Инфоурок Другое Другие методич. материалыУМК для студентов 1 курса по математике (алгебра и начала математического анализа)

УМК для студентов 1 курса по математике (алгебра и начала математического анализа)

Скачать материал


hello_html_m7dd7fcdd.jpgМинистерство образования и науки

Самарской области


ГБОУ СПО «ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ колледж»


hello_html_9cc7954.gif

Н.Е.Афонина

А.В.Киселёва

М.А.Памурзина



УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС


ПО ДИСЦИПЛИНЕ


МАТЕМАТИКА


«общеобразовательный цикл»



Часть 2.



«общеобразовательный цикл»


(социально-экономический гуманитарный, технический профили)


ДЛЯ СТУДЕНТОВ ОЧНОЙ ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ




Самара, 2012

Оhello_html_1f8e2fc2.gifДОБРЕНА

Предметной

(цикловой) методической

комиссией

Председатель:

__________Н.Е. Афонина

___ __________20___

Рекомендовано к изданию

решением методического

совета №_________

___ _________2012


Согласовано: Председатель совета

зам. директора по учебной заместитель директора по учебно-

работе методической работе

________ Е.М. Садыкова ______________О.Ю. Нисман

___ ______________2012 _______ _______________2012


Разработала: преподаватель

ГБОУ СПО «ПГК» Н.Е.Афонина


Рецензент:

Учебно-методический комплекс по математике составлен в соответствии с примерной программой учебной дисциплины «МАТЕМАТИКА» для специальностей среднего профессионального образования, одобренной и утвержденной Департаментом государственной политики и нормативно-правового регулирования в сфере образования Минобрнауки России от 16.04.2008г.

Учебно-методический комплекс по дисциплине (УМКД) «Математика» адресован студентам очной формы обучения.

Данное пособие включает теоретический блок, перечень практических занятий, задания по самостоятельному изучению тем дисциплины, вопросы для самоконтроля, перечень точек рубежного контроля, а также вопросы и задания по промежуточной аттестации.


МП.0613.2012

© ГБОУ СПО «Поволжский

государственный колледж»

hello_html_6a3aa509.gif

Уважаемый студент!


Учебно-методический комплекс по дисциплине (далее УМКД) «МАТЕМАТИКА» предназначен для того, чтобы сделать Вашу работу по освоению новой области знаний оптимально удобной и максимально понятной. УМКД облегчит Вам работу как на учебных занятиях (теоретических и практических), так и при выполнении самостоятельных работ.

УМК состоит из 2 частей. 1 часть содержит разделы

« Геометрия» и « Теория вероятностей и математическая статистика», 2 часть содержит разделы «Алгебра» и «Начала математического анализа» В УМКД всё содержание дисциплины «МатематикаВ УМКД всё содержание дисциплины «Математика» разбито на смысловые блоки (разделы), которые, в свою очередь, разделяются на темы. Их последовательное изучение сформирует у Вас целостное восприятие изучаемого предмета. Структура каждой темы построена следующим образом:

  • Основные понятия и термины по теме (определения даются в глоссарии) – Их нужно знать!

  • План изучения темы (вопросы, необходимые для изучения).

  • Краткое изложение теоретических вопросов. Наличие тезисной информации по теме позволит Вам вспомнить ключевые моменты, рассмотренные преподавателем на занятии. Данный материал также будет Вам полезен при подготовке к точкам рубежного контроля и практическим работам.

  • Задания для самостоятельного выполнения во внеурочное время (оформляются в виде сообщений, докладов, презентаций, эссе, таблиц, глоссариев и т.п.).

  • Вопросы для самоконтроля по теме (ориентированы на вопросы точек рубежного и итогового контроля по дисциплине).

После каждого тематического раздела дается перечень умений, которыми должен овладеть студент после изучения тем данного информационного блока. Это «момент истины»! Прочитав перечень умений, Вы должны объективно оценить степень вашей практической подготовки по данному разделу. Если какое – либо из требуемых умений Вами не освоено, необходимо обратиться за помощью к преподавателю или попытаться ещё раз самостоятельно с помощью данного УМКД пройти весь образовательный маршрут по проблемному разделу.

Приступая к изучению новой учебной дисциплины, Вы должны внимательно изучить список рекомендованной основной и вспомогательной литературы (см. Информационное обеспечение дисциплины), получить в библиотеке рекомендованные учебники и учебно-методические пособия, завести новую тетрадь для конспектирования лекций и работы с первоисточниками. Из всего массива рекомендованной литературы следует опираться на литературу, указанную как основную.

В результате освоения 2 части дисциплины Вы должны уметь:

  • выполнять арифметические действия над числами, сочетая устные и письменные приемы; находить приближенные значения величин и погрешности вычислений (абсолютная и относительная); сравнивать числовые выражения;

  • находить значения корня, степени, логарифма, тригонометрических выражений на основе определения, используя при необходимости инструментальные средства; пользоваться приближенной оценкой при практических расчетах;

  • выполнять преобразования выражений, применяя формулы, связанные со свойствами степеней, логарифмов, тригонометрических функций;


использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни:

  • для практических расчетов по формулам, включая формулы, содержащие степени, радикалы, логарифмы и тригонометрические функции, используя при необходимости справочные материалы и простейшие вычислительные устройства.


  • вычислять значение функции по заданному значению аргумента при различных способах задания функции;

  • определять основные свойства числовых функций, иллюстрировать их на графиках;

  • строить графики изученных функций, иллюстрировать по графику свойства элементарных функций;

  • использовать понятие функции для описания и анализа зависимостей величин;


использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни:

  • для описания с помощью функций различных зависимостей, представления их графически, интерпретации графиков.


  • находить производные элементарных функций;

  • использовать производную для изучения свойств функций и построения графиков;

  • применять производную для проведения приближенных вычислений, решать задачи прикладного характера на нахождение наибольшего и наименьшего значения;

  • вычислять в простейших случаях площади и объемы с использованием определенного интеграла;


использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:

  • решения прикладных задач, в том числе социально-экономических и физических, на наибольшие и наименьшие значения, на нахождение скорости и ускорения.


  • решать рациональные, показательные, логарифмические, тригонометрические уравнения, сводящиеся к линейным и квадратным, а также аналогичные неравенства и системы;

  • использовать графический метод решения уравнений и неравенств;

  • изображать на координатной плоскости решения уравнений, неравенств и систем с двумя неизвестными;

  • составлять и решать уравнения и неравенства, связывающие неизвестные величины в текстовых (в том числе прикладных) задачах.


использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни:

  • для построения и исследования простейших математических моделей.


В результате освоения 2 части дисциплины вы должны знать:


  • значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике; широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе;

  • значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии;

  • универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности.

В результате освоения дисциплины у Вас должны формиро ваться общие компетенции (ОК):







Общие компетенции (ОК)

Результат освоения

ОК1.Планирование деятельности


  • Планирует деятельность в рамках заданных логарифмов

ОК 2. Планирование

Ресурсов

  • Анализирует потребности в ресурсах и планирует ресурсы в соответствии с заданным способом решения задачи

ОК 3. Анализ рабочей ситуации


  • Самостоятельно задаёт критерии для анализа решения задачи на основе заданного алгоритма

ОК 4. Текущий контроль и коррекция деятельности

  • Планирует контроль своей деятельности в соответствии с заданным алгоритмом и определённым результатом

ОК 5. Оценка результатов деятельности

  • Планирует результат на основе заданных критериев оценки

ОК 6. Оценка собственного продвижения.


  • Указывает причины успеха и неудач в решении задач по математике.


Освоение 2 части дисциплины требует обязательного выполнения студентами 7-ти точек рубежного контроля работ. Итоговая аттестация проводится в виде экзамена.











ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ МАРШРУТ ПО ДИСЦИПЛИНЕ


Таблица 1

2

Итоговая аттестация

Экзамен



Желаем Вам удачи!



Раздел 3.Алгебра.


Тема 3.1. Развитие понятия о числе.

Основные понятия и термины по теме: действительные числа, комплексные числа, действительная часть и мнимая часть комплексного числа, сопряженные комплексные числа, модуль, аргумент комплексного числа.

План изучения темы:

1. Целые и рациональные числа. Действительные числа.

2. Приближенные вычисления. Погрешности приближения. Действия над приближёнными числами.

3. Комплексные числа и действия над комплексными числами.


Краткое изложение теоретических вопросов:


1. Целые и рациональные числа. Действительные числа.

Число — это важнейшее математическое понятие. Натуральные числа  возникли в глубокой древности как результат счета различных предметов: людей, животных, птиц, деревьев, орудий труда и т.д. Ряд натуральных чисел: 1,  2,  3,  4,  5, … является бесконечным и называется натуральным рядом. Множество натуральных чисел обозначается N.

Введение отрицательных чисел было вызвано развитием алгебры как науки, дающей общие способы решения арифметических задач независимо от их конкретного содержания и исходных числовых данных.

Целые числа - это натуральные числа, целые отрицательные числа и ноль:

 ... , –3,  –2,  –1,  0,  1,  2,  3, ... Множество целых чисел обозначается Z.

Появление дробных (положительных рациональных) чисел было связано с необходимостью производить измерения, т. е. процедуру, в которой какая-либо величина сравнивается с другой величиной того же рода, выбираемой в качестве эталона (единицы измерения).

Рациональные числа – это положительные и отрицательные числа (целые и дробные) и ноль.

Множество рациональных чисел (лат. ratio — отношение, деление, дробь) это числа, представленные обыкновенной дробью m/n , где m — целое число, а n — натуральное число. Множество рациональных чисел составляют целые числа, конечные и периодические десятичные дроби (положительные и им противоположные, которые называются отрицательными дробями) Множество рациональных чисел обозначается Q.

Иррациональные числа.. Исторически числа, отличные по своей природе от рациональных, впервые появились уже при желании вычислить диагональ квадрата по его стороне. Любое иррациональное число можно записать в виде бесконечной непериодической дроби, и любая непериодическая дробь является иррациональным числом.

Действительные числа. Множества рациональных и иррациональных чисел вместе составляют множество действительных чисел.

Каждому действительному числу отвечает точка на координатной прямой, и наоборот, каждая точка на координатной прямой соответствует действительному числу.

Арифметические операции над действительными числами

обладают следующими свойствами (основные законы алгебры).

  1. a + b = b + a (переместительный закон сложения).

  2. (a + b) + c = a + (b + c) (сочетательный закон сложения).

  3. a + 0 = a (свойство нуля).

  4. a + (–a) = 0 (свойство противоположного числа).

  5. ab = ba (переместительный закон умножения).

  6. ab(c) = a(bc) (сочетательный закон).

  7. a(b + c) = ab + ac (распределительный закон умножения относительно сложения).

  8. a · 1 = a (основное свойство единицы).

  9. hello_html_14cb379e.gif(существование обратного числа).


Задания для самостоятельного выполнения:

1. Подготовка рефератов по темам: «Развитие понятия о числе», «История возникновения чисел»


Форма контроля самостоятельной работы:

  • Устный опрос.

  • Проверка рефератов.


Вопросы для самоконтроля по теме:


1. Дайте определение натурального, целого, рационального,

иррационального, действительного числа.

2.Перечислите свойства действительных чисел.


2. Приближенные вычисления. Погрешности приближения. Действия над приближёнными числами.


Абсолютной погрешностью называется разность между этим числом и его точным значением (из большего числа вычитается меньшее)*.
Пример 1. На предприятии 1284 рабочих и служащих. При округлении этого числа до 1300 абсолютная погрешность составляет 1300 — 1284=16. При округлении до 1280 абсолютная погрешность составляет 1284 — 1280 = 4.
Относительной погрешностью приближенного числа называется отношение абсолютной погрешности приближенного числа к самому этому числу.
Пример 2. В школе 197 учащихся. Округляем это число до 200. Абсолютная погрешность составляет 200 — 197 = 3. Относительная погрешность равна 3/197 или, округленно,

3/197 = 1,5 %.
В большинстве случаев невозможно узнать точное значение приближенного числа, а значит, и точную величину погрешности. Однако почти всегда можно установить, что погрешность (абсолютная или относительная) не превосходит некоторого числа.
Пример 3. Продавец взвешивает арбуз на чашечных весах. В наборе гирь наименьшая — 50 г. Взвешивание дало 3600 г. Это число – приближенное. Точный вес арбуза неизвестен. Но абсолютная погрешность не превышает 50 г.
Относительная погрешность не превосходит 50/3600 ≈ 1,4%.
Число, заведомо превышающее абсолютную погрешность (или в худшем случае равное ей), называется предельной абсолютной погрешностью. Число, заведомо превышающее относительную погрешность (или в худшем случае равное ей), называется предельной относительной погрешностью.
В примере 3 за предельную абсолютную погрешность можно взять 50 г, а за предельную относительную погрешность – 1,4 %.
Величина предельной погрешности не является вполне определенной. Так, в примере 3 можно принять за предельную абсолютную погрешность 100 г, 150 г и вообще всякое число, большее чем 50 г. На практике берется по возможности меньшее значение предельной погрешности. В тех случаях, когда известна точная величина погрешности, эта величина служит одновременно предельной погрешностью. Для каждого приближенного числа должна быть известна его предельная погрешность (абсолютная или oтносительная). Когда она прямо не указана, подразумевается что предельная абсолютная погрешность составляет половину единицы последнего выписанного разряда. Так, если приведено приближенное число 4,78 без указания предельной погрешности, то подразумевается, что предельная абсолютная погрешность составляет 0,005. Вследствие этого соглашения всегда можно обойтись без указания предельной погрешности числа.
Предельная абсолютная погрешность обозначается греческой буквой Δ («дельта»); предельная относительная погрешность — греческой буквой δ («дельта малая»). Если приближенное число обозначить буквой а, то δ = Δ/a.
Пример 4. Длина карандаша измерена линейкой с миллиметровыми делениями. Измерение показало 17,9 см. Какова предельная относительная погрешность этого измерения?
Здесь а = 17,9 см; можно принять Δ = 0,1 см, так как с точностью до 1 мм измерить карандаш нетрудно, a значительно уменьшить, предельную погрешность ни удастся (при навыке можно прочесть на хорошей линейке и 0,02 и даже 0,01 см, но у самого карандаша ребра могут разниться на бoльшую величину). Относительная погрешность равна 0,1/17,9. Округляя, находим

δ = 0,1/18 ≈ 0,6%.
Пример1. Найдите абсолютную погрешность округления до единиц чисел:

0,8hello_html_5537397d.gifhello_html_m4855e294.gifhello_html_46b54e73.gif = 0,2


Пример 2. Укажите верные цифры (в широком смысле) числа 3,73hello_html_m38f8530d.gif.


Решение.

Граница погрешности hello_html_m34cc7484.gif=0,056 не превосходит единицы разряда десятых (неравенство

0,056hello_html_d4dcb43.gif верное). Следовательно, верными являются цифры 3 и7.


Пример 3.За приближённое значение числа 26,7 взято число 27.

Являются ли цифры числа 27 верными?


Решение.

Т.к. hello_html_74afd2aa.gif, то цифры 2и 7 – верные в широком смысле.

Пример 4. Найдите сумму приближённых значений чисел 6,8 hello_html_2059ac16.gif; 4,3hello_html_478e24e9.gif0, 05; 3,575hello_html_478e24e9.gif0,0005


Решение.

Имеем S = 6,8 + 4,3+3,575 = 14,675, hello_html_m364b88e8.gif = 0,05+0,05+0,0005=0,1005.

Граница абсолютной погрешности заключена в пределах hello_html_715b7735.gif.

В приближённом значении суммы являются лишь две цифры

( в разрядах десятков и единиц) Полученный результат округлим до единиц:S = 14,675hello_html_m5ef45e2.gif


Пример5. Найти верные цифры произведения приближённых значений чисел а = 0,3862 и в = 0,8


Решение.

Имеем hello_html_10f7ba3d.gif.Границы абсолютной погрешности сомножителей равны 0,00005 и 0,05.

Тогда относительная погрешность приближения hello_html_f088a5b.gif

Граница абсолютной погрешности произведения равна hello_html_42343ccb.gif

Полученный результат означает, что в произведении одна верная цифра (в разряде десятых):

0,30896hello_html_1540b9ce.gif


Пример 6.Вычислите относительную погрешность, допущенную при вычислении площади квадрата, если приближённое значение стороны квадрата равно 68 hello_html_478e24e9.gif 0,5.


Решение.

По формуле hello_html_m26d08be1.gif получим hello_html_95e28f0.gif


Пример7. Вычислите относительную погрешность, допущенную при извлечении квадратного корня из числа 76,8hello_html_478e24e9.gif0,05.


Решение.

По формуле hello_html_m2b4b2678.gif получим hello_html_391d152a.gif


Задания для самостоятельного выполнения:


1.Найдите абсолютную погрешность округления до единиц чисел:

93,28; 1,357; 57,6.


2.Укажите верные цифры (в широком смысле) числа 45,38hello_html_mef3de27.gif


3.За приближённое значение числа 79,6 взято число 80.

Являются ли цифры числа 80 верными?


4.Найдите сумму приближённых значений чисел 76,37 hello_html_m39c1bff6.gif; 39,265hello_html_478e24e9.gif0,0005; 9,2498hello_html_478e24e9.gif0,00005


5.Найти верные цифры произведения приближённых значений чисел а = 68,95 и в = 1,831


6.Вычислите относительную погрешность, допущенную при вычислении площади квадрата, если приближённое значение стороны квадрата равно 94 hello_html_478e24e9.gif 0,5.


7. Вычислите относительную погрешность, допущенную при извлечении квадратного корня из числа 89,4hello_html_478e24e9.gif0,05.




Форма контроля самостоятельной работы:

  • Устный опрос.

  • Проверка тетрадей.


Вопросы для самоконтроля по теме:


1.Дайте определение абсолютной погрешности округления.

2.Какая цифра называется верной.

3.Относительная погрешность приближения.


3.Комплексные числа и действия над комплексными

числами.


Рассмотрим неполное квадратное уравнение: x 2 =  a ,где  а – известная величина.

Решение этого уравнения можно записать как: hello_html_m34eb0b52.gif

Здесь возможны три случая:

1) Если а = 0,то х = 0.

2) Если  а  – положительное число, то его квадратный корень имеет два значения: одно положительное, другое отрицательное; например, уравнение x 2 = 25 имеет два корня:  5 и – 5. Это часто записывается как корень с двойным знаком:

 hello_html_d6bc98a.png

3)Если  а  – отрицательное число, то это уравнение не имеет решений среди известных действительных чисел. Введём понятие числа нового типа – мнимого числа.

Мнимым называется число, вторая степень которого является числом отрицательным. Согласно этому определению мнимых чисел мы можем определить и мнимую единицу:

hello_html_5041fbdb.png

Тогда для уравнения  x 2 = – 25  мы получаем два мнимых корня: hello_html_69edabb8.png

Сумма действительного и мнимого числа называется комплексным числом и обозначается: a + b i ,где  a, b  –  действительные числа,  i  –  мнимая единица. 

Примеры комплексных чисел    3 + 4 i , 7 – 13.6 i ,   0 + 25 i = 25 i

Два комплексных числа  a+ bi и  a – bi называются сопряжёнными комплексными числами.

 Основные договорённости:

1.  Действительное число  а  может быть также записано в форме комплексного числа: 

a+ 0 i  или  a – 0 i.  Например, записи  5 + 0 i  и  5 – 0 i  означают одно и то же число  5 .

 2.  Комплексное число 0+ bi  называется чисто мнимым числом. Запись bi означает то же самое, что и  0+ bi.

 3.  Два комплексных числа  a+ bi и c+ di считаются равными, если  a = c и b = d. В противном случае комплексные числа не равны.


Геометрическое представление комплексных чисел.

Комплексные числа изображаются точками на координатной плоскости. Комплексное число a+ bi будет представлено точкой  Р  с абсциссой а и ординатой b (см. рис.). Эта система координат называется комплексной плоскостью.

hello_html_m27d2c0e9.png

Пример: Изобразить на плоскости числа z1 = 5; z2 = – 3i; z3 = 3 + 2i; z4 = 5 – 2i; z5 = – 3 + 2i; z6 = – 1 – 5i.

Модулем комплексного числа называется длина вектора OP, изображающего комплексное число на координатной (комплексной) плоскости.

Модуль комплексного числа  a+ bi обозначается  | a+ bi | или буквой  r  и равен: hello_html_m2438ce41.png

 Сопряжённые комплексные числа имеют одинаковый модуль.  Аргумент комплексного числа - это угол hello_html_1060d499.pngмежду осью OX и вектором OP, изображающим это комплексное число. Отсюда,  hello_html_5b2fb7b1.gifhello_html_1060d499.png= b / a . 

hello_html_m53d4ecad.gifТригонометрическая форма комплексного числа.

Абсциссу  a и ординату b комплексного числа  a + bi  можно выразить через его модуль  r  и аргумент hello_html_m49f7e907.png:

 

hello_html_1e4dffbc.png


Суммой комплексных чисел  a+ bi  и  c+ di - называется комплексное число

( a+ c ) + ( b+ d ) i. Таким образом, при сложении комплексных чисел отдельно складываются их абсциссы и ординаты.

Пример:

1. (1 + i) + (2 – 3i) = 1 + i + 2 –3i = 3 – 2i;

2. (1 + 2i)  (2  5i) = 1 + 2 2 + 5= –1 + 7i.


Разностью двух комплексных чисел  a+ bi (уменьшаемое) и c+ di (вычитаемое) называется комплексное число

( a – c ) + ( b – d ) i.

При вычитании двух комплексных чисел отдельно вычитаются их абсциссы и ординаты.


Пример:

Найти разность комплексных чисел hello_html_m7cb2b69d.png и hello_html_5334b796.png, если hello_html_m4b295b2b.png, hello_html_m1fa63fc3.png

hello_html_55df9640.png

hello_html_m28f2f66d.png

Произведением комплексных чисел  a+ bi  и  c+ di называется комплексное число:

( ac – bd ) + ( ad + bc ) i .

  1. Числа  a+ bi  и  c+ di должны перемножаться, как алгебраические двучлены,

  2. Число i  обладает основным свойством:  i 2 = –1.

Пример:

1.(1 + i)∙(2 – 3i) = 2 – 3i + 2i – 3i2 = 2 – 3i + 2i + 3 = 5 – i;

2.(1 + 4i)∙(1  4i) = 1  42 i2 = 1 + 16 = 17;


Разделить комплексное число  a+ bi (делимое) на другое c+ di (делитель) - значит найти третье число  e+ f i  (частное), которое будучи умноженным на делитель c+ di,  даёт в результате делимое  a+ bi.

Чтобы разделить два комплексных числа необходимо числитель и знаменатель умножить на сопряженное знаменателю выражение. Если делитель не равен нулю, деление всегда возможно.


Пример:

hello_html_ffd3ecf.gif;


Задания для самостоятельного выполнения:


1. Выполните сложение и вычитание комплексных чисел:

(3 + 5i) + (7 – 2i).
(6 + 2i) + (5 + 3i). 
(– 2 + 3i) + (7 – 2i).
(5 – 4i) + (6 + 2i).
2.
Выполните умножение комплексных чисел:

(2 + 3i)(5 – 7i). 
(6 + 4i)(5 + 2i).
(3 – 2i)(7 – i). 
(– 2 + 3i)(3 + 5i).

3. Выполните деление комплексных чисел:
(1 –i)/(1 + i).
(3 + 2i)/(1 + i).
(6 + 4i)/3i.
(2 – 3i)/(– 5i).


Форма контроля самостоятельной работы:

- Устный опрос.

- Проверка рабочей тетради.


Вопросы для самоконтроля по теме:

1. Сформулируйте определение комплексного числа.

2. Что называется действительной частью комплексного числа.

3. Что называется мнимой частью комплексного числа.

4.  Дайте определение комплексных сопряженных чисел.

5. Дайте определение  модуля и аргумента комплексного числа.






Тема 3.2. Корни, степени и логарифмы.

Основные понятия и термины по теме: корень n-cтепени, арифметический корень, показатель корня, иррациональные уравнения, степень с рациональным показателем, свойства степени, логарифм и его свойства, натуральный логарифм, десятичный логарифм.

План изучения темы:

  1. Корень n – степени и его свойства.

  2. Иррациональные уравнения.

  3. Степень с рациональным показателем и её свойства.

  4. Логарифм числа и его свойства.


1.Корень n- степени и его свойства.


Корнем п-й степени, где hello_html_m7871bd53.gif и hello_html_31a17d54.gifиз действительного числа hello_html_m3ae3952f.gif называется действительное число, hello_html_m7aa911df.gif-я степень которого hello_html_m3ae3952f.gif.

Нахождение корня n-й степени из числа а называется извлечением корня. Число n называют показателем корня, число а – подкоренным выражением.

Арифметическим корнем  n–й степени из неотрицательного числа  a называется неотрицательное число,  n–я степень которого равна  a .

Арифметический корень n–й степени обозначается hello_html_68cbe8c6.gif, где показатель корня. В дальнейшем hello_html_68cbe8c6.gif будем называть просто

корнем n–й степени.

Заметим, что hello_html_23bb4581.gif где hello_html_m7871bd53.gif и а<0, не существует.

Пример: Выражения hello_html_6f0318a3.gifи hello_html_60158aa.gif не имеют смысла.

Корень нечетной степени извлекается и из отрицательного числа.

Пример: hello_html_2fa5f769.gifтак как (-2)3=-8


Свойства арифметического корня n-й степени.

Чтобы извлечь корень из степени,  можно разделить показатель степени на показатель корня

7) 0≤a

Большему положительному подкоренному выражению соответствует и большее значение корня.

8) hello_html_796c06d1.gifhello_html_1742834a.gif

Вынесение множителя из-под знака корня

9) hello_html_4b0ddd14.gifhello_html_1742834a.gif

Внесение множителя под знак корня.

Пример:

Упростить:  hello_html_m64718280.png  hello_html_m2f0133f1.png


 hello_html_56b8d869.png 

hello_html_m6185fad0.png

Ответ.  hello_html_m7b727c1c.png  hello_html_277fd470.png



Арифметический корень тесно связан с понятием абсолютной величины (модуля ) числа, а именно:


hello_html_m275194a.png 

Практическое занятие: не предусмотрено


Задания для самостоятельного выполнения:

  1. Имеет ли смысл выражение hello_html_3ee58ab1.png.

  2. Упростите выражения 1) hello_html_m1bb621a2.png 2) hello_html_mf4024b9.png 3) hello_html_12d620e.png

  3. Упростить:hello_html_m2e07ce47.gif, hello_html_29c4e247.gif, hello_html_m3db2f256.gif.

  4. Вычислить: hello_html_9f5f90a.gif, hello_html_54d6fdf7.gif, hello_html_75113f8c.gif, hello_html_73daef73.gif

  5. Вынести множитель из-под знака корня: hello_html_34e5ff95.gif, hello_html_68597d4e.gif

  6. Внести множитель под знак корня: hello_html_41c0d023.gif, hello_html_m3af04501.gif

  7. Сравнить: hello_html_m56a0c0f0.gif и hello_html_m4156697.gif, hello_html_m93abd49.gif и -1


Форма контроля самостоятельной работы:

- Устный опрос.

- Проверка рабочей тетради.


Вопросы для самоконтроля по теме:

1.Дать определение корня n-й степени.

2.Дать определение арифметического корня.

3.Перечислите основные свойства арифметического корня n-й степени.


3.Иррациональные уравнения.


Иррациональные уравнения – это уравнения, содержащие переменную под знаком корня.

Например: hello_html_m6e5c5ab8.gifhello_html_2e636cc8.pnghello_html_b8dee8d.gif


Рассмотрим некоторые методы решения иррациональных уравнений.

1. Возведение обеих частей уравнения в степень.

При возведении в четную степень возможно появление посторонних корней. Поэтому обязательна проверка (подставление полученных корней в исходное уравнение).

Пример:

1.Решите уравнение hello_html_m6a05cada.gif


Решение.

hello_html_m38e65901.gif

x = 1-посторонний корень

Ответ: х = 4

2.Решите  уравнение х = 1 + hello_html_m31653210.gif.

Решение.

Множество допустимых значений неизвестной величины в данном случае определяется  неравенством х > — 5.

Перенося 1 из правой части в левую и возводя обе части полученного уравнения в квадрат,   мы   приходим  к  уравнению

( x — 1 )2 = ( hello_html_m31653210.gif)2,

x2  — 2x  + 1 = x  + 5,   x2  — 3x  — 4 = 0,

откуда

x1 = 4,    x2 = —1.

Проверка показывает, что из этих двух чисел корнем данного уравнения является лишь число 4. Число —1 является посторонним корнем.

Ответ: х = 4

3.Решите уравнение hello_html_9e16567.gif + hello_html_d92c68e.gif = 3.

Решение.

Множество допустимых значений х определяется неравенством

5 < х < 10.

Возведя обе части данного   уравнения в квадрат,   мы   получим:

x — 5 + 2hello_html_98db946.gif+ 10 — х = 9,

2hello_html_98db946.gif= 4,   hello_html_98db946.gif= 2.

Возведём обе части в квадрат:

(х — 5) (10 — х) = 4,    —x2 + 15x — 50 = 4,    x2 — 15x + 54 = 0.

x1 = 6,    x2 = 9.

Проверка показывает, что оба эти числа являются корнями данного   уравнения.

Ответ: x1 = 6,    x2 = 9.


2. Введение новой переменной.


1.Решить уравнение:

hello_html_m59ba9793.png

Пусть hello_html_m6693f9cc.png

тогда исходное уравнение примет вид:

hello_html_524fcb90.png, корни которого hello_html_m52e0313f.pngи hello_html_26e73d0b.png

Решая уравнение hello_html_m1d31c002.png, получаем hello_html_70b40ac.pngи hello_html_298bd14f.png

Ответ: 3, - 4,5.

2.Решите уравнение hello_html_24de1a2d.gif

hello_html_33cb188a.gif

Ответ: нет корней

3. Иррациональные уравнения, содержащие степени выше второй.

Пример:

hello_html_m2c9017ed.png

Возведем обе части уравнения в куб:

hello_html_4f56854b.pngили

hello_html_8358e60.pngкоторое равносильно совокупности двух уравнений:

hello_html_3752d3fe.png

hello_html_m6f660fbc.png

Ответ: 1,2,10.


Практическое занятие: не предусмотрено


Задания для самостоятельного выполнения:

  1. Доказать, что уравнения не имеют корней:

hello_html_m2bf9076a.png

  1. Решите уравнения и сравните с ответом.

 hello_html_2e636cc8.png Ответ: 4.

hello_html_1bfe5acf.png Ответ: 6.

 hello_html_5ffe23e9.png Ответ: 1.



Форма контроля самостоятельной работы:

- Устный опрос.

- Проверка рабочей тетради.


Вопросы для самоконтроля по теме:

1.Дайте определение иррационального уравнения.

2.Перечислите способы решения иррациональных уравнений.



3. Степень с рациональным показателем и её свойства.


Рассмотрим степень ar, где rhello_html_m20fe70d9.gif. Она обладает следующими свойствами:

Свойства степеней:

1.  При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются  a m ·  a =  a m + n .

2.  При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются hello_html_m64530cb1.gif

 3.  Степень произведения двух или нескольких сомножителей равна произведению степеней этих сомножителей.

                                                     ( abc… ) n = a n · b n · c n

4.  Степень отношения (дроби) равна отношению степеней делимого (числителя) и делителя (знаменателя):hello_html_116cd8df.gif

5.  При возведении степени в степень их показатели перемножаются: ( a m ) n =  a m n .

6. Степень некоторого числа с отрицательным (целым) показателем определяется как единица, делённая на степень того же числа с показателем, равным абсолютной величине отрицательного показателя:hello_html_m7503d1be.gif

7. Степень любого ненулевого числа с нулевым показателем равна 1.hello_html_6f3e2909.gif


8. Степень с дробным показателем. Для того, чтобы возвести действительное число а в степень  m / n , нужно извлечь корень n–ой степени из m-ой степени этого числа а :


hello_html_m447e44bb.png 


Если а можно представить в виде степени, то для вычисления степени с рациональным показателем, можно воспользоваться

свойствами степени.


Пример.

1.Найдите значение выраженияhello_html_m60197308.gif


Решение.

hello_html_m60197308.gif= hello_html_m321525e9.gif


2.Найдите значение выражения hello_html_4a584fde.gif.


Решение.


hello_html_m7cfa8257.gif=hello_html_1ead5595.gif



Практическое занятие: Не предусмотрено


Задания для самостоятельного выполнения:


Найдите значение выражения и выберите правильный ответ.


1. Значение выражения hello_html_m3edae925.gif.

И выберите правильный ответ

а) 19; б) 31; в) 28; г) 7.



2. Значение выражения hello_html_56976c45.gif.

а) 25; б) 125; в) 5hello_html_6f175e7e.gif; г) hello_html_25973191.gif.



3. Значение выражения hello_html_633cc10b.gif.

а) 2hello_html_50cc3eb2.gif; б) 12; в) 0; г) -hello_html_6df2622f.gif.




4. Значение выражения hello_html_2b17626b.gif.

а) 4; б) 8; в) 0; г) 1.




Форма контроля самостоятельной работы:

- Устный опрос.

- Проверка рабочей тетради.


Вопросы для самоконтроля по теме:


1.Перечислите свойства степеней.

2.Дайте определение степени с рациональным показателем.



4. .Логарифм числа и его свойства.


Для любого аhello_html_4dd59fe7.gif и х hello_html_m17f6ebd.gif может быть найдено единственное значение степени hello_html_m2253c6c7.gif.

Например, hello_html_748878f6.gifhello_html_m150c4f52.gifhello_html_6b66db80.gif. Можно поставить задачу найти показатель степени по данной степени и её основанию.


Например, найти х, если hello_html_1dbf31bd.gifОчевидно, х =3.


Показатель степени, в которую нужно возвести основание 2, чтобы получить число 8, называют логарифмом числа 8 по основанию 2.Символически это записывается так: hello_html_20cc89d2.gif


Логарифмом числа hello_html_m46087894.gif по основанию hello_html_60d2f2c2.gif называется показатель степени, в которую нужно возвести основание а, чтобы получить число b: если hello_html_125a832c.gif то hello_html_m6e455533.gif

Формула hello_html_555b42d9.gif (где hello_html_m636cb4fd.gif) – основное логарифмическое тождество.


Пример 1. Найти значение: а) hello_html_33026ebf.gif; б) hello_html_328e8b17.gif.

Решение. а) Заметим, что hello_html_m38cce4e8.gif. Следовательно,

hello_html_4e2bb071.gif.

б) Заметим, что hello_html_m1eeba0e3.gif, поэтому hello_html_m3c382b36.gif.

hello_html_m4fe25143.jpg

Пример 2. Найти hello_html_9814115.gif, такое, что: а) hello_html_m5f131e51.gif; б) hello_html_7fb9e843.gif.

Решение. Воспользуемся основным логарифмическим тождеством:

а) hello_html_ff379fb.gif;

б) hello_html_3d316b0b.gif, т.е. hello_html_m793f4f64.gif, откуда hello_html_2447bf8.gif.


Десятичным логарифмом называется логарифм по основанию 10: hello_html_56a5aebb.gif.


Натуральным логарифмом называется  логарифм по основанию  е. Он обозначается  ln , т.е. log e х = ln х.


Пример. hello_html_m507a7f67.gif, так как hello_html_m489b4e60.gif.


Основные свойства логарифмов.                                            

 

1)   log   b = 1так как  b 1 = b .

           b                            


2)   log   1 = 0 ,  так как  b 0 = 1 .

           b

  

3)  Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей:

 

log ( ab ) = log  a + log  b .

 



hello_html_m588027ab.jpg


4)  Логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя:

         

log ( a / b ) = log  a – log  b .

 

hello_html_mba3eecb.jpg



5)  Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм её основания: 

 

log  ( b k ) = k · log  b .

 

Следствием этого свойства является следующее: логарифм корня равен логарифму подкоренного числа, делённому на степень корня:

 

hello_html_2b1479c3.png

 

6)  Если в основании логарифма находится степень, то величину, обратную показателю степени, можно вынести за знак логарифма:

 

hello_html_9178b7f.png

 

Два последних свойства можно объединить в одно:

                                       

hello_html_5c9f8c9f.png 

 

7)  Формула модуля перехода ( т.e. перехода от одного основания логарифма к другому основанию ):

 

hello_html_m50ba097d.png


Пример 1. Найти х, если hello_html_cefed92.gif.

Решение. Сначала преобразуем правую часть данного равенства, пользуясь основными свойствами логарифмов: hello_html_m68012e3f.gif,

т.е. hello_html_64625509.gif и потому hello_html_632cf80b.gif.

Пример 2. Найти значение выражение hello_html_4eeeaae.gif.

Решение. Преобразуем числитель и знаменатель этой дроби:

hello_html_6f64fe67.gif.

Пример 3. Прологарифмируйте по основанию 3 (hello_html_34370e22.gifhello_html_m72d91b37.gif


hello_html_e3803d4.gif=

hello_html_6a74a745.gif=hello_html_15b095a4.gif


Пример 4. Упростите выражение, пользуясь основным логарифмическим тождеством


hello_html_593835e5.gif= hello_html_m3d62c4ba.gif


Задания для самостоятельного выполнения:


1. Значение выражения hello_html_3a0eb973.gif.

1) 9; 2) 5; 3) 4; 4) 3.



2. Значение выражения hello_html_684d60f1.gif.

1) 2; 2) 4; 3) 3; 4)16.



3. Значение выражения hello_html_200f0279.gif.

1) 10; 2) 9; 3) 4; 4) 0.



4. Значение выражения hello_html_77d84869.gif

1) hello_html_12a05341.gif; 2) 4; 3) hello_html_m20156c75.gif; 4) hello_html_7c1b6c2d.gif.



5. Значение выражения hello_html_m6a8d6e4.gif.

1) hello_html_m552e6c98.gif; 2) 7; 3) hello_html_701489e2.gif4; 4) 0.


6. Значение выражения hello_html_91482d5.gif.

1) 0; 2) 4; 3) 1; 4) hello_html_5a1dc688.gif.



7. Значение выражения hello_html_6a17bb48.gif.

1) hello_html_m52ed2312.gif; 2) 6; 3) hello_html_de0b9fd.gif; 4) 4.


8. Значение выражения hello_html_m49c504ff.gif.

1) 38; 2) hello_html_m365c943.gif; 3) 397; 4) 10.



9. Значение выражения hello_html_6b0964fe.gif.

1) 8; 2) 12; 3) 6; 4) 5.



10. Значение выражения hello_html_m291d47d9.gif равно

1) 2; 2) 0,5; 3) 3; 4) 16 loghello_html_420cfd1a.gif.



Форма контроля самостоятельной работы:

  • Устный опрос.

  • Проверка рабочей тетради.


Вопросы для самоконтроля по теме:


1.Дайте определение логарифма.

2. Перечислите свойства логарифма.

3. Натуральный и десятичный логарифмы.


Тема 3.3. Основы тригонометрии.


Основные понятия и термины по теме: радианная мера угла, синус, косинус, тангенс, котангенс, тригонометрические тождества.


План:

  1. Радианная мера угла.

  2. Синус, косинус, тангенс, котангенс.

  3. Основные формулы тригонометрии.

  4. Преобразование тригонометрических выражений.


Краткое изложение теоретических вопросов.


1. Радианная мера угла.

При радианном измерении дуг и соответствующих им центральных углов за единицу измерения принимается радиан – центральный угол, опирающийся на такую дугу окружности, длина которой равна радиусу этой окружности.


hello_html_m60c0fb88.png



Радианная мера вычисляется по формуле:

hello_html_15f58295.gif,

где hello_html_7a00ba7d.gif- радианная мера центрального угла, hello_html_302e7af2.gif- длина дуги окружности, hello_html_f8be07c.gif- радиус этой окружности.

Формула перехода от градусного измерения к радианному имеет вид:

hello_html_169a869.gif,

где hello_html_635f144.gif- градусная мера угла.

Радианная мера hello_html_m6c55db30.gif равна 0,0175 рад.

Формула перехода от радианного измерения к градусному имеет вид: hello_html_m1d18847c.gif.

Градусная мера 1 радиана равнаhello_html_m25b22ce4.gif.

Пример 1: Выразить в радианах величину угла А, если А=1500.

Решение: 150hello_html_m2bc8ac56.gif=150hello_html_m74458193.gifрад.

Пример 2: Выразить в градусах величину угла hello_html_7a00ba7d.gif, если hello_html_7a00ba7d.gif= 4.5 рад.

Решение: 4,5 рад.=4,5hello_html_m6088186f.gif.

Практическое занятие: Не предусмотрено


Задания для самостоятельного выполнения:


1. Чему равна точная радианная мера углов:

hello_html_m236604a3.gif


2. Заполните таблицу:

1. Какие меры измерения углов вы знаете?

2. Дайте определение угла в 1 радиан.

3. Чему равна радианная мера hello_html_m6c55db30.gif?

4. Чему равна градусная мера 1 радиана?


2. Синус, косинус, тангенс и котангенс числового аргумента.

Окружность с центром в начале координат и радиусом, равным 1, называется единичной окружностью. Точку hello_html_7f0081ad.gif(1;0) единичной окружности примем за начало отсчета, а положительную полуось hello_html_3bda6ba.gif- за начальную сторону центрального угла, образуемого радиусом hello_html_m61956fa7.gif с осью hello_html_3bda6ba.gif(точка hello_html_6ee00282.gif лежит на единичной окружности). Обозначим координаты этой точки hello_html_m7fd0531d.gif и hello_html_m430d7f22.gif.

Е


сли каждому действительному числу hello_html_7a00ba7d.gif на единичной окружности соответствует точка hello_html_6ee00282.gif, для которой центральный угол hello_html_48500d25.gif имеет величину hello_html_7a00ba7d.gif, то единичная окружность называется числовой единичной окружностью.


hello_html_m47c13b44.png

Рис. 1 .


Определения:

Абсцисса hello_html_m68bab4a0.gifточки hello_html_6ee00282.gif числовой единичной окружности называется косинусом числа hello_html_7a00ba7d.gif: hello_html_m1ca7a926.gif.


Ордината hello_html_m2c0672c6.gif точки hello_html_6ee00282.gif числовой единичной окружности называется синусом числа hello_html_7a00ba7d.gif: hello_html_6b0fff5b.gif.


Каждому углуhello_html_7a00ba7d.gifсоответствует единственная точка hello_html_m251ca958.gifhello_html_43c10cc2.gif и, следовательно, единственное значение синуса и косинуса этого числа. Таким образом, hello_html_423407b3.gif и hello_html_m783febc4.gif являются функциями числового аргумента.

Тангенсом числа hello_html_7a00ba7d.gif называется отношение ординаты точкиhello_html_m251ca958.gifк её абсциссе, т.е.

hello_html_765360ba.gif или hello_html_123a9c41.gif.

Котангенсом числа hello_html_7a00ba7d.gif называется отношение абсциссы точкиhello_html_m251ca958.gifк её ординате, т.е.

hello_html_m5728efb9.gif или hello_html_m2a28c497.gif.

Практическое занятие: Не предусмотрено


Задания для самостоятельного выполнения:

1. Заполните таблицу, поставив знаки тригонометрических функций по четвертям:


Форма контроля самостоятельной работы:

  • Устный опрос.

  • Проверка рабочей тетради;

  • Математический диктант.

Вопросы для самоконтроля по теме:

1. Дайте определение числовой единичной окружности.

2. Дайте определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа hello_html_7a00ba7d.gif.


3. Основные формулы тригонометрии.


Основные тригонометрические тождества.

sin2α + cos2α = 1;

tgα = hello_html_4d5753ee.gif; ctgα = hello_html_m2ba9b09a.gif;

tgα · ctgα = 1; ctgα = hello_html_2413fb5.gif;

1 + tg2α = hello_html_m22e154e9.gif; 1 + ctg2α = hello_html_m4daa768.gif.

Формулы приведения.

Формулы этой группы позволяют выразить тригонометрические функции произвольного аргумента через значение той же функции или ее конфункции (конфункциями синуса, косинуса, тангенса и котангенса называются соответственно косинус, синус, котангенс и тангенс) аргументаhello_html_7a00ba7d.gif, удовлетворяющего условиям hello_html_65a7f767.gif . Такая замена удобна при пользовании таблицами, в которых даются значения тригонометрических функций только острых углов и для тригонометрических преобразований.

Для облегчения запоминания формул приведения нужно использовать следующие правила:

а) для углов π ± α; 2π ± α, 3π ± α, … название исходной функции сохраняется;

для углов hello_html_17941bba.gif; hello_html_m636a3e5d.gif, hello_html_767e5589.gif, … название исходной функции заменяется (синус на косинус, косинус на синус, тангенс на котангенс, котангенс на тангенс).

б) функция в правой части равенства берется с тем же знаком, какой имеет исходная функция, если 0<α<hello_html_7b3ef1d6.gif, т.е. α – острый угол.

Формулы сложения.

Формулы синуса суммы и разности двух аргументов:

sin (α hello_html_478e24e9.gifβ) = sinα cosβ hello_html_478e24e9.gifcosα sinβ;

Формулы косинуса суммы и разности двух аргументов:

cos (α hello_html_478e24e9.gifβ) = cosα cosβ hello_html_3b8db3c5.gifsinα sinβ;

Формулы тангенса суммы и разности двух аргументов:

tg (α + β) = hello_html_61520e9.gif; tg (αβ) = hello_html_m316f5e34.gif.

Начало формы

Конец формы


Формулы котангенса суммы и разности двух аргументов:

ctg (α hello_html_478e24e9.gifβ) = hello_html_md587e17.gif; ctg (α hello_html_478e24e9.gifβ) = hello_html_m5e174489.gif.

Формулы двойного аргумента.

sin2α = 2sinα · cosα;

cos2α = cos2αsin2α = 2cos2 α – 1 = 1 – 2sin2α;

tg2α = hello_html_46549192.gif;

Формулы половинного аргумента.

sin2hello_html_5d82c901.gif = hello_html_4b9246d0.gif; tghello_html_5d82c901.gif = hello_html_m20d3a17c.gif = hello_html_m6bd57aaa.gif;

cos2hello_html_5d82c901.gif = hello_html_3fc68a9.gif; сtghello_html_5d82c901.gif = hello_html_m5302128.gif = hello_html_m53df8d5e.gif.

Формулы суммы и разности одноименных тригонометрических функций:

sinα hello_html_478e24e9.gif sinβ = 2sinhello_html_7f5fe0b9.gif coshello_html_1766f9f.gif;

cosα + cosβ = 2coshello_html_3f8b3711.gif coshello_html_6e5d5895.gif;

cosα – cosβ = 2coshello_html_6e5d5895.gif coshello_html_4142f423.gif = 2sinhello_html_3f8b3711.gif sinhello_html_6e5d5895.gif;

tgα hello_html_478e24e9.gif tgβ =hello_html_54e4dc77.gif; ctgα + ctgβ = hello_html_m74ee5d1d.gif; ctgα - ctgβ = hello_html_m41a9758b.gif;

Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму.

sinα · cosβ = hello_html_3861a23a.gif(sin(α-β) + sin(α+β));

cosα · cosβ = hello_html_3861a23a.gif(cos(α-β) + cos(α+β));

sinα · sinβ = hello_html_3861a23a.gif(cos(α-β) + sin(α+β)).

4. Преобразование тригонометрических выражений.

Пример 1.Упростить выражение hello_html_2abe4c0a.gif.

Решение:

hello_html_319a5756.gif

Ответ: hello_html_m4d3de450.gif.


Пример 2. Упростить выражение hello_html_5e17aa5c.gif.

Решение: hello_html_5e17aa5c.gif=hello_html_m2b8e05b3.gif.

Ответ:1.

Пример 3. Найти значения выражения

hello_html_365d3c30.gif

Решение: hello_html_m57c88253.gif

Ответ: -1,5.

Пример 4. Упростить выражение hello_html_21d40a89.gif.

Решение: hello_html_742e3086.gif

Ответ: 1.

Пример5.Упростить выражение hello_html_m734d3b6d.gif.

Решение: hello_html_m600d1e63.gif

Пример 6. Вычислить hello_html_52554192.gif

Решение: hello_html_m4cae8.gif

Пример 7. Вычислить hello_html_3cd30d90.gif.

Решение. hello_html_b5aa81a.gifОтвет: hello_html_m7fa08677.gif

Пример 8. Вычислить hello_html_2b2c04d3.gif, если hello_html_59d172c9.gif.

Решение: разделим числитель и знаменатель на hello_html_m6551b38a.gif.

hello_html_m7f8a0d8a.gif

Ответ: hello_html_m18d112d6.gif

Пример 9. Упростить выражение hello_html_701b2b.gif.

Решение: hello_html_m62ed2f36.gif

Ответ: hello_html_5d3a776.gif

Практические занятия – не предусмотрено.

Задания для самостоятельного выполнения:

1. Выберите правильный ответ:

а) hello_html_15fd7248.gif;

1.hello_html_4356b76b.gif; 2.hello_html_60722667.gif; 3.hello_html_325c9280.gif; 4.hello_html_m27d32446.gif. б) hello_html_m4d1479e1.gif ;

1. hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_60722667.gif 2. hello_html_m4c029b96.gif; 3. hello_html_m27d32446.gif; 4. hello_html_m6a39681b.gif.

в)hello_html_m4a12dc4b.gif;

1. 1; 2. -1; 3. hello_html_479d0a44.gif; 4. hello_html_638103f6.gif.

г) hello_html_m4d4b8ca7.gif;

1. 1; 2. -1; 3. hello_html_479d0a44.gif; 4. hello_html_638103f6.gif.


д) hello_html_m79a76e90.gif;

1. hello_html_m3369dcc3.gif; 2. hello_html_m2545a67f.gif; 3. hello_html_4851edda.gif; 4. hello_html_7c746a33.gif.

д)hello_html_m1fc3d85e.gif;

1. 1; 2. -1; 3. hello_html_m783febc4.gif 4. hello_html_m3021f606.gif

2. Выполните задание и сравните ответ.

Упростить выражения:

а) hello_html_b7998b9.gif (2hello_html_m6551b38a.gif);

б) hello_html_m7c9cb103.gif ( hello_html_1ec64abb.gif);

в) hello_html_m79957ec6.gif (2);

г) hello_html_m3ee8edf3.gif (1/2).


3. Найти значение выражения:

а)hello_html_19af9d1c.gif

б)hello_html_m3d868d01.gifеслиhello_html_623c7a82.gif и hello_html_52902180.gif.

Форма контроля самостоятельной работы:

- проверка рабочих тетрадей;

- математический диктант по формулам.


Вопросы для самоконтроля:

  1. Перечислите основные тригонометрические тождества.

  2. Сформулируйте формулы приведения.





Тема3. 4. Функции, их свойства и графики.

Основные понятия и термины по теме: функция, область определения, множество значений, монотонность функции, точка максимума (минимума), точка экстремума, экстремум функции, четность (нечетность) функции, периодичность функции.


План изучения темы:

1. Функции. Свойства функций. Исследование функций.

2. Преобразования графиков.


Краткое изложение теоретических вопросов:


1. Функции. Свойства функций.Исследование функций.


Функцией или функциональной зависимостью называется такое соответствие, при котором каждому x из множества X сопоставляется некоторое единственное значение из множества Y.

x  - независимая переменной (или аргумент),

y — зависимой переменной или значение функции.

Существуют различные способы задания функции:

табличный, графический ,словесный (функция описывается правилом ее составления , например функция Дирихле),аналитический (задана формула).

Свойства функции:

Область определения функции— это множество всех значений переменной x, которые имеют соответствующие им значения функции.

Для обозначения области определения используются следующие знаки: hello_html_m2af019ea.png

Указывают область определения в виде числового промежутка или объединения числовых промежутков.


Областью значений функции называется множество всех значений, которые принимает переменная у.

Обозначают область значений функции: hello_html_7959a111.gif

Указывают область значения функции в виде числового промежутка или объединения числовых промежутков

Возрастание и убывание функции.

Функция hello_html_m64370743.pngназывается возрастающей, если для любой пары значений аргументов hello_html_3d8b3eac.png и hello_html_36878b72.png из неравенства hello_html_43414efb.png следует неравенство hello_html_266ac805.png.

Т.е. большему значению аргумента соответствует большее значение функции и наоборот.


hello_html_m3fc2a530.png


Функция hello_html_m64370743.pngназывается убывающей, если для любой пары значений аргументов hello_html_3d8b3eac.png и hello_html_36878b72.png из неравенства hello_html_43414efb.png следует неравенство hello_html_769fdcab.png.

Т.е. большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции и наоборот.


hello_html_m6f146d9.png



Пример: Исследовать на возрастание и убывание функцию у = 2х+3

Пусть х1 и х2 – две произвольные точки числовой прямой, такие что hello_html_md37a3fc.gif. Тогда по свойствам числовых неравенств имеем hello_html_m1e3371d6.gif, откуда hello_html_7d7bd771.gif, т.е. hello_html_m669bd2c0.gif. Это значит, что функция у=2х+3 возрастает на всей числовой прямой.

Убываюшие или возрастающие функции называются монотонными.

Точки экстремума функции и экстремум функции.

Точка X0 называется точкой максимума функции hello_html_m6ee8bcf9.gif, если существует такая окрестность точки X0 , что для всех X из этой окрестности выполняется неравенство hello_html_m1c9089f3.gif.

Точка X0 называется точкой минимума функции hello_html_m6ee8bcf9.gif, если существует такая окрестность точки X0, что для всех X из этой окрестности выполняется неравенство hello_html_m59be8b7.gif

Точки минимума и максимума называются точками экстремума.

Точки минимума и максимума обозначаются hello_html_m3a49abbd.gif

Значение функции в точке максимума называется максимумом функции. Максимум функции обозначается hello_html_m55bb1204.gif.

Значение функции в точке минимума называется минимумом функции. Минимум функции обозначается hello_html_m5fb9cca3.gif

Значение функции в точках экстремума называется экстремумом функции



hello_html_62c13aac.png


hello_html_m4d0000a8.gif, hello_html_45efa216.gif



Промежутки знакопостоянства — промежутки, на которых функция имеет постоянный знак (положительный или отрицательный).

Нули функции: Число a называется нулем функции, если соответствующее ему значение функции равно нулю, то есть

f (a)=0, т.е. нулями функции называются такие х, для которых соответствующие у=0.
Четность и нечетность функции.
Функция называется четной
, если для любого hello_html_m13aa2fdf.pngверно равенство hello_html_6cc90100.png, т.е. любым двум противоположным значениям аргумента соответствуют равные значения функции.

Функция называется нечетной, если для любого hello_html_m13aa2fdf.pngверно равенство hello_html_m3d34862d.png, т.е если любым двум противоположным значениям аргумента соответствуют противоположные значения функции.

График четной степени симметричен относительно оси ОУ, график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Пример: Исследовать на четность и нечетность функцию:

1.hello_html_m18e06580.gif

Подставляем на место аргумента (-х):

hello_html_7afa9f12.gif- т.к. hello_html_6cc90100.png , то функция - четная

2.f(x) = lnhello_html_1bf582cc.gif

hello_html_m5c012a19.gif

- функция нечетная

3. f(x)=3x2-2x

hello_html_m47a7cfd1.gif,т.е.hello_html_m6988c8ea.gif,hello_html_23917463.gif,

Следовательно данная функция не является ни четной, ни нечетной, т.е. является функцией общего вида.

Периодичность функции.

Функция y = f(x) называется периодической, если существует такое отличное от нуля число Т, что для любого x из области определения функции справедливо равенство f (x + T) = f(x) = f(x – T). Число Т называется - периодом функции y = f(x).


Схема исследования:

1.Область определения.

2. Множество значений.

3. Четность(нечетность).

4. Периодичность.Наименьший положительный период.

5. Координаты точек пересечения графика f с осью Ох.

6. Координаты точек пересечения графика f с осью Оу.

7. Промежутки, на которых f принимает положительные значения.

8. Промежутки, на которых f принимает отрицательные значения.

9. Промежутки возрастания и убывания.

10.Точки минимума и максимума. Минимумы и максимумы функции.

Пример:hello_html_m5253c00.gif

hello_html_1864cb07.gif- функция четная, т.к. hello_html_6cc90100.png

График симметричен относительно оси OY, следовательно достаточно построить этот график для хhello_html_47aa72e7.gif 0 и потом отобразить его относительно оси OY.

3) Найдем точки пересечения с осями координат:

OY: если x=0, то f(x)=1

OX: пусть y= 0, но данная дробь в ноль нигде не обращается , следовательно с осью ОХ пересечений нет.

4) Найдем интервалы знакопостоянства функции:

hello_html_57734116.gif на (-hello_html_m62eac1ed.gif;+hello_html_m62eac1ed.gif)

5) На интервале hello_html_6965fa0a.gif - функция убывает

На интервале hello_html_6c4a440c.gif - функция возрастает

6) Найдем точки в которых возрастание сменяется убыванием или наоборот, т.е. экстремальные точки.

Для данной функции это точка (0;1) – точка максимума.

7) Установим поведение графика функции при неограниченном увеличении х.

hello_html_m4cea1e47.gif

Практическое занятие: не предусмотрено


Задания для самостоятельного выполнения:

  1. Исследуйте функцию:

а)hello_html_m54af5d71.gif, б) у=3х-2, в)hello_html_4840be9d.gif г)hello_html_m798ae5c4.gif д)hello_html_m3b177941.gif

Практическое занятие: не предусмотрено


Задания для самостоятельного выполнения:

  1. Подготовить рефераты по темам: «История развития понятия «функции», «Функции вокруг нас».

  2. Найти область определения функции: hello_html_4cc8853a.gif, hello_html_1129c0d3.gif

  3. Исследовать функцию на четность, нечетность: hello_html_m23911077.gif,hello_html_m6c5dead8.gif,hello_html_m58b4c0a8.gif

Форма контроля самостоятельной работы:

  • Устный опрос.

  • Проверка рабочей тетради.


Вопросы для самоконтроля по теме:

1.Дайте определение числовой функции.

2. Что называется областью определения функции?

3. Дайте определение области значений функции.

4. Перечислите способы задания функции.

5. Дайте определения четной, нечётной  функции.

6. Сформулируйте определение возрастающей функции.

7. Сформулируйте определение убывающей функции.

8. Дайте определение монотонной функции.

9. Дайте определение точек экстремума.

10. Дайте определение экстремума функции.

11.Какая функция называется периодической.



2.Преобразование графиков функций.


График функции — множество точек на координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции


1. Преобразование симметрии относительно оси Х. График функции y=-f(x) получается преобразованием симметрии графика функции y=f(x) относительно оси x.

Замечание. Точки пересечения графика с осью x остаются неизменными.

hello_html_1137f031.png

Пример:

hello_html_m726f9924.gif

2. Преобразование симметрии относительно оси У. График функции y=f(-x) получается преобразованием симметрии графика функции y=f(x) относительно оси y.

Замечание. Точка пересечения графика с осью y остается неизменной.

Замечание 1. График четной функции не изменяется при отражении относительно оси y, поскольку для четной функции f(-x)=f(x). Пример: (-x)²=x²

Замечание 2. График нечетной функции изменяется одинаково как при отражении относительно оси x, так и при отражении относительно оси y, поскольку для нечетной функции f(-x)=-f(x).

hello_html_m72dfe84d.gif

Пример:

hello_html_m2d6c182d.gif

3.Параллельный перенос вдоль оси Х. График функции y=f(x+a) получается параллельным переносом графика функции y=f(x) вдоль оси x на |a| влево при a>0 и вправо при a<0.

hello_html_m70cda159.gif

Пример:

hello_html_65895cfd.gif

4.Параллельный перенос вдоль оси У.График функции y=f(x)+b получается параллельным переносом графика функции y=f(x) вдоль оси y на |b| вверх при b>0 и вниз при b<0.

hello_html_60e410a4.gif

Пример:

hello_html_m1a33afd7.gif

  1. Растяжение и сжатие вдоль оси х. a>1 График функции y=f(ax) получается сжатием графика функции y=f(x) вдоль оси x в a раз.

hello_html_m63e59365.gif

0

hello_html_m57affc6e.gif

Пример:

hello_html_m4e810a78.gif

Растяжение и сжатие вдоль оси У.

k>1 График функции y=kf(x) получается растяжением графика функции y=f(x) вдоль оси y в k раз.

hello_html_736de4b5.gif

0

hello_html_m26b94171.gif

Пример:

hello_html_85e7794.gif


Построение графика функции y=׀f(x)׀Части графика функции y=f(x), лежащие выше оси x и на оси x, остаются без изменения, а лежащие ниже оси x – симметрично отображаются относительно этой оси (вверх).

Замечание. Функция y=|f(x)| неотрицательна (ее график расположен в верхней полуплоскости).

Пример:

hello_html_4cefda50.gif

Построение графика функции y=f(׀x׀). Часть графика функции y=f(x), лежащая левее оси y, удаляется, а часть, лежащая правее оси y – остается без изменения и, кроме того, симметрично отражается относительно оси y (влево). Точка графика лежащая на оси y, остается неизменной.

Замечание. Функция y=f(|x|) четная (ее график симметричен относительно оси y).

hello_html_m70cc3313.gif

Построение графика обратной функции. График функции y=g(x), обратной функции y=f(x), можно получить преобразованием симметрии графика функции y=f(x) относительно прямой y=x.

Замечание. Описанное построение производить только для функции, имеющей обратную.

hello_html_m573cffbc.gif

Практическое занятие: не предусмотрено


Задания для самостоятельного выполнения:

1.В одной и той же системе координат постройте графики функций:

а) hello_html_27c02097.gif

б) hello_html_25981b8d.gif


2.Укажите соответствие между функциями и их графиками.


1.Что называется графиком функции.

2. Сформулируйте правила построения графиков функции

y = f(-x), y = f(x+a), у = f(x)+b, y = f(ax), y = kf(x), y=|f(x)| из

графика функции у = f(x).


Тема 3.5 Степенные, показательные, логарифмические и тригонометрические функции.


Основные понятия и термины по теме: степенная, показательная, обратная, логарифмическая, тригонометрическая функции.

План:

1.Степенная функция.

2.Показательная функция.

3.Обратная функция.

4.Логарифмическая функция.

5.Тригонометрические функции.


Краткое изложение теоретических вопросов.


1. Степенная функция. Это функция:  y = axn, где  a , n – постоянные. При  n = 1 получаем прямую пропорциональность:  y = ax; при  n = 2 – квадратичную функцию; при  n = 1 - обратную пропорциональность, при  n = 0 степенная функция превращается в постоянную величину:  y = a, т.e. её график - прямая линия, параллельная оси  Х,

Все эти случаи ( при  a = 1 ) показаны на рис.13  ( n hello_html_m750390b7.png0 ) и рис.14

( n < 0 ).





hello_html_m500f7238.png



hello_html_m6a89f60.png



Если  n – целые, степенные функции имеют смысл и при x < 0, но их графики имеют различный вид в зависимости от того, является ли  n  чётным числом или нечётным. На рис.15 показаны две такие степенные функции:  для  n = 2  и  n = 3.




hello_html_m733aa181.png

При n = 2 функция чётная и её график симметричен относи тельно оси Y.

При n = 3 функция нечётная и её график симметричен относи тельно начала координат.

На рис.16 представлена функция hello_html_m44ca1a36.png. Эта функция является обратной к квадратной параболе  y = x 2, её график получается поворотом графика квадратной параболы вокруг биссектрисы 1-го координатного угла


2.Показательная функция.


Функция вида y = ax, где a > 0,  a ≠ 1 называется показательной функцией.

Свойства показательной функции

1.Область определения функции

hello_html_m3f73fe68.jpg

2. Область значений функции

hello_html_2297c794.jpg

3.Промежутки сравнения с единицей

при x > 0 ax > 1

при x > 0,

0< ax < 1

при x < 0

0< ax < 1hello_html_mac1e572.gif

при x < 0, ax > 1

4. Чётность, нечётность.

Функция не является ни чётной,

ни нечётной (функция общего

вида).

5.Монотонность.

монотонно возрастает на R

монотонно

убывает на R

6. Экстремумы.

Показательная функция экстремумов

не имеет.

7.При любых действительных значениях х, y;hello_html_52feab24.jpg

hello_html_m5898d55a.jpg







Показательная функция, заданная уравнением hello_html_m144abccd.gif называется экспонентой. hello_html_m4ab92373.gif



Задания для самостоятельного выполнения:


1.Выпишите функции,которые являются убывающими показательными.

hello_html_m14847bee.gif

2.Постройте в одной системе координат hello_html_m1b8b80f5.gif.

3.Пользуясь свойствами показательной функции, сравните числа:


а) hello_html_e796b7d.gif б) hello_html_m6d625fd0.gif в) hello_html_m63b9de60.gif г)hello_html_m6f8e57fe.gif



д) hello_html_m7b1874f0.gif


4. Постройте графики функций ,исходя из свойства графика функции hello_html_1ef6a45d.gif


а) hello_html_m1130bd6f.gif в) hello_html_31488b4d.gif д) hello_html_m58f968f8.gif


б) hello_html_mae3ffd0.gif г) hello_html_2b8141a2.gif


Форма контроля самостоятельной работы:

Устный опрос.

Проверка рабочей тетради.

Вопросы для самоконтроля по теме:


1.Дайте определение показательной функции.

2.Сформулируйте свойства показательной функции для

a > 1 и 0< a < 1.

3.Какая функция называется экспонентой.



3.Обратная функция.


Пусть функция у = f(х) монотонна в своей области определения D (f).

Тогда каждому значению hello_html_690b59e0.gif соответствует единственное значение hello_html_386ca880.gif

и обратно: каждое значение hello_html_386ca880.gif соответствует единственному hello_html_690b59e0.gif.

Значит, в этом случае можно построить новую функцию, определённую на hello_html_789c8864.gif и такую, что каждому hello_html_386ca880.gif ставится в соответствие hello_html_690b59e0.gif, удовлетворяющее уравнению

у = f(х). Эта новая функция называется обратной по отношению к функции

у = f(х).

Для нахождения функции, обратной данной у = f (х), надо выразить х через у: x = g(y),

а затем записать полученную функцию в общепринятой форме y = g (x).

Отметим, что если функции y = f(x) и y = g(x) являются взаимно обратными, то область определения функции f совпадает с множеством значений функции и g , и наоборот, область определения функции g совпадает с множеством значений функции f, т.е. hello_html_m70dc9d63.gif= hello_html_m4ebdb639.gif и hello_html_3562dfb5.gif= hello_html_789c8864.gif.

Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой у = х.


1.Задать функцию обратную для функции hello_html_563c3de6.gif, где hello_html_2d21165b.gif

Решение.

Выразив х через у, имеем hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m20d97803.gifhello_html_m5148479d.gifЗаменим х на у, получим

hello_html_m77c1936a.gif Итак , hello_html_460c5184.gif - функция, обратная данной.

Задания для самостоятельного выполнения:


1.Выведите формулу, задающую функцию g, обратную данной функции f.

y = 2x + 1;

y = -hello_html_m7502b42c.gif

y = - 2x +1;

y =hello_html_m140e8e35.gif

y = 2hello_html_837bfe0.gif



Форма контроля самостоятельной работы:

Устный опрос.

Проверка рабочей тетради.

Вопросы для самоконтроля по теме:


1.Дайте определение обратной функции.

2.Перечислите свойства обратных функций.



4. Логарифмическая функция.


Функция вида   y = loga х (где а > 0, а ≠ 1)   называется логарифмической.

1. Область определения логарифмической функции — множество всех положительных чисел.
Это следует из определения логарифма, так как выражение logax имеет смысл только при x > 0.

2. Множество значений логарифмической функции — множество R всех действительных чисел.
Это следует из того, что для любого действительного числа b есть такое положительное число x, что logax = b, т.е. уравнение logax = b имеет корень. Такой корень существует и равен x = ab, так как logaab = b.

3. Логарифмическая функция y = logax является возрастающей на промежутке x > 0, если a > 0, и убывающей, если 0 < a < 1.

4. Если a > 0, то функция y = logax принимает положительные значения при x > 1, отрицательные — при 0 < x < 1. Если 0 < a < 1, то функция y = logax принимает положительные значения при 0 < x < 1, отрицательные — при x > 1.
Это следует из того, что функция y = logax принимает значение , равное нулю, при x = 1 и является возрастающей на промежутке x > 0, если a > 1, и убывающей, если 0 > a > 1.

Ниже представлены графики логарифмических функций при

a > 1 (1);   0 hello_html_m1ce1e4c0.gif (2).

Стоит отметить, что график любой логарифмической функции

y = logax проходит через точку (1 ; 0)



hello_html_590b2767.png



Пример 1. Найти область определения функции hello_html_m3edd691f.gif.

Решение.


Область определения логарифмической функции – множество всех положительных чисел hello_html_m307b12e8.gif. Поэтому заданная функция определена только для тех hello_html_9814115.gif, при которых hello_html_m415371a3.gif.

Решая методом интервалов неравенство hello_html_m415371a3.gif, находим, что hello_html_48f92d41.gif.

Пример 2. Сравнить числа: а) hello_html_m3de25a09.gif и hello_html_m3f814962.gif, б) hello_html_m123d92f4.gif и hello_html_md34951b.gif.

Решение.


а) Логарифмическая функция с основанием, большим 1, возрастает на всей числовой прямой. Так как 7>5, то hello_html_m3de25a09.gif < hello_html_m3f814962.gif.


б) Логарифмическая функция с основанием, меньшим 1, убывает на всей числовой прямой. Так как 7>5, то hello_html_m123d92f4.gif > hello_html_md34951b.gif.


Задания для самостоятельного выполнения:


1. Область определения функции hello_html_m709e83fa.gif.

1) hello_html_m3af9694a.gif; 2)hello_html_c076102.gif; 3) hello_html_m57d05d8f.gif; 4) hello_html_45fd858d.gif.



2. Область определения функции hello_html_5461a197.gif.

1) hello_html_126c32a9.gif; 2) hello_html_m46ae2507.gif; 3) hello_html_m30a14dde.gif; 4) hello_html_m87816a8.gif.



3. Область определения функции hello_html_60e421da.gif.

1) hello_html_m46c82e53.gif; 2)hello_html_6607e21e.gif; 3) hello_html_m1ff3caa.gif; 4) hello_html_2ffd0691.gif.


4. Область определения функции hello_html_24a2d9b6.gif.

1) hello_html_m4e6409bd.gif; 2)hello_html_m18baf099.gif; 3) hello_html_a3c5942.gif; 4)hello_html_m156d7b1e.gif.



5. Область определения функции hello_html_638af379.gif.

1) hello_html_m4c3eacf0.gif; 2)hello_html_m4241fb79.gif; 3) hello_html_m41d6f7f5.gif; 4) hello_html_1f35edaa.gif.




Форма контроля самостоятельной работы:

Устный опрос.

Проверка рабочей тетради.



Вопросы для самоконтроля по теме:


1.Дайте определение логарифмической функции.

2. Перечислите свойства логарифмической функции при

a > 1 .

3. Перечислите свойства логарифмической функции при

0 hello_html_m1ce1e4c0.gif .

5.Тригонометрические функции.


Определение. Числовая функция, заданная формулой hello_html_m61d5a613.gif, называется синусом.

1. Область определения – множество всех действительных чисел: hello_html_m788693f.gif.

Область значений – Е: hello_html_m4015c11b.gif.

2. Функция hello_html_m61d5a613.gifявляется нечетной: hello_html_7d14cb0c.gif.

3. Функция hello_html_m61d5a613.gifявляется периодической: наименьший положительный период hello_html_2d6c9ba5.gif.

Функция hello_html_m6ee8bcf9.gif называется периодической, если существует такое число hello_html_m5e90e94.gif, что для любого х из области определения этой функции hello_html_m4216356c.gif.

4.Нули функции: hello_html_1f4031a4.gif при hello_html_m4d1bac90.gif

5.Промежутки знакопостоянства: hello_html_7df2e758.gif для всех hello_html_m1068cac.gif, hello_html_m17a08bf1.gif для всех hello_html_m1d458462.gif.

6. Промежутки монотонности функции: hello_html_m61d5a613.gif возрастает на hello_html_3524d3bc.gif,

hello_html_m61d5a613.gif убывает на hello_html_m423ae512.gif.

7. Экстремумы функции: hello_html_m442368f1.gif, hello_html_676f2358.gif.

hello_html_m5443d9e.gif, hello_html_6c9045d3.gif.

8. Построим график функции синус на отрезке hello_html_m5b55c429.gif используя перечисленные выше свойства. График синуса называется синусоидой.


hello_html_7383bee5.gif

Определение. Числовая функция, заданная формулой hello_html_m62d8f18.gif, называется косинусом.

1. Область определения – множество всех действительных чисел: hello_html_m7e515eec.gif.

Область значений – Е: hello_html_m4015c11b.gif.

2. Функция является hello_html_m62d8f18.gifчетной: hello_html_28204f19.gif.

3. Функция hello_html_m62d8f18.gifявляется периодической: наименьший положительный период hello_html_2d6c9ba5.gif.

4. Нули функции: hello_html_m145e8347.gif при hello_html_m21d100d.gif

5.Промежутки знакопостоянства: hello_html_m76ec55bb.gif для всех hello_html_m566681f7.gif,

hello_html_m53332599.gif для всех hello_html_e79d13a.gif.

6. Промежутки монотонности функции: hello_html_m62d8f18.gif возрастает на hello_html_m6915ed99.gif,

hello_html_m62d8f18.gif убывает на hello_html_m61d74768.gif.

7. Экстремумы функции: hello_html_m232ab804.gif, hello_html_676f2358.gif.

hello_html_m23fc91a2.gif, hello_html_6c9045d3.gif.

8.Строим график функции косинус, используя формулу приведения hello_html_5aedc403.gif(параллельный перенос графика синус на расстояние hello_html_3f0dc136.gif в отрицательном направлении оси ОХ.)

График косинуса называется синусоидой.hello_html_m4b3f6c2a.gif

Определение. Числовая функция, заданная формулой hello_html_m52a8d42d.gif, называют тангенсом.

1. Область определения – hello_html_mdeb6519.gif.

Область значений – Е: все действительные числа.

2. Функция hello_html_m52a8d42d.gifявляется нечетной: hello_html_m4d099434.gif.

3. Функция hello_html_m52a8d42d.gifявляется периодической: наименьший положительный период hello_html_8a53c09.gif.

4. Нули функции: hello_html_m510eeb74.gif при hello_html_m4d1bac90.gif

5. Промежутки знакопостоянства: hello_html_m1adf4169.gif для всех hello_html_9c225fb.gif,

hello_html_2e3d1b2c.gif для всех hello_html_706df6ae.gif.

6. Промежутки монотонности функции: hello_html_m52a8d42d.gif возрастает на hello_html_m2f3776aa.gif.

7. Экстремумов функции нет.

8. Построим график функции тангенс на промежутке hello_html_m2e671e6f.gifиспользуя перечисленные выше свойства. График тангенса называется тангенсоидой.

hello_html_m3d6f1c9d.gif

Определение. Числовая функция, заданная формулой hello_html_m48595057.gif, называют котангенсом.

1. Область определения – hello_html_2369f66b.gif.

Область значений – Е: все действительные числа.

2. Функция hello_html_m48595057.gifявляется нечетной: hello_html_m5bcea061.gif.

3. Функция hello_html_m48595057.gifявляется периодической: наименьший положительный период hello_html_8a53c09.gif.

4. Нули функции: hello_html_14c523f9.gif при hello_html_4445bef.gif

5. Промежутки знакопостоянства: hello_html_m5aa68f1e.gif для всех hello_html_9c225fb.gif,

hello_html_m10069a88.gif для всех hello_html_706df6ae.gif.

6. Промежутки монотонности функции: hello_html_m48595057.gif убывает на hello_html_6aafdb83.gif.

7. Экстремумов функции нет.

8. Построим график функции котангенс на промежутке hello_html_339acd4.gifиспользуя перечисленные выше свойства.


hello_html_m77ea4e73.gif

Практическое занятие: Не предусмотрено


Задания для самостоятельного выполнения:

1. Подготовить сообщения по теме «Гармонические колебания».

2. Выполните задание и сравните ответ.

Найдите область определения функции:

а) hello_html_9e1361b.gifhello_html_mb801f49.gif;

б) hello_html_b6e90c2.gifhello_html_33223f3b.gif,hello_html_m127bb95b.gif

Найдите область значений функции:

а) hello_html_12f83aa4.gifhello_html_67b19a4d.gif;

б) hello_html_m4adabb48.gifhello_html_m593df972.gif.

3. Исследуйте функцию и постройте ее график:

а) hello_html_m794bedf1.gif; б) hello_html_32d0958a.gif

Форма контроля самостоятельной работы:

_ устный опрос.

проверка рабочей тетради.

Вопросы для самоконтроля:

1.Перечислите свойства тригонометрических функций.

2.Как называются графики тригонометрических функций?


Тема 3.6. Уравнения и неравенства.


Основные понятия и термины по теме: показательные уравнения и неравенства, логарифмические уравнения и неравенства, тригонометрические уравнения и неравенства.

План:

1.Равносильность уравнений.

2. Показательные уравнения и методы их решения.

3.Системы показательных уравнений.

4. Показательные неравенства и методы их решения.

5.Логарифмические уравнения.

6.Логарифмические неравенства и методы их решения.

7.Арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс.

8.Тригонометрические уравнения.

9.Тригонометрические неравенства.


Краткое изложение теоретических вопросов


1. Решение уравнения – это процесс, состоящий в основном в замене заданного уравнения другим уравнением, ему равносильным. Такая замена называется тождественным преобразованием. Основные тождественные преобразования следующие:

1.Замена одного выражения другим, тождественно равным ему. Например, уравнение ( 3x+ 2 ) 2 = 15x+10 можно заменить следующим равносильным:  9x2 + 12x + 4 = 15x + 10

2.Перенос членов уравнения из одной стороны в другую с обратными знаками. Так, в предыдущем уравнении мы можем перенести все его члены из правой части в левую со знаком « – »:  9x2 + 12x + 4 – 15x – 10 = 0, после чего получим:  9x2 – 3x – 6 = 0

3.Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение (число), отличное от нуля. 

П р и м е р .  Уравнение  x – 1 = 0  имеет единственный корень

x = 1.  Умножив обе его части на  x – 3 , мы получим уравнение   ( x – 1 )( x – 3 ) = 0,  у которого два корня:  x = 1 и  x = 3.

  Последнее значение не является корнем заданного уравнения 

  x – 1 = 0.  Это так называемый посторонний корень.  

  И наоборот, деление может привести к потере корня. Так

  в нашем случае, если ( x – 1 )( x – 3 ) = 0 является исходным

  уравнением, то корень  x = 3  будет потерян при делении

обеих частей уравнения на  x – 3 .

В последнем уравнении (п.2) мы можем разделить все его члены на 3 (не ноль!) и окончательно получим:

3x2 –  x – 2 = 0 .

Это уравнение равносильно исходному:

( 3x+ 2 )2 = 15x + 10 .

4.Можно возвести обе части уравнения в нечётную степень или извлечь из обеих частей уравнения корень нечётной степени. Необходимо помнить, что:

 а)  возведение в чётную степень может привести к приобретению посторонних корней;  б)  неправильное извлечение корня чётной степени может привести к потере корней.

П р и м е р ы .   Уравнение  7x = 35  имеет единственный корень x = 5 .    Возведя обе части этого уравнения в квадрат, получим  уравнение: 49x2 = 1225 , имеющее два корня:  x = 5  и  x = – 5. Последнее значение является посторонним корнем.  Неправильное извлечение квадратного корня из обеих частей уравнения  49x2 = 1225 даёт в результате 7x = 35,  и мы теряем корень  x = – 5.

 Правильное извлечение квадратного корня приводит к

 уравнению: | 7x | = 35,  а следовательно, к двум случаям: 

 1)  7x = 35, тогда  x = 5 ;      2)  – 7x = 35, тогда  x = – 5 .

 Следовательно, при правильном извлечении квадратного корня мы не теряем корней уравнения.


2.Показательные уравнения и методы их решения.


Уравнение, содержащее переменную в показателе степени,

называется показательным.

При решении показательных уравнений вида hello_html_m1663d2c4.gif

(где hello_html_526d57f8.gif) используется следующее свойство: hello_html_2035d38.gif.

Преобразование показательного уравнения к виду hello_html_m1663d2c4.gif выполняется многими способами. Ниже рассмотрены некоторые из этих способов.


Способ уравнивания оснований.

hello_html_m877de3.gifhello_html_m28657106.gifhello_html_313549fb.gif

Метод замены переменной.

1. Решите уравнение hello_html_m72e8ffc0.gif.

hello_html_1c46d7fb.gif.

Заменим hello_html_6b051a6e.gif, тогда hello_html_m1a70b157.gif.

Вернёмся к замене hello_html_279212a2.gif


2.Решите уравнение hello_html_1e31545.gif


Применяем свойства степеней hello_html_m2d0b7401.gif, обозначим hello_html_m1321598c.gif(1)

Тогда 2 t -hello_html_m2116f2cc.gif;

4tt = 6;

t = 2.

Вернёмся к замене (1), hello_html_m68449882.gif, тогда х = 1


Ответ: 1.


3. Решите уравнение hello_html_m6010517f.gif

Используя свойства степеней, представим уравнение в виде hello_html_e3d06fa.gifОбозначим hello_html_m9f8ae07.gif получим 3 t - hello_html_m4a1b8cb3.gif hello_html_m517ed73d.gif t = 27, тогда hello_html_m271e307b.gif

Ответ: 3.



Метод преобразования к квадратному уравнению.

hello_html_m22a40b49.gif

3. Решите уравнение hello_html_m25bbfebe.gif.

Пусть hello_html_m9f8ae07.gif тогда уравнение (1) примет вид hello_html_m3d977626.gif

hello_html_m2daec432.gif

Вернёмся к замене hello_html_m4ea3171c.gif х =2.


Ответ: 2.



Задания для самостоятельного выполнения:


1.Решите самостоятельно уравнения и сверьте с ответом.


а) hello_html_m55f33a0f.png (1,75)


б) hello_html_58ec6fc2.gif (2;6)

в)hello_html_m470d7fd1.gif (3)

г) hello_html_m626f5d1f.gif (-2)

д) hello_html_539f50f7.gif (1)

е) hello_html_44f3665e.gif (3)

ж) hello_html_20885aa2.gif (1;2)


2. Решите тестовые задания:.

а) Корень уравнения hello_html_19468898.gif.

1) 0; 2) hello_html_m137b52a5.gif; 3) -1; 4) 1.



б) Корень уравнения hello_html_15790727.gif.

1) 2; 2) -1; 3) hello_html_704752ca.gif; 4) 0.



в) Корень уравнения hello_html_532825e4.gif.

1) -1; 2) 1; 3) 2; 4) 0.



г) Корень уравнения hello_html_m39d1e4cf.gif.

1) -1; 2) 1; 3) 2; 4) 0.



д) Решение уравнения hello_html_2a52c81.gif.

1) -1; 2) 1; 3) 2; 4) 0.



е) Решение уравнения hello_html_bb387bb.gif.

1) -1; 2) 1; 3) 2; 4) 0.



ж) Решение уравнения hello_html_25878643.gif.

1) 3; 2) 1; 3) -2; 4) 0.



з) Наименьший корень уравнения hello_html_1dfc9f50.gif

1) 0; 2) hello_html_m137b52a5.gif; 3) -1; 4) 1.



и) Решение уравнения hello_html_5635609.gif.

1) 2; 2) -1; 3) 9; 4) 0.



к) Решение уравнения hello_html_m5c378619.gif.

1) -1; 2) 1; 3) 2; 4) 0.



л)Решение уравнения hello_html_5704b685.gif.

1) -1; 2) 1; 3) 2; 4) 0, hello_html_704752ca.gif.


м )Решение уравнения hello_html_11712030.gif.

1) -3; 2) 3; 3) 0; 4) 2.



Форма контроля самостоятельной работы:

Устный опрос.

Проверка рабочей тетради.

Вопросы для самоконтроля по теме:


1.Дайте определение показательного уравнения.

2.Перечислите методы решения показательных уравнений.



3.Системы показательных уравнений.


Для решения систем показательных уравнений используем различные методы.

1.Метод подстановки.

Решить систему уравнений

hello_html_m36f13d2a.png

Решение.

Из 1 уравнения выразим переменную x = –2y–1,подставим

её значение во 2 уравнение, получим показательное уравнение

4–2y–1+y2 = 42

По свойству монотонности показательной функции, получим

2y–1+y2 = 2,

y2–2y–3 = 0 ,

y1 = 3

y2 = –1;

Найдем значения x:

x1 = –2∙3–1 = –7

x2 = –2∙(–1)–1 = 1

Ответ: (–7;3), (1;–1)


2. Алгебраическое сложение.

Решить систему уравнений

hello_html_m67d11b01.gif

Решение.

hello_html_m6e9e157b.pnghello_html_1d076ff0.gif

      2∙2x = 4;

      2x = 2

       x = 1

Найдём y:

         2+3y =5

         3y =3

         y =1.

Ответ: (1;1)



3. Введение новой переменной.


Решить систему уравнений



hello_html_667aacc3.png


Решение.

Пусть 3x=a, а>0,    2hello_html_m65baf87d.png=b, b>0.

Тогда hello_html_f0e82.png

hello_html_m7e2eb2c.png

hello_html_296e89d9.png,

сложив почленно 2а = 54 , а=27

3x=27,                     2hello_html_m65baf87d.png=2,

x=3                          y=2

Ответ: (3; 2)


4.Графический метод.


Решить систему уравнений


hello_html_m486569ed.png 

Решение.

Выразим у из первого и второго уравнения системы

 hello_html_m1a3241cc.png

Построим график функции hello_html_mc952806.gif

x

0

8/3

y=8-3x

8

0

 Построим график функции hello_html_51003bd3.gif

x

–1

0

1

2

3

y

¼

½

1

2

4







hello_html_m20f92a0.png


hello_html_432bcefe.png 

 Ответ: (2; 2)

5. Нестандартный метод.

Решить систему уравнений

hello_html_2bc17596.png

Решение.

2x ∙3y ∙2y ∙3x = 24∙54

6x ∙6y = 64

6x+y = 64;

hello_html_m7c1cc04f.png  hello_html_m28a8971e.png

hello_html_1965a862.png  hello_html_m40a6c2a.png  hello_html_m3fcf03c0.png

Ответ: (3;1)



Задания для самостоятельного выполнения:

1. Решите системы уравнений.

1. hello_html_m2c8a00bf.png.                                        2. hello_html_7ede861b.png.

3. hello_html_56760a97.png.                                     

Форма контроля самостоятельной работы:

Устный опрос.

Проверка рабочей тетради.

Вопросы для самоконтроля по теме:


1.Перечислите методы решения систем показательных уравнений. 





4. Показательные неравенства и методы их решения.


Неравенство, содержащее переменную в показателе степени, называется показательным.

Неравенства вида hello_html_m461dbae9.gifhello_html_a3db23c.gif, где hello_html_529252fe.gif называются простейшими показательными неравенствами.

Решение показательных неравенств вида hello_html_a3db23c.gif (где hello_html_m2a6f7be4.gif, hello_html_m2f434281.gif) основано на свойстве монотонности показательной функции:

если hello_html_238b963f.gif, то неравенства hello_html_a3db23c.gif и hello_html_1feba706.gif равносильны;

если hello_html_6e5b9a3c.gif, то неравенства hello_html_a3db23c.gif и hello_html_m68d3ba8.gif равносильны.


1. Решите неравенство hello_html_m5019a239.gif.

Решение

hello_html_m3a4271dc.gif.

Так как hello_html_m6492cffa.gif, то hello_html_5d7add96.gif,т.к показательная функция hello_html_6e96c9b6.gifубывающая .

Ответ: hello_html_m31740737.gif



2. Решите неравенство

hello_html_40e430ad.gif


Левую и правую части неравенства приведём к степени с одинаковым основанием


hello_html_4c8a88bc.gif;

Показательная функция hello_html_2081498f.gifубывает (основаниеhello_html_128b60c0.gif).

Поэтому данное неравенство равносильно неравенству hello_html_4ed1d205.gif


Ответ: hello_html_49816d80.gif.

3. Решите неравенство hello_html_59128792.gif

Левую и правую части неравенства приведем к степени с одинаковым основанием hello_html_b36138a.gif. Показательная функция y =hello_html_m5988cd7b.gif возрастает. Поэтому данное неравенство равносильно неравенству

hello_html_m15af5259.gif

решая которое получим hello_html_1e7ce412.gif.

Ответ:hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_1e7ce412.gif.


4. Решите неравенство hello_html_6ac663a1.gif.


Решение. hello_html_m18a0725c.gif. Так как основание показательной функции больше единицы, то из hello_html_38ecab5.gif.

Ответ: hello_html_m671b75d4.gif

5. Решите неравенство hello_html_407b4fc7.gif.

Решение.

Сделаем замену hello_html_63ee717c.gif, тогда hello_html_21219e90.gif и неравенство перепишется в виде hello_html_m4916d2c.gif, откуда hello_html_m13a5be4d.gif. Следовательно, решением данного неравенства являются числа hello_html_m68bab4a0.gif, удовлетворяющие неравенствам hello_html_79c3b435.gif, и только такие числа. Но hello_html_m3bdbda1c.gif, а функция hello_html_2081498f.gif убывает, поскольку hello_html_m5d5047c8.gif. Поэтому решением неравенств hello_html_79c3b435.gif будут числа hello_html_m68bab4a0.gif, удовлетворяющие неравенствам hello_html_m5207c546.gif.

Ответ: hello_html_mad44016.gif.


Задания для самостоятельного выполнения:


Решите неравенства

1. Решение неравенства hello_html_m721d0069.gif.

1) (-hello_html_m62eac1ed.gif;-3); 2) (-hello_html_m62eac1ed.gif;-3]; 3) [-3;+hello_html_m62eac1ed.gif); 4) hello_html_mc66c70f.gif.


2. Решение неравенства hello_html_m59eb13d7.gif.

1) (-hello_html_m62eac1ed.gif;-2); 2) (-2;+hello_html_m62eac1ed.gif); 3) (4;+hello_html_m62eac1ed.gif); 4) (-hello_html_m62eac1ed.gif;4).


3. Решение неравенства hello_html_5665ce97.gif.

1) (hello_html_6225a6fd.gif; 5); 2) (hello_html_6225a6fd.gif; 1); 3) (1; hello_html_m12d63fbb.gif); 4)hello_html_3021ba2c.gif.


4. Решение неравенства hello_html_502e12f4.gif.

1) (-hello_html_m62eac1ed.gif;-1]; 2) (-hello_html_m62eac1ed.gif;-3]; 3) [-3;+hello_html_m62eac1ed.gif); 4) [-1;+hello_html_m62eac1ed.gif).


5. Решение неравенства hello_html_m11070ec.gif.

1) (-hello_html_m62eac1ed.gif;1]; 2) (-hello_html_m62eac1ed.gif;-1]; 3) (1;+hello_html_m1a15e10a.gif; 4) [1;+hello_html_m62eac1ed.gif).


6. Решение неравенства hello_html_m3199d056.gif .

1) (-hello_html_m62eac1ed.gif;-1]; 2) (-hello_html_m62eac1ed.gif;-1); 3) (-1;+hello_html_m1a15e10a.gif; 4) [-1;+hello_html_m62eac1ed.gif).



7. Решение неравенства hello_html_38f56b1f.gifявляется промежуток

1) (-hello_html_m62eac1ed.gif;-2); 2) (-2;2); 3) (2;+hello_html_m62eac1ed.gif); 4) (-hello_html_m62eac1ed.gif;-2)hello_html_m7a65971c.gif.




8 Решение неравенства hello_html_m7ede03da.gif

1) (-hello_html_m62eac1ed.gif;-2); 2) (-2;+hello_html_m62eac1ed.gif); 3) (2;+hello_html_m62eac1ed.gif); 4) (-hello_html_m62eac1ed.gif;4).


9. Решение неравенства hello_html_m1af97c41.gif.

1) (hello_html_6225a6fd.gif; 5); 2) (hello_html_6225a6fd.gif; 1); 3) (1; hello_html_m12d63fbb.gif); 4) hello_html_3021ba2c.gif.


10. Решение неравенства hello_html_29a6ef45.gif.

1) (hello_html_6225a6fd.gif; -3); 2) (hello_html_6225a6fd.gif; -3]; 3) (-3; hello_html_m12d63fbb.gif); 4) hello_html_m67b23568.gif.



Форма контроля самостоятельной работы:

Устный опрос.

Проверка рабочей тетради.


Вопросы для самоконтроля по теме:


1.Дайте определение показательного неравенства.


2.Перечислите свойства показательной функции, используемые

при решении показательных неравенств.


5.Логарифмические уравнения.


Уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма, называется логарифмическим. Простейшим логарифмическим уравнением служит уравнение вида hello_html_m3ea766f1.gif, где hello_html_m2a6f7be4.gif, hello_html_m2f434281.gif.

Так как логарифмическая функция возрастает (или убывает) на множестве положительных чисел и принимает все действительные числа, то по теореме о корне следует, что для любого hello_html_m46087894.gif данное уравнение имеет, и притом только одно, решение, причем положительное.


Методы решения логарифмических уравнений.

1.Метод решения по определению.

Этим методом решаются простейшие уравнения вида hello_html_m3ea766f1.gif (hello_html_m2a6f7be4.gif, hello_html_m2f434281.gif).

Вспомним определение логарифма: логарифм числаhello_html_m68bab4a0.gif по основанию hello_html_60d2f2c2.gif - это показатель степени, в которую надо возвести основание hello_html_60d2f2c2.gif, чтобы получить число hello_html_m68bab4a0.gif. Из определения логарифма следует, что hello_html_6e8f930.gif является таким решением.

hello_html_m3ea766f1.gif,hello_html_m4855e294.gifhello_html_m501a6b7e.gif.


Пример. Решите уравнения: а) hello_html_2d217378.gif;

Решение.

ОДЗ: hello_html_32f6d3a7.gif.

hello_html_774e0ae3.gifhello_html_5df14931.gif.

Ответ: 7.


б) hello_html_2ec1268c.gif;

Решение.

hello_html_5a67dd74.gif

По определению:hello_html_2ec1268c.gif,hello_html_m4b651cf2.gif

hello_html_64735755.gif,

hello_html_m46047339.gif

Ответ: hello_html_m289b170d.gif

hello_html_m658610f9.gif

hello_html_m4048e406.gif, hello_html_m2fa3a874.gif

Ответ: 1, -5.


2.Метод потенцирования.

Под потенцированием понимается переход от равенства, содержащего логарифмы, к равенству, не содержащему их

Решение логарифмического уравнения видаhello_html_m691d6148.gif основано на том, что такое уравнение равносильно уравнению hello_html_5faaa761.gif при дополнительных условиях hello_html_5033af3d.gif.

Проверка найденных значений неизвестного по условию уравнения в общем случае является необязательной. Можно выявить посторонние корни и с помощью нахождения области определения исходного уравнения (эта область задаётся системой неравенств hello_html_5033af3d.gif)

Пример. Решите уравнение hello_html_4cf6ccab.gif.


Решение. hello_html_m4d97467f.gif


3.Метод введения новой переменной.


Пример. Решить уравнение hello_html_m7d53888f.gif.

Решение. ОДЗ: hello_html_6d5e7b87.gif. Заменим hello_html_620f369e.gif, получим

hello_html_m2189b018.gif. Вернёмся к замене: hello_html_m2e285d0f.gif и hello_html_798b47d2.gif.

4.Метод логарифмирования.


При решении уравнений, содержащих переменную и в основании, и в показателе степени, используется метод логарифмирования. Если при этом в показателе степени содержится логарифм, то обе части уравнения надо прологарифмировать по основанию этого логарифма.

Пример. Решить уравнение hello_html_m6edc7857.gif


Решение. Прологарифмировав обе части уравнения по основанию 2, получим:

hello_html_m727c02f1.gif.



Обозначим hello_html_620f369e.gif, тогда уравнение примет вид hello_html_m1971b2ba.gif. Значит, hello_html_m75bc117f.gif; из уравненияhello_html_m34b0f38a.gif.

Проверка:

1) hello_html_2fa4e13e.gif верное;

2) hello_html_m25ccca72.gif верное. Ответ: hello_html_33f0c3ae.gif.

5. Метод применения формулы перехода (hello_html_m93071d5.gif, где hello_html_me161b67.gif и hello_html_m2f434281.gif,

hello_html_m295a7421.gif и hello_html_22bea7fc.gif).

Пример. Решить уравнение hello_html_1ffc8147.gif.

Решение.

hello_html_75bb3b1a.gif

Перейдём во втором слагаемом к основанию 5 и сделаем замену переменной:

hello_html_m10cc573f.gif, тогда hello_html_m63083.gif.

Данное уравнение перепишется в виде hello_html_40ec3894.gif. Корни этого квадратного уравнения hello_html_311bed20.gif.

Возвращаемся к замене:

1) hello_html_m5da41066.gif; hello_html_373bc99b.gif;

2) hello_html_m6d755a74.gif;hello_html_d682b89.gif.

Задания для самостоятельного выполнения:


1. Промежуток, которому принадлежит корень уравнения hello_html_46ac8a6c.gif.

1) (1;3); 2) hello_html_m4f6de7bb.gif; 3) (0;1); 4) (-5;-3).



2. Промежуток, которому принадлежит корень уравнения hello_html_45076b3f.gif.

1) (-2;2); 2) (0;2); 3) hello_html_4c879c5b.gif; 4) (-2;0).



3. Промежуток, которому принадлежит все корни уравнения hello_html_m6ea5f799.gif.

1) (-hello_html_m62eac1ed.gif;-3); 2) hello_html_m1ff3caa.gif; 3) hello_html_5ad010ea.gif; 4) hello_html_13fa401c.gif.


4. Промежуток, которому принадлежит корень уравнения hello_html_5834c0e4.gif

1) (-2;4); 2) (0;-2); 3) hello_html_m296eb83b.gif; 4) (-1;8).


5. Промежуток, которому принадлежит корень уравнения hello_html_3a8f60bd.gif.

1) (6;8); 2) (2;4); 3) (4;6); 4) (0;2).


6. Промежуток, которому принадлежит корень уравнения hello_html_34b74a6c.gif.

1) (1; 2); 2) hello_html_6b92f1cc.gif; 3) (-2; 1); 4) (0; 2).


7. Промежуток, которому принадлежит корень уравнения hello_html_11992c3f.gif.

1) (1;3); 2) hello_html_61033283.gif; 3) (0;1); 4) (1;2).


8. Промежуток, которому принадлежат все корни уравнения hello_html_19bcf51d.gif.

1) (-hello_html_m62eac1ed.gif;0); 2) hello_html_24d0c872.gif; 3) hello_html_4648dff5.gif; 4) hello_html_41b9d633.gif.


9. Промежуток, которому принадлежит корень уравнения hello_html_45076b3f.gif.

1) (-2;2); 2) (0;2); 3) hello_html_4c879c5b.gif; 4) (-2;0).


10. Промежуток, которому принадлежит корень уравнения hello_html_52a9ba76.gif.

1) (-2;4); 2) (0;-2); 3) hello_html_m296eb83b.gif; 4) (-1;8).

11.log3x + log3(x + 3) = log3(x + 24),


12. log4(x2 - 4x + 1) - log4(x2 - 6x + 5) = -1/2


13.log2x + log3x = 1,


14.2log3(x - 2) + log3(x - 4)2 = 0,


15. 16log4(1 - 2x) = 5x2 - 5.


16. lg2x - 3lgx + 2 = 0,



17. lg2100x + lg210x + lgx = 14,


18.5lgx = 50 - xlg5


Форма контроля самостоятельной работы:

Устный опрос.

Проверка рабочей тетради.


Вопросы для самоконтроля по теме:


1.Дайте определение логарифмического уравнения.

2.Перечислите способы решения логарифмического уравнения.


6.Логарифмические неравенства и методы их решения.


Неравенство, содержащее неизвестное под знаком логарифма или (и) в его основании называется логарифмическим неравенством.

В процессе решения логарифмических неравенств часто используются следующие утверждения относительно равносильности неравенств и учитываются свойства монотонности логарифмической функции.

Утверждение 1. Если a > 1, то неравенство logaf(x) > logag(x) равносильно системе неравенств hello_html_m1ef428eb.gif

Утверждение 2. Если 0 < a < 1, то неравенство

logaf(x) > logag(x) равносильно системе неравенств

hello_html_606a41b4.gif

Утверждение 3. Неравенство logh(x)f(x) > logh(x)g(x) равносильно совокупности систем неравенств hello_html_m53d4ecad.gif

hello_html_5815fafb.gif


Подчеркнем, что в неравенстве logaf(x) > logag(x) вместо

знака > может фигурировать любой из знаков ≥ , < , ≤ . В этом случае соответственно преобразуются.

1.Решить неравенство lg (х + 1) ≤ 2      

Решение.

Правая часть рассматриваемого неравенства смысл имеет при всех значениях х, а левая часть – при х + 1 > 0, т.е. при х > -1.

Логарифмическая функция с основанием 10 является возрастающей, следовательно, при условии х + 1 > 0 выполняется неравенство х + 1 ≤ 100 (так как 2 = lg 100). Т.о. неравенство

lg (х + 1) ≤ 2      равносильно системе неравенств

hello_html_m2bb094ed.gif

Решая систему, находим -1 < х ≤ 99.

Ответ.hello_html_38037907.gif

2.Решить неравенство log2 (х – 3) + log2 (х – 2) ≤ 1     

Решение.

1) Областью определения рассматриваемой логарифмической функции является множество положительных значений аргумента, поэтому левая часть неравенства смысл имеет при

х – 3 > 0 и х – 2 > 0.

Следовательно, областью определения этого неравенства х > 3.

2) По свойствам логарифма неравенство (3) при х > 3 равносильно неравенству log2 (х – 3)(х – 2) ≤ log2 2     

3) Логарифмическая функция с основанием 2 является возрастающей. Поэтому при х > 3 неравенство (4) выполняется, если

(х – 3)(х – 2) ≤ 2.

3.Таким образом, исходное равенство равносильно системе неравенствhello_html_d04f70a.gif

Решая неравенство х2 – 5х + 4 ≤ 0, получим 1 ≤ х ≤ 4. Совмещая этот отрезок с промежутком х > 3, получаем 3 < х ≤ 4.Тогда решением системы неравенств является промежуток hello_html_669e7f95.gif

Ответ. hello_html_669e7f95.gif

3.Решить неравенство log1/22 + 2х – 8) ≥ -4.       

Решение.

1. Область определения неравенства находим из условия

х2 + 2х – 8 > 0.

2. Неравенство log1/22 + 2х – 8) ≥ -4       можно записать в виде:

log1/22 + 2х – 8) ≥ log1/2 16.

Так как логарифмическая функция с основанием ½ убывающая, то для всех х из всей области определения неравенства получаем:

х2 +2х -8 ≤ 16.


Таким образом, исходное равенство равносильно системе неравенствhello_html_m47180fec.gif

Решая неравенство х2 + 2х –8 > 0 получим хhello_html_bccf779.gif.

Решая неравенство х2 +2х -8 ≤ 16 получим хhello_html_4e7fc818.gif.Тогда решением системы неравенств является hello_html_m6fa23d33.gif


Ответ. hello_html_m4e961598.gif


4.Решить неравенство hello_html_m47bae3f0.gif.


Решение.

Заменим hello_html_56a5aebb.gif на переменную hello_html_m36526fb8.gif: hello_html_6364f7ef.gif. Тогда неравенство hello_html_m47bae3f0.gif примет вид hello_html_m4b48d603.gif. Решив последнее неравенство, получим, что hello_html_5c40660e.gif.


Вернёмся к замене: hello_html_4a211a9b.gif: hello_html_m3df1f155.gif, hello_html_17597dd6.gif. Решив, получим, что hello_html_mf458b6a.gif и hello_html_m44908fd3.gifhello_html_mf8b9612.gif.


Задания для самостоятельного выполнения:



1. Решением неравенстваhello_html_m53d4ecad.gifloghello_html_585569b1.gifhello_html_m620bdcdd.gif > 1 является промежуток …

1) hello_html_3f5684f8.gif; 2) hello_html_59939819.gif; 3) hello_html_2c6a8a58.gif; 4) hello_html_3e0f46e.gif.


2. Решением неравенства hello_html_m53d4ecad.gifloghello_html_m615de91a.gifhello_html_m924ed21.gif < 2 является промежуток …

1) hello_html_5f3da2c6.gif; 2) hello_html_m5628327d.gif; 3) hello_html_m4b662022.gif 4) hello_html_577bc209.gif.


3. Решением неравенства loghello_html_m2c63da76.gifhello_html_m20040af9.gif < loghello_html_m2c63da76.gifhello_html_3559bd72.gif является промежуток …

1) hello_html_28740074.gif; 2) hello_html_m7566870a.gif; 3) hello_html_m3b781c23.gifhello_html_m2c0134f2.gifhello_html_28740074.gif; 4) hello_html_4c0b58d8.gif.


4. Решением неравенства loghello_html_205906b2.gifhello_html_4c4c3d0a.gif < loghello_html_205906b2.gifhello_html_613276f.gif является промежуток …

1) hello_html_m7f2089b9.gif; 2) hello_html_m3eeab9e8.gif; 3) hello_html_m123573af.gif; 4) hello_html_m7da7251c.gif.

5. Решением неравенства loghello_html_m7d5d50f.gifhello_html_m924ed21.gif < 1 является промежуток …

1) hello_html_107fa107.gif; 2) hello_html_5f3da2c6.gif; 3) hello_html_m5628327d.gif; 4) hello_html_577bc209.gif.


6. Решением неравенства loghello_html_774806d2.gifhello_html_m620bdcdd.gif > 2 является промежуток …

1) hello_html_59939819.gif; 2) hello_html_2c6a8a58.gif; 3) hello_html_3e0f46e.gif; 4) hello_html_3f5684f8.gif.


7. Решением неравенства loghello_html_585569b1.gifhello_html_m72aed25a.gif < loghello_html_585569b1.gifhello_html_43bd1fa4.gif является промежуток

1) hello_html_m3b781c23.gifhello_html_m2c0134f2.gifhello_html_28740074.gif; 2) hello_html_4c0b58d8.gif; 3) hello_html_28740074.gif; 4) hello_html_m7566870a.gif.


8. Решением неравенства loghello_html_3e907550.gifhello_html_3559bd72.gifloghello_html_3e907550.gifhello_html_m72aed25a.gif является промежуток

1) hello_html_m3b781c23.gifhello_html_m2c0134f2.gifhello_html_28740074.gif; 2) hello_html_m6f7201d4.gif; 3) hello_html_m7566870a.gif; 4) hello_html_28740074.gif.


9. Решением неравенства loghello_html_774806d2.gifhello_html_3559bd72.gifloghello_html_774806d2.gifhello_html_m72aed25a.gif является промежуток

1) hello_html_m7c54afd0.gif; 2) hello_html_m34c75292.gif; 3) hello_html_m3b781c23.gifhello_html_m2c0134f2.gifhello_html_e659c38.gif; 4) hello_html_e659c38.gif.


10. Решением неравенства loghello_html_3e907550.gifhello_html_m620bdcdd.gifhello_html_2b2ed72.gif является промежуток

1) hello_html_m32b9c65b.gif; 2) hello_html_m1ad1a82b.gif; 3) hello_html_59939819.gif; 4) hello_html_3e0f46e.gif.



Форма контроля самостоятельной работы:

Устный опрос.

Проверка рабочей тетради.


Вопросы для самоконтроля по теме:


1.Дайте определение логарифмического неравенства.

2.Свойства логарифмической функции, применяемые при решении логарифмических неравенств.


7.Арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс.

Теорема 1.(о корне). Пусть функция f возрастает ( или убывает) на промежутке hello_html_4adcdc35.gif, а число а - любое из значений, принимаемых f на этом промежутке. Тогда уравнение f(х) = а имеет единственный корень на промежутке hello_html_4adcdc35.gif.

Функция синус возрастает на отрезке hello_html_m56b614b3.gifhello_html_m53d4ecad.gifи принимает значения от – 1 до 1. Тогда, по теореме 1, для любого числа а, такого, что -1hello_html_3813d461.gifаhello_html_1b589231.gif, на промежуткеhello_html_m56b614b3.gif существует единственный корень в уравнения hello_html_30154473.gif= a. Это число в называют арксинусом числа а и обозначают arcsin a.

Определение. Арксинусом числа а называется такое число в из отрезкаhello_html_m56b614b3.gif, синус которого равен а.

Если в = arcsin a, то вhello_html_m7cb53dec.gifhello_html_m56b614b3.gif и sinв = а.

Отсюда: а) область определения арксинуса – это отрезок hello_html_m4015c11b.gif;

б) область значений – это отрезок hello_html_m56b614b3.gif;

Пример . Доказать, что arcsin(-hello_html_ma8bd39f.gif) = -hello_html_5a1dc688.gif.

Решение: - hello_html_5a1dc688.gifhello_html_m7cb53dec.gifhello_html_m56b614b3.gif и sin(-hello_html_5a1dc688.gif) = -hello_html_ma8bd39f.gif.

Ответ: доказываемое равенство верно.

Функция косинус убывает на отрезке hello_html_7bb1b844.gif и принимает все значения от -1 до 1. Поэтому, по теореме 1, для любого числа а, такого, что -1hello_html_3813d461.gifаhello_html_1b589231.gif, на отрезкеhello_html_7bb1b844.gif существует единственный корень уравнения cos x = а.

Это число в называют арккосинусом числа а и обозначают arccos a.

Определение. Арккосинусом числа а называется такое число в из отрезкаhello_html_7bb1b844.gif, косинус которого равен а.

Если arccos a = в, то вhello_html_m7cb53dec.gifhello_html_7bb1b844.gif и cos в = а.

Отсюда: а) область определения арккосинуса - это отрезок hello_html_m4015c11b.gif;

б) область значений – это отрезок hello_html_7bb1b844.gif;

Пример . Доказать, что arсcos hello_html_m86b3dab.gif= hello_html_26857a0a.gif.

Решение: hello_html_26857a0a.gifhello_html_m7cb53dec.gifhello_html_7bb1b844.gif и coshello_html_26857a0a.gif= -hello_html_73b84cef.gif.

Арктангенс.

На интервале hello_html_m2e671e6f.gif функция тангенс возрастает и принимает все значения из R. Тогда, по теореме 1, для для любого числа а в интервале hello_html_m2e671e6f.gif существует единственный корень в уравнения hello_html_m3c25b891.gif.

Это число в называют арктангенсом числа а и обозначают arctg.

Определение. Арктангенсом числа а называется такое число в из интервала hello_html_m2e671e6f.gif, тангенс которого равен а.

Если arctg а = в, то вhello_html_m7cb53dec.gifhello_html_m56b614b3.gif и tg в = а.

Отсюда: а) область определения арктангенса - R;

б) область значений – это интервал hello_html_m2e671e6f.gif.

Функция котангенс на интервале hello_html_m35233d27.gif убывает и принимает все значения из множества действительных чисел. Поэтому для любого числа hello_html_60d2f2c2.gif в интервале hello_html_m35233d27.gif существует единственный корень hello_html_m46087894.gif уравнения hello_html_m17fe4752.gif

Определение. Арккотангенсом числа а называется такое число в из интервалаhello_html_m35233d27.gif, котангенс которого равен а.

Если hello_html_5e26e1bb.gif, то вhello_html_m444b74af.gif и ctg в = а.

Отсюда: а) область определения арккотангенса – R( множество всех действительных чисел) ;

б) область значений – промежутокhello_html_m35233d27.gif.


Практические занятия: - не предусмотрено.

Задания для самостоятельного выполнения:

1. Используя свойства обратных функций постройте графики функций hello_html_172512c2.gifhello_html_7e8505f.gifhello_html_6bab539c.gifhello_html_79bac621.gif

2. Доказать, что

а) hello_html_462d64ce.gif; б) hello_html_m462302c2.gif ;

в) hello_html_m6d5f8088.gif; в) hello_html_m6d5f8088.gif;

д) hello_html_m2c1cd067.gif; г) hello_html_70b2f5ae.gif.

3. Верно ли равенство:

а) hello_html_4afcb9d0.gif; б) hello_html_38f89f1.gif?

Форма контроля самостоятельной работы:

- проверка рабочих тетрадей;

- математический диктант.

Вопросы для самоконтроля:

1. Теорема о корне.

2. Определение арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа.

3. Свойства обратных тригонометрических функций.

8. Тригонометрические уравнения.


Определение: Уравнение, содержащее неизвестное под знаком тригонометрической функции, называется тригонометрическим.

hello_html_6eaa76aa.gif

coshello_html_m68bab4a0.gif = hello_html_60d2f2c2.gif.

tgx = hello_html_60d2f2c2.gif.

ctgx = a

Примеры. 1. Решить уравнение sin5x = hello_html_73b84cef.gif.

Решение: 5х = (-1)karcsin hello_html_73b84cef.gif+ πk, k hello_html_m7cb53dec.gifZ.

5х = (-1)k hello_html_2e8a3f83.gif+ πk, k hello_html_m7cb53dec.gifZ.

х = (-1)k hello_html_7ec5ab32.gif+ hello_html_7300e446.gif, k hello_html_m7cb53dec.gifZ.

Ответ: (-1)k hello_html_7ec5ab32.gif+ hello_html_7300e446.gif, k hello_html_m7cb53dec.gifZ.

2. Решить уравнение cos(hello_html_3b031c00.gif) = hello_html_m137b52a5.gif.

Решение: Так как функция f(x) = cosx – четная, можно записать: cos(hello_html_1baf0aed.gif) = hello_html_m137b52a5.gif

hello_html_1baf0aed.gif = ± arccos hello_html_m137b52a5.gif + 2πk, k hello_html_m7cb53dec.gifZ,

2х = ± arccoshello_html_m137b52a5.gif + hello_html_2e8a3f83.gif + 2πk, k hello_html_m7cb53dec.gifZ,

х = ± hello_html_2b2ed72.gifarccoshello_html_m137b52a5.gif + hello_html_56c04310.gif + πk, k hello_html_m7cb53dec.gifZ.

Ответ: ± hello_html_2b2ed72.gifarccoshello_html_m137b52a5.gif + hello_html_56c04310.gif + πk, k hello_html_m7cb53dec.gifZ.

3. Решить уравнение hello_html_2d077f92.giftg(4x+ hello_html_2e8a3f83.gif) = 3.

Решение: tg(4x+ hello_html_2e8a3f83.gif) = hello_html_m30bd1839.gif = hello_html_2d077f92.gif

4x + hello_html_2e8a3f83.gif = arctghello_html_2d077f92.gif + πk, k hello_html_m7cb53dec.gifZ,

4x + hello_html_2e8a3f83.gif = hello_html_2e8a3f83.gif + πk, k hello_html_m7cb53dec.gifZ,

4x = hello_html_2e8a3f83.gif - hello_html_2e8a3f83.gif + πk = πk, k hello_html_m7cb53dec.gifZ,

х = hello_html_5820f8f6.gif, k hello_html_m7cb53dec.gifZ.

Ответ: hello_html_5820f8f6.gif, k hello_html_m7cb53dec.gifZ.

4. Решить уравнение сtg(hello_html_m7691a14c.gif- х) = -1.

Решение: Учитывая нечетность функции f(x) = ctgx, имеем:

сtg(x - hello_html_m7691a14c.gif) = 1

x - hello_html_m7691a14c.gif = arcсtg1 + πk, k hello_html_m7cb53dec.gifZ,

x - hello_html_m7691a14c.gif = hello_html_5a1dc688.gif+ πk, k hello_html_m7cb53dec.gifZ,

x = hello_html_5a1dc688.gif + hello_html_m7691a14c.gif + πk, k hello_html_m7cb53dec.gifZ,

х = hello_html_m3c521c28.gif+ πk, k hello_html_m7cb53dec.gifZ.

Ответ: hello_html_m3c521c28.gif+ πk, k hello_html_m7cb53dec.gifZ.

Практические занятия: - не предусмотрено.

Существует несколько методов решения тригонометрических уравнений.



Алгебраический метод.

Это метод замены переменной и подстановки.

Пример. Решить уравнение hello_html_8ee3450.gif.

Решение: Сделаем замену hello_html_2e3871d2.gif.

Уравнение принимает вид: hello_html_m72267729.gif

hello_html_522c1723.gif,

hello_html_4ee33dec.gif, hello_html_m50a90861.gif

hello_html_mf168103.gif, не подходит, т.к. hello_html_m39240100.gif

hello_html_6a54acab.gif

Ответ: hello_html_m66e1ba72.gif.

Разложение на множители.

Этот метод рассмотрим на примерах.

Пример 1. Решить уравнение sinx + cos2x = 1.

Решение: перенесем все члены уравнения влево:

sinx + cos2x – 1 = 0 , т. к. cos2x = 1 – 2 sinhello_html_m5c273eeb.gifx,

sinx + 1 – 2 sinhello_html_m5c273eeb.gifx – 1 = 0,

sinx – 2 sinhello_html_m5c273eeb.gifx = 0.

Разложим на множители выражение в левой части уравнения:

sinx (1 – 2 sinx ) = 0.

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю, т.е.

sinx = 0 1 – 2 sinx = 0

х =hello_html_m743fac6b.gif, 2 sinx = 1

sinx = hello_html_2b2ed72.gif

х = (-1)hello_html_m273dd4c7.gifarcsinhello_html_2b2ed72.gif +hello_html_m743fac6b.gif.

х = (-1)hello_html_m273dd4c7.gifhello_html_56c04310.gif + hello_html_m743fac6b.gif.

Ответ: hello_html_698a7225.gif; (-1)hello_html_m273dd4c7.gifhello_html_56c04310.gif + hello_html_m743fac6b.gif.


Приведение к однородному уравнению.

Уравнение называется однородным относительно синуса и косинуса, если все его члены одной и той же степени относительно синуса и косинуса одного и того же угла.

Пример. Решить уравнение hello_html_5b442847.gif.

Решение: разделим обе части уравнения на hello_html_2a17fa13.gifhello_html_me836c16.gif.

Если hello_html_2a17fa13.gifhello_html_7ba85c16.gif, то hello_html_m486dd02a.gif, что противоречит основному тригонометрическому тождеству.

Имеем

hello_html_667c241d.gif, hello_html_m41b6e6e3.gif, hello_html_md4ea9ac.gif

Ответ: hello_html_4d5d7281.gif.


Преобразование произведения в сумму.

В этом методе используется соответствующие формулы.

Пример. Решить уравнение hello_html_medc1945.gif.

Решение: преобразуем левую часть в сумму:

hello_html_m748551c6.gif,

hello_html_m70066e12.gif,

hello_html_37924f04.gif,

hello_html_maf7dd08.gif,

hello_html_m2deb15b2.gif.

Ответ: hello_html_70409666.gif.


Практические занятия – не предусмотрено.


Задания для самостоятельного выполнения:

1. sin2hello_html_m68bab4a0.gif = hello_html_5a1dc688.gif; 2. 3sin(2hello_html_m68bab4a0.gif + hello_html_2e8a3f83.gif) = 0;

3. hello_html_2d077f92.giftg(4hello_html_m68bab4a0.gif+ hello_html_2e8a3f83.gif) = 3; 4. hello_html_m4b566c54.gif(hello_html_m68bab4a0.gif- hello_html_5a1dc688.gif) = 1;

5. sinhello_html_m5c273eeb.gif3hello_html_m68bab4a0.gif - 3 sin 3x + 2 = 0; 6. tg hello_html_m68bab4a0.gif– 3 ctg hello_html_m68bab4a0.gif= 2;

7. hello_html_m399fe6f.gif; 8. hello_html_6e7ad7a2.gif.

9. hello_html_m7bad4bf4.gif;

10.hello_html_285b4fc3.gif


Форма контроля самостоятельной работы:

- проверка рабочих тетрадей;

- математический диктант по формулам.


Вопросы для самоконтроля:

Какие уравнения называются тригонометрическими?

Как используются свойства тригонометрических функций при решении тригонометрических уравнений?


9.Решение тригонометрических неравенств.

Определение. Неравенства, содержащие переменную только под знаком тригонометрической функции, называются тригонометрическими.

При решении тригонометрических неравенств используют свойство монотонности тригонометрических функций, а также промежутки их знакопостоянства.

Для решения простейших тригонометрических неравенств используют единичную окружность или графики тригонометрических функций.

Примеры1. Решить неравенство sinx > hello_html_2b2ed72.gif.

Решение:

1-й способ. Воспользуемся определением синуса.

hello_html_m54400933.png








Выделим на единичной окружности множество точек, ординаты которых больше hello_html_2b2ed72.gif, т.е. hello_html_56c04310.gif < х < hello_html_26857a0a.gif. Используя периодичность функции f(x) = sinx, запишем

hello_html_56c04310.gif + 2πk < х < hello_html_26857a0a.gif + 2πk, k hello_html_m7cb53dec.gifZ .

Ответ: (hello_html_56c04310.gif + 2πk; hello_html_26857a0a.gif + 2πk), k hello_html_m7cb53dec.gifZ .

2 способ. Для решения данного неравенства строим графики функций hello_html_7213b5e5.gif и hello_html_m7c0ee74f.gif

На рисунке видно, что прямая hello_html_m7c0ee74f.gif пересекает синусоиду в бесконечном числе точек.


hello_html_m54400933.png



hello_html_707d6a79.png







Один из промежутков, удовлетворяющий данному неравенству hello_html_m748112e0.gif. Воспользовавшись промежуточностью синуса, запишем окончательный ответ: hello_html_m2118e6.gif

2. Решить неравенство hello_html_m4b14ef6.gif.

Решение: Заменим 3х+1 на t, получим hello_html_m51d3193f.gif

Выделим на единичной окружности множество точек, абсциссы которых меньше или равны -hello_html_22c7d214.gif.

hello_html_ac1c5ab.png





Получаем hello_html_m7c912db8.gif.

Используя периодичность функции hello_html_m7e6fd224.gifhello_html_m53d4ecad.gif, запишем

hello_html_471db2bb.gif, hello_html_m6e03ccc2.gifhello_html_m509191c0.gif.

Ответ: hello_html_3d3d64cd.gif

Ответ: hello_html_3d3d64cd.gif

3. Решить неравенство hello_html_bb34c49.gif

Решение: Построим график функции y=tg x (ограничимся промежутками длиной периода – (hello_html_318371f3.gif))

Пhello_html_m14d60bd6.pngроведем прямую у =1.








Найдем промежуток оси абсцисс, на котором график проходит не ниже построенной прямой. Этот промежуток и будет решением неравенства на рассматриваемом интервале. С учетом периодичности функции hello_html_m52a8d42d.gif получаем hello_html_m21e9fa1.gif

Ответ: hello_html_m44bcd809.gif

Практические занятия – не предусмотрено.

Задания для самостоятельного выполнения:

1. Составьте алгоритм решения тригонометрических неравенств.

2. Решите неравенства:

а) hello_html_284fe51c.gif; б) hello_html_m9d28c3f.gif;

в) hello_html_m4a054800.gif; г)hello_html_385a689d.gif;

д) hello_html_746f5756.gif; е)hello_html_m1f737d50.gif.

Форма контроля самостоятельной работы:

- проверка рабочих тетрадей;

- устный опрос.


Вопросы для самоконтроля:

1.Какие неравенства называются тригонометрическими?

2.Как используются свойства тригонометрических функций при решении тригонометрических неравенств?


Умения, сформированные у студента после изучения раздела:


выполнять арифметические действия над числами, сочетая устные и письменные приемы; находить приближенные значения величин и погрешности вычислений (абсолютная и относительная); сравнивать числовые выражения;

находить значения корня, степени, логарифма, тригонометрических выражений на основе определения, используя при необходимости инструментальные средства; пользоваться приближенной оценкой при практических расчетах;

выполнять преобразования выражений, применяя формулы, связанные со свойствами степеней, логарифмов, тригонометрических функций;


использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни:

для практических расчетов по формулам, включая формулы, содержащие степени, радикалы, логарифмы и тригонометрические функции, используя при необходимости справочные материалы и простейшие вычислительные устройства.


Функции и графики

уметь:

вычислять значение функции по заданному значению аргумента при различных способах задания функции;

определять основные свойства числовых функций, иллюстрировать их на графиках;

строить графики изученных функций, иллюстрировать по графику свойства элементарных функций;

использовать понятие функции для описания и анализа зависимостей величин;


использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни:

для описания с помощью функций различных зависимостей, представления их графически, интерпретации графиков.



Раздел 4. Начала математического анализа.


Тема.4.1. Последовательности. Пределы последовательности


Основные понятия и термины по теме: числовая последовательность, предел последовательности.

План:

Числовая последовательность и её предел.

2. Основные теоремы о пределах.


Краткое изложение теоретических вопросов:


1.Числовая последовательность и её предел.


Пусть каждому числу натурального ряда 1,2,…n ставится в соответствие вещественное число hello_html_m5bbfdc37.gif, то есть заданы некоторые вещественные числа, определенным образом пронумерованные. Тогда множество пронумерованных чисел hello_html_mcdc5f9d.gif, hello_html_md34da08.gif, …. hello_html_m5c6ffca1.gif называется числовой последовательностью.

Числа hello_html_mcdc5f9d.gif, hello_html_md34da08.gif, …. hello_html_m5c6ffca1.gif будем называть элементами или членами последовательности.

hello_html_m5c6ffca1.gif - общий член последовательности.

Общий член последовательности является функцией от n.

xn = f (n)

Т.о. последовательность может рассматриваться как функция порядкового номера элемента.

Задать последовательность можно различными способами – главное, чтобы был указан способ получения любого члена последовательности.


Пример. 1.{xn} = {(-1)n} или {xn} = -1; 1; -1; 1; …


2.{xn} = {sinhello_html_m5ffa4be8.gif} или {xn} = 1; 0; 1; 0; …

Введём понятие предела последовательности.

В дальнейшем курсе математики понятие предела будет играть фундаментальную роль, так как с ним непосредственно связаны основные понятия математического анализа – производная, интеграл и др.

Число А называется пределом последовательности {xn}, если для любого положительного >0 существует такой номер N, что для всех n > N выполняется условие:hello_html_12144952.gif(1)

Это записывается: lim xn = А.

В этом случае говорят, что последовательность {xn}сходится к А при n.

Чтобы сформулировать это определение в геометрических терминах введем следующее понятие.

Окрестностью точки x0 называется произвольный интервал (a, b), содержащий эту точку внутри себя.

Часто рассматривается окрестность точки x0, для которой x0 является серединой, тогда x0 называется центром окрестности, а величина (ba)/2 – радиусом окрестности.

hello_html_34160cf9.png







Распишем неравенство(1)hello_html_1cb89fb2.gif или hello_html_m4f11b90c.gif

Это неравенство означает, что все элементы последовательности с номерами n>N должны лежать в интервале (А – ε; А + ε).



Следовательно, постоянное число А есть предел числовой

последовательности {xn}, если для любой малой окрестности с центром в точке А радиуса ε (ε – окрестности точки А) найдется такой элемент последовательности с номером N, что все последующие элементы с номерами n>N будут находиться внутри

этой окрестности.hello_html_m6a531415.gifhello_html_m48913862.gifhello_html_m48fb0929.gifhello_html_m3557bdf2.gif

2.Основные теоремы о пределах.


Теорема 1. hello_html_m33e3de2b.gif, где С = const.

Следующие теоремы справедливы при предположении, что функции f(x) и g(x) имеют конечные пределы при ха.


Теорема 2. hello_html_38d96874.gif

Коротко: Предел алгебраической суммы функций равен сумме пределов заданных функций.


Теорема 3. hello_html_m2c63f3f3.gif

Коротко: Предел произведения функций равен произведению пределов заданных функций.


Следствие. hello_html_m26528ada.gif

Коротко: Постоянный множитель можно вынести за знак предела.


Теорема 4. hello_html_m359f91fe.gif при hello_html_m4e9c4a27.gif

Коротко:

Предел частного двух функций ( при условии, что предел знаменателя отличен от нуля) равен частному пределов.


Пример.

1. Найти hello_html_m54fbefa4.gif(hello_html_m438ad2d1.gif)

Решение.

hello_html_m54fbefa4.gif(hello_html_m438ad2d1.gif)=13

Используем теорему о пределе суммы, произведения и следствия о пределе степени

2. Найти hello_html_m51de89e4.gif.


Решение.

Так как пределы числителя и знаменателя существуют и предел знаменателя не равен нулю, то можно применить теорему о пределе дроби:

hello_html_m2e440c58.gif.

3. Найти hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m7286e06b.gif

Решение.

Так как пределы числителя и знаменателя существуют и предел знаменателя не равен нулю, то можно применить теорему о пределе дроби:


hello_html_m7286e06b.gif= hello_html_4471d6ad.gif


Задания для самостоятельного выполнения:



1.Подготовить доклад на тему «Бесконечно малая и бесконечно большая последовательность и связь между ними»

2.Вычислить пределы функций.

hello_html_471d435f.gif

6.hello_html_56a3e03f.gif;

7. hello_html_5a9140d4.gif

Форма контроля самостоятельной работы:

Устный опрос.

Проверка рабочей тетради.

Оценка сообщений.


Вопросы для самоконтроля по теме:



1.Дайте определение числовой последовательности.

2.Дайте определение предела числовой последовательности.

3.Сформулируйте основные теоремы о пределах.

Тема 4.2 Производная функции и её применение.

Основные понятия и термины по теме: производная, дифференцирование функции, сложная функция, касательная к графику функции, критическая точка, монотонность функции, экстремум функции.


План:


1.Понятие о производной.

2. Производные сложных функций.

3. Техника дифференцирования.

4. Геометрический, физический и механический смысл

производной

5. Исследование функции на монотонность и экстремум.

6.Наибольшее и наименьшее значения функции.

7.Исследование функции с помощью производной.



Краткое изложение теоретических вопросов:


1.Понятие о производной.

Рассмотрим некоторую функцию  y = f ( x ) в двух точках  x0  и  x0 + hello_html_m612c21f1.pngf ( x0 ) и  f ( x0 + hello_html_m612c21f1.png). Здесь через hello_html_m612c21f1.pngобозначено некоторое малое изменение аргумента, называемое приращением аргумента; соответственно разность между двумя значениями функции:  f ( x0 + hello_html_m612c21f1.png) f ( x0 ) называется приращением функции.

Производной функции  y = f ( x ) в точке  x0  называется предел:

hello_html_21dcaa17.png



Если этот предел существует, то функция   f ( x )  называется дифференцируемой в точке  x0 . Производная функции   f ( x ) обозначается так:

hello_html_m25f0782d.png

Операция отыскания производной функции называется дифференцированием функции.

Задания для самостоятельного выполнения:


1.Подготовить сообщения по темам

«Непрерывность функции», «Метод интервалов» с презентацией по данным темам.

2.Составить алгоритм решения неравенств методом интервалов.

3. Решите неравенство hello_html_m64a1c0af.gif


4.Решите неравенства и сверьте с ответом.


а. hello_html_bf33635.gifhello_html_21933c84.gif.

б. hello_html_m7ca30971.gifhello_html_m78abd921.gif.

в. hello_html_770735b5.gifНет решений


Форма контроля самостоятельной работы:

Устный опрос.

Проверка рабочей тетради.

-- Защита сообщений.


Вопросы для самоконтроля по теме:


1. Определение функции непрерывной в точке и на отрезке.

2. Метод интервалов.


Таблица производных



2. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна сумме произведения производной первой из них на вторую и произведения первой функции на производную второй.

hello_html_6341bc64.gif.

2a. Следствие.

Постоянный множитель можно вынести за знак производной.

hello_html_m206002b3.gif.

3.Производная частного двух дифференцируемых функций равна дроби, числитель которой представляет собой разность между произведением делителя на производную делимого и произведением делимого на производную делителя, а знаменатель равен квадрату знаменателя (при условии, что знаменатель отличен от 0).

hello_html_1b4400b2.gif(при условии что hello_html_m2262ced0.gif ).


3а. Следствие.

hello_html_m5a0c8b7.gif


Для производной дроби, в знаменателе которой постоянная величина, находят производную числителя, а знаменатель оставляют без изменения.



Задания для самостоятельного выполнения:


1.Составить алгоритм нахождения производной функции.

2.Указав правило дифференцирования, найдите производные функций.


1. Производная функции

hello_html_m248c28dc.gifимеет вид


а)hello_html_72a26805.gif; б) hello_html_700e8e4d.gif;

в) hello_html_965b82e.gif; г) hello_html_79c82a04.gif.

2. Производная функции y = сtg x -4 sin x.


а)hello_html_m6ed5a576.gif б) hello_html_m7b35473b.gif

в) hello_html_45eff8b7.gif; г) hello_html_18531343.gif

3.Производная функции

hello_html_604a821.gif.


а) hello_html_m36a7b0ac.gif; б) hello_html_702be95.gif

в) hello_html_m7b321098.gif г) hello_html_m58931592.gif


4.Производная функции hello_html_350d37ed.gif

а) hello_html_m7889bcd7.gif; б) hello_html_4d769742.gif;

в) hello_html_m3370e47e.gif; в) hello_html_m2a97166a.gif.


5.Производная функции

hello_html_m248c28dc.gifимеет вид


а)hello_html_72a26805.gif; б) hello_html_700e8e4d.gif;

в) hello_html_965b82e.gif; .ифференцирования найти производные функциинкции.______________________________________________________________________________г) hello_html_79c82a04.gif.


6.Производная функции hello_html_m2e6f185b.gifимеет вид…

7.Производная функции hello_html_11215481.gif имеет вид…


Форма контроля самостоятельной работы:

Устный опрос.

Проверка рабочей тетради.

-- Математический диктант по формулам.

Вопросы для самоконтроля по теме:


1.Что называют приращением функции.

2. Что называют приращением аргумента.

3.Дайте определение производной функции.

4.Сформулируйте правила дифференцирования.


2.Производная сложной функции.


Пусть переменная y есть функция от переменной u, т.е. y=f(u), а переменная u в свою очередь есть функция от независимой переменной x, то говорят, что задана сложная функция y=f(u(x)) , где u-промежуточный аргумент.

Пример. 1.Пусть у = u 4, если u = 2х + 3, то у = (2х + 3)4- сложная функция с промежуточным аргументом 2х +3.

2. Пусть у = sin u, если u = 2х, то у = sin 2х – сложная функция с промежуточным аргументом 2х.hello_html_m53d4ecad.gif

3. Пусть у = hello_html_md78fee4.gif, если u = 3х – 4, то у = hello_html_m784aace7.gif- сложная функция с промежуточным аргументом 3х-4.


Правило нахождения производной сложной функции.


Если y = f(u) и u =hello_html_m53d4ecad.gifg(x) – дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная сложной функции существует и равна производной данной функции по промежуточному аргументу, умноженной на производную самого промежуточного аргумента по независимой переменной.

hello_html_4b679ee5.gif.

Пример.


Найти производную функции у = sin3х.

Пусть hello_html_m3539686.gif, где hello_html_2e0b7f3c.gif, тогда

hello_html_21c825e2.gif.


Задания для самостоятельного выполнения:


Найдите производные заданных функций и сверьте с ответом.


1.у = ( 5х+4)7 у/ = 35 ( 5х + 4)6.


2. у = hello_html_m6f091aa5.gif у/ =hello_html_2645f8b3.gif.


3. у = coshello_html_5b232fb5.gif у/ = -2 sin hello_html_5b232fb5.gif


4. у = tg hello_html_129563fb.gif у/ = hello_html_md698c8e.gif

5. у = е. у/ = 3 е.


6. у = arcsin 4х. у/ = hello_html_3d1a39e.gif


7. у = 5 у/ = 6 ∙ 5ln 5.


8. у = ln (5х-3) у/ = hello_html_m485ddc2b.gif


9. у = sin2х у/= sin 2х.



10. у = еcosх у/ = -sinх ∙ еcosх



Форма контроля самостоятельной работы:

Устный опрос.

Проверка рабочей тетради.

Вопросы для самоконтроля по теме:


1.Дайте определение сложной функции.

2. Сформулируйте правило дифференцирования сложной функции.



3.Техника дифференцирования.


Для дифференцирования функции необходимо знать таблицу

производных, правила дифференцирования функции и правило дифференцирования сложной функции.


1. Найти производную функции hello_html_20b21313.gif


По правилу 1 найдём производную каждого слагаемого:


у' = (х3+cos х)' = (х3)'+(cos х)' = 3х2sin х.


2. Найти производную функции hello_html_626e2cdf.gif


По правилу 2 найдём производную произведения 2hello_html_46583ee2.gifдифференцируемых функций:


у' = hello_html_176ae3b7.gif= ( х2)' sin х + х2· (sin х)'= 2х·sin х + х2cos х.


3. Найти производную функции hello_html_m5bd858e4.gif


По следствию 2a найдём производную функции.


у' = (5х4)' = 5 (х4)'= 5∙4х3= 20 х3.


4. Найти производную функции y =hello_html_m272b35c8.gif.

По правилу 3 найдём производную частного 2hello_html_46583ee2.gifдифференцируемых функций:

у' = hello_html_m3a99b79f.gif.

5. Найти производную функции hello_html_6d7f690e.gif


По следствию 3а найдём производную дроби:

у' =hello_html_m18348921.gif


6. Найти производную функцииhello_html_1de17b62.gif.

Данная функция является степенной, сложной. Для её дифференцирования применяем правило дифференцирования сложной функции.

Пусть hello_html_dacfe6d.gif, где hello_html_m796a9825.gif, тогда

hello_html_m547e7d82.gif.


7. Найти производную функции hello_html_m2fd9f627.gif.

Данная функция является сложным косинусом. Для её дифференцирования применяем правило дифференцирования сложной функции.


Пусть hello_html_mb880b50.gif, где hello_html_m5fd974c3.gif, тогда

hello_html_12dc72e.gif8. Найти производную функции hello_html_m313ac9b.gif.


Преобразуем функцию: hello_html_784bf27f.gif.


По правилу 1 найдём производную каждого слагаемого:


hello_html_m180def75.gif.


9. Найти производную функции у = hello_html_m784aace7.gif.

Данная функция является сложным корнем.


Для её дифференцирования применяем правило дифференцирования сложной функции.

Пусть у = hello_html_md78fee4.gif, где u = 3х – 4, тогдаhello_html_69188a2e.gif

10. Найдите производную функции hello_html_2b5cfd4a.gif

Преобразуем данную функцию hello_html_m578fb6a2.gif


Данная функция сложный косинус с промежуточным аргументом u = hello_html_29b35009.gif Используя правило дифференцирования сложной функции, получим : hello_html_m73a7bac2.gif



4. Геометрический, физический и механический смысл

производной.


Геометрический смысл производной.

Рассмотрим график функции  y = f ( x ):

hello_html_12c46e0a.png


Из рис.1  видно, что для любых двух точек A и B графика функции:  hello_html_m17261554.gif, где  hello_html_m65bc79f3.png- угол наклона секущей AB. Таким образом, разностное отношение равно угловому коэффициенту секущей. Если зафиксировать точку A и двигать по направлению к ней точку B, то  hello_html_m612c21f1.pngнеограниченно уменьшается и приближается к 0, а секущая АВ приближается к касательной АС. Следовательно, предел разностного отношения равен угловому коэффициенту касательной в точке A. Отсюда следует: производная функции в точке есть угловой коэффициент касательной к графику этой функции в этой точке. В этом и состоит геометрический смысл производной.

Уравнение касательной.

Выведем уравнение касательной к графику функции в точке

A ( x0f ( x0  ) ). В общем случае уравнение прямой с угловым коэффициентом  f ’( x0 )  имеет вид:

y = f ’( x0 x + b .

Чтобы найти b, воспользуемся тем, что касательная проходит через точку A:

f ( x0 ) = f ’( x0 ) · x0 + b ,

отсюда,  bf ( x0 ) – f ’( x0 ) · x0 , и подставляя это выражение вместо  b, мы получим  уравнение касательной:

y =  f ( x0 ) +  f ’( x0 ) · ( x – x0  ) .

Пример.

1.Напишите уравнение касательной к графику функции f в точке с абсциссой хhello_html_m6f7407bd.gif, если f(х) = hello_html_m47063e1.gif.

Решение:

hello_html_330aed7c.gif - уравнение касательной, проходящей через точку hello_html_23dd5e41.gif

Найдём 1.hello_html_m44a2ef8d.gif

2.hello_html_49ba311f.gif,

3. hello_html_m4857ee22.gif

Ответ: Уравнение касательной у = х.


2. Найдите тангенс угла наклона к оси абсцисс касательной, проходящей через данную точку М графика функции f, если f(х)= хhello_html_m5c273eeb.gif, М (-3; 9).

Решение:

Из геометрического смысла производной следует: tghello_html_275bbcab.gif.

Найдём hello_html_3c5c73f4.gif так как hello_html_m267f96b.gif тоhello_html_m48591e37.gif. Отсюда tghello_html_36915803.gif


Ответ: Тангенс угла наклона касательной равен -6.



Механический смысл производной.

Рассмотрим простейший случай: движение материальной точки вдоль координатной оси, причём закон движения задан:  координата  x  движущейся точки – известная функция  x ( t ) времени  t. В течение интервала времени от  t0  до  t0 + hello_html_36958282.png  точка перемещается на расстояние:  x ( t0 + hello_html_36958282.png) x ( t0 ) = hello_html_m612c21f1.png, а её средняя скорость равна:  va = hello_html_m612c21f1.pnghello_html_36958282.png. При  hello_html_36958282.pnghello_html_6fdae091.png0  значение средней скорости стремится к определённой величине, которая называется мгновенной скоростью v ( t0 )  материальной точки в момент времени  t0 . Но по определению производной мы имеем:

hello_html_m332f1c81.png

отсюда,  v ( t0 ) = x’ ( t0 ) , т.e. скорость – это производная координаты по времени. В этом и состоит  механический смысл производной. Аналогично, ускорение – это производная скорости по времени:  a = v’ ( t ).



Задания для самостоятельного выполнения:


1.Подготовить реферат по теме «Применение производной к приближённым вычислениям»


2.Выполните задания и сверьте с ответом.


а) Найдите тангенс угла наклона к оси абсцисс касательной, проходящей через данную точку М графика функции.

1. f(х) = хhello_html_m496e1919.gif=1. (3).

2. f(х)= ln х , hello_html_m6e207cda.gif=1. (1).

3. f ( х)=sin х, hello_html_23d3995.gif. (hello_html_m6eca70c9.gif)


б) Напишите уравнение касательной к графику функции у = f(х) в точке с абсциссой hello_html_m6e207cda.gif.


1. f(х) = хhello_html_506af8ea.gif ( у =3х).

2. f(х) = hello_html_md8b079a.gif (у =-hello_html_mb71f60c.gif)

3. f(х) = sin х , hello_html_77ba49f2.gif =hello_html_7578b7ab.gif.)

3.Составить задачи на использование физического смысла производной.


Форма контроля самостоятельной работы:

Устный опрос.

Проверка рабочей тетради.

-- Отчёт по творческому заданию.

--- Проверка рефератов.

Вопросы для самоконтроля по теме:


1.Как найти мгновенную скорость прямолинейного неравномерного движения.

2. Как вычислить угловой коэффициент касательной к кривой в данной точке.

3. Каков геометрический смысл производной.



5. Исследование функции на монотонность и экстремум.


Достаточные признаки монотонности функции.

Если  f ’( x) > 0  в каждой точке интервала ( a, b ), то функция 

f ( x) возрастает на этом интервале.

Если  f ’( x) < 0  в каждой точке интервала ( a, b ) , то функция 

f ( x ) убывает на этом интервале.

 

Теорема Дарбу. Точки, в которых производная функции равна 0  или не существует, делят область определения функции на интервалы, внутри которых производная сохраняет знак.

Используя эти интервалы, можно найти интервалы монотонности функций, что очень важно при их исследовании.

Критические точки. Внутренние точки области определения функции, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими точками этой функции.


 

Необходимое условие экстремума. Если x0 - точка экстремума функции f ( x )  и производная  f’  существует в этой точке, то 

f’ ( x0 ) = 0.

Эта теорема - необходимое условие экстремума. Если производная функции в некоторой точке равна 0, то это не значит, что функция имеет экстремум в этой точке. Например, производная функции  f ( x ) = x 3 равна 0 при  x = 0, но эта функция не имеет hello_html_652886ee.png

экстремума в данной точке.

С другой стороны, функция  y = | x | имеет минимум в точке  x = 0 , но в этой точке производной не существует.


 

Достаточные условия экстремума.

Если производная при переходе через точку  x0  меняет свой знак с плюса на минус, то  x0  - точка максимума.

Если производная при переходе через точку  x0  меняет свой знак с минуса на плюс, то  x0  - точка минимума.

 

Алгоритм исследования функции на монотонность.


1. Найти D(f).

2. Найти hello_html_m45fbf738.gif.

3. Найти критические точки, т.е. точки, где  hello_html_m28fc0860.gifили hello_html_m45fbf738.gifсуществует.
4. Расположить D(f) и критические точки на координатной прямой.

5. Определить знак производной на  каждом из интервалов.

6. Применяя достаточные признаки монотонности функции

сделать вывод о монотонности функции на каждом интервале.

7. Записать ответ.


Алгоритм исследования функции на экстремум.


1. Найти D(f).

2. Найти hello_html_m45fbf738.gif.

3. Найти критические точки, т.е. точки, где  hello_html_m28fc0860.gifили hello_html_m45fbf738.gifсуществует.
4. Расположить D(f) и критические точки на координатной прямой.

5. Определить знак производной на каждом из интервалов.

6. К критическим точкам применить достаточные признаки

экстремума функции. Указать hello_html_315cacfb.gif(Если необходимо найти точки экстремума, то сделаем вывод)

7. Вычислить hello_html_5bf31317.gif

8. Записать ответ.


Пример.


1. Найдите точки экстремума функции у= 3hello_html_508dcad0.gif


Для исследования используем алгоритм исследования функции на экстремум(с1-6пункт).


1. D( у) = hello_html_mb801f49.gif

2. hello_html_m2728d9f7.gif= 6х +36= 6(х+6)hello_html_m53d4ecad.gif

3. 6(х+6)=0, X +6=0 , Х = -6.


hello_html_5f5fd29c.gif

hello_html_6e31ce8f.gifhello_html_m1dc3f968.gif4 .



5. hello_html_450a224e.gif

hello_html_2823b65e.gif

6.В точке хhello_html_m6f7407bd.gif= -6 производная меняет знак с (-) на (+) , тогда хhello_html_m6f7407bd.gif= -6 - точка минимума функции.

Ответ: -6.

2. Исследовать функцию на экстремум y = hello_html_207a7b0.gif

Для исследования используем алгоритм исследования функции на экстремум.


1. D(у)= hello_html_m33431af1.gif.

2. уhello_html_m45c2509.gif

3. hello_html_m62364be1.gif


hello_html_m61270f3b.gif; hello_html_m2bdf1840.gif

hello_html_60f0a982.gif


4hello_html_6e31ce8f.gifhello_html_6e31ce8f.gifhello_html_m1dc3f968.gifhello_html_m1dc3f968.gif.



5.hello_html_2a4bf450.gif;hello_html_f985262.gif

hello_html_47070022.gif;hello_html_m391dc4c4.gif.

На промежутках hello_html_1871679e.gif функция возрастает. На промежутках hello_html_m2f4e536.gif функция убывает.


6.Исследуем критические точки -5 и 5 на экстремум.


При переходе через точку -5 производная меняет знак с (+) на

(-), тогда в силу достаточного признака максимума, -5 является точкой максимума.

При переходе через точку 5 производная меняет знак с (-) на (+) тогда в силу достаточного признака минимума, 5 является точкой минимума.

7. hello_html_3929609.gifhello_html_m6b4d6d44.gif


Ответ: hello_html_255e66a6.gif


Задания для самостоятельного выполнения:


Выполните задания и сверьте с ответом.

1. Найдите точки экстремума функции:

а) у = 2hello_html_6a359d53.gif (hello_html_m1dbce7b4.gif)

в) у =hello_html_m7d95687c.gif (hello_html_24abb24c.gif).

2. Исследуйте функцию на экстремум:

а) у = hello_html_61ffd448.gif (hello_html_m293fe592.gif

в) у = хln х. (уhello_html_22d4be97.gifhello_html_m416148a0.gif



Форма контроля самостоятельной работы:

Устный опрос.

Проверка рабочей тетради.

Вопросы для самоконтроля по теме:


1..Дайте определение возрастающей и убывающей функции, монотонной функции.

2.Сформулируйте достаточное условие монотонности функции.

3. Дайте определение критической точки.

4.Дайте определение точки максимума и точки минимума.

5.Дайте определение максимума и минимума функции,

экстремума функции.

6.Сформулируйте необходимое условие экстремума функции.

7.Сформулируйте достаточное условие максимума, минимума функции.





6.Наибольшее и наименьшее значения функции.


В основе нахождения наибольшего и наименьшего значения функции лежит теорема Вейерштрасса:

Нhello_html_m354c260b.gif
hello_html_7cc48820.gifепрерывная на отрезке [a;b] функция f принимает на этом отрезке наибольшее и наименьшее значения, то есть на [a;b] существуют точки, в которых функция принимает наибольшее и наименьшее на [a;b] значения.

Рассмотрим 2 случая.

Первый случай: функция f на [a;b] не имеет критических точек, то есть либо возрастает (рис. 1), либо убывает (рис. 2).

Наибольшее и наименьшее значения функция f на [a;b] принимает на его концах a и b.

Второй случай: Функция f имеет на [a;b] конечное число критических точек. hello_html_99388d9.gif- критические точки.

Тhello_html_4d21dc0.gifогда hello_html_4ee1cb63.gif разбивают [a;b] на [a;x1], [x1;x2], [x2;b] где наибольшее и наименьшее значения функция принимает на концах, то есть либо в критических точках функции или в точках a и b.







Вывод: Наименьшее и наибольшее значения на отрезке функция принимает либо в критических точках данного отрезка, либо на его концах.


Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функций на отрезке


Найти hello_html_m45fbf738.gif.

Найти критические точки, т.е. точки, где  hello_html_m28fc0860.gif.

Выбираем критические точки, принадлежащие данному отрезку.

Вычисляем значения функции на концах отрезка и в отобранных критических точках.

Сравнить полученные значения, записать ответ.


Пример.


1. Найдите наибольшее и наименьшее значенияhello_html_m53d4ecad.gif функции f(x)=hello_html_m29ccad2d.gif на hello_html_327bf8b5.gif.


1.Найдём производную функции

(x) = = hello_html_1ed0710b.gif

2.Найдём критические точки.

hello_html_m3678db38.gif

hello_html_m372e4c50.gifhello_html_m10956280.gif

X =1, х = -1 – критические точки.


3.Выбираем критические точки, принадлежащие hello_html_327bf8b5.gif.

hello_html_2c361e09.gif

4. Находим значения функции в критических точках и на концах отрезка.

f (1) = 4, f ( 1/2 ) = 6hello_html_68adb44d.gif, f (2) = 9,5

5. Выбираем среди найденных значений наименьшее и наибольшее значения функции.


На отрезкеhello_html_327bf8b5.gifhello_html_m6b96ef4c.gif


Ответ: На отрезке hello_html_327bf8b5.giff max = 9,5 , f min = 4.

Практическое занятие: Не предусмотрено


Задания для самостоятельного выполнения:


1.Составить алгоритм решения задач прикладного характера на наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

2.Подобрать задачу прикладного характера, построить математическую модель и по алгоритму решить её.



Форма контроля самостоятельной работы:

-- Устный опрос.

-- Отчёт по творческому заданию.


Вопросы для самоконтроля по теме:


1. Теорема Вейерштрасса.


7.Исследование функции с помощью производной.

Для построения графика функции исследуют свойства этой функции с помощью производной по следующему алгоритму:

Область определения функции.

Чётность или нечётность функции.

Периодичность функции.

Пересечение графика функции с осями координат.

Производная функции.

Критические точки.

Исследуют на монотонность.

Критические точки исследуют на экстремум.

Экстремум функции.

10. Построить график функции.

Пример. Исследовать функцию и построить график функцию у = х +hello_html_4ce36f4d.gif

1.D(у) = hello_html_m33431af1.gif, т.к. функция - дробно-рациональная.

2.у(-х) = -х + hello_html_1a24b19f.gif у = х +hello_html_m1821b7d1.gif нечетная функция

3.Непериодическая.

4.Пересечение с осью ОХ: х +hello_html_1861fb2e.gif;hello_html_78fde55d.gif

hello_html_5c2c5ea0.gif

точек пересечения с осью ОХ нет.

Пересечение с осью ОУ: т.к. хhello_html_me836c16.gif, то пересечений с осью ОУ нет.

5. hello_html_50b84860.gif.

6. Найдём критические точки:hello_html_m41bc5607.gif

hello_html_1f8c5cee.gifhello_html_m60790166.gif


7hello_html_mff942b6.gif
. Исследуем функцию на монотонность:

hello_html_m5c591aa1.gif;hello_html_7a52f77e.gif;

hello_html_703aad90.gifhello_html_5e582be9.gif

На промежутках hello_html_mea67379.gif функция у =х +hello_html_m147c7963.gif возрастает.

На промежутках hello_html_m2133ff87.gif функция у = х +hello_html_m147c7963.gif убывает.

8. Исследуем критические точки -2 и 2 на экстремум.

Т.к. при переходе через точку -2 производная меняет знак с (+) на (-) , то хhello_html_6be28dbb.gif

Т.к. при переходе через точку 2 производная меняет знак с (-) на (+) , то хhello_html_65eb3b88.gif

9. Найдём экстремум функции.

У;hello_html_2a70be4d.gif; hello_html_256ff4ea.gif

10.Построим график функции.



hello_html_1931e15b.gif














Практические занятия: Не предусмотрено.


Задания для самостоятельного выполнения:

1.Подготовить реферат по теме «Вторая производная. Геометрический и физический смысл второй производной. Применение второй производной к исследованию функции»

2. Индивидуальное задание по исследованию функции и построению графика.


Форма контроля самостоятельной работы:

---Оценка рефератов.

--- Проверка и отчёт по индивидуальному заданию.


Вопросы для самоконтроля по теме:

1.Вторая производная.

2. Геометрический и физический смысл второй производной.

3.Исследование графика функции на выпуклость и вогнутость.

4.Алгоритм построения графиков функций.



Тема 4.3 Первообразная и интеграл.


Основные понятия и термины по теме: первообразная функции, интегрирование функции, основное свойство первообразных, неопределённый и определённый интеграл, криволинейная трапеция и её площадь, площадь плоской фигуры, объем тела вращения.


План:


Первообразная. Основное свойство первообразной. Правила вычисления первообразных. Нахождение первообразных.

2. Неопределённый и определённый интеграл. Техника интегрирования.

3.Криволинейная трапеция и её площадь.

4.Площади плоских фигур.

5.Применение интеграла при вычислении объема тел вращения.

6.Применение интеграла. Вычисление первообразных и интегралов.


Краткое изложение теоретических вопросов.


1. Первообразная. Основное свойство первообразной. Правила вычисления первообразных. Нахождение первообразных.

Пусть на некотором промежутке hello_html_16f65d2e.gif задана функция hello_html_m4342c24e.gif. Функция hello_html_m65c9f41.gif называется первообразной для hello_html_m543bf3b1.gif на этом промежутке, если для всех hello_html_2465885b.gif выполняется равенство

hello_html_6d688026.gif.

Примеры:

1.Функция hello_html_495d67d2.gif является первообразной для функции hello_html_5d8e6f45.gif

Проверим: hello_html_m6523d575.gif

Но функция hello_html_m22df27eb.gif тоже является первообразной для функцииhello_html_7b37a90b.gif,т.к. hello_html_1f6e5df5.gif

Аналогично, функции hello_html_m287caef1.gif, hello_html_m1c088c17.gif будут первообразными для функции hello_html_5d8e6f45.gif

Основное свойство первообразной

Если функция hello_html_1593a3e3.gif есть первообразная для функции hello_html_m543bf3b1.gif на некотором промежутке hello_html_16f65d2e.gif, то функция hello_html_2c50057e.gifгде С – произвольная постоянная, - также является первообразной для функции hello_html_m543bf3b1.gif на промежутке hello_html_16f65d2e.gif, причем любая другая первообразная hello_html_m313ca8cf.gifфункции hello_html_m543bf3b1.gif на промежутке hello_html_16f65d2e.gif может быть записана в видеhello_html_m979c669.gif

Геометрически основное свойство первообразных можно интерпретировать так: графики всех первообразных данной функции hello_html_m543bf3b1.gif получаются из любого из них путем параллельного переноса вдоль оси hello_html_6c79c4f2.gif

Таблица первообразных:

есть первообразная для hello_html_m12c22206.gif, а hello_html_293c8f8b.gif- первообразная для hello_html_m35987bf8.gif, то hello_html_m411642f6.gif есть первообразная для hello_html_5af6b247.gif.

2. Если hello_html_356867b.gifесть первообразная для hello_html_m12c22206.gif, а hello_html_1c9f8d8d.gif- постоянная, то функция hello_html_78bb9970.gifпервообразная для hello_html_m49727d15.gif

3. Если hello_html_356867b.gifесть первообразная для hello_html_m12c22206.gif, а hello_html_1c9f8d8d.gif и hello_html_598fa74d.gifпостоянные, причем hello_html_622cc2a.gif, то

hello_html_m5be1bc84.gif есть первообразная для hello_html_m19ea6fa7.gif.


Нахождение первообразных.

1.Доказать, что функция hello_html_1593a3e3.gif есть первообразная для функции hello_html_m543bf3b1.gifна заданном промежутке:

а) hello_html_m600a39c5.gif

Решение: Найдем производную функции hello_html_1593a3e3.gif.

hello_html_m27fcf37.gif, для всех hello_html_3f11fa2.gif, что и требовалось доказать.

б) hello_html_4734166f.gif

Решение: Найдем производную функции hello_html_1593a3e3.gif.

Так как hello_html_6b5181b1.gif, то hello_html_m3d4cfa16.gifдля всех hello_html_m77aae815.gif Что и требовалось доказать.

2. Используя таблицу первообразных, найдите одну из первообразных для функции:

а) hello_html_1876b1a7.gif; б) hello_html_1a82ed0f.gif; в) hello_html_m10c69bf7.gif; г) hello_html_m543bf3b1.gif= hello_html_m1945aaf5.gif .

Ответы:

а) hello_html_m1eea68a.gif б) hello_html_f2ea78.gif; в) hello_html_m366f6ed2.gif;

г) hello_html_7232c12d.gif.

3. Для функции hello_html_m543bf3b1.gif найти первообразную, график которой проходит через заданную точку:

а) hello_html_2ffda506.gif ; hello_html_5e7cfd99.gif

Решение. Запишем общий вид первообразных для данной функции:

hello_html_m11c12c65.gif

Координаты точки hello_html_5e7cfd99.gif графика искомой первообразной должны удовлетворять уравнению hello_html_m3ff6f5a5.gif. Отсюда находим hello_html_m46fa2711.gif:

hello_html_714f0b2b.gif

Таким образом, искомая первообразная имеет вид hello_html_m3b7b9982.gif.

hello_html_m53d4ecad.gif4.hello_html_m53d4ecad.gifНайти общий вид первообразных для функции:

а)hello_html_m366b7879.gif.

Решение: Для функции hello_html_m3414682f.gif одна из первообразных есть hello_html_m6c417994.gif, а для функции hello_html_m7876970b.gif одной из первообразных является функция hello_html_27efb80b.gif, то по правилу 1 находим, что для функции hello_html_m366b7879.gif одной из первообразных будет hello_html_29e0675e.gif, а общий вид первообразных будет hello_html_5eefa7ca.gif

б)hello_html_3cc6f769.gif

Решение: по правилу 3 одной из первообразных для функции hello_html_14876a2c.gif будет функция hello_html_75c91d46.gif, а множество всех первообразных данной функции имеет вид hello_html_6de3a158.gif



Практические занятия: - не предусмотрено.


Задания для самостоятельного выполнения.

1. Составьте алгоритм нахождения первообразных функции.

2. Докажите, что функция hello_html_1593a3e3.gif есть первообразная для функции hello_html_m543bf3b1.gifна заданном промежутке:

а) hello_html_2f15e69b.gif;

б) hello_html_m571c8d42.gif;

в)hello_html_45373efd.gif;

2.Найдите первообразную функции, график которой проходит через заданную точку:

а) hello_html_c88474f.gif, hello_html_649aa857.gif; б) hello_html_1f099074.gifhello_html_48f3027d.gif;

в) hello_html_m226b09fb.gif, hello_html_m75ea78ab.gif г) hello_html_m72490c80.gif, hello_html_m2aaeefce.gif;

д) hello_html_68cd2fa7.gifhello_html_2003c0d3.gif; е) hello_html_m42de9d4c.gifhello_html_m7dfb30de.gif.

3. Указав правило нахождения первообразных, найдите множество первообразных функции:

а) hello_html_m6613b5e9.gif; б) ;

в) hello_html_m245aa277.gif; г) hello_html_m286eb306.gif;

д) hello_html_77267b24.gif; е) hello_html_m68588318.gif.




Форма контроля самостоятельной работы:

- устный опрос;

- проверка решения задач;

- проверка рабочих тетрадей;

- математический диктант по формулам.


Вопросы для самоконтроля:

1.Дайте определение первообразной.

2.Сформулируйте основное свойство первообразной.

3.Каков геометрический смысл основного свойства первообразных?

4.Сформулируйте три правила нахождения первообразной.


2. Неопределённый и определённый интеграл. Техника интегрирования.


Множество всех первообразных для функции hello_html_m4342c24e.gif на промежуткеhello_html_16f65d2e.gifназывается неопределенным интегралом для функции hello_html_m543bf3b1.gif и обозначается hello_html_mcb8d66.gif

Функцию hello_html_m543bf3b1.gif называют подынтегральной функцией, а произведение hello_html_m3325b1be.gif- подынтегральным выражением.

Таким образом,

hello_html_48235bf6.gif

Часто говорят: «взять неопределенный интеграл» или «вычислить неопределенный интеграл», понимая под этим следующее: найти множество всех первообразных для подынтегральной функции.


Геометрический смысл неопределенного интеграла.

Семейство интегральных кривых представляет собой геометрическую иллюстрацию неопределенного интеграла.




Таблица неопределенных интегралов.

1. hello_html_m368c585b.gifhello_html_m68b0cce8.gif; при hello_html_m452f70e1.gifhello_html_m4c3ae84c.gif. hello_html_m53d4ecad.gif

2. hello_html_1cfce7e2.gif 7. hello_html_586d950.gif

3. hello_html_62b58126.gif. 8. hello_html_2ef9e3e3.gif

4. hello_html_m1245d55e.gif 9. hello_html_674f84b7.gif

5. hello_html_2a70d9a2.gif 10. hello_html_m3d13a176.gif


6. hello_html_m49d34c25.gif





Свойства неопределенного интеграла.

1.Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла:

hello_html_m5149144f.gif

2.Интеграл от суммы непрерывных функций равен сумме интегралов слагаемых:

hello_html_m259bcccf.gif

3.hello_html_661eb70e.gif .




Определенный интеграл.

Пусть функция hello_html_1593a3e3.gif является первообразной для функции hello_html_m543bf3b1.gif на некотором промежутке hello_html_22de5eb6.gif, а числа hello_html_m1e1f273e.gif и hello_html_38c5ad6c.gif принадлежат этому промежутку.

Приращение hello_html_52573167.gif любой из первообразных функций hello_html_14118106.gif при изменении аргумента hello_html_4c893c9c.gif до hello_html_m7bd7b4fa.gif называется определенным интегралом от а до b функции hello_html_m543bf3b1.gifи обозначается hello_html_461c432f.gif

(читается: « интеграл от hello_html_m1e1f273e.gif до hello_html_38c5ad6c.gif эф от икс де икс»).

Числа hello_html_m1e1f273e.gif и hello_html_38c5ad6c.gif называются пределами интегрирования, hello_html_m1e1f273e.gif- нижним, hello_html_38c5ad6c.gif- верхним. Отрезок hello_html_20ba51aa.gif называется отрезком интегрирования.

Функция hello_html_m543bf3b1.gif называется подынтегральной функцией,

переменная х- переменной интегрирования.

Таким образом, по определению,

hello_html_m546ed82f.gif

Это равенство называется формулой Ньютона – Лейбница.

Вычисление определенных интегралов с использованием формулы Ньютона- Лейбница осуществляется по алгоритму:

1. Используя технику нахождения неопределенного интеграла, получаем некоторую первообразную hello_html_1593a3e3.gif для подынтегральной функции hello_html_m543bf3b1.gif.

2. Применяем собственно формула Ньютона- Лейбница, т.е. вычисляем приращение первообразной, равное искомому интегралу.

В связи с этим введем обозначение для приращения первообразной, которое удобно использовать при записи решений. По определению положим

hello_html_m4d788b73.gifhello_html_552cf6ea.gif

Основные свойства определенного интеграла.

1.Постоянный множитель можно вынести за знак определенного интеграла, т.е. если hello_html_216b5721.gif, то

hello_html_15c5cc8.gif

2.Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен сумме интегралов от этих функций:


hello_html_6bc94502.gif

3.Если отрезок интегрирования разбит на части, то интеграл на всем отрезке равен сумме интегралов для каждой из возникших частей, т.е. при любых a<c<b

hello_html_m44776756.gif

4.При перестановке верхнего и нижнего пределов интегрирования определенный интеграл меняет свой знак на противоположный.

hello_html_m58c29bed.gif


Практические занятия: - не предусмотрено.





Техника интегрирования.

Вычислить интегралы:

1.hello_html_742448aa.gif.

Решение. Воспользуемся формулой 1 из таблицы неопределенных интегралов:

hello_html_188b3aa4.gif

2. hello_html_6531ac7f.gif

Решение. Воспользуемся формулой 1:

hello_html_23ac6b92.gif

3. hello_html_5f2956a6.gif.

Решение: воспользовавшись формулой 1 из таблицы и правилом 3, получим:

hello_html_5f2956a6.gif=hello_html_250f740c.gif.

4. hello_html_m4e31a5d4.gif

Решение: воспользуемся формулой 2 из таблицы и правилом 3, получим:

hello_html_29653599.gif


5. hello_html_6d9543c5.gif.

Решение. Произвольная первообразная для функции hello_html_3317888.gif имеет вид hello_html_17e62ca2.gif. Для нахождения интеграла по формуле Ньютона- Лейбница возьмем такую первообразную, у которой С= 0. Тогда

hello_html_3f6e800c.gifhello_html_m53d4ecad.gif

6. hello_html_40b721f0.gif.


hello_html_b6eb33a.gifhello_html_m53d4ecad.gif


Практические занятия: - не предусмотрено.


Задания для самостоятельного выполнения:

1. Вычислите неопределенные интегралы:


а) hello_html_m4ecb7ce8.gif б) hello_html_m37fc0994.gif в) hello_html_m52479426.gif г) hello_html_m524716b1.gif д) hello_html_m349271ac.gif е) hello_html_m135b233a.gif

ж) hello_html_2a3ae754.gif з) hello_html_m32fed947.gif

2.Вычислить определенные интегралы:

а) hello_html_1b9c1db0.gif б) hello_html_m5842ceb2.gif в) hello_html_m6b0109b6.gif

г) hello_html_m592caea.gif д) hello_html_45fd675f.gif е) hello_html_1a46257.gif


Форма контроля самостоятельной работы:

- проверка рабочих тетрадей;

- проверка решения задач;

- математический диктант по формулам.


Вопросы для самоконтроля по теме:

Дайте определение неопределенного интеграла.

Сформулируйте свойства неопределенного интеграла.

Сформулируйте геометрический смысл неопределенного интеграла.

4. Дайте определение определенного интеграла. Запишите формулу Ньютона – Лейбница.

5. Перечислите основные свойства определенного интеграла.

6. Сформулируйте алгоритм вычисления определенного интеграла.




3.Криволинейная трапеция и её площадь.


Пусть на отрезке hello_html_me657835.gif оси hello_html_2bf332ed.gif задана непрерывная функция hello_html_m6ee8bcf9.gif, не меняющая на нем знака.

Фигуру, ограниченную графиком этой функции, отрезком hello_html_m34f1695c.gifна оси абсцисс и прямыми hello_html_m31c783e5.gif и hello_html_3e56d865.gif, называют криволинейной трапецией.


hello_html_3cbc07af.gif

Выясним, являются ли предложенные фигуры криволинейными трапециями.

1. фигура, ограниченная графиком функции hello_html_m750af791.gif, прямыми hello_html_51957edc.gif

hello_html_2c9299f1.png


Решение. Обратимся к определению криволинейной трапеции:

- функция hello_html_m750af791.gifнепрерывная и не меняющая знак на hello_html_5b4a4dd4.gif;

- прямые hello_html_5c08b373.gif пересекают график функции hello_html_m750af791.gifи прямую hello_html_1f16deea.gif.

По определению данная фигура является криволинейной трапецией.

2. фигура, ограниченная линиями hello_html_m750af791.gif и hello_html_26dbcf38.gif.

hello_html_m54a6d2ee.png

Решение. Данная фигура не является криволинейной трапецией, т.к. она не ограничена, по определению, отрезком оси hello_html_m448cfe0d.gif.



Геометрический смысл определенного интеграла.

Если интегрируемая на отрезке hello_html_20ba51aa.gif функция hello_html_m12c22206.gifнеотрицательна, то определенный интеграл hello_html_461c432f.gif численно равен площади hello_html_52ffbe3b.gifкриволинейной трапеции, ограниченной графиком функции hello_html_m12c22206.gif, осью абсцисс и прямыми hello_html_4c893c9c.gif и hello_html_m7bd7b4fa.gif, т.е.

hello_html_mad7718d.gif

В этом заключается геометрический смысл определенного интеграла.

Примеры 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями hello_html_7ff75e1f.gifhello_html_51be3e02.gif

Решение. Данная фигура является по определению криволинейной трапецией, следовательно, ее площадь равна:

hello_html_2cf65d09.gifОтвет: 24.


2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями hello_html_m5a7a7a51.gifhello_html_51be3e02.gifhello_html_m7c8ea59b.gif

Решение. Данная фигура является по определению криволинейной трапецией, следовательно, ее площадь равна:


hello_html_e7fb122.gif

Ответ: 1.


3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m12059080.gif, hello_html_cf162fb.gif.

hello_html_m53d4ecad.gif Решение. Данная фигура является по определению криволинейной трапецией, следовательно, ее площадь равна:

hello_html_10b258ad.gifhello_html_m53d4ecad.gif

Ответ: 2.


Практические занятия: - не предусмотрено.


Задания для самостоятельного выполнения:

1. Выяснить, являются ли предложенные фигуры криволинейными трапециями:

а) фигура, ограниченная линиями hello_html_m6055649d.gif, hello_html_m685a3f5e.gif;

б) фигура, ограниченная линиями hello_html_38929f90.gif, hello_html_1f16deea.gif.

2. Составьте алгоритм вычисления площади криволинейной трапеции.

3. Выполните задание и сравните с ответом.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) hello_html_m1fe1a124.gifhello_html_m1310dc9.gif.

б) hello_html_m29036e9c.gif; hello_html_m65c8547c.gif.

ж) hello_html_m543ff536.gif (4).

г) hello_html_m1a6e66c.gifhello_html_2e2b9f10.gif.

Форма контроля самостоятельной работы:

- проверка рабочих тетрадей;

- устный опрос;


Вопросы для самоконтроля по теме:

1. Дайте определение криволинейной трапеции.

2. Сформулируйте геометрический смысл определенного интеграла.







4.Площади плоских фигур.


Примеры 1.Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями

hello_html_34540b9d.gif, hello_html_4c939c11.gif и hello_html_m1ad017c8.gif

Решение. Нарисуем эти линии. Первая из заданных линий – парабола с координатами вершины (3;4) и с ветвями, направленными вниз. Вторая линия – прямая, проходящая через точку с координатами (0;4) параллельно оси hello_html_33a053d7.gif

hello_html_m66eba15.png

На рис. фигура, о которой идет речь, заштрихована.

Искомая площадь равна разности площади hello_html_m5c314c83.gif прямоугольника hello_html_m4afce19a.gif и площади hello_html_m5bbb5174.gif криволинейной трапеции hello_html_m1b551cd4.gif

hello_html_m5c314c83.gif=hello_html_m24e5a4b8.gif

hello_html_m5bbb5174.gif=hello_html_2c1c4b43.gif,

hello_html_18a6a117.gif.

Ответ: hello_html_1b68ebfe.gif.


2. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций

hello_html_5edb1247.gif и hello_html_mda999ce.gif.

Решение. Найдем точки пересечения этих графиков:

hello_html_5ce82871.gif.

Возведем во вторую степень обе части уравнения: hello_html_m38578b8e.gif,

hello_html_m4b98adc0.gifhello_html_4774cdca.gif

hello_html_5e17022f.gif и hello_html_m22b38696.gifhello_html_m1ccbe191.gif.

Нарисуем графики заданных функций.

hello_html_m4fc76491.png

На рис. фигура, о которой идет речь, заштрихована. Ее площадь равна разности площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции hello_html_mda999ce.gif, отрезком hello_html_m1c94a746.gif, лежащим на оси hello_html_m448cfe0d.gif, прямымиhello_html_33d2ee56.gif и площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции hello_html_5edb1247.gif, отрезком hello_html_m1c94a746.gif, лежащим на оси hello_html_m448cfe0d.gif, прямымиhello_html_33d2ee56.gif.

hello_html_m680ea2d0.gif.

Ответ:hello_html_4c1e3925.gif.

Практические занятия: - не предусмотрено.


Задания для самостоятельного выполнения:

1. Составить алгоритм вычисления площади плоской фигуры.

2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) hello_html_66883dac.gif; б) hello_html_67a1e1bb.gif;

д) hello_html_m7600a746.gif,hello_html_603a4ce0.gif; е) hello_html_2a99065c.gif.

Форма контроля самостоятельной работы:

- проверка рабочих тетрадей;

- устный опрос.


Вопросы для самоконтроля по теме:

1. Напишите формулу для вычисления площади фигуры, ограниченной снизу графиком функции hello_html_m6d636c6c.gif, сверху графиком функции hello_html_74e0168b.gif, а слева и справа прямыми hello_html_m3aa43431.gif.


5.Применение интеграла при вычислении объема тел вращения.


Пусть задано тело объемом V. Проведем ось hello_html_m448cfe0d.gifтакую, что какую бы плоскость перпендикулярно этой прямой мы не взяли, нам известна площадь сечения тела этой плоскостью - hello_html_52ffbe3b.gif. Тогда каждому числу hello_html_m4bac80ea.gif соответствует своя площадь сечения hello_html_52ffbe3b.gif, т.е. hello_html_52ffbe3b.gif есть функция от hello_html_16776160.gifhello_html_2553dd1a.gif.

Пусть эта функция непрерывна на hello_html_20ba51aa.gif, тогда справедлива формула

V=hello_html_6781e826.gif.

Пусть функция hello_html_6f165689.gif, непрерывна на этом отрезке. Требуется вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси hello_html_m448cfe0d.gif фигуры, ограниченной линиями hello_html_4c39a291.gif По формуле V=hello_html_6781e826.gif, где hello_html_4ad9f2e8.gif-площадь поперечного сечения в точке hello_html_16776160.gif. Любое поперечное сечение данной фигуры есть круг радиуса hello_html_m4342c24e.gif. Тогда площадь сечения hello_html_75a297be.gif. И объем можно вычислить по формуле

hello_html_m583a2a2.gif

Примеры 1.Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси hello_html_m448cfe0d.gifфигуры, ограниченной линиями:

hello_html_m738d15aa.gif

Решение. Такое тело называется параболоидом вращения.

hello_html_maf5f747.png

По формуле hello_html_m424faf2b.gif

Ответ:32hello_html_4fd45fec.gif.

2. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси hello_html_m448cfe0d.gifфигуры, ограниченной линиями:

hello_html_mb280b67.gif

Решение:

По формуле hello_html_726ea2c5.gif

hello_html_4b682ff8.gif.


hello_html_m3ec60d8.png


Ответ:hello_html_m65a02adc.gif

3. Найти объем шара радиуса hello_html_1f2acfd2.gif

Решение. Рассмотрим круг радиуса hello_html_m71463584.gif с центром в начале координат. Этот круг, вращаясь вокруг оси hello_html_m448cfe0d.gif, образует шар. Уравнение окружности имеет вид hello_html_m4873f886.gif, поэтому hello_html_m71f95d43.gif. Учитывая симметрию круга относительно оси ординат, найдем сначала половину искомого объема:

hello_html_m366f35ca.gif

.

Следовательно, объем шара равен hello_html_2c38f2ad.gif.

Ответ: hello_html_2c38f2ad.gif.

Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси hello_html_m448cfe0d.gif фигуры, ограниченной линиями hello_html_m6a2a04f0.gif

hello_html_76448e89.jpg

Найдем границы интегрирования: hello_html_m70f0675d.gif,

hello_html_m2621cb32.gif.

Ввиду симметричности вращающейся фигуры можно вычислить объем в пределах от 0 до 1, затем результат удвоить.

Из рисунка видно, что искомый объем равен разности объемов тел, образованных при вращении вокруг оси абсцисс фигур hello_html_m517ace54.gif и hello_html_m6aa68e8d.gif. Тогда

hello_html_m61235d6d.gif


hello_html_m53d4ecad.gif Ответ:hello_html_1fb436bc.gif






Практические занятия: - не предусмотрено.


Задания для самостоятельного выполнения:


1. Подготовить реферат по теме: «Применение интеграла для вывода формул объема конуса, усеченного конуса, шара, шарового сегмента и шарового сектора».

2. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной гиперболой hello_html_595224b6.gif, прямыми hello_html_5c08b373.gif и осью абсцисс.

Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной кривойhello_html_m7d0397e0.gif, ординатами hello_html_748670ec.gif и осью hello_html_m448cfe0d.gif.

Вычислить объем тела, образуемого вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной кривойhello_html_m46292a46.gif и осью абсцисс от hello_html_5e17022f.gif до hello_html_603a4ce0.gif.

Вычислить объем тела, образуемого вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями hello_html_m3a53d37a.gif


Форма контроля самостоятельной работы:

- проверка рабочих тетрадей;

- устный опрос;

- проверка рефератов.


Вопросы для самоконтроля по теме:

1. Формула вычисления объема тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, расположенной в верхней полуплоскости и ограниченной осью абсцисс, прямыми hello_html_m3aa43431.gif и графиком непрерывной функции hello_html_m543bf3b1.gif.


6. Применение интеграла. Вычисление первообразных и интегралов.


Если hello_html_391a6a96.gif- скорость прямолинейно движущейся точки в момент времени hello_html_489fba48.gif, то перемещение точки, т.е. приращение ее координаты, за промежуток времени hello_html_20ba51aa.gif, равно:

hello_html_492837b3.gif

Если hello_html_m10204578.gif на hello_html_20ba51aa.gif, то hello_html_m7bcafc86.gif равен пути, пройденному точкой за это время.

Примеры 1. Скорость движения тела задана уравнением hello_html_m769a6ca7.gifм/с. Найдите путь, пройденный телом за 10 секунд от начала движения.

Решение. hello_html_m24ceaa32.gif(м).

Ответ: 1090м.

2. Два тела начали двигаться по прямой в один и тот же момент из одной точки в одном направлении. Одно тело двигалось со скоростью hello_html_25c85d4b.gif(м/с), другое - со скоростью hello_html_m4fd8acac.gif(м/с). Какое расстояние будет между телами через 6с?

Решение. hello_html_6f532e15.gif.

Первое тело за 6 секунд пройдет расстояние hello_html_m2b5acdd1.gif(м/с).

Второе тело за 6 секунд пройдет расстояние hello_html_m4d59996c.gif(м/с).

Тогда расстояние между телами будет равно hello_html_m3bd96b2b.gif(м/с).

Ответ : 216(м/с). hello_html_m53d4ecad.gif


Если материальная точка движется вдоль оси hello_html_m448cfe0d.gifпод действием переменной силы, проекция hello_html_1593a3e3.gif которой на ось hello_html_m448cfe0d.gifесть функция от координаты х, то работа силы по перемещению точки из положения hello_html_4c893c9c.gif в положение hello_html_m7bd7b4fa.gif равна

hello_html_m224e7be1.gif

Примеры 1. Пружина растягивается на 0.02 м под действием силы 60 Н. Какую работу она производит, растягивая ее на 0,12 м?

Решение. Сила, необходимая для сжатия или растяжения пружины, пропорциональна величине сжатия или растяжения и определяется по закону Гука:

hello_html_23c0651c.gif,

где hello_html_1c9f8d8d.gif- постоянная величина, коэффициент пропорциональности, зависящий от свойств пружины, х- величина растяжения или сжатия.

При hello_html_51cc2812.gifм hello_html_m539d932f.gif(Н/м). Следовательно hello_html_3dbaa66a.gif.

hello_html_m1a8bb012.gif(Дж).

Ответ: 21,6(Дж).

2. На материальную точку действует сила, которая линейно зависит от пройденного пути. В начале движения она составляет 100Н, а когда точка переместилась на 10 м, сила возросла до 600 Н. Найти работу, произведенную этой силой на пройденном пути.

Решение. Из условия следует, что сила hello_html_1593a3e3.gif, действующая на точку, меняется по закону hello_html_4ee48b12.gif, где параметры а и hello_html_38c5ad6c.gifнаходятся из условий:

hello_html_2d1e1e2b.gif,

hello_html_33504170.gif

Таким образом , hello_html_m33947c17.gif и работа силы на пройденном пути равна:

hello_html_m5dad160c.gif(Дж).

Ответ: 3500 (Дж).


Если в жидкости плотностью hello_html_526c9164.gif вертикально погружена пластина, то сила давления жидкости на нее равна:

hello_html_1d63a00c.gif

где hello_html_m543bf3b1.gif- функция, выражающая зависимость длины поперечного сечения пластины от уровня погружения х, hello_html_m35987bf8.gif- ускорение свободного падения.

Пример. Вычислить силу давления воды на вертикально погруженную треугольную пластину АВС с основанием АС=9см и высотой hello_html_m266e5281.gif=2см, если вершина В лежит на свободной поверхности жидкости и АС параллельна ей.

hello_html_m1c3d274d.png

hello_html_m53d4ecad.gif Решение. MG – поперечное сечение пластины на уровне

Х = ВЕ.

hello_html_m18c7869.gif подобен hello_html_1f8da012.gif, значит hello_html_m79caabdf.gif или hello_html_16dade70.gif.

hello_html_m76be9203.gif.

( hello_html_26c38544.gif.


Ответ: hello_html_m292b3212.gif


Практические занятия: - не предусмотрено.


Задания для самостоятельного выполнения:

Тело движется прямолинейно со скоростью hello_html_m2136c7c1.gif(м/с). Найти путь, пройденный за первые 5 секунд.

Два тела начали двигаться по прямой в один и тот же момент из одной точки в одном направлении. Одно тело двигалось со скоростью hello_html_34233be1.gif(м/с), другое - hello_html_m1ec17a69.gif(м/с). На каком расстоянии они будут друг от друга через 5 секунд?

Для сжатия пружины на 4 см необходимо применить силу 78,4 Н. Вычислить работу, которую потребуется затратить для сжатия пружины на 2 см.

Для удлинения пружины на 2 см необходимо приложить силу в 6 Н. Вычислить работу, которую необходимо затратить для растяжения пружины: 1) на 1см; 2) на 4 см; 3) на 8 см.

Определите силу давления воды на вертикальный прямоугольный шлюз с основанием 18 м и высотой 6 м.

Треугольная пластина с основанием 0,3 м и высотой 0,6 м погружена вертикально в воду так, что ее вершина лежит на поверхности воды, а основание параллельно ей. Вычислить силу давления воды на пластинку.


Практические занятия: - не предусмотрено.


Форма контроля самостоятельной работы:

- проверка рабочих тетрадей;

- проверка усвоения данной темы по карточкам индивидуального контроля.


Вопросы для самоконтроля по теме:

Приведите примеры геометрических задач, в решении которых используется определенный интеграл.

Приведите примеры физических задач, в решении которых используется определенный интеграл.



Умения, сформированные у студента после изучения раздела:

находить производные элементарных функций;

использовать производную для изучения свойств функций и построения графиков;

применять производную для проведения приближенных вычислений, решать задачи прикладного характера на нахождение наибольшего и наименьшего значения;

вычислять в простейших случаях площади и объемы с использованием определенного интеграла;


использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:

решения прикладных задач, в том числе социально-экономических и физических, на наибольшие и наименьшие значения, на нахождение скорости и ускорения.





























КОНТРОЛЬ И ОЦЕНКА РЕЗУЛЬТАТОВ

ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ

Раздел 1.

Текущий контроль


Перечень точек рубежного контроля:


Производная функции и её применение.


7.

Первообразная и интеграл.

Применение интеграла.

Письменная работа

Первообразная и интеграл



ПРИМЕРНАЯ ЭКЗАМЕНАЦИОННАЯ РАБОТА ПО
МАТЕМАТИКЕ

При выполнении заданий № 1-2 соотнесите содержание столбца 1 с содержанием столбца 2.

Запишите в соответствующие строки бланка ответов букву из столбца 1 и соответствующую ей цифру (цифры) из столбца 2,обозначающую правильный ответ.

hello_html_m465420cb.gif равно

1. hello_html_m195c5e97.gif; 2. 6;

3. hello_html_327bbf51.gif4; 4. 0.


7.




Решением уравнения hello_html_2c45de14.gifявляется число

1.-2; 2.-5,2;

3.2; 4. -5.


8.

Значение выражения

cos 64hello_html_mff7966e.gif равно

1.hello_html_2b2ed72.gif; 2.-hello_html_73b84cef.gif;

3.-hello_html_2b2ed72.gif; 4.hello_html_73b84cef.gif.


9.

После приведения к функции

угла hello_html_7a00ba7d.gif функция hello_html_m5e0ad67b.gif имеет вид


1. coshello_html_7a00ba7d.gif; 2.-cos hello_html_7a00ba7d.gif;


3. sinhello_html_7a00ba7d.gif; 4.-sinhello_html_7a00ba7d.gif.


10.

Продолжите формулу

соs (hello_html_7a00ba7d.gif+hello_html_1f764c68.gif= ...



1.hello_html_m59c32cd1.gif

2.hello_html_c06af7c.gif.

3. hello_html_584688f.gif

4.hello_html_m68fd0653.gif


11.

Значение (значения) к, при котором векторыhello_html_232937b7.gif иhello_html_74f06ad2.gif перпендикулярны

1. 2; 2. 4;


3. 4;2; 4. 0; 6.


12.

Решением уравнения

hello_html_5704b685.gif является

1. -1; 2. 1;

3. 2; 4.0.

13.

Промежуток, которому принадлежит корень уравнения hello_html_11992c3f.gif

1. (1;3); 2. hello_html_61033283.gif;

3. (0;1); 4. (1;2).


14.

Тангенс угла наклона касательной hello_html_2db70452.gif равен



1. -2; 2. 2;

3. 1; 4. 1.

15.

Минимум функции hello_html_62f09d37.gif

равен

1.-3; 2.3;

3. 0; 4.-4.


16.

Критическими точками функции hello_html_mb1fec1b.gif являются точки

1.hello_html_m755bc8fc.gif

2. hello_html_6e7b7d7c.gif

3.hello_html_6bde0383.gif

4. hello_html_126931a8.gif

17.

Значение производной функции

hello_html_m448a303b.gifв точке hello_html_57209f0.gif

1. -1; 2. 3;


3. -3; 4. 2.

18.

Общий вид первообразных F(x) для функции hello_html_m5cee4eff.gif имеет вид


1.hello_html_2dd15bd1.gif;

2.hello_html_43888708.gif;

3. hello_html_m3da0908.gif;

4.hello_html_ca8d072.gif.

19.

Площадь фигуры, ограниченной графиком функции

у = 4 -hello_html_m75135b52.gif и у = 0

1. hello_html_m4fbb12be.gif 2. hello_html_5ecce1c9.gif

3. hello_html_m1e63c427.gif 4. 4.



20.

Значение hello_html_m62854e10.gif равно

1.hello_html_m43f6fee3.gif 2. 1-hello_html_52087c91.gif

3. hello_html_m12068ed7.gif 4. hello_html_394b256a.gif

21.

Выполните действие hello_html_m5d45e5.gif

1.hello_html_m3f1d4af9.gif 2.hello_html_mb2bc69c.gif

3. hello_html_56acce10.gif 4. hello_html_m6a36a54.gif

22.

Длина отрезка, соединяющего точки

А(2; 0; -1) и К(3; -2; 1).

1. hello_html_m7b34fda3.gif; 2. 3;

3. 1; 4.hello_html_m3cbccc7e.gif.

23.

Координаты точки В, если М (-2; 2; 0)– середина АВ, а А имеет координаты

(1; 1; 1).

1. (-3; 5; 2. (5; 3; 1);

3. (5; 5; 1); 4. (-5; 3; -1).


24.

Точка К находится на расстоянии 12см от каждой стороны квадрата, площадь которого равна 64смhello_html_m5c273eeb.gif. Расстояние от точки А до плоскости квадрата равно…

1. hello_html_70da9019.gifсм; 2. 20см;

3.hello_html_6b74d9dd.gifсм; 4.hello_html_m5a0a6543.gifсм.

25.

Апофема правильной четырехугольной пирамиды равна 6см., а боковая грань наклонена к плоскости основания под углом 60º. Объем пирамиды равен …

а) 36hello_html_2d077f92.gifсмhello_html_4ed491cf.gif; б) 40смhello_html_4ed491cf.gif;

в) 18hello_html_2d077f92.gifсмhello_html_4ed491cf.gif; г) 25hello_html_20329080.gifсмhello_html_4ed491cf.gif.




















Теоретические вопросы для подготовки к экзамену по математике для студентов 1 курса


1.Функция, область её определения и область значения.

2.Чётностьи нечётность функции.

3.Монотонностьфукции.

4.Точки экстремума и экстремум функции.

5.Корень n- степени и его свойства.

6.Иррациональные уравнения.

7. Степень с рациональным показателем и его свойства.

8. Показательная функция, свойства и её график.

9. Показательные уравнения.

10.Показательные неравенства.

11.Логарифм и его свойства.

12.Логарифмическая функция, её свойства и график.

13.Логарифмические уравнения.

14.Логарифмическое неравенство.

15.Основные формулы тригонометрии.

16.Формулы приведения.

17.знаки тригонометрических функций по четвертям.

18.Функция hello_html_36d58a9.gif,её свойства и график.

19.Функция hello_html_m62d8f18.gif,её свойства и график.

20.Функция hello_html_m52a8d42d.gif,её свойства и график.

21.Функция hello_html_m48595057.gif,её свойства и график.

22.Теорема о корне.

23. Простейшие тригонометрические уравнения.

24.Однородное тригонометрическое уравнение 1 степени.

25.Однородное тригонометрическое уравнение 2 степени.

26.Производная функции.

27.Основные правила дифференцирования.

28.Сложная функция и её дифференцирование.

29.Геометрический смысл производной.

30.Физический смысл производной.

31.Достаточное условие монотонности функции. Исследование функции на монотонность.

32.Необходимое условие экстремума функции.

33.Достаточное условие экстремума функции. Исследование функции на экстремум.

34.Теорема Вейерштрасса.

35. Первообразная функции.

36.Основное свойство первообразной.

37.Правила нахождения первообразной.

38.Неопределённый и определённый интегралы.

39.Геометрический смысл определённого интеграла.

40.Векторы в пространстве.

41.Скалярное произведение векторов в пространстве.

42.Перпендикулярность векторов в пространстве.

43.Коллинеарность векторов в пространстве.

44.Многогранники. Площадь поверхности и объём многогранников.

45. Пирамида. Площадь поверхности и объём пирамиды.

46.Тела вращения .Площадь поверхности и объём тел вращения.

47.Комплексные числа и действия над ними.















ГЛОССАРИЙ
Дифференцирование

функции

Операция отыскания производной функции

Достаточные признаки монотонности функции.


Если  f ’( x) > 0  в каждой точке интервала ( a, b ), то функция 

f ( x) возрастает на этом интервале.

Если  f ’( x) < 0  в каждой точке интервала ( a, b ) , то функция 

f ( x ) убывает на этом интервале

Достаточные условия экстремума


Если производная при переходе через точку  x0  меняет свой знак с плюса на минус, то  x0  - точка максимума.

Если производная при переходе через точку  x0  меняет свой знак с минуса на плюс, то  x0  - точка минимума


Иррациональное уравнение


Уравнение, содержащие переменную под знаком корня


Косинус


Числовая функция, заданная формулой hello_html_m62d8f18.gif

Котангенс


Числовая функция, заданная формулой hello_html_m48595057.gif

Критические точки



Внутренние точки области определения функции, в которых производная равна нулю или не существует


Криволинейная трапеция


Фигуру, ограниченную графиком этой функции, отрезком hello_html_m4230f4d0.gifна оси абсцисс и прямыми hello_html_m31c783e5.gif и hello_html_m17959093.gif,

Логарифмом числа hello_html_m46087894.gif по основанию hello_html_60d2f2c2.gif




Показатель степени, в которую нужно возвести основание а, чтобы получить число в


Логарифмическое уравнение

Уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма

Логарифмическое неравенство


Неравенство, содержащее неизвестное под знаком логарифма или (и) в его основании

Мнимое число

Число, вторая степень которого является числом отрицательным.

Монотонные функции


Убываюшие или возрастающие функции


Нечётная функция

если любым двум противоположным значениям аргумента соответствуют противоположные значения функции.


Необходимое условие экстремума


Если x0 - точка экстремума функции f ( x )  и производная  f’  существует в этой точке, то 

f’ ( x0 ) = 0.


Неопределенным интегралом для функции hello_html_m543bf3b1.gif




Множество всех первообразных для функции hello_html_m4342c24e.gif на промежуткеhello_html_16f65d2e.gif

Определенным интегралом от а до b функции hello_html_m543bf3b1.gif


Приращение hello_html_52573167.gif любой из первообразных функций hello_html_14118106.gif при изменении аргумента hello_html_4c893c9c.gif до hello_html_m7bd7b4fa.gif

Относительная погрешность приближенного числа




Отношение абсолютной погрешности приближенного числа к самому этому числу.

Периодическая функция


Если существует такое отличное от нуля число Т, что для любого x из области определения функции справедливо равенство f (x + T) = f(x) =

f(x – T).

Показательная функция


Функция вида y = ax, где a > 0,  a ≠ 1 .

Показательное уравнение

Уравнение, содержащее переменную в показателе степени.

Показательное неравенство

Неравенство, содержащее переменную в показателе степени

Производной функции 

y = f ( x ) в точке  x0 




  Называется предел:

hello_html_21dcaa17.png

Синус


Числовая функция, заданная формулой hello_html_m61d5a613.gif.

Тангенс

Числовая функция, заданная формулой hello_html_m52a8d42d.gif

Функция


Соответствие, при котором каждому x из множества X сопоставляется некоторое единственное значение из множества Y


Точка X0 называется точкой максимума функции hello_html_m6ee8bcf9.gif

Если существует такая окрестность точки X0 , что для всех X из этой окрестности выполняется неравенство hello_html_m1c9089f3.gif.

Точка X0 называется точкой минимума функции hello_html_m6ee8bcf9.gif


Если существует такая окрестность точки X0, что для всех X из этой окрестности выполняется неравенство hello_html_m59be8b7.gif

Тригонометрическое уравнение

Уравнение, содержащее неизвестное под знаком тригонометрической функции

Функция


Соответствие, при котором каждому x из множества X сопоставляется некоторое единственное значение из множества Y.


Числовая последовательность

Множество пронумерованных чисел hello_html_mcdc5f9d.gif, hello_html_md34da08.gif, …. hello_html_m5c6ffca1.gif

Число А называется пределом последовательности {xn}

Если для любого положительного >0 существует такой номер N, что для всех n > N выполняется условие:hello_html_12144952.gif

Четная функция


Если любым двум противоположным значениям аргумента соответствуют равные значения функции.


Экспонента

Показательная функция, заданная уравнением hello_html_m144abccd.gif







ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

Основные источники (для студентов)


Алгебра и начала анализа. 10 (11) кл./ Ш. А. Алимов и др. – М.: Просвещение, 2010.

Алгебра и начала анализа. 10 (11) кл./ А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др. – М.: Просвещение, 2010.


Дополнительная литература


Башмаков М.И. Алгебра и начала математического анализа (базовый уровень). 10 кл. – М.: Дрофа, 2008.

Башмаков М.И. Алгебра и начала математического анализа (базовый уровень). 11 кл. – М.: Дрофа, 2008.

Башмаков М.И. Математика: 10 кл. Сборник задач: учеб. пособие. – М.: Дрофа, 2008.
















УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС

ПО ДИСЦИПЛИНЕ

«Математика»



«общеобразовательный цикл»



социально-экономический гуманитарный, технический профили















































Ответственные за выпуск:



Забегина Т.В. – методист редакционно-издательской деятельности;

Перепелов В.В. – зав. копировально-множительным бюро;

Перепелова Е.Р. – корректор.



Изготовлено в ГБОУ СПО «ПГК»
бумага офсетная, объем

443068, Самара, ул. Луначарского, 12































Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал
Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 013 380 материалов в базе

Материал подходит для УМК

  • «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)», Ч.1.: Мордкович А.Г., Семенов П.В.; Ч.2.: Мордкович А.Г. и др., под ред. Мордковича А.Г.

    «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)», Ч.1.: Мордкович А.Г., Семенов П.В.; Ч.2.: Мордкович А.Г. и др., под ред. Мордковича А.Г.

    Больше материалов по этому УМК
Скачать материал

Другие материалы

Рабочая программа элективного курса по математике «Решение текстовых задач»
  • Учебник: «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)», Ч.1.: Мордкович А.Г., Семенов П.В.; Ч.2.: Мордкович А.Г. и др., под ред. Мордковича А.Г.
  • 21.11.2017
  • 1260
  • 4
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)», Ч.1.: Мордкович А.Г., Семенов П.В.; Ч.2.: Мордкович А.Г. и др., под ред. Мордковича А.Г.
Урок математики в 11 классе по теме "Логарифмические функции и логарифмические уравнения"
  • Учебник: «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)», Ч.1.: Мордкович А.Г., Семенов П.В.; Ч.2.: Мордкович А.Г. и др., под ред. Мордковича А.Г.
  • Тема: § 44. Логарифмические уравнения
  • 21.11.2017
  • 586
  • 1
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)», Ч.1.: Мордкович А.Г., Семенов П.В.; Ч.2.: Мордкович А.Г. и др., под ред. Мордковича А.Г.
Конспект урока по алгебре и началам математического анализа в 10 классе "Формулы суммы и разности аргументов"
  • Учебник: «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)», Ч.1.: Мордкович А.Г., Семенов П.В.; Ч.2.: Мордкович А.Г. и др., под ред. Мордковича А.Г.
  • Тема: § 19. Синус и косинус суммы и разности аргументов
  • 21.11.2017
  • 1079
  • 11
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)», Ч.1.: Мордкович А.Г., Семенов П.В.; Ч.2.: Мордкович А.Г. и др., под ред. Мордковича А.Г.
Итоговая контрольная работа в форме ЕГЭ 10 класс
  • Учебник: «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)», Ч.1.: Мордкович А.Г., Семенов П.В.; Ч.2.: Мордкович А.Г. и др., под ред. Мордковича А.Г.
  • 20.11.2017
  • 1206
  • 3
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)», Ч.1.: Мордкович А.Г., Семенов П.В.; Ч.2.: Мордкович А.Г. и др., под ред. Мордковича А.Г.
Урок " Формулы приведения"
  • Учебник: «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)», Ч.1.: Мордкович А.Г., Семенов П.В.; Ч.2.: Мордкович А.Г. и др., под ред. Мордковича А.Г.
  • Тема: § 7. Тригонометрические функции числового аргумента
  • 20.11.2017
  • 999
  • 2
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)», Ч.1.: Мордкович А.Г., Семенов П.В.; Ч.2.: Мордкович А.Г. и др., под ред. Мордковича А.Г.
Презентация к уроку алгебры и начал анализа по теме "Тригонометрические функции"
  • Учебник: «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)», Ч.1.: Мордкович А.Г., Семенов П.В.; Ч.2.: Мордкович А.Г. и др., под ред. Мордковича А.Г.
  • Тема: Глава 2. Тригонометрические функции
  • 19.11.2017
  • 928
  • 12
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)», Ч.1.: Мордкович А.Г., Семенов П.В.; Ч.2.: Мордкович А.Г. и др., под ред. Мордковича А.Г.
Конспект урока по теме «Понятие логарифма»
  • Учебник: «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)», Ч.1.: Мордкович А.Г., Семенов П.В.; Ч.2.: Мордкович А.Г. и др., под ред. Мордковича А.Г.
  • Тема: § 41. Понятие логарифма
  • 19.11.2017
  • 513
  • 1
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)», Ч.1.: Мордкович А.Г., Семенов П.В.; Ч.2.: Мордкович А.Г. и др., под ред. Мордковича А.Г.
Урок алгебры 11 класс "Степенная функция"
  • Учебник: «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)», Ч.1.: Мордкович А.Г., Семенов П.В.; Ч.2.: Мордкович А.Г. и др., под ред. Мордковича А.Г.
  • 19.11.2017
  • 1135
  • 7
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)», Ч.1.: Мордкович А.Г., Семенов П.В.; Ч.2.: Мордкович А.Г. и др., под ред. Мордковича А.Г.

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

  • Скачать материал
    • 21.11.2017 4601
    • DOCX 18.6 мбайт
    • 48 скачиваний
    • Рейтинг: 5 из 5
    • Оцените материал:
  • Настоящий материал опубликован пользователем Памурзина Маргарита Александровна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

    Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

    Удалить материал
  • Автор материала

    • На сайте: 6 лет и 2 месяца
    • Подписчики: 0
    • Всего просмотров: 53161
    • Всего материалов: 17

Ваша скидка на курсы

40%
Скидка для нового слушателя. Войдите на сайт, чтобы применить скидку к любому курсу
Курсы со скидкой