г) ctg х = 1, ctg х = , ctg х = - ,

  1. Решите уравнения:

а) 2 cos2 x +5 cos x – 3 = 0,

б) 3 sin2 x -5 sin x – 2 = 0,

в) tg2 x + tgx – 12 = 0,

г) 4 cos2 x – 12sin x+12 = 0,

  1. Решите уравнения:

а) sinх = 5 cos x,

б) 2sin2 x + 3sin x cos x – 2 cos2 x = 0,

в) sin 3x - sin x = 0,

  1. Вычислить:

а) arcsin0 + arccos 1 , 4arctg (-1) + 3arctg

б) sin(arcsin 0,1), arcsin(sin ) , в) cos (arccos 0,3), arccos(cos ),

г) sin (arccos 0,8), cos(arcsin 0,6).



Зачет №5 «Решение тригонометрических уравнений».

2 вариант.

  1. Вычислить: а) arcsin 1, arcsin , arcsin( - ),

б) arccos 1 , arccos , arccos (-1),

в) arctg ), arctg , arctg 1 ,

  1. Решите уравнения:

а) sinх = - 1, sinх = , sinх = ,

б) cos х = , cos х = - 1, cos х = ,

в) tgх = 0, tgх = - 1 , tg х = ,

г) ctg х = - 1, ctg х = - , ctg х = ,

  1. Решите уравнения:

а) 2sin2 x +5 sin x – 3 = 0,

б) 3 cos2 x -5 cos x – 2 = 0,

в) tg2 x +3tgx – 4 = 0,

г) 4 sin2 x – 12 cos x+12 = 0,

  1. Решите уравнения:

а) sinх = 7 cos x,

б) 2sin2 x + 5sin x cos x – 3 cos2 x = 0,

в) sin 5x - sin x = 0,

  1. Вычислить:

а) 3arcsin0 + 4arccos 1 , 5arctg (-1) + 2 arctg

б) sin(arcsin 0,6), arcsin(sin ) , в) cos (arccos 0,1), arccos(cos ),

г) sin (arccos 0,6), cos(arcsin 0,8).




Зачет №5 «Решение тригонометрических уравнений».

  1. Вычислить по таблице: а) arcsin 1, arcsin , arcsin( - ),

б) arccos 1 , arccos , arccos (-1),

в) arctg ), arctg , arctg 1 ,

  1. Решите уравнения по таблице:

а) sinх = - 1, sinх = , sinх = ,

б) cos х = , cos х = - 1, cos х = ,

в) tgх = 0, tgх = - 1 , tg х = ,

г) ctg х = - 1, ctg х = - , ctg х = ,

  1. Решите уравнения:

а) 2sin2 x +5 sin x – 3 = 0,

sin x = а, -1 а 1, 2а2 + 5а - 3 = 0, D = 25 -4 2 (-3) = 25 + 24 = …,

а1= (-5 + 7) / 4= 2 : 4 = …, а2= ( -5 - 7) / 4 = - 12 : 4 =…, - не уд.

sin x = 0,5 , х = (-1)к + , к Z,

б) 3 cos2 x -5 cos x – 2 = 0,

cos x = а, -1 а 1, 3а2 - 5а - 2 = 0, D = 25 - 4 3 (-2) = 25 + 24 = …,

а1= (5 + 7) / 6 = 12 : 6 = …, - не уд.

а2= ( 5 - 7) / 6 = - 2 : 6=…,

cos x = - 0,3, х = ± arccos (-0,3) + 2n, n Z,

в) tg2 x +3tgx – 4 = 0,

tgx = t , t2 + 3 t - 4 = 0,

D = 9 - 4 1 (-4) =9 + 16 = …,

t1= (-3 + 5) / 2 = 2 : 2= …, tgx = 1, х1 = + n, n Z,


t2= ( -3 - 5) / 2 = - 8 : 2=…, tgx = - 4, х2 = - arctg 4 + n, n Z,



г) 4 sin2 x – 12 cos x+12 = 0,

4 - 4 cos 2 x – 12 cos x+12 = 0, - 4 cos 2 x – 12 cos x+16 = 0,

cos x = а, -1 а 1, -4а2 - 12а + 16 = 0, а2 + 3а - 4 = 0,

D = 9 - 4 1 (-4) = 9 + 16 = …,

а1= (-3 + 5) / 2 = 2 : 2 = …,

а2= ( -3 - 5) / 2= - 8 : 2=…, - не уд.

cos x = 1 , х = 2 , к Z,

  1. Решите уравнения:

а) sinх = 7 cos x, tgx = 7, х = arctg+ n, n Z,

б) 2sin2 x + 5sin x cos x – 3 cos2 x = 0,

2tg2 x +5tgx – 3 = 0, tgx = t , 2t2 + 5 t - 3 = 0,

D = 25 - 4 2 (-3) =25 + 24 = …,

t1= (-5 + 7) / 4 = 2 : 4= …, tgx = 0,5, х1 = arctg … + n, n Z,

t2= ( -5 - 7) / 4 = - 12 : 4=…, tgx = - 3, х2 = - arctg … + n, n Z,

в) sin 5x - sin x = 0,

2 sin 2x cos 3х = 0,

sin 2x =0 , 2х = n, n Z, х 1= 0,5 n, n Z,

cos 3х = 0, 3х = + n, n Z, х 2= + n, n Z,

  1. Вычислить:

а) 3arcsin0 + 4arccos 1 = 30 + 4 0 =…,

5arctg (-1) + 2 arctg = - 5 + 2 = -

б) sin(arcsin 0,6) = …,

arcsin(sin ) = , в) cos (arccos 0,1) = 0,1 ,

arccos(cos ) =…,

г) sin (arccos 0,6) = = = = = …,

cos(arcsin 0,8) = = = = = …,




Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "УМК для ОМД,1 КУРС (2013-2014)"

Получите профессию

Интернет-маркетолог

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ Зачет№6.docx

Зачет №6 «Элементы комбинаторики и теории вероятностей».

1 вариант.

  1. а) М(Х) = 5, М(Y) = 7, Z = 3X – 2Y, М(Z) = ?

б) D(Х) = 10, D (Y) = 14, Z = 2X + Y, D (Z) = ? D (Х - Y) =?

  1. Найдите числовые характеристики Х и Y:

  1. Составить закон распределения случайной величины Х- числа мальчиков в семье, имеющей n детей, найти ее математическое ожидание М(Х), дисперсию D (Х), если р = 0,3, n = 3(n = 0,1,2,3).

    а) По данным статистического распределения выборки найдите моду М0 :




    б) По данным вариационных рядов определить медиану Ме: 1) 12457, 2) 123761, 3) 35621, 4) 2235448997.


    1. Дан вариационный ряд ( h = 6, С = 83). Составьте таблицу расчетов и найдите Хв , Dв , σв .



    Зачет №6 «Элементы комбинаторики и теории вероятностей».

    2 вариант.

    1. а) М(Х) = 4, М(Y) = 5, Z = 3X – 2Y, М(Z) = ?

    б) D(Х) = 12, D (Y) = 10, Z = 2X + Y, D (Z) = ? D (Х - Y) =?

    1. Найдите числовые характеристики Х и Y:

    1. Составить закон распределения случайной величины Х- числа мальчиков в семье, имеющей n детей, найти ее математическое ожидание М(Х), дисперсию D (Х), если р = 0,515, n = 4(n = 0,1,2,3,4).

    2. а) По данным статистического распределения выборки найдите моду М0 :



    б) По данным вариационных рядов определить медиану Ме: 1) 23679, 2) 212866 , 3) 67543, 4) 2134668553.


    1. Дан вариационный ряд ( h = 4, С = 102). Составьте таблицу расчетов и найдите Хв , Dв , σв .





    Зачет №6 «Элементы комбинаторики и теории вероятностей».

    1. а) М(Х) = 4, М(Y) = 5, Z = 3X – 2Y, М(Z) = ?

    Решение: М(Z) = 34 - 2 5 = 12 – 10 = …,

    б) D(Х) = 12, D (Y) = 10, Z = 2X + Y, D (Z) = ? D (Х - Y) =?

    Решение: D (Z) = 22 12 + 10 = 412 + 10 = 48 +10 = …,

    D (Х - Y) = 12 + 10 = …,

    1. Найдите числовые характеристики Х и Y:

    Решение:

    М(Х) = р1х1 + р2х2 = 0,3 10 + 0,7 20 = 3 + 14 = …,

    D(Х) = р1х12 + р2х22 – (р1х1 + р2х2)2 = = 0,3100 + 0,7400 – 289 = 30 + 280 - 289 = …, σ (Х) = = …,

    М(Y) = р1у1 + р2у2 + р3у3 = 0,5 30 + 0,2 40 + 0,3 60= = 15 + 8 + 18= …, D(Y) = 0,5 900 + 0,2 1600 + 0,3 3600 – 1681= = 450 + 320 + 1080 - 1681 = …,

    σ (Y) = = = …,

    1. Составить закон распределения случайной величины Х- числа мальчиков в семье, имеющей n детей, найти ее математическое ожидание М(Х), дисперсию D (Х), если р = 0,515, n = 4(n = 0,1,2,3,4).

    Решение: q = 1 - р = 1 – 0,515 = …,

    р(Х=0)= = 0,055,

    р(Х=1)= = = 0,235, р(Х=2)= = 0,375,

    р(Х=3)= = 0,265,

    р(Х=4)= = 0,070,

    = 1, = (1234) : (123)=…, = (43) : (12)=…,

    = = …, = =…,

    Закон распределения имеет вид :

    = 0,055 + 0,235 + 0,375 + 0,265 + 0,070 =…,

    М(Х) = n р= 40,515=…,

    D(Х) = n р q = 4 0,515 0,485 = …,

    1. а) По данным статистического распределения выборки найдите моду М0 :

    Решение: Наибольшее n = 6 для Х= 5, поэтому М0=…,

    б) По данным вариационных рядов определить медиану Ме: 1) 23679, 2) 212866 , 3) 67543, 4) 2134668553.

    Решение: 1) 23679, n =5, Ме = …,

    2) 212866, n =6, Ме = (2+8):2=…, 3) 67543, n =5, Ме = …,

    4) 2134668553. n =10, Ме = (6+6):2=…,

    1. Дан вариационный ряд ( h = 4, С = 102). Найдите Хв , Dв , σв .



    Решение: Хв = - 0,16 4 + 102 =102 – 0,64=…,

    Dв = (2,98 - (- 0,16)2) 16= …, σв =





Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "УМК для ОМД,1 КУРС (2013-2014)"

Получите профессию

Секретарь-администратор

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ К-№1-7.docx

11 гр.



Контрольная работа №1 «Нулевой срез». 1 вариант.

  1. Упростить выражение, используя формулы сокращенного умножения:

а) 3 (х+у)2 - 6ху, б) 1 - 25 в2, в) 144 х2 - 169.

  1. Решить уравнения: а) х2 - 7х – 8 = 0, б) 2 - 3 (х+2) = 5 - 2х.

  2. Упростить выражение: ,

  3. Решить систему уравнений (а,б), решить систему неравенств(в,г):

а) , б) , в) , г) х2 – х – 6

  1. Построить график функции: а) у = 2х – 3, б) у = - 4х.

Контрольная работа №1 «Нулевой срез». 2 вариант.

  1. Упростить выражение, используя формулы сокращенного умножения:

а) 4 (х - у)2 + 6ху, б) 100 - а2, в) 196 х2 - 225.

  1. Решить уравнения: а) х2 - 2х – 15 = 0, б) 3 - 5 (х+1) = 6 - 4х.

  2. Упростить выражение: ,

  3. Решить систему уравнений (а,б), решить систему неравенств(в,г):

а) , б) , в) , г) х2 +4 х – 5

  1. Построить график функции: а) у = 3х +1 , б) у = - 5х.























Контрольная работа №2 «Параллельность прямых и плоскостей». 1 вариант. hello_html_m4f96c18b.jpg

  1. АВСDА1В1С1D1- параллелепипед.

Найти точки пересечения прямых и плоскостей.

а) АВ ∩ АD = ? , б) АА1 ∩ А1В1 = ?,

в) (АА1 D1D) ∩ (АА1 В1В) = ? , г) ( АВСD ) ∩ ( СDD1С1 ) = ?

  1. Определить взаимное расположение прямых:

а) АВ и А1В1, б) А1D и АВ, в) DС1 и АВ ,

г) ВС и В1С1 , д) В1В и ВС, е) АD и ВС .

  1. а) Точка М не лежит в плоскости ромба АВСD. Докажите, что прямая АВ параллельна плоскости DМС. hello_html_m63271b33.jpg

б) АВСD- трапеция, МК- средняя линия трапеции. Докажите, что прямая МК параллельна плоскости α, в которой лежит основание трапеции АD и не лежит ВС. hello_html_4d3b9131.jpg

  1. а) В параллелограмме АОВК сторона ОВ параллельна прямой m , а АО и m –скрещивающиеся прямые. Найти угол между скрещивающимися прямыми , если один из углов параллелограмма равен 140°.

б) Точка С лежит на отрезке АВ. Через точку А проведена плоскость α, а через точки В и С- параллельные прямые , пересекающие эту плоскость соответственно в точках В1 и С1. hello_html_m6bc9fa1d.png

Найти длину отрезка СС1 ,если АС : СВ = 3 : 2 и ВВ1 = 10 см.

  1. а) Сумма всех ребер параллелепипеда АВСDА1В1С1D1 равна 240 см. Найти каждое ребро параллелепипеда, если известно , что АВ : ВС = 4 : 5.

б) В тетраэдре DАВС дано: АDВ=60°, ВDС= 30°, СDА= 90°,DА = 10 см, ВD = 15 см, DС =24 см. Найдите АВ,АС, ВС и площади всех боковых граней.





















Контрольная работа №2 «Параллельность прямых и плоскостей». 2 вариант.

  1. АВСDА1В1С1D1- параллелепипед. hello_html_m4f96c18b.jpg

Найти точки пересечения прямых и плоскостей.

а) DС ∩ D1D = ? , б) С1В1 ∩ А1В1 = ?,

в) (СС1 В1В) ∩ (А1В1С1D1) = ? , г) ( А А1 D1D ) ∩ ( DD1С1С ) = ?

  1. Определить взаимное расположение прямых:

а) АС и А1С1, б) С1D и DВ, в) DВ1 и АС ,

г) ВА и В1А1 , д) В1D и А1В1, е) В1D и АС .

  1. а) Докажите, что прямая АВ параллельна плоскости α, если АВСD параллелограмм, (А1В1 С D )= α и А1В1 С D-трапеция.hello_html_m29c9b937.png

б) Докажите, что прямая МК параллельна плоскости α, в которой лежит основание АВ треугольника АВС , а МК- средняя линия треугольника АВС .

  1. а) В параллелограмме АОВК сторона ОВ параллельна прямой m , а АО и m –скрещивающиеся прямые. Найти угол между скрещивающимися прямыми , если один из углов параллелограмма равен 117°.hello_html_bd13706.jpghello_html_4d3b9131.jpg

б) Точка С лежит на отрезке АВ. Через точку А проведена плоскость α, а через точки В и С- параллельные прямые , пересекающие эту плоскость соответственно в точках В1 и С1.

Найти длину отрезка СС1 ,если АС : СВ = 3 : 2 и ВВ1 = 30 см.

  1. а) Сумма всех ребер параллелепипеда АВСDА1В1С1D1 равна 480 см. Найти каждое ребро параллелепипеда, если известно , что АВ : ВС = 4 : 5.

б) В тетраэдре DАВС дано: АDВ=60°, ВDС = 30°, СDА= 90°,DА = 10 см, ВD = 20см, DС = 24 см. Найдите АВ,АС, ВС и площади всех боковых граней.



















Контрольная работа №3 «Перпендикулярность прямых и плоскостей». 1 вариант.

  1. Дан параллелепипед АВСDА1В1С1D1 , у которого основание квадрат. Докажите, что hello_html_75ed7ad2.jpg

а) СD В1С1 , б) С1D1 АD .

  1. а) Из точки А, не принадлежащей плоскости α, проведены к этой плоскости перпендикуляр АО и две равные наклонные АВ и АС. Известно, что ОАВ =ВАС = 60°, АО = 3 см.

Найти ВС - расстояние между основаниями наклонных.

б) Один конец данного отрезка лежит в плоскости α ,а другой находится от нее на расстоянии АН = 10 см. Найти ОО1- расстояние от середины данного отрезка до плоскости α.

  1. Прямая ВD перпендикулярна к плоскости треугольника АВС. hello_html_m7b4a9c44.jpg

Известно, что ВD = 5 см, АС=10 см, ВС = ВА = 12 см.

Найдите : а) DМ -расстояние от точки D до прямой АС,

б) площадь треугольника АСD.

  1. Плоскости α и β взаимно перпендикулярны и пересекаются по

прямой а. Из точки М проведены перпендикуляры МА и МВ к этим плоскостям. Прямая а пересекает плоскость АМВ в точке С.

Найти расстояние от точки М до прямой а , если АМ = 12 см, ВМ = 16 см.

  1. а) Найдите измерения а, b,с прямоугольного параллелепипеда АВСDА1В1С1D1 , hello_html_m63c0eaaf.jpg

если АС1 = 18 см и диагональ ВD1 составляет с плоскостью

грани А А1 D1D угол в 30°, а с ребром DD1 – угол в 45°.





  • б) Через центр О окружности, вписанной в треугольник АВС, проведена прямая ОК, перпендикулярная к плоскости треугольника. Найти расстояние от точки К до сторон треугольника , если АВ = ВС = 10 см, АС = 12 см, ОК = 4 см.



















Контрольная работа №3 «Перпендикулярность прямых и плоскостей». 2 вариант. hello_html_3a2320da.jpg

  1. Дан параллелепипед АВСDА1В1С1D1 , у которого основание квадрат. Докажите, что

а) АD А1В1 , б) А1D1 СD .

  1. а) Из точки А, не принадлежащей плоскости α, проведены к этой плоскости перпендикуляр АО и две равные наклонные АВ и АС. Известно, что ОАВ = ВАС = 60°, АО = 5 см.

Найти ВС - расстояние между основаниями наклонных.

б) Один конец данного отрезка лежит в плоскости α, а другой находится от нее на расстоянии АН = 12 см.

Найти ОО1 -расстояние от середины данного отрезка до плоскости α.

  1. Прямая ВD перпендикулярна к плоскости треугольника АВС. hello_html_79d2df71.jpg

Известно, что ВD = 12 см, АС = 24 см, ВС = ВА = 16 см.

Найдите : а) DМ - расстояние от точки D до прямой АС,

б) площадь треугольника АСD.

  1. Плоскости α и β взаимно перпендикулярны и пересекаются по прямой а. Из точки М проведены перпендикуляры МА и МВ к этим плоскостям. Прямая а пересекает плоскость АМВ в точке С.

Найти расстояние от точки М до прямой а ,

если АМ = 12 см, ВМ = 5 см.

  1. а) Найдите измерения а, b,с прямоугольного параллелепипеда АВСDА1В1С1D1 ,

если АС1 = 20 см и диагональ ВD1 составляет с плоскостьюhello_html_m63c0eaaf.jpg

грани А А1 D1D угол в 30°, а с ребром DD1 – угол в 45°.













  • б) В треугольнике АВС дано: АВ = ВС = 13 см, АС = 10 см. Точка М удалена от прямых АВ, ВС и АС на 8 см. Найти расстояние от точки М до плоскости АВС, если ее проекция на эту плоскость лежит внутри треугольника.



















Контрольная работа №4 «Многогранники». 1 вариант.hello_html_m57d4dae2.jpg

  1. а) Дана прямая треугольная призма со сторонами a = 5,b = 12 ,c = 13 см и высотой h = 8 см. Найдите площадь боковой и полной поверхности призмы.

б) Основанием прямой призмы АВСА1В1С1 является прямоугольный треугольник АВС с прямым углом В. Через ребро ВВ1 проведено сечение ВВ1D1D перпендикулярное к плоскости грани АА1С1С.

Найдите площадь сечения, если АА1 = 14 см, АD = 25 см, DС = 36 см.

  1. а) Основание прямой призмы - треугольник со сторонами AB = 5 и BC = 12 см и углом в 90° между ними. Наибольшая из площадей боковых граней равна S наиб. = 39 см2. Найдите площадь боковой поверхности призмы.hello_html_m5af2f329.jpg

б) Боковое ребро наклонной четырехугольной призмы

равно l = 12 см, а перпендикулярным сечением является ромб со стороной a = 8 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

hello_html_m6ef4a0d3.jpg

  1. а) Основанием пирамиды является ромб, сторона которого равна AB = 10 см, а одна из диагоналей равна BD = 12 см. Найдите боковые ребра пирамиды, если высота ее проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна SO = .

б) Дана правильная четырехугольная пирамида со стороной основания a = 8 см и высотой h = 3 см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.hello_html_m5f68a9c0.jpg

  1. а) Дана пирамида со сторонами основания a = 10,b = 13,c = 13 см и апофема равна l = 20 см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

б) Дана пирамида со сторонами основания a = 10,b = 13,c = 13 см и высотой h2 =. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

  1. а) Дана усеченная правильная треугольная пирамида со сторонами a1 = 20 и а2 =8 см и высотой h = 8 см. hello_html_m1aa89a30.jpg

Найдите площадь полной поверхности усеченной пирамиды.

  • б) Плоскость, параллельная плоскости основания правильной четырехугольной пирамиды, делит высоту пирамиды в отношении 1:2, считая от вершины пирамиды. Апофема полученной усеченной пирамиды равна l=10 дм, а площадь ее полной поверхности равна S п. = 1280 дм2. Найдите высоту усеченной пирамиды.









Контрольная работа №4 «Многогранники». 2 вариант.hello_html_m57d4dae2.jpg

  1. а) Дана прямая треугольная призма со сторонами a = 10,b = 24 ,c = 26 см и высотой h = 10 см. Найдите площадь боковой и полной поверхности призмы.

б) Основанием прямой призмы АВСА1В1С1 является прямоугольный треугольник АВС с прямым углом В. Через ребро ВВ1 проведено сечение ВВ1D1D перпендикулярное к плоскости грани АА1С1С. Найдите площадь сечения, если АА1 = 16 см, АD = 25 см, DС = 49 см.

  1. а) Основание прямой призмы - треугольник со сторонами AB=6 и BC=8 см и углом в 90° между ними. Наибольшая из площадей боковых граней равна S наиб. = 40 см2. Найдите площадь боковой поверхности призмы. hello_html_m79905e92.png

б) Боковое ребро наклонной четырехугольной призмы

равно l = 14 см, а перпендикулярным сечением является ромб со стороной a = 10 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы. hello_html_69e80ce8.png

  1. а) Основанием пирамиды является ромб, сторона которого равна AB = 15 см, а одна из диагоналей равна BD = 18 см. Найдите боковые ребра пирамиды, если высота ее проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна SO = .

б) Дана правильная четырехугольная пирамида со стороной основания a = 12 см и высотой h = 8 см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.hello_html_m3367cdaa.jpg

  1. а) Дана пирамида со сторонами основания a = 10,b = 24,c = 26 см и апофема равна l = 10 см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

б) Дана пирамида со сторонами основания a = 10,b = 13,c = 13 см и высотой h2 =. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.hello_html_m1aa89a30.jpg

  1. а) Дана усеченная правильная треугольная пирамида со сторонами a1 = 26 и а2 = 14 см и высотой h = 8 см. Найдите площадь полной поверхности усеченной пирамиды.



  • б) Плоскость, параллельная плоскости основания правильной четырехугольной пирамиды, делит высоту пирамиды в отношении 1:2, считая от вершины пирамиды. Апофема полученной усеченной пирамиды равна l=6 дм, а площадь ее полной поверхности равна S п. = 490 дм2. Найдите высоту усеченной пирамиды.











Контрольная работа №5 «Тела вращения». 1 вариант.hello_html_1ffef818.jpg

  1. а) Осевое сечение цилиндра – прямоугольник, стороны которого диаметр и образующая цилиндра соответственно. Диагональ осевого сечения цилиндра равна АС = 24 см. Угол α между этой диагональю и диаметром цилиндра равен 30°. Найдите высоту, радиус, площадь основания цилиндра.

б) Концы отрезка АВ лежат на окружностях оснований цилиндра. Радиус цилиндра равен r, его высота-h, а расстояние между прямой АВ и осью цилиндра равно d. Найдите h, если r = 5, d = 4, АВ =10 см.

в) Концы отрезка АВ лежат на окружностях оснований цилиндра. Радиус цилиндра равен r, его высота-h, а расстояние между прямой АВ и осью цилиндра равно d. Найдите d, если r = 10, h = 5, АВ = 13 см.

г) Найдите площадь боковой и полной поверхности цилиндра, если его радиус равен r, а высота -h, при r = 3 см и h =5 см.hello_html_m5c3b6be3.jpg

  1. а) Высота конуса равна h = 24 см, а радиус основания равен r = 10 см. Найдите образующую конуса l.hello_html_m52e6da7e.jpg

б) Осевое сечение конуса – прямоугольный треугольник ΔАВС. Найдите площадь этого сечения, если радиус основания конуса равен r = 6 см.hello_html_m45781634.jpg

в) Радиусы оснований усеченного конуса равны r 1 = 6 и r 2 = 11 см, а образующая равна l = 13 см. Найдите высоту и площадь осевого сечения усеченного конуса, если его осевое сечение-трапеция.

г) Разверткой боковой поверхности конуса является сектор с дугой α. Найдите α и площадь боковой, полной поверхности конуса, если его радиус основания равен 6 см, а образующая равна 20 см.hello_html_1754fa31.jpg

д) Разверткой боковой поверхности конуса является сектор с дугой α. Найдите площадь боковой и полной поверхности конуса, если α = 90°, а образующая равна 12 см.hello_html_50087654.jpg

  1. а) Точка М- середина отрезка АВ, концы которого лежат на сфере радиуса R с центром О. Найдите ОМ, если R = 10 дм, АВ = 12 дм.

б) Найдите координаты центра и радиус сферы, заданной уравнением x2 + y2 + z2 = 25.

в) Найдите координаты центра и радиус сферы, заданной уравнением

(x-3)2 + (y+4)2 + z2 = 49.

г) Все стороны треугольника ABC касаются сферы радиуса R = 7 см. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если ВС = а = 10 см, АС = в = 10 см, АВ = с = 12 см.









Контрольная работа №5 «Тела вращения». 2 вариант.

  1. а) Осевое сечение цилиндра – прямоугольник, стороны которого диаметр и образующая цилиндра соответственно. Диагональ осевого сечения цилиндра равна АС = 20 см. Угол α между этой диагональю и диаметром цилиндра равен 30°. Найдите высоту, радиус, площадь основания цилиндра.hello_html_m63c43d85.jpg

б) Концы отрезка АВ лежат на окружностях оснований цилиндра. Радиус цилиндра равен r, его высота-h, а расстояние между прямой АВ и осью цилиндра равно d. Найдите h, если r = 13, d = 5, АВ = 26 см.

в) Концы отрезка АВ лежат на окружностях оснований цилиндра. Радиус цилиндра равен r, его высота-h, а расстояние между прямой АВ и осью цилиндра равно d. Найдите d, если r = 5, h = 8, АВ = 10 см.

г) Найдите площадь боковой и полной поверхности цилиндра, если его радиус

равен r, а высота -h, при r = 5 см и h = 6 см.hello_html_m5c3b6be3.jpg

  1. а) Высота конуса равна h = 12 см, а радиус основания равен r = 5 см. Найдите образующую конуса l.hello_html_m7f1e506d.png

б) Осевое сечение конуса – прямоугольный треугольник ΔАВС. Найдите площадь этого сечения, если радиус основания конуса равен r = 8 см. hello_html_7a5cab4a.png

в) Радиусы оснований усеченного конуса равны r 1 = 3 и r 2 = 11 см, а образующая равна l =17 см. Найдите высоту и площадь осевого сечения усеченного конуса, если его осевое сечение-трапеция.

г) Разверткой боковой поверхности конуса является сектор с дугой α. Найдите α и площадь боковой, полной поверхности конуса, если его радиус основания равен 5 см, а образующая равна 30 см.hello_html_1754fa31.jpg

д) Разверткой боковой поверхности конуса является сектор с дугой α. Найдите площадь боковой и полной поверхности конуса, если α = 60°, а образующая равна 18 см.

  1. а) Точка М- середина отрезка АВ, концы которого лежат на сфере радиуса R с центром О. Найдите ОМ, если R = 17 дм, АВ = 16 дм.hello_html_445df525.jpg

б) Найдите координаты центра и радиус сферы, заданной уравнением x2 + y2 + z2 = 64.

в) Найдите координаты центра и радиус сферы, заданной уравнением

(x+2)2 + (y-3)2 + z2 = 81.

г) Все стороны треугольника ABC касаются сферы радиуса R = 6 см. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если ВС = а = 6 см, АС = в = 8 см, АВ = с = 10 см.





Контрольная работа №6 «Объёмы тел». 1 вариант.

  1. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, у которого стороны основания равны a и b, а высота равна h,если a = 4, b = 5, h = 6 см.

  2. а) Дана правильная треугольная призма со стороной основания a = 6 см и высотой h = 10 см. Найдите объем этой призмы.

б) Дана правильная четырехугольная призма со стороной основания a = 6 см и высотой h = 2 см. Найдите объем этой призмы.

  1. а) Пусть V, r и h соответственно объем, радиус и высота цилиндра. Найдите V, если r = 5 см, h = 6 см.

б) Пусть V, r и h соответственно объем, радиус и высота цилиндра. Найдите h, если r = 10 см, V = 400 см3.

  1. а) Найдите объем правильной треугольной пирамиды, высота которой равна h, а сторона основания равна a, если a = 9 см, h = 8 см.

б) Найдите объем правильной усеченной треугольной пирамиды, высота которой равна h, а стороны основания равны a1 и а2, если a1 = 4 см, а2 = 8 см, h = 3 см.

  1. а) Пусть V, r и h соответственно объем, радиус основания и высота конуса. Найдите V, если r = 4 см, h = 6 см.

б) Пусть V, r и h соответственно объем, радиус основания и высота конуса. Найдите h, если r = 6 см, V = 288 см3.

в) Радиусы оснований усеченного конуса равны r 1 и r 2 , а высота равна h. Найдите объем усеченного конуса V, если r 1 = 3 м, r 2 = 4 м, h = 3 м.

г) Радиусы оснований усеченного конуса равны r 1 и r 2 , а объем равен V. Найдите высоту усеченного конуса h, если r 1 = 3 м, r 2 = 5 м, V = 294 м3.

  1. а) Пусть V, R соответственно объем и радиус шара. Найдите объем шара V, если R = 6 см.

б) Пусть V, d соответственно объем и диаметр шара. Найдите диаметр шара d, если V = см3.

в) Пусть V1, V 2 , V 3 соответственно объем шарового сегмента, объем шарового слоя, объем шарового сектора, R- радиус шара, h – высота шарового сегмента. Найдите V1, V 2 , V 3 , если R = 42 см и h = 30 см.















Контрольная работа №6 «Объёмы тел». 2 вариант.

  1. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, у которого стороны основания равны a и b, а высота равна h,если a = 5, b = 6, h = 10 см.

  2. а) Дана правильная треугольная призма со стороной основания a = 4 см и высотой h = 3 см. Найдите объем этой призмы.

б) Дана правильная четырехугольная призма со стороной основания a = 8 см и высотой h = 2 см. Найдите объем этой призмы.

  1. а) Пусть V, r и h соответственно объем, радиус и высота цилиндра. Найдите V, если r = 4 см, h = 10 см.

б) Пусть V, r и h соответственно объем, радиус и высота цилиндра. Найдите r,если V = 400 см3, h = 4 см.

  1. а) Найдите объем правильной треугольной пирамиды, высота которой равна h, а сторона основания равна a, если a = 6 см, h = 2 см.

б) Найдите высоту правильной усеченной шестиугольной пирамиды, объем которой равна V, а стороны основания равны a1 и а2, если a1= 4 см, а2 = 6 см, V = 304 см3.

  1. а) Пусть V, r и h соответственно объем, радиус основания и высота конуса. Найдите V, если r = 2 см, h = 2 см.

б) Пусть V, r и h соответственно объем, радиус основания и высота конуса. Найдите r, если h = 18 см, V = 216 см3.

в) Радиусы оснований усеченного конуса равны r 1 и r 2 , а высота равна h. Найдите объем усеченного конуса V, если r 1 = 3 м, r 2 = 4 м, h = 6 м.

г) Радиусы оснований усеченного конуса равны r 1 и r 2 , а объем равен V. Найдите высоту усеченного конуса h, если r 1 = 2 м, r 2 = 4 м, V = 84 м3.

  1. а) Пусть V, R соответственно объем и радиус шара. Найдите объем шара V, если R = 3 см.

б) Пусть V, d соответственно объем и диаметр шара. Найдите диаметр шара d, если V = см3.

в) Пусть V1, V 2 , V 3 соответственно объем шарового сегмента, объем шарового слоя, объем шарового сектора, R- радиус шара, h – высота шарового сегмента. Найдите V1, V 2 , V 3 , если R = 42 см и h = 15 см.











Контрольная работа №7 «Координаты и векторы». 1 вариант.

  1. В тетраэдре АВСD точки M,N и K - середины ребер АС, ВС и СD соответственно, АВ= 4 см, ВС= 6 см, ВD =8 см. Найдите длины векторов: hello_html_bd1e477.jpg

АВ, ВС, ВD, NM, ВN, NK.

  1. Упростите выражение : АВ + MN + ВС + СА + PQ + NM.

  2. Запишите разложение векторов по координатным векторам i, j, k:

а) а , б) b .

  1. Середина отрезка АВ точка М лежит на оси Ох.

Найдите m и n, если А( -3; m; 5 ), В(2; -1; n).

  1. а) Найдите угол между векторами а и b .

б) Даны векторы а , b , с . Найдите а b, ас, bс, ( а + b)с .

в) Даны векторы а , b , с . Найдите координаты векторов m = 3 b - 2а + с и n = 3с -2b + а.



Контрольная работа №7 «Координаты и векторы». 2 вариант.

  1. В тетраэдре АВСD точки M,N и K - середины ребер АС, ВС и СD соответственно, АВ = 6 см, ВС= 8 см, ВD = 12 см. Найдите длины векторов: hello_html_bd1e477.jpg

АВ, ВС, ВD, NM, ВN, NK.

  1. Упростите выражение : FP + QT + PR + RF + KL + TQ.

  2. Запишите разложение векторов по координатным векторам i, j, k:

а) с , б) d .

  1. Середина отрезка АВ точка М лежит на оси Ох.

Найдите m и n, если А( 0; m; n+1 ), В(1; n; - m+1).

  1. а) Найдите угол между векторами а и b .

б) Даны векторы а , b , с . Найдите а b, ас, bс, ( а + b)с .

в) Даны векторы а , b , с . Найдите координаты векторов m = 3 b - 2а + с и n = 3с - 2b + а.









Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "УМК для ОМД,1 КУРС (2013-2014)"

Получите профессию

Копирайтер

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ К-№8-14.docx

Контрольная работа №8 «Пропорция. Проценты». 1 вариант.

  1. Перевести в проценты число и наоборот:

а) 0,7, б) 1,7, в) 0,08, г) 6 %, д) 30 %, е) 142 %.

  1. а) В лагере отдыхало 200 детей, причем в 1 отряде - 30% от всего количества детей,

во 2 – 42,5 %, а в 3 – остальные. Сколько детей отдыхало в каждом отряде?

б) По списку должно было проголосовать 300 тыс. человек,

а проголосовало - 240 тыс. человек. Сколько процентов проголосовало?

  1. Решить пропорцию: а) , б) 2 : 3,4 = х : 17,



  1. Вычислить отношение: а) , б) ,



  1. а) Из 15 т руды получено 3 т меди. Сколько тонн меди получится из 20 т этой руды?

б) Все сваренное варенье разложили в 60 баночек вместимостью 350 мл.

Сколько для этого понадобилось бы баночек вместимостью 200 мл, 300 мл?

Какой вместимостью понадобилось бы баночки, если их было 50?

в) Из 5 ц молока получается 40 кг сыра.

Сколько центнеров молока потребуется для изготовления 80 кг сыра, 160 кг сыра?

Сколько килограммов сыра получится из 1 ц молока?

  1. Акциями предприятия владеют фирмы А,В,С.

Количество их акций находится в отношении 4:12:9 и составляет 75% от числа всех выпущенных акций. Остальными 400000 акций владеют работники этого предприятия.

Сколько акций имеет каждая из фирм?

















Контрольная работа №8 «Пропорция. Проценты». 2 вариант.

  1. Перевести в проценты число и наоборот:

а) 0,3, б) 2,3, в) 0,07, г) 2 %, д) 70 %, е) 105 %.

  1. а) В лагере отдыхало 1000 детей, причем в 1 отряде - 60% от всего количества детей,

во 2 – 32,5 %, а в 3 – остальные. Сколько детей отдыхало в каждом отряде?

б) В школе училось 600 детей, за 1 полугодие их число увеличилось и стало 660 детей.

Сколько процентов стало в школе учеников?

  1. Решить пропорцию: а) , б) 3 : 4,2 = у : 7,



  1. Вычислить отношение: а) , б) ,



  1. а) Чтобы выполнить заказ за 15 дней, мастерская должна шить по 12 курток в день. Сколько курток в день надо шить, чтобы выполнить заказ за 5 дней ?

б) Некоторое количество чая разложено в упаковки. Если вместимость упаковки 200 г, то их надо 70 шт.

Сколько штук надо упаковок , если вместимость упаковки 100 г, 400 г?

Какой вместимостью понадобились бы упаковки, если их было 20?

в) На ипподроме лошадь, пробегая по кругу 15 раз, преодолевает 24 км.

Сколько раз она пробегает по кругу, если она преодолевает 48 км, 8 км?

Сколько километров она преодолевает ,пробежав по кругу 25 раз?

  1. Акциями предприятия владеют фирмы А,В,С.

Количество их акций находится в отношении 4:12:9 и составляет 75% от числа всех выпущенных акций. Остальными 500000 акций владеют работники этого предприятия.

Сколько акций имеет каждая из фирм?













Контрольная работа №9 «Уравнения. Многочлены». 1 вариант.

  1. Упростить выражение, используя формулы сокращенного умножения:

а) ( х-3 )2, б) ( х+9 )2, в) ( 4х+3 )2 , г) ( 5х-7 )2, д) х2-625, е) ( х +14 ) ( х -14 ), ж) (5х +7 ) ( 5х -7 ),

з) -144х2 + 169 у2, и) 2252 - 2242, к) 3,52 – 3,42.

  1. Решить уравнения: а) 2х2 - 3х- 2 = 0, б) - х2 + х + 30 = 0.

  2. Решить систему уравнений: а) , б) ,

  • в) ,

  1. Решить систему неравенств: а) , б) ,

  • в)

  1. Вычислите координаты точек пересечения парабол у = 3х2 – 8х-2 и у = х2 + 22.









Контрольная работа №9 «Уравнения. Многочлены». 2 вариант.

  1. Упростить выражение, используя формулы сокращенного умножения:

а) ( х - 5 )2, б) ( х+1 )2, в) ( 5х+3 )2 , г) ( 3х-7 )2, д) х2-169, е) ( х +17 ) ( х -17 ), ж) (3х +7 ) ( 3х -7 ), з) -169х2 + 225 у2, и) 3252 - 3242, к) 7,92 – 7,82.

  1. Решить уравнения: а) 2х2 + 7х- 4 = 0, б) - х2 - х + 42 = 0.

  2. Решить систему уравнений: а) , б) ,

  • в) ,

  1. Решить систему неравенств: а) , б) ,

  • в)

  1. Вычислите координаты точек пересечения парабол у = 2х2 – 6х+3 и у = х2 - 2х.



















Контрольная работа №10 «Показательная и логарифмическая функции».

1 вариант.

  1. Решить уравнение: а) = 2, б) = 2, в)

  2. Решить уравнение: а) = 25, б)

  3. Решить неравенство: а) , б) ,

  4. Вычислить: а) , б) , в) ,

  5. Решить уравнение:

  6. Решить неравенства: а) б)













Контрольная работа №10 «Показательная и логарифмическая функции».

2 вариант.

  1. Решить уравнение: а) = 1, б) = 2, в)

  2. Решить уравнение: а) = 6, б)

  3. Решить неравенство: а) , б) ,

  4. Вычислить: а) , б) , в) ,

  5. Решить уравнение:

  6. Решить неравенства: а) б)









Контрольная работа №11 «Тригонометрические функции».

1 вариант.

  1. Вычислить: а) sin , б) cos , в) cos2sin2 , г) 2 sin cos , д) sin α = - 0.6, α 4 четв. , cos α = ? , tg α = ?,

  2. Вычислить: а) 2 arcsin + 3 arcsin( - ), б) arccos (-1) + arccos , в) sin(4 ), г) cos(6 arccos 1), д) sin(arcsin 0.3),

  3. Решить уравнение: а) (6 – cos x) ( 1- sin x) = 0, б) 6 cos2 x +7 cos x – 3 = 0, в) cos2 3x - cos 3x cos 5x = 0, г) 3sin2 x + sin x cos x – 2 cos2 x = 0,

  4. Найдите все корни уравнения, принадлежащие промежутку (0; 2) : а) tg х = 1, б) tg х = ;

  5. Найдите множество значений функции у= sin х, если х.

  6. Постройте график функции : а) у = 2sin х, б) у = 6 cos x.







Контрольная работа №11 «Тригонометрические функции».

2 вариант.

  1. Вычислить: а) sin , б) cos , в) cos2sin2 , г) 2 sin cos , д) sin α = 0.6, α 1 четв. , cos α = ? , tg α = ?,

  2. Вычислить: а) arcsin0 + 2 arcsin1,б) arccos 1 + arccos , в) sin(3 ), г) tg (4 ), д) cos (arccos 0.7),

  3. Решить уравнение: а) (6 – sinx) ( 1+ cos x) = 0, б) 3 sin2 x -5 sin x – 2 = 0, в) sin2 5xsin x sin 5x = 0, г) 2sin2 x + 3sin x cos x – 2 cos2 x = 0,

  4. Найдите все корни уравнения, принадлежащие промежутку (0; 2) : а) tg х = -1, б) tg х = ;

  5. Найдите множество значений функции у= cos х, если х.

  6. Постройте график функции : а) у = 2 cos х, б) у = 6 sin x.







Контрольная работа №12 «Производная».

1 вариант.

  1. Найдите производную функции:

а) у = 2х43+3х+4, б) у = (2х+3)8, в) у = (3х-2)-3, г) у = 6 ,

  1. Найдите производную функции:

а) у = 5 - 4 sinх, б) у = 3 cosх - 4, в) у = 6 х4 - 9, г) у = sin5х + cos (2х-3), д) у = - ,

  1. Найдите производную функции:

а) у = х2, б) у = (х+3) (х2-3), в) у = 2, г) у = , д) у = ,

  1. Найдите значение х , при котором производная функции равна нулю (у/ =0), для функции: а) у = 2х3 +3х2-36х+12, б) у = х2 +6х -20 ( х),

  2. Найдите значение х , при котором производная функции равна единице (у/ = 1), для функции: а) у = , б) у = .




Контрольная работа №12 «Производная».

2 вариант.

  1. Найдите производную функции:

а) у = 3х5-2х3+4х2 - 1, б) у = (4-3х)7, в) у = (1-4х)-5, г) у = - 8 ,

  1. Найдите производную функции:

а) у = 6 +7cos х, б) у = 2sinх - 5, в) у = 5 х3 - 2, г) у = sin(х-3) - , д) у =6 sin ,

  1. Найдите производную функции:

а) у = х2, б) у = (х - 4) (х2 + 4), в) у = 3, г) у = , д) у = ,

  1. Найдите значение х , при котором производная функции равна нулю ( у/ =0), для функции: а) у = 2х3 +12х2-30х+15, б) у = х2 +8х -42 ( х),

  2. Найдите значение х , при котором производная функции равна единице (у/ = 1), для функции: а) у = , б) у = .





Контрольная работа №13 «Применение производной».

1 вариант.

  1. Найдите интервалы возрастания и убывания функции:

а) у = х2 -14х +7, б) у = х4 - 2х2 +3 ,

  1. Найдите точки экстремума функции:

а) у = х2 - 4х +5, б) у = + ,

  1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:

а) у = х3 - 6 х2 +9х, х б) у = х4 - 2х2 +3, х ,

  1. а) Из всех прямоугольников с периметром Р= 24 см, найдите прямоугольник с наибольшей площадью.

б) Число 120 представить в виде суммы 2 чисел, сумма квадратов которых наименьшая.

  1. Построить график функции с исследованием: у = х2 -10х +25.







Контрольная работа №13 «Применение производной».

2 вариант.

  1. Найдите интервалы возрастания и убывания функции:

а) у = х2 +16х +9, б) у = х4 - 8х2 +5 ,

  1. Найдите точки экстремума функции:

а) у = х2 - 10х + 9, б) у = + ,

  1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:

а) у = х3 + 6 х2 +9х, х б) у = х4 - 8х2 +5,х ,

  1. а) Из всех прямоугольников с периметром Р= 16 см, найдите прямоугольник с наибольшей площадью.

б) Число 140 представить в виде суммы 2 чисел, сумма квадратов которых наименьшая.

  1. Построить график функции с исследованием: у = х2 - 8х +16.

















Контрольная работа №14 «Первообразная».

1 вариант.

  1. Покажите, что функция F(x) является первообразной для функции f(x): F(x) = + х3 - cos х , f(x) = 2 + 2 + sinх,

  2. Найдите одну из первообразных для функции f(x):

а) f(x) = 2 х5 - 3х2 +2, б) f(x) = 5 х4 +2 х3 – 6, в) f(x) = 6 х5 + 7 х6 -6х-4, г) f(x) = 5 cos х -4 sinх, д) f(x) = 6 - 3 + 2 cos х,

  1. Найдите все первообразные для функции f(x): а) f(x) = sin(3х + 5), б) f(x) = cos (2х -1), в) f(x) = , г) f(x) = ,

  2. Вычислите интегралы:

а) , б) , в),

  1. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) у = х2 +6х и осью ох , б) у = х2 +1 и у = 10 , в) у = , х=1,х=9, у=0.





Контрольная работа №14 «Первообразная».

2 вариант.

  1. Покажите, что функция F(x) является первообразной для функции f(x): F(x) = + х2 - sinх, f(x) = 3 + - cos х,

  2. Найдите одну из первообразных для функции f(x):

а) f(x) = 4х5 - 3х2 +5, б) f(x) = 10 х4 +4 х3 – 7, в) f(x) = 8 х7 - 5 х4 +10х- 6, г) f(x) = 3 cos х -2 sinх, д) f(x) = 7 - 5 + 4 cos х,

  1. Найдите все первообразные для функции f(x): а) f(x) = sin(4х + 3), б) f(x) = cos (8х -1), в) f(x) = , г) f(x) = ,

  2. Вычислите интегралы:

а) , б) , в),

  1. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) у = х2 +12х и осью ох , б) у = х2 +3 и у = 12 , в) у = , х=0, х=1, у=0.



Критерии оценивания контрольных работ для СПО :

А- на «3», В- на «4», С- на «5».

1 курс.

К-1 . А – 3 задания, В- 4 задания, С- 5 заданий.

К- 2 . А - № 1,2,4,5, В - № 1- 6, С - № 1- 7.

К- 3 . А - № 1,2,4, В - № 1- 4, С - № 1- 4, №5-на выбор 1 задача.

К- 4 . А - № 1,2,3(б),4(а), В - № 1- 4, С - № 1- 4, №5-на выбор 1 задача.

К- 5 . А – -№ 1(б, в, г ),2(а,б), 3(б,в), В – -№ 1 ,2(а-г), 3(а-в),4(а), С -№ 1- 3.

К- 6 . А – № 1- 3, 5(а, в),6(а), В –№ 1- 3, 4(а),5,6(а,б), С -№ 1- 6.

К- 7 . А – № 1- 3, В - № 1- 4, С- № 1- 5.

К- 8 . А - № 1- 4, В- № 1- 5, С-№ 1- 6.

К- 9 . А - № 1(а, в, д , е, и ),2, 3(а),4(а),

В - № 1(а,б, д , е, и,к ),2, 3(а,б),4(а),5, С - № 1- 5.

К- 10 . А – № 1 ,2 ,3(а),4 , В – № 1- 5, С - № 1- 6.

К- 11 . А – № 1(а,б),2 ,3(а,б),5, В – № 1- 4, 5 (а),6 (а), С - № 1- 6.

К- 12 . А – № 1(а,б,в),2 ,3(а),4(а), В – № 1,2,3(а,г),4, 5 (а), С - № 1- 5.

К- 13 . А – № 1(а),2(а),3(а),4(а), В – № 1- 4, С - № 1- 5.

К- 14 . А – № 1,2,3,4(а), В – № 1- 4, 5(б), С - № 1- 5.



Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "УМК для ОМД,1 КУРС (2013-2014)"

Получите профессию

Копирайтер

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ КР СПО.docx

Критерии оценивания контрольных работ для СПО :

А- на «3», В- на «4», С- на «5».

1 курс.

К-1 . А – 3 задания, В- 4 задания, С- 5 заданий.

К- 2 . А - № 1,2,4,5, В - № 1- 6, С - № 1- 7.

К- 3 . А - № 1,2,4, В - № 1- 4, С - № 1- 4, №5-на выбор 1 задача.

К- 4 . А - № 1,2,3(б),4(а), В - № 1- 4, С - № 1- 4, №5-на выбор 1 задача.

К- 5 . А – -№ 1(б, в, г ),2(а,б), 3(б,в), В – -№ 1 ,2(а-г), 3(а-в),4(а), С -№ 1- 3.

К- 6 . А – № 1- 3, 5(а, в),6(а), В –№ 1- 3, 4(а),5,6(а,б), С -№ 1- 6.

К- 7 . А – № 1- 3, В - № 1- 4, С- № 1- 5.

К- 8 . А - № 1- 4, В- № 1- 5, С-№ 1- 6.

К- 9 . А - № 1(а, в, д , е, и ),2, 3(а),4(а),

В - № 1(а,б, д , е, и,к ),2, 3(а,б),4(а),5, С - № 1- 5.

К- 10 . А – № 1 ,2 ,3(а),4 , В – № 1- 5, С - № 1- 6.

К- 11 . А – № 1(а,б),2 ,3(а,б),5, В – № 1- 4, 5 (а),6 (а), С - № 1- 6.

К- 12 . А – № 1(а,б,в),2 ,3(а),4(а), В – № 1,2,3(а,г),4, 5 (а), С - № 1- 5.

К- 13 . А – № 1(а),2(а),3(а),4(а), В – № 1- 4, С - № 1- 5.

К- 14 . А – № 1,2,3,4(а), В – № 1- 4, 5(б), С - № 1- 5.



Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "УМК для ОМД,1 КУРС (2013-2014)"

Получите профессию

Экскурсовод (гид)

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ Критерии оценивания зачетов для СПО.docx

Критерии оценивания зачетов для СПО :

А- на «3», В- на «4», С- на «5».

1 курс.

Зачет №1 А- 1 часть.№ 1,2,4, 2 часть. №1,2(а),3(а-г), В-1 часть, 2 часть--№ 1-4, С- 1 часть, 2 часть - № 1-5.

Зачет №2 А- 1 часть кратко №1-6, 2 часть - № 1-3, В- 1 часть, 2 часть - № 1-4, С-1 часть, 2 часть - № 1-5.

Зачет №3 А- , В- №1-8, С- №1-12. Зачет №4 А- , В- №1-4, С- №1-6.

Зачет №5 А- , В- №1-3,5, С- №1-5. Зачет №6 А- , В- №1-4, С- №1-5.





Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "УМК для ОМД,1 КУРС (2013-2014)"

Получите профессию

Методист-разработчик онлайн-курсов

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ Пояснительная записка к к.р,з,спо,омд.docx


Пояснительная записка

к контрольным работам и зачетам.

Учебная дисциплина: математика.


Назначение.

Оценка уровня освоения и качества подготовки обучающихся по учебной дисциплине для специальности :

150412 Обработка металлов давлением.


Контрольно-измерительные материалы разработаны в соответствии с требованиями федерального компонента государственного стандарта среднего (полного) общего

образования и рабочей программой по учебной дисциплине.


Содержание и структура заданий.

В содержание включены задания по наиболее значимому изученному материалу

дисциплины по следующим разделам:

  1. Алгебра и начала анализа.

  2. Геометрия.

Форма проведения: письменная

Время выполнения: 1-2 ч.

Критерии оценки: по количеству заданий, указаны в приложении.























Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "УМК для ОМД,1 КУРС (2013-2014)"

Получите профессию

Экскурсовод (гид)

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ зачет № 1.docx

Зачет №1 «Планиметрия». 1вариант.



1 часть.

Построить:

  1. Угол в 30°, 90°,120°, подписать вид угла;

  2. Остроугольный треугольник ;

  3. Высоту, медиану, биссектрису в треугольнике;

  4. Параллелограмм, ромб, квадрат, трапецию;

  5. Окружность;

2 часть.

  1. а) Дано: АВ= 12 см, АС = 8 см, СВ = ?,

б) Дано: ∟1 = 30°, ∟2 = 50°, ∟АВС = ?,

в) Дано: ∟1 : ∟2 = 2 : 5 , ∟АВС = 70°, ∟1 = ?, ∟2= ?,

  1. а) Дано: АВС – прямоугольный, а = 3 см, b = 4 см, с = ?,

б) Дано: АВС – прямоугольный, с = 15 см, а = 12 см, b = ?,

в) Дано: АВС – прямоугольный, а = 15 см, b = 3 см, с = ?,

  1. а) Дано: АВСD – прямоугольник, а = 2 см, b = 5 см. Найдите S.

б) Дано: АВСD – параллелограмм, а = 10 см, h = 5 см. Найдите S.

в) Дано: АВСD – ромб, d1 = 10 см, d2 = 3 см. Найдите S.

г) Дано: АВСD – трапеция, а = 10 см, b = 5 см, h = 4 см. Найдите S.

д) Дано: АВС, а = 15 см, b = 20 см, с = 25 см. Найдите S.

е) Дано: АВС, а = 10 см, b = 40 см, sin С = 0,5. Найдите S.

  1. Дано: правильный треугольник , n = 3, R = 3 см, Найдите r, а3, P , S.

  2. Дано: АВС, а = 14 см, b = 18 см, с = 20 см. Найдите ∟А, ∟В,∟С.













Зачет №1 «Планиметрия». 2 вариант.



1 часть.

Построить:

  1. Угол в 60°, 90°,150°, подписать вид угла;

  2. Тупоугольный треугольник ;

  3. Высоту, медиану, биссектрису в треугольнике;

  4. Параллелограмм, ромб, квадрат, трапецию;

  5. Окружность;

2 часть.

  1. а) Дано: АС= 3 см, СВ = 8 см, АВ = ?,

б) Дано: ∟1 = 20°, ∟АВС = 70°,∟2= ?,

в) Дано: ∟1 : ∟2 = 3 : 5 , ∟АВС = 80°, ∟1 = ?, ∟2= ?,

  1. а) Дано: АВС – прямоугольный, а = 6 см, b = 8 см, с = ?,

б) Дано: АВС – прямоугольный, с = 26 см, а = 10 см, b = ?,

в) Дано: АВС – прямоугольный, а = 16 см, b = см, с = ?,

  1. а) Дано: АВСD – прямоугольник, а = 4 см, b = 5 см. Найдите S.

б) Дано: АВСD – параллелограмм, а = 10 см, h = 2 см. Найдите S.

в) Дано: АВСD – ромб, d1 = 10 см, d2 = 5 см. Найдите S.

г) Дано: АВСD – трапеция, а = 12 см, b = 14 см, h = 7 см. Найдите S.

д) Дано: АВС, а = 18 см, b = 24 см, с = 30 см. Найдите S.

е) Дано: АВС, а = 20 см, b = 30 см, sin С = 0,5. Найдите S.

  1. Дано: правильный треугольник , n = 3, r = 2 см, Найдите R, а3, P , S.

  2. Дано: АВС, а = 21 см, b = 27 см, с = 30 см. Найдите ∟А, ∟В,∟С.













Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "УМК для ОМД,1 КУРС (2013-2014)"

Получите профессию

Экскурсовод (гид)

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ КТП ОМД (1КУРС).docx

Тематический план ( 11 гр. )


ТЕМА УРОКА

УРОВЕНЬ УСВОЕНИЯ

ТИП УРОКА

ОСНАЩЕНИЕ УРОКА

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

ВНЕАУДИТОРНАЯ САМ.РАБОТА

Коды форм. ОК

Параллельность прямых и плоскостей в пространстве.

 30 ч.

 ПР-12 ч.

 14 ч.


 

1-2) Введение. 

  Контрольная работа №1 «Нулевой срез».   

2

Урок контроля

Сборник заданий для 9 кл.Л.В.Кузнецова и др. Карточки-задания.

Конспект, задание в тетради




ОК-1

 

Повторение основных понятий планиметрии:

12 ч.


 


 

3-4)   Прямоугольные треугольники. Теорема Пифагора. Теорема косинусов, синусов.        



2

Повторительно-обобщающий

Стенд «Теорема Пифагора».

Карточки-задания. Таблицы Брадиса.

Конспект, задание в тетради

Составление опорного конспекта «Треугольники»



ОК-4

 

5-6)   ПР № 1

«Вычисление катетов, гипотенузы прямоугольного треугольника по теореме Пифагора. Решение треугольников ».




2

Урок закрепления

ЗУН

Стенд «Теорема Пифагора»

Конспект, задание в тетради

Типовой расчет по теме «Решение треугольников».





ОК-8

 

7-8)   Параллелограмм, ромб. Прямоугольник, квадрат, трапеция. Правильные многоугольники.   



2

Повторительно-обобщающий

Стенд «Четырехугольники».

Конспект, задание в тетради

 Составление опорного конспекта «Четырехугольники».




ОК-4

 

9-10)   ПР № 2 «Построение четырехугольников и вычисление их элементов. Вычисление элементов правильных многоугольников».



2

Урок закрепления

ЗУН

Стенд «Четырехугольники».

Конспект, задание в тетради

 




ОК-8

 

11-12)    Формулы площадей фигур. Окружность и круг. 



2

Повторительно-обобщающий

Карточки-задания

Конспект, задание в тетради




ОК-4


13-14)  ПР № 3 «Вычисление площадей фигур».

Зачет №1 «Планиметрия».


2

Урок закрепления

ЗУН

Карточки-задания

Конспект, задание в тетради

 Решение теста по теме «Планиметрия».




ОК-8

 

Аксиомы стереометрии:


2ч.

 

 

 

 

 

15-16)   Основные понятия стереометрии. Аксиомы стереометрии. Некоторые следствия из аксиом.




2

Усвоение новых знаний.

Учебник

«Геометрия

10-11 кл».

(Л.С. Анатосян)

§1-3,№11

 





ОК-5

 

Параллельность прямых и плоскостей в пространстве:

 14ч.

 

 


 

17-18)   Параллельность прямых.  Параллельность прямых и плоскостей.  



2

Усвоение новых знаний.

Учебник

«Геом. 10-11 кл».

(Л.С. Анатосян)

§4-6,№18(б)

Составление опорного конспекта «Параллельность прямых и плоскостей»



ОК-4

 

19-20)  ПР №4 «Построение параллельных прямых и расчет углов. Доказательство параллельности прямых и плоскостей».



2

Урок закрепления ЗУН.

Учебник

«Геом. 10-11 кл».

(Л.С. Анатосян). Карточки-задания.

§4-6

 



ОК-8

 

21-22)  Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между двумя прямыми. Параллельность плоскостей.



2

Усвоение новых знаний.

Учебник

«Геом. 10-11 кл».

(Л.С. Анатосян)

§7-9,№44,

§10-11




ОК-4

 

23-24)  ПР № 5 «Определение взаимного расположения прямых в пространстве. Построение параллельных плоскостей».



2

Урок закрепления ЗУН.

Учебник

«Геом. 10-11 кл».

(Л.С. Анатосян). Карточки-задания.

§7-9, §10-11

Типовой расчет по теме «Параллельность плоскостей».




ОК-8

 

25-26)  Тетраэдр и параллелепипед, их сечения. Параллельное проектирование.


2

Усвоение новых знаний.

Учебник

«Геом. 10-11 кл».

(Л.С. Анатосян)

§12-14,№73




ОК-2

 

27-28)  ПР №6 «Построение сечений тетраэдра и параллелепипеда. Изображение пространственных фигур».



2

Урок закрепления ЗУН.

Учебник

«Геом. 10-11 кл».

(Л.С. Анатосян). Карточки-задания.

с.169-174





ОК-8

 

29-30) Подготовка к контрольной работе. Контрольная работа №2 «Параллельность прямых и плоскостей».



2

Урок контроля

Карточки-задания

§1-14

Типовой расчет по теме «Параллельность прямых и плоскостей»




ОК-2

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве.

 16 ч.

 ПР-6 ч.

 10 ч.


 

31-32)     Перпендикулярность прямых. Перпендикулярность прямой и плоскости.


2

Усвоение новых знаний.

Учебник

«Геом. 10-11 кл».

(Л.С. Анатосян)

§15-18,№123

Составление опорного конспекта «Перпендикулярность прямых, прямой и плоскости» 



ОК-4

 

33-34) ПР № 7 «Перпендикулярность прямых. Перпендикулярность прямой и плоскости ».



2

Урок закрепления ЗУН.

Карточки-задания

§15-18





ОК-8

 

35-36) Перпендикуляр и наклонная.



2

Усвоение новых знаний.

Учебник

«Геом. 10-11 кл».

(Л.С. Анатосян)

§19-21,№140




ОК-2

 

37-38) Двугранный угол. Угол между плоскостями.


2

Усвоение новых знаний.

Учебник

«Геом. 10-11 кл».

(Л.С. Анатосян)

§22,№173




ОК-5

 

39-40) ПР № 8 «Вычисление перпендикуляра и наклонной. Вычисление угла между плоскостями».



2

Урок закрепления ЗУН.

Карточки-задания

§19-22

Типовой расчет по теме «Перпендикуляр и наклонная».




ОК-7

 

41-42) Перпендикулярность плоскостей. Прямоугольный параллелепипед.



2

Усвоение новых знаний.

Учебник

«Геом. 10-11 кл».

(Л.С. Анатосян)

§23-24,№187(б)

Составление опорного конспекта «Перпендикулярность плоскостей»



ОК-3

 

43-44) ПР №9 «Построение перпендикулярных плоскостей. Вычисление элементов прямоугольного параллелепипеда».



2

Урок закрепления

ЗУН

Учебник

«Геом. 10-11 кл».

(Л.С. Анатосян). Карточки-задания.

§19-24

Типовой расчет по теме «Прямоугольный параллелепипед».




ОК-8

 

45-46) Подготовка к контрольной работе. Контрольная работа №3 «Перпендикулярность прямых и плоскостей».



2

Урок контроля

Карточки-задания

§15-24

Решение теста по теме «Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве» 



ОК-3

Многогранники. Площадь их поверхностей.

 16ч.

ПР-6 ч. 

 10 ч.


 

47-48) Многогранники. Прямая и наклонная призмы. Правильная призма .



2

Усвоение новых знаний.

Учебник

«Геом. 10-11 кл».

(Л.С. Анатосян)

§25,27,№219




ОК-4

 

49-50) ПР № 10 «Построение многогранников. Вычисление элементов призмы».



2

Урок закрепления ЗУН.

Модель «Призма». Карточки-задания.

§25,27




ОК-2

 

51-52) Пирамида. Правильная пирамида. Усеченная пирамида.



2

Усвоение новых знаний.

Учебник

«Геом. 10-11 кл».

(Л.С. Анатосян)

§28-30,№243

Составление опорного конспекта «Виды пирамид»



ОК-4

 

53-54) ПР № 11 «Вычисление элементов пирамиды, правильной пирамиды, усеченной пирамиды».



2

Урок закрепления ЗУН.

Модель «Пирамида». Карточки-задания.

§28-30

Типовой расчет по теме «Пирамида».



ОК-2

 

55-56) Симметрия в пространстве. Правильные многогранники.



2

Усвоение новых знаний.

Учебник

«Геом. 10-11 кл».

(Л.С. Анатосян)

§ 31-32,№255

 Составление опорного конспекта «Правильные многогранники»



ОК-4

 

57-58) ПР № 12 «Вычисление элементов правильных многогранников. Построение фигур с помощью симметрии».


2

Урок закрепления ЗУН.

Учебник

«Геом. 10-11 кл».

(Л.С. Анатосян). Карточки-задания.

§31-32,

271

 

 Типовой расчет по теме «Усеченная пирамида».



ОК-2

 

59-60) Элементы симметрии правильных многогранников.



2

Усвоение новых знаний.

Учебник

«Геом. 10-11 кл».

(Л.С. Анатосян)

§33,№279




ОК-4

 

61-62) Подготовка к контрольной работе. Контрольная работа №4 «Многогранники».


2

Урок контроля

Карточки-задания.

§25-33

Решение теста по теме «Многогранники» 



ОК-8

Тела вращения. Площади их поверхностей.

22 ч.

ПР-10ч.

 10 ч.


 

63-64) Цилиндр. Площадь поверхности цилиндра.



2

Усвоение новых знаний.

Учебник

«Геом. 10-11 кл».

(Л.С. Анатосян)

§53-54,№524

Составление опорного конспекта «Цилиндр» 



ОК-6

 

65-66) ПР № 13 «Вычисление элементов цилиндра. Расчет по модели площади цилиндра».


2

Урок закрепления ЗУН.

Модель «Цилиндр». Карточки-задания.

§53-54,№535

Типовой расчет по теме «Цилиндр».



ОК-2

 

67-68) Конус. Площадь поверхности конуса. Усеченный конус.



2

Усвоение новых знаний.

Учебник

«Геом. 10-11 кл».

(Л.С. Анатосян)

§55-57,№547




ОК-3

 

69-70) ПР № 14 «Вычисление элементов конуса, усеченного конуса. Расчет по модели площади конуса ».


2

Урок закрепления ЗУН.

Модель

« Конус».

Карточки-задания.

§55-57




ОК-8

 

71-72) Сфера и шар. Уравнение сферы.



2

Усвоение новых знаний.

Учебник

«Геом. 10-11 кл».

(Л.С. Анатосян)

§58-59,№568

Типовой расчет по теме «Конус».



ОК-4

 

73-74) ПР № 15 «Вычисление элементов сферы. Составление уравнения сферы».


2

Урок закрепления ЗУН.

Карточки-задания.

§57-59

Типовой расчет по теме «Уравнение сферы».



ОК-8

 

75-76) Взаимное расположение сферы и плоскости. Касательная плоскость к сфере.



2

Усвоение новых знаний.

Учебник

«Геом. 10-11 кл».

(Л.С. Анатосян)

§60-61,

577




ОК-5

 

77-78) ПР № 16 «Вычисление элементов сферы. Касательная плоскость к сфере».


2

Урок закрепления ЗУН.

Модель

« Сфера».

Карточки-задания.

§60-61,

589(б)




ОК-2

 

79-80) Площадь сферы. Вписанные и описанные тела вращения.



2

Усвоение новых знаний.

Учебник

«Геом. 10-11 кл».

(Л.С. Анатосян). Карточки-задания.

§62,с.138,

593(г)




ОК-4

 

81-82) ПР № 17 «Вычисление площади сферы. Вычисление элементов тел вращения».



2

Урок закрепления ЗУН.

Учебник

«Геом. 10-11 кл».

(Л.С. Анатосян). Карточки-задания.

§53-62,

631(в)




ОК-2

 

83-84) Подготовка к контрольной работе. Контрольная работа №5

«Тела вращения».



2

Урок контроля

Карточки-задания.

§53-62

 Решение теста по теме «Тела вращения»



ОК-8

Объёмы тел.

26ч.

 ПР-12ч.

 

 

 16 ч.

 

85-86) Понятие объёма. Объём прямоугольного параллелепипеда.




2

Усвоение новых знаний.

Учебник, стенд «Объёмы тел».

§63,

647(б), §64,

648(в)




ОК-1

 

87-88) ПР № 18 «Расчет по модели объёма прямоугольного параллелепипеда».


2

Урок закрепления ЗУН.

Учебник, стенд «Объёмы тел», модель «Параллелепипед».

§63-64

Типовой расчет по теме «Объём прямоугольного параллелепипеда».



ОК-3

 

89-90) Объём прямой призмы. Объём наклонной призмы.




2

Усвоение новых знаний.

Учебник, стенд «Объёмы тел».

§65,68,

659(б)




ОК-6

 

91-92) ПР № 19 «Вычисление объёма прямой призмы. Расчет по модели объёма призмы ».


2

Урок закрепления ЗУН.

Учебник, стенд «Объёмы тел», модель «Призма». Карточки-задания.

§65,68

Типовой расчет по теме «Расчет объёма прямой и наклонной призмы»



ОК-3

 

93-94) Объём цилиндра. Объём пирамиды.


2

Усвоение новых знаний.

Учебник, стенд «Объёмы тел».

§66,69,

666(б)




ОК-8

 

95-96) ПР № 20 «Вычисление объёма цилиндра. Вычисление объёма пирамиды ».



2

Урок закрепления ЗУН.

Учебник, стенд «Объёмы тел».

§66,69

Типовой расчет по теме «Объём цилиндра».



ОК-2

 

97-98) Объём конуса и усеченного конуса.


2

Усвоение новых знаний.

Учебник, стенд «Объёмы тел».

§70,

701(а)




ОК-4

 

99-100) ПР № 21 «Расчет по модели объёма конуса».


2

Урок закрепления ЗУН.

Учебник, стенд «Объёмы тел». Модель « Конус».

Карточки-задания.

§66-70

Типовой расчет по теме «Объём конуса».



ОК-3

 

101-102)  Объём шара. Объём сегмента, слоя, сектора шара.


2

Усвоение новых знаний.

Учебник, стенд «Объёмы тел».

§71-72,

710(в)

  



ОК-4

 

103-104) ПР № 22 «Вычисление объёма шара. Расчет объёмов сегмента, слоя, сектора шара».



2

Урок закрепления ЗУН.

Учебник, стенд «Объёмы тел», Карточки-задания.

§71-72

Типовой расчет по теме «Объём сегмента, слоя, сектора шара».



ОК-8

 

105-106)  Решение задач по теме: «Объём цилиндра». Решение задач по теме:

«Объём конуса».


2

Урок закрепления ЗУН.

Учебник, стенд «Объёмы тел». Карточки-задания.

§63-72,№713

 Составление опорного конспекта «Расчет объёмов тел»





ОК-5

 

107-108) ПР № 23 «Вычисление объёма цилиндра. Вычисление объёма конуса. Вычисление объёмов тел».




2

Урок закрепления ЗУН.

Учебник, стенд «Объёмы тел». Карточки-задания.

§72

Решение теста по теме «Объёмы тел»



ОК-2

 

109-110)  Подготовка к контрольной работе. Контрольная работа №6 «Объёмы тел ».


2

Урок контроля

Карточки-задания.

§63-72

 Составление кроссворда по теме «Тела вращения»



ОК-8

Координаты и векторы.


18 ч.

 ПР-6 ч.

 

 

 10 ч.

 

111-112)  Понятие вектора. Равенство векторов. Сложение и вычитание векторов.



2

Усвоение новых знаний.

Учебник

«Геом. 10-11 кл».

(Л.С. Анатосян)

§34-37, №322(в)




ОК-4


113-114) ПР №24 « Понятие вектора. Равенство векторов . Сложение и вычитание векторов».



2

Урок закрепления ЗУН.

Учебник

«Геом. 10-11 кл».

(Л.С. Анатосян). Карточки-задания.

§34-37,№327(д)




ОК-2

 

115-116)  Умножение вектора на число. Компланарные векторы.



2

Усвоение новых знаний.

Учебник

«Геом. 10-11 кл».

(Л.С. Анатосян)

§38-41,№349

Составление опорного конспекта «Умножение вектора на число» 



ОК-4


117-118)  Прямоугольная система координат в пространстве. Координаты вектора.



2

Усвоение новых знаний.

Учебник

«Геом. 10-11 кл».

(Л.С. Анатосян)

§42-44,;№410

  Составление опорного конспекта «Прямоугольная система координат в пространстве»



ОК-5


119-120) ПР № 25 «Умножение вектора на число.

Вычисление координат векторов».



2

Урок закрепления ЗУН.

Учебник

«Геом. 10-11 кл».

(Л.С. Анатосян). Карточки-задания.

§42-44





ОК-2

 

121-122)  Простейшие задачи в координатах.



2

Усвоение новых знаний.

Учебник

«Геом. 10-11 кл».

(Л.С. Анатосян)

§45,№427




ОК-5

 

123-124) ПР № 26 « Решение задач в координатах».



2

Урок закрепления ЗУН.

Учебник

«Геом. 10-11 кл».

(Л.С. Анатосян). Карточки-задания.

§45

Типовой расчет по теме «Простейшие задачи в координатах».



ОК-2

 

125-126)  Угол между векторами. Скалярное произведение векторов.



2

Усвоение новых знаний.

Учебник

«Геом. 10-11 кл».

(Л.С. Анатосян)

§46- 48,№445

Типовой расчет по теме «Скалярное произведение векторов».



ОК-4

 

127-128) 

Контрольная работа №7

« Координаты и векторы». Зачет №2 « Стереометрия».



2

Контрольно-проверочный.

Карточки-задания, билеты.

§1-72

Решение теста по теме «Координаты и векторы» 



ОК-5

Развитие понятия о числе. Функции.

 30 ч.

 ПР-12 ч.

 

10 ч.



129-130)           Целые числа. Рациональные числа.



2

Повторительно-обобщающий

Карточки-задания.

Конспект, задание в тетради

 



ОК-1


131-132) ПР № 27 «Целые и рациональные числа. Техника умножения и деления чисел».



2

Урок закрепления ЗУН

Карточки-задания.

Конспект, задание в тетради




ОК-4


133-134)  Модуль числа. Сравнение чисел. Степень числа и ее свойства.



2

Повторительно-обобщающий

Карточки-задания.

Конспект, задание в тетради

Составление опорного конспекта « Степень числа и ее свойства»



ОК-2


135-136) ПР № 28  « Степень числа и ее свойства».



2

Урок закрепления ЗУН

Таблица «Степень числа», карточки.

Конспект, задание в тетради




ОК-4


137-138) Пропорция. Основное свойство пропорции.  Прямая и обратная пропорциональная зависимость величин.        




2

Повторительно-обобщающий


Таблица

«Пропорция», карточки.

Конспект, задание в тетради

 Составление опорного конспекта «Пропорция»






ОК-2


139-140) ПР № 29 «Решение пропорций. Решение задач с помощью пропорций».



2

Урок закрепления ЗУН

Таблица

«Пропорция», карточки.

Конспект, задание в тетради




ОК-4


141-142)   Квадратные корни и их преобразование. Проценты.


2

Повторительно-обобщающий

Таблица квадратов чисел, карточки.

Конспект, задание в тетради




ОК-8


143-144) ПР № 30 «Вычисление квадратных корней. Решение задач на проценты».     


2

Урок закрепления ЗУН

Таблица квадратов чисел, карточки.

Конспект, задание в тетради




ОК-6


145-146) Подготовка к контрольной работе. Контрольная работа №8 «Пропорция. Проценты ».


2

Урок контроля

Таблица

«Пропорция», карточки.

Конспект, задание в тетради




ОК-4


147-148) 

Уравнения. Неравенства.


2

Повторительно-обобщающий

Таблица «Уравнения», карточки.

Конспект, задание в тетради





ОК-2


149-150) ПР № 31 «Решение квадратных уравнений . Решение неравенств ».   


2

Урок закрепления

ЗУН

Таблица «Уравнения», карточки.

Заполнить таблицу

Решение криптограмм по теме «Уравнения»



ОК-4


151-152)  Решение систем уравнений и неравенств. Формулы сокращенного умножения.




2

Повторительно-обобщающий





Таблица «Решение систем уравнений и неравенств», карточки.



Задание в тетради









ОК-8


153-154) ПР № 32   « Решение систем уравнений и неравенств. Вычисления по  формулам сокращенного умножения».



2

Урок закрепления

ЗУН

Таблица «Формулы сокращенного умножения», карточки.

Задание в тетради

Типовой расчет по теме

«Решение систем уравнений и неравенств»



ОК-4


155-156)  Функция, график и её свойства. Способы задания функций. Область определения и множество значений функции.




2

Повторительно-обобщающий

Стенд «Графики функций».

Задание в тетради

Составление опорного конспекта «Функция, график и её свойства»



ОК-2


157-158)  Подготовка к контрольной работе. Контрольная работа №9 «Уравнения. Многочлены».


2

Урок контроля

Карточки-задания.




ОК-8

Обобщение понятия степени.

ПР-2ч

 Учебник: Алгебра и начала анализа 10-11 кл. Ш.Алимов и др.



159-160) Понятие о корне n-й степени. Степень с рациональным, действительным показателем, ее свойства.        



2

 Усвоение новых знаний

 Таблица

«Степень числа»,

карточки

§4,5,№34

Решение теста по теме «Степень с рациональным, действительным показателем, ее свойства»



ОК-4


161-162)  Свойства и график степенной функции

Иррациональные уравнения.       



2

 Усвоение новых знаний

 Учебник, черт.инструмент.

§6,9,№158(2)

Составление опорного конспекта «Свойства и график степенной функции» 



ОК-5


163-164) ПР № 33 «Решение иррациональных уравнений».         



2

 Урок закрепления ЗУН

 Карточки-задания.

§9

Типовой расчет по теме «Иррациональные уравнения». 



ОК-2

Показательная и логарифмическая функции.

18ч 

ПР-6ч

10ч



165-166)  Показательная функция, ее свойства и график. Показательные уравнения. Показательные неравенства.



2

 Усвоение новых знаний




Учебник, таблица «Степень числа», черт.инструмент. 



§11-13,

212(2) 



 Составление опорного конспекта «Показательная функция, ее свойства и график»



ОК-4




167-168) ПР № 34 «Решение показательных уравнений и неравенств». 




2

 Урок закрепления ЗУН

Таблица «Степень числа»,

карточки  

§11-13,№212(2)

 

Типовой расчет по теме «Решение показательных и логарифмических уравнений». 





ОК-2


169-170)   Зачет №3 «Показательная функция».


2

 Контрольно-проверочный

Таблица

«Степень числа»,

карточки  

§11-13,№214(2)




ОК-8


171-172) Логарифм числа и его свойства. Логарифмическая функция, её свойства и график.


2

 Усвоение новых знаний

 Учебник .Таблица «Степень числа»,

карточки 

§15-18,№274

 Составление опорного конспекта «Логарифмическая функция, ее свойства и график»



ОК-4


173-174)     ПР № 35 «Вычисление логарифмов».  

2

 Урок закрепления ЗУН

 Таблица «Степень числа»,

Карточки. 

§ 15-18

 



ОК-2


175-176) Логарифмические уравнения. Логарифмические неравенства.  


2

 Усвоение новых знаний

Учебник, таблица «Степень числа»

§19-20,№337

 



ОК-4


177-178)   ПР № 36 «Решение логарифмических уравнений и неравенств ». 



2

 Урок закрепления ЗУН

Таблица

«Степень числа»,

карточки  

§19-20





ОК-2


179-180) Системы показательных и логарифмических уравнений.   



2

 Усвоение новых знаний

Учебник, карточки. 

§14,№241

Типовой расчет по теме «Решение логарифмических уравнений и неравенств» 



ОК-5



181-182)    Подготовка к контрольной работе.  

Контрольная работа №10 «Показательная и логарифмическая функции».    




2

 Урок контроля.





Таблица

«Степень числа»,

Карточки.



  

§4-20





Решение теста по теме «Показательная и логарифмическая функции».







ОК-8

Преобразование тригонометрических выражений.

 14ч

ПР-6ч



183-184)   Соотношения между радианной и градусной мерой угла.  Синус, косинус, тангенс числового аргумента, их знаки.


2

 Усвоение новых знаний

 Учебник, таблица «Значения тригонометрических функций». 

§21-25,№458

 Составление опорного конспекта «Синус, косинус, тангенс числового аргумента, их знаки» 



ОК-4


185-186) ПР № 37 « Перевод из одной меры угла в другую. Вычисление синуса, косинуса, тангенса угла ». 


2

 Урок закрепления ЗУН

Учебник, таблица «Значения тригонометрических функций», карточки. 

§21-25 




ОК-2


187-188)  Тригонометрические тождества. Синус, косинус и тангенс углов α и - α . Формулы сложения.  


2

 Усвоение новых знаний

Учебник. Стенд «Тригонометрия».

§26-28, №485 

Составление опорного конспекта «Преобразование тригонометрических выражений»





ОК-3


189-190) ПР № 38 «Вычисление синуса, косинуса, тангенса углов α и - α. Вычисление значения тригонометрических функций по формулам сложения ». 


2

 Урок закрепления ЗУН

 Стенд «Тригонометрия», таблица «Значения тригонометрических функций», карточки. 

§26-28

 

 

Типовой расчет по теме «Формулы сложения». 




ОК-2


191-192) Синус, косинус и тангенс двойного и половинного угла. Формулы приведения.


2

 Усвоение новых знаний

Учебник. Стенд «Тригонометрия».

§29-31,№500



ОК-4


193-194) ПР №39 «Вычисление значения тригонометрических функций двойного и половинного угла ». 


2

 Урок закрепления ЗУН

 Стенд «Тригонометрия», таблица «Значения тригонометрических функций», карточки. 

§29-32

Типовой расчет по теме «Синус, косинус и тангенс двойного и половинного угла»




ОК-2


195-196) Сумма и разность синусов и косинусов.

Зачет №4

« Тригонометрические преобразования».



2

 Усвоение новых знаний.


Контрольно-проверочный.

 Стенд «Тригонометрия», таблица «Значения тригонометрических функций», карточки. 

§21-32





ОК-4

Решение тригонометрических уравнений.

 14ч

ПР-6ч



197-198)

Уравнение cos x = a. Уравнение sin x = a.

Уравнение tg x = a.


2

Усвоение новых знаний

 Учебник, таблица «Решение тригонометрических уравнений». 

§33-35,№572 

 



ОК-4


199-200) ПР № 40

« Решение уравнений

cos x = a, sin x = a, tg x = a ».


2

 Урок закрепления ЗУН

Учебник, таблица «Решение тригонометрических уравнений». 

§33-35




ОК-2


201-202) Решение тригонометрических уравнений заменой переменной.


2

 Усвоение новых знаний

Учебник, таблица «Решение тригонометрических уравнений». 

§36,№620(3)

 



ОК-5


203-204) ПР № 41 «Решение тригонометрических уравнений заменой переменной».



2

 Урок закрепления ЗУН

Стенд «Тригонометрия»,

карточки  

§36

Типовой расчет по теме «Решение простейших тригонометрических уравнений». 





ОК-2


205-206) Решение тригонометрических уравнений способом деления.




2

 Усвоение новых знаний

Учебник, таблица «Решение тригонометрических уравнений». 

§36, №636(1,2)





ОК-4


207-208) ПР № 42 « Решение тригонометрических уравнений способом деления» .



2

 Урок закрепления ЗУН

Стенд «Тригонометрия»,

карточки  

§36-37

Типовой расчет по теме «Решение тригонометрических уравнений»





ОК-2


209-210) Простейшие тригонометрические неравенства.

Зачет №5 «Решение тригонометрических уравнений».


2

Усвоение новых знаний.


Контрольно-проверочный.


Стенд «Тригонометрия», таблица «Решение тригонометрических уравнений». карточки  

§33-37

Решение теста по теме «Решение тригонометрических уравнений»





ОК-8

Свойства и график тригонометрических функций. 

 12ч

ПР-4ч




211-212) Область определения и множество значений тригонометрических функций.



2

 Усвоение новых знаний

Учебник, таблица «Значения тригонометрических функций». 

§38,№691(3)






ОК-4


213-214) Четность, нечетность, периодичность тригонометрических функций.




2

 Усвоение новых знаний

Учебник, таблица «Значения тригонометрических функций». 

§39,№700

Типовой расчет по теме «Область определения и множество значений тригонометрических функций».





ОК-5


215-216) ПР № 43 «Вычисление множества значений тригонометрических функций по формулам».


2

 Урок закрепления ЗУН

Учебник, таблица «Значения тригонометрических функций», карточки. 

§38-39

 




ОК-2


217-218) Свойства и график функций у= cos x и у= sin x, у= tg x. Свойства и график обратных тригонометрических функций.




2

 Усвоение новых знаний

Учебник, таблица «Значения тригонометрических функций». 

 §40-43, №730 

Составление опорного конспекта «Свойства и график функций у= cos x,

у= sin x, у= tg x»




ОК-5


219-220) ПР № 44 «Построение графиков тригонометрических функций».



2

 Урок закрепления ЗУН

Учебник, таблица «Значения тригонометрических функций», карточки. 

§40 -43





ОК-2



221-222) Подготовка к контрольной работе.       Контрольная работа №11 «Тригонометрические функции».





2

 Урок контроля

Учебник, таблица «Значения тригонометрических функций», карточки. 







§21-43

Решение теста по теме «Свойства и график тригонометрических функций» 




ОК-8

Производная.

14ч

ПР-4ч

 

 


223-224) Последовательности. Производная. Производная степенной функции.


2

Усвоение новых знаний

Учебник, таблица «Производная».  

§44-45,№787

 



ОК-4


225-226) Правила дифференцирования.


2

 Усвоение новых знаний

Учебник, таблица «Производная».  

§46,№802

Составление опорного конспекта «Правила дифференцирования»



ОК-5


227-228) Правила дифференцирования.


2

 Урок закрепления ЗУН

Учебник, таблица  «Производная». 

§46,№810(1)




ОК-3


229-230) ПР № 45 «Вычисление производных по правилам дифференцирования».


2

 Урок закрепления ЗУН

Таблица «Производная»,

карточки 

§46

 

Типовой расчет по теме «Правила дифференцирования». 



ОК-2


231-232) Производные некоторых элементарных функций.


2

 Усвоение новых знаний

Учебник, таблица «Производная».  

 §47,№831





ОК-4


233-234) ПР № 46 «Вычисление производных элементарных функций».



2

 Урок закрепления ЗУН

Таблица «Производная»,

карточки 

 §47




ОК-2


235-236) Подготовка к контрольной работе.      

Контрольная работа №12

« Производная ».




2

 Урок контроля

Таблица «Производная»,

карточки  



§44-47

Типовой расчет по теме «Производная»



ОК-8

Геометрический смысл производной. Применение производной к исследованию функций.

 22ч

ПР-10ч



237-238) Геометрический смысл производной. Уравнение касательной к графику функции.


2

 Усвоение новых знаний

 Учебник, карточки

 

§48,№857(4)

 

Составление опорного конспекта «Геометрический смысл производной»



ОК-4


239-240) ПР № 47

«Вычисление угловых коэффициентов. Составление уравнения касательной к графику функции».


2

 Урок закрепления ЗУН

 Учебник, карточки

§48






ОК-2


241-242) Метод интервалов. Признак возрастания и убывания функции. Экстремумы функции.


2

 Усвоение новых знаний

 Лекция. Учебник, карточки

§49-50,№900(8)

  Составление опорного конспекта «Метод интервалов»



ОК-5


243-244) ПР № 48 «Решение неравенств с помощью метода интервалов. Определить промежутки возрастания и убывания функции. Нахождение экстремумов функции».




2

 Урок закрепления ЗУН

Лекция. Учебник, карточки

§49-50,№912(2)

Типовой расчет по теме «Экстремумы функции». 



ОК-2


245-246) Применение производной к построению графиков функций.


2

 Усвоение новых знаний

Учебник, карточки

§51,№925




ОК-5


247-248) ПР № 49

«Построение графиков функций с использованием производной ».


2

 Урок закрепления ЗУН

 Карточки-задания

§51 

 



ОК-2


249-250) Нахождения наибольшего и наименьшего значения функции.


2

 Усвоение новых знаний

 Учебник, карточки

§ 52,№937(2)

 



ОК-4


251-252) ПР № 50 «Нахождения наибольшего и наименьшего значения функции».


2

 Урок закрепления ЗУН

 Карточки-задания

§52

 



ОК-2


253-254) Нахождения наибольшего и наименьшего значения функции в текстовых задачах. Вторая производная.




2

 Усвоение новых знаний

 Учебник, карточки

§52-53,№941

 

Типовой расчет по теме «Нахождения наибольшего и наименьшего значения функции ». 



ОК-4


255-256) ПР № 51 «Нахождения наибольшего и наименьшего значения функции в задачах».


2

Урок закрепления ЗУН

 Карточки-задания

§52-53

 



ОК-2


257-258) Подготовка к контрольной работе.       Контрольная работа №13 «Применение производной ».



2

Урок контроля

Карточки-задания





§48-53



ОК-8

Первообразная.

10ч

ПР-4ч

 

 


259-260)  Первообразная. Правила нахождения первообразных.



2

 Усвоение новых знаний

Учебник, таблица  «Первообразная». 

§54-55,№985

Составление опорного конспекта «Первообразная»



ОК-4


261-262) ПР № 52 «Вычисление первообразных элементарных функций».



2

Урок закрепления ЗУН 

 Таблица «Первообразная»,

карточки 

§55,№991




ОК-2


263-264)  Площадь криволинейной трапеции и интеграл. Вычисление интегралов. Вычисление площадей с помощью интегралов.




2

 Усвоение новых знаний

 Учебник, таблица  «Первообразная».

§56-58,

1004(1-4)

 

Типовой расчет по теме «Вычисление площадей с помощью интегралов». 



ОК-5


265-266) ПР № 53 «Вычисление интегралов. Вычисление площадей с помощью интегралов ».



2

 Урок закрепления ЗУН

 Карточки-задания

§56-59

 



ОК-2


267-268) Применение производной к решению практических задач. Контрольная работа №14 «Первообразная ».



2

Урок закрепления ЗУН.


Урок контроля

 Карточки-задания

§53-59

Решение теста по теме «Первообразная»



ОК-8

Элементы комбинаторики и теории вероятностей.

 10ч

ПР-4ч




269-270) Основные понятия комбинаторики. Задачи на подсчет числа размещений, перестановок, сочетаний. Задачи на перебор вариантов. Формула бинома Ньютона.




2

 Усвоение новых знаний

Лекция, карточки-задания

Задание в тетради

Составление опорного конспекта «Основные понятия комбинаторики»







ОК-5


271-272) ПР № 54 «Решение задач на подсчет числа размещений, перестановок, сочетаний. Решение задач на перебор вариантов».




2

 Урок закрепления ЗУН

Лекция, карточки-задания

Задание в тетради

 



ОК-2



273-274)  Событие, вероятность наступления события. Сложение и умножение вероятностей. Дискретная случайная величина, ее числовые характеристики.




2

 Урок закрепления ЗУН

Лекция, карточки-задания

Задание в тетради

Типовой расчет по теме «Элементы комбинаторики и теории вероятностей»



ОК-5



275-276)  ПР № 55 «Вычисление числовых характеристик дискретной случайной величины».



2

 Урок закрепления ЗУН


Лекция, карточки-задания



Задание в тетради






ОК-2


277-278) Представление данных, генеральная совокупность, выборка, среднее арифметическое, медиана.

Зачет №6 «Элементы комбинаторики и теории вероятностей».




2

Усвоение новых знаний.


Контрольно-проверочный


Лекция, карточки-задания


Решение теста по теме «Элементы комбинаторики и теории вероятностей»



ОК-4

Обобщающее повторение.

12ч

ПР-10ч

 

 


279-280) ПР № 56 «Решение показательных уравнений и неравенств ».


2

 Урок закрепления ЗУН

 Карточки-задания

 1142(1)



ОК-2


281-282) ПР № 57 «Решение логарифмических уравнений и неравенств ».


2

 Урок закрепления ЗУН

 Карточки-задания

1165(1)

 



ОК-4


283-284)  ПР № 58 «Решение тригонометрических уравнений».


2

 Урок закрепления ЗУН

 Карточки-задания

1178(1)

 



ОК-8


285-286)  ПР № 59 «Решение систем уравнений и неравенств».


2

 Урок закрепления ЗУН

 Карточки-задания

1241(1)

 Составление кроссворда по теме «Алгебра и начала анализа»



ОК-2


287-288)  ПР № 60 «Применение производной».


2

 Урок закрепления ЗУН

Карточки-задания 

1358(3)

 



ОК-4


289-290)  Итоги изученного.


2

Повторительно-обобщающий

Карточки-задания




ОК-5


Итого практ.работ

120

 

 

 

 



Итого часов:

290

 

 

 

 143










Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "УМК для ОМД,1 КУРС (2013-2014)"

Получите профессию

Копирайтер

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ МЕТОД.УК-Я К ВСР -ОМД,1 курс.docx


ГБОУ СПО (ССУЗ) «Чебаркульский профессиональный техникум»













Методические указания

к выполнению внеаудиторной самостоятельной работы обучающихся

по дисциплине Математика

для специальности 150412 Обработка металлов давлением.













2013


Рассмотрено и одобрено на заседании ПЦК

Протокол № ___ от___________20__г.

Председатель ПЦК __________________________


Составлены в соответствии с программой дисциплины Математика для специальности

150412 Обработка металлов давлением.








Составитель: Зайцева С.Е., преподаватель





Пояснительная записка


Цель методических указаний: оказание помощи обучающимся в выполнении внеаудиторной самостоятельной работы по дисциплине Математика.

Настоящие методические указания содержат работы, которые позволят обучающимся самостоятельно овладеть профессиональными знаниями и умениями, опытом творческой деятельности при решении проблем учебного и профессионального уровня и направлены на формирование следующих компетенций:

ОК 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей

профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые

методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их

эффективность и качество.

ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных

ситуациях и нести за них ответственность.

ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации,

необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач,

профессионального и личностного развития.

ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии

в профессиональной деятельности.

ОК 6. Работать в коллективе и команде, эффективно общаться

с коллегами, руководством, потребителями.

ОК 7. Брать на себя ответственность за работу членов команды

(подчиненных), результат выполнения заданий.

ОК 8. Самостоятельно определять задачи профессионального и

личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно

планировать повышение квалификации.

ОК 9. Ориентироваться в условиях частой смены технологий

в профессиональной деятельности.

ОК 10. Исполнять воинскую обязанность, в том числе с применением

полученных профессиональных знаний (для юношей).

В результате выполнения самостоятельных работ по дисциплине Математика обучающиеся должны:

уметь:

    • Выполнять арифметические действия, сочетая устные и письменные приемы, применение вычислительных устройств;

    • Решать уравнения и неравенства (линейные, квадратные);

    • Вычислять значения числовых и буквенных выражений, осуществляя необходимые подстановки и преобразования;

    • Находить значения корня натуральной степени, степени с рациональным показателем, логарифма, используя при необходимости вычислительные устройства;

    • Проводить по формулам и правилам преобразования буквенных выражений, включающих степени, радикалы, логарифмы, тригонометрические функции;

    • Строить графики изученных функций;

    • Решать показательные и логарифмические уравнения и неравенства; простейшие иррациональные и тригонометрические уравнения;

    • Вычислять производные и первообразные элементарных функций, используя справочные материалы;

    • Исследовать в простейших случаях функции на монотонность, находить наибольшие и наименьшие значения функций; строить графики многочленов с использованием аппарата математического анализа;

    • Распознавать на чертежах и моделях пространственные формы; соотносить объекты с их описаниями, изображениями;

    • Описывать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве ;

    • Изображать основные многогранники и круглые тела;

    • Решать планиметрические и простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов);

    • Использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы;

    • Решать простейшие комбинаторные задачи методом перебора, а также с использованием формул;

    • Вычислять в простейших случаях вероятности событий на основе подсчета числа исходов;

    • Использовать приобретенные знания и умения для анализа числовых данных, представленных в виде таблиц, диаграмм;

знать:

    • Выполнение арифметических действий, сочетая устные и письменные приемы, применение вычислительных устройств;

    • Решение уравнений и неравенств (линейных, квадратных);

    • Вычисление значений числовых и буквенных выражений, осуществляя необходимые подстановки и преобразования;

    • Нахождение значений корня натуральной степени, степени с рациональным показателем, логарифма, используя при необходимости вычислительные устройства;

    • Преобразования буквенных выражений, включающих степени, радикалы, логарифмы, тригонометрические функции;

    • Построение графиков изученных функций;

    • Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств; простейших иррациональных и тригонометрических уравнений;

    • Вычисление производных и первообразных элементарных функций, используя справочные материалы;

    • Исследование в простейших случаях функций на монотонность, нахождение наибольших и наименьших значений функций; построение графиков многочленов с использованием аппарата математического анализа;

    • Вычисление в простейших случаях площадей и объемов с использованием определенного интеграла;

    • Распознавание на чертежах и моделях пространственных форм; соотношение объектов с их описанием, изображением;

    • Описание взаимного расположения прямых и плоскостей в пространстве ;

    • Изображение основных многогранников и круглых тел ;

    • Решение планиметрических и простейших стереометрических задач на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов);

    • Использование при решении стереометрических задач планиметрических фактов и методов;

  • Решение простейших комбинаторных задач методом перебора, а также с использованием формул;

  • Вычисление в простейших случаях вероятности событий на основе подсчета числа исходов;

  • Использование приобретенных знаний и умений для анализа числовых данных, представленных в виде таблиц, диаграмм;

  • Значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике; широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе;

  • Значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии;

  • Универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности;

Описание каждой самостоятельной работы содержит: тему, цели работы, задания, основной теоретический материал, алгоритм выполнения типовых задач, порядок выполнения работы, формы контроля, требования к выполнению и оформлению заданий.




Перечень видов самостоятельной работы


темы

Вид самостоятельной работы

работы

Кол-во часов

Форма контроля

Тема1.

Параллельность

прямых и плоскостей в пространстве.

  1. Составление опорного конспекта «Треугольники».

  2. Типовой расчет по теме «Решение треугольников».

  3. Составление опорного конспекта «Четырехугольники».

  4. Решение теста по теме «Планиметрия».

  5. Составление опорного конспекта «Параллельность прямых и плоскостей».

  6. Типовой расчет по теме «Параллельность плоскостей».

  7. Типовой расчет по теме «Параллельность прямых и плоскостей».

1-7

14

Таблица в тетради, просмотр работы, оценка

Тема 2.

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве.

  1. Составление опорного конспекта «Перпендикулярность прямых, прямой и плоскости». 

  2. Типовой расчет по теме «Перпендикуляр и наклонная».

  3. Составление опорного конспекта «Перпендикулярность плоскостей».

  4. Типовой расчет по теме «Прямоугольный параллелепипед».

  5. Решение теста по теме «Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве» .

8-12

10

Таблица в тетради, просмотр работы, оценка

Тема 3.

Многогранники. Площадь их поверхностей.

  1. Составление опорного конспекта «Виды пирамид».

  2. Типовой расчет по теме «Пирамида».

  3. Составление опорного конспекта «Правильные многогранники».

  4. Типовой расчет по теме «Усеченная пирамида».

  5. Решение теста по теме «Многогранники». 

13-17

10

Таблица в тетради, просмотр работы, оценка

Тема 4.

Тела вращения. Площади их поверхностей.

  1. Составление опорного конспекта «Цилиндр» .

  2. Типовой расчет по теме «Цилиндр».

  3. Типовой расчет по теме «Конус».

  4. Типовой расчет по теме «Уравнение сферы».

  5. Решение теста по теме «Тела вращения».

18-22

10

Просмотр работы, оценка

Тема 5.

Объёмы тел.

  1. Типовой расчет по теме «Объём прямоугольного параллелепипеда».

  2. Типовой расчет по теме «Расчет объёма прямой и наклонной призмы».

  3. Типовой расчет по теме «Объём цилиндра».

  4. Типовой расчет по теме «Объём конуса».

  5. Типовой расчет по теме «Объём сегмента, слоя, сектора шара».

  6. Составление опорного конспекта «Расчет объёмов тел».

  7. Решение теста по теме «Объёмы тел».

  8. Составление кроссворда по теме «Тела вращения».

23-30

16

Просмотр работы, оценка

Тема 6.

Координаты и векторы.


  1. Составление опорного конспекта «Умножение вектора на число» .

  2. Составление опорного конспекта «Прямоугольная система координат в пространстве».

  3. Типовой расчет по теме «Простейшие задачи в координатах».

  4. Типовой расчет по теме «Скалярное произведение векторов».

  5. Решение теста по теме «Координаты и векторы». 

31-35

10

Просмотр работы, оценка

Тема 7.

Развитие понятия о числе. Функции.

  1. Составление опорного конспекта « Степень числа и ее свойства».

  2. Составление опорного конспекта «Пропорция».

  3. Решение криптограмм по теме «Уравнения».

  4. Типовой расчет по теме «Решение систем уравнений и неравенств».

  5. Составление опорного конспекта «Функция, график и её свойства».

36-40

10

Просмотр работы, оценка

Тема 8.

Обобщение понятия степени.


  1. Решение теста по теме «Степень с рациональным, действительным показателем, ее свойства».

  2. Составление опорного конспекта «Свойства и график степенной функции» .

  3. Типовой расчет по теме «Иррациональные уравнения». 

41-43

6

Просмотр работы, оценка

Тема 9.

Показательная и логарифмическая функции.


  1. Составление опорного конспекта «Показательная функция, ее свойства и график».

  2. Типовой расчет по теме «Решение показательных и логарифмических уравнений». 

  3. Составление опорного конспекта «Логарифмическая функция, ее свойства и график».

  4. Типовой расчет по теме «Решение логарифмических уравнений и неравенств» .

  5. Решение теста по теме «Показательная и логарифмическая функции».

44-48

10

Просмотр работы, оценка

Тема 10.

Преобразование тригонометрических выражений.

  1. Составление опорного конспекта «Синус, косинус, тангенс числового аргумента, их знаки» .

  2. Составление опорного конспекта «Преобразование тригонометрических выражений».

  3. Типовой расчет по теме «Формулы сложения». 

  4. Типовой расчет по теме «Синус, косинус и тангенс двойного и половинного угла».

49-52

8

Просмотр работы, оценка

Тема 11.

Решение тригонометрических уравнений.

  1. Типовой расчет по теме «Решение простейших тригонометрических уравнений». 

  2. Типовой расчет по теме «Решение тригонометрических уравнений».

  3. Решение теста по теме «Решение тригонометрических уравнений».

53-55

6

Просмотр работы, оценка

Тема 12.

Свойства и график тригонометрических функций.

  1. Типовой расчет по теме «Область определения и множество значений тригонометрических функций».

  2. Составление опорного конспекта «Свойства и график функций у= cos x, у= sin x,

у= tg x».

  1. Решение теста по теме «Свойства и график тригонометрических функций» .

56-58

6

Просмотр работы, оценка

Тема 13.

Производная.


  1. Составление опорного конспекта «Правила дифференцирования».

  2. Типовой расчет по теме «Правила дифференцирования».

  3. Типовой расчет по теме «Производная».

59-61

6

Просмотр работы, оценка

Тема 14.

Геометрический смысл производной. Применение производной к исследованию функций.


  1. Составление опорного конспекта «Геометрический смысл производной».

  2. Составление опорного конспекта «Метод интервалов».

  3. Типовой расчет по теме «Экстремумы функции». 

  4. Типовой расчет по теме «Нахождения наибольшего и наименьшего значения функции». 

62-65

8

Просмотр работы, оценка

Тема15.

Первообразная.

  1. Составление опорного конспекта «Первообразная».

  2. Типовой расчет по теме «Вычисление площадей с помощью интегралов». 

  3. Решение теста по теме «Первообразная».

66-68

6

Просмотр работы, оценка

Тема 16.

Элементы комбинаторики и теории вероятностей.

  1. Составление опорного конспекта «Основные понятия комбинаторики».

  2. Типовой расчет по теме «Элементы комбинаторики и теории вероятностей».

  3. Решение теста по теме «Элементы комбинаторики и теории вероятностей».

69-71

6

Просмотр работы, оценка

Тема 17.

Обобщающее повторение.

  1. Составление кроссворда по теме «Алгебра и начала анализа».

72

1

Просмотр работы, оценка

Итого:



143


















Сроки выполнения самостоятельных работ


работы ( по 2 ч.на работу)

Срок выполнения

Самостоятельная работа № 1

1 семестр, 1 неделя

Самостоятельная работа № 2

1 семестр, 1 неделя

Самостоятельная работа № 3

1 семестр, 1 неделя

Самостоятельная работа № 4

1 семестр, 2 неделя

Самостоятельная работа № 5

1 семестр, 3 неделя

Самостоятельная работа № 6

1 семестр, 3 неделя

Самостоятельная работа № 7

1 семестр, 4 неделя

Самостоятельная работа № 8

1 семестр, 5 неделя

Самостоятельная работа № 9

1 семестр, 5 неделя

Самостоятельная работа № 10

1 семестр, 6 неделя

Самостоятельная работа № 11

1 семестр, 6 неделя

Самостоятельная работа № 12

1 семестр, 6 неделя

Самостоятельная работа № 13

1 семестр, 7 неделя

Самостоятельная работа № 14

1 семестр, 7 неделя

Самостоятельная работа № 15

1 семестр, 8 неделя

Самостоятельная работа № 16

1 семестр, 8 неделя

Самостоятельная работа № 17

1 семестр, 8 неделя

Самостоятельная работа № 18

1 семестр, 8 неделя

Самостоятельная работа № 19

1 семестр, 9 неделя

Самостоятельная работа № 20

1 семестр, 9 неделя

Самостоятельная работа № 21

1 семестр, 11 неделя

Самостоятельная работа № 22

1 семестр, 11 неделя

Самостоятельная работа № 23

1 семестр, 11 неделя

Самостоятельная работа № 24

1 семестр, 11 неделя

Самостоятельная работа № 25

1 семестр, 12 неделя

Самостоятельная работа № 26

1 семестр, 12 неделя

Самостоятельная работа № 27

1 семестр, 13 неделя

Самостоятельная работа № 28

1 семестр, 13 неделя

Самостоятельная работа № 29

1 семестр, 14 неделя

Самостоятельная работа № 30

1 семестр, 14 неделя

Самостоятельная работа № 31

1 семестр, 15 неделя

Самостоятельная работа № 32

1 семестр, 15 неделя

Самостоятельная работа № 33

1 семестр, 16 неделя

Самостоятельная работа № 34

1 семестр, 16 неделя

Самостоятельная работа № 35

1 семестр, 16 неделя

Самостоятельная работа № 36

1 семестр, 17 неделя

Самостоятельная работа № 37

2 семестр, 18 неделя

Самостоятельная работа № 38

2 семестр, 19 неделя

Самостоятельная работа № 39

2 семестр, 19 неделя

Самостоятельная работа № 40

2 семестр, 20 неделя

Самостоятельная работа № 41

2 семестр, 20 неделя

Самостоятельная работа № 42

2 семестр, 21 неделя

Самостоятельная работа № 43

2 семестр, 21 неделя

Самостоятельная работа № 44

2 семестр, 21 неделя

Самостоятельная работа № 45

2 семестр, 21 неделя

Самостоятельная работа № 46

2 семестр, 22 неделя

Самостоятельная работа № 47

2 семестр, 23 неделя

Самостоятельная работа № 48

2 семестр, 23 неделя

Самостоятельная работа № 49

2 семестр, 23 неделя

Самостоятельная работа № 50

2 семестр, 24 неделя

Самостоятельная работа № 51

2 семестр, 25 неделя

Самостоятельная работа № 52

2 семестр, 25 неделя

Самостоятельная работа № 53

2 семестр, 26 неделя

Самостоятельная работа № 54

2 семестр, 26 неделя

Самостоятельная работа № 55

2 семестр, 27 неделя

Самостоятельная работа № 56

2 семестр, 27 неделя

Самостоятельная работа № 57

2 семестр, 28 неделя

Самостоятельная работа № 58

2 семестр, 28 неделя

Самостоятельная работа № 59

2 семестр, 29 неделя

Самостоятельная работа № 60

2 семестр, 29 неделя

Самостоятельная работа № 61

2 семестр, 30 неделя

Самостоятельная работа № 62

2 семестр, 30 неделя

Самостоятельная работа № 63

2 семестр, 31 неделя

Самостоятельная работа № 64

2 семестр, 32 неделя

Самостоятельная работа № 65

2 семестр, 33 неделя

Самостоятельная работа № 66

2 семестр, 33 неделя

Самостоятельная работа № 67

2 семестр, 33 неделя

Самостоятельная работа № 68

2 семестр, 34 неделя

Самостоятельная работа № 69

2 семестр, 34 неделя

Самостоятельная работа № 70

2 семестр, 35 неделя

Самостоятельная работа № 71

2 семестр, 35 неделя

Самостоятельная работа № 72 (1ч)

2 семестр, 36 неделя































Тема внеаудиторной самостоятельной работы.

1

Составление опорного конспекта «Треугольники».

2

Типовой расчет по теме «Решение треугольников».

3

Составление опорного конспекта «Четырехугольники».

4

Решение теста по теме «Планиметрия».

5

Составление опорного конспекта «Параллельность прямых и плоскостей».

6

Типовой расчет по теме «Параллельность плоскостей».

7

Типовой расчет по теме «Параллельность прямых и плоскостей».

8

Составление опорного конспекта «Перпендикулярность прямых, прямой и плоскости». 

9

Типовой расчет по теме «Перпендикуляр и наклонная».

10

Составление опорного конспекта «Перпендикулярность плоскостей».

11

Типовой расчет по теме «Прямоугольный параллелепипед».

12

Решение теста по теме «Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве» .

13

Составление опорного конспекта «Виды пирамид».

14

Типовой расчет по теме «Пирамида».

15

Составление опорного конспекта «Правильные многогранники».

16

Типовой расчет по теме «Усеченная пирамида».

17

Решение теста по теме «Многогранники». 

18

Составление опорного конспекта «Цилиндр» .

19

Типовой расчет по теме «Цилиндр».

20

Типовой расчет по теме «Конус».

21

Типовой расчет по теме «Уравнение сферы».

22

 Решение теста по теме «Тела вращения».

23

Типовой расчет по теме «Объём прямоугольного параллелепипеда».

24

Типовой расчет по теме «Расчет объёма прямой и наклонной призмы».

25

Типовой расчет по теме «Объём цилиндра».

26

Типовой расчет по теме «Объём конуса».

27

Типовой расчет по теме «Объём сегмента, слоя, сектора шара».

28

Составление опорного конспекта «Расчет объёмов тел».

29

Решение теста по теме «Объёмы тел».

30

Составление кроссворда по теме «Тела вращения».

31

Составление опорного конспекта «Умножение вектора на число» .

32

Составление опорного конспекта «Прямоугольная система координат в пространстве».

33

Типовой расчет по теме «Простейшие задачи в координатах».

34

Типовой расчет по теме «Скалярное произведение векторов».

35

Решение теста по теме «Координаты и векторы». 

36

Составление опорного конспекта « Степень числа и ее свойства».

37

 Составление опорного конспекта «Пропорция».

38

Решение криптограмм по теме «Уравнения».

39

Типовой расчет по теме «Решение систем уравнений и неравенств».

40

Составление опорного конспекта «Функция, график и её свойства».

41

Решение теста по теме «Степень с рациональным, действительным показателем, ее свойства».


42

Составление опорного конспекта «Свойства и график степенной функции» .

43

Типовой расчет по теме «Иррациональные уравнения». 

44

Составление опорного конспекта «Показательная функция, ее свойства и график».

45

Типовой расчет по теме «Решение показательных и логарифмических уравнений». 

46

Составление опорного конспекта «Логарифмическая функция, ее свойства и график».

47

Типовой расчет по теме «Решение логарифмических уравнений и неравенств» .

48

Решение теста по теме «Показательная и логарифмическая функции».

49

Составление опорного конспекта «Синус, косинус, тангенс числового аргумента, их знаки» .

50

Составление опорного конспекта «Преобразование тригонометрических выражений».

51

Типовой расчет по теме «Формулы сложения». 

52

Типовой расчет по теме «Синус, косинус и тангенс двойного и половинного угла».

53

Типовой расчет по теме «Решение простейших тригонометрических уравнений». 

54

Типовой расчет по теме «Решение тригонометрических уравнений».

55

Решение теста по теме «Решение тригонометрических уравнений».

56

Типовой расчет по теме «Область определения и множество значений тригонометрических функций».

57

Составление опорного конспекта «Свойства и график функций у= cos x, у= sin x, у= tg x».

58

Решение теста по теме «Свойства и график тригонометрических функций» .

59

Составление опорного конспекта «Правила дифференцирования».

60

Типовой расчет по теме «Правила дифференцирования».

61

Типовой расчет по теме «Производная».

62

Составление опорного конспекта «Геометрический смысл производной».

63

Составление опорного конспекта «Метод интервалов».

64

Типовой расчет по теме «Экстремумы функции». 

65

Типовой расчет по теме «Нахождения наибольшего и наименьшего значения функции ». 

66

Составление опорного конспекта «Первообразная».

67

Типовой расчет по теме «Вычисление площадей с помощью интегралов». 

68

Решение теста по теме «Первообразная».

69

Составление опорного конспекта «Основные понятия комбинаторики».

70

Типовой расчет по теме «Элементы комбинаторики и теории вероятностей».

71

Решение теста по теме «Элементы комбинаторики и теории вероятностей».

72

Составление кроссворда по теме «Алгебра и начала анализа».







Методические рекомендации к составлению опорного конспекта.

Конспект – это работа с другим источником.

Цель –зафиксировать ,переработать тот или иной текст, подготовка к типовому расчету.

Конспект представляет собой дословные выписки из текста источника. При этом конспект это не полное переписывание чужого текста. При написании конспекта сначала прочитывается текст –источник, в нем выделяются основные положения , подбираются примеры , идет перекомпоновка материала, а затем уже оформляется текст конспекта. Конспект может быть полным, когда работа идет со всем текстом источника или неполным, когда интерес представляет какой-либо один или несколько вопросов, затронутых в источнике.

План работы:

1. Уяснить цели и задачи конспектирования.

2.Внимательно прочитать текст параграфа, главы и отметить информационно значимые места.

3. Составить конспект.

Критерии оценки: Оценка «5» выставляется если :

- содержание соответствует теме,

- материал проработан глубоко,

- грамотно и полно использованы источники,

- имеется наглядность (чертежи, примеры),

Оценка «4» выставляется , если :

- материал проработан не глубоко,

-использованы не все источники,

Оценка «3» выставляется, если :

-нет наглядности,

- материал проработан не полностью

Методические рекомендации к выполнению типового расчета.

Типовой расчет содержит теоретический материал ( или ссылку на источник информации (опорный конспект из ВСР, учебник, интернет-ссылка)), типовые примеры, задание для самостоятельной работы.

План работы:

  1. Сделать конспект теоретического материала (если это не опорный конспект из ВСР), просмотреть и повторить (если это опорный конспект из ВСР).

  2. Проанализировать типовые примеры.

  3. Решить задание для самостоятельной работы, используя теоретический материал, типовые примеры.

Критерии оценки: Оценка «5» выставляется если :

- материал проработан глубоко,

- имеется чертежи, примеры ,

- задание выполнено полностью,

Оценка «4» выставляется , если :

- материал проработан не глубоко

- задание выполнено больше, чем на 50%,

Оценка «3» выставляется, если :

- материал проработан не полностью, но записаны типовые примеры,

- задание выполнено меньше, чем на 50%

Методические рекомендации к выполнению теста.

При работе с тестом записывается номер задания и буква (правильный ответ).

Критерии оценки: Оценка «5» выставляется если :

- правильно выбраны ответы, записано решение подробно.

Оценка «4» выставляется , если :

- правильно выбраны ответы, записано решение подробно не у всех заданий.

Оценка «3» выставляется, если : правильно выбраны ответы или с ошибками, не записано решение или записано кратко.



ПРИЛОЖЕНИЕ №1


Основные учебники :


  1. Алгебра и начала анализа 10-11 кл. Ш.А.Алимов и др. М., «Просвещение», 2009 г.

  2. Геометрия 10-11 кл. Л.С. Атанасян. М., «Просвещение»,2011 г.


Дополнительные учебники :



  1. Алгебра и начала математического анализа 10-11 кл. Колмогоров А.Н. и др. М., «Просвещение»,2009г.

  2. Алгебра и начала математического анализа 10-11 кл. Башмаков М.И. М., «Дрофа»,2009г.

  3. Геометрия 10-11 кл. Потоскуев Е.В., Звавич Л.И. М., «Просвещение», 2009г.




Интернет-ссылки для ВСР.

Алгебра:

  1. http://math-prosto.ru/?page=pages/library-math/alimov-10-11.php

  2. http://nashol.com/2012102467590/algebra-i-nachala-matematicheskogo-analiza-10-11-klass-alimov-sh-a-kolyagin-u-m-2012.html

  3. http://nsportal.ru/shkola/algebra/library/algebra-i-nachala-analiza-10-11-klass-po-uchebniku-sha-alimova-i-dr

  4. http://nashol.com/2014021575799/algebra-i-nachalo-matematicheskogo-analiza-10-klass-muravin-g-k-2013.html

  5. http://elkniga.ucoz.ru/load/multimedijnye_posobija/matematika/multimedijnoe_posobie_po_matematike_uroki_algebry_kirilla_i_mefodija_10_11_klass/14-1-0-15

Геометрия:

  1. http://nashol.com/knigi-po-matematike/#po_godam_2012

  2. http://nashol.com/2011102361137/geometriya-uchebnik-10-11-klass-atanasyan-l-s-butuzov-v-f-kadomcev-s-b-2009.html

  3. http://4book.org/uchebniki-rossiya/10-klass/62-geometriya-uchebnik-dlya-10-11-klassov-atanasyan-l-s-i-dr

  4. http://neovit.net/edu/math1.htm

  5. http://elkniga.ucoz.ru/publ/uchebniki/10_klass/geometrija_atanasjan_l_s_uchebnik_dlja_10_11_klassa_obshheobrazovatelnykh_uchrezhdenij/98-1-0-311





И любые другие аналогичные из интернета по разделам «Алгебра и начала анализа», «Геометрия».



















Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "УМК для ОМД,1 КУРС (2013-2014)"

Получите профессию

Методист-разработчик онлайн-курсов

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ Методические указания к пр,омд,1 курс.docx





















Методические указания

к выполнению практических работ обучающихся

по дисциплине Математика

для специальности 150412 Обработка металлов давлением.



























2013



Рассмотрено и одобрено на заседании ПЦК

Протокол № ___ от___________20__г.

Председатель ПЦК __________________________


Составлены в соответствии с программой дисциплины Математика для специальности

150412 Обработка металлов давлением.








Составитель: Зайцева С.Е., преподаватель













































Пояснительная записка


Цель методических указаний: оказание помощи обучающимся в выполнении практических работ по дисциплине Математика.

Настоящие методические указания содержат работы, которые позволят обучающимся самостоятельно овладеть профессиональными знаниями и умениями, опытом творческой деятельности при решении проблем учебного и профессионального уровня и направлены на формирование следующих компетенций:

ОК 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей

профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые

методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их

эффективность и качество.

ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных

ситуациях и нести за них ответственность.

ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации,

необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач,

профессионального и личностного развития.

ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии

в профессиональной деятельности.

ОК 6. Работать в коллективе и команде, эффективно общаться

с коллегами, руководством, потребителями.

ОК 7. Брать на себя ответственность за работу членов команды

(подчиненных), результат выполнения заданий.

ОК 8. Самостоятельно определять задачи профессионального и

личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно

планировать повышение квалификации.

ОК 9. Ориентироваться в условиях частой смены технологий

в профессиональной деятельности.

ОК 10. Исполнять воинскую обязанность, в том числе с применением

полученных профессиональных знаний (для юношей).

В результате выполнения практических работ по дисциплине Математика обучающиеся должны:

уметь:

    • Выполнять арифметические действия, сочетая устные и письменные приемы, применение вычислительных устройств;

    • Решать уравнения и неравенства (линейные, квадратные);

    • Вычислять значения числовых и буквенных выражений, осуществляя необходимые подстановки и преобразования;

    • Находить значения корня натуральной степени, степени с рациональным показателем, логарифма, используя при необходимости вычислительные устройства;

    • Проводить по формулам и правилам преобразования буквенных выражений, включающих степени, радикалы, логарифмы, тригонометрические функции;

    • Строить графики изученных функций;

    • Решать показательные и логарифмические уравнения и неравенства; простейшие иррациональные и тригонометрические уравнения;

    • Вычислять производные и первообразные элементарных функций, используя справочные материалы;

    • Исследовать в простейших случаях функции на монотонность, находить наибольшие и наименьшие значения функций; строить графики многочленов с использованием аппарата математического анализа;

    • Распознавать на чертежах и моделях пространственные формы; соотносить объекты с их описаниями, изображениями;

    • Описывать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве ;

    • Изображать основные многогранники и круглые тела;

    • Решать планиметрические и простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов);

    • Использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы;

    • Решать простейшие комбинаторные задачи методом перебора, а также с использованием формул;

    • Вычислять в простейших случаях вероятности событий на основе подсчета числа исходов;

    • Использовать приобретенные знания и умения для анализа числовых данных, представленных в виде таблиц, диаграмм;

знать:

    • Выполнение арифметических действий, сочетая устные и письменные приемы, применение вычислительных устройств;

    • Решение уравнений и неравенств (линейных, квадратных);

    • Вычисление значений числовых и буквенных выражений, осуществляя необходимые подстановки и преобразования;

    • Нахождение значений корня натуральной степени, степени с рациональным показателем, логарифма, используя при необходимости вычислительные устройства;

    • Преобразования буквенных выражений, включающих степени, радикалы, логарифмы, тригонометрические функции;

    • Построение графиков изученных функций;

    • Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств; простейших иррациональных и тригонометрических уравнений;

    • Вычисление производных и первообразных элементарных функций, используя справочные материалы;

    • Исследование в простейших случаях функций на монотонность, нахождение наибольших и наименьших значений функций; построение графиков многочленов с использованием аппарата математического анализа;

    • Вычисление в простейших случаях площадей и объемов с использованием определенного интеграла;

    • Распознавание на чертежах и моделях пространственных форм; соотношение объектов с их описанием, изображением;

    • Описание взаимного расположения прямых и плоскостей в пространстве ;

    • Изображение основных многогранников и круглых тел ;

    • Решение планиметрических и простейших стереометрических задач на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов);

    • Использование при решении стереометрических задач планиметрических фактов и методов;

  • Решение простейших комбинаторных задач методом перебора, а также с использованием формул;

  • Вычисление в простейших случаях вероятности событий на основе подсчета числа исходов;

  • Использование приобретенных знаний и умений для анализа числовых данных, представленных в виде таблиц, диаграмм;

  • Значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике; широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе;

  • Значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии;

  • Универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности;




Списки практических работ по специальности:

150412 Обработка металлов давлением.

Списки ПР -11 ГР.

Сроки выполнения

ПР № 1 «Вычисление катетов, гипотенузы прямоугольного треугольника по теореме Пифагора . Решение треугольников».     

1 семестр, 1 неделя

ПР № 2 «Построение четырехугольников и вычисление их элементов. Вычисление элементов правильных многоугольников».

1 семестр, 2 неделя

ПР № 3 «Вычисление площадей фигур».

1 семестр, 2 неделя

ПР №4 «Построение параллельных прямых и расчет углов. Доказательство параллельности прямых и плоскостей».

1 семестр, 3 неделя

ПР № 5 «Определение взаимного расположения прямых в пространстве. Построение параллельных плоскостей».

1 семестр, 3 неделя

ПР №6 «Построение сечений тетраэдра и параллелепипеда. Изображение пространственных фигур».

1 семестр, 4 неделя

ПР № 7 «Перпендикулярность прямых. Перпендикулярность прямой и плоскости ».

1 семестр, 5 неделя

ПР № 8 «Вычисление перпендикуляра и наклонной. Вычисление угла между плоскостями».

1 семестр, 5 неделя

ПР №9 «Построение перпендикулярных плоскостей. Вычисление элементов прямоугольного параллелепипеда».

1 семестр, 6 неделя

ПР № 10 «Построение многогранников. Вычисление элементов призмы».

1 семестр, 7 неделя

ПР № 11 «Вычисление элементов пирамиды, правильной пирамиды, усеченной пирамиды.».

1 семестр, 7 неделя

ПР № 12 «Вычисление элементов правильных многогранников .Построение фигур с помощью симметрии»

1 семестр, 8 неделя

ПР № 13 «Вычисление элементов цилиндра. Расчет по модели площади цилиндра».

1 семестр, 9 неделя

ПР № 14 «Вычисление элементов конуса, усеченного конуса. Расчет по модели площади конуса ».

1 семестр, 9 неделя

ПР № 15 «Вычисление элементов сферы. Составление уравнения сферы ».

1 семестр, 10 неделя

ПР № 16 «Вычисление элементов сферы. Касательная плоскость к сфере».

1 семестр, 10 неделя

ПР № 17 «Вычисление площади сферы. Вычисление элементов тел вращения».

1 семестр, 11 неделя

ПР № 18 «Расчет по модели объёма прямоугольного параллелепипеда».

1 семестр, 11 неделя

ПР № 19 «Вычисление объёма прямой призмы. Расчет по модели объёма призмы ».

1 семестр, 12 неделя

ПР № 20 «Вычисление объёма цилиндра. Вычисление объёма пирамиды ».

1 семестр, 12 неделя

ПР № 21 «Расчет по модели объёма конуса».

1 семестр, 13 неделя

ПР № 22 «Вычисление объёма шара. Расчет объёмов сегмента, слоя, сектора шара».

1 семестр, 13 неделя

ПР № 23 «Вычисление объёма цилиндра. Вычисление объёма конуса. Вычисление объёмов тел».

1 семестр, 14 неделя

ПР №24 « Понятие вектора. Равенство векторов . Сложение и вычитание векторов».

1 семестр, 15 неделя

ПР № 25 «Умножение вектора на число .Вычисление координат векторов».

1 семестр, 15 неделя

ПР № 26 « Решение задач в координатах».

1 семестр, 16 неделя

ПР № 27 «Целые и рациональные числа. Техника умножения и деления чисел».

1 семестр, 17 неделя

ПР № 28  « Степень числа и ее свойства».

1 семестр, 17 неделя

ПР № 29 «Решение пропорций. Решение задач с помощью пропорций».

2 семестр, 18 неделя

ПР № 30 «Вычисление квадратных корней. Решение задач на проценты».     

2 семестр, 18 неделя

ПР № 31 «Решение квадратных уравнений . Решение неравенств».   

2 семестр, 19 неделя

ПР № 32   « Решение систем уравнений и неравенств. Вычисления по  формулам сокращенного умножения».

2 семестр, 20 неделя

ПР № 33 «Решение иррациональных уравнений». 

2 семестр, 21 неделя

ПР № 34 «Решение показательных уравнений и неравенств». 

2 семестр, 21 неделя

ПР № 35 «Вычисление логарифмов».  

2 семестр, 22 неделя

ПР № 36 «Решение логарифмических уравнений и неравенств ». 

2 семестр, 23 неделя

ПР № 37 « Перевод из одной меры угла в другую. Вычисление синуса, косинуса, тангенса угла ». 

2 семестр, 24 неделя

ПР № 38 « Вычисление синуса, косинуса, тангенса

углов α и - α. Вычисление значения тригонометрических функций по формулам сложения ». 

2 семестр, 24 неделя

ПР №39 «Вычисление значения тригонометрических функций двойного и половинного угла ». 

2 семестр, 25 неделя

ПР № 40 « Решение уравнений cos x = a, sin x = a, tg x = a ».

2 семестр, 25 неделя

ПР № 41 «Решение тригонометрических уравнений заменой переменной».

2 семестр, 26 неделя

ПР № 42 « Решение тригонометрических уравнений способом деления» .

2 семестр, 26 неделя

ПР № 43 «Вычисление множества значений тригонометрических функций по формулам».

2 семестр, 27 неделя

ПР № 44 «Построение графиков тригонометрических функций».

2 семестр, 28 неделя

ПР № 45 «Вычисление производных по правилам дифференцирования».

2 семестр, 29 неделя

ПР № 46 «Вычисление производных элементарных функций».

2 семестр, 30 неделя

ПР № 47 «Вычисление угловых коэффициентов. Составление уравнения касательной к графику функции».

2 семестр, 30 неделя

ПР № 48 «Решение неравенств с помощью метода интервалов. Определить промежутки возрастания и убывания функции. Нахождение экстремумов функции».

2 семестр, 31 неделя

ПР № 49 «Построение графиков функций с использованием производной ».

2 семестр, 31 неделя

ПР № 50 «Нахождения наибольшего и наименьшего значения функции».

2 семестр, 32 неделя

ПР № 51 «Нахождения наибольшего и наименьшего значения функции в задачах».

2 семестр, 32 неделя

ПР № 52 «Вычисление первообразных элементарных функций».

2 семестр, 33 неделя

ПР № 53 «Вычисление интегралов. Вычисление площадей с помощью интегралов ».

2 семестр, 34 неделя

ПР № 54 «Решение задач на подсчет числа размещений, перестановок, сочетаний. Решение задач на перебор вариантов».

2 семестр, 34 неделя

ПР № 55 «Вычисление числовых характеристик дискретной случайной величины».

2 семестр, 35 неделя

ПР № 56 «Решение показательных уравнений и неравенств ».

2 семестр, 35 неделя

ПР № 57 «Решение логарифмических уравнений и неравенств ».

2 семестр, 36 неделя

ПР № 58 «Решение тригонометрических уравнений».

2 семестр, 36 неделя

ПР № 59 «Решение систем уравнений и неравенств».

2 семестр, 36 неделя

ПР № 60 «Применение производной».

2 семестр, 36 неделя

Всего практ.работ : 60

120 ч.



Критерии оценки:

Оценка «3» выставляется, если выполнено: задание из части 1) и выборочно из части 2).

Оценка «4» выставляется, если выполнено: задание из части 1) и выборочно из части 2) и 3).

Оценка «5» выставляется, если выполнено: задание из части 2) и выборочно из части 3).

Обязательная часть 1) и 2), дополнительная-3) и далее; часть «выборочно» определяется самим обучающимся.

Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.

ПРИЛОЖЕНИЕ №1


Основные учебники :


  1. Алгебра и начала анализа 10-11 кл. Ш.А.Алимов и др. М., «Просвещение», 2009 г.

  2. Геометрия 10-11 кл. Л.С. Атанасян. М., «Просвещение»,2011 г.


Дополнительные учебники :


  1. Алгебра и начала математического анализа 10-11 кл. Колмогоров А.Н. и др. М., «Просвещение»,2009г.

  2. Алгебра и начала математического анализа 10-11 кл. Башмаков М.И. М., «Дрофа»,2009г.

  3. Геометрия 10-11 кл. Потоскуев Е.В., Звавич Л.И. М., «Просвещение», 2009г.

Интернет-ссылки .

Алгебра:

  1. http://math-prosto.ru/?page=pages/library-math/alimov-10-11.php

  2. http://nashol.com/2012102467590/algebra-i-nachala-matematicheskogo-analiza-10-11-klass-alimov-sh-a-kolyagin-u-m-2012.html

  3. http://nsportal.ru/shkola/algebra/library/algebra-i-nachala-analiza-10-11-klass-po-uchebniku-sha-alimova-i-dr

  4. http://nashol.com/2014021575799/algebra-i-nachalo-matematicheskogo-analiza-10-klass-muravin-g-k-2013.html

  5. http://elkniga.ucoz.ru/load/multimedijnye_posobija/matematika/multimedijnoe_posobie_po_matematike_uroki_algebry_kirilla_i_mefodija_10_11_klass/14-1-0-15

Геометрия:

  1. http://nashol.com/knigi-po-matematike/#po_godam_2012

  2. http://nashol.com/2011102361137/geometriya-uchebnik-10-11-klass-atanasyan-l-s-butuzov-v-f-kadomcev-s-b-2009.html

  3. http://4book.org/uchebniki-rossiya/10-klass/62-geometriya-uchebnik-dlya-10-11-klassov-atanasyan-l-s-i-dr

  4. http://neovit.net/edu/math1.htm

  5. http://elkniga.ucoz.ru/publ/uchebniki/10_klass/geometrija_atanasjan_l_s_uchebnik_dlja_10_11_klassa_obshheobrazovatelnykh_uchrezhdenij/98-1-0-311

И любые другие аналогичные из интернета по разделам «Алгебра и начала анализа», «Геометрия».






Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "УМК для ОМД,1 КУРС (2013-2014)"

Получите профессию

Няня

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ ПР,ОМД ,1КУРС.docx

Инструкционная карта

ПР №1«Вычисление катетов, гипотенузы прямоугольного треугольника по теореме Пифагора . Решение треугольников».

Задание:

1)Перепишите и заполните пропуски:

Пример 1. а = 5, b = 12, найти с. Решение: с2 = а2 + b2 = 52 + 122 = 25 + 144 = …, с = …;

Ответ: 13.

Пример 2. с = 41, а = 40, найти b. Решение: b 2 = с2 а2 = 412 – 402 = 1681 – 1600 = …, b = …;

Ответ: 9.

Пример 3. а = 10, b = , найти с. Решение: с2 = а2 + b2 = 102 + 2 = 100 + 44 = … ,с = …;

Ответ: 12.

Пример 4. а = 10, b = 10, с = 12, найти h1, h2, h3.

Решение: p = (а + b + с) : 2 = (10 + 10 + 12) : 2 = 32 : 2 = …,

S = = = =

= 642 = …,

h1 = 2S : a = 2 48: 10 = 96 : 10 = … , h2 = 2S : b = 2 48:10 = …, h3 = 2S : с = 2 48 : 12 =

= 96 : 12 = …;

Ответ: 9,6;9,6;8.

Пример 5. а = 12, b = 18, С = 50°, найти с, А, В.

Решение: с2 = а2 + b2 – 2 а b cos C = 122 + 182 -2 12 18 cos 50° = = 144 + 324 - 2 12 18 0,6428 = 144 +3 24 – 278 = …, с ≈ 14,

cos А = (b2 + с2 а2) : (2 b с) = (182 + 142 – 122) : (21814) = 0,7460, А = 41°45 / ,

В = 180° - (50° + 41°45 /) = 180° – 91°45 / = 89° – 45 / = 88°15 /; Ответ: 14, 41°45 / , 88°15 / .

Пример 6. а =24,6, В = 45°,С = 70°, найти А, b, с.

Решение: А = 180° - (45° + 70°) = …°,

b = = 24,6 = 24,6 = 19,2;

с = = 24,6 = 24,6 = 25,6;

Ответ: 65°,19,2; 25,6 .

Пример 7. а = 14, b = 18, с = 20, найти А, В, С .

Решение: cos А = (b2 + с2 а2) : (2 b с) = (182 + 202 142) : (2 18 20) = 0,7333;

А = 42°50 / ≈ 43°, cos В = (а2 + с2 b2) : (2ас) = (142 + 202 182) : (21420) = 0,4857;

В = 60°56 / ≈ 61°, С = 180° (43° + 61°) = …°;

Ответ: 43°,61°,76°.

2)Решить задачи ( по примерам):

  1. а = 8, b = 15, найти с.

  2. с = 41, а = 9, найти b.

  3. а = 10, b = , найти с.

  4. а = 10, b = 10, с = 16, найти h1, h2, h3.

  5. а = 6,3, b = 6,3, <С = 54°, найти с, А, В.

  6. а =14, <В = 40°,<С = 60°, найти А, b, с.

  7. а = 6, b = 7,3, с = 4,8, найти А, В, С .

3)Решить задачи :

  1. Найдите периметр прямоугольного треугольника, катеты которого равны 3см и 4см.

  2. Найдите диагонали прямоугольника со сторонами 9см и 12см.

  3. Найдите катет прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 8см, а

проекция искомого катета на гипотенузу – 2см.

  1. а = 9, b = 12, найти с.

  2. с = 17, а = 15, найти b.

  3. а = 6, b = 8, с = 10, найти h1, h2, h3.

  4. а = 16, b = 10, <С = 80°, найти с, А, В.

  5. а =32, <В = 45°,<С = 87°, найти А, b, с.

  6. а = 12, b = 14,6, с = 9,6, найтиА, В, С .

  7. На какое расстояние надо отодвинуть от стены дома нижний конец лестницы длиною 17 м, чтобы верхний конец ее достал до слухового окна, находящегося на высоте 15 м от поверхности земли.

  8. Две башни в равнине находятся на расстоянии 60 локтей одна от другой. Высота первой башни 50 локтей, высота второй 40 локтей. Между башнями находится колодец, одинаково удаленный от вершин башен. Как далеко находится колодец от основания каждой башни.hello_html_4a8a8a80.jpg

  9. В треугольнике АВС  А = 45°, ВС = 13, а высота ВD отсекает на стороне АС отрезок DС, равный 12 см. Найти площадь Δ АВС и высоту, проведенную к стороне ВС.

  10. В параллелограмме АВСD ВK делит сторону АD на отрезки АK и KD. Найдите стороны параллелограмма, если ВK = 12, АK = 5, ВD = 15.

  11. Диагональ  прямоугольника  равна  52  мм,  а  стороны  относятся как 5 : 12. Найти его периметр.

  12. Дан  прямоугольный  треугольник  ОМK  ( K = 90°).  Запишите теорему  Пифагора  для  этого  треугольника  и  найдите  сторону  МK, если ОK = 15 см,
    ОМ = 17 см.

  13. В прямоугольнике проведена диагональ. Найдите длину диагонали, если известны стороны прямоугольника – 8 см и 15 см.

  14. Записать теорему Пифагора для треугольников и найдите х.

1)

hello_html_m36d3c9b1.jpg

2)

hello_html_1200601f.jpg

3) АВСD – ромб,ВD = 16,АС = 12, АВ = ?

hello_html_m71523c39.jpg

4) АВСD – прямоугольник,АВ = 12,

ВС = 16,ВD = ?

hello_html_5d1935fd.jpg

5)ВС = 26,ВD = 24, DС = ?

hello_html_m408baaf4.jpg

6) DЕ – высота, ВЕ = ВD = 12, ЕD = ?

hello_html_e92519b.jpg


  1. ВЕ =?

hello_html_mf3d8d67.jpg

20


Инструкционная карта

ПР №2«Построение четырехугольников и вычисление их элементов. Вычисление элементов правильных многоугольников».

Задание:

1)а) Построить четырехугольники: Параллелограмм, ромб, прямоугольник, квадрат, трапецию .

б)Перепишите и заполните пропуски:

Пример 1. Дано: ABCD – ромб, AC = 1,5 BD,SABCD = 27 см2.hello_html_m233e7e65.gif

Найти: AC, BD.

Решение:

  1. SABCD = 1/2 AChello_html_1cc4939.gifBD.

Пусть BD = x см, тогда AC = 1,5x см. Т.к. по условию задачи SABCD = 27 см2, то получаем уравнение: 1/2hello_html_1cc4939.gif1,5xhello_html_1cc4939.gifx = 27,

1,5x2=54, x2=36, x= … ( x = – 6 не подходит по смыслу задачи).

  1. BD = 6 см, AC = 1,5hello_html_1cc4939.gif6 = см.

Ответ : 6 см и 9 см.

Пример 2. Стороны четырехугольника, взятые последовательно, пропорциональны

числам 2: 5: 2: 5. Периметр четырехугольника равен 42 см. Найти стороны.

Решение: х- коэффициент пропорциональности, тогда стороны будут 2х, 5х, 2х,5х; периметр будет

2х + 5х + 2х + 5х = 42, 14х = 42 , х = …, 2х = 2 3 = …, 5х = 53 = …

Ответ : 6 и 15 см.
Пример 3. В параллелограмме ABCD одна сторона больше другой в два раза. Периметр параллелограмма равен 42 см. Найти стороны.

Решение: х- коэффициент пропорциональности, тогда стороны будут х и 2х, периметр будет

х + 2х + х + 2х = 42, 6х = 42 , х = …, 2х = 2 7 = …

Ответ : 7 и 14 см.

Пример 4. Найти углы параллелограмма АВСD, если известно, что угол А больше угла В в 3 раза.

Решение:В = х,А= 3х, А + В = 180° , 3х + х = 180° ,4х = 180° , х = …, В = …,

А= 180° – 45°= … ,

Ответ : 45° и 135° .
Пример 5. Найти диагонали прямоугольника АВСD, еслиАBD = 30° , АD= 6 см.
hello_html_5d1935fd.jpg

Решение: Δ АBD : АBD = 30° , АD= 6 см, ВD = 62 =…

Ответ : 12 см.

Пример 6. Диагональ  прямоугольника  равна  52  мм,  а  стороны 
относятся как 5 : 12. Найти его периметр.

Решение: х- коэффициент пропорциональности, тогда стороны будут 5х, 12х; ΔАBD – прямоугольный, диагональ ВD найдем по теореме Пифагора:

ВD2 = АD2 + АВ2, ВD2 = (5х)2 + (12х)2 = 25х2 + 144х2 = 169 х2 = 522 = 2704, х2 = 16, х = …,

периметр Р = 2D + АВ) = 2 (5 4 + 12 4) = 2 (20 + 48) = 2 68 = …

Ответ : 136 мм2.

Пример 7. Дано: правильный треугольник , n = 3,

а) R = 3 см, Найдите r, а3, P , S. ;б) S = 48 , Найдите r, R, а3, P; в) r = 2 см, Найдите R, а3, P , S.

Решение: а) r = R : 2 = 3 : 2 = …, а3 = R = … , Р = 3а3 = 33 = … ,

S = 3R2 /4 = 3 9 / 4 = … / 4,

б) ( а3)2 = 4S : = 4 48 : = 4 48 = …,а3 = 8 , R = а3 : = 8 : = …,r = R : 2 = 8 : 2 = …,

Р = 3 а3 = 3 8 = … .

в) R = 2 r = 22 =…, а3 = R = … , Р = 3 а3 = 3 4 = … , S = 3R2 /4 = 3 16 / 4 =

= 3 4 = … .

Ответ : а) r = 1,5, а3 = 3 , Р = 9 , S = 27 / 4,б) а3 = 8 , R = 8, r = 4, Р = 24 ,

в) R = 4, а3 = 4 , Р = 12 , S = 12 .

Пример 8. Дано: правильный четырехугольник , n = 4,

а) а4 = 6 см, Найдите r, R, P , S. ;б) r = 2 см, Найдите R, а4, P , S. в) S = 64, Найдите r, R, а4, P;

Решение: а) Р = 4а4 = 46 = …, S = (а4)2 = 62 = …, R = а4 : = 6 : = 3 ,

r = R : = 3 : = …, б) R = r = … , а4 = 2r = 22 = …, Р = 4а4 = 44 = …,

S = (а4)2 = 42 = …, в) а4 = = …, R = а4 : = 8 : = 4 , r = R : = 4 : = …,

Р = 4а4 = 4 8 = …

Ответ : а) Р = 24, S = 36, R = 3 , r = 3, б) R = 2 , а4 = 4,Р = 16, S = 16,

в) а4 = 8, R = 4 , r = 4, Р = 32.

2)Решить задачи ( по примерам):

  1. Дано: ABCD – ромб, AC = 0,75 BD,SABCD = 54 см2. Найти: AC, BD.

  2. Стороны четырехугольника, взятые последовательно, пропорциональны

числам 3: 4: 3: 4. Периметр четырехугольника равен 70 см. Найти стороны.

  1. В параллелограмме ABCD одна сторона больше другой в два раза. Периметр параллелограмма равен 66 см. Найти стороны.

  2. Найти углы параллелограмма АВСD, если известно, что угол А больше угла В в 5 раз.

  3. Найти диагонали прямоугольника АВСD, еслиАBD = 30° , АD= 8 см.

  4. Диагональ  прямоугольника  равна  26  мм,  а  стороны  относятся как 5 : 12. Найти его периметр.

  5. Дано: правильный треугольник , n = 3,

а) R = 6 см, Найдите r, а3, P , S. ;б) S = 27 , Найдите r, R, а3, P; в) r = 4 см, Найдите R, а3, P , S.

  1. Дано: правильный четырехугольник , n = 4,

а) а4 = 8 см, Найдите r, R, P , S. ;б) r = 4 см, Найдите R, а4, P , S. в) S = 16, Найдите r, R, а4, P;

3)Решить задачи :

  1. Стороны параллелограмма пропорциональны числам 3 и 7. Найдите наименьшую сторону, если периметр параллелограмма равен 18 см.

  2. Один из углов ромба равен 120° , а его меньшая диагональ равна 4,5 см. Найдите периметр ромба.

  3. В прямоугольнике СКМN проведена биссектриса угла С, которая пересекает сторону КМ в точке Е, причем длинна отрезка КЕ на 3 см меньше длинны МЕ. Найдите МN, если периметр СКМN равен 51 см.

  4. Найти стороны параллелограмма АВСД, если его периметр равен 40 см, а сторона АВ больше ВС на 4 см.

  5. Найти углы равнобедренной трапеции, если один из них равен 75º.

  6. Найти стороны параллелограмма АВСД, если его периметр равен 54 см, а сторона АВ больше ВС в 2 раза.

  7. Найти углы параллелограмма АВСД, если известно, что угол А меньше угла В на 40 °.

  8. Найти углы прямоугольной трапеции, если больший из них равен 120º.

  9. Радиус окружности, вписанной в квадрат, равен 1 см. Найдите радиус R описанной окружности около этого квадрата.

  10. Дано: правильный треугольник , n = 3, а) а3 = 6, Найдите r, R, P , S; б)Р = 6 , Найдите r, R3, S;

  11. Дано: правильный треугольник , n = 4, а) R = 4 см, Найдите r, а4, P , S ;б) Р = 32 ,
    Найдите
    r, R, а4, S;

  12. Периметр правильного шестиугольника, описанного около окружности, равен 6  см. Чему равен радиус этой окружности?

  13. Периметр квадрата, вписанного в окружность, равен 4  см. Найдите радиус r вписанной окружности.

  14. В правильный шестиугольник ABCDEF, со стороной 6 см, вписан правильный треугольник A1B1C1. Найдите отношение радиуса окружности, вписанной в треугольник A1B1C1, к радиусу окружности, вписанной в шестиугольник ABCDEF.

  15. В правильный треугольник MNP вписана окружность. Отрезок NR перпендикулярен отрезку MP и пересекает его в точке K. Угол KMR=300. Найдите радиус вписанной окружности в треугольник MNP и её длину.

  16. Ширина кольца, образованного двумя концентрическими окружностями, равна 2. Хорда большей окружности, касательная к меньшей, равна 8. Найти радиусы окружностей.

  17. В окружность радиуса R = 12 вписан правильный n-угольник. Определите его сторону и периметр, если: а) n = 3; б) n = 4; в) n = 6.

  18. Около окружности радиуса r = 6 описан правильный n-угольник. Определите его сторону и периметр, если: а) n = 3; б) n = 4; в) n = 6.

  19. Для правильного n-угольника со стороной а = 6 см найдите радиус описанной около него окружности, если: а) n = 3; б) n = 4; в) n = 6.

  20. Правильный треугольник АВС вписан в окружность с центром О и радиусом 8 см. На стороне этого треугольника построен квадрат. Определите радиус окружности, описанной около квадрата.

Инструкционная карта

ПР №3«Вычисление площадей фигур».

Задание:

1)Перепишите и заполните пропуски:

Пример 1. Периметр участка земли имеющего форму прямоугольника составляет 80 см, а отношение сторон 2:3. Найдите площадь участка.

Дано: ABCD-прямоугольник, P = 80cм, AD : AB = 2 : 3 .Найти: S.
Решение: х - коэффициент пропорциональности, AD = 2x (см), АВ = 3х (см), P = (AD+AB)2,
(2х+3х) 2 = 80, 5х = 40, х = ...,
AD = 82 = … cм, АВ = 83= …см, S = ab, S = 1624 = …cм2
Ответ: 384 см2.

Пример 2. Дано: АВСD-ромб, A=150º ,AB = 6 см. Найти: S.
Решение: ABCD- ромб (по условию),A+В=180º (внутренние односторонние углы при параллельных прямых AD и ВС и секущей АВ). В=180º150º = …º .

Δ АВК- прямоугольный. Катет, лежащий против угла в 30º равен половине гипотенузы.

АК=1/2АВ = 6 : 2= … см.  S = ah = 63= … см².
Ответ: S=18 см².
hello_html_m7e207ca8.jpg

Пример 3. Дано: ABCD-параллелограмм, BH= 15 см , AD =21 см. Найти: S.

Решение: S = BH AD = 15 21 = …

Ответ : 315 см2.

Пример 4. В параллелограмме ABCD стороны равны 14 и 8см., высота проведенная к большей стороне, равна 4 см. Найдите площадь параллелограмма и вторую высоту.

Дано: ABCD-параллелограмм, BH= 4 см , AD = 14 см, АВ = 8 см. Найти: S, H.

Решение: S = BH AD = 4 14 = …, H = S : АВ = 56 : 8 = …

Ответ : S = 56 см2, H = 7 см.

Пример 5. Площадь параллелограмма равна 48 см2 , а его периметр 40 см. Найдите стороны параллелограмма, если высота, проведенная одной из них, в 3 раза меньше этой стороны.

Решение: х- коэффициент пропорциональности, тогда высота и сторона будут х,3х;

S = х 3х = 48, х2 = 16, х = …, BH = 4 см, AD = 3 4 = …, P = (AD+AB)2 = 40, AD+AB = 20,

AВ = 20 – 12 = …

Ответ : 8 и 12 см.
Пример 6. а) Найти площадь ромба, если его диагонали равны 3см и 6см.

Решение: S=1/2 hello_html_1cc4939.gif3hello_html_1cc4939.gif6 = 18 : 2 = … (см2). Ответ : 9 см2 .

б) Найти площадь квадратного участка земли, если его диагональ равна 10м.

Решение: S = 1/2 hello_html_1cc4939.gif102 = 100 : 2 = … (м2). Ответ : 50 м2 .

в) Найти одну из диагоналей ромба, если его площадь равна 20 см2, а вторая диагональ 8 см.

Решение: d1= 2S/d2, d1=220/8 = 40 : 8 = … (см). Ответ : 5 см .

г)Найти диагональ квадрата, если его площадь равна 18 см2.

Решение: d2 = 2S, d2 = 36, d = …(см). Ответ : 6 см .

Пример 7. Вычислить площадь ромба, если одна из его диагоналей равна 5 см, а другая в 4 раза больше.

Решение: d2 = 4 d1 = 45 = …, S = 5 20 : 2 = 5 10 = … Ответ : 50 см2 .
Пример 8. Площадь трапеции равна 320 см2, а высота трапеции равна 8 см. Найдите основания трапеции, если одно и них составляет 0,6 длины другого. 

Решение: S = (a + b)h : 2, a + b = 2S : h = 2 320 : 8 = 2 40 =…, a = 0,6 b, 0,6 b + b = 80,

1,6b = 80, b = …, a = 80 – 50 = …hello_html_m7ca91367.png

Ответ : 30 и 50 см.

Пример 9. Дано: АВСD- прямоугольник, CKD = 80º .Найти: CBK.

Решение: ABCD –прямоугольник, АС = ВD ,

ΔАВК – равнобедренный, ВКА = CKD = 80º .

АВК = КАВ = ( 180° – 80°) : 2 = 100° : 2 = …,

CBK = 90°АВК = 90° – 50° = … Ответ :CBK = 40°.hello_html_m713f329.jpg

Пример 10.





Решение:

hello_html_20e18f82.jpg

2)Решить задачи ( по примерам):

  1. Дано: ABCD-прямоугольник, P = 60cм, AD : AB = 2 : 3 .Найти: S.

  2. Дано: АВСD-ромб, A=150º ,AB = 12 см. Найти: S.

  3. Дано: ABCD-параллелограмм, BH= 13 см , AD = 21 см. Найти: S.

  4. Дано: ABCD-параллелограмм, BH= 4 см , AD = 28 см, АВ = 8 см. Найти: S, H.

  5. Площадь параллелограмма равна 48 см2 , а его периметр 60 см. Найдите стороны параллелограмма, если высота, проведенная одной из них, в 3 раза меньше этой стороны.

  6. а) Найти площадь ромба, если его диагонали равны 3см и 12см.

б) Найти площадь квадратного участка земли, если его диагональ равна 12 м.

в) Найти одну из диагоналей ромба, если его площадь равна 40 см2, а вторая диагональ 8 см.

г)Найти диагональ квадрата, если его площадь равна 32 см2.

  1. Вычислить площадь ромба, если одна из его диагоналей равна 6 см, а другая в 4 раза больше.

  2. Площадь трапеции равна 120 см2, а высота трапеции равна 8 см. Найдите основания трапеции, если одно и них составляет 0,5 длины другого. 

  3. Дано: АВСD- прямоугольник, CKD = 40º .Найти: CBK.

  4. Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны. Найдите острый угол параллелограмма, если площадь его равна площади прямоугольника.

3)Решить задачи :

  1. Найти: S по рис.

hello_html_744b8681.png.

  1. Как изменяется площадь квадрата, если каждую сторону увеличить в 2 раза?

  2. Во сколько раз надо уменьшить сторону квадрата, чтобы площадь уменьшилась в 25 раз?

  3. Параллелограмм и прямоугольник имеют равные основания и равные периметры. Площадь, какой фигуры больше.hello_html_m5558a9b3.png

  4. Поле имеет фигуру параллелограмма, основание которого равны 250 м, а высота 100 м. Через это поле прямым углом к основанию проходит проселочная дорога шириной 5 м. Найдите посевную площадь этого поля. hello_html_m7e207ca8.jpg

  5. Дано: ABCD-параллелограмм,S = 187 см2 , AD =17 см.  Найти: ВН.

  6. В параллелограмме ABCD высоты равны 10 и 5 см., площадь параллелограмма равна 60 см2 .Найдите стороны параллелограмма.

  7. Площадь параллелограмма равна 50 см2, а его периметр 34 см.
    Найдите стороны параллелограмма, если одна из них в 2 раза больше проведенной к ней высоты.


Инструкционная карта

ПР №4«Построение параллельных прямых и расчет углов. Доказательство параллельности прямых и плоскостей».

Задание:

1)а) Построение параллельных прямых, параллельных прямой и плоскости.

б) Перепишите и заполните пропуски:hello_html_69440865.png

Пример 1. Дано: а || α, b α, а || b, с - секущая, 2 1= 30°,

Найти: 1, 2.

Решение: Углы 1 и 2 внутренние односторонние,

их сумма равна 180°, т. е.  l + 2 = 180°. (1)

Обозначим градусную меру угла 1 через х.

По условию 2 х = 30°, или 2 = 30° + x.

Подставим в равенство (1) значения углов 1 и 2, получим 
х + 30° + х = 180°, 2х = 150°,

Решая это уравнение, получим х = …°, т. е. 

1 = 75°, a 2 = 180° 75° = …°.

Ответ: 1 = 75°, a 2 = 105°.hello_html_11aaf2e3.png

Пример 2. Две параллельные прямые, одна из которых лежит в плоскости α, пересечены третьей. Известно, что сумма двух внутренних накрест лежащих углов равна 150°. Чему равны эти углы и остальные шесть?

Дано: а || α, bα, а || b, с - секущая, l + 2 = 150°,

Найти: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

Решение: Углы 1 и 2 внутренние накрест лежащие, следовательно, они равны.

Сумма этих углов по условию задачи равна 150°, тогда 1 = 2 = 150° : 2 = ...

Найдем остальные углы . 1 = 3 = 75° и 2 = 7 = 75° (вертикальные). Углы 4 и 5, 6 и 8 равны как вертикальные, a 5 = 6 как внутренние накрест лежащие. Все перечисленные углы 4, 5, 6 и 8 равны между собой , так как 4 + 3 = 180°, hello_html_2ed53250.png

то 4 = 180° 3 = 180 ° – 75 ° = ...

Получили четыре угла по 75°, четыре угла по 105°.

Ответ: 1 = 2 = 3 = 7 = 75°, 4 = 5 = 6 = 8 = 105°.hello_html_m40fa69e3.jpg

Пример 3. Дано: а || α, bα, а || b, с - секущая, 1 = 150°,

Найти: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

Решение: 3 = 1 = 150°(верт.), 3 = 5 = 150°(н.леж.),

5 = 7 = 150°(верт.), 1 + 2 = 180°(смежные),

2 = 180° 1 = 180° 150° = …°,

2 = 4 = 30°(верт.), 4 = 6 = 30°(н.леж.), 6 = 8 = 30°(верт.).

Ответ: 3 = 5 = 7 = 150°, 2 = 4 = 6 = 8 = 30°.

Пример 4. Дано: а || α, bα, а || b, с - секущая, 4 = 70°,

Найти: 1, 2, 3, , 5, 6, 7, 8.

Решение: 2 = 4 = …°(верт.), 4 = 6 = 70°(н.леж.),

6 = 8 = …°(верт.), 4 + 3 = 180°(смежные),

3 = 180° 4 = 180° 70° = …°,

3 = 1 = 110°(верт.), 3 = 5 = …°(н.леж.), 5 = 7 = …°(верт.).

Ответ: 1 = 3 = 5 = 7 = 110°, 2 = 6 = 8 = 70°.

Пример 5.Плоскости α и β пересекаются по прямой АВ. Прямая а || α, а || β. Докажите, что а || АВ.

Док-во: Через точку А проведем АМ || α. Так как а || α, а || β, то АМ α, АМ β. Таким образом, αβ =АМ, т.е. она совпадает с АВ. Следовательно, АВ || а.

Пример 6. Дано: АВСD- прямоугольник, М ( АВСD), (СВМ) = α. Докажите, что АD || α.

Док-во: АD || ВС, ВС α. Следовательно, АD || α.




2)Решить задачи ( по примерам):

  1. Дано: а || α, bα, а || b, с - секущая, 2 1= 40°,Найти: 1, 2.

  2. Дано: а || α, bα, а || b, с - секущая, l + 2 = 150°,Найти: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

  3. Дано: а || α, bα, а || b, с - секущая, 1 = 145°,Найти: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

  4. Дано: а || α, bα, а || b, с - секущая, 4 = 50°,Найти: 1, 2, 3, , 5, 6, 7, 8.

  5. Плоскости α и β пересекаются по прямой МС. Прямая а || α, а || β. Докажите, что а || МС.

  6. Дано: АВСD- прямоугольник, К ( АВСD), (СВК) = α. Докажите, что АD || α.

3)Решить задачи :

  1. Дано: а || α, bα, а || b, с - секущая, 2 1= 50°,Найти: 1, 2.

  2. Две параллельные прямые, одна из которых лежит в плоскости α, пересечены третьей. Известно, что сумма двух внутренних накрест лежащих углов равна 110°. Чему равны эти углы и остальные шесть?

  3. Дано: а || α, bα, а || b, с - секущая, 1 = 135°,Найти: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

  4. Дано: а || α, bα, а || b, с - секущая, 4 = 20°,Найти: 1, 2, 3, , 5, 6, 7, 8.

  5. Плоскости α и β пересекаются по прямой МК. Прямая а || α, а || β. Докажите, что а || МК.

  6. Дано: ОРТЕ- прямоугольник, К ( ОРТЕ), (РТК) = α. Докажите, что ОЕ || α.

  7. Дано: АВСD- трапеция, М ( АВСD), (СВМ) = α. Докажите, что АD || α.

  8. Дано: АВСD- трапеция, АВ || α, С α, MN – средняя линия трапеции. Докажите, что MN || α.

  9. Дано: АВСD- параллелограмм, К ( АВСD), (АВК) = α. Докажите, что СD || α.hello_html_m477473c3.png

  10. Дано: А α, В α, С α, М – середина АС, К – середина ВС. Докажите, что MК || α.

  11. hello_html_me6b84c4.png


  1. Плоскость α проходит через середины боковых сторон АВ и CD трапеции ABCD- точки M и N. а) Докажите, что AD׀׀α.
    б) Найдите ВС, если
    AD=10 см, MN=8см.
    hello_html_m33a48410.gif

  2. Плоскость α проходит через основание АD трапеции ABCD. Точки M и Nсередины боковых сторон трапеции. а) Докажите, что MN׀׀α.

б) Найдите AD, если BC = 4 см, MN = 6см.

  1. На модели куба укажите плоскости, параллельные прямой DC, прямой DD1.

  2. По готовому рисунку: а) докажите, что: KMEF;
    б) найдите
    KM , если EF=8 см. hello_html_m3e0c4470.jpg
    hello_html_5a486f25.jpg

  3. ABCD – трапеция, AD , E и F – середины AB и CD соответственно.
    Докажите, что
    EF || α.

  4. Дан ΔВСЕ. Плоскость, параллельная прямой СЕ, пересекает BE
    в точке Е1,а ВС - в точке С1. Найдите ВС1, если С1Е1 : СЕ = 3 : 8, ВС = 28 см.

  5. Через основание AD трапеции ABCD проведена плоскость α. ВС α. Докажите, что прямая, проходящая через середины сторон АВ и CD,
    параллельна плоскости α.
    hello_html_m1a1d6694.jpg

  6. Дано: А, В, С, D; В (ACD). Е, F, М, К- середины сторон АВ, ВС, CD, AD;
    AC = 6 см, BD = 8 см. Доказать: EFMK - параллелограмм. Найти: P(EFMK).  

  7. Дано: ΔАВК, М (АВК); E.D- точки пересечения медиан ΔМВК и ΔАВМ;
    АК = 14 см. Доказать: ADEK - трапеция. Найти: DE


Инструкционная карта

ПР №5«Определение взаимного расположения прямых в пространстве. Построение параллельных плоскостей».

Задание:

1)Перепишите и заполните пропуски:

Пример 1. Два отрезка длин а и b упираются концами в две параллельные плоскости. Проекция первого отрезка (длины а) на плоскость равна с. Найдите проекцию второго отрезка, если а = 17 , b = 10, с = 15 см.

Дано: α || β, а = 17 , b = 10, с = 15 см. Найти: х

Решение:

а2 – с2 = b2 – х2, х2 = b2а2 + с2 , х2 = 102 – 172 + 152 =

= 100 – 289 + 225 = …, х = … см.
Ответ: х = 6 см.

Пример 2.

Две параллельные плоскости расстояние между

которыми 2 дм, пересечены прямой, составляющей с каждой из

плоскости угол в 300. Найти длину отрезка этой прямой, заключенной

между плоскостями.

Дано: α || β, АВα = А, АВβ = В, АВС = 30°, АС = 2 дм.

Найти: АВ

Решение: Δ АСВ – прямоугольный, АВС = 30°, АС = 2 дм.

АВ = 2 АС = 2 2 = … дм.
Ответ: АB = 4 дм.

Пример 3. Расстояние между параллельными плоскостями равно 8 см. Отрезок прямой длина которого 17 см расположен между ними так, что его конец принадлежит плоскости. Найти проекцию этого отрезка на другую плоскость.

Дано: α || β, АВα = А, АВβ = В, АВ = 17 см, АС = 8 см.

Найти: ВС

Решение: Δ АСВ – прямоугольный, ВС2 = АВ2 – АС2 = 172 – 82 = 289 – 64 = …, ВС = … см.

Ответ: BС = 15 см.

Пример 4. На параллельных плоскостях α и β, выбрано по паре точек А12 и В12 соответственно так, что прямые А1В1 и А2В2 пересекаются в точке S Вычислите SА1 и SВ2, если А1В1= 6см;
2 = 2,5см; SВ2 : SА2 = 3 : 1 . S

Дано: α || β, А1 А2В1 В2 = S, А1, А2 α, В12 β,

А1В1= 6см; SА2 = 2,5см; SВ2 : SА2 = 3 : 1

Найти: 1, SВ2

Решение: Δ SА1 А2 ~ Δ SВ1В2 , (α || β), SВ2 : SА2 = 3 : 1, SА2 = 2,5см,

2 = 3 2,5 = … см. 1 : SА1 = 3 : 1, А1В1= 6см, SА1 = х ,

( х + 6 ) : х = 3 : 1, 3х = х + 6 , 2х = 6, х = …, SА1 = … см.

Ответ:1 = 3 см, SВ2 = 7,5 см .

Пример 5.

Дано: α || β, а α, bβ, а || b, с - секущая, 1 = 150°,

Найти: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

Решение: 3 = 1 = 150°(верт.), 3 = 5 = 150°(н.леж.),hello_html_m40fa69e3.jpg

5 = 7 = 150°(верт.), 1 + 2 = 180°(смежные),

2 = 180° – 1 = 180° – 150° = …°,

2 = 4 = 30°(верт.), 4 = 6 = …°(н.леж.), 6 = 8 = …°(верт.).

Ответ: 3 = 5 = 7 = 150°, 2 = 4 = 6 = 8 = 30°.

2)Решить задачи ( по примерам):

  1. Два отрезка длин а и b упираются концами в две параллельные плоскости. Проекция первого отрезка (длины а) на плоскость равна с. Найдите проекцию второго отрезка, если а = 13 , b = 15, с = 5 см.

  2. Две параллельные плоскости расстояние между которыми 6 дм, пересечены прямой, составляющей с каждой из плоскости угол в 300. Найти длину отрезка этой прямой, заключенной между плоскостями.

  3. Расстояние между параллельными плоскостями равно 10 см. Отрезок прямой длина которого 26 см расположен между ними так, что его конец принадлежит плоскости. Найти проекцию этого отрезка на другую плоскость.

  4. На параллельных плоскостях α и β, выбрано по паре точек А12 и В12 соответственно так, что прямые А1В1 и А2В2 пересекаются в точке S Вычислите SА1 и SВ2, если А1В1= 12см;
    2 = 4,5см; SВ2 : SА2 = 3 : 1.

  5. Дано: α || β, а α, bβ, а || b, с - секущая, 1 = 140°. hello_html_m48661333.jpg

Найти: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

3)Решить задачи :

1. Концы двух пересекающихся отрезков AC и BD лежат на двух параллельных плоскостях, причем расстояния между точками одной плоскости равны.
а) Докажите, что АВ ǁ
CD;
hello_html_3cafc7c0.jpg

б) Один из углов четырехугольника ABCD равен 65° . Найдите остальные углы.
2.
Через вершины А и С параллелограмма АВСD проведены параллельные прямые АА1 и СС1, не лежащие в плоскости параллелограмма.

Докажите параллельность плоскостей А1АВ и С1СД.

3.Через точку O, которая находится между параллельными плоскостями α и β, проведены прямые c и d, пересекающие плоскости так, что точки A и B находятся в плоскости α, а точки C и D - в плоскости β ,

AB=15 см, DO=29 см и AC=3AO.Вычислить: BD;CD.                                         

4.Через точку О, лежащую между параллельными плоскостями α и β, проведены прямые l и m. Прямая l пересекает плоскости α и β в точках А1 и А2 соответственно, прямая m – в точках В1 и В2. Найдите длину отрезка А2В2, если А1В1 = 12 см, В1О:ОВ2 = 3 : 4.

5.Дан треугольник АВС. Плоскость, параллельная прямой АВ, пересекает сторону АС этого треугольника в точке А1, а сторону ВС в точке В1.

Найдите длину отрезка А 1В 1,если АВ = 8 см, АА1 : А1С = 5 : 3.

6.Параллелограммы ABCD и ABC1D1 лежат в разных плоскостях.

Докажите, что четырёхугольник CD C1D1 тоже параллелограмм.

7.Три прямые, проходящие через одну точку О, пересекают плоскость α в точках A,B,C, а параллельную ей плоскость β в точках A1,B 1,C 1. Найдите площадь треугольника АВС,hello_html_49c55645.jpg

если угол В1 равен 900, А1 В1= 3 см, В1С1= 4 см, а точка А1 делит ОА пополам .

8.Дано: α || β,  α .Доказать: что m || β.

9.Три прямые, проходящие через одну точку О, пересекают плоскость α в точках A,B,C, а параллельную ей плоскость β в точках A 1,B 1,C 1..
Докажите подобие треугольников ABC и A
 1B 1C 1.
hello_html_m2d5bd222.jpg

10.Две стороны треугольника параллельны плоскости α.

Докажите, что и третья сторона параллельна плоскости α.

Дано: ΔАВС, АВ || α, ВС || α. Доказать: АС || α.

9. 10.

hello_html_79dd18b.gifhello_html_m694c6cb2.gif

Инструкционная карта

ПР №6«Построение сечений тетраэдра и параллелепипеда. Изображение пространственных фигур».

Задание:

1)Перепишите и постройте рисунки:

Построить сечение — значит определить, какие ребра пересекает секущая плоскость, вид полученного сечения и точное положение точек пересечения секущей плоскости с этими ребрами.

При построении сечений следует пользоваться следующими правилами:

1. Если две точки принадлежат как секущей плоскости, так и плоскости некоторой грани многогранника, то прямая, проходящая через эти две точки, является линией пересечения секущей плоскости с плоскостью этой грани.

2. Если секущая плоскость параллельна некоторой плоскости, то эти две плоскости пересекаются с любой гранью по параллельным прямым.

3. Если секущая плоскость параллельна прямой, лежащей в некоторой плоскости (например, плоскости какой-то грани), то линия пересечения секущей плоскости с этой плоскостью (гранью) параллельна этой прямой.

4. Секущая плоскость пересекает параллельные грани по параллельным прямым.

5. Пусть две точки А и В принадлежат секущей плоскости, а точки А1 и В1 являются параллельными проекциями этих точек на некоторую грань. Если прямые АВ и А1В1 параллельны, то секущая плоскость пересекает эту грань по прямой, параллельной A1В1. Если же прямые АВ и A1В1, пересекаются в некоторой точке, то эта точка принадлежит как секущей плоскости, так и плоскости этой грани.

6. Если построена прямая m – линия пересечения секущей плоскости с некоторой гранью, то целесообразно отметить точки пересечения прямой m со всеми ребрами этой грани (или их продолжениями), с остальными же ребрами многогранника или их продолжениями прямая m не пересекается! Полученные точки пересечения принадлежат как секущей плоскости, так и плоскостям соседних граней многогранника.

Пример 1.

hello_html_mdd95b9e.gif

Пример 2.

hello_html_m6d10b378.jpg

Пример 3. Точка М лежит на боковой грани ADB тетраэдра DABC. Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку М параллельно основанию ABC.

Решение.

Т.к. секущая плоскость параллельна плоскости ABC, то она параллельна прямым AB, BC и CA. Следовательно, секущая плоскость пересекает боковые грани тетраэдра по прямым, параллельным сторонам треугольника ABC.

Отсюда вытекает следующий способ построения искомого сечения. Проведём через точку М прямую, параллельную отрезку AB. Обозначим буквами P и Q точки пересечения этой прямой с боковыми рёбрами DA и DB. Затем через точку P проведём прямую, параллельную отрезку AC,

и обозначим буквой R точку пересечения этой прямой с ребром DC. Треугольник PQR - искомое сечение.

Пример 4. Построить сечение плоскостью, проходящей через данные точки D, Е, K.

hello_html_m33cbe033.gifhello_html_12ce938c.png

Пример 5. Построить сечение.


Пример 6. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Р, К, М, МВС.

hello_html_4a6450d0.gifhello_html_m19fef8a7.gif


Пример 7. Построить сечение KLM.

Пример 8. Построить изображение правильного шестиугольника .

Решение: Разобьем правильный шестиугольник на три части: прямоугольник FBCE и два равнобедренных треугольника Δ FAB и Δ CDE. Построим вначале изображение прямоугольника FBCE – произвольный параллелограмм FBCE. Находим на изображении точку О и проводим

через нее прямую, параллельную ВС и FE, получим при этом точки N и К

(точки пересечения прямой и сторон параллелограмма). Откладываем от точек N и К

на прямой такие же отрезки, как от центра О до точек N и К, получаем две оставшиеся

вершины правильного шестиугольника А и D.

ABCDFE – искомое изображение.

hello_html_m5af7163d.gif



2)Решить задачи :

A)Скопируйте чертёж в тетрадь и постройте сечения пирамид (3 задачи).

1. Постройте точку пересечения прямой АВ с плоскостью MNK.








2. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки А, В и С; С (MND).








3. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки А, В и С.









Б) Скопируйте чертёж в тетрадь и постройте сечения кубов (3 задачи).

1. Постройте точки пересечения прямой MN с плоскостями АВС и DD1С1.








2. Постройте сечения, проходящие через указанные точки.






В) Построить сечение по плану.

1)Построить сечение параллелепипеда ABCD плоскостью КМN, где точки К, М, N лежат соответственно на ребрах , АВ, ВС.

План:

  1. Соединим точки N и М по .

  2. Продолжим ребро DА и прямую NM, и получим точку пересечения F.

  3. Проведем прямую FK, получим точку P - точку пересечения ребра A и прямой KF.

  4. По соединим точки M и P.

  5. Проведем KL || MN, на ребре получили точку L.

  6. Продолжим ребро и прямую КL, и получим точку пересечения R.

  7. Проведём прямую RN, получим точку Е – точку пересечения ребра и прямой RN.

  8. По соединим точки L и E.

  9. Получим искомое сечение - NMPKLE.

2) Изобразите тетраэдр KLMN. а)Постройте сечение этого тетраэдра плоскостью, проходящей через ребро KL и середину A ребра MN. б) Докажите, что плоскость, проходящая через середины E,O и F отрезков LM, MA, и MK, параллельна плоскости LKA

План:

  1. Проведем прямые AL и KA по А2. Треугольник AKL – искомое сечение.

  2. Рассмотрим треугольник LKM: F – середина KM, E – середина LM. Отсюда EF – средняя линия треугольника LKM, значит EF II LK. Аналогично, треугольник MAK: F – середина MK, O – середина MA. Отсюда FO – средняя линия треугольника MAK, значит FO II KA.

Так же треугольник LMA: E – середина LM, O – середина MA. Отсюда EO – средняя линия треугольника LMA, значит EO || LA. Тогда по признаку параллельности плоскостей (OEF) || (ALK).

3)Построить сечения через данные точки.

А)


hello_html_3d63fbdc.jpg



hello_html_m12aea853.jpg

hello_html_2a234c7.jpg

Б)

hello_html_m5960cf3.jpghello_html_m3054f262.jpghello_html_m64d18993.jpg


Инструкционная карта

ПР №7«Перпендикулярность прямых. Перпендикулярность прямой и плоскости».

Задание:

1)Перепишите и заполните пропуски:

Пример 1. Дан параллелепипед АВСDА1В1С1D1 , у которого основание квадрат. Докажите, что а) СD В1С1 , б) С1D1 АD . hello_html_75ed7ad2.jpg

Доказательство: а) СD || A1B1, A1B1 В1С1 СD В1С1 ( по лемме),
б) С
1D1 || ВС , ВС АD С1D1 АD ( по лемме) .
hello_html_m66ec6653.jpg

Пример 2. Прямые АВ, АС и AD попарно перпендикулярны . Найдите отрезок CD, если: АВ = 3 см, ВС = 7 см, AD = 1,5 см;

Дано: АВ, АС и AD попарно перпендикулярны, АВ = 3 см, ВС = 7 см, AD = 1,5 см; Найти: CD

Решение: Δ САВ – прямоугольный, АС2 = СВ2 – АВ2,

АС2 = 72 – 32 = 49 – 9 = …, Δ САD – прямоугольный, СD2 = АС2 + АD2,

СD2 = 40 + 1,52 = 40 + 2,25 = …,

СD = … см. Ответ: СD = 6,5 см.

Пример 3. Через точки А и В проведены прямые, перпендикулярные плоскости α, пересекающие ее в точках С и D соответственно. Найдите расстояние между точками А и В, если АС = 2 м, BD = 3 м, CD = 2,4 м и отрезок АВ не пересекает плоскость α.

Дано: АС α , BD α , АС = 2 м, BD = 3 м, CD = 2,4 м. Найти: A B

Решение: BK = BD – АС = 3 – 2 = …,

Δ BKА – прямоугольный, AB2 = АK2 + BK 2 = СD2 + BK2,

AB2 = 2,42 + 12 = 5,76 + 1 = …, AB = … см.

Ответ: AB = 2,6 см.

Пример 4. Телефонная проволока длиной 15 м протянута от телефонного столба, где она прикреплена на высоте 8 м от поверхности земли, к дому, где ее прикрепили на высоте 20 м. Найдите расстояние между домом и столбом, предполагая, что проволока не провисает.

Дано: AB = 15 м, АС = 8 м, BD = 20 м,

Найти: CD

Решение: BK = BD – АС = 20 – 8 = …,

Δ BKА – прямоугольный, АK2 = AB2 BK 2 = 152 122 = 225 – 144 = …, АK = … см.

CD = АK = 9 см. Ответ: CD = 9 см.

Пример 5. К плоскости треугольника из центра, вписанной в него окружности радиуса 0,7 м восставлен перпендикуляр длиной 2,4 м. Найдите расстояние от конца этого перпендикуляра до сторон треугольника.

Дано: Δ АВС, О – центр , вписанной в него окружности,

ОК = r = 0,7 м, ОМ (АВС), ОМ = 2,4 м, Найти: МК

Решение: ΔМОК - прямоугольный,

МК2 = ОК2 + ОМ2 = 0,72 + 2,42 = 0,49 + 5,76 = …,

МК = … м.

Ответ: МК = 2,5 м.hello_html_m634b7c0d.jpg

Пример 6. Дано: ΔАВС; АВ = АС = ВС; CD  (ABC); AM = MB, 

DM = 15, CD = 12 Найти: SΔADB.

 Решение:1) CD  (ABC)  CD  AC и CD  ВС, тo есть 

ACD = BCD = 90° и ΔADC, ΔBDC -прямоугольные.

2) ΔADC = ΔBDC (по двум катетам): DC - общий, AC = ВС (по условию). Значит, AD =BD (как соответствующие в равных треугольниках), тогда ΔADB - равнобедренный (по определению) и DM - медиана. Следовательно, DM - высота (по свойству медианы равнобедренного треугольника).

3) DC  МС  DCM = 90° и ΔMCD - прямоугольный. По теореме Пифагора:  MD2 = DC2 + МС2. Тогда  152 = 122 + МС2 , МС2 = 225 –144 = …, МС = …

4) ΔМСВ - прямоугольный (CMB = 90°, так как СМ - медиана и высота в ΔАВС - равностороннем),

В = 60°,sinВ = МС : ВС, тогда ВС = МС : sin60° = 9 : = 18: = 6,АВ = ВС (по условию),

5)  Ответ: .hello_html_4318143f.jpg

Пример 7. Дано: АВ - отрезок; α; АВ  α; О - середина АВ, О  α;

ХА = ХВ. (рис. 2). Доказать: X  α.

Доказательство:

1) Если X  АВ, то Х = О, и поэтому X  а.

2) Если X  АВ, то ХО - медиана ΔАХВ. ΔАХВ - равнобедренный (по определению), значит, ХО - высота (по свойству медианы равнобедренного треугольника), то есть ХО АВ. Таким образом, О  ХО, О  АВ и ХО  АВ, следовательно, ХО  а и X  а.

Пример 8. Дано: α; ABCD - параллелограмм; BD α; А α, C α, AB = 7 см .hello_html_7046f1aa.jpg

Найти: РABCD.

Решение: 1)Так как А  α, С  α, то AC α;BD α;=> BD AC;

  (по определению прямой, перпендикулярной плоскости). Значит, ABCD - ромб (по признаку). Тогда АВ = ВС = CD =AD = 7 см (по определению ромба).

2) РABCD = 4 · 7 = …(см). Ответ: 28 см.

2)Решить задачи ( по примерам):

  1. Дан параллелепипед АВСDА1В1С1D1 , у которого основание квадрат.

Докажите, что а) С1D1 ВС, б) СD А1D1 .

  1. Прямые АВ, АС и AD попарно перпендикулярны . Найдите отрезок CD, если: АВ = 6 см, ВС = 14 см, AD = 3 см;

  2. Через точки А и В проведены прямые, перпендикулярные плоскости α, пересекающие ее в точках С и D соответственно. Найдите расстояние между точками А и В, если АС = 8 см, BD = 20 см, CD = 5см и отрезок АВ не пересекает плоскость α.

  3. Телефонная проволока длиной 26 м протянута от телефонного столба, где она прикреплена на высоте 6 м от поверхности земли, к дому, где ее прикрепили на высоте 30 м. Найдите расстояние между домом и столбом, предполагая, что проволока не провисает.

  4. К плоскости треугольника из центра, вписанной в него окружности радиуса 1 м восставлен перпендикуляр длиной 2,4 м. Найдите расстояние от конца этого перпендикуляра до сторон треугольника.

  5. Дано: ΔАВС; АВ = АС = ВС; CD  (ABC); AM = MB, DM = 17, CD = 8. Найти: SΔADB.

  6. Дано: АВ - отрезок; α; АВ  α; О - середина АВ, О  α; CА = CВ.
    Доказать:
    C  α.
    hello_html_22068a07.jpg

  7. Дано: α; ABCD - параллелограмм; BD α; А α, C α,

AB = 10 см .Найти: РABCD.

3)Решить задачи :

  1. Дано: ABCD квадрат; AM - прямая; АМ  (ABCD); АС  BD = О. Доказать: a) BD  (АМО); б) МО  BD.

  2. Прямые АВ и CD перпендикулярны некоторой плоскости и пересекают ее в точках В и D соответственно. Найдите AС, если АВ = 9, CD = 15, BD = 8.

  3. Отрезок МН пересекает некоторую плоскость в точке К. Через концы отрезка проведены прямые HP и ME, перпендикулярные плоскости и пересекающие ее в точках Р и Е. Найдите РЕ, если HP = 4 см, НК = 5 см, ME = 12 см.

  4. Треугольник ABC правильный, точка О - его центр. Прямая ОМ перпендикулярна плоскости AВС. Докажите, что МА = MB = МС. Найдите МА,
    если АВ = 6 см, МО = 2 см.
    hello_html_m754188c5.jpg

  5. ABCD - квадрат . АЕ - перпендикулярно плоскости квадрата, К  BE. Найти: (ВС; АК).

  6. ABCD прямоугольник. Отрезок АЕ перпендикулярен к плоскости ABC. ЕВ = 15, ЕС = 24, ED = 20. Докажите, что треугольник EDC прямоугольный, и найдите АЕ.

  7. Точка А принадлежит окружности, АК - перпендикуляр к ее плоскости, АК = 1 см, АВ - диаметр, ВС — хорда окружности, составляющая с АВ угол 45°. Радиус окружности равен 2 см. Докажите, что треугольник КСВ прямоугольный, и найдите КС.

  8. Дано: α; АВ - отрезок;AB α = O,AD α; BC α; AD α = D,BC α = C, AD = 6 см, BC = 2 см, OC = 1,5 см. Найти: АВ.

Инструкционная карта

ПР №8«Вычисление перпендикуляра и наклонной. Вычисление угла между плоскостями».

Задание:

1) а) Записать по рисунку:

  • какой отрезок является перпендикуляр, наклонная, проекция наклонной,

  • угол между наклонной и плоскостью α.

АС - …, АВ - …, СВ – …, АВ2 = ВС2 + АС2.

- угол между наклонной и плоскостью α.

б)Перепишите и заполните пропуски:

Пример 1. Из точки, не принадлежащей данной плоскости , проведены к ней
две наклонные, равные 10см и 18см. Сумма длин их проекций на

плоскость равна 16см. Найти проекцию каждой наклонной.(рис.1)

Дано: ОС - перпендикуляр, АС и ВС - наклонные, АО и ОВ – их проекции, рис.1

АС = 10 см, СВ = 18 см, АО + ОВ = 16 см,

Найти: АО, ОВ

Решение: АС = 10, СВ = 18, АО + ОВ = 16, АО = х, ОВ = 16 – х,

АС2 АО2 = ВС2 – ОВ2 , 102 х2 = 182 – (16 х)2, 100 х2 = 324 – 256 + 32 х х2 ,

32 х = 32, х = … , АО = 1, ОВ = 16 – 1 = .... Ответ: 1 и 15 см.

Пример 2. Из точки к плоскости проведены две наклонные. Одна из них длиной 12см наклонена к плоскости под углом 60°, проекция другой на эту плоскость равна 6 см.

Найти длину этой наклонной.

Дано: ОС - перпендикуляр, АС и ВС - наклонные, АО и ОВ – их проекции,

СА = 12 см , САО = 60°, ОВ = 6 см ,

Найти: СВ

Решение: Δ АОС- прямоугольный, АСО = 90 ° – 60 ° = 30°, АО = СА : 2 = 12: 2 = … ,

СО2 = СА2 –АО2 = 122 – 62 = 144 – 36 = … ,

СВ2 = СО2 + ОВ2 = 108 + (6 )2 = 108 + 36 6 = 108 + 216 = … , СВ = … см. Ответ: 18 см.

Пример 3. Из точки С к данной плоскости проведены перпендикуляр СО = 6см и две наклонные. Каждая из наклонных образует с плоскостью угол 60°. Угол между наклонными 120°. Найти расстояние между основаниями наклонных.

Дано: ОС - перпендикуляр, АС и ВС - наклонные, АО и ОВ – их проекции,

СО = 6см, САО = СВО = 60°, АСВ = 120°,

Найти: АВ
Решение: sin САО = СО : АС, АС = ВС = СО : sin САО = 6: sin60 ° = 6 : = 12 : = 4 ,

Δ АВС – равнобедренный, АВ2 = АС2 + ВС2 – 2АС ВС cos АСВ =

= (4)2 + (4)2 – 24 cos 120° = 16 3 + 16 3 - 216 3( – ) = 48 + 48 + 48 = … ,

АВ = … см. Ответ: АВ = 12 см.

Пример 4. Из точки С к данной плоскости проведены перпендикуляр СО и две наклонные СВ и АС. ОВ= 4,САО = 30°, СВО = 60°, а угол между наклонными 90°. Найти расстояние между основаниями наклонных.

Дано: ОС - перпендикуляр, АС и ВС - наклонные, АО и ОВ – их проекции,

ОВ= 4,САО = 30°, СВО = 60°, АСВ = 90°,

Найти: АВ

Решение: ΔСОВ – прямоугольный, СВО = 60°, ОСВ = 90 ° - 60 ° = 30 °,

ВС= 2 ОВ = 24 = … , СО2 = ВС2 – ОВ2 = 82 – 42 = 64 – 16 = … , СО = = 4,

АС = 2 СО = 24 = … , ΔАСВ - прямоугольный, АВ2 = АС2 + ВС2 = (8)2 + 82 =

= 64 3 + 64 = … , АВ = … см. Ответ: АВ = 16 см.
Пример 5. Диагонали квадрата АВСD пересекаются в точке О.


Из точки О проведён к плоскости квадрата перпендикуляр ОМ. Найти расстояние от точки М до

стороны ВС, если AD = 6см, ОМ = 4см. (рис.2)

Дано: АВСD - квадрат, ОМ - перпендикуляр,
О - точка пересечения диагоналей квадрата,

МК - расстояние от точки М до стороны ВС, AD = 6см, ОМ = 4см.

Найти: МК

Решение: ОК = АВ : 2 = AD : 2 = 6 : 2 = … , ΔМОК - прямоугольный, Рис.2

МК2 = ОМ2 + ОК2 = 42 + 32 = 16 + 9 = … , МК = ... Ответ: МК = 5 см.
Пример 6. Прямые АВ, АС и AD попарно перпендикулярны . Найдите отрезок CD, если: АВ = 3 см, ВС = 7 см, AD = 1,5 см;

Дано: АВ, АС и AD попарно перпендикулярны, АВ = 3 см, ВС = 7 см, AD = 1,5 см; Найти: CD

Решение: Δ САВ – прямоугольный, АС2 = СВ2 – АВ2, АС2 = 72 – 32 = 49 – 9 = … ,

Δ САD – прямоугольный, СD2 = АС2 + АD2, СD2 = 40 + 1,52 = 40 + 2,25 = … ,

СD = … см. Ответ: СD = 6,5 см.hello_html_75ed7ad2.jpg

Пример 7. Дан параллелепипед АВСDА1В1С1D1 , у которого основание квадрат.

Докажите, что а) СD В1С1 , б) С1D1 АD .

Доказательство: а) СD || A1B1, A1B1 В1С1 СD В1С1 ( по лемме),

б) С1D1 || ВС , ВС АD С1D1 АD ( по лемме) .

2)Решить задачи ( по примерам):

  1. Из точки, не принадлежащей данной плоскости, проведены к ней две наклонные,
    равные 20 см и 36 см. Сумма длин их проекций на плоскость равна 32 см.
    Найти проекцию каждой наклонной.

  2. Из точки к плоскости проведены две наклонные. Одна из них длиной 24 см наклонена к плоскости под углом 60°, проекция другой на эту плоскость равна 12 см. Найти длину этой наклонной.

  3. Из точки С к данной плоскости проведены перпендикуляр СО = 12 см и две наклонные. Каждая из наклонных образует с плоскостью угол 60°. Угол между наклонными 120°.
    Найти расстояние между основаниями наклонных.

  4. Из точки С к данной плоскости проведены перпендикуляр СО и две наклонные СВ и АС.
    ОВ= 8,
    САО = 30°, СВО = 60°, а угол между наклонными 90°. Найти расстояние между основаниями наклонных.

  5. Диагонали квадрата АВСD пересекаются в точке О. Из точки О проведён к плоскости квадрата перпендикуляр ОМ. Найти расстояние от точки М до стороны ВС, если AD = 12 см, ОМ = 8 см.

  6. Прямые АВ, АС и AD попарно перпендикулярны.
    Найдите отрезок CD, если: АВ = 6 см, ВС = 14 см, AD = 3 см;

  7. Дан параллелепипед АВСDА1В1С1D1 , у которого основание квадрат.
    Докажите, что
    а) С1D1 ВС, б) СD А1D1 .

3)Решить задачи :

  1. Дано: АС - перпендикуляр, АВ - наклонная,
    а) АВ = 10 см, ВС = 6 см, АС = ?, б) АС = 12 см, ВС = 5 см, АВ = ? (Указание:
    АВ2 = ВС2 + АС2 )

  2. Дано: Δ АВС – равнобедренный, АК(АВС), АК = 12 см, АВ = АС = 5 см, ВС = 6 см,
    КМ
    ВС. Найти: КМ, АМ.

(Указание: АВ = АС => КВ = КС => Δ СКВ – равнобедренный, КМ ВС => ВМ- медиана,

ВМ = МС = ВС : 2, КС2 = АК2 + АС2 , КМ2 = КС2 - МС2 , АМ2 = АС2 - МС2 )

  1. Дано: АО - перпендикуляр, АВ и АС - наклонные, АВ = АС, ОАВ = ВАС = 60°,
    АО = 2,5 см.
    Найти: ВС. (Указание: Δ ВАС – равносторонний, ВС = АВ = АС = 2АО)

  2. Телефонная проволока длиной 15 м протянута от телефонного столба, где она прикреплена на высоте 8 м от поверхности земли, к дому, где ее прикрепили на высоте 20 м. Найдите расстояние между домом и столбом, предполагая, что проволока не провисает.

Дано: AB = 15 м, АС = 8 м, BD = 20 м, Найти: CD.

(Указание: Δ BKА – прямоугольный, АK2 = AB2 - BK 2)

  1. Дан куб АВСDА1В1С1D1 . Найдите следующие двугранные углы: а) АВ В1С , б) АDD1В,
    в) А
    1ВВ1К, где К- середина А1D1.

  2. Из вершины равностороннего треугольника АВС проведен перпендикуляр АК к плоскости треугольника. Найдите длину АК, если ВС = 3 см, КС = 3 см.

  3. Найдите тангенс угла между диагональю куба и плоскостью одной из его граней.

Инструкционная карта

ПР №9 «Построение перпендикулярных плоскостей. Вычисление элементов прямоугольного параллелепипеда».

Задание:hello_html_41ca87ca.jpg

1)Перепишите и заполните пропуски:

Пример 1. Из точек А и В, лежащих в двух перпендикулярных плоскостях, опущены перпендикуляры АС и ВD на прямую пересечения плоскостей. Найдите длину отрезка АВ если:

а) АС = 6 м, ВD = 7 м, СD = 6 м, б) АD = ВС = 5 м, СD = 1 м.

Решение: а) Пусть плоскости α и β перпендикулярны. СD – прямая пересечения плоскостей , тогда АС СВ и ВD АD. Тогда в Δ АСВ: АВ2 = АС2 + ВС2, но из Δ СDВ следует ,что: ВС2 = СD2 + ВD2 , так что АВ2 = АС2 + СD2 + ВD2.

АВ2 = 62 + 72 + 62 = 36 + 49 + 36 = …, АВ = …

б) АВ2 = АС2 + ВС2, но из Δ СDА следует ,что: АС2 = АD2 СD2 ,

так что АВ2 = АD2 СD2 + ВС2. АВ2 = 52 12 + 52 = 251 + 25 = …, АВ = …

Ответ: а) 11 м, б) 7 м.hello_html_552bcaf5.jpg

Пример 2. Точка А находится на расстоянии а = 24 см и b = 10 см от двух перпендикулярных плоскостей α и β. Найдите расстояние от этой точки до прямой пересечения плоскостей.

Решение: Пусть α β и α β = с. Проведем перпендикуляры АВ, АD, АС. Тогда четырехугольник АВСD – прямоугольник. АС2 = а2 + b2 ,

АС –искомое расстояние. ВС - проекция АС на плоскость α, поэтому по теореме о 3 – х перпендикулярах ВС с, ВС β. Так как АD β, то по теореме АD||ВС, а, значит, АD и ВС лежат в одной плоскости.

Итак , АС2 = 242 + 102 = 576 + 100 = … , АС = …hello_html_mf971f4e.jpg

Ответ: АС = 26 см.

Пример 3. Плоскости α и β перпендикулярны. В плоскости α взята точка А, расстояние от которой до прямой с ( линия пересечения плоскостей ) равно 0,5 м. В плоскости β проведена прямая b, параллельная прямой с и отстоящая от нее на 1,2 м. Найдите расстояние от точки А до прямой b.

Решение: Пусть α β , b || с, ВС = 1, АВ = 0,5м , где АВ с и ВС b.

Тогда по теореме о 3 – х перпендикулярах АС b. Так что

АС – искомое расстояние и АС2 = АВ2 + ВС2 = 1,22 + 0,52 = 1,44 + 0 ,25 = …, АС = …

Ответ: АС = 1,3 м.

Пример 4. Перпендикулярные плоскости α и β пересекаются по прямой с. Плоскости α проведена прямая а|| с, в плоскости β – прямая b || с. Найдите расстояние между прямыми а и b , если расстояние между прямыми а и с равно 1,5 м, а между прямыми b и с – 0,8 м. hello_html_m209580fa.jpg

Решение: Возьмем в плоскости α точку А на прямой а. По теореме о 3 – х параллельных прямых получаем, что а || b (так как а || с, b ||с). Проведем

АС с и СВ b. Тогда по теореме о 3 – х перпендикулярах АВ b.

Так что АВ – искомое расстояние и АВ СВ, так как α β
( по условию), из прямоугольного треугольника АВС по теореме Пифагора имеем: АВ
2 = СВ2 + АС2 = 1,52 + 0,82 = 2,25 + 0,64 = … , АВ = …

Ответ: АВ = 1,7 м.hello_html_m55b5927a.png

Пример 5.Сумма трех измерений прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равна 40, AB : AA1 : AD = 2 : 2 : 4.   Найдите наибольшую из диагоналей граней параллелепипеда.

Решение: Обозначим ребра 2х, 2х, 4х. 2х + 2х + 4х = 40, 8х = 40,   х = ... Ребра 10,10 и 20. Грани имеют размеры 10х10 или 10х20. Диагональ грани 10х10:   d12= (102+102) =100 + 100= …, d1= 10, Диагональ грани 10х20:   d22= (102 +202) = 100 + 400= … , d2= 10- наибольшая диагональ . Ответ: d2= 10- наибольшая диагональ .

Пример 6. Сумма всех ребер параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равна 120 см. Найти каждое ребро параллелепипеда. если АВ/ВС= 4/5 и ВС/ВВ1 = 5/6.

Решение: Пусть АВ = 4х, тогда ВС= 5х,  ВВ1 = 6х. У параллелепипеда по 4 равных ребра, а всего 12 ребер. 4 (4х + 5х + 6х) = 120, 4 15х = 120, 60х = 120, х = …, АВ = 4 2=…,  ВС = 5 2=…,  ВВ1 = 6 2=…. Ответ:  АВ = 8 см,  ВС = 10 см,  ВВ1 = 12 см. Пример 7. а)Дано: а = 3, b = 4, с = 12, Найти d. Решение: d2 = а2 + b2 + с2 , d2 = 32 + 42 + 122 = 9 + 16 + 144 = …, d = ….

Ответ:  d = 13.

б) Дано: ABCDA1B1C1D1 - прямоугольный параллелепипед,

AB = 12 см, BC= 5 см, BDB1 = 45° . Найти BB1. Решение: В треугольнике BАD найдем ВD:  ВD2 =  АD2 + АB2 , ВD2 =   ВС2 + АB2 ,

ВD2 =  52 + 122 = 25 + 144 = …, ВD = … см

В прямоугольном треугольнике BDB1 найдем BB1: BDB1 = 45°, BB1 = ВD = … см. Ответ:  BB1 = 13 см. Пример 8. Дано: ABCDA1B1C1D1 - прямоугольный параллелепипед, AС1 = 12 см, α = 30°, β = 45°. Найти измерения прямоугольного параллелепипеда а, b, с. Решение: В прямоугольном треугольнике BАD1, α = 30°, AB = а = BD1 : 2 = AС1: 2 = 12: 2 = … см. В прямоугольном треугольнике BDD 1, β = 45°, с = DD 1= BD = = 6 . В прямоугольном треугольнике АBD, BD = 6, АВ = 6 см, АD2 =  BD2  – АВ2  , АD2 =  BD2  – АВ2  = 72 36 = …,

АD = b = … см.

Ответ:  а = b = 6 см, с = 6 см.

2)Решить задачи ( по примерам):

  1. Из точек А и В, лежащих в двух перпендикулярных плоскостях, опущены перпендикуляры АС и ВD на прямую пересечения плоскостей. Найдите длину отрезка АВ если:

а) АС = 3 м, ВD = 4 м, СD = 12 м, б) АD = 4 м, ВС = 7 м, СD = 1 м.

  1. Точка А находится на расстоянии а = 17 см и b = 8 см от двух перпендикулярных плоскостей α и β. Найдите расстояние от этой точки до прямой пересечения плоскостей.

  2. Плоскости α и β перпендикулярны. В плоскости α взята точка А, расстояние от которой до прямой с ( линия пересечения плоскостей ) равно 0,9 м. В плоскости β проведена прямая b, параллельная прямой с и отстоящая от нее на 1,2 м. Найдите расстояние от точки А до прямой b.

  3. Перпендикулярные плоскости α и β пересекаются по прямой с. Плоскости α проведена прямая а|| с, в плоскости β – прямая b || с. Найдите расстояние между прямыми а и b , если расстояние между прямыми а и с равно 4,5 м, а между прямыми b и с – 2,4 м.

  4. Сумма трех измерений прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равна 48, AB : AA1 : AD = 2 : 2 : 4.   Найдите наибольшую из диагоналей граней параллелепипеда.

  5. Сумма всех ребер параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равна 240 см. Найти каждое ребро параллелепипеда. если АВ/ВС= 4/5 и ВС/ВВ1 = 5/6.

  6. а)Дано: а = 8, b = 9, с = 12, Найти d.

б)Дано: ABCDA1B1C1D1 - прямоугольный параллелепипед, AB = 24 см, BC= 10 см, BDB1 = 45° . Найти BB1.

  1. Дано: ABCDA1B1C1D1 - прямоугольный параллелепипед, AС1 = 16 см, α = 30°, β = 45°. Найти измерения прямоугольного параллелепипеда а, b, с.

3)Решить задачи :

  1. Треугольник AM В и прямоугольник ABCD расположены так, что их плоскости взаимно перпендикулярны. Докажите, что угол MAD — прямой.

  2. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 точки Е, F и К — середины ребер

А1В1, A1D1 и AD соответственно; АВ = 4,АА1 = 6, A1C =. 1) Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки Е, F и К, и докажите, что плоскости сечения и основания взаимно перпендикулярны. 2) Найдите AD.

  1. Прямоугольник ABCD и параллелограмм ВЕМС расположены так, что их плоскости взаимно перпендикулярны. Докажите, что L MCD — прямой.

  2. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 точка Е — середина С1 D1, AD = 5, АВ= 4, В1D = . 1)Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через AD и точку Е и докажите, что плоскость сечения перпендикулярна плоскости боковой грани DD1C1C.

2)Найдите АА1.

  1. Два правильных треугольника ABC и DBC расположены так, что их плоскости взаимно перпендикулярны. Найдите тангенс двугранного угла, образованного плоскостями ADC и ABC.

  2. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 основание ABCD — квадрат,
    AD = 2; АС1 = 2. 1)Найдите СС1. 2)Докажите, что плоскости АСС1 и BB1D1 взаимно перпендикулярны.

  3. Сторона правильного треугольника ABC равна 4. Треугольник DBC — равнобедренный
    (DB = DC). Их плоскости взаимно перпендикулярны. Плоскость ADC составляет с плоскостью АВС угол 60°. Найдите площадь треугольника DBC.

  4. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 боковая грань DD1C1C — квадрат,
    DC = 3; BD1 = . 1)Найдите ВС. 2)Докажите, что плоскости BCD1 и DC1B1 взаимно перпендикулярны.

  5. Найти площадь основания ABCD прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 если DB1 = см, DB = 6 см, BC1 = 12 см.

  6. Сумма всех ребер параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равна 480 см. Найти каждое ребро параллелепипеда. если АВ/ВС= 4/5 и ВС/ВВ1 = 5/6.

  7. Дано: а = 6, b = 8, с = 24, Найти d.

  8. Дано: ABCDA1B1C1D1 - прямоугольный параллелепипед, AB = 30 см, BC= 15 см, BDB1 = 45° . Найти BB1.

  9. Дано: ABCDA1B1C1D1 - прямоугольный параллелепипед, AС1 = 20 см, α = 30°, β = 45°. Найти измерения прямоугольного параллелепипеда а, b, с.

  10. Найти диагональ прямоугольного параллелепипеда, стороны основания которого равны 3 и 4, если она образует с плоскостью основания угол 600.

  11. Диагонали бок. граней прямоуг-го парал-да составляют с плоскостью осн-я углы 300 и 600. Вычислить величину А=, где -угол между диагональю парал-да и плоскостью осн-я.

  12. В прямоуголном параллелепипеде диагональ основания равна 3 и составляет со стороной основания угол 450. Через эту сторону и противоположную ей сторону верхнего основания проведена плоскость, образующая с плоскостью основания угол 450. Найти площадь боковой поверхности.

  13. Через диагональ нижнего основания и противолежащую вершину верхнего основания прямоуг-го парал-да проведена плоскость. Найти синус угла между этой плоскостью и плоскостью основания параллелепипеда, если рёбра основания равны 15 и 20, а боковое ребро 16.

  14. В прямоугольном параллелепипеде диагональ основания равна 5, а косинус угла, который она составляет с большей стороной нижнего основания, равен 0,8. Через эту сторону и противолежащую ей сторону верхнего основания проведена плоскость, косинус угла наклона которой к плоскости нижнего основания равен 0,3. Найти площадь этого сечения.

  15. В прямоугольном параллелепипеде hello_html_m6c034c5d.pngизвестны длины рёбер: hello_html_m48a19956.png, hello_html_4554ae65.png, hello_html_m348b0ae.png. Найдите площадь сечения, проходящего через вершины hello_html_3e6a0328.png, hello_html_4fb4f00d.pngи hello_html_22d09072.png.

  16. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 ребро CD = 2, ребро hello_html_64ff0cdb.pngребро CC1 = 2. Точка K — середина ребра DD1. Найдите площадь сечения, проходящего через точки C1, B1 и K. Решение.hello_html_m4a6accbe.png

  17. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 3 и 4. Площадь поверхности этого параллелепипеда равна 94. Найдите третье ребро, выходящее из той же вершины.

  18. Найдите квадрат расстояния между вершинами hello_html_6350e1a3.png и hello_html_359cab26.png прямоугольного параллелепипеда, для которого hello_html_13cc6b74.pnghello_html_3fb7c647.pnghello_html_1243c299.png

  19. Найдите расстояние между вершинами hello_html_5b83eb8a.png и hello_html_5b9d479d.png прямоугольного параллелепипеда, для которого hello_html_m3522914e.pnghello_html_m34b97948.pnghello_html_m52f682de.png.

  20. . Найдите угол hello_html_77b6c3a.png прямоугольного параллелепипеда, для которого hello_html_m43b2f437.pnghello_html_m11b499eb.pnghello_html_m280b22db.png. Ответ дайте в градусах.

  21. В прямоугольном параллелепипеде hello_html_59cfb160.png известно, что hello_html_cf092.pnghello_html_5e2871e6.pnghello_html_37afc816.png. Найдите длину диагонали hello_html_743770d6.png.

  22. В прямоугольном параллелепипеде hello_html_59cfb160.png известно, что hello_html_cf092.pnghello_html_5e2871e6.pnghello_html_37afc816.png. Найдите длину диагонали hello_html_743770d6.png.


Инструкционная карта

ПР № 10«Построение многогранников. Вычисление элементов призмы».

Задание:

1) а) Л.С. Атанасян. Геометрия 10-11 класс, стр. 57,59. Построить многогранники.
б) Перепишите и заполните пропуски:
Пример 1. Основанием прямой призмы является равнобедренный треугольник, в котором высота проведенная к основанию равняется 8см.Высота призмы равняется 12см. Найдите полною поверхность призмы если боковая грань что содержит основание треугольника - квадрат. 
Решение:  Площадь поверхности призмы будет равна сумме площадей оснований и сумме площадей боковых поверхностей, то есть  S = 2S1 + S2 + 2S3 , где S1 - площадь основания призмы, S2 - площадь боковой поверхности, содержащей основание, S3 - площадь боковой поверхности, содержащей стороны равнобедренного треугольника. (Они равны, так как стороны основания равны в следствие того, что треугольник равнобедренный, а вторые стороны равны высоте призмы) .
Поскольку боковая грань, содержащая основание треугольника, является квадратом, то основание треугольника также равно 12 см. (основание треугольника одновременно является стороной грани).
 
Таким образом, зная высоту и основание равнобедренного треугольника можно найти его остальные стороны и площадь.
  S1 = 1/2ah = 1/2 12 8 = 6 8 = … см2 . 
Катеты, соответственно равны (у нас высота, являющаяся в равнобедренном треугольнике одновременно и медианой 12 /2 = 6 см, с каждым из катетов образует прямоугольный треугольник) по теореме Пифагора
  62 + 82  = 102 , Таким образом
S
2 = 1212 = … см2 . S3 = 1012 =… см2 . S = 2S1 + S2 + 2S3 = 2 48 + 144 + 2 120 = … см2 . 
Ответ: … см2.

Пример 2. В основании прямой треугольной призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 8 и 6 см. Найти боковое ребро призмы, если ее боковая поверхность равна 120 квадратных сантиметров. 
Решение: Сначала найдем гипотенузу основания призмы. AB2 = AC2 + BC2 , AB2 = 82 + 62 ,
AB
2 = 64 + 36 = …, AB = … .
Обозначим боковое ребро призмы как  h . Боковое ребро одновременно является и высотой призмы, поскольку по условию задачи призма является прямой. Тогда площадь боковой поверхности призмы является суммой площадей трех прямоугольников - ACC
1A1, CBB1C1 и ABB1A1 или, если подставить известные значения катетов основания призмы, то 10h + 6h + 8h = 120,  24h = 120, h =…, 
Ответ: ребро прямоугольной призмы с прямоугольным треугольником в основании равно 5 см. 

Пример 3 . В правильной четырёхугольной призме площадь основания 144 см2, а высота 14 см. Найти диагональ призмы и площадь полной поверхности. 
Решение: Правильный четырехугольник - это квадрат, сторона основания равна а = = … см. 
Откуда диагональ основания правильной прямоугольной призмы будет равна 
d
2 =122 + 122  = …, d = 12 ,
Диагональ правильной призмы образует с диагональю основания и высотой призмы прямоугольный треугольник. Соответственно, по теореме Пифагора диагональ заданной правильной четырехугольной призмы будет равна: d
12 = ( 12)2 + 142 = 288 + 196 = …, d1 = … см.
Ответ: 22 см .

Пример 4. Основанием прямой призмы ABCD A1B1C1D1 является параллелограмм ABCD со сторонами 4 см и 4 см и углом, равным 30 °. Диагональ AC1 призмы образует с плоскостью основания угол в 60 °. Найдите площадь боковой поверхности призмы.
Решение: Поскольку сумма соседних углов параллелограмма равна 180 градусам, то углы B и D. будут равны 180° – 30° = 150 °. 
Диагональ параллелограмма AC, таким образом, образует треугольник ACD с углом C равным 150
°. Применим теорему косинусов, при этом обозначив диагональ параллелограмма как d, а  стороны параллелограмма как a и b.
Учтем, что
  cos( 150° ) = – / 2. Получим: 
d
2 = a2 + b2 – 2abcos 150° , d2 = 16 + 48 – 2 4 4 (/ 2 ) = 16 + 48 + 48 = …,   
d = 4 , AC = 4 .
Зная величину диагонали параллелограмма, найдем высоту параллелограмма. Треугольник, который образует диагональ AC
1 ( AC1С ) с основанием призмы, согласно условию задачи (призма - прямая)
hello_html_a20ca67.png

является прямоугольным. Угол C1AC по условию равен 60 градусов. Для прямоугольного треугольника тангенс угла C1AC равен отношению противолежащего катета к прилежащему, то есть tg ( C1AC ) = C1С / AC . Учтем, что тангенс 60 градусов равен tg 60° = . 
Соответственно,
 C1С  AC tg ( C1AC ) , C1С = 4 tg 60° , C1С = 4 .
Зная высоту призмы, определим площадь ее боковой поверхности:
  S = 2ha + 2hb, 
S = 2
 4 4  + 24 = 96+ ≈ 327,31   
Ответ: 96 + 32 ≈ 327,31.

Пример 5. Определите полную поверхность правильной четырехугольной призмы, если ее диагональ равна 5 см, а диагональ боковой грани равна 4 см. 
Решение:  Поскольку в основании правильной четырехугольной призмы лежит квадрат, то сторону основания (обозначим как a) найдем по теореме Пифагора: 
a
2 + a2 = 52 , 2a2 = … , a =
Высота боковой грани (обозначим как h) тогда будет равна: h
2 + 12,5 = 42 , h2 + 12,5 = 16 ,h2 = … ,
h = .
Площадь полной поверхности будет равна сумме площади боковой поверхности и удвоенной площади основания S = 2a
2 + 4ah , S = 25 + 4 ,S = 25 + 4 ,S = 25 + 4
S = 25 + 4  , S = 25 + 10≈ 51,46 см
2 . 
Ответ: 25 + 10≈ 51,46 см2 .

2)Решить задачи ( по примерам):

  1. Основанием прямой призмы является равнобедренный треугольник, в котором высота проведенная к основанию равняется 6см. Высота призмы равняется 16 см. Найдите полною поверхность призмы если боковая грань что содержит основание треугольника - квадрат.

  2. В основании прямой треугольной призмы лежит прямоугольный треугольник
    с катетами 4 и 3 см. Найти боковое ребро призмы, если ее боковая поверхность
    равна 120 квадратных сантиметров.
     

  3. В правильной четырёхугольной призме площадь основания 36 см2, а высота 7см.
    Найти диагональ призмы и площадь полной поверхности. 

  4. Основанием прямой призмы ABCD A1B1C1D1 является параллелограмм ABCD
    со сторонами 2 см и 2
    см и углом, равным 30°. Диагональ AC1 призмы образует с плоскостью основания угол в 60°. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

  5. Определите полную поверхность правильной четырехугольной призмы, если ее диагональ равна 10 см, а диагональ боковой грани равна 8 см. 

3) Решить задачи:

  1. Дана прямая призма, в основании которой прямоугольный треугольник Δ АВС, В = 90º,
    ВDD 1В1 – сечение , ВD АС, АА1 = 10 см, АD = 27 см, DС = 12 см.
    Найти площадь сечения Sсеч.
    hello_html_m57d4dae2.jpg

  2. Дана прямая треугольная призма со сторонами a=5,b=12 ,c=13 см и высотой h= 8 см. Найдите площадь боковой и полной поверхности призмы.

  3. Основанием прямой призмы АВСА1В1С1 является прямоугольный треугольник АВС с прямым углом В. Через ребро ВВ1 проведено сечение ВВ1D1D перпендикулярное к плоскости грани АА1С1С.

Найдите площадь сечения, если АА1 =14 см, АD =25 см, DС =36 см.

  1. Основание прямой призмы - треугольник со сторонами AB=5 и BC=12 см и углом в 90° между ними. Наибольшая из площадей боковых граней равна S наиб.=39 см2. Найдите площадь боковой поверхности призмы.hello_html_m5af2f329.jpg

  2. Боковое ребро наклонной четырехугольной призмы

равно l = 12 см, а перпендикулярным сечением является ромб со стороной a=8 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы.



Инструкционная карта

ПР № 11«Вычисление элементов пирамиды, правильной пирамиды, усеченной пирамиды.».

Задание:

1) Перепишите и заполните пропуски:
Пример 1. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого 8см, а радиус описанной около него окружности равен 5 см. Основанием высоты этой пирамиды является середина гипотенузы. Высота пирамиды равна 12см. Вычислить боковые ребра пирамиды. 
Решение: В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на его гипотенузе. Соответственно, AB = 10 см, AO = 5 см. 
Поскольку высота ON = 12 см, то величина ребер AN и NB равна
 
AN
2 = AO2 + ON2 , AN2 = 52 + 122 = …, AN = = …. 
Поскольку нам известна величина AO = OB = 5 см и величина одного из катетов основания (8 см), то высота, опущенная на гипотенузу, будет равна
  CB2 = CO2 + OB2 , 64 = CO2 + 25 , CO2 = 39 ,
CO = . Соответственно, величина ребра CN будет равна :CN2 =  CO2 + NO2 , CN2 = 39 + 144 = …,
CN = .
Ответ: 13, 13 , .
hello_html_3a511f3b.png

Пример 2. Боковая грань правильной треугольной пирамиды представляет собой правильный треугольник, площадь которого 16 корней из 3 см2 (16). Вычислить периметр основания пирамиды. 
Решение
: Правильный треугольник - это равносторонний треугольник. Соответственно, боковая грань пирамиды представляет собой равносторонний треугольник. 
Площадь равностороннего треугольника равна:
 . 
Соответственно:
 16 = a2 / 4 , 16 = a2 / 4 , a2 = 64 ,a = … см .
Основанием правильной треугольной пирамиды является правильный (равносторонний) треугольник. Таким образом, периметр основания пирамиды равен
  Р = 83 = … см .
Ответ: 24 см. 

Пример 3. Высота правильной треугольной пирамиды 4 см, а ее апофемы 8 см. Вычислите площадь боковой поверхности пирамиды. 
Решение:  Исходя из того, что MK = 8, MO = 4, синус угла OKM равен  MO/MK = 1/2 , откуда угол равен arcsin 1/2 = 30 °. Откуда  KO / MK = cos 30° , KO / 8 = cos 30° , KO = 8 cos 30° .
 KO = 8/2 = 4 .
Тогда по свойству равностороннего треугольника
  КО = r = a/6. 4 = a /6 , a = 24. 
Теперь, зная размер основания боковой грани и ее апофему, найдем площадь боковой грани как площадь равнобедренного треугольника:
 Sт = 1/224 8 = 12 8 = … см2 .
Откуда площадь боковой поверхности пирамиды
 S = 3 Sт = 3 96 = … см2 . 
Ответ: 288 см2.

Пример 4. Высота и сторона основания правильной четырехугольной пирамиды соответственно равны 24 и 14. найдите апофему пирамиды. 
Решение: Поскольку пирамида правильная, то в ее основании лежит правильный четырехугольник - квадрат. Кроме того, высота пирамиды проецируется в центр квадрата. Таким образом, катет прямоугольного треугольника, который образован апофемой пирамиды, высотой и отрезком, их соединяющим, равен половине длины основания правильной четырехугольной пирамиды.  Откуда по теореме Пифагора длина апофемы будет найдена из уравнения:  72 + 242 = x2 , x2 = …,  x = ….  Ответ: 25 см .
hello_html_m105d4bfc.png

Пример 5. Дано: усеченная правильная пирамида, n = 3, h = 4, a1= 16 , a2= 10 . Надо найти площадь полной поверхности усеченной пирамиды .

Решение: r1= a1 / 2  = 16  : 2  = 16 : 2 = …, r2= a2 / 2  = 10  : 2  = 10 : 2 = … ,

l2 = h2 + (r2 r1)2, l2 = 42 + (5 8)2 = 16 + 9 = …, l = … Sn =  /4 (a12 + a22) + 1,5 l(a1 + a2) .

Sn =  /4 ((16 )2 + (10 )2) + 1,5 5(16  + 10 ) =  /4 (768 + 300) + 1,5 5 = =267 + 195  =   .

Ответ: 462 

Пример 6. Дано: усеченная правильная пирамида, n = 4, h = 3, a1= 16, a2= 8 . Надо найти площадь полной поверхности усеченной пирамиды .

Решение: r1= a1 / 2= 16: 2= …, r2= a2 / 2= 8  : 2  = …,

l2 = h2 + (r2 r1)2, l2 = 32 + (4 8)2 = 9 + 16 = …, l = ….

Sn = (a12 + a22) + 2 l(a1 + a2) .Sn = (162 + 82) + 2 5(16 + 8) = 320 + 240 = … .

Ответ: 560

Пример 7. Дано: усеченная правильная пирамида, n = 6, h = 2, a1= 2 , a2= 6 . Надо найти площадь полной поверхности усеченной пирамиды .

Решение: r1= a1 / 2  = 2  : 2  =  , r2= a2 / 2  = 6  : 2  = 3 ,

l2 = h2 + (r2 r1)2, l2 = 22 + ( )2 = 4 + 12 = …, l = ….

Sn =3  /2 (a12 + a22) + 3 l(a1 + a2) .Sn =3  /2 (22 + 62) + 3 4(2 + 6) = …   + .

Ответ: 60   + 96

Пример 8. Дано: усеченная правильная пирамида, n = 4, h = 3, r1=2, r2= 6 . Надо найти площадь полной поверхности усеченной пирамиды .

Решение: l2 = h2 + (r2 r1)2, l2 = 32 + (6 2)2 = 9 + 16 = …, l = ….

Sn = 4 (r12 + r22) + 4 l(r1 + r2) . Sn = 4 (22 + 62) + 2 5(2 + 6) = 160 + 80 = … .

Ответ: 240.

2)Решить задачи ( по примерам):

  1. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого 16 см, а радиус описанной около него окружности равен 10 см. Основанием высоты этой пирамиды является середина гипотенузы. Высота пирамиды равна 24 см. Вычислить боковые ребра пирамиды. 

  2. Боковая грань правильной треугольной пирамиды представляет собой правильный треугольник, площадь которого 64 корней из 3 см2 (64). Вычислить периметр основания пирамиды. 

  3. Высота правильной треугольной пирамиды 8 см, а ее апофемы 16 см. Вычислите площадь боковой поверхности пирамиды. 

  4. Высота и сторона основания правильной четырехугольной пирамиды соответственно равны 24 и 20. Найдите апофему пирамиды. 

  5. Дано: усеченная правильная пирамида, n = 3, h = 8, a1 = 14 , a2 = 2 . Надо найти площадь полной поверхности усеченной пирамиды .

  6. Дано: усеченная правильная пирамида, n = 4, h = 8, a1 = 16, a2 = 4 . Надо найти площадь полной поверхности усеченной пирамиды .

  7. Дано: усеченная правильная пирамида, n = 6, h = 2, a1 = 4 , a2 = 8 . Надо найти площадь полной поверхности усеченной пирамиды .

  8. Дано: усеченная правильная пирамида, n = 4, h = 3, r1 = 5, r2 = 9 . Надо найти площадь полной поверхности усеченной пирамиды .

3)Решить задачи :hello_html_m3eb51a34.png

  1. Основанием пирамиды является ромб, сторона которого равна AB=15 см, а одна из диагоналей равна BD = 18 см. Найдите боковые ребра пирамиды, если высота ее проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна

SO = .

  1. Дана правильная четырехугольная пирамида со стороной основания a=12 см и
    высотой
    h=8 см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
    hello_html_m3367cdaa.jpg

  2. Дана пирамида со сторонами основания a = 10,b = 24,c = 26 см и апофема равна l=10 см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

  3. Дана пирамида со сторонами основания a=10,b=13,c=13 см и высотой h2=. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.hello_html_m1aa89a30.jpg

  4. Дана усеченная правильная треугольная пирамида со сторонами
    a1 = 26 и а2 = 14 см и высотой h = 8 см. Найдите площадь полной поверхности усеченной пирамиды.

Инструкционная карта

ПР № 12 «Вычисление элементов правильных многогранников .Построение фигур с помощью симметрии».
Задание:

1)а)Постройте таблицы(заполните пропуски,где знак ?):

Теорема Эйлера: Число граней + число вершин - число ребер = 2.

Элементы симметрии правильных многогранников
б)Перепишите и заполните пропуски:

Пример 1. а)Может ли фигура иметь более одного центра симметрии?

Ответ: Да, например, прямая, плоскость и т.д. имеют бесконечно много центров симметрии.

б) Приведите примеры центрально-симметричных фигур.
Ответ: Центрально-симметричные: куб, прямоугольный параллелепипед, шар и др.;

Пример 2.а) Построить точки А1 и А2 симметричные относительно точки О,

б) Построить треугольники АВС и А1В1С1 симметричные относительно точки О,
Ответ: а) б)

hello_html_27d1ce35.gif

hello_html_2c7a64c8.gif







Пример 3. а) Построить точки А1 и А2 симметричные относительно прямой а.

б) Построить прямоугольники симметричные относительно прямой b.
Ответ: а) б)
hello_html_me2c259c.gif

hello_html_73eae775.gif

Пример 4. Можно ли назвать ножницы симметричной фигурой?

Ответ: Да.

Пример 5. На рисунке укажите буквы латинского алфавита имеющие одну ось симметрии;

hello_html_m79939fd7.png

Ответ: A, …, …, D, …, …, .., U, V, W, Y;


Пример 6. Найди подходящую правую часть робота.

hello_html_m69d1ea91.gifhello_html_m43e930ed.jpg

Ответ:2 и 5; 1 и …; … и 4.

Пример 7. Построить рисунок.

hello_html_17f4ab15.jpg

а

Пример 8. Сколько осей симметрии имеет прямоугольный параллелепипед, гранями которого не являются квадраты?hello_html_76dbeb1f.png

Ответ: 3.hello_html_18121dc3.png

Пример 9. Сколько плоскостей симметрии имеет правильная шестиугольная призма?

Ответ:7.

Пример 10.

Тест по теме «Зеркальная симметрия в призме ».

1)Сколько плоскостей симметрии имеет правильная четырехугольная призма?

а)2 б)4 в)3 г)5 д)12,

2)Сколько плоскостей симметрии имеет прямая призма, в основании которой лежит прямоугольник?

а)2 б)3 в)1 г)4 д)8,

3)Сколько плоскостей симметрии имеет правильная треугольная призма?

а)4 б)3 в)1 г)2 д)5.

2)Решить задачи ( по примерам):

  1. а)Может ли фигура иметь ровно два центра симметрии?

б)Приведите примеры не центрально-симметричных фигур.

  1. а) Построить точки В1 и В2 симметричные относительно точки О,

б) Построить прямоугольные треугольники АВС и А1В1С1 симметричные относительно точки О,hello_html_m575e1189.png

  1. а) Построить точки В1 и В2 симметричные относительно прямой а.

б) Построить квадраты симметричные относительно прямой b.hello_html_m3970ee64.jpg

  1. Дорисуй рисунки так, чтобы они стали симметричными.

  2. Можно ли назвать стрекозу насекомым, у которого имеется ось симметрии?

  3. На рисунке укажите буквы латинского алфавита имеющие две оси симметрии;

hello_html_m79939fd7.png

  1. Построить рисунок.

hello_html_3cfea8dd.jpgа аhello_html_m304f2795.jpg

  1. Сколько осей симметрии имеет прямоугольный параллелепипед, две грани которого являются квадратами?

  2. Сколько плоскостей симметрии имеет прямоугольный параллелепипед, гранями которого не являются квадраты?

  3. Определить фигуры:1) обладающие центральной симметрией и указать их центр;
    2) обладающие осевой симметрией и указать ось симметрии;3) имеющие обе симметрии.



3)Решить задачи :

  1. Какие две цифры при центральной симметрии переходят одна в другую?

  2. Даны слова: ЛЕС, ОНО, ОКО, ПНИ, СЫР. Какие из них при центральной симметрии переходят сами в себя?

  3. Одно число очень любило любоваться своим отражением в зеркале. Однажды мимо проходил гном и увидел в зеркале число 18. Какое число смотрелось в зеркало?

  4. Приведите примеры зеркальной симметрии в природе.

  5. Приведите примеры симметрии в живой природе.

  6. Построить фигуру, симметричной данной относительно оси симметрии.

hello_html_675df776.png


  1. Построить фигуру, симметричной данной относительно точки .

hello_html_ba2bd7e.gif

  1. Укажите оси симметрии: а) прямоугольника; б) квадрата.

hello_html_m43d30e22.gif


  1. Сколько осей симметрии имеет правильный шестиугольник?

hello_html_m182ed06f.png


  1. Треугольник ABC симметричен треугольнику ABC относительно некоторой прямой c. Изобразите эту прямую.

а) hello_html_2f13032b.png б) hello_html_m1cd5de4f.png

  1. Сколько осей симметрии имеет шестиугольник, изображенный на клетчатой бумаге, клетками которой являются квадраты?

hello_html_m595f5a19.png









  1. Сколько осей симметрии имеет восьмиугольник, изображенный на клетчатой бумаге, клетками которой являются квадраты?

hello_html_7b57a1eb.png








  1. Верно ли высказывание: правильная четырехугольная пирамида имеет четыре плоскости симметрии?

hello_html_m6929a8d3.gif



Инструкционная карта

13 «Вычисление элементов цилиндра. Расчет по модели площади цилиндра».
Задание:

  1. Перепишите и заполните пропуски:

Пример 1. В цилиндре параллельно его оси проведено сечение, диагональ которого равна 17 см, высота цилиндра равна 15 см., а радиус основания 5 см. На каком расстоянии от оси проведено это сечение? 
Решение. Сечение цилиндра в плоскости представляет собой прямоугольник. Таким образом, BM также представляет собой высоту цилиндра. Треугольник BMK - прямоугольный. Таким образом, можно найти длину стороны MK = BC:
BK
2 = BM2 + MK2 , MK2 = BK2 - BM2 ,MK2 = 172  152 = …, MK = … 
Таким образом, MK = BC = 8 см.
 
AD - диаметр цилиндра, проведенный как сечение, параллельное заданному в условии задачи. BC - прямая, принадлежащая сечению, параллельному оси цилиндра. Поэтому ABCD - трапеция. Если трапеция равнобедренная, то вокруг нее можно описать окружность. Таким образом, ABCD - равнобедренная трапеция. Найдя высоту трапеции, получим расстояние от проведенного по условию задачи сечения до оси цилиндра.
AD = 2R = 2 5 = … см,
 OC = OD = R = 5 см .
В равнобедренной трапеции высота, опущенная из вершины на большее основание, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, другой - полуразности оснований. Таким образом,
 
AN = DP = ( 10
8 ) / 2 = … см , тогда OP = OD DP = 5 – 1 = … см .
Треугольник CPO - прямоугольный, так как CP - высота трапеции. Откуда
 
CP
2 + OP2 = OC2 ,CP2 = OC2 OP2, CP2 = 52  42 ,CP2 = 25 16 = …,
CP = … . 
Ответ: Проведенное сечение цилиндра находится на расстоянии 3 см от его оси.
hello_html_m518413cd.pnghello_html_m49b1fd63.png

Пример 2. Найдите радиус цилиндра, если диагональ его осевого сечения, равная 8см, составляет с образующей цилиндра угол величиной 30 градусов.  hello_html_2a26c44d.png

Решение:

Поскольку AC = 8 см, а угол ACD = 30°, то 
CD = AC cos 30°  . CD = 8  /2 = 4. Аналогично,  AD = AC sin 30° , AD = 8 1/2 = 8 : 2 = … , 

Откуда радиус основания цилиндра равен R = 4 : 2 = … см. hello_html_1ffef818.jpg

Ответ:  2 см.

Пример 3. Высота цилиндра 20см, радиус основания 10см. Найдите площадь сечения, проведённого параллельно оси цилиндра на расстоянии 6см от неё.

Решение:

r = 10, d = 6, АС 2 = r2d2 = 102 – 62 = 100 – 36 = …,

АС =…, АВ1 = 2АС = 2 8 = … ,

Sсеч. = АВ1 h , h = 20, Sсеч. = 16 20 = …

Ответ:  320 см2 .

Пример 4. Найдите высоту цилиндра, если радиус основания 5см и площадь сечения равна 128 см2 , проведённого параллельно оси цилиндра на расстоянии 3см от неё.

Решение: : r = 10, d = 6, АС 2 = r2d2 = 52 – 32 = 25 – 9 = …,

АС =…, АВ1 = 2АС = 2 4 = … ,

h = Sсеч. : АВ1 = 128 : 8 = …

Ответ: 16 см.

Пример 5. Дано: цилиндр, АВ1 = 16 см, B1AB = 30° (рис.).Найти: hRосн. 

Решение:hello_html_m41d996ff.jpg

1) hк. = BB1;

2)Из ΔАВВ1 находим AB: AB = 16 cos 30° = 16 /2 = 8
R = 1/2 AB = 8 : 2 = 4 .

3) Из ΔВ1АВ находим BB1: BB1 = 16 sin 30 ° = 16 1/2 = 16 : 2 = … см.

Ответ: = 8 см; R = 4 см.

Пример 6. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, если диагональ его осевого сечения, равная 8см, составляет с образующей цилиндра угол величиной 30° . Решение: Поскольку AC = 8 см, а угол ACD = 30°, то CD = AC cos 30°  . Треугольник ACD - прямоугольный. Соответственно, CD / AC = cos ACD по свойству тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике.
Значение
  cos 30 найдем из таблицы значений тригонометрических функций. CD = 8  /2 = 4. Аналогично,  AD = AC sin 30° , AD = 8 1/2 = … , Откуда радиус основания цилиндра
равен
R = 4/2 = ... см.
Площадь основания цилиндра, соответственно, равна
  S1 = πR2 = 4π. Площадь боковой поверхности цилиндра равна площади его развертки - произведению длины окружности основания и высоты цилиндра. То есть: S2 = 2πRh = 2π 2 4= … π. Общая площадь поверхности цилиндра равна: 
S =S1 + S2 =   4π +  16π.
Ответ:  4π +  16π.
Пример 7. Дано: цилиндр; ABCD - квадрат; АС = 4 см (рис. ). Найти: Sб.п.ц. Решение: Sб.п.ц. = 2πRH. Пусть АВ = х, тогда х2 + х2 = 42; 2х2 = 16; х2 = 8;
х = 2. 
= ; Н = 2. . Sб.п.ц. = 2π · · 2= 2 2 2 π = …π (см2).
Ответ: 8π см2. Пример 8. Дано: цилиндр, ABCD - квадрат; Sосн.ц. = 16π см2 (рис.). Найти: Sб.п.ц. Решение: πR2 = 16π; R2 = 16; R = ... , АВ = ВС = 4 · 2 = … (см). 
Sб.п.ц. = 2πRH, где R = 4; Н = 8.Sб.п.ц. = 2π · 4 · 8 = … π (см2).
Ответ:
64π см2.
hello_html_2cd2a3a8.jpg

  1. Решить задачи ( по примерам):

  1. В цилиндре параллельно его оси проведено сечение, диагональ которого равна 34 см, высота цилиндра равна 30 см., а радиус основания 10 см. На каком расстоянии от оси проведено это сечение?

  2. Найдите радиус цилиндра, если диагональ его осевого сечения, равная 16 см, составляет с образующей цилиндра угол величиной 30 °

  3. Высота цилиндра 20см, радиус основания 15 см. Найдите площадь сечения, проведённого параллельно оси цилиндра на расстоянии 12 см от неё.

  4. Найдите высоту цилиндра, если радиус основания 13 см и площадь сечения равна 144 см2 , проведённого параллельно оси цилиндра на расстоянии 5 см от неё.

  5. Дано: цилиндр, АВ1 = 8 см, B1AB = 30° (рис.). Найти: hRосн.

  6. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, если диагональ его осевого сечения, равная 16 см, составляет с образующей цилиндра угол величиной 30 °.

  7. Дано: цилиндр; ABCD - квадрат; АС = 16 см . Найти: Sб.п.ц.

  8. Дано: цилиндр, ABCD - квадрат; Sосн.ц. = 25π см2 . Найти: Sб.п.ц.

3)Решить задачи :hello_html_1ffef818.jpg

  1. Осевое сечение цилиндра – прямоугольник, стороны которого диаметр и образующая цилиндра соответственно. Диагональ осевого сечения цилиндра равна АС = 24 см. Угол α между этой диагональю и диаметром цилиндра равен 30°. Найдите высоту, радиус, площадь основания цилиндра.

  2. Концы отрезка АВ лежат на окружностях оснований цилиндра. Радиус цилиндра равен r, его высота-h, а расстояние между прямой АВ и осью цилиндра равно d. Найдите h, если r = 5, d = 4, АВ = 10 см.

  3. Концы отрезка АВ лежат на окружностях оснований цилиндра. Радиус цилиндра равен r, его высота-h, а расстояние между прямой АВ и осью цилиндра равно d. Найдите d, если r = 10, h = 5, АВ = 13 см.

  4. Диагональ осевого сечения цилиндра равна см, а радиус основания – 3 см. Найдите высоту цилиндра.

  5. Диагональ осевого сечения цилиндра равна см, а высота – 5 см. Найдите радиус цилиндра.

  6. В цилиндре параллельно его оси проведено сечение. Диагональ сечения, равная 16, составляет угол 60° с плоскостью основания. Радиус основания цилиндра равен 5. Найдите расстояние от оси цилиндра до плоскости сечения.

  7. Диаметр окружности основания цилиндра равен 26, а его образующая – 21. Плоскость пересекает его основания по хордам длины 24 и 10. Найти угол между этой плоскостью и плоскостью основания цилиндра.hello_html_45b595c1.gif

  8. Плоскость , параллельная оси цилиндра, отсекает от окружности основания дугу AmD с градусной мерой . Радиус цилиндра равен a, высота равна h, расстояние между осью цилиндра ОО1 и плоскостью равно d.

1) Докажите, что сечение цилиндра плоскостью есть прямоугольник.

2) Найдите AD, если a =10 см, = 60.

  1. В цилиндре проведена плоскость, параллельная оси и отсекающая от окружности основания дугу в 120°. Диагональ сечения равна 20 см и удалена от оси на 3 см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

  2. Осевое сечение цилиндра - квадрат, площадь основания цилиндра равна 16π см2. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

  3. Высота цилиндра 8 дм, радиус основания 5 дм. Цилиндр пересечен плоскостью параллельно оси так, что в сечении получился квадрат. Найдите расстояние от этого сечения до оси цилиндра.hello_html_361456b7.jpg

  4. Дано: цилиндр; CBD = 120°; CD1 = 20 см; OK = 3 см. Найти: Sб.п.ц.

  5. Плоскость, проходящая через центр нижнего основания цилиндра под углом α к основанию, пересекает верхнее основание по хорде, равной b и стягивающей дугу β. Найдите высоту цилиндра.

  6. Отрезок CD равен 25 см, его концы лежат на разных окружностях основания цилиндра. Найдите расстояние от отрезка CD до основания цилиндра, если его высота 7 см, а диаметр основания 26 см.

  7. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, если диагональ его осевого сечения,
    равная 4 см, составляет с образующей цилиндра угол величиной 30
    °. 

  8. Дано: цилиндр; ABCD - квадрат; АС = 8см (рис.). Найти: Sб.п.ц.

  9. Дано: цилиндр, ABCD - квадрат; Sосн.ц. = 36π см2 (рис.). Найти: Sб.п.ц.

  10. Площадь боковой поверхности цилиндра вдвое больше площади основания, а площадь полной поверхности равна 256π см². Найдите радиус r и высоту цилиндра h.

  11. Площадь основания равностороннего цилиндра равна 2π см². Найдите площадь осевого сечения цилиндра.

  12. В цилиндре проведена плоскость, параллельная оси и отсекающая от окружности основания дугу в 120°. Диагональ сечения равна 20 см и удалена от оси на 3 см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

  13. Осевое сечение цилиндра - квадрат, диагональ которого 4 см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

4) Выполнить расчет по модели цилиндра :


измерить диаметр основания и высоту цилиндра ,
найти площадь основания цилиндра,
найти площадь боковой поверхности цилиндра,
найти площадь полной поверхности цилиндра.
5) Формулы для расчета площадей (результат округлить до целого числа, принять
при расчете
π = 3) .

Цилиндр:

S осн.= r2 = 0,25 d2 π ,

S бок.= rh= ,

S пол .= r ( h + r ) = 0,25 d2 π;

r = 0,5; S пол .= S осн. + S бок.






Инструкционная карта

ПР № 14 «Вычисление элементов конуса, усеченного конуса. Расчет по модели площади конуса».
Задание:

  1. Перепишите и заполните пропуски:

Пример 1. Осевое сечение конуса равносторонний треугольник со стороной 10см. Найти радиус основания и высоту конуса.
Решение:  Так как ΔАВС - равнобедренный, то АВ = ВС = АС = 10 см. r = АС : 2 = 10 : 2 = … ,
Из ΔВОС по теореме Пифагора: h2 = OB2 = BC2OC2, h2 = 102 – 52 = 100 – 25 = …, h = = 5

Ответ: r = 5 см, h = 5
Пример 2. Дано: конус, ОР = 15 см, ОВ = r = 8 см (рис.). Найти: РВ. 
Решение: Из ΔОРВ по теореме Пифагора:PB2 = PO2 + OB2,
PB2 = 152 + 82 = 225 + 64 = … , PB = …
hello_html_m6d6bd24b.jpg

Ответ: 17 см.

Пример 3. Дано: Конус, ABC = 120°, АВ = 6 (рис.). Найти: R, h. hello_html_m6bcb7613.jpg

Решение:1) ΔАВС - равнобедренный, угол при основании  С = 30°.

  1. Из ΔАВО : h = ВО = AB : 2 = 6 : 2 = ... 

  2. R = AO = AB · cos 30° = 6 ·  : 2 = … .
    Ответ: H = 3, R = 3.

Пример 4. Дано: Конус. ΔАВС - равносторонний, АВ = 12, = 10 (рис.). Найти: OK, h. hello_html_m2d0d5103.jpg

Решение: 1)Из ΔВОС по теореме Пифагора: h2 = OB2 = BC2OC2, h2 = 122 – 102 = =144 – 100 = …, h = = 2

2)ΔABC - равносторонний, АС = 12, СК = 6. Из ΔСОК по теореме Пифагора
ОК
2 = ОС2 – СК2, ОК2 = 102 – 62 = 100 – 36 = …, OK = ...

Ответ: h = 2, ОК = 8.

Пример 5. Дано: конус, h = OP = 1,2 см, Sосев. = 0,6 см2 (рис.). Найти: l.hello_html_28ad1e01.jpg

Решение:

  1. Осевое сечение - треугольник: высота 1,2 см и основание 2r.

Sосев. =  · 2r h = r h, r = Sосев. : h = 0,6 : 1,2 = … см.

  1. Из ΔАОР по теореме Пифагора: l2 = h2 + r2  = OP2 + OA2. l2 = 1,22 + 0,52 = 1,44 + 0,25 = …, l = … см.

Ответ: 1,3 см.

Пример 6. Дано: усеченный конус, O1С = 3см, OD = 6 см, OO1 = 4 см (рис. ). Найти: So.сеч., CD . hello_html_m28dc10d1.jpg

Решение: Осевым сечением усеченного конуса является равнобедренная трапеция. Sсеч.= (BC + AD ) · OO1 : 2 ,
BC = 2O
1C = 2 · 3 = … см. AD = 2 OD = 2 · 6 = … см .
S
сеч.= (6 + 12 ) · 4 : 2 = 18 ·  2 = … см2,

ΔCKD - прямоугольный, по теореме Пифагора:
CD
2 = CK2 + KD2, CK = OO1 = 4 см, KD = OD – OK = OD – O1C = 6 – 3 = … см. CD2 = 42 + 32 = 16 + 9 = … ,CD = …

Ответ: Sсеч. = 36 cм2, CD = 5 см. hello_html_m5f94854e.jpg

Пример 7. Дано: усеченный конус, r 1 = 5 см, r 2 = 11 см, CD = 10 см,
Найти:
 So.сеч., h.
Решение: Осевым сечением усеченного конуса является равнобедренная трапеция.
Sсеч.= (BC + AD ) · OO1 : 2 , BC = 2O1C = 2 r 1= 2 · 5 = … см.
AD = 2 OD = 2
r 2 = 2 · 11 = … см .
ΔCKD - прямоугольный, по теореме Пифагора: CD2 = CK2 + KD2,
KD = OD – OK = OD – O1C = r2 r 1= 11 5= … , h = OO1 = CK, CK 2 = CD2 – KD2,
CK2 = 102 – 62 = 100 – 36 = … , CK = … , h = 8 см, Sсеч.= (10 + 22 ) · 8 : 2 = 32 · 4 = … см2. Ответ: Sсеч. = 128 cм2h = 8 см.

Пример 8. Дано: усеченный конус, АС = 40 см, AC  CDCD = 30 см (рис. ). Найти: Sсеч.. 

Решение: Сечение усеченного конуса является равнобедренная трапеция
 
Sсеч.= (BC + AD ) · OO1 : 2 ,

ΔADC - прямоугольный, по теореме Пифагора: AD2 = AC2 + CD2, AD2 = 402 + 302 = 1600 + 900 = … , AD = … см. Так как СН - высота прямоугольного треугольника, то СН2 = АН · HD.

ΔCHD - прямоугольный; CH2 = CD2HD2 , HD = ADAH = 50 – AH, АН · HD = CD2HD2,
AH · ( 50 AH ) = 900 – ( 50 AH)2 , 50AHAH2 = 900 – 2500 + 100 AHAH2, 50 AH = 1600, AH = … см. HD = 50 – 32 = … , OD = AD : 2 = 50 : 2 = … см , OH = OD – HD = 25 – 18 = … см, CH2 = 32· 18, CH = 24 см, Sсеч.= (2OH + 2OD ) · CH : 2 = (14 + 50) · 24 : 2 = … см2,

Ответ: Sсеч. = 768 см2.

Пример 9. Дано: усеченный конус, O1С = 16 см, OD = 25 см. Окружность, вписанная в сечение (осевое) (рис. ). Найти: Sсеч... hello_html_658e6bdc.jpg

Решение:  Осевым сечением усеченного конуса является равнобедренная трапеция. Так как в трапецию вписана окружность, то O1С = CF = 16 (см) и OD = DF = 25 (см)
(как отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки).
CD = CF + DF = 16 + 25 = … см, HD = OD O1C = 25 – 16 = … ,
ΔCHD - прямоугольный:  CH2 = CD2HD2, CH 2 = 412 – 9 2 = 1681 81 = … , CH = … см.

Sсеч. = (OD O1C) CH = (16 + 25) 40 = 41 40 = …

 Ответ: Sсеч..  = 1640 см2.

Пример 10. Дано: усеченный конус, r 1 = 3 см, r 2 = 6 см, h = 4 см, Найти: l.
Решение:
  l2 = h2 + (r2r1)2 , l2 = 42 + ( 6 3)2  = 16 + 9 = … , l = … см.
Ответ:
l = 5 см.

Пример 11. Высота конуса равна 5см, а радиус основания 12см.
Найдите площадь полной поверхности конуса. 
Решение: Для нахождения площади поверхности конуса воспользуемся следующими формулами: S1 = rl - площадь боковой поверхности конуса, где r - радиус конуса, а l - длина образующей, S2 = r2 - площадь круга, то есть основания конуса. Таким образом, площадь поверхности конуса составит  S = S1 + S2 . Поскольку S1 = rl , найдем образующую. Поскольку высота конуса, радиус основания конуса и образующая являются сторонами прямоугольного треугольника, то l2 = h2 + r2 , l2 = 52 + 122 = 25 + 144 = … , l = ....
Тогда
 S = S1 + S2 = + 144 = 156+ 144 = … ≈ 942,48 
Ответ: 300 ≈ 942,48 см2 .
Пример 12. Дано: конус, h = OP = 1,2 см, Sосев. = 0,6 см2 (рис.). Найти: Sполн. . Решение: 1) Осевое сечение - треугольник: высота 1,2 см и основание 2r.
Sосев. =  · 2r h = r h, r = Sосев. : h = 0,6 : 1,2 = 0,5 см.
Из ΔАОР по теореме Пифагора:
l2 = h2 + r2  = OP2 + OA2.
l2 = 1,22 + 0,52 = 1,44 + 0,25 = …, l = … см.
Sполн. = · (r + l) , Sполн. = 0,5 · (0,5 + 1,3) = · 0,5 · 1,8 = …
hello_html_m6d6bd24b.jpg

Ответ: 0,9π см2.

2)Решить задачи ( по примерам):

  1. Осевое сечение конуса равносторонний треугольник со стороной 8 см. Найти радиус основания и высоту конуса.

  2. Дано: конус, ОР = 12 см, ОВ = r = 9 см (рис.). Найти: РВ. 

  3. Дано: Конус, ABC = 120°, АВ = 8 (рис.). Найти: R, h. 

  4. Дано: Конус. ΔАВС - равносторонний, АВ = 24, = 20 (рис.). Найти: OK, h.

  5. Дано: конус, OP = 2,4 см, Sосев. = 2,4 см2 (рис.). Найти: l.

  6. Дано: усеченный конус, O1С = 6 см, OD = 12 см, OO1 = 8 см (рис. ). Найти: So.сеч., CD. 

  7. Дано: усеченный конус, r1 = 3 см, r2 = 11 см, CD = 10 см, Найти: So.сеч., h.

  8. Дано: усеченный конус, АС = 20 см, AC  CDCD = 15 см .Найти: Sсеч.. 

  9. Дано: усеченный конус,  O1С = 3см, OD = 12 см. Окружность, вписанная в сечение (осевое). Найти: Sсеч.. 

  10. Дано: усеченный конус, r 1 = 3 см, r 2 = 9 см, h = 8 см, Найти: l.

  11. Высота конуса равна 10 см, а радиус основания 24 см.
    Найдите площадь полной поверхности конуса.
    hello_html_m3219ea58.jpg

  12. Дано: конус, OP = 2,4 см, Sосев. = 2,4 см2 .Найти: Sполн..

3)Решить задачи :

  1. а) Высота конуса равна h = 24 см, а радиус основания равен r = 10 см. Найдите образующую конуса l.

б) Осевое сечение конуса – прямоугольный треугольник Δ АВС. Найдите площадь этого сечения, если радиус основания конуса равен r = 6 см.hello_html_775d711f.jpg

в) Радиусы оснований усеченного конуса равны r 1 = 6 и r 2 = 11 см, а образующая равна l = 13 см. Найдите высоту и площадь осевого сечения усеченного конуса, если его осевое сечение-трапеция.hello_html_m45781634.jpg

г) Разверткой боковой поверхности конуса является сектор с дугой α. Найдите α , если его радиус основания равен 6 см, а образующая равна 20 см.hello_html_1754fa31.jpg

д) Разверткой боковой поверхности конуса является сектор с дугой α. Найдите радиус основания конуса, если α = 90°, а образующая равна 12 см.

  1. Образующая конуса l наклонена к плоскости основания под углом в 30°. Найти высоту конуса и площадь осевого сечения.

  2. Радиус основания конуса равен 3 м, а высота 4 м. Найти образующую и площадь осевого сечения.hello_html_415082a2.jpg

  3. Высота конуса равна 6 см, угол при вершине осевого сечения равен 90°. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

  4. Дано: конус; SO = 6 см; ASB = 90°; CSD = 35°.Найти: S6.п.конуса.

  5. Через вершину конуса проведена плоскость, пересекающая основание по хорде, длина которой равна 5 см, и стягивающей дугу 90°. Плоскость сечения составляет с плоскостью основания угол 60°. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

  6. Высота конуса равна 15 см, а радиус основания равен 8 см.
    Найдите образующую конуса.

  7. Найдите угол между высотой и образующей конуса, если площадь боковой поверхности конуса равна 2, а площадь полной его поверхности равна 3.

  8. Образующая конуса, равная 4 см, наклонена к плоскости основания под углом 60°. Найдите площадь осевого сечения конуса.

  9. Угол при вершине осевого сечения конуса равен 60°, сумма длин его высоты и образующей равна 2 см. Найдите площадь полной поверхности конуса.

  10. Радиус основания конуса равен 10 см, а высота равна 15 см. Найдите площадь сечения конуса плоскостью, параллельной основанию и находящейся на расстоянии 2 см от вершины конуса.

  11. Высота конуса равна 6 см, а радиус основания 8 см. Найдите площадь полной поверхности конуса.hello_html_m6d6bd24b.jpg

  12. Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 60° и равна 4   см. Найдите площадь осевого сечения конуса, 

  13. Радиус основания конуса равен 7 см, а высота — 7 см. Найдите площадь сечения конуса плоскостью, параллельной основанию и находящейся на расстоянии 4 см от его вершины, 

  14. Найдите боковую поверхность конуса, в осевом сечении которого равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой 6 см. 

  15. Радиус основания конуса равен 2см, а образующие наклонены к плоскости основания под углом 60°. Найдите боковую поверхность и объем конуса,

  16. Боковая поверхности цилиндра равна 48π см2, радиус основания - 6 см. Найдите площадь осевого сечения,

  17. Радиус основания конуса равен 6 см, а образующая наклонена к плоскости основания под углом 60°. Найдите площадь сечения, проходящего через две образующие, угол между которыми равен 45° и площадь боковой поверхности конуса.

4) Выполнить расчет по модели конуса:
измерить диаметр основания и высоту конуса ,
найти площадь основания конуса,
найти площадь боковой поверхности конуса,
найти площадь полной поверхности конуса.
5) Формулы для расчета площадей (результат округлить до целого числа, принять
при расчете
π = 3) Конус:

S осн.= r2 = 0,25 d2 π , S бок.= r l = 0,5 l;

S пол .= r (r + l ) = 0,25 d2 π + 0,5 l;

l2= h2+ 0,25 d2, r = 0,5; S пол .= S осн. + S бок.

Инструкционная карта

ПР № 15 «Вычисление элементов сферы. Составление уравнения сферы».hello_html_m6a79015f.jpg

Задание:

  1. Перепишите и заполните пропуски:

Пример 1. Дано: шар, BAO = 30°Sсеч. = 75π см2 (рис. ). Найти: АС. 

Решение: S сеч. =r2 , 75 = r2 , r2 = …, r = 5 , AO1= 5 .
Из ΔАО
1О: cos 30° = AO1 / AO , AO = / () = 5 2 = … см.

AC = 2 · AO = 2 · 10 = … см. hello_html_65ab0256.jpg

Ответ: 20 см.

Пример 2. Дано: Rш. = 8 смOAB = 45° (рис.).Найти: Sceч

Решение: S сеч. =r2 , cos 45° = AO1 / AO , AO1 = r = 8 · : 2 = … ,

S сеч. = 16 · 2 = … см2.

Ответ: 32π см2.

Пример 3. Стороны треугольника 26, 28, 30 см. Найти расстояние от плоскости треугольника до центра шара, касающегося всех сторон треугольника. Радиус шара 10 см.

Решение:

  1. Рассмотрим треугольник АВС со сторонами 26, 28, 30 см

S=, p = ; p = = 84 : 2 = (см)

S= (см)

  1. SАВС = pr , где r – радиус вписанной окружности. S= 42r , 336 = 42r r = … см


  1. h = Rr - т. Пифагора, h = (см). Ответ: h = 6 (см)

Пример 4. Сфера задана уравнением x 2 + (y + 3)2 + (z – 2)2 = 25.

Найдите координаты центра и радиуса сферы.

Решение: О - центр сферы, О(0,3,2), R = = ...
Ответ:
О(0,3,2), R = 5.

Пример 5. Напишите уравнение сферы радиуса = 7 с центром в точке А(2; 0; 1). Решение: (x …)2 + y 2 + (z + …)2 = 72. (x2)2 + y 2 + (z + 1)2 = …
Ответ: (x2)2 + y 2 + (z + 1)2 = 49.

Пример 6. Лежит ли А(2; 1; 4) на сфере, заданной уравнением  (x + 2)2 + (y 1) 2 + (z 3)2 = 1. Решение: Подставим координаты точки А в уравнение сферы (2 + 2)2 + (1 1) 2 + (4 3)2 = 1, 1 = 1(верно), точка А лежит на сфере.
Ответ:
точка А лежит на сфере.

Пример 7. Найти координаты центра и радиус сферы x2 + y2 + z2 + 4y - 2z = 4. Решение: x2 + y2 + z2 + 4y 2z = 4 выделим квадрат двучлена:
х
2 + у2 + 4у + 4 4 + z2  4z + 1 1 = 4, х2 + (у + 2)2 + (z 1)2 = 9, центр окружности С(…; …; …), радиус R = ...
Ответ:
С(0; 2; 1), R = 3.

Пример 8. Дано: уравнение сферы, х2 + у2z2 + 2у 4= 4.

Найти: а) О(х0; у0z0), R; б) m, при котором А(0; m; 2) и В(1; 1; m2) принадлежат сфере.

Решение: а) x 2 + y 2 +2у + z 2 – 4z = 4, x 2 + y 2 +2у +11 + z 2 – 4z + 4 4 = 4,
x 2 + (y + 1)2 + (z – 2)2 = 9. О(...,…,…), R = = ...
б) А(0; 
m; 2) и В(1; 1; m2)


 , , ,

, m = 2. При m = … точки A и В принадлежат сфере. Ответ: а) О(0; 1; 2), R = 3; б) при m = 2.

2)Решить задачи ( по примерам):

  1. Дано: шар, BAO = 30°; Sсеч. = 48π см2 (рис. ). Найти: АС.

  2. Дано: Rш. = 10 см, OAB = 45° (рис.).Найти: Sceч. 

  3. Стороны треугольника равны 5, 5, 6 см. Найдите расстояние от плоскости треугольника до центра шара, касающегося всех сторон треугольника. Радиус шара равен 2,5 (см).

  4. Сфера задана уравнением (x – 1)2 + y 2 + (z – 2)2 = 9. Найдите координаты центра и радиуса сферы.

  5. Напишите уравнение сферы радиуса = 4 с центром в точке А(2; 1; 0).

  6. Лежит ли А(5; 1; 4) на сфере, заданной уравнением  (x 3)2 + (y+ 1) 2 + (z 4)2 = 4.

  7. Найти координаты центра и радиус сферы x2 – 6x + y2 + z2 = 0.

  8. Дано: уравнение сферы, х2 + у2z2 + 4у 2= 4. Найти: а) О(х0; у0z0), R; б) m, при котором А(0; m; 1) и В(1; 0; m2) принадлежат сфере.

3)Решить задачи : А)Вычисление элементов сферы. hello_html_50087654.jpg

  1. Точка М- середина отрезка АВ, концы которого лежат на сфере радиуса R с центром О.(рис.) Найдите ОМ, если R = 10 дм, АВ = 12 дм.

  2. Все стороны треугольника ABC касаются сферы радиуса R = 7 см. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если ВС = а = 10 см, АС = в = 10 см, АВ = с = 12 см.

  3. Сечение шара плоскостью имеет площадь 36(м). Радиус шара 10м. Найти расстояние от центра шара до плоскости сечения.

  4. На поверхности шара даны три точки, кратчайшее расстояние между которыми равно 6 см. Определить площадь сечения, проходящего через эти точки.

  5. Найдите расстояние от точки касания плоскости и сферы, до точки на касательной плоскости, если радиус сферы равен 5 см, а расстояние от центра сферы до точки на касательной плоскости равно 13 см.

  6. Площадь сечения проходящего через центр шара, равна 16π см2. Чему равен радиус шара?

  7. Через точку, делящую радиус сферы пополам, проведена секущая плоскость, перпендикулярная к этому радиусу. Радиус сферы равен 16 см. Найдите площадь сечения.hello_html_m10715efe.jpg

  8. Шар с центром в точке О касается плоскости в т очке В. Точка А лежит в этой плоскости, ОА = 20 см, АВ = 12 см. Найдите радиус шара.

  9. Дано: шар, BAO = 30°; Sсеч. = 75π см2 .Найти: АС.

  10. Радиус шара равен 17 см. Найдите площадь сечения шара, удаленного от его центра на 15 см.

  11. Радиус сферы равен 15 см. Найдите длину окружности сечения, удаленного от центра сферы на 12 см.

  12. Сфера w проходит через вершины квадрата CDEF, сторона которого равна 18 см. Найдите расстояние от центра сферы - точки О до плоскости квадрата, если радиус сферы ОЕ образует с плоскостью квадрата угол, равный 30°.

  13. Стороны треугольника MKN касаются шара. Найдите радиус шара, если МК = 9 см,
    MN = 13 см; KN = 14 см и расстояние от центра шара О до плоскости MNK равно см.

  14. Шар радиусом 41 дм пересечен плоскостью, находящейся на расстоянии 9 дм от центра. Найдите площадь сечения.

Б)Составление уравнения сферы.

  1. Точки А(3; – 5; 6) и В(5; 7; – 1) являются концами одного из диаметров сферы. Составьте уравнение этой сферы.

  2. Дана сфера x2 + y2 + z2 = 450  . Найти координаты точек пересечения сферы с прямой, проходящей через начало координат и точку А(4; 5; 3).

  3. Даны точки А(– 1; 3; 2), В(0; 3; 1), С(2; – 2; 0), D(– 4; 2; 2), Е(5; 7; 8). Какие из этих точек принадлежат сфере с центром О(– 2; 1; 0) и радиусом 3?

  4. Составьте уравнение сферы с центром О (2; 3; 4) и радиусом R=5.

  5. Точки А(7; – 2; 4) и В(9; – 8; 6) лежат на поверхности сферы и на прямой, проходящей через её центр. Составьте уравнение сферы.

  6. Сфера задана уравнением x 2 + y 2 + z 2 + 2y – 4z = 4. a)Найдите координаты центра и радиуса сферы. б) Найдите значение m, при котором точки А(0; m; 2) и В(1; 1; m – 2) принадлежат данной сфере.

  7. Диаметр сферы – отрезок АВ с концами А(2; – 1; 4) и В(2; 7; 10). a) Составьте уравнение сферы. б) Найдите кратчайшее расстояние от точки данной сферы до плоскости Оxy.

  8. Сфера задана уравнением (x – 1)2 + y 2 + (z – 2)2 = 9. а)Найдите координаты центра и радиуса сферы. б)Определите, принадлежат ли данной сфере точки А(1; 3; 1) и В(2; 2; 1).

  9. Составить уравнение сферы в каждом из следующих случаев:

а) сфера имеет центр С(0; 0; 0) и радиус r = 9;

б) сфера имеет центр С(5; 3; 7) и радиус r = 2;

в) сфера проходит через начало координат и имеет центр С(4; 4;2);

г) сфера проходит через точку А(2; 1; 3) и имеет центр С(3; 2; 1);

д) точки А(2; 3; 5) и В(4; 1; 3) являются концами одного из диаметров сферы;

  1. Сфера задана уравнением x2 + у2 + z2 + 2у 4z = 4.

а) Найдите координаты центра и радиус сферы.

б) Найдите значение m, при котором точки А(0; m; 2) н В (1; 1; m2) принадлежат данной сфере.

  1. Найдите координаты центра и радиус сферы, заданной уравнением

(x – 2)2 + (y + 3) 2 + z2 = 25. 

  1. Напишите уравнение сферы радиуса R = 7 с центром в точке А(2; 0; 1).

  2. Лежит ли А(2; 0; 3) на сфере, заданной уравнением (x + 2)2 + (y 1) 2 + (z 3)2 = 1. 

  3. Могут ли все вершины прямоугольного треугольника с катетами 4 см и 2см лежать на сфере радиуса см?

  4. Найти координаты центра и радиус сферы x2 + 6х + y2 + z 2 = 0. 

  5. Найдите координаты центра и радиус сферы, заданной уравнением

(x + 3)2 + y 2 + (z 1)2 = 16. 

  1. Напишите уравнение сферы радиуса R = 4 с центром в точке А(2; 1; 0).

  2. Лежит ли точка А(5; 1; 4) на сфере, заданной уравнением

(x –3)2 + (y + 1) 2 + (z 4)2 = 4. 

  1. Могут ли все вершины прямоугольного треугольника с катетами 4 см и 2см лежать на сфере радиуса см?

  2. Найти координаты центра и радиус сферы x2 + y2 + 6у + z2 = 0. 

  3. Составить уравнение сферы с центром в точке А (– 3; 4; – 9) и проходящую через

точку N (– 2; 6; 1).

  1. Составить уравнение сферы которая касается каждой из координатных плоскостей и проходит через точку M (2;1;3).

  2. Составьте уравнение сферы с центром в точке О(– 1;0;2), если известно, что этой сфере принадлежит точка А(3;1;1).

  3. Даны точки А(2; – 5;8) В(8; – 2;5) С(5; – 8:2)и Д(– 2; – 8; – 5).Составьте уравнение сферы, если известно, что эти точки лежат на её поверхности.

  4. Точка А лежит на сфере с центром О(3; 0; 0).

  1. Напишите уравнение сферы.

  2. Принадлежат ли этой сфере точки с координатами и (4; – 1; 0)?

  1. Составьте уравнение сферы, радиус которой равен 2, если известно, что центр сферы лежит в плоскости ОХZ, а сама сфера проходит через начало координат и точку А(1; 1; 0).

  2. Центр сферы имеет координаты (0; 0; 4). Сфера проходит через точку .

  1. Напишите уравнение сферы.

  2. Принадлежат ли сфере точки с координатами (3; 1; 5) и (0;6)?

  1. Составьте уравнение сферы с радиусом, равным 3, если известно, что центр сферы лежит на оси OZ и сфера проходит через точку К(– 2; – 2; 1).

  2. Найти уравнение сферы, проходящей через точки  (0;0;0), (4;0;0),(0;6;0) и (0;0;8).

  3. Определить координаты центра С и радиус r сферы, заданной уравнением

х 2 + у 2 + z 2 6х + 4z – 3 = 0.

  1. Определить координаты центра С и радиус r сферы, заданной уравнением

х 2 + у 2 + z 2 – 2х + 2у – 10z + 2 = 0.

  1. Найдите координаты центра и радиус сферы, заданной уравнением:

1)x² + y² + z² = 49,

2)(х 3)² + (у + 1)² + (z + 3)² = 1,

3)х² + (y 4)² + z² = 3,

4)(x 1)² + y² + (z + 2)² = 25.

  1. Найти координаты центра и радиус сферы, заданной уравнением
    x2 + y2 + z2 – x + 2y + 1 = 0.


Инструкционная карта

ПР № 16«Вычисление элементов сферы. Касательная плоскость к сфере».

Задание:

1)Перепишите и заполните пропуски:

Пример 1. hello_html_203250a7.png

Дано: R=112 см.

А – точка касания.В Найти: ВК.

Решение: 1) АО ┴ АВ, АО = 112 см, АВ = 15 см.

2)по теореме Пифагора ОВ = см.

3) ВК = ОВ – ОК = 113- 112 = … см.

Ответ: ВК = 1 см.

Пример 2. шар радиуса 25 дм пересечен плоскостью, находящейся на расстоянии 24 дм от центра. Найти площадь сечения (рис. 1).hello_html_351ee0de.jpg

Рис. 1. Иллюстрация к примерам 2 и 3

Дано:

hello_html_6b37ec9.png

hello_html_55ce12bf.png

hello_html_5eb3dc37.png

Решение:

ОН=24 дм (рис. 1. О – центр шара, Н – центр круга, который является сечением). Пусть К – произвольная точка на окружности сечения. ОК – радиус шара.

Рассмотрим треугольник ОКН. По теореме Пифагора:

hello_html_3f6fbafc.png, тогда hello_html_m4b96b820.png;

hello_html_2066e6c8.pngдм.

Площадь сечения равна:

hello_html_17da4383.png

Ответ: площадь сечения равна 49π дм2.

Пример 3. Дано: d = 2 см, Sсеч. = 16 π см2, R= ?

Решение: Смотри рис. 1.

ОН = 2 см,  (рис. 1. О – центр шара, Н – центр круга, который является сечением).

Пусть К – произвольная точка на окружности сечения. ОК – радиус шара, КН – радиус сечения.

Площадь сечения равна: Sсеч. = πr2 = 16 π , тогда r =  

Рассмотрим треугольник OKH. По теореме Пифагора: OK2 = KH2 + OH2, тогда.

OK=

Ответ: радиус шара равен 2 см.

Пример 4. Стороны треугольника ABC касаются сферы радиуса 5 см. Найти расстояние от центра сферы до плоскости ABC , если AB= 13 см, BC = 14 см, CA = 15 см. (рис. 2).

Решение:hello_html_m3417cf51.jpg

Зная радиус сферы, нужно найти расстояние от центра до плоскости. Для этого достаточно найти радиус окружности, полученной в сечении сферы плоскостью. Тогда из прямоугольного треугольникаOHK  (O – центр сферы, H – центр окружности сечения, K – точка на этой окружности) мы сможем найти искомое расстояние.

Найдем радиус окружности сечения. Она является вписанной для треугольника ABC. Воспользуемся формулой:S = pr. . Тогда ; – полупериметр.

Найдем площадь треугольника по формуле Герона:

.

Соответственно: 

Найдем расстояние от центра сферы до плоскости.

Искомое расстояние – это катет треугольника OKH   с гипотенузой 5 и другим катетом 4. Тогда легко показать, что OH =

Ответ: расстояние от центра сферы до плоскости ABC  равно 3 см.

Пример 5. Все стороны ромба, диагонали которого равны 15 см и 20 см, касаются сферы радиуса 10 см. Найти расстояние от центра сферы до плоскости ромба.

Решение: Рассмотрим сечение сферы плоскостью ромба. Это окружность, которая вписана в ромб. Найдем ее радиус (рис. 3).

Очевидно, это будет половина высоты ромба. То есть это высота прямоугольного треугольника с катетами 10 и 7,5. По теореме Пифагора гипотенуза, то есть сторона ромба, равна  

Тогда высота треугольника ADM  (рис. 4) равна .

По теореме Пифагора найдем искомое расстояние от центра до плоскости OM (рис. 5). Имеем треугольник, подобный «египетскому» треугольнику, то есть недостающий катет его равен 8.

Ответ: расстояние от центра сферы до плоскости ромба равно 8 см.

Пример 6. Во сколько раз изменится площадь поверхности сферы, если ее радиус увеличили в три раза?

Решение: Так как площадь сферы  . Если радиус увеличится в 3 раза, тогда . Соответственно, площадь увеличилась в k раз:


Ответ: 9.

Пример 7. Через центр сферы радиуса R проведены три попарно перпендикулярные плоскости. Найдите радиус сферы, касающейся всех этих плоскостей и данной сферы. hello_html_m7fc0efce.jpg

Решение:

Пусть указанные плоскости пересекаются по прямым OA,OB и OC, где O ─ центр данной сферы радиуса R,OA = OB = OC.

Если Q ─ центр сферы радиуса x, касающейся данной сферы в точке P, а также касающейся плоскостей AOBAOC и BOC, причём плоскости AOB ─ в точке M, то QM  OM, и OQ = OP + QP (внешнее касание) или OQ = OP − QP (внутреннее касание).
Обозначим
QOM = α. В прямоугольном треугольникеQOM имеем соотношение QM = OQ sin α или x = (R ± x) sin α. Таким образом, для решения задачи достаточно найти sin α.
Для этого рассмотрим куб с вершиной 
O. Его диагональ, проведённая из вершины O, образует с плоскостями трёх граней, содержащих вершину O, угол, также равный α. Если ребро куба равно c,

То его диагональ равна с . Значит, . Из уравнения находим

Ответ:

Пример8. В треугольнике ABC известно, что AC = 12 AB = BC = 3hello_html_4d43fa24.gif . Два шара касаются плоскости треугольника ABC в точках и и расположены по разные стороны от этой плоскости. Расстояние между центрами этих шаров равно 15. Центр третьего шара находится в точке , и этот шар внешним образом касается двух данных шаров. Найдите радиус третьего шара. 

Решение:

Пусть O1 и O2 – центры шаров, касающихся плоскости треугольника ABC в точках и соответственно, и – их радиусы, – радиус третьего шара. Через прямые O1и O2, перпендикулярные к плоскости ABC , проведём плоскость. В этой плоскости из точки O2 опустим перпендикуляр O2на прямую O1. В прямоугольном треугольнике O1O2известно, что 

O1O2 = 15, O1P = O1A + AP = O1A + O2C = x + y, O2P = AC = 12.
По теореме Пифагора  (x + y)2 + 144 = 225,
откуда 
x + y = 9 . Из прямоугольных треугольников ABO1 и CBO2 находим, что 

(x + z)2 = x2 + 90(y + z)2 = y2 + 90, откуда  z2 + 2xz = 90, z2 + 2yz = 90.
Сложив почленно эти два уравнения, получим, что 2
z2 + 2z(x + y) = 180,
а т.к. 
x + y = 9 , то  z2 + 9z  90 = 0,

не уд.
откуда находим, что 
z = 6 .

Ответ: 6.

Пример 9. Дано: сфера с центром в точке О, α - касательная плоскость, hello_html_2c91d37a.jpg

В - точка касания, А - точка принадлежащая плоскости α, АМ = 1 см,

М - точка пересечения АО и сферы (рис.). Найти: АВ. 

Решение:

 (см).

В, М - точки, лежащие на сфере, значит, ОМ =OB = R = 4 см. Рассмотрим прямоугольный треугольник ОВА с B = 90° (В - точка касания ОВ = R).

  

Ответ: 3 см.

Пример 10. Дано: шар с центром в точке О, α - касательная плоскость, А - точка касания, ОВ = 29, АВ = 21 см. Найти: R шара.hello_html_m59e6b9b4.jpg

Решение: R = OA, так как А - точка касания, рассмотрим прямоугольный ΔОАВ (α - касательная плоскость, А - точка касания, значит ОА  α):

по теореме Пифагора найдем

   

Ответ: 20 см.

2)а) Установите логические пары:

1. Геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, равноудаленных от одной точки этой плоскости ...

2. Геометрическое тело, которое образуется при вращении круга (полукруга) вокруг диаметра ...

3. Тело, состоящее из всех точек пространства, которые находятся от данной точки на расстоянии не более данного...

4. Геометрическая фигура, которая образуется при вращения окружности (полуокружности) вокруг диаметра ...

5. Поверхность, состоящая из всех точек пространства, находящихся на данном расстоянии от данной точки ...

А) Шар ,Б) Круг ,В) Сфера ,Г)Окружность ,Д) Другой ответ .

б)Решить задачи :

  1. Радиус шара равен 17 см. Найдите площадь сечения шара, удаленного от его центра на 15 см.

  2. Радиус сферы равен 15 см. найдите длину окружности сечения, удаленного от центра

сферы на 12 см.

  1. Площадь одной сферы в 10 раз больше площади второй сферы. Во сколько раз радиус первой сферы больше радиуса второй? 

  2. Найдите площадь сферы, радиус которой равен 5 см. 

  3. Сфера, радиус которой равен 10 см., пересечена плоскостью. Расстояние от центра сферы до этой плоскости равно 8 см. Найдите радиус окружности, получившейся в сечении.

  4. Длина окружности сечения сферы радиуса 10 см равна 16 см. Найти расстояние от центра сферы до плоскости сечения.

  5. Шар радиуса 41 дм пересечен плоскостью, находящейся на расстоянии 9 дм от центра. Найдите площадь сечения.

  6. Точка М – середина отрезка АВ, концы которого лежат на сфере радиуса R c центром О. Найдите ОМ, если R=50 см, АВ=40 см.

  7. Точка М – середина отрезка АВ, концы которого лежат на сфере радиуса R c центром О. Найдите АВ, если R=10 см, ОМ =60 см.

  8. Точка М – середина отрезка АВ, концы которого лежат на сфере радиуса R c центром О. Найдите ОМ, если R=15 см, АВ=18 см.

  9. Расстояние от центра шара радиуса R до секущей плоскости равно d. Вычислите площадь сечения, если R=12 см, d=8 см.

  10. Расстояние от центра шара радиуса R до секущей плоскости равно d. Вычислите R, если площадь сечения равна 12 см2, d=2 см.

  11. Найти диаметр шара, если площадь его поверхности равна 289π.

  12. Радиус шара равен 2 см. Одна точка находится наhello_html_6221dc30.gif

расстоянии 3 см, другая – на расстоянии см, а третья -

на расстоянии 2 см от центра шара. Где расположена каждая точка?(Внутри , на поверхности шара, вне шара , определить невозможно ).

3)Решить задачи :

  1. Шар с центром в точке О касается плоскости. Точка А лежит в этой плоскости. Найдите расстояние от точки А до точки касания, если ее расстояние от центра шара равно 25 см, а радиус шара равен 15 см.

  2. Шар радиусом 17 пересекает плоскость на расстоянии

8 от центра шара. Найти площадь сечения.

  1. Плоскость пересекает шар. Площадь сечения

равна 2π см2.Радиус шара образует с плоскостью сечения угол 450. Найти радиус шара.

  1. Расстояние от центра шара до секущей его плоскости

равно 4 см. Площадь сечения шара плоскостью равна 4 π см2. Найти радиус этого шара.

  1. В шаре радиуса 13см проведено сечение, площадь которого равна 25 см2. Найти расстояние от центра шара до плоскости сечения.hello_html_601c8703.gif

  2. Диаметр сечения шара, удаленного от центра шара на см, равен 4 см. Найти площадь поверхности шара.

  3. Плоскость пересекает шар. Диаметр шара равен 2 см

и образует с плоскостью сечения угол 600.Найти длину линии сечения.

  1. Радиус сферы равен 12 см. Точка, лежащая на касательной плоскости к сфере, удалена от точки касания на 5 см. Найти расстояние от данной точки до ближайшей к ней точки сферы.

  2. Радиус сферы равен 10 см. На каком расстоянии от центра нужно провести плоскость, чтобы линия пересечения сферы и плоскости была равна 12 см?hello_html_4bd95b85.gif

  3. Вершины треугольника лежат на сфере, а его стороны

равны 4 см, 4 см, 8 см. Найти расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если радиус сферы равен 5 см.

  1. Через конец радиуса шара проведена плоскость под углом 60° к нему. Площадь полученного сечения равна 11. Найти площадь поверхности шара.

  2. Определите, сколько квадратных метров материала потребуется на изготовление оболочки воздушного шара диаметром 10м, если на швы надо добавить 5% материала.

  3. Определите, во сколько раз больше краски потребуется для покрытия шара диаметром 10дм, чем для шара диаметром 2дм.

  4. Диаметр сферы равен 50 см. Найти длину линии пересечения сферы плоскостью, отстоящей от её центра на расстоянии 15 см.


Инструкционная карта

ПР № 17«Вычисление площади сферы. Вычисление элементов тел вращения».

Задание:

1)Перепишите и заполните пропуски:hello_html_35dd295d.jpg

Пример 1. Дано: шар с центром в точке О, Sсеч. = 16π см2, расстояние от точки О до сечения OA=3 см (рис. ). Найти: Sсф. 

Решение: S сеч. =r2 = 16 π, r2 = 16, r = … . 

Рассмотрим ΔОАВ : OA = - расстояние, значит, = 90°.

OB2 = R2 = r2 + OA2 = 42+ 32 = 16 + 9 = …, S сф. =R2 = 4π 25 = … π см2

Ответ: 100π см2.

Пример 2. Сколько кожи пойдет на покрышку футбольного мяча радиуса 10 см? (На швы добавить 8% от площади поверхности мяча.)

Решение: S сф. =R2 = 4π102 = 4100 π = … π см2.

1 способ.

1% составляет 0,01 400 π = 4 π см2.

8% составляет 84 π = 32 π см2. S = 400 π + 32 π = … π 1357 см2.

2 способ. 8% составляет 1,08 400 π = 432 π см2.hello_html_1a919b33.jpg

Ответ: 432π см2.

Пример 3. Дано: сфера с центром в точке О, АВ  CD, АВ - диаметр сечения, 

CD - диаметр сечения MN – общая хорда. MN = 6 см, ОК = 4, ОО1 = ОО2 (рис.). Найти: Sсф. 

Решение: Рассмотрим прямоугольный ΔONK с OKN = 90°;

NK = MN : 2 = 3см, NO2 = R2 =  OK2 + NK2 = 32 + (4)2 = 9 + 32 = …, hello_html_68cdf4b6.jpg

S сф. =R2 = 4π41 = … π см2.

Ответ: 164π см2.

Пример 4. Дано: сфера с центром в точке О и радиусом Rr1 и r2 - радиусы параллельных сечений сферы, r1 = 9 см, r2 = 12 см, l = 3 см - расстояние между секущими плоскостями (рис.). Найти: Sсф.

Решение: Проведем диаметры перпендикулярно к данным параллельным сечениям. Через диаметр проведем секущую плоскость, которая пересечет сферу по окружности, радиус которой равен радиусу сферы 

ND = r1 = 9см, MB = r2 = 12 см, NM = 3 см, OD = ОВ = R в ΔOВМ:

OM2 = R2 – 122 = R2 – 144, в ΔODN: ON2 = R2 – 92 = R2 – 81,

MN = NO – MO = – , – = 3,

= 3 + , R2 – 81= 9 + 6 + R2 – 144, 6 = 54 , = 9, R2 – 144 = 81, R2 = 144 + 81 , R2 = 225, R = …, S сф.=R2 = 4π152 = 4π 225 = … π см2. Ответ: 900π см2.

Пример 5. а)Радиус цилиндра равен 10 см. Сечение, параллельное оси цилиндра и удаленное от нее на 8 см, имеет форму квадрата. Найти площадь сечения.hello_html_m4f14473a.jpg

Решение: 1) ABCD - квадрат. 2) АО = 10 см, ОК = 8 см. OK  AD, АК = KD.

3) ΔАКО прямоугольный. АК =  

4) AD = 6 · 2 = …. (см),5) SABCD = 122 = … (см2). Ответ: 144 см2.

б) Диагональ осевого сечения цилиндра равна 8 дм и образует с плоскостью основания цилиндра угол 45°. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.hello_html_m7dc30bd2.jpg

Решение: 1) ABCD - осевое сечение.2) АС = 8дм, ΔACD - прямоугольный,
AD = DC, 2AD2 = AC2, AD2 = 64·2 : 2 =… (дм), AD= …

3) AD = CD = h = 8 (дм). r = АО = CD : 2 = h : 2 = 8 : 2 = …,

4) S пол .= · r· ( h + r )  = · 4 · ( 8 + 4 ) = ·48 = …. Ответ: 96 дм2.

Пример 6. а) Высота цилиндра равна 16 см. На расстоянии 6 см от оси цилиндра проведено сечение, параллельное оси цилиндра и имеющее форму квадрата. Найдите радиус цилиндра.hello_html_561073fc.jpg

Решение: 1) ABCD - квадрат. 2) ОО1 = АВ = 16 см, KО1 = 6см,
так как КО
1 расстояние от ОО1 до ABCD, К - середина ВС.

3) ВС = 16 см  ВК = 16 : 2 = … см.

4). ΔВКО1 - прямоугольный.ВО1 = r, ВО1 = Ответ: 10 см.

б) Диагональ осевого сечения цилиндра равна 8 дм и составляет с образующей
угол 60°. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.
hello_html_304428aa.jpg

Решение: 1) ΔACD - прямоугольный, ACD = 60°  CAD = 30°.

2) Так как CAD = 30°, то CD = 1/2AC, CD = 8 : 2 = … см = h.

3) AD = r =  

4) S пол .= r ( h + r )  = ··( + 4) = …·( + 4).

Ответ: 4·( + 4). hello_html_43dd25de.jpg

Пример 7. Дано: конус;АВ = 4 см; ВС = 3 см. Найти: Sп.п.

Решение: Sп.п. = πRl + πR2; l = см; R = 3 см.
Sп.п. = π · 3 · 5 + π · 32 = (15 + 9 )π = … (см2). Ответ: 24π см2.

Пример 8. Дано: конус; SO = 6 см; ASB = 90°; CSD = 35° .hello_html_415082a2.jpg

Найти: S6.п.конуса.  

Решение: В ΔASВ, SO - высота и биссектриса,
тогда
 ASO = 45°  AO = SO, R = H = 6 см. 

l

Sб.п. = πRl = . Ответ: 72 π см2.

Пример 9. Дано: шар, BAO = 30°Sсеч. = 12π см2 (рис. ). Найти: АС. hello_html_m590d8763.jpg

Решение: S сеч. =r2 , 12 = r2 , r2 = …, r = 2, AO1= 2 .
Из ΔАО
1О: cos 30° = AO1 / AO , AO = = 2 2 = … см.

AC = 2 · AO = 2 · 4 = … см. Ответ: 8 см.

Пример 10. Дано: шар; Сокр.сеч. = 6π см; BAO = 60° .Найти: АС.
Решение: С = r = ,r = 6 : 2 =…, Из ΔАО1О: О1ОA = 90°60° = …; 

, Ответ: 12 см.

2)Решить задачи ( по примерам):

  1. Дано: шар с центром в точке О, Sсеч. = 25π см2, расстояние от точки О до сечения OA= 12 см (рис. ). Найти: Sсф. 

  2. Сколько кожи пойдет на покрышку футбольного мяча радиуса 5 см? (На швы добавить 8% от площади поверхности мяча.)

  3. Дано: сфера с центром в точке О, АВ  CD, АВ - диаметр сечения, CD - диаметр сечения MN – общая хорда. MN = 8 см, ОК = 6, ОО1 = ОО2 (рис.). Найти: Sсф. 

  4. Дано: сфера с центром в точке О и радиусом Rr1 и r2 - радиусы параллельных сечений сферы, r1 = 3 см, r2 = 4 см, l = 1 см - расстояние между секущими плоскостями (рис.). Найти: Sсф.

  5. а)Радиус цилиндра равен 15 см. Сечение, параллельное оси цилиндра и удаленное от нее на 12 см, имеет форму квадрата. Найти площадь сечения.

б) Диагональ осевого сечения цилиндра равна 6 дм и образует с плоскостью основания цилиндра угол 45°. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

  1. а) Высота цилиндра равна 32 см. На расстоянии 12 см от оси цилиндра проведено сечение, параллельное оси цилиндра и имеющее форму квадрата. Найдите радиус цилиндра.

б) Диагональ осевого сечения цилиндра равна 6 дм и составляет с образующей
угол 60°. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

  1. Дано: АВ = 8 см; ВС = 6 см. Найти: Sп.п.

  2. Дано: конус; SO = 8 см; ASB = 90°; CSD = 35° .Найти: S6.п.конуса.  

  3. Дано: шар, BAO = 30°Sсеч. = 147π см2 (рис. ). Найти: АС. 

  4. Дано: шар; Сокр.сеч. = 8π см; BAO = 60° .Найти: АС.

3)Решить задачи :

  1. В сферу вписан конус, образующая которого равна l = 3 см, а угол при вершине осевого сечения равен 60 градусов. Найдите площадь сферы. 

  2. Найдите площадь сферы, если радиус сферы равен 3 см.

  3. Найдите радиус сферы, если площадь сферы равна 16π см2.

  4. Найдите площадь центрального сечения сферы, если радиус сферы равен 5 см.

  5. Через точку, делящую радиус сферы пополам, проведена секущая плоскость, перпендикулярная к этому радиусу. Радиус сферы равен 16 см. Найдите площадь сечения.

  6. На поверхности шара даны три точки, кратчайшее расстояние между которыми равно 6 см. Определить площадь сечения, проходящего через эти точки.

  7. Дано: шар, AC = 4; BAO = 45°.Найти: Sсеч.

  8. Радиус шара равен 17 см. Найдите площадь сечения шара, удаленного от его центра на 15 см.

  9. Найдите площадь сферы, радиус которой равен 6 см.

  1. Осевое сечение цилиндра - квадрат, длина диагонали которого равна 36 см. Найдите радиус основания цилиндра.

  1. Площадь осевого сечения цилиндра 12 дм2, а площадь основания равна 64 дм2. Найдите высоту цилиндра.

  1. Отрезок CD равен 25 см, его концы лежат на разных окружностях основания цилиндра. Найдите расстояние от отрезка CD до основания цилиндра, если его высота 7 см, а диаметр

основания 26 см.

  1. Высота конуса равна 4см, а угол при вершине осевого сечения равен 120°. Найдите площадь основания конуса.

  1. Радиус основания конуса равен 7 см. Найдите наибольшую возможную площадь осевого сечения данного конуса.

  1. Отрезок DE - хорда основания конуса, которая удалена от оси конуса на 9 см. КО - высота конуса, причем КО = 3см. Найдите расстояние от точки О (центр основания конуса) до плоскости, проходящей через точки D,E и K.

  1. Сфера w проходит через вершины квадрата CDEF, сторона которого равна 18 см. Найдите расстояние от центра сферы - точки О до плоскости квадрата, если радиус сферы ОЕ образует с плоскостью квадрата угол, равный 30°.

  2. Стороны треугольника MKN касаются шара. Найдите радиус шара, если МК = 9 см,
    MN = 13 см; KN = 14 см и расстояние от центра шара О до плоскости MNK равно  см.

  3. На поверхности шара выбраны точки А и В так, что АВ = 40 см, а расстояние от центра шара до прямой АВ равно 15 см. Найдите площадь сечения шара, проведенного через точки А и В на расстоянии 7 см от центра шара.

  4. Плоскость, параллельная оси цилиндра, пересекает основание цилиндра по хорде, которая видна из центра этого основания под углом 30°. Диагональ образовавшегося сечения наклонена к плоскости основания под углом 60°. Радиус цилиндра равен R = 4.

Найдите: а) площадь данного сечеиия; б) площадь осевого сечения.

  1. Осевое сечение цилиндра - квадрат, диагональ которого равна 12 см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

  2. В сферу вписан конус, образующая которого равна l=5, а угол при вершине осевого сечения равен 60°. Найдите площадь сферы.

  3. Вычислите полную поверхность тела вращения, которое получается в результате вращения прямоугольника вокруг его стороны AD, если АВ = 3 см, АС = 5 см.

  4. Сечение цилиндра плоскостью, параллельной оси, отсекает от окружности основания дугу в 90°. Найдите площадь сечения, если высота цилиндра равна 6 см, а расстояние между осью цилиндра и секущей плоскостью равно 3 см.

  5. Около шара радиуса R= 6 описан правильный конус. Найдите площадь поверхности конуса.

  6. Радиус шара равен 8 см. Через конец радиуса, лежащего на сфере, проведена плоскость под углом 45° к радиусу. Найдите площадь сечения шара этой плоскостью.

  7. Высота конуса равна 6 см, а образующая наклонена к плоскости основания под углом в 30°. Найдите площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через две образующие, угол между которыми равен 60°.

  8. Какая фигура образуется при вращении ΔAВС вокруг оси (достроить). Вычислите полную поверхность тела вращения, которое получается в результате вращения ΔABC вокруг его стороны АС, если АС = 8 см, ВС = 5 см.

  9. Высота цилиндра 8 дм, радиус основания 5 дм. Цилиндр пересечен плоскостью параллельно оси так, что в сечении получился квадрат. Найдите расстояние от этого сечения до оси цилиндра.

  10. Радиус сферы равен 15 см. Найдите длину окружности сечения, удаленного от центра
    сферы на 12 см.

  11. Около шара радиуса R= 12 описан правильный конус. Найдите площадь поверхности конуса.

Инструкционная карта

ПР № 18«Расчет по модели объёма прямоугольного параллелепипеда».

Задание:

  1. Перепишите и заполните пропуски:

Пример 1. Площадь грани прямоугольного параллелепипеда равна 12. Ребро,

перпендикулярное этой грани, равно 4. Найдите объем параллелепипеда.
Решение: Каждая грань прямоугольного параллелепипеда –прямоугольник.

Пусть SABCD= a b = 12 , тогда АА1= h = 4, т.к. АА1 АВСD

Используем формулу объема прямоугольного параллелепипеда: V = a b h , V = 12 4 = ...

Ответ: 48 см3.

Пример 2. Объем прямоугольного параллелепипеда равен 12. Одно из его ребер равно 3. Найдите площадь грани параллелепипеда, перпендикулярной этому ребру.

Решение: Пусть АА1 АВСD, V = 12 , АА1= h = 3.

Найдём SABCD. Используем формулу объема прямоугольного параллелепипеда V = a b h, где SABCD= a b, S ABCD 3 = 12,S ABCD = 12 : 3 = ...

Ответ: 4 см2.

Пример 3. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2, 4. Диагональ параллелепипеда равна 6. Найдите объем параллелепипеда.

Решение: a = 4, b = 2, d = 6. Найдем V.

Формула диагонали прямоугольного параллелепипеда:

d2 = a2 + b2 + h2 , 16 + 4 + h2 = 36, h2 = … , h = ...

Формула объема прямоугольного параллелепипеда: V = abh , V = 4 2 4 = ...

Ответ: 32 см3.

Пример 4. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2, 3. Объем параллелепипеда равен 36. Найдите его диагональ и высоту.

Решение: a = 3, b = 2. Формула объема прямоугольного параллелепипеда: V = abh , 3 . 2 . h = 36,

6h = 36, h = ..., V = 36. Найдем d. d2 = 9 + 4 + 36, d2 = 49, d = ...

Ответ: 7 и 6 см.
Пример 5. Дано: ABCDA1B1C1D1 - прямоугольный параллелепипед, диагональ 
D1= 18 составляет угол в 30° с плоскостью боковой грани, и угол в 45° с боковым ребром (рис. ). Найти: V.
hello_html_m49e41dc8.jpg

 Решение: BC1 - проекция D1на плоскость боковой грани BB1С1С,
поэтому 
D1BC1 = 30°D1BB1= 45°.
Рассмотрим Δ
D1C1BD1C1= 90° (рис.). ∠В = 30°. => D1C1 = 18 : 2 = … см.
Рассмотрим Δ
D1B1- прямоугольный: BB1= 18 cos 45° = 18 : 2 = … см.
Диагональ (d) и измерения (а, b, с) прямоугольного параллелепипеда связаны соотношением:
d2 = a2 + b2 + h2 , 182 = 92 + (9)2 + B1C12 ,(ΔD1B1B: B1B =D1 B1).
B1C12 = 182 92 (9)2 = 324 – 8181 2 = 81, B1C1 = …см. V = 99 9 = … см3.   
Ответ:
V = 729см3.

Пример 6. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда 3 и 4. Найти его объём, если высота равна длине диагонали его основания.

Решение: BD - диагональ основания прямоугольного параллелепипеда. BD2 = АВ2 + АD2,
BD2 = 32 + 42 = 9 + 16 = …, BD = …, h = 5. V = 345 = … см3.
Ответ:
60 см3.

Пример 7. Найти объём прямоугольного параллелепипеда, если стороны основания 2 и 3, а диагональ параллелепипеда .

Решение: d2 = a2 + b2 + h2 , ()2 = 22 + 32 + h2 , h 2 = 38 – 49 = 25, h = ...

V = 23 5 = … см3.
Ответ: 30 см3.

2)Решить задачи ( по примерам):

  1. Площадь грани прямоугольного параллелепипеда равна 15. Ребро, перпендикулярное этой грани, равно 6. Найдите объем параллелепипеда.

  2. Объем прямоугольного параллелепипеда равен 24. Одно из его ребер равно 3. Найдите площадь грани параллелепипеда, перпендикулярной этому ребру.

  3. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 3, 4. Диагональ параллелепипеда равна 13. Найдите объем параллелепипеда.

  4. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 3, 6. Объем параллелепипеда равен 108. Найдите его диагональ и высоту.

  5. Дано: ABCDA1B1C1D1 - прямоугольный параллелепипед, диагональ  D1= 12 составляет угол в 30° с плоскостью боковой грани, и угол в 45° с боковым ребром. Найти: V.

  6. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда 6 и 8. Найти его объём, если высота равна длине диагонали его основания.

  7. Найти объём прямоугольного параллелепипеда, если стороны основания 4 и 6, а диагональ параллелепипеда .

3)Решить задачи :

1. Объём параллелепипеда равен 60 см3.

Проставьте недостающий размер.

? 4 см

5 см

2. Каковы измерения параллелепипеда на рис. б), сложенного из 3 одинаковых брусков, изображённых на рис. а). Каков его объём?hello_html_m5cd8b5bc.png


3. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда с ребрами 3 см, 5 см и 8 см.

а) 120 см3; б) 60 см3; в) 32 см3; г) другой ответ.

4. Длина прямоугольной комнаты в 2 раза больше ширины и на 2 м больше высоты. Найдите объем комнаты, если ее длина равна 6 м.

а) 432 м3; б) 144 м3; в) 72 м3; г) другой ответ.

5. Найдите объем куба, если площадь его развертки равна 96 см2.

а) 16 см3; б) 64 см3; в) 80 см3; г) другой ответ.

6. Найдите ребро куба, если его объем равен  512  м3

а) 4 м; б) 8 м; в) 16 м; г) другой ответ.hello_html_m115c4d1e.jpg

7. Как изменится объем параллелепипеда, если его длину увеличить в 4 раза, ширину увеличить в 6 раз, а высоту уменьшить в 8 раз?

а) увеличится в 3 раза; б) уменьшится в 12 раз; в) не изменится; г) другой ответ.

8. Три ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1; 0,5 и 16. Найдите ребро равновеликого ему куба.

9. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 1,5. Найдите объем параллелепипеда. hello_html_54b46307.png

10.Площадь грани прямоугольного параллелепипеда равна 12. Ребро, перпендикулярное этой грани, равно 5. Найдите объем параллелепипеда.

11. Дано: ABCDA1B1C1D1 - прямоугольный параллелепипед. B1= 10 .

Найти: V.

12. По готовым чертежам найти: V.hello_html_m523d2727.jpg

а) б) hello_html_763e6c8a.jpg





13. Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 2,5 см, 5 см, 5 см. Найти ребро куба, объем которого в два раза больше объема данного параллелепипеда.

14.Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда по трем его измерениям,

равным 3 см, 4 см, 5 см. 

15.Найдите площадь сечения куба ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через ребро АВ и середину ребра В1С1, если ребро куба равно 2 см.

16.Найдите площадь сечения куба ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через

ребра АВ и C1D1, если ребро куба равно 3 см. 

17.Найти боковую поверхность прямоугольного параллелепипеда, если его высота h,

площадь основания Q, а площадь диагонального сечения М.

4) Выполнить расчет по модели прямоугольного параллелепипеда:
измерить длину, ширину, высоту и найти объем.


Инструкционная карта

ПР № 19 «Вычисление объёма прямой призмы. Расчет по модели объёма призмы».

Задание:

  1. а)Перепишите и заполните пропуски: hello_html_m47ca6280.jpg

Пример 1. Дано: АВСА1В1С1 - прямая призма, АС = ВС, ACB = 90°BN NACNC1 = 45°CC1 = 6 (рис.). Найти: V. Решение: V = Sh , S = BC2 : 2, BC2 = BN2 + CN2 , BN =CN
(
ΔABC – прямоугольный,AC =BC), ΔC1CN – прямоугольный,CNC1 = 45°
CC1 = CN= 6, BC2 =2CN2 = 2 62 = 236 = …, BC = 6 ,
V = (62 6 : 2 = 36 6 = … см3.    
Ответ:216см3.     Пример 2. Дано: ABCDА1В1С1D1 - прямая призма,  ABCD - ромб, BAD = 60° (рис.). ВВ1 = 2, B1DB = 45°. Найти: V. РешениеSp = AB AD sin 60°. ΔABD – равносторонний( AB = AD,BAD = 60° ).
AB = BD = AD. ΔB1DB –прямоугольный ,
B1DB = 45°. => ΔB1DB – равнобедренный, ВВ1 = ВD = 2,
V = AB AD sin 60° BB1= BB13 sin 60° = 23 / 2 = … см3.
hello_html_6c1a9bbb.jpg

Ответ: 4 см3

Пример 3. Дано: ABCDFM...M1 - правильная шестиугольная призма. AD1 = 8 см - наибольшая диагональ.AD1= 30°(рис.).hello_html_72355ff0.jpg

Найти: V. 
Решение: V= S0 · h. h = DD1 в ΔADD1, = 90°. D1 = 30°,

DD1 = AD1 · cos 30°. DD1 = 8 / 2 = … , AD = AD1 : 2 = 8 : 2 = … см,
OD = OC = CD = AD : 2 = 4 : 2 = …
см,
S
0 = 6S ΔOCD = 6 / 4) a2 = 6 / 4) 22 = 6 см. V = 6 = 6 43 = … см3.    

Ответ: 72 см3.   hello_html_m62762a7f.jpg

Пример 4. Дана трапеция, S(BB1C1C) = 8 см2, S(AA1D1D) = 12см2, BH = 5 см (рис.).Найти: Vnp. 
Решение:1)Расстояние между параллельными плоскостями ВВ1С1 и AA1D1 есть длина перпендикуляра ВН, который является высотой трапеции ABCD.

2) Обозначим верхнее основание трапеции - а, нижнее - b, высоту призмы h, тогда S(BB1C1C) = ah, 8 = ah, a = 8 / h, S(AA1D1D) = bh , 12 = bh, b = 12 / h,

3) S0 = (AD + BC)BH : 2 =( a + b ) BH : 2 = (8 / h + 12 / h) 5 : 2 = … / h,

4) V= S0 · h. V= 50 / · h = … см3. 

Ответ: 50 см3.

б)Расчет по своей модели объёма призмы (сделать измерения, смотреть пример №1-4).

2)Решить задачи ( по примерам):

  1. Дано: АВСА1В1С1 - прямая призма, АС = ВС, ACB =90°BN NACNC1 = 45°CC= 8 (рис.). Найти: V.

  2. Дано: ABCDА1В1С1D1 - прямая призма,  ABCD - ромб, BAD = 60° (рис.). ВВ1 = 4, B1DB = 45°. Найти: V.

  3. Дано: ABCDFM...M1 - правильная шестиугольная призма. AD1 = 16 см - наибольшая диагональ.AD1= 30° (рис.). Найти: V. 

  4. Дана трапеция, S(BB1C1C) = 10 см2, S(AA1D1D) = 14см2, BH = 10 см (рис.). Найти: Vnp. 

3)Решить задачи :hello_html_m47ca6280.jpg

  1. Дано: АВСА1В1С1 - прямая призма, АВ = ВС = 20 см, АС = 24 см, К - середина ребра,  KDB =60° (рис.). Найти: Vпр.

  2. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает 27 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если ее перелить в другой такой же сосуд, у которого сторона основания в 3 раза больше, чем у первого?

  3. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 5. Объем призмы равен 60. Найдите ее боковое ребро.

  4. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 5, боковое ребро равно 4. Найдите объём призмы.

  5. Сторона основания правильной треугольной призмы равна 3см, а высота – 4 см. Найдите объём призмы.

  6. Найдите объём прямой призмы АВСА1В1С1, если угол АВС= 900, а АВ= 5 см, ВС= 8 см , а высота равна 6 см.

  7. Найдите объём правильной шестиугольной призмы, у которой каждое ребро равно 2 см.

  8. Наибольшая диагональ правильной шестиугольной призмы равна 6 см и составляет с боковым ребром угол в 300. Найдите объём призмы.

  9. Найдите объём прямой призмы АВСА1В1С1, если угол АВС= 900, а АВ= 7 см, ВС= 4 см , а высота равна 3 см.

  10. Выберите неверное утверждение.

а) Объём прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник, равен произведению площади основания на высоту;

б) Объём правильной треугольной призмы вычисляется по формуле V = a2h, где а – сторона основания , h – высота призмы;

в) Объём прямой призмы равен половине произведения площади основания на высоту.

  1. Сторона основания правильной треугольной призмы равна 2 см, а высота – 5 см. Найдите объём призмы.

а) 15 см3; б) 45 см3; в) 10 см3; г) 12 см3; д) 18 см3.

  1. Дано: АВСА1В1С1 - прямая призма, АС = ВС, ACB =90°BN NACNC1 = 45°CC= 10 . Найти: V.

  2. Дано: ABCDА1В1С1D1 - прямая призма,  ABCD - ромб, BAD = 60° .ВВ1 = 6, B1DB = 45°. Найти: V.

  3. Дано: ABCDFM...M1 - правильная шестиугольная призма. AD1 = 4 см - наибольшая диагональ.AD1= 30° . Найти: V. 

  4. Дано: АВСА1В1С1 - прямая призма, АВ = ВС = 5 см, АС = 6 см, К - середина ребра,  KDB =60° . Найти: Vпр.

  5. a)трапеция, S(BB1C1C) = 6 см2, S(AA1D1D) = 10см2, BH = 8 см .Найти: Vnp.  б)Дано: АВСDА1В1С1D1 — прямая призма,  ABCD - трапеция. 

  6. V np. = 80 см3, S(BB1C1C) = 8 см2, S(AA1D1D )= 12 см 2 .Найдите: BH.

  7. В наклонной призме боковое ребро равно 10 см, перпендикулярное сечение - прямоугольный треугольник с катетами: 5 см и 8 см. найдите объем призмы.

  8. Дано: АВСА1В1С1 - наклонная призма, АВ = 15 см, ВС = 15 см, АС = 18 см, ВВ1 = 14 см,  B1BK = 60° . Найти: Vnp.

  9. Дано: АВСА1В1С1 - наклонная призма, ВВ1С1С - ромб, B1С  (ABC), В1С = 9, ΔАВС - равносторонний, ВВ1 = 4 .Найти: Vnp.

  10. Дано: АВСА1В1С1 - наклонная призма, АВ = АС = 9 см; ВС = 6 см; АА1 = 10 см; А1АН = 45°Vnp. = Vкуба.Найти: а - ребро куба.

  11. Дано: ABCDA1B1C1D1 - наклонная призма; ABCD - прямоугольник; АВ = 4 см; AD = 10 см, AA1B1B - квадрат; KHF = 60° . Найти: Vnp.

  12. Диагональ боковой грани правильной треугольной призмы образует с основанием угол 600 . Найти объем призмы, если площадь ее боковой поверхности 36 hello_html_757c4b58.jpghello_html_m154dd4a4.jpg3 .

  13. Диагональ боковой грани правильной треугольной призмы образует с основанием угол 300 . Найти объем призмы, если площадь ее боковой поверхности 72 hello_html_757c4b58.jpghello_html_m7e3f0663.jpg3 .






Инструкционная карта

ПР №20 «Вычисление объёма цилиндра. Вычисление объёма пирамиды».

Задание:

  1. Перепишите и заполните пропуски:

Вычисление объёма цилиндра.
Пример 1
. Дано: цилиндр, r = 2см, h = 3 см. Найти: V.

Решение: V= S0 · h. V= πr2 · h = π()2 3 = π 8 3= … π см3.
Ответ: 24π см3.

Пример 2. Дано: цилиндр, r = h= 8π см3.Найти: h.

Решение: V= S0 · h. V= πr2 · h, так как r = h, то V = πh3 => h3 = V / π, h3 = 8 π / π = 8, h = … см.
Ответ: 2 см.
hello_html_2cd2a3a8.jpg

Пример 3. Дано: цилиндр, ABCD - осевое сечение, ABCD - квадрат, 

АС = 8см. (рис.). Найдите: Vцил. 

Решение:1) V= S0 · h. 

2)Рассмотрим ΔАВС - прямоугольный, так как ABCD квадрат.
Пусть АВ = ВС =
x см(x >0), тогда x2 + x2 = (8)2, 2x2 = 642,x2 = 64, x = ....
Итак: АВ = ВС = 8 см, т.е. 
= 8 (см).

3) Найдем радиус основания: = 1/2AD = h / 2 = 8 : 2 = … см, тогда S0 = πr2 , S0 = 16π см2. 

4) V= S0 · h. V= 16 π · 8 = … π см3.  

Ответ: 128 π см3.

Пример 4. Дано: цилиндр, ABCD - осевое сечение, ABCD - квадрат, АС = 6см
(рис.
Пример 3.). Найдите: Vцил. Решение:

1) V= S0 · h.  2)Рассмотрим ΔАВС - прямоугольный и равнобедренный, так как ABCD – квадрат.

Обозначим АВ = ВС = х см (x >0), тогда x2 + x2 = (6)2, 2x2 = 362,x2 = 36, x = … ,
т. е. АВ = ВС = 6 см, и так = 6 см. 3) Найдем радиус основания r = AD : 2 = AB : 2 = 6 : 2 = …см. S0  = πr2 = 9πсм2. 

4) V= S0 · h. V= 9π · 6 = … πсм3.  
Ответ: 54π см3.
hello_html_60118f26.jpg

Пример 5. Дано: цилиндр (MNKL) || OO1, ОН =15 см, МК = 20 см, r = 17 см (рис.). Найдите: Vцил. 

Решение:1) MN || OO1 и KL || OO1, т.е. MN || KL; ОО1 основанию  MN  основанию и КО  основанию, кроме того NK ||ML - лежат в параллельных плоскостях, таким образом четырехугольник MNKL - прямоугольник.

2)  V= S0 · h. V= πr2 · h = 172πh = … πh см3

3) Рассмотрим ΔMOL: проведем ОН  ML; ОН и есть расстояние от плоскости сечения до оси цилиндра, т. е. ОН = 15 см. ОН - высота, медиана и биссектриса равнобедренного ΔMOL,

HL = ML : 2 , HL2 = OL2 – OH2 = 172 – 152 = 289 – 225 = … , HL = … см, ML = 28 = … см.

4) Находим высоту цилиндра из прямоугольного ΔMKL:
h2 = KL2 = MK2ML2 = 202 – 162 = 400 – 256 = … , h = … см.

5) V =289π 12 = … π см3. Ответ: 3468π см3.

Пирамида.

Пример 1. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 9 см. Сторона основания 4 см. Найдите объем пирамиды.

Решение: V= 1/3 S0 · h. V= 1/3 a2 · h = 1/3· 42·9 = 1/3 · 16 · 9 = 16 · 3 = … см3. Ответ: 48см3. 

Пример 2. a) Объем правильной четырехугольной пирамиды равен 27 см3, высота 9 см. Найти сторону основания.

Решение: V= 1/3 S0 · h. V= 1/3 a2 · h, a2  = 3V : h = 3 · 27 : 9 = 3 · 3 = ... , a = … см.

Ответ: 3 см.hello_html_m12ec6366.jpg

б) Объем пирамиды равен 56 см3, площадь основания 14 см2. Чему равна высота?

Решение: V= 1/3 S0 · h.  h = 3 V : S0  = 3 · 56 : 14 = 3 · 4 = … см.

Ответ: 12 см.

Пример 3. Дано: ABCD - правильная пирамида.

АВ = a = 3; AD = 2 (рис.).Найти: aSocн.; б) АО; в) DO; г) V.

 


Решение:

а) S0 = 0,25 · a2  = 0,25 · 32 = 2,25 (используем формулу для вычисления площади правильного треугольника). 

б) AO = R = 2/3h = 1/3 a  (формула радиуса описанной окружности через сторону правильного треугольника). AO = 1/3 · 3 = .

в) DO2 = AD2AO2, (по теореме Пифагора).

DO2 = (2)2 – ()2 = 4 · 3 – 3 = … , DO = h = 3.

г) V= 1/3 S0 · h. V= 1/3 · 2,25 · 3 = … см3.

Ответ: aSocн. = 2,25 см2; б) АО = см; в) DO = 3см; г) V = 2,25 см3 .

Пример 4. Дано: ABCDF - правильная пирамида. hello_html_5fef969e.jpg

FCO = 45°FO = 2 (рис.). Найти: a) Socн.; б) V. 

Решение:

  1. Рассмотрим ΔFOC= 90°= 45°, значит, = 45°.

Следовательно, ΔFOC - равнобедренный, ОС ≈ FO = h= 2.

2) АС = 2OС = 4. AC = AD (по свойству диагонали квадрата, d2 = 2а2).

Тогда  AD = AC / = 4 / = 2 .

3) ABCD - квадрат (пирамида правильная). S0 = AD2 = (2)2 = 2 · 4 = ...

4) V= 1/3 S0 · h. V= 1/3 · 8 · 2 = 16/3 5,3. Ответ: a) 8; б) 5,3.hello_html_6d91a8cf.jpg

Пример 5. Дано: ABCA1B1C1 – усеченная пирамида. ΔАВС – прямоугольный,
AB = 18 дм, BC = 24 дм, AA1 = BB1 = СС1 = 12,5 дм, k = 0,5. Найти V.

Решение: S1 = SABC = 1/2 · AB · BC = 1/2 · 18 · 24 = 9 · 24 = … ,
S
2 = S(A1B1C1) = 1/2· A1B1 · B1C1 = 1/2 (k · AB) · (k · BC) =
= 1/2· 0,5 · 18 · 0,5 · 24 = 6 · 9 = … ,
S = S
1 + S2 + = 216 + 54 + = 216 + 54 + 54 = … ,
V = 1/3 · h · S = 1/3 378 h = 126 h, R
1 = abc/4S1 ,

c = = = … , R1 = = = …, hello_html_m78f1984a.jpg

R2 = R1 : 2 = 7,5; h2 = 12,52 – (15 – 7,5)2 = 12,52 – 7,52 = (12,5 – 7,5) · (12,5 + 7,5) =

= 5 · 20 = … , h = … ,

V = 126 h = 126 · 10 = … (дм3).
Ответ: 1260 (дм3).

Пример 6. усеченная пирамида а) n = 3, а1 = 2, а2 = 5, h = 12, V =?
Решение: A = 22 + 52 + 2 · 5 = 39, V = · h · A = · 12 · 39 = … .

Ответ: 39 .

б) n = 4, a1 = 3, a2 = 8, h = 6, V = ?
Решение: A = 32 + 82 + 3 · 8 = 97, V = 1/3 · 6 · 97 = 2 · 97 = ...

Ответ: 194

в) n = 6, a1 = 4, a2 = 9, h = 8, V = ?

Решение: A = 42 + 92 + 4 · 9 = 133, V = · 8 ·133 = 4 · 3 · 133 = ...

Ответ: 1596.

2)Решить задачи ( по примерам):

Цилиндр.

  1. Дано: цилиндр, r = 4см, h = 3 см.Найти: V.

  2. Дано: цилиндр, r = h= 27π см3.Найти: h.

  3. Дано: цилиндр, ABCD - осевое сечение, ABCD - квадрат, АС =10см.(рис.). Найдите: Vцил. 

  4. Дано: цилиндр, ABCD - осевое сечение, ABCD - квадрат, АС = 4 см (рис. Пример 3.). Найдите: Vцил.

  5. Дано: цилиндр (MNKL) || OO1, ОН =30 см, МК = 40 см, r = 34 см (рис.). Найдите: Vцил. 

Пирамида.

  1. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 6 см. Сторона основания 5 см. Найдите объем пирамиды.

  2. a)Объем правильной четырехугольной пирамиды равен 48 см3, высота 4 см. Найти сторону основания. б) Объем пирамиды равен 28 см3, площадь основания 4 см2. Чему равна высота?

  3. Дано: ABCD - правильная пирамида. АВ = a = 6; AD = 4 . Найти: aSocн.; б) АО; в) DO; г) V.

  4. Дано: ABCDF - правильная пирамида.  FCO = 45°FO = 4 . Найти: a) Socн.; б) V. 

  5. Дано: ABCA1B1C1усеченная пирамида. ΔАВС прямоугольный, AB = 12 дм,BC = 16 дм, AA1 = BB1 = СС1 = 13 дм, k = 0,5. Найти V.

  6. а) n = 3, а1 = 2, а2 = 5, h = 24, V =?, б) n = 4, a1 = 3, a2 = 8, h = 3, V = ?,
    в) n = 6, a1 = 4, a2 = 9, h = 4 , V = ?

3)Решить задачи :

  1. Дано: цилиндр, r = 6см, h = 3 см. Найти: V.

  2. Дано: цилиндр, r = h= 64π см3.Найти: h.

  3. Дано: цилиндр, ABCD - осевое сечение, ABCD - квадрат, АС =12см. Найдите: Vцил. 

  4. Дано: цилиндр, ABCD - осевое сечение, ABCD - квадрат, АС = 14см . Найдите: Vцил.

  5. Дано: цилиндр (MNKL) || OO1, ОН = 24 см, МК = 25 см, r = 26 см . Найдите: Vцил.

  6. Найдите объем цилиндра с высотой, равной 3 см, и диаметром основания, равным 6 см.

  7. Объем цилиндра равен 27π. Найдите диаметр основания цилиндра, если площадь полной его поверхности в два раза больше площади боковой поверхности.

  8. Диагональ осевого сечения цилиндра составляет с плоскостью основания цилиндра угол 60°. Найдите объем цилиндра, если площадь осевого сечения равна 16 см².

  9. Площадь осевого сечения цилиндра равна 21 см², площадь основания - 18π см². Найдите объем цилиндра.

  10. Параллельное оси цилиндра сечение отсекает от окружности основания дугу в 120°. Радиус основания цилиндра равен R, угол между диагональю сечения и осью цилиндра равен 30°. Найдите объем цилиндра.

  11. Дано: ABCDEKF – прав. пирамида. FO  (ABC), FM  AK, FO = 8, FM = 10.
    Найти:
    a) Socн.; б) V. 

  12. В треугольной усеченной пирамиде с высотой, равной 10, стороны одного из оснований равны 27, 29 и 52. Определите объем усеченной пирамиды, если периметр другого основания равен 72.

4)Решить задачи и записать правильный ответ :hello_html_735372c9.jpg

Цилиндр.


1. Найдите объем цилиндра, площадь основания которого равна 1, а образующая равна 6 и наклонена к плоскости основания под углом 30о.


А) 3, Б) 2, С) 4 , Д) 3/2hello_html_m49291d4f.jpg

  1. Воду, находящуюся в цилиндрическом сосуде на уровне 12 см,


перелили в цилиндрический сосуд, в два раза большего диаметра. На какой высоте будет находиться уровень воды во втором сосуде?

А) 3, Б) 2 , С) 4, Д) 6

  1. Одна цилиндрическая кружка вдвое выше второй, зато вторая в

полтора раза шире.Найдите отношение объема второй кружки к объему первой. А) 1,125, Б) 1,5, С) 2, Д) 0,5.

  1. а) Найдите объём цилиндра, если r = 4, h = 5. А) 80, В) 80 π, С) 16, Д) 21 π.

б) Найдите высоту цилиндра , если V = 100 π, r = 10 . А) 4, В) 3 π, С) 1, Д) 2 π.

Пирамида.

  1. Выпишите формулу для нахождения объёма пирамиды.а) V=1/3Sоснh; б) V=Sоснh; в) V=2/3Sоснh.

  2. Найдите объем пирамиды, высота которой равна 1, а основание — прямоугольник со сторонами 4 и 6. а) 4; б) 8; в) 16.hello_html_37ae8577.jpg

  3. Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 1, а высота равна hello_html_6f3a9b7f.png. а) 1,25; б) 1; в) 0,25.

  4. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 12 м, объем равен 200 м3. Найдите боковое ребро этой пирамиды. а) 10 м; б) 13 м; в) 8 м.

  5. Найдите объём правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна 3 см, а высота – 4 см. а) 12 см3; б) 42 см3; в) 8 см3.

  6. Диагональ квадрата, лежащего в основании правильной пирамиды, равна 8 дм, а её высота равна 12 дм. Найдите объём пирамиды. а) 768 дм3; б) 384 дм3; в) 128 дм3.

  7. Основанием пирамиды МАВС служит треугольник со сторонами АВ = 5 см, ВС = 12 см, АС = 13 см. Найдите объём пирамиды, если МВ (АВС) и МВ = 10 см.

а) 300 см3; б) 260 см3; в)100 см3.

Инструкционная карта

ПР №21 «Расчет по модели объёма конуса».

Задание:

1)Перепишите и заполните пропуски:

Пример 1. a) Вычислите объем конуса, если его высота 6 см, а площадь основания 42 см2.

Решение: V= 1/3S0 · h. V= 1/3· 42 · 6 = 42 2 = … см3.

Ответ: 84 см3. 

б) Найти объем конуса с радиусом основания 4 м и высотой 6 м .

Решение: V= 1/3 πr2 · h. V= 1/3 · π ·42 · 6 = … π м3. 

Ответ: 32 π м3. hello_html_22f040f9.jpg

Пример 2. Образующая конуса равна 60 см, высота 30 см. Найдите Vк (рис.).

Решение: Из ΔАOР (O = 90°): Так как РО = 1/2АР, то = 30°, 
R = AO = 60· cos 30° = 60 · / 2 = …  см,

V= 1/3 πr2 · h. V= 1/3 π(30)2 · 30 = 900 3 10 π = … π см3.

Ответ: V = 27000π см3.

Пример 3. Образующая конуса, равна 12 см, наклонена к плоскости основания под углом 30° (рис.). Найдите объем конуса.hello_html_77625222.jpg

Решение: V= 1/3 π ·AO2 · SO.  Из ΔАSO (= 90°): h = SO = 1/2 AC = 12 : 2 = … см.

R = AO = 12 · cos 30° = 12 · / 2 = …  см.

V= 1/3 π(6)2 · 6 = 2 π · 36 · 3 = … π см3.

Ответ: V= 216π см3.

Пример 4. Образующая конуса 8 см, а угол при вершине осевого сечения 60°.

Найдите объем конуса. hello_html_6c88cf6d.jpg

Решение: (рис.) V= 1/3 πr2 · h. r = 8 : 2 = … см.

h = 8 · sin 60° = 8 · / 2 = …  см.

V= 1/3 π · 42 · 4 = 64 / 3 21,3π см3.

Ответ: 21,3π см3.

Пример 5. Дано: конус, АР = см, PAB = 45° (рис. ). Найти: V. hello_html_20ab41b2.jpg

Решение: V= 1/3 πr2 · h.  AO= РО. Из ΔAОР ((= 90°): APO = 45°, значит, AO = PO = r = h. По теореме Пифагора 2r= 6, r2 = 3, r = h = .

V= 1/3 π()2 ·  = 1/3· π · 3 · = π см3.

Ответ: V = π см3

2)Решить задачи ( по примерам):

  1. a)Вычислите объем конуса, если его высота 3 см, а площадь основания 12 см2.

б) Найти объем конуса с радиусом основания 5 м и высотой 9 м .

  1. Образующая конуса равна 4 см, высота 2 см. Найдите Vк (рис.).

  2. Образующая конуса, равна 6 см, наклонена к плоскости основания под углом 30° (рис.).
    Найдите объем конуса.

  3. Образующая конуса 4 см, а угол при вершине осевого сечения 60°.Найдите объем конуса. 

  4. Дано: конус, АР = см, PAB = 45° (рис. ).Найти: V. 



3)Решить задачи :

  1. a)Вычислите объем конуса, если его высота 9 см, а площадь основания 15 см2.

б) Найти объем конуса с радиусом основания 7 м и высотой 3 м .

  1. Образующая конуса равна 8 см, высота 4 см. Найдите Vк .

  2. Образующая конуса, равна 12 см, наклонена к плоскости основания под углом 30°. Найдите объем конуса.

  3. Образующая конуса 6 см, а угол при вершине осевого сечения 60°. Найдите объем конуса. 

  1. Найдите объем конуса, осевое сечение которого представляет собой равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной 6 см.

  2. Найдите объем конуса, полученного в результате вращения вокруг большего катета прямоугольного треугольника с гипотенузой, равной 2 см, и углом 30°.

  3. Радиус основания конуса равен 12 см, а его образующая равна 13 см. Найдите ребро куба, объем которого равен объему данного конуса.

  4. Пусть V, r и h соответственно объем, радиус основания и высота конуса. Найдите h,
    если
    r = 6 см, V = 288 см3.

  5. Высота конуса 12 см, образующая – 13 см. Найти объём конуса.
    а) 12 π см
    3; б) 13 π см3; в) 100 π см3; г) 24 π см3; д) 65 π см3.
    hello_html_4158deae.jpg

  6. Найти объем тела, полученного вращением прямоугольного треугольника с катетами 3 см и 4 см вокруг меньшего катета.
    а) 16π см
    3; б) 24 π см3; в) 12 π см3; г) 9 π см3; д) 48 π см3.
    hello_html_7c0e6934.png

  7. Образующая конуса 4 см и наклонена к плоскости основания под углом 300. Вычислить объём конуса.

а) 16π см3; б) 24 π см3; в) 12 π см3; г) 9 π см3; д) 8 π см3.

  1. Во сколько раз увеличится объем конуса, если его радиус основания увеличить в 1,5 раза?hello_html_m3cefbc58.png

  2. Объем конуса равен 16. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

  3. Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объем цилиндра, если объем конуса равен 16.

  4. У фермера 3 коровы. Для содержания одной коровы фермеру требуется заготовить на зиму 3 т сена. Он заготовил стог сена в виде конуса с радиусом основания 6 м и образующей 10 м. Определите массу заготовленного сена при плотности 30кг/м3 .Хватит ли коровам сена на зиму?hello_html_4623ec12.png

  5. Авиационная бомба среднего калибра дает при взрыве воронку диаметром 6 м и глубиной 2 м. Найдите массу земли, выбрасываемую бомбой, если плотность  земли 1650 кг /м3.

  6. Два конуса имеют общую высоту и параллельные основания. Найдите объем их общей части, если объем каждого конуса равен 8.

  7. Из двух одинаковых деревянных брусков объёмом 3куб. м каждый, имеющих форму цилиндра, выточили конус (рис.1) и два конуса (рис.2). В каком случае будет сточено меньше материала?




Рис.1 Рис.2

  1. Площадь основания конуса равна площади поверхности вписанного в него шара. Найдите объём конуса, если образующая конуса равна 10.

  2. Верно ли, что, если радиус основания конуса уменьшить в 2 раза, то его объём уменьшится в 2 раза.

4) Выполнить расчет по модели конуса: измерить диаметр основания и высоту конуса , найти радиус основания и объем конуса V= 1/3 πr2 · h


Инструкционная карта

ПР № 22 «Вычисление объёма шара. Расчет объёмов сегмента, слоя, сектора шара».

Задание:

  1. Перепишите и заполните пропуски:

Пример 1. a)Вычислите объем шара, если его радиус = 6 см.
Решение: Vшара = 4/3 R3 = 4/3216 = 72 4 = ….

  • Ответ: 288 см3.

  • б)Вычислите диаметр шара, если его объем V = 36π.

  • Решение: Vшара = 1/6 d3 = 1/6 d3, d3 = 36 6 = … , d = 6.

  • Ответ: 6 см.hello_html_66b842ba.jpg

  • Пример 2.Диаметр основания конуса равен 6 м, образующая наклонена к плоскости основания под углом 60° (рис.). Найти: объем шара описанной около конуса сферы. 

  • Решение:

  • 1) Центр O1  ОС, OBC = 60°  ΔАВС - равносторонний.

  • 2) R = O1C = AB / 3 = 6 /3 = … .

  • 3) Vшара = 4/3 R3 = 4/3 (2)3 = 4/3 8 3 = … .

  • Ответ: 32  м2.

  • Пример 3. Диаметр свинцового шара равен 30 см. Сколько шариков, диаметр которых 3 см, можно сделать из этого свинца?

  • Решение: n = V1 / V2 = /6 d1 3) / (6 d23) = d1 3 / d2 3 = (d1 / d2)3 = (30 / 3) 3 = 103 = ...

  • Ответ: 1000 шариков.

Пример 4. Какую часть шара составляет объем шарового сегмента, у которого высота равна 0,1 диаметра шара?
Решение: Десятая часть диаметра есть пятая часть радиуса. Значит, высота сегмента h= R/5 ,
V сегм. = (R/5)2 (RR /15) = (R2/25) 14R/15 = 14 R3/375,
V сегм.: V = ( 14/375) : (4/3) = 7/250 100 % = 28 : 10 = … % .
Ответ:  2,8%.
Пример 5. Плоскость, перпендикулярная диаметру шара, делит его на части 3 см и 9 см. На какие части делится объем шара?
Решение: = (3 + 9) : 2 = … см. Высота меньшего сегмента h равна 3 см.
Его
V1 = h2 (Rh / 3) = 32 (61) = 5 9 = … см2.
V = 4/3 R3 = 4/3 63 = 4/3 216 = 72 4 = … см3.
Значит, 
V2 = VV1 = 288 - 45 = … см3.
Ответ: 45 , 243 см3. Пример 6. Дано: шар, DС — диаметр секущей плоскости, АМ = 6 см, MB = 12 см (рис.). V1 - объем меньшего шарового сегмента, V2 - объем большего шарового сегмента. Найти: V1, V2. 
Решение: СD  АВ, АМ = 6 см, MB = 12 см. На рисунке: DС - диаметр круга, который является плоскостью, перпендикулярной к диаметру шара, делящей шар на два шаровых сегмента.
Диаметр шара АВ = АМ +
 MB = 6 + 12 = … (см),R = 18 : 2 = … см.
Объем шарового сегмента вычисляется по формуле:
V = h2 (Rh / 3) ,  где h = AM - высота меньшего сегмента. V1 = AM2 (RAM / 3) = 62 (9 – 6/3) = 36 7 = … см3. Объем шара равен:   Vшара = 4/3 R3 = 4/3 93= 4 81 3 = … см3.
V2 = VV1 =  972 252 = … см3.
Ответ: 252π см3 и 720π см3.
Пример 7. Чему равен объем шарового сектора, если радиус окружности основания равен 60 см, а радиус шара - 75 см.
Решение: Пусть R - радиус шара, r - радиус основания сегмента. Вычислим высоту сегмента Н = РО1, OP = R. Из прямоугольного ΔОО1М: 
OO12 = OM2O1M2 = R2r2 = 752602 = 5625 – 3600 = …, OO1 = … см. h = PO1 = OPOO1 = 7545 = … см.
V = 2/3 R2 h = 2/3 75230 = 20 5625 = … см3.
Ответ: 112 500 см3.
Пример 8. Дано: шар, h = 30, R = 45 см. Найти: V1, V2, V3.
Решение:
Объем шарового сегмента вычисляется по формуле: V1 = h2 (Rh / 3) ,  V1= 302 (45 – 30:3) = 900 35 = … см3.
V2 = 4/3R3 2 h2 (Rh / 3)
V2 = 4/3453 2 302 (45 – 30 / 3) = 121500 63000 = …см3.
V3= 2/3 R2h = 2/3452 30 = 2025 20 = … см3.
Ответ: 31500 58500 40500см3.
hello_html_m45f5722.jpghello_html_m4c44f677.jpg

2)Решить задачи ( по примерам):

  1. a)Вычислите объем шара, если его радиус = 3 см.
    б)Вычислите диаметр шара, если его объем V= 32π/3.

  2. Диаметр основания конуса равен 6 м, образующая наклонена к плоскости основания под углом 60° .Найти: объем шара описанной около конуса сферы. 

  3. Диаметр свинцового шара равен 30 см. Сколько шариков, диаметр которых 3 см, можно сделать из этого свинца?

  4. Какую часть шара составляет объем шарового сегмента, у которого высота равна 0,2 диаметра шара?

  5. Плоскость, перпендикулярная диаметру шара, делит его на части 6 см и 12 см. На какие части делится объем шара?

  6. Дано: шар, DС — диаметр секущей плоскости, АМ = 3 см, MB = 9 см . V1 - объем меньшего шарового сегмента, V2 - объем большего шарового сегмента. Найти: V1V2. 

  7. Чему равен объем шарового сектора, если радиус окружности основания равен 12см, а радиус шара - 15 см.

  8. Дано: шар, h = 30, R = 42 см. Найти: V1V2, V3.

3)Решить задачи :

  1. Вычислите объем шара, если его радиус R = 6 см.

  2. Вычислите диаметр шара, если его объем V = 36π.

  3. Объем шара равен 135. Найти объем другого шара, диаметр которого в 3 раза больше, чем у данного.

  4. Площадь сечения шара плоскостью равна 16π. Найти расстояние от плоскости сечения до центра шара, если объем шара равен 500/3 .

  5. Шаровой сегмент, R = 10 см, h = 6 см. Найти объем сегмента V.

  6. Шаровой слой, R = 36 см, h = 12 см, V = ?

  7. Шаровой сектор, R = 6 см, h = 2 см, V = ?

  8. Шаровой сегмент, R = 75 см, r = 60 см, (h > 100). Найти V.

  9. Шар, плоскость α делит его на две части и перпендикулярна AB, AB – диаметр шара,
    AO1 = 6 см, O1В = 12 см, O1 – центр сечения плоскостью шара.
    Найти объемы частей шара
    V1 и V2.

  10. а) Шаровой сегмент, h = 6 см, V = 720 π см3. R - ? б) Шаровой сегмент, r = 5 см, h = 1 см. R - ?

  11. а) Шаровой сектор, h = 15 см, V = 4000 π см3. R - ?
    б) Шаровой сектор,
    R = 10 см, V = 400 π см3. h - ?

  12. а) Шаровой сектор, r = 60 см, R = 75 см. V = ?
    б) Шаровой сектор,
    h = 30 см, V = 112500 π см3. R - ?

  13. Шаровой слой, h = 30 см, R = 45 см. V = ?

  14. Какую часть объема шара составляет объем шарового сегмента, у которого высота равна 0,1 диаметра шара, равного 20 см?

  15. Чему равен объем шарового сектора, если радиус окружности основания равен 60 см, а радиус шара - 75 см.

  16. Диаметр шара радиуса 15 см разделен на 3 части, длины которых относятся как 2:3:5. Через точки деления проведены плоскости, перпендикулярные диаметру. Найдите объем образовавшегося шарового слоя.

  17. Радиусы трех шаров 3, 4 и 5 см. Найдите радиус шара, объем которого равен сумме их объемов.

  18. В шаре радиуса 15 см проведено сечение, площадь которого равна 81 см2. Найдите объем меньшего шарового сегмента, отсекаемого плоскостью сечения.

  19. Найдите объем шарового сектора, если радиус шара равен 6 см, а высота соответствующего сегмента составляет шестую часть диаметра шара.

  20. Радиусы оснований шарового слоя равны 3 см и 4 см, а радиус шара - 5 см. Найдите объем слоя, если его основания расположены по одну сторону от центра шара. 


Инструкционная карта

ПР № 23 «Вычисление объёма цилиндра. Вычисление объёма конуса. Вычисление объёмов тел».

Задание:

1) Перепишите и заполните пропуски:
Пример 1. Дано: цилиндр, ABCD - осевое сечение, ABCD - квадрат, АС = 8 см. (рис.).
Найдите: 
Vцил.
Решение: 1) V= Sосн · h.
hello_html_2cd2a3a8.jpg

2) Рассмотрим ΔАВС - прямоугольный, так как ABCD квадрат.
Пусть АВ = ВС = х см, тогда х
2 + х2 = (8)2 , 2х2 = 64· 2 , х2 = 64,  х = …,
х = - 8 не удовлетворяет условию задачи. Итак: АВ = ВС = 8 см, т.е. 
= 8 (см).

3) Найдем радиус основания: = 1/2AD = ВС : 2 = 8 : 2 = … см,
тогда
S осн. =  r2 = … ,

4) V= 16 8 = …см3.
Ответ: 128 см3.
Пример 2. Цилиндр имеет диаметр основания 14 см, а высоту 5 см. Найдите объем и площадь полной поверхности цилиндра.

Решение: = 14 : 2 = … см, = 5 см, V= r2 · h = 49 · 5 = … см3.
S пол .= r ( h + r ) = 2 · 7 · · ( 5 + 7) = 14 ·12 = … см2.
Ответ:  245 см3 и 168 см2.
Пример 3. Образующая конуса равна 12 см. Угол между образующей и плоскостью основания равен 30 градусов. Найти объем конуса.
hello_html_m120fbaaf.png

Решение: Объем конуса найдем по формуле: 
 V= 1/3S0 · h.

Поскольку образующая вместе в высотой конуса и радиусом его основания образуют прямоугольный треугольник, то необходимые размеры конуса вычислим исходя из того, что нам известен угол этого прямоугольного треугольника между основанием и образующей конуса.

h / OB = sin 30 , h = OB sin 30 , h = 12 sin 30 , h = 12 · 1/2  = 12 : 2 = … ,
R / OB = cos 30
 , R = OB cos 30 , R = 12 cos 30 ,
R = 12 /2
 , R = 6   

Откуда объем конуса будет равен: 
V = 1/3π ( 6 )2 · 6  = 1/3π· 36 · 3 · 6 = 36 · 6 = …   см3.

Ответ: объем конуса равен   216π см3 .  
Пример 4. Объем конуса равен 27. На высоте конуса лежит точка и делит её в отношении 2:1 считая от вершины. Через точку проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса. 
Решение: Обратим внимание, что треугольники AOB и COD - подобны. Из условия задачи определим коэффициент подобия как 2:3. 
Объем конуса находится по формуле:  Vконуса = 1/3πR
2h = 27 (по условию) 
Тогда объем малого конуса будет равен 
Vмал.конуса = 1/3π
· (2/3R)2 · (2/3h) , то есть  Vмал.конуса = 1/3π· 4/9 R2 ·2/3 h, 
Vмал.конуса = 8/27
·1/3π R2 h 
а так как мы знаем, что 1/3π R
2 h= 27 (см. выше), то  Vмал.конуса = 8/27 · 27 = … 
Ответ:  объем малого конуса равен 8 см3.
Пример 5.Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 10, а угол боковой грани с плоскостью основания равен 60°. Найдите объем шара, вписанного в пирамиду (рис.). 
hello_html_m1caaa07f.jpg

Решение: Рассмотрим сечение, проведение через высоту пирамиды и две апофемы. В сечении получается ΔАВС - равносторонний. Радиус вписанной в него окружности будет равен  r = a / 2, r = 10/2 = 10 : 2 = … ,
Vшара= 4/3R3 = 4/3 53 = 500/3 167.
hello_html_7ac6054e.jpg

Ответ: 167.

Пример 6.В шар вписана правильная треугольная призма так, что ее высота вдвое больше стороны основания. Найдите объем шара, если объем призмы равен 27/π (рис.) 


Решение:

1) Пусть х - сторона основания. Тогда высота призмы 2х. Ее объем Sосн. · h.
V=/4 x2 x = /2x3. По условию V=27/ , /2 x3 = 27/, x3 = 54/, x = 3 .

2) Радиус найдем из ΔOO1A1O1A1 - радиус описанной окружности около треугольника A1B1C1O1A1 = a / ,

O1A1 = = ,
OO1= x = 3 , так как О - середина О1О2.

R2 = OA12 = O1A12 + OO12 = ()2 + ()2 = ( )2 = (2 )2. R = OA1 = 2 .

3)Объем шара Vшара= 4/3R3 = 4/3 8 = 4 · 8 · 2 = ...

 Ответ: = 64.

2)Решить задачи ( по примерам):

  1. Дано: цилиндр, ABCD - осевое сечение, ABCD - квадрат, АС = 6 см. Найдите: Vцил.

  2. Цилиндр имеет диаметр основания 16 см, а высоту 5 см. Найдите объем и площадь полной поверхности цилиндра.

  3. Образующая конуса равна 20 см. Угол между образующей и плоскостью основания равен 30 градусов. Найти объем конуса.

  4. Объем конуса равен 54. На высоте конуса лежит точка и делит её в отношении 2:1 считая от вершины. Через точку проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

  5.  Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 12 , а угол боковой грани с плоскостью основания равен 60°. Найдите объем шара, вписанного в пирамиду.

  6. В шар вписана правильная треугольная призма так, что ее высота вдвое больше стороны основания. Найдите объем шара, если объем призмы равен 54/π .

3)Решить задачи :


  1. Пусть V, r и h соответственно объем, радиус и высота цилиндра.
    Найдите
    V, если r = 5 см, h = 6 см.

  2. Пусть V, r и h соответственно объем, радиус и высота цилиндра. Найдите h,
    если
    r = 10 см, V = 400 см3.

  3. Радиус основания конуса равен 12 см, а его образующая равна 13 см. Найдите ребро куба, объем которого равен объему данного конуса.

  4. Пусть V, r и h соответственно объем, радиус основания и высота конуса. Найдите h,
    если
    r = 6 см, V = 288 см3.

  5. Радиусы оснований усеченного конуса равны r 1 и r 2 , а высота равна h. Найдите объем усеченного конуса V, если r 1 = 3 м, r 2 = 4 м, h = 3 м.

  6. Радиусы оснований усеченного конуса равны r 1 и r 2 , а объем равен V. Найдите высоту усеченного конуса h, если r 1 = 3 м, r 2 = 5 м, V = 294 м3.

  7. Пусть V, R соответственно объем и радиус шара. Найдите объем шара V, если R = 6 см.

  8. Пусть V, d соответственно объем и диаметр шара. Найдите диаметр шара d, если
    V = см3.

  9. Пусть V1, V 2 , V 3 соответственно объем шарового сегмента, объем шарового слоя, объем шарового сектора, R- радиус шара, h – высота шарового сегмента. Найдите V1, V 2 , V 3 , если R = 42 см и h = 30 см.

  10. Объемы двух шаров относятся как 8 : 1. Найдите отношение их радиусов.


Инструкционная карта

ПР № 24«Понятие вектора. Равенство векторов . Сложение и вычитание векторов».

Задание:

1)Перепишите и заполните пропуски:

Пример 1. Даны точки А(2;3; –1) и В (–5;3; 0) . Найти длину отрезка АВ.

Решение: По соответствующей формуле: А(2;3; –1) и В (–5;3; 0). 


Ответ:

Пример 2. Даны точки: А(5;7; 2), В (5;4; 6) , С (9;4; 9) 

Выяснить, равнобедренный ли треугольник, построенный на этих точках.

Решение: По формуле длины вектора найдём длины сторон и установим, есть ли среди них две равные:


Две равные стороны нашлись, следовательно необходимость искать длину третьей стороны отпадает, а заданный треугольник является равнобедренным.

Ответ: треугольник является равнобедренным.

Пример 3. а) Даны два вектора:  и .Найти .

Решение: .

б) Даны четыре вектора: .

Найти координаты векторов  

Решение:


Ответ:

Пример 4. В кубе АВСDА1В1С1D1, сторона которого равна 3, на диагоналях граней АD1 и D1В1 взяты точки Е и К так, что D1Е : АD1 = 1 : 3, D1K : D1B1 = 2 : 3. hello_html_m36f43c90.png

Найдите длину отрезка DK.
Решение:

hello_html_m14849d6b.gif

hello_html_3365f952.gif

hello_html_3b804b4.gif

hello_html_61eeff54.gif

Ответ:

Пример 5. Дано:

Решение:

Ответ:

Пример 6. Найдите длину вектора КА АС.

hello_html_m436d4048.gif

Ответ: 20 см.

2)Решить задачи ( по примерам):

  1. Даны точки А(4;6; –2) и В (–10;6; 0) . Найти длину отрезка АВ.

  2. Даны точки: А(10;14; 4), В (10;8; 12) , С (18;8; 18) 

Выяснить, равнобедренный ли треугольник, построенный на этих точках.

  1. а) Даны два вектора:  и .Найти .

б) Даны четыре вектора: .

Найти координаты векторов  

  1. В кубе АВСDА1В1С1D1, сторона которого равна 3, на диагоналях граней АD1 и D1В1 взяты точки Е и К так, что D1Е : АD1 = 2 : 3, D1K : D1B1 = 1 : 3. Найдите длину отрезка DK.

  2. Дано:

  3. Найдите длину вектора КА АС, диагонали ромба 6 и 8 см.

3)Решить задачи :

  1. Даны векторы и   Найдите координаты вектора .

  2. Даны векторы,. Найдите координаты вектора 

  3. На каком расстоянии от плоскости (хОу) находится точка А(2; 3; -5).

  4. На каком расстоянии от начала координат находится точка А(3; 4; 0).

  5. Найти длину вектора  если А(5; 3; 2), В(3; 1; 4).

  6. На каком расстоянии от плоскости (yOz) находится точка В(3; 2; 4).

  7. Даны векторы и  . Найдите  

  8. Изобразить систему координат Оху: и построить точку А(1; 2; 4). Найти расстояние от этой точки до координатных плоскостей.

  9. Вершины ΔАВС имеют координаты А(2; 0; 1), В(1; 2; 3), С(8; 4; 9). Найдите координаты вектора  если ВМ - медиана ΔABC.

  10. Даны точки А(1; 5; 3) В(7; 1; 3) С(3; 2; 6). Доказать, что ΔАВС - прямоугольный.

  11. Даны точки А(2; 1; 2), В(6; 3; 2) на оси аппликат.
    Найти точку С, равноудаленную от точек А и В.

  12. Дано: А(2; 5; 8), В(6; 1;0).На оси ординат найти точку С, равноудаленную от точек А и В.

Найти: площадь ΔABC.


Инструкционная карта

ПР № 25«Умножение вектора на число .Вычисление координат векторов».

Задание:

1)Перепишите и заполните пропуски:
Пример 1. Дано:



Решение:

  1. Находим координаты вектора

;

  1. Затем находим координаты вектора


  1. Теперь находим аналогично координаты вектора


  1. Теперь находим сумму данных векторов, складывая соответствующие координаты:


Ответ:
Пример 2. Дано: , . Найдите  

Решение: Первый случай

  1. Находим координаты вектора

;

  1. Затем находим разность векторов

;

  1. Теперь находим длину вектора :

Второй случай

  1. Находим координаты вектора

;

  1. Находим координаты вектора

;

  1. Затем находим сумму векторов

;

  1. Теперь находим длину вектора : =


Ответ:

Пример 3. Даны векторы   и . Найти

Решение: Для действий с векторами справедлив обычный алгебраический приоритет: сначала умножаем, потом складываем:

=  3 - 2= - =
= = .

= + 4 {7; -9 ;1 } = + = =

=
Ответ:  ,

Пример 4. Найдите сумму векторов: и .

Решение: , .

Ответ:

Пример 5. Даны векторы , Найдите координаты векторов

Решение: , , с ,

, . Ответ:

2)Решить задачи ( по примерам):

  1. Дано: А(2;-1;6), В (2;0; -1), С(1; - 5; 0)

  1. Дано: , , ; 2).

  2. Даны векторы   и ,  . Найти

  3. Найдите сумму векторов: и .

  4. Даны векторы , , . Найдите координаты векторов

и

3)Решить задачи :

  1. Найдите координаты вектора , если

  2. Даны векторы {1;3; 3} и . Найдите координаты и длину вектора.

  3. Даны векторы {3;1; 2} и . Найдите координаты вектора

  4. Найдите длину вектора , , если {2;1; 5} и .

  5. Из точки А построен вектор . Найдите координаты точки В , если:

А(3;1;2), .

  1. Упростите выражение:  

  2. Точка К - середина ребра В1С1 куба ABCDA1B1C1D1. Разложите вектор  по векторам  и найдите длину этого вектора, если ребро куба равно 2.

  3. Дан параллелограмм KLMN.  Выразите вектор через векторы  и






Инструкционная карта

ПР № 26 « Решение задач в координатах».

Задание:

1)Перепишите и заполните пропуски:
Пример 1. Дано: ΔАВС, А(2; 0; 1), В(1; 2; 3), С(8; 4; 9). ВМ - медиана.

Найти: координаты вектора .

Решение: По определению медианы, М - середина отрезка АС. Следовательно, координаты М найдем по формулам координат середины отрезка  M ((82)/2, ( 4 + 0)/2,(9 + 1)/2), M(…,…,…).{3 + 1,22,53}, {…,… ,…}. Ответ: {4; 4; 2}.

Пример 2. Дано: А(1; 5; 3), В(7; 1; 3), С(3; 2; 6). Доказать: ΔABC - прямоугольный.

Решение: По формуле расстояния между двумя точками найдем длины отрезков АВ, АС, ВС.
AB2 = (7 + 1)2 + (5 + 1)2 + (3 – 3)2, AB2 = 64 + 36 = … , BC2 = (7– 3)2 + (– 2 + 1)2 + (6 – 3)2,
BC2 = 16 + 1 + 9 = … , AC2 = (3 + 1)2 + (5 + 2)2 + (6 – 3)2, AC2 = 16 + 49 + 9 = ...

Проверим равенство АВ2 = ВС2 + АС2, 100 = 26 + 74 верно.

По теореме обратной теореме Пифагора делаем вывод, что ΔABC - прямоугольный
с гипотенузой АВ.

Пример 3. Дано: ΔАВС; М, N, К - середины сторон соответственно АВ, ВС, АС. М(3; 2; 5), 
N(3,5; 1; 6), К(1,5; 1; 2). Найти: координаты А, В, С.

Решение: Пусть A (х1; у1z1), В(х2; у2z2), С(х3; у3z3). По формулам координат середины отрезка составим системы для абсцисс, ординат и аппликат. Пользуясь методом сложения, решим эту систему:

Ответ: А(2; 0; 1), В(8;4; 9), С(1; 2; 3).

Пример 4. Дано: А(-2; 1; 2), B(-6; 3; -2), С  оси OZ; АС = ВС. Найти: координаты точки С.

Решение: По условию С  оси OZ, значит она имеет координаты С(0; 0; z) и АС = ВС. Составим уравнение, пользуясь формулой расстояния между двумя точками: 4 + 1 + (z 2)2 = 36 + 9 + (z + 2)2, 5 + z2 – 4z + 4 = 45 + z2 + 4z + 4, 8z = 40, z = … Ответ: (0; 0;5).

Пример 5. Дано: А(2; 1; 2), B(6; 3; 2), С (0; 0; 5); АС = ВС. Найти: SABC).

Решение: По формуле координат середины отрезка АВ найдем координаты точки М — середины:
M ((62)/2, (1 + 3)/2,(22)/2), M(4,2,0). AB2 = (6 + 2)2 + ( 31)2 + (2 + 2)2 = 16 + 4 + 16 = …, AB = ... СМ-высота равнобедренного ΔABC.
CM2 = (40)2 + (20)2 + (0 (5))2 = 16 + 4 + 25 = … , CM = 3 ,
SABC) = AB · CM : 2 = 6 · 3 : 2 = … . Ответ: 9.

2)Решить задачи ( по примерам):

  1. Дано: ΔАВС; А(1; 2; 3), B(1; 0; 4), С(3; 2; 1). AM - медиана.Найти: координаты вектора

  2. Дано: А(1; 5; 3), В(1; 3; 9), С(3; 2; 6).Доказать: ΔAВС - прямоугольный.

  3. Дано: ΔАВС, М, N, К - середины сторон соответственно ABBС, AС. М(3; 2; 4), 
    N(6; 4; 10), К(7; 2; 12).Найти: координаты вершин А, В, С.

  4. Дано: A(4; 5; 4), B(2; 3; 4); С  оси  OXAC = ВС. Найти: координаты точки С.

  5. Дано: А(4; 5; 4), B(2; 3; 4), С(1; 0; 0), АС = ВС. Найти: S(ΔABC).

3)Решить задачи :

  1. Дано: A (10, 4, –3), B (– 6, 2, 1). Найти координаты точки M – середины отрезка AB.

  2. Дано: A (5, 4, 7), B (10, 10, 0). Найти координаты вектора .

  3. Дано: {0, 5, 0}, {2, – 2, 1}. Найти длину векторов.

  4. Даны точки А (1,5; 1; – 2), B (2; 2; – 3); и C (2; 0; – 1). Найдите: периметр треугольника ABC.

  5. Дано: М(–4; 7; 0) N(0; –1; 2).Найти: расстояние от начала координат до середины отрезка MN.

  6. На каком расстоянии от плоскости (хОу) находится точка А(2; 3; 5).

  7. Дано: ΔАВС; М, N, К - середины сторон соответственно АВ, ВС, АС.

М(3; 2; 5),N(3,5; 1; 6), К(1,5; 1; 2).Найти: координаты А, В, С.

  1. На каком расстоянии от начала координат находится точка А(3; 4; 0).

  2. Найдите координаты середины отрезка, если его концы имеют координаты А(5; 3; 2), В(3; 1; 4).

  3. Найти длину вектора  если А(5; 3; 2), В(3; 1; 4).

  4. Записать координаты вектора , если .

  5. На каком расстоянии от плоскости (yOz) находится точка В(3; 2; 4).

  6. На каком расстоянии от начала координат находится точка В(3; 0; 4).

  7. Найдите координаты середины отрезка, если концы его имеют
    координаты А(
    3; 2; 4), В(1; 4; 2).

  8. Найти длину вектора  если А(3; 2; 4), В(1; 4; 2).

  9. Записать координаты вектора   если .

  10. Найдите координаты вектора  если А(5; 1; 3), В(2; 2; 4).

  11. Изобразить систему координат Оху: и построить точку А(1; 2; 4). Найти расстояние от этой точки до координатных плоскостей.

  12. Найдите координаты вектора , если С(6; 3; 2), D(2; 4; 5).

  13. Даны векторы и  . Найдите  

  14. Изобразить систему координат oxyz и построить точку В(2; 3; 4). Найти расстояние от этой точки до координатных плоскостей.

  15. Дан вектор   Найти координаты ,  если   и векторы и  сонаправлены.

  16. Вершины ΔАВС имеют координаты: А(1; 2; 3), В(1; 0; 4), С(3; 2; 1). Найдите координаты вектора , если AM - медиана ΔАВС.

  17. Дан вектор   Найти координаты ,  если   и векторы и   противоположно направлены.

  18. Даны точки А(1; 5; 3), В(1; 3; 9), С(3; 2; 6). Доказать, что ΔАВС - прямоугольный.

  19. Середины сторон ΔАВС имеют координаты: М(3; 2; 5), (3,5; 1; 6), К(1,5; 1; 2).
    Найдите координаты вершин ΔАВС.

  20. Даны точки А(2; 1; 2), В(6; 3; 2) на оси аппликат. Найти точку С, равноудаленную от
    точек А и В. Найти площадь ΔАВС.

  21. Середины сторон ΔАВС имеют координаты: М(3; 2; 4). N(6; 4; 10), К(7; 2; 12).
    Найдите координаты вершин ΔАВС.

  22. Даны точки А(4; 5; 4), В(2; 3; 4) на оси абсцисс. Найти точку С, равноудаленную от точек А и В. Найти площадь ΔABC

  23. Даны точки А(3; 1; 2) и В(1; 1;2). Найдите: а) координаты середины отрезка АВ;

  24. б) координаты и длину вектора  в) координаты точки С, если .

  25. Даны точки А(0; 4; 0), В(2; 0; 0), С(4; 0; 4) и D(2; 4; 4). Докажите, что ABCD - ромб.

  26. Даны точки А(0; 1; 2), В(√2 ; 1; 2), С(; 2; 1) и D(0; 2; 1). Докажите, что ABCD- квадрат.

  27. Даны точки А(2; 1; 8), В(1; 5; 0), С(8; 1; 4). Докажите, что ΔАВС - равнобедренный и найдите длину средней линии треугольника, соединяющей середины боковых сторон.

  28. Даны координаты трех вершин параллелограмма ABCD: А(6; 4; 0), В(6; 6; 2), С(10; 0; 4). Найдите координаты точки D и угол между векторами  и .

  29. Даны точки А(2; 5; 8) и В(6; 1; 0). Найдите: а) на оси ординат точку С, равноудаленную от точки А и В; б) площадь треугольника АВС.

  30. Дано: А(1; 2; 3), B(2; 1; 2), С(0; 1; 1), D  (OYZ), AD = BD = CD.Найти: координаты точки D.

  31. Дано: A(4; 4; 0), В(0; 0; 0), C(0; 3; 4), D(1; 4; 4). Доказать: ABCD - равнобедренная трапеция.hello_html_793497f7.jpg

  32. Дано: О(0; 0; 0), А(4; 0; 0), В(0; 6; 0), С(0; 0; 2). ΔAОВ - вписанный в окружностьW(D; r).Найти: а) координаты центра окружности D;
    б)
     r- радиус окружности.

  33. Дано: ΔАВС - прямоугольный; АС, ВС - катеты;AC = b = 9 ;BC = a = 12;
    CD = m = 4; CD  (ABC); М - середина гипотенузы АВ. Найти: DM.

Инструкционная карта

ПР № 27 «Целые и рациональные числа. Техника умножения и деления чисел».  

Задание:

1)Перепишите и заполните пропуски:

Пример 1. Найдем значение выражения 800-625 + 331 +87 – 119.

Решение: 800 – 625 = …,   175 + 331 = …,    506 + 87 = …,     593 – 119 = ...

Ответ: 474.

Пример 2. Найдем значение выражения 780 : 39 • 212 : 106 • 13.

Решение: Это выражение не содержит скобок, и в нем имеются действия только второй ступени, поэтому их следует выполнять по порядку слева направо:

780 : 39 = …,    20 • 212 = …,   4240 : 106 = …, 40 • 13 = ...

Ответ: 520.

Пример 3. Найдем значение выражения 5781 –28 • 75 : 25 + 156 : 12.

Решение: Это выражение не содержит скобок, и в нем есть действия первой и второй ступени. Поэтому вначале выполним действия второй ступени:

28 • 75 = …,     2100 : 25 = …,     156 : 12 = …, а потом действия первой ступени:

5781 – 84 = …,   5697 + 13 = ...

Ответ: 5710.

Пример 4. Найдем значение выражения 36 000 : (62+ 14 • 2) – 23 • 5.

Решение: Это выражение содержит скобки. Поэтому выполним сначала действия в скобках:

62 + 14 • 2 = 62 + 28 = ... Подставив это значение, получим: 36 000 : 90 – 23 • 5 = 400 – 115 = ... 

Ответ: 285.
Пример 5.  Запишите выражение по следующей программе вычислений:

1. Сложить числа 215 и 748. 
2. Вычесть из 591 число 318. 
3. Перемножить результаты команд 1 и 2. 
Найдите значение этого выражения.

Решение: 1)215 + 748 = … ,2)591 – 318 = …,3)963 273 = …

Ответ: 262899.

2)Решить задание ( по примерам):

  1. Найдите значение выражения:

а) 48 – 29 + 37 – 19; 
б) 156 + 228 – 193 – 66; 
в) 39 • 45 : 65 • 2; 
г) 1024 : 128 • 15 : 10; 
д) 245 : 7 – 224 : 16 + 35 • 11; 
е) 322 : 23 • 70 – 161 • 9 : 69; 

  1. а) 315 : (162 + 12 • 24 - 11 • 39) + 558 : 31; 
    б) (24 • 7 - 377 : 29) • (2378 : 58 – 38); 
    в) (120 + 16 • 7) • 240 : (300 – 5 • 44); 
    г) (372 + 118 • 6) : (38 • 35 – 34 • 37) - 12; 
    д) 3124 : (3 • 504 – 4 • 307) + 10 403 : 101; 
    е) 15 + (12 322 : (24 + 37) – 12 • 15) : (35 • 2 – 59).

  2. Измените порядок действий на основании свойств сложения, вычитания и умножения для удобства вычислений:

а) 348 + 54 + 46;                      г) 54 • 2 • 50; 
б) 543 + 89 – 43;                       д) 34 • 8 + 66 • 8; 
в) 427 – 33 – 67;                        е) 135 • 12 – 35 • 12.

  1. Выполните действия по схеме .

hello_html_m7f78617e.jpg

  1. Найдите частное:

а) 1 989 680 : 187;                            в) 9 018 009 : 1001; 
б) 572 163 : 709;                               г) 533 368 000 : 83 600.

3)Решить задание :

Вычислить:

  1. а) (– 2,35 – 4,65) · 5 : (16,9 – 2,9),
    б) (7,63 + (– 5,13)) · 0,4 : (3,17 + 6,83),

  2. а) 30,3 · (124,9 – (48,96 : 6,8 + 36,04) : 9,2),

б) 73, 2 · 48, 3 – 37,4 · (166,02 + 219,38) : 1,64,

  1. а) 3,44 : 0,4 + 24,56 , б) 684 · 245 – 675 · 246,

  2. а) (93 · 7 + 141) : 72 , б) 7091 + 9663 – (243916 + 75446) : 527 : 3,

в) (15,964 · 5,2 – 12) · 0,1 , г) (96,6 + 98,6) : 6,4 · 1,2 – 0,2,

  1. а) ((27,12+ 43,08) · 0,007 – 0,0314) · 100,
    б) 1,53 · 54 – 0,42 · (512 – 491,2) + 1,116,

в) (867000 : 2125 – 396,4) · 2,15,

  1. а) 51,6 + (70,2 – 4,4 · (73,73 : 7,3)) · 1,6,
    б) 18,305 : 0,7 – 0,0368 : 0,4 + 0,492 : 1,2,

в) (0,6739 + 1,4261) · 557, 55 : (16,7 · 2,9 – 42,13),

г) 702,3 – (59 – 389,64 : 6,8) · (59,3 – 5,64 : 9,4),

  1. а) 316219 – (27090 : 43 +16422 : 119), б) 565,3 – 465,3 : ((1,25 + 5,8) · (55,8 – 49,2)),

в) 74 : 100 – 0,4 : 10 + 17,8 : 1000, г) 0,35 · 10 + 0,0237 · 100 – 0,00087 · 1000,

  1. а) 0,7 : 0,1 + 0,0474 : 0,01 – 0,00174 : 0,001, б) 12,3 + 7,7 · 187,2 : 4,5 : 6,4 – 3,4,

в) 10,1 + 9,9 · 107,1 : 3,5 · 6,8 – 4,85, г) 37 · 0,01 – 0,2 · 0,1 + 8,9 · 0,001.

  1. Найди значения выражений:
    а) (18370+23679):7, 156-96:(12:4):2,
    б) (800035
    784942)∙6,

в) 98560:7, 83216:4 ,8656:4, 91620:4,
г) 73170:9, 3726:9 ,91728:9 ,705355:5.

  1. Найди значения выражений:
    а) (10283+16789):9, 5∙(125+75):20+80,
    б) (200496
    134597)∙2,

в) 54663:7 ,80395:5 ,6543:9 ,860073:3,
г) 1836:4 7542:9 ,3906:6 9150:3,

д)795 ·504 248.952:492,

  1. Реши примеры на деление:

    200064 : 384 =

    404758 : 922 =

    5370 : 358 =

    396204 : 548 =

    263082 : 978 =

    181116 : 387 =

    118956 : 276 =

    115419 : 487 =

    140070 : 435 =

    223925 : 689 =

    420210 : 435 =

  2. а)1098 + (1453 – 564) · 176  + 195 539 – 352 004,

б)30257 · 8 + 72804 · 5 5897 · 63504 : 8.


Инструкционная карта

ПР № 28 «Степень числа и ее свойства».

Задание:

1)Перепишите и заполните пропуски:

Пример 1. Упростить выражение:


в) (– 4)3 = (– 4) · (– 4) · (– 4) = – …

Ответ: а) 0,25; б) 3; в) – 64.

Пример 2. Найдем значение выражения  а) 6 · 33, б) 0,5482.

Решение: а) 1)33 = 3 · 3 · 3 = …, 2) 6 · 27 = ..., б) 0,5 · 482 = 0,5 · 2304 = …

Ответ: а)162, б)1152.

Пример 3. Заполнить таблицы:

а)

х2+3,5: 64+3,5=…, 1+3,5=…, 0+3,5=…, 0,81+3,5=…, 2,25+3,5=…, 196+3,5=…

б)






х3+10: – 64 + 10 =…, – 0,027 + 10=…, – 1 + 10 =…, 0 + 10 = …, 27 + 10 = …, 729 + 10 = …

Пример 4. 71.7 · 7 - 0.9 = 71.7+( - 0.9) = 71.7 - 0.9 =  70.8, 133.8 / 13 -0.2 = 13(3.8 +0.2) = 13

(23)2 = 2 3·2 = 26 = …, (2 / 5)3 = (2 / 5) · (2 / 5) · (2 / 5) = 23 / 53= 8/125 = ...

Пример 5. Определить знак результата:

Решение:

Ответ:

Пример 6. Вычислить значение:

Решение:

Ответ:

Пример 7. Какие числа надо возвести в квадрат, чтобы получить:25,36,49,81,121,144,196,225,361,400,576,625,729,841,900.

Решение: 5,…,7,…,11,…,14, …, 15,…,20,…,25,…,29,…

Пример 8. Представить в виде степени:

Решение:

Ответ:

Пример 9. Упростить выражение:

Решение: Ответ:

Пример 10. Упростить:

Решение:


Ответ:
2)Решить задание ( по примерам):

  1. Упростить выражение: в) (– 5)3;

  2. Найдем значение выражения  а) 5 · 33, б) 0,5452.

  3. Заполнить таблицы:

а) б)


  1. Упростить выражение: 71.7 · 7 - 0.7 , 133.8 / 13 -1.2 , (25)2 , (1 / 5)3 .

  2. Определить знак результата:

  3. Вычислить значение:

  4. Какие числа надо возвести в квадрат, чтобы получить:16,64,100,8169,256,289,324,441,529,676,784,961,1225,2025,2500.

  5. Представить в виде степени:

  6. Упростить выражение:

  7. Упростить:

3)Решить задание :

х

6

1

0,2

0

1

8

х3







0,5 х3







х3- 10







  1. Заполнить таблицы: а) б)

х

5

2,5

0

0,3

1

12

х2







х2







х2- 4








  1. Даны числа 3; 1/3; 2; 1/2. Сколько получится, если:

а) возвести каждое из этих чисел в квадрат;

б) сначала удвоить каждое из данных чисел, затем полученный результат возвести в квадрат?

  1. Определить знак результата:

  2. Вычислить:

  3. Вычислить:

  1. Каким числом, положительным или отрицательным, является значение выражения:

(3)25; (6)8; (9)14; (1)13?

  1. Упростить:

  2. Упростить:

  3. Вычислить: .

  4. Упростить:


4)Решить задание : 1-в

  1. Представить произведение в виде степени: :

1)(7х)4 ; 2)74х ; 3) 7х4; 4) 7х.

  1. Представить в виде произведения степень (-3)4 х2 :

1) ; 2) ; 3) ; 4) -3х.

  1. Вычислить: 34.

  2. Вычислить: (0,6)2.

  3. Вычислить: )3.

  4. Вычислить: (-8)3.

  5. Вычислить: .

  6. Найти значение выражения: 10а3 при а= – 0,5.

  7. Найти значение выражения: 1–5х2 при х= – 4.

  8. Упростите выражения и выберите верную таблицу.

А=.

  1. Соотнесите значение выражения из нижней строки с числовым выражением из верхней строки:

А)

1) 9 , 2) , 3) 32 , 4) 729 , 5) 36.


  1. Вычислить: .

  2. Представить в виде степени произведение: 36а2b2.

  3. Представить в виде степени произведение: – 32а5b5.

  4. Замените * так, чтобы равенство было верным: .

  5. Замените * так, чтобы равенство было верным: .

  6. Замените * так, чтобы равенство было верным: .

  7. Найдите значение выражения: .

  8. Сравните значения выражений: (– 6,5)4 и (– 2,4)3.

  9. Сравните значения выражений: .

  10. Представьте в виде степени с основанием 2: 85.

  11. Представьте в виде степени с основанием 2: ((16)2 )3.

  12. Вычислить: . 24.Вычислить: .

  1. Упростить выражение: .

  2. Упростить выражение: .

  3. Упростить выражение: ).


2-в.

  1. Представить произведение в виде степени: :

1) (6у)3 ; 2)63у ; 3) 6х3; 4) 6у.

  1. Представить в виде произведения степень (-2)5 х3:

1) ; 2) ; 3) ; 4) -2х3.

  1. Вычислить: 52

  2. Вычислить: (0,5)3

  3. Вычислить: )5

  4. Вычислить: (-4)3

  5. Вычислить:

  6. Найти значение выражения: 0,5b3 при а= – 0,4

  7. Найти значение выражения: 7– 3х2 при х= – 5

  8. Упростите выражения и выберите верную таблицу.

А=

  1. Соотнесите значение выражения из нижней строки с числовым выражением из верхней строки:

А)

1) 5 2) 3) 36 4) 1024 5) 27


  1. Вычислить: .

  2. Представить в виде степени произведение: 8а3b3.

  3. Представить в виде степени произведение: – 0,00001а5b5.

  4. Замените * так, чтобы равенство было верным: .

  5. Замените * так, чтобы равенство было верным: .

  6. Замените * так, чтобы равенство было верным: .

  7. Найдите значение выражения: .

  8. Сравните значения выражений: (-0,2)6 и (-0,2)10.

  9. Сравните значения выражений: .

  10. Представьте в виде степени с основанием 3: 272.

  11. Представьте в виде степени с основанием 3: ((-81)2 )3.

  12. Вычислить: .24.Вычислить: .

  1. Упростить выражение: .

  2. Упростить выражение: .

  3. Упростить выражение: )


Инструкционная карта

ПР № 29 «Решение пропорций. Решение задач с помощью пропорций».

Задание:

1)Перепишите и заполните пропуски:
Пример 1. В городе Жуковском на площади Громова находится магазин Навигатор. Хозяин магазина настолько строг, что за опоздание вычитает из зарплаты по 70 рублей за один день. В одном отделе работали две девушки Юля и Наташа. Их зарплата зависела от числа рабочих дней.

Юля за 20 рабочих дней получила 4100 рублей, а Наташа за 21 день получить должна бы больше, но получила меньше, т.к. опаздывала 3 дня подряд. Узнайте, сколько денег получила Наташа?

Решение:

Т.к. зависимость прямо пропорциональная, то составляем уравнение:


Значит 4305 рублей зарплата Наташи за 21 день без штрафов.

1) 4305 – 3×70 = …(руб.) - Зарплата Наташи

Ответ: 4095 рублей

Пример 2. У Изабеллы было двенадцать братьев. Жили они очень дружно, пока не позавидовала злая колдунья. Она превратила братьев в лебедей. Изабелле надо связать 12 рубашек из крапивы, чтобы расколдовать братьев. За 3 дня она свяжет 4 с половиной рубашки. За сколько дней Изабелла свяжет 12 рубашек?

Решение: Пусть х дней понадобится Изабелле, чтобы связать 12 рубашек.

Дни Рубашки

  1. 4,5

х 12

Т. к. зависимость прямо пропорциональная составляем пропорцию.

, , Ответ: за 8 дней.

Пример 3. В магазин привезли поровну яблок и груш. Яблоки разложили в 25 ящиков по 18 кг в каждом. а груши – в 30 ящиков. Сколько килограммов груш в каждом ящике?

Решение: Пусть х кг груш в каждом ящике.

25ящ. – 18 кг

30ящ.—х кг

;Ответ: 15кг.

Пример 4. Для нового дельфинария строят бассейн. Необходимо выложить пол и стены бассейна керамической плиткой. На складе имеется плитка двух видов: площадью 1,2 дм2 и площадью 3,8 дм2. Сколько потребуется плитки площадью 1, 2 дм2, если плитки площадью 3, 8 дм2 требуется
2400 упаковок?

Решение: 3, 8 дм² – 2400 упаковок
1,2 дм² – х упаковок

, , , Ответ: 7600 упаковок

Пример 5. Рабочие бригады, состоящей из 8 человек, могут выложить бассейн плиткой за 6 дней. Сколько человек в другой бригаде, если они могут выполнить эту работу на 2 дня быстрее?

(Производительность бригад одинакова)

Решение:

1) 6 – 2 = … (дня) время работы второй бригады

2) 8 человек – 6 дней

х человек – 4 дня

Ответ: 12 человек.


2)Решить задачи ( по примерам):

  1. Для перевозки арбузов с юга на оптовую базу города Жуковского приехали 24 машины грузоподъемностью 7,5 тонн. Сколько нужно машин грузоподъемностью 4,5 тонн, чтобы перевести тот же груз?

  2. Для приготовления 4 порций салата потребуется 50г майонеза. Сколько майонеза потребуется для приготовления 10 порций салата?

  3. Маленькое колесо повозки, имеющее окружность 2,4м, обернулось на некотором расстоянии 1250 раз. Сколько раз обернулось на этом расстоянии большое колесо, имеющее колесо, имеющее окружность 3м?

  4. В магазин привезли поровну яблок и груш. Яблоки разложили в 35 ящиков по 18 кг в каждом. а груши – в 45 ящиков. Сколько килограммов груш в каждом ящике?

  5. Рабочие бригады, состоящей из12 человек, могут выложить бассейн плиткой за 6 дней. Сколько человек в другой бригаде, если они могут выполнить эту работу на 2 дня быстрее?

3)Решить задачи :

  1. Решить пропорцию: а) , б) 2 : 3,4 = х : 17,

  2. Из 15 т руды получено 3 т меди. Сколько тонн меди получится из 20 т этой руды?

  3. Все сваренное варенье разложили в 60 баночек вместимостью 350 мл. Сколько для этого понадобилось бы баночек вместимостью 200 мл, 300 мл? Какой вместимостью понадобилось бы баночки, если их было 50?

  4. Из 5 ц молока получается 40 кг сыра. Сколько центнеров молока потребуется для изготовления 80 кг сыра, 160 кг сыра? Сколько килограммов сыра получится из 1 ц молока?

4)Решить задачи и получите ответ на вопрос.

Во вновь выстроенный и заполненный морской водой бассейн запустили дельфинов – обитателей дельфинария. Как называются виды дельфинов, обитающих в дельфинариях, вы узнаете верно выполнив следующие задания:1)

2 вариант:

У , Е

Н , Ф

2)Л В начале 50-х годов 20 века в Черном море обитало 2,5 млн дельфинов (название которых зашифровано в таблице 2-го варианта), а ныне из-за загрязнения моря, их поголовье сократилось до 0,1 млн. На сколько процентов меньше стало их в Черном море? Теперь этот вид дельфинов отнесен к редким и включен в Красную книгу России и Украины.

3) А Один из самых быстрых обитателей моря – дельфин-белобочка. Он способен развивать скорость 50 км/ч. А самый быстрый из всех обитателей моря – свирепая косатка, которая тоже относится к семейству дельфинов. Она может плыть со скоростью 55 км/ч. Расстояние между двумя островами дельфин белобочка проплывает за 11 мин. За какое время проплывет это же расстояние косатка?

4)Серый дельфин, или грампус, - самый крупный в семействе дельфинов после косаток и гринд. Длина его тела до 4 м, вес до 0,5 т. плавают серые дельфины в Атлантическом и Тихом океанах, в Средиземном и Красном морях. Один из этих дельфинов по кличке Пелорус-Джек, резвясь и играя, сопровождал корабли как лоцман, указывая им путь в непогоду между двумя островами Новой Зеландии. За это новозеландский парламент даровал ему охранную грамоту, запрещающую убивать и обижать этого дельфина.

В каком году Пелорус-Джек начал сопровождать корабли вы узнаете, если количество букв «о» в слове «пропорция» увеличите в 1000 раз, а из результата вычтете 104 (это задание выполните устно).

У первого варианта под ответом к этому заданию зашифрована буква Б, а у второго варианта буква И.

5)Известно также, что «работал» этот дельфин лоцманом 20 лет. В каком году он ушел на «пенсию»? (Это тоже устное задание).

У первого варианта под ответом к этому заданию зашифрована буква Х, а у второго варианта буква А.

1 вариант. 2 вариант.






Инструкционная карта

ПР № 30 «Вычисление квадратных корней. Решение задач на проценты».

Задание:

1)Перепишите и заполните пропуски:

Вычисление квадратных корней.

Пример 1. Найдем значение выражения:

Решение: а) Используем теорему о корне из произведения: 

б) Представим подкоренное выражение в виде произведения множителей, каждый из которых является квадратом целого числа. Применим также теорему о корне из произведения. Имеем:

 

в) В подкоренном выражении разложим разность квадратов чисел на множители и используем теорему о корне из произведения. Получаем:

 

Ответ:

Пример 2. Найдем значение выражения

Решение: а) По теореме о корне из дроби имеем:
б)Используя указанные теоремы, получим:

Ответ:

 Пример 3. Найдите значение выражения: .

Решение: а) Учтем свойства квадратного корня и формулу разности квадратов. Тогда получаем: 

б)

в)

г) В подкоренном выражении выделим полный квадрат суммы: 


Ответ: а) 5; б) 6; в) 46; г) 6.

Пример 4. Вычислить:

Решение:


Ответ:

Пример 5. . а)Найдите значение выражения
б) Упростите выражение

Решение: а) Используем формулы квадрата суммы и квадрата разности, выполним действия и получим:


б)

Ответ: а)60 ; б) 0.

Решение задач на проценты.

Пример 1. а) Найдите: 48% от 250. б) Найдите: число, 8% которого равны 12.

в) Сколько процентов составляет 15 от 60?

Решение: а) 48% = 0,48, 250 0,48 =…, б) 8% = 0,08, 12 : 0,08 =...,

в) 15 : 60 100% = 1500 : 60 = 50 : 2 = … %.

Ответ: а) 120,б) 150,в)25%.

Пример 2. Курящие люди сокращают себе жизнь на 15 %. Определите какова продолжительность жизни курильщиков, если средняя продолжительность жизни в России 56 лет.

Решение: 100% - 15% = … % , 85 % от 56, 85 % = 0, 85, 0,85 56 = … ( лет)

Ответ:47,6 лет.

Пример 3. Бронза является сплавом олова и меди. Сколько процентов сплава составляет медь в куске бронзы, состоящем из 6 кг олова и 34 кг меди?
Решение: 1) 6+ 34 = … (кг) масса всего сплава.
2) 34 : 40
100% = 3400 : 40 = …% сплава составляет медь.

Ответ: 85%.

Пример 4. Из хлопка-сырца получается 24% волокна. Сколько надо взять хлопка-сырца, чтобы получить 480кг волокна?
Решение: Запишем 24% десятичной дробью 0,24 и получим задачу о нахождении числа по известной ему части (дроби). 480 : 0,24= … кг = 2 т. Ответ: 2 т.

Пример 5. Сколько кг белых грибов надо собрать для получения 1 кг сушеных, если при обработке свежих грибов остается 50% их массы, а при сушке остается 10% массы обработанных грибов?
Решение: 1кг сушеных грибов – это 10% или 0, 01 часть обработанных, т.е. 1 кг : 0,1= 10 кг обработанных грибов, что составляет 50% или 0,5 собранных грибов, т.е. 10 : 0,5 = … кг
Ответ: 20 кг
Пример 6. а) Сколько кг соли в 10 кг соленой воды, если процентное содержание соли 15%.

Решение: 10 · 0,15 = … (кг) соли.

Ответ: 1,5 кг.
б) Сплав содержит 10 кг олова и 15 кг цинка. Каково процентное содержание олова и цинка в сплаве?
 
Решение: Процентное содержание вещества в сплаве - это часть, которую составляет вес данного вещества от веса всего сплава. 
1) 10 + 15 = … (кг) - сплав;
2) 10/25
·100% = 10 4 = …% - процентное содержание олова в сплаве;
3) 15/25
· 100% = 15 4 = …% - процентное содержание цинка в сплаве;
Ответ: 40%, 60%.

Пример 7. К 15 л 10%-ного раствора соли добавили 5%-ный раствор соли и получили 8%-ный раствор. Какое количество литров 5%-ного раствора добавили? 
Решение: Пусть добавили х л 5%-ного раствора соли. Тогда нового раствора стало (15 + х) л, в котором содержаться 0,08 (15 + х) л соли. В 15 л 10%-ного раствора содержится 15 0,1 = … (л) соли, в х л 5%-ного раствора содержится 0,05х (л) соли.
Составим уравнение: 1,5 + 0,05х = 0,08
(15 + х); 1,5 + 0,05х = 1,2 + 0,08х ; 0,03х = 0,3;
х = 0,3 : 0,03 = 30 : 3 = … л.
Ответ: добавили 10 л 5%-ного раствора.

Пример 8. Предприятие изготовило за квартал 500 насосов, из которых 60 % имели высшую категорию качества. Сколько насосов высшей категории качества изготовило предприятие?

Решение: Найдем 60 % от 500 (общее количество насосов). 60 % = 0,6,
500 · 0,6 = 50
6 = … насосов высшей категории качества.

Ответ: 300 насосов высшей категории качества.

Пример 9. Цена товара понизилась на 40%, затем еще на 25%. На сколько процентов понизилась цена товара по сравнению с первоначальной ценой?

Решение: Обозначим первоначальную цену товара через х. После первого понижения цена станет равной х — 0, 4х = 0,6x. Второе понижение цены составляет 25% от новой цены 0,6х, поэтому после второго понижения будем иметь цену 0,6х 0,25  0,6x = (0,6 – 015)x = ... х.

После двух понижений суммарное изменение цены составляет: х 0,45x = ( 1 0,45)х= …х.

Так как величина 0,55x; составляет 55% от величины x, то цена товара понизилась на 55%.

Ответ: 55%.

Пример 10. Взяли 120 г раствора, содержащего 80% соли, смешали с 480 г раствора, содержащего 20% соли. Получили новый раствор. Найти процентное содержание соли полученного раствора.

Решение:

1) 192:600 100% = 19200 : 600 = 192 : 6 = … %,содержание соли в полученном растворе.

Ответ: 32%.

2)Решить задание ( по примерам):

Вычисление квадратных корней.

  1. Найдем значение выражения:

  2. Найдем значение выражения

  3. Найдите значение выражения: .

  4. Вычислить:

  5. а)Найдите значение выражения

б) Упростите выражение

Решение задач на проценты.

  1. а) Найдите: 58% от 250. б) Найдите: число, 10% которого равны 12.

в) Сколько процентов составляет 45 от 60?

  1. Курящие люди сокращают себе жизнь на 15 %. Определите какова продолжительность жизни курильщиков, если средняя продолжительность жизни в России 60 лет.

  2. Бронза является сплавом олова и меди. Сколько процентов сплава составляет медь в куске бронзы, состоящем из 16 кг олова и 34 кг меди?

  3. Из хлопка-сырца получается 24% волокна. Сколько надо взять хлопка-сырца, чтобы получить 360кг волокна?

  4. Сколько кг белых грибов надо собрать для получения 2 кг сушеных, если при обработке свежих грибов остается 50% их массы, а при сушке остается 10% массы обработанных грибов?

  5. а) Сколько кг соли в 20 кг соленой воды, если процентное содержание соли 15%. б) Сплав содержит 20 кг олова и 30 кг цинка. Каково процентное содержание олова и цинка в сплаве? 

  6. К 15 л 10%-ного раствора соли добавили 5%-ный раствор соли и получили 6%-ный раствор. Какое количество литров 5%-ного раствора добавили? 

  7. Предприятие изготовило за квартал 300 насосов, из которых 60 % имели высшую категорию качества. Сколько насосов высшей категории качества изготовило предприятие?

  8. Цена товара понизилась на 60%, затем еще на 25%. На сколько процентов понизилась цена товара по сравнению с первоначальной ценой?

  9. Взяли 120 г раствора, содержащего 70% соли, смешали с 480 г раствора, содержащего 20% соли. Получили новый раствор. Найти процентное содержание соли полученного раствора.

3)Решить задание : Вычисление квадратных корней.

  1. Упростите выражение: .


  1. Вычислите значение выражения

  2. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе выражения а) ,б) .

  3. Сократите дробь а) ,б) в)

  4. Упростите выражение

  5. Сравните числовые выражения: а) и , б) и .

  6. Найдите значение выражения.

  7. Вычислите значение выражения

  8. Сравните числа и

  9. Найдите значение выражения

  10. Упростите выражение и найдите его значение при  и

  11. Известно, что  и .Найдите значение выражения .

Решение задач на проценты.

  1. Токарь вытачивал за час 40 деталей. Применив резец из более прочной стали, он стал вытачивать на 10 деталей в час больше. На сколько процентов повысилась производительность труда токаря?

  2. При плановом задании 60 автомобилей в день завод выпустил 66 автомобилей. На сколько процентов завод выполнил план?

  3. Найти число, зная, что 25% его равно 45% от 640.

  4. Товар стоил тысячу рублей. Продавец поднял цену на 10%, а через месяц снизил её на 10%.Сколько стал стоить товар?

  5. Собрали 100 кг грибов. Оказалось, что их влажность 99%. Когда грибы подсушили, влажность снизилась до 98%. Какой стала масса этих грибов после подсушивания?

  6. Матроскин продает молоко через магазин и хочет получать за   него 25 рублей за литр. Магазин удерживает 20% стоимости проданного товара. По какой цене будет продаваться молоко в магазине?

  7. Из сосуда, доверху наполненного 94% -м раствором кислоты, отлили 1,5 л жидкости и долили 1,5 л 70% -го раствора этой же кислоты. После этого в сосуде получился 86% раствор кислоты. Сколько л раствора вмещает сосуд?

  8. В цистерну налили 37,4 т бензина, после чего осталось незаполненным 6,5% вместимости цистерны. Сколько бензина нужно долить в цистерну для ее заполнения?

  9. В городе в настоящее время 48400 жителей. Известно, что население этого города увеличивается ежегодно на 10%. Сколько жителей было в городе два года назад?

  10. Влажность купленного арбуза составила 99%. В результате длительного хранения влажность снизилась до 98%. Как изменилась влажность арбуза?

  11. На сколько процентов число 200 меньше, чем число 250?

  12. Толщина протектора 7мм. За полгода стирается 10%. Сколько миллиметров протектора останется после года эксплуатации машины.

  13. Первое число составляет 50% от второго. Сколько процентов от первого составляет второе?

  14. При оплате услуг через платежный терминал взымается комиссия 5%. Терминал принимает суммы кратные 10 рублям. Аня хочет положить на счет своего мобильного телефона не меньше 300 рублей. Какую минимальную сумму она должна положить в приемное устройство данного терминала?

  15. На покупку планшета взяли кредит 20000 р на 1 год под 16 % годовых. Вычислите, сколько денег необходимо вернуть банку, какова ежемесячная сумма выплат?

  16. Мобильный телефон стоил 5000 рублей. Через некоторое время цену на эту модель снизили до 3000 рублей. На сколько процентов была снижена цена?


Инструкционная карта

ПР № 31 «Решение квадратных уравнений . Решение неравенств ».   

Задание:

1)Перепишите и заполните пропуски:
Пример 1. 5– =0, D = 49 – 40 = …, х1= (7+3):10=…, х2 = (7–3):10=…,

Ответ: 1; 0,4

Пример 2 . а2 –5а +4 =0, D = 25 – 16 = …, а1= (5+3):2=…, а2 = (5–3):2=…

Ответ: 4 и 1.

Пример 3. 2t2 + 3 t – 2= 0,

D = 9 – 4 2 (–2) = 9 + 16 = …, t1= (–3 + 5 )/ 4 = 2 : 4= …, t2= (–3 – 5) / 4 = – 8 : 4=…,

Ответ: 0,5 и (– 2).

Пример 4. 3 а2 – 5 а – 2 = 0, D = 25 – 4 3 (– 2) = 25 + 24 = …,

а1= (5 + 7) / 6= 12 : 6 = …, а2= (5 – 7) / 6= – 2 : 6 =…,

Ответ: 0,5 и (– 0,3) .

Пример 5. х – 3 2 , х 2+3, х …,

Ответ: х 5.

Пример 6. 0, =0,

D = 16 – 12 = …, х1= (4+2):2=…, х2 = (4–2):2=…,

+ – + х

1 3 х …, х …,

Ответ: х 1, х 3.

2)Решить задание ( по примерам):

  1. а) х2 + 4х –21 = 0, б) х2 + 4х + 3 = 0, в) х2 – 7х + 10 = 0,

  2. а) 5– =0, б) 2t2 + 3 t – 5= 0, в) 2t2 – 7 t + 3= 0,

  3. а) – х2 + 2х + 8 = 0, б) – х2 + 7х – 10 = 0, в) – х2 + 4х + 12 = 0,

  4. а) х – 5 2 , б) х – 3 2, в) х – 6 2,

  5. а) х2 + 4х –21 0, б) х2 + 4х + 3 0, в) х2 – 7х + 10 0,

  6. а) – х2 + 2х + 8 0, б) – х2 + 7х – 10 0, в) – х2 + 4х + 12 0,

3)Решить уравнения и неравенства :

  1. а) х · (23 – х) = 120; б) х · (х + 8) = 884;

  2. а) х 2 – 12х = 0, б) 7 х 2 – 1 = 0, в) х 2 – х = 0 . г) 3 х 2 – 120 х = 0.

  3. а) 6х2 – 4х + 32 = 0; б) х2 + 5х – 6 = 0.

  4. а) –5х2 – 4х + 28 = 0; б) 2х2 – 8х – 2=0.

  5. а) (х + 4)2 = 3х + 40; б) (х + 1)2 = (2х–1)2.

  6. а) – 2х2 + Зх + 9 < 0б) 2  – 4х + 1 < 0. 

  7. а) 2х2  – х + 4 >0;       б) – х2 + Зх – 8 > 0. 

  8. а) – 2x2  + 3x + 9 ≤ 0 , б) 4x2  – 4x + 1 ≤ 0, в) 2x2 – x + 4 > 0, г) – x2 + 3x – 8 ≥ 0.

  9. а) 15x2 + 5x = 0, б) x2 – 25 = 0, в) 3x2 – 15 = 0,

г) x2 – 7x + 10 = 0, д) x2 + 2x = 16x – 49, е) x · (2x – 3) = 4x – 3,

ж) (6x + 3) · (9 – x) = 0, з) x2 + 2 = x + 2, и) (10x – 4) · (3x + 2) = 0.

  1. а) x · (x +2) = 3, б) x · (x + 3) = 4, в) x · (x –5) = – 4, г) x · (x – 4) = – 3,

д) x · (2x + 1) = 3x + 4, е) x · (2x – 3) = 4x – 3, ж) = , з) = .

  1. а) 2x2 + 3x – 5 = 0, б) 5x2 – 7x + 2 = 0, в) 2x2 – 7x + 3 = 0, г) 5x2 – 3x – 2 = 0,

д) 6x2 + x – 1 = 0, е) 2x2 – 9x + 4 = 0, ж) – x2 + 2x + 8 = 0, з) – x2 + 7x – 10 = 0,

и) 9x2 – 6x + 1 = 0, к) 4x2 + 4x + 1 = 0, л) x2 + 2x + 3 = 0, м) x2 x + 1 = 0.

  1. а) = , б) = , в) 3 + = x, г) x – = 4, д) + = 4,

е) – = 1, ж) = 0, з) = 0.


  1. а) (x2 + 4x) · (x2 + 4x –17) + 60 = 0, б) (x2 – 3x)2 – 2 · (x2 – 3x) = 8.

  2. а) x2 – 169 > 0, б) x2 – 49 ≤ 0, в) x2 ≥ 0,36, г) x2 ≤ 0,81, д) x2 + x < 0, е) x2 – 3x ≤ 0.

  3. а) x + 2 < 5x – 2 · (x – 3), б) 3 · (1 – x) – (2 – x) ≤ 2, в) 4 · (x – 1) – (9x – 5) ≥ 3,

г) 3 · (x – 2) – 5 · (x + 3) > 27, д) 5x – 2 · (x – 4) ≥ 9x + 23, е) 6x – 3 · (x – 1) ≤ 2 + 5x.

  1. а) x2 – 1 ≤ 0, б) x2 – 9 ≥ 0, в) x2 – 144 > 0, г) x2 – 121 < 0, д) x2 – 25 ≤ 0, е) x2 – 36 ≥ 0.

  2. а) x2 + x – 6 ≤ 0, б) x2 + 4x – 5 ≤ 0, в) x2 + 3x + 2 < 0, г) x2 + 7x + 12 < 0,

д) 2x2 – 9x + 4 ≤ 0, е) 3x2 – 4x + 1 ≤ 0, ж) – x2x + 12 > 0, з) – x2 + 10x – 16 ≥ 0,

и) – x2 + 3x – 2 ≤ 0, к) – x2 + 6x – 8 < 0.

  1. а) – 4 < 2x – 1 < 2, б) – 6 ≤ 5x – 1 ≤ 5, в) 0 < 4x + 3 < 1, г) – 2 ≤ 6x + 7 ≤ 1,

д) – 1 < 2x + 2 < 0, е) – 1 ≤ 2x + 1 ≤ 1.

4)Решите задачи:

  1. Прямоугольный участок земли обнесён забором, длина которого 40 м. Площадь участка 96 м2. Найдите длины сторон участка.

  2. Одно из двух положительных чисел на 4 больше другого. Найдите эти числа, если известно, что их произведение равно 96.

  3. Периметр прямоугольника равен 34 см, а его диагональ равна 13 см. Найдите стороны прямоугольника.

  4. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10 см, а один из катетов на 2 см больше другого. Найдите катеты треугольника.

  5. При каких значениях параметра р квадратное уравнение х2 –5х + р2 = 0: 
    а) имеет два различных корня; б) имеет один корень; в) не имеет -корней?

  6. Два последовательных чётных числа таковы, что квадрат большего из них в 9 раз больше меньшего числа. Найдите эти числа.

  7. Одну сторону квадрата уменьшили на 2 см, а другую – на 1 см и получили прямоугольник с площадью 6 см2. Найдите длину стороны квадрата.

  8. Один из катетов прямоугольного треугольника на 6 см меньше гипотенузы, а другой на 3 см больше первого. Найдите гипотенузу, если площадь треугольника равна 54 см2.

  9. Произведение двух последовательных натуральных нечетных чисел равно 575. Найдите эти числа.

  10. Одно из чисел на 12 больше другого, а их произведение равно 315. Найдите эти числа.

  11. Площадь прямоугольника, одна из сторон которого на 3 см больше другой, равна 54 см². Найти стороны и периметр прямоугольника.

  12. Известно, что один из катетов прямоугольного треугольника на 4 см. меньше другого, а гипотенуза этого прямоугольного треугольника равна 20 см. Найти длины катетов.

Инструкционная карта

ПР № 32   « Решение систем уравнений и неравенств. Вычисления по  формулам сокращенного умножения».
Задание:

1)Перепишите и заполните пропуски:
Пример 1.а) Решить систему уравнений .

Решение: Значения х и у можно рассматривать как корни квадратного уравнения

z ² 5 z + 4 = 0. Имеем: z ₁ =1, z  = 4. Оба уравнения системы симметричны относительно х и у , поэтому получаем две пары решений: если одно решение х  = 1, y  = 4, то второе будет, наоборот: х  = 4, y  = 1.

Ответ: (1;4),(4;1).

б) Решить систему уравнений .

Решение: Здесь коэффициенты при у по абсолютному значению равны между собой, но противоположны по знаку. Для получения уравнения с одним неизвестным уравнения системы почленно складываем:



_________________________________

5х = 20;

х = ...


Полученное значение х = 4 подставляем в какое-нибудь уравнение системы (например, в первое) и находим значение у : 2 · 4 + у = 11, y = 11 8, y = ...

Ответ: (4;3).

Пример 2. Решить систему уравнений .

Решение: .

Составляем уравнение: t ²41 t  400 = 0.

Откуда t  = 25, t  = 16. Значит х ² = 25, у ² = 16 и, наоборот, у ² = 25; x ² = 16.

1, 2 = ±…; x 3, 4 = ±…;

1, 2 = ±…; y 3, 4 = ±….

Учитывая, что ху > 0, получаем всего четыре решения данной системы.

= 5, у  = 4; х  = -5, y  = -4; x  = 4, y  = 5; x  = -4, y  = -5.

Ответ:(5;4),(),(4;5),().


Пример 3. Решить систему .


Решение: Пусть  , тогда  . Имеем:

z ; 15z234z 15 = 0, D = b2 – 4ас = – 4 · 15 · 15 = 1156 900 = …,



Значит, получаем две системы уравнений:






Решим 1 систему, для этого из 2 уравнения выразим х и подставим в 1 уравнение :

x = 0,6y,


Решим 2 систему, для этого из 2 уравнения выразим у и подставим в 1 уравнение :

у = 0,6х,

Откуда находим четыре решения: x  = 3, у  = 5; х  = 3, y  = 5; x  = 5, y  = 3;

= 5, y  = 3.

Ответ: (3;5),(),(5;3),().

Пример 4. Решить систему неравенств: а) , б) ,

Решение: а) ;


Ответ: (…; …].

б) .


Ответ: (–1,25; 0,25].

Пример 5. Решить систему неравенств:

Решение:



Решим 1 неравенство: , , D = 289 - 4 1 16 = …,

х1= (17+15):2=…, х2 = (17-15):2=…, х  = , х  = ...


hello_html_5bd89a69.pngх


Получаем, что .
Решим 2 неравенство:х  = , х  = ...

hello_html_5bd89a69.pngх


Получаем, что .

Общее решение системы будет являться пересечением полученных промежутков, то есть .

Ответ:.

Формулы сокращенного умножения(ф.с.у):


(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 , (a - b)2 = a2  2ab + b2 , a2  b2 = (a b) (a+b), (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3,

(a b)3 = a3  3a2b + 3ab2  b3 , a3 + b3 = (a + b) (a2  ab + b2) , a3  b3 = (a b) (a2 + ab + b2) ,

a3  b3 = (a b) (a2 + ab + b2).


Пример 6. Применение формул сокращенного умножения при решении примеров.

1.а) (а – 3)2 = a2 6a + …, б) (2у + 5)2 = 4y2 + 20y + …,

в) (4а – b) ( 4а + b) = …a2 - b2 , г) с2 – 0,25 = (c0,5) (c + …), 

д) 2 (3х – 2у) (3х + 2у) = 2 (…x2 …y2) = 18x2 8y2 ,

2. Найдите значение выражения: (х + 4)2 – (х 2) (х + 2) при х = 0,125

x2 + 8x + 16 (x2 4) = x2 + 8x + 16 – x2 + 4 = …x + … = 8 0,125 + 20=…



2)Решить задание ( по примерам):


1.Решить систему уравнений :

а) ,б) , в) , г) .

2.Решить систему неравенств: а) , б) , в)


3. (ф.с.у):1) а) (а + 4)2 , б) (3у с)2 ,в) (2а – 5) ( 2а + 5) , г) (х2 + у) ( х2 – у) ,

д) 0,36 с2 ,е) 3(1 + 2ху) ( 1 2ху) , ж) (а + b)2 – (а b)2 , з) ( х2  у3)2 ;
2) Найдите значение выражения: (а
2 b)2 + 4 b( а – b) при а = 0,12 .

3)Решить задание :


1.Решить системы уравнений:

а) способом подстановки:

1) ; 2) ; 3) ;

б) способом сложения:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) ; 8) ;

9) ; 10) ; 11) ; 12) ;

2. Решить системы неравенств:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) ;

ж) ; з) ; и) ; к) ;

3. Разложить на множители:

1) а) b2 c2 ; б) x2y2; в) a2 – 9 ; г) b2 – 16 ; д) x2 – 1;

2) а) 9x2 4 ; б) 4a2 – 25 ; в) 16 – 49y2 ; г) 16m2 – 9n2 ; д) 4x2 1 ;

4. Разложить на множители:

1) а) 0,25a2 1; б) 0,16 – 4b2 ; в) 0,09x2y2 ; г)1,44a2 – 1,21; д) a2 b2 ;

2) а) x2 y2z2 ; б) a2 b2 – 16 ; в) 9 – m2 n2 ; г) a2 b2 c2 – 36; д) y6 – 9 ;

5. Вычислить:

а) 372 – 132 ; б) 722 – 282 ; в) 42,42 42,32 ;

г) 6,82 – 3,22 ; д) 19 21 ; е) 99 101;

6. Сократить дробь:

а) ; б) ; в) ; г) ;


7. Выполните умножение:

а) (y – 3)(y + 3) ;

б) (x + y) (xy) ;

в) (1 + 3m) (1 – 3m) ;

г) (2xy) (2x + y) ;

д) (4x + 3y) (3y – 4x) ;

е) (x2 + 2) (x2 – 2) ;

8. Выполните возведение в квадрат:

а) (m n)2 ;

б) (y + 2)2 ;

в) (2x – 1)2 ;

г) (3a + 2)2 ;

д) (2x + 3y)2 ;

е) (4z3)2 ;

9. Представьте трехчлен в виде квадрата двучлена:

а) a2 + 2a + 1 ;

б) 4 – 20c + 25c2 ;

в) 81x2 – 18ax + a2 ;

г) 9n2 +12mn + 4m2;

10. Упростите выражение:

а) (x + 4)2 – 7x ; б) (x y)2 – x (y x) ;

в) 9m2 – (n – 3m)2 ; г) (a + b)2 – 2b (a b) ;

д) (a + 1) (a 1) + a (a 2) ;

е) (2x y) (y + 2x) + x (4 – 3x) ;

ж) 5c (c + 1) – (b – 3c) (b + 3c) ;

11. Представить в виде многочлена:

а) (a – 5) (a – 4) – 3a (2a – 3);

б) (х – 3)2 – 3х (х – 2);

в) 5 (a + 1)2 –10a .

12. Разложить на множители: а) 3x3 – 75х ; б) 3x2 + 6ax + 3a2 ; в) x3 + 8.

13. Упростить выражение (у2 + 6у)2 – у2 (6 + 5у) (6 – 5у) – у2 (12у – у2).

14. Разложить на множители : а) (а – с)2 – а2; б) x3 + у3 + 2xу (х + у).

15. Доказать, что если из квадрата нечетного числа вычесть 1, то результат будет делиться на 8.

16. Представить в виде многочлена:

а) (с – 9) (с – 3) – 6с (3с – 2);

б) (х – 10)2 – 4х (х – 5);

в) (a + 2)2 –12a .

17. Разложить на множители: а) 7x3 – 28х ; б) 5x2 – 10ax + 5a2 ; в) x3 – 8.

18. Упростить выражение (х2 2х)2 – (х – 2) (х + 2) (х2 – 4) – 4х (7х – х2).

19. Разложить на множители : а) (х + с)2 – х2; б) x3 – у3 – 5x2 + ху + у2).

20. Доказать, что произведение двух последовательных четных чисел делится на 8.


Инструкционная карта

ПР № 33 «Решение иррациональных уравнений».   

Задание:

1)Перепишите и заполните пропуски:

Пример 1. Решить уравнениеhello_html_3be855b.gif Решение: Уединим радикал hello_html_m5a2fbf9f.gif Это уравнение равносильно системе hello_html_4e1d1e98.gif Решим уравнение (1): hello_html_6861a4c5.gif hello_html_m66272cef.gif hello_html_m211ee85b.gif hello_html_3fa90232.gif х = … Найденное значение hello_html_m727f5169.gif удовлетворяет условиям (2) и (3).

Ответ: –1. Пример 2. а) Найдите корень уравнения = 3 . Решение: Возведем в квадрат правую и левую части уравнения: )2 = 32, 15 – 2х = 9, –2х = 9 – 15, –2х = – 6, х = ... Сделаем проверку. Для этого подставим число 3 в исходное уравнение: = 3, 3 = 3 – верно.

Ответ: 3.

б) Решить уравнение = .

Решение: = => ˂=> => => х = ...

Ответ: 1. Пример 3. Решить уравнение = х -7 .

Решение: = х -7 => => => => => х = ...

Ответ: 14.

Пример 4. Решите уравнение   = .

Решение:  = => 7 х + х 2 2 = 2х 5 =>

5 – х = => 25 – 10х + х2 = х2 + 9х – 14 => 2 19х + 39 = 0,

D = (– 19)2 42 39= 361 – 312 = …, х1= (19 + 7) : 4 = …, х2 = (19 – 7) : 4 = …,

Проверка:  а)  х1= 6,5,   = ,

  = –  неверное равенство.

б) х2 = 3,   – = ,   = , –  верное равенство.

Ответ: 3.

Пример 5. Решить уравнение hello_html_11c97566.gif

Решение: Возводим в куб обе части уравнения hello_html_m5925937d.gif получим hello_html_36f8101a.gif Учитывая, что выражение в скобках равно 1 (см. условие), получаем hello_html_m4386db45.gif hello_html_m523bd08c.gif hello_html_73392c.gif Возводим в куб: hello_html_m30f89b75.gif hello_html_m522b6165.gif hello_html_m3348bac9.gif Проверкой убеждаемся, что hello_html_m294b9fba.gif и hello_html_3a69ee1b.gif корни уравнения.

Ответ: 80, – 109.






2)Решить задание ( по примерам):

Решить уравнения:

  1. а) . б) .

  2. .

3) Решить задание:

  1. Решить уравнение:.

  2. Решить уравнение:.

  3. Решить уравнение:.

  4. Решить уравнение:.

  5. Решить уравнение: .

  6. Решить уравнение:3.

  7. Решить уравнение: .

  8. Решить уравнение:.

  9. Решить уравнение:.

  10. Решить уравнение:.

  11. Найдите корень уравнения:

  12. Найдите корень уравнения:

  13. Найдите корень уравнения:

Если уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них.

  1. Найдите корень уравнения:

  2. Найдите корень уравнения:

  3. Решить уравнение:

  4. Решить уравнение:

  5. Решить уравнение:

  6. Решить уравнение:

  7. Решить уравнение:

  8. Решить уравнение:

  9. Решить уравнение:

  10. Решить уравнение:

  11. Решить уравнение:

  12. Решить уравнение:

Инструкционная карта

ПР № 34 «Решение показательных уравнений и неравенств ».
Задание:

1)Перепишите и заполните пропуски:

Показательные уравнения.

Пример 1. а)Найдите корень уравнения .

Решение: Чтобы решить это уравнение, вспомним свойства степени и приведем правую и левую части уравнения к степени с основанием 5: ,

Если степени с равными основаниями равны, то равны их показатели. Приравняем показатели степеней: х – 7 = - 3, х = 7 – 3, х = ...

Ответ: 4 .

б)Найдите корень уравнения .

Решение: Представим правую и левую части уравнения в виде степени с основанием ,

Приравняем показатели степеней: – 3 (– 3+ х) = 9, 9 – 3х = …, – 3х = 0, х = ...

Ответ: 0.

Пример 2. Решите уравнение.

Решение: Разделим обе части уравнения на :

Пустьm,m > 0 , тогда 2m2 – 3m – 5 = 0, D = 9 – 42(– 5) = 9 + 40 = …,

m1 = (3 + 7) : 4 = …, m2 = (3 – 7) : 4 = – 4 : 4 = …, – не удовл. условию m > 0 .
Если m = 2,5 , то
Ответ:  – 1.

Пример 3. Решите уравнение 49x 8∙7x + 7 = 0.

Решение: Обозначим получим уравнение относительно у: у2 – 8у + 7 = 0,

D = (– 8)2 41 7= 64 – 28 = …, у1= (8 + 6) : 2 = …, у2 = (8 – 6) : 2 = ... Получим, что и , отсюда х1 = …, х2 = ... Ответ: х1 = 1, х2 = 0.

Пример 4. а)Решить уравнение .
Решение:

Ответ: 3.

б) Решите уравнение 

Решение:

Ответ: 1.

в)Решите уравнение

Решение:

Ответ: 4.

Пример 5. Решите уравнение а) 2х+1 + 2х-1 + 2х = 28, б) 9х – 8∙3х – 9 = 0, в) 8∙4х – 6∙2х + 1 = 0.

Решение:

а) 2х+1 + 2х-1 + 2х = 28, 2х-1 ∙ (22 + 1 + 2) = 28, 2х-1∙7 = 28, 2х-1 = 4, 2х-1 = 22, х – 1 = 2, х = ...

Ответ: 3.

б) 9х – 8∙3х – 9 = 0, (3х)2 – 8∙3х -9 = 0, Обозначим 3х = t, где t >0, тогда t2 – 8t – 9 = 0,

D = (–8)2 41 (–9) = 64 + 36 = …, t 1= (8 + 10) : 2 = …, t 2 = (8 – 10) : 2 = ... . t1 = 9, t2 = – 1, Возвращаемся к замене: 3х = 9, х = …, 3х = – 1, корней нет.

Ответ: 2.

в) 8∙4х – 6∙2х + 1 = 0, 8∙(2х)2 – 6∙2х + 1 = 0, Обозначим 2х = t, где t >0, тогда 8 t2 – 6t + 1 = 0, D = (–6)2 41 8= 36 – 32 = …, t1= (6 + 2) : 16 = …, t2 = (6 – 2) : 16 = ... t1 =, t2 = Возвращаемся к замене: 2х = , х 1= …, 2х = , х 2= ... Ответ: – 1, – 2.

Показательные неравенства.

Пример 1. Решите неравенства: а) . Решение: х ... Ответ: х 4.

б), Решение: , 2х 6 – 3х, 5х х

Ответ: х

Пример 2. Решите неравенство: 36x 76x + 6 0.

Решение: Обозначим получим неравенство относительно у: у2 – 7у + 6 0, у2 – 7у + 6 = 0, D = (– 7)2 41 6= 49 – 24 = …, у1= (7 + 5) : 2 = 12 : 2 = …,

у2 = (7 – 5) : 2 = 2 : 2 = ...

+ 1 6 + у 1у 6, 1 6, …х ...


Ответ: 0х1.

Пример 3. Решите неравенство: .
Решение: Сделаем замену , тогда и неравенство перепишется в виде ,

откуда . Следовательно, решением данного неравенства являются числа х, удовлетворяющие неравенствам , и только такие числа. Но , , а функция убывает, поскольку < 1. Поэтому решением неравенств будут числа х, удовлетворяющие неравенствам … < х < ...

Ответ: ( 2; 1).

Пример 4. Решить неравенство: .

Решение: Так как 625 = 252 = , то заданное неравенство можно записать в виде .Так как 0 < 0,04 < 1, то, сравнивая показатели, запишем неравенство противоположного смысла х2 8 2. Имеем последовательно ,

,,

. + 2 3 + х

Решив последнее неравенство, получим … х ...

Таким образом множество решений заданного неравенства есть отрезок [2; 3].

Ответ: [2; 3].

Пример 5. Решите неравенства: а) , б) .

Решение: а) , , , , , , ,
,
функция возрастающая,

Ответ: .

б) .

Решение: , пусть,

,,

,

и

, и , , ,функциявозрастающая,

, , , , ;

,,,,;

Ответ: .


2)Решить задание ( по примерам):

Показательные уравнения.

  1. а) Найдите корень уравнения .б) Найдите корень уравнения: .

  2. Решите уравнение .

  3. Решите уравнение 25x 6∙5x + 5 = 0.

  4. а)Решить уравнение: б)Решите уравнение 

в)Решите уравнение.

  1. Решите уравнение а) 3х+1 + 3х-1 + 3х = 117, б) 16х – 15∙4х – 16 = 0, в) 81х + 6∙9х + 9 = 0.

Показательные неравенства.

  1. Решите неравенства: а) , б).

  2. Решите неравенство 64x 9∙8x + 8 0.

  3. Решите неравенство .

  4. Решите неравенство

  5. Решите неравенства: а) , б) .

3)Решить задание :

Показательные уравнения.

  1. Решить уравнения: а) , б) в)

  2. Решите уравнение а) 4x 5∙2x + 4 = 0, б) 9x 4∙3x + 3 = 0.

  3. Решите уравнение  

  4. Найдите сумму корней уравнения :.

  5. Если - корень уравнения , то найдите значение выражения .

  6. Найдите произведение корней уравнения .

  7. Решите уравнение .

  8. Решите уравнение .

  9. Решите уравнение

  10. Решите уравнение 4х + 2х – 6 = 0;

  11. Решите уравнение 9х + 3х+1 = 4;

  12. Решите уравнение

  13. Решите уравнение .

  14. Решите уравнение: .

  15. Решите уравнение: 92х+1 – 9 = 72.

  16. Решите уравнение:

  17. Пусть х0 ─ наибольший корень уравнения . Найти 2х0 – 5.

  18. Решите уравнение: 23х+2 + 8х = 0,625.

  19. Пусть х0 ─ наименьший корень уравнения . Найти 3х0 + 2.

  20. Найти сумму корней уравнения: 4х – 40∙2х + 256 = 0.

  21. Решите уравнение:

  22. Решите уравнение :3∙ + 325 ∙ = 0.

  23. Решите уравнения:

  24. Решите уравнения:

  25. Решите уравнение: .

  26. Решите уравнения:

  27. Решите уравнение: .

  28. Решите уравнения:

  29. Найти корень (или сумму корней, если их несколько) уравнения: 7 · 8х+1 + 8х+3 = 71.

  30. Найти корень (или сумму корней, если их несколько) уравнения: 7 = 6 · 7х + 7.

  31. Решите уравнение: .

  32. Решите уравнение: .

Показательные неравенства.

  1. Найдите наименьшее целое решение неравенства .

  2. Найдите наименьшее целое решение неравенства .

  3. Решите неравенство < 1. 4.Решите неравенство ≥ 1.

  1. Решите неравенство ≤ 1.

  2. Решите неравенство.

  3. Решите неравенство.

  4. Найдите область определения функции;

  5. Решите неравенство: 9x 4∙3x + 3 0.

  6. Решите неравенства: а) , б).

  7. Решите неравенства:

  8. Найдите наибольшее целое значение х, удовлетворяющее неравенству:

  1. Решите неравенствоhello_html_29386776.gif.

  2. Решите неравенство .

  3. Решите неравенство .

  4. Решите неравенства: а) (1/3)2x – 6∙(1/3)x – 27 ≤ 0, б) (1/4)x – 3∙(1/2)x + 2 > 0.

  5. Решите неравенства: а) 2x+ 21x> 3, б) (1/3)x + 3x+3 ≤ 12.

  6. Решите неравенства: а) ,б) ,в) .

  7. Решите неравенства: а) , б) ,в) .

  8. Решите неравенства: а)

Инструкционная карта

ПР № 35 « Вычисление логарифмов ».  

Задание:

1)Перепишите и заполните пропуски:
 
Пример 1. log3 9 = 2, так как 32 = 9, log5 25 = 2, так как 52 = 25, log3 81 = 4, так как 34 = 81,

Ответ: 2,2,4.

Пример 2. Вычислите : а) log2 16, б) log3 3, в) , г) , д) log2 2 log3 81, е) log12 2 + log12 72, ж) log5 75 – log5 3.
Решение: а) log2 16 = 4, б) log3 3 = …, в) = 16, г) = = …,

д) log2 2 log3 81= 1· 4 = …, е) log12 2 + log12 72 = log12 (2 ·72) = log12 144 = …,

ж) log5 75 – log5 3= log5 (75:3) = log5 25 = …

Ответ: а) 4, б) 1, в) 16, г) 8, д) 4, е) 2, ж) 2.

Пример 3. Найдите х, если logx 36 = 2 и log2 x = - 2.

Решение: logx 36 = 2, х2 = 36, х = log2 x = - 2, х = 2 -2 = 1 / 4 = …

Ответ: 0,25
Пример 4. Вычислите: а) , б) , в) .

Решение: а) = - log2 16=…, б) = 5 · = 5 · 3 = … ,

в) = = 17 = 1296 – 17 = …

Ответ: - 4, 15, 1279.

Пример 5. Упростите выражение :

а) ;

б)

;

в) ;


2)Решить задание ( по примерам):


  1. Вычислите а) log3 27, б) log4 1,в) log1/2 4,

  2. Вычислите а) log2 32, б) log3 9, в) , г) , д) log3 3 log2 8, е) lg 5 + lg 2,

ж) log3 15 – log3 5.

  1. Найдите х, если log2 4 = x и log6 x = 2.

  2. Вычислить а) , б) , в) .

  3. а) , б) , в) ,

г) , д) , е) .

3)Решить задание :

1. Вычислите (по свойству степени):

1) , 2) , 3) , 4) , 5) ,

6) , 7) , 8) ,9) , 10) , 11) ,

12) , 13) , 14) , 15) , 16) .

2. Вычислите (по основному лог. тождеству):

1) , 2) , 3) , 4) , 5) ,

6) ; 7) , 8) , 9) , 10) ,

11) , 12) , 13) , 14) ,15) ,

16) , 17) , 18) , 19) , 20) .

3. Вычислите (по свойствам логарифмов):

1) + ,

2) + ,

3) ,

4) ,
5) ,

6) ,

7) + ,

8) 3,
9) + ,

10) .

4. Вычислите: а),б) , в) ,

г), д).

5. Упростите выражение :

а) ;б) ,в);

6.Вычислить логарифмы: log381,ln e, lg1000, log7343,ln7,29, lg0,001.

7.Вычислить логарифмы: log432 + log42, log552, log2(8 128), log654 + log64, log3108 – log34.

8.Вычислить логарифмы:


9.Упростите выражение 
10. Найдите значение выражения 

Инструкционная карта

ПР № 36«Решение логарифмических уравнений».

Задание:

1)Перепишите и заполните пропуски:

Логарифмические уравнения.

Пример 1. Решите уравнение Решение: Используем метод - решение логарифмических уравнений заменой.

ОДЗ: х > 0. Введем замену , чтобы записать исходное уравнение в виде стандартного квадратного уравнения. Тогда уравнение примет вид: у2 – 4у + 4 = 0, ( у – 2)2 = 0, у – 2 = 0, у = ... Вернемся к  х : . Тогда по определению логарифма получаем, что х = 32, х = … - уд.ОДЗ.

Ответ: 9.

Пример 2. Решите уравнение:.  

Решение: Вновь начнем решение с определения области допустимых значений уравнения. Она определяется следующей системой неравенств:


Воспользовавшись правилом сложения логарифмов, переходим к равносильному в области допустимых значений уравнению:

Основания логарифмов одинаковы, поэтому в области допустимых значений можно перейти к следующему квадратному уравнению:

(х + 2) (х + 3) = 1 х , х2 + 6х + 5 = 0, D = (6)2 41 5= 36 – 20 = …,

х1= ( 6 4) : 2 = , х2 = ( 4) : 2 = ...  

Первый корень не входит в область допустимых значений уравнения, второй — входит.

Ответ: x = -1.

Пример 3. Решите уравнение:

Решение: Найдем ОДЗ по определению логарифма. ОДЗ:

.

Перепишем исходное уравнение, используя свойства суммы логарифмов и логарифма степени. Получим следующее уравнение:

Приравняем подлогарифмические выражения:

(3х ) (х) = ,

Найдем корни полученного квадратного уравнения:

D = (92)2 41 () = 8464 + 8436 = …,

х1= (92 + 130) : 6 = 222 : 6 = …, х2 = (92 130) : 6 = .

Учитывая ОДЗ, корнем исходного логарифмического уравнения будет только х = ...

Ответ: х = 37.

Пример 4. Решите уравнение:

Решение: В область допустимых значений входят только те x, при которых выражение, находящееся под знаком логарифма, больше нуля. Эти значения определяются следующей системой неравенств:


С учетом того, что получаем промежуток, определяющий область допустимых значений данного логарифмического уравнения:.

На основании теоремы 1, все условия которой здесь выполнены, переходим к следующему равносильному квадратичному уравнению:

  D = (5)2 41 () = 25 + 56 = …, х1= (5 + 9) : 2 = …, х2 = (5 9) : 2 =

В область допустимых значений входит только первый корень. Ответ: x = 7.

Пример 5. а)Решите уравнение:

Решение: Используем метод - решение логарифмических уравнений, переходя к одному основанию. ОДЗ: 

К логарифму по основанию x (второе слагаемое) вначале применим свойство логарифма степени, а затем по формуле замены основания логарифма приведем его к основанию 2:


Так как  то


Введем замену  тогда уравнение примет вид: у2 – 5у + 4 = 0.

Найдем корни полученного квадратного уравнения:

D = (5)2 41 = 25 = …, y1= (5 + 3) : 2 = …, y2 = (5 3) : 2 = ...

Вернемся к x, используя определения логарифма:

x = x = …, x = , x = …, Оба значения принадлежат ОДЗ.

Ответ: 16 и 2.

б) Решите уравнение:

Решение: Область допустимых значений уравнения определяется здесь легко: x > 0.

Используем подстановку: Уравнение принимает вид: 3у2 + 5у = 0,

D = (5)2 43 () = 25 + 24 = …, у1= (5 + 7) : 6 = 1/3, у2 = (5 7) : 6 =

Вернемся к x, используя определения логарифма:

x = , x = , x =... Оба ответа входят в область допустимых значений уравнения, поскольку являются положительными числами.

Ответ: и 4.

Логарифмические неравенства.

Пример 1. Решить неравенство

Решение: По определению логарифма, область допустимых значений:

Решение данного неравенства найдем с помощью метода интервалов, для этого левую часть разложим на множители. Решим квадратное уравнение 

D = ()2 41 3 = 1612 = …, х1= ( + 2) : 2 = : 2 = …, х2 = ( 2) : 2 = : 2 = ...

Значит, левую часть неравенства можно представить в виде:

Отметим нули каждого множителя на числовой прямой и определим знаки неравенства в полученных интервалах:

hello_html_6b83020d.pngх

Учитывая знак неравенства, определим ОДЗ:

ОДЗ определили, теперь приступим к решению исходного логарифмического неравенства:


Представим правую часть неравенства как логарифм по основанию 2:

Перейдем от неравенства относительно логарифмов к неравенству для подлогарифмических функций: так как основание логарифма больше единицы ( 2 > 1 ), то знак неравенства не изменится: D = (4)2 41 () = 16 + 20 = …,

х1= (4 + 6) : 2 = 2 : 2 = …, х2 = (4 6) : 2 = : 2 = …

Таким образом, получили корни х1= 1, х2 = . Отметим точки на числовой оси и определим знаки неравенства в полученных интервалах.

hello_html_m641bb999.pngх

Учитывая, что нас интересуют все значения х, при которых данное неравенство принимает положительные значения, то получаем следующие интервалы:  Это ответ, так как данные интервалы полностью принадлежат ОДЗ. Ответ: 

Пример 2. Решить неравенство

Решение: Находим ОДЗ по определению логарифма.


Перейдем в неравенства от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма, при этом, так как основание логарифма меньше единицы ( 0,5 < 1 ), знак неравенства поменяем на противоположный:

С учетом ОДЗ, окончательно имеем, что   Ответ: 

Пример 3. Решить неравенство

Решение: ОДЗ: х > 0. Логарифмируем левую и правую часть неравенства: .

По свойству логарифма степени получаем:

Ведем замену  Тогда наше неравенство принимает вид:

D = (1)2 41 () = 1 + 8 = …, y1= (1 + 3) : 2 = 4 : 2 = …, y2 = (1 3) : 2 = : 2 = ...

Неравенство примет вид: Отметим точки на числовой оси и определим знаки неравенства в полученных интервалах.

hello_html_43066964.pngх

Решением будет отрезок  Перейдем обратно к x:

.

В пересечении с ОДЗ получаем этот же промежуток  Ответ:

Пример 4. Решить неравенство

Решение: По определению логарифма, находим ОДЗ:

Используя свойство логарифма степени и формулы замены основания, приведем второй логарифм к основанию 3:

Введем замену   y + Перенесем 2 в левую часть и приводим к общему знаменателю: Данное неравенство равносильно следующему: y(y2) > 0.

 y2 D = (2)2 41 2 = 4 .

Дискриминант меньше нуля, и старший коэффициент a = 1 > 0, следовательно, при любом значении y выражение y2 > 0. А тогда произведение y(y2) положительно, когда y > 0. Перейдем к x, для этого делаем обратную замену: Пересекая с ОДЗ, окончательно имеем промежуток 

Ответ: 
Пример 5. Решите неравенство  .
Решение:


Ответ: (0,1;1).

2)Решить задание ( по примерам):

Логарифмические уравнения.

  1. Решите уравнение

  2. Решите уравнение .

  3. Решите уравнение

  4. Решите уравнение:

  5. а)Решите уравнение:

б)Решите уравнение:

Логарифмические неравенства.

  1. Решить неравенство

  2. Решить неравенство

  3. Решить неравенство

  4. Решить неравенство

  5. Решить неравенство.

3)Решить задание :

Логарифмические уравнения.

  1. Решите уравнение .

  2. Решите уравнение .

  3. Решите уравнение:

  4. Решите уравнение:

  5. Решите уравнение:

  6. Решите уравнение:

  7. Если - корень уравнения , то найдите значение выражения .

  8. Найдите произведение корней уравнения .

  9. Найдите сумму корней уравнения .

  10. Найдите больший корень уравнения .

  11. Решите уравнение:

  12. Решите уравнение:

  13. Решите уравнение:

  14. Решите уравнение:

  15. Найдите сумму корней уравнения .

  16. Найдите сумму корней уравнения .

  17. Найдите произведение корней уравнения .

  18. Если - корень уравнения , то найдите значение выражения .

  19. Решите уравнение: а) ,б).

  20. Решите уравнение: .

  21. Решите уравнение: .

  22. Решите уравнение:

Логарифмические неравенства.

  1. Решить неравенства: а)б)

  2. Решить неравенства: а) б)

  3. Решите неравенства: а)б)

  4. Найдите наибольшее целое решение неравенства .

  5. Найдите наибольшее целое решение неравенства .

  6. Найдите сумму целых решений неравенства .

  7. Укажите количество целых решений неравенства.

  8. Решите неравенства:

  9. Решить неравенства: .

  10. Решить неравенства:

  11. Решить неравенства:

  12. Решить неравенства:

  13. Укажите количество целых решений неравенства:   


Инструкционная карта

ПР № 37 «Перевод из одной меры угла в другую. Вычисление синуса, косинуса, тангенса угла».  

Задание:

1)Перепишите и заполните пропуски:

Пример 1. Найти радианную меру угла, выраженного в градусах: а) α = 40°, б) α = 120°, в) α = 150°.

Решение:

Ответ:

Пример 2. Найти градусную меру угла, выраженного в радианах:

Решение:

Ответ:

Пример 3. Вычислите:

Решение:



Ответ:

Пример 4. Вычислите:

Решение:



Ответ:

Пример 5.

Решение:



Ответ:

2)Решить задание ( по примерам):

  1. Найти радианную меру угла, выраженного в градусах: а) α = 75°, б) α = 32°, в) α = 140°.

  2. Найти градусную меру угла, выраженного в радианах:

  3. Вычислите:

  4. Вычислите:

3)Решить задание :

  1. Вычислите:

  2. Радианная мера двух углов треугольника равна   и  . Найдите градусную меру каждого из углов треугольника. 

  3. Выразите в градусной мере величину угла: .

  4. Выразите величину угла в радианах: .

  5. Найдите знак произведения, используя правило знаков по четвертям:

  6. Вычислите значение выражения:

  7. Вычислите:

  8. Вычислите:

  9. Найдите знак произведения:

  10. Вычислить значения и ,если α =120°.

  11. Вычислите значение тригонометрических функций:

  12. sin π/3;cos 7π/6;tg π;sin π/4;tg 2π/3;ctg π/2;sin 3π/2;cos 5π/4.

  13. Найдите радианную меру углов треугольника, если их величины относятся как 2:3:4.

  14. Может ли косинус быть равным:  

  15. Может ли синус быть равным:

  16. Вычислите:

  17. Вычислите :

  18. Известно, что Вычислите значение выражения:

  19. Известно, что . Вычислите значение выражения:

  20. Вычислите : .

  21. Известно, что . Вычислите: .

  22. Известно, что Вычислите:

  23. Найдите значение выражения: 5sin²3х – 6,если cos²3х = 0,6.



Инструкционная карта

ПР № 38 «Вычисление синуса, косинуса, тангенсауглов α и - α. Вычисление значения тригонометрических функций по формулам сложения».  

Задание:

1)Перепишите и заполните пропуски:

Пример 1. Вычислить : а) sin( - ) ,б) cos( - ) ,в) tg (- ), г)

Решение: а) sin( - ) = - sin = - 0,5, б) cos( - ) = cos = 0,5, в) tg (- ) = - tg = - 1,

г)


Ответ: а) - 0,5; б) 0,5; в) - 1; г) – 1,75.

Пример 2.Вычислить : а) cos 18° cos 12° sin 18° sin 12°; б) cos 107° cos 17°sin 107° sin 17°;

в) sin 17° cos 13° sin 13° cos 17°; г) sin 43° cos 13° sin 13° cos 43°;

д) , е) .

Решение: а) cos 18° cos 12° sin 18° sin 12° = cos(18°12°) = cos 30° = …,

б) cos 107° cos 17° sin 107° sin 17° = cos(107°17°) = cos 90° = …,

в) sin 17° cos 13° sin 13° cos 17° = sin(17°13°) = sin 30° = …,

г) sin 43° cos 13° sin 13° cos 43° = sin(43°13°) = sin 30° = …,

д) = tg (9°51°) = tg 60° = …, е) = tg (65°20°) = tg 45° = … .

Ответ: а); б) 0; в) 0,5; г) 0,5; д) ; е) 1.

Пример 3.Вычислить : а) cos π /7 cos /21 sin π/ 7sin /21;

б) sin π /3 cos π /12  cos π /3sin π /12; в) .

Решение: а) cos π /7 cos /21 sin π /7sin /21 = cos /7 4π /21) = cos (3π /21 4π /21) =

= cos /21 = cos π /3 = …,

б) sin π /3 cosπ /12 cos π /3 sin π /12 = sin /3 π /12) = sin (4π /12π /12) = sin /12 =

= sin π /4 = …,

в) = tg (π /7 4π /21) = tg π /3 = …

Ответ: а) 0,5; б) /2; в).

Пример 4. Упростить: а) cos α cos 3α sinα sin3α; б) sin 2α cos α cos 2α sin α;

в) sin α cos 3α cos α sin 3α; г) .

Решение: а) cos α cos 3α sinα sin3α = cos (α 3α) = cosα;

б) sin 2α cos α cos 2α sin α = sin (2α α) = sin α;

в) sin α cos 3α cos α sin 3α = sin (αα) = sinα; г) = tg (x 3x) = tgx.

Ответ: а) cos 4α; б) sin α; в) sin 4α; г) tg 4x.

Пример 5. Упростить : а) cos α cos β sin α sin β, если α = 42 °, β = 18 °;

б) cos(x y) cos(x + y) + sin(x y) sin(x + y).

Решение: а) cos α cos β sin α sin β = cos (α β) = cos (42 ° 18 °) = cos 60 ° = …,

б) cos(x y) cos(x + y) + sin(x y) sin(x + y) = cos ((x  y) – (x + y)) = cos (–2y) = cos 2y.

Ответ: а) 0,5; б) cos 2y .

Пример 6. Упростить выражение:

Решение: Ответ: 1.

Пример 7. Вычислите: cos630°– sin1470°– сtg1125°.

Решение: cos630°– sin1470°– сtg1125° = cos(360° + 270°)– sin(4360° + 30°)сtg(3360 ° + 45°) =

= cos270°– sin30°– сtg45° = 0 – 0,5 – 1= … Ответ: – 1,5.

2)Решить задание ( по примерам):

  1. Вычислить : а) cos ( - ),б) cos (-π ) ,в) sin ( - ) ,г) сtg (- ) , д)

  2. Вычислить : а) cos 38° cos 22° sin 38° sin 22°; б) cos 55° cos 10°sin 55° sin 10°;


в) sin 47° cos 13° sin 13° cos 47°; г) sin 103° cos 13° sin 13° cos 103°;

д) , е) .

  1. Вычислить : а) cos π /5 cos π /20 sin π/ 5sin π /20;

б) sin π /4 cos π /12  cos π /4sin π /12; в) .

  1. Упростить: а) cos 2α cos 6α – sin 2α sin 6α; б) sin 3α cos α cos 3α sin α;

в) sin 2α cos 3α cos 2α sin 3α; г) .

  1. Упростить : а) cos α cos β sin α sin β, если α = 42 °, β = 48 °;

б) cos(2x y) cos(2x + 3y) + sin(2x y) sin(2x + 3y).

  1. Упростить выражение:

  2. Вычислите: cos450°– sin750°сtg765°.

3)Решить задание :

  1. Упростите выражение: sin(3π/2 – αcos(π/2 + α) + sin(2 π – α) + cos(3π/2 + α) + cosα ·sinα.

  2. Найдите cosß, если tgß = 7/24 и ß є(π; 3π/2).

  3. Найдите значение выражения: 2sin²2х – 9cos²2х, если cos2х = – 0,9.

  4. Вычислите:3ctg60º· (sin310ºcos70º sin70ºcos310º).

  5. Найдите значение выражения:5 cos(3π/2 + α) , если α = 7π/6.

  6. Найдите значение выражения: 4 + 5tg²х • cos²х, если sinх = 0,4.

  7. Найдите значение выражения:7 cos(π + α) – sin(3π/2 + α), если cosα = 0,6.

  8. Упростить выражение 4⋅(tg(π t) + ctg(π t) + ctg(3π/2 t))ctg(π t).

  9. Упростите выражение: .

  10. Вычислите:

  11. Докажите тождество: .

  12. Упростите выражение: .

  13. Вычислите

  14. Найди значение выражения sin1050° + cos4620° + tg1035°.

  15. Вычислите:

  16. Упростите выражение 

  17. Вычислите:

  18. Упростите выражение:

  19. Вычислите: а) sin810°cos900o + tg585octg l845o + cos l35osin405°;
    б)
    cosl05°sinl95° + sin(-135°);

  20. Найдите значение выражения sin (х + у), если sin х= 9/41; cos у =40/41; х - угол II четверти.

  21. Найдите , если  и.

Инструкционная карта

ПР № 39 «Вычисление значения тригонометрических функций двойного и половинного угла».  

Задание:

1)Перепишите и заполните пропуски:

Пример 1. Вычислить

Решение: Ответ:

Пример 2. Вычислить

Решение: Ответ:

Пример 3. Вычислить sin2α, если sinαcosα =

Решение: Возведем обе части равенства в квадрат: (sinαcosα)2 = ,

sin2α – 2sinαcosα + cos2α = , 2sinαcosα = – 1, 2sinαcosα = , sin2α = …

Ответ: .

Пример 4. Вычислить sin2α, если sinα = 0,6,

Решение: sin2α = 2sinα cosα . Т.к. ,то cosα < 0,

cos α =

sin2α = 2() () = ...

Ответ: 0,96.

Пример 6. Вычислить sinα/2, cosα/2, tgα/2, ctgα/2, если cosα = 0,8,

Решение: cos2 α/2 = (1 + cosα) : 2 = 1,8 : 2 = 0,9, cosα/2 = .

sin2 α/2 = (1 cosα) : 2 = 0,2 : 2 = 0,1, sinα/2 = .

tgα/2 = sinα/2 : cosα/2 = 0,33 : 0,95 = 33/95, ctgα/2 = cosα/2 : sinα/2 = 0,95 : 0,33 = 95/33.

Ответ: 0,33; 0,95;33/95; 95/33.

Пример 5. Пусть Найдем sin2, cos2, tg2.

Решение:


Ответ:

2)Решить задание ( по примерам):

  1. Вычислить

  2. Вычислить

  3. Вычислить sin2α, если sinαcosα = 1/4.

  4. Вычислить cos 2α, если sinα = 0,8,

  5. Вычислить sinα/2, cosα/2, tgα/2, ctgα/2, если sinα = 0,8,

  6. Пусть Найдем sin2, cos2, tg2.

3)Решить задание :

  1. Упростите выражение:


  1. Вычислить

  2. Дано: cos х =-12/13; 180 º < х < 270 º. Найти: cos х/2,tg x/2.

  3. Упростите выражение 

  4. Упростите выражение 

  5. Найдите ctg 2α, если

  6. Найти значение выражения: 2sin150 cos150.

  7. Найти значение выражения: cos2150 sin2150).

  8. Вычислить: sin330º  и ctg315º.

  9. Упростите выражение

  10. Найти значение выражения:

  11. Найдите значение выражения

  12. Найдите sin 2α, cos 2α,tg2α,  если и  .

  13. Найдите 24cos2α, если sinα = - 0,2 .

  14. Найдите tgα/2 , если .

  15. Найдите – 16cos2α , если sinα = – 0,6.

  16. Найдите 22cos2α  , если cosα = – 0,8.

  17. Найдите , если sin2α = 0,6.

  18. Найдите , если cos2α = 0,8.

  19. Упростите выражение

  20. Упростите выражение: сtg²х · sin²х cos2х.

  21. Найдите sin 2, если 3sin + 3cos = 1.

  22. Найдите cos 2, если 

  23. Вычислите без помощи таблиц:1) sin 75°; 2) cos 75°; 3)tg75°; 4) ctg 75°.

  24. Вычислите без помощи таблиц и калькулятора: 1) sin 15°; 2) tg22,5°.

  25. Упростите выражение:

Инструкционная карта

ПР № 40 «Решение уравнений cosx = a, sinx = a, tg x = a».  

Задание:

1)Перепишите и заполните пропуски:

Пример 1.Решите уравнение sin4xcos2x = 0.

Решение: sin4x – cos2x = 0 , 2sin2x cos2x – cos2 x = 0 , сos2x(2sin2x – 1)=0 ,

сos2x=0 или sin2x=1/2 .

2x = π/2 + π k, k , 2x = (1) n π/6 + π n, n Z .

х1= π/…+ π k/2 , k Z, x2 = (1)n π/…+ π n/2 , n Z .

Ответ: х1= π/4+ π k/2 , k Z; x2 = (1)n π/12+ π n/2 , n Z .

Пример 2. Решите уравнение (2 sin x – 1) (tg x) = 0.

Решение: ( 2 sin x – 1) hello_html_m61765ba1.gif (tg x) = 0,

2 sin x – 1= 0 или tg x = 0,

sin x = 1/2 tg x = ,

х1= (–1) n π/… + π n, n Z , х2 = π/… + π k, k .

Ответ: х1= (–1) n π/6 + π n, n Z , х2 = π/3 + π k, k .

Пример 3. Решите уравнение ( ctg x – 1) hello_html_m61765ba1.gif (2sin + 1) = 0.

Решение: ( ctg x – 1) hello_html_m61765ba1.gif (2sin + 1) = 0,

ctg x – 1 = 0 или 2sin + 1 = 0,

ctg x = 1 sin = – 1/2, х/2 = (–1) n +1 π/6 + π n, n Z,

х1 = π/… + π k, k , х2 = (–1) n +1 π/… + 2π n, n Z.

Ответ: х1 = π/4 + π k, k , х2 = (–1) n +1 π/3 + 2π n, n Z.

Пример 4. Решите уравнение . Решение: , cos (4x 3x) =, cos x =, x = 2πn, nZ. Ответ: x = 2πn, nZ.

Пример 5. Решите уравнение 2cos( х + π/3) = .

Решение: 2cos( х + π/3) = , cos( х + π/3) = –, х + π/3 = ± 5π/6+2πn, nZ, x = – π/3 ± 5π/6 + 2πn, nZ. x1 = – π/3 + 5π/6+2πn, nZ, x1 = π/… +2πn, nZ,

x2 = π/3 – 5π/6+2πn, nZ, x2 = 7π/… +2πn, nZ.

Ответ: x1 = π/2 +2πn, nZ, x2 = –7π/6 +2πn, nZ.

Пример 6. Решите уравнение sin( 2х + π/2) = 0.

Решение: sin( 2х + π/2) = 0, 2х + π/2 = πn, nZ,2х = – + πn, nZ,х = = – , nZ.

Ответ: х = = – , nZ.

Пример 7. Решите уравнение a) arccos б)arcsin (5x+2) = 0.

Решение: a) arccos cos(arccos ,

б) sin(arcsin (5x+2)) = sin0, 5x + 2 = 0, 5x = – 2,x = …

Ответ: a) 2,5, б) – 0,4.

Пример 8. Решите уравнение arctg (4x – 1) =

Решение: tg(arctg (4x – 1)) = tg 4x – 1 = 1, 4x = 2, x = … Ответ: 0,5.

2)Решить задание ( по примерам):

  1. Решите уравнение sin6xco3x = 0.

  2. Решите уравнение (2 sin x ) hello_html_m61765ba1.gif (tg x – ) = 0.

  3. Решите уравнение (ctg x ) hello_html_m61765ba1.gif (2sin +) = 0.

  4. Решите уравнение cos 4xcos3x + sin4xsin3x =

  5. Решите уравнение 2cos(х + π/4) =

  6. Решите уравнение sin( 2х + π/3) = 0.

  7. Решите уравнение a) arccos б)arcsin (5x + 4) = 0.

  8. Решите уравнение arctg (3x – 1) =

3)Решить задание :

  1. Решите уравнения:

  2. Решите уравнения:

  3. Решите уравнения:

  4. Решите уравнения:

  5. Решите уравнения:

  6. Решите уравнения:

  7. Решите уравнения:

  8. Решите уравнения:

  9. Решите уравнения:

  10. Решите уравнения:



Инструкционная карта

ПР № 41 «Решение тригонометрических уравнений заменой переменной».  

Задание:

1)Перепишите и заполните пропуски:

Пример 1. a)Решите уравнение sin2 x + 3sin x – 4 = 0.

Решение: sin2 x + 5sin x – 6 = 0.

Данное уравнение соответствует (1) таблицы, поэтому делаем замену  sin x = t, t ,

получаем квадратное уравнение: t2 + 3t – 4 = 0, D = 32 41 (4 ) = 9 + 16 = …,

t 1= ( 3 + 5) : 2 = 2 : 2 = …, t 2 = ( 3 5) : 2 = 8 : 2 = ...

находим корни  t1 = 1,t2 = – 4,

замечаем, что t2 = – 4 посторонний корень, поскольку t  ,

делаем обратную замену, т.е. решаем уравнение sin x = 1 , у которого корнями будут числа

x = π/2 +2πn, nZ .

Ответ: x = π/2 +2πn, nZ.

б) Решите уравнение tg2 x 4tg x + 3 = 0.

Решение: Данное уравнение соответствует (5) таблицы, поэтому делаем замену  tg x = t,

получаем квадратное уравнение: t2 – 4t + 3 = 0, D = (4)2 41 3= 16 12 = …,

t 1= (4 + 2) : 2 = 6 : 2 = …, t 2 = (4 2) : 2 = 2 : 2 = ... ,

находим корни  t1 = 3,t2 = 1, делаем обратную замену: tg x = 3, x 1= arctg 3 + πk, kZ или

tg x = 1, x2 = π/4 + πn, nZ  .

Ответ: x 1= arctg 2 + πk, kZ, x2 = π/4 + πn, nZ  .

Пример 2. Решите уравнение 2sin2 x + 3cos x – 3 = 0.

Решение: 2sin2 x + 3cos x – 3 = 0.

Данное уравнение соответствует (3) таблицы, поэтому cделаем замену cos x = t, t . Из основного тригонометрического тождества следует, что sin2x = 1 –cos2x, sin2x = 1 – t2 ,  подставим в уравнение : 2 (1 – t2) + 3 t – 3 = 0,  2 – 2t2 + 3 t – 3 = 0,

2t2 + 3 t – 1 = 0,получим квадратное уравнение: 2t2 – 3t + 1 = 0 , находим корни:

D = (3)2 42 1 = 9 – 8 = …, t1= (3 + 1) : 4 = 4 : 4 = …, t2 = (3 1) : 4 = .

делаем обратную замену: cos x = …, x 1= 2πn, nZ или cos x = 1 / 2, x2 =

Ответ: x 1= 2πn, nZ  , x2 =  .

Пример 3. Решите уравнение cos 2x = 4cos x – 1.

Решение: cos 2x = 4cos x – 1.

Данное уравнение непосредственно не имеет вид, описанный в таблице. Как правило, легко классифицировать уравнения, если привести тригонометрические функции в него входящие к одному аргументу. Поскольку cos 2x = cos2xsin2 x = 2 cos2x –1 , то уравнение 2 cos2x = 4 cos x сведено к (2) виду таблицы. Поэтому делаем замену cos x = t, t  и получаем неполное квадратное уравнение t2 – 2t = 0, откуда t1 = 0, t2 = 2.

t2 = 2 посторонний корень, поскольку t  .

Делаем обратную замену: cos x = 0, x = …πn, nZ .

Ответ: x = 2πn, nZ .

Пример 4. Решить уравнение – 4 – cos2x = 4 sin x.

Решение: Вместо cos2x подставим тождественное ему выражение 1 – sin2x . Тогда исходное уравнение примет вид

4 – (1 –sin2x) = 4 sin x, – 5 + sin2x = 4 sin x, sin2– 4 sin x – 5 = 0.

Если положить y = sin x, получим квадратное уравнение y2 – 4y – 5= 0.

D = (4)2 41 (– 5) = 16 20 = …,

у 1= (4 6) : 2 = 2 : 2 = …, у 2 = (4 + 6) : 2 = 10 : 2 = ... ,

находим корни  y1= 1 и y2 = 5. Значит, исходное уравнение равносильно совокупности уравнений

sin x = – 1 или  sin x = 5.

Уравнение sin x = … имеет решение . Уравнение sin x = … решений не имеет. Ответ: .

Пример 5. Решите уравнение 4 sin2 x + 3 cos x– 3 = 0 .


Решение: 4 sin2 x + 3 cos x– 3 = 0 .Вместо sin2x подставим тождественное ему выражение 

1 – cos2x . Тогда исходное уравнение примет вид 4(1 – cos2 x) + 3 cosx – 3 = 0;

4 – 4cos2 x + 3 cosx – 3 = 0;– 4 cos2 x + 3 cos x + 1=0; 4 cos2 x – 3 cos x – 1=0;

Замена cos x = t, |t|≤1, 4t2 – 3t – 1 = 0;

D = (3)2 44 () = 9 + 16 = … , t1= (3 – 5) : 8 = , t2 = (3 5) : 8 = …,

Делаем обратную замену cos x = ; x 1= ±arccos() + 2πk, kZ ,

cos x = …; .

Ответ: x 1= ±arccos() + 2πk, kZ , .

2)Решить задание ( по примерам):

  1. a)Решите уравнение sin2 x + 6sin x – 7 = 0.

б) Решите уравнение tg2 x 6tg x + 5 = 0.

  1. Решите уравнение 2sin2 x cos x – 1 = 0.

  2. Решите уравнение cos 2x = 6cos x – 1.

  3. Решить уравнение 4 – cos2x = 4 sin x.

  4. Решите уравнение 6 sin2 x + 5 cos x– 7=0 .

3)Решить задание :

  1. Решите уравнение 5sin2 x +21sin x + 4 = 0 .

  2. Решите уравнение 2tg2 x – 11tg x + 5 = 0.

  3. Решите уравнение 5sin2 x – 7cos x + 1= 0.

  4. Решите уравнение cos 2x = 8cos x – 1.

  5. Решить уравнение 3 – cos2x = 3 sin x.

  6. Решите уравнение 6 sin2 x + 5 cos x– 7=0 .

  7. Решите уравнение 6cos2 x – 19cos x +3 = 0.

  8. Решите уравнение 8tg2 x +10tg x + 3 = 0.

  9. Решите уравнение 8sin2 x + 10cos x – 5 = 0.

  10. Решить уравнение 5 – cos2x = 5 sin x.

  11. Решите уравнение .

  12. Решите уравнение .

  13. Решите уравнение 2sin2 x +5 sin x – 3 = 0.

  14. Решите уравнение 3 cos2 x -5 cos x – 2 = 0.

  15. Решите уравнение tg2 x +3tgx – 4 = 0.

  16. Решите уравнение 4 sin2 x – 12 cos x+12 = 0.

  17. Решите уравнение 2 cos2 x + 5 cos x – 3 = 0.

  18. Решите уравнение 3 sin2 x -5 sin x – 2 = 0.

  19. Решите уравнение tg2 x + tgx – 12 = 0.

  20. Решите уравнение 4 cos2 x – 12sin x+12 = 0.

  21. Решите уравнение sin2 x + sin x – 2 = 0.

  22. Решите уравнение 2 cos2x – 5 sin x + 1 = 0.

  23. Решите уравнение cos2 x + cos x – 2 = 0.

  24. Решите уравнение 6cos2 x +5 cos x – 7 = 0.

  25. Дано уравнение tg2 x + 5tgx + 6 = 0.а) Решите уравнение.

б) Укажите корни, принадлежащие отрезке .

  1. Дано уравнение 6cos2 x –7cos x – 5 = 0. a) Решите уравнение.

б) Укажите корни, принадлежащие отрезку .

  1. Решите уравнение

  1. Решите уравнение 3cos2 x – 5cos x + 2 = 0.

  2. Решите уравнение 3cos2x = 5 – 7 sin x .

  3. Решите уравнение 2cos2x + 3 sin x = 0.

  4. Решите уравнение 2 sin 2x = 5 cos x – 1.

  5. Решите уравнение 2 sin 2x + 5 cos x = – 1.

  6. Решите уравнение 8cos2x + 6 sin x – 3 = 0 .

  7. Решите уравнение 3sin2 x –8 sin x + 4 = 0.

Инструкционная карта

ПР № 42 «Решение тригонометрических уравнений способом деления».

Задание:

1)Перепишите и заполните пропуски:
Пример 1. Решить уравнение .

Решение: .

Поделим обе части уравнения на cos x или sin x. Но предварительно надо доказать, что это выражение никогда не обращается в нуль. Предположим, что cos x= 0. Тогда 5sin x3∙0 = 0 , sin x = 0. Получается, что если sin x = 0, то и cos x = 0 , чего быть не может ввиду равенства . Значит можно поделить уравнение на cos x:

. Получим уравнение 5tg x 3 = 0, tg x = 3/5= ...

Отсюда .

Ответ: . Пример 2. Решить уравнение : а) ; б) .

Решение: a) , , , ,

, .

б) ,,

, можно поделить уравнение на , , , a = 5, c = 3 , k = 4, D1 = k2ac = 16 – 15 = …, , , , .

, .

Ответ: ,.

Пример 3. Решить уравнение 4 sin x cos x - cos2 x = 0.

Решение: 4 sin x cos x - cos2 x = 0, обе части уравнения можно поделить на .

Получим 4tg x – 1 = 0, tg x = 1/4, tg x = …; x = arctg 0,25 + πn, n Z.

Ответ: x = arctg 0,25 + πn, n Z.

Пример 4. Решить уравнение .

Решение: Данное уравнение не является однородным. Но его можно превратить в однородное, заменив 3sin2x на 6sin x cos x и число 2 на .

Приведя подобные слагаемые, получим уравнение . Тогда можно обе части уравнения поделить на . Получим , a = 10, c = – 4 , k = 3,

D1 = k2ac = 9 – (– 40) = 9 + 40 = …, , или .

Отсюда .

Ответ: .

Пример 5. Решите уравнение sin2 x 5 sin x cos x + 6 cos2 x = 0..

Решение: sin2 х 5 sinх cos х + 6 cos2 х = 0 .

sin2 х 5 sinх cos х + 6 cos2х = 0 | : cos2х ≠ 0,

tg 2x 5 tg x + 6 = 0, замена tg x = t, t2 – 5t + 6 = 0,

D = (5)2 41 6 = 25 – 24 = …, t1= (5 1) : 2 = 4 : 2 = …, t2 = (5 1) : 2 = ...

t1 = 2; t2 = 3.

Решением уравнения tg х = 2 являются числа вида х1 = arctg 2+ πk , k Z.

Решением уравнение tg х = 3 являются числа вида х2 = arctg …+ πn, n Z.

Ответ: х1 = arctg 2+ πk , k Z, х2 = arctg 3+ πn, n Z.

2)Решить задание ( по примерам):

  1. Решить уравнение .

  2. Решить уравнение : а) ; б) .

  3. Решить уравнение 5 sin x cos x – 3cos2 x = 0.

  4. Решить уравнение 3.

  5. Решите уравнение hello_html_4479420f.gif.

3)Решить задание :

  1. Решите уравнение .

  2. Решить уравнение:12sin2x + 3sin2х 2 cos2x = 0

  3. Решить уравнение:sin2 x +2 sin x cos x – 3 cos2 x = 0.
    Решить уравнение:sin2 x – 3 sin x cos x + 1 = 0;
    Решить уравнение:5sin2 x – 4 cos x sin x + 3 cos2 x = 2.

  4. Решить уравнение: 2sin2(2x) 5 sin(2x) cos(2x) + 2 cos2(2x) = 0.

  5. Решить уравнение: sin2x + 2 3 cos2x = 0.

  6. Решить уравнение:2sin2 x = 9 sinxhello_html_m61765ba1.gifcosx –7 cos2 x.

  7. Решить уравнение:2sin2 x sinxhello_html_m61765ba1.gifcosx = cos2 x.

  8. Решить уравнение: 5 cos2 x sinxhello_html_m61765ba1.gifcosx = 1.

  9. Решить уравнение:4sin2 x – 3 sinxhello_html_m61765ba1.gifcosx = – 1.

  10. Решить уравнение: 8 cos2 x – 3 sinxhello_html_m61765ba1.gifcosx = 1.

  11. Решить уравнение: 1 – 5 sinxhello_html_m61765ba1.gifcosx + cos2 x = 0.

  12. Решить уравнение:7sin2 x – 2 sinxhello_html_m61765ba1.gifcosx = 1.

  13. Решить уравнение:sin2 xsin2 x = 3 cos2 x .

  14. Решить уравнение:3sin2 x – 2 sin 2x + 5 cos2 x = 2.

  15. Решить уравнение:sin2 x = 6 + 4 cos2 x 10 cos2 x .

  16. Решить уравнение: 5 sin x + 2 cos2 x 4= 0.

  17. Решить уравнение:5sin2 x + 5 cos x 4= 0.

  18. Решить уравнение:sin2 xcos xhello_html_m61765ba1.gifsin x 2 cos2 x = 0.

  19. Решить уравнение:2sin2 x + 5 cos xhello_html_m61765ba1.gifsin x + 5 cos2 x = 1.

  20. Решить уравнение:2sin2 x – 3 cos x hello_html_m61765ba1.gifsin x + cos2 x = 1.

  21. Решить уравнение:6sin2 x + cos xhello_html_m61765ba1.gif sin x cos2 x = 2.

  22. Решить уравнение:2sin2 x – 3 cos xhello_html_m61765ba1.gif sin x + 3 cos2 x = 1.

  23. Решить уравнение: .

  24. Решить уравнение: .

  25. Решить уравнение: .

  26. Решить уравнение: .

  27. Решить уравнение: .

  28. Решить уравнение: .

  29. Решить уравнение: .

  30. Решить уравнение: .

  31. Решить уравнение: .

  32. Решить уравнение: .

  33. Решить уравнение: .

  34. Решить уравнение: .

  35. Решить уравнение: .

  36. Решить уравнение: .

  37. Решить уравнение: 7sin2 x – 8 cos x sin x + cos2 x = 0.

  38. Решить уравнение: 3sin2 x + 2 cos x sin x = 2.

  39. Решить уравнение: 6sin2 x + 3 cos x sin x 2cos2 x = 3.

  40. Решить уравнение: 5sin2 x + 3 cos x sin x = 4.

Инструкционная карта

ПР № 43 «Вычисление множества значений тригонометрических функций по формулам».

Задание:

1)Перепишите и заполните пропуски:
Пример 1. Найти множество значений функции y = 5 – 4sinx.

Решение: Из определения синуса следует, 1  sinx  1. Далее воспользуемся свойствами числовых неравенств.

4   4sinx  4, (умножили все три части двойного неравенства на -4);

1  5 4sinx  9 (прибавили к трем частям двойного неравенства 5);

Так как данная функция непрерывна на всей области определения, то множество ее значений заключено между наименьшим и наибольшим ее значением на всей области определения, если таковые существуют. В данном случае множество значений функции y =5 - 4sinx есть множество [1; 9].

Ответ: E(y) = [1; 9].

Пример 2. Найти множество значений E(y) тригонометрической функции

y = 2sin2x cos2x.

Решение: y = 2sin2x cos2x = a , 2sin2x (1 2 sin2x) = 4 sin2x 1 = a, 4 sin2x = a 1,
2(1cos 2x) =
a 1, 2 2cos 2x = a 1, 2 cos 2x = a 1, cos 2x = (a) : (), cos 2x = (1) : ,

E(y) = [ 1; 3]. Ответ: E(y) = [ 1; 3].

Пример 3. Найти множество значений E(y) тригонометрической функции

y = 3 cos 2x 4sin2x.

Решение: y = 3 cos 2x 4sin2x = g, a = 3, b = , k2 = a2 b2 = 32 ()2 = 9 16 = 25,
k = 5, 3/5∙ cos 2x 4/5∙ sin 2x = g /5, sin(φ ) = g/5, E(y) = [; …].
Ответ: E(y) = [ 5; 5].

Пример 4. Найти множество значений E(y) тригонометрической функции

y = 10cos2x – 6sin x cos x 2sin2x.

Решение: y = 10cos2x – 6sin x cos x 2sin2x = a.

Oбе части уравнения поделим на cos2x. Получим, 10 6 tg x 2tg2x = a∙ (1 tg2x),

10 6 tg x 2tg2 x a tg2x = 0, (2) ∙ tg2 xtg x (10) = 0, tg x = t, (2) ∙ t2t (10) = 0, D = ()2 4∙ (2)∙ (10) = 36 4∙ (20 2) = =3680 48a 2 = 48a 2 = 4∙ (2 , 2

2a1 = …, a2 = ...

hello_html_5bd89a69.png


E(y) = [1; 11]. Ответ: E(y) = [1; 11].

Пример 5. Найти множество значений E(y) тригонометрической функции

y = sinx cosx.

Решение: Преобразуем выражение sinx + cos x  = sinx +sin( – x) =
= 2sin((x  +  – x)/2)cos((x + + x)/2) = 2sin()cos(x + ) = cos(x + ).

Из определения косинуса следует – 1  cosx  1;  – 1  cos(x + )  1;

 cos( x + )  ;

Так как данная функция непрерывна на всей области определения, то множество ее значений заключено между наименьшим и наибольшим ее значением, если таковые существуют, множество значений функции y =  cos(x + ) есть множество [; ]. Множество значений  функции

y = sinx + cosx есть множество чисел [; ].

Ответ: E(y) = [; ].


2)Решить задание ( по примерам):

  1. Найти множество значений E(y) тригонометрической функции y =7 - 4sinx

  2. Найти множество значений E(y) тригонометрической функции y = 4sin2x cos2x.

  3. Найти множество значений E(y) тригонометрической функции y = 6 cos 2x 8sin2x.

  4. Найти множество значений E(y) тригонометрической функции

y = 5cos2x – 2sin x cos xsin2x.

  1. Найти множество значений E(y) тригонометрической функции y = 2(sinx cosx).

3)Решить задание :

  1. Найдите множество значений функции y = 1 – 8sin2x cos2x.

  2. Найдите множество значений функции y = 10 10sin23x.

  3. Найдите множество значений функции y =6 5sinx

  4. Найдите множество значений функции y =4 + 3sinx

  5. Найдите множество значений функции y = 5 +7sinx

  6. Найдите множество значений функции y = 3(sinx cosx).

  7. Найдите множество значений функции y = (sinx cosx).

  8. Найдите множество значений функции y = (sinx cosx).

  9. Найдите множество значений функции y = 2 (sinx cosx).

  10. Найдите множество значений функции y = 1 – 8 cos2x.

  11. Найдите множество значений функции y = 0,25 + 2 cos2x.

  12. Найдите множество значений функции y = 6sin2x cos2x.

  13. Найдите множество значений функции y = 9 cos 2x 12sin2x.

  14. Найдите множество значений функции y = 6cos2x 8sin x cos x 6sin2x.

  15. Найдите множество значений функции y = cos x – 10.

  16. Найдите множество значений функции y = 0,2sin 5x.

  17. Найдите множество значений функции y = cos2x, если .

  18. Найдите множество значений функции y = sin x + 5.

  19. Найдите множество значений функции y = 6cos 3x.

  20. Найдите множество значений функции y = sin 2x, если .

  21. Найдите множество значений функции .

  22. Найдите множество значений функции .

  23. Найдите множество значений функции .

  24. Найдите множество значений функции

  25. Найдите множество значений функции .

  26. Найдите множество значений функции

  27. Найдите множество значений функции

  28. Найдите множество значений функции

  29. Найдите множество значений функции

  30. Найдите множество значений функции

  31. Найдите множество значений функции

  32. Найдите множество значений функции

  33. Найдите множество значений функции

  34. Найдите множество значений функции .

  35. Найдите множество значений функции y = 8cos2x – 6sin x cos x 8sin2x.

  36. Найдите множество значений функции y =16cos2x – 10sin x cos x 16sin2x.

Инструкционная карта

ПР № 44 «Построение графиков тригонометрических функций».

Задание:

1)Перепишите и заполните пропуски:

Пример 1.Определить возрастает или убывает функция: а) y = cos x при ,

б) y = sin x при ,в) у = tg x при .

Решение: а) убывает,…,б) …, возрастает, в) возрастает.

Ответ: а) …, возрастает, б) убывает, …, в) ...

Пример 2.Нацдите х, при котором функция пересекает ось ох: а) y = cos x при ,

б) y = sin x при ,в) у = tg x при .

Решение: а) ,б) ,в) .

Ответ: а) ,б) ,в) .

Пример 3. Определить принимает положительные или отрицательные значения функция:

а) y = cos x при ,б) б) y = sin x при ,в) у = tg x при .

Решение: а) положительные при , отрицательные при ,

б) положительные при , отрицательные при ,

в) положительные при , отрицательные при .

Ответ: а) положительные при , отрицательные при ,

б) положительные при , отрицательные при ,

в) положительные при , отрицательные при .

Пример 4.Построить график функции по таблице:

а) y = 2cos x , б) y = 6sinx .

х


0




у

0

2

0

2

0

х


0




у

6

0

6

6

0


Решение:

а) б)

hello_html_mab2a1ac.jpghello_html_m5dd79f1d.jpg


Пример 5.Сравнить а) и , б) и .

Решение: а) <, (0< < < ),б) >.

Ответ: : а) <,б) >.

2)Решить задание ( по примерам):

  1. Определить возрастает или убывает функция: а) y = cos x при ,

б) y = sin x при ,в) у = tg x при.

  1. Нацдите х, при котором функция пересекает ось ох: а) y = cos x при ,

б) y = sin x при,в) у = tg x при .

  1. Определить принимает положительные или отрицательные значения функция:

а) y = cos x при ,б) б) y = sin x при ,в) у = tg x при.

  1. Построить график функции по таблице:

а) y = 6cos x .

x


0




y

0

6

0

6

0


б) y = 4sinx .

x

0





y

0

4

0

4

0


  1. Сравнить а) и , б) и .

3)Решить задание :

  1. Построить график функции y = ctg x ; запишите свойства этой функции, используя свойства функции y = tg x, и то что эти функции взаимо обратны.

  2. Сравнить числа: а) и, б) tg 2,3 и tg 3, в) и, г) tg 1 и tg 1,5.

  3. Построить график функции по таблице: y = sin 4x .


x

0





y

0

1

0

1

0


  1. Построить график функции по таблице: y = cos 4x.


x

0





y

1

0

1

0

1


  1. Построить график функции по таблице: y = tg 2x .


x

0





y

0

1


1

0


  1. Построить график функции по таблице: y = сtg 2x .


x







y

0

1

0

1

1

0


  1. Построить график функции:

а) y = sin 2x , б) y = 2sin x , в) y = cos 2x , г) y = 5sin x , д) y = 4cos x,е) y = 2сtg x .

  1. Построить график функции:

а) y = sin 4x, б) y = cos 4x, в) y = tg 2x, г) y = 2sin x, д) y = 2cos x, е) y = 2tg x.


Инструкционная карта

ПР № 45 «Вычисление производных по правилам дифференцирования».

Задание:

1)Перепишите примеры:

Пример 1. Найти производную функции  y = .

Решение: По свойству дифференцирования произведения,

hello_html_m667262fc.png.

Используя формулу для нахождения производной показательной и степенной функций, получим: hello_html_m33ce9c10.png , hello_html_m7a155e45.png

Для нахождения производной использовались правила дифференцирования и таблица производных функций. Ответ: hello_html_m7259a439.png .

Пример 2. Найти производную функции  y = .

Решение: Воспользуемся правилом дифференцирования частного:

hello_html_m6c0be978.png.

Производная суммы/разности равна сумме/разности производных и константу можно выносить за знак производной, поэтому имеем:

hello_html_m6d9e2531.png,

hello_html_m4661b9f4.png,

hello_html_m25a8c90f.png, hello_html_303e1e97.png , hello_html_47c000ce.png .

Ответ: hello_html_6873cbb0.png .

Пример 3. Найти производную функции y =   .

Решение: По правилу дифференцирования частного:

hello_html_m2652334c.png,

Далее воспользуемся формулами из таблицы производных - формулам для производных степенной и тригонометрических функций, а также учитываем тот факт, что производная суммы равна сумме производных:

hello_html_6bfbb3b0.png,

hello_html_4f5a6440.png,

hello_html_345a5152.png, hello_html_3dd92d7d.png .

Ответ: hello_html_5f22ddde.png .

Пример 4. Найти производную функции  hello_html_mb62401c.png .

Решение: По свойству дифференцирования частного получаем:

hello_html_m1bbacdfd.png,

Далее пользуясь формулами для производных логарифмической и степенной функции, получим:

hello_html_m7e5e4019.png, hello_html_7fc6a7d9.png , hello_html_m68b092d7.png .

Ответ: hello_html_ecc0376.png . Пример 5. а) Найти производную функции  .

Решение: Примените таблицу основных производных и формулы производных линейной комбинации и отношения функций.




Ответ:  .

б) Вычислить производную функции y = cos ln ().

Решение: Примените таблицу основных производных и формулу производной сложной функции.

y / = sin ln (3x2 ) (ln (3x2)) / = sin ln (3x2 ) / =

= sin ln (3x2 ) . Ответ:  sin ln (3x2 ) .

2)Решить задание ( по примерам): Найти производную функции: 

1) y = . 2) y = . 3) y = . 4) .5) а) . б) y = cos ln (2x2).

3)Решить задание:

  1. Найдите производные следующих функций:

1) 2) 3) 4)

  1. Найдите производную функции в точке .

  2. Найдите производную функции в точке .

  3. Вычислите у ' ,если а) у(х) =, б) у(х) =.

  4. а)Вычислите у ', если у(х) = sin x · cos2 x .б)Вычислите у ', если у(х) = sin x · cos x .

  5. Решить неравенство у ' > 0, если у(х) = (3х – 1)10 · (2х + 5)7.

  6. Решить неравенство у ' > 0, если у(х) = (2х – 1)9 · (3х + 5)6.

  7. Решите уравнение: f ' (x) = 0, если f (x) = x –2cos x .

  8. Решите уравнение: f ' (x) = 0, если f (x) = x – tg x .

  9. Решите уравнение: f ' (x) = 0, если f (x) = x – ctg x.

Инструкционная карта

ПР № 46 «Вычисление производных элементарных функций».

Задание:

1)Перепишите и заполните пропуски:

Пример 1. Найдите производные функций: а) y = ex x7 ,б) у=3ех+cos2x, в) у = ехsinx,

г) у= ln2x ,д) , е) , ж)

Решение: а) б) в) = ех - cosx; г) ,

д)е)ж)

Ответ: а)б) в) = ех - cosx; г) ,д)

е)ж)

Пример 2. Вычислите значение производной функции:

а) у= в точке , б) у=ех sinx + x2 в точке ,

в) у = cos2x + 4x в точке ,г) в точке .

Решение: а)


б)

в)

г) Ответ: а)10,5; б)1;в)4; г)2.

Пример 3. Найдите производные функций: а) б)

в) г) д)
Решение: а) у  (x) = (x 2 + sin x) = (x 2) + (sin x) = …x + cos x;
б)
у  (x) = (x 3 · cos x) = (x 3) · cos x + x 3 · (cos x) = …x 2 · cos x + x 3· (− sin x) =

= x 2 · (3cos x  x · sin x),

в) у  (x) = ((x 2 + 7x − 7) · e x ) = (x 2 + 7x − 7) · e x + (x 2 + 7x − 7) · (e x ) = (2x + 7) · e x +

+ (x 2 + 7x − 7) · e x = e x · (2x + 7 + x 2 + 7x − 7) = (x 2 + …x) · e x = x(x + …) · e x .

г)
д)

По традиции, разложим числитель на множители — это значительно упростит ответ:


Ответ: а) у  (x) = 2x + cos x; б) у  (x) = x 2 · (3cos x  x · sin x), в) у  (x) = x(x + 9) · e x ,

г) д)

Пример 4. Найти производные функций:  f(x) = e 2x + 3g(x) = sin (x 2 + ln x).
Решение: Заметим, что если в функции f(x) вместо выражения 2x + 3 будет просто x, то получится элементарная функция f(x) = e x . Поэтому делаем замену: пусть 2x + 3 = tf(x) = f(t) = e t . Ищем производную сложной функции по формуле:

f  (x) = f  (t) · t  = (e t ) · t  = e t · t . Выполняем обратную замену: t = 2x + 3. Получим:

f  (x) = e t · t  = e 2x + 3 · (2x + 3) = e 2x + 3 · 2 = … · e 2x + 3

Теперь разберемся с функцией g(x). Очевидно, надо заменить x 2 + ln x = t. Имеем:

g  (x) = g  (t) · t  = (sin t) · t  = cos t · t . Обратная замена: t = x 2 + ln x. Тогда:

g  (x) = cos (x 2 + ln x) · (x 2 + ln x) = cos (x 2 + ln x) · (…x + 1/x).

Ответ: f  (x) = 2 · e 2x + 3; g  (x) = (2x + 1/x) · cos (x 2 + ln x).
Пример 5. Найти производную функции :

а)б)
Решение: а)

б)
Ответ: а) б)

2)Решить задание ( по примерам):

  1. Найдите производные функций: а) y = 2ex 3x7 ,б) у=5ех + cos3x, в) у = ехcosx,

г) у= – ln4х ,д) , е) , ж) .

  1. Вычислите значение производной функции:

а) у= в точке , б) у=2ех ·sinx +3 x2 в точке ,

в) у = cos2x + 8x в точке ,г) в точке .

  1. Найдите производные функций: а) б)

в) г) д)

  1. Найти производные функций:  f(x) = e 4x + 3; g(x) = sin (2x 2 + ln x).

  2. Найти производные функций :

а)б)

3)Решить задание:

  1. Найдите производную функции y = e x 2x7.

  2. Найдите производную функции у= 4х3+ е х.

  3. Найдите производную функции у = x2 + sinx в точке х0 =.
    Найдите производную функции у = sinх ex – 9x3 в точке xo=0.

  4. Найдите значение производной функции у = 5cos x – 7x в точке хо = 0.

  5. Вычислите значение производной функции y = ln(2x+11)+ 5x в точке хо= 5.

  6. Найдите производную функции: а) б)


Инструкционная карта

ПР № 47 «Вычисление угловых коэффициентов. Составление уравнения касательной к графику функции».

Задание:

1)Перепишите и заполните пропуски:

Пример 1. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции y = f(x) в точке с

абсциссой х: а) y(x) = x³, x = 1, б) y(x) = ln x, x = 1, в) y(x) = 3x² 4x, x = 2,

г) y(x) = х3 + 7x² 5x+3, x = 3, д) y(x) = ех, x = ln 7, e) y(x) = 7sinx, x = 0,ж) y(x) = е, x = ln 4.

Решение: угловой коэффициент k равен производной от функции в точке, т.е. k = y (x0) ,

найдем производные и вычислим их в точке x0

a)   бв)  

г)

д) е ln 7= …,е) 7cos x, 7 cos 0 = 7 1 = …,

ж) е3 ln 4 = 343 = 364 = …

Ответ: a)3, б)1, в)8,г) 64,д) 7,е)7,ж) 192.

Пример 2. а) Найти угловой коэффициент k, если α = arctg 6, α = arctg 8.

б) Найти α,если y(x) = х3, x = 2.

Решение: а) k = tgα = tg k = tgα = tg k = tgα = tg

k = tgα = tg

б)

Ответ: а)1, ,6,- 8, б) arctg 4.

Пример 3. Дана функция y = x3. Составить уравнение касательной к графику этой функции в точке x0 = 2.
Решение: Уравнение касательной: y = f  (x0) · (x − x0) + f(x0). Точка x0 = 2 нам дана, а вот значения f (x0) и f (x0) придется вычислять.

Для начала найдем значение функции. Тут все легко: f (x0) = f (2) = 23 = …;
Теперь найдем производную: f  (x) = (x3) = 3x2;
Подставляем в производную x0 = 2: f   (x0) = f  (2) = 3 · 22 = 34 = …;
Итого получаем: y = 12 · (x − 2) + 8 = 12x − 24 + 8 = 12x − 16. 
Это и есть уравнение касательной.

Ответ: y = 12x − 16. 
Пример 4. Составить уравнение касательной к графику функции f (x) = 2sin x + 5 в точке x0 = π/2.

Решение: f (x0) = f (π/2) = 2sin (π/2) + 5 = 2 + 5 = …; f  (x) = (2sin x + 5) = 2cos x;
f  (x0) = f  (π/2) = 2cos (π/2) = 0;

Уравнение касательной: y = 0 · (x − π/2) + 7  y = ...hello_html_44c9db7b.png

Ответ: y = 7.

Пример 5. Составьте уравнение касательной к графику функции  

в точке M(3; – 2).

Решение: Точка M(3; – 2) является точкой касания, так как

1. a = 3 – абсцисса точки касания.2. f(3) = – 2. 3. f '(x) = x2 – 4, f '(3) = 9 4 = …
y = – 2 + 5(x – 3), y = …x – 17 – уравнение касательной.

Ответ: y = 5x – 17.

Пример 6. Напишите уравнения всех касательных к графику функции y = – x2 – 4x + 2, проходящих через точку M(– 3; 6).

Решение: Точка M(– 3; 6) не является точкой касания, так как f(– 3)  6 (рис. 2).hello_html_m126a8a75.png

1. a – абсцисса точки касания.
2. f(a) = – a
2 – 4a + 2.
3. f '(x) = – 2x – 4, f '(a) = – 2a – 4.
4. y = – a2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – уравнение касательной.

Касательная проходит через точку M(– 3; 6), следовательно, ее координаты удовлетворяют уравнению касательной.

6 = – a2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a),
a
2 + 6a + 8 = 0 , D = 62 41 8 = 36 32 = …,

а1= (6 2) : 2 = 8 : 2 = …, а2 = (6 2) : 2 = 4 : 2 = …,

Если a = – 4, то уравнение касательной имеет вид y = 4x + 18.

Если a = – 2, то уравнение касательной имеет вид y = 6.

Ответ: y = 4x + 18 или y = 6.
Пример 7. Напишите уравнения всех касательных к графику функции y = x3 – 3x2 + 3, параллельных прямой y = 9x + 1.

Решение: 1. a – абсцисса точки касания. 2. f(a) = a3 – 3a2 + 3.3. f '(x) = 3x2 – 6x, f '(a) = 3a2 – 6a.

Но, с другой стороны, f '(a) = 9 (условие параллельности). Значит, надо решить уравнение 3a2 – 6a = 9. 3a2 – 6a 9 = 0, hello_html_5a070ee0.png

D = (6)2 43 () = 36 108 = …, а1= (6 12) : 6 = 18 : 6 = …,

а2 = (6 12) : 6 = 6 : 6 = …,

Его корни a = – 1, a = 3 (рис. 3).

4. 1сл.) a = – 1; f(– 1) = – 1– 3 + 3 = …;  f '(– 1) = 3 + 6 = …;

 y = – 1 + 9(x + 1); y = 9x + 8 – уравнение касательной;

2сл.) a = 3; f(3) = 27–27 + 3 = …; f '(3) = 27 – 18 = …;
y = 3 + 9(x – 3); y = 9x – 24 – уравнение касательной.

Ответ: y = 9x + 8 и y = 9x – 24.

Пример 8. Напишите уравнение касательной к графику функции y = 0,5x2 – 3x + 1, проходящей под углом 45° к прямой y = 0 (рис. 4).hello_html_m32119c54.png

Решение: Из условия '(a) = tg 45°, найдем a:  a – 3 = 1 ,a = 3 + 1 = ...

1. a = 4 – абсцисса точки касания.
2. f(4) = 8 – 12 + 1 = ...
3. f '(4) = 4 – 3 = ...
4. y = – 3 + 1(x – 4). y = x – 7 – уравнение касательной.

Ответ: y = x – 7.

Пример 9. На параболе у = х2 взяты две точки с абсциссами 1 и 3. Через эти точки проведена прямая. В какой точке параболы касательная будет параллельна проведенной прямой?

Решение: у = х2 , (1;1), (3;9). Найдем уравнение прямой .

4х – 4 = у – 1. у = 4х – 3.

Прямые параллельны, если их угловые коэффициенты равны.

- угловой коэффициент касательной в точке с абсциссой х0.

 0 = 4. х0 = ... ,

Ответ: в точке (2;4) касательная параллельна заданной прямой.

Пример 10. При каких b и c прямые y = x и y = – 2x являются касательными к графику

функции y = x2 + bx + c?

Решение: Пусть t – абсцисса точки касания прямой y = x с параболой y = x2 + bx + c;

p – абсцисса точки касания прямой y = – 2x с параболой y = x2 + bx + c.

Тогда уравнение касательной y = x примет вид y = (2t + b)x + c – t2, а уравнение

касательной y = – 2x примет вид y = (2p + b)x + c – p2.

Составим и решим систему уравнений:

;

2t = 1,5; t = 0,75;

p = – t = …,

c = = = …,

b = 1 – 2t = 1 – 2 0,75 = 1– 1,5 = …

Ответ: b = – 0,5; c = 0,562 5.

2)Решить задание ( по примерам):

  1. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции y = f(x) в точке с

абсциссой х: а) y(x) = x4, x = 1, б) y(x) = ln x, x = 2, в) y(x) = 3x² – 4x, x = 4,

г) y(x) = х3 + 7x² – 5x+3, x =5, д) y(x) = ех, x = ln 8, e) y(x) = 9sinx, x = 0,ж) y(x) = е, x = ln 6.

  1. а) Найти угловой коэффициент k, если α = arctg 9, α = arctg 11.

б) Найти α,если y(x) = х3, x = 4.

  1. Дана функция y = x3. Составить уравнение касательной к графику этой функции в точке x0 = 1.

  2. Составить уравнение касательной к графику функции f (x) = 4sin x + 5 в точке x0 = π/2.

  3. Составьте уравнение касательной к графику функции у(х) в точке M(3; – 1).
     

  4. Напишите уравнения всех касательных к графику функции y = – x2 – 4x + 2, проходящих через точку M(– 3; 9).

  5. Напишите уравнения всех касательных к графику функции y = x3 – 3x2 + 3, параллельных

прямой y = 24x + 1.

  1. Напишите уравнение касательной к графику функции y = 0,5x2 – 5x + 1, проходящей
    под углом 45° к прямой y = 0 .

  2. На параболе у = х2 взяты две точки с абсциссами 1 и 2. Через эти точки проведена прямая.
    В какой точке параболы касательная будет параллельна проведенной прямой?

  3. При каких b и c прямые y = x и y = – 2x являются касательными к графику
    функции y = x2 + 2bx + c?

3)Решить задание:

  1. Напишите уравнения касательных, проведенных к графику функции y = 2x2 – 4x + 3 в точках пересечения графика с прямой y = x + 3.

  2. При каких значениях a касательная, проведенная к графику функции y = x2 – ax в точке графика с абсциссой x0 = 1, проходит через точку M(2; 3)?

  3. Найдите все общие точки графика функции y = 3x – x3 и касательной, проведенной к этому графику через точку P(0; 16).

  4. На кривой y = x2 – x + 1 найдите точку, в которой касательная к графику параллельна
    прямой y – 3x + 1 = 0.

  5. Найдите угол q между касательными к графику функции y = x3 – 4x2 + 3x + 1, проведенными в точках с абсциссами 0 и 1.

  6. Прямая y = 2x + 7 и парабола y = x2 – 1 пересекаются в точках M и N. Найдите точку K пересечения прямых, касающихся параболы в точках M и N.

  7. При каких значениях b касательная, проведенная к графику функции y = bx3 – 2x2 – 4 в точке с абсциссой x0 = 2, проходит через точку M(1; 8)?

  8. Найти угол между касательными к графику функции , проведенными в точках с абсциссами 1 и 2.

  9. Является ли прямая у = х – 1 касательной к кривой у = х3 – 2х + 1?

  10. Найдите уравнение касательной к графику функции  в точке с абсциссой .

  11. К графику функции у = 3(х + 2) проведены две параллельные касательные, одна из которых проходит через точку графика с абсциссой х0 = – 1. Найдите абсциссу точки, в которой
    другая касательная касается графика данной функции.

  12. Напишите уравнение касательной к графику функции f(x) = x2 – 4x + 5, если эта касательная проходит через точку (0; 4) и абсцисса точки касания положительна.

  13. Напишите уравнение касательной к графику функции f(x) = x2 + 3x + 5, если эта касательная проходит через точку (0; 1) и абсцисса точки касания отрицательна.

  14. Найдите уравнение параболы f(x) = ax2 + bx + 1 касающейся прямой у = 7х + 2
    в точке М (1; 5).

  15. К графику функции провести касательную так, чтобы она была параллельна прямой у = 4х - 5.

  16. Из точки (0; 1) провести касательную к графику функции.

  17. Составить уравнение касательной к графику функции  в точке с абсциссой.

  18. Составить уравнение касательной к графику функции  в точке с абсциссой 

  19. Составить уравнение касательной к графику функции
      в точке с абсциссой  .

  20. Составить уравнение касательной к графику функции > 0, отсекающей от осей координат треугольник, площадь которого равна .






Инструкционная карта

ПР № 48 «Решение неравенств с помощью метода интервалов. Определить промежутки возрастания и убывания функции. Нахождение экстремумов функции».

Задание:

1)Перепишите и заполните пропуски:

Решение неравенств с помощью метода интервалов.

Пример 1. Решите неравенства: а) (х ) (х) ( х , б) (х ) (х) ( х

Решение: а) (х ) (х) ( х , х = 0, х = 0, х х1 = …, х2 = …, х3 = ...





Ответ:

б) (х ) (х) ( х х = 0, х = 0, х х1 = …, х2 = …, х3 = ...






Ответ: .

Пример 2. Решите неравенства: а) x3 x < 0, б) (.

Решение: а) x3 x < 0, x· (x2 1) < 0, x· (x2 1 ) = 0, х1 = …, x2 1 = 0, х2 = 1, х3 = ...





Ответ: .

б) (, () = 0, 0,

D = (6)2 41 8 = 36 32 = …, x1= (6 2) : 2 = 8 : 2 = …, x2 = (6 2) : 2 = 4 : 2 = …,

x 1 = 0, x = ...






Ответ: .

Пример 3. Решите неравенства: а) б)

Решение: а) ,




hello_html_6f29e869.png


Ответ: .

б) ,




hello_html_4f115f52.png


Ответ: .

Пример 4. Решите неравенства: а) , б) ,

Решение: а) , H < 0, D < 0, a > 0 => P = ...

Ответ: P = .

б) , H ≥ 0, D < 0, a > 0 => P = ...

Ответ: P = R.

Пример 5. Решите неравенства: а)

б) .

Решение: а)

х = 0, х = 0, х

х1 = …, х2 = …, х3 = ...

n = 2,1петля n = 3,2петли






, x .

Ответ: .

б) ,

,

x1 = 0, n = 4, 3 петли, х = 0, х2 = …, n = 3, 2петли,

х = 0, х3 = …, n = 2, 1петля , х х4 = ...





Ответ: .

Нахождение экстремумов функции.

Пример 1. Найти точку максимума функции y= x3 3x2 24x 5.

Решение: Требуется найти критическую точку, в которой знак производной меняется с плюса на минус. Область определения функции: hello_html_4fb18fd6.gif Найдем критические точки функции:



- Критические точки.

Исследуем знак производной на интервалах, разделенных критическими точками:

х

- 4 2

max min

Ответ: x = ...

Пример 2. Найдите точки экстремума функции и определите их характер y= x 4 8x2.

Решение: y = x 4 8x2 , D(y) = R , y ¢ = (x 4 8x2) ¢ = 4x 3 – 16x, y ¢ = 0,

4x 3 – 16x = 0, 4x×(x2 4) = 0, 4x×(x2) × (x2) = 0,

x1= 0 или х2=0 или х2=0

х2 = … х3 =…

х1= 0, х2 = 2, х3 = 2 – это стационарные точки.


2 0 2 х

Функция убывает на ( ¥;2], на [0; 2]. Функция возрастает на [ 2; 0], на [2; +¥).

х3 = …, х2 = … – это точки минимума. х1= … – это точка максимума.

Ответ: х3 = 2, х2 = 2– это точки минимума, х1= 0 – это точка максимума.

Пример 3. Найдите точки экстремума функции и определите их характер.

y= x2 6x1.

Решение: y = x2 6x1, D(y) =R,

y ¢ = ( x3 x2 6x1) ¢ = x25x6 = (х3)×(х2) , y ¢= 0, x 2 5x6 = 0,

x1 = 3, x2 = 2 – это стационарные точки.

х

2 3

Функция возрастает на ( ¥; 2], на [3; +¥).Функция убывает на [2; 3].

x2 = … – это точка максимума, х1 = ... – это точка минимума.

Ответ: х2 = 2 – это точка максимума, х1 = 3 – это точка минимума.

Пример 4. Найдите точки экстремума функции и определите их характер.

y= 2x5 5x4 10x3 3.

Решение: y = 2x5 5x4 10x3 3, D(y) = R, y ¢ = (2x5 5x4 10x3 3) ¢ = 2×5x4 5×4x3 10×3x2 = =…x4 …x3 …x2 = 10х2× (х1)×(х3), y ¢= 0 , 10x4 20x3 30x2 = 0, 10x2 ×(x2 + 2x 3) = 0,

x 2 = 0 или х2 2х3=0, х1 = 0, х2 = 1, х3 = 3 – это стационарные точки.


3 0 1 х

Функция возрастает на ( ¥; 3], на [1; ¥). Функция убывает на [3; 1].

х3 = – это точка максимума. х2 = … – это точка минимума.

Ответ: х3 = 3 – это точка максимума, х2 = 1 – это точка минимума.

2)Решить задание ( по примерам):

Решение неравенств с помощью метода интервалов.

  1. Решите неравенства: а) (х ) (х) ( х , б) (х ) (х) ( х

  2. Решите неравенства: а) x3 4x < 0, б) (.

  3. Решите неравенства: а) б)

  4. Решите неравенства: а) , б) ,

  5. Решите неравенства: а) б) .

Нахождение экстремумов функции.

  1. Найти точку максимума функции y = x3 6x2 15x 3.

  2. Найдите точки экстремума функции а) y = x 4 2x2 , б) y = x2 4x3 ,
    в) y = 2x
    5 10x4 40x3 5 и определите их характер.

3)Решить задание:

Решение неравенств с помощью метода интервалов.

  1. Решите неравенства: а) (х ) (х) ( х , б) (х ) (х) ( х

  2. Решите неравенства: а) x3 x < 0, б) (.

  3. Решите неравенства: а) б)

  4. Решите неравенства: а) , б) ,

  5. Решите неравенства: а) б) .

  6. Решите неравенство . 7.

  7. Найти все значения параметра а, при которых неравенство х2+(2а+4)х+8а+1≤ 0 не имеет решений.

  8. а)Решите неравенство (х2)2(х+5) ≥ 0; б)Решите неравенство (х24) (х+7)3 ≤ 0;

  9. а) – (х1) (5х) (х+20) > 0, б) – (х2) (9х) (х+10) > 0.

  10. Решите неравенство

  11. Решите неравенство x3· (2x + 8) · (x − 3)2 > 0.

  12. Найдите точки экстремума функции




Инструкционная карта

ПР № 49«Построение графиков функций с использованием производной ».

Задание:

1)Перепишите и заполните пропуски:

Пример 1. Исследовать и построить график функции:

Решение:

  1. D (f) = R, т.к. f -многочлен.

  2. Выясняем, является ли функция f четной или нечетной. - функция ни четная, ни нечетная.

  3. Функция непериодическая.

  4. Находим точки пересечения графика с осями координат:

а) с осью ОХ: у=0 получаем точки (0;0), (3;0)

б) с осью ОУ: х=0 получаем точки (0;0)

  1. Найдем производную функции:

  2. Найдем критические точки: , т.е. ,х = … или х = ...

Отмечаем эти точки 0 и 2 на числовой прямой, и определяем знак производной в каждом промежутке. −  +  

6(−  1) −  3(−  1)2 = −  6 −  3 = −  9 < 0

0 2 х

Значит, в промежутках и функция убывает и (0;2) – функция возрастает.

х = 0 - точка минимума, т.к. производная меняет знак с минуса на плюс.

Вычислим уmin=

х = 2 – точка максимума, т.к. производная меняет знак с плюса на минус.

Вычислим уmax= .

7.Составляем таблицу для внесения всех данных

8. Строим график функции.

hello_html_6ac426ef.png


Пример 2. Сколько корней имеет уравнение: x4   4x3   9 = 0?

Решение: р (x) = x4   4x3   9, D(р) = ( hello_html_8781bd9.gif; hello_html_8781bd9.gif).

р ' (x) = 4 x 3 12x 2 = 4 x 2 3) = 0, x1 = 0; 1 петля; x2 = …, р ' (4) = 4 hello_html_m61765ba1.gif16 hello_html_m61765ba1.gif1 > 0






р(x) убывает на интервале (hello_html_8781bd9.gif ; 3]; р (x) возрастает на [3; +hello_html_8781bd9.gif).

x = 3 – min, р min= р (3) = 34   4 hello_html_m61765ba1.gif 33   9 = 81 4hello_html_m61765ba1.gif27 – 9 = 81   117= − < 0, в точке x = 0 график имеет точки перегиба (то есть меняет выпуклость), f(0) = 0   0  9 = ...

Строим эскиз графика

hello_html_331651eb.png

График пересекает ось 0Х в двух точках x1 и x2, следовательно, многочлен, а значит и данное уравнение имеет два корня.

Ответ: два.

Пример 3. Исследовать функцию f(x)= 3x5 3 + 2 и построим ее график.

Решение: 1.D (f ) = R, так как f (x) - многочлен.

2.Функция f не является ни четной, ни нечетной, так как

f (− x) = 3(− x)5 5(− x)3 + 2 = − 3x 5 + 5х3 + 2= −  ( 3x5 − 5х3 − 2) hello_html_382283fb.gif f(x)

3.Найдем координаты точек пересечения графика с осями координат:

а) с осью 0Х, для этого решим уравнение: 3x5 3 + 2 = 0.

Методом подбора можно найти один из корней (x = 1). Другие корни могут быть найдены только приближенно. Поэтому для данной функции остальные точки пересечения графика с осью абсцисс и промежутки знакопостоянства находить не будем.

б) с осью 0У: f(0) = 3hello_html_m61765ba1.gif05  5hello_html_m61765ba1.gif03 + 2 = …

Точка А (0; 2) - точка пересечения графика функции с осью 0У.

Отметили, что промежутки знакопостоянства не будем находить.

4.Найдем промежутки возрастания и убывания функции : а ) f '(x)= 15x4  15х2 = 15х2 hello_html_m61765ba1.gif2   1)

D (f ') = R, поэтому критических точек которых f '(x)не существует, нет.

б) f '(x) = 0, если х2hello_html_m61765ba1.gif2 1)=0 <=> x1 = 0 ; 1 петля ; x2  1= 0, x2 =  1, х2 = …, х3 = …

в) Получим три критические точки, они разбивают координатную прямую на четыре промежутка. Определим знак производной на этих промежутках: f ' (4) = 15 hello_html_m61765ba1.gif16 hello_html_m61765ba1.gif15 > 0






Так как функция непрерывна в точках – 1; 0; 1, то f   возрастает на (– hello_html_8781bd9.gif; – 1] и [1; +hello_html_8781bd9.gif);

f  убывает на [– 1; 0] и [0; 1].

5.Найдем точки экстремума функции и вычислим значения функции в этих точках.

x = − 1 - точка max, f (− 1) = 3hello_html_m61765ba1.gif (− 1) 5  5hello_html_m61765ba1.gif (− 1) 3 + 2 = − 3+ 5 + 2 = 7 – 3 = … ;

x = 1 - точка min, f (1) = 3hello_html_m61765ba1.gif15  5hello_html_m61765ba1.gif13 + 2 = 3− 5 + 2 = 5 – 5 = ...

Полученные результаты занесем в таблицу и построим график .

Пример 4. Исследовать и построить график функции:hello_html_m46464d67.png

Решение: проведем исследование функции:

  1. Функция определена и непрерывна на всей числовой

прямой, D (f ) = R .
,

значит, данная функция является четной, ее график симметричен относительно оси ординат.
Очевидно, что функция непериодическая.

  1. Точки пересечения графика с координатными осями, интервалы знакопостоянства функции.
    График функции проходит через начало координат.

 на всей области определения.

  1. Возрастание, убывание, экстремумы функции.


х = 0
 – критическая точка. Определим знаки :
hello_html_5a5cd5d3.jpg
 возрастает на  и убывает на.
В точке х= 0 функция достигает минимума: .

  1. Найдем дополнительные точки и выполним чертёж:

х

0,5

1,5

2

2,5

3

4

5

6


0,08

0,43

0,57

0,68

0,75

0,84

0,89

0,93


hello_html_m1f9f2eb8.jpg


Пример 5. Сколько корней имеет уравнение: ?

Решение: Рассмотрим функцию р(x) =

1) Найдем область определения функции D(р) = (−hello_html_8781bd9.gif; hello_html_8781bd9.gif).

2) Найдем производную р' (x) = x 3 − 3x 2 – x + 3.

3) Найдем критические точки и промежутки возрастания и убывания функции:

р' (x) = 0 <=> x 3 − 3x 2 – х + 3= 0 <=> x 2 hello_html_m61765ba1.gif (х − 3) − (х − 3) = 0 <=> (х − 3) hello_html_m61765ba1.gif ( x 2 − 1) = 0 <=>

х1=3, х2= 1, х3= − 1. Получим три критические точки, они разбивают координатную прямую на четыре промежутка. Определим знак производной на этих промежутках:

р ' (4) = 1 ·15 > 0

hello_html_47ff2293.png




р(x) возрастает на интервалах [1; 1] и [3; +hello_html_8781bd9.gif);

р(x) убывает на (hello_html_8781bd9.gif ; 1] и [1; 3].

4) Найдем точки экстремума и экстремумы функции:

х = − 1 min р min= 1/4 + 1 − 1/2 − 3= 0,25 + 1 – 0,5 – 3 = 1,25 – 3,5 = − … < 0,

x = 1 max р max= 1/4 − 1 − 1/2 + 3 = 0,25 – 1 – 0,5 + 3 = 2 – 0,25=… > 0,

х = 3 min р min = 81/4 − 27 − 9/2 + 9 = 20,25 – 27 – 4,5 + 9 = 29,25 – 31,5 =

= − … < 0.

Строим эскиз графика.

Из рисунка видно, что многочлен имеет 4 корня, следовательно, уравнение имеет 4 решения.

Ответ: уравнение имеет 4 решения.

2)Решить задание ( по примерам):

  1. Исследуйте функцию и постройте ее график.

  2. Сколько корней имеет уравнение: x4 − 4x3 + 9 = 0?

  3. Исследовать функцию f(x)= 3x5 3 + 6 и построим ее график.

  4. Исследовать и построить график функции:.

  5. Сколько корней имеет уравнение: ?

3)Решить задание:

  1. Исследуйте функцию y = 1/3x3 − 3x2 + 8x и постройте ее график.

  2. Сколько корней имеет уравнение: x2 − x3/3− 1= 0?

  3. Исследовать и построить график функции:

а) y = 3x4 − 4x3 − 12x2 + 10; б) y = в) f (х) = x4 − 2х2.

  1. Исследуйте функцию и постройте ее график: f (x) = x4 −2х2 −3.

  2. Найти число корней уравнения: 2x 3 − 3x 2 − 12х − 11= 0.

  3. Исследуйте функцию и постройте ее график: а)б)

  4. Сколько корней имеет уравнение: а)б) в)

  5. Определите промежутки монотонности и экстремумы функции 

  6. Докажите, что функция f(x) = 4x — 3 sin x возрастает на всей числовой прямой.

  7. Исследуйте функцию f(x) = x4 + 4x2  5 и постройте ее график.

  8. Определите промежутки монотонности и экстремумы функции 

  9. Докажите, что функция f(x) = 5 cosx 7x убывает на всей числовой прямой.

  10. Исследуйте функцию f(x) = x4 + 8x2 − 9 и постройте ее график.

  11. Определите промежутки монотонности и экстремумы функции  .

  12. Докажите, что уравнение х5 + 2х3 + 8x + cos 3x = 0 имеет ровно один корень.

  13. Дана функция  
    а) постройте график функции 
    f(х);
    б) сколько корней имеет уравнение 
    f(х) = а?

  14. Дана функция 
    а) постройте график функции 
    f(x); б) сколько корней имеет уравнение f(х) = а?

  15. При каком наибольшем значении параметра а функция  убывает на всей числовой прямой?

  16. Докажите, что уравнение х5 + 4х3 + 7x sin2x = 0 имеет ровно один корень.

  17. При каком наибольшем значении параметра а функция  возрастает на всей числовой прямой?

  18. При каких значениях а функция f(х) = 8ac – a sin 6 7 sin 5х возрастает на всей числовой оси и не имеет стационарных точек?

  19. Проведите исследование и постройте график функции 

  20. Исследуйте функцию f(x) = х3 – 3x2 + 2 и постройте ее график.

  21. Исследуйте функцию f(х) = х3 3х + 2 и постройте ее график.

  22. При каких значениях параметра а функция f(x) = a sin 7x + 8 ax + sin 4 5x убывает на всей числовой оси и не имеет стационарных точек?

Инструкционная карта

ПР № 50 «Нахождения наибольшего и наименьшего значения функции»

Задание:

1)Перепишите и заполните пропуски:

Пример 1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции у(x) = 2x3 12x2 18x  3  на отрезке [– 1;2] .

Решение: 1) Вычислим значения функции в критических точках, принадлежащих данному отрезку:


 

Полученное квадратное уравнение имеет два действительных корня:

х1= 1, х2 = 3 – критические точки. Первая критическая точка принадлежит данному

отрезку: х1= 1 .
А вот вторая – нет: х2= 1 , поэтому про неё сразу забываем.

Вычислим значение функции в нужной точке:

2)Вычислим значения функции  на концах отрезка:


3) Дело сделано, среди чисел выбираем наибольшее и наименьшее.

Ответ:  

Пример 2. Число 24 представьте в виде суммы двух неотрицательных слагаемых так, чтобы сумма квадратов этих чисел была наименьшей.

Решение: Пусть х – первое слагаемое, тогда (24-х) – второе слагаемое. Сумма квадратов этих чисел По условию задачи Рассмотрим функцию Она на интервале (0;24) непрерывна и дифференцируема. Найдем критические точки.

Это значение единственное, поэтому первое число – 12, второе – 12. Ответ: 24=12+12.
Пример 3. Найдите размеры участка прямоугольной формы, имеющего наибольшую площадь, если его периметр равен 200 м.

Решение: A B

x

D C Так как функция S(x) непрерывная на всей числовой прямой, b

то будем искать ее наибольшее значение на отрезке .

Значит, наибольшей будет площадь участка 2500 м2, а стороны участка равны 50 м и 50 м.

Ответ: 50 м и 50 м.

Пример 4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

f(х) = x3 - 3x2 - 45x + 225 на отрезке [0; 6].

Решение:

f(х) = x3 - 3x2 - 45x + 225

D(f) = R, функция непрерывна на всей числовой прямой, а значит непрерывна и на [0; 6].

  1. = 3x2 - 6x - 45 D() = R.

  2. Производная существует при всех значениях х. Найдем точки, в которых = 0:

2 - 6х - 45 = 0

D1 = 144, x1= -3; x2= 5. Отрезку [0; 6] принадлежит лишь точка x2= 5.

3) Вычислим значения функции в точках 0;5;6.

Наибольшим из найденных значений является число 225, наименьшим – число 50.

Итак , yнаиб = 225, yнаим= 50.

Пример 5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x)=10sinx+24cosx

Решение: Данная функция f(x)=10sinx+24cosx определена и непрерывна на множестве действительных чисел. Наименьший положительный период функции равен 2π. Поэтому наибольшее и наименьшее значения функции f(x) на R совпадают соответственно с наибольшим и наименьшим значениями функции f(x) на отрезке длиной 2 π. Выберем отрезок [-π; π].

Найдём критические точки функции f(x) на интервале (-π; π). Для этого найдём её производную

hello_html_m7ae39835.gif=10cosx-24sinx и приравниваем её к нулю:

10cosx - 24sinx=0 (1)

Тогда и ,

На интервале (-π; π) уравнение (1) имеет два корня: и

Найдём значения функции f(x) при :

f()=10sin()+24cos()

Пусть = t, тогда . Так как>0, то . Используя тождество, находим: . Тогда .

Значит, f()=10 +24 =26

Найдём теперь значение функции f(x) при :

или


Отсюда

Остаётся сравнить два найденных значения функции f(x) с теми значениями, которые эта функция принимает на концах отрезка [-π; π].

Найдём f(-π) = f(π) = - 24. Отсюда заключаем, что

,

,

Пример 6. Найдите наибольшее значение функции .

Решение:

  1. Найдем область определения функции: значит .

  2. Оценим значение выражения на отрезке .

Следовательно, подмодульное выражение отрицательно на отрезке .

3. Преобразуем данную функцию:


  1. Найдем наибольшее значение функции на отрезке . , если отсюда или -4 не принадлежит отрезку .

  2. Вычислим значения функции в точках -3, 0, 3.

  3. Наибольшее значение функции равно 4.

Ответ: 4.

Пример 7. Найдите наибольшее значение функции f (x) = x3 – 3x2 + 3x + 2 на отрезке [– 2; 2].

Решение:

  1. Найдем критические точки функции:, , если . Отсюда, .

  2. Найдем значения функции на концах отрезка и в критической точке, лежащей на этом отрезке :

  3. Выберем из полученных значений наибольшее и наименьшее: .

2)Решить задание ( по примерам):

  1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = x3 3x2 – 72x  90 

на отрезке [– 4;5] .

  1. Число 12 представьте в виде суммы двух неотрицательных слагаемых так, чтобы сумма квадратов этих чисел была наименьшей.

  2. Найдите размеры участка прямоугольной формы, имеющего наибольшую площадь, если его периметр равен 120 м.

  3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции: на отрезке .

  4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции: = 9x + 3x2 x3 на отрезке [– 2; 2].

  5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции: на отрезке hello_html_m306b7b8e.gif;

  6. Найти наибольшее и наименьшее значения функции: на отрезке .

3)Решить задание :


  1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = x4 4x2  8 на отрезке [– 1;2] .

  2. Найти максимальное и минимальное значения функции f(x) = на отрезке [– 8;0] .

  3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = 2x312x2 – 30x 9 на

отрезке [– 4;2] .

  1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции  на отрезке [1;4];

  2. Найдите наибольшее значение функции   на отрезке .

  3. Задание из задачника:

hello_html_m75b4c143.png


hello_html_m75b4c143.png

hello_html_m43f1f85e.png

hello_html_2afcad78.png

hello_html_2afcad78.png

hello_html_760a9eca.pnghello_html_m73187043.png


Инструкционная карта

ПР № 51 «Нахождения наибольшего и наименьшего значения функции в задачах».

Задание:

1)Перепишите и заполните пропуски:

Пример 1. Число 28 представьте в виде суммы двух неотрицательных слагаемых так, чтобы сумма квадратов этих чисел была наименьшей.

Решение: Пусть х – первое слагаемое, тогда (28-х) – второе слагаемое. Сумма квадратов этих чисел По условию задачи Рассмотрим функцию Она на интервале (0;28) непрерывна и дифференцируема. Найдем критические точки.

Это значение единственное, поэтому первое число – 14, второе – 14. Ответ: 28=14+14.
Пример 2. Найдите размеры участка прямоугольной формы, имеющего наибольшую площадь, если его периметр равен 160 м.

Решение: A B

x

D C Так как функция S(x) непрерывная на всей числовой прямой, b

то будем искать ее наибольшее значение на отрезке .

Значит, наибольшей будет площадь участка 1600 м2, а стороны участка равны 40 м и 40 м.

Ответ: 40 м и 40 м.

Пример 3. Число 4 представьте в виде суммы двух неотрицательных слагаемых так, чтобы произведение этих чисел было наибольшим.

Решение: 1) Пусть первое число равно х, тогда второе число равно 4-х. По условию задачи произведение этих чисел должно быть наибольшим, составим функцию. f(x)= x (4 – x),

2) Найдем производную: hello_html_m7ae39835.gif= 4 - 2х,

3) Найдем нули производной: х= 2,

4)


Т. к. в точке х= 2 производная функции меняет знак с « +» на «-», то в этой точке функция достигает максимума.

Ответ: 2 и 2.

Пример 4. Из круглого бревна вырезают балку с прямоугольным сечением наибольшей площади. Найдите размеры сечения балки, если радиус сечения бревна 20 см.

Решение: 1)Пусть АВ= х см, тогда АД = . Площадь сечения должна быть наибольшей, т.е.

2) ;

3) ;

4) Найдем нули производной: 1600х - 2х3 = 0; х = 0 или х =

х = 0 не удовлетворяет условию задачи.

5) Т.К. в точке х= производная функции меняет свой знак с «+» на «-», т в этой точке функция достигает своего максимального значения.

Ответ: и .

Пример 5. В степи на расстоянии 9км к северу от шоссе, идущего с запада на восток, находится поисковая партия. В 15км к востоку от ближайшей к поисковой партии точки на шоссе расположен райцентр, куда поисковая партия отправляет курьера – велосипедиста. Каким должен быть маршрут следования курьера, чтобы он прибыл в райцентр в кратчайший срок, если известно, что по степи он едет со скоростью 8км/ч, а по шоссе – со скоростью 10 км/ч.

Решение:

Р

На рисунке точка Р означает местонахождение

поисковой партии, прямая l – шосс,

9 В – райцентр, А – ближайшая к поисковой партии

точка на шоссе, РА = 9км, АВ = 15км,

l A x M B РМВ – маршрут, которым должен следовать курьер, чтобы прибыть в райцентр в кратчайший срок, причём положение точки М между А и В пока неизвестно.

1. Оптимизируемая величина – время t движения курьера из Р в В. Надо найти tнаим.

2. Положим АМ = х. По смыслу задачи точка М может занять любое положение между А и В, не исключая самих точек А и В, значит, реальные границы изменения х таковы: 0 £ х £ 15.

3. Выразим t через х. Имеем: РМ = = . Этот путь велосипедист едет со скоростью 8 км/ч, то есть время t1, затраченное на этот путь, выражается формулой

t1 = ()/8. Далее, МВ = 15-х. Этот путь велосипедист проезжает со скоростью 10 км/ч, то есть время t2, затраченное на этот путь, выражается формулой t2 = (15-х)/10. Суммарное время t, затраченное на весь путь, равно t1 + t2, то есть t = ()/8 + (15-х)/10.

4. Для функции t = ()/8 + (15-х)/10 надо найти наименьшее значение на отрезке [0;15]. Используем алгоритм отыскания наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке [0;15].

1) f'(х) = 1/8 · 1/2 (81+х²) · 2х + 1/10 · (-1) = х/(8) – 1/10.

2) Производная f'(х) существует при всех значениях х. Найдем точки, в которых f'(х)=0. Имеем:

4= 5х; 16 (81+х²) = 25х²; 9х² = 16 · 81; х = 12.

Точка х=12 принадлежит отрезку [0;15].

  1. Составим таблицу значений функции t = f(x), включив в нее значения функции на концах отрезка и в найденной стационарной точке.

х

0

12

15

y

105

40

87

40


tнаим = 87/40.

5. Так как tнаим достигается при х=12, то делаем вывод: велосипедисту надо ехать по такому маршруту РМВ, чтобы расстояние между точками А и М на шоссе было равно 12 км.

2)Решить задание ( по примерам):

  1. Число 32 представьте в виде суммы двух неотрицательных слагаемых так, чтобы сумма квадратов этих чисел была наименьшей.

  2. Найдите размеры участка прямоугольной формы, имеющего наибольшую площадь, если его периметр равен 100 м.

  3. Число 6 представьте в виде суммы двух неотрицательных слагаемых так, чтобы произведение этих чисел было наибольшим.

  4. Из круглого бревна вырезают балку с прямоугольным сечением наибольшей площади. Найдите размеры сечения балки, если радиус сечения бревна 10 см.

  5. В степи на расстоянии 3км к северу от шоссе, идущего с запада на восток, находится поисковая партия. В 5 км к востоку от ближайшей к поисковой партии точки на шоссе расположен райцентр, куда поисковая партия отправляет курьера – велосипедиста. Каким должен быть маршрут следования курьера, чтобы он прибыл в райцентр в кратчайший срок, если известно, что по степи он едет со скоростью 8км/ч, а по шоссе – со скоростью 10 км/ч.

3)Решить задание :

  1. Из квадратного листа жести со стороной 6 дм требуется изготовить открытый сверху резервуар для хранения жидкости, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда. Для этого вырезают по углам листа равные квадраты и загибают образовавшиеся края. Какой наибольшей вместимости можно изготовить резервуар?

  2. Из куска проволоки длиной 30 см изготовлен прямоугольный треугольник, имеющий наибольшую площадь. Какова эта площадь?

  3. Имеется 40 м проволочной сетки. Требуется оградить три стороны прямоугольного участка земли, примыкающего четвертой стороной к стене здания. Каковы должны быть размеры участка, чтобы его площадь была наибольшей, если длина стены здания равна:

а) 30 м; б) 10 м?

  1. Периметр прямоугольника составляет 56 см. Каковы его стороны, если этот прямоугольник имеет наибольшую площадь?

  2. Известно, что одно из двух чисел на 36 больше другого. Найдите эти числа, если известно, что их произведение принимает наименьшее значение.

  3. Разность двух чисел равна 10. Найдите эти числа, если известно, что их произведение принимает наименьшее значение.

  4. Представьте число 3 в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы сумма утроенного первого слагаемого и куба второго слагаемого была наименьшей.

  5. Нужно огородить участок прямоугольной формы забором длиной 400м. Каковы должны быть размеры прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей?

  6. Площадь прямоугольника составляет 16 см2. Каковы должны быть его размеры, чтобы периметр прямоугольника был наименьшим?

  7. Боковые стороны и одно из оснований трапеции равны 15 см. При какой длине второго основания площадь трапеции будет наибольшей?

  8. Произведение двух отрицательных чисел равно 484. Найдите эти числа, если известно, что их сумма принимает наименьшее значение.

  9. Известно, что одно из двух чисел на 28 меньше другого. Найдите эти числа, если известно, что их произведение принимает наибольшее значение.

  10. Периметр прямоугольника составляет 72 см. Каковы его стороны, если этот прямоугольник имеет наибольшую площадь?

  11. Разность двух чисел равна 98. Найдите эти числа, если известно, что их произведение принимает наименьшее значение.

  12. Представьте число 5 в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы произведение первого слагаемого и куба второго слагаемого была наибольшей.

  13. Нужно огородить участок прямоугольной формы забором длиной 240м. Каковы должны быть размеры прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей?

  14. Нужно огородить участок прямоугольной формы забором длиной 240м. Каковы должны быть размеры прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей?

  15. Площадь прямоугольника составляет 64 см2. Каковы должны быть его размеры, чтобы периметр прямоугольника был наименьшим?

  16. Из прямоугольной трапеции с основаниями a и b и высотой h вырезали прямоугольник наибольшей площади. Чему равна эта площадь, если a=24, b=8, h=12?

  17. Как из квадратного листа жести со стороной а изготовить бак наибольшего объема с квадратным основанием без крышки?

  18. Кусок проволоки длиной 48 м сгибают так, чтобы образовался прямоугольник. Какую длину должны иметь стороны прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей?

  19. Известно, что функция R(x) – функция, показывающая зависимость прибыли от количества х и выпускаемых компакт-дисков. Найти максимальный размер партии, если R(x) = a + bx + cx3. Определить оптимальный объем выпуска, если a = 200, b = 27, c = –1. Рассчитать планируемую прибыль в условных денежных единицах.


Инструкционная карта

ПР № 52 «Вычисление первообразных элементарных функций».

Задание:

1)Перепишите и заполните пропуски:

Пример 1. Найти общий вид первообразных данных функций :

1) f(x) = x2  cosx;   2) f(x) = 3; 3) f(x) = 10 sinx;  4) f(x) = 2sin 4x; 5) f(x) = 5x4x2  ; 6) f(x) = (3x – 1)2; 7) f(x) =. .

Решение: 1) F(x) = x3/3 – sinx  C; 2) F(x) =3x  C; 3) F(x) = 10  C; 

4) F(x) = 1/2 cos…x + C;5) F(x) =   x3/3 – 2;  6) F(x) = (3x – 1)3/… + C; 7) F(x) = /… + C.

Ответ: 1) F(x) = x3/3 – sinx  C; 2) F(x) =3x  C; 3) F(x) = 10cosx  C; 

4) F(x) = 1/2 cos 4x + C;5) F(x) = x5  x3/3 – 2;  6) F(x) = (3x – 1)3/9 + C; 7) F(x) =  /3 + C.

Пример 2. Для функции  f(x) = 4x + 1/x2 найти первообразную, график которой проходит через точку M(– 1; 4).

Решение: F(x) = 2x2– 1/x + C. , F(x) = 2()2– 1/() + C = 2 C = 4, 4 = 3 + C, C = …

Ответ: F(x) = 2х2 – 1/х + 1.

Пример 3. Докажите , что функция F(x) является первообразной для функции f(x).

a) f(x) = 2x; F(x) = x2 , б) f(x) = – sin x; F(x) = сos x ,
в) f(x) = 6x2 + 4; F(x) = 2x3 + 4x, г) f(x) = 1/cos2 x; F(x) = tg x .

Решение: a) f(x) = 2x; F(x) = x2 , F (x)= (x2) = … = f(x);

б) f(x) = – sin x; F(x) = сos x , F (x)= (cos x) = – … = f(x);

в) f(x) = 6x2 4; F(x) = 2x3 4x, F (x)= (2x3 4x) = …x2 4 = f(x);

г) f(x) = 1/cos2 x; F(x) = tg x , F (x)= (tg x) = 1/cos2 x= f(x).

Ответ: F(x) является первообразной для f(x). Пример 4. Найдите первообразные функций: a) f(x) = x4 x2 x ; б) g(u) = ;

в) h(x) = (x3 + 1)2 ; г) v(x) = cos (5x ). Решение: Для нахождения первообразных функций воспользуемся таблицей первообразных. а) x5/5 - одна из первообразных функции х4; x3/3 - одна из первообразных функции х2; x2/2 - одна из первообразных функции х; х - одна из первообразных функции 1. По правилу 1 нахождения первообразных F(x) =   - первообразная функции f(х);

б) функцию g(u) запишем в виде g(u) =  u - 1/3 u3/2.

3/2u2/3 - одна из первообразных функции u-1/3; 2/5u5/2 - одна из первообразных функции u3/2; 

G(x) = 3/2u2/3  2/5u5/2  - первообразная функции g(u);

в) h(x) = (x3 + 1)2 = x6 2x3 .

x7/7 - одна из первообразных функции х6; x4/4 - одна из первообразных функции х3; х - одна из первообразных функции 1.

По правилам 1 и 2 нахождения первообразных H(x) = …  1/2x4C - первообразная функции h(х);

г) v(x) = cos (5x ) , sinu - одна из первообразных функции cosu; V(x) = … sin(5x)  C - первообразная функции v(х).

Ответ: a) F(x) =   ; б) G(x) = 3/2u2/3  2/5u5/2  в) H(x) = 1/7x7  1/2x4xC; г) V(x) = 1/5 sin(5x)  C.

Пример 5. Найдите первообразную: a) g(x) = (47x)5 ; б) g(x)= x 2; в) t(x) = (5+ 2x)3.

Решение: a) G (x) = ; б) G(x) = ; в) T(x) = .


Ответ: a) G (x) = ; б) G(x) = ; в) T(x) = .

2)Решить задание ( по примерам):

  1. Найти общий вид первообразных данных функций :

1) f(x) = 4x3  2cosx;   2) f(x) = 5; 3) f(x) = 5 sinx;  4) f(x) = 3sin 4x;
5)
 f(x) = 6x5x4  ; 6) f(x) = (4x – 1)2; 7) f(x) =. .

  1. Для функции  f(x) = 6x + 1/x2 найти первообразную, график которой проходит через точку M(– 1; 8).

  2. Докажите , что функция F(x) является первообразной для функции f(x).

а)f(x) = 4x; F(x) = 2x2 , б) f(x) = – 2sin x; F(x) = 2сos x ,

в) f(x) = 6x2 7; F(x) = 2x3 7x, г) f(x) = 1/sin2 x; F(x) = ctg x .

  1. Найдите первообразные функций:
    a) f(x) = 10x4 4x2 2x ; б) g(u) = ; в) h(x) = (x3 3)2 ; г) v(x) = cos (7x ).

  2. Найдите первообразную: a) g(x)= (45x)5 ; б) g(x)= 2x- 2; в) t(x) = (54x)5.

3)Решить задание:

  1. Найдите первообразную функции f(x) = 4x3– 3x2 , график которой проходит через

точку M(–1; 2).

  1. Для функции f(х) = еx найти первообразную, график которой проходит через точку М(0; 2).

  2. Для функции y = –1–2x2 найдите первообразную, график которой проходит через

точку М(–3; 12).

  1. Известно, что F1, F2, F3– первообразные для f(x) = 4x3 –3x2 на R, графики которых проходят через точки M(–1; 2), N(1; 4), K(2; 5) соответственно. Перечислите, в каком порядке (сверху вниз) графики этих функций пересекают ось ординат?

  2. Материальная точка движется прямолинейно со скоростью v(t) = 12t + 4. Найдите закон движения точки, если в момент времени t = 1c пройденный путь составил 12 м.

  3. Найдите наименьшее значение первообразной функции y = 2x + 4, проходящей через

точку (2; 8) .

  1. Для функции f(х) = найти первообразную, график которой проходит через точку М(1;3).

  2. Найти общий вид первообразной для функции f:

а)f(x) = 1,б) f(x) = х+1,в) f(x) = х9 + 3, г) f(x) =3х32 ,д) f(x) = 5х + ,

е) f(x) = 1+ , ж) f(x) = 4 + 2cosx, з) f(x) =sin2x + x, и) f(x) = sinx + cosx.

  1. При каких значениях k и С функции kcosx + x - 4 является первообразной функции 3sinх + 1? 

  2. Найдите первообразную функции 2cosx, если график этой первообразной проходит

через точку М .

  1. При каком значении k и С функция   является первообразной функции  ?

  2. Найдите одну из первообразных функции f:

а) f(x) = 2х5 ,б) f(x) = 3х3+2х1, в) f(x) = 3 cosx 4 sinx ,г) f(x) = (х+1)4, д) f(x) = ,
е)
f(x) = sin(2x+3),ж) f(x) = cos(3x+4),з) f(x) = .

  1. Для функции f найдите первообразную, график которой проходит через точку М:

 f(x) =

  1. Найдите общий вид первообразной для функции f(x) = 2 cosx.

  2. Найдите общий вид первообразной для функции(x) = + 3 cosx.

  3.  Для функции f найдите первообразную, график которой проходит

через точку M: f(x) = 3

  1. Докажите, что функция F является первообразной для функции f на множестве R:

а) F(x) = х4-3 , f(x) = 4х3, б) F(x) = 5х- cosx, f(x) = 5+ sinx.

  1. Докажите, что функция F является первообразной для функции f на множестве R:

а) F(x) = 4хх3 , f(x) = 4 2, б) F(x) = 0,5 sinx, f(x) = cosx.

  1. Найдите первообразные функций: а) f(x) =,б)f(x) = 7 sinx, в) f(x) =г)f(x) =12cosx.

  2. При каком значении к и С функция является первообразной функции 5cosх + 2х?



Инструкционная карта

ПР № 53 «Вычисление интегралов. Вычисление площадей с помощью интегралов».

Задание:

1)Перепишите и заполните пропуски:

Пример 1. Вычислить интеграл :

a) , б) ,в) ,г) .

Решение: a)

б)

в)

г)

Ответ: a) б) в) г)

Пример 2. а)Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = х2 2, у = 0, х = 2, х = 1.

Решение: Выполним чертеж (обратите внимание, что уравнение у = 0  задает ось  ОХ): Штриховать криволинейную трапецию я не буду, здесь очевидно, о какой площади идет речь. Решение продолжается так:hello_html_m6ea081fc.png

На отрезке[– 2;1]    график функции у = х2 2  расположен над осью ОХ, поэтому:


Ответ: S = 9 eд2.

б)Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у =  , х = 1  и координатными осями.

Решение: Выполним чертеж: Если криволинейная трапеция расположена под осью OX (или, по крайней мере, не выше данной оси), то её площадь можно найти по формуле: S =  .
В данном случае:
hello_html_m521974c9.png

Ответ: 

Пример 3.а)Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями  у = 2х , у =  .hello_html_m34e0aa0e.png

Решение: Сначала нужно выполнить чертеж. Найдем точки пересечения параболы у = 2х   и

прямой у =   . Решаем уравнение: =  , 3х = 0, х(3) = 0,

х1 = …, х2 = ...

Значит, нижний предел интегрирования а = 0, верхний предел интегрирования b = 3 . x = a ,x = b , можно найти по формуле: S = .

Искомая фигура ограничена параболой y = 2х   сверху и прямой у =    снизу.
На отрезке
[0;3]  2х  , по соответствующей формуле

Ответ: S = 4,5 eд2.  . б)Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , y = x  , y = 0  , x = 3 .

Решение: Сначала выполним чертеж: Площадь фигуры считается с помощью двух определенных интегралов. Действительно:hello_html_m2509795.jpg

1) На отрезке [– 1;1]  над осью OX расположен график прямой y = x   ;

2) На отрезке [1;3]   над осью OX  расположен график гиперболы

Совершенно очевидно, что площади можно (и нужно) приплюсовать, поэтому:

Ответ: .hello_html_dfee4aa.png

Пример 4.a) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

 ,2x  .


Решение: Представим уравнения в виде и выполним поточечный чертеж:
Из чертежа видно, что верхний предел у нас «хороший»:
  b = 1.
Найдем точки пересечения прямой
    и параболы
Для этого решаем уравнение:
3x2 = 2x 3x2 2x

D = 4 12 = …, = 4, x1 = , x2 = ... Действительно,a = .

На отрезке по соответствующей формуле: Ответ: .hello_html_3f5273e5.png

б)Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y =  , y = 2x  .

Решение: Выполним чертеж:
На отрезке по соответствующей формуле:


Ответ: S = 10 eд2.  .

Пример 5.Найти площадь фигуры, ограниченной линиями x , xy = 3 .

Решение: Выполним чертеж . На отрезке  , по соответствующей формуле:
Ответ:  .
hello_html_78b890fb.jpghello_html_m2e7c3126.png

Пример 6.a) Найти площадь фигуры, ограниченной параболой у = х2 +10 и касательными к этой параболе, проведёнными из точки (0;1). 

Решение: Неизвестна абсцисса точки касания х = а. Чтобы её найти, составим уравнение касательной:  y = f (x0) .

Имеем f(x) = x2 f (x) = 2x;значит, f(a) = a2 f (a) = 2a; уравнение касательной имеет вид:

y = a2 2 a(x ) = a2 2 ax ;

Уравнение касательной y = (1)

По условию касательная должна проходить через точку (0;1), то есть координаты точки (0;1) должны удовлетворять уравнению (1):

1 = 2a0 ; , a1 = a2 = ...

Подставим найденные значения в уравнение (1):

Если a =  то y = 9 10 Если a = 3 , то y =  .

Получили два уравнения касательных y =  . Параболы y = х2 + 10 они касаются в точках А(3;19) и В(3;19).

Найдём площадь фигуры DACB: SDACB = 2SDCB ,

hello_html_m157678ba.gif





SDACB = 2 9 = ...

Ответ: 18.

б) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями hello_html_35881468.jpg

у = 4/x, y = х, х = 4.

Решение: SABC = SMBAD SMBCD;

SMBAD = 1/2(MB ) MD = = 1/2 (2 ) 2 = 6;




hello_html_450e27c6.gif


Ответ: 6 – 4ln2.

2)Решить задание ( по примерам):

  1. а) Вычислить интеграл :

1) , 2) , 3) , 4),5) ,

6) , 7) , 8) ,9) , 10).


  1. а)Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .

б)Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями и координатными осями.

  1. а)Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями  .

б)Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями.

  1. a) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .

б)Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y =  , y = 2x  .

  1. a)Найти площадь фигуры, ограниченной линиями  .

б) В каком отношении парабола делит площадь четырёхугольника, вершины которого находятся в точках с координатами (0;0); (2;0); (0;6); (2;6)? 

  1. a)Найти площадь фигуры, ограниченной параболой и касательными к этой параболе, проведёнными из точки (0;1). 

б) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .

3)Решить задание:

  1. a)Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .

б)Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями и координатными осями.

  1. а)Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями  .

б)Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями.

  1. a)Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями.

б)Найти площадь фигуры, ограниченной линиями .

  1. a)Найти площадь фигуры, ограниченной линиями.

б) В каком отношении парабола делит площадь четырёхугольника, вершины которого находятся в точках с координатами (0;0); (2;0); (0;6); (2;6)? 

  1. a)Найти площадь фигуры, ограниченной параболой и касательными к этой параболе, проведёнными из точки (0;1). 

б) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .

  1. Найти площадь фигуры, ограниченной функцией и осями координат.

  2. Найти площадь фигуры, ограниченной функциями и касательной к этой параболе, проведенной в точке (1/2;3/4).

  3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями.

  4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями.

  5. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями.

  6. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями.

  7. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями..

  8. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями .

  9. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями.

  10. Найти площадь фигуры, ограниченную линиями .

  11. Найти площадь фигуры, ограниченной линиям .

  12. Вычислите площадь фигуры, ограниченной параболой и осью абсцисс.

  13. Вычислите площадь фигуры, ограниченной прямыми , .

  14. Вычислите площадь фигуры, ограниченной прямой и параболой .

  15. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями и .


Инструкционная карта

ПР № 54 «Решение задач на подсчет числа размещений, перестановок, сочетаний. Решение задач на перебор вариантов».

Задание:

1)Перепишите и заполните пропуски:

Пример 1. а) Сколько трехзначных чисел можно записать, используя цифры 1,3,6,7,9, если каждая их них может быть использована в записи только один раз?

Решение: по формуле получаем: способов.

Ответ:60.

б) Из 20 учащихся надо выбрать старосту, его заместителя и редактора газеты. Сколькими способами это можно сделать?

Решение: по формуле получаем: способов.

Ответ:6840.

в)Сколькими способами четверо юношей могут пригласить четырех из шести девушек на танец?

Решение: Два юноши не могут одновременно пригласить одну и ту же девушку. И варианты,

при которых одни и те же девушки танцуют с разными юношами, считаются разными, поэтому:

Ответ: 360.

Пример 2. а)Сколькими способами можно представлять друг с другом цифры 1, 2, 3, 4?

Решение: Р4 = 4!= = …

Ответ: 24.

б)За столом пять мест. Сколькими способами можно расставить пятерых гостей?

Решение: Р5 = 5! =

Ответ:120.

в)Сколькими способами можно выложить в ряд красный, черный, синий и зеленый шарики?

Решение: На первое место можно поставить любой из четырех шариков (4 способа), на

второе – любой из трех оставшихся (3 способа), на третье место – любой из

оставшихся двух (2 способа), на четвертое место – оставшийся последний шар.

Всего 4 · 3 · 2 · 1 = 24 способа. Р4 = 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24. Ответ: 24 способа.

г)Сколькими способами можно переставить буквы слова «ананас»?

Решение: всего букв 6. Из них одинаковы n1«а»=3, n2«н»=2, n3«с»=1. Следовательно, число различных перестановок равно

Ответ:60.

Пример 3. а) Из 15 членов туристической группы надо выбрать трех дежурных. Сколькими способами можно сделать этот выбор?

Решение: каждый выбор отличается от другого хотя бы одним дежурным. Значит, здесь речь идет о сочетаниях из 15 элементов по 3. Следовательно, по формуле получаем

Ответ:455.

б) На полке стоит 12 книг: англо-русский словарь и 11 художественных произведений на английском языке. Сколькими способами читатель может выбрать 3 книги, если :

1) словарь нужен ему обязательно; 2) словарь ему не нужен?

Решение:

1) 2)

Ответ: 1) 55,2) 165.

в) Учащимся дали список из 10 книг, которые рекомендуется прочитать во время каникул. Сколькими способами ученик может выбрать из них 6 книг?


Решение: Выбор 6 из 10 без учёта порядка: способов.

Ответ: 210 способов.

г) Сколько трехкнопочных комбинаций существует на кодовом замке (все три кнопки нажимаются одновременно), если на нем всего 10 цифр.

Решение: Так как кнопки нажимаются одновременно, то выбор этих трех кнопок – сочетание. Отсюда возможно вариантов.

Ответ:120.

Пример 4. а)Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 1,4,7, используя в записи числа каждую из них не более одного раза?

Решение: для того, чтобы не пропустить и не повторить ни одно из чисел, будем записывать их в порядке возрастания. Сначала запишем числа, начинающиеся с цифры 1, затем с цифры 4, и, наконец, с цифры 7: 14, 17, 41, 47, 71, 74.

Ответ: 6.

б) На завтрак Вова может выбрать плюшку, бутерброд, пряник или кекс, а запить их он может кофе, соком или кефиром. Из скольких вариантов завтрака Вова может выбирать?

Решение: Составим таблицу:

плюшка бутерброд пряник кекс

В ней три строки и четыре столбца, они образуют 12 клеток. Так как выбор еды и напитка происходит независимо, то в каждой клетке будет стоять один из возможных вариантов завтрака и, наоборот, любой вариант завтрака будет записан в одной из клеток. Значит, всего вариантов столько же, сколько клеток в таблице.

Ответ: 12.

Пример 5. а) Имеются 10 различных книг, три из которых – справочники. Сколькими способами

можно расставить эти книги на полке так, чтобы все справочники стояли рядом?

Решение: Т.к. в справочники должны стоять рядом, то будем рассматривать их как одну книгу. Тогда на полке надо расставить 10 – 3 + 1= … книг. Это можно сделать P8 способами. Для каждой из полученных комбинаций можно сделать P3 перестановок справочников.

Поэтому число способов расположения книг на полке равно произведению:

P8 · P3 = 8! · 3! = 40320 · 6 = ...

Ответ: 241920.

б) Сколько всего существует результатов опыта, заключающегося в подбрасывании двух одинаковых игральных костей?

Решение: Формула числа сочетаний из m элементов по n элементов с повторениями имеет вид:

,
Ответ: 21.

2)Решить задание ( по примерам):

  1. а) Сколько трехзначных чисел можно записать, используя цифры 1,2,4,6,7,9, если каждая их них может быть использована в записи только один раз?

б) Из 15 учащихся надо выбрать старосту, его заместителя и редактора газеты. Сколькими способами это можно сделать?

в)Сколькими способами четверо юношей могут пригласить четырех из пяти девушек на танец?

  1. а)Сколькими способами можно представлять друг с другом цифры 1, 2, 3, 4,5?

б)За столом семь мест. Сколькими способами можно расставить семерых гостей?

в)Сколькими способами можно выложить в ряд красный, черный, синий, белый и зеленый шарики?

г)Сколькими способами можно переставить буквы слова «Миссисипи»?

  1. а) Из 25 членов туристической группы надо выбрать трех дежурных. Сколькими способами можно сделать этот выбор?

б) На полке стоит 15 книг: англо-русский словарь и 14 художественных произведений на английском языке. Сколькими способами читатель может выбрать 3 книги, если :
1) словарь нужен ему обязательно; 2) словарь ему не нужен?

в) Учащимся дали список из 10 книг, которые рекомендуется прочитать во время каникул. Сколькими способами ученик может выбрать из них 7 книг?

г) Сколько четырехкнопочных комбинаций существует на кодовом замке (все три кнопки нажимаются одновременно), если на нем всего 10 цифр.

  1. а)Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 1,4,5,7, используя в записи числа каждую из них не более одного раза?

б) На завтрак Вова может выбрать бутерброд, пряник или кекс, а запить их он может кофе, соком или кефиром. Из скольких вариантов завтрака Вова может выбирать?

  1. а)Имеются 10 различных книг, 6 из которых – справочники. Сколькими способами

можно расставить эти книги на полке так, чтобы все справочники стояли рядом?
б)
Сколько всего существует результатов опыта, заключающегося в подбрасывании трех одинаковых игральных костей?

3)Решить задание:
подсчет числа размещений, перестановок, сочетаний.

  1. «Вороне где-то Бог послал кусочек сыра», колбасы, хлеба и шоколада. «На ель Ворона взгромоздясь, позавтракать совсем уж было собралась, да призадумалась»: если есть кусочки по очереди, то из скольких вариантов придется выбирать?

  2. Сколькими способами можно из 25 учащихся выбрать 5 для участия в школьном марафоне?

  3. Сколькими способами могут быть распределены золотая и серебряная медали по итогам первенства по футболу, если число команд 12?

  4. В классе 7 человек успешно занимаются математикой. Сколькими способами можно выбрать из них двоих для участия в математической олимпиаде?

  5. Из 12 солдат нужно в разведку послать 5. Сколькими способами это можно сделать?

  6. Сколько пятизначных чисел можно составить, используя только цифры 3 и 5?

  7. «Проказница Мартышка, Осел, Козел и косолапый Мишка затеяли сыграть квартет». Сколькими способами они могут распределить четыре имеющихся у них инструмента?

  8. «Проказница Мартышка, Осел, Козел и косолапый Мишка затеяли сыграть квартет». На складе 12 музыкальных инструментов. Мишке поручили принести со склада 8 любых инструментов. Сколько вариантов выбора есть у мишки?

  9. Гера, Афина и Афродита попросили Париса не только назвать самую красивую из них, но и указать, кто «на втором и третьем местах». Сколько есть вариантов ответа?

  10. В магазине «Филателия» продается 8 различных наборов марок, посвященных «Дню Победы». Сколькими способами можно сформировать из них 3 набора?

  11. Сколько существует способов составить расписание уроков на один день из 6 предметов?

  12. Алфавит племени тумба-юмба состоит из букв А, У, С. Словом является любая последовательность из 4 букв. Сколько слов в языке этого племени?

  13. Сколькими способами можно выложить в ряд красный, зеленый, черный, синий кубики?

  14. Из колоды в 36 карт вынимают 5 карт. Найдите число всех возможных вариантов выбора.

  15. В классе 27 учеников, из которых нужно выбрать троих: первый ученик должен решить задачу, второй – сходить за мелом, третий – пойти дежурить в столовую. Сколькими способами это можно сделать?

  16. Сколькими способами можно из 6 человек составить комиссию, состоящую из двух человек?

  17. В соревновании участвуют 10 человек. Сколькими способами могут распределиться между ними места?

  18. Сколькими способами можно расставить на полке 4 различные книги?

  19. Сколько различных словарей необходимо переводчику, чтобы он мог переводить с любого из 5 языков – русского, английского, немецкого, французского, испанского – на любой другой из этих языков?

  20. Пять человек обменялись друг с другом фотографиями. Сколько всего фотографий было?

  21. На плоскости отмечены 6 точек. Каждые две точки соединили отрезком. Сколько получилось отрезков?

  22. Сколькими способами можно переставить 5 различных геометрических фигур?

  23. Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную буквы из слова «здание»?

  24. За свои рисунки ученик получил две положительные оценки. Какими они могут быть? Сколько вариантов?

  25. Сколько флагов можно составить из трех разных цветов, если имеются полосы синего, белого, красного цветов?

  26. В понедельник в пятом классе 5 уроков. Сколькими способами можно составить расписание на понедельник?

  27. Из десяти учащихся надо выбрать старосту, физорга и культорга. Сколькими способами это можно сделать?

  28. В соревновании участвуют 10 человек. Сколькими способами могут распределиться между ними места?

  29. У одного человека 7 книг по математике, а у второго – 9. Сколькими способами они могут обменять друг у друга две книги на две книги.

  30. Имеется пять различных стульев и семь рулонов обивочной ткани различных цветов. Сколькими способами можно осуществить обивку стульев.

  31. На памятные сувениры в «Поле Чудес» спонсоры предлагают кофеварки, утюги, телефонные аппараты, духи. Сколькими способами 9 участников игры могут получить эти сувениры? Сколькими способами могут быть выбраны 9 предметов для участников игры?

  32. Сколькими способами можно расставить на шахматной доске 8 ладей так, чтобы на одна из них не могла бить другую?

  33. Сколько может быть случая выбора 2 карандашей и 3 ручек из пяти различных карандашей и шести различных ручек?

  34. На ферме есть 20 овец и 24 свиньи. Сколькими способами можно выбрать одну овцу и одну свинью? Если такой выбор уже сделан, сколькими способами можно сделать его еще раз?

  35. Сколько существует четных пятизначных чисел, начинающихся нечетной цифрой?

  36. В 9 классе учатся 7 учащихся, в 10 - 9 учащихся, а в 11 - 8 учащихся. Для работы на пришкольном участке надо выделить двух учащихся из 9 класса, трех – из 10, и одного – из 11 . Сколько существует способов выбора учащихся для работы на пришкольном участке?

  37. Сколько наборов из семи пирожных можно составить, если в продаже имеется четыре сорта пирожных?

перебором вариантов:

  1. 1. Запишите все двузначные числа, в записи которых используются только цифры 3, 5, 7, 9. Сколько двузначных чисел можно записать, если использовать при записи числа каждую цифру только один раз?

  2. 2. В четверг в первом классе должно быть три урока: русский язык, математика и физкультура. Сколько различных вариантов расписания можно составить на этот день?
    Указание: Перебирая варианты введите обозначения:
    Р – русский язык, М – математика, Ф – физкультура.

  3. 3. Саша выбрал в библиотеке 5 книг, но одновременно можно взять только две книги. Сколько вариантов выбора двух книг есть у Саши?

  4. 4. Школьники из Волгограда собрались на каникулы поехать в Москву, посетив по дороге Нижний Новгород. Сколькими различными способами могут ребята осуществить свое путешествие, если из Волгограда в Нижний Новгород можно отправиться на теплоходе ли поезде, а из Нижнего Новгорода в Москву – на самолете, теплоходе, поезде или автобусе?

  5. 5. Девять школьников, сдавая экзамены по математике и английскому языку, получили отметки «4» и «5». Можно ли утверждать, что по крайней мере двое из них получили по каждому предмету одинаковые отметки?

  6. 6. Сколько существует двузначных чисел, у которых первая цифра больше второй?

  7. 7. Несколько стран в качестве символа своего государства решили использовать флаг в виде четырех вертикальных полос, одинаковых по ширине, но разных по цвету: белый, синий, красный, зеленый. У каждой страны свой, отличный от других, флаг.
    а) Сколько всего стран могут использовать такую символику?
    б) Сколько всего стран могут использовать такую символику с верхней белой полосой?
    в) Сколько всего стран могут использовать такую символику с нижней зеленой полосой?
    г) Сколько всего стран могут использовать такую символику с синей и красной полосами, расположенными рядом?

  8. 8. а) Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, 9?

б) Сколько среди них чисел, кратных 5? в) Сколько среди них чисел, кратных 3?

Инструкционная карта

ПР № 55 «Вычисление числовых характеристик дискретной случайной величины».

Задание:

1)Перепишите и заполните пропуски:

Пример 1. а) М(Х) = 4, М(Y) = 5, Z = 3X – 2Y, М(Z) = ?

Решение: М(Z) = 34 – 2 5 = 12 – 10 = …,

б) D(Х) = 12, D (Y) = 10, Z = 2X + Y, D (Z) = ? D (Х – Y) =?

Решение: D (Z) = 22 12 + 10 = 412 + 10 = 48 + 10 = …, D (Х - Y) = 12 + 10 = …,

Пример 2. Найдите числовые характеристики Х и Y:

Решение:

М(Х) = р1х1 + р2х2 = 0,3 10 + 0,7 20 = 3 + 14 = …,

D(Х) = р1х12 + р2х22 – (р1х1 + р2х2)2 = 0,3100 + 0,7400 – 289 =30 + 280 – 289 = …,

(Х) = = …,

М(Y) = р1у1 + р2у2 + р3у3 = 0,5 30 + 0,2 40 + 0,3 60 = 15 + 8 + 18 = …, D(Y) = 0,5 900 + 0,2 1600 + 0,3 3600 – 1681= 450 + 320 + 1080 – 1681 = …,

(Y) = = = …,

Пример 3. а) По данным статистического распределения выборки найдите моду М0 :

Решение: Наибольшее n = 6 для Х= 5, поэтому М0 =…,

б) По данным вариационных рядов определить медиану Ме:
1) 23679, 2) 212866 , 3) 67543, 4)2134668553.

Решение: 1) 23679, n = 5, Ме = …, 2) 212866, n = 6, Ме = (2+8):2=…,

3) 67543, n = 5, Ме = …, 4) 2134668553. n =10, Ме = (6+6):2=…,

Пример 4. a)Закон распределения случайной величины X имеет вид:

Вычислить Dx   и x .

Решение: Найдем вначале математическое ожидание случайной величины X:

Mx = .

Вычислим дисперсию Dx :Dx = .

Тогда среднее квадратическое отклонение: Ϭx = Ответ: Dx = 1, Ϭx = 1.

б) Закон распределения случайной величины X имеет вид:

Найти x. Составить функцию распределения. Вычислить: P{X > 0,7} , Mx , Dx и x .

Решение. Согласно условию нормировки имеем уравнение: 0,1   Отсюда x = … 

Далее, воспользовавшись рядом распределения, найдем:

P{X > 0,7} = P {X = 1}P{X = 2} = 0,2 0,7 = … ; Mx =

Dx = ; x = .

Ответ: x = 0,7 ; P{X > 0,7} = 0, 9; Mx Dx ; x

Пример 5. Известно, что случайная величина X, принимающая два значения  x1 = 2 и x2 = 3 , имеет математическое ожидание, равное 2,2. Построить ряд распределения случайной величины X, найти дисперсию, среднее квадратическое отклонение и составить функцию распределения.

Решение. Пусть P{X = 2} = p . Тогда, согласно условию нормировки,P{X = 3} = 1  . Используя определение математического ожидания, получим Mx = 2p . Имеем уравнение 3 , откуда находим p = …  Ряд распределения имеет вид:

Теперь вычислим дисперсию и среднее квадратическое отклонение:

Dx = ; x =  .

Согласно определению функция распределения имеет вид

Fx(x) =

Ответ: Dx ; x =   Fx(x) =

2)Решить задачи ( по примерам):

  1. а) М(Х) = 5, М(Y) = 7, Z = 3X – 2Y, М(Z) = ?

б) D(Х) = 10, D (Y) = 14, Z = 2X + Y, D (Z) = ? D (Х – Y) =?

  1. Найдите числовые характеристики Х и Y:

  1. а) По данным статистического распределения выборки найдите моду М0 :

б) По данным вариационных рядов определить медиану Ме:
1) 12457, 2) 123761, 3) 35621, 4) 2235448997.

  1. a)Закон распределения случайной величины X имеет вид:

Вычислить Dx и x .

б) Закон распределения случайной величины X имеет вид:

Найти x. Составить функцию распределения.
Вычислить: P{X > 0,7} , Mx , Dx и x .

  1. Известно, что случайная величина X, принимающая два значения  x1 = 2 и x2 = 3 , имеет математическое ожидание, равное 2,4. Построить ряд распределения случайной величины X, найти дисперсию, среднее квадратическое отклонение и составить функцию распределения.

3)Решить задачи :

Пусть задан закон распределения случайной величины X:

Найти математическое ожидание.


  1. Найти дисперсию случайной величины X со следующим законом распределения:

    Математическое ожидание и дисперсия СВ Х соответственно равны 0,5 и 5. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины 2X 3 .
  2. Найти математическое ожидание числа очков, выпадающих при бросании игральной кости.

  3. Независимые дискретные случайные величины заданы законами распределения в табличной форме:

    xi

    1

    2

    4


    yi

    0,5

    3

    pi

    0,2

    0,5

    0,3

    pi

    0,4

    0,6

    Найти математическое ожидание случайных величин Z = 2Х + 3Y и  U = 5XY.

    1. Функция распределения ДСВ Х имеет вид

    hello_html_m1caf49ec.png

    Найти: hello_html_16e94671.png

    Инструкционная карта

    ПР № 56 «Решение показательных уравнений и неравенств »(повторение).

    Задание:

    1)Опорный конспект. Перепишите и заполните пропуски:

    Определение. Уравнение вида , где , называется показательным.

    Если

    Способы решения показательных уравнений.

    1. Приравнивание показателей.

    Суть метода:

    1. Уединить слагаемое, содержащее переменную; 
    2. Привести степени к одному основанию;
    3. Приравнять показатели;
    4. Решить полученное уравнение;
    5. Записать ответ.

    Пример:

     

    Ответ: x = 3.

    1. Вынесение общего множителя за скобки.

    Примечание: выносим за скобки множитель с меньшим показателем.

    Пример:



    Ответ: x = 1

    1. Введение новой переменной

    Как правило, уравнения, решаемые этим способом, сводятся к квадратным.

    Пример: 

    Пусть 4x = а тогда уравнение можно записать в виде:

     

    Сделаем обратную замену:

    4x = 4 или 4x = 1;
    х = 1  или х = 0

    Ответ: х = 1 или х = 0

    1. Использование однородности

    Определение Показательные уравнения вида  называются однородными.

    Суть метода: Так как показательная функция не может принимать значение, равное нулю, и обе части уравнения можно делить на  одно и то же не равное нулю число, разделим обе части уравнения, например, на .

    Пример: 2x = 3x

    Разделим обе части уравнения на 

    Ответ: x = 0.

    Определение. Показательным неравенством называется неравенство, в котором переменная содержится в показателе степени.

    Решение простейших показательных неравенств.

    Простейшими считаются показательные неравенства вида: axy,  ax>a.  (ax≤ay, ax≥ay).

    Так же, как и при решении простейших показательных уравнений, одинаковые основания степеней опускают, но знак нового неравенства сохраняют, если функция у=ах является возрастающей (а>1); eсли же показательная функция у=ах убывает (0 меняют на противоположный:

    axy → x1; знак сохранен, так как функция возрастает;

    axy → x>y,  если 0

    ax>ay → x>y, если  a>1; знак сохранен, так как функция возрастает

    ax>ay → x

    Примеры.

    Решить неравенство:

    1) 45-2x<0,25.

    Представим правую часть в виде: 0,25=(25/100)=(1/4)=4-1;

    45-2x<4-1; функция у=4х с основанием 4>1 возрастает на R, поэтому, опуская основания степеней, знак неравенства сохраним:

    5 - 2x< - 1;

    - 2x< - 1 - 5;

    - 2x< - 6  |:(-2) при делении обеих частей неравенства на отрицательное число, знак неравенства меняют на противоположный: x>...

    Ответ: (3; +∞).

    2) 0,42х+1≥0,16.

    Представим число 0,16 в виде степени числа 0,4. Получаем:

    0,42х+1≥0,42; основание степеней – число 0,4 — удовлетворяет условию: 0<0,4<1; поэтому, опускаем основания степеней, а знак неравенства меняем на противоположный:

    2х + 1 ≤ 2;

    2х ≤ 2 - 1;

    2х ≤ 1  |:2

    x ≤ ...

    Ответ: (-∞; 0,5].

    2)Решить задание .

    а. ; б. ;

    в. г.

    2. Решите уравнение:

    3. Найдите сумму корней уравнения


    4. Решите неравенства:

    а.

    б.

    5. Найдите наибольшее целое решение неравенства

    ВАРИАНТ – II

    1. Решите уравнения:

    а. ; б. ;

    в. г.

    2. Решите уравнение:

    3. Найдите сумму корней уравнения

    4. Решите неравенства:

    а.

    б.

    5. Найдите наименьшее целое решение неравенства



    а. ; б. ;

    в. г.

    2. Решите уравнение:

    3. Найдите сумму корней уравнения


    4. Решите неравенства:

    а.

    б.

    5. Найдите наибольшее целое решение неравенства

    ВАРИАНТ – IV

    1. Решите уравнения:

    а. ; б. ;

    в. г.

    2. Решите уравнение:

    3. Найдите сумму корней уравнения

    4. Решите неравенства:

    а.

    б.

    5. Найдите наименьшее целое решение неравенства




    а.;

    б.;

    в. ;

    г. .

    2. Решите уравнение:

    3. Найдите сумму корней уравнения


    4. Решите неравенства:

    а.

    б.

    5. Найдите наибольшее целое решение неравенства


    ВАРИАНТ – VI

    1. Решите уравнения:

    а.;

    б.;

    в. ;

    г. .

    2. Решите уравнение:

    3. Найдите сумму корней уравнения


    4. Решите неравенства:

    а.

    б.

    5. Найдите наименьшее целое решение неравенства



    3)Решить задание и укажите номер правильного ответа(в части А):

    Вариант 1.

    Часть А

    А1. Укажите промежуток, содержащий корень уравнения

    А2. Решите неравенство А3. Решите неравенство

    А4. Решите неравенство

    Часть В.

    В5. Укажите число целых решений неравенства .

    В6. Найдите корни уравнения . Если получили два корня, то в ответе впишите их произведение, если один, то его запишите в ответ.

    В7. Укажите число корней уравнения

    В8. Укажите наибольшее целое число, являющееся решением неравенства

    Часть С.

    С9. Решите уравнение .

    С10. При каких значениях параметра уравнение имеет ровно два различных корня?

    Вариант 2.

    Часть А

    А1. Укажите промежуток, содержащий корень уравнения

    А2. Решите неравенство А3. Решите неравенство А4. Решите неравенство

    Часть В.

    В5. Укажите число целых решений неравенства .

    В6. Решите уравнения . Если получили два корня, то в ответе впишите их произведение, если один, то его запишите в ответ.

    В7. Укажите число корней уравнения

    В8. Укажите число целых решений неравенства

    Часть С.

    С9. Решите уравнение .

    С10. При каких значениях параметра уравнение имеет ровно один корень?




    Инструкционная карта

    ПР № 57 «Решение логарифмических уравнений и неравенств » (повторение).

    1)Опорный конспект.

    Образцы решения логарифмических уравнений и неравенств

    Пример 1. Простейщее логарифмическое уравнение-уравнение видa logax=k.

    Его решение: x=ak.

    Пример 2. Метод потенцирования




    Пример 3. Метод логарифмирования

    х lgх+2= 1000

    Логарифмируя обе части уравнения ( x > 0), получим:

    ( lgx+2)•lgx = lg1000 , lg2 x+ 2lgx – 3 = 0, lgx = y ,

    у2 + 2у – 3=0 , y = – 3, у = 1.

    lgx = – 3, x = 10-3 = 0,001;

    lgx =1, x=10

    Выполнив проверку, убедимся, что оба найденных значения переменной являются корнями данного уравнения.

    Ответ: 0,001; 10.

    Пример 4. Введение новой переменной


    Пример 5. Приведение логарифмов к одному основанию

    Привести логарифмы к одному основанию можно различными способами



    Пример 6. Решение логарифмических неравенств сложнее тем, что необходимо постоянно следить за знаком неравенства: менять или не менять. Ответ на этот вопрос дает свойство логарифмической функции (какое?). Не следует забывать и о допустимых значениях переменных.




    2)Решить задание( по примерам):

    Решите уравнения(1-5), Решите неравенства(6).




    3)Решить задание: Решите уравнения:
    1. -1) = 1 , lg(2 -5х )= 1

    2. = 2 , ,- .

    Решите неравенства:

    1. 1 ,.


    4)Решить задание:

    А) 1 вариант 2 вариант 3 вариант

    1. Решите уравнения:

    log(x2 + 4x – 5) = -4 log7x – 1 = 6 logx 7 logx+5 (-x2 + 60x + 125) = 3.

    2. Решите неравенства:

    log0, 6 (2x – 1) < log0,6 x log(x2+2x-8) ≤-4 log0,99(x2 – 6x) > log0,99(6x + 35).

    3.Решите уравнения:

    a) 2logx – 7logx – 4 = 0 a) lg2x – lg x + 1 = a) 2lg x2 – lg2(-x) = 4

    б) log2x+log8x=8 б) log1-x(3–x)=log3-x(1–x) б)10lgx +9xlg x = 1000

    4.Решите неравенства:

    в) log5(2x+3)> log5(x-1) в) log0,4(5x+1)> log0,4(3-4x) в) log2(7 – x) + log2x ≥ 1 + log23.

    г) log2 < 2 г) log5log> 0 г) logx≥ 0.

    Б) 1 вариант 2 вариант:

    Решите уравнения:

    В) Вариант № 1 Вариант № 2

    Г) Вариант № 1 Вариант № 2

    Решите неравенства:

    6) 3log7x – 2logx7 < 0

    7) (5x – 2)log1,22 – 18log1,22 < 0

    Д) 1)При каком значении р решением неравенства является промежуток?

    неравенства:

    0


    1) log3(x2 + 2x) < log3(2x + p); (0; 2)

    2) Найдите наименьшее целое решение неравенства:

    0



    Инструкционная карта

    ПР № 58 «Решение тригонометрических уравнений» (повторение).

    Задание:

    1)Перепишите и заполните пропуски:

    Пример 1.Решите уравнение sin6xcos3x = 0.

    Решение: sin6x – cos3x = 0 , 2sin3x cos3x – cos3 x = 0 , сos3x(2sin3x – 1)=0 ,

    сos3x = 0 или sin3x = 1/2 .

    3x = π/2 + π k, k , 3x = (– 1) n π/6 + π n, n Z .

    х1= π/6+ π k/3 , k Z, x2 = ( – 1)n π/18+ π n/3 , n Z .

    Ответ: х1= π/6+ π k/3 , k Z; x2 = ( – 1)n π/18+ π n/3 , n Z .

    Пример 2. Решите уравнение ( ctg x – 1) · (2sin + 1) = 0.

    Решение: ( ctg x – 1) · (2sin + 1) = 0,

    ctg x – 1 = 0 или 2sin + 1 = 0,

    ctg x = 1 sin = – 1/2, х/6 = (– 1) n +1 π/6 + π n, n Z,

    х1 = … + π k, k , х2 = (– 1) n +1 … + 2π n, n Z.

    Ответ: х1 = π/4 + π k, k , х2 = (– 1) n +1 π + 6π n, n Z.

    Пример 3. Решите уравнение . Решение: , cos (3x 2x) = , cos x = ,
    x =

    Ответ: x =

    Пример 4. a)Решите уравнение sin2 x + 5sin x – 6 = 0.

    Решение: sin2 x + 5sin x – 6 = 0. Делаем замену  sin x = t, t ,получаем

    квадратное уравнение: t2 + 5t – 6 = 0, 

    D = 52 41 (6 ) = 25 + 24 = …, t 1= ( 5 + 7) : 2 = 2 : 2 = …, t 2 = ( 5 7) : 2 = 12 : 2 = ... замечаем, что t2 = – 6 посторонний корень, поскольку t  ,

    делаем обратную замену, т.е. решаем уравнение sin x = 1 , у которого корнями будут числа

    x = +2πn, nZ .

    Ответ: x = π/2 +2πn, nZ.

    б) Решите уравнение tg2 x 3tg x + 2 = 0.

    Решение: Делаем замену  tg x = t, получаем квадратное уравнение: t2 – 3t + 2 = 0, 

    D = ( 3)2 41 2 = 9 8 = …, t 1= (3 + 1) : 2 = 4 : 2 = …, t 2 = ( 1) : 2 = 2 : 2 = ... делаем обратную замену: tg x = 1, x1 = + πn, nZ  или tg x = 2, x 2= arctg … + πk, kZ .

     Ответ: x1 = π/4 + πn, nZ  , x 2= arctg 2 + πk, kZ .

    Пример 5. Решить уравнение 4 – cos2x = 4 sin x.

    Решение: Вместо cos2x подставим тождественное ему выражение 1 – sin2x . Тогда исходное уравнение примет вид 4 – (1 –sin2x) = 4 sin x, 3 + sin2x = 4 sin x, sin2– 4 sin x + 3 = 0.

    Если положить y = sin x, получим квадратное уравнение y2 – 4y + 3 = 0.

    D = 42 41 3 = 16 12 = …, y 1= (4 + 2) : 2 = 6 : 2 = …, y 2 = (4 2) : 2 = 2 : 2 = ... Значит, исходное уравнение равносильно совокупности уравнений sin x = 1 или  sin x = 3.

    Уравнение sin x = 1 имеет решение . Уравнение sin x = 3 решений не имеет. Ответ: .

    Пример 6. Решите уравнение 6 sin2 x+7 cos x 1= 0 .

    Решение: 6 sin2 x + 7 cos x – 1= 0 .

    Вместо sin2x подставим тождественное ему выражение  1 – cos2x . Тогда исходное уравнение примет вид 6(1 – cos2 x) + 7 cosx – 1= 0; – 6 cos2 x + 7 cos x + 5= 0; 6 cos2 x – 7 cos x – 5= 0;

    Замена cos x = t, |t|≤1, 6t2 – 7t – 5 = 0;D = (7)2 46 () = 49 + 120 = …, t1= (7 – 13) : 12 = , t2 = (7 13) : 12 = . - не удовлетворяет условию |t|≤1;

    Делаем обратную замену cos x = ; x = ±arccos() + 2πk, kZ ,x = ± (π – π/3) + 2πk , kZ,

    x = ± … + 2πk , kZ .

    Ответ: x = ± 2π/3 + 2πk , kZ .

    Пример 7. Решить уравнение .

    Решение: .

    Поделим обе части уравнения на cos x или sin x. Но предварительно надо доказать, что это выражение никогда не обращается в нуль. Предположим, что cos x= 0. Тогда 5sin x2∙0 = 0 , sin x = 0. Получается, что если sin x = 0, то и cos x = 0 , чего быть не может ввиду равенства . Значит можно поделить уравнение на cos x:

    . Получим уравнение 5tg x 2 = 0, tg x = 2/5= 0,4.

    Отсюда .

    Ответ: .

    Пример 8. Решите уравнение 2 sin2 х 3 sinх cos х 5 cos2 х = 0 .

    Решение: 2 sin2 х 3 sinх cos х 5 cos2 х = 0 .

    2 sin2 х 3 sinх cos х 5 cos2х = 0 | : cos2х ≠ 0,

    2 tg 2x 3 tg x 5 = 0, замена tg x = t. , 2 t2 – 3t – 5 = 0,

    D = (3)2 42 (– 5) = 9 + 40 = …, t1= (3 7) : 4 = 4 : 4 = …, t2 = (3 7) : 4 = 10 : 4 = …

    Решением уравнения tg х = 1 являются числа вида х1 = … + πk , k Z.

    Решением уравнение tg х = 2,5 являются числа вида х2 = arctg … + πn, n Z.

    Ответ: х1 = – π/2 + πk , k Z, х2 = arctg 2,5+ πn, n Z.

    2)Решить задание ( по примерам):

    Решить задание ( по примерам):

    1. Решите уравнение sin8xcos4x = 0.

    2. Решите уравнение (2 sin x – ) ·tg x – ) = 0.

    3. Решите уравнение cos 4xcos4x + sin5xsin4x = / 2.

    4. a)Решите уравнение sin2 x + 8sin x – 9 = 0,б) Решите уравнение tg2 x 10tg x + 9 = 0.

    5. Решить уравнение 3 – cos2x = 3 sin x.

    6. Решите уравнение 4 sin2 x + 3 cos x– 3=0 .

    7. Решить уравнение .

    8. Решите уравнение hello_html_4479420f.gif.

    3)Решить задание :

    1. Решить уравнение .

    2. Решите уравнение sin2xcosx = 0.

    3. Решите уравнение (2 cos x – 1)(ctg x – ) = 0.

    4. Решите уравнение ( tg x – 1)(2sin – ) = 0.

    5. Решите уравнение cos 4xcosxsin4xsinx = / 2.

    6. Решите уравнение 2cos(х + π/6) = – .

    7. Решите уравнение 5sin2 x – 7cos x + 1= 0.

    8. Решите уравнение cos 2x = 6cos x – 1.

    9. Решить уравнение : а) ; б) .

    10. Решить уравнение 5 sin x cos x – 3cos2 x = 0.

    11. Решить уравнение 3.

    12. Решите уравнение: .

    13. Решите уравнение: а). б) .

    14. Найдите сумму корней уравнения , принадлежащих промежутку

    15. Решите уравнение .

    16. Решите уравнение .

    17. Решите уравнение .

    18. Решите уравнение .

    19. Решите уравнение

    20. Решить уравнение 4 sin x cos xcos2 x = 0.

    Инструкционная карта

    ПР № 59 «Решение систем уравнений и неравенств» (повторение).

    Задание:

    1)Перепишите и заполните пропуски:

    Пример 1. Решить систему уравнений:  .

    Решение: ,

    Выразим у через х из (2) -го уравнения системы и подставим это значение в (1) -ое уравнение системы. Решаем (2) -ое уравнение полученной системы: 2х+2x+2=10, применяем формулу: ax+y=ax∙ay.

    2x+2x∙22=10, вынесем общий множитель 2х за скобки: 2х · (1+22)=10 или 2х∙5=10, отсюда 2х=2.

    2х=21, отсюда х=... Возвращаемся к системе уравнений. у = х + 1 = 1 + 1 = ...

    Ответ: (1; 2).

    Пример 2. Решить систему уравнений:  .

    Решение: Представляем левую и правую части (1) -го уравнения в виде степеней с основанием 2, а правую часть (2) -го уравнения как нулевую степень числа 5. Если равны две степени с одинаковыми основаниями, то равны и показатели этих степеней — приравниваем показатели степеней с основаниями 2 и показатели степеней с основаниями 5. Получившуюся систему линейных уравнений с двумя переменными решаем методом сложения.

    ,

    Находим х = … и это значение подставляем вместо х во второе уравнение системы, находим у.

    2(2 + у) = 7, 2 + у = 3,5 ; у = … Ответ: (2; 1,5).

    Пример 3. Решить систему уравнений: .

    Решение: ,

    Сделаем замену , .

    Выразим через . Подставим во 2 уравнение. Решим уравнение с переменной .

    . По теореме Виета ,


    Возвращаемся к х, у. , х = 2, у = 1. Ответ: (2; 1).

    Пример 4. Решить систему уравнений:

    Решение: ,

    Подставим из 2 уравнения у в 1, решим с переменной х.

    х· (4х 15) = 4, 4х2 15х 4 = 0. D = 152 4 = 225 64 = .


    По свойству логарифмов х > 0, y > 0, поэтому х = 0,25. Найдем у: у = 4 0,25 15 = 1 + 15 = …

    Ответ: (0,25;16).

    Пример 5. а)Решить систему уравнений:

    Решение: ,

    Решаем способом сложения: 2 = 10, = 5, х = …, у = х21 = 25 21 = …

    Ответ: (25,4).

    б) Решить систему уравнений:

    Решение: ,

    Из 1 уравнения выразим х и подставим во 2: 2х = 5 у, х = 2,5 0,5у,

    , , ,

    , D = ()2 4 = 9 352 =


    О.Д.З. : , у2 не уд. О.Д.З., поэтому

    Ответ: (3;).

    2)Решить задание ( по примерам):

    1. Решить систему уравнений:

    2. Решить систему уравнений: 

    3. Решить систему уравнений:

    4. Решить систему уравнений:

    5. а)Решить систему уравнений:

    б) Решить систему уравнений:

    3)Решить задание:

    1. Найти значение выражения ,если и - решение системы уравнений

    а) ,б) в) г) ,д)

    1. Найти значение выражения ,если и - решение системы уравнений

    а)б) в) г) ,д)

    1. Решить систему уравнений: 

    а) б) в)

    г)д)

    1. Решите систему уравнений , решение принадлежит отрезку [0;2].

    2. Решить систему уравнений:

     а)б)


    Инструкционная карта

    ПР № 60 «Применение производной» (повторение).

    1)Перепишите и заполните пропуски:

    Пример 1. Найдите точки экстремума функции и определите их характер y= x 4 2x2.

    Решение: y = x 4 2x2 , D(y) = R , y = (x 4 2x2) = 4x 3 – 4x, y = 0,

    4x 3 – 4x = 0, 4x(x2 1) = 0, 4x(x1) (x1) = 0,

    x1= 0 или х1=0 или х1=0

    х2 = … х3 =…

    х1= 0, х2 = 1, х3 = – это стационарные точки.


    1 0 1 х

    Функция убывает на ( ;1, на 0; 1. Функция возрастает на 1; 0, на 1; +).

    х3 = …, х2 = … – это точки минимума. х1= … – это точка максимума.

    Ответ: х3 = 1, х2 = 1– это точки минимума, х1= 0 – это точка максимума.

    Пример 2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

    f(х) = x3 - 3x2 - 45x + 225 на отрезке [0; 7].

    Решение:

    f(х) = x3 - 3x2 - 45x + 225

    D(f) = R, функция непрерывна на всей числовой прямой, а значит непрерывна и на [0; 6].

    = 3x2 - 6x – 45, D() = R.

    Производная существует при всех значениях х. Найдем точки, в которых = 0:

    2 45 = 0

    D1 = 144, x1= 3; x2= 5. Отрезку [0; 7] принадлежит лишь точка x2= 5.

    Вычислим значения функции в точках 0;5;7.

    Наибольшим из найденных значений является число 225, наименьшим – число 50.

    Ответ: yнаиб = 225, yнаим= 50.

    Пример 3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции:

    на отрезке .

    Решение: Вычислим значения функции в критических точках, принадлежащих данному отрезку:


     

    Полученное  уравнение имеет два действительных корня:

    х1= 0, х2 = 1 – критические точки. Эти точки принадлежат данному

    отрезку  .
    Вычислим значение функции в этих точках:



    Вычислим значения функции  на концах отрезка:



    Дело сделано, среди чисел выбираем наибольшее и наименьшее.

    Ответ:  

    Пример 4. Требуется огородить проволочной сеткой длиной 60 м прямоугольный участок, прилегающий к стене дома ( черт.). Каковы должны быть длина и ширина участка, чтобы он имел наибольшую площадь?

    Решение: Пусть ширина участка x м, а площадь у м2, тогда:

    y = (60 2x)x = 60x 2

    Значения x и y не могут быть отрицательными, поэтому

    множитель 60 2x > 0, а 0<x<30.

    Площадь y есть функция x, определим промежутки ее возрастания и убывания:

    y' = 60 4x.

    y'>0, и функция возрастает, когда x<15; y<0, и функция убывает, когда x>15.


    Если ширина х

    0


    5


    10


    15


    20


    25


    30


    то площадь y

    0


    250


    400


    450


    400


    250


    0



    Кривая (черт.) поднимается от начала 0 до точки М(х= 15), а затем начинает падать. В точке х= 15 функция имеет наибольшее значение.

    Следовательно, площадь участка наибольшая (максимум),

    если ширина х =15м, а длина 60 2x = 60 30=30 (м).

    Ответ: площадь участка наибольшая, если ширина х =15м, а длина 60 2x = 30 (м).

    Пример 5. Расход горючего легкового автомобиля (литр на 100 км) в зависимости от скорости х км/ч при движении на четвертой передачи приблизительно описывается функцией

    f(x)=0,0017х2 0,18х +10,2; х>30. При какой скорости расход горючего будет наименьший? Найдите этот расход.

    Решение: Исследуем расход горючего с помощью производной: f ′(х)=0,0034х 0,18.

    Тогда f ′(х)=0 при х≈53. Определим знак второй производной в критической точке:

    f ′′(х)=0,0034>0, следовательно, расход горючего при скорости 53 км/ч будет наименьшим.

    f(53)≈5,43 л.

    Ответ: расход горючего при скорости 53 км/ч будет наименьшим,f(53)≈5,43 л.

    Пример 6. Дождевая капля падает под действием силы тяжести; равномерно испаряясь так, что ее масса m изменяется по закону m(t) = 1 2/3t. (m изменяется в граммах, t - в секундах). Через сколько времени после начала падения кинематическая энергия капли будет наибольшей?

    Скорость капли hello_html_4f397535.gif , её кинетическая энергия в момент t равна hello_html_4d66d199.gif

    Исследуем функцию hello_html_22977134.gifна наибольшее с помощью поизводной:hello_html_m28a865a.gif

    hello_html_m2ff21022.gif=0 t1 =0 t2 =1 (t>0)

    hello_html_m647fe01c.gif

    При t =1 функция Ek(t) принимает наибольшее значение, следовательно кинетическая энергия падающей капли будет наибольшей через 1сек.

    Ответ: кинетическая энергия падающей капли будет наибольшей через 1сек.

    Пример 7. Количество электричества, протекающее через проводник, начиная с момента t=0, задается формулой q = 3t2 + t + 2. Найдите силу тока в момент времени t = 3.

    Решение:

    I(t) =q ' (t), q ' (t)= 6t + 1. 6t + 1 = 3 . Отсюда t = 2/3

    Ответ: 2/3.

    Пример 8. Прямоугольный участок площадью 900м² необходимо огородить забором, две смежные стороны которого каменные, а две другие – деревянные. Один погонный метр деревянного забора стоит 10руб., а каменного – 25руб. На строительство забора выделено 2000руб. Хватит ли этой суммы?

    Решение: Пусть xм – ширина участка. Тогда м его длина. Стоимость забора:


    и значит м.

    Посколькупри ипри , то точка наименьшего значения функции. Следовательно, min

    руб.

    Таким образом, для постройки забора не хватит 2000руб.

    Ответ: не хватит

    2)Решить задание:

    1. Найти экстремумы функции f(x)=x32x2 + x + 3, f(x)=ex(5x3).

    2. Найти интервалы возрастания и убывания функции f(x)=x32x2 + x + 3.

    3. Найти наибольшее и наименьшее значение функции f(x) = x3 2x2 + x + 3 на отрезке [0;]

    4. Число 48 представьте в виде суммы трех положительных слагаемых, таким образом, чтобы два из них были равны между собой, а произведение всех слагаемых было наибольшим.

    5. Дана функция f(x) = 3 + 6х2 1. Найдите:

    а) промежутки возрастания и убывания функции;

    б) наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [-3; 0].

    1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции y = f(x) на интервале [a; b] с помощью производной:

    1. Тело движется по закону . Найдите скорость и ускорение тела через 3с. после начала движения.

    2. Число 54 представить в виде суммы трех положительных слагаемых, если известно, что первое слагаемое в 2 раза больше второго. Найти эти слагаемые, зная, что их произведение наибольшее?

    3)Решить задание:

    1. Исследуйте функции на монотонность и экстремумы.

    1. у = х2 – 5х – 1 , 2. у = х4 – 4х3, 3. у = х 3– 12х, 4. у = - х3 – 3х2 ,5. у = , 6. у = .

    1. Исследуйте функции на наибольшее и наименьшее значения.

    1.у = х3 – 3х на [0;3], 2. ,3. , 4. ; .

    1. Требуется огородить прямоугольный участок земли площадью 294 м² и разделить этот земельный участок забором на 2 равные части. При каких линейных размерах участка длина всего забора окажется минимальной?

    2. Разрежьте отрезок длиной 18 см на две части так, чтобы приняв их за катеты, получить прямоугольный треугольник с наименьшей гипотенузой.

    3. Окно имеет форму прямоугольника, периметр которого равен 8 м. Каковы должны быть размеры окна, чтобы оно пропускало наибольшее количество света?

    4. Укажите количество промежутков монотонности функции

    hello_html_18fc7e68.png

    1. Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)=3t2+2t+27, где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t=2c.

    2. Сколько точек максимума имеет эта функция?
    3. Назовите точки минимума функции.

    4. Сколько промежутков возрастания у этой функции?

    5. Найдите длину большего промежутка убывания этой функции.

  4. Найдите точки экстремума функции .

  5. Найдите точки экстремума функции .

  6. Найдите точку минимума функции hello_html_m204bc92b.png.

  7. Найдите точку максимума функции hello_html_5efd696.png.

  8. Найдите наибольшее значение функции hello_html_669d8d60.pngна отрезке hello_html_36cdeee5.png.

  9. Найдите наименьшее значение функции hello_html_2cb80db2.pngна отрезке hello_html_m28f83ac3.png.

  10. Точка движется прямолинейно по закону . Вычислите скорость и ускорение точки при t = 1.

  11. Точка движется прямолинейно по закону . Вычислите скорость и ускорение точки при t = 1.hello_html_mad81e2.gif

  12. По графику функции y = f(x) укажите

а) область определения функции;

б) промежутки монотонности.

  1. Найдите наименьшее значение функции на отрезке hello_html_m306b7b8e.gif;

  2. Найдите промежутки возрастания и убывания функций:

а) б)

в)

  1. Исследуйте функции на монотонность и экстремумы:

а) б) в) г)

д)

  1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке:

а) б)

в) г)

  1. Найдите точку минимума функции:

  2. Тело движется по закону . Найдите скорость и ускорение тела через 3с. после начала движения.

  3. Найдите промежутки монотонности функции и точки экстремума:.

  4. Найдите промежутки монотонности функции и точки экстремума: .

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "УМК для ОМД,1 КУРС (2013-2014)"

Получите профессию

Копирайтер

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ РП ,ОМД ,1курс.doc



Министерство образования и науки Челябинской области Государственное бюджетное образовательное учреждение среднего профессионального образования (среднее специальное учебное заведение) «Чебаркульский профессиональный техникум»













РАБОЧАЯ ПРОГРАММА

УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ

ОДП.01 Математика

основной профессиональной образовательной программы по

специальности среднего профессионального образования

150412. ОБРАБОТКА МЕТАЛЛОВ ДАВЛЕНИЕМ

(профильный уровень подготовки)







Форма обучения – очная Курс обучения – 1





































РАБОЧАЯ ПРОГРАММа УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ

МАТЕМАТИКА



























2013 г.



Рабочая программа учебной дисциплины разработана на основе примерной

программы учебной дисциплины «математика» для специальностей среднего профессионального образования (СПО). Москва, 2008 г.

Организация-разработчик ГБОУ СПО (ССУЗ)

«Чебаркульский профессиональный техникум » г. Чебаркуля .

Разработчик: Зайцева С.Е., преподаватель.
































  1. СОДЕРЖАНИЕ


стр.

  1. ПАСПОРТ РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЫ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ


4

  1. СТРУКТУРА и содержание УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ

7

  1. условия реализации учебной дисциплины

23

  1. Контроль и оценка результатов Освоения учебной дисциплины

24







































1. паспорт рабочей ПРОГРАММЫ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ

МАТЕМАТИКА


1.1. Область применения программы

Программа учебной дисциплины является частью основной профессиональной образовательной программы образовательного учреждения в соответствии с ФГОС по специальности СПО

150412 Обработка металлов давлением.

1.2. Место учебной дисциплины в структуре основной профессиональной образовательной программы:

Учебная дисциплина «Математика» относится к общеобразовательному циклу и изучается как профильный предмет.

1.3. Цели и задачи учебной дисциплины – требования к результатам освоения учебной дисциплины.

Обучающийся должен уметь:

Алгебра:

  • Выполнять арифметические действия, сочетая устные и письменные приемы, применение вычислительных устройств;

  • Решать уравнения и неравенства (линейные, квадратные);

  • Вычислять значения числовых и буквенных выражений, осуществляя необходимые подстановки и преобразования;

  • Находить значения корня натуральной степени, степени с рациональным показателем, логарифма, используя при необходимости вычислительные устройства;

  • Проводить по формулам и правилам преобразования буквенных выражений, включающих степени, радикалы, логарифмы, тригонометрические функции;

  • Строить графики изученных функций;

  • Решать показательные и логарифмические уравнения и неравенства; простейшие иррациональные и тригонометрические уравнения;

Начала математического анализа:

  • Вычислять производные и первообразные элементарных функций, используя справочные материалы;

  • Исследовать в простейших случаях функции на монотонность, находить наибольшие и наименьшие значения функций; строить графики многочленов с использованием аппарата математического анализа;

  • Вычислять в простейших случаях площади и объемы с использованием определенного интеграла;

Геометрия:

  • Распознавать на чертежах и моделях пространственные формы; соотносить объекты с их описаниями, изображениями;

  • Описывать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве ;

  • Изображать основные многогранники и круглые тела;

  • Решать планиметрические и простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов);

  • Использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы;

Комбинаторика, статистика и теория вероятностей:

  • Решать простейшие комбинаторные задачи методом перебора, а также с использованием формул;

  • Вычислять в простейших случаях вероятности событий на основе подсчета числа исходов;

  • Использовать приобретенные знания и умения для анализа числовых данных, представленных в виде таблиц, диаграмм;





Обучающийся должен знать:

Алгебра:

  • Выполнение арифметических действий, сочетая устные и письменные приемы, применение вычислительных устройств;

  • Решение уравнений и неравенств (линейных, квадратных);

  • Вычисление значений числовых и буквенных выражений, осуществляя необходимые подстановки и преобразования;

  • Нахождение значений корня натуральной степени, степени с рациональным показателем, логарифма, используя при необходимости вычислительные устройства;

  • Преобразования буквенных выражений, включающих степени, радикалы, логарифмы, тригонометрические функции;

  • Построение графиков изученных функций;

  • Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств; простейших иррациональных и тригонометрических уравнений;

Начала математического анализа:

  • Вычисление производных и первообразных элементарных функций, используя справочные материалы;

  • Исследование в простейших случаях функций на монотонность, нахождение наибольших и наименьших значений функций; построение графиков многочленов с использованием аппарата математического анализа;

  • Вычисление в простейших случаях площадей и объемов с использованием определенного интеграла;

Геометрия:

  • Распознавание на чертежах и моделях пространственных форм; соотношение объектов с их описанием, изображением;

  • Описание взаимного расположения прямых и плоскостей в пространстве ;

  • Изображение основных многогранников и круглых тел ;

  • Решение планиметрических и простейших стереометрических задач на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов);

  • Использование при решении стереометрических задач планиметрических фактов и методов;

Комбинаторика, статистика и теория вероятностей:

  • Решение простейших комбинаторных задач методом перебора, а также с использованием формул;

  • Вычисление в простейших случаях вероятности событий на основе подсчета числа исходов;

  • Использование приобретенных знаний и умений для анализа числовых данных, представленных в виде таблиц, диаграмм;


  • Значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике; широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе;

  • Значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии;

  • Универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности;





















1.4. Количество часов на освоение рабочей программы учебной дисциплины:



максимальная учебная нагрузка обучающегося 433 час, в том числе:

обязательная аудиторная учебная нагрузка обучающегося 290 часа;

самостоятельная работа обучающегося 143 часов.











































2. СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ


2.1. Объем учебной дисциплины и виды учебной работы





Самостоятельная работа над курсовой работой (проектом) (если предусмотрено)

не предусмотрено

Составление опорного конспекта

Типовой расчет

Решение теста

Составление криптограмм, кроссворда

50

64

24

5

Итоговая аттестация в форме письменного экзамена.















2.2. Тематический план и содержание учебной дисциплины «математика».

Объем часов


Уровень освоения

1

2

3

4

Тема 1.







Параллельность прямых и плоскостей в пространстве.

Содержание учебного материала

27

2


Повторение основных понятий планиметрии:

12

1.

Введение.


2.

Прямоугольные треугольники. Теорема Пифагора.


3.

Теорема косинусов, синусов.


4.

Параллелограмм, ромб. Прямоугольник, квадрат, трапеция.


5.

Правильные многоугольники.


6.

Формулы площадей фигур. Окружность и круг.



Аксиомы стереометрии:

2


7.

Основные понятия стереометрии. Аксиомы стереометрии.


2

8.

Некоторые следствия из аксиом.



Параллельность прямых и плоскостей в пространстве:

13


9.

Параллельность прямых: определение параллельных прямых, свойства (лемма, теоремы)


2

10.

Параллельность прямых и плоскостей: взаимное расположение прямой и плоскости, определение параллельности, признак параллельности.


11.

Взаимное расположение прямых в пространстве: расположение прямых в пространстве, скрещивающиеся прямые, признак скрещивающихся прямых.

Угол между двумя прямыми.


12.

Параллельность плоскостей: определение параллельности, признак параллельности, свойства параллельных плоскостей.


13.

Тетраэдр и параллелепипед: определение элементов тетраэдра и параллелепипеда, их свойства. Построение сечений: определение секущей плоскости, виды сечений тетраэдра и параллелепипеда.


14.

Параллельное проектирование: определение параллельного проектирования, его свойства.

Изображение пространственных фигур: параллельная проекция фигуры, плоскость изображения, изображение плоских фигур, изображение пространственных фигур.


Лабораторные работы

-


Практические занятия:

  1. Вычисление катетов, гипотенузы прямоугольного треугольника по теореме Пифагора. Решение треугольников.

  2. Построение четырехугольников и вычисление их элементов. Вычисление элементов правильных многоугольников.

  3. Вычисление площадей фигур.

  4. Построение параллельных прямых и расчет углов. Доказательство параллельности прямых и плоскостей.

  5. Определение взаимного расположения прямых в пространстве. Построение параллельных плоскостей.

  6. Построение сечений тетраэдра и параллелепипеда. Изображение пространственных фигур.

12

Зачет №1 «Планиметрия»

1

Контрольная работа №1 «Нулевой срез».

1

Контрольная работа №2 «Параллельность прямых и плоскостей».

1

Самостоятельная работа обучающихся:

  1. Составление опорного конспекта «Треугольники».

  2. Типовой расчет по теме «Решение треугольников».

  3. Составление опорного конспекта «Четырехугольники».

  4. Решение теста по теме «Планиметрия».

  5. Составление опорного конспекта «Параллельность прямых и плоскостей».

  6. Типовой расчет по теме «Параллельность плоскостей».

  7. Типовой расчет по теме «Параллельность прямых и плоскостей».

14

Тема 2.












Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве.
















Содержание учебного материала

15


1.

Перпендикулярность прямых: определение и лемма.


2

2.

Перпендикулярность прямой и плоскости: определение перпендикулярности прямой и плоскости, теоремы, признак перпендикулярности прямой и плоскости.


3.

Перпендикуляр и наклонная: определение перпендикуляра и наклонной; определение расстояния от точки до плоскости, определение между параллельными плоскостями, определение между параллельными прямой и плоскостью, определение между скрещивающимися прямыми; теорема о 3-х перпендикулярах.


4.

Двугранный угол: определение двугранного угла, определение линейного угла двугранного угла, определение градусной меры двугранного угла, виды двугранных углов, определение угла между прямой и плоскостью.

Угол между плоскостями.


5.

Перпендикулярность плоскостей: определение перпендикулярности плоскостей, признак перпендикулярности плоскостей, следствие из признака.


6.

Прямоугольный параллелепипед: определение прямоугольного параллелепипеда, его свойства, теорема о диагонали прямоугольного параллелепипеда, определение куба.


Лабораторные работы

-


Практические занятия:

  1. Перпендикулярность прямых. Перпендикулярность прямой и плоскости .

  2. Вычисление перпендикуляра и наклонной. Вычисление угла между плоскостями.

  3. Построение перпендикулярных плоскостей. Вычисление элементов прямоугольного параллелепипеда.

6

Контрольная работа №3 «Перпендикулярность прямых и плоскостей».

1

Самостоятельная работа обучающихся:

  1. Составление опорного конспекта «Перпендикулярность прямых, прямой и плоскости». 

  2. Типовой расчет по теме «Перпендикуляр и наклонная».

  3. Составление опорного конспекта «Перпендикулярность плоскостей».

  4. Типовой расчет по теме «Прямоугольный параллелепипед».

  5. Решение теста по теме «Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве» .

10

Тема 3.






Многогранники. Площадь их поверхностей.

Содержание учебного материала

15


1.

Многогранники: понятие многогранника, элементы многогранника.


2

2.

Призма: определение, описание элементов (вершины, ребра, грани, высота).


3.

Прямая и наклонная призмы: определение, описание элементов (вершины, ребра, грани, высота).


4.

Правильная призма: определение, описание элементов (вершины, ребра, грани, высота, формулы для вычисления площади боковой поверхности, полной поверхности).


5.

Пирамида: определение, описание элементов (вершины, ребра, грани, высота, апофема), свойства.



6.

Правильная пирамида: определение, описание элементов (вершины, ребра, грани, высота, апофема), свойства, формулы для вычисления площади боковой поверхности, полной поверхности.



7.

Усеченная пирамида: определение, описание элементов (вершины, ребра, грани, высота, апофема), свойства, формулы для вычисления площади боковой поверхности, полной поверхности.



8.

Симметрия в пространстве: симметрия относительно точки, симметрия относительно прямой, симметрия относительно плоскости.

Правильные многогранники: понятие правильного многогранника, описание элементов каждого.


9.

Элементы симметрии правильных многогранников: центр, ось, плоскость.


Лабораторные работы

-


Практические занятия:

  1. Построение многогранников. Вычисление элементов призмы.

  2. Вычисление элементов пирамиды, правильной пирамиды, усечённой пирамиды.

  3. Вычисление элементов правильных многогранников. Построение фигур с помощью симметрии.

6

Контрольная работа №4 «Многогранники».

1

Самостоятельная работа обучающихся:

  1. Составление опорного конспекта «Виды пирамид».

  2. Типовой расчет по теме «Пирамида».

  3. Составление опорного конспекта «Правильные многогранники».

  4. Типовой расчет по теме «Усеченная пирамида».

  5. Решение теста по теме «Многогранники». 

10


Тема 4.







Тела вращения. Площади их поверхностей.

Содержание учебного материала

21


1.

Цилиндр: определение, описание элементов (основание , образующая, ось, радиус, высота, боковая поверхность, осевое сечение ) .

Площадь поверхности цилиндра: развертка боковой поверхности, формулы для вычисления площади боковой поверхности, полной поверхности.


2

2.

Конус: определение, описание элементов (основание , вершина, образующая, ось, радиус, высота, боковая поверхность, осевое сечение ) .

Площадь поверхности конуса: развертка боковой поверхности, формулы для вычисления площади боковой поверхности, полной поверхности.

Усеченный конус: определение, описание элементов (нижнее и верхнее основания, образующая, радиусы нижнего и верхнего оснований, высота, боковая поверхность, осевое сечение).


3.

Сфера и шар: определение сферы и шара, центр, радиус и диаметр сферы. Уравнение сферы. Взаимное расположение сферы и плоскости.


4.

Касательная плоскость к сфере: определение , свойства (теоремы).

Площадь сферы: вписанный и описанный многогранники, формула площади. Вписанные и описанные тела вращения.


Лабораторные работы

-


Практические занятия:

  1. Вычисление элементов цилиндра. Расчет по модели площади цилиндра.

  2. Вычисление элементов конуса, усеченного конуса. Расчет по модели площади конуса.

  3. Вычисление элементов сферы. Составление уравнения сферы.

  4. Вычисление элементов сферы. Касательная плоскость к сфере.

  5. Вычисление площади сферы. Вычисление элементов тел вращения.

10

Контрольная работа №5 « Тела вращения».

1

Самостоятельная работа обучающихся:

  1. Составление опорного конспекта «Цилиндр» .

  2. Типовой расчет по теме «Цилиндр».

  3. Типовой расчет по теме «Конус».

  4. Типовой расчет по теме «Уравнение сферы».

  5. Решение теста по теме «Тела вращения».

10

Тема 5.









Объёмы тел.

Содержание учебного материала

25

1.

Понятие объёма: единицы измерения, свойства объёма.

Объём прямоугольного параллелепипеда: измерения прямоугольного параллелепипеда, теорема о нахождении объёма прямоугольного параллелепипеда, следствие из нее.


2

2.

Объём прямой призмы: теорема о нахождении объёма треугольной и произвольной призмы. Объём наклонной призмы: теорема о нахождении объёма треугольной и произвольной призмы.


3.

Объём цилиндра: теорема о нахождении объёма.Объём пирамиды: теорема о нахождении объёма треугольной и произвольной пирамиды, объём усеченной пирамиды (следствие). Объём конуса: теорема о нахождении объёма конуса, объём усеченного конуса (следствие).


4.

Объём шара: теорема о нахождении объёма. Объём сегмента, слоя, сектора шара: определение шарового сегмента, слоя, сектора , формулы для нахождения объёма сегмента, слоя, сектора. Решение задач по теме: «Объём цилиндра». Решение задач по теме: «Объём конуса».


Лабораторные работы

-


Практические занятия:

  1. Расчет по модели объёма прямоугольного параллелепипеда.

  2. Вычисление объёма прямой призмы. Расчет по модели объёма призмы.

  3. Вычисление объёма цилиндра. Вычисление объёма пирамиды.

  4. Расчет по модели объёма конуса.

  5. Вычисление объёма шара. Расчет объёмов сегмента, слоя, сектора шара.

  6. Вычисление объёма цилиндра. Вычисление объёма конуса. Вычисление объёмов тел.

12

Контрольная работа №6 «Объёмы тел ».

1

Самостоятельная работа обучающихся:

  1. Типовой расчет по теме «Объём прямоугольного параллелепипеда».

  2. Типовой расчет по теме «Расчет объёма прямой и наклонной призмы».

  3. Типовой расчет по теме «Объём цилиндра».

  4. Типовой расчет по теме «Объём конуса».

  5. Типовой расчет по теме «Объём сегмента, слоя, сектора шара».

  6. Составление опорного конспекта «Расчет объёмов тел».

  7. Решение теста по теме «Объёмы тел».

  8. Составление кроссворда по теме «Тела вращения».

16

Тема 6.





Координаты и векторы.

Содержание учебного материала

16


1.

Понятие вектора: определение, длина и направление вектора. Равенство векторов.

Сложение и вычитание векторов: определение, свойства, построение, сложение нескольких векторов.


2

2.

Умножение вектора на число: определение, свойства.

Компланарные векторы: определение, разложение вектора по координатным векторам, его коэффициенты, теорема о разложении вектора по 3 некомпланарным векторам.


3.

Прямоугольная система координат в пространстве: определение, построение, абсцисса, ордината, аппликата точки.


4.

Координаты вектора: определение, свойства.

Простейшие задачи в координатах: нахождение координат середины отрезка, вычисление длины вектора по его координатам, нахождение расстояния между двумя точками.


5.

Угол между векторами. Скалярное произведение векторов: определение, свойства, переместительный, сочетательный и распределительный закон; вычисление углов между прямыми и плоскостями.


Лабораторные работы

-


Практические занятия :

  1. Понятие вектора. Равенство векторов. Сложение и вычитание векторов.

  2. Умножение вектора на число. Вычисление координат векторов.

  3. Решение задач в координатах.


6

Зачет №2 «Стереометрия»

1

Контрольная работа №7 « Координаты и векторы».

1

Самостоятельная работа обучающихся:

  1. Составление опорного конспекта «Умножение вектора на число» .

  2. Составление опорного конспекта «Прямоугольная система координат в пространстве».

  3. Типовой расчет по теме «Простейшие задачи в координатах».

  4. Типовой расчет по теме «Скалярное произведение векторов».

  5. Решение теста по теме «Координаты и векторы». 


10

Тема 7.

Развитие понятия о числе. Функции.

Содержание учебного материала

28

1.

Целые числа.


2

2.

Рациональные числа.


3.

Модуль числа. Сравнение чисел..


4.

Степень числа и ее свойства.


5.

Пропорция. Основное свойство пропорции.   Прямая и обратная пропорциональная зависимость величин.        


6.

Квадратные корни и их преобразование.


7.

Проценты.


8.

Уравнения. Неравенства.


9.

Решение систем уравнений и неравенств.


10.

Формулы сокращенного умножения.


11.

Функция, график и её свойства. Способы задания функций. Область определения и множество значений функции.


Лабораторные работы

-


Практические занятия :

  1. Целые и рациональные числа. Техника умножения и деления чисел.

  2. Степень числа и ее свойства.

  3. Решение пропорций. Решение задач с помощью пропорций.

  4. Вычисление квадратных корней. Решение задач на проценты.

  5. Решение квадратных уравнений. Решение неравенств.

  6. Решение систем уравнений и неравенств. Вычисления по  формулам сокращенного умножения.

12

Контрольная работа №8«Пропорция. Проценты ».   

Контрольная работа №9 «Уравнения. Многочлены».

2

Самостоятельная работа обучающихся:

  1. Составление опорного конспекта « Степень числа и ее свойства».

  2. Составление опорного конспекта «Пропорция».

  3. Решение криптограмм по теме «Уравнения».

  4. Типовой расчет по теме «Решение систем уравнений и неравенств».

  5. Составление опорного конспекта «Функция, график и её свойства».


10

Тема 8.





Обобщение понятия степени.

Содержание учебного материала

6


1.

Понятие о корне n-й степени: ариф. корень, извлечение корня n-й степени, его свойства.


2

2.

Степень с рациональным, действительным показателем, ее свойства: определение, теоремы.


3.

Свойства и график степенной функции: определение, разные случаи в зависимости от показателя степени.


4.

Иррациональные уравнения: равносильные уравнения и неравенства; решение иррациональных уравнений.


Лабораторные работы

-


Практические занятия:

  1. Решение иррациональных уравнений.

2

Самостоятельная работа обучающихся:

  1. Решение теста по теме «Степень с рациональным, действительным показателем, ее свойства».

  2. Составление опорного конспекта «Свойства и график степенной функции» .

  3. Типовой расчет по теме «Иррациональные уравнения». 

6

Тема 9. Показательная и логарифмическая функции.

Содержание учебного материала

16


1.

Показательная функция: определение, свойства и график.


2

2.

Показательные уравнения. Показательные неравенства: решение по определению и с преобразованиями, определение знака неравенства.


3.

Логарифм числа. Свойства логарифмов: определение логарифма и его свойства(умножение, деление, степень ); десятичные и натуральные логарифмы.

Логарифмическая функция, её свойства и график.


4.

Логарифмические уравнения: решение по определению и с преобразованиями.


5.

Логарифмические неравенства: решение по определению и с преобразованиями, определение знака неравенства.


6.

Системы показательных и логарифмических уравнений.


Лабораторные работы

-


Практические занятия:

  1. Решение показательных уравнений и неравенств.

  2. Вычисление логарифмов.

  3. Решение логарифмических уравнений и неравенств.

6

Зачет №3 «Показательная функция».

1

Контрольная работа №10 «Показательная и логарифмическая функции».

1

Самостоятельная работа обучающихся:

  1. Составление опорного конспекта «Показательная функция, ее свойства и график».

  2. Типовой расчет по теме «Решение показательных и логарифмических уравнений». 

  3. Составление опорного конспекта «Логарифмическая функция, ее свойства и график».

  4. Типовой расчет по теме «Решение логарифмических уравнений и неравенств» .

  5. Решение теста по теме «Показательная и логарифмическая функции».

10

Тема 10.

Преобразование тригонометрических выражений.

Содержание учебного материала

13


1.

Соотношения между радианной и градусной мерой угла: определение радиана, переход из одной в другую меру; поворот точки вокруг начала координат.


2

2.

Синус, косинус, тангенс числового аргумента, их знаки: определение, формулы и таблица для вычисления их значения.


3.

Тригонометрические тождества. Синус, косинус и тангенс углов α и - α .


4.

Формулы сложения. Синус, косинус и тангенс двойного и половинного угла: формулы и таблицы для вычисления их значения.


5.

Формулы приведения. Сумма и разность синусов и косинусов: формулы и таблицы для вычисления их значения.


Лабораторные работы

-


Практические занятия:

  1. Перевод из одной меры угла в другую. Вычисление синуса, косинуса, тангенса угла.

  2. Вычисление синуса, косинуса, тангенса углов α и - α. Вычисление значения тригонометрических функций по формулам сложения.

  3. Вычисление значения тригонометрических функций двойного и половинного угла.

6

Зачет №4 « Тригонометрические преобразования».

1

Самостоятельная работа обучающихся:

  1. Составление опорного конспекта «Синус, косинус, тангенс числового аргумента, их знаки» .

  2. Составление опорного конспекта «Преобразование тригонометрических выражений».

  3. Типовой расчет по теме «Формулы сложения». 

  4. Типовой расчет по теме «Синус, косинус и тангенс двойного и половинного угла».

8

Тема 11.

Решение тригонометрических уравнений.

Содержание учебного материала

13


1.

Уравнение cos x = a : арккосинус числа, формулы для его решения, частные случаи.


2

2.

Уравнение sin x = a : арксинус числа, формулы для его решения, частные случаи.


3.

Уравнение tg x = a : арктангенс числа , формулы для его решения.



4.

Решение тригонометрических уравнений заменой переменной: виды уравнений и способы их решения.



5.

Решение тригонометрических уравнений способом деления: виды уравнений и способы их решения.


6.

Простейшие тригонометрические неравенства.


Лабораторные работы

-


Практические занятия:

  1. Решение уравнений cos x = a, sin x = a, tg x = a.

  2. Решение тригонометрических уравнений заменой переменной.

  3. Решение тригонометрических уравнений способом деления.

6

Зачет №5 «Решение тригонометрических уравнений».

1

Самостоятельная работа обучающихся:

  1. Типовой расчет по теме «Решение простейших тригонометрических уравнений». 

  2. Типовой расчет по теме «Решение тригонометрических уравнений».

  3. Решение теста по теме «Решение тригонометрических уравнений».

6

Тема 12.


Свойства и график тригонометрических функций.

Содержание учебного материала

11


1.

Область определения и множество значений тригонометрических функций.


2

2.

Четность, нечетность, периодичность тригонометрических функций.


3.

Свойства и график функций у= cos x, у= sin x, у= tg x.


4.

Свойства и график обратных тригонометрических функций.



Лабораторные работы

-


Практические занятия:

  1. Вычисление множества значений тригонометрических функций по формулам.

  2. Построение графиков тригонометрических функций.

4

Контрольная работа №11«Тригонометрические функции».

1

Самостоятельная работа обучающихся:

  1. Типовой расчет по теме «Область определения и множество значений тригонометрических функций».

  2. Составление опорного конспекта «Свойства и график функций

у= cos x, у= sin x, у= tg x».

  1. Решение теста по теме «Свойства и график тригонометрических функций» .

6

Тема 13. Производная.

Содержание учебного материала

13


1.

Последовательности.


2

2.

Производная. Производная степенной функции: формулы для нахождения производных.


3.

Правила дифференцирования. Производные некоторых элементарных функций: формулы для нахождения производных.


Лабораторные работы

-


Практические занятия:

  1. Вычисление производных по правилам дифференцирования.

  2. Вычисление производных элементарных функций.

4

Контрольная работа №12 «Производная ».

1

Самостоятельная работа обучающихся:

  1. Составление опорного конспекта «Правила дифференцирования».

  2. Типовой расчет по теме «Правила дифференцирования».

  3. Типовой расчет по теме «Производная».

6

Тема 14.

Геометрический смысл производной. Применение производной к исследованию функций.

Содержание учебного материала

21


1.

Геометрический смысл производной.Уравнение касательной к графику функции. Метод интервалов: разные виды неравенств и их решение с помощью метода интервалов.


2

2.

Признак возрастания и убывания функции.

Экстремумы функции: стационарные и критические точки, теоремы.


3.

Применение производной к построению графиков функций: алгоритм построения.


4.

Нахождения наибольшего и наименьшего значения функции: алгоритм решения. Нахождения наибольшего и наименьшего значения функции в текстовых задачах.


5.

Вторая производная: точки перегиба, выпуклость графика функции.


Лабораторные работы

-


Практические занятия:

  1. Вычисление угловых коэффициентов. Составление уравнения касательной к графику функции.

  2. Решение неравенств с помощью метода интервалов. Определить промежутки возрастания и убывания функции. Нахождение экстремумов функции.

  3. Построение графиков функций с использованием производной.

  4. Нахождения наибольшего и наименьшего значения функции.

  5. Нахождения наибольшего и наименьшего значения функции в задачах.


10

Контрольная работа №13 «Применение производной ».

1

Самостоятельная работа обучающихся:

  1. Составление опорного конспекта «Геометрический смысл производной».

  2. Составление опорного конспекта «Метод интервалов».

  3. Типовой расчет по теме «Экстремумы функции». 

  4. Типовой расчет по теме «Нахождения наибольшего и наименьшего значения функции». 

8

Тема15.

Первообразная.

Содержание учебного материала

9


1.

Первообразная. Правила нахождения первообразных: составление таблицы первообразных.


2

2.

Площадь криволинейной трапеции и интеграл: определение и свойства.

Вычисление интегралов: формула Ньютона- Лейбница.


3.

Вычисление площадей с помощью интегралов: разные случаи.


4.

Применение производной к решению практических задач: простейшие диф. уравнения, гармонические колебания, примеры из физики.


Лабораторные работы

-


Практические занятия:

  1. Вычисление первообразных элементарных функций, используя справочные материалы.

  2. Вычисление интегралов. Вычисление площадей с помощью интегралов.


4

Контрольная работа №14 «Первообразная ».

1

Самостоятельная работа обучающихся:

  1. Составление опорного конспекта «Первообразная».

  2. Типовой расчет по теме «Вычисление площадей с помощью интегралов». 

  3. Решение теста по теме «Первообразная».

6

Тема 16.

Элементы комбинаторики и теории вероятностей.

Содержание учебного материала

9


1.

Основные понятия комбинаторики. Задачи на подсчет числа размещений, перестановок, сочетаний.


2

2.

Задачи на перебор вариантов. Формула бинома Ньютона.


3.

Событие, вероятность наступления события.


4.

Сложение и умножение вероятностей.


5.

Дискретная случайная величина, ее числовые характеристики.


6.

Представление данных, генеральная совокупность, выборка, среднее арифметическое, медиана.


Лабораторные работы

-


Практические занятия:

  1. Решение задач на подсчет числа размещений, перестановок, сочетаний.

Решение задач на перебор вариантов.

  1. Вычисление числовых характеристик дискретной случайной величины.

4

Зачет №6 «Элементы комбинаторики и теории вероятностей ».

1

Самостоятельная работа обучающихся:

  1. Составление опорного конспекта по теме «Основные понятия комбинаторики».

  2. Типовой расчет по теме «Элементы комбинаторики и теории вероятностей».

  3. Решение теста по теме «Элементы комбинаторики и теории вероятностей».

6

Тема 17.

Обобщающее повторение.

Содержание учебного материала

12


1.

Уравнения: Решение показательных уравнений. Решение логарифмических уравнений. Решение тригонометрических уравнений.


2

2.

Неравенства. Решение показательных неравенств.

Решение логарифмических неравенств.


3.

Способы решения систем уравнений и неравенств.


4.

Производная. Применение производной.


Лабораторные работы

-


Практические занятия:

  1. Решение показательных уравнений и неравенств.

  2. Решение логарифмических уравнений и неравенств .

  3. Решение тригонометрических уравнений.

  4. Решение систем уравнений и неравенств.

  5. Применение производной.

10

Самостоятельная работа обучающихся:

  1. Составление кроссворда по теме «Алгебра и начала анализа» .

1

Всего:

Содержание учебного материала (включая контр.работы и зачеты)

Практические занятия

Самостоятельная работа обучающихся

290

120

143



Для характеристики уровня освоения учебного материала использованы следующие обозначения:

1 – ознакомительный (узнавание ранее изученных объектов, свойств); 2 – репродуктивный (выполнение деятельности по образцу, инструкции или под руководством); 3 – продуктивный (планирование и самостоятельное выполнение деятельности, решение проблемных задач)


  1. 3. условия реализации УЧЕБНОЙ дисциплины


3.1.Требования к минимальному материально-техническому обеспечению


Реализация учебной дисциплины требует наличия учебного кабинета математики; лабораторий - нет.

Оборудование учебного кабинета: рабочее место преподавателя, рабочие места обучающихся; комплект учебно-наглядных пособий; объемные модели тел; комплект учебно-методической документации; комплект плакатов.

3.2. Информационное обеспечение обучения

Основные источники:

  1. Алгебра и начала анализа 10-11 кл. Ш.А.Алимов и др. М., «Просвещение», 2009 г.

  2. Геометрия 10-11 кл. Л.С. Атанасян. М., «Просвещение»,2011 г.


Дополнительные источники:

  1. Алгебра и начала математического анализа 10-11 кл. Колмогоров А.Н. и др. М., «Просвещение»,2009г.

  2. Алгебра и начала математического анализа 10-11 кл. Башмаков М.И. М., «Дрофа»,2009г.

  3. Геометрия 10-11 кл. Потоскуев Е.В., Звавич Л.И. М., «Просвещение», 2009г.

  4. Алгебра. Сборник заданий для подготовки к итоговой аттестации в 9 кл. Л.В.Кузнецова и др., М., «Просвещение»,2009 г.

  5. Математика. Сборник заданий для 11 кл. Г.В Дорофеев и др., М., «Дрофа»,2009 г.


Интернет-ресурсы:

  1. http://www.mathedu.ru/

  2. http://www.onecomplex.ru/

  3. http //matemonline.com/wp-content/uploads

  4. Cайты «Энциклопедий», например: http://www.rubricon.ru/; http://www.encyclope.com

  5. Новые технологии в образовании: http://edu.secna.ru/main/ http://festival.1september.ru

  6. http://www.fxyz.ru

  7. http://referat.ru

  8. http://spishy.ru















  1. 4. Контроль и оценка результатов освоения УЧЕБНОЙ Дисциплины

  2. Контроль и оценка результатов освоения учебной дисциплины осуществляется преподавателем в процессе проведения практических занятий и лабораторных работ, тестирования, а также выполнения обучающимися индивидуальных заданий, проектов, исследований.

Результаты обучения


Формы и методы контроля и оценки результатов обучения

Освоенные умения


Распознавать на чертежах и моделях пространственные формы; соотносить объекты с их описаниями, изображениями;

оценка деятельности учащегося на практических занятиях


Описывать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве;

Изображать основные многогранники и круглые тела;

Решать планиметрические и простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов); Использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы;

Выполнять арифметические действия, сочетая устные и письменные приемы, применение вычислительных устройств;

Вычислять значения числовых и буквенных выражений, осуществляя необходимые подстановки и преобразования;

Оценка деятельности учащегося на практических занятиях.

Оценка устного ответа.

Тестирование.

Контрольная работа.

Решать уравнения и неравенства (линейные, квадратные);

Тестирование. Контрольная работа.

Находить значения корня натуральной степени, степени с рациональным показателем, логарифма, используя при необходимости вычислительные устройства;

Оценка реферата, выполненного учащимся. Оценка деятельности учащегося на практических занятиях. Контрольная работа.

Проводить по формулам и правилам преобразования буквенных выражений, включающих степени, радикалы, логарифмы, тригонометрические функции; Строить графики изученных функций;

Оценка реферата, выполненного учащимся. Оценка деятельности учащегося на практических занятиях. Контрольная работа.

Вычислять производные и первообразные элементарных функций, используя справочные материалы;

Исследовать в простейших случаях функции на монотонность, находить наибольшие и наименьшие значения функций; строить графики многочленов с использованием аппарата математического анализа;

Вычислять в простейших случаях площади и объемы с использованием определенного интеграла;

Оценка устного ответа.

Оценка реферата, выполненного учащимся. Оценка деятельности учащегося на практических занятиях.

Тестирование.

Контрольная работа.

Решать показательные и логарифмические уравнения и неравенства; простейшие иррациональные и тригонометрические уравнения;

Тестирование.

Контрольная работа.

Решать простейшие комбинаторные задачи методом перебора, а также с использованием формул;

Вычислять в простейших случаях вероятности событий на основе подсчета числа исходов;

Использовать приобретенные знания и умения для анализа числовых данных, представленных в виде таблиц, диаграмм;

Оценка устного ответа.

Оценка реферата, выполненного учащимся. Оценка деятельности учащегося на практических занятиях. Тестирование.

Контрольная работа.

Усвоенные знания


Выполнение арифметических действий, сочетая устные и письменные приемы, применение вычислительных устройств; Решение уравнений и неравенств (линейных, квадратных);

Вычисление значений числовых и буквенных выражений, осуществляя необходимые подстановки и преобразования;

Нахождение значений корня натуральной степени, степени с рациональным показателем, логарифма, используя при необходимости вычислительные устройства;

Преобразования буквенных выражений, включающих степени, радикалы, логарифмы, тригонометрические функции;

Построение графиков изученных функций;

Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств; простейших иррациональных и тригонометрических уравнений;

Оценка устного ответа.

Оценка деятельности учащегося на практических занятиях.

Оценка реферата, выполненного учащимся.

Тестирование.

Контрольная работа.


Вычисление производных и первообразных элементарных функций, используя справочные материалы;

Исследование в простейших случаях функций на монотонность, нахождение наибольших и наименьших значений функций; построение графиков многочленов с использованием аппарата математического анализа;

Вычисление в простейших случаях площадей и объемов с использованием определенного интеграла;

Оценка устного ответа.

Оценка реферата, выполненного учащимся.

Оценка деятельности учащегося на практических занятиях.

Тестирование.

Контрольная работа.

Распознавание на чертежах и моделях пространственных форм; соотношение объектов с их описанием, изображением;


Описание взаимного расположения прямых и плоскостей в пространстве ;

Изображение основных многогранников и круглых тел ;

Решение планиметрических и простейших стереометрических задач на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов);

Использование при решении стереометрических задач планиметрических фактов и методов;

Оценка деятельности учащегося на практических занятиях.


Решение простейших комбинаторных задач методом перебора, а также с использованием формул;

Вычисление в простейших случаях вероятности событий на основе подсчета числа исходов;

Использование приобретенных знаний и умений для анализа числовых данных, представленных в виде таблиц, диаграмм;

Оценка устного ответа.

Оценка деятельности учащегося на практических занятиях.

Тестирование.

Контрольная работа.

Значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике; широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе;


Оценка устного ответа.

Оценка отчета о выполнении практического задания.

Оценка реферата, выполненного учащимся.

Тестирование.

Контрольная работа.

Итоговая аттестация в форме экзамена.

Значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии;

Универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности;










Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "УМК для ОМД,1 КУРС (2013-2014)"

Получите профессию

Фитнес-тренер

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Получите профессию

Интернет-маркетолог

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 651 895 материалов в базе

Скачать материал

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

  • Скачать материал
    • 03.04.2017 3537
    • RAR 14.6 мбайт
    • Оцените материал:
  • Настоящий материал опубликован пользователем Зайцева Светлана Егоровна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

    Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

    Удалить материал
  • Автор материала

    Зайцева Светлана Егоровна
    Зайцева Светлана Егоровна
    • На сайте: 8 лет и 2 месяца
    • Подписчики: 0
    • Всего просмотров: 343007
    • Всего материалов: 170

Ваша скидка на курсы

40%
Скидка для нового слушателя. Войдите на сайт, чтобы применить скидку к любому курсу
Курсы со скидкой

Курс профессиональной переподготовки

Фитнес-тренер

Фитнес-тренер

500/1000 ч.

Подать заявку О курсе

Курс повышения квалификации

Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста

72 ч. — 180 ч.

от 2200 руб. от 1100 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 181 человек из 44 регионов
  • Этот курс уже прошли 1 056 человек

Курс повышения квалификации

Особенности подготовки к проведению ВПР в рамках мониторинга качества образования обучающихся по учебному предмету «Математика» в условиях реализации ФГОС НОО

72 ч. — 180 ч.

от 2200 руб. от 1100 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 70 человек из 29 регионов
  • Этот курс уже прошли 294 человека

Курс повышения квалификации

Ментальная арифметика: умножение и деление

36 ч. — 144 ч.

от 1700 руб. от 850 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 224 человека из 54 регионов
  • Этот курс уже прошли 327 человек

Мини-курс

Волонтерство: история, типы и роль в образовании

3 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Основы налогообложения и формирования налогооблагаемых показателей

2 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Психологическая зрелость и стрессоустойчивость: основы развития личности и поддержки

6 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 221 человек из 57 регионов
  • Этот курс уже прошли 53 человека