Инфоурок Математика Другие методич. материалыУМК по прфессии Повар- кондитер.

УМК по прфессии Повар- кондитер.

Скачать материал

Выберите документ из архива для просмотра:

#U0412#U0421#U0420- #U041f#U041e#U0412#U0410#U0420#U0410,2014-2016 #U0443#U0447.#U0433..docx #U0412#U0421#U0420- #U041f#U041e#U0412#U0410#U0420#U0410,2015-2017 #U0443#U0447.#U0433..docx #U041c#U0415#U0422#U041e#U0414.#U0423#U041a-#U042f #U041a #U0412#U0421#U0420-#U041f#U041e#U0412#U0410#U0420#U0410,2014-2016 #U0443#U0447.#U0433..docx #U041c#U0415#U0422#U041e#U0414.#U0423#U041a-#U042f #U041a #U0412#U0421#U0420-#U041f#U041e#U0412#U0410#U0420#U0410,2015-2017 #U0443#U0447.#U0433..docx #U0417#U0430#U0447#U0435#U0442 #U21162 (1 #U0447#U0430#U0441#U0442#U044c).docx #U0417#U0430#U0447#U0435#U0442 #U21162 (2 #U0447#U0430#U0441#U0442#U044c).docx #U0417#U0430#U0447#U0435#U0442 #U21164.docx #U0417#U0430#U0447#U0435#U0442#U21163.docx #U0417#U0430#U0447#U0435#U0442#U21165-6.docx #U041a#U0420-#U041f#U041e#U0412#U0410#U0420#U0410.docx #U041a#U0440#U0438#U0442#U0435#U0440#U0438#U0438 #U043e#U0446#U0435#U043d#U0438#U0432#U0430#U043d#U0438#U044f #U0437#U0430#U0447#U0435#U0442#U043e#U0432 #U0434#U043b#U044f #U041d#U041f#U041e.docx #U041a#U0440#U0438#U0442#U0435#U0440#U0438#U0438 #U043e#U0446#U0435#U043d#U0438#U0432#U0430#U043d#U0438#U044f #U043a#U043e#U043d#U0442#U0440#U043e#U043b#U044c#U043d#U044b#U0445 #U0440#U0430#U0431#U043e#U0442 #U0434#U043b#U044f #U041d#U041f#U041e.docx #U041f#U043e#U044f#U0441#U043d#U0438#U0442#U0435#U043b#U044c#U043d#U0430#U044f #U0437#U0430#U043f#U0438#U0441#U043a#U0430 #U043a #U043a.#U0440,#U0437,#U043d#U043f#U043e,#U043f#U043e#U0432#U0430#U0440#U0430.docx #U0437#U0430#U0447#U0435#U0442 #U2116 1.docx #U0417#U0430#U0447#U0435#U0442 #U21162 (1 #U0447#U0430#U0441#U0442#U044c).docx #U0417#U0430#U0447#U0435#U0442 #U21162 (2 #U0447#U0430#U0441#U0442#U044c).docx #U0417#U0430#U0447#U0435#U0442 #U21166.docx #U0417#U0430#U0447#U0435#U0442#U21163.docx #U0417#U0430#U0447#U0435#U0442#U21164-5.docx #U041a#U0420-#U041f#U041e#U0412#U0410#U0420#U0410.docx #U041a#U0440#U0438#U0442#U0435#U0440#U0438#U0438 #U043e#U0446#U0435#U043d#U0438#U0432#U0430#U043d#U0438#U044f #U0437#U0430#U0447#U0435#U0442#U043e#U0432 #U0434#U043b#U044f #U041d#U041f#U041e.docx #U041a#U0440#U0438#U0442#U0435#U0440#U0438#U0438 #U043e#U0446#U0435#U043d#U0438#U0432#U0430#U043d#U0438#U044f #U043a#U043e#U043d#U0442#U0440#U043e#U043b#U044c#U043d#U044b#U0445 #U0440#U0430#U0431#U043e#U0442 #U0434#U043b#U044f #U041d#U041f#U041e.docx #U041a. #U0440. #U0447#U0430#U0441#U0442#U044c #U0410, 2 #U043a#U0443#U0440#U0441 #U041d#U041f#U041e..docx #U041f#U043e#U044f#U0441#U043d#U0438#U0442#U0435#U043b#U044c#U043d#U0430#U044f #U0437#U0430#U043f#U0438#U0441#U043a#U0430 #U043a #U043a.#U0440,#U0437,#U043d#U043f#U043e,#U043f#U043e#U0432#U0430#U0440#U0430.docx #U0437#U0430#U0447#U0435#U0442 #U2116 1.docx #U041c#U0415#U0422#U041e#U0414.#U0423#U041a-#U042f #U041a #U041f#U0420-#U041f#U041e#U0412#U0410#U0420#U0410,2014-2016 #U0443#U0447.#U0433..docx #U041c#U0415#U0422#U041e#U0414.#U0423#U041a-#U042f #U041a #U041f#U0420-#U041f#U041e#U0412#U0410#U0420#U0410,2015-2017 #U0443#U0447.#U0433..docx #U041f#U0420 - #U041f#U041e#U0412#U0410#U0420#U0410,2015-2017 #U0443#U0447.#U0433..docx #U041f#U0420 -#U041f#U041e#U0412#U0410#U0420#U0410,2014-2016 #U0443#U0447.#U0433..docx #U041a#U0422#U041f #U041a#U0420#U0410#U0422#U041a#U041e,#U041f#U041e#U0412#U0410#U0420#U0410,2014-2016 #U0443#U0447.#U0433..docx #U041a#U0422#U041f #U041a#U0420#U0410#U0422#U041a#U041e,#U041f#U041e#U0412#U0410#U0420#U0410,2015-2017 #U0443#U0447.#U0433..docx #U041a#U0422#U041f #U041f#U041e#U0412#U0410#U0420#U0410,2014-2016 #U0443#U0447.#U0433..docx #U041a#U0422#U041f-#U041f#U041e#U0412#U0410#U0420#U0410,2015-2017 #U0443#U0447.#U0433..docx #U0420#U041f-#U041f#U041e#U0412#U0410#U0420#U0410,2014-2016 #U0443#U0447.#U0433..doc #U0420#U041f-#U041f#U041e#U0412#U0410#U0420#U0410,2015-2017 #U0443#U0447.#U0433..docx

Выбранный для просмотра документ #U0412#U0421#U0420- #U041f#U041e#U0412#U0410#U0420#U0410,2015-2017 #U0443#U0447.#U0433..docx


Самостоятельная работа № 1


Тема: Составление опорного конспекта «Четырехугольники».

Цель работы:

  • повторить понятия: параллелограмм, прямоугольник, ромб, трапеция, квадрат, их свойства;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

План работы:

  1. Определение параллелограмма, изображение параллелограмма и его свойства;

  2. Определение прямоугольника, изображение прямоугольника и его свойства;

  3. Определение ромба, изображение ромба и его свойства;

  4. Определение трапеции, изображение трапеции и ее свойства;

  5. Определение квадрата, изображение квадрата и его свойства;

  6. Формулы для вычисления площади четырехугольников;

Методические рекомендации к составлению конспекта:


Конспект– это работа с другим источником.

Цель –зафиксировать ,переработать тот или иной текст.

Конспект представляет собой дословные выписки из текста источника. При этом конспект это не полное переписывание чужого текста. При написании конспекта сначала прочитывается текст –источник, в нем выделяются основные положения , подбираются примеры , идет перекомпоновка материала, а затем уже оформляется текст конспекта. Конспект может быть полным, когда работа идет со всем текстом источника или неполным, когда интерес представляет какой-либо один или несколько вопросов, затронутых в источнике.

Общую последовательность действий при составлении конспекта можно определить таким образом:

1. Уяснить цели и задачи конспектирования.

2.Внимательно прочитать текст параграфа, главы и отметить информационно значимые места.

3. Составить конспект.

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : содержание соответствует теме, материал проработан глубоко, грамотно и полно использованы источники, приведены сложные примеры;

Оценка «4» выставляется , если : материал проработан не глубоко, использованы не все источники, приведены сложные примеры ;

Оценка «3» выставляется, если : материал проработан не полностью, приведены примеры.


Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.










Самостоятельная работа № 2

Тема: Составление опорного конспекта «Параллельность прямых и плоскостей».

Цель работы:

  • повторить понятия: параллельные прямые, параллельность прямой и плоскости, параллельные плоскости, их свойства;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

План работы:

  1. Определение параллельных прямых и их свойства( теоремы и лемма);

  2. Взаимное расположение прямой и плоскости(определение и чертежи);

  3. Определение параллельности прямой и плоскости, их свойства;

  4. Взаимное расположение прямых (определение и чертежи);

  5. Определение параллельности плоскостей, их свойства;

Методические рекомендации к составлению конспекта:


Конспект– это работа с другим источником.

Цель –зафиксировать ,переработать тот или иной текст.

Конспект представляет собой дословные выписки из текста источника. При этом конспект это не полное переписывание чужого текста. При написании конспекта сначала прочитывается текст –источник, в нем выделяются основные положения , подбираются примеры , идет перекомпоновка материала, а затем уже оформляется текст конспекта. Конспект может быть полным, когда работа идет со всем текстом источника или неполным, когда интерес представляет какой-либо один или несколько вопросов, затронутых в источнике.

Общую последовательность действий при составлении конспекта можно определить таким образом:

1. Уяснить цели и задачи конспектирования.

2.Внимательно прочитать текст параграфа, главы и отметить информационно значимые места.

3. Составить конспект.

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : содержание соответствует теме, материал проработан глубоко, грамотно и полно использованы источники, приведены сложные примеры;

Оценка «4» выставляется , если : материал проработан не глубоко, использованы не все источники, приведены сложные примеры ;

Оценка «3» выставляется, если : материал проработан не полностью, приведены примеры.


Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.














Самостоятельная работа № 3

Тема: Составление опорного конспекта «Перпендикулярность прямых, прямой и плоскости». 

Цель работы:

  • повторить понятия: перпендикулярность прямых, перпендикулярность прямой и плоскости, их свойства;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

План работы:

  1. Определение перпендикулярных прямых, их свойства;

  2. Определение перпендикулярности прямой и плоскости, их свойства(теоремы, чертежи, признак);

  3. Перпендикуляр и наклонные( определение и чертежи ) ;

  4. Теорема о 3 перпендикулярах;

Методические рекомендации к составлению конспекта:


Конспект– это работа с другим источником.

Цель –зафиксировать ,переработать тот или иной текст.

Конспект представляет собой дословные выписки из текста источника. При этом конспект это не полное переписывание чужого текста. При написании конспекта сначала прочитывается текст –источник, в нем выделяются основные положения , подбираются примеры , идет перекомпоновка материала, а затем уже оформляется текст конспекта. Конспект может быть полным, когда работа идет со всем текстом источника или неполным, когда интерес представляет какой-либо один или несколько вопросов, затронутых в источнике.

Общую последовательность действий при составлении конспекта можно определить таким образом:

1. Уяснить цели и задачи конспектирования.

2.Внимательно прочитать текст параграфа, главы и отметить информационно значимые места.

3. Составить конспект.

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : содержание соответствует теме, материал проработан глубоко, грамотно и полно использованы источники, приведены сложные примеры;

Оценка «4» выставляется , если : материал проработан не глубоко, использованы не все источники, приведены сложные примеры ;

Оценка «3» выставляется, если : материал проработан не полностью, приведены примеры.


Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.










Тема: Решение теста по теме «Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве». 

Цель работы: повторить, закрепить основные понятия по теме «Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве».

Методические рекомендации к выполнению теста:

Прочитать вопрос, ответить на его и записать букву , под которой записан правильный ответ.

Задание: тест по теме «Перпендикулярность прямых и плоскостей».

1.Если угол между двумя прямыми равен 90°, то эти прямые: а) пересекаются, б) параллельны, в) скрещиваются, г) перпендикулярны, д) совпадают. 2. Какое из следующих утверждений неверно: а) если прямая перпендикулярна к двум прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна и к этой плоскости, б) если прямая перпендикулярна к плоскости, то она ее пересекает, в) если две плоскости перпендикулярны к прямой, то они параллельны, г) если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны, д) если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости. 3.Если одна из двух скрещивающихся прямых перпендикулярна к плоскости, то будет ли перпендикулярна к этой плоскости вторая прямая? а) да, б) да, но при определенных условиях, в) определить нельзя, г) нет, д) другой ответ. 4. Прямая а перпендикулярна к прямым с и в, лежащим в плоскости hello_html_6f92222e.gif, прямая а перпендикулярна к плоскости hello_html_6f92222e.gif. Каково взаимное расположение прямых с и в? а) параллельны, б) пересекаются, в) параллельны или пересекаются, г) совпадают, д)определить нельзя. 5.Одна из двух параллельных плоскостей перпендикулярна прямой, тогда: а) другая плоскость параллельна прямой, б) прямая лежит в другой плоскости, в) другая плоскость перпендикулярна прямой, г) прямая не пересекает другую плоскость, д)выполняются все случаи, указанные в пунктах а - г. 6.Точка Е не принадлежит плоскости прямоугольника АВСD, ВЕ hello_html_m5d32ab2b.gifАВ, ВЕ hello_html_m5d32ab2b.gifВС. Тогда прямая и плоскость ВСЕ: а) параллельны, б) перпендикулярны, в) скрещиваются, г) прямая лежит в плоскости,  д) перпендикулярны, но не пересекаются. 7.Какое из следующих утверждений неверно? а) перпендикуляр и наклонная, выходящие из одной точки, имеют равные длины, б) проекцией прямой на плоскость является точка или прямая, в) наклонные разной длины, проведенные к плоскости из одной точки, имеют проекции разных длин, 

г) прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна к ее проекции, д) расстояние от произвольной точки одной из параллельных плоскостей до другой плоскости называется расстоянием между параллельными плоскостями. 8.Расстояния от точки М до сторон прямоугольного треугольника АВС (угол С равен 90°) равны. Какое из следующих утверждений верно? а) плоскости МАВ и АВС перпендикулярны, б) плоскости МВС и АВС перпендикулярны, в) плоскости МАС и АВС перпендикулярны, г) плоскости МАС и МВС перпендикулярны, д) условия в пунктах а - г неверны. 9.Угол между двумя плоскостями равен 80°. Какое из следующих утверждений неверно? а) плоскости пересекаются, б) в одной из плоскостей найдется прямая, перпендикулярная другой плоскости, в) в одной из плоскостей все прямые не перпендикулярны другой плоскости, г) в одной из плоскостей найдется прямая, параллельная другой плоскости, д) плоскости не перпендикулярны. 10.Какое из следующих утверждений верно? а) градусная мера двугранного угла не превосходит 90°, б) двугранным углом называется плоский угол, образованный прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей а, в) если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны, г) угол между плоскостями всегда тупой,  д) все линейные углы двугранного угла различны. 11.Какое из следующих утверждений верно? а) в прямоугольном параллелепипеде все шесть граней - произвольные параллелограммы, б) все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда - острые, в) прямоугольный параллелепипед, у которого все три измерения равны, называется кубом, г) квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме трех его измерений, д) параллелепипед называется прямоугольным, если его боковые ребра перпендикулярны к основанию. 12.Длины трех ребер, имеющих общую вершину, называются: а) высотами прямоугольного параллелепипеда, б) диагоналями прямоугольного параллелепипеда, в) измерениями прямоугольного параллелепипеда, г) диагоналями основания прямоугольного параллелепипеда, д) смежными ребрами прямоугольного параллелепипеда.



Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-12,

Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-10,

Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-6.



Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.



Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.









Самостоятельная работа № 5

Тема: Типовой расчет по теме «Прямоугольный параллелепипед».

Цель работы:

  • повторить, закрепить основные понятия по теме «Прямоугольный параллелепипед»,

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал: Л.С. Атанасян. Геометрия 10-11 класс, глава 2.п.24.

Решение типовых заданий:

Пример 1. Найти площадь основания ABCD прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 если DB1 = см, DB = 5 см, BC1 = 4 см.

Решение: Для нахождения длин сторон ( поскольку параллелепипед в условии задачи прямоугольный, а значит, все ребра пересекаются под прямым углом  )  используем теорему Пифагора. Найдем BB1 в прямоугольном треугольнике  DBB1 :
BB1 =   
BB12 =  (34 - 25) = 9. BB1 =3.Соответственно  СС1 = BB1 = 3 см. Для прямоугольного треугольника BC1C : BC2 =  ( BC12  – C1C2 ) , BC2 =  ( 16 – 9 ) = 7 . BC = В треугольнике BCD найдем CD:  CD2 =  ( BD2 – BC2 ), CD2 =  ( 25 – 7 ) = 18, CD = 3 . Откуда площадь основания параллелепипеда равна: 
S = BC CD =  3 = 3.
Ответ:   площадь основания  прямоугольного параллелепипеда равна 3. Пример 2.Сумма трех измерений прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равна 40, AB : AA1 : AD = 2 : 2 : 4.   Найдите наибольшую из диагоналей граней параллелепипеда. Решение: Обозначим ребра 2х, 2х, 4х. 2х+2х+4х =40, 8х=40,   х=5. Ребра 10,10 и 20. Грани имеют размеры 10х10 или 10х20. Диагональ грани 10х10:   d12= (102+102) = 200, d1= 10, Диагональ грани 10х20:   d22= (102 +202) = 500, d2= 10- наибольшая диагональ . Ответ: d2= 10- наибольшая диагональ . Пример 3. Сумма всех ребер параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равна 120 см. Найти каждое ребро параллелепипеда. если АВ/ВС= 4/5 и ВС/ВВ1 = 5/6. Решение: Пусть АВ = 4х, тогда ВС= 5х,  ВВ1 = 6х. У параллелепипеда по 4 равных ребра, а всего 12 ребер. 4 (4х+5х+6х)=120, 4 15х=120, 60х=120, х=2, АВ = 8,  ВС = 10,  ВВ1 = 12. Ответ:  АВ = 8 см,  ВС = 10 см,  ВВ1 = 12 см. Пример 4. Дано: а = 3, b = 4, с = 12, Найти d. Решение: d2 = а2 + b2 + с2 , d2 = 32 + 42 + 122 = 9 + 16 + 144 = 169, d= 13. Ответ:  d= 13. Пример 5. Дано: ABCDA1B1C1D1 - прямоугольный параллелепипед, AB = 12 см, BC= 5 см, ÐBDB1 = 45° . Найти BB1. Решение: В треугольнике BАD найдем ВD:  ВD2 =  АD2 + АB2 , ВD2 =   ВС2 + АB2 , ВD2 =  52 + 122 = 25 + 144 = 169, ВD = 13 см. В прямоугольном треугольнике BDB1 найдем BB1: ÐBDB1 = 45°, BB1 = ВD = 13 см. Ответ:  BB1 = 13 см. Пример 6. Дано: ABCDA1B1C1D1 - прямоугольный параллелепипед, AС1 = 12 см, α = 30°, β = 45°. Найти измерения прямоугольного параллелепипеда а, b, с. Решение: В прямоугольном треугольнике BАD1, α = 30°, AB = а = BD1 : 2 = AС1: 2 = 12: 2 = 6 см. В прямоугольном треугольнике BDD 1, β = 45°, с = DD 1= BD = = 6 . В прямоугольном треугольнике АBD, BD = 6, АВ = 6 см, АD2 =  BD2  – АВ2  , АD2 =  BD2  – АВ2  = 72 – 36 = 36, АD = b = 6 см. Ответ:  а = b = 6 см, с = 6 см.
hello_html_m321ec67f.gif

Задание: 1 Вариант.

  1. Найти площадь основания ABCD прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, если DB1 = см, DB = 10 см, BC1 = 7 см.

  2. Сумма трех измерений прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равна 48, AB : AA1 : AD = 2 : 2 : 4.   Найдите наибольшую из диагоналей граней параллелепипеда.

  3. Дано: а = 8, b = 9, с = 12, Найти d.

  4. Дано: ABCDA1B1C1D1 - прямоугольный параллелепипед, AB = 24 см, BC= 10 см, ÐBDB1 = 45° . Найти BB1.

  5. Дано: ABCDA1B1C1D1 - прямоугольный параллелепипед, AС1 = 16 см, α = 30°, β = 45°. Найти измерения прямоугольного параллелепипеда а, b, с.

2 Вариант.

  1. Найти площадь основания ABCD прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 если DB1 = см, DB = 6 см, BC1 = 12 см.

  2. Сумма всех ребер параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равна 240 см. Найти каждое ребро параллелепипеда. если АВ/ВС= 4/5 и ВС/ВВ1 = 5/6.

  3. Дано: а = 6, b = 8, с = 24, Найти d.

  4. Дано: ABCDA1B1C1D1 - прямоугольный параллелепипед, AB = 30 см, BC= 15 см, ÐBDB1 = 45° . Найти BB1.

  5. Дано: ABCDA1B1C1D1 - прямоугольный параллелепипед, AС1 = 20 см, α = 30°, β = 45°. Найти измерения прямоугольного параллелепипеда а, b, с.

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-5,

Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-4,

Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3.



Требования к оформлению самостоятельной работы:

Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.







Самостоятельная работа № 6

Тема: Типовой расчет по теме «Пирамида».

Цель работы:

  • повторить, закрепить основные понятия по теме «Пирамида»,

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал: Л.С. Атанасян. Геометрия 10-11 класс, глава 3.§ 2.

Решение типовых заданий:

Пример 1. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого 8см, а радиус описанной около него окружности равен 5 см. Основанием высоты этой пирамиды является середина гипотенузы. Высота пирамиды равна 12см. Вычислить боковые ребра пирамиды. 
Решение:
В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на его гипотенузе. Соответственно, AB = 10 см, AO = 5 см.
 
Поскольку высота ON = 12 см, то величина ребер AN и NB равна
 
AN
2 = AO2 + ON2 , AN2 = 52 + 122 , AN = , AN = 13. 
Поскольку нам известна величина AO = OB = 5 см и величина одного из катетов основания (8 см), то высота, опущенная на гипотенузу, будет равна
 
CB
2 = CO2 + OB2 , 64 = CO2 + 25 , CO2 = 39 , CO = .
Соответственно, величина ребра CN будет равна
 :
CN
2 =  CO2 + NO2 , CN2 = 39 + 144 , CN = .
Ответ: 13, 13 , .hello_html_m48fa674b.gif

Пример 2. Боковая грань правильной треугольной пирамиды представляет собой правильный треугольник, площадь которого 16 корней из 3 см2 (16). Вычислить периметр основания пирамиды. 
Решение
:
Правильный треугольник - это равносторонний треугольник. Соответственно, боковая грань пирамиды представляет собой равносторонний треугольник.
 
Площадь равностороннего треугольника равна:
 . 
Соответственно:
 16 = a2 / 4 , 16 = a2 / 4 , a2 = 64 ,a = 8 см .
Основанием правильной треугольной пирамиды является правильный (равносторонний) треугольник. Таким образом, периметр основания пирамиды равен
  Р = 83 = 24 см .
Ответ: 24 см. 

Пример 3. Высота основания правильной треугольной пирамиды равна 3 см. а угол между боковой гранью и основанием пирамиды равен 45 градусов. Надо найти площадь полной поверхности пирамиды .
Решение:  В основании правильной треугольной пирамиды лежит равносторонний треугольник. Поэтому для решения задачи воспользуемся свойствами правильного треугольника: 
hello_html_m33c284ca.gif 
Нам известна высота треугольника, откуда можно найти его площадь.
 
h = /2 a
 , a = h / (/2),  a = 3 / (/2) , a = 6 / .
Откуда площадь основания будет равна:
  S = /4 a2 , S = /4 ( 6 / )2 , S = 3.
Для того, чтобы найти площадь боковой грани, вычислим высоту KM. Угол OKM по условию задачи равен 45 градусам.
 Таким образом:  OK / MK = cos 45°. 
Воспользуемся
 таблицей значений тригонометрических функций и подставим известные значения. OK / MK = /2. Учтем, что OК равен радиусу вписанной окружности. Тогда  OK = /6 a ,OK = /66/= 1. 
Тогда
  OK / MK = /2  ,1 / MK = /2  , MK = 2/ .
Площадь боковой грани тогда равна половине произведения высоты на основание треугольника.
 Sбок = 1/2 (6 / ) (2/) = 6/ .
Таким образом, площадь полной поверхности пирамиды будет равна
 
S = 3+ 36/ , S = 3+ 18/ .
Ответ: 3 + 18/ .hello_html_m3f19bf97.gifhello_html_m3f19bf97.gif

Пример 4. Высота правильной треугольной пирамиды 4 см, а ее апофемы 8 см. Вычислите площадь боковой поверхности пирамиды. 
Решение: 
Исходя из того, что MK = 8, MO = 4, синус угла OKM равен
  MO/MK = 1/2 , откуда угол равен arcsin 1/2 = 30 °. Откуда  KO / MK = cos 30° , KO / 8 = cos 30° , KO = 8 cos 30° .
По таблице тригонометрических функций найдем
 значение косинуса 30 °. KO = 8/2 = 4 .
Учтем, что KO является радиусом вписанной окружности в основание правильной треугольной пирамиды (согласно
 свойствам правильной пирамиды). Тогда по свойству равностороннего треугольника r = a/6.
Подставим в формулу известное нам значение радиуса вписанной окружности, откуда найдем значение стороны равностороннего треугольника
 4 = a /6 , a = 24. 
Теперь, зная размер основания боковой грани и ее апофему, найдем площадь боковой грани как площадь равнобедренного треугольника:
 Sт = 1/224 8 = 96 см2 .
Откуда площадь боковой поверхности пирамиды
 S = 3 Sт = 3 96 = 288 см2 . 
Ответ: 288 см2.

Пример 5. Высота и сторона основания правильной четырехугольной пирамиды соответственно равны 24 и 14. найдите апофему пирамиды. 
Решение: Поскольку пирамида правильная, то в ее основании лежит правильный четырехугольник - квадрат. Кроме того, высота пирамиды проецируется в центр квадрата. Таким образом, катет прямоугольного треугольника, который образован апофемой пирамиды, высотой и отрезком, их соединяющим, равен половине длины основания правильной четырехугольной пирамиды.  Откуда по теореме Пифагора длина апофемы будет найдена из уравнения:  72 + 242 = x2 , x2 = 625,  x = 25.  Ответ: 25 см .hello_html_m678d7f82.png

Задание:

1 вариант.

  1. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого 16 см, а радиус описанной около него окружности равен 10 см. Основанием высоты этой пирамиды является середина гипотенузы. Высота пирамиды равна 24 см. Вычислить боковые ребра пирамиды. 

  2. Боковая грань правильной треугольной пирамиды представляет собой правильный треугольник, площадь которого 64 корней из 3 см2 (64). Вычислить периметр основания пирамиды. 

  3. Высота основания правильной треугольной пирамиды равна 6 см. а угол между боковой гранью и основанием пирамиды равен 45 градусов. Надо найти площадь полной поверхности пирамиды .

  4. Высота правильной треугольной пирамиды 8 см, а ее апофемы 16 см. Вычислите площадь боковой поверхности пирамиды. 

  5. Высота и сторона основания правильной четырехугольной пирамиды соответственно равны 24 и 20. Найдите апофему пирамиды. 

2 вариант.

  1. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого 9 см, а радиус описанной около него окружности равен 6 см. Основанием высоты этой пирамиды является середина гипотенузы. Высота пирамиды равна 8 см. Вычислить боковые ребра пирамиды. 

  2. Боковая грань правильной треугольной пирамиды представляет собой правильный треугольник, площадь которого 4 корня из 3 см2 (4). Вычислить периметр основания пирамиды. 

  3. Высота основания правильной треугольной пирамиды равна 9 см. а угол между боковой гранью и основанием пирамиды равен 45 градусов. Надо найти площадь полной поверхности пирамиды .

  4. Высота правильной треугольной пирамиды 2 см, а ее апофемы 4 см. Вычислите площадь боковой поверхности пирамиды. 

  5. Высота и сторона основания правильной четырехугольной пирамиды соответственно равны 12 и 18. Найдите апофему пирамиды. 

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-5, Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-4, Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3. Требования к оформлению самостоятельной работы: Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.

Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.








Самостоятельная работа № 7

Тема: Решение теста по теме «Многогранники» .

Цель работы: повторить, закрепить основные понятия по теме «Многогранники».

Методические рекомендации к выполнению теста:

Прочитать вопрос, ответить на его и записать букву , под которой записан правильный ответ.

Задание:

1) тетраэдр -  поверхность, составленная из…

 А) 4 треугольников;            Б ) 3 треугольников;

 В) 5 треугольников;             Г) 4 четырехугольников;

2) параллелепипед – поверхность, составленная из ….

 А) параллелограммов;        Б) 6 параллелограммов;

 В) 4 треугольников;             Г) 6 прямоугольников;

3) любая поверхность ограничивает….., отделяет …… от остальной части……..

А) многогранник, плоскости;  Б) тело, пространство;

В) геометрическое тело, плоскость; 

Г) геометрическое тело, пространство;

4) поверхность, составленная из многоугольников и ограничивающую геометрическое тело, называют…..

 А) многогранником;           Б) многоугольником;

 В) тетраэдром;                     Г) параллелепипедом;

 5) концы ребер многоугольника называют….

 А) грани;               Б) ребра;            В) вершины;               Г) диагонали;

6) Сколько ребер у тетраэдра?

А) 6; Б) 7; В) 8; Г) 12;

7) Двойственный многогранник это …

А) тетраэдр; Б) октаэдр; В) додекаэдр;

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-7,

Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-6,

Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-4.


Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.








Самостоятельная работа № 8

Тема: Типовой расчет по теме «Цилиндр».

Цель работы:

  • повторить, закрепить основные понятия по теме «Цилиндр»,

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал:

  1. Л.С. Атанасян. Геометрия 10-11 класс, глава 6. § 1.

  2. Самостоятельная работа № 14.

Решение типовых заданий:

Пример 1. В цилиндре параллельно его оси проведено сечение, диагональ которого равна 17 см, высота цилиндра равна 15 см., а радиус основания 5 см. На каком расстоянии от оси проведено это сечение? 
Решение. 
Сечение цилиндра в плоскости представляет собой прямоугольник. Таким образом, BM также представляет собой высоту цилиндра. Треугольник BMK - прямоугольный. Таким образом, можно найти длину стороны MK = B
C:
BK
2 = BM2 + MK2 , MK2 = BK2  BM2 ,MK2 = 172  152 ,
MK
2 = 64 , MK = 8. 
Таким образом, MK = BC = 8 см.
 
Теперь, проведем сечение через основание цилиндра. Рассмотрим получившуюся плоскость.
 
(
это делать совершенно необязательно, сечение основания цилиндра проведено только для простоты понимания решения задачи). 
AD - диаметр цилиндра, проведенный как сечение, параллельное заданному в условии задачи. BC - прямая, принадлежащая сечению, параллельному оси цилиндра. Поэтому ABCD - трапеция. Если трапеция равнобедренная, то вокруг нее можно описать окружность. Таким образом, ABCD - равнобедренная трапеция. Найдя высоту трапеции, получим расстояние от проведенного по условию задачи сечения до оси цилиндра. Найдем величины некоторых отрезков.
 AD = 2R = 2 5 = 10 см, OC = OD = R = 5 см .
В равнобедренной трапеции высота, опущенная из вершины на большее основание, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, другой - полуразности оснований. Таким образом,
 
AN = DP = ( 10
8 ) / 2 = 1 см , тогда OP = OD DP = 51 = 4 см .
Треугольник CPO - прямоугольный, так как CP - высота трапеции. Откуда
 
CP
2 + OP2 = OC2 ,CP2 = OC2  OP2, CP2 = 52  42 ,CP2 = 25 16 = 9 ,CP = 3. 
Ответ: Проведенное сечение цилиндра находится на расстоянии 3 см от его оси.hello_html_m1ed0129.gifhello_html_m2050d35.gif

Пример 2. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, если диагональ его осевого сечения, равная 8см, составляет с образующей цилиндра угол величиной 30° . Решение: Поскольку AC = 8 см, а угол ACD = 30°, то 
CD = AC cos 30°
 . Пояснение. Треугольник ACD - прямоугольный. Соответственно, CD / AC = cos ACD по свойству тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике. Значение  cos 30 найдем из таблицы значений тригонометрических функций. CD = 8  /2 = 4. Аналогично,  AD = AC sin 30° , AD = 8 1/2 = 4, Откуда радиус основания цилиндра равен R = 4/2 = 2 см. Площадь основания цилиндра, соответственно, равна  S1 = πR2 = 4π. Площадь боковой поверхности цилиндра равна площади его развертки - произведению длины окружности основания и высоты цилиндра.
То есть:
 S2 = 2πRh = 2π 2 4= 16π. Общая площадь поверхности цилиндра равна:  S =S1 + S2 =  4π +  16π. Ответ:  4π +  16π.
Пример 3. Дано: цилиндр; ABCD - квадрат; АС = 4 см (рис. ). Найти: Sб.п.ц.
Решение: Sб.п.ц. = 2πRH. Пусть АВ = х, тогда х2 + х2 = 42;
2 = 16; х2 = 8; х = 2. = ; Н = 2. Sб.п.ц. = 2π · · 2= 8π (см2). Ответ: 8π см2.
Пример 4. Дано: цилиндр, ABCD - квадрат; Sосн.ц. = 16π см2 (рис.). Найти: Sб.п.ц.
Решение: πR2 = 16π; R2 = 16; R = 4. АВ = ВС = 4 · 2 = 8 (см). Sб.п.ц. = 2πRH, где R = 4; Н = 8.Sб.п.ц. = 2π · 4 · 8 = 64π (см2). Ответ: 64π см2. Пример 5. Дано: цилиндр, АВ1 = 16 см, B1AB = 30° (рис.). Найти: hRосн.  Решение:1) hк. = BB1;
2)Из ΔАВВ1 находим AB: AB = 16 cos 30° = 16 /2 = 8
R = 1/2 AB = 8 : 2 = 4 .
3) Из ΔВ
1АВ находим BB1: BB1 = 16 sin 30 ° = 16 1/2 = 16 : 2 = 8 см. Ответ: = 8 см; R = 4 см. hello_html_40222fab.gifhello_html_m2ae74cee.jpghello_html_m41d996ff.jpg

Задание:hello_html_m5b1a35f0.jpg

1вариант.

1)В цилиндре параллельно его оси проведено сечение, диагональ которого равна 34 см, высота цилиндра равна 30 см., а радиус основания 10 см. На каком расстоянии от оси проведено это сечение?

2)Найдите площадь полной поверхности цилиндра, если диагональ его осевого сечения, равная 16 см, составляет с образующей цилиндра угол величиной 30 °.

3)Дано: цилиндр; ABCD - квадрат; АС = 16 см (рис. ). Найти: Sб.п.ц.

4) Дано: цилиндр, ABCD - квадрат; Sосн.ц. = 25π см2 (рис.). Найти: Sб.п.ц.

5)Дано: цилиндр, АВ1 = 8 см, B1AB = 30° (рис.). Найти: hRосн.

2 вариант.

1)В цилиндре параллельно его оси проведено сечение, диагональ которого равна 10 см, высота цилиндра равна 6см., а радиус основания 5 см. На каком расстоянии от оси проведено это сечение?

2)Найдите площадь полной поверхности цилиндра, если диагональ его осевого сечения, равная 4 см, составляет с образующей цилиндра угол величиной 30 °. 

3)Дано: цилиндр; ABCD - квадрат; АС = 8см (рис. ). Найти: Sб.п.ц.

4)Дано: цилиндр, ABCD - квадрат; Sосн.ц. = 36π см2 (рис.). Найти: Sб.п.ц.

5)Дано: цилиндр, АВ1 = 20 см, B1AB = 30° (рис.). Найти: hRосн.

Критерии оценки:
Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-5,
Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-4,
Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3.

Требования к оформлению самостоятельной работы: Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.

Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1. Самостоятельная работа № 9

Тема: Типовой расчет по теме «Конус».

Цель работы:

  • повторить, закрепить основные понятия по теме «Конус»,

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал: Л.С. Атанасян. Геометрия 10-11 класс, глава 6. § 2.

Решение типовых заданий:

Пример 1. Высота конуса равна 5см, а радиус основания 12см. Найдите площадь полной поверхности конуса. 
Решение
Для нахождения площади поверхности конуса воспользуемся следующими формулами: S
1 = rl - площадь боковой поверхности конуса, где r - радиус конуса, а l - длина образующей, S2 = r2 - площадь круга, то есть основания конуса. Таким образом, площадь поверхности конуса составит  S = S1 + S2 .
Поскольку S
1 = rl , найдем образующую. Поскольку высота конуса, радиус основания конуса и образующая являются сторонами прямоугольного треугольника, то  l2 = h2 + r2 , l2 = 52 + 122 = 25 + 144 = 169 , l = 13.
Тогда
 S = S1 + S2 = + 144 = 156+ 144 = 300 ≈ 942,48 
Ответ: 300 ≈ 942,48 см2 .hello_html_m6d6bd24b.jpg

Пример 2. Дано: конус, ОР = 15 см, ОВ = r = 8 см (рис.). Найти:РВ.  Решение: Из ΔОРВ по теореме Пифагора:PB2= PO2 + OB2,
PB2= 152 + 82 = 225 + 64 = 289, PB = 17.
Ответ: 17 см.

Пример 3. Дано: Конус, ABC = 120°, АВ = 6 (рис.). Найти: R,h.  Решение:1) ΔАВС - равнобедренный, угол при основании 
С = 30°. 2)Из ΔАВО : h = ВО = AB : 2 = 3.
3)
R = AO = AB · cos 30° = 6 ·  : 2 = 3 .
Ответ: H = 3, R = 3.hello_html_m6bcb7613.jpg

Пример 4. Дано: Конус. ΔАВС - равносторонний, АВ = 12, = 10 (рис.). Найти: OK,h. 
Решение:1) Из ΔВОС по теореме Пифагора: h2 = OB2 = BC2OC2,
h2 = 122 – 102 = 144 – 100 = 44, h = = 2
2)
ΔABC - равносторонний, АС = 12, СК = 6. Из ΔСОК по теореме Пифагора ОК2 = ОС2СК2, ОК2 = 102 62 = 100 36 = 64, OK = 8. Ответ: h = 2, ОК = 8.hello_html_m2d0d5103.jpg

Пример 5. Дано: конус, h = OP = 1,2 см, Sосев. = 0,6 см2 (рис.). Найти: Sполн. .
Решение:hello_html_28ad1e01.jpg

  1. Осевое сечение - треугольник: высота 1,2 см и основание 2r.

Sосев. =  · 2r h = r h, r = Sосев. : h = 0,6 : 1,2 = 0,5 см.

  1. Из ΔАОР по теореме Пифагора: l2 = h2 + r2  = OP2 + OA2. l2 = 1,22 + 0,52 = 1,44 + 0,25 = 1,69, l = 1,3 см.

  2. Sполн. = · (r + l) , Sполн. = 0,5 · (0,5 + 1,3) = · 0,5 · 1,8 = 0,9
    Ответ: 0,9π см2.



Задание:

1вариант.

  1. Высота конуса равна 10 см, а радиус основания 24 см. Найдите площадь полной поверхности конуса.

  2. Дано: конус, ОР = 12 см, ОВ = r = 9 см (рис.). Найти: РВ. 

  3. Дано: Конус, ABC = 120°, АВ = 8 (рис.). Найти: R, h. 

  4. Дано: Конус. ΔАВС - равносторонний, АВ = 24, = 20 (рис.). Найти: OK, h.

  5. Дано: конус, OP = 2,4 см, Sосев. = 2,4 см2 (рис.). Найти: Sполн. 

2 вариант.

  1. Высота конуса равна 6 см, а радиус основания 8 см. Найдите площадь полной поверхности конуса.

  2. Дано: конус, ОР = 15 см, ОВ = r = 20 см (рис.). Найти: РВ. 

  3. Дано: Конус, ABC = 120°, АВ = 10 (рис.). Найти: R, h. 

  4. Дано: Конус. ΔАВС - равносторонний, АВ = 32, = 20 (рис.). Найти: OK, h.

  5. Дано: конус, OP = 0,9 см, Sосев. = 1,08 см2 (рис.). Найти: Sполн. 

Критерии оценки: Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-5,

Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-4,

Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3.


Требования к оформлению самостоятельной работы:

Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.






























Самостоятельная работа № 10

Тема: Решение теста по теме «Тела вращения».

Цель работы: повторить, закрепить основные понятия по теме «Тела вращения».

Методические рекомендации к выполнению теста:

  1. Прочитать вопрос, ответить на его и записать букву , под которой записан правильный ответ.

  2. Решив задачу, нужно выбрать правильный ответ и записать номер, под которым он записан.

Задание: Тест: «Тела вращения».

1. Сколько диаметров у сферы?

А.1. Б.3.В.2. Г. бесконечно много.

2. Какой фигурой является сечение шара плоскостью?

А. отрезком. Б. Кругом. В. окружностью. Г. сферой.

3. Если радиус сферы увеличить в 2 раза то объём увеличиться

А. в 2 раза .Б. в 8 раз. В. в 4 раза. Г. в 16 раз.

4. В формуле V=4/3. R 3 ,V-объём

А. шара. Б. Цилиндра. В. конуса .Г. шарового сектора.

5. Конус можно получить, если вращать вокруг стороны

А. равносторонний треугольник .Б. остроугольный треугольник.

В. тупоугольный треугольник .Г. прямоугольный треугольник.

6. Площадь поверхности шара (сферы) уменьшили в 9 раза. Объём уменьшиться в ...

А. 3 раз. Б. 27 раз. В. 9 раз. Г.81 раз.

7.Площадь боковой поверхности конуса равна

А. 2, Б. 4 , В. ;

8.Тело вращения, площадь боковой поверхности которого равна 2 называется

А. цилиндр, Б. Шар, В. конус;

9.У какого тела вращения 2 основания

А. конус, Б. шар, В. цилиндр;

10.В сечении треугольник. В каком теле вращения это возможно?

А. конус, Б. шар, В. цилиндр;

11.В каком теле вращения нет высоты;

А. шар, Б. цилиндр, В. конус, Г. усеченный конус;

12.Какая фигура в осевом сечении у шара

А. квадрат, Б. ромб, В. круг, Г. прямоугольник;


Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-12,

Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-10,

Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-6.


Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.






Самостоятельная работа № 11

Тема: Типовой расчет по теме «Объём прямоугольного параллелепипеда».

Цель работы:

  • повторить, закрепить основные понятия по теме «Объём прямоугольного параллелепипеда»,

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал: Л.С. Атанасян. Геометрия 10-11 класс, глава 7. § 1. Решение типовых заданий:

Пример 1. Площадь грани прямоугольного параллелепипеда равна 12. Ребро, перпендикулярное этой грани, равно 4. Найдите объем параллелепипеда. Решение: Каждая грань прямоугольного параллелепипеда –прямоугольник. Пусть SABCD= a b = 12 , тогда АА1= h = 4, т.к. АА1 АВСD. Используем формулу объема прямоугольного параллелепипеда V = a b h , V = 12 4 = 48. Ответ: 48 см3. Пример 2. Объем прямоугольного параллелепипеда равен 12. Одно из его ребер равно 3. Найдите площадь грани параллелепипеда, перпендикулярной этому ребру. Решение: Пусть АА1 АВСD, V = 12 , АА1= h = 3. Найдём SABCD. Используем формулу объема прямоугольного параллелепипеда V = a b h, где SABCD= a b, S ABCD 3 = 12,S ABCD = 4. Ответ: 4 см2. Пример 3. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2, 4. Диагональ параллелепипеда равна 6. Найдите объем параллелепипеда. Решение: a = 4, b = 2, d = 6. Найдем V. Формула диагонали прямоугольного параллелепипеда: d2 = a2 + b2 + h2 , 16 + 4 + h2 = 36, h2 = 16, h = 4. Формула объема прямоугольного параллелепипеда: V = abh , V = 4 2 4 = 32. Ответ: 32 см3. Пример 4. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2, 3. Объем параллелепипеда равен 36. Найдите его диагональ и высоту. Решение: a = 3, b = 2. Формула объема прямоугольного параллелепипеда: V = abh , 3 . 2 . h = 36, 6h = 36, h = 6. V = 36.Найдем d. d2 = 9 + 4 + 36, d2 = 49, d = 7. Ответ: 7 и 6 см. Пример 5. Дано: ABCDA1B1C1D1 - прямоугольный параллелепипед, диагональ D1= 18 составляет угол в 30° с плоскостью боковой грани, и угол в 45° с боковым ребром (рис. ). Найти: V.

 Решение: BC1 - проекция D1на плоскость боковой грани BB1С1С, поэтому D1BC1 = 30°D1BB1= 45°. Рассмотрим ΔD1C1BD1C1= 90° (рис.). ∠В = 30°. => D1C1 = 18 : 2 = 9 см. Рассмотрим ΔD1B1- прямоугольный: BB1= 18 cos 45° = 18 : 2 = 9 см. Диагональ (d) и измерения (а, b, с) прямоугольного параллелепипеда связаны соотношением: d2 = a2 + b2 + h2 , 182 = 92 + (9)2 + B1C12 , (ΔD1B1B: B1B =D1 B1). B1C12 = 182 92 (9)2 = 324 – 8181 2 = 81, B1C1 = 9см. V = 99 9 = 729 см3hello_html_m49e41dc8.jpg

Ответ: V = 729см3.

Пример 6. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда 3 и 4. Найти его объём, если высота равна длине диагонали его основания.
Решение: BD - диагональ основания прямоугольного параллелепипеда. BD2 = АВ2 + АD2, BD2 = 32 +42 = 9 + 16 = 25, BD = 5, h = 5. V = 345 = 60 см3. Ответ: 60 см3.

Пример 7. Найти объём прямоугольного параллелепипеда, если стороны основания 2 и 3, а диагональ параллелепипеда .

Решение: d2 = a2 + b2 + h2 , ()2 = 22 + 32 + h2 , h 2 = 38 – 4 9 = 25, h = 5.

V = 23 5 = 30 см3.

Ответ: 30 см3.

Задание:

1вариант.

  1. Площадь грани прямоугольного параллелепипеда равна 15. Ребро, перпендикулярное этой грани, равно 6. Найдите объем параллелепипеда.

  2. Объем прямоугольного параллелепипеда равен 24. Одно из его ребер равно 3. Найдите площадь грани параллелепипеда, перпендикулярной этому ребру.

  3. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 3, 4. Диагональ параллелепипеда равна 13. Найдите объем параллелепипеда.

  4. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 3, 6. Объем параллелепипеда равен 108. Найдите его диагональ и высоту.

  5. Дано: ABCDA1B1C1D1 - прямоугольный параллелепипед, диагональ  D1= 12 составляет угол в 30° с плоскостью боковой грани, и угол в 45° с боковым ребром (рис. ). Найти: V.

2 вариант.

  1. Площадь грани прямоугольного параллелепипеда равна 18. Ребро,перпендикулярное этой грани, равно 5. Найдите объем параллелепипеда.

  2. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 3, 4. Объем параллелепипеда равен 144. Найдите его диагональ и высоту.

  3. Дано: ABCDA1B1C1D1 - прямоугольный параллелепипед, диагональ  D1= 16 составляет угол в 30° с плоскостью боковой грани, и угол в 45° с боковым ребром (рис. ). Найти: V.

  4. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда 6 и 8. Найти его объём, если высота равна длине диагонали его основания.

  5. Найти объём прямоугольного параллелепипеда, если стороны основания 4 и 6, а диагональ параллелепипеда .

Критерии оценки: Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-5, Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-4, Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3.


Требования к оформлению самостоятельной работы: Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.













Самостоятельная работа № 12

Тема: Типовой расчет по теме «Объём цилиндра».

Цель работы:

  • повторить, закрепить основные понятия по теме «Объём цилиндра»,

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал: Л.С. Атанасян. Геометрия 10-11 класс, глава 7. § 2.

Решение типовых заданий:

Пример 1. Дано: цилиндр, r = 2см, h = 3 см. Найти: V.

Решение: V= S0 · h. V= πr2 · h = π()2 3 = π 8 3= 24 π см3.

Ответ: 24π см3.

Пример 2. Дано: цилиндр, r = h= 8π см3. Найти: h.

Решение: V= S0 · h. V= πr2 · h, так как r = h, то V = πh3 => h3 = V / π, h3 = 8 π / π = 8, h = 2 см. Ответ: 2 см.

Пример 3. Дано: цилиндр, ABCD - осевое сечение, ABCD - квадрат, hello_html_2cd2a3a8.jpg

АС = 8см. (рис.). Найдите: Vцил. 

Решение:1) V= S0 · h. 

2)Рассмотрим ΔАВС - прямоугольный, так как ABCD квадрат.

Пусть АВ = ВС = x см(x >0), тогда x2 + x2 = (8)2, 2x2 = 642,x2 = 64, x = 8.

Итак: АВ = ВС = 8 см, т.е. = 8 (см).

3) Найдем радиус основания: = 1/2AD = h / 2 = 4 см, тогда S0 = πr2 , S0 = 16π см2. 

4) V= S0 · h. V= 16 π · 8 = 128 π см3.  

Ответ: 128 π см3.

Пример 4. Дано: цилиндр, ABCD - осевое сечение, ABCD - квадрат, АС = 6см (рис. Пример 3.).

Найдите: Vцил. Решение: 1) V= S0 · h.  2)Рассмотрим ΔАВС - прямоугольный и равнобедренный, так как ABCD – квадрат. Обозначим АВ = ВС = х см (x >0), тогда x2 + x2 = (6)2, 2x2 = 362,x2 = 36, x = 6, т. е. АВ = ВС = 6 см, и так = 6 см. 3) Найдем радиус основания r = AD : 2 = AB : 2 = 6 : 2 = 3см. S0  = πr2 = 9πсм2. 

4) V= S0 · h. V= 9π · 6 = 54πсм3.  

Ответ: 54π см3.

Пример 5. Дано: цилиндр (MNKL) || OO1, ОН =15 см, МК = 20 см, r = 17 см (рис.). Найдите: Vцил. hello_html_60118f26.jpg

Решение:

1) Рассмотрим получившееся сечение: так как плоскость параллельна оси цилиндра, то MN || OO’ иKL || OO’, т.е. MN || KL; ОО1 основанию  MN  основанию и КО  основанию, кроме того NK ||ML - лежат в параллельных плоскостях, таким образом четырехугольник MNKL - прямоугольник.

2)  V= S0 · h. V= πr2 · h = 172πh = 289 πh см3

3) Рассмотрим ΔMOL: проведем ОН  ML; ОН и есть расстояние от плоскости

сечения до оси цилиндра, т. е. ОН = 15 см. ОН - высота, медиана и биссектриса

равнобедренного ΔMOL, HL = ML : 2 , HL2 = OL2OH2 = 172 – 152 = 289 – 225 = 64 , HL = 8см, ML = 16 см.

4) Находим высоту цилиндра из прямоугольного ΔMKL: h2 = KL2 = MK2ML2 = 202 – 162 = 400 – 256 = 144, h = 12см.

5) V =289π 12 = 3468π см3.

Ответ: 3468π см3.



Задание:

1вариант.

  1. Дано: цилиндр, r = 4см, h = 3 см. Найти: V.

  2. Дано: цилиндр, r = h= 27π см3.Найти: h.

  3. Дано: цилиндр, ABCD - осевое сечение, ABCD - квадрат, АС =10см.(рис.). Найдите: Vцил. 

  4. Дано: цилиндр, ABCD - осевое сечение, ABCD - квадрат, АС = 4 см (рис. Пример 3.). Найдите: Vцил.

  5. Дано: цилиндр (MNKL) || OO1, ОН =30 см, МК = 40 см, r = 34 см (рис.). Найдите: Vцил. 

2 вариант.

  1. Дано: цилиндр, r = 6см, h = 3 см. Найти: V.

  2. Дано: цилиндр, r = h= 64π см3.Найти: h.

  3. Дано: цилиндр, ABCD - осевое сечение, ABCD - квадрат, АС =12см.(рис.). Найдите: Vцил. 

  4. Дано: цилиндр, ABCD - осевое сечение, ABCD - квадрат, АС = 14см (рис. Пример 3.). Найдите: Vцил.

  5. Дано: цилиндр (MNKL) || OO1, ОН = 24 см, МК = 25 см, r = 26 см (рис.). Найдите: Vцил.


Критерии оценки: Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-5, Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-4, Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3.


Требования к оформлению самостоятельной работы: Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.
























Самостоятельная работа № 13

Тема: Типовой расчет по теме «Объём конуса».

Цель работы:

  • повторить, закрепить основные понятия по теме «Объём конуса»,

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал: Л.С. Атанасян. Геометрия 10-11 класс, глава 7. § 3.

Решение типовых заданий:

Пример 1. a) Вычислите объем конуса, если его высота 6 см, а площадь основания 42 см2.

Решение: V= 1/3S0 · h. V= 1/3· 42 · 6 = 84 см3. Ответ: 84 см3. 

б) Найти объем конуса с радиусом основания 4 м и высотой 6 м .hello_html_22f040f9.jpg

Решение: V= 1/3 πr2 · h. V= 1/3 · π ·42 · 6 = 32 π м3.  Ответ: 32 π м3. 

Пример 2. Образующая конуса равна 60 см, высота 30 см. Найдите Vк (рис.).

Решение: Из ΔАOР (O = 90°): Так как РО = 1/2АР, то

= 30°,  R = AO = 60 · cos 30° = 60 · / 2 = 30 см,

 V= 1/3 πr2 · h. V= 1/3 π(30)2 · 30 = 27000 π см3. Ответ: V = 27000π см3.hello_html_77625222.jpg

Пример 3. Образующая конуса, равна 12 см, наклонена к плоскости основания под углом 30° (рис.). Найдите объем конуса.

Решение: V= 1/3 π ·AO2 · SO. 

Из ΔАSO (= 90°): h = SO = 1/2 AC = 12 : 2 = 6 см.

R = AO = 12 · cos 30° = 12 · / 2 = 6 см.

V= 1/3 π(6)2 · 6 = 2 π · 36 · 3 = 216 π см3.  Ответ: V= 216π см3.hello_html_6c88cf6d.jpg

Пример 4. Образующая конуса 8 см, а угол при вершине

осевого сечения 60°. Найдите объем конуса. 

Решение: (рис.) V= 1/3 πr2 · h. r = 8 : 2 = 4 см.

h = 8 · sin 60° = 8 · / 2 = 4  см. hello_html_20ab41b2.jpg

V= 1/3 π · 42 · 4 = 64 / 3 21,3π см3.Ответ: 21,3π см3.

Пример 5. Дано: конус, АР = см, PAB = 45° (рис. ). Найти: V. 

Решение: V= 1/3 πr2 · h.  AO= РО. Из ΔAОР ((= 90°): APO = 45°, значит, AO = PO = r = h. По теореме Пифагора 2r= 6, r2 = 3, r = h = .

V= 1/3 π()2 ·  = 1/3· π · 3 · = π см3. Ответ: V = π см3.

Задание: 1вариант.1)a)Вычислите объем конуса, если его высота 3 см, а площадь основания 12 см2.б) Найти объем конуса с радиусом основания 5 м и высотой 9 м.

2)Образующая конуса равна 4 см, высота 2 см. Найдите Vк (рис.).

3)Образующая конуса, равна 12 см, наклонена к плоскости основания под углом 30° (рис.).Найдите объем конуса.

4)Образующая конуса 4 см, а угол при вершине осевого сечения 60°. Найдите объем конуса. 

5)Дано: конус, АР = см, PAB = 45° (рис. ).Найти: V. 

2 вариант. 1)a)Вычислите объем конуса, если его высота 9 см, а площадь основания 15 см2.

б) Найти объем конуса с радиусом основания 7 м и высотой 3 м .

2)Образующая конуса равна 8 см, высота 4 см. Найдите Vк (рис.).

3)Образующая конуса, равна 12 см, наклонена к плоскости основания под углом 30° (рис.).Найдите объем конуса.

4)Образующая конуса 6 см, а угол при вершине осевого сечения 60°. Найдите объем конуса. 

5)Дано: конус, АР = см, PAB = 45° (рис. ).Найти: V. 

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-5,

Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-4,

Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3.

Требования к оформлению самостоятельной работы:

Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.

Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.


Самостоятельная работа № 14

Тема: Типовой расчет по теме «Объём сегмента, слоя, сектора шара».

Цель работы:

  • повторить, закрепить основные понятия по теме «Объём сегмента, слоя, сектора шара»,

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал: Л.С. Атанасян. Геометрия 10-11 класс, глава 7. § 4.

Решение типовых заданий:

Пример 1. Какую часть шара составляет объем шарового сегмента, у которого высота равна 0,1 диаметра шара? Решение:

Десятая часть диаметра есть пятая часть радиуса. Значит, высота сегмента

h= R/5 , V сегм. = (R/5)2 (RR /15) = (R2/25) 14R/15 = 14 R3/375, V сегм.: V =( 14/375) : (4/3) = 7/250 = 2,8 % .

Ответ:  2,8%. Пример 2. Плоскость, перпендикулярная диаметру шара, делит его на части 3 см и 9 см. На какие части делится объем шара? Решение:

= (3 + 9) : 2 = 6 см. Высота меньшего сегмента h равна 3 см. Его V1 = h2 (Rh / 3) = 32 ( 6 1) = 45 см2. V = 4/3 R3 = 4/3 63 = 4/3 216 = 288 см3.

Значит,  V2 = VV1 = 28845 = 243 см3. hello_html_m4c44f677.jpg

Ответ: 45 , 243 см3. Пример 3. Дано: шар, DС — диаметр секущей плоскости, АМ = 6 см, MB = 12см (рис.). V1 - объем меньшего шарового сегмента,  V2 - объем большего шарового сегмента. Найти: V1V2.  Решение:

СD  АВ, ЛМ = 6 см, MB = 12 см. На рисунке: DС - диаметр круга, который является плоскостью, перпендикулярной к диаметру шара, делящей шар на два шаровых сегмента.

Диаметр шара АВ = АМ + MB = 6 + 12 = 18 (см), R = 9 см.

Объем шарового сегмента вычисляется по формуле: V = h2 (Rh / 3) ,  где h = AM - высота меньшего сегмента.

V1 = AM2 (R – AM / 3) = 62 (9 – 6/3) = 36 7 = 252 см3. Объем шара равен:   Vшара = 4/3 R3 = 4/3 93= 4 81 3 = 972 см3. V2 = VV1 =  972 252 = 720 см3.

Ответ: 252π см3 и 720π см3. Пример 4. Чему равен объем шарового сектора, если радиус окружности основания равен 60 см, а радиус шара - 75 см. hello_html_m45f5722.jpg

Решение:

Пусть R - радиус шара, r - радиус основания сегмента.

Вычислим высоту сегмента Н = РО1, OP = R.

Из прямоугольного ΔОО1М:  

OO12 = OM2O1M2 = R2r2 = 752 602 = 5625 – 3600 = 2025, OO1 = 45 см.
h = PO1 = OPOO1 = 75 45 = 30 см.
V = 2/3 R2h = 2/3 75230 = 20 5625 = 112 500 см3. Ответ: 112 500 см3. Пример 5. Дано: шар, h = 30, R = 45 см. Найти: V1V2, V3. Решение:

Объем шарового сегмента вычисляется по формуле: V1 = h2 (Rh / 3) ,  

V1= 302 (45 – 30:3) = 900 35 = 31500 см3.

V2 = 4/3R3 2 h2 (Rh / 3) = 4/3453 2 302 (45 – 30 / 3) = 121500 63000 = = 58500см3. V3= 2/3 R2h =2/3452 30 = 40500см3. Ответ: 31500 58500 40500см3.

Задание:

1вариант.

  1. Какую часть шара составляет объем шарового сегмента, у которого высота равна 0,2 диаметра шара?

  2. Плоскость, перпендикулярная диаметру шара, делит его на части 6 см и 12 см. На какие части делится объем шара?

  3. Дано: шар, DС — диаметр секущей плоскости, АМ = 3 см, MB = 9 см (рис.). V1 - объем меньшего шарового сегмента, V2 - объем большего шарового сегмента. Найти: V1V2. 

  4. Чему равен объем шарового сектора, если радиус окружности основания равен 12см, а радиус шара - 15 см.

  5. Дано: шар, h = 30, R = 42 см. Найти: V1V2, V3.

2 вариант.

  1. Какую часть шара составляет объем шарового сегмента, у которого высота равна 0,4 диаметра шара?

  2. Плоскость, перпендикулярная диаметру шара, делит его на части 8 см и 10 см. На какие части делится объем шара?

  3. Дано: шар, DС — диаметр секущей плоскости, АМ = 10 см, MB = 14 см (рис.). V1 - объем меньшего шарового сегмента, V2 - объем большего шарового сегмента. Найти: V1V2. 

  4. Чему равен объем шарового сектора, если радиус окружности основания равен 24 см, а радиус шара - 30 см.

  5. Дано: шар, h = 12, R = 15 см. Найти: V1V2, V3.



Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-5,

Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-4,

Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3.



Требования к оформлению самостоятельной работы:

Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.



Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.





















Самостоятельная работа № 15

Тема: Решение теста по теме «Объёмы тел».

Цель работы: повторить, закрепить основные понятия по теме «Объёмы тел».

Методические рекомендации к выполнению теста:

  1. Прочитать вопрос, ответить на его и записать букву , под которой записан правильный ответ.

  2. Решив задачу, нужно выбрать правильный ответ и записать номер, под которым он записан.

Задание: 1 вариант.

1. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда с ребрами 3 см, 5 см и 8 см.

а) 120 см3; б) 60 см3; в) 32 см3; г) другой ответ.

2. Длина прямоугольной комнаты в 2 раза больше ширины и на 2 м больше высоты. Найдите объем комнаты, если ее длина равна 6 м.

а) 432 м3; б) 144 м3; в) 72 м3; г) другой ответ.

3.. Найдите ребро куба, если его объем равен  512  м3

а) 4 м; б) 8 м; в) 16 м; г) другой ответ.

4. Как изменится объем параллелепипеда, если его длину увеличить в 4 раза, ширину увеличить в 6 раз, а высоту уменьшить в 8 раз?

а) увеличится в 3 раза; б) уменьшится в 12 раз; в) не изменится; г) другой ответ.

5. Выберите неверное утверждение.

а) Объём прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник, равен произведению площади основания на высоту;

б) Объём правильной треугольной призмы вычисляется по формуле V = a2h, где а – сторона основания , h – высота призмы;

в) Объём прямой призмы равен половине произведения площади основания на высоту.

6. Сторона основания правильной треугольной призмы равна 2 см, а высота – 5 см. Найдите объём призмы.

а) 15 см3; б) 45 см3; в) 10 см3; г) 12 см3; д) 18 см3.

7.Выпишите формулу для нахождения объёма пирамиды.

а) V=Sоснh; б) V=Sоснh; в) V=Sоснh.

8.Найдите объем пирамиды, высота которой равна 1, а основание — прямоугольник со сторонами 4 и 6. а) 4; б) 8; в) 16.hello_html_37ae8577.jpg

9.Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 1, а высота равна hello_html_6f3a9b7f.png. а) 1,25; б) 1; в) 0,25.

10.В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 12 м, объем равен 200 м3. Найдите боковое ребро этой пирамиды. а) 10 м; б) 13 м; в) 8 м.

11.Найдите объём правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна 3 см, а высота – 4 см. а) 12 см3; б) 42 см3; в) 8 см3.

12.Диагональ квадрата, лежащего в основании правильной пирамиды, равна 8 дм, а её высота равна 12 дм. Найдите объём пирамиды. а) 768 дм3; б) 384 дм3; в) 128 дм3.

13. Найдите объём прямоугольного параллелепипеда, если его длина равна 6 см, ширина – 5 см, а диагональ 11 см. а) 60 см3; б) 2 см3; в) 85 см3.

14. Основанием пирамиды МАВС служит треугольник со сторонами АВ = 5 см, ВС = 12 см, АС = 13 см. Найдите объём пирамиды, если МВ (АВС) и МВ = 10 см.

а) 300 см3; б) 260 см3; в)100 см3.

15. а) Найдите объём цилиндра, если r = 4, h = 5. А) 80, В) 80 π, С) 16, Д) 21 π.

б) Найдите высоту цилиндра , если V = 100 π, r = 10 . А) 4, В) 3 π, С) 1, Д) 2 π.

16. а) Найдите объём конуса, если r = 2, h = 6. А) 4 π, В) 4, С) 8 π, Д) 8.

б) Найдите высоту конуса , если V = 144 π, r = . А) 4, В) 8 π, С) 144 π, Д) 4 π,

17. Найдите объём усеченного конуса, если h = 6, r1 = 3, r2 = 4.

А) 74, В) 74 π, С) 37, Д) 37 π.

18. а)Найдите объём шара, если его радиус R = 6. А) 288 π, В) 288, С) 72 π, Д) 72.

б) Найдите диаметр шара, если его объем V = . А) 6, В) 14, С) 7, Д) 12.

2 вариант.

1. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда с ребрами 6 см, 3 см и 4 см.

а) 72 см3; б) 13 см3; в) 22 см3; г) другой ответ.

2. Длина прямоугольной комнаты в 3 раза больше ширины и на 2 м больше высоты. Найдите объем комнаты, если ее длина равна 6 м.

а) 432 м3; б) 144 м3; в) 48 м3; г) другой ответ.

3. Найдите ребро куба, если его объем равен  729  м3

а) 9 м; б) 8 м; в) 16 м; г) другой ответ.

4. Как изменится объем параллелепипеда, если его длину увеличить в 5 раза, ширину увеличить в 8 раз, а высоту уменьшить в 10 раз?

а) увеличится в 4 раза; б) уменьшится в 12 раз; в) не изменится; г) другой ответ.

5. Выберите верное утверждение.

а) Объём прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник, равен произведению площади основания на высоту;

б) Объём правильной треугольной призмы вычисляется по формуле V = a2h, где а – сторона основания , h – высота призмы;

в) Объём прямой призмы равен половине произведения площади основания на высоту.

6. Сторона основания правильной треугольной призмы равна 3см, а высота – 4 см. Найдите объём призмы.

а) 15см3; б) 45 см3; в) 27см3; г) 12 см3; д) 18 см3.

7.Выпишите формулу для нахождения объёма пирамиды.

а) V=Sоснh; б) V=Sоснh; в) V=Sоснh. hello_html_37ae8577.jpg

8.Найдите объем пирамиды, высота которой равна 6, а основание — прямоугольник со сторонами 3 и 4. А) 48; б) 24; в) 12.

9.Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 4, а объем равен hello_html_m3b6e9642.png. а) 1,5; б) 3,5; в) 16.

10.В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 6 м, объем равен 200 м3. Найдите боковое ребро этой пирамиды. а) 86 м; б) м; в) м.hello_html_m390fd290.jpg

11.Найдите объём правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна 2 см, а высота – 3 см.

а) 8 см3; б) 4 см3; в) 3 см3.

12. Измерения прямоугольного параллелепипеда 25 м, 10 м, 32 м. Определите ребро куба, равновеликого прямоугольному параллелепипеду. а) 1,8 м; б) 3 м; в) 20 м.

13. Найдите объём прямоугольного параллелепипеда, если его длина равна 6 см, ширина – 7 см, а диагональ 11 см. а) 252 см3; б) 24 см3; в) 85 см3.

14.Найдите объём треугольной пирамиды, стороны основания которой 5 см, 5 см и 6 см, а высота равна 12 см. а) 144 см3; б) 48 см3; в) 12 см3.

15. а) Найдите объём цилиндра, если r = 6, h = 5. А) 80, В) 180 π, С) 16, Д) 21 π,

б) Найдите радиус основания цилиндра , если V = 100 π, h = 25. А) 2, В) 20 π, С) 4, Д) 4.

16. а) Найдите объём конуса, если r = 4, h = 6. А) 32 π, В) 4, С) 8 π, Д) 8,

б) Найдите высоту конуса , если V = 144 π, r = . А) 4, В) 8 π, С) 144 π, Д) 4 π,

17. Найдите объём усеченного конуса, если h = 3, r1 = 3, r2 = 4. А) 74, В) 74 π, С) 37, Д) 37 π.

18.а) Найдите объём шара, если его диаметр d = 6. А) 36, В) 36 π, С) 216 π, Д) 216,

б) Найдите радиус шара, если V = 112500 π, h = 30. А) 60 π, В) 75 π, С) 60, Д) 75.

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-4,

Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-3,

Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-2.


Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.

Самостоятельная работа № 16

Тема: Типовой расчет по теме «Простейшие задачи в координатах».

Цель работы:

  • повторить, закрепить основные понятия по теме «Простейшие задачи в координатах»,

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал: Л.С. Атанасян. Геометрия 10-11 класс, глава 5. §1.

Решение типовых заданий:

Пример 1. Дано: ΔАВС, А(-2; 0; 1), В(-1; 2; 3), С(8; -4; 9). ВМ - медиана.

Найти: координаты вектора BM . Решение: По определению медианы, М - середина отрезка АС. Следовательно, координаты М найдем по формулам координат середины отрезка  M ((82)/2, (4+0)/2,(9+1)/2), M(3,2,5). BM{3+1,22,53}, BM {4,4,2}.

Ответ: {4; 4; 2}.

Пример 2. Дано: А(1; 5; 3), В(7; -1; 3), С(3;2; 6). Доказать: ΔABC - прямоугольный. Решение: По формуле расстояния между двумя точками найдем
длины отрезков АВ, АС, ВС.
AB2 = (7 + 1)2 + (5 + 1)2 + (33)2, AB2 = 64 + 36 = 100, BC2 = (73)2 + (2 + 1)2 + (6 3)2, BC2 = 16 + 1 + 9 = 26, AC2 = (3 + 1)2 + (5 + 2)2 + (63)2, AC2 = 16 + 49 + 9 = 74. Проверим равенство АВ2 = ВС2 + АС2, 100 = 26 + 74 верно. По теореме обратной теореме Пифагора делаем вывод, что ΔABC - прямоугольный с гипотенузой АВ.
Ответ: ΔABC - прямоугольный с гипотенузой АВ.

Пример 3. Дано: ΔАВС; М, N, К - середины сторон соответственно АВ, ВС, АС. М(3; 2; 5), N(3,5; 1; 6), К(1,5; 1; 2). Найти: координаты А, В, С.
Решение: Пусть A (х1; у1z1), В(х2; у2z2), С(х3; у3z3). По формулам координат середины отрезка составим системы для абсцисс, ординат и аппликат. Пользуясь методом сложения, решим эту систему:

Ответ: А(2; 0; 1), В(8; 4; 9), С(1; 2; 3).

Пример 4. Дано: А(2; 1; 2), B(6; 3; 2), С  оси OZ; АС = ВС. Найти: координаты точки С.

Решение: По условию С  оси OZ, значит она имеет координаты С(0; 0; z) и АС = ВС. Составим уравнение, пользуясь формулой расстояния между двумя точками: 

4 + 1 + (z 2)2 = 36 + 9 + (z + 2)2, 5 + z2 – 4z + 4 = 45 + z2 + 4z + 4, 8z = 40, z = 5. Ответ: (0; 0; 5).

Пример 5. Дано: А(2; 1; 2), B(6; 3; 2), С (0; 0; 5); АС = ВС. Найти: SABC).

Решение: По формуле координат середины отрезка АВ найдем координаты точки М — середины: M ((62)/2, (1 + 3)/2,(22)/2), M(4,2,0).
AB2 = (6 + 2)2 + (31)2 + (2 + 2)2 = 16 + 4 + 16 = 36, AB = 6.

 СМ-высота равнобедренного ΔABC. CM2 = (40)2 + (20)2 + (0 (5))2 = 16 + 4 + 25 = 45, CM = 3 , SABC) = AB · CM : 2 = 6 · 3 : 2 = 9.
Ответ: 9.

Задание: 1вариант.

  1. Дано: ΔАВС; А(1; 2; 3), B(1; 0; 4), С(3; 2; 1). AM - медиана.

Найти: координаты вектора AM .

  1. Дано: А(1; 5; 3), В(1; 3; 9), С(3; 2; 6).Доказать: ΔAВС - прямоугольный.

  2. Дано: ΔАВС, М, N, К - середины сторон соответственно ABBС, AС. М(3; 2; 4), N(6; 4; 10), К(7; 2; 12). Найти: координаты вершин А, В, С.

  3. Дано: A(4; 5; 4), B(2; 3; 4); С  оси  OXAC = ВС. Найти: координаты точки С.

  4. Дано: А(4; 5; 4), B(2; 3; 4), С(1; 0; 0), АС = ВС. Найти: S(ΔABC).

2 вариант.

  1. Дано: ΔАВС; А(1; 4; 3), B(2; 0; 4), С(4; 2; 2). AM - медиана.

Найти: координаты вектора AM .

  1. Дано: А(1; 4; 2), В(7; 2; 2), С(3; 2; 6).Доказать: ΔAВС - прямоугольный.

  2. Дано: ΔАВС, М, N, К - середины сторон соответственно ABBС, AС. М(3; 2; 1), N(3; 2; 2), К(2; 4; 3).Найти: координаты вершин А, В, С.

  3. Дано: A(1; 2; 1), B(3; 2; 1); С  оси  OXAC = ВС. Найти: координаты точки С.

  4. Дано: А(1; 2; 1), B(3; 2; 1), С(0; 0; 1), АС = ВС. Найти: S(ΔABC).

Критерии оценки: Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-5, Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-4, Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3.

Требования к оформлению самостоятельной работы: Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.

Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.







Самостоятельная работа № 17

Тема: Типовой расчет по теме «Скалярное произведение векторов».

Цель работы:

  • повторить, закрепить основные понятия по теме «Скалярное произведение векторов»,

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал: Л.С. Атанасян. Геометрия 10-11 класс, глава 5. §2.

Решение типовых заданий:

Пример 1. Даны векторы hello_html_m411373b9.jpgВычислите hello_html_m255ec84f.jpg

Решение: hello_html_m75aa0817.jpg
Ответ: 6.
Пример 2. Вычислить угол между прямыми AB и CD, если А(; 1; 0), В(0; 0; 2), С(0; 2; 0), D(; 1; 2). Решение:

hello_html_30566bad.jpg
Ответ:
60°.
Пример 3. Найдите скалярное произведение hello_html_mde78fa2.jpgесли hello_html_m3e197e0a.jpg Решение: hello_html_mde78fa2.jpg = 3·  cos 120° = 12· (1/2) = 6.
Ответ: 6.
Пример 4. В кубе ABCDA1B1C1D1 диагонали грани ABCD пересекается в точке N, а точка M ежит на ребреA1D1, причем А1М : MD1 = 1 : 4.Вычислите синус угла между прямой MN и плоскостью грани DD1C1C. Дано: ABCDA1B1C1D1 - куб, AC ∩ BD N A1D1, А1М : MD1 = 1 : 4 (рис.). Найти:  sin(MN,(DD1C1C)).
Решение: Введем систему координат так, чтобы В(0; 0; 0), АВ  ох, ВС  оу, ВВ1  oz, А(а; 0; 0), С(0; а; 0), D(а; а; 0), В1(0; 0; а), А1(а; 0; а), С1(0; aa), D1(а; а; а), М(а; a/5; a), 
N(a/2;a/2; 0).Угол между прямой и плоскостью –это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость. hello_html_m1dc61b1.jpg В ΔMFNhello_html_5450a8af.jpg так как hello_html_6c6424dc.jpghello_html_7f82cb27.jpg Значит, hello_html_m399731d3.jpg 
Ответ: hello_html_m249782ba.jpg.hello_html_4ab53b1a.jpg

Пример 5. Дано: прямые АВ и CD; А(8; 2; 3), В(3; 1; 4), С(5; 2; 0), D(7; 0; 2). Найти: hello_html_m7b608a66.jpgРешение: hello_html_m53566d8c.jpg hello_html_17d41745.jpghello_html_m32b98f0.jpg Так как углом между прямыми считают острый угол, то hello_html_m3112ab02.jpg 
Ответ: 5/9.

Задание: 1вариант.

  1. Даны векторы hello_html_13c664e1.jpg Вычислите hello_html_m255ec84f.jpg 

  2. Вычислите угол между прямыми АВ и CD, если А(6; 4; 8), В(8; 2; 4), С(12; 6; 4), D(14; 6; 2).

  3. Найдите скалярное произведение hello_html_47df0bda.jpg если hello_html_4cc243af.jpg

  4. В кубе ABCDA1B1C1D1 диагонали грани ABCD пересекается в точке N, а точка M ежит на ребреA1D1, причем А1М : MD1 = 1 : 4. Вычислите синус угла между прямой MN и плоскостью грани  AA1D1D.

  5. Дано: прямые АВ и CD; А(7; 8; 15), В(8; 7; 13), С(2; 3; 5),  D(1; 0; 4). Найти: hello_html_66809286.jpg

2 вариант.

  1. Вычислите скалярное произведение hello_html_6774ecbf.jpg если hello_html_6f5e66b5.jpg

  2. Вычислите угол между прямыми АВ и CD, если А(3; 2; 4), В(4; 1; 2),
    С(6; 3; 2), 
    D(7; 3; 1).

  3. Найдите скалярное произведение hello_html_47df0bda.jpg если hello_html_4cc243af.jpg120 °.

  4. В кубе ABCDA1B1C1D1 диагонали грани ABCD пересекается в точке N, а точка M ежит на ребреA1D1, причем А1М : MD1 = 1 : 4. Вычислите синус угла между прямой MN и плоскостью грани  ABCD.

  5. Дано: прямые АВ и CD; А(4; 1; 2), В(5; 0; 1), С(3; 1; 0),  D(7; 3; 4). Найти: hello_html_66809286.jpg


Критерии оценки: Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-5, Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-4, Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3.

Требования к оформлению самостоятельной работы: Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.

Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.

Самостоятельная работа № 18

Тема: Решение теста по теме «Координаты и векторы».

Цель работы:

  • повторить, закрепить основные понятия по теме «Координаты и векторы»,

  • развитие вычислительных умений и навыков: вычисления по формулам координат векторов;

Методические рекомендации к выполнению теста:

Решив задачу, нужно выбрать правильный ответ и записать номер, под которым он записан.

Задание: Тест по теме: « Координаты и векторы ».



  1. Найти сумму векторов AB и BC .

  1. AC , B) CA, C) BA , D) CB .

  1. Дано: a{1, 1, 3}, b {0,2; 0}. Найти координаты вектора c = a + b .

  1. c {0, 0, 1}, B) c {1, 1, 3}, C) c {1, 0, 3}, D) c {1; 1,1}.

  1. Дано: a {5, 4, 3}, b {0, 1, 1} . Найти координаты вектора c = ab.

  1. c {4, 3, 2}, B) c {0, 2, 3}, C) c {5, 3, 2}, D) c {5, 4, 2}.

  1. Дано: a {2, -3, 4}, k = 5. Найти координаты вектора c = k · a.

  1. c {10, 15, 20}, B) c {10, 10, 4}, C) c {10, 15, 8}, D) c {10, 0, 8} .

  1. Дано: A (5, 4, 7), B (10, 10, 0). Найти координаты вектора AB.

  1. {5, 0, 3}, B){0, 4, 6}, C) {5, 6, 7}, D) {5, 6, 3}.

  1. Дано: A (10, 4, -3), B (-6, 2, 1). Найти координаты точки M – середины отрезка AB.

  1. M (2, 3, 1), B) M (2, 3, 1), C) M (2, 3, 0), D) M (2, 3, 0).

  1. Дано: a {0, 5, 0} . Найти длину вектора.

  1. 4, B) 0, C) 3, D) 5.

  1. Дано: a {2, 2, 1}. Найти длину вектора.

  1. 3, B) 4, C) 0, D) 5.

  1. Дано: a {0, 1, 1}, b {2, 2, 1}. Найти a · b.

  1. 5, B) 4, C) 3, D) 1.

  1. Дано: a {1, 2, 3}, b {5, х, 1} , a · b = 4, х - ?

  1. 5, B) 10, C) 6, D) 1.

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-10,

Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-8,

Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-5.



Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.

Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.



Тема: Составление опорного конспекта «Основные понятия комбинаторики».

Цель работы:

  • повторить понятия: правило произведения, перестановки, перебор вариантов, размещения, сочетания, треугольник Паскаля, бином Ньютона ;

  • повторить понятия: событие, вероятность события, несовместимые события, независимые события, сложение и умножение вероятностей;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

План работы:

  1. Перестановки, размещения, сочетания, задачи на перебор вариантов;

  2. Треугольник Паскаля, примеры;

  3. Формула бинома Ньютона;

  4. Примеры вычисления вероятности событий с помощью треугольника Паскаля и бинома Ньютона;

  5. Несовместимые события, примеры;

  6. Сумма несовместимых событий, примеры;

  7. Независимые события, примеры;

  8. Умножение вероятностей ;

  9. Произведение вероятностей для независимых событий, примеры ;

Методические рекомендации к составлению конспекта:


Конспект– это работа с другим источником.

Цель –зафиксировать ,переработать тот или иной текст.

Конспект представляет собой дословные выписки из текста источника. При этом конспект это не полное переписывание чужого текста. При написании конспекта сначала прочитывается текст –источник, в нем выделяются основные положения , подбираются примеры , идет перекомпоновка материала, а затем уже оформляется текст конспекта. Конспект может быть полным, когда работа идет со всем текстом источника или неполным, когда интерес представляет какой-либо один или несколько вопросов, затронутых в источнике.

Общую последовательность действий при составлении конспекта можно определить таким образом:

1. Уяснить цели и задачи конспектирования.

2.Внимательно прочитать текст параграфа, главы и отметить информационно значимые места.

3. Составить конспект.

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : содержание соответствует теме, материал проработан глубоко, грамотно и полно использованы источники, приведены сложные примеры;

Оценка «4» выставляется , если : материал проработан не глубоко, использованы не все источники, приведены сложные примеры ;

Оценка «3» выставляется, если : материал проработан не полностью, приведены примеры.


Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.


Самостоятельная работа № 20

Тема: Типовой расчет по теме «Элементы комбинаторики и теории вероятностей».

Цель работы:

  • повторить понятия: событие, противоположное событие, вероятность события ;

  • формирование умения решать простейшие текстовые задачи на расчет вероятности случайного события;

  • повторить понятия: дискретная случайная величина, ее числовые характеристики, функция распределения;

  • формирование умения решать простейшие текстовые задачи на расчет числовых характеристик дискретной случайной величины ;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал:

Ш.А. Алимов. Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс, глава 12-13.

Решение типовых заданий:

Пример 1. a)В партии из 100 деталей имеется 5 бракованных. Определить вероятность того, что, взятая наугад, деталь окажется стандартной.

Решение: А: взятая наугад деталь оказалась стандартной.

Число исходов, благоприятствующих наступлению события А, равно 95.Поэтому вероятность события равна P(A) = m/ n = 95/100 = 0,95 .hello_html_m27618eb7.gif Ответ: 0,95.

б) Из пяти букв разрезной азбуки составлено слово «книга». Ребенок, не умеющий читать, рассыпал эти буквы, а затем собрал их в произвольном порядке. Найти вероятность того, что у него снова получится слово «книга».

Решение: А: из рассыпанных букв сложится слово «книга»

Число всех возможных исходов равно n = Pn = 5! = 120.

Число исходов, благоприятствующих событию А равно m =1.

Вероятность события А равна P(A) = m/ n = 1/120 = 0,0083 .hello_html_m27618eb7.gif 

Ответ: 0,0083.

Пример 2.a) В коробке лежат 8 зеленых, 7 синих и 15 красных карандашей. Вычислить вероятность того, что взятый наугад карандаш будет, синим или зеленым.

Решение: А: взяли синий карандаш, В: взяли зеленый карандаш, С: взяли синий или зеленый карандаш. Событие С равно сумме событий А и В: С = А + В

Вероятность события А равна P(A) = m/ n = 7/30. 

Вероятность события В равна P(B) = m/ n = 8/30. 

Вероятность события С равна P(C) = P(A) = 7/30 8/30 = 15/30 = 0,5.

Ответ: 0,5. б) В урне лежат шары, двузначные номера которых составлены из цифр 1,2,3,4,5. Какова вероятность вынуть шар с номером 15? Решение: А: вынут шар с номером 15.

Число всех возможных исходов равно n =

Число исходов, благоприятствующих событию А, m = 1.

Вероятность события А равна P(A) = m/ n = 1/20 = 0,05 .

Ответ: 0,05.

Пример 3.a) Набирая номер телефона, абонент забыл последние две цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наугад. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

Решение: А: абонент наугад набрал нужные цифры.

Число всех возможных исходов равно n =

Число исходов, благоприятствующих событию А, m = 1

Вероятность события А равна P(A) = m/ n = 1/90 = 0,011. 

Ответ: 0,011.

б) Устройство содержит два независимо работающих элемента. Вероятности отказа элементов равны соответственно 0,05 и 0,08. Найти вероятности отказа устройства, если для этого достаточно, чтобы отказал хотя бы один элемент. 

Решение: Пусть событие А — «устройство не работает», В1 — «отказал первый элемент», 

В2 — « отказал второй элемент». Событие А соответствует тому, что может отказать один из «цементов либо оба элемента. События  В1 и В2  независимы в совокупности, поэтому:

q1 = 10,05 = 0,95,   q2 = 10,08 = 0,92. P(A) = 1 q1q2= 10,950,92 = 10,874 = 0,126.

Ответ:  0,126.

Пример 4. a)Вероятность хотя бы одного попадания в цель при четырех выстрелах равна 0,9984. Найти вероятность попадания в цель при одном выстреле.

Решение: Пусть p - вероятность попадания в цель при одном выстреле. Введем событие 

X = {при четырех выстрелах есть хотя бы одно попадание} и противоположное ему событие  

= {при четырех выстрелах нет ни одного попадания}.

Вероятность события  равна P(  ) = (1p)4, тогда вероятность события Х равна 

P(X) =1P(  ) = 1 (1p)4. По условию эта вероятность равна 0,9984, откуда получаем уравнение относительно p: 1 (1p)4 = 0,9984, (1p)4 = 0,0016, (1p) = 0,2, p = 0,8.

Таким образом, вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,8.

Ответ: 0,8.

б)На полке в случайном порядке расставлено 40 книг, среди которых находится трехтомник Пушкина. Найти вероятность того, что эти тома стоят в порядке возрастания номера слева направо, но не обязательно рядом.

Решение: Используем классическое определение вероятности: P = m/n, где n- число всех равновозможных элементарных исходов, m - число элементарных исходов, благоприятствующих осуществлению события A = (Тома стоят в порядке возрастания номера слева направо, но не обязательно рядом). n=403938=59280, так как первый том можно поставить на любое из 40 мест, второй - на любое из 39 мест и третий - на любое из оставшихся 38 мест.

А число m= 40! / (37! 3!) = (403938) : (123) = 9880.

Тогда искомая вероятность P(A)= m/n = 9880/59280 = 1/6.
Ответ: 1/6.

Пример 5. а)В коробке имеется 250 лампочек, из них 100 по 90Вт, 50 - по 60Вт, 50 - по 25Вт и 50 – по 15Вт. Определить вероятность того, что мощность любой наугад взятой лампочки не превысит 60Вт.

Решение: 1. Рассматриваем следующие события: А = {мощность лампочки равна 90Вт}, вероятность Р(А) = 100/250 = 0,4; В = {мощность лампочки равна 60Вт}; С = {мощность лампочки равна 25Вт}; D = {мощность лампочки равна 15Вт}.

2. События А, В, С, D образуют полную систему, так как все они несовместны и одно из них обязательно наступит в данном опыте (выборе лампочки). Вероятность наступления одного из них есть достоверное событие, тогда Р (А)Р (В)Р (С)Р (D) = 1.

3. События {мощность лампочки не более 60Вт} (т.е. меньше или равна 60Вт), и {мощность лампочки более 60Вт} (в данном случае – 90Вт) являются противоположными. По свойству противоположных чисел Р (В)Р (С)Р (D) = 1Р (А).

4. Учитывая, что Р (В)Р (С)Р (D) = Р (ВСD), получим

Р (В СD) = 1Р (А) = 10,4 = 0,6. Ответ: 0,6. 

б) Вероятность поражения цели первым стрелком при одном выстреле равна 0,7, а вторым стрелком – 0,9. Найти вероятность того, что 

1) цель будет поражена только одним стрелком; 2) цель будет поражена хотя бы одним стрелком.

Решение: 1. Рассматриваем следующие события:
А
1 = {первый стрелок поражает цель}, Р (А1) = 0,7 из условия задачи;
А̄
1 = {первый стрелок промахнулся}, при этом Р (А1)Р (А̄1) = 1, поскольку А1 и А̄1 – противоположные события. Отсюда Р (А̄1) = 10,7 = 0,3;
А
2 = {второй стрелок поражает цель}, Р (А2) = 0,9 из условия задачи;
А̄
2 = {второй стрелок промахнулся}, при этом Р (А̄2) = 10,9 = 0,1.

2. Событие А={цель поражена только одним стрелком} означает, что наступило одно из двух несовместных событий: либо А1А̄2, либо А̄1А2.
По правилу сложения вероятностей Р (А) = Р (А1А̄2) + Р (А̄1А2).По правилу умножения вероятностей независимых событий:
Р (А1А̄2) = Р (А1)Р (А̄2) = 0,70,1= 0,07; Р (А̄1А2) = Р (А̄1)Р (А2) = 0,30,9 = 0,27.
Тогда Р (А)= Р (А1А̄2) Р (А̄1А2) = 0,070,27 = 0,34.

3. Событие B ={цель поражена хотя бы одним стрелком} означает, что либо цель поразил первый стрелок, либо цель поразил второй стрелок, либо цель поразили оба стрелка.

Событие B̄ = {цель не поражена ни одним стрелком} является противоположным событию В, а значит Р(В) = 1Р (B̄).
Событие B̄ означает одновременное появление независимых событий Ā1 и Ā2, следовательно Р (B̄) = Р (Ā12) = Р (Ā1)Р (Ā2) = 0,30,1 = 0,03. Тогда Р (В) = 1Р (B̄) = 10,03 = 0,97.

Ответ: 1) 0,34; 2) 0,97.

Пример 6. Выпущено 1000 лотерейных билетов: на 5 из них выпадает выигрыш в сумме 500 рублей, на 10 – выигрыш в 100 рублей, на 20 – выигрыш в 50 рублей, на 50 – выигрыш в 10 рублей. Определить закон распределения вероятностей случайной величины X – выигрыша на один билет.

Решение: По условию задачи возможны следующие значения случайной величины X:

0, 10, 50, 100 и 500.

Число билетов без выигрыша равно 1000 – (5+10+20+50) = 915, тогда P(X=0) = 915/1000 = 0,915.

Аналогично находим все другие вероятности: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01, P(X=500) = 5/1000=0,005. Полученный закон представим в виде таблицы:


Пример 7. a)Закон распределения случайной величины X имеет вид:

Вычислить Dx   и Ϭx .

Решение: Найдем вначале математическое ожидание случайной величины X:

Mx = .

Вычислим дисперсию Dx :Dx = .

Тогда среднее квадратическое отклонение: Ϭx = .

Ответ: Dx = 1, Ϭx = 1.

б) Закон распределения случайной величины X имеет вид:

Найти x. Составить функцию распределения. Вычислить: P{X > 0,7} , Mx , Dx и Ϭx .

Решение. Согласно условию нормировки имеем уравнение: 0,1   Отсюда x = 0,7 . Далее, воспользовавшись рядом распределения, найдем:

P{X > 0,7} = P {X = 1}P{X = 2} = 0,2 0,7 = 0, 9; Mx =

Dx = ; Ϭx = .

Ответ: x = 0,7 ; P{X > 0,7} = 0, 9; Mx Dx ; Ϭx

Пример 8. a)Известно, что случайная величина X, принимающая два значения  x1 = 2 и x2 = 3 , имеет математическое ожидание, равное 2,2. Построить ряд распределения случайной величины X, найти дисперсию, среднее квадратическое отклонение и составить функцию распределения.

Решение. Пусть P{X = 2} = p . Тогда, согласно условию нормировки,P{X = 3} = 1  . Используя определение математического ожидания, получим Mx = 2p . Имеем уравнение 3 , откуда находим p = 0,8 . Ряд распределения имеет вид:

Теперь вычислим дисперсию и среднее квадратическое отклонение:

Dx = ; Ϭx =  .

Согласно определению функция распределения имеет вид

Fx(x) =

Ответ: Dx ; Ϭx =   Fx(x) =

б) Возможные значения случайной величины X таковы: x1 = 2 , x2 = 3, x3 = 3 . Известно, что Mx = 2,3 ,α2 = 5,9 . Найти вероятности, соответствующие возможным значениям X, и записать ряд распределения.

Решение. Ряд распределения, с учетом возможных значений случайной величины X, будет выглядеть следующим образом:

Найдем вероятности p1 , p2 и p3, соответствующие возможным значениям X.

По условию Mx = 2,3 , поэтому имеем первое уравнение, связывающее p1p2 и p3 :

 . Аналогично из условия α2 = 5,9   получим второе уравнение:

 . Третье уравнение возникает из условия нормировки:

p1 p2 p3 = 1. Итак, имеем систему:


Ответ: ряд распределения имеет вид

Пример 9. Имеется боезапас 4 патрона. Ведётся независимая стрельба по мишени с вероятностью попадания при каждом выстреле 0.2. Построить ряд распределения с.в. --- числа выстрелов, если стрельба ведётся: 1) до 1-го попадания или окончания боезапаса;2) до 2 попаданий (не обязательно подряд) или окончания боезапаса.

Решение: 1). Возможные значения с.в. : 1,2,3, 4; попадание --- успех (У); промах --- неудача (Н);

;

(мы записали, какие элементарные исходы соответствуют каждому знач. с.в.)

; = 0,16; = 0,128;

= 0,512. Ряд распределения с.в. будет выглядеть с.о.

2). Возможные значения с.в. : 2,3, 4; попадание --- успех (У); промах --- неудача (Н);

;

(мы записали какие элементарные исходы соответствуют каждому знач. с.в.)

;

. Ряд распределения с.в. будет выглядеть с.о.

Пример 10. Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,1. Составить закон распределения числа отказавших элементов в одном опыте, построить многоугольник распределения. Найти функцию распределения F(x) и построить ее график. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины.

Решение. 1. Дискретная случайная величина X={число отказавших элементов в одном опыте} имеет следующие возможные значения: х1= 0 (ни один из элементов устройства не отказал), х2= 1 (отказал один элемент), х3= 2 (отказало два элемента) и х4= 3 (отказали три элемента).

Отказы элементов независимы друг от друга, вероятности отказа каждого элемента равны между собой, поэтому применима формула Бернулли. Учитывая, что, по условию, n = 3, р = 0,1,

q = 1р = 0,9, определим вероятности значений:
P
3(0) = С30 p0 q3-0 = q3 = 0,93 = 0,729; P3(1) = С31 p1 q3-1 = 30,10,92 = 0,243; P3(2) = С32 p2 q3-2 = 30,120,9 = 0,027; P3(3) = С33 p3 q3-3 = р3= 0,13 = 0,001;
Проверка: ∑p
i = 0,7290,2430,0270,001=1.
hello_html_7b85caba.jpg

Таким образом, искомый биномиальный закон распределения Х имеет вид:

2. Для построения многоугольника распределения строим прямоугольную систему координат.

По оси абсцисс откладываем возможные значения хi, а по оси ординат – соответствующие им вероятности рi. Построим точки М1(0; 0,729), М2(1; 0,243), М3(2; 0,027), М4(3; 0,001). Соединив эти точки отрезками прямых, получаем искомый многоугольник распределения.

3. Найдем функцию распределения F(x) = Р(Х<х):hello_html_261ad08e.jpg

Для x ≤ 0 имеем F(x) = Р(Х<0) = 0;
для 0 < x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
для 1< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) Р(Х=1) =0,729 0,243 = 0,972;
для 2 < x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) Р(Х = 1) Р(Х = 2) = 0,9720,027 = 0,999;
для х > 3 будет F(x) = 1, т.к. событие достоверно.
4. Для биномиального распределения Х:
- математическое ожидание М(X) = np = 30,1 = 0,3;
- дисперсия D(X) = npq = 3∙ 0,10,9 = 0,27;
 
- среднее квадратическое отклонение σ(X) = = ≈ 0,52.


Задание:

1 вариант.


  1. a)В партии из 100 деталей имеется 3 бракованных. Определить вероятность того, что, взятая наугад, деталь окажется стандартной.

б) Из 4 букв разрезной азбуки составлено слово «мама». Ребенок, не умеющий читать, рассыпал эти буквы, а затем собрал их в произвольном порядке. Найти вероятность того, что у него снова получится слово «мама».

  1. a)В коробке лежат 5 зеленых, 3 синих и 12 красных карандашей. Вычислить вероятность того, что взятый наугад карандаш будет, синим или зеленым.

б) В урне лежат шары, двузначные номера которых составлены из цифр 1,2,3,4. Какова вероятность вынуть шар с номером 123?

  1. a)Набирая номер телефона, абонент забыл последние 3 цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наугад. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

б) Устройство содержит два независимо работающих элемента. Вероятности отказа элементов равны соответственно 0,04 и 0,09. Найти вероятности отказа устройства, если для этого достаточно, чтобы отказал хотя бы один элемент. 

  1. a)Вероятность хотя бы одного попадания в цель при четырех выстрелах равна 0,9919. Найти вероятность попадания в цель при одном выстреле.

б)На полке в случайном порядке расставлено 21 книга, среди которых находится трехтомник Пушкина. Найти вероятность того, что эти тома стоят в порядке возрастания номера слева направо, но не обязательно рядом.

  1. a)В коробке имеется 200 лампочек, из них 60 по 90Вт, 60 - по 60Вт, 40 - по 25Вт и 40 – по 15Вт. Определить вероятность того, что мощность любой наугад взятой лампочки не превысит 60Вт.

б) Вероятность поражения цели первым стрелком при одном выстреле равна 0,4, а вторым стрелком – 0,7. Найти вероятность того, что 

1) цель будет поражена только одним стрелком;

2) цель будет поражена хотя бы одним стрелком.

  1. Выпущено 200 лотерейных билетов: на 5 из них выпадает выигрыш в сумме 500 рублей, на 10 – выигрыш в 100 рублей, на 20 – выигрыш в 50 рублей, на 40 – выигрыш в 10 рублей. Определить закон распределения вероятностей случайной величины X – выигрыша на один билет.

  2. a)Закон распределения случайной величины X имеет вид:

X

1

0

1

2

P

0,1

0,15

0,3

0,45

Вычислить Dx и Ϭx . б) Закон распределения случайной величины X имеет вид:

X

0

1

2

P

0,2

0,3

x

Найти x. Составить функцию распределения. Вычислить: P{X > 0,7} , Mx , Dx и Ϭx .

  1. a)Известно, что случайная величина X, принимающая два значения  x1 = 2 и x2 = 3 , имеет математическое ожидание, равное 2,4. Построить ряд распределения случайной величины X, найти дисперсию, среднее квадратическое отклонение и составить функцию распределения.

б) Возможные значения случайной величины X таковы: x1 = 2 , x2 = 3, x3 = 3 . Известно, что Mx = 2,5 ,α2 = 6,7 . Найти вероятности, соответствующие возможным значениям X, и записать ряд распределения.

  1. Имеется боезапас 4 патрона. Ведётся независимая стрельба по мишени с вероятностью попадания при каждом выстреле 0.2. Построить ряд распределения с.в. --- числа выстрелов, если стрельба ведётся: до двух попаданий подряд или окончания боезапаса.

  2. Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,2. Составить закон распределения числа отказавших элементов в одном опыте, построить многоугольник распределения. Найти функцию распределения F(x) и построить ее график. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины.


2 вариант.

  1. a)В партии из 100 деталей имеется 6 бракованных. Определить вероятность того, что, взятая наугад, деталь окажется стандартной.

б) Из 3 букв разрезной азбуки составлено слово «сон». Ребенок, не умеющий читать, рассыпал эти буквы, а затем собрал их в произвольном порядке. Найти вероятность того, что у него снова получится слово «сон».


  1. a)В коробке лежат 7 зеленых, 2 синих и 11 красных карандашей. Вычислить вероятность того, что взятый наугад карандаш будет, синим или зеленым.

б) В урне лежат шары, двузначные номера которых составлены из цифр 1,2,3,4. Какова вероятность вынуть шар с номером 42?

  1. a)Набирая номер телефона, абонент забыл последние 4 цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наугад. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

б) Устройство содержит два независимо работающих элемента. Вероятности отказа элементов равны соответственно 0,03 и 0,07. Найти вероятности отказа устройства, если для этого достаточно, чтобы отказал хотя бы один элемент. 

  1. a)Вероятность хотя бы одного попадания в цель при четырех выстрелах равна 0,9744. Найти вероятность попадания в цель при одном выстреле.

б)На полке в случайном порядке расставлено 34 книга, среди которых находится трехтомник Пушкина. Найти вероятность того, что эти тома стоят в порядке возрастания номера слева направо, но не обязательно рядом.

  1. a)В коробке имеется 400 лампочек, из них 280 по 90Вт,40 - по 60Вт, 40 - по 25Вт и 40 – по 15Вт. Определить вероятность того, что мощность любой наугад взятой лампочки не превысит 60Вт.

б) Вероятность поражения цели первым стрелком при одном выстреле равна 0,5, а вторым стрелком – 0,8. Найти вероятность того, что 

1) цель будет поражена только одним стрелком;

2) цель будет поражена хотя бы одним стрелком.

  1. Выпущено 200 лотерейных билетов: на 5 из них выпадает выигрыш в сумме 500 рублей, на 15 – выигрыш в 100 рублей, на 30 – выигрыш в 50 рублей, на 60 – выигрыш в 10 рублей. Определить закон распределения вероятностей случайной величины X – выигрыша на один билет.

  1. a)Закон распределения случайной величины X имеет вид:

X

1

0

1

2

P

0,1

0,25

0,3

0,35

Вычислить Dx и Ϭx . б) Закон распределения случайной величины X имеет вид:

X

0

1

2

P

0,1

0,3

x

Найти x. Составить функцию распределения. Вычислить: P{X > 0,7} , Mx , Dx и Ϭx .

  1. a)Известно, что случайная величина X, принимающая два значения  x1 = 2 и x2 = 3 , имеет математическое ожидание, равное 2,3. Построить ряд распределения случайной величины X, найти дисперсию, среднее квадратическое отклонение и составить функцию распределения.

б) Возможные значения случайной величины X таковы: x1 = 2 , x2 = 3, x3 = 3 . Известно, что Mx = 2,6 ,α2 = 7,2 . Найти вероятности, соответствующие возможным значениям X, и записать ряд распределения.

  1. Имеется боезапас 4 патрона. Ведётся независимая стрельба по мишени с вероятностью попадания при каждом выстреле 0.2. Построить ряд распределения с.в. --- числа выстрелов, если стрельба ведётся: до 2 попаданий подряд или пока есть возможность такого исхода.

  2. Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,3. Составить закон распределения числа отказавших элементов в одном опыте, построить многоугольник распределения. Найти функцию распределения F(x) и построить ее график. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины.

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-5, Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-4, Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3.


Требования к оформлению самостоятельной работы:

Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №












Самостоятельная работа № 21

Тема: Решение теста по теме «Элементы комбинаторики и теории вероятностей».

Цель работы: повторить, закрепить основные понятия по теме «Элементы комбинаторики и теории вероятностей».

Методические рекомендации к выполнению теста: Решив задачу, нужно выбрать правильный ответ и записать номер, под которым он записан.

Задание:

1 вариант.

1. Сколькими способами можно составить расписание одного учебного дня из 5 различных уроков?

1) 30; 2) 100; 3) 120; 4) 5 ;

2.В денежно-вещевой лотерее на 1000000 билетов разыгрывается 1200 вещевых и 800 денежных выигрышей. Какова вероятность выигрыша?

1) 0,02; 2) 0,00012 ; 3) 0,0008; 4) 0,002;

3. В футбольной команде 11 человек. Необходимо выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?

1) 22; 2) 11; 3) 150; 4) 110;

4.Завод выпускает 15% продукции высшего сорта, 25% - первого сорта, 40% - второго сорта, а все остальное – брак. Найти вероятность того, что выбранное изделие не будет бракованным.

1) 0,8; 2) 0,1; 3) 0,015; 4) 0,35;

5. Аня решила сварить компот из фруктов 2-ух видов. Сколько различных вариантов (по сочетанию фруктов) компотов может сварить Аня, если у нее имеется 7 видов фруктов?

1) 14; 2) 10; 3) 21; 4) 30;

6. Каждый из трех стрелков стреляет в мишень по одному разу, причем вероятность попадания 1 стрелка составляет 80%, второго – 70%, третьего – 60%. Найдите вероятность того, что двое из трех стрелков попадет в мишень.

1) 0,336; 2) 0,452; 3) 0,224; 4) 0,144;

7. Вычислите: . 1) 48; 2) 94; 3) 56; 4) 96;

8. Дана выборка: 3; 8; 5; 3; 6; 8; 9; 2; 8. Найти моду. 1) 3; 2) 8; 3) 5; 4) 6;

9.Дана выборка: 7; 4; 5; 3; 6; 8; 7; 2; 7. Найти медиану. 1) 7 ; 2) 8 ; 3) 5 ; 4) 6 ;

10. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 30% этих стекол, вторая  — 70%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая — 4%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло, окажется бракованным.

1) 0,03; 2) 0,009; 3) 0,037; 4) 0,028;

2 вариант.

1. Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5?

1) 100; 2) 30; 3) 5; 4) 120;

2. В ящике лежат карточки с буквами, из которых можно составить слово «электрификация». Какова вероятность того, что наугад выбранная буква окажется буквой к?

1) ; 2) 7; 3) ; 4) ;

3. В теннисном турнире участвуют 10 спортсменов. Сколькими способами теннисисты могут завоевать золото, серебро и бронзу?

1) 600; 2) 100; 3) 300; 4)720;

4. Музыкальная школа проводит набор учащихся. Вероятность быть не зачисленным во время проверки музыкального слуха составляет 40%, а чувство ритма – 10%. Какова вероятность положительного тестирования?

1) 0,5; 2) 0,4; 3) 0,6; 4) 0,04;

5. На полке стоят 12 книг. Наде надо взять 5 книг. Сколькими способами она может это сделать?

1) 792; 2) 17; 3) 60; 4) 300;

6. Из партии изделий товаровед отбирает изделия высшего сорта. Вероятность того, что наудачу взятое изделие, окажется высшего сорта равна 0,8. Найдите вероятность того, что из трех проверенных изделий только два высшего сорта.

1) 0,384; 2) 0,5; 3) 0,3; 4) 0,4;

7. Вычислите: . 1) 1; 2) 13; 3) 12; 4) 32;

8. Дана выборка: 5; 8; 5; 4; 6; 2; 5; 2; 4. Найти моду. 1) 4 ; 2) 8 ; 3) 5 ; 4) 6 ;

9. Дана выборка: 4; 7; 9; 3; 2; 5; 6; 7; 3. Найти медиану. 1) 7 ; 2) 5; 3) 6 ; 4) 2 ;

10. На сборочное предприятие поступили однотипные комплектующие с трех заводов в количестве: 35 с первого завода, 15 со второго и 50 с третьего. Вероятность качественного изготовления изделий на первом заводе 0,8, на втором 0,7, на третьем 0,8. Какова вероятность того, что взятое случайным образом изделие окажется качественным?

1) 0,280; 2) 0,175; 3) 0,495; 4) 0,855.


Критерии оценки:


Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-10,с записью решения, даже с недочетами.


Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-8, с записью решения, даже с недочетами.


Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-5.


Требования к оформлению самостоятельной работы: Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.



































Самостоятельная работа № 22

Тема: Составление опорного конспекта « Степень числа и ее свойства».

Цель работы:

  • повторить понятия: степень числа , основание и показатель степени, свойства степени;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом .

План работы:

  1. Определение понятия «Степень числа»;

  2. Определение основания и показателя степени;

  3. Свойства степени числа;

  4. Примеры на вычисление степени числа ;

  5. Составить таблицу степеней от 1 до 10 чисел от 2 до 9;

Методические рекомендации к составлению конспекта:


Конспект– это работа с другим источником.

Цель –зафиксировать ,переработать тот или иной текст.

Конспект представляет собой дословные выписки из текста источника. При этом конспект это не полное переписывание чужого текста. При написании конспекта сначала прочитывается текст –источник, в нем выделяются основные положения , подбираются примеры , идет перекомпоновка материала, а затем уже оформляется текст конспекта. Конспект может быть полным, когда работа идет со всем текстом источника или неполным, когда интерес представляет какой-либо один или несколько вопросов, затронутых в источнике.

Общую последовательность действий при составлении конспекта можно определить таким образом:

1. Уяснить цели и задачи конспектирования.

2.Внимательно прочитать текст параграфа, главы и отметить информационно значимые места.

3. Составить конспект.

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : содержание соответствует теме, материал проработан глубоко, грамотно и полно использованы источники, приведены сложные примеры;

Оценка «4» выставляется , если : материал проработан не глубоко, использованы не все источники, приведены сложные примеры ;

Оценка «3» выставляется, если : материал проработан не полностью, приведены примеры.


Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.











Самостоятельная работа № 23

Тема: Составление опорного конспекта «Пропорция».

Цель работы:

  • повторить понятия: отношения величин, пропорции, свойство пропорции, виды пропорций;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

План работы:

  1. Определение отношения величин;

  2. Составить таблицу перехода от одних величин к другим (единицы измерения массы, времени);

  3. Примеры на вычисление отношения величин;

  4. Определение понятия пропорции;

  5. Виды пропорций;

  6. Свойство пропорции;

  7. Примеры на вычисление пропорций;

  8. Примеры на вычисление пропорций профессионального характера.

Методические рекомендации к составлению конспекта:


Конспект– это работа с другим источником.

Цель –зафиксировать ,переработать тот или иной текст.

Конспект представляет собой дословные выписки из текста источника. При этом конспект это не полное переписывание чужого текста. При написании конспекта сначала прочитывается текст –источник, в нем выделяются основные положения , подбираются примеры , идет перекомпоновка материала, а затем уже оформляется текст конспекта. Конспект может быть полным, когда работа идет со всем текстом источника или неполным, когда интерес представляет какой-либо один или несколько вопросов, затронутых в источнике.

Общую последовательность действий при составлении конспекта можно определить таким образом:

1. Уяснить цели и задачи конспектирования.

2.Внимательно прочитать текст параграфа, главы и отметить информационно значимые места.

3. Составить конспект.

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : содержание соответствует теме, материал проработан глубоко, грамотно и полно использованы источники, приведены сложные примеры;

Оценка «4» выставляется , если : материал проработан не глубоко, использованы не все источники, приведены сложные примеры ;

Оценка «3» выставляется, если : материал проработан не полностью, приведены примеры.


Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.








Тема: Решение криптограмм по теме «Уравнения».

Цель работы:

  • повторить решение линейных уравнений;

  • расширение кругозора обучающихся;

  • развитие творческого интереса к математике;

  • воспитание стойкости, находчивости, любознательности;



Методические рекомендации :

Криптограммы- это зашифрованное письмо, где с помощью цифр можно найти ответ на вопрос или составить цитату, используя таблицу «цифра-буква».

В этой работе надо решить линейные уравнения, найти их корни, а затем по таблице найти ответ на вопрос или составить цитату.

Пример: (из к-2)

Решив уравнения, найти ответ на вопрос: «Что есть у каждого слова, растения и уравнения?»

1)2х -15 =5, 2) х + 6 = 20, 3) 12 – х = - 4, 4) 3х -8 = 10,5) 15 – х = 2, 6) х - 15 = 10 ,

Решение: решив данные уравнения, получим числа 10, 14, 16, 6, 13,25 ,

по таблице найдем буквы к, о, р, е, н, ь. Ответ: корень.

Задание: К-1. Составить цитату:

  1. 22 6 11 14 3 6 10 *15 14 5 14 2 6 13 *5 16 14 2 9,22 9 17 11 9 18 6 11 25*6 6*18 14, 22 18 14*14 13* 6 17 18 25, 1* 8 13 1 12 6 13 1 18 6 11 25*18 14, 22 18 14* 14 13* 14* 17 6 2 6* 5 19 12 1 6 18. 22 6 12* 2 14 11 25 23 6*8 13 1 12 6 13 1 18 6 11 25, 18 6 12* 12 6 13 25 23 6*5 16 14 2 25. ( 11.13. 18 14 11 17 18 14 9 ).

  2. 13 6 * 5 19 12 1 9,22 18 14*4 14 3 14 16 9 18 25* 9* 5 6 11 1 18 25* 15 16 1 3 5 19* 13 19 7 13 14* 18 14 11 25 10 14 * 3 * 5 6 11 1 21* 3 1 7 13 30 21.

( 11.13. 18 14 11 17 18 14 9 ).

  1. 4 14 3 14 16 9 18 25* 9* 5 6 11 1 18 25* 15 16 1 3 5 19* 13 19 7 13 14* 3 17 6 4 5 1 , 5 1 7 6 *3* 17 1 12 30 21 * 13 6 * 15 14 8 3 14 11 28 18 25* 17 6 2 6*11 7 9. (11.13. 18 14 11 17 18 14 9).

  2. 3 9 5 6 18 25*13 6 17 15 16 1 3 6 5 11 9 3 14 17 18 25*9* 12 14 11 22 1 18 25*14* 13 6 9*--26 18 14 *8 13 1 22 9 18*17 1 12 14 12 19* 5 6 11 1 18 25* 18 1 10 19 27*7 6 * 13 6 17 15 16 1 36 5 11 9 3 14 17 18 25.(1.16. 19 17 17 14).

  3. 5 6 11 1 9 1 9 23 28 18 14, 22 18 14 3 15 14 17 11 6 5 17 18 3 9 9 13 6 14 4 14 16 22 9 18 18 6 2 28 9 13 6 15 16 9 13 19 5 9 18

16 1 17 10 1 9 3 1 18 25 17 28 . ( 15 9 20 1 4 14 16) .

  1. 13 6 5 6 11 1 9 13 9 10 14 4 5 1 18 14 4 14, 22 6 4 14 13 6 8 13 16 2325.

13 14 13 1 19 22 9 17 25 3 17 6 12 19, 22 18 14 17 11 6 5 19 6 18 8 13 1 18 25. ( 15 9 20 1 4 14 16).

  1. 13 6 15 16 6 13 6 2 16 6 4 1 9 8 5 14 16 14 3 25 6 12 17 3 14 6 4 14 18 6 11 1. ( 15 9 20 1 4 14 16).

  2. 15 16 9 19 22 1 9 17 28 7 9 18 25 15 16 14 17 18 14 9 2 6 8 16 14 17 10 14 23 9. ( 15 9 20 1 4 14 16).



К-2. Найти ответ на вопрос

  1. Решив уравнения, найти ответ на вопрос: «Что означает слово канитель»

1) 2х – 16 = 0, 2) 5х = 4х + 14, 3) 3х = 33, 4) 7х = 5х + 28,

5) 6х = 5х + 18, 6) 14в = 14, 7) 5а – 28 = 4а,

8) 2а – 26 = 0, 9) 5х – 45 = 0, 10) 6х – 18 = 5х, 11) 7у – 25 = 6у.

  1. Решив уравнения, найти ответ на вопрос:

«Как в мифологии называется богиня утренней зари»

  1. 15в – 15 = 0, 2) 12х = 36, 3) 7у = 6у + 16, 4) 7а – 14 = 6а, 5)6у – 96=0,6)17а – 17=0.

  1. Решив уравнения, найти ответ на вопрос:

«Какое растение оказало неоценимую услугу биологии в установлении законов генетики»

  1. 5к – 20 = 0,2) 6а = 5а + 14, 3) 7к = 6к + 16, 4) 2у = у + 14, 5) 9а = 8а + 21.

  1. Решив уравнения, найти ответ на вопрос: «Что означает слово Адам»

1) 2к = к + 22, 2) 7а = 42, 3) 4к = 44, 4) 7к = 6к + 14, 5) 12к = 36, 6) 8а – 48 = 0, 7) 7к – 70 = 0.

  1. Решив уравнения, найти ответ на вопрос: «Какой древний символ мудрости?»

  1. 7к = 56,2) 2х = х + 12, 3) 4а – 24 = 0, 4) 7к = 6к + 28.

  1. Решив уравнения, найти ответ на вопрос:

«В каком городе сначала убивают, а потом арестовывают?»

  1. 14х = 28, 2) 7х = 6х + 14, 3) 9у – 21 = 8у, 4) 17а = 17, 5) 5х = 4х + 16, 6) 8к = 48, 7) 3х = 2х + 17, 8) 4а = 3а + 17.

  1. Решив уравнения, найти ответ на вопрос: «Какая самая высокая трава?»

  1. 2х = х + 15, 2) 14к = 14, 3) 7а = 77, 4) 2а = 50, 5) 4к = 48, 6) 13х – 13 = 0.

  1. Решив уравнения, найти ответ на вопрос: «Кто всегда работает с огоньком?»

  1. 2х = 30, 2) 2к = к + 14, 3) 4к – 28 = 0, 4) 13а – 13 = 0, 5) 4к = 3к + 16, 6) 2х – 26 = 0, 7) 7к – 63 = 0, 8) 5к – 50 = 0.

  1. Решив уравнения, найти ответ на вопрос: «Какой самый дорогой металл?»

  1. 2х – 30 = 0, 2) 2у = у + 11, 3) 13к – 13 = 0, 4) 4а = 3а + 18,5) 3х = 27, 6) 6к = 5к + 13, 7) 15х – 15 = 0.

  1. Решив уравнения, найти ответ на вопрос: «Какой самый высокий злак?»

  1. 4х = 8, 2) 11к = 11, 3) 4х = 3х + 12, 4) 4у = 8, 5) 6к = 5к + 19, 6) 8х = 80.

  1. Решив уравнения, найти ответ на вопрос:

«Какое священное растение в Индии и Китае?»

  1. 2х = 22, 2) 2к = к + 14, 3) 7х = 6х + 18, 4) 2х = 28, 5) 5х = 4х + 17.

  1. Решив уравнения, найти ответ на вопрос: «Какое древнее название Ирака?»

  1. 4к = 3к + 15, 2) 4х – 24 = 0, 3) 7к – 16 = 6к, 4) 8х – 17 = 7х, 5) 10у – 90 = 0, 6) 5у – 28 = 4у.

  1. Решив уравнения, найти ответ на вопрос:

«Как называется всякий чужестранец у древних римлян и греков?»

1) 7х – 21 = 0,2) 12к – 12 = 0, 3) 4к = 3к + 16, 4) 5х – 25 = 0,

5) 14х = 14, 6) 3к = 48.

  1. Решив уравнения, найти ответ на вопрос:

«Как называется место впадения реки?»

  1. 2х = 38, 2) 2у = у + 17, 3) 4к – 72 = 0, 4) 3х = 75, 5) 7у – 42 = 0.



Таблица «цифра-буква».



цифра-буква

цифра-буква

цифра-буква

цифра-буква

цифра-буква

1) А

7) Ж

13) Н

19) У

25) Ь

2) Б

8) З

14) О

20) Ф

26) Э

3) В

9) И

15) П

21) Х

27) Ю

4) Г

10) К

16) Р

22) Ч

28) Я

5) Д

11) Л

17) С

23) Ш

29) Ц

6) Е

12) М

18) Т

24) Щ

30) Ы



Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнена работа полностью (к-1,к-2), с подробным решением уравнений;

Оценка «4» выставляется если : выполнена работа не полностью ( 70-80 % ) из к-1,к-2, с подробным решением уравнений;

Оценка «3» выставляется если : выполнена работа не полностью ( 50 %), уравнения решены кратко.

Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.

Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.







Самостоятельная работа № 25

Тема: Типовой расчет по теме «Решение систем уравнений и неравенств».

Цель работы:

  • повторить понятия: решение систем уравнений разными способами;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал:

Ш.А. Алимов. Алгебра 7-9 класс.

Решение типовых заданий:

Пример 1.а) Решить систему уравнений .

Решение: Значения х и у можно рассматривать как корни квадратного уравнения

z ² 5 z + 4 = 0.

Имеем: z ₁ =1, z  = 4. Оба уравнения системы симметричны относительно х и у , поэтому получаем две пары решений: если одно решение х  = 1, y  = 4, то второе будет, наоборот: х  = 4, y  = 1.

Ответ: (1;4),(4;1).

б) Решить систему уравнений .

Решение: Здесь коэффициенты при у по абсолютному значению равны между собой, но противоположны по знаку. Для получения уравнения с одним неизвестным уравнения системы почленно складываем:


___________

5х = 20;

х = 4.

Полученное значение х = 4 подставляем в какое-нибудь уравнение системы (например, в первое) и находим значение у : 2 · 4 + у = 11, y = 11 8, y = 3.

Следовательно, система имеет решение: х = 4, у = 3. Ответ: (4;3).

Пример 2. Решить систему уравнений .

Решение: .

Составляем уравнение

t ²41 t  400 = 0.

Откуда t  = 25, t  = 16. Значит х ² = 25, у ² = 16 и, наоборот, у ² = 25; x ² = 16.

1, 2 = ±5; x 3, 4 = ±4;

1, 2 = ±4; y 3, 4 = ±5.

Учитывая, что ху > 0, получаем всего четыре решения данной системы.

= 5, у  = 4; х  = -5, y  = -4; x  = 4, y  = 5; x  = -4, y  = -5.

Ответ:(5;4),(),(4;5),().

Пример 3. Решить систему уравнений .

Решение: Умножим обе части второго уравнения на 2 и прибавим к первому:

х ² у ² 2 ху  2( x y ) = 24.

Положим х  у = z , тогда z ² 2 z  24 = 0, откуда z  = 6, z  = 4. Получается две системы:

,

которые имеют два действительных решения: = 1, y  = 3 и x  = 3, y  = 1. Ответ: (1;3),(3;1).

Пример 4. Решить систему .

Решение: Пусть  , тогда  . Имеем:

z ; 15z234z 15 = 0, D = b2 – 4ас = – 4 · 15 · 15 = 1156 900 = 256,

Значит, получаем две системы уравнений:


Решим 1 систему, для этого из 2 уравнения выразим х и подставим в 1 уравнение :

x = 0,6y,

Решим 2 систему, для этого из 2 уравнения выразим у и подставим в 1 уравнение :

у = 0,6х,

Откуда находим четыре решения: x  = 3, у  = 5; х  = 3, y  = 5; x  = 5, y  = 3;

= 5, y  = 3. Ответ: (3;5),(),(5;3),().

Пример 5. Решить систему неравенств:

а) , б) , в)

Решение: а) ; Ответ: (0,5; 5].

б) . Ответ: (–1,25; 0,25].

в)

Решим 1 неравенство: , , х  = , х  = 16.

hello_html_5bd89a69.pngх


Получаем, что .
Решим 2 неравенство:х  = , х  = 4.

hello_html_5bd89a69.pngх

Получаем, что .Общее решение системы будет являться пересечением полученных промежутков, то есть . Ответ:.

Задание:

1 вариант. Решить систему уравнений :

1)а) .б) . 2) . 3) . 4) .

Решить систему неравенств: 5) а) , б) , в)

2 вариант. Решить систему уравнений :

1)а) .б) . 2). 3).4).

Решить систему неравенств: 5) а) , б) , в)

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-5,

Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-4,

Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3.

Требования к оформлению самостоятельной работы:

Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.

Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.

Самостоятельная работа № 26


Тема: Составление опорного конспекта «Функция, график и её свойства».

Цель работы:

  • повторить понятия: функция, виды функций и их свойства, область определения и множество значений функции, график функции, виды функций и их графики;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

План работы:



  1. Определение понятия «Функция»;

  2. Виды функций и их свойства;

  3. Область определения и множество значений функции;

  4. Примеры на вычисление области определения и множество значений функции;

  5. Определение понятия «График функции»;

  6. Виды функций и их графики;

  7. Примеры на построение функций;


Методические рекомендации к составлению конспекта:


Конспект– это работа с другим источником.

Цель –зафиксировать ,переработать тот или иной текст.

Конспект представляет собой дословные выписки из текста источника. При этом конспект это не полное переписывание чужого текста. При написании конспекта сначала прочитывается текст –источник, в нем выделяются основные положения , подбираются примеры , идет перекомпоновка материала, а затем уже оформляется текст конспекта. Конспект может быть полным, когда работа идет со всем текстом источника или неполным, когда интерес представляет какой-либо один или несколько вопросов, затронутых в источнике.

Общую последовательность действий при составлении конспекта можно определить таким образом:

1. Уяснить цели и задачи конспектирования.

2.Внимательно прочитать текст параграфа, главы и отметить информационно значимые места.

3. Составить конспект.


Критерии оценки:


Оценка «5» выставляется если : содержание соответствует теме, материал проработан глубоко, грамотно и полно использованы источники, приведены сложные примеры;


Оценка «4» выставляется , если : материал проработан не глубоко, использованы не все источники, приведены сложные примеры ;


Оценка «3» выставляется, если : материал проработан не полностью, приведены примеры.


Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.



Самостоятельная работа № 27


Тема: Составление опорного конспекта по теме «Действия над комплексными числами».

Цель работы:

  • повторить понятия: алгебраическую, тригонометрическую и показательную форму комплексного числа; действия с комплексными числами: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

План работы:

  1. Понятие комплексного числа.

  2. Алгебраическая форма комплексного числа. Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел.

  3. Возведение комплексных чисел в степень.

  4. Извлечение корней из комплексных чисел. Квадратное уравнение с комплексными корнями.

  5. Действия над комплексными числами (примеры).

Методические рекомендации к составлению конспекта:


Конспект– это работа с другим источником.

Цель –зафиксировать ,переработать тот или иной текст.

Конспект представляет собой дословные выписки из текста источника. При этом конспект это не полное переписывание чужого текста. При написании конспекта сначала прочитывается текст –источник, в нем выделяются основные положения , подбираются примеры , идет перекомпоновка материала, а затем уже оформляется текст конспекта. Конспект может быть полным, когда работа идет со всем текстом источника или неполным, когда интерес представляет какой-либо один или несколько вопросов, затронутых в источнике.

Общую последовательность действий при составлении конспекта можно определить таким образом:

1. Уяснить цели и задачи конспектирования.

2.Внимательно прочитать текст параграфа, главы и отметить информационно значимые места.

3. Составить конспект.

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : содержание соответствует теме, материал проработан глубоко, грамотно и полно использованы источники, приведены сложные примеры;

Оценка «4» выставляется , если : материал проработан не глубоко, использованы не все источники, приведены сложные примеры ;

Оценка «3» выставляется, если : материал проработан не полностью, приведены примеры.


Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение № 1.






Самостоятельная работа № 28


Тема: Составление опорного конспекта «Синус, косинус, тангенс числового аргумента, их знаки».

Цель работы:

  • повторить понятия: синус, косинус, тангенс числового аргумента, их знаки, их вычисление для углов в радианной мере ;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом .



План работы:



  1. Определение понятия синус, косинус, тангенс числового аргумента;

  2. Знаки тригонометрических функций ;

  3. Формулы для вычисления синуса, косинуса, тангенса , их преобразование;

  4. Примеры вычисления тригонометрических функции.


Методические рекомендации к составлению конспекта:


Конспект– это работа с другим источником.

Цель –зафиксировать ,переработать тот или иной текст.

Конспект представляет собой дословные выписки из текста источника. При этом конспект это не полное переписывание чужого текста. При написании конспекта сначала прочитывается текст –источник, в нем выделяются основные положения , подбираются примеры , идет перекомпоновка материала, а затем уже оформляется текст конспекта. Конспект может быть полным, когда работа идет со всем текстом источника или неполным, когда интерес представляет какой-либо один или несколько вопросов, затронутых в источнике.

Общую последовательность действий при составлении конспекта можно определить таким образом:

1. Уяснить цели и задачи конспектирования.

2.Внимательно прочитать текст параграфа, главы и отметить информационно значимые места.

3. Составить конспект.


Критерии оценки:


Оценка «5» выставляется если : содержание соответствует теме, материал проработан глубоко, грамотно и полно использованы источники, приведены сложные примеры;


Оценка «4» выставляется , если : материал проработан не глубоко, использованы не все источники, приведены сложные примеры ;


Оценка «3» выставляется, если : материал проработан не полностью, приведены примеры.


Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.



Самостоятельная работа № 29

Тема: Типовой расчет по теме «Формулы сложения».

Цель работы:

  • повторить понятия: формулы сложения, преобразования с помощью формул сложения;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал:

  1. Ш.А. Алимов. Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс, глава 5, §28.

  2. Формулы:

sin(α β) = sin α cos β cos α sin β; sin(α β) = sin α cos βcos α sin β;

cos(α β) = cos α cos β sin α sin β; cos(α β) = cos α cos β sin α sin β;

, .

Решение типовых заданий:

Пример 1.Вычислить :
а) cos 18° cos 12° sin 18° sin 12°; б) cos 107° cos 17°sin 107° sin 17°;

в) sin 17° cos 13° sin 13° cos 17°; г) sin 43° cos 13° sin 13° cos 43°;

д) , е) .

Решение: а) cos 18° cos 12° sin 18° sin 12° = cos(18°12°) = cos 30° = ;

б) cos 107° cos 17° sin 107° sin 17° = cos(107°17°) = cos 90° = 0;

в) sin 17° cos 13° sin 13° cos 17° = sin(18°12°) = sin 30° = 0,5;

г) sin 43° cos 13° sin 13° cos 43° = sin(43°13°) = sin 30° = 0,5;

д) = tg (9°51°) = tg 60° = ;

е) = tg (65°20°) = tg 45° = 1 .

Ответ: а); б) 0; в) 0,5; г) 0,5; д) ; е) 1.

Пример 2.Вычислить : а) cos π /7 cos /21 sin π/ 7sin /21; б) sin π /3 cos π /12  cos π /3sin π /12; в) .
Решение:
а)
cos π /7 cos /21 sin π /7sin /21 = cos /7 4π /21) = cos (3π /21 4π /21) =

= cos /21 = cos π /3 = 0,5.

б) sin π /3 cosπ /12 cos π /3 sin π /12 = sin /3 π /12) = sin (4π /12π /12) = sin /12 =

= sin π /4 = /2;

в) = tg (π /7 4π /21) = tg π /3 = .

Ответ: а) 0,5; б) /2; в).

Пример 3. Упростить: а) cos α cos 3α sinα sin3α; б) sin 2α cos α cos 2α sin α;

в) sin α cos 3α cos α sin 3α; г) .

Решение: а) cos α cos 3α sinα sin3α = cos (α 3α) = cos 4α;

б) sin 2α cos α cos 2α sin α = sin (2α α) = sin α;

в) sin α cos 3α cos α sin 3α = sin (αα) = sin 4α; г) = tg (x 3x) = tg 4x.

Ответ: а) cos 4α; б) sin α; в) sin 4α; г) tg 4x.

Пример 4. Упростить : а) cos α cos β sin α sin β, если α = 42 °, β = 18 °;

б) cos(x y) cos(x + y) + sin(x y) sin(x + y).

Решение: а) cos α cos β sin α sin β = cos (α β) = cos (42 ° 18 °) = cos 60 ° = 0,5.

б) cos(x y) cos(x + y) + sin(x y) sin(x + y) = cos ((x  y) – (x + y)) = cos (–2y) = cos 2y.

Ответ: а) 0,5; б) cos 2y .

Пример 5. Докажите справедливость равенства 
sin 2α ( sin 2α sin 2β ) cos 2α ( cos 2α cos 2β ) = 2 cos 
2 ( α β ) . Доказательство: sin 2α ( sin 2α sin 2β ) cos 2α ( cos 2α cos 2β ) = 
=
sin 2 2α sin 2α sin 2β cos 2 2α cos 2α cos 2β =  1 cos ( 2α 2β ) = 2 cos 2 ( αβ ) , что и требовалось доказать.

Задание:

1 вариант.

  1. Вычислить : а) cos 38° cos 22° sin 38° sin 22°; б) cos 55° cos 10°sin 55° sin 10°;

в) sin 47° cos 13° sin 13° cos 47°; г) sin 103° cos 13° sin 13° cos 103°;

д) , е) .

  1. Вычислить : а) cos  π /5 cos π /20 sin π/ 5sin π /20;

б) sin π /4 cos π /12  cos π /4sin π /12; в) .

  1. Упростить: а) cos 2α cos 6α sin 2α sin 6α; б) sin 3α cos α cos 3α sin α;

в) sin 2α cos 3α cos 2α sin 3α; г) .

  1. Упростить : а) cos α cos β sin α sin β, если α = 42 °, β = 48 °;

б) cos(2x y) cos(2x + 3y) + sin(2x y) sin(2x + 3y).

  1. Докажите справедливость равенства 
    sin 2
    α ( sin 2α sin 2β ) cos 2α ( cos 2α cos 2β ) = 2 sin 2 ( α β ) .

2 вариант.

  1. Вычислить : а) cos 95° cos 35° sin 95° sin 35°; б) cos 125° cos 35°sin 125° sin 35°;

в) sin 35° cos 25° sin 25° cos 35°; г) sin 123° cos 33° sin 33° cos 123°;

д) , е) .

  1. Вычислить : а) cos  π /5 cos 2π /15 sin π/ 5sin 2π /15;

б) sin 4π /7 cos π /14  cos 4π /7sin π /14; в) .

  1. Упростить: а) cos 4α cos 3α sin 4α sin 3α; б) sin 5α cos 3α cos 5α sin 3α;

в) sin 2α cos 7α cos 2α sin 7α; г) .

  1. Упростить : а) cos α cos β sin α sin β, если α = 12 °, β = 18 °;

б) cos(3x y) cos(3x + 2y) + sin(3x y) sin(3x + 2y).

  1. Докажите справедливость равенства 
    sin 2
    α ( sin 2α sin 2β ) cos 2α ( cos 2α cos 2β ) = 2 sin 2 ( α β ) .

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-5,

Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-4,

Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3.

Требования к оформлению самостоятельной работы:

Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.

Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.








Самостоятельная работа № 30

Тема: Типовой расчет по теме «Решение простейших тригонометрических уравнений». 

Цель работы:

  • повторить понятия: простейшие тригонометрические уравнения, их способы решения;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал:

Ш.А. Алимов. Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс, глава 6,§33-35.

Решение типовых заданий:

Пример 1.Решите уравнение sin6xcos3x = 0.

Решение: sin6x – co3x = 0 , 2sin3x cos3x – cos3 x = 0 , сos3x(2sin3x – 1) = 0 ,

сos3x=0 или sin3x=1/2 .

3x= π/2 + π k, k , 3x = (–1)n π/6 + π n, n Z .

х1= π/6+ π k/3 , k Z, x2= ( –1)n π/18+ π n/3 , n Z .

Ответ: х1= π/6+ π k/3 , k Z; x2 = ( –1)n π/18+ π n/3 , n Z .

Пример 2. Решите уравнение (2 sin x – 1) (tg x – ) = 0.

Решение: ( 2 sin x – 1) (tg x – ) = 0,

2 sin x – 1= 0 или tg x = 0,

sin x = 1/2 tg x = ,

х1= (-1) n π/6 + π n, n Z , х2 = π/3 + π k, k .

Ответ: х1= (-1) n π/6 + π n, n Z , х2 = π/3 + π k, k .

Пример 3. Решите уравнение ( ctg x – 1) (2sin + 1) = 0.

Решение:

( ctg x – 1) (2sin + 1) = 0,

ctg x – 1 = 0 или 2sin + 1 = 0,

ctg x = 1 sin = – 1/2, х/2 = (–1) n +1 π/6 + π n, n Z,

х1 = π/4 + π k, k , х2 = (–1) n +1 π/3 + 2π n, n Z.

Ответ: х1 = π/4 + π k, k , х2 = (–1) n +1 π/3 + 2π n, n Z.

Пример 4. Решите уравнение . Решение: ,
cos (3x – 2x) = ,
cos x = ,
x =
Ответ: x =

Пример 5. Решите уравнение 2cos( х + π/3) = .

Решение:

2cos( х + π/3) = ,

cos( х + π/3) = ,

х + π/3 = ± 5π/6+2πn, nZ,

x = π/3 ± 5π/6+2πn, nZ.

x1 = π/3 + 5π/6+2πn, nZ, x1 = π/2 +2πn, nZ,

x2 = π/3 5π/6+2πn, nZ, x2 = 7π/6 +2πn, nZ.

Ответ: x1 = π/2 +2πn, nZ, x2 = –7π/6 +2πn, nZ.

Задание:

1 вариант.

  1. Решите уравнение sin4xcos2x = 0.

  2. Решите уравнение (2 sin x – )(tg x – ) = 0.

  3. Решите уравнение ( ctg x – )(2sin + ) = 0.

  4. Решите уравнение cos 4xcos3x + sin4xsin3x = / 2.

  5. Решите уравнение 2cos(х + π/4) = .

2 вариант.


  1. Решите уравнение sin2xcosx = 0.

  2. Решите уравнение (2 cos x – 1)(ctg x – ) = 0.

  3. Решите уравнение ( tg x – 1)(2sin – ) = 0.

  4. Решите уравнение cos 4xcosxsin4xsinx = / 2.

  5. Решите уравнение 2cos(х + π/6) = .


Критерии оценки:


Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-5,



Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-4,



Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3.



Требования к оформлению самостоятельной работы:



Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.



Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.













































Самостоятельная работа № 31

Тема: Типовой расчет по теме «Решение тригонометрических уравнений».

Цель работы:

  • повторить понятия: виды тригонометрических уравнений, их способы решения;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал:

  1. Ш.А. Алимов. Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс, глава 6,§36.

  2. Решение тригонометрических уравнений с помощью замены одной из тригонометрических функций и сведением к квадратному уравнению.

Выделим признаки, по которым произвольное тригонометрическое уравнение может быть классифицировано, как уравнение, сводящееся к квадратному.

Первым действием нужно убедиться, что все тригонометрические функции, входящие в уравнение, имеют единый аргумент. Если это не так, то их нужно свести к единому аргументу. Для этого используются формулы блока: “формулы двойного аргумента”

Вторым действием нужно пытаться привести уравнение к виду: Af 2(x) + B f(x) + C = 0 , где A,B,C – некоторые числа, f(x) – одна из тригонометрических функций. Для этого используется основное тригонометрическое тождество или взаимосвязь между тангенсом и котангенсом.

Третьим действием общая тригонометрическая функция заменяется буквой t, при этом учитывается область значений обозначаемой функции.

Таким образом, некоторые тригонометрические уравнений могут быть сведены к видам из таблицы

Решение типовых заданий:

Пример 1. a)Решите уравнение sin2 x + 5sin x – 6 = 0.

Решение: sin2 x + 5sin x – 6 = 0.

Данное уравнение соответствует (1) таблицы, поэтому делаем замену  sin x = t, t ,

получаем квадратное уравнение: t2 + 5t – 6 = 0,  находим корни  t1 = 1,t2 = – 6,

замечаем, что t2 = – 6 посторонний корень, поскольку t  ,

делаем обратную замену, т.е. решаем уравнение sin x = 1 , у которого корнями

будут числа x = π/2 +2πn, nZ . Ответ: x = π/2 +2πn, nZ.

б) Решите уравнение tg2 x – 3tg x + 2 = 0.

Решение: Данное уравнение соответствует (5) таблицы, поэтому делаем замену  tg x = t,

получаем квадратное уравнение: t2 – 3t + 2 = 0, находим корни  t1 = 1,t2 = 2, делаем обратную замену: tg x = 1, x1 = π/4 + πn, nZ  или tg x = 2, x 2= arctg 2 + πk, kZ .

 Ответ: x1 = π/4 + πn, nZ  , x 2= arctg 2 + πk, kZ .

Пример 2. Решите уравнение 2sin2 x + 3cos x – 3 = 0.

Решение: 2sin2 x + 3cos x – 3 = 0.

Данное уравнение соответствует (3) таблицы, поэтому cделаем замену cos x = t, t . Из основного тригонометрического тождества следует, что sin2x = 1 –cos2x, sin2x = 1 – t2 ,  получим квадратное уравнение: 2t2 – 3t + 1 = 0 , находим корни:

D = (3)2 42 1 = 9 8 = 1, t1= (3 + 1) : 4 = 1, t2 = (3 1) : 4 = .

делаем обратную замену: cos x = 1, x 1= n, nZ или cos x = 1 / 2, x2 =

Ответ: x 1= 2πn, nZ  , x2 =  .

Пример 3. Решите уравнение cos 2x = 4cos x – 1.

Решение: cos 2x = 4cos x – 1.

Данное уравнение непосредственно не имеет вид, описанный в таблице. Как правило, легко классифицировать уравнения, если привести тригонометрические функции в него входящие к одному аргументу. Поскольку cos 2x = cos2xsin2 x = 2 cos2x –1 , то уравнение 2 cos2x = 4 cos x сведено к (2) виду таблицы. Поэтому делаем замену cos x = t, t  и получаем неполное квадратное уравнение t2 – 2t = 0, откуда t1 = 0, t2 = 2. ( t2 = 2 посторонний корень, поскольку t  .

Делаем обратную замену: cos x = 0, x = 2πn, nZ .

Ответ: x = 2πn, nZ .

Пример 4. Решить уравнение 4 – cos2x = 4 sin x.

Решение: Вместо cos2x подставим тождественное ему выражение 1 – sin2x . Тогда исходное уравнение примет вид

4 – (1 –sin2x) = 4 sin x, 3 + sin2x = 4 sin x, sin2– 4 sin x + 3 = 0.

Если положить y = sin x, получим квадратное уравнение y2 – 4y + 3 = 0. Оно имеет корни y1= 1 и y2 = 3. Значит, исходное уравнение равносильно совокупности уравнений

sin x = 1 или  sin x = 3.

Уравнение sin x = 1 имеет решение . Уравнение sin x = 3 решений не имеет. Ответ: .

Пример 5. Решите уравнение 6 sin2 x+7 cos x-1= 0 .

Решение: 6 sin2 x + 7 cos x – 1= 0 .

Вместо sin2x подставим тождественное ему выражение  1 – cos2x . Тогда исходное уравнение примет вид 6(1 – cos2 x) + 7 cosx – 1=0;

6 cos2 x + 7 cos x + 5=0; 6 cos2 x – 7 cos x – 5=0;

Замена cos x = t, |t|≤1, 6t2 – 7t – 5 = 0;

D = (7)2 46 () = 49 + 120 = 169, t1= (7 13) : 12 = , t2 = (7 13) : 12 = .

t1 = ,t2 = -не удовлетворяет условию |t|≤1;

Делаем обратную замену cos x = ;

x = ±arccos() + 2πk, kZ , x = ± (π – π/3) + 2πk , kZ, x = ± 2π/3 + 2πk , kZ .

Ответ: x = ± 2π/3 + 2πk , kZ .

Пример 6. Решить уравнение .

Решение: .

Поделим обе части уравнения на cos x или sin x. Но предварительно надо доказать, что это выражение никогда не обращается в нуль. Предположим, что cos x= 0. Тогда 5sin x2∙0 = 0 , sin x = 0. Получается, что если sin x = 0, то и cos x = 0 , чего быть не может ввиду равенства . Значит можно поделить уравнение на cos x:

. Получим уравнение 5tg x 2 = 0, tg x = 2/5= 0,4.

Отсюда .

Ответ: . Пример 7. Решить уравнение : а) ; б) .

Решение: a) , , , ,

, ,

б) ,,

, можно поделить уравнение на , , , a = 3, c = 1 , k = – 2, D1 = k2ac = 4 – 3 = 1, , ,

, , .

, , .

Ответ: ,.

Пример 8. Решить уравнение 4 sin x cos x - cos2 x = 0.

Решение: 4 sin x cos x - cos2 x = 0, обе части уравнения можно поделить на .

Получим 4tg x – 1 = 0, tg x = 1/4, tg x = 0,25; x = arctg 0,25 + πn, n Z.

Ответ: x = arctg 0,25 + πn, n Z.

Пример 9. Решить уравнение .

Решение: Данное уравнение не является однородным. Но его можно превратить в однородное, заменив 3sin2x на 6sin x cos x и число 2 на .

Приведя подобные слагаемые, получим уравнение . Тогда можно обе части уравнения поделить на . Получим , a = 10, c = – 4 , k = 3, D1 = k2ac = 9 – (– 40) = 49, ,

или .

Отсюда .

Ответ: .

Пример 10. Решите уравнение 2 sin2 х –3 sinх cos х –5 cos2 х = 0 .

Решение: 2 sin2 х –3 sinх cos х –5 cos2 х = 0 .

2 sin2 х – 3 sinх cos х –5 cos2х = 0 | : cos2х ≠ 0,

2 tg 2x – 3 tg x – 5 = 0, замена tg x = t.

2 t2 – 3t – 5 = 0,

D = (3)2 42 (– 5) = 9 + 40 = 49, t1= (3 7) : 4 = 1, t2 = (3 7) : 4 = .

t1 = -1; t2 = 2,5.

Решением уравнения tg х = – 1 являются числа вида х1 = – π/2 + πk , k Z.

Решением уравнение tg х = 2,5 являются числа вида х2 = arctg 2,5+ πn, n Z.

Ответ: х1 = – π/2 + πk , k Z, х2 = arctg 2,5+ πn, n Z.



Задание:

1 вариант.

  1. a)Решите уравнение 5sin2 x +21sin x + 4 = 0 ,

б) Решите уравнение 2tg2 x – 11tg x + 5 = 0.

  1. Решите уравнение 5sin2 x – 7cos x + 1= 0.

  2. Решите уравнение cos 2x = 6cos x – 1.

  3. Решить уравнение 3 – cos2x = 3 sin x.

  4. Решите уравнение 6 sin2 x + 5 cos x– 7=0 .

  5. Решить уравнение .

  6. Решить уравнение : а) ; б) .

  7. Решить уравнение 5 sin x cos x – 3cos2 x = 0.

  8. Решить уравнение 3.

  9. Решите уравнение hello_html_5b73cee4.gif .



2 вариант.

  1. a)Решите уравнение 6cos2 x – 19cos x +3 = 0,

б) Решите уравнение 8tg2 x +10tg x + 3 = 0.

  1. Решите уравнение 8sin2 x + 10cos x – 5 = 0.

  2. Решите уравнение cos 2x = 8cos x – 1.

  3. Решить уравнение 5 – cos2x = 5 sin x.

  4. Решите уравнение 4 sin2 x + 3 cos x– 3 = 0 .

  5. Решить уравнение .

  6. Решить уравнение : а) ; б) .

  7. Решить уравнение 4 sin x cos x– 3cos2 x = 0.

  8. Решить уравнение .

  9. Решите уравнение sin2 x - 5 sin x cos x + 6 cos2 x = 0.

Критерии оценки:



Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-10,



Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-8,



Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-5.



Требования к оформлению самостоятельной работы:

Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.

















Самостоятельная работа № 32

Тема: Решение теста по теме «Решение тригонометрических неравенств».

Цель работы: повторить, закрепить основные понятия по теме «Решение показательных и логарифмических неравенств». Методические рекомендации к выполнению теста: Решив задачу, нужно выбрать правильный ответ и записать номер, под которым он записан. Задание:

  1. Выберите нужно неравенство, решение которого изображено рисунке (цифра - буква).

hello_html_761d7a7.jpg

А) cos x ≤ - , В) sin x > - , С) cos x < , D) sin x ≥ .

2) Решите неравенство: sin x ≥ .

А) x [ + 2πn, + 2πn ] , В) x ( - + 2πn, + 2πn ) ,

С) x ( + 2πn, + 2πn ) , D) x [ - + 2πn, ] , n.

3) Решите неравенство: cos x ≤ - .

А) x ( + 2πn, + 2πn ) , В) x [ + 2πn, + 2πn ],

С) x ( + 2πn, + 2πn ) , D) x [ + 2πn, + 2πn ] , n Z .

4) Решите неравенство: sin x > - .

А) x ( + 2πn, + 2πn ) , В) x [ + 2πn, + 2πn ] ,

С) x ( - + 2πn, + 2πn ) , D) x [ - + 2πn, + 2πn ], n Z .

5) Решите неравенство: cos x < .

А) x (- + 2πn, + 2πn ) , В) x [- + 2πn, + 2πn ] ,

С) x [ + 2πn, + 2πn ] , D) x ( + 2πn, + 2πn ) , n Z.

6) Выберите нужное неравенство, решение которого изображено на рисунке hello_html_542cd5c1.jpg

(цифра - буква).

А) ctg x < - , В) tg x > 1, С) tg x ≤ 1, Д) ctg x- .

7) Решите неравенство: tg x ≤ 1.

А) x [ πn; ] , В) x (πn; ) ,

С) x (; ) , Д) x [; ], n Z .

8) Решите неравенство: ctg x < - .

А) x [ + πn, + πn ] , В) x ( + πn, + πn ) ,

С) x ( + πn, π + πn ) , Д) x [ + πn, π + πn ] , n Z .

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1- 8,

Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1- 6,

Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1- 4.

Требования к оформлению самостоятельной работы:

Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.

Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.

Самостоятельная работа № 33



Тема: Составление опорного конспекта «Понятие о корне n-й степени».

Цель работы:

  • повторить понятия: арифметический корень, его свойства, корень n-й степени, применение в вычислениях;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом .



План работы:

  1. Определение понятия «Арифметический корень» и его свойства;

  2. Примеры на вычисление арифметического корня;

  3. Корень n-й степени и его свойства.


Методические рекомендации к составлению конспекта:


Конспект– это работа с другим источником.

Цель –зафиксировать ,переработать тот или иной текст.

Конспект представляет собой дословные выписки из текста источника. При этом конспект это не полное переписывание чужого текста. При написании конспекта сначала прочитывается текст –источник, в нем выделяются основные положения , подбираются примеры , идет перекомпоновка материала, а затем уже оформляется текст конспекта. Конспект может быть полным, когда работа идет со всем текстом источника или неполным, когда интерес представляет какой-либо один или несколько вопросов, затронутых в источнике.

Общую последовательность действий при составлении конспекта можно определить таким образом:

1. Уяснить цели и задачи конспектирования.

2.Внимательно прочитать текст параграфа, главы и отметить информационно значимые места.

3. Составить конспект.

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : содержание соответствует теме, материал проработан глубоко, грамотно и полно использованы источники, приведены сложные примеры;

Оценка «4» выставляется , если : материал проработан не глубоко, использованы не все источники, приведены сложные примеры ;

Оценка «3» выставляется, если : материал проработан не полностью, приведены примеры.


Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.
































Самостоятельная работа № 34

Тема: Типовой расчет по теме «Понятие о корне n-й степени».

Цель работы:

  • повторить понятия: арифметический корень, его свойства, корень n-й степени, применение в вычислениях;

  • развитие умений и навыков работы с таблицами степеней,

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал:

  1. Ш.А. Алимов. Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс, глава 1, §4-5.

  2. Самостоятельная работа № 40.

Решение типовых заданий:

Пример 1. Вычислите: . Решение: . Ответ: 1.

Пример 2. Вычислите: .

Решение: .

Ответ: - 0,2.

Пример 3. Упростите выражение: .

Решение: . Ответ: 3.

Пример 4. а) = 2 3 = 6. б) 2 = 2 (-3) = - 6. в) 5 = 50,7 = 3,5.

г) = 225 = 45 = 20. д) = = 2. е) = = 3 2 = 6.

ж) = 5 : 22 = 5 : 4 = 1,25. з) = = 9 22 = 9 4 = 36.

Пример 5. Выполнить действия: Решение: Ответ: 28 - .

Пример 6. Решите уравнения: а) х4= 81 ,б) х5=32. Решение: а) х4= 81 , х = 3. б) х5=32, х = 2.

Ответ: а) х = 3, б) х = 2.

Пример 7. а) Вынести множитель из-под знака корня: .

= = 10 .

внесите множитель под знак корня: .

Задание:

1 вариант.

1. Вычислите: а) , б) , в) , г) ,

д) , е) , ж) , з) .

2. Решите уравнения: а) , б) , в) , г)

3.Упростите выражение: .

4. Вычислите: а) , б) , в) .

5. а) внесите множитель под знак корня: 4.

б) вынести множитель из-под знака корня:

, , , .

2 вариант.

1. Вычислите: а) , б) , в) , г) ,

д) , е) , ж) , з) .

2. Решите уравнения: а), б) , в) , г)

3. Упростите выражение: .

4. Вычислите: а) , б) , в) .

5. а) внесите множитель под знак корня: 5.

б) вынести множитель из-под знака корня:

, , ,



Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-6,

Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-4,

Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3.

Требования к оформлению самостоятельной работы:

Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.

































































Самостоятельная работа № 35

Тема: Решение теста по теме «Степень с рациональным, действительным показателем, ее свойства».

Цель работы: повторить, закрепить основные понятия по теме «Степень с рациональным, действительным показателем, ее свойства».

Методические рекомендации к выполнению теста: Решив задачу, нужно выбрать правильный ответ и записать номер, под которым он записан.

Задание: 1 вариант.

А1. Вычислите .

1) 2; 2) 3; 3) 9; 4) .

А2. Вычислите .

1) 2; 2) 4; 3) 2; 4) 4.

А3. Упростите выражение

1) ; 2) ; 3) а; 4) .

А4. Вычислите

1) 0,25; 2) 0,5; 3) 0,15; 4) 5.

А5. Найдите значения выражения при у = 18.

1) 9(4+3); 2) ; 3) 4+3; 4) 9.

А.6. Упростите выражение

1) 2) 3) 4)

А7. Найдите значение выражения: .



1) 12; 2) 6; 3) 3; 4) –3.



А8. Найдите значение выражения: .

1) ; 2) 1,2; 3) ; 4) .

А9. Найдите значение выражения:

1) 4; 2) 9; 3) 5; 4) 5.



А10. Сократите дробь:

1) а; 2) ; 3) ; 4) а+1.




2 вариант.

А1. Вычислите .

1) 5; 2) 4; 3) 25; 4) .

А2. Вычислите .

1) 2; 2) 4; 3)2; 4) 4.

А3. Упростите выражение

1) ; 2) ; 3) а; 4) .

А4. Вычислите

1) 0,09; 2) 0,03; 3) 0,3; 4) 3.

А5. Найдите значения выражения при а = 4, b = 5.

1) ; 2) 2; 3) 0; 4) .

А.6. Упростите выражение .

1) 2) 3) 4)

А7. Найдите значение выражения: .



1) 45; 2) 5; 3) 3; 4) –45.

А8. Найдите значение выражения: .

1) 5,5; 2) 2; 3) ; 4) .

А9. Найдите значение выражения:

1) 4; 2) 25; 3) 9; 4) 16.

А10. Найдите значение выражения при р = 49.

1) 49; 2) ; 3) ; 4) 7.



Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-10,с записью решения, даже с недочетами. Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-8, с записью решения, даже с недочетами. Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-5. Требования к оформлению самостоятельной работы: Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2. Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.







Самостоятельная работа № 36



Тема: Составление опорного конспекта «Область определения и множество значений тригонометрических функций» .

Цель работы:

  • повторить понятия: область определения и множество значений тригонометрических функций, их обозначение и нахождение;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом .



План работы:



  1. Область определения тригонометрических функций;

  2. Множество значений тригонометрических функций;

  3. Примеры нахождения области определения и множества значений тригонометрических функций с помощью формул .


Методические рекомендации к составлению конспекта:


Конспект– это работа с другим источником.

Цель –зафиксировать ,переработать тот или иной текст.

Конспект представляет собой дословные выписки из текста источника. При этом конспект это не полное переписывание чужого текста. При написании конспекта сначала прочитывается текст –источник, в нем выделяются основные положения , подбираются примеры , идет перекомпоновка материала, а затем уже оформляется текст конспекта. Конспект может быть полным, когда работа идет со всем текстом источника или неполным, когда интерес представляет какой-либо один или несколько вопросов, затронутых в источнике.

Общую последовательность действий при составлении конспекта можно определить таким образом:

1. Уяснить цели и задачи конспектирования.

2.Внимательно прочитать текст параграфа, главы и отметить информационно значимые места.

3. Составить конспект.

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : содержание соответствует теме, материал проработан глубоко, грамотно и полно использованы источники, приведены сложные примеры;

Оценка «4» выставляется , если : материал проработан не глубоко, использованы не все источники, приведены сложные примеры ;

Оценка «3» выставляется, если : материал проработан не полностью, приведены примеры.


Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.















Самостоятельная работа № 37

Тема: Типовой расчет по теме «Область определения и множество значений тригонометрических функций».

Цель работы:

  • повторить понятия: область определения и множество значений тригонометрических функций;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал:

Ш.А. Алимов. Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс, глава 7, §38.

Решение типовых заданий:

Пример 1.Найти область определения D(y) тригонометрических функций: а) y = sin 2x , б) y = cos , в) y = sin , г) y = cos , д) y = sin , е) y = cos . Решение: а) y = sin 2x , D(y) = R , б) y = cos , D(y) = R , в) y = sin , D(y) : x , г) y = cos , D(y) : x , д) y = sin , x1, x , D(y) : x , е) y = cos , x, D(y) : x .

Ответ: а), б) D(y) = R, в), г) D(y) : x , д) D(y) : x , е) D(y) : x .

Пример 2. Найти область определения функции  f(x) = tg 2x.
Решение: в данном случае   в область определения не войдут следующие точки:

Скинем «двойку» левой части в знаменатель правой части:

В результате  :
hello_html_m644d540.jpg
Ответ: область определения:
D(f) = R \ { } .

Пример 3. Найти множество значений E(y) тригонометрической функции

y = 2sin2x cos2x.

Решение: y = 2sin2x cos2x = a , 2sin2x (1 2 sin2x) = 4 sin2x 1 = a, 4 sin2x = a 1,

2(1cos 2x) = a 1, 2 2cos 2x = a 1, 2 cos 2x = a 1, cos 2x = (a) : (),

cos 2x = (1) : ,

E(y) = [ 1; 3]. Ответ: E(y) = [ 1; 3].

Пример 4. Найти множество значений E(y) тригонометрической функции

y = 3 cos 2x 4sin2x.

Решение: y = 3 cos 2x 4sin2x = g, a = 3, b = , k2 = a2 b2 = 32 ()2 = 9 16 = 25, k = 5, 3/5∙ cos 2x 4/5∙ sin 2x = g /5, sin(φ) = g/5, E(y) = [ 5; 5]. Ответ: E(y) = [ 5; 5].

Пример 5. Найти множество значений E(y) тригонометрической функции

y = 10cos2x 6sin x cos x 2sin2x.

Решение: y = 10cos2x 6sin x cos x 2sin2x = a.

Oбе части уравнения поделим на cos2x. Получим, 10 6 tg x 2tg2x = a∙ (1 tg2x),

10 6 tg x 2tg2 x a tg2x = 0, (2) ∙ tg2 xtg x (10) = 0, tg x = t, (2) ∙ t2t (10) = 0, D = ()2 4∙ (2)∙ (10) = 36 4∙ (20 2) = =3680 48a 2 = 48a 2 = 4∙ (2 , 2

2 a1 = 11, a2 = 1.

hello_html_5bd89a69.png



E(y) = [1; 11]. Ответ: E(y) = [1; 11].

Задание:

1 вариант.

  1. Найти область определения D(y) тригонометрических функций: а) y = sin 4x , б) y = cos , в) y = sin , г) y = cos , д) y = cos , е) y = sin .

  2. Найти область определения функции  f(x) = tg 4x.

  3. Найти множество значений E(y) тригонометрической функции y = 4sin2x cos2x.

  4. Найти множество значений E(y) тригонометрической функции y = 6 cos 2x 8sin2x.

  5. Найти множество значений E(y) тригонометрической функции

y = 5cos2x 2sin x cos xsin2x.

2 вариант.

  1. Найти область определения D(y) тригонометрических функций: а) y = sin 6x , б) y = cos , в) y = sin , г) y = cos , д) y = cos , е) y = sin .

  2. Найти область определения функции  f(x) = tg 3x.

  3. Найти множество значений E(y) тригонометрической функции y = 6sin2x cos2x.

  4. Найти множество значений E(y) тригонометрической функции y = 9 cos 2x 12sin2x.

  5. Найти множество значений E(y) тригонометрической функции

y = 6cos2x 8sin x cos x 6sin2x.

Критерии оценки:



Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-5,



Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-4,



Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3.



Требования к оформлению самостоятельной работы:



Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.



Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.






Самостоятельная работа № 38

Тема: Типовой расчет по теме «Экстремумы функции». 

Цель работы:

  • повторить понятия: точки минимума, точки максимума, точки экстремума, стационарные точки, критические точки ;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал:

Ш.А. Алимов. Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс, глава 9, §49-50.

Решение типовых заданий:

Пример 1. Найти точку максимума функции

hello_html_m1f99d07c.gif

Решение: Требуется найти критическую точку, в которой знак производной меняется с плюса на минус. Область определения функции: hello_html_4fb18fd6.gif

Найдем критические точки функции:

hello_html_m7ccf63b9.pngКритические точки.

Исследуем знак производной на интервалах, разделенных критическими точками:

х

- 4 2

max min

Ответ: x = 4.

Пример 2. Найти точку минимума функции hello_html_1ad34ebd.gif

Указание. Не забывайте, что критическими точками функции являются не только точки, в которых производная равна нулю, но и точки, в которых производная не существует (если сама функция определена в этой точке). Решение: Область определения функции: hello_html_4fb18fd6.gif

hello_html_m5c8d472b.png

Функция имеет две критические точки: hello_html_m1501d35d.png

Исследуем знак производной на интервалах, разделенных критическими точками:

х

- 8/27 0

max min

При этом график функции имеет вид: (рис. справа).hello_html_me485a4.jpg

Ответ: x = 0.

Пример 3. Найдите точки экстремума функции и определите их характер.y= x 4 8x2.

Решение: y = x 4 8x2 , D(y) = R , y = (x 4 8x2) = 4x 3 – 16x, y = 0,

4x 3 – 16x = 0, 4x(x2 4) = 0, 4x(x2) (x2) = 0,

x1= 0 или х2=0 или х2=0

х2 = 2 х3 =2

х1= 0, х2 = 2, х3 = 2 – это стационарные точки.



-2 0 2 х

Функция убывает на (-;2, на 0; 2. Функция возрастает на -2; 0, на 2; +).

х3 = 2, х2 = 2 – это точки минимума. х1= 0 – это точка максимума.

Ответ: х3 = 2, х2 = 2– это точки минимума, х1= 0 – это точка максимума.

Пример 4. Найдите точки экстремума функции и определите их характер.

y= x2 6x1.

Решение: y = x2 6x1, D(y) =R,

y = ( x3 x2 6x1) = x25x6 = (х3)(х2) , y = 0, x 2 5x6 = 0,

x1 = 3, x2 = 2

x1 = 3, x2 = 2 – это стационарные точки.

х

2 3

Функция возрастает на (-; 2, на 3; +).Функция убывает на 2; 3.

x2 = 2 – это точка максимума, х1 = 3 – это точка минимума.

Ответ: х2 = 2 – это точка максимума, х1 = 3 – это точка минимума.

Пример 5. Найдите точки экстремума функции и определите их характер.

y= 2x5 5x4 10x3 3.

Решение: y = 2x5 5x4 10x3 3, D(y) = R,

y = (2x5 5x4 10x3 3) = 10x4 20x3 30x2 = 10х2 (х1)(х3), y = 0 ,

10x4 20x3 30x2 = 0, 10x2 (x2 + 2x 3) = 0,

x 2 = 0 или х2 2х3=0,

х1= 0 х2 = 1, х3 =3.

х1 = 0, х2 = 1, х3 = 3 – это стационарные точки.



-3 0 1 х

Функция возрастает на ( ; 3, на 1; ). Функция убывает на 3; 1.

х3 = 3 – это точка максимума. х2 = 1 – это точка минимума.

Ответ: х3 = 3 – это точка максимума, х2 = 1 – это точка минимума

Задание:

1 вариант.

  1. Найти точку максимума функции y = x3 6x2 15x 3.

  2. Найти точку минимума функции y = 2x .

  3. Найдите точки экстремума функции y = x 4 2x2 и определите их характер.

  4. Найдите точки экстремума функции y = x2 4x3 и определите их характер.

  5. Найдите точки экстремума функции y = 2x5 10x4 40x3 5 и определите их характер.

2 вариант.

  1. Найти точку максимума функции y = x3 9x2 48x 7.

  2. Найти точку минимума функции y = 4x .

  3. Найдите точки экстремума функции y = x 4 18x2 и определите их характер.

  4. Найдите точки экстремума функции y = x2 5 и определите их характер.

  5. Найдите точки экстремума функции y = 2x5 15x4 90x3 7 и определите их характер.

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-5,

Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-4,

Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3.



Требования к оформлению самостоятельной работы:

Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.

Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.


Самостоятельная работа № 39


Тема: Типовой расчет по теме «Нахождения наибольшего и наименьшего значения функции ». 

Цель работы:

  • повторить понятия: правило нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке, в задачах;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал:

Ш.А. Алимов. Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс, глава 9, §52.

Решение типовых заданий:

Пример 1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = 2x3 12x2 18x  3  на отрезке [– 1;2] .

Решение: 1) Вычислим значения функции в критических точках, принадлежащих данному отрезку:
hello_html_m7adea545.png 

Полученное квадратное уравнение имеет два действительных корня: х1= 1, х2 = 3
 – критические точки.

Ещё раз подчёркиваю, что нас не интересует, есть в них максимумы/минимумы или нет.

Первая критическая точка принадлежит данному отрезку: х1= 1 .
А вот вторая – нет: hello_html_1b55cb85.png, поэтому про неё сразу забываем.

Вычислим значение функции в нужной точке:
hello_html_11ef2813.png

2) Вычислим значения функции  на концах отрезка:
hello_html_m60be06fd.png

3) Дело сделано, среди «жирных» чисел выбираем наибольшее и наименьшее.

Ответ: hello_html_m1fe94605.png

Пример 2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = 3x4 12x2  5

на заданном отрезке [– 2;1] .

Решение: 1) Вычислим значения функции в критических точках, принадлежащих данному отрезку:
hello_html_7b7f6017.png .

Да, критических точек тут и правда целая команда: hello_html_2b14852a.png.

Первые две точки принадлежат нашему отрезку: 
hello_html_m53d3bbb4.png

Но третья оказывается вне игры: hello_html_m4493ad4c.png

(надеюсь, все сумели сосчитать hello_html_17c20f10.png)

Вычислим значения функции в подходящих точках:
hello_html_m4a5ceb45.png

Чтобы не заблудиться в трёх соснах, не забываем выделять результаты,

2) Вычислим значения функции на концах отрезка:
hello_html_m7eec4422.png

Среди «жирных» чисел выбираем наибольшее и наименьшее значения. Максимальное значение («пятёрка») достигается сразу в двух точках, и это необходимо указать в завершающей записи:

Ответ: hello_html_32e82365.png

Пример 3. Число 24 представьте в виде суммы двух неотрицательных слагаемых так, чтобы сумма квадратов этих чисел была наименьшей.

Решение: Пусть х – первое слагаемое, тогда (24-х) – второе слагаемое. Сумма квадратов этих чисел По условию задачи Рассмотрим функцию Она на интервале (0;24) непрерывна и дифференцируема. Найдем критические точки.

Это значение единственное, поэтому первое число – 12, второе – 12. Ответ: 24=12+12. Пример 4. Найти максимальное и минимальное значения функции f(x) =

на отрезке [– 8;0] .

Решение:  1) Найдём критические точки. Предварительно можно раскрыть скобки, но не особо сложнее использовать и правило дифференцирования произведения:
hello_html_m13e5c9.png

hello_html_m70c6c9b8.png – критические точки.

Обратите внимание, что точка hello_html_4021cfb.gif обращает знаменатель производной в ноль, но её следует отнести к критическим значениям, поскольку САМА ФУНКЦИЯ определена в данной точке. Кроме того, данная точка совпала с правым концом отрезка, а значит, в следующем пункте будет меньше расчётов. В следующем, но не сейчас:
hello_html_2bd5b529.gif

2) Вычислим значения функции на концах отрезка:
hello_html_7e0e47f.gif,hello_html_64afaeed.gif уже известно.

Ответ: hello_html_3c137c07.gif. Пример 5. Найдите размеры участка прямоугольной формы, имеющего наибольшую площадь, если его периметр равен 200 м.

Решение: A B

x

D C

b

Так как функция S(x) непрерывная на всей числовой прямой, то будем искать ее наибольшее значение на отрезке .

Значит, наибольшей будет площадь участка 2500 м2, а стороны участка равны 50 м и 50 м.

Ответ: 50 м и 50 м.

Задание:

1 вариант.

  1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = x3 3x2 – 72x  90 на отрезке [– 4;5] .

  2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = 2x4 8x2  5на отрезке [– 2;1] .

  3. Число 12 представьте в виде суммы двух неотрицательных слагаемых так, чтобы сумма квадратов этих чисел была наименьшей.

  4. Найти максимальное и минимальное значения функции f(x) = на отрезке [– 8;0] .

  5. Найдите размеры участка прямоугольной формы, имеющего наибольшую площадь, если его периметр равен 120 м.

2 вариант.

  1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = 2x312x2 – 30x 9 на отрезке [– 4;2] .

  2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = x4 4x2  8 на отрезке [– 1;2] .

  3. Число 12 представьте в виде суммы двух неотрицательных слагаемых так, чтобы сумма квадратов этих чисел была наименьшей.

  4. Найти максимальное и минимальное значения функции f(x) = на отрезке [– 8;0] .

  5. Найдите размеры участка прямоугольной формы, имеющего наибольшую площадь, если его периметр равен 160 м.


Критерии оценки:


Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-5,


Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-4,


Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3.


Требования к оформлению самостоятельной работы:


Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.























Самостоятельная работа № 40

Тема: Решение теста по теме «Свойства и график тригонометрических функций» .

Цель работы: повторить, закрепить основные понятия по теме «Свойства и график тригонометрических функций».

Методические рекомендации к выполнению теста: Решив задачу, нужно выбрать правильный ответ и записать номер, под которым он записан.

Задание:

1 вариант.

  1. Укажите четные функции. А) cos x; B) sin x ; C) tg x; D) ctg x.

  2. Определите на каком промежутке функция y = cos x возрастает: А) [ 0; π ], В) [ π; 2π ], С) [ 2π; 3π ], D) [ ].

  3. Определите на каком промежутке функция y = sin x убывает:

А) [ 0; ], В) [ ; π ], С) [ ; 2π ], D) [- ; 0 ].

  1. a) Укажите область определения функции y = cos x.
    A) [- ; ] ;B) (); C) [π; π ]; D) [ 0; 2π ]. б) Укажите область определения функции y = tg x.
    A) [- ; ] ; B) (); C) D)

  2. Периодом функции f(x) = cos x является: A) B) π ; C) ; D) 2π .

  3. Периодом функции f(x) = tg x является: A) B) π ; C) ; D) 2π .

  4. Найдите наименьший положительный период функции y = sin 3t .
    A) B) ; C) ; D) .

  5. Найдите наименьший положительный период функции y = tg (3t.
    A) B) ; C) ; D) 4π .

  1. Определите, на каком из рисунков изображен график четной тригонометрической функции.

А)

hello_html_57d177f5.pngB) hello_html_m1bba5779.png

C) hello_html_7fbeda10.png 1) А и С; 2) В ; 3) С; 4) В и С.



  1. Найдите множество значений функции y= -1/3 cos 3x.

A) (-1/3;1/3); B) [-3; 3]; C) [-1/3;0]; D) [-1/3;1/3].

2 вариант.

  1. Укажите нечетные функции. А) cos x; B) tg x, cos x ; C) tg x, sin x; D) ctg x, cos x.

  2. Определите на каком промежутке функция y = cos x убывает: А) [ -π; 0 ], В) [ π; 2π ], С) [ 0; π ], D) [ - ; 0 ].

  3. Определите на каком промежутке функция y = sin x возрастает: А) [ - ; ;], В) [ ; π ], С) [ π; ], D) [ -π; 0 ].

  4. a)Укажите область определения функции y = sin x. A) [- ; ] ;B) (); C) [π; π ]; D) [ 0; 2π ]. б) Укажите область определения функции y = ctg x. A)[- ; ] ; B) (); C) D)

  5. Периодом функции f(x) = sin x является: A) B) π ; C) ; D) 2π .

  6. Периодом функции f(x) = ctg x является: A) B) π ; C) ; D) 2π .

  7. Найдите наименьший положительный период функции y = cos( ). A) B) ; C) ; D) 4π .

  8. Найдите наименьший положительный период функции y = tg (2t. A) B) ; C) ; D) .

  9. Определите, на каком из рисунков изображен график четной тригонометрической функции.

А) B)

hello_html_57d177f5.pnghello_html_m1bba5779.png

C) 1) А и С; 2) В ; 3) С; 4) В и С.

hello_html_7fbeda10.png

  1. Найдите множество значений функции y = sin x3.

A) [-4; 0];B) [-4; -2]; C) [-3; 3]; D) [-3; -2];

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-10,с записью решения, даже с недочетами.

Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-8, с записью решения, даже с недочетами.

Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-5.

Требования к оформлению самостоятельной работы:

Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.

Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.

Самостоятельная работа № 41

Тема: Типовой расчет по теме «Иррациональные уравнения». 

Цель работы:

  • повторить понятия: равносильные уравнения, их свойства, потеря корней, посторонние корни, иррациональные уравнения;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал:

1) Ш.А. Алимов. Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс, глава 2, §8-9.

2) Способы решения:

Уединение радикала и возведение в степень.

Смысл таких преобразований в сведении данного иррационального уравнения к равносильному ему рациональному уравнению.

Уравнения, содержащие кубические радикалы.

Основным методом решения уравнений является последовательное возведение в куб обеих частей уравнения, используя формулы

hello_html_m19ab484b.gif, hello_html_7ce27d0.gif.

Решение типовых заданий:

Пример 1. Решить уравнениеhello_html_m31703e1.gif Решение: Уединим радикал hello_html_727bbaac.gif Это уравнение равносильно системе hello_html_mbbe3903.gif Решим уравнение (1): hello_html_m2e992f18.gif hello_html_m562ce331.gif hello_html_m11152785.gif hello_html_fa2cdec.gif hello_html_2baaa782.gif Найденное значение hello_html_m42749eb7.gif удовлетворяет условиям (2) и (3).

Ответ: – 1. Пример 2. а) Найдите корень уравнения = 3 . Решение: Возведем в квадрат правую и левую части уравнения: )2 = 32, 15 – 2х = 9, –2х = 9 –15, –2х = – 6, х = 3. Сделаем проверку. Для этого подставим число 3 в исходное уравнение: = 3, 3 = 3 – верно. Ответ: 3. б) Решить уравнение = . Решение: = => => => => х = – 1.

Ответ: –1. Пример 3. Решить уравнение = х -7 . Решение: = х -7 => => => => => х = 14. Ответ: 14.

Пример 4. Решите уравнение   = .

Решение:  = . => 7 х + х 2 2 = 2х 5 , =>

5 – х = , => 25 – 10х + х2 = х2 + 9х – 14 => 2 19х + 39 = 0,

D = (19)2 42 39= 361 – 312 = 49, х1= (19 + 7) : 4 = 6,5, х2 = (197) : 4 = 3,

Проверка:  а)  х1= 6,5,   = ,   = –  неверное равенство.

б) х2 = 3,   = ,   = , –  верное равенство.

Ответ: 3.

Пример 5. Решить уравнение hello_html_m1160f3de.gif

Решение: Возводим в куб обе части уравнения hello_html_598c15c7.gif получим hello_html_m497b4a68.gif Учитывая, что выражение в скобках равно 1 (см. условие), получаем hello_html_625fcde.gif hello_html_52925630.gif hello_html_mdabf98.gif Возводим в куб: hello_html_30511dcf.gif hello_html_5282e7df.gif hello_html_33e13c73.gif Проверкой убеждаемся, что hello_html_m19405068.gif и hello_html_a6221c5.gif корни уравнения.

Ответ: 80, – 109.

Задание:

1 вариант.


  1. Решить уравнение   = 4.

  2. а) Найдите корень уравнения = 5. б)Решить уравнение = .

  3. Решить уравнение = х 7 .

  4. Решите уравнение   = .

  5. Решить уравнение


2 вариант.


  1. Решить уравнение   = 5.

  2. а) Найдите корень уравнения = 5. б)Решить уравнение = .

  3. Решить уравнение = х 3 .

  4. Решите уравнение   = .

  5. Решить уравнение


Критерии оценки:


Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-5,


Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-4,


Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3.


Требования к оформлению самостоятельной работы:


Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.













Самостоятельная работа № 42

Тема: Типовой расчет по теме «Решение показательных и логарифмических уравнений».

Цель работы:

  • повторить понятия: показательные уравнения, логарифмические уравнения , их способы решения;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал: Ш.А. Алимов. Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс, глава 3, §12, глава 4, §19.

Решение типовых заданий:

Пример 1. Решить уравнение:

Решение: Ответ: 3.

Пример 2. Решите уравнение 

Решение: , Ответ: 1.

Пример 3. Решите уравнение.

Решение: Ответ: 4.

Пример 4. Решите уравнение Решение: Используем метод - решение логарифмических уравнений заменой.

ОДЗ: х > 0. Введем замену , чтобы записать исходное уравнение в виде стандартного квадратного уравнения. Тогда уравнение примет вид:

у2 – 4у + 4 = 0, ( у – 2)2 = 0, у – 2 = 0, у = 2.

Вернемся к  х : . Тогда по определению логарифма получаем, что х = 32, х = 9 - уд.ОДЗ. Ответ: 9.

Пример 5. Решите уравнение:.  

Решение: Вновь начнем решение с определения области допустимых значений уравнения. Она определяется следующей системой неравенств:

  hello_html_m4658276b.png

Воспользовавшись правилом сложения логарифмов, переходим к равносильному в области допустимых значений уравнению:

Основания логарифмов одинаковы, поэтому в области допустимых значений можно перейти к следующему квадратному уравнению:

(х + 2) (х + 3) = 1 х , х2 + 6х + 5 = 0, D = (6)2 41 5= 36 – 20 = 16,

х1= ( 6 4) : 2 = , х2 = ( 4) : 2 = 1.  

Первый корень не входит в область допустимых значений уравнения, второй — входит.

Ответ: x = -1.

Задание: 1 вариант. Решить уравнения:

1)2)3)4)

5)

2 вариант. Решить уравнения:

1) 2) 3) . 4)

5)

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-5,

Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-4,

Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3.


Требования к оформлению самостоятельной работы:

Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.



Самостоятельная работа № 43

Тема: Типовой расчет по теме «Решение логарифмических уравнений и неравенств» .

Цель работы:

  • повторить понятия: логарифмические уравнения и неравенства , их способы решения;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал: Ш.А. Алимов. Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс, глава 4, §19-20.

Решение типовых заданий:

Пример 1. Решите уравнение:

Решение: В область допустимых значений входят только те x, при которых выражение, находящееся под знаком логарифма, больше нуля. Эти значения определяются следующей системой неравенств:


С учетом того, что получаем промежуток, определяющий область допустимых значений данного логарифмического уравнения:.

На основании теоремы 1, все условия которой здесь выполнены, переходим к следующему равносильному квадратичному уравнению:

  D = (5)2 41 () = 25 + 56 = 81, х1= (5 + 9) : 2 = 7, х2 = (5 9) : 2 = .

В область допустимых значений входит только первый корень. Ответ: x = 7.

Пример 2. Решите уравнение:

Решение: Найдем ОДЗ по определению логарифма. ОДЗ:

.

Перепишем исходное уравнение, используя свойства суммы логарифмов и логарифма степени. Получим следующее уравнение:

Приравняем подлогарифмические выражения:

(3х ) (х) = ,

Найдем корни полученного квадратного уравнения:

D = (92)2 41 () = 8464 + 8436 = 16900,

х1= (92 + 130) : 6 = 37, х2 = (92 130) : 6 = .

Учитывая ОДЗ, корнем исходного логарифмического уравнения будет только х = 37.

Ответ: х = 37.

Пример 3. Решите уравнение:

Решение: Используем метод - решение логарифмических уравнений, переходя к одному основанию. ОДЗ: 

К логарифму по основанию x (второе слагаемое) вначале применим свойство логарифма степени, а затем по формуле замены основания логарифма приведем его к основанию 2:



Так как  то


Введем замену  тогда уравнение примет вид: у2 – 5у + 4 = 0.

Найдем корни полученного квадратного уравнения:

D = (5)2 41 = 25 = 9, y1= (5 + 3) : 2 = 4, y2 = (5 3) : 2 =1.

Вернемся к x, используя определения логарифма:

x = x = 16, x = , x = 2, Оба значения принадлежат ОДЗ.

Ответ: 16 и 2.

Пример 4. Решите уравнение:

Решение: Область допустимых значений уравнения определяется здесь легко: x > 0.

Используем подстановку: Уравнение принимает вид: 3у2 + 5у = 0,

D = (5)2 43 () = 25 + 24 = 49, у1= (5 + 7) : 6 = 1/3, у2 = (5 7) : 6 = .

Вернемся к x, используя определения логарифма:

x = , x = , x = 4. Оба ответа входят в область допустимых значений уравнения, поскольку являются положительными числами.

Ответ: и 4.

Пример 5. Решить неравенство

Решение: По определению логарифма, область допустимых значений:

Решение данного неравенства найдем с помощью метода интервалов, для этого левую часть разложим на множители. Решим квадратное уравнение 

D = ()2 41 3 = 1612 = 4, х1= ( + 2) : 2 = , х2 = ( 2) : 2 = .

Значит, левую часть неравенства можно представить в виде:

Отметим нули каждого множителя на числовой прямой и определим знаки неравенства в полученных интервалах:

hello_html_6f29e869.pngх

Учитывая знак неравенства, определим ОДЗ:

ОДЗ определили, теперь приступим к решению исходного логарифмического неравенства:


Представим правую часть неравенства как логарифм по основанию 2:


Перейдем от неравенства относительно логарифмов к неравенству для подлогарифмических функций: так как основание логарифма больше единицы ( 2 > 1 ), то знак неравенства не изменится:

Приравняем к нулю левую часть неравенства и решим полученное квадратное уравнение 

D = (4)2 41 () = 16 + 20 = 36, х1= (4 + 6) : 2 = 1, х2 = (4 6) : 2 = .

Таким образом, получили корни х1= 1, х2 = . Отметим точки на числовой оси и определим знаки неравенства в полученных интервалах.

hello_html_m4bc8c62a.pngх

Учитывая, что нас интересуют все значения х, при которых данное неравенство принимает положительные значения, то получаем следующие интервалы:  Это ответ, так как данные интервалы полностью принадлежат ОДЗ.

Ответ: 

Пример 6. Решить неравенство

Решение: Находим ОДЗ по определению логарифма.


Перейдем в неравенства от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма, при этом, так как основание логарифма меньше единицы ( 0,5 < 1 ), знак неравенства поменяем на противоположный:

С учетом ОДЗ, окончательно имеем, что   Ответ: 

Пример 7. Решить неравенство

Решение: ОДЗ: х > 0. Логарифмируем левую и правую часть неравенства:

.

По свойству логарифма степени получаем:


Ведем замену  Тогда наше неравенство принимает вид:

Решаем данное неравенство методом интервалов. Для этого левую часть надо разложить на множители. Приравняем ее к нулю и  решаем полученное квадратное уравнение

  D = (1)2 41 () = 1 + 8 = 9, y1= (1 + 3) : 2 = 2, y2 = (1 3) : 2 = .

Неравенство примет вид: Отметим точки на числовой оси и определим знаки неравенства в полученных интервалах.

hello_html_5bd89a69.pngх

Решением будет отрезок  Перейдем обратно к x:

.

В пересечении с ОДЗ получаем этот же промежуток  Ответ:

Пример 8. Решить неравенство

Решение: По определению логарифма, находим ОДЗ:

Используя свойство логарифма степени и формулы замены основания, приведем второй логарифм к основанию 3:

Введем замену   y + Перенесем 2 в левую часть и приводим к общему знаменателю:


Данное неравенство равносильно следующему: y(y2) > 0.

Для решение полученного неравенства применим метод интервалов, для этого трехчлен y2 разложим на множители. Приравняем его к нулю и решим полученное квадратное уравнение y2 D = (2)2 41 2 = 4 .

Дискриминант меньше нуля, и старший коэффициент a = 1 > 0, следовательно, при любом значении y выражение y2 > 0. А тогда произведение y(y2) положительно, когда y > 0. Перейдем к x, для этого делаем обратную замену:

Пересекая с ОДЗ, окончательно имеем промежуток :  Ответ: 

Задание:

1 вариант.

  1. Решите уравнение:

  2. Решите уравнение:

  3. Решите уравнение:

  4. Решите уравнение:

  5. Решить неравенство

  6. Решить неравенство

  7. Решить неравенство

  8. Решить неравенство

2 вариант.

  1. Решите уравнение:

  2. Решите уравнение:

  3. Решите уравнение:

  4. Решите уравнение:

  5. Решить неравенство

  6. Решить неравенство

  7. Решить неравенство

  8. Решить неравенство


Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-8,

Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-3,5-7,

Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-2,5-6.

Требования к оформлению самостоятельной работы:

Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.

Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.

Самостоятельная работа № 44

Тема: Составление опорного конспекта «Метод интервалов».

Цель работы:

  • повторить понятия: метод интервалов, применение для различных функций;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

План работы:

  1. Решение простейших неравенств, представленных в виде произведения линейных множителей , методом интервалов;

  2. Решение простейших неравенств, разлагающихся на произведения линейных множителей , методом интервалов;

  3. Решение простейших дробно – рациональных неравенств без кратных корней методом интервалов;

  4. Решение неравенств с множителями , не имеющих критических точек , методом интервалов;

  5. Решение простейших неравенств с кратными корнями методом интервалов( метод лепестков);

Методические рекомендации к составлению конспекта:


Конспект– это работа с другим источником.

Цель –зафиксировать ,переработать тот или иной текст.

Конспект представляет собой дословные выписки из текста источника. При этом конспект это не полное переписывание чужого текста. При написании конспекта сначала прочитывается текст –источник, в нем выделяются основные положения , подбираются примеры , идет перекомпоновка материала, а затем уже оформляется текст конспекта. Конспект может быть полным, когда работа идет со всем текстом источника или неполным, когда интерес представляет какой-либо один или несколько вопросов, затронутых в источнике.

Общую последовательность действий при составлении конспекта можно определить таким образом:

1. Уяснить цели и задачи конспектирования.

2.Внимательно прочитать текст параграфа, главы и отметить информационно значимые места.

3. Составить конспект.


Критерии оценки:


Оценка «5» выставляется если : содержание соответствует теме, материал проработан глубоко, грамотно и полно использованы источники, приведены сложные примеры;

Оценка «4» выставляется , если : материал проработан не глубоко, использованы не все источники, приведены сложные примеры ;

Оценка «3» выставляется, если : материал проработан не полностью, приведены примеры.


Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.

Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.



Самостоятельная работа № 45

Тема: Типовой расчет по теме «Метод интервалов». 

Цель работы:

  • повторить понятия: метод интервалов при решении неравенств, применение метода интервалов при решении неравенств различной сложности ;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал: Самостоятельная работа № 59.

Решение типовых заданий:

Пример 1. Решите неравенства: а) (х ) (х) ( х , б) (х ) (х) ( х

Решение: а) (х ) (х) ( х , х = 0, х = 0, х х1 = 3, х2 = 2, х3 = 4.




Ответ:

б) (х ) (х) ( х х = 0, х = 0, х х1 = 2, х2 = 5, х3 = 3.






Ответ: .

Пример 2. Решите неравенства: а) x3 x < 0, б) (.

Решение: а) x3 x < 0, x(x2 1) < 0, x(x2 1 ) = 0, х1 = 0, x2 1 = 0, х2 = 1, х3 = 1.






Ответ: .

б) (, () = 0, 0,

D = (6)2 41 8 = 36 32 = 4, x1= (6 2) : 2 = 4, x2 = (6 2) : 2 = . x 1 = 0, x = 1.






Ответ: .

Пример 3. Решите неравенства: а) б)

Решение: а) ,


hello_html_6f29e869.png

Ответ: .

б) ,


hello_html_6f29e869.png


Ответ: .

Пример 4. Решите неравенства: а) , б) ,

Решение: а) , H < 0, D < 0, a > 0 => P = . Ответ: P = .

б) , H ≥ 0, D < 0, a > 0 => P = . Ответ: P = R.

Пример 5. Решите неравенства: а)

б) .

Решение: а)

х = 0, х = 0, х

х1 = 2, х2 = 4, х3 = 5.

n = 2,1петля n = 3,2петли






, x . Ответ: .


б) ,

,

x1 = 0, n = 4, 3 петли, х = 0, х2 = 4, n = 3, 2петли,

х = 0, х3 = , n = 2, 1петля , х х4 = 3.






Ответ: .

Задание:

1 вариант.

  1. Решите неравенства: а) (х ) (х) ( х , б) (х ) (х) ( х

  2. Решите неравенства: а) x3 4x < 0, б) (.

  3. Решите неравенства: а) б)

  4. Решите неравенства: а) , б) ,

  5. Решите неравенства: а) б) .

2 вариант.

  1. Решите неравенства: а) (х ) (х) ( х , б) (х ) (х) ( х

  2. Решите неравенства: а) x3 x < 0, б) (.

  3. Решите неравенства: а) б)

  4. Решите неравенства: а) , б) ,

  5. Решите неравенства: а) б) .


Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-5, Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-4, Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3.

Требования к оформлению самостоятельной работы:

Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.





Самостоятельная работа № 46

Тема:  Решение теста по теме «Решение показательных и логарифмических неравенств». 

Цель работы: повторить, закрепить основные понятия по теме «Решение показательных и логарифмических неравенств». Методические рекомендации к выполнению теста: Решив задачу, нужно выбрать правильный ответ и записать номер, под которым он записан.

Задание: 1часть - показательные неравенства.

hello_html_m35ca6730.jpghello_html_m705fe75d.jpghello_html_2d5f3207.jpghello_html_36957471.jpg



2часть - логарифмические неравенства.

1 вариант.

1)Найти сумму целых решений неравенства hello_html_m5481e694.gif.


а) 9;

б) 10;

в) 6;

г) 3;



2)Найдите наименьшее целое решение неравенства hello_html_m5fc2fe41.gif.

а) 0;

б) 5;

в) 6;

г) 1;


3)Найдите число целых решений неравенства hello_html_mbcaf721.gif.

а) 3;

б) 2;

в) 1;

г) 4;


4)Решение неравенства hello_html_71742088.gif имеет вид:


а) hello_html_26fe0df8.gif;

б) hello_html_54f4aef2.gif;

в) hello_html_5e67c39b.gif;

г) hello_html_m287f7270.gif;

2 вариант.

1 ) Найти сумму целых решений неравенства . а) 35;

б) 36;

в) 45;

г) 15;


2) Найдите наименьшее целое решение неравенства.

а) 1;

б) 0;

в) 2;

г) –1 ;


3)Найдите число целых решений неравенства.

а) 6;

б) 5;

в) 4;

г) 3;


4)Решение неравенства имеет вид:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено все задание 1 и 2 части, с записью решения, даже с недочетами.

Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание 1 и 2 части (80%), с записью решения, даже с недочетами.

Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание 1 и 2 части (50%) .

Требования к оформлению самостоятельной работы:

Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради № 2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.







Самостоятельная работа № 47

Тема: Типовой расчет по теме «Производная».

Цель работы:

  • повторить понятия: производная степенной функции, правила вычисления производных суммы, разности, произведения, частного, сложных функций, правила вычисления производных элементарных функций;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал:

Ш.А. Алимов. Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс, глава 8-9.

Решение типовых заданий: конспект.

Задание:

1 вариант. ЧастьА.

А1. Найдите производную функции y = ex - x7 . А2. Найдите производную функции у = ехsinx.

1) = ех + cosx; 2) = ех - cosx; 3) = ½ е2x - cosx; 4) = е2x - cosx.

А3. Вычислите значение производной функции у=3ех+cos2x в точке хо=0. 1) 3; 2) -1; 3) 1; 4)2. А4. Вычислите значение производной функции у= в точке хо=2.

1) 11,5; 2)10,5; 3) 11; 4) 9,5.

А5. Вычислить значение производной функции у=ех sinx + x2 в точке xo=0. 1) 0; 2) 1; 3) 2; 4) 3. А6. Вычислите значение производной функции у = cos2x + 4x в точке хо=. 1) 2; 2) -2; 3) 4;4) 0. А7. Вычислите значение производной функции у= - ln2x в точке хо = 2. 1) 3; 2) 4; 3) 2; 4) 1. А8. Вычислите значение производной функции у= -5х3+ 25x2 – 24x +23 в точке хо = 1. 1) 15; 2)11; 3) 17; 4) 9. А9. Найдите производную функции . 1) ; 2) ; 3) ; 4) . А10. Вычислите значение производной функции в точке хо= . 1) 2; 2) 4; 3) -2; 4)1/2.

Часть В.

В1.Найдите производную функции:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

В2. а) К графику функции проведена касательная через точку с абсциссой . Вычислите тангенс угла наклона этой касательной к оси абсцисс.

б) Напишите уравнение касательной к кривой в точке с абсциссой .

В3. а) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

б) Площадь прямоугольника равна 81 см2. Найдите наименьший возможный периметр этого прямоугольника.

В4.Найдите область определения, промежутки монотонности, точки экстремума, экстремумы функции:

В5.Найдите корень (или сумму корней, если их несколько) уравнения f ' (x) = 0, если f(x) = 4x + 8/x.

2 вариант. ЧастьА.

А1. Найдите производную функции y = e -x -2x7 . 1) y´= - e-x -14x6; 2) y´= - e-x –; 3) y´= -e-x –2x6; 4) y´= e-x -14x6.

А2. Найдите производную функции у=4х3+ е .

1) у´=12х2 ; 2) у´=12х2 – е ; 3) у´=х4 - е ; 4) у´=12х2 – хе -х-1.



А3. Найдите производную функции у = x2 + sinx в точке х0 =.

1) 2 -1; 2) 2 + 1; 3) 2 -1; 4) 2. А4. Вычислите значение производной функции в точке хо=2. 1) 10; 2) 12; 3) 8; 4) 6.



А5. Найдите производную функции у = sinх ex – 9x3 в точке xo=0. 1) 0; 2) -1; 3) 1; 4) -9.

А6. Найдите значение производной функции у = 5cos x – 7x в точке хо = 0 . 1) -14; 2) -7;3) -9; 4) -2.

А7. Найдите производную функции .

1) 4х – 6+; 2) (2х - 3)2+; 3) 8х – 12 +; 4) 4х – 6 - . А8. Вычислите значение производной функции в точке хо= 4.

1) 21; 2) 24; 3) 0; 4) 3,5.

А9. Вычислите значение производной функции y = ln(2x+11)+ 5x в точке хо= -5. 1) 7; 2) -25; 3) 6; 4) 1. А10. Вычислите значение производной функции в точке хо= .

1) 1; 2) 2; 3) 0; 4) 4.

Часть В.

В1.Найдите производную функции:

1) ; 2) ;3) ; 4) ;

В2. а) К графику функции проведена касательная через точку с абсциссой . Вычислите тангенс угла наклона этой касательной к оси абсцисс.

б)Напишите уравнение касательной к кривой в точке с абсциссой .

В3. а) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции

на отрезке .

б )Площадь прямоугольника равна 25 см2. Найдите наименьший возможный периметр этого прямоугольника.

В4.Найдите область определения, промежутки монотонности, точки экстремума, экстремумы функции:

В5.Найдите корень (или произведение корней, если их несколько) уравнения f ' (x) = 0,

если f(x) = 3x + 9/x.

Критерии оценки:



Оценка «5» выставляется, если : выполнено задание : часть А № 1-10, часть В № 1-5.

Оценка «4» выставляется, если : выполнено задание : часть А № 1-8, часть В № 1-4.

Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание : часть А № 1-10.

Требования к оформлению самостоятельной работы:

Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.

Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.



Самостоятельная работа № 48

Тема: Составление опорного конспекта «Геометрический смысл производной».



Цель работы:

  • повторить понятия: геометрический смысл производной, уравнение касательной, способ построения касательной к параболе, признак возрастания и убывания функций, экстремумы функции ;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.



План работы:



  1. Геометрический смысл производной, формула, примеры;

  2. Уравнение касательной, формула, примеры ;

  3. Способ построения касательной к параболе;

  4. Признак возрастания и убывания функций, примеры;

  5. Экстремумы функции, примеры.


Методические рекомендации к составлению конспекта:


Конспект– это работа с другим источником.

Цель –зафиксировать ,переработать тот или иной текст.

Конспект представляет собой дословные выписки из текста источника. При этом конспект это не полное переписывание чужого текста. При написании конспекта сначала прочитывается текст –источник, в нем выделяются основные положения , подбираются примеры , идет перекомпоновка материала, а затем уже оформляется текст конспекта. Конспект может быть полным, когда работа идет со всем текстом источника или неполным, когда интерес представляет какой-либо один или несколько вопросов, затронутых в источнике.

Общую последовательность действий при составлении конспекта можно определить таким образом:

1. Уяснить цели и задачи конспектирования.

2.Внимательно прочитать текст параграфа, главы и отметить информационно значимые места.

3. Составить конспект.


Критерии оценки:


Оценка «5» выставляется если : содержание соответствует теме, материал проработан глубоко, грамотно и полно использованы источники, приведены сложные примеры;


Оценка «4» выставляется , если : материал проработан не глубоко, использованы не все источники, приведены сложные примеры ;


Оценка «3» выставляется, если : материал проработан не полностью, приведены примеры.


Требования к оформлению самостоятельной работы:



Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.















Самостоятельная работа № 49

Тема: Составление опорного конспекта «Правила дифференцирования».



Цель работы:

  • повторить понятия: правила вычисления производных суммы, разности, произведения, частного, сложных функций ;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.



План работы:



  1. Правила вычисления производных суммы и разности функций, примеры;

  2. Правила вычисления производных произведения функций, примеры;

  3. Правила вычисления производных частного функций, примеры;

  4. Правила вычисления производных сложных функций, примеры;.


Методические рекомендации к составлению конспекта:


Конспект– это работа с другим источником.

Цель –зафиксировать ,переработать тот или иной текст.

Конспект представляет собой дословные выписки из текста источника. При этом конспект это не полное переписывание чужого текста. При написании конспекта сначала прочитывается текст –источник, в нем выделяются основные положения , подбираются примеры , идет перекомпоновка материала, а затем уже оформляется текст конспекта. Конспект может быть полным, когда работа идет со всем текстом источника или неполным, когда интерес представляет какой-либо один или несколько вопросов, затронутых в источнике.

Общую последовательность действий при составлении конспекта можно определить таким образом:

1. Уяснить цели и задачи конспектирования.

2.Внимательно прочитать текст параграфа, главы и отметить информационно значимые места.

3. Составить конспект.


Критерии оценки:


Оценка «5» выставляется если : содержание соответствует теме, материал проработан

глубоко, грамотно и полно использованы источники, приведены сложные примеры;


Оценка «4» выставляется , если : материал проработан не глубоко, использованы не все источники, приведены сложные примеры ;


Оценка «3» выставляется, если : материал проработан не полностью, приведены примеры.


Требования к оформлению самостоятельной работы:



Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.









Самостоятельная работа № 50

Тема: Типовой расчет по теме «Правила дифференцирования».

Цель работы:

  • повторить понятия: правила дифференцирования, производная показательной ,степенной функции ;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал:

  1. Ш.А. Алимов. Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс, глава 8, §46-47.

  2. Самостоятельная работа № 64.

Решение типовых заданий:

Пример 1. Найти производную функции  y = .

Решение: По свойству дифференцирования произведения,

hello_html_m667262fc.png.

Используя формулу для нахождения производной показательной и степенной функций, получим: hello_html_m33ce9c10.png , hello_html_m7a155e45.png

Для нахождения производной использовались правила дифференцирования и таблица производных функций. Ответ: hello_html_m7259a439.png .

Пример 2. Найти производную функции  y = .

Решение: Воспользуемся правилом дифференцирования частного:

hello_html_m6c0be978.png.

Производная суммы/разности равна сумме/разности производных и константу можно выносить за знак производной, поэтому имеем:

hello_html_m6d9e2531.png,

hello_html_m4661b9f4.png,

hello_html_5aeb11a1.png, hello_html_303e1e97.png , hello_html_47c000ce.png .

Ответ: hello_html_6873cbb0.png .

Пример 3. Найти производную функции y =   .

Решение: По правилу дифференцирования частного:

hello_html_m2652334c.png ,

Далее воспользуемся формулами из таблицы производных - формулам для производных степенной и тригонометрических функций, а также учитываем тот факт, что производная суммы равна сумме производных:

hello_html_6bfbb3b0.png ,

hello_html_4f5a6440.png ,

hello_html_345a5152.png , hello_html_3dd92d7d.png .

Ответ: hello_html_5f22ddde.png .

Пример 4. Найти производную функции  hello_html_mb62401c.png .

Решение: По свойству дифференцирования частного получаем:

hello_html_m1bbacdfd.png ,

Далее пользуясь формулами для производных логарифмической и степенной функции, получим:

hello_html_m7e5e4019.png , hello_html_7fc6a7d9.png , hello_html_m68b092d7.png .

Ответ: hello_html_ecc0376.png . Пример 5. а) Найти производную функции  .

Решение:

Примените таблицу основных производных и формулы производных линейной комбинации и отношения функций.







Ответ:  .

б) Вычислить производную функции y = cos ln ().

Решение: Примените таблицу основных производных и формулу производной сложной функции.

y / = sin ln (3x2 ) (ln (3x2)) / = sin ln (3x2 ) / =

= sin ln (3x2 ) .

Ответ:  sin ln (3x2 ) .

Задание:

1 вариант. Найти производную функции: 



1) y = . 2) y = . 3) y = . 4) .5) а) . б) y = cos ln (2x2).


2 вариант. Найти производную функции:


1) y = . 2) y = . 3) y = . 4)   .5) а) , б) y = cos ln (4x2).


Критерии оценки:



Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-5,



Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-4,



Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3.



Требования к оформлению самостоятельной работы:



Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.



Самостоятельная работа № 51

Тема: Составление опорного конспекта «Первообразная».



Цель работы:

  • повторить понятия: первообразная, формулы и правила для нахождения первообразных ;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом .

План работы:

  1. Определение понятия «первообразная»;

  2. Примеры на вычисление первообразных;

  3. Таблица первообразных;

  4. Правила для нахождения первообразных;

  5. Примеры нахождения первообразных по формулам и правилам;

  6. Определение понятия криволинейная трапеция, интеграл;

  7. Формулы для вычисления площадей с помощью интегралов ;



Методические рекомендации к составлению конспекта:


Конспект– это работа с другим источником.

Цель –зафиксировать ,переработать тот или иной текст.

Конспект представляет собой дословные выписки из текста источника. При этом конспект это не полное переписывание чужого текста. При написании конспекта сначала прочитывается текст –источник, в нем выделяются основные положения , подбираются примеры , идет перекомпоновка материала, а затем уже оформляется текст конспекта. Конспект может быть полным, когда работа идет со всем текстом источника или неполным, когда интерес представляет какой-либо один или несколько вопросов, затронутых в источнике.

Общую последовательность действий при составлении конспекта можно определить таким образом:

1. Уяснить цели и задачи конспектирования.

2.Внимательно прочитать текст параграфа, главы и отметить информационно значимые места.

3. Составить конспект.

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : содержание соответствует теме, материал проработан глубоко, грамотно и полно использованы источники, приведены сложные примеры;

Оценка «4» выставляется , если : материал проработан не глубоко, использованы не все источники, приведены сложные примеры ;

Оценка «3» выставляется, если : материал проработан не полностью, приведены примеры.


Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.





























Самостоятельная работа № 52

Тема: Типовой расчет по теме «Правила нахождения первообразных».  

Цель работы:

  • повторить понятия: правила нахождения первообразных;

  • выработка умений находить первообразную, график которой проходит через данную точку ;

  • выработка умений находить первообразные функции в случаях, непосредственно сводящиеся к применению таблицы первообразных и трех правил нахождения первообразных;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал:

  1. Ш.А. Алимов. Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс, глава 10, §54-55.

  2. Самостоятельная работа № 66.

Решение типовых заданий:

Пример 1. Найти общий вид первообразных данных функций :

1) f(x) = x2  cosx;   2) f(x) = 3; 3) f(x) = 10 sinx;  4) f(x) = 2sin4x; 5) f(x) = 5x4x2  ; 6) f(x) = (3x – 1)2; 7) f(x) =. .

Решение: 1) F(x) = x3/3 – sinx  C; 2) F(x) =3x  C; 3) F(x) = 10cosx  C; 

4) F(x) = 1/2 cos4x + C;5) F(x) = x5  x3/3 – 2;  6) F(x) = (3x – 1)3/9 + C; 7) F(x) = /3 + C.

Ответ: 1) F(x) = x3/3 – sinx  C; 2) F(x) =3x  C; 3) F(x) = 10cosx  C; 

4) F(x) = 1/2 cos4x + C;5) F(x) = x5  x3/3 – 2;  6) F(x) = (3x – 1)3/9 + C; 7) F(x) = /3 + C.

Пример 2. Для функции  f(x) = 4x + 1/x2 найти первообразную, график которой проходит через точку M(-1; 4).

Решение: F(x) = 2x2– 1/x + C. , F(x) = 2()2– 1/() + C =2 C = 4, 4 = 3 + C, C = 1

Ответ: F(x) = 2х2 – 1/х + 1.

Пример 3. Докажите , что функция F(x) является первообразной для функции f(x).

a) f(x) = 2x; F(x) = x2 , б) f(x) = – sin x; F(x) = сos x , в) f(x) = 6x2 + 4; F(x) = 2x3 + 4x, г) f(x) = 1/cos2 x; F(x) = tg x .

Решение: a) f(x) = 2x; F(x) = x2 , F (x)= (x2) = 2x = f(x);

б) f(x) = – sin x; F(x) = сos x , F (x)= (cos x) = – sin x = f(x);

в) f(x) = 6x2 4; F(x) = 2x3 4x, F (x)= (2x3 4x) = 6x2 4 = f(x);

г) f(x) = 1/cos2 x; F(x) = tg x , F (x)= (tg x) = 1/cos2 x= f(x).

Ответ: F(x) является первообразной для f(x). Пример 4. Найдите первообразные функций: a) f(x) = x4 x2 x ; б) g(u) = ; в) h(x) = (x3 + 1)2 ; г) v(x) = cos (5x ). Решение: Для нахождения первообразных функций воспользуемся таблицей первообразных. а) x5/5 - одна из первообразных функции х4; x3/3 - одна из первообразных функции х2; x2/2 - одна из первообразных функции х; х - одна из первообразных функции 1. По правилу 1 нахождения первообразных F(x) =   - первообразная функции f(х);

б) функцию g(u) запишем в виде g(u) =  u - 1/3 u3/2.

3/2u2/3 - одна из первообразных функции u-1/3; 2/5u5/2 - одна из первообразных функции u3/2;  G(x) = 3/2u2/3  2/5u5/2  - первообразная функции g(u);

в) h(x) = (x3 + 1)2 = x6 2x3 .

x7/7 - одна из первообразных функции х6; x4/4 - одна из первообразных функции х3; х - одна из первообразных функции 1.

По правилам 1 и 2 нахождения первообразных H(x) = 1/7x7  1/2x4xC - первообразная функции h(х);

г) v(x) = cos (5x ) , sinu - одна из первообразных функции cosu; V(x) = 1/5 sin(5x)  C - первообразная функции v(х).

Ответ: a) F(x) =   ; б) G(x) = 3/2u2/3  2/5u5/2  в) H(x) = 1/7x7  1/2x4xC; г) V(x) = 1/5 sin(5x)  C.

Пример 5. Найдите первообразную: a) g(x)= (4-7x)5 ; б) g(x)= x- 2; в) t(x) = (5+2x)3.

Решение: a) G (x) = ; б) G(x) = ; в) T(x) = .

Ответ: a) G (x) = ; б) G(x) = ; в) T(x) = .

Задание: 1 вариант.

  1. Найти общий вид первообразных данных функций :1) f(x) = 4x3  2cosx;   2) f(x) = 5; 3) f(x) = 5 sinx;  4) f(x) = 3sin4x; 5) f(x) = 6x5x4  ; 6) f(x) = (4x – 1)2; 7) f(x) =. .

  2. Для функции  f(x) = 6x + 1/x2 найти первообразную, график которой проходит через точку M(-1; 8).

  3. Докажите , что функция F(x) является первообразной для функции f(x).

a) f(x) = 4x; F(x) = 2x2 , б) f(x) = – 2sin x; F(x) = 2сos x ,

в) f(x) = 6x2 7; F(x) = 2x3 7x, г) f(x) = 1/sin2 x; F(x) = ctg x .

  1. Найдите первообразные функций: a) f(x) = 10x4 4x2 2x ; б) g(u) = ; в) h(x) = (x3 3)2 ; г) v(x) = cos (7x ).

  2. Найдите первообразную: a) g(x)= (45x)5 ; б) g(x)= 2x- 2; в) t(x) = (54x)5.

2 вариант.

  1. Найти общий вид первообразных данных функций :1) f(x) = 8x3  3cosx;   2) f(x) = 7; 3) f(x) = 4 sinx;  4) f(x) = 2sin4x; 5) f(x) = 6x5x4  ; 6) f(x) = (7x – 1)3; 7) f(x) =. .

  2. Для функции  f(x) = 8x  1/x2 найти первообразную, график которой проходит через точку M(-1; 8).

  3. Докажите , что функция F(x) является первообразной для функции f(x).

a) f(x) = 6x; F(x) = 3x2 , б) f(x) = – 4sin x; F(x) = 4сos x ,

в) f(x) = 12x2 5; F(x) = 4x3 5x, г) f(x) = /cos2 x; F(x) = 2tg x .

  1. Найдите первообразные функций: a) f(x) = 5x4 6x2 4x ; б) g(u) = ; в) h(x) = (x3 4)2 ; г) v(x) = cos (8x ).

  2. Найдите первообразную: a) g(x)= (43x)5 ; б) g(x)= 4x- 2; в) t(x) = (56x)5.

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-5, Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-4, Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3.

Требования к оформлению самостоятельной работы:

Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.

Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.

















Самостоятельная работа № 53

Тема: Типовой расчет по теме «Вычисление площадей с помощью интегралов».

 Цель работы:

  • повторить понятия: первообразная, интеграл, правила нахождения первообразных;

  • навык вычисления интегралов, нахождение площади криволинейной трапеции;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал:

  1. Ш.А. Алимов. Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс, глава 10, §56-58.

  2. Самостоятельная работа № 66.

Решение типовых заданий:

Пример 1. а)Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = х2 2, у = 0, х = 2, х = 1.

Решение: Это типовая формулировка задания. Первый и важнейший момент решения – построение чертежа. Причем, чертеж необходимо построить правильно. 

При построении чертежа я рекомендую следующий порядок: сначала лучше построить все прямые (если они есть) и только потом – параболы, гиперболы, графики других функций. Графики функций выгоднее строить поточечно. Выполним чертеж (обратите внимание, что уравнение у = 0  задает ось  ОХ): Штриховать криволинейную трапецию я не буду, здесь очевидно, о какой площади идет речь. Решение продолжается так:hello_html_m6ea081fc.png

На отрезке [– 2;1]  график функции у = х2 2  расположен над осью ОХ, поэтому:


Ответ: S = 9 eд2.

б)Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у =  , х = 1  и координатными осями.

Решение: Выполним чертеж: Если криволинейная трапеция расположена под осью OX (или, по крайней мере, не выше данной оси), то её площадь можно найти по формуле: S =  .
В данном случае:
hello_html_m521974c9.png

Ответ: 

Пример 2.а)Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями  у = 2х , у =  .hello_html_m34e0aa0e.png

Решение: Сначала нужно выполнить чертеж. Вообще говоря, при построении чертежа в задачах на площадь нас больше всего интересуют точки пересечения линий. Найдем точки пересечения параболы у = 2х   и прямой у =   . Это можно сделать двумя способами.

Первый способ – аналитический. Решаем уравнение:

=  , 3х = 0, х(3) = 0, х1 = 0, х2 = 3.

Значит, нижний предел интегрирования а = 0, верхний предел интегрирования b = 3 . Этим способом лучше, по возможности, не пользоваться. Гораздо выгоднее и быстрее построить линии поточечно, при этом пределы интегрирования выясняются как бы «сами собой». Тем не менее, аналитический способ нахождения пределов все-таки приходится иногда применять, если, например, график достаточно большой, или поточенное построение не выявило пределов интегрирования (они могут быть дробными или иррациональными). Возвращаемся к нашей задаче: рациональнее сначала построить прямую и только потом параболу. Выполним чертеж: Повторюсь, что при поточечном построении пределы интегрирования чаще всего выясняются «автоматом».

А теперь рабочая формула: Если на отрезке[a;b  некоторая непрерывная функция f(x) больше либо равна некоторой непрерывной функции g(x), то площадь фигуры, ограниченной графиками данных функций и прямыми x = a ,x = b , можно найти по формуле:

S = .

Здесь уже не надо думать, где расположена фигура – над осью или под осью, и, грубо говоря, важно, какой график ВЫШЕ (относительно другого графика), а какой – НИЖЕ.

В рассматриваемом примере очевидно, что на отрезке [0;3]   парабола располагается выше прямой, а поэтому из 2х   необходимо вычесть .

Завершение решения может выглядеть так:

Искомая фигура ограничена параболой y = 2х   сверху и прямой у =    снизу.
На отрезке
[0;3]  2х  , по соответствующей формуле:

Ответ: S = 4,5 eд2.   б)Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , y = x  , y = 0  , x = 3 .

Решение: Сначала выполним чертеж: Площадь фигуры считается с помощью двух определенных интегралов. Действительно:hello_html_m6cf9f122.jpg

1) На отрезке [– 1;1]  над осью OX расположен график прямой

y = x   ;

2) На отрезке [1;3]   над осью OX  расположен график гиперболы

 

Совершенно очевидно, что площади можно (и нужно) приплюсовать, поэтому:

Ответ: 

Пример 3.a) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиямиhello_html_dfee4aa.png

 ,2x  .
Решение: Представим уравнения в виде  и выполним поточечный чертеж:
Из чертежа видно, что верхний предел у нас «хороший»:
  b = 1.
Но чему равен нижний предел?! Понятно, что это не целое число, но какое? В таких случаях приходиться уточнять пределы интегрирования аналитически.

Найдем точки пересечения прямой    и параболы  .
Для этого решаем уравнение
3x2 = 2x 3x2 2x D = 4 12 = 16, = 4, , x1 = , x2 = 1. Действительно, a = .

На отрезке по соответствующей формуле:

Ответ: 

б)Найти площадь фигуры, ограниченной линиямиhello_html_3f5273e5.png

y =  , y = 2x  .

Решение: Выполним чертеж:
На отрезке , по соответствующей формуле:

Ответ: S = 10 eд2.
hello_html_m2e7c3126.png

Пример 4.a) Найти площадь фигуры, ограниченной линиями x , xy = 3 .

Решение: Выполним чертеж . На отрезке, по соответствующей формуле:

Ответ: 

б) В каком отношении парабола у = х2 + 2 делит площадь четырёхугольника, вершины которого находятся в точках с координатами (0;0); (2;0); (0;6); (2;6)? 

Решение:



Ответ: 4:5 или 5:4.

Пример 5.a) Найти площадь фигуры, ограниченной параболой

у = х2 +10 и касательными к этой параболе, проведёнными из точки (0;1). 

Решение: Неизвестна абсцисса точки касания х = а. Чтобы её найти, составим уравнение касательной:  y = f (x0) .

Имеем f(x) = x2 f (x) = 2x;значит, f(a) = a2

f (a) = 2a; уравнение касательной имеет вид:

y = a2 2 a(x ) = a2 2 ax ;

Уравнение касательной y = (1)

По условию касательная должна проходить через точку (0;1), то есть координаты точки (0;1) должны удовлетворять уравнению (1):

1 = 2a0 ; , a1 = a2 = 3.

Подставим найденные значения в уравнение (1):hello_html_m59ee8dfd.jpghello_html_m1a016af7.jpg

Если a =  то y = 9 10 Если a = 3 , то y =  .

Получили два уравнения касательных y =  

Параболы y = х2 + 10 они касаются в точках А( 3;19) и В(3;19).

Найдём площадь фигуры DACB: SDACB = 2SDCB ,





SDACB = 2 9 = 18.

Ответ: 18.

б) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

у = 4/x, y = х, х = 4.

Решение:

SABC = SMBAD SMBCD; SMBAD = 1/2(MB )MD = = 1/2 (2 ) 2 = 6;



hello_html_m4ddcefe6.jpg



Ответ: 6 – 4ln2.

Задание: 1 вариант.

  1. а)Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = х2 2, у = 0, х = 3, х = 3.

б)Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у =  , х = 2  и координатными осями.

  1. а)Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями  у = 4х , у =  .

б)Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , y = x  , y = 0  , x = 4 .

  1. a) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями  , 5x  .

б)Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y =  , y = 2x  .

  1. a)Найти площадь фигуры, ограниченной линиями x , xy = 5 .

б) В каком отношении парабола у = х2 3 делит площадь четырёхугольника, вершины которого находятся в точках с координатами (0;0); (2;0); (0;6); (2;6)? 

  1. a)Найти площадь фигуры, ограниченной параболой у = 3х2 4 и касательными к этой параболе, проведёнными из точки (0;1). 

б) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = 4/x, y = х, х = 6.

2 вариант.

  1. a)Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = 3х2 4, у = 0, х = 1, х = 1.

б)Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у =  , х = 3  и координатными осями.

  1. а)Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями  у = 6х , у =  .

б)Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , y = x  , y = 0  , x = 4 .

  1. a)Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями  , 4x  .

б)Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y =  , y = 2x  .

  1. a)Найти площадь фигуры, ограниченной линиями x , xy = 7 .

б) В каком отношении парабола у = х2 4 делит площадь четырёхугольника, вершины которого находятся в точках с координатами (0;0); (2;0); (0;6); (2;6)? 

  1. a)Найти площадь фигуры, ограниченной параболой у = 3х2 13 и касательными к этой параболе, проведёнными из точки (0;1). 

б) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = 4/x, y = х, х = 8.

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-5, Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-4,

Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3.

Требования к оформлению самостоятельной работы:

Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.

Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.

















Самостоятельная работа № 54

Тема: Решение теста по теме «Первообразная».

Цель работы: повторить, закрепить основные понятия по теме «Первообразная».

Методические рекомендации к выполнению теста: Решив задачу, нужно выбрать правильный ответ и записать номер, под которым он записан.

Задание:

1 вариант.

  1. Найдите первообразную функции f(x) = 4x3– 3x2 , график которой проходит через

точку M(–1; 2).

а) 0,5x4 x3 + 5; б) x4 x3; в) x4 x3 – 4; г) таких нет.

  1. Для функции f(х) = еx найти первообразную, график которой проходит через точку М(0; 2).

а) F(х) = е х+ 3; б) F(х) = еx; в) F(х) = ex +1; г) F{х) =ex 1.

  1. Какая из данных функций является первообразной для функции y = 2x3 – 3x2?

а) 3x2 – 6x; б) 0,5x4 x3 + 5; в) x4 x3; г) таких нет.

  1. Какая из данных функций является первообразной для функции y = sin2x?

а) cos2x; б) –cos2x; в) sin2x; г) –sin2x.

  1. На каком из указанных промежутков функция F(x) = cos2x – 2 + 1 является первообразной для функции f(x) = – 2sin2x – ?

а) ; б) ; в) ; г) .

  1. Для функции y = –1–2x2 найдите первообразную, график которой проходит через

точку М(–3; 12). а) y = –xx3 – 2; б) y = –xx3 – 9; в) y = –xx3 + 7; г) свой ответ.

  1. Известно, что F1, F2, F3– первообразные для f(x) = 4x3 –3x2 на R, графики которых проходят через точки M(–1; 2), N(1; 4), K(2; 5) соответственно. Перечислите, в каком порядке (сверху вниз) графики этих функций пересекают ось ординат?

а) F1, F2 ,F3; б) F1, F3, F2; в) F2, F1, F3; г) свой ответ.

  1. Материальная точка движется прямолинейно со скоростью v(t) = 12t + 4. Найдите закон движения точки, если в момент времени t = 1c пройденный путь составил 12 м.

а) s(t) = 6t2 + 4t + 3; б) s(t) = 3t2 + 4t; в) s(t) = 6t2 + 2t – 2; г) свой ответ.

  1. Какое расстояние пройдет материальная точка (см. задание 8) за первые 3 секунды своего движения?

а) 69 м; б) 60 м; в) 39 м; г) свой ответ.

  1. Найдите наименьшее значение первообразной функции y = 2x + 4, проходящей через

точку (2; 8) . а) –8; б) –5; в) –6; г) свой ответ.



2 вариант.

  1. Найдите первообразную функции f(x) = 4x–3x2 ,график которой проходит через точку M(1; 0),.

а) x3+2x–6; б) –x3+2x2–6; в) –x3+2x2–1; г) таких нет.

  1. Для функции f(х) = найти первообразную, график которой проходит через точку М(1;3).

а) F(х) = 4 +; б) F(х) = – 5; в) F(х) =+ 4; г) F{х) = x3 4.

  1. Какая из данных функций является первообразной для функции y = 6x3 – 3x5?

а) 2x3 – 0,5x6 – 4; б) 12x – 15x4; в) x5 + x3 + 1; г) таких нет.

  1. Какая из данных функций является первообразной для функции y = 2sin2x – 1?

а) sin3xx; б) xsin3x; в) sin2x + 5; г) 1 – sin2x.

  1. На каком из указанных промежутков функция F(x) = 2sinx – –3 является первообразной для функции f(x)= 2cosx – ? а) ; б) ; в) ; г) .

  2. Для функции y=3x2+2 найдите первообразную, график которой проходит через

точку М(–2; –6).

а) y = x3 + 2x + 6; б) y = x3 + 2x – 6; в) y = 3x3 + 8; г) свой ответ.

  1. Известно, что F1, F2, F3– первообразные для f(x)= 4x–3x2 на R, графики которых проходят через точки M(1; 0), N(–2; 1), K(0; –3) соответственно. Перечислите, в каком порядке (сверху вниз) графики этих функций пересекают ось ординат?

а) F1, F2 ,F3; б) F3, F2, F1; в) F2, F1, F3; г) таких нет.

  1. Материальная точка движется прямолинейно со скоростью v(t) = 3t – 2. Найдите закон движения точки, если в момент времени t = 2c пройденный путь составил 3 м.

а) s(t) = 3t2 – 2t – 5; б) s(t) = 1,5t2 – 2 + 1t; в) s(t) = t2 – 2t3 + 1; г) свой ответ.

  1. Какое расстояние пройдет материальная точка (см. задание 8) за первую 1 секунду своего движения?

а) 4 м; б) 5 м; в) 3 м; г) свой ответ

  1. Найдите наибольшее значение первообразной функции y = –1 – 2x, проходящей через

точку (1; 2).

а) 1,75; б) –1,75; в) –1; г) свой ответ



Критерии оценки:



Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-10,с записью решения, даже с недочетами.



Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-8, с записью решения, даже с недочетами.



Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-5.



Требования к оформлению самостоятельной работы: Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.



Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.

















































Самостоятельная работа № 55



Тема: Составление кроссворда по теме «Алгебра и начала анализа».

Цель работы: повторение и закрепление знаний, в части правильности написания терминов и определений к ним; формирование умений поиска информации.

Методические рекомендации к составлению кроссвордов

  1. Ознакомьтесь со списком рекомендуемой литературы и источников.

  2. Повторите теоретический материал, соответствующий теме кроссворда, воспользовавшись материалом учебника, справочной литературой, конспектом лекции..

  3. Запишите ответы по определениям по горизонтали и вертикали.

  4. Проведите анализ, проверьте орфографию.

  5. Оформите второй вариант кроссворда с заполненной сеткой.

Задание:

По горизонтали:

1) Одна из координат точки в пространстве.

5) Закон умножения ab = ba.

8) Математическое действие, обозначенное точкой.

10) Арифметическое действие.

11) Действие, заключающееся в нахождении числа по данному логарифму.

По вертикали:

2) Из определения логарифма следует основное логарифмическое …

3) Как называется равенство с переменными.

4) Одна из тригонометрических функций.

6) Логарифм по основанию е называется …

7) Равенство двух отношений.

9) Разность F(b) – F(a) называется …

12 ) Логарифм по основанию 10 называется …

13) Если F / (x) = f (x), то F(x) называется …

14) Основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции.

15) Точное предписание, которое задает вычислительный процесс.





Кроссворд по теме «Алгебра и начала анализа».



10






9















































































8


6



















13



































































































5 7







2











14



































12
































15










3


































4


























1










































11



























































































































































Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : отгаданы все слова верно и построена таблица с ответами,

Оценка «4» выставляется , если : отгаданы все слова верно, но не построена таблица с ответами,

Оценка «3» выставляется, если : отгаданы не все слова верно, не построена таблица с ответами,.

Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.

Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.
















































Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "УМК по прфессии Повар- кондитер."

Методические разработки к Вашему уроку:

Получите новую специальность за 3 месяца

Инженер лифтового оборудования

Получите профессию

Фитнес-тренер

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ #U041c#U0415#U0422#U041e#U0414.#U0423#U041a-#U042f #U041a #U0412#U0421#U0420-#U041f#U041e#U0412#U0410#U0420#U0410,2014-2016 #U0443#U0447.#U0433..docx


ГБПОУ СПО (ССУЗ) «Чебаркульский профессиональный техникум»













Методические указания

к выполнению внеаудиторной самостоятельной работы обучающихся

по дисциплине Математика

для профессии 260807.01 . Повар- кондитер.












2015 г.


Рассмотрено и одобрено на заседании ПЦК

Протокол № ___ от___________20__г.

Председатель ПЦК __________________________


Составлены в соответствии с программой дисциплины Математика для профессии

260807.01. Повар- кондитер.








Составитель: Зайцева С.Е., преподаватель














































Пояснительная записка


Цель методических указаний: оказание помощи обучающимся в выполнении внеаудиторной самостоятельной работы по дисциплине Математика.

Настоящие методические указания содержат работы, которые позволят обучающимся самостоятельно овладеть профессиональными знаниями и умениями, опытом творческой деятельности при решении проблем учебного и профессионального уровня и направлены на формирование следующих компетенций:

ОК 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, исходя из цели и способов ее достижения, определенных руководителем.

ОК 3. Анализировать рабочую ситуацию, осуществлять текущий и итоговый контроль, оценку и коррекцию собственной деятельности, нести ответственность за результаты своей работы.

ОК 4. Осуществлять поиск информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач.

ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.

ОК 6. Работать в команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, клиентами.

ОК 7.Готовить к работе производственное помещение и поддерживать его санитарное состояние.

ОК 8. Исполнять воинскую обязанность, в том числе с применением полученных профессиональных знаний (для юношей).

В результате выполнения самостоятельных работ по дисциплине Математика обучающиеся должны:

уметь:

    • Выполнять арифметические действия, сочетая устные и письменные приемы, применение вычислительных устройств;

    • Решать уравнения и неравенства (линейные, квадратные);

    • Вычислять значения числовых и буквенных выражений, осуществляя необходимые подстановки и преобразования;

    • Находить значения корня натуральной степени, степени с рациональным показателем, логарифма, используя при необходимости вычислительные устройства;

    • Проводить по формулам и правилам преобразования буквенных выражений, включающих степени, радикалы, логарифмы, тригонометрические функции;

    • Строить графики изученных функций;

    • Решать показательные и логарифмические уравнения и неравенства; простейшие иррациональные и тригонометрические уравнения;

    • Вычислять производные и первообразные элементарных функций, используя справочные материалы;

    • Исследовать в простейших случаях функции на монотонность, находить наибольшие и наименьшие значения функций; строить графики многочленов с использованием аппарата математического анализа;

    • Распознавать на чертежах и моделях пространственные формы; соотносить объекты с их описаниями, изображениями;

    • Описывать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве ;

    • Изображать основные многогранники и круглые тела;

    • Решать планиметрические и простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов);

    • Использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы;

    • Решать простейшие комбинаторные задачи методом перебора, а также с использованием формул;



    • Вычислять в простейших случаях вероятности событий на основе подсчета числа исходов;

    • Использовать приобретенные знания и умения для анализа числовых данных, представленных в виде таблиц, диаграмм;


знать:

    • Выполнение арифметических действий, сочетая устные и письменные приемы, применение вычислительных устройств;

    • Решение уравнений и неравенств (линейных, квадратных);

    • Вычисление значений числовых и буквенных выражений, осуществляя необходимые подстановки и преобразования;

    • Нахождение значений корня натуральной степени, степени с рациональным показателем, логарифма, используя при необходимости вычислительные устройства;

    • Преобразования буквенных выражений, включающих степени, радикалы, логарифмы, тригонометрические функции;

    • Построение графиков изученных функций;

    • Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств; простейших иррациональных и тригонометрических уравнений;

    • Вычисление производных и первообразных элементарных функций, используя справочные материалы;

    • Исследование в простейших случаях функций на монотонность, нахождение наибольших и наименьших значений функций; построение графиков многочленов с использованием аппарата математического анализа;

    • Вычисление в простейших случаях площадей и объемов с использованием определенного интеграла;

    • Распознавание на чертежах и моделях пространственных форм; соотношение объектов с их описанием, изображением;

    • Описание взаимного расположения прямых и плоскостей в пространстве ;

    • Изображение основных многогранников и круглых тел ;

    • Решение планиметрических и простейших стереометрических задач на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов);

    • Использование при решении стереометрических задач планиметрических фактов и методов;

  • Решение простейших комбинаторных задач методом перебора, а также с использованием формул;

  • Вычисление в простейших случаях вероятности событий на основе подсчета числа исходов;

  • Использование приобретенных знаний и умений для анализа числовых данных, представленных в виде таблиц, диаграмм;

  • Значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике; широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе;

  • Значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии;

  • Универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности;

Описание каждой самостоятельной работы содержит: тему, цели работы, задания, основной теоретический материал, алгоритм выполнения типовых задач, порядок выполнения работы, формы контроля, требования к выполнению и оформлению заданий. Для получения дополнительной, более подробной информации по изучаемым вопросам, приведено учебно-методическое и информационное обеспечение.






Перечень видов самостоятельной работы


темы

Виды самостоятельной работы

Кол-во часов

Форма контроля

Введение.


0


ГЕОМЕТРИЯ

60


Тема 1. Прямые и плоскости в пространстве.

16


1.1 Повторение основных понятий планиметрии.

  1. Типовой расчет по теме «Решение треугольников».

  2. Составление опорного конспекта «Четырехугольники».

  3. Решение теста по теме «Планиметрия».

6

Таблица в тетради, просмотр работы, оценка.

1.2 Аксиомы стереометрии.


0


1.3 Параллельность и перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве.

  1. Составление опорного конспекта «Параллельность прямых и плоскостей».

  2. Типовой расчет по теме «Параллельность плоскостей».

  3. Составление опорного конспекта «Перпендикулярность прямых, прямой и плоскости».

  4. Типовой расчет по теме «Перпендикуляр и наклонная».

  5. Решение теста по теме «Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве».

10

Таблица в тетради, просмотр работы, оценка.

Тема 2.Многогранники.

  1. Типовой расчет по теме «Прямоугольный параллелепипед».

  2. Типовой расчет по теме «Пирамида».

  3. Типовой расчет по теме «Усеченная пирамида».

  4. Составление опорного конспекта «Правильные многогранники».

  5. Решение теста по теме «Многогранники».

10

Таблица в тетради, просмотр работы, оценка.

Тема 3.Тела и поверхности вращения.

  1. Составление опорного конспекта «Цилиндр» .

  2. Типовой расчет по теме «Цилиндр».

  3. Типовой расчет по теме «Конус».

  4. Типовой расчет по теме «Усеченный конус». 

  5. Решение теста по теме «Тела вращения».

10

Таблица в тетради, просмотр работы, оценка.

Тема 4. Измерения в геометрии.


  1. Типовой расчет по теме «Объём прямоугольного параллелепипеда».

  2. Типовой расчет по теме «Расчет объёма прямой и наклонной призмы».

  3. Типовой расчет по теме «Объём цилиндра».

  4. Типовой расчет по теме «Объём конуса».

  5. Типовой расчет по теме «Объём сегмента, слоя, сектора шара».

  6. Решение теста по теме «Объёмы тел».

  7. Составление кроссворда по теме «Тела вращения».

14

Таблица в тетради, просмотр работы, оценка.

Тема 5. Координаты и векторы.


  1. Типовой расчет по теме «Простейшие задачи в координатах».

  2. Типовой расчет по теме «Уравнение сферы».

  3. Составление опорного конспекта «Умножение вектора на число» .

  4. Типовой расчет по теме «Скалярное произведение векторов».

  5. Решение теста по теме «Координаты и векторы».

10

Таблица в тетради, просмотр работы, оценка.

КОМБИНАТОРИКА, СТАТИСТИКА И ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

6


Тема 6. Элементы комбинаторики.

  1. Составление опорного конспекта «Основные понятия комбинаторики».

2

Таблица в тетради, просмотр работы, оценка.

Тема 7. Элементы теории вероятностей.


  1. Типовой расчет по теме «Элементы комбинаторики и теории вероятностей».

  2. Решение теста по теме «Элементы комбинаторики и теории вероятностей».

4

Тема 8. Элементы математической статистики.

0


АЛГЕБРА

56


Тема 9. Развитие понятия о числе.

12


9.1 Повторение базисного материала курса основной школы.

  1. Составление опорного конспекта « Степень числа и ее свойства».

  2. Составление опорного конспекта «Пропорция».

  3. Решение криптограмм по теме «Уравнения».

  4. Типовой расчет по теме «Решение систем уравнений и неравенств».

  5. Составление опорного конспекта «Функция, график и её свойства».

10

Таблица в тетради, просмотр работы, оценка.

9.2 Развитие понятия о числе.

  1. Составление опорного конспекта «Действия над комплексными числами».

2

Тема 10. Корни, степени и логарифмы.

  1. Составление опорного конспекта «Понятие о корне n-й степени».

  2. Типовой расчет по теме «Понятие о корне n-й степени».

  3. Решение теста по теме «Степень с рациональным, действительным показателем, ее свойства».

  4. Типовой расчет по теме «Преобразование степенных, показательных и логарифмических выражений».

8

Таблица в тетради, просмотр работы, оценка.

Тема 11. Основы тригонометрии.


  1. Составление опорного конспекта «Синус, косинус, тангенс числового аргумента, их знаки» .

  2. Типовой расчет по теме «Формулы сложения».

  3. Типовой расчет по теме «Синус, косинус и тангенс двойного и половинного угла».

  4. Типовой расчет по теме «Решение простейших тригонометрических уравнений».

  5. Типовой расчет по теме «Решение тригонометрических уравнений».

  6. Решение теста по теме «Решение тригонометрических неравенств».

12

Таблица в тетради, просмотр работы, оценка.

Тема 12. Функции, их свойства и графики.


  1. Составление опорного конспекта «Область определения и множество значений тригонометрических функций» .

  2. Типовой расчет по теме «Область определения и множество значений тригонометрических функций».

  3. Типовой расчет по теме «Экстремумы функции».

  4. Типовой расчет по теме «Нахождения наибольшего и наименьшего значения функции».

8

Таблица в тетради, просмотр работы, оценка.

Тема 13. Степенные, показательные, логарифмические и тригонометрические функции.

  1. Решение теста по теме «Показательная и логарифмическая функции».

  2. Решение теста по теме «Свойства и график тригонометрических функций».

4

Таблица в тетради, просмотр работы, оценка.

Тема 14. Уравнения и неравенства .


  1. Типовой расчет по теме «Иррациональные уравнения».

  2. Типовой расчет по теме «Решение показательных и логарифмических уравнений».

  3. Типовой расчет по теме «Решение логарифмических уравнений и неравенств» .

  4. Составление опорного конспекта «Метод интервалов».

  5. Типовой расчет по теме «Метод интервалов». 

  6. Решение теста по теме «Решение показательных и логарифмических неравенств». 

12

Таблица в тетради, просмотр работы, оценка.

Тема 15. НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА.


  1. Типовой расчет по теме «Производная».

  2. Составление опорного конспекта «Геометрический смысл производной».

  3. Составление опорного конспекта «Правила дифференцирования».

  4. Типовой расчет по теме «Правила дифференцирования».

  5. Составление опорного конспекта «Первообразная».

  6. Типовой расчет по теме «Правила нахождения первообразных».  

  7. Типовой расчет по теме «Вычисление площадей с помощью интегралов».

  8. Решение теста по теме «Первообразная».

  9. Составление кроссворда по теме «Алгебра и начала анализа».(1 ч)

17

Таблица в тетради, просмотр работы, оценка.

Итого:


139



















Тема внеаудиторной самостоятельной работы.

Срок выполнения


1 курс


1

Типовой расчет по теме «Решение треугольников».

1 семестр, 1 неделя

2

Составление опорного конспекта «Четырехугольники».

1 семестр, 2 неделя

3

Решение теста по теме «Планиметрия».

1 семестр, 3 неделя

4

Составление опорного конспекта «Параллельность прямых и плоскостей».

1 семестр, 4 неделя

5

Типовой расчет по теме «Параллельность плоскостей».

1 семестр, 5 неделя

6

Составление опорного конспекта «Перпендикулярность прямых, прямой и плоскости».

1 семестр, 6 неделя

7

Типовой расчет по теме «Перпендикуляр и наклонная».

1 семестр, 8 неделя

8

Решение теста по теме «Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве» .

1 семестр, 9 неделя

9

Типовой расчет по теме «Прямоугольный параллелепипед».

1 семестр, 10 неделя

10

Типовой расчет по теме «Пирамида».

1 семестр, 11 неделя

11

Типовой расчет по теме «Усеченная пирамида».

1 семестр, 12 неделя

12

Составление опорного конспекта «Правильные многогранники».

1 семестр, 13 неделя

13

Решение теста по теме «Многогранники».

1 семестр, 14 неделя

14

Составление опорного конспекта «Цилиндр» .

1 семестр, 14 неделя

15

Типовой расчет по теме «Цилиндр».

1 семестр, 15 неделя

16

Типовой расчет по теме «Конус».

1 семестр, 16 неделя

17

Типовой расчет по теме «Усеченный конус». 

1 семестр, 17 неделя

18

Решение теста по теме «Тела вращения».

2 семестр, 19 неделя

19

Типовой расчет по теме «Объём прямоугольного параллелепипеда».

2 семестр, 20 неделя

20

Типовой расчет по теме «Расчет объёма прямой и наклонной призмы».

2 семестр, 21 неделя

21

Типовой расчет по теме «Объём цилиндра».

2 семестр, 22 неделя

22

Типовой расчет по теме «Объём конуса».

2 семестр, 23 неделя

23

Типовой расчет по теме «Объём сегмента, слоя, сектора шара».

2 семестр, 24 неделя

24

Решение теста по теме «Объёмы тел».

2 семестр, 25 неделя

25

Составление кроссворда по теме «Тела вращения».

2 семестр, 25 неделя

26

Типовой расчет по теме «Простейшие задачи в координатах».

2 семестр, 26 неделя

27

Типовой расчет по теме «Уравнение сферы».

2 семестр, 27 неделя

28

Составление опорного конспекта «Умножение вектора на число» .

2 семестр, 28 неделя

29

Типовой расчет по теме «Скалярное произведение векторов».

2 семестр, 29 неделя

30

Решение теста по теме «Координаты и векторы».

2 семестр, 30 неделя

31

Составление опорного конспекта «Основные понятия комбинаторики».

2 семестр, 31 неделя

32

Типовой расчет по теме «Элементы комбинаторики и теории вероятностей».

2 семестр, 32 неделя

33

Решение теста по теме «Элементы комбинаторики и теории вероятностей».

2 семестр, 33 неделя

34

Составление опорного конспекта « Степень числа и ее свойства».

2 семестр, 34 неделя

35

Составление опорного конспекта «Пропорция».

2 семестр, 35 неделя

36

Решение криптограмм по теме «Уравнения».

2 семестр, 37 неделя

37

Типовой расчет по теме «Решение систем уравнений и неравенств».

2 семестр, 38 неделя

38

Составление опорного конспекта «Функция, график и её свойства».

2 семестр, 38 неделя

39

Составление опорного конспекта «Действия над комплексными числами».

2 семестр, 40 неделя


2 курс


40

Составление опорного конспекта «Понятие о корне n-й степени».

3 семестр, 1 неделя

41

Типовой расчет по теме «Понятие о корне n-й степени».

3 семестр, 1 неделя

42

Решение теста по теме «Степень с рациональным, действительным показателем, ее свойства».

3 семестр, 2 неделя

43

Типовой расчет по теме «Преобразование степенных, показательных и логарифмических выражений».

3 семестр, 5 неделя

44

Составление опорного конспекта «Синус, косинус, тангенс числового аргумента, их знаки» .

3 семестр, 6 неделя

45

Типовой расчет по теме «Формулы сложения».

3 семестр, 7 неделя

46

Типовой расчет по теме «Синус, косинус и тангенс двойного и половинного угла».

3 семестр, 8 неделя

47

Типовой расчет по теме «Решение простейших тригонометрических уравнений».

3 семестр,10 неделя

48

Типовой расчет по теме «Решение тригонометрических уравнений».

3 семестр,11 неделя

49

Решение теста по теме «Решение тригонометрических неравенств».

3 семестр,11 неделя

50

Составление опорного конспекта «Область определения и множество значений тригонометрических функций» .

3 семестр,13 неделя

51

Типовой расчет по теме «Область определения и множество значений тригонометрических функций».

3 семестр,14 неделя

52

Типовой расчет по теме «Экстремумы функции».

3 семестр,15 неделя

53

Типовой расчет по теме «Нахождения наибольшего и наименьшего значения функции ».

3 семестр,17 неделя

54

Решение теста по теме «Показательная и логарифмическая функции».

4 семестр,19 неделя

55

Решение теста по теме «Свойства и график тригонометрических функций» .

4 семестр,20 неделя

56

Типовой расчет по теме «Иррациональные уравнения».

4 семестр,21 неделя

57

Типовой расчет по теме «Решение показательных и логарифмических уравнений».

4 семестр,22 неделя

58

Типовой расчет по теме «Решение логарифмических уравнений и неравенств» .

4 семестр,25 неделя

59

Составление опорного конспекта «Метод интервалов».

4 семестр,26 неделя

60

Типовой расчет по теме «Метод интервалов». 

4 семестр,27 неделя

61

Решение теста по теме «Решение показательных и логарифмических неравенств». 

4 семестр,28 неделя

62

Типовой расчет по теме «Производная».

4 семестр,29 неделя

63

Составление опорного конспекта «Геометрический смысл производной».

4 семестр,30 неделя

64

Составление опорного конспекта «Правила дифференцирования».

4 семестр,31 неделя

65

Типовой расчет по теме «Правила дифференцирования».

4 семестр,32 неделя

66

Составление опорного конспекта «Первообразная».

4 семестр,36 неделя

67

Типовой расчет по теме «Правила нахождения первообразных».  

4 семестр,37 неделя

68

Типовой расчет по теме «Вычисление площадей с помощью интегралов».

4 семестр,37 неделя

69

Решение теста по теме «Первообразная».

4 семестр,38 неделя

70

Составление кроссворда по теме «Алгебра и начала анализа».(1 ч)

4 семестр,39 неделя




Методические рекомендации к составлению опорного конспекта.

Конспект – это работа с другим источником.

Цель –зафиксировать ,переработать тот или иной текст, подготовка к типовому расчету.

Конспект представляет собой дословные выписки из текста источника. При этом конспект это не полное переписывание чужого текста. При написании конспекта сначала прочитывается текст –источник, в нем выделяются основные положения , подбираются примеры , идет перекомпоновка материала, а затем уже оформляется текст конспекта. Конспект может быть полным, когда работа идет со всем текстом источника или неполным, когда интерес представляет какой-либо один или несколько вопросов, затронутых в источнике.

План работы:

1. Уяснить цели и задачи конспектирования.

2.Внимательно прочитать текст параграфа, главы и отметить информационно значимые места.

3. Составить конспект.

Критерии оценки: Оценка «5» выставляется если :

- содержание соответствует теме,

- материал проработан глубоко,

- грамотно и полно использованы источники,

- имеется наглядность (чертежи, примеры),

Оценка «4» выставляется , если :

- материал проработан не глубоко,

-использованы не все источники,

Оценка «3» выставляется, если :

-нет наглядности,

- материал проработан не полностью

Методические рекомендации к выполнению типового расчета.

Типовой расчет содержит теоретический материал ( или ссылку на источник информации (опорный конспект из ВСР, учебник, интернет-ссылка)), типовые примеры, задание для самостоятельной работы.

План работы:

  1. Сделать конспект теоретического материала (если это не опорный конспект из ВСР), просмотреть и повторить (если это опорный конспект из ВСР).

  2. Проанализировать типовые примеры.

  3. Решить задание для самостоятельной работы, используя теоретический материал, типовые примеры.

Критерии оценки: Оценка «5» выставляется если :

- материал проработан глубоко,

- имеется чертежи, примеры ,

- задание выполнено полностью,

Оценка «4» выставляется , если :

- материал проработан не глубоко

- задание выполнено больше, чем на 50%,

Оценка «3» выставляется, если :

- материал проработан не полностью, но записаны типовые примеры,

- задание выполнено меньше, чем на 50%

Методические рекомендации к выполнению теста.

При работе с тестом записывается номер задания и буква (правильный ответ).

Критерии оценки: Оценка «5» выставляется если :

- правильно выбраны ответы, записано решение подробно.

Оценка «4» выставляется , если :

- правильно выбраны ответы, записано решение подробно не у всех заданий.

Оценка «3» выставляется, если : правильно выбраны ответы или с ошибками, не записано решение или записано кратко.



ПРИЛОЖЕНИЕ №1


Основные учебники :


  1. Алгебра и начала анализа 10-11 кл. Ш.А.Алимов и др. М., «Просвещение», 2009 г.

  2. Геометрия 10-11 кл. Л.С. Атанасян. М., «Просвещение»,2011 г.


Дополнительные учебники :



  1. Алгебра и начала математического анализа 10-11 кл. Колмогоров А.Н. и др. М., «Просвещение»,2009г.

  2. Алгебра и начала математического анализа 10-11 кл. Башмаков М.И. М., «Дрофа»,2009г.

  3. Геометрия 10-11 кл. Потоскуев Е.В., Звавич Л.И. М., «Просвещение», 2009г.




Интернет-ссылки для ВСР.

Алгебра:

  1. http://math-prosto.ru/?page=pages/library-math/alimov-10-11.php

  2. http://nashol.com/2012102467590/algebra-i-nachala-matematicheskogo-analiza-10-11-klass-alimov-sh-a-kolyagin-u-m-2012.html

  3. http://nsportal.ru/shkola/algebra/library/algebra-i-nachala-analiza-10-11-klass-po-uchebniku-sha-alimova-i-dr

  4. http://nashol.com/2014021575799/algebra-i-nachalo-matematicheskogo-analiza-10-klass-muravin-g-k-2013.html

  5. http://elkniga.ucoz.ru/load/multimedijnye_posobija/matematika/multimedijnoe_posobie_po_matematike_uroki_algebry_kirilla_i_mefodija_10_11_klass/14-1-0-15

Геометрия:

  1. http://nashol.com/knigi-po-matematike/#po_godam_2012

  2. http://nashol.com/2011102361137/geometriya-uchebnik-10-11-klass-atanasyan-l-s-butuzov-v-f-kadomcev-s-b-2009.html

  3. http://4book.org/uchebniki-rossiya/10-klass/62-geometriya-uchebnik-dlya-10-11-klassov-atanasyan-l-s-i-dr

  4. http://neovit.net/edu/math1.htm

  5. http://elkniga.ucoz.ru/publ/uchebniki/10_klass/geometrija_atanasjan_l_s_uchebnik_dlja_10_11_klassa_obshheobrazovatelnykh_uchrezhdenij/98-1-0-311





И любые другие аналогичные из интернета по разделам «Алгебра и начала анализа», «Геометрия».





Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "УМК по прфессии Повар- кондитер."

Получите профессию

Секретарь-администратор

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ #U041c#U0415#U0422#U041e#U0414.#U0423#U041a-#U042f #U041a #U0412#U0421#U0420-#U041f#U041e#U0412#U0410#U0420#U0410,2015-2017 #U0443#U0447.#U0433..docx


ГБПОУ СПО (ССУЗ) «Чебаркульский профессиональный техникум»













Методические указания

к выполнению внеаудиторной самостоятельной работы обучающихся

по дисциплине Математика

для профессии 19.01.17. Повар- кондитер.












2015 г.


Рассмотрено и одобрено на заседании ПЦК

Протокол № ___ от___________20__г.

Председатель ПЦК __________________________


Составлены в соответствии с программой дисциплины Математика для профессии

19.01.17. Повар- кондитер.








Составитель: Зайцева С.Е., преподаватель















































Пояснительная записка


Цель методических указаний: оказание помощи обучающимся в выполнении внеаудиторной самостоятельной работы по дисциплине Математика.

Настоящие методические указания содержат работы, которые позволят обучающимся самостоятельно овладеть профессиональными знаниями и умениями, опытом творческой деятельности при решении проблем учебного и профессионального уровня и направлены на формирование следующих компетенций:

ОК 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, исходя из цели и способов ее достижения, определенных руководителем.

ОК 3. Анализировать рабочую ситуацию, осуществлять текущий и итоговый контроль, оценку и коррекцию собственной деятельности, нести ответственность за результаты своей работы.

ОК 4. Осуществлять поиск информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач.

ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.

ОК 6. Работать в команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, клиентами.

ОК 7.Готовить к работе производственное помещение и поддерживать его санитарное состояние.

ОК 8. Исполнять воинскую обязанность, в том числе с применением полученных профессиональных знаний (для юношей).

Освоение содержания учебной дисциплины «Математика» обеспечивает достижение студентами следующих результатов:

  • личностных:

    • сформированность представлений о математике как универсальном языке науки, средстве моделирования явлений и процессов, идеях и методах математики;



    • понимание значимости математики для научно-технического прогресса, сформированность отношения к математике как к части общечеловеческой культуры через знакомство с историей развития математики, эволюцией математических идей;



    • развитие логического мышления, пространственного воображения, алгоритмической культуры, критичности мышления на уровне, необходимом для будущей профессиональной деятельности, для продолжения образования и самообразования;



    • овладение математическими знаниями и умениями, необходимыми в повседневной жизни, для освоения смежных естественно-научных дисциплин и дисциплин профессионального цикла, для получения образования в областях, не требующих углубленной математической подготовки;



    • готовность и способность к образованию, в том числе самообразованию, на протяжении всей жизни; сознательное отношение к непрерывному образованию как условию успешной профессиональной и общественной деятельности;

    • готовность и способность к самостоятельной творческой и ответственной деятельности;



    • готовность к коллективной работе, сотрудничеству со сверстниками в обра-зовательной, общественно полезной, учебно-исследовательской, проектной и других видах деятельности;



    • отношение к профессиональной деятельности как возможности участия в решении личных, общественных, государственных, общенациональных проблем;

  • метапредметных:



    • умение самостоятельно определять цели деятельности и составлять планы деятельности; самостоятельно осуществлять, контролировать и корректировать деятельность; использовать все возможные ресурсы для достижения поставленных целей и реализации планов деятельности; выбирать успешные стратегии в различных ситуациях;



    • умение продуктивно общаться и взаимодействовать в процессе совместной деятельности, учитывать позиции других участников деятельности, эффективно разрешать конфликты;



    • владение навыками познавательной, учебно-исследовательской и проектной деятельности, навыками разрешения проблем; способность и готовность к самостоятельному поиску методов решения практических задач, применению различных методов познания;



    • готовность и способность к самостоятельной информационно-познавательной деятельности, включая умение ориентироваться в различных источниках информации, критически оценивать и интерпретировать информацию, получаемую из различных источников;



    • владение языковыми средствами: умение ясно, логично и точно излагать свою точку зрения, использовать адекватные языковые средства;



    • владение навыками познавательной рефлексии как осознания совершаемых действий и мыслительных процессов, их результатов и оснований, границ своего знания и незнания, новых познавательных задач и средств для их достижения;

    • целеустремленность в поисках и принятии решений, сообразительность и интуиция, развитость пространственных представлений; способность воспринимать красоту и гармонию мира;

  • предметных:

    • сформированность представлений о математике как части мировой культуры и месте математики в современной цивилизации, способах описания явлений реального мира на математическом языке;



    • сформированность представлений о математических понятиях как важнейших математических моделях, позволяющих описывать и изучать разные процессы и явления; понимание возможности аксиоматического построения математических теорий;



    • владение методами доказательств и алгоритмов решения, умение их применять, проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач;

    • владение основными понятиями о плоских и пространственных геометрических фигурах, их основных свойствах; сформированность умения распознавать геометрические фигуры на чертежах, моделях и в реальном мире; применение изученных свойств геометрических фигур и формул для решения геометрических задач и задач с практическим содержанием;



    • сформированность представлений о процессах и явлениях, имеющих вероятностный характер, статистических закономерностях в реальном мире, основных понятиях элементарной теории вероятностей; умений находить и оценивать вероятности наступления событий в простейших практических ситуациях и основные характеристики случайных величин;



    • владение стандартными приемами решения рациональных и иррациональных, показательных, степенных, тригонометрических уравнений и неравенств, их систем; использование готовых компьютерных программ, в том числе для поиска пути решения и иллюстрации решения уравнений и неравенств;



    • сформированность представлений об основных понятиях математического анализа и их свойствах, владение умением характеризовать поведение функций, использование полученных знаний для описания и анализа реальных зависимостей;



    • владение навыками использования готовых компьютерных программ при решении задач.

Описание каждой самостоятельной работы содержит: тему, цели работы, задания, основной теоретический материал, алгоритм выполнения типовых задач, порядок выполнения работы, формы контроля, требования к выполнению и оформлению заданий. Для получения дополнительной, более подробной информации по изучаемым вопросам, приведено учебно-методическое и информационное обеспечение.










Перечень видов самостоятельной работы


темы

Виды самостоятельной работы

Кол-во часов

Форма контроля

Введение.


0


ГЕОМЕТРИЯ

36


Тема 1. Прямые и плоскости в пространстве.

8


1.1 Повторение основных понятий планиметрии.

  1. Составление опорного конспекта «Четырехугольники».


2

Таблица в тетради, просмотр работы, оценка.

1.2 Аксиомы стереометрии.


0

1.3 Параллельность и перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве.

  1. Составление опорного конспекта «Параллельность прямых и плоскостей».

  2. Составление опорного конспекта «Перпендикулярность прямых, прямой и плоскости».

  3. Решение теста по теме «Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве».

6

Тема 2.Многогранники.

  1. Типовой расчет по теме «Прямоугольный параллелепипед».

  2. Типовой расчет по теме «Пирамида».

  3. Решение теста по теме «Многогранники».

6

Таблица в тетради, просмотр работы, оценка.

Тема 3.Тела и поверхности вращения.

  1. Типовой расчет по теме «Цилиндр».

  2. Типовой расчет по теме «Конус».

  3. Решение теста по теме «Тела вращения».

6

Таблица в тетради, просмотр работы, оценка.

Тема 4. Измерения в геометрии.


  1. Типовой расчет по теме «Объём прямоугольного параллелепипеда».

  2. Типовой расчет по теме «Объём цилиндра».

  3. Типовой расчет по теме «Объём конуса».

  4. Типовой расчет по теме «Объём сегмента, слоя, сектора шара».

  5. Решение теста по теме «Объёмы тел».


10

Таблица в тетради, просмотр работы, оценка.

Тема 5. Координаты и векторы.


  1. Типовой расчет по теме «Простейшие задачи в координатах».

  2. Типовой расчет по теме «Скалярное произведение векторов».

  3. Решение теста по теме «Координаты и векторы».

6

Таблица в тетради, просмотр работы, оценка.

КОМБИНАТОРИКА, СТАТИСТИКА И ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

6


Тема 6. Элементы комбинаторики.

  1. Составление опорного конспекта «Основные понятия комбинаторики».

2

Таблица в тетради, просмотр работы, оценка.

Тема 7. Элементы теории вероятностей.


  1. Типовой расчет по теме «Элементы комбинаторики и теории вероятностей».

  2. Решение теста по теме «Элементы комбинаторики и теории вероятностей».

4

Тема 8. Элементы математической статистики.

0


АЛГЕБРА

50


Тема 9. Развитие понятия о числе.

12


9.1 Повторение базисного материала курса основной школы.

  1. Составление опорного конспекта « Степень числа и ее свойства».

  2. Составление опорного конспекта «Пропорция».

  3. Решение криптограмм по теме «Уравнения».

  4. Типовой расчет по теме «Решение систем уравнений и неравенств».

  5. Составление опорного конспекта «Функция, график и её свойства».

10

Таблица в тетради, просмотр работы, оценка.

9.2 Развитие понятия о числе.

  1. Составление опорного конспекта «Действия над комплексными числами».

2

Тема 10. Основы тригонометрии.


  1. Составление опорного конспекта «Синус, косинус, тангенс числового аргумента, их знаки» .

  2. Типовой расчет по теме «Формулы сложения».

  3. Типовой расчет по теме «Решение простейших тригонометрических уравнений».

  4. Типовой расчет по теме «Решение тригонометрических уравнений».

  5. Решение теста по теме «Решение тригонометрических неравенств».

10

Таблица в тетради, просмотр работы, оценка.

Тема 11. Корни, степени и логарифмы.

  1. Составление опорного конспекта «Понятие о корне n-й степени».

  2. Типовой расчет по теме «Понятие о корне n-й степени».

  3. Решение теста по теме «Степень с рациональным, действительным показателем, ее свойства».

6

Таблица в тетради, просмотр работы, оценка.

Тема 12. Функции, их свойства и графики.


  1. Составление опорного конспекта «Область определения и множество значений тригонометрических функций» .

  2. Типовой расчет по теме «Область определения и множество значений тригонометрических функций».

  3. Типовой расчет по теме «Экстремумы функции».

  4. Типовой расчет по теме «Нахождения наибольшего и наименьшего значения функции».

8

Таблица в тетради, просмотр работы, оценка.

Тема 13. Степенные, показательные, логарифмические и тригонометрические функции.

  1. Решение теста по теме «Свойства и график тригонометрических функций».

2

Таблица в тетради, просмотр работы, оценка.

Тема 14. Уравнения и неравенства .


  1. Типовой расчет по теме «Иррациональные уравнения».

  2. Типовой расчет по теме «Решение показательных и логарифмических уравнений».

  3. Типовой расчет по теме «Решение логарифмических уравнений и неравенств» .

  4. Составление опорного конспекта «Метод интервалов».

  5. Типовой расчет по теме «Метод интервалов». 

  6. Решение теста по теме «Решение показательных и логарифмических неравенств». 

12

Таблица в тетради, просмотр работы, оценка.

Тема 15. НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА.


  1. Типовой расчет по теме «Производная».

  2. Составление опорного конспекта «Геометрический смысл производной».

  3. Составление опорного конспекта «Правила дифференцирования».

  4. Типовой расчет по теме «Правила дифференцирования».

  5. Составление опорного конспекта «Первообразная».

  6. Типовой расчет по теме «Правила нахождения первообразных».  

  7. Типовой расчет по теме «Вычисление площадей с помощью интегралов».

  8. Решение теста по теме «Первообразная».

  9. Составление кроссворда по теме «Алгебра и начала анализа».

18

Таблица в тетради, просмотр работы, оценка.

Итого:


110










































Тема внеаудиторной самостоятельной работы.

Срок выполнения


1 курс


1

Составление опорного конспекта «Четырехугольники».

1 семестр, 2 неделя

2

Составление опорного конспекта «Параллельность прямых и плоскостей».

1 семестр, 4 неделя

3

Составление опорного конспекта «Перпендикулярность прямых, прямой и плоскости».

1 семестр, 6 неделя

4

Решение теста по теме «Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве» .

1 семестр, 9 неделя

5

Типовой расчет по теме «Прямоугольный параллелепипед».

1 семестр, 11 неделя

6

Типовой расчет по теме «Пирамида».

1 семестр, 12 неделя

7

Решение теста по теме «Многогранники».

1 семестр, 13 неделя

8

Типовой расчет по теме «Цилиндр».

1 семестр, 14 неделя

9

Типовой расчет по теме «Конус».

1 семестр, 15 неделя

10

Решение теста по теме «Тела вращения».

1 семестр, 16 неделя

11

Типовой расчет по теме «Объём прямоугольного параллелепипеда».

1 семестр, 17 неделя

12

Типовой расчет по теме «Объём цилиндра».

2 семестр, 18 неделя

13

Типовой расчет по теме «Объём конуса».

2 семестр, 19 неделя

14

Типовой расчет по теме «Объём сегмента, слоя, сектора шара».

2 семестр, 19 неделя

15

Решение теста по теме «Объёмы тел».

2 семестр, 20 неделя

16

Типовой расчет по теме «Простейшие задачи в координатах».

2 семестр, 22 неделя

17

Типовой расчет по теме «Скалярное произведение векторов».

2 семестр, 23 неделя

18

Решение теста по теме «Координаты и векторы».

2 семестр, 24 неделя

19

Составление опорного конспекта «Основные понятия комбинаторики».

2 семестр, 25 неделя

20

Типовой расчет по теме «Элементы комбинаторики и теории вероятностей».

2 семестр, 27 неделя

21

Решение теста по теме «Элементы комбинаторики и теории вероятностей».

2 семестр, 28 неделя

22

Составление опорного конспекта « Степень числа и ее свойства».

2 семестр, 29 неделя

23

Составление опорного конспекта «Пропорция».

2 семестр, 29 неделя

24

Решение криптограмм по теме «Уравнения».

2 семестр, 30 неделя

25

Типовой расчет по теме «Решение систем уравнений и неравенств».

2 семестр, 31 неделя

26

Составление опорного конспекта «Функция, график и её свойства».

2 семестр, 31 неделя

27

Составление опорного конспекта «Действия над комплексными числами».

2 семестр, 33 неделя

28

Составление опорного конспекта «Синус, косинус, тангенс числового аргумента, их знаки» .

2 семестр, 34 неделя

29

Типовой расчет по теме «Формулы сложения».

2 семестр, 35 неделя

30

Типовой расчет по теме «Решение простейших тригонометрических уравнений».

2 семестр, 39 неделя

31

Типовой расчет по теме «Решение тригонометрических уравнений».

2 семестр, 40 неделя

32

Решение теста по теме «Решение тригонометрических неравенств».

2 семестр, 41 неделя


2 курс


33

Составление опорного конспекта «Понятие о корне n-й степени».

3 семестр, 1 неделя

34

Типовой расчет по теме «Понятие о корне n-й степени».

3 семестр, 2 неделя

35

Решение теста по теме «Степень с рациональным, действительным показателем, ее свойства».

3 семестр, 3 неделя

36

Составление опорного конспекта «Область определения и множество значений тригонометрических функций» .

3 семестр, 9 неделя

37

Типовой расчет по теме «Область определения и множество значений тригонометрических функций».

3 семестр, 10 неделя

38

Типовой расчет по теме «Экстремумы функции».

3 семестр, 11 неделя

39

Типовой расчет по теме «Нахождения наибольшего и наименьшего значения функции ».

3 семестр, 13 неделя

40

Решение теста по теме «Свойства и график тригонометрических функций» .

4 семестр, 19 неделя

41

Типовой расчет по теме «Иррациональные уравнения».

4 семестр, 20 неделя

42

Типовой расчет по теме «Решение показательных и логарифмических уравнений».

4 семестр, 21 неделя

43

Типовой расчет по теме «Решение логарифмических уравнений и неравенств» .

4 семестр, 23 неделя

44

Составление опорного конспекта «Метод интервалов».

4 семестр, 24 неделя

45

Типовой расчет по теме «Метод интервалов». 

4 семестр, 25 неделя

46

Решение теста по теме «Решение показательных и логарифмических неравенств». 

4 семестр, 26 неделя

47

Типовой расчет по теме «Производная».

4 семестр, 28 неделя

48

Составление опорного конспекта «Геометрический смысл производной».

4 семестр, 29 неделя

49

Составление опорного конспекта «Правила дифференцирования».

4 семестр, 29 неделя

50

Типовой расчет по теме «Правила дифференцирования».

4 семестр, 30 неделя

51

Составление опорного конспекта «Первообразная».

4 семестр, 33 неделя

52

Типовой расчет по теме «Правила нахождения первообразных».  

4 семестр, 34 неделя

53

Типовой расчет по теме «Вычисление площадей с помощью интегралов».

4 семестр, 35 неделя

54

Решение теста по теме «Первообразная».

4 семестр, 35 неделя

55

Составление кроссворда по теме «Алгебра и начала анализа»

4 семестр, 36 неделя

























Методические рекомендации к составлению опорного конспекта.

Конспект – это работа с другим источником.

Цель –зафиксировать ,переработать тот или иной текст, подготовка к типовому расчету.

Конспект представляет собой дословные выписки из текста источника. При этом конспект это не полное переписывание чужого текста. При написании конспекта сначала прочитывается текст –источник, в нем выделяются основные положения , подбираются примеры , идет перекомпоновка материала, а затем уже оформляется текст конспекта. Конспект может быть полным, когда работа идет со всем текстом источника или неполным, когда интерес представляет какой-либо один или несколько вопросов, затронутых в источнике.

План работы:

1. Уяснить цели и задачи конспектирования.

2.Внимательно прочитать текст параграфа, главы и отметить информационно значимые места.

3. Составить конспект.

Критерии оценки: Оценка «5» выставляется если :

- содержание соответствует теме,

- материал проработан глубоко,

- грамотно и полно использованы источники,

- имеется наглядность (чертежи, примеры),

Оценка «4» выставляется , если :

- материал проработан не глубоко,

-использованы не все источники,

Оценка «3» выставляется, если :

-нет наглядности,

- материал проработан не полностью

Методические рекомендации к выполнению типового расчета.

Типовой расчет содержит теоретический материал ( или ссылку на источник информации (опорный конспект из ВСР, учебник, интернет-ссылка)), типовые примеры, задание для самостоятельной работы.

План работы:

  1. Сделать конспект теоретического материала (если это не опорный конспект из ВСР), просмотреть и повторить (если это опорный конспект из ВСР).

  2. Проанализировать типовые примеры.

  3. Решить задание для самостоятельной работы, используя теоретический материал, типовые примеры.

Критерии оценки: Оценка «5» выставляется если :

- материал проработан глубоко,

- имеется чертежи, примеры ,

- задание выполнено полностью,

Оценка «4» выставляется , если :

- материал проработан не глубоко

- задание выполнено больше, чем на 50%,

Оценка «3» выставляется, если :

- материал проработан не полностью, но записаны типовые примеры,

- задание выполнено меньше, чем на 50%

Методические рекомендации к выполнению теста.

При работе с тестом записывается номер задания и буква (правильный ответ).

Критерии оценки: Оценка «5» выставляется если :

- правильно выбраны ответы, записано решение подробно.

Оценка «4» выставляется , если :

- правильно выбраны ответы, записано решение подробно не у всех заданий.

Оценка «3» выставляется, если : правильно выбраны ответы или с ошибками, не записано решение или записано кратко.



ПРИЛОЖЕНИЕ №1


Основные учебники :


  1. Алгебра и начала анализа 10-11 кл. Ш.А.Алимов и др. М., «Просвещение», 2009 г.

  2. Геометрия 10-11 кл. Л.С. Атанасян. М., «Просвещение»,2011 г.


Дополнительные учебники :



  1. Алгебра и начала математического анализа 10-11 кл. Колмогоров А.Н. и др. М., «Просвещение»,2009г.

  2. Алгебра и начала математического анализа 10-11 кл. Башмаков М.И. М., «Дрофа»,2009г.

  3. Геометрия 10-11 кл. Потоскуев Е.В., Звавич Л.И. М., «Просвещение», 2009г.




Интернет-ссылки для ВСР.

Алгебра:

  1. http://math-prosto.ru/?page=pages/library-math/alimov-10-11.php

  2. http://nashol.com/2012102467590/algebra-i-nachala-matematicheskogo-analiza-10-11-klass-alimov-sh-a-kolyagin-u-m-2012.html

  3. http://nsportal.ru/shkola/algebra/library/algebra-i-nachala-analiza-10-11-klass-po-uchebniku-sha-alimova-i-dr

  4. http://nashol.com/2014021575799/algebra-i-nachalo-matematicheskogo-analiza-10-klass-muravin-g-k-2013.html

  5. http://elkniga.ucoz.ru/load/multimedijnye_posobija/matematika/multimedijnoe_posobie_po_matematike_uroki_algebry_kirilla_i_mefodija_10_11_klass/14-1-0-15

Геометрия:

  1. http://nashol.com/knigi-po-matematike/#po_godam_2012

  2. http://nashol.com/2011102361137/geometriya-uchebnik-10-11-klass-atanasyan-l-s-butuzov-v-f-kadomcev-s-b-2009.html

  3. http://4book.org/uchebniki-rossiya/10-klass/62-geometriya-uchebnik-dlya-10-11-klassov-atanasyan-l-s-i-dr

  4. http://neovit.net/edu/math1.htm

  5. http://elkniga.ucoz.ru/publ/uchebniki/10_klass/geometrija_atanasjan_l_s_uchebnik_dlja_10_11_klassa_obshheobrazovatelnykh_uchrezhdenij/98-1-0-311





И любые другие аналогичные из интернета по разделам «Алгебра и начала анализа», «Геометрия».





Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "УМК по прфессии Повар- кондитер."

Получите профессию

Фитнес-тренер

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ #U0417#U0430#U0447#U0435#U0442 #U21162 (1 #U0447#U0430#U0441#U0442#U044c).docx

Зачет №2 по геометрии (1часть):

Билет № 1.

  1. Аксиомы стереометрии (А123).

  2. Определение перпендикулярности прямой и плоскости.

  3. Определение многогранника, его элементы, примеры.

  4. Цилиндр, его элементы, сечения, формулы для нахождения площади.

  5. Понятие вектора, его длина, направление, равенство векторов, примеры.

  6. Формула для нахождения объема параллелепипеда(теорема №22).

Билет № 2.

  1. Теорема о плоскости, проходящей через две пересекающиеся прямые (теорема №1, 2).

  2. Свойства перпендикулярности прямой и плоскости (теорема №10,11).

  3. Призма, ее элементы, формулы для нахождения площади(теорема №17).

  4. Конус, его элементы, сечения, формулы для нахождения площади.

  5. Правила сложения и вычитания векторов.

  6. Формула для нахождения объема пирамиды(теорема №26).

Билет № 3.

  1. Определение параллельных прямых.

  2. Признак перпендикулярности прямой и плоскости (теорема № 12).

  3. Пирамида, ее элементы, формулы для нахождения площади.

  4. Усеченный конус, его элементы, формулы для нахождения площади.

  5. Умножение вектора на число, его свойства.

  6. Формула для нахождения объема цилиндра(теорема №24).

Билет № 4.

  1. Параллельные прямые в пространстве (теорема №3,4).

  2. Теорема о прямой перпендикулярной к плоскости (теорема №13).

  3. Правильная пирамида, ее элементы, формулы для нахождения площади.

  4. Сфера, ее элементы, уравнение сферы.

  5. Компланарные векторы(теорема №29).

  6. Формул для нахождения объема прямой и наклонной призмы (теоремы №23 и № 25).

Билет № 5.

  1. Лемма о параллельных прямых.

  2. Расстояние от точки до плоскости, перпендикуляр и наклонные.

  3. Формула площади боковой поверхности правильной пирамиды (теорема №18).

  4. Взаимное расположение сферы и плоскости.

  5. Координаты вектора, их свойства.

  6. Формула для нахождения объема усеченного конуса.









Билет № 6.

  1. Взаимное расположение прямой и плоскости.

  2. Теорема о трех перпендикулярах и ей обратная теорема (теорема №14).

  3. Усеченная пирамида, ее элементы, формулы для нахождения площади(теорема №19).

  4. Касательная плоскость к сфере, свойства (теорема №20,21).

  5. Простейшие задачи в координатах.

  6. Формула для нахождения объема цилиндра(теорема №24).

Билет № 7.

  1. Определение параллельности прямой и плоскости.

  2. Определение угла между прямой и плоскостью.

  3. Симметрия в пространстве.

  4. Цилиндр, его элементы, сечения, формулы для нахождения площади.

  5. Скалярное произведение векторов, его свойства.

  6. Формула для нахождения объема шара(теорема №28), формулы и определение шарового сегмента, слоя, сектора.

Билет № 8.

  1. Признак параллельности прямой и плоскости (теорема №5).

  2. Определение двугранного угла, линейного угла двугранного угла.

  3. Правильные многогранники.

  4. Конус, его элементы, сечения, формулы для нахождения площади.

  5. Понятие вектора, его длина, направление, равенство векторов, примеры.

  6. Формулы для нахождения объема пирамиды, усеченной пирамиды(теорема №28 и следствие).

Билет № 9.

  1. Определение скрещивающихся прямых (теоремы №6,7,8).

  2. Градусная мера двугранного угла, виды двугранных углов.

  3. Элементы симметрии правильных многогранников.

  4. Усеченный конус, его элементы, формулы для нахождения площади.

  5. Правила сложения и вычитания векторов.

  6. Формула для нахождения объема параллелепипеда(теорема №22).

Билет № 10.

  1. Взаимное расположение прямых в пространстве.

  2. Определение перпендикулярности плоскостей.

  3. Определение многогранника, его элементы, примеры.

  4. Сфера, ее элементы, уравнение сферы.

  5. Умножение вектора на число, его свойства.

  6. Формула для нахождения объема усеченного конуса.







Билет № 11.

  1. Определение параллельности плоскостей.

  2. Признак перпендикулярности двух плоскостей (теорема №15,следствие).

  3. Призма, ее элементы, формулы для нахождения площади(теорема №17).

  4. Взаимное расположение сферы и плоскости.

  5. Компланарные векторы(теорема №29).

  6. Формула для нахождения объема цилиндра(теорема №22).

Билет № 12.

  1. Признак параллельности плоскостей (теорема №9).

  2. Определение прямоугольного параллелепипеда, свойства.

  3. Пирамида, ее элементы, формулы для нахождения площади.

  4. Касательная плоскость к сфере, свойства (теорема №20,21).

  5. Координаты вектора, их свойства.

  6. Формула для нахождения объема конуса, усеченного конуса(теорема №27 и следствие).

Билет № 13.

  1. Свойства параллельных плоскостей.

  2. Свойство параллелепипеда, связанное с его измерениями (теорема №16,следствие).

  3. Правильная пирамида, ее элементы, формулы для нахождения площади.

  4. Цилиндр, его элементы, сечения, формулы для нахождения площади.

  5. Простейшие задачи в координатах.

  6. Формула для нахождения объема конуса(теорема №27).

Билет № 14.

  1. Определение тетраэдра, параллелепипеда, их элементы.

  2. Определение куба.

  3. Формула площади боковой поверхности правильной пирамиды (теорема №18).

  4. Конус, его элементы, сечения, формулы для нахождения площади.

  5. Скалярное произведение векторов, его свойства.

  6. Формула для нахождения объема шара(теорема №28), формулы и определение шарового сегмента, слоя, сектора.

Билет № 15.

  1. Построение сечений тетраэдра, параллелепипеда.

  2. Определение перпендикулярности прямой и плоскости.

  3. Усеченная пирамида, ее элементы, формулы для нахождения площади(теорема №19).

  4. Сфера, ее элементы, уравнение сферы.

  5. Простейшие задачи в координатах.

  6. Формула для нахождения объема цилиндра(теорема №22).

Указания: 1 часть-теория по билетам, ответы на все вопросы в письменной форме и еще устно (№ 3,4,6), на «3» кратко, на «4 и 5» полный ответ;

2 часть – задачи, на «3»-УК (УК - учебная карта), на «4 и 5»-задачи по билетам (1-2 вариант).



Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "УМК по прфессии Повар- кондитер."

Получите профессию

Фитнес-тренер

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ #U0417#U0430#U0447#U0435#U0442 #U21162 (2 #U0447#U0430#U0441#U0442#U044c).docx



Зачет №2 «Стереометрия». 2 часть.1 вариант.



  1. Может ли каждая из двух скрещивающихся прямых быть параллельна третьей прямой?

  2. Через вершину A прямоугольника ABCD проведена прямая AK перпендикулярна к плоскости треугольника. КABCD – пирамида. Известно, что KD=6 см, KB=7 см, KC=9 см.

Найдите: а) КА - расстояние от точки K до плоскости прямоугольника ABCD;

б) DA - расстояние между прямыми AK и CD.

  1. Отрезок OH - высота тетраэдра OABC ,выясните взаимное расположение сферы радиуса R с центром O и плоскостями ABC, если: а) R=6 дм, OH=60 см; в) R=5 дм, OH=45 см.

  2. Площадь сферы равна 324 см². Найдите радиус сферы R.

  3. Даны точки (1,5; 1; -2), B (2; 2; -3); и C (2; 0; -1).

Найдите: периметр треугольника ABC.





Зачет №2 «Стереометрия». 2 часть.2 вариант.



  1. Даны параллелограмм ABCD и трапеция ABEK с основанием EK, не лежащие в одной плоскости.

а) Выяснить взаимное расположение прямых CD и EK.

б) Найдите периметр трапеции, если известно, что в нее можно вписать окружность и AB=22.5 см, EK=27.5 см.

  1. В правильной n-угольной призме сторона основания равна α и высота равна h. Вычислите площади боковой и полной поверхности призмы, если: n=3, а=10 см, h=15 см.

  2. Площадь боковой поверхности конуса равна 80 см². Через середину высоты конуса проведена плоскость, перпендикулярна к высоте. Найдите площадь боковой поверхности образовавшегося при этом усеченного конуса.

  3. Вершины прямоугольника лежат на сфере радиуса 10 см. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости прямоугольника, если его диагональ равна 16 см.

  4. Даны точки А(1;3;0),В(2;3; - 1),С( 1; 2; - 1). Вычислите угол между векторами


СА и СВ.












Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "УМК по прфессии Повар- кондитер."

Получите профессию

Няня

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ #U0417#U0430#U0447#U0435#U0442 #U21164.docx

Зачет №4 «Корни и степени. Логарифмы».

2 часть. Вариант – 1

Задания уровня А

  1. Вычислите log2 16.

  1. 16

  2. 2

  3. 1

  4. 4

  1. Вычислите log3 3.

  1. 3

  2. 0

  3. 1

  4. 2

  1. Вычислите log3 .

  1. 2

  2. 2

  3. 1

  4. 3

  1. Вычислите .

  1. 5

  2. 2

  3. 16

  4. 1

  1. Вычислите .

  1. 3

  2. 2

  3. 8

  4. 9

  1. Найдите х, если logx 36 = 2.

  1. 6

  2. 2

  3. 36

  4. 64

  1. Вычислите log2 2 log3 81.

  1. 81

  2. 2

  3. 4

  4. 3

  1. Вычислите log12 2 + log12 72.

  1. 2

  2. 3

  3. 1

  4. 12

  1. Вычислите log5 75 – log5 3.

1) 2 2)1 3) 5 4) 3

  1. Решите уравнение log2 x = - 2.

  1. 4 2) 3) -2 4) – 4

  2. Вариант – 2

      1. Задания уровня А

  1. Вычислите log3 27.

  1. 2

  2. 1

  3. 27

  4. 3

  1. Вычислите log4 1.

  1. 1

  1. 4

  1. 0

  1. Вычислите log1/2 4.

  1. 4

  1. 2

  1. 2

  1. Вычислите .

  1. 13

  2. 6

  3. 1

  4. 2

  1. Вычислите .

  1. 2

  2. 15

  3. 3

  4. 9

  1. Найдите х, если log2 4=x.

  1. 4

  2. 2

  3. 2

  4. 1

  1. Вычислите log3 log2 8.

  1. 8

  2. 3

  3. 2

  4. 1

  1. Вычислите lg 5 –lg 2.

  1. 1

  2. 7

  3. 3

  4. 10

  1. Вычислите log3 15 – log3 5.

  1. 1 2)10 3) 3 4) 0

  1. Решите уравнение log6 x = 2.

  1. 3 2)36 3) 64 4) 6

  1. 2 часть. Вариант – 1

  2. Задания уровня В

  3. В1. Вычислить .
    В2. Вычислить .

  4. В3. Вычислить .

  5. В4. Вычислить .

  6. В5. Вычислить .

  7. В6. Вычислить .

  8. Вариант – 2

        1. Задания уровня В

  9. В1. Вычислить .

  10. В2. Вычислить .

  11. В3. Вычислить .

  12. В4. Вычислить .

  13. В5. Вычислить .

  14. В6. Вычислить .

  15. Критерии оценки:

  16. Оценка «5» выставляется, если : выполнено задание : часть А № 1-10, часть В № 1-6. Оценка «4» выставляется, если : выполнено задание : часть А № 1-8, часть В № 1-4. Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание : часть А № 1-10.

  17. Зачет №4 «Корни и степени. Логарифмы». 1 часть.

    Вариант I
    1. Вариант II

    1. Обязательный уровень

    2. (с выбором ответа)

    1. А1. Вычислить: hello_html_m787822f6.gif.1) 81; 2) 9; 3) 3;

    1. А1. Вычислить: hello_html_m5279b27f.gif.1) 1; 2) 2; 3) 20;

    1. А2. Вычислить: -2hello_html_4b249daa.gif.1) -8; 2) 4; 3) -4;

    1. А2. Вычислить hello_html_m8c1d261.gif.1) 100; 2) 10; 3) 1;

    1. А3. Вычислить: hello_html_aa32acb.gif.1) 50; 2) 25; 3) 5;

    1. А3. Вычислить: -6 hello_html_1924394c.gif . 1) - 24; 2) – 12; 3) 12;

    1. А4. Решить уравнение: х6=64

    2. 1) 2; 2) -4; 4 3) -2; 2

    1. А4. Решить уравнение: х5=32

    2. 1) -2; 2) 2; 3) -2; 2

    1. Обязательный уровень (с выбором ответа)

    1. А5. Вычислите . 1) 2; 2) 3; 3) 9; 4) .

    2. А6. Вычислите 1) 0,25; 2) 0,5; 3) 0,15; 4) 5.

    3. А7. Найдите значение выражения: . 1) 12; 2) 6; 3) 3; 4) –3.

    4. А8. Найдите значение выражения: . 1) ; 2) 1,2; 3) ; 4) . А9. Вычислите 1) 48 ; 2) 82; 3) 308 ; 4) 342.

    1. А5. Вычислите . 1) 5; 2) 4; 3) 25; 4) .

    2. А6. Вычислите 1) 0,09; 2) 0,03; 3) 0,3; 4) 3.

    3. А7. Найдите значение выражения: . 1) 45; 2) 5; 3) 3; 4) –45.

    4. А8. Найдите значение выражения: . 1) 5,5; 2) 2,2; 3) ; 4) . А9.Вычислите . 1) 43; 2) 15; 3) –157; 4) –185.

    1. Обязательный уровень (указать ответ)

    1. А10. Вычислить: hello_html_m48fce03c.gif

    1. А10. Вычислить: hello_html_m616f9523.gif

    1. Задания с развернутым решением

    1. В1. Найти значение выражения:

    2. hello_html_m2a921aab.gif

    3. Ответ:

    1. В1. Найти значение выражения:

    2. hello_html_11489113.gif=

    3. Ответ:

  18. Критерии оценки: Правильно выполненные 6 задания – “3”;

  19. Правильно выполненные 10 заданий – “4”;Правильно выполненные 11заданий – “5”.

  20. hello_html_m6cd2b164.jpg

  21. hello_html_m53554b45.jpg

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "УМК по прфессии Повар- кондитер."

Получите профессию

Методист-разработчик онлайн-курсов

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ #U0417#U0430#U0447#U0435#U0442#U21163.docx

Зачет №3 «Элементы комбинаторики и теории вероятностей».

1 вариант.

  1. а) М(Х) = 5, М(Y) = 7, Z = 3X – 2Y, М(Z) = ?

б) D(Х) = 10, D (Y) = 14, Z = 2X + Y, D (Z) = ? D (Х - Y) =?

  1. Найдите числовые характеристики Х и Y:

  1. Составить закон распределения случайной величины Х- числа мальчиков в семье, имеющей n детей, найти ее математическое ожидание М(Х), дисперсию D (Х), если р = 0,3, n = 3(n = 0,1,2,3).

    а) По данным статистического распределения выборки найдите моду М0 :




    б) По данным вариационных рядов определить медиану Ме: 1) 12457, 2) 123761, 3) 35621, 4) 2235448997.


    1. Дан вариационный ряд ( h = 6, С = 83). Составьте таблицу расчетов и найдите Хв , Dв , σв .



    Зачет №3 «Элементы комбинаторики и теории вероятностей».

    2 вариант.

    1. а) М(Х) = 4, М(Y) = 5, Z = 3X – 2Y, М(Z) = ?

    б) D(Х) = 12, D (Y) = 10, Z = 2X + Y, D (Z) = ? D (Х - Y) =?

    1. Найдите числовые характеристики Х и Y:

    1. Составить закон распределения случайной величины Х- числа мальчиков в семье, имеющей n детей, найти ее математическое ожидание М(Х), дисперсию D (Х), если р = 0,515, n = 4(n = 0,1,2,3,4).

    2. а) По данным статистического распределения выборки найдите моду М0 :



    б) По данным вариационных рядов определить медиану Ме: 1) 23679, 2) 212866 , 3) 67543, 4) 2134668553.


    1. Дан вариационный ряд ( h = 4, С = 102). Составьте таблицу расчетов и найдите Хв , Dв , σв .





    Зачет №3 «Элементы комбинаторики и теории вероятностей».

    1. а) М(Х) = 4, М(Y) = 5, Z = 3X – 2Y, М(Z) = ?

    Решение: М(Z) = 34 - 2 5 = 12 – 10 = …,

    б) D(Х) = 12, D (Y) = 10, Z = 2X + Y, D (Z) = ? D (Х - Y) =?

    Решение: D (Z) = 22 12 + 10 = 412 + 10 = 48 +10 = …,

    D (Х - Y) = 12 + 10 = …,

    1. Найдите числовые характеристики Х и Y:

    Решение:

    М(Х) = р1х1 + р2х2 = 0,3 10 + 0,7 20 = 3 + 14 = …,

    D(Х) = р1х12 + р2х22 – (р1х1 + р2х2)2 = = 0,3100 + 0,7400 – 289 = 30 + 280 - 289 = …, σ (Х) = = …,

    М(Y) = р1у1 + р2у2 + р3у3 = 0,5 30 + 0,2 40 + 0,3 60= = 15 + 8 + 18= …, D(Y) = 0,5 900 + 0,2 1600 + 0,3 3600 – 1681= = 450 + 320 + 1080 - 1681 = …,

    σ (Y) = = = …,

    1. Составить закон распределения случайной величины Х- числа мальчиков в семье, имеющей n детей, найти ее математическое ожидание М(Х), дисперсию D (Х), если р = 0,515, n = 4(n = 0,1,2,3,4).

    Решение: q = 1 - р = 1 – 0,515 = …,

    р(Х=0)= = 0,055,

    р(Х=1)= = = 0,235, р(Х=2)= = 0,375,

    р(Х=3)= = 0,265,

    р(Х=4)= = 0,070,

    = 1, = (1234) : (123)=…, = (43) : (12)=…,

    = = …, = =…,

    Закон распределения имеет вид :

    = 0,055 + 0,235 + 0,375 + 0,265 + 0,070 =…,

    М(Х) = n р= 40,515=…,

    D(Х) = n р q = 4 0,515 0,485 = …,

    1. а) По данным статистического распределения выборки найдите моду М0 :

    Решение: Наибольшее n = 6 для Х= 5, поэтому М0=…,

    б) По данным вариационных рядов определить медиану Ме: 1) 23679, 2) 212866 , 3) 67543, 4) 2134668553.

    Решение: 1) 23679, n =5, Ме = …,

    2) 212866, n =6, Ме = (2+8):2=…, 3) 67543, n =5, Ме = …,

    4) 2134668553. n =10, Ме = (6+6):2=…,

    1. Дан вариационный ряд ( h = 4, С = 102). Найдите Хв , Dв , σв .



    Решение: Хв = - 0,16 4 + 102 =102 – 0,64=…,

    Dв = (2,98 - (- 0,16)2) 16= …, σв =





Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "УМК по прфессии Повар- кондитер."

Получите профессию

Секретарь-администратор

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ #U0417#U0430#U0447#U0435#U0442#U21165-6.docx



Зачет №5 «Тригонометрические преобразования».

1 вариант.

  1. Вычислить: а) sin , б) cos , в) cos2sin2 , г) 2 sin cos , д) sin α = - 0.8, α 4 четв. , cos α = ? , tg α = ?,

  2. Перевести из градусной меры в радианную и наоборот углы:

а) 45°, 60°, 90°, б) , , ,

  1. Вычислить: а) sin , б) cos , в) tg,

г) 2 sin15° cos 15° , д) sin150°,е) cos 210°,

ж) cos 630° - sin 1470°, з) 3 cos 3660° + sin (- 1560°),

  1. Вычислить:

а) cos 50° cos 40° - sin 50° sin 40°,

б) cos 80° cos 20° + sin 80° sin 20°,

в) sin100°cos 50° + sin 50° cos 100,

г) sin 70° cos 40° - sin 40°cos 70°,

  1. а) cos α = 0.8, α 1 четв. , cos 2α = ? ,

б) sin α = - 0.6, α 3 четв. , sin2α = ?

в) tg α = 2, = ?

г) sin α + cos α= 0,3, sin α cos α=?,

  1. Вычислить: а) cos 100° + cos 80°, б) sin 105° - sin 75°, в) Доказать тождество: (1 - sin α) ( 1+ sin α) = cos2 α.



Зачет №5 «Тригонометрические преобразования».

2 вариант.

  1. Вычислить: а) sin , б) cos , в) cos2sin2 , г) 2 sin cos ,д) cos α = 0.6, α 4 четв. ,sin α = ? , tg α = ?,

  2. Перевести из градусной меры в радианную и наоборот углы:

а) 120°, 135°, 210°, б) , , ,

  1. Вычислить: а) sin , б) cos , в) tg,

г) 2 sin75° cos 75° , д) sin210°,е) cos 150°,

ж) cos 990° - sin 1110°, з) 3 cos 3300° + sin (- 1200°),

  1. Вычислить:

а) cos 20° cos 70° - sin 20° sin 70°,

б) cos 70° cos 10° + sin 70° sin 10°,

в) sin80°cos 10° + sin 10° cos 80°,

г) sin 50° cos 20° - sin 20°cos 50°,

  1. а) sin α = 0.6, α 1 четв. , cos 2α = ? ,

б) cos α= - 0.6, α 3 четв. , sin2α = ? ,

в) tg α = 2, = ?

г) sin α + cos α= 0,4, sin α cos α=?,

  1. Вычислить: а) cos 40° + cos 50°,

б) sin 125° - sin 55°,

в) Доказать тождество: (1 - cos α) ( 1+ cos α) = sin 2 α.



Зачет №5 «Тригонометрические преобразования».

  1. Вычислить: а) sin = sin = … , б) cos = - cos = … , в) cos2sin2 = cos cos = …, г) 2 sin cos = sin = =sin = …, д) cos α = 0.6, α 4 четв. ,sin α = ? , tg α = ?,

sin α = = - = - = …,

tg α = = = …,

  1. Перевести из градусной меры в радианную и наоборот углы:

а) 120° = … 135° = , 210° = = =… б) = …, =

  1. Вычислить: а) sin = sin ( 2)= - sin, б) cos = … , в) tg = =tg =…, г) 2 sin75° cos 75°= sin 150°= sin 30°= sin =… , д) sin210° = sin (180° + 30°) = - sin 30° = - sin = …, е) cos 150° = cos (180° - 30°) = - cos 30°= - cos = …,

ж) cos 990° - sin 1110° = cos (720° + 270°) - sin (1080° +30°) = =cos (4) – sin(6) = cos

з) 3 cos 3300° + sin (- 1200°)= cos ( 3240° +60°) - sin( 1080° + 120°) = = cos (18) –sin (6) = cos - sin = …,

  1. Вычислить:

а) cos 20° cos 70° - sin 20° sin 70°= cos (20° + 70°) = cos 90° = cos =…,

б) cos 70° cos 10° + sin 70° sin 10° = cos (70° - 10°) = cos 60° = cos =…,

в) sin80°cos 10° + sin 10° cos 80° = sin (80° +10°)= sin 90° = sin =…,

г) sin 50° cos 20° - sin 20°cos 50°= sin (50° -20°)= sin 30° = sin =…,



  1. а) sin α = 0.6, α 1 четв. , cos 2α = ? ,

cos α = = = = =…, cos 2α = 2 - 1= 20,64 – 1=…,

б) cos α= - 0.6, α 3 четв. , sin2α = ? ,

sin α = = - = - = =…, sin2α = 2(-0,8)(-0,6)=…,

в) tg α = 2, = ?

= = …,

г) sin α + cos α= 0,4, sin α cos α=?,

sin α cos α= (1 – 0,42 ) : 2 =(1-0,16) : 2 =…,



  1. Вычислить: а) cos 40° + cos 50° = - 2 sin sin =

б) sin 125° - sin 55° = 2 sin = =2 cos 90° = 0

в) Доказать тождество: (1 - cos α) ( 1+ cos α) = sin 2 α,


(1 - cos α) ( 1+ cos α) = 1 - =












Зачет №6 «Решение тригонометрических уравнений».

1 вариант.

  1. Вычислить: а) arcsin 0, arcsin , arcsin( - ),

б) arccos 0 , arccos , arccos (-1),

в) arctg , arctg , arctg (-1),

  1. Решите уравнения:

а) sinх = 1, sinх = , sinх = - ,

б) cos х = , cos х = 1, cos х = - ,

в) tgх = 0, tgх = 1 , tg х = - ,

г) ctg х = 1, ctg х = , ctg х = - ,

  1. Решите уравнения:

а) 2 cos2 x +5 cos x – 3 = 0,

б) 3 sin2 x -5 sin x – 2 = 0,

в) tg2 x + tgx – 12 = 0,

г) 4 cos2 x – 12sin x+12 = 0,

  1. Решите уравнения:

а) sinх = 5 cos x,

б) 2sin2 x + 3sin x cos x – 2 cos2 x = 0,

в) sin 3x - sin x = 0,

  1. Вычислить:

а) arcsin0 + arccos 1 , 4arctg (-1) + 3arctg

б) sin(arcsin 0,1), arcsin(sin ) , в) cos (arccos 0,3), arccos(cos ),

г) sin (arccos 0,8), cos(arcsin 0,6).



Зачет №6 «Решение тригонометрических уравнений».

2 вариант.

  1. Вычислить: а) arcsin 1, arcsin , arcsin( - ),

б) arccos 1 , arccos , arccos (-1),

в) arctg ), arctg , arctg 1 ,

  1. Решите уравнения:

а) sinх = - 1, sinх = , sinх = ,

б) cos х = , cos х = - 1, cos х = ,

в) tgх = 0, tgх = - 1 , tg х = ,

г) ctg х = - 1, ctg х = - , ctg х = ,

  1. Решите уравнения:

а) 2sin2 x +5 sin x – 3 = 0,

б) 3 cos2 x -5 cos x – 2 = 0,

в) tg2 x +3tgx – 4 = 0,

г) 4 sin2 x – 12 cos x+12 = 0,

  1. Решите уравнения:

а) sinх = 7 cos x,

б) 2sin2 x + 5sin x cos x – 3 cos2 x = 0,

в) sin 5x - sin x = 0,

  1. Вычислить:

а) 3arcsin0 + 4arccos 1 , 5arctg (-1) + 2 arctg

б) sin(arcsin 0,6), arcsin(sin ) , в) cos (arccos 0,1), arccos(cos ),

г) sin (arccos 0,6), cos(arcsin 0,8).




Зачет №6 «Решение тригонометрических уравнений».

  1. Вычислить по таблице: а) arcsin 1, arcsin , arcsin( - ),

б) arccos 1 , arccos , arccos (-1),

в) arctg ), arctg , arctg 1 ,

  1. Решите уравнения по таблице:

а) sinх = - 1, sinх = , sinх = ,

б) cos х = , cos х = - 1, cos х = ,

в) tgх = 0, tgх = - 1 , tg х = ,

г) ctg х = - 1, ctg х = - , ctg х = ,

  1. Решите уравнения:

а) 2sin2 x +5 sin x – 3 = 0,

sin x = а, -1 а 1, 2а2 + 5а - 3 = 0, D = 25 -4 2 (-3) = 25 + 24 = …,

а1= (-5 + 7) / 4= 2 : 4 = …, а2= ( -5 - 7) / 4 = - 12 : 4 =…, - не уд.

sin x = 0,5 , х = (-1)к + , к Z,

б) 3 cos2 x -5 cos x – 2 = 0,

cos x = а, -1 а 1, 3а2 - 5а - 2 = 0, D = 25 - 4 3 (-2) = 25 + 24 = …,

а1= (5 + 7) / 6 = 12 : 6 = …, - не уд.

а2= ( 5 - 7) / 6 = - 2 : 6=…,

cos x = - 0,3, х = ± arccos (-0,3) + 2n, n Z,

в) tg2 x +3tgx – 4 = 0,

tgx = t , t2 + 3 t - 4 = 0,

D = 9 - 4 1 (-4) =9 + 16 = …,

t1= (-3 + 5) / 2 = 2 : 2= …, tgx = 1, х1 = + n, n Z,


t2= ( -3 - 5) / 2 = - 8 : 2=…, tgx = - 4, х2 = - arctg 4 + n, n Z,



г) 4 sin2 x – 12 cos x+12 = 0,

4 - 4 cos 2 x – 12 cos x+12 = 0, - 4 cos 2 x – 12 cos x+16 = 0,

cos x = а, -1 а 1, -4а2 - 12а + 16 = 0, а2 + 3а - 4 = 0,

D = 9 - 4 1 (-4) = 9 + 16 = …,

а1= (-3 + 5) / 2 = 2 : 2 = …,

а2= ( -3 - 5) / 2= - 8 : 2=…, - не уд.

cos x = 1 , х = 2 , к Z,

  1. Решите уравнения:

а) sinх = 7 cos x, tgx = 7, х = arctg+ n, n Z,

б) 2sin2 x + 5sin x cos x – 3 cos2 x = 0,

2tg2 x +5tgx – 3 = 0, tgx = t , 2t2 + 5 t - 3 = 0,

D = 25 - 4 2 (-3) =25 + 24 = …,

t1= (-5 + 7) / 4 = 2 : 4= …, tgx = 0,5, х1 = arctg … + n, n Z,

t2= ( -5 - 7) / 4 = - 12 : 4=…, tgx = - 3, х2 = - arctg … + n, n Z,

в) sin 5x - sin x = 0,

2 sin 2x cos 3х = 0,

sin 2x =0 , 2х = n, n Z, х 1= 0,5 n, n Z,

cos 3х = 0, 3х = + n, n Z, х 2= + n, n Z,

  1. Вычислить:

а) 3arcsin0 + 4arccos 1 = 30 + 4 0 =…,

5arctg (-1) + 2 arctg = - 5 + 2 = -

б) sin(arcsin 0,6) = …,

arcsin(sin ) = , в) cos (arccos 0,1) = 0,1 ,

arccos(cos ) =…,

г) sin (arccos 0,6) = = = = = …,

cos(arcsin 0,8) = = = = = …,




Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "УМК по прфессии Повар- кондитер."

Получите профессию

Экскурсовод (гид)

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ #U041a#U0420-#U041f#U041e#U0412#U0410#U0420#U0410.docx









Контрольная работа №1 «Нулевой срез». 1 вариант.

  1. Упростить выражение, используя формулы сокращенного умножения:

а) 3 (х+у)2 - 6ху, б) 1 - 25 в2, в) 144 х2 - 169.

  1. Решить уравнения: а) х2 - 7х – 8 = 0, б) 2 - 3 (х+2) = 5 - 2х.

  2. Упростить выражение: ,

  3. Решить систему уравнений (а,б), решить систему неравенств(в,г):

а) , б) , в) , г) х2 – х – 6

  1. Построить график функции: а) у = 2х – 3, б) у = - 4х.















Контрольная работа №1 «Нулевой срез». 2 вариант.

  1. Упростить выражение, используя формулы сокращенного умножения:

а) 4 (х - у)2 + 6ху, б) 100 - а2, в) 196 х2 - 225.

  1. Решить уравнения: а) х2 - 2х – 15 = 0, б) 3 - 5 (х+1) = 6 - 4х.

  2. Упростить выражение: ,

  3. Решить систему уравнений (а,б), решить систему неравенств(в,г):

а) , б) , в) , г) х2 +4 х – 5

  1. Построить график функции: а) у = 3х +1 , б) у = - 5х.











Контрольная работа №2 «Параллельность прямых и плоскостей». 1 вариант. hello_html_m4f96c18b.jpg

  1. АВСDА1В1С1D1- параллелепипед.

Найти точки пересечения прямых и плоскостей.

а) АВ ∩ АD = ? , б) АА1 ∩ А1В1 = ?,

в) (АА1 D1D) ∩ (АА1 В1В) = ? , г) ( АВСD ) ∩ ( СDD1С1 ) = ?

  1. Определить взаимное расположение прямых:

а) АВ и А1В1, б) А1D и АВ, в) DС1 и АВ ,

г) ВС и В1С1 , д) В1В и ВС, е) АD и ВС .

  1. а) Точка М не лежит в плоскости ромба АВСD. Докажите, что прямая АВ параллельна плоскости DМС. hello_html_m63271b33.jpg

б) АВСD- трапеция, МК- средняя линия трапеции. Докажите, что прямая МК параллельна плоскости α, в которой лежит основание трапеции АD и не лежит ВС. hello_html_4d3b9131.jpg

в) В параллелограмме АОВК сторона ОВ параллельна прямой m , а АО и m –скрещивающиеся прямые. Найти угол между скрещивающимися прямыми , если один из углов параллелограмма равен 140°. hello_html_bd13706.jpg

  1. Точка С лежит на отрезке АВ. Через точку А проведена плоскость α, а через точки В и С- параллельные прямые , пересекающие эту плоскость соответственно в точках В1 и С1. Найти длину отрезка СС1 ,если

а) ВВ1 = 10 см ; б) АС : СВ = 3 : 2 и ВВ1 = 10 см.

  1. а) Сумма всех ребер параллелепипеда АВСDА1В1С1D1 равна 240 см. Найти каждое ребро параллелепипеда, если известно , что АВ : ВС = 4 : 5, ВС : ВВ1 = 5 : 6.

б) В тетраэдре DАВС дано: ÐАDВ=60°,ÐВDС= 30°, ÐСDА= 90°,DА = 10 см, ВD = 15 см, DС = 24 см. Найдите АВ, АС, ВС и площади всех боковых граней.



















Контрольная работа №2 «Параллельность прямых и плоскостей». 2 вариант.

  1. АВСDА1В1С1D1- параллелепипед. hello_html_m4f96c18b.jpg

Найти точки пересечения прямых и плоскостей.

а) DС ∩ D1D = ? , б) С1В1 ∩ А1В1 = ?,

в) (СС1 В1В) ∩ (А1В1С1D1) = ? , г) ( А А1 D1D ) ∩ ( DD1С1С ) = ?

  1. Определить взаимное расположение прямых:

а) АС и А1С1, б) С1D и DВ, в) DВ1 и АС ,

г) ВА и В1А1 , д) В1D и А1В1, е) В1D и АС .

  1. а) Докажите, что прямая АВ параллельна плоскости α, если АВСD параллелограмм, (А1В1 С D )= α и А1В1 С D-трапеция.hello_html_33135d75.jpg

б) Докажите, что прямая МК параллельна плоскости α, в которой лежит основание АВ треугольника АВС ,
а МК- средняя линия треугольника АВС .
hello_html_4d3b9131.jpg

в) В параллелограмме АОВК сторона ОВ параллельна прямой m , а АО и m –скрещивающиеся прямые. Найти угол между скрещивающимися прямыми , если один из углов параллелограмма равен 117°.hello_html_bd13706.jpg

  1. Точка С лежит на отрезке АВ. Через точку А проведена плоскость α, а через точки В и С- параллельные прямые , пересекающие эту плоскость соответственно в точках В1 и С1. Найти длину отрезка СС1 ,если

а) ВВ1 = 8 см; б) АС : СВ = 3 : 2 и ВВ1 = 30 см.

  1. а) Сумма всех ребер параллелепипеда АВСDА1В1С1D1 равна 480 см. Найти каждое ребро параллелепипеда, если известно , что АВ : ВС = 4 : 5, ВС : ВВ1 = 5 : 6.

б) В тетраэдре DАВС дано: ÐАDВ=60°, ÐВDС = 30°,ÐСDА= 90°,DА = 10 см, ВD = 20см, DС = 24 см. Найдите АВ,АС, ВС и площади всех боковых граней.





















Контрольная работа №3 «Перпендикулярность прямых и плоскостей». 1 вариант. hello_html_75ed7ad2.jpg

  1. Дан параллелепипед АВСDА1В1С1D1 , у которого основание квадрат. Докажите, что

а) СD В1С1 , б) С1D1 АD .

  1. а) Из точки А, не принадлежащей плоскости α, проведены к этой плоскости перпендикуляр АО и две равные наклонные АВ и АС. Известно, что ОАВ=ВАС=60°, АО=3 см.

Найти ВС - расстояние между основаниями наклонных.

б) Один конец данного отрезка лежит в плоскости α ,а другой находится от нее на расстоянии АН=10 см. Найти ОО1- расстояние от середины данного отрезка до плоскости α.

  1. Прямая ВD перпендикулярна к плоскости треугольника АВС. hello_html_m7b4a9c44.jpg

Известно, что ВD=5 см, АС=10 см, ВС=ВА=12 см.

Найдите : а) DМ -расстояние от точки D до прямой АС,

б) площадь треугольника АСD.

  1. Плоскости α и β взаимно перпендикулярны и пересекаются по

прямой а. Из точки М проведены перпендикуляры МА и МВ к этим плоскостям. Прямая а пересекает плоскость АМВ в точке С. Найти расстояние от точки М до прямой а , если АМ=12 см,

ВМ = 16 см.

  1. а) Найдите измерения а, b,с прямоугольного параллелепипеда АВСDА1В1С1D1 , hello_html_m63c0eaaf.jpg

если АС1 = 18 см и диагональ ВD1 составляет с плоскостью

грани А А1 D1D угол в 30°, а с ребром DD1 – угол в 45°.





  • б) Через центр О окружности, вписанной в треугольник АВС, проведена прямая ОК, перпендикулярная к плоскости треугольника. Найти расстояние от точки К до сторон треугольника , если АВ=ВС= 10 см, АС= 12 см, ОК= 4 см.



















Контрольная работа №3 «Перпендикулярность прямых и плоскостей». 2 вариант. hello_html_3a2320da.jpg

  1. Дан параллелепипед АВСDА1В1С1D1 , у которого основание квадрат. Докажите, что

а) АD А1В1 , б) А1D1 СD .

  1. а) Из точки А, не принадлежащей плоскости α, проведены к этой плоскости перпендикуляр АО и две равные наклонные АВ и АС. Известно, что ОАВ=ВАС=60°, АО = 5 см.

Найти ВС - расстояние между основаниями наклонных.

б) Один конец данного отрезка лежит в плоскости α, а другой находится от нее на расстоянии АН = 12 см.

Найти ОО1 -расстояние от середины данного отрезка до плоскости α.

  1. Прямая ВD перпендикулярна к плоскости треугольника АВС. hello_html_79d2df71.jpg

Известно, что ВD=12 см, АС=24 см, ВС=ВА=16 см.

Найдите : а) DМ - расстояние от точки D до прямой АС,

б) площадь треугольника АСD.

  1. Плоскости α и β взаимно перпендикулярны и пересекаются
    по прямой а. Из точки М проведены перпендикуляры МА и МВ к этим плоскостям. Прямая а пересекает плоскость АМВ в точке С.

Найти расстояние от точки М до прямой а ,если АМ =12 см, ВМ = 5 см.

  1. а) Найдите измерения а, b,с прямоугольного параллелепипеда АВСDА1В1С1D1 ,

если АС1 = 20 см и диагональ ВD1 составляет с плоскостьюhello_html_m63c0eaaf.jpg

грани А А1 D1D угол в 30°, а с ребром DD1 – угол в 45°.













  • б) В треугольнике АВС дано: АВ=ВС=13 см, АС=10 см. Точка М удалена от прямых АВ, ВС и АС на 8 см. Найти расстояние от точки М до плоскости АВС, если ее проекция на эту плоскость лежит внутри треугольника.

















hello_html_m57d4dae2.jpg

Контрольная работа №4 «Многогранники». 1 вариант.

  1. а) Дана прямая треугольная призма со сторонами a=5,b=12 ,c=13 см и высотой h= 8 см. Найдите площадь боковой и полной поверхности призмы.

б) Основанием прямой призмы АВСА1В1С1 является прямоугольный треугольник АВС с прямым углом В. Через ребро ВВ1 проведено сечение ВВ1D1D перпендикулярное к плоскости грани АА1С1С.

Найдите площадь сечения, если АА1 =14 см, АD =25 см, DС =36 см.

  1. а) Основание прямой призмы - треугольник со сторонами AB=5 и BC=12 см и углом в 90° между ними. Наибольшая из площадей боковых граней равна S наиб.=39 см2. Найдите площадь боковой поверхности призмы.hello_html_m5af2f329.jpg

б) Боковое ребро наклонной четырехугольной призмы

равно l = 12 см, а перпендикулярным сечением является ромб со стороной a=8 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

hello_html_m6ef4a0d3.jpg

  1. а) Основанием пирамиды является ромб, сторона которого равна AB=10 см, а одна из диагоналей равна BD=12 см. Найдите боковые ребра пирамиды, если высота ее проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна SO= .

б) Дана правильная четырехугольная пирамида со стороной основания a=8 см и высотой h=3 см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.hello_html_m5f68a9c0.jpg

  1. а) Дана пирамида со сторонами основания a=10,b=13,c=13 см и апофема равна l=20 см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

б) Дана пирамида со сторонами основания a=10,b=13,c=13 см и высотой h2=. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

  1. а) Дана усеченная правильная треугольная пирамида со сторонами a1=20 и а2=8 см и высотой h=8 см. hello_html_m1aa89a30.jpg

Найдите площадь полной поверхности усеченной пирамиды.

  • б) Плоскость, параллельная плоскости основания правильной четырехугольной пирамиды, делит высоту пирамиды в отношении 1:2, считая от вершины пирамиды. Апофема полученной усеченной пирамиды равна l=10 дм, а площадь ее полной поверхности равна S п. =1280 дм2. Найдите высоту усеченной пирамиды.







Контрольная работа №4 «Многогранники». 2 вариант.hello_html_m57d4dae2.jpg

  1. а) Дана прямая треугольная призма со сторонами a=10,b=24 ,c=26 см и высотой h= 10 см. Найдите площадь боковой и полной поверхности призмы.

б) Основанием прямой призмы АВСА1В1С1 является прямоугольный треугольник АВС с прямым углом В. Через ребро ВВ1 проведено сечение ВВ1D1D перпендикулярное к плоскости грани АА1С1С. Найдите площадь сечения, если АА1 =16 см, АD =25 см, DС =49 см.

  1. а) Основание прямой призмы - треугольник со сторонами AB=6 и BC=8 см и углом в 90° между ними. Наибольшая из площадей боковых граней равна S наиб.=40 см2. Найдите площадь боковой поверхности призмы. hello_html_m79905e92.png

б) Боковое ребро наклонной четырехугольной призмы

равно l = 14 см, а перпендикулярным сечением является ромб со стороной a=10 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы. hello_html_69e80ce8.png

  1. а) Основанием пирамиды является ромб, сторона которого
    равна
    AB=15 см, а одна из диагоналей равна BD=18 см. Найдите боковые ребра пирамиды, если высота ее проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна SO= .

б) Дана правильная четырехугольная пирамида со стороной основания a=12 см и высотой h=8 см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.hello_html_m3367cdaa.jpg

  1. а) Дана пирамида со сторонами основания a=10,b=24,c=26 см и апофема равна l=10 см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

б) Дана пирамида со сторонами основания a=10,b=13,c=13 см и высотой h2=. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

  1. а) Дана усеченная правильная треугольная пирамида со сторонами a1=26 и а2=14 см и высотой h=8 см. Найдите площадь полной поверхности усеченной пирамиды. hello_html_m1aa89a30.jpg



  • б) Плоскость, параллельная плоскости основания правильной четырехугольной пирамиды, делит высоту пирамиды в отношении 1:2, считая от вершины пирамиды. Апофема полученной усеченной пирамиды равна l=6 дм, а площадь ее полной поверхности равна S п. =490 дм2. Найдите высоту усеченной пирамиды.











Контрольная работа №5 «Тела вращения». 1 вариант.

  1. а) Осевое сечение цилиндра – прямоугольник, стороны которого диаметр и образующая цилиндра соответственно. Диагональ осевого сечения цилиндра равна АС = 24 см. Угол α между этой диагональю и диаметром цилиндра равен 30°. Найдите высоту, радиус, площадь основания цилиндра.hello_html_1ffef818.jpg

б) Концы отрезка АВ лежат на окружностях оснований цилиндра. Радиус цилиндра равен r, его высота-h, а расстояние между прямой АВ и осью цилиндра равно d. Найдите h, если r = 5, d = 4, АВ = 10 см.

в) Концы отрезка АВ лежат на окружностях оснований цилиндра. Радиус цилиндра равен r, его высота-h, а расстояние между прямой АВ и осью цилиндра равно d. Найдите d, если r = 10, h = 5, АВ = 13 см.

г) Найдите площадь боковой и полной поверхности цилиндра, если его радиус равен r, а высота -h, при r = 3 см и h = 5 см.hello_html_m5c3b6be3.jpg

  1. а) Высота конуса равна h = 24 см, а радиус основания равен r = 10 см. Найдите образующую конуса l.hello_html_m52e6da7e.jpg

б) Осевое сечение конуса – прямоугольный

треугольник ΔАВС. Найдите площадь этого сечения, если радиус основания конуса равен r = 6 см.hello_html_m45781634.jpg

в) Радиусы оснований усеченного конуса равны r 1 = 6 и r 2 = 11 см, а образующая равна l = 13 см. Найдите высоту и площадь осевого сечения усеченного конуса, если его осевое сечение-трапеция.

г) Разверткой боковой поверхности конуса является сектор с дугой α. Найдите α и площадь боковой, полной поверхности конуса, если его радиус основания равен 6 см, а образующая равна 20 см.hello_html_1754fa31.jpg

д) Разверткой боковой поверхности конуса является сектор с дугой α. Найдите площадь боковой и полной поверхности конуса, если α = 90°, а образующая равна 12 см.hello_html_50087654.jpg

  1. а) Точка М- середина отрезка АВ, концы которого лежат на сфере радиуса R с центром О. Найдите ОМ, если R = 10 дм, АВ = 12 дм.

б) Найдите координаты центра и радиус сферы, заданной уравнением
x2 + y2 + z2 = 25.

в) Найдите координаты центра и радиус сферы, заданной уравнением

(x3)2 + (y+4)2 + z2 = 49.

г) Все стороны треугольника ABC касаются сферы радиуса R = 7 см. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если ВС = а = 10 см, АС = в = 10 см, АВ = с = 12 см.









Контрольная работа №5 «Тела вращения». 2 вариант.hello_html_m63c43d85.jpg

  1. а) Осевое сечение цилиндра – прямоугольник, стороны которого диаметр и образующая цилиндра соответственно. Диагональ осевого сечения цилиндра равна АС = 20 см. Угол α между этой диагональю и диаметром цилиндра равен 30°. Найдите высоту, радиус, площадь основания цилиндра.

б) Концы отрезка АВ лежат на окружностях оснований цилиндра. Радиус цилиндра равен r, его высота-h, а расстояние между прямой АВ и осью цилиндра равно d. Найдите h, если r = 13, d = 5, АВ = 26 см.

в) Концы отрезка АВ лежат на окружностях оснований цилиндра. Радиус цилиндра равен r, его высота-h, а расстояние между прямой АВ и осью цилиндра равно d. Найдите d, если r = 5, h = 8, АВ = 10 см.

г) Найдите площадь боковой и полной поверхности цилиндра, если его радиус

равен r, а высота -h, при r = 5 см и h = 6 см.hello_html_m5c3b6be3.jpg

  1. а) Высота конуса равна h = 12 см, а радиус основания равен r = 5 см. Найдите образующую конуса l.hello_html_m7f1e506d.png

б) Осевое сечение конуса – прямоугольный треугольник Δ АВС. Найдите площадь этого сечения, если радиус основания конуса равен r = 8 см. hello_html_7a5cab4a.png

в) Радиусы оснований усеченного конуса равны r 1 = 3 и r 2 = 11 см, а образующая равна l = 17 см. Найдите высоту и площадь осевого сечения усеченного конуса, если его осевое сечение-трапеция.

г) Разверткой боковой поверхности конуса является сектор с дугой α. Найдите α и площадь боковой, полной поверхности конуса, если его радиус основания равен 5 см, а образующая равна 30 см.hello_html_1754fa31.jpg

д) Разверткой боковой поверхности конуса является сектор с дугой α. Найдите площадь боковой и полной поверхности конуса, если α = 60°, а образующая равна 18 см.

  1. а) Точка М- середина отрезка АВ, концы которого лежат на сфере радиуса R с центром О. Найдите ОМ, если R = 17 дм, АВ = 16 дм.hello_html_445df525.jpg

б) Найдите координаты центра и радиус сферы, заданной уравнением x2 + y2 + z2 = 64.

в) Найдите координаты центра и радиус сферы, заданной уравнением

(x+2)2 + (y3)2 + z2 = 81.

г) Все стороны треугольника ABC касаются сферы радиуса R = 6 см.Найдите расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если ВС = а = 6 см, АС = в = 8 см, АВ = с = 10 см.





Контрольная работа №6 «Объёмы тел». 1 вариант.

  1. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, у которого стороны основания равны a и b, а высота равна h,если a = 4, b = 5, h = 6 см.

  2. а) Дана правильная треугольная призма со стороной основания a = 6 см и высотой
    h = 10 см. Найдите объем этой призмы.

б) Дана правильная четырехугольная призма со стороной основания a = 6 см и
высотой
h = 2 см. Найдите объем этой призмы.

  1. а) Пусть V, r и h соответственно объем, радиус и высота цилиндра. Найдите V,
    если
    r = 5 см, h = 6 см.

б) Пусть V, r и h соответственно объем, радиус и высота цилиндра. Найдите h, если r = 10 см, V = 400 см3.

  1. а) Найдите объем правильной треугольной пирамиды, высота которой равна h, а сторона основания равна a, если a = 9 см, h = 8 см.

б) Найдите объем правильной усеченной треугольной пирамиды, высота которой равна h, а стороны основания равны a1 и а2, если a1 = 4 см, а2 = 8 см, h = 3 см.

  1. а) Пусть V, r и h соответственно объем, радиус основания и высота конуса. Найдите V, если r = 4 см, h = 6 см.

б) Пусть V, r и h соответственно объем, радиус основания и высота конуса. Найдите h, если r = 6 см, V = 288 см3.

в) Радиусы оснований усеченного конуса равны r 1 и r 2 , а высота равна h. Найдите объем усеченного конуса V, если r 1 = 3 м, r 2 = 4 м, h = 3 м.

г) Радиусы оснований усеченного конуса равны r 1 и r 2 , а объем равен V. Найдите высоту усеченного конуса h, если r 1 = 3 м, r 2 = 5 м, V = 294 м3.

  1. а) Пусть V, R соответственно объем и радиус шара. Найдите объем шара V, если R = 6 см.

б) Пусть V, d соответственно объем и диаметр шара. Найдите диаметр шара d, если V = см3.

в) Пусть V1, V 2 , V 3 соответственно объем шарового сегмента, объем шарового слоя, объем шарового сектора, R- радиус шара, h – высота шарового сегмента.
Найдите
V1, V 2 , V 3 , если R = 42 см и h = 30 см.











Контрольная работа №6 «Объёмы тел». 2 вариант.

  1. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, у которого стороны основания равны a и b, а высота равна h,если a = 5, b = 6, h = 10 см.

  2. а) Дана правильная треугольная призма со стороной основания a = 4 см и
    высотой
    h = 3 см. Найдите объем этой призмы.

б) Дана правильная четырехугольная призма со стороной основания a = 8 см и
высотой
h = 2 см. Найдите объем этой призмы.

  1. а) Пусть V, r и h соответственно объем, радиус и высота цилиндра. Найдите V,
    если
    r = 4 см, h = 10 см.

б) Пусть V, r и h соответственно объем, радиус и высота цилиндра. Найдите r,
если
V = 400 см3, h = 4 см.

  1. а) Найдите объем правильной треугольной пирамиды, высота которой равна h, а сторона основания равна a, если a = 6 см, h = 2 см.

б) Найдите высоту правильной усеченной шестиугольной пирамиды, объем которой равна V, а стороны основания равны a1 и а2, если a1= 4 см, а2 = 6 см, V = 304 см3.

  1. а) Пусть V, r и h соответственно объем, радиус основания и высота конуса. Найдите V, если r = 2 см, h = 2 см.

б) Пусть V, r и h соответственно объем, радиус основания и высота конуса. Найдите r, если h = 18 см, V = 216 см3.

в) Радиусы оснований усеченного конуса равны r 1 и r 2 , а высота равна h. Найдите объем усеченного конуса V, если r 1 = 3 м, r 2 = 4 м, h = 6 м.

г) Радиусы оснований усеченного конуса равны r 1 и r 2 , а объем равен V. Найдите высоту усеченного конуса h, если r 1 = 2 м, r 2 = 4 м, V = 84 м3.

  1. а) Пусть V, R соответственно объем и радиус шара. Найдите объем шара V, если R = 3 см.

б) Пусть V, d соответственно объем и диаметр шара. Найдите диаметр шара d, если V = см3.

в) Пусть V1, V 2 , V 3 соответственно объем шарового сегмента, объем шарового слоя, объем шарового сектора, R- радиус шара, h – высота шарового сегмента.
Найдите
V1, V 2 , V 3 , если R = 42 см и h = 15 см.











Контрольная работа №7 «Координаты и векторы». 1 вариант.

  1. В тетраэдре АВСD точки M,N и K - середины ребер АС, ВС и СD соответственно, АВ= 4 см, ВС= 6 см, ВD =8 см. Найдите длины векторов: hello_html_bd1e477.jpg

АВ, ВС, ВD, NM, ВN, NK.

  1. Упростите выражение : АВ + MN + ВС + СА + PQ + NM.

  2. Запишите разложение векторов по координатным векторам i, j, k:

а) а , б) b .

  1. Середина отрезка АВ точка М лежит на оси Ох.

Найдите m и n, если А( -3; m; 5 ), В(2; -1; n).

  1. а) Найдите угол между векторами а и b .

б) Даны векторы а , b , с . Найдите а b, ас, bс, ( а + b)с .

в) Даны векторы а , b , с . Найдите координаты векторов m = 3 b 2а + с и n = 3с 2b + а.



Контрольная работа №7 «Координаты и векторы». 2 вариант.

  1. В тетраэдре АВСD точки M,N и K - середины ребер АС, ВС и СD соответственно, АВ = 6 см, ВС= 8 см, ВD = 12 см. Найдите длины векторов: hello_html_bd1e477.jpg

АВ, ВС, ВD, NM, ВN, NK.

  1. Упростите выражение : FP + QT + PR + RF + KL + TQ.

  2. Запишите разложение векторов по координатным векторам i, j, k:

а) с , б) d .

  1. Середина отрезка АВ точка М лежит на оси Ох.

Найдите m и n, если А( 0; m; n+1 ), В(1; n; m+1).

  1. а) Найдите угол между векторами а и b .

б) Даны векторы а , b , с . Найдите а b, ас, bс, ( а + b)с .

в) Даны векторы а , b , с . Найдите координаты векторов m = 3 b 2а + с и n = 3с 2b + а.









Контрольная работа №8 «Пропорция. Проценты». 1 вариант.

  1. Перевести в проценты число и наоборот:

а) 0,7, б) 1,7, в) 0,08, г) 6 %, д) 30 %, е) 142 %.

  1. а) В лагере отдыхало 200 детей, причем в 1 отряде - 30% от всего количества детей,

во 2 – 42,5 %, а в 3 – остальные. Сколько детей отдыхало в каждом отряде?

б) По списку должно было проголосовать 300 тыс. человек,

а проголосовало - 240 тыс. человек. Сколько процентов проголосовало?

  1. Решить пропорцию: а) , б) 2 : 3,4 = х : 17,



  1. Вычислить отношение: а) , б) ,



  1. а) Из 15 т руды получено 3 т меди. Сколько тонн меди получится из 20 т этой руды?

б) Все сваренное варенье разложили в 60 баночек вместимостью 350 мл.

Сколько для этого понадобилось бы баночек вместимостью 200 мл, 300 мл?

Какой вместимостью понадобилось бы баночки, если их было 50?

в) Из 5 ц молока получается 40 кг сыра.

Сколько центнеров молока потребуется для изготовления 80 кг сыра, 160 кг сыра?

Сколько килограммов сыра получится из 1 ц молока?

  1. Акциями предприятия владеют фирмы А,В,С.

Количество их акций находится в отношении 4:12:9 и составляет 75% от числа всех выпущенных акций. Остальными 400000 акций владеют работники этого предприятия.

Сколько акций имеет каждая из фирм?



















Контрольная работа №8 «Пропорция. Проценты». 2 вариант.

  1. Перевести в проценты число и наоборот:

а) 0,3, б) 2,3, в) 0,07, г) 2 %, д) 70 %, е) 105 %.

  1. а) В лагере отдыхало 1000 детей, причем в 1 отряде - 60% от всего количества детей,

во 2 – 32,5 %, а в 3 – остальные. Сколько детей отдыхало в каждом отряде?

б) В школе училось 600 детей, за 1 полугодие их число увеличилось и стало 660 детей.

Сколько процентов стало в школе учеников?

  1. Решить пропорцию: а) , б) 3 : 4,2 = у : 7,



  1. Вычислить отношение: а) , б) ,



  1. а) Чтобы выполнить заказ за 15 дней, мастерская должна шить по 12 курток в день. Сколько курток в день надо шить, чтобы выполнить заказ за 5 дней ?

б) Некоторое количество чая разложено в упаковки. Если вместимость упаковки 200 г, то их надо 70 шт.

Сколько штук надо упаковок , если вместимость упаковки 100 г, 400 г?

Какой вместимостью понадобились бы упаковки, если их было 20?

в) На ипподроме лошадь, пробегая по кругу 15 раз, преодолевает 24 км.

Сколько раз она пробегает по кругу, если она преодолевает 48 км, 8 км?

Сколько километров она преодолевает ,пробежав по кругу 25 раз?

  1. Акциями предприятия владеют фирмы А,В,С.

Количество их акций находится в отношении 4:12:9 и составляет 75% от числа всех выпущенных акций. Остальными 500000 акций владеют работники этого предприятия.

Сколько акций имеет каждая из фирм?











Контрольная работа №9 «Уравнения. Неравенства». 1 вариант.

  1. Упростить выражение, используя формулы сокращенного умножения:

а) ( х-3 )2, б) ( х+9 )2, в) ( 4х+3 )2 , г) ( 5х-7 )2, д) х2-625, е) ( х +14 ) ( х -14 ), ж) (5х +7 ) ( 5х -7 ),

з) -144х2 + 169 у2, и) 2252 - 2242, к) 3,52 – 3,42.

  1. Решить уравнения: а) 2х2 - 3х- 2 = 0, б) - х2 + х + 30 = 0.

  2. Решить систему уравнений: а) , б) ,

  • в) ,

  1. Решить систему неравенств: а) , б) ,

  • в)

  1. Вычислите координаты точек пересечения парабол у = 3х2 – 8х-2 и у = х2 + 22.







Контрольная работа №9 «Уравнения. Неравенства». 2 вариант.

  1. Упростить выражение, используя формулы сокращенного умножения:

а) ( х - 5 )2, б) ( х+1 )2, в) ( 5х+3 )2 , г) ( 3х-7 )2, д) х2-169, е) ( х +17 ) ( х -17 ), ж) (3х +7 ) ( 3х -7 ), з) -169х2 + 225 у2, и) 3252 - 3242, к) 7,92 – 7,82.

  1. Решить уравнения: а) 2х2 + 7х- 4 = 0, б) - х2 - х + 42 = 0.

  2. Решить систему уравнений: а) , б) ,

  • в) ,

  1. Решить систему неравенств: а) , б) ,

  • в)

  1. Вычислите координаты точек пересечения парабол у = 2х2 – 6х+3 и у = х2 - 2х.









Контрольная работа №10 «Тригонометрические функции».

1 вариант.

  1. Вычислить: а) sin , б) cos , в) cos2sin2 , г) 2 sin cos , д) sin α = - 0.6, α 4 четв. , cos α = ? , tg α = ?,

  2. Вычислить: а) 2 arcsin + 3 arcsin( - ), б) arccos (-1) + arccos , в) sin(4 ), г) cos(6 arccos 1), д) sin(arcsin 0.3),

  3. Решить уравнение: а) (6 – cos x) ( 1- sin x) = 0, б) 6 cos2 x +7 cos x – 3 = 0, в) cos2 3x - cos 3x cos 5x = 0, г) 3sin2 x + sin x cos x – 2 cos2 x = 0,

  4. Найдите все корни уравнения, принадлежащие промежутку (0; 2) : а) tg х = 1, б) tg х = ;

  5. Найдите множество значений функции у= sin х, если х.

  6. Постройте график функции : а) у = 2sin х, б) у = 6 cos x.







Контрольная работа №10 «Тригонометрические функции».

2 вариант.

  1. Вычислить: а) sin , б) cos , в) cos2sin2 , г) 2 sin cos , д) sin α = 0.6, α 1 четв. , cos α = ? , tg α = ?,

  2. Вычислить: а) arcsin0 + 2 arcsin1,б) arccos 1 + arccos , в) sin(3 ), г) tg (4 ), д) cos (arccos 0.7),

  3. Решить уравнение: а) (6 – sinx) ( 1+ cos x) = 0, б) 3 sin2 x -5 sin x – 2 = 0, в) sin2 5xsin x sin 5x = 0, г) 2sin2 x + 3sin x cos x – 2 cos2 x = 0,

  4. Найдите все корни уравнения, принадлежащие промежутку (0; 2) : а) tg х = -1, б) tg х = ;

  5. Найдите множество значений функции у= cos х, если х.

  6. Постройте график функции : а) у = 2 cos х, б) у = 6 sin x.











Контрольная работа №11 «Виды уравнений и неравенств».

1 вариант.

  1. Решить уравнение: а) = 2, б) = 2, в)

  2. Решить уравнение: а) = 25, б)

  3. Решить неравенство: а) , б) ,

  4. Вычислить: а) , б) , в) ,

  5. Решить уравнение:

  6. Решить неравенства: а) б)















Контрольная работа №11 «Виды уравнений и неравенств».

2 вариант.

  1. Решить уравнение: а) = 1, б) = 2, в)

  2. Решить уравнение: а) = 6, б)

  3. Решить неравенство: а) , б) ,

  4. Вычислить: а) , б) , в) ,

  5. Решить уравнение:

  6. Решить неравенства: а) б)











Контрольная работа №12 «Производная».

1 вариант.

  1. Найдите производную функции:

а) у = 2х4х3+3х+4, б) у = (2х+3)8, в) у = (3х2)-3, г) у = 6 ,

  1. Найдите производную функции:

а) у = 5 4 sinх, б) у = 3 cosх 4, в) у = 6 х4 9, г) у = sin5х + cos (2х3), д) у = ,

  1. Найдите производную функции:

а) у = х2, б) у = (х+3) (х2 3), в) у = 2, г) у = , д) у = ,

  1. Найдите значение х , при котором производная функции равна нулю
    / =0), для функции: а) у = 2х3 +3х236х+12, б) у = х2 +6х 20 ( х),

  2. Найдите значение х , при котором производная функции равна единице (у/ = 1), для функции: а) у = , б) у = .




Контрольная работа №12 «Производная».

2 вариант.

  1. Найдите производную функции:

а) у = 3х53+4х2 1, б) у = (43х)7, в) у = (14х)-5, г) у = 8 ,

  1. Найдите производную функции:

а) у = 6 +7cos х, б) у = 2sinх 5, в) у = 5 х3 2, г) у = sin3) - , д) у =6 sin ,

  1. Найдите производную функции:

а) у = х2, б) у = (х4) (х2 + 4), в) у = 3, г) у = , д) у = ,

  1. Найдите значение х , при котором производная функции равна нулю
    ( у
    / =0), для функции: а) у = 2х3 +12х2-30х+15, б) у = х2 +8х 42 ( х),

  2. Найдите значение х , при котором производная функции равна
    единице (у
    / = 1), для функции: а) у = , б) у = .









Контрольная работа №13 «Применение производной».

1 вариант.

  1. Найдите интервалы возрастания и убывания функции:

а) у = х2 14х +7, б) у = х4 2 +3 ,

  1. Найдите точки экстремума функции:

а) у = х2 4х +5, б) у = + ,

  1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:

а) у = х3 6 х2 +9х, х б) у = х4 2 +3, х ,

  1. а) Из всех прямоугольников с периметром Р= 24 см, найдите прямоугольник с наибольшей площадью.

б) Число 120 представить в виде суммы 2 чисел, сумма квадратов которых наименьшая.

  1. Построить график функции с исследованием: у = х2 10х +25.









Контрольная работа №13 «Применение производной».

2 вариант.

  1. Найдите интервалы возрастания и убывания функции:

а) у = х2 +16х +9, б) у = х4 2 +5 ,

  1. Найдите точки экстремума функции:

а) у = х2 10х + 9, б) у = + ,

  1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:

а) у = х3 + 6 х2 +9х, х б) у = х4 2 +5,х ,

  1. а) Из всех прямоугольников с периметром Р= 16 см, найдите прямоугольник с наибольшей площадью.

б) Число 140 представить в виде суммы 2 чисел, сумма квадратов которых наименьшая.

  1. Построить график функции с исследованием: у = х28х +16.











Контрольная работа №14 «Первообразная».

1 вариант.

  1. Покажите, что функция F(x) является первообразной для функции f(x): F(x) = + х3 - cos х , f(x) = 2 + 2 + sinх,

  2. Найдите одну из первообразных для функции f(x):

а) f(x) = 2 х5 2 +2, б) f(x) = 5 х4 +2 х3 – 6, в) f(x) = 6 х5 + 7 х6 4, г) f(x) = 5 cos х4 sinх, д) f(x) = 6 3 + 2 cos х,

  1. Найдите все первообразные для функции f(x): а) f(x) = sin(3х + 5), б) f(x) = cos (2х1), в) f(x) = , г) f(x) = ,

  2. Вычислите интегралы:

а) , б) , в),

  1. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) у = х2 +6х и осью ох , б) у = х2 +1 и у = 10 , в) у = , х=1,х=9, у=0.





Контрольная работа №14 «Первообразная».

2 вариант.

  1. Покажите, что функция F(x) является первообразной для функции f(x): F(x) = + х2 - sinх, f(x) = 3 + - cos х,

  2. Найдите одну из первообразных для функции f(x):

а) f(x) = 4х52 +5, б) f(x) = 10 х4 +4 х3 – 7, в) f(x) = 8 х7 5 х4 +10х 6, г) f(x) = 3 cos х 2 sinх, д) f(x) = 7 5 + 4 cos х,

  1. Найдите все первообразные для функции f(x): а) f(x) = sin(4х + 3), б) f(x) = cos (8х 1), в) f(x) = , г) f(x) = ,

  2. Вычислите интегралы:

а) , б) , в),

  1. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) у = х2 +12х и осью ох , б) у = х2 +3 и у = 12 , в) у = , х=0, х=1, у=0.













Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "УМК по прфессии Повар- кондитер."

Получите профессию

Технолог-калькулятор общественного питания

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ #U041a#U0440#U0438#U0442#U0435#U0440#U0438#U0438 #U043e#U0446#U0435#U043d#U0438#U0432#U0430#U043d#U0438#U044f #U0437#U0430#U0447#U0435#U0442#U043e#U0432 #U0434#U043b#U044f #U041d#U041f#U041e.docx

Критерии оценивания зачетов для НПО :

А- на «3», В- на «4», С- на «5».



Зачет №1 А- 1 часть.№ 1,2,4, 2 часть. №1,2(а),3(а-г), В-1 часть, 2 часть--№ 1-4, С- 1 часть, 2 часть - № 1-5.

Зачет №2 А- 1 часть кратко №1-6, 2 часть - № 1-3, В- 1 часть, 2 часть - № 1-4, С-1 часть, 2 часть - № 1-5.

Зачет №3 А- , В- №1-4, С- №1-5.

Зачет №4

А- часть А № 1-10, часть В № 1-6,

В- часть А № 1-8, часть В № 1-4,

С- часть А № 1-10.

Зачет №5 А- , В- №1-4, С- №1-6.

Зачет №6 А- , В- №1-3,5, С- №1-5.





Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "УМК по прфессии Повар- кондитер."

Получите профессию

Методист-разработчик онлайн-курсов

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ #U041a#U0440#U0438#U0442#U0435#U0440#U0438#U0438 #U043e#U0446#U0435#U043d#U0438#U0432#U0430#U043d#U0438#U044f #U043a#U043e#U043d#U0442#U0440#U043e#U043b#U044c#U043d#U044b#U0445 #U0440#U0430#U0431#U043e#U0442 #U0434#U043b#U044f #U041d#U041f#U041e.docx

Критерии оценивания контрольных работ для НПО :

А- на «3», В- на «4», С- на «5».

1 курс.

К-1 . А – 3 задания, В- 4 задания, С- 5 заданий.

К-2 . А - № 1,2,4,5, В - № 1- 6, С - № 1- 7.

К-3 . А - № 1,2,4, В - № 1- 4, С - № 1- 4, №5-на выбор 1 задача.

К-4 . А - № 1,2,3(б),4(а), В - № 1- 4, С - № 1- 4, №5-на выбор 1 задача.

К-5 . А – -№ 1(б, в, г ),2(а,б), 3(б,в), В – -№ 1 ,2(а-г), 3(а-в),4(а), С -№ 1- 3.

К-6 . А – № 1- 3, 5(а, в),6(а), В –№ 1- 3, 4(а),5,6(а,б), С -№ 1- 6.

К-7 . А – № 1- 3, В - № 1- 4, С- № 1- 5,

К-8 . А - № 1- 4, В- № 1- 5, С-№ 1- 6.

К-9 . А - № 1(а, в, д , е, и ),2, 3(а),4(а),

В - № 1(а,б, д , е, и,к ),2, 3(а,б),4(а),5, С - № 1- 5.



2 курс.

К-10 . А – № 1(а,б),2 ,3(а,б),5, В – № 1- 4, 5 (а),6 (а), С - № 1- 6.

К-11 . А – № 1 ,2 ,3(а),4 , В – № 1- 5, С - № 1- 6.

К-12 . А – № 1(а,б,в),2 ,3(а),4(а), В – № 1,2,3(а,г),4, 5 (а), С - № 1- 5.

К-13 . А – № 1(а),2(а),3(а),4(а), В – № 1- 4, С - № 1- 5.

К-14 . А – № 1,2,3,4(а), В – № 1- 4, 5(б), С - № 1- 5.



Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "УМК по прфессии Повар- кондитер."

Получите профессию

Менеджер по туризму

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ #U041f#U043e#U044f#U0441#U043d#U0438#U0442#U0435#U043b#U044c#U043d#U0430#U044f #U0437#U0430#U043f#U0438#U0441#U043a#U0430 #U043a #U043a.#U0440,#U0437,#U043d#U043f#U043e,#U043f#U043e#U0432#U0430#U0440#U0430.docx


Пояснительная записка

к контрольным работам и зачетам.

Учебная дисциплина: математика.



Назначение.

Оценка уровня освоения и качества подготовки обучающихся по учебной дисциплине для профессии НПО:

260807.01 . Повар- кондитер.


Контрольно-измерительные материалы разработаны в соответствии с требованиями федерального компонента государственного стандарта среднего (полного) общего

образования и рабочей программой по учебной дисциплине.


Содержание и структура заданий.

В содержание включены задания по наиболее значимому изученному материалу

дисциплины по следующим разделам:


  1. Алгебра и начала анализа.

  2. Геометрия.


Форма проведения: письменная


Время выполнения: 1 ч.


Критерии оценки: по количеству заданий, указаны в приложении.



























Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "УМК по прфессии Повар- кондитер."

Получите профессию

Экскурсовод (гид)

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ #U0437#U0430#U0447#U0435#U0442 #U2116 1.docx

Зачет №1 «Планиметрия». 1вариант.



1 часть.

Построить:

  1. Угол в 30°, 90°,120°, подписать вид угла;

  2. Остроугольный треугольник ;

  3. Высоту, медиану, биссектрису в треугольнике;

  4. Параллелограмм, ромб, прямоугольник, квадрат, трапецию;

  5. Окружность;

2 часть.

  1. а) Дано: АВ= 12 см, АС = 8 см, СВ = ?,

б) Дано: 1 = 30°, 2 = 50°, АВС = ?,

в) Дано: 1 : 2 = 2 : 5 , АВС = 70°, 1 = ?, 2= ?,

  1. а) Дано: АВС – прямоугольный, а = 3 см, b = 4 см, с = ?,

б) Дано: АВС – прямоугольный, с = 15 см, а = 12 см, b = ?,

в) Дано: АВС – прямоугольный, а = 15 см, b = 3 см, с = ?,

  1. а) Дано: АВСD – прямоугольник, а = 2 см, b = 5 см. Найдите S.

б) Дано: АВСD – параллелограмм, а = 10 см, h = 5 см. Найдите S.

в) Дано: АВСD – ромб, d1 = 10 см, d2 = 3 см. Найдите S.

г) Дано: АВСD – трапеция, а = 10 см, b = 5 см, h = 4 см. Найдите S.

д) Дано: АВС, а = 15 см, b = 20 см, с = 25 см. Найдите S.

е) Дано: АВС, а = 10 см, b = 40 см, sin С = 0,5. Найдите S.

  1. Дано: правильный треугольник , n = 3, R = 3 см, Найдите r, а3, P , S.

  2. Дано: АВС, а = 14 см, b = 18 см, с = 20 см. Найдите А, В,С.













Зачет №1 «Планиметрия». 2 вариант.



1 часть.

Построить:

  1. Угол в 60°, 90°,150°, подписать вид угла;

  2. Тупоугольный треугольник ;

  3. Высоту, медиану, биссектрису в треугольнике;

  4. Параллелограмм, ромб, прямоугольник, квадрат, трапецию;

  5. Окружность;

2 часть.

  1. а) Дано: АС= 3 см, СВ = 8 см, АВ = ?,

б) Дано: 1 = 20°, АВС = 70°,2= ?,

в) Дано: 1 : 2 = 3 : 5 , АВС = 80°, 1 = ?, 2= ?,

  1. а) Дано: АВС – прямоугольный, а = 6 см, b = 8 см, с = ?,

б) Дано: АВС – прямоугольный, с = 26 см, а = 10 см, b = ?,

в) Дано: АВС – прямоугольный, а = 16 см, b = см, с = ?,

  1. а) Дано: АВСD – прямоугольник, а = 4 см, b = 5 см. Найдите S.

б) Дано: АВСD – параллелограмм, а = 10 см, h = 2 см. Найдите S.

в) Дано: АВСD – ромб, d1 = 10 см, d2 = 5 см. Найдите S.

г) Дано: АВСD – трапеция, а = 12 см, b = 14 см, h = 7 см. Найдите S.

д) Дано: АВС, а = 18 см, b = 24 см, с = 30 см. Найдите S.

е) Дано: АВС, а = 20 см, b = 30 см, sin С = 0,5. Найдите S.

  1. Дано: правильный треугольник , n = 3, r = 2 см, Найдите R, а3, P , S.

  2. Дано: АВС, а = 21 см, b = 27 см, с = 30 см. Найдите А, В,С.













Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "УМК по прфессии Повар- кондитер."

Получите профессию

Секретарь-администратор

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ #U0417#U0430#U0447#U0435#U0442 #U21162 (1 #U0447#U0430#U0441#U0442#U044c).docx

Зачет №2 по геометрии (1часть):

Билет № 1.

  1. Аксиомы стереометрии (А123).

  2. Определение перпендикулярности прямой и плоскости.

  3. Определение многогранника, его элементы, примеры.

  4. Цилиндр, его элементы, сечения, формулы для нахождения площади.

  5. Понятие вектора, его длина, направление, равенство векторов, примеры.

  6. Формула для нахождения объема параллелепипеда(теорема №22).

Билет № 2.

  1. Теорема о плоскости, проходящей через две пересекающиеся прямые (теорема №1, 2).

  2. Свойства перпендикулярности прямой и плоскости (теорема №10,11).

  3. Призма, ее элементы, формулы для нахождения площади(теорема №17).

  4. Конус, его элементы, сечения, формулы для нахождения площади.

  5. Правила сложения и вычитания векторов.

  6. Формула для нахождения объема пирамиды(теорема №26).

Билет № 3.

  1. Определение параллельных прямых.

  2. Признак перпендикулярности прямой и плоскости (теорема № 12).

  3. Пирамида, ее элементы, формулы для нахождения площади.

  4. Усеченный конус, его элементы, формулы для нахождения площади.

  5. Умножение вектора на число, его свойства.

  6. Формула для нахождения объема цилиндра(теорема №24).

Билет № 4.

  1. Параллельные прямые в пространстве (теорема №3,4).

  2. Теорема о прямой перпендикулярной к плоскости (теорема №13).

  3. Правильная пирамида, ее элементы, формулы для нахождения площади.

  4. Сфера, ее элементы, уравнение сферы.

  5. Компланарные векторы(теорема №29).

  6. Формул для нахождения объема прямой и наклонной призмы (теоремы №23 и № 25).

Билет № 5.

  1. Лемма о параллельных прямых.

  2. Расстояние от точки до плоскости, перпендикуляр и наклонные.

  3. Формула площади боковой поверхности правильной пирамиды (теорема №18).

  4. Взаимное расположение сферы и плоскости.

  5. Координаты вектора, их свойства.

  6. Формула для нахождения объема усеченного конуса.









Билет № 6.

  1. Взаимное расположение прямой и плоскости.

  2. Теорема о трех перпендикулярах и ей обратная теорема (теорема №14).

  3. Усеченная пирамида, ее элементы, формулы для нахождения площади(теорема №19).

  4. Касательная плоскость к сфере, свойства (теорема №20,21).

  5. Простейшие задачи в координатах.

  6. Формула для нахождения объема цилиндра(теорема №24).

Билет № 7.

  1. Определение параллельности прямой и плоскости.

  2. Определение угла между прямой и плоскостью.

  3. Симметрия в пространстве.

  4. Цилиндр, его элементы, сечения, формулы для нахождения площади.

  5. Скалярное произведение векторов, его свойства.

  6. Формула для нахождения объема шара(теорема №28), формулы и определение шарового сегмента, слоя, сектора.

Билет № 8.

  1. Признак параллельности прямой и плоскости (теорема №5).

  2. Определение двугранного угла, линейного угла двугранного угла.

  3. Правильные многогранники.

  4. Конус, его элементы, сечения, формулы для нахождения площади.

  5. Понятие вектора, его длина, направление, равенство векторов, примеры.

  6. Формулы для нахождения объема пирамиды, усеченной пирамиды(теорема №28 и следствие).

Билет № 9.

  1. Определение скрещивающихся прямых (теоремы №6,7,8).

  2. Градусная мера двугранного угла, виды двугранных углов.

  3. Элементы симметрии правильных многогранников.

  4. Усеченный конус, его элементы, формулы для нахождения площади.

  5. Правила сложения и вычитания векторов.

  6. Формула для нахождения объема параллелепипеда(теорема №22).

Билет № 10.

  1. Взаимное расположение прямых в пространстве.

  2. Определение перпендикулярности плоскостей.

  3. Определение многогранника, его элементы, примеры.

  4. Сфера, ее элементы, уравнение сферы.

  5. Умножение вектора на число, его свойства.

  6. Формула для нахождения объема усеченного конуса.







Билет № 11.

  1. Определение параллельности плоскостей.

  2. Признак перпендикулярности двух плоскостей (теорема №15,следствие).

  3. Призма, ее элементы, формулы для нахождения площади(теорема №17).

  4. Взаимное расположение сферы и плоскости.

  5. Компланарные векторы(теорема №29).

  6. Формула для нахождения объема цилиндра(теорема №22).

Билет № 12.

  1. Признак параллельности плоскостей (теорема №9).

  2. Определение прямоугольного параллелепипеда, свойства.

  3. Пирамида, ее элементы, формулы для нахождения площади.

  4. Касательная плоскость к сфере, свойства (теорема №20,21).

  5. Координаты вектора, их свойства.

  6. Формула для нахождения объема конуса, усеченного конуса(теорема №27 и следствие).

Билет № 13.

  1. Свойства параллельных плоскостей.

  2. Свойство параллелепипеда, связанное с его измерениями (теорема №16,следствие).

  3. Правильная пирамида, ее элементы, формулы для нахождения площади.

  4. Цилиндр, его элементы, сечения, формулы для нахождения площади.

  5. Простейшие задачи в координатах.

  6. Формула для нахождения объема конуса(теорема №27).

Билет № 14.

  1. Определение тетраэдра, параллелепипеда, их элементы.

  2. Определение куба.

  3. Формула площади боковой поверхности правильной пирамиды (теорема №18).

  4. Конус, его элементы, сечения, формулы для нахождения площади.

  5. Скалярное произведение векторов, его свойства.

  6. Формула для нахождения объема шара(теорема №28), формулы и определение шарового сегмента, слоя, сектора.

Билет № 15.

  1. Построение сечений тетраэдра, параллелепипеда.

  2. Определение перпендикулярности прямой и плоскости.

  3. Усеченная пирамида, ее элементы, формулы для нахождения площади(теорема №19).

  4. Сфера, ее элементы, уравнение сферы.

  5. Простейшие задачи в координатах.

  6. Формула для нахождения объема цилиндра(теорема №22).

Указания: 1 часть-теория по билетам, ответы на все вопросы в письменной форме и еще устно (№ 3,4,6), на «3» кратко, на «4 и 5» полный ответ;

2 часть – задачи, на «3»-УК (УК - учебная карта), на «4 и 5»-задачи по билетам (1-2 вариант).



Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "УМК по прфессии Повар- кондитер."

Получите профессию

Бухгалтер

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ #U0417#U0430#U0447#U0435#U0442 #U21162 (2 #U0447#U0430#U0441#U0442#U044c).docx



Зачет №2 «Стереометрия». 2 часть.1 вариант.



  1. Может ли каждая из двух скрещивающихся прямых быть параллельна третьей прямой?

  2. Через вершину A прямоугольника ABCD проведена прямая AK перпендикулярна к плоскости треугольника. КABCD – пирамида. Известно, что KD=6 см, KB=7 см, KC=9 см.

Найдите: а) КА - расстояние от точки K до плоскости прямоугольника ABCD;

б) DA - расстояние между прямыми AK и CD.

  1. Отрезок OH - высота тетраэдра OABC ,выясните взаимное расположение сферы радиуса R с центром O и плоскостями ABC, если: а) R=6 дм, OH=60 см; в) R=5 дм, OH=45 см.

  2. Площадь сферы равна 324 см². Найдите радиус сферы R.

  3. Даны точки (1,5; 1; -2), B (2; 2; -3); и C (2; 0; -1).

Найдите: периметр треугольника ABC.





Зачет №2 «Стереометрия». 2 часть.2 вариант.



  1. Даны параллелограмм ABCD и трапеция ABEK с основанием EK, не лежащие в одной плоскости.

а) Выяснить взаимное расположение прямых CD и EK.

б) Найдите периметр трапеции, если известно, что в нее можно вписать окружность и AB=22.5 см, EK=27.5 см.

  1. В правильной n-угольной призме сторона основания равна α и высота равна h. Вычислите площади боковой и полной поверхности призмы, если: n=3, а=10 см, h=15 см.

  2. Площадь боковой поверхности конуса равна 80 см². Через середину высоты конуса проведена плоскость, перпендикулярна к высоте. Найдите площадь боковой поверхности образовавшегося при этом усеченного конуса.

  3. Вершины прямоугольника лежат на сфере радиуса 10 см. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости прямоугольника, если его диагональ равна 16 см.

  4. Даны точки А(1;3;0),В(2;3; - 1),С( 1; 2; - 1). Вычислите угол между векторами


СА и СВ.












Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "УМК по прфессии Повар- кондитер."

Получите профессию

HR-менеджер

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ #U0417#U0430#U0447#U0435#U0442 #U21166.docx

Зачет №6 «Корни и степени. Логарифмы».

2 часть. Вариант – 1

Задания уровня А

  1. Вычислите log2 16.

  1. 16

  2. 2

  3. 1

  4. 4

  1. Вычислите log3 3.

  1. 3

  2. 0

  3. 1

  4. 2

  1. Вычислите log3 .

  1. 2

  2. 2

  3. 1

  4. 3

  1. Вычислите .

  1. 5

  2. 2

  3. 16

  4. 1

  1. Вычислите .

  1. 3

  2. 2

  3. 8

  4. 9

  1. Найдите х, если logx 36 = 2.

  1. 6

  2. 2

  3. 36

  4. 64

  1. Вычислите log2 2 log3 81.

  1. 81

  2. 2

  3. 4

  4. 3

  1. Вычислите log12 2 + log12 72.

  1. 2

  2. 3

  3. 1

  4. 12

  1. Вычислите log5 75 – log5 3.

1) 2 2)1 3) 5 4) 3

  1. Решите уравнение log2 x = - 2.

  1. 4 2) 3) -2 4) – 4

  2. 2 часть. Вариант – 2

      1. Задания уровня А

  1. Вычислите log3 27.

  1. 2

  2. 1

  3. 27

  4. 3

  1. Вычислите log4 1.

  1. 1

  1. 4

  1. 0

  1. Вычислите log1/2 4.

  1. 4

  1. 2

  1. 2

  1. Вычислите .

  1. 13

  2. 6

  3. 1

  4. 2

  1. Вычислите .

  1. 2

  2. 15

  3. 3

  4. 9

  1. Найдите х, если log2 4=x.

  1. 4

  2. 2

  3. 2

  4. 1

  1. Вычислите log3 log2 8.

  1. 8

  2. 3

  3. 2

  4. 1

  1. Вычислите lg 5 –lg 2.

  1. 1

  2. 7

  3. 3

  4. 10

  1. Вычислите log3 15 – log3 5.

  1. 1 2)10 3) 3 4) 0

  1. Решите уравнение log6 x = 2.

  1. 3 2)36 3) 64 4) 6

  1. 2 часть. Вариант – 1

  2. Задания уровня В

  3. В1. Вычислить .
    В2. Вычислить .

  4. В3. Вычислить .

  5. В4. Вычислить .

  6. В5. Вычислить .

  7. В6. Вычислить .

  8. Вариант – 2

        1. Задания уровня В

  9. В1. Вычислить .

  10. В2. Вычислить .

  11. В3. Вычислить .

  12. В4. Вычислить .

  13. В5. Вычислить .

  14. В6. Вычислить .

  15. Критерии оценки:

  16. Оценка «5» выставляется, если : выполнено задание : часть А № 1-10, часть В № 1-6. Оценка «4» выставляется, если : выполнено задание : часть А № 1-8, часть В № 1-4. Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание : часть А № 1-10.

  17. Зачет №6 «Корни и степени. Логарифмы». 1 часть.

    Вариант I
    1. Вариант II

    1. Обязательный уровень

    2. (с выбором ответа)

    1. А1. Вычислить: hello_html_m787822f6.gif.1) 81; 2) 9; 3) 3;

    1. А1. Вычислить: hello_html_m5279b27f.gif.1) 1; 2) 2; 3) 20;

    1. А2. Вычислить: -2hello_html_4b249daa.gif.1) -8; 2) 4; 3) -4;

    1. А2. Вычислить hello_html_m8c1d261.gif.1) 100; 2) 10; 3) 1;

    1. А3. Вычислить: hello_html_aa32acb.gif.1) 50; 2) 25; 3) 5;

    1. А3. Вычислить: -6 hello_html_1924394c.gif . 1) - 24; 2) – 12; 3) 12;

    1. А4. Решить уравнение: х6=64

    2. 1) 2; 2) -4; 4 3) -2; 2

    1. А4. Решить уравнение: х5=32

    2. 1) -2; 2) 2; 3) -2; 2

    1. Обязательный уровень (с выбором ответа)

    1. А5. Вычислите . 1) 2; 2) 3; 3) 9; 4) .

    2. А6. Вычислите 1) 0,25; 2) 0,5; 3) 0,15; 4) 5.

    3. А7. Найдите значение выражения: . 1) 12; 2) 6; 3) 3; 4) –3.

    4. А8. Найдите значение выражения: . 1) ; 2) 1,2; 3) ; 4) . А9. Вычислите 1) 48 ; 2) 82; 3) 308 ; 4) 342.

    1. А5. Вычислите . 1) 5; 2) 4; 3) 25; 4) .

    2. А6. Вычислите 1) 0,09; 2) 0,03; 3) 0,3; 4) 3.

    3. А7. Найдите значение выражения: . 1) 45; 2) 5; 3) 3; 4) –45.

    4. А8. Найдите значение выражения: . 1) 5,5; 2) 2,2; 3) ; 4) . А9.Вычислите . 1) 43; 2) 15; 3) –157; 4) –185.

    1. Обязательный уровень (указать ответ)

    1. А10. Вычислить: hello_html_m48fce03c.gif

    1. А10. Вычислить: hello_html_m616f9523.gif

    1. Задания с развернутым решением

    1. В1. Найти значение выражения:

    2. hello_html_m2a921aab.gif

    3. Ответ:

    1. В1. Найти значение выражения:

    2. hello_html_11489113.gif=

    3. Ответ:

  18. Критерии оценки: Правильно выполненные 6 задания – “3”;

  19. Правильно выполненные 10 заданий – “4”;Правильно выполненные 11заданий – “5”.

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "УМК по прфессии Повар- кондитер."

Получите профессию

Интернет-маркетолог

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ #U0417#U0430#U0447#U0435#U0442#U21163.docx

Зачет №3 «Элементы комбинаторики и теории вероятностей».

1 вариант.

  1. а) М(Х) = 5, М(Y) = 7, Z = 3X – 2Y, М(Z) = ?

б) D(Х) = 10, D (Y) = 14, Z = 2X + Y, D (Z) = ? D (Х - Y) =?

  1. Найдите числовые характеристики Х и Y:

  1. Составить закон распределения случайной величины Х- числа мальчиков в семье, имеющей n детей, найти ее математическое ожидание М(Х), дисперсию D (Х), если р = 0,3, n = 3(n = 0,1,2,3).

    а) По данным статистического распределения выборки найдите моду М0 :




    б) По данным вариационных рядов определить медиану Ме: 1) 12457, 2) 123761, 3) 35621, 4) 2235448997.


    1. Дан вариационный ряд ( h = 6, С = 83). Составьте таблицу расчетов и найдите Хв , Dв , σв .



    Зачет №3 «Элементы комбинаторики и теории вероятностей».

    2 вариант.

    1. а) М(Х) = 4, М(Y) = 5, Z = 3X – 2Y, М(Z) = ?

    б) D(Х) = 12, D (Y) = 10, Z = 2X + Y, D (Z) = ? D (Х - Y) =?

    1. Найдите числовые характеристики Х и Y:

    1. Составить закон распределения случайной величины Х- числа мальчиков в семье, имеющей n детей, найти ее математическое ожидание М(Х), дисперсию D (Х), если р = 0,515, n = 4(n = 0,1,2,3,4).

    2. а) По данным статистического распределения выборки найдите моду М0 :



    б) По данным вариационных рядов определить медиану Ме: 1) 23679, 2) 212866 , 3) 67543, 4) 2134668553.


    1. Дан вариационный ряд ( h = 4, С = 102). Составьте таблицу расчетов и найдите Хв , Dв , σв .





    Зачет №3 «Элементы комбинаторики и теории вероятностей».

    1. а) М(Х) = 4, М(Y) = 5, Z = 3X – 2Y, М(Z) = ?

    Решение: М(Z) = 34 - 2 5 = 12 – 10 = …,

    б) D(Х) = 12, D (Y) = 10, Z = 2X + Y, D (Z) = ? D (Х - Y) =?

    Решение: D (Z) = 22 12 + 10 = 412 + 10 = 48 +10 = …,

    D (Х - Y) = 12 + 10 = …,

    1. Найдите числовые характеристики Х и Y:

    Решение:

    М(Х) = р1х1 + р2х2 = 0,3 10 + 0,7 20 = 3 + 14 = …,

    D(Х) = р1х12 + р2х22 – (р1х1 + р2х2)2 = = 0,3100 + 0,7400 – 289 = 30 + 280 - 289 = …, σ (Х) = = …,

    М(Y) = р1у1 + р2у2 + р3у3 = 0,5 30 + 0,2 40 + 0,3 60= = 15 + 8 + 18= …, D(Y) = 0,5 900 + 0,2 1600 + 0,3 3600 – 1681= = 450 + 320 + 1080 - 1681 = …,

    σ (Y) = = = …,

    1. Составить закон распределения случайной величины Х- числа мальчиков в семье, имеющей n детей, найти ее математическое ожидание М(Х), дисперсию D (Х), если р = 0,515, n = 4(n = 0,1,2,3,4).

    Решение: q = 1 - р = 1 – 0,515 = …,

    р(Х=0)= = 0,055,

    р(Х=1)= = = 0,235, р(Х=2)= = 0,375,

    р(Х=3)= = 0,265,

    р(Х=4)= = 0,070,

    = 1, = (1234) : (123)=…, = (43) : (12)=…,

    = = …, = =…,

    Закон распределения имеет вид :

    = 0,055 + 0,235 + 0,375 + 0,265 + 0,070 =…,

    М(Х) = n р= 40,515=…,

    D(Х) = n р q = 4 0,515 0,485 = …,

    1. а) По данным статистического распределения выборки найдите моду М0 :

    Решение: Наибольшее n = 6 для Х= 5, поэтому М0=…,

    б) По данным вариационных рядов определить медиану Ме: 1) 23679, 2) 212866 , 3) 67543, 4) 2134668553.

    Решение: 1) 23679, n =5, Ме = …,

    2) 212866, n =6, Ме = (2+8):2=…, 3) 67543, n =5, Ме = …,

    4) 2134668553. n =10, Ме = (6+6):2=…,

    1. Дан вариационный ряд ( h = 4, С = 102). Найдите Хв , Dв , σв .



    Решение: Хв = - 0,16 4 + 102 =102 – 0,64=…,

    Dв = (2,98 - (- 0,16)2) 16= …, σв =





Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "УМК по прфессии Повар- кондитер."

Получите профессию

Копирайтер

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ #U0417#U0430#U0447#U0435#U0442#U21164-5.docx



Зачет №4 «Тригонометрические преобразования».

1 вариант.

  1. Вычислить: а) sin , б) cos , в) cos2sin2 , г) 2 sin cos , д) sin α = - 0.8, α 4 четв. , cos α = ? , tg α = ?,

  2. Перевести из градусной меры в радианную и наоборот углы:

а) 45°, 60°, 90°, б) , , ,

  1. Вычислить: а) sin , б) cos , в) tg,

г) 2 sin15° cos 15° , д) sin150°,е) cos 210°,

ж) cos 630° - sin 1470°, з) 3 cos 3660° + sin (- 1560°),

  1. Вычислить:

а) cos 50° cos 40° - sin 50° sin 40°,

б) cos 80° cos 20° + sin 80° sin 20°,

в) sin100°cos 50° + sin 50° cos 100,

г) sin 70° cos 40° - sin 40°cos 70°,

  1. а) cos α = 0.8, α 1 четв. , cos 2α = ? ,

б) sin α = - 0.6, α 3 четв. , sin2α = ?

в) tg α = 2, = ?

г) sin α + cos α= 0,3, sin α cos α=?,

  1. Вычислить: а) cos 100° + cos 80°, б) sin 105° - sin 75°, в) Доказать тождество: (1 - sin α) ( 1+ sin α) = cos2 α.



Зачет №4 «Тригонометрические преобразования».

2 вариант.

  1. Вычислить: а) sin , б) cos , в) cos2sin2 , г) 2 sin cos ,д) cos α = 0.6, α 4 четв. ,sin α = ? , tg α = ?,

  2. Перевести из градусной меры в радианную и наоборот углы:

а) 120°, 135°, 210°, б) , , ,

  1. Вычислить: а) sin , б) cos , в) tg,

г) 2 sin75° cos 75° , д) sin210°,е) cos 150°,

ж) cos 990° - sin 1110°, з) 3 cos 3300° + sin (- 1200°),

  1. Вычислить:

а) cos 20° cos 70° - sin 20° sin 70°,

б) cos 70° cos 10° + sin 70° sin 10°,

в) sin80°cos 10° + sin 10° cos 80°,

г) sin 50° cos 20° - sin 20°cos 50°,

  1. а) sin α = 0.6, α 1 четв. , cos 2α = ? ,

б) cos α= - 0.6, α 3 четв. , sin2α = ? ,

в) tg α = 2, = ?

г) sin α + cos α= 0,4, sin α cos α=?,

  1. Вычислить: а) cos 40° + cos 50°,

б) sin 125° - sin 55°,

в) Доказать тождество: (1 - cos α) ( 1+ cos α) = sin 2 α.



Зачет №4 «Тригонометрические преобразования».

  1. Вычислить: а) sin = sin = … , б) cos = - cos = … , в) cos2sin2 = cos cos = …, г) 2 sin cos = sin = =sin = …, д) cos α = 0.6, α 4 четв. ,sin α = ? , tg α = ?,

sin α = = - = - = …,

tg α = = = …,

  1. Перевести из градусной меры в радианную и наоборот углы:

а) 120° = … 135° = , 210° = = =… б) = …, =

  1. Вычислить: а) sin = sin ( 2)= - sin, б) cos = … , в) tg = =tg =…, г) 2 sin75° cos 75°= sin 150°= sin 30°= sin =… , д) sin210° = sin (180° + 30°) = - sin 30° = - sin = …, е) cos 150° = cos (180° - 30°) = - cos 30°= - cos = …,

ж) cos 990° - sin 1110° = cos (720° + 270°) - sin (1080° +30°) = =cos (4) – sin(6) = cos

з) 3 cos 3300° + sin (- 1200°)= cos ( 3240° +60°) - sin( 1080° + 120°) = = cos (18) –sin (6) = cos - sin = …,

  1. Вычислить:

а) cos 20° cos 70° - sin 20° sin 70°= cos (20° + 70°) = cos 90° = cos =…,

б) cos 70° cos 10° + sin 70° sin 10° = cos (70° - 10°) = cos 60° = cos =…,

в) sin80°cos 10° + sin 10° cos 80° = sin (80° +10°)= sin 90° = sin =…,

г) sin 50° cos 20° - sin 20°cos 50°= sin (50° -20°)= sin 30° = sin =…,



  1. а) sin α = 0.6, α 1 четв. , cos 2α = ? ,

cos α = = = = =…, cos 2α = 2 - 1= 20,64 – 1=…,

б) cos α= - 0.6, α 3 четв. , sin2α = ? ,

sin α = = - = - = =…, sin2α = 2(-0,8)(-0,6)=…,

в) tg α = 2, = ?

= = …,

г) sin α + cos α= 0,4, sin α cos α=?,

sin α cos α= (1 – 0,42 ) : 2 =(1-0,16) : 2 =…,



  1. Вычислить: а) cos 40° + cos 50° = - 2 sin sin =

б) sin 125° - sin 55° = 2 sin = =2 cos 90° = 0

в) Доказать тождество: (1 - cos α) ( 1+ cos α) = sin 2 α,


(1 - cos α) ( 1+ cos α) = 1 - =












Зачет №5 «Решение тригонометрических уравнений».

1 вариант.

  1. Вычислить: а) arcsin 0, arcsin , arcsin( - ),

б) arccos 0 , arccos , arccos (-1),

в) arctg , arctg , arctg (-1),

  1. Решите уравнения:

а) sinх = 1, sinх = , sinх = - ,

б) cos х = , cos х = 1, cos х = - ,

в) tgх = 0, tgх = 1 , tg х = - ,

г) ctg х = 1, ctg х = , ctg х = - ,

  1. Решите уравнения:

а) 2 cos2 x +5 cos x – 3 = 0,

б) 3 sin2 x -5 sin x – 2 = 0,

в) tg2 x + tgx – 12 = 0,

г) 4 cos2 x – 12sin x+12 = 0,

  1. Решите уравнения:

а) sinх = 5 cos x,

б) 2sin2 x + 3sin x cos x – 2 cos2 x = 0,

в) sin 3x - sin x = 0,

  1. Вычислить:

а) arcsin0 + arccos 1 , 4arctg (-1) + 3arctg

б) sin(arcsin 0,1), arcsin(sin ) , в) cos (arccos 0,3), arccos(cos ),

г) sin (arccos 0,8), cos(arcsin 0,6).



Зачет №5 «Решение тригонометрических уравнений».

2 вариант.

  1. Вычислить: а) arcsin 1, arcsin , arcsin( - ),

б) arccos 1 , arccos , arccos (-1),

в) arctg ), arctg , arctg 1 ,

  1. Решите уравнения:

а) sinх = - 1, sinх = , sinх = ,

б) cos х = , cos х = - 1, cos х = ,

в) tgх = 0, tgх = - 1 , tg х = ,

г) ctg х = - 1, ctg х = - , ctg х = ,

  1. Решите уравнения:

а) 2sin2 x +5 sin x – 3 = 0,

б) 3 cos2 x -5 cos x – 2 = 0,

в) tg2 x +3tgx – 4 = 0,

г) 4 sin2 x – 12 cos x+12 = 0,

  1. Решите уравнения:

а) sinх = 7 cos x,

б) 2sin2 x + 5sin x cos x – 3 cos2 x = 0,

в) sin 5x - sin x = 0,

  1. Вычислить:

а) 3arcsin0 + 4arccos 1 , 5arctg (-1) + 2 arctg

б) sin(arcsin 0,6), arcsin(sin ) , в) cos (arccos 0,1), arccos(cos ),

г) sin (arccos 0,6), cos(arcsin 0,8).




Зачет №5 «Решение тригонометрических уравнений».

  1. Вычислить по таблице: а) arcsin 1, arcsin , arcsin( - ),

б) arccos 1 , arccos , arccos (-1),

в) arctg ), arctg , arctg 1 ,

  1. Решите уравнения по таблице:

а) sinх = - 1, sinх = , sinх = ,

б) cos х = , cos х = - 1, cos х = ,

в) tgх = 0, tgх = - 1 , tg х = ,

г) ctg х = - 1, ctg х = - , ctg х = ,

  1. Решите уравнения:

а) 2sin2 x +5 sin x – 3 = 0,

sin x = а, -1 а 1, 2а2 + 5а - 3 = 0, D = 25 -4 2 (-3) = 25 + 24 = …,

а1= (-5 + 7) / 4= 2 : 4 = …, а2= ( -5 - 7) / 4 = - 12 : 4 =…, - не уд.

sin x = 0,5 , х = (-1)к + , к Z,

б) 3 cos2 x -5 cos x – 2 = 0,

cos x = а, -1 а 1, 3а2 - 5а - 2 = 0, D = 25 - 4 3 (-2) = 25 + 24 = …,

а1= (5 + 7) / 6 = 12 : 6 = …, - не уд.

а2= ( 5 - 7) / 6 = - 2 : 6=…,

cos x = - 0,3, х = ± arccos (-0,3) + 2n, n Z,

в) tg2 x +3tgx – 4 = 0,

tgx = t , t2 + 3 t - 4 = 0,

D = 9 - 4 1 (-4) =9 + 16 = …,

t1= (-3 + 5) / 2 = 2 : 2= …, tgx = 1, х1 = + n, n Z,


t2= ( -3 - 5) / 2 = - 8 : 2=…, tgx = - 4, х2 = - arctg 4 + n, n Z,



г) 4 sin2 x – 12 cos x+12 = 0,

4 - 4 cos 2 x – 12 cos x+12 = 0, - 4 cos 2 x – 12 cos x+16 = 0,

cos x = а, -1 а 1, -4а2 - 12а + 16 = 0, а2 + 3а - 4 = 0,

D = 9 - 4 1 (-4) = 9 + 16 = …,

а1= (-3 + 5) / 2 = 2 : 2 = …,

а2= ( -3 - 5) / 2= - 8 : 2=…, - не уд.

cos x = 1 , х = 2 , к Z,

  1. Решите уравнения:

а) sinх = 7 cos x, tgx = 7, х = arctg+ n, n Z,

б) 2sin2 x + 5sin x cos x – 3 cos2 x = 0,

2tg2 x +5tgx – 3 = 0, tgx = t , 2t2 + 5 t - 3 = 0,

D = 25 - 4 2 (-3) =25 + 24 = …,

t1= (-5 + 7) / 4 = 2 : 4= …, tgx = 0,5, х1 = arctg … + n, n Z,

t2= ( -5 - 7) / 4 = - 12 : 4=…, tgx = - 3, х2 = - arctg … + n, n Z,

в) sin 5x - sin x = 0,

2 sin 2x cos 3х = 0,

sin 2x =0 , 2х = n, n Z, х 1= 0,5 n, n Z,

cos 3х = 0, 3х = + n, n Z, х 2= + n, n Z,

  1. Вычислить:

а) 3arcsin0 + 4arccos 1 = 30 + 4 0 =…,

5arctg (-1) + 2 arctg = - 5 + 2 = -

б) sin(arcsin 0,6) = …,

arcsin(sin ) = , в) cos (arccos 0,1) = 0,1 ,

arccos(cos ) =…,

г) sin (arccos 0,6) = = = = = …,

cos(arcsin 0,8) = = = = = …,




Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "УМК по прфессии Повар- кондитер."

Получите профессию

Менеджер по туризму

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ #U041a#U0420-#U041f#U041e#U0412#U0410#U0420#U0410.docx









Контрольная работа №1 «Нулевой срез». 1 вариант.

  1. Упростить выражение, используя формулы сокращенного умножения:

а) 3 (х+у)2 - 6ху, б) 1 - 25 в2, в) 144 х2 - 169.

  1. Решить уравнения: а) х2 - 7х – 8 = 0, б) 2 - 3 (х+2) = 5 - 2х.

  2. Упростить выражение: ,

  3. Решить систему уравнений (а,б), решить систему неравенств(в,г):

а) , б) , в) , г) х2 – х – 6

  1. Построить график функции: а) у = 2х – 3, б) у = - 4х.















Контрольная работа №1 «Нулевой срез». 2 вариант.

  1. Упростить выражение, используя формулы сокращенного умножения:

а) 4 (х - у)2 + 6ху, б) 100 - а2, в) 196 х2 - 225.

  1. Решить уравнения: а) х2 - 2х – 15 = 0, б) 3 - 5 (х+1) = 6 - 4х.

  2. Упростить выражение: ,

  3. Решить систему уравнений (а,б), решить систему неравенств(в,г):

а) , б) , в) , г) х2 +4 х – 5

  1. Построить график функции: а) у = 3х +1 , б) у = - 5х.











Контрольная работа №2 «Параллельность прямых и плоскостей». 1 вариант. hello_html_m4f96c18b.jpg

  1. АВСDА1В1С1D1- параллелепипед.

Найти точки пересечения прямых и плоскостей.

а) АВ ∩ АD = ? , б) АА1 ∩ А1В1 = ?,

в) (АА1 D1D) ∩ (АА1 В1В) = ? , г) ( АВСD ) ∩ ( СDD1С1 ) = ?

  1. Определить взаимное расположение прямых:

а) АВ и А1В1, б) А1D и АВ, в) DС1 и АВ ,

г) ВС и В1С1 , д) В1В и ВС, е) АD и ВС .

  1. а) Точка М не лежит в плоскости ромба АВСD. Докажите, что прямая АВ параллельна плоскости DМС. hello_html_m63271b33.jpg

б) АВСD- трапеция, МК- средняя линия трапеции. Докажите, что прямая МК параллельна плоскости α, в которой лежит основание трапеции АD и не лежит ВС. hello_html_4d3b9131.jpg

в) В параллелограмме АОВК сторона ОВ параллельна прямой m , а АО и m –скрещивающиеся прямые. Найти угол между скрещивающимися прямыми , если один из углов параллелограмма равен 140°. hello_html_bd13706.jpg

  1. Точка С лежит на отрезке АВ. Через точку А проведена плоскость α, а через точки В и С- параллельные прямые , пересекающие эту плоскость соответственно в точках В1 и С1. Найти длину отрезка СС1 ,если

а) ВВ1 = 10 см ; б) АС : СВ = 3 : 2 и ВВ1 = 10 см.

  1. а) Сумма всех ребер параллелепипеда АВСDА1В1С1D1 равна 240 см. Найти каждое ребро параллелепипеда, если известно , что АВ : ВС = 4 : 5, ВС : ВВ1 = 5 : 6.

б) В тетраэдре DАВС дано: ÐАDВ=60°,ÐВDС= 30°, ÐСDА= 90°,DА = 10 см, ВD = 15 см, DС = 24 см. Найдите АВ, АС, ВС и площади всех боковых граней.



















Контрольная работа №2 «Параллельность прямых и плоскостей». 2 вариант.

  1. АВСDА1В1С1D1- параллелепипед. hello_html_m4f96c18b.jpg

Найти точки пересечения прямых и плоскостей.

а) DС ∩ D1D = ? , б) С1В1 ∩ А1В1 = ?,

в) (СС1 В1В) ∩ (А1В1С1D1) = ? , г) ( А А1 D1D ) ∩ ( DD1С1С ) = ?

  1. Определить взаимное расположение прямых:

а) АС и А1С1, б) С1D и DВ, в) DВ1 и АС ,

г) ВА и В1А1 , д) В1D и А1В1, е) В1D и АС .

  1. а) Докажите, что прямая АВ параллельна плоскости α, если АВСD параллелограмм, (А1В1 С D )= α и А1В1 С D-трапеция.hello_html_33135d75.jpg

б) Докажите, что прямая МК параллельна плоскости α, в которой лежит основание АВ треугольника АВС ,
а МК- средняя линия треугольника АВС .
hello_html_4d3b9131.jpg

в) В параллелограмме АОВК сторона ОВ параллельна прямой m , а АО и m –скрещивающиеся прямые. Найти угол между скрещивающимися прямыми , если один из углов параллелограмма равен 117°.hello_html_bd13706.jpg

  1. Точка С лежит на отрезке АВ. Через точку А проведена плоскость α, а через точки В и С- параллельные прямые , пересекающие эту плоскость соответственно в точках В1 и С1. Найти длину отрезка СС1 ,если

а) ВВ1 = 8 см; б) АС : СВ = 3 : 2 и ВВ1 = 30 см.

  1. а) Сумма всех ребер параллелепипеда АВСDА1В1С1D1 равна 480 см. Найти каждое ребро параллелепипеда, если известно , что АВ : ВС = 4 : 5, ВС : ВВ1 = 5 : 6.

б) В тетраэдре DАВС дано: ÐАDВ=60°, ÐВDС = 30°,ÐСDА= 90°,DА = 10 см, ВD = 20см, DС = 24 см. Найдите АВ,АС, ВС и площади всех боковых граней.





















Контрольная работа №3 «Перпендикулярность прямых и плоскостей». 1 вариант. hello_html_75ed7ad2.jpg

  1. Дан параллелепипед АВСDА1В1С1D1 , у которого основание квадрат. Докажите, что

а) СD В1С1 , б) С1D1 АD .

  1. а) Из точки А, не принадлежащей плоскости α, проведены к этой плоскости перпендикуляр АО и две равные наклонные АВ и АС. Известно, что ОАВ=ВАС=60°, АО=3 см.

Найти ВС - расстояние между основаниями наклонных.

б) Один конец данного отрезка лежит в плоскости α ,а другой находится от нее на расстоянии АН=10 см. Найти ОО1- расстояние от середины данного отрезка до плоскости α.

  1. Прямая ВD перпендикулярна к плоскости треугольника АВС. hello_html_m7b4a9c44.jpg

Известно, что ВD=5 см, АС=10 см, ВС=ВА=12 см.

Найдите : а) DМ -расстояние от точки D до прямой АС,

б) площадь треугольника АСD.

  1. Плоскости α и β взаимно перпендикулярны и пересекаются по

прямой а. Из точки М проведены перпендикуляры МА и МВ к этим плоскостям. Прямая а пересекает плоскость АМВ в точке С. Найти расстояние от точки М до прямой а , если АМ=12 см,

ВМ = 16 см.

  1. а) Найдите измерения а, b,с прямоугольного параллелепипеда АВСDА1В1С1D1 , hello_html_m63c0eaaf.jpg

если АС1 = 18 см и диагональ ВD1 составляет с плоскостью

грани А А1 D1D угол в 30°, а с ребром DD1 – угол в 45°.





  • б) Через центр О окружности, вписанной в треугольник АВС, проведена прямая ОК, перпендикулярная к плоскости треугольника. Найти расстояние от точки К до сторон треугольника , если АВ=ВС= 10 см, АС= 12 см, ОК= 4 см.



















Контрольная работа №3 «Перпендикулярность прямых и плоскостей». 2 вариант. hello_html_3a2320da.jpg

  1. Дан параллелепипед АВСDА1В1С1D1 , у которого основание квадрат. Докажите, что

а) АD А1В1 , б) А1D1 СD .

  1. а) Из точки А, не принадлежащей плоскости α, проведены к этой плоскости перпендикуляр АО и две равные наклонные АВ и АС. Известно, что ОАВ=ВАС=60°, АО = 5 см.

Найти ВС - расстояние между основаниями наклонных.

б) Один конец данного отрезка лежит в плоскости α, а другой находится от нее на расстоянии АН = 12 см.

Найти ОО1 -расстояние от середины данного отрезка до плоскости α.

  1. Прямая ВD перпендикулярна к плоскости треугольника АВС. hello_html_79d2df71.jpg

Известно, что ВD=12 см, АС=24 см, ВС=ВА=16 см.

Найдите : а) DМ - расстояние от точки D до прямой АС,

б) площадь треугольника АСD.

  1. Плоскости α и β взаимно перпендикулярны и пересекаются
    по прямой а. Из точки М проведены перпендикуляры МА и МВ к этим плоскостям. Прямая а пересекает плоскость АМВ в точке С.

Найти расстояние от точки М до прямой а ,если АМ =12 см, ВМ = 5 см.

  1. а) Найдите измерения а, b,с прямоугольного параллелепипеда АВСDА1В1С1D1 ,

если АС1 = 20 см и диагональ ВD1 составляет с плоскостьюhello_html_m63c0eaaf.jpg

грани А А1 D1D угол в 30°, а с ребром DD1 – угол в 45°.













  • б) В треугольнике АВС дано: АВ=ВС=13 см, АС=10 см. Точка М удалена от прямых АВ, ВС и АС на 8 см. Найти расстояние от точки М до плоскости АВС, если ее проекция на эту плоскость лежит внутри треугольника.

















hello_html_m57d4dae2.jpg

Контрольная работа №4 «Многогранники». 1 вариант.

  1. а) Дана прямая треугольная призма со сторонами a=5,b=12 ,c=13 см и высотой h= 8 см. Найдите площадь боковой и полной поверхности призмы.

б) Основанием прямой призмы АВСА1В1С1 является прямоугольный треугольник АВС с прямым углом В. Через ребро ВВ1 проведено сечение ВВ1D1D перпендикулярное к плоскости грани АА1С1С.

Найдите площадь сечения, если АА1 =14 см, АD =25 см, DС =36 см.

  1. а) Основание прямой призмы - треугольник со сторонами AB=5 и BC=12 см и углом в 90° между ними. Наибольшая из площадей боковых граней равна S наиб.=39 см2. Найдите площадь боковой поверхности призмы.hello_html_m5af2f329.jpg

б) Боковое ребро наклонной четырехугольной призмы

равно l = 12 см, а перпендикулярным сечением является ромб со стороной a=8 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

hello_html_m6ef4a0d3.jpg

  1. а) Основанием пирамиды является ромб, сторона которого равна AB=10 см, а одна из диагоналей равна BD=12 см. Найдите боковые ребра пирамиды, если высота ее проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна SO= .

б) Дана правильная четырехугольная пирамида со стороной основания a=8 см и высотой h=3 см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.hello_html_m5f68a9c0.jpg

  1. а) Дана пирамида со сторонами основания a=10,b=13,c=13 см и апофема равна l=20 см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

б) Дана пирамида со сторонами основания a=10,b=13,c=13 см и высотой h2=. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

  1. а) Дана усеченная правильная треугольная пирамида со сторонами a1=20 и а2=8 см и высотой h=8 см. hello_html_m1aa89a30.jpg

Найдите площадь полной поверхности усеченной пирамиды.

  • б) Плоскость, параллельная плоскости основания правильной четырехугольной пирамиды, делит высоту пирамиды в отношении 1:2, считая от вершины пирамиды. Апофема полученной усеченной пирамиды равна l=10 дм, а площадь ее полной поверхности равна S п. =1280 дм2. Найдите высоту усеченной пирамиды.







Контрольная работа №4 «Многогранники». 2 вариант.hello_html_m57d4dae2.jpg

  1. а) Дана прямая треугольная призма со сторонами a=10,b=24 ,c=26 см и высотой h= 10 см. Найдите площадь боковой и полной поверхности призмы.

б) Основанием прямой призмы АВСА1В1С1 является прямоугольный треугольник АВС с прямым углом В. Через ребро ВВ1 проведено сечение ВВ1D1D перпендикулярное к плоскости грани АА1С1С. Найдите площадь сечения, если АА1 =16 см, АD =25 см, DС =49 см.

  1. а) Основание прямой призмы - треугольник со сторонами AB=6 и BC=8 см и углом в 90° между ними. Наибольшая из площадей боковых граней равна S наиб.=40 см2. Найдите площадь боковой поверхности призмы. hello_html_m79905e92.png

б) Боковое ребро наклонной четырехугольной призмы

равно l = 14 см, а перпендикулярным сечением является ромб со стороной a=10 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы. hello_html_69e80ce8.png

  1. а) Основанием пирамиды является ромб, сторона которого
    равна
    AB=15 см, а одна из диагоналей равна BD=18 см. Найдите боковые ребра пирамиды, если высота ее проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна SO= .

б) Дана правильная четырехугольная пирамида со стороной основания a=12 см и высотой h=8 см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.hello_html_m3367cdaa.jpg

  1. а) Дана пирамида со сторонами основания a=10,b=24,c=26 см и апофема равна l=10 см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

б) Дана пирамида со сторонами основания a=10,b=13,c=13 см и высотой h2=. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

  1. а) Дана усеченная правильная треугольная пирамида со сторонами a1=26 и а2=14 см и высотой h=8 см. Найдите площадь полной поверхности усеченной пирамиды. hello_html_m1aa89a30.jpg



  • б) Плоскость, параллельная плоскости основания правильной четырехугольной пирамиды, делит высоту пирамиды в отношении 1:2, считая от вершины пирамиды. Апофема полученной усеченной пирамиды равна l=6 дм, а площадь ее полной поверхности равна S п. =490 дм2. Найдите высоту усеченной пирамиды.











Контрольная работа №5 «Тела вращения». 1 вариант.

  1. а) Осевое сечение цилиндра – прямоугольник, стороны которого диаметр и образующая цилиндра соответственно. Диагональ осевого сечения цилиндра равна АС = 24 см. Угол α между этой диагональю и диаметром цилиндра равен 30°. Найдите высоту, радиус, площадь основания цилиндра.hello_html_1ffef818.jpg

б) Концы отрезка АВ лежат на окружностях оснований цилиндра. Радиус цилиндра равен r, его высота-h, а расстояние между прямой АВ и осью цилиндра равно d. Найдите h, если r = 5, d = 4, АВ = 10 см.

в) Концы отрезка АВ лежат на окружностях оснований цилиндра. Радиус цилиндра равен r, его высота-h, а расстояние между прямой АВ и осью цилиндра равно d. Найдите d, если r = 10, h = 5, АВ = 13 см.

г) Найдите площадь боковой и полной поверхности цилиндра, если его радиус равен r, а высота -h, при r = 3 см и h = 5 см.hello_html_m5c3b6be3.jpg

  1. а) Высота конуса равна h = 24 см, а радиус основания равен r = 10 см. Найдите образующую конуса l.hello_html_m52e6da7e.jpg

б) Осевое сечение конуса – прямоугольный

треугольник ΔАВС. Найдите площадь этого сечения, если радиус основания конуса равен r = 6 см.hello_html_m45781634.jpg

в) Радиусы оснований усеченного конуса равны r 1 = 6 и r 2 = 11 см, а образующая равна l = 13 см. Найдите высоту и площадь осевого сечения усеченного конуса, если его осевое сечение-трапеция.

г) Разверткой боковой поверхности конуса является сектор с дугой α. Найдите α и площадь боковой, полной поверхности конуса, если его радиус основания равен 6 см, а образующая равна 20 см.hello_html_1754fa31.jpg

д) Разверткой боковой поверхности конуса является сектор с дугой α. Найдите площадь боковой и полной поверхности конуса, если α = 90°, а образующая равна 12 см.hello_html_50087654.jpg

  1. а) Точка М- середина отрезка АВ, концы которого лежат на сфере радиуса R с центром О. Найдите ОМ, если R = 10 дм, АВ = 12 дм.

б) Найдите координаты центра и радиус сферы, заданной уравнением
x2 + y2 + z2 = 25.

в) Найдите координаты центра и радиус сферы, заданной уравнением

(x3)2 + (y+4)2 + z2 = 49.

г) Все стороны треугольника ABC касаются сферы радиуса R = 7 см. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если ВС = а = 10 см, АС = в = 10 см, АВ = с = 12 см.









Контрольная работа №5 «Тела вращения». 2 вариант.hello_html_m63c43d85.jpg

  1. а) Осевое сечение цилиндра – прямоугольник, стороны которого диаметр и образующая цилиндра соответственно. Диагональ осевого сечения цилиндра равна АС = 20 см. Угол α между этой диагональю и диаметром цилиндра равен 30°. Найдите высоту, радиус, площадь основания цилиндра.

б) Концы отрезка АВ лежат на окружностях оснований цилиндра. Радиус цилиндра равен r, его высота-h, а расстояние между прямой АВ и осью цилиндра равно d. Найдите h, если r = 13, d = 5, АВ = 26 см.

в) Концы отрезка АВ лежат на окружностях оснований цилиндра. Радиус цилиндра равен r, его высота-h, а расстояние между прямой АВ и осью цилиндра равно d. Найдите d, если r = 5, h = 8, АВ = 10 см.

г) Найдите площадь боковой и полной поверхности цилиндра, если его радиус

равен r, а высота -h, при r = 5 см и h = 6 см.hello_html_m5c3b6be3.jpg

  1. а) Высота конуса равна h = 12 см, а радиус основания равен r = 5 см. Найдите образующую конуса l.hello_html_m7f1e506d.png

б) Осевое сечение конуса – прямоугольный треугольник Δ АВС. Найдите площадь этого сечения, если радиус основания конуса равен r = 8 см. hello_html_7a5cab4a.png

в) Радиусы оснований усеченного конуса равны r 1 = 3 и r 2 = 11 см, а образующая равна l = 17 см. Найдите высоту и площадь осевого сечения усеченного конуса, если его осевое сечение-трапеция.

г) Разверткой боковой поверхности конуса является сектор с дугой α. Найдите α и площадь боковой, полной поверхности конуса, если его радиус основания равен 5 см, а образующая равна 30 см.hello_html_1754fa31.jpg

д) Разверткой боковой поверхности конуса является сектор с дугой α. Найдите площадь боковой и полной поверхности конуса, если α = 60°, а образующая равна 18 см.

  1. а) Точка М- середина отрезка АВ, концы которого лежат на сфере радиуса R с центром О. Найдите ОМ, если R = 17 дм, АВ = 16 дм.hello_html_445df525.jpg

б) Найдите координаты центра и радиус сферы, заданной уравнением x2 + y2 + z2 = 64.

в) Найдите координаты центра и радиус сферы, заданной уравнением

(x+2)2 + (y3)2 + z2 = 81.

г) Все стороны треугольника ABC касаются сферы радиуса R = 6 см.Найдите расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если ВС = а = 6 см, АС = в = 8 см, АВ = с = 10 см.





Контрольная работа №6 «Объёмы тел». 1 вариант.

  1. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, у которого стороны основания равны a и b, а высота равна h,если a = 4, b = 5, h = 6 см.

  2. а) Дана правильная треугольная призма со стороной основания a = 6 см и высотой
    h = 10 см. Найдите объем этой призмы.

б) Дана правильная четырехугольная призма со стороной основания a = 6 см и
высотой
h = 2 см. Найдите объем этой призмы.

  1. а) Пусть V, r и h соответственно объем, радиус и высота цилиндра. Найдите V,
    если
    r = 5 см, h = 6 см.

б) Пусть V, r и h соответственно объем, радиус и высота цилиндра. Найдите h, если r = 10 см, V = 400 см3.

  1. а) Найдите объем правильной треугольной пирамиды, высота которой равна h, а сторона основания равна a, если a = 9 см, h = 8 см.

б) Найдите объем правильной усеченной треугольной пирамиды, высота которой равна h, а стороны основания равны a1 и а2, если a1 = 4 см, а2 = 8 см, h = 3 см.

  1. а) Пусть V, r и h соответственно объем, радиус основания и высота конуса. Найдите V, если r = 4 см, h = 6 см.

б) Пусть V, r и h соответственно объем, радиус основания и высота конуса. Найдите h, если r = 6 см, V = 288 см3.

в) Радиусы оснований усеченного конуса равны r 1 и r 2 , а высота равна h. Найдите объем усеченного конуса V, если r 1 = 3 м, r 2 = 4 м, h = 3 м.

г) Радиусы оснований усеченного конуса равны r 1 и r 2 , а объем равен V. Найдите высоту усеченного конуса h, если r 1 = 3 м, r 2 = 5 м, V = 294 м3.

  1. а) Пусть V, R соответственно объем и радиус шара. Найдите объем шара V, если R = 6 см.

б) Пусть V, d соответственно объем и диаметр шара. Найдите диаметр шара d, если V = см3.

в) Пусть V1, V 2 , V 3 соответственно объем шарового сегмента, объем шарового слоя, объем шарового сектора, R- радиус шара, h – высота шарового сегмента.
Найдите
V1, V 2 , V 3 , если R = 42 см и h = 30 см.











Контрольная работа №6 «Объёмы тел». 2 вариант.

  1. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, у которого стороны основания равны a и b, а высота равна h,если a = 5, b = 6, h = 10 см.

  2. а) Дана правильная треугольная призма со стороной основания a = 4 см и
    высотой
    h = 3 см. Найдите объем этой призмы.

б) Дана правильная четырехугольная призма со стороной основания a = 8 см и
высотой
h = 2 см. Найдите объем этой призмы.

  1. а) Пусть V, r и h соответственно объем, радиус и высота цилиндра. Найдите V,
    если
    r = 4 см, h = 10 см.

б) Пусть V, r и h соответственно объем, радиус и высота цилиндра. Найдите r,
если
V = 400 см3, h = 4 см.

  1. а) Найдите объем правильной треугольной пирамиды, высота которой равна h, а сторона основания равна a, если a = 6 см, h = 2 см.

б) Найдите высоту правильной усеченной шестиугольной пирамиды, объем которой равна V, а стороны основания равны a1 и а2, если a1= 4 см, а2 = 6 см, V = 304 см3.

  1. а) Пусть V, r и h соответственно объем, радиус основания и высота конуса. Найдите V, если r = 2 см, h = 2 см.

б) Пусть V, r и h соответственно объем, радиус основания и высота конуса. Найдите r, если h = 18 см, V = 216 см3.

в) Радиусы оснований усеченного конуса равны r 1 и r 2 , а высота равна h. Найдите объем усеченного конуса V, если r 1 = 3 м, r 2 = 4 м, h = 6 м.

г) Радиусы оснований усеченного конуса равны r 1 и r 2 , а объем равен V. Найдите высоту усеченного конуса h, если r 1 = 2 м, r 2 = 4 м, V = 84 м3.

  1. а) Пусть V, R соответственно объем и радиус шара. Найдите объем шара V, если R = 3 см.

б) Пусть V, d соответственно объем и диаметр шара. Найдите диаметр шара d, если V = см3.

в) Пусть V1, V 2 , V 3 соответственно объем шарового сегмента, объем шарового слоя, объем шарового сектора, R- радиус шара, h – высота шарового сегмента.
Найдите
V1, V 2 , V 3 , если R = 42 см и h = 15 см.













Контрольная работа №7 «Пропорция. Уравнения. Неравенства».

1 вариант.

  1. Решить пропорцию: а) , б) 2 : 3,4 = х : 17,

  2. а) Из 15 т руды получено 3 т меди. Сколько тонн меди получится из 20 т этой руды?

б) Все сваренное варенье разложили в 60 баночек вместимостью 350 мл.

Сколько для этого понадобилось бы баночек вместимостью 200 мл, 300 мл?

Какой вместимостью понадобилось бы баночки, если их было 50?

в) Из 5 ц молока получается 40 кг сыра.

Сколько центнеров молока потребуется для изготовления 80 кг сыра, 160 кг сыра?

Сколько килограммов сыра получится из 1 ц молока?

  1. Упростить выражение, используя формулы сокращенного умножения:

а) ( х – 3 )2, б) ( х + 9 )2, в) ( 4х + 3 )2 , г) ( 5х – 7 )2, д) х2 – 625,

е) ( х +14 ) ( х – 14 ), ж) (5х + 7 ) ( 5х – 7 ), з) – 144х2 + 169 у2,

и) 2252 – 2242, к) 3,52 – 3,42.

  1. Решить уравнения:
    а) 2х
    2 – 3х – 2 = 0, б) – х2 + х + 30 = 0.

  2. Решить систему уравнений:

а) , б) ,

  • в) ,

  1. Решить систему неравенств:

    а) , б) ,


  • в)


  1. Вычислите координаты точек пересечения парабол
    у = 3х
    2 – 8х– 2 и у = х2 + 22.









Контрольная работа №7 «Пропорция. Уравнения. Неравенства».

2 вариант.

  1. Решить пропорцию: а) , б) 3 : 4,2 = у : 7,

  2. а) Чтобы выполнить заказ за 15 дней, мастерская должна шить по 12 курток в день. Сколько курток в день надо шить, чтобы выполнить заказ за 5 дней ?

б) Некоторое количество чая разложено в упаковки. Если вместимость упаковки 200 г, то их надо 70 шт.

Сколько штук надо упаковок , если вместимость упаковки 100 г, 400 г?

Какой вместимостью понадобились бы упаковки, если их было 20?

в) На ипподроме лошадь, пробегая по кругу 15 раз, преодолевает 24 км.

Сколько раз она пробегает по кругу, если она преодолевает 48 км, 8 км?

Сколько километров она преодолевает ,пробежав по кругу 25 раз?

  1. Упростить выражение, используя формулы сокращенного умножения:

а) ( х – 5 )2, б) ( х + 1 )2, в) ( 5х + 3 )2 , г) ( 3х – 7 )2, д) х2 – 169,

е) ( х +17 ) ( х – 17 ), ж) (3х + 7 ) ( 3х – 7 ), з) – 169х2 + 225 у2,

и) 3252 – 3242, к) 7,92 – 7,82.

  1. Решить уравнения:
    а) 2х
    2 + 7х– 4 = 0, б) – х2 – х + 42 = 0.

  2. Решить систему уравнений:
    а) , б) ,

  • в) ,

  1. Решить систему неравенств:

    а) , б) ,


  • в)


  1. Вычислите координаты точек пересечения парабол
    у = 2х
    2 – 6х + 3 и у = х2 – 2х.







Контрольная работа №8 «Тригонометрические функции».

1 вариант.

  1. Вычислить: а) sin , б) cos , в) cos2sin2 , г) 2 sin cos , д) sin α = - 0.6, α 4 четв. , cos α = ? , tg α = ?,

  2. Вычислить: а) 2 arcsin + 3 arcsin( - ), б) arccos (-1) + arccos , в) sin(4 ), г) cos(6 arccos 1), д) sin(arcsin 0.3),

  3. Решить уравнение: а) (6 – cos x) ( 1- sin x) = 0, б) 6 cos2 x +7 cos x – 3 = 0, в) cos2 3x - cos 3x cos 5x = 0, г) 3sin2 x + sin x cos x – 2 cos2 x = 0,

  4. Найдите все корни уравнения, принадлежащие промежутку (0; 2) : а) tg х = 1, б) tg х = ;

  5. Найдите множество значений функции у= sin х, если х.

  6. Постройте график функции : а) у = 2sin х, б) у = 6 cos x.







Контрольная работа №8 «Тригонометрические функции».

2 вариант.

  1. Вычислить: а) sin , б) cos , в) cos2sin2 , г) 2 sin cos , д) sin α = 0.6, α 1 четв. , cos α = ? , tg α = ?,

  2. Вычислить: а) arcsin0 + 2 arcsin1,б) arccos 1 + arccos , в) sin(3 ), г) tg (4 ), д) cos (arccos 0.7),

  3. Решить уравнение: а) (6 – sinx) ( 1+ cos x) = 0, б) 3 sin2 x -5 sin x – 2 = 0, в) sin2 5xsin x sin 5x = 0, г) 2sin2 x + 3sin x cos x – 2 cos2 x = 0,

  4. Найдите все корни уравнения, принадлежащие промежутку (0; 2) : а) tg х = -1, б) tg х = ;

  5. Найдите множество значений функции у= cos х, если х.

  6. Постройте график функции : а) у = 2 cos х, б) у = 6 sin x.











Контрольная работа №9 «Виды уравнений и неравенств».

1 вариант.

  1. Решить уравнение: а) = 2, б) = 2, в)

  2. Решить уравнение: а) = 25, б)

  3. Решить неравенство: а) , б) ,

  4. Вычислить: а) , б) , в) ,

  5. Решить уравнение:

  6. Решить неравенства: а) б)















Контрольная работа №9 «Виды уравнений и неравенств».

2 вариант.

  1. Решить уравнение: а) = 1, б) = 2, в)

  2. Решить уравнение: а) = 6, б)

  3. Решить неравенство: а) , б) ,

  4. Вычислить: а) , б) , в) ,

  5. Решить уравнение:

  6. Решить неравенства: а) б)











Контрольная работа №10 «Производная».

1 вариант.

  1. Найдите производную функции:

а) у = 2х4х3+3х+4, б) у = (2х+3)8, в) у = (3х2)-3, г) у = 6 ,

  1. Найдите производную функции:

а) у = 5 4 sinх, б) у = 3 cosх 4, в) у = 6 х4 9, г) у = sin5х + cos (2х3), д) у = ,

  1. Найдите производную функции:

а) у = х2, б) у = (х+3) (х2 3), в) у = 2, г) у = , д) у = ,

  1. Найдите значение х , при котором производная функции равна нулю
    / =0), для функции: а) у = 2х3 +3х236х+12, б) у = х2 +6х 20 ( х),

  2. Найдите значение х , при котором производная функции равна единице (у/ = 1), для функции: а) у = , б) у = .




Контрольная работа №10 «Производная».

2 вариант.

  1. Найдите производную функции:

а) у = 3х53+4х2 1, б) у = (43х)7, в) у = (14х)-5, г) у = 8 ,

  1. Найдите производную функции:

а) у = 6 +7cos х, б) у = 2sinх 5, в) у = 5 х3 2, г) у = sin3) - , д) у =6 sin ,

  1. Найдите производную функции:

а) у = х2, б) у = (х4) (х2 + 4), в) у = 3, г) у = , д) у = ,

  1. Найдите значение х , при котором производная функции равна нулю
    ( у
    / =0), для функции: а) у = 2х3 +12х2-30х+15, б) у = х2 +8х 42 ( х),

  2. Найдите значение х , при котором производная функции равна
    единице (у
    / = 1), для функции: а) у = , б) у = .









Контрольная работа №11 «Применение производной».

1 вариант.

  1. Найдите интервалы возрастания и убывания функции:

а) у = х2 14х +7, б) у = х4 2 +3 ,

  1. Найдите точки экстремума функции:

а) у = х2 4х +5, б) у = + ,

  1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:

а) у = х3 6 х2 +9х, х б) у = х4 2 +3, х ,

  1. а) Из всех прямоугольников с периметром Р= 24 см, найдите прямоугольник с наибольшей площадью.

б) Число 120 представить в виде суммы 2 чисел, сумма квадратов которых наименьшая.

  1. Построить график функции с исследованием: у = х2 10х +25.









Контрольная работа №11 «Применение производной».

2 вариант.

  1. Найдите интервалы возрастания и убывания функции:

а) у = х2 +16х +9, б) у = х4 2 +5 ,

  1. Найдите точки экстремума функции:

а) у = х2 10х + 9, б) у = + ,

  1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:

а) у = х3 + 6 х2 +9х, х б) у = х4 2 +5,х ,

  1. а) Из всех прямоугольников с периметром Р= 16 см, найдите прямоугольник с наибольшей площадью.

б) Число 140 представить в виде суммы 2 чисел, сумма квадратов которых наименьшая.

  1. Построить график функции с исследованием: у = х28х +16.











Контрольная работа №12 «Первообразная».

1 вариант.

  1. Покажите, что функция F(x) является первообразной для функции f(x): F(x) = + х3 - cos х , f(x) = 2 + 2 + sinх,

  2. Найдите одну из первообразных для функции f(x):

а) f(x) = 2 х5 2 +2, б) f(x) = 5 х4 +2 х3 – 6, в) f(x) = 6 х5 + 7 х6 4, г) f(x) = 5 cos х4 sinх, д) f(x) = 6 3 + 2 cos х,

  1. Найдите все первообразные для функции f(x): а) f(x) = sin(3х + 5), б) f(x) = cos (2х1), в) f(x) = , г) f(x) = ,

  2. Вычислите интегралы:

а) , б) , в),

  1. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) у = х2 +6х и осью ох , б) у = х2 +1 и у = 10 , в) у = , х=1,х=9, у=0.





Контрольная работа №12 «Первообразная».

2 вариант.

  1. Покажите, что функция F(x) является первообразной для функции f(x): F(x) = + х2 - sinх, f(x) = 3 + - cos х,

  2. Найдите одну из первообразных для функции f(x):

а) f(x) = 4х52 +5, б) f(x) = 10 х4 +4 х3 – 7, в) f(x) = 8 х7 5 х4 +10х 6, г) f(x) = 3 cos х 2 sinх, д) f(x) = 7 5 + 4 cos х,

  1. Найдите все первообразные для функции f(x): а) f(x) = sin(4х + 3), б) f(x) = cos (8х 1), в) f(x) = , г) f(x) = ,

  2. Вычислите интегралы:

а) , б) , в),

  1. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) у = х2 +12х и осью ох , б) у = х2 +3 и у = 12 , в) у = , х=0, х=1, у=0.













Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "УМК по прфессии Повар- кондитер."

Получите профессию

Няня

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ #U041a#U0440#U0438#U0442#U0435#U0440#U0438#U0438 #U043e#U0446#U0435#U043d#U0438#U0432#U0430#U043d#U0438#U044f #U0437#U0430#U0447#U0435#U0442#U043e#U0432 #U0434#U043b#U044f #U041d#U041f#U041e.docx

Критерии оценивания зачетов для НПО :

А- на «3», В- на «4», С- на «5».



Зачет №1 А- 1 часть.№ 1,2,4, 2 часть. №1,2(а),3(а-г), В-1 часть, 2 часть--№ 1-4, С- 1 часть, 2 часть - № 1-5.

Зачет №2 А- 1 часть кратко №1-6, 2 часть - № 1-3, В- 1 часть, 2 часть - № 1-4, С-1 часть, 2 часть - № 1-5.

Зачет №3 А- , В- №1-4, С- №1-5.



Зачет №4 А- , В- №1-4, С- №1-6.



Зачет №5 А- , В- №1-3,5, С- №1-5.

Зачет №6

1)

А – А1 – А 9, В – А1 – А 10, С – А1 – А 10 , В1.

2)

А- часть А № 1-10, часть В № 1-6,

В- часть А № 1-8, часть В № 1-4,

С- часть А № 1-10.







Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "УМК по прфессии Повар- кондитер."

Получите профессию

HR-менеджер

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ #U041a#U0440#U0438#U0442#U0435#U0440#U0438#U0438 #U043e#U0446#U0435#U043d#U0438#U0432#U0430#U043d#U0438#U044f #U043a#U043e#U043d#U0442#U0440#U043e#U043b#U044c#U043d#U044b#U0445 #U0440#U0430#U0431#U043e#U0442 #U0434#U043b#U044f #U041d#U041f#U041e.docx

Критерии оценивания контрольных работ для НПО :

А- на «3», В- на «4», С- на «5».

1 курс.

К-1 . А – 3 задания, В- 4 задания, С- 5 заданий.

К-2 . А - № 1,2,4,5, В - № 1- 6, С - № 1- 7.

К-3 . А - № 1,2,4, В - № 1- 4, С - № 1- 4, №5-на выбор 1 задача.

К-4 . А - № 1,2,3(б),4(а), В - № 1- 4, С - № 1- 4, №5-на выбор 1 задача.

К-5 . А – -№ 1(б, в, г ),2(а,б), 3(б,в), В – -№ 1 ,2(а-г), 3(а-в),4(а), С -№ 1- 3.

К-6 . А – № 1- 3, 5(а, в),6(а), В –№ 1- 3, 4(а),5,6(а,б), С -№ 1- 6.

К-7 . А - №1,2,3(а, в, д , е, и ),4, 5(а),6(а),

В - № 1,2,3(а,б, д , е, и,к ),4, 5(а,б),6(а),7, С - № 1- 7.



2 курс.

К-8 . А – № 1(а,б),2 ,3(а,б),5, В – № 1- 4, 5 (а),6 (а), С - № 1- 6.

К-9 . А – № 1 ,2 ,3(а),4 , В – № 1- 5, С - № 1- 6.

К-10 . А – № 1(а,б,в),2 ,3(а),4(а), В – № 1,2,3(а,г),4, 5 (а), С - № 1- 5.

К-11 . А – № 1(а),2(а),3(а),4(а), В – № 1- 4, С - № 1- 5.

К-12 . А – № 1,2,3,4(а), В – № 1- 4, 5(б), С - № 1- 5.



Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "УМК по прфессии Повар- кондитер."

Получите профессию

Секретарь-администратор

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ #U041a. #U0440. #U0447#U0430#U0441#U0442#U044c #U0410, 2 #U043a#U0443#U0440#U0441 #U041d#U041f#U041e..docx

Контрольная работа № 8 «Тригонометрические функции». Часть А.

  1. Вычислить: а) sin =…, б) cos =… , в) cos2sin2 = cos = cos = …, г) 2 sin cos = sin = …, д) cos α = 0.6, α 1 четв. , sin α = ? , tg α = ?,

sin α = = = = …,

tg α = = = …,

  1. Вычислить: а) arcsin0 + 2 arcsin1= 0 + 2 =…, б) arccos 1 + arccos = 0 + =…, в) sin(3 )= sin(3 )= sin = …, г) tg (4 ) = tg (4 )= tg =…, д) cos (arccos 0.7) = …,

  2. Решить уравнение: а) (6 – sinx) ( 1+ cos x) = 0, (6 – sinx) =0, sinx= ур-е не имеет корней, ( 1+ cos x) = 0, cos x = - 1, х=…,

б) 3 sin2 x -5 sin x – 2 = 0, sinx =а, -1 3 а2 - 5 а – 2 = 0, D = 25 - 4 3 (-2) = 25 + 24 = …,

а1= (5 + 7) / 6= 12 : 6 = …,- не уд.

а2= (5 - 7) / 6= - 2 : 6 =…, sinx = -0,3, х= (-1)к+1 arcsin 0,3 + , к Z,

в) sin2 5x – sin x sin 5x = 0, sin 5x (sin 5x - sinx) = 0, sin 5x =0, 5х= , к Z, х=, к Z

2 sin 2x cos 3x = 0, sin 2x = 0 , 2х= , к Z, х= …,

cos 3x = 0, 3х = + , к Z, х= + , к Z,

г) 2sin2 x + 3sin x cos x – 2 cos2 x = 0, делим на cos2 x , 2tg2 x +3tgx –2 = 0, tgx = t , 2t2 + 3 t - 2= 0,

D = 9 - 4 2 (-2) =9 + 16= …, t1= (-3 + 5 )/ 4 = 2 : 4= …, tgx = 0,5, х1 = arctg … + n, nZ,

t2= ( -3 - 5) / 4 = - 8 : 4=…, tgx = - 2, х2 = - arctg … + n, n Z,

  1. Найдите все корни уравнения, принадлежащие промежутку (0; 2) : а) tg х = -1, х = - + n, n Z, х1= , х2= ,

б) tg х = ; х = + n, n Z, х1= , х2= ,

  1. Найдите множество значений функции у= cos х, если х. у()= cos =…, у()= cos =…, Е(у)=

  2. Постройте график функции а) у = 2 cos х, б) у = 6 sin x.

hello_html_m715c72e9.jpg

Контрольная работа №9 «Виды уравнений и неравенств».Часть А

  1. Решить уравнение:

а) = 1, 2-х = 1, х = 2 - 1 = …,

б) = 2, = 8, = 36, х1= …, х2 = …,

в) = 9 , 5– =0, D = 49 - 40 = …, х1= (7+3):10=…, х2 = (7-3):10=…,

  1. Решить уравнение:

а) = 6, х – 2 = 1, х = 2+1=…,

б) = а 0, а2 -5а +4 =0, D = 25 - 16 = …, а1= (5+3):2=…, а2 = (5-3):2=…,

= 4, = , х1= …, = 1 . = ,х2 = …,

  1. Решить неравенство:

а) , х – 3 2 , х 2+3, х …,

б) , 0, =0,

D = 16 - 12 = …, х1= (4+2):2=…, х2 = (4-2):2=…,

+ - + х

1 3 х …, х …,

  1. Вычислить: а) = 3, б) = - 2, в) = 7, г) = …, д) = …, (0,1 = 10 – 1, ), е) = …,

  2. Решить уравнение:

2 х + 2 х + х = 13,

х = 13, х = 3, х = 33 = …,

  1. Решить уравнение:

а) = 1, 5+х = 1, х = 1 - 5 = …,

б) = 6, х+4 = 1, х = 1 - 4 =…,

в) = а 0, а2 -5а +4 =0, D = 25 - 16 = …, а1= (5+3):2=…, а2 = (5-3):2=…,

= 4, = 41 , х1= …, = 1 . = 40, х2 = …,

г) х = 4, х = 34 = …,

  1. Решить неравенство:

а) , х – 5 2 , х 2+5, х …,

б) , х – 3 2 , х 2+3, х …,

в) , х – 6 2, х … .

Контрольная работа № 10 «Производная».

Часть А

  1. Найдите производную функции:

а) у = 3х5-2х3+4х2 - 1, у/ = 3 5 х4 - 2 3х2 + 4 2х =…- …+…, б) у = (4-3х)7, у/ = 7 (-3) (4-3х)6 = … (4-3х)6 , в) у = (1-4х)-5, у/ = (-5) (-4) (1-4х)-6 = … (1-4х)-6 , г) у = - 8 , у/ = - 8 - 22 х - 3 = … - … х – 3,

д) у = 7х5-4х3+6х2 – 1, у/ = … - … + …,

  1. Найдите производную функции:

а) у = 6 +7cos х, у/ = … - … sinх, б) у = 2sinх - 5, у/ = … cos х - , в) у = 5 х3 - 2, у/ = 5 3 х2 - 2 4 =… х2 - … г) у = sin(х-3) - , у/ = cos( х – 3) + , д) у =6 sin , у/ = 6 cos + 13= … + …,

  1. Найдите производную функции:

а) у = х2, у/ = (х2) / sinх + х2 (sinх) / = … sinх + х2 … , б) у = (х - 4) (х2 + 4), у/ = (х - 4) /2 + 4) + (х - 4) (х2 + 4) / = = 1 (х2 + 4) + (х - 4) 2х = х2 + 4 + 2 – 8х = …х2- 8х + 4, в) у = 3, у/ = (3) / sinх + 3 (sinх) / = … + … , г) у = , у/ = = = , д) у = , у/ = = ,


  1. Найдите значение х , при котором производная функции равна нулю ( у/ =0), для функции: а) у = 2х3 +12х2-30х+15, у/ = 23х2 + 12 2х - 30 = 0, Разделим у/ на 6, получим: х2 + 4х – 5 = 0, D = 16 - 4 1 (-5) = 16 + 20 = …,

х1= (- 4 + 6) / 2= 2 : 2 = …,

х2= (- 4 - 6) / 2= - 10 : 2 =…, б) у = х2 +8х -42 ( х),

у/ = 2х + 8 - = = 0, Разделим числитель у/ на 2, получим: х2 + 4х –21 = 0, D = 16 - 4 1 (-21) = 16 + 84 = …,

х1= (- 4 + 10) / 2= 6 : 2 = …,

х2= (- 4 - 10) / 2= - 14 : 2 =…, - не уд. х = … ,

  1. Найдите значение х , при котором производная функции равна единице (у/ = 1), для функции: а) у = , у/ = = 1, х + 4 = 0, х = … , б) у = . у/ = = = 1, = 0, 4х + 4 = 0, 4х = - 4, х = … ,









Контрольная работа №11 «Применение производной».

Часть А

  1. Найдите интервалы возрастания и убывания функции:

а) у = х2 + 16х +9, у/ = 2х + 16 = 0, 2х = …, х = … ,

- + х

- 8

у убывает при х …, у возрастает при х …,

б) у = х4 - 8х2 +5 , у/ = 4 х3 - 8 2х = 0, 4х (х2 - 4) = 0, х1=…, х2 – 4 = 0, х2 = 4, х1,2= …,

_ + _ + х

- 2 0 2

у убывает при х …, … х …,

у возрастает при … х …, х …,


  1. Найдите точки экстремума функции:

а) у = х2 - 10х + 9, у/ = 2х - 10 = 0, 2х = …, х = … ,

- + х х =5 – точка …,

5

б) у = + , у/ = - = = 0, х2 – 49 = 0, х2 = 49, х1,2= …,


+ - + х х = -7 – точка …,

- 7 7 х = 7 – точка …,

  1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке: а) у = х3 + 6х2 + 9 х, х

у(- 4) = (- 4)3 + 6 (- 4)2 + 9 (- 4) = - 64 + 96 - 36 = …,

у(0) = 03 + 6 02 + 9 0 = …,

у/ = 3х2 + 12х + 9 = 0, х2 + 4х + 3 = 0,

D = 16 - 4 1 3 = 16 - 12 = …,

х1= (- 4 + 2) / 2= - 2 : 2 = …, х2= (- 4 - 2) / 2= - 6 : 2 =…,

у(- 1) = (- 1)3 + 6 (- 1)2 + 9 (- 1) = - 1 + 6 – 9 =…,

у(- 3) = (- 3)3 + 6 (- 3)2 + 9 (- 3) = - 27 + 54 – 27 = …,

у(- 4) = у(- 1) = - 4 - … значение , у(0) = 0 - … значение,

б) у = х4 - 8х2 +5,х , у/ = 4 х3 - 8 2х = 0, 4х (х2 - 4) = 0, х1=…, х2 – 4 = 0, х2 = 4, х1,2= …,

у (- 3) = (- 3) 4 - 8 (- 3) 2 +5 = 81 – 72 + 5 = …,

у(- 2) = у(2) = (- 2) 4 - 8 (- 2) 2 +5 = 16 – 32 + 5 = …,

у(0) = 0 4 - 8 0 2 +5 = 0 + 0 + 5 = …,

наибольшее значение равно …, наименьшее значение равно …,

  1. Число 140 представить в виде суммы 2 чисел, сумма квадратов которых наименьшая.

у = х2 + (140 - х)2 , у/ = 2х + 2 (- 1) (140 - х) = = 2х - 280 + 2х = 4х - 280 = 0, 4х = 280 , х = …,

- + х х =70 – точка …,

70 у(70) = 702 + (140 - 70)2 =… - наим.зн-е.

140 = … + …

Контрольная работа №12 «Первообразная». Часть А.

  1. Покажите, что функция F(x) является первообразной для функции f (x): F(x) = + х2 - sinх, f (x) = 3 + - cos х,

F / (x) = ( + х2 - sinх) / = 3 + - cos х = f (x),

F / (x) = f (x), F(x) - … функции f (x).

  1. Найдите одну из первообразных для функции f(x):

а) f(x) = 12х5 - 9х2 +5, F(x) = х6 - х3 + 5х = … х6 -х3 + …, б) f(x) = 10 х4 +4 х3 – 7, F(x) = х5 + х4 - 7х = … х5 +х4 - …, в) f(x) = 8 х7 - 5 х4 +10х- 6, F(x) = х8 - х5 + х2 - 6х = …х8 -х5 +…х2 - … , г) f(x) = 3 cos х -2 sinх, F(x) = 3 sinх + … cos х, д) f(x) = 7 - 5 + 4 cos х, F(x) = 7х + … + 4…,

  1. Найдите все первообразные для функции f(x): а) f(x) = sin(4х + 3), F(x) = - … (4х + 3) + С, б) f(x) = cos (8х -1), F(x) = … (8х -1) + С, в) f(x) = , F(x) = 8 … + С, г) f(x) = , F(x) = + С,



  1. Вычислите интегралы: а)

б)





в)



  1. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: а) у = х2 +12х и осью ох ,

х2 +12х = 0, х (х + 12) = 0, х1=…, х2=…,





б) у = х2 +3 и у = 12 ,

х2 +3= 12, х2 = 9, х1,2= …,






в) у =, х = 0, х = 1,

у = 0,

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "УМК по прфессии Повар- кондитер."

Получите профессию

Бухгалтер

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ #U041f#U043e#U044f#U0441#U043d#U0438#U0442#U0435#U043b#U044c#U043d#U0430#U044f #U0437#U0430#U043f#U0438#U0441#U043a#U0430 #U043a #U043a.#U0440,#U0437,#U043d#U043f#U043e,#U043f#U043e#U0432#U0430#U0440#U0430.docx


Пояснительная записка

к контрольным работам и зачетам.

Учебная дисциплина: математика.



Назначение.

Оценка уровня освоения и качества подготовки обучающихся по учебной дисциплине для профессии НПО:

19.01.17. Повар- кондитер.


Контрольно-измерительные материалы разработаны в соответствии с требованиями федерального компонента государственного стандарта среднего (полного) общего

образования и рабочей программой по учебной дисциплине.


Содержание и структура заданий.

В содержание включены задания по наиболее значимому изученному материалу

дисциплины по следующим разделам:


  1. Алгебра и начала анализа.

  2. Геометрия.


Форма проведения: письменная


Время выполнения: 1 ч.


Критерии оценки: по количеству заданий, указаны в приложении.



























Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "УМК по прфессии Повар- кондитер."

Получите профессию

Фитнес-тренер

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ #U0437#U0430#U0447#U0435#U0442 #U2116 1.docx

Зачет №1 «Планиметрия». 1вариант.



1 часть.

Построить:

  1. Угол в 30°, 90°,120°, подписать вид угла;

  2. Остроугольный треугольник ;

  3. Высоту, медиану, биссектрису в треугольнике;

  4. Параллелограмм, ромб, прямоугольник, квадрат, трапецию;

  5. Окружность;

2 часть.

  1. а) Дано: АВ= 12 см, АС = 8 см, СВ = ?,

б) Дано: 1 = 30°, 2 = 50°, АВС = ?,

в) Дано: 1 : 2 = 2 : 5 , АВС = 70°, 1 = ?, 2= ?,

  1. а) Дано: АВС – прямоугольный, а = 3 см, b = 4 см, с = ?,

б) Дано: АВС – прямоугольный, с = 15 см, а = 12 см, b = ?,

в) Дано: АВС – прямоугольный, а = 15 см, b = 3 см, с = ?,

  1. а) Дано: АВСD – прямоугольник, а = 2 см, b = 5 см. Найдите S.

б) Дано: АВСD – параллелограмм, а = 10 см, h = 5 см. Найдите S.

в) Дано: АВСD – ромб, d1 = 10 см, d2 = 3 см. Найдите S.

г) Дано: АВСD – трапеция, а = 10 см, b = 5 см, h = 4 см. Найдите S.

д) Дано: АВС, а = 15 см, b = 20 см, с = 25 см. Найдите S.

е) Дано: АВС, а = 10 см, b = 40 см, sin С = 0,5. Найдите S.

  1. Дано: правильный треугольник , n = 3, R = 3 см, Найдите r, а3, P , S.

  2. Дано: АВС, а = 14 см, b = 18 см, с = 20 см. Найдите А, В,С.













Зачет №1 «Планиметрия». 2 вариант.



1 часть.

Построить:

  1. Угол в 60°, 90°,150°, подписать вид угла;

  2. Тупоугольный треугольник ;

  3. Высоту, медиану, биссектрису в треугольнике;

  4. Параллелограмм, ромб, прямоугольник, квадрат, трапецию;

  5. Окружность;

2 часть.

  1. а) Дано: АС= 3 см, СВ = 8 см, АВ = ?,

б) Дано: 1 = 20°, АВС = 70°,2= ?,

в) Дано: 1 : 2 = 3 : 5 , АВС = 80°, 1 = ?, 2= ?,

  1. а) Дано: АВС – прямоугольный, а = 6 см, b = 8 см, с = ?,

б) Дано: АВС – прямоугольный, с = 26 см, а = 10 см, b = ?,

в) Дано: АВС – прямоугольный, а = 16 см, b = см, с = ?,

  1. а) Дано: АВСD – прямоугольник, а = 4 см, b = 5 см. Найдите S.

б) Дано: АВСD – параллелограмм, а = 10 см, h = 2 см. Найдите S.

в) Дано: АВСD – ромб, d1 = 10 см, d2 = 5 см. Найдите S.

г) Дано: АВСD – трапеция, а = 12 см, b = 14 см, h = 7 см. Найдите S.

д) Дано: АВС, а = 18 см, b = 24 см, с = 30 см. Найдите S.

е) Дано: АВС, а = 20 см, b = 30 см, sin С = 0,5. Найдите S.

  1. Дано: правильный треугольник , n = 3, r = 2 см, Найдите R, а3, P , S.

  2. Дано: АВС, а = 21 см, b = 27 см, с = 30 см. Найдите А, В,С.













Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "УМК по прфессии Повар- кондитер."

Получите профессию

HR-менеджер

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ #U041c#U0415#U0422#U041e#U0414.#U0423#U041a-#U042f #U041a #U041f#U0420-#U041f#U041e#U0412#U0410#U0420#U0410,2014-2016 #U0443#U0447.#U0433..docx














Методические указания

к выполнению практических работ обучающихся

по дисциплине Математика

для профессии 260807.01. Повар- кондитер.



























2015 г.


Рассмотрено и одобрено на заседании ПЦК

Протокол № ___ от___________20__г.

Председатель ПЦК __________________________


Составлены в соответствии с программой дисциплины Математика для профессии

260807.01. Повар- кондитер.








Составитель: Зайцева С.Е., преподаватель













































Пояснительная записка


Цель методических указаний: оказание помощи обучающимся в выполнении практической работы по дисциплине Математика.

Настоящие методические указания содержат работы, которые позволят обучающимся самостоятельно овладеть профессиональными знаниями и умениями, опытом творческой деятельности при решении проблем учебного и профессионального уровня и направлены на формирование следующих компетенций:

ОК 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, исходя из цели и способов ее достижения, определенных руководителем.

ОК 3. Анализировать рабочую ситуацию, осуществлять текущий и итоговый контроль, оценку и коррекцию собственной деятельности, нести ответственность за результаты своей работы.

ОК 4. Осуществлять поиск информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач.

ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.

ОК 6. Работать в команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, клиентами.

ОК 7.Готовить к работе производственное помещение и поддерживать его санитарное состояние.

ОК 8. Исполнять воинскую обязанность, в том числе с применением полученных профессиональных знаний (для юношей).

В результате выполнения практических работ по дисциплине Математика обучающиеся должны:

уметь:

    • Выполнять арифметические действия, сочетая устные и письменные приемы, применение вычислительных устройств;

    • Решать уравнения и неравенства (линейные, квадратные);

    • Вычислять значения числовых и буквенных выражений, осуществляя необходимые подстановки и преобразования;

    • Находить значения корня натуральной степени, степени с рациональным показателем, логарифма, используя при необходимости вычислительные устройства;

    • Проводить по формулам и правилам преобразования буквенных выражений, включающих степени, радикалы, логарифмы, тригонометрические функции;

    • Строить графики изученных функций;

    • Решать показательные и логарифмические уравнения и неравенства; простейшие иррациональные и тригонометрические уравнения;

    • Вычислять производные и первообразные элементарных функций, используя справочные материалы;

    • Исследовать в простейших случаях функции на монотонность, находить наибольшие и наименьшие значения функций; строить графики многочленов с использованием аппарата математического анализа;

    • Распознавать на чертежах и моделях пространственные формы; соотносить объекты с их описаниями, изображениями;

    • Описывать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве ;

    • Изображать основные многогранники и круглые тела;

    • Решать планиметрические и простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов);

    • Использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы;

    • Решать простейшие комбинаторные задачи методом перебора, а также с использованием формул

    • Вычислять в простейших случаях вероятности событий на основе подсчета числа исходов;

    • Использовать приобретенные знания и умения для анализа числовых данных, представленных в виде таблиц, диаграмм;



знать:

    • Выполнение арифметических действий, сочетая устные и письменные приемы, применение вычислительных устройств;

    • Решение уравнений и неравенств (линейных, квадратных);

    • Вычисление значений числовых и буквенных выражений, осуществляя необходимые подстановки и преобразования;

    • Нахождение значений корня натуральной степени, степени с рациональным показателем, логарифма, используя при необходимости вычислительные устройства;

    • Преобразования буквенных выражений, включающих степени, радикалы, логарифмы, тригонометрические функции;

    • Построение графиков изученных функций;

    • Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств; простейших иррациональных и тригонометрических уравнений;

    • Вычисление производных и первообразных элементарных функций, используя справочные материалы;

    • Исследование в простейших случаях функций на монотонность, нахождение наибольших и наименьших значений функций; построение графиков многочленов с использованием аппарата математического анализа;

    • Вычисление в простейших случаях площадей и объемов с использованием определенного интеграла;

    • Распознавание на чертежах и моделях пространственных форм; соотношение объектов с их описанием, изображением;

    • Описание взаимного расположения прямых и плоскостей в пространстве ;

    • Изображение основных многогранников и круглых тел ;

    • Решение планиметрических и простейших стереометрических задач на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов);

    • Использование при решении стереометрических задач планиметрических фактов и методов;

  • Решение простейших комбинаторных задач методом перебора, а также с использованием формул;

  • Вычисление в простейших случаях вероятности событий на основе подсчета числа исходов;

  • Использование приобретенных знаний и умений для анализа числовых данных, представленных в виде таблиц, диаграмм;

  • Значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике; широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе;

  • Значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии;

  • Универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности;

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание из части 1) и 2),выборочно из части 3).

Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание из части 2),выборочно из части 3).

Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание из части 1),выборочно из части 2).

Требования к оформлению самостоятельной работы:

Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №3.

Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.








Списки практических работ по профессии: 260807.01. Повар- кондитер.

Списки ПР

Сроки выполнения

ПР №1«Вычисление перпендикуляра и наклонной. Вычисление угла между плоскостями».

1 семестр, 8 неделя

ПР № 2«Построение многогранников. Вычисление элементов призмы».

1 семестр, 11 неделя

ПР № 3«Вычисление элементов пирамиды, правильной пирамиды, усеченной пирамиды.».

1 семестр, 12 неделя

ПР № 4 «Вычисление элементов цилиндра».

1 семестр, 15 неделя

ПР № 5 «Вычисление элементов конуса, усеченного конуса».

1 семестр, 16 неделя

ПР № 6 «Вычисление элементов сферы».

1 семестр, 17 неделя

ПР № 7«Расчет по модели объёма прямоугольного параллелепипеда».

2 семестр, 20 неделя

ПР № 8 «Вычисление объёма прямой призмы. Вычисление объёма цилиндра».

2 семестр, 21 неделя

ПР № 9 «Вычисление объёма пирамиды .Расчет по модели объёма конуса».

2 семестр, 22 неделя

ПР № 10 « Расчет по модели площади цилиндра и конуса».

2 семестр, 23 неделя

ПР № 11 «Вычисление объёма шара. Расчет объёмов сегмента, слоя, сектора шара».

2 семестр, 24 неделя

ПР № 12 «Вычисление объёмов тел».

2 семестр, 25 неделя

ПР № 13 « Составление уравнения сферы ».

2 семестр, 26 неделя

ПР № 14«Умножение вектора на число .Вычисление координат векторов».

2 семестр, 28 неделя

ПР № 15 « Решение задач в координатах».

2 семестр, 29 неделя

ПР № 16 «Вычисление числовых характеристик дискретной случайной величины».

2 семестр, 33 неделя

ПР № 17 «Решение пропорций. Решение задач с помощью пропорций».

2 семестр, 35 неделя

ПР № 18 «Решение квадратных уравнений. Решение неравенств».   

2 семестр, 37 неделя

ПР № 19   « Решение систем уравнений и неравенств. Вычисления по  формулам сокращенного умножения».

2 семестр, 38 неделя

ПР № 20 « Вычисление логарифмов ».      

3 семестр, 3 неделя

ПР № 21 «Вычисление множества значений тригонометрических функций по формулам».

3 семестр, 15 неделя

ПР № 22 « Нахождение экстремумов функции. Нахождения наибольшего и наименьшего значения функции».

3 семестр, 17 неделя

ПР № 23 «Решение иррациональных уравнений».         

4 семестр, 21 неделя

ПР № 24 «Решение показательных и логарифмических уравнений».

4 семестр, 22 неделя

ПР № 25«Решение тригонометрических уравнений».

4 семестр, 24 неделя

ПР № 26«Решение показательных, логарифмических , тригонометрических неравенств».

4 семестр, 25 неделя

ПР № 27 «Решение неравенств с помощью метода интервалов».

4 семестр, 27 неделя

ПР № 28 «Вычисление угловых коэффициентов. Составление уравнения касательной к графику функции».

4 семестр, 30 неделя

ПР № 29 «Вычисление производных элементарных функций».

4 семестр, 32 неделя

ПР № 30 «Вычисление площадей с помощью интегралов».

4 семестр, 38 неделя

Итого практ.работ

60




ПРИЛОЖЕНИЕ №1


Основные учебники :


  1. Алгебра и начала анализа 10-11 кл. Ш.А.Алимов и др. М., «Просвещение», 2009 г.

  2. Геометрия 10-11 кл. Л.С. Атанасян. М., «Просвещение»,2011 г.


Дополнительные учебники :



  1. Алгебра и начала математического анализа 10-11 кл. Колмогоров А.Н. и др. М., «Просвещение»,2009г.

  2. Алгебра и начала математического анализа 10-11 кл. Башмаков М.И. М., «Дрофа»,2009г.

  3. Геометрия 10-11 кл. Потоскуев Е.В., Звавич Л.И. М., «Просвещение», 2009г.




Интернет-ссылки для ВСР.

Алгебра:

  1. http://math-prosto.ru/?page=pages/library-math/alimov-10-11.php

  2. http://nashol.com/2012102467590/algebra-i-nachala-matematicheskogo-analiza-10-11-klass-alimov-sh-a-kolyagin-u-m-2012.html

  3. http://nsportal.ru/shkola/algebra/library/algebra-i-nachala-analiza-10-11-klass-po-uchebniku-sha-alimova-i-dr

  4. http://nashol.com/2014021575799/algebra-i-nachalo-matematicheskogo-analiza-10-klass-muravin-g-k-2013.html

  5. http://elkniga.ucoz.ru/load/multimedijnye_posobija/matematika/multimedijnoe_posobie_po_matematike_uroki_algebry_kirilla_i_mefodija_10_11_klass/14-1-0-15

Геометрия:

  1. http://nashol.com/knigi-po-matematike/#po_godam_2012

  2. http://nashol.com/2011102361137/geometriya-uchebnik-10-11-klass-atanasyan-l-s-butuzov-v-f-kadomcev-s-b-2009.html

  3. http://4book.org/uchebniki-rossiya/10-klass/62-geometriya-uchebnik-dlya-10-11-klassov-atanasyan-l-s-i-dr

  4. http://neovit.net/edu/math1.htm

  5. http://elkniga.ucoz.ru/publ/uchebniki/10_klass/geometrija_atanasjan_l_s_uchebnik_dlja_10_11_klassa_obshheobrazovatelnykh_uchrezhdenij/98-1-0-311





И любые другие аналогичные из интернета по разделам «Алгебра и начала анализа», «Геометрия».






Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "УМК по прфессии Повар- кондитер."

Получите профессию

Фитнес-тренер

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ #U041c#U0415#U0422#U041e#U0414.#U0423#U041a-#U042f #U041a #U041f#U0420-#U041f#U041e#U0412#U0410#U0420#U0410,2015-2017 #U0443#U0447.#U0433..docx














Методические указания

к выполнению практических работ обучающихся

по дисциплине Математика

для профессии 19.01.17. Повар- кондитер.



























2015 г.




Рассмотрено и одобрено на заседании ПЦК

Протокол № ___ от___________20__г.

Председатель ПЦК __________________________


Составлены в соответствии с программой дисциплины Математика для профессии

19.01.17. Повар- кондитер.








Составитель: Зайцева С.Е., преподаватель















































Пояснительная записка


Цель методических указаний: оказание помощи обучающимся в выполнении практической работы по дисциплине Математика.

Настоящие методические указания содержат работы, которые позволят обучающимся самостоятельно овладеть профессиональными знаниями и умениями, опытом творческой деятельности при решении проблем учебного и профессионального уровня и направлены на формирование следующих компетенций:

ОК 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, исходя из цели и способов ее достижения, определенных руководителем.

ОК 3. Анализировать рабочую ситуацию, осуществлять текущий и итоговый контроль, оценку и коррекцию собственной деятельности, нести ответственность за результаты своей работы.

ОК 4. Осуществлять поиск информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач.

ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.

ОК 6. Работать в команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, клиентами.

ОК 7.Готовить к работе производственное помещение и поддерживать его санитарное состояние.

ОК 8. Исполнять воинскую обязанность, в том числе с применением полученных профессиональных знаний (для юношей).

Освоение содержания учебной дисциплины Математика обеспечивает достижение обучающимися следующих результатов:

  • личностных:

    • сформированность представлений о математике как универсальном языке науки, средстве моделирования явлений и процессов, идеях и методах математики;

    • понимание значимости математики для научно-технического прогресса, сформированность отношения к математике как к части общечеловеческой культуры через знакомство с историей развития математики, эволюцией математических идей;

    • развитие логического мышления, пространственного воображения, алгоритмической культуры, критичности мышления на уровне, необходимом для будущей профессиональной деятельности, для продолжения образования и самообразования;

    • овладение математическими знаниями и умениями, необходимыми в повседневной жизни, для освоения смежных естественно-научных дисциплин и дисциплин профессионального цикла, для получения образования в областях, не требующих углубленной математической подготовки;

    • готовность и способность к образованию, в том числе самообразованию, на протяжении всей жизни; сознательное отношение к непрерывному образованию как условию успешной профессиональной и общественной деятельности;

    • готовность и способность к самостоятельной творческой и ответственной деятельности;

    • готовность к коллективной работе, сотрудничеству со сверстниками в образовательной, общественно полезной, учебно-исследовательской, проектной и других видах деятельности;

    • отношение к профессиональной деятельности как возможности участия в решении личных, общественных, государственных, общенациональных проблем;

  • метапредметных:

    • умение самостоятельно определять цели деятельности и составлять планы деятельности; самостоятельно осуществлять, контролировать и корректировать деятельность; использовать все возможные ресурсы для достижения поставленных целей и реализации планов деятельности; выбирать успешные стратегии в различных ситуациях;

    • умение продуктивно общаться и взаимодействовать в процессе совместной деятельности, учитывать позиции других участников деятельности, эффективно разрешать конфликты;

    • владение навыками познавательной, учебно-исследовательской и проектной деятельности, навыками разрешения проблем; способность и готовность к самостоятельному поиску методов решения практических задач, применению различных методов познания;

    • готовность и способность к самостоятельной информационно-познавательной деятельности, включая умение ориентироваться в различных источниках информации, критически оценивать и интерпретировать информацию, получаемую из различных источников;

    • владение языковыми средствами: умение ясно, логично и точно излагать свою точку зрения, использовать адекватные языковые средства;

    • владение навыками познавательной рефлексии как осознания совершаемых действий и мыслительных процессов, их результатов и оснований, границ своего знания и незнания, новых познавательных задач и средств для их достижения;

    • целеустремленность в поисках и принятии решений, сообразительность и интуиция, развитость пространственных представлений; способность воспринимать красоту и гармонию мира;

  • предметных:

    • сформированность представлений о математике как части мировой культуры и месте математики в современной цивилизации, способах описания явлений реального мира на математическом языке;

    • сформированность представлений о математических понятиях как важнейших математических моделях, позволяющих описывать и изучать разные процессы и явления; понимание возможности аксиоматического построения математических теорий;

    • владение методами доказательств и алгоритмов решения, умение их применять, проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач;

    • владение основными понятиями о плоских и пространственных геометрических фигурах, их основных свойствах; сформированность умения распознавать геометрические фигуры на чертежах, моделях и в реальном мире; применение изученных свойств геометрических фигур и формул для решения геометрических задач и задач с практическим содержанием;

    • сформированность представлений о процессах и явлениях, имеющих вероятностный характер, статистических закономерностях в реальном мире, основных понятиях элементарной теории вероятностей; умений находить и оценивать вероятности наступления событий в простейших практических ситуациях и основные характеристики случайных величин;

    • владение стандартными приемами решения рациональных и иррациональных, показательных, степенных, тригонометрических уравнений и неравенств, их систем; использование готовых компьютерных программ, в том числе для поиска пути решения и иллюстрации решения уравнений и неравенств;

    • сформированность представлений об основных понятиях математического анализа и их свойствах, владение умением характеризовать поведение функций, использование полученных знаний для описания и анализа реальных зависимостей;

    • владение навыками использования готовых компьютерных программ при решении задач.

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание из части 1) и 2),выборочно из части 3).

Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание из части 2),выборочно из части 3).

Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание из части 1),выборочно из части 2).

Требования к оформлению самостоятельной работы:

Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №3.

Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.



















Списки практических работ по профессии: 19.01.17. Повар- кондитер.

Списки ПР

Сроки выполнения

ПР №1 «Вычисление перпендикуляра и наклонной

к плоскости».

1 семестр, 7 неделя

ПР № 2 «Вычисление расстояния между прямыми и

плоскостями».

1 семестр, 9 неделя

ПР № 3 «Построение многогранников. Вычисление площадей и объемов многогранников».

1 семестр, 12 неделя

ПР № 4 «Вычисление координат векторов».

2 семестр, 23 неделя

ПР № 5 «Решение комбинаторных задач».

2 семестр, 26 неделя

ПР № 6 «Вычисление вероятностей».

2 семестр, 27 неделя

ПР № 7 «Вычисление числовых выражений».

2 семестр, 33 неделя

ПР № 8 «Вычисление углов в радианах».

2 семестр, 35 неделя

ПР № 9 «Преобразование тригонометрических выражений».

2 семестр, 37 неделя

ПР № 10 «Решение простейших тригонометрических уравнений и неравенств».

2 семестр, 39 неделя

ПР № 11 «Вычисление обратных тригонометрических выражений».

2 семестр, 41 неделя

ПР № 12 «Вычисление и сравнение корней. Выполнение расчетов с радикалами».

3 семестр, 1 неделя

ПР № 13 «Нахождение значений степеней с рациональными показателями. Сравнение степеней».

3 семестр, 3 неделя

ПР № 14 «Преобразования выражений».

3 семестр, 4 неделя

ПР № 15 «Нахождение значений логарифма».

3 семестр, 5 неделя

ПР № 16 «Вычисление логарифмов».

3 семестр, 7 неделя

ПР № 17 «Вычисление множества значений функций».

3 семестр, 9 неделя

ПР № 18 «Построение графиков функций».   

3 семестр, 11 неделя

ПР № 19 «Построение графиков по свойствам функций».

3 семестр, 13 неделя

ПР № 20 «Построение графиков периодических функций».      

3 семестр, 15 неделя

ПР № 21 «Построение графиков обратных функций».

3 семестр, 16 неделя

ПР № 22 «Построение графиков функций с помощью преобразований».

3 семестр, 17 неделя

ПР № 23 «Решение уравнений с помощью графиков».         

4 семестр, 18 неделя

ПР № 24 «Решение иррациональных уравнений».

4 семестр, 20 неделя

ПР № 25 «Решение показательных уравнений».

4 семестр, 21 неделя

ПР № 26 «Решение логарифмических уравнений».

4 семестр, 23 неделя

ПР № 27 «Решение уравнений и их систем».

4 семестр, 25 неделя

ПР № 28 «Вычисление членов последовательности».

4 семестр, 27 неделя

ПР № 29 «Составление уравнения касательной к графику функции».

4 семестр, 29 неделя

ПР № 30 «Вычисление производных элементарных

функций».

4 семестр, 30 неделя

ПР № 31 «Исследование функции с помощью производной».

4 семестр, 32 неделя

ПР № 32 «Вычисление площадей с помощью интегралов».

4 семестр, 35 неделя

Итого практ.работ

64











ПРИЛОЖЕНИЕ №1


Основные учебники :


  1. Алгебра и начала анализа 10-11 кл. Ш.А.Алимов и др. М., «Просвещение», 2009 г.

  2. Геометрия 10-11 кл. Л.С. Атанасян. М., «Просвещение»,2011 г.


Дополнительные учебники :



  1. Алгебра и начала математического анализа 10-11 кл. Колмогоров А.Н. и др. М., «Просвещение»,2009г.

  2. Алгебра и начала математического анализа 10-11 кл. Башмаков М.И. М., «Дрофа»,2009г.

  3. Геометрия 10-11 кл. Потоскуев Е.В., Звавич Л.И. М., «Просвещение», 2009г.




Интернет-ссылки для ВСР.

Алгебра:

  1. http://math-prosto.ru/?page=pages/library-math/alimov-10-11.php

  2. http://nashol.com/2012102467590/algebra-i-nachala-matematicheskogo-analiza-10-11-klass-alimov-sh-a-kolyagin-u-m-2012.html

  3. http://nsportal.ru/shkola/algebra/library/algebra-i-nachala-analiza-10-11-klass-po-uchebniku-sha-alimova-i-dr

  4. http://nashol.com/2014021575799/algebra-i-nachalo-matematicheskogo-analiza-10-klass-muravin-g-k-2013.html

  5. http://elkniga.ucoz.ru/load/multimedijnye_posobija/matematika/multimedijnoe_posobie_po_matematike_uroki_algebry_kirilla_i_mefodija_10_11_klass/14-1-0-15

Геометрия:

  1. http://nashol.com/knigi-po-matematike/#po_godam_2012

  2. http://nashol.com/2011102361137/geometriya-uchebnik-10-11-klass-atanasyan-l-s-butuzov-v-f-kadomcev-s-b-2009.html

  3. http://4book.org/uchebniki-rossiya/10-klass/62-geometriya-uchebnik-dlya-10-11-klassov-atanasyan-l-s-i-dr

  4. http://neovit.net/edu/math1.htm

  5. http://elkniga.ucoz.ru/publ/uchebniki/10_klass/geometrija_atanasjan_l_s_uchebnik_dlja_10_11_klassa_obshheobrazovatelnykh_uchrezhdenij/98-1-0-311





И любые другие аналогичные из интернета по разделам «Алгебра и начала анализа», «Геометрия».






Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "УМК по прфессии Повар- кондитер."

Получите профессию

Менеджер по туризму

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ #U041f#U0420 - #U041f#U041e#U0412#U0410#U0420#U0410,2015-2017 #U0443#U0447.#U0433..docx

Инструкционная карта

ПР №1«Вычисление перпендикуляра и наклонной. Вычисление угла между плоскостями».

Задание:

1) а) Записать по рисунку:

  • какой отрезок является перпендикуляр, наклонная, проекция наклонной,

  • угол между наклонной и плоскостью α.

АС - …, АВ - …, СВ – …, АВ2 = ВС2 + АС2.

- угол между наклонной и плоскостью α.

б)Перепишите и заполните пропуски:

Пример 1. Из точки, не принадлежащей данной плоскости , проведены к ней
две наклонные, равные 10см и 18см. Сумма длин их проекций на

плоскость равна 16см. Найти проекцию каждой наклонной.(рис.1)

Дано: ОС - перпендикуляр, АС и ВС - наклонные, АО и ОВ – их проекции, рис.1

АС = 10 см, СВ = 18 см, АО + ОВ = 16 см,

Найти: АО, ОВ

Решение: АС = 10, СВ = 18, АО + ОВ = 16, АО = х, ОВ = 16 х,

АС2 АО2 = ВС2 – ОВ2 , 102 х2 = 182 – (16 х)2, 100 х2 = 324 – 256 + 32 х х2 ,

32 х = 32, х = … , АО = 1, ОВ = 16 – 1 = .... Ответ: 1 и 15 см.

Пример 2. Из точки к плоскости проведены две наклонные. Одна из них длиной 12см наклонена к плоскости под углом 60°, проекция другой на эту плоскость равна 6 см.

Найти длину этой наклонной.

Дано: ОС - перпендикуляр, АС и ВС - наклонные, АО и ОВ – их проекции,

СА = 12 см , САО = 60°, ОВ = 6 см ,

Найти: СВ

Решение: Δ АОС- прямоугольный, АСО = 90 ° 60 ° = 30°, АО = СА : 2 = 12: 2 = … ,

СО2 = СА2 –АО2 = 122 – 62 = 144 – 36 = … ,

СВ2 = СО2 + ОВ2 = 108 + (6 )2 = 108 + 36 6 = 108 + 216 = … , СВ = … см. Ответ: 18 см.

Пример 3. Из точки С к данной плоскости проведены перпендикуляр СО = 6см и две наклонные. Каждая из наклонных образует с плоскостью угол 60°. Угол между наклонными 120°. Найти расстояние между основаниями наклонных.

Дано: ОС - перпендикуляр, АС и ВС - наклонные, АО и ОВ – их проекции,

СО = 6см, САО = СВО = 60°, АСВ = 120°,

Найти: АВ
Решение: sin САО = СО : АС, АС = ВС = СО : sin САО = 6: sin60 ° = 6 : = 12 : = 4 ,

Δ АВС – равнобедренный, АВ2 = АС2 + ВС2 – 2АС ВС cos АСВ =

= (4)2 + (4)2 – 24 cos 120° = 16 3 + 16 3 - 216 3( – ) = 48 + 48 + 48 = … ,

АВ = … см. Ответ: АВ = 12 см.

Пример 4. Из точки С к данной плоскости проведены перпендикуляр СО и две наклонные СВ и АС. ОВ= 4,САО = 30°, СВО = 60°, а угол между наклонными 90°. Найти расстояние между основаниями наклонных.

Дано: ОС - перпендикуляр, АС и ВС - наклонные, АО и ОВ – их проекции,

ОВ= 4,САО = 30°, СВО = 60°, АСВ = 90°,

Найти: АВ

Решение: ΔСОВ – прямоугольный, СВО = 60°, ОСВ = 90 ° - 60 ° = 30 °,

ВС= 2 ОВ = 24 = … , СО2 = ВС2 – ОВ2 = 82 – 42 = 64 – 16 = … , СО = = 4,

АС = 2 СО = 24 = … , ΔАСВ - прямоугольный, АВ2 = АС2 + ВС2 = (8)2 + 82 =

= 64 3 + 64 = … , АВ = … см. Ответ: АВ = 16 см.
Пример 5. Диагонали квадрата АВСD пересекаются в точке О.


Из точки О проведён к плоскости квадрата перпендикуляр ОМ. Найти расстояние от точки М до

стороны ВС, если AD = 6см, ОМ = 4см. (рис.2)

Дано: АВСD - квадрат, ОМ - перпендикуляр,
О - точка пересечения диагоналей квадрата,

МК - расстояние от точки М до стороны ВС, AD = 6см, ОМ = 4см.

Найти: МК

Решение: ОК = АВ : 2 = AD : 2 = 6 : 2 = … , ΔМОК - прямоугольный, Рис.2

МК2 = ОМ2 + ОК2 = 42 + 32 = 16 + 9 = … , МК = ... Ответ: МК = 5 см.
Пример 6. Прямые АВ, АС и AD попарно перпендикулярны . Найдите отрезок CD, если: АВ = 3 см, ВС = 7 см, AD = 1,5 см;

Дано: АВ, АС и AD попарно перпендикулярны, АВ = 3 см, ВС = 7 см, AD = 1,5 см; Найти: CD

Решение: Δ САВ – прямоугольный, АС2 = СВ2 – АВ2, АС2 = 72 – 32 = 49 – 9 = … ,

Δ САD – прямоугольный, СD2 = АС2 + АD2, СD2 = 40 + 1,52 = 40 + 2,25 = … ,

СD = … см. Ответ: СD = 6,5 см.hello_html_75ed7ad2.jpg

Пример 7. Дан параллелепипед АВСDА1В1С1D1 , у которого основание квадрат.

Докажите, что а) СD В1С1 , б) С1D1 АD .

Доказательство: а) СD || A1B1, A1B1 В1С1 СD В1С1 ( по лемме),

б) С1D1 || ВС , ВС АD С1D1 АD ( по лемме) .

2)Решить задачи ( по примерам):

  1. Из точки, не принадлежащей данной плоскости, проведены к ней две наклонные,
    равные 20 см и 36 см. Сумма длин их проекций на плоскость равна 32 см.
    Найти проекцию каждой наклонной.

  2. Из точки к плоскости проведены две наклонные. Одна из них длиной 24 см наклонена к плоскости под углом 60°, проекция другой на эту плоскость равна 12 см. Найти длину этой наклонной.

  3. Из точки С к данной плоскости проведены перпендикуляр СО = 12 см и две наклонные. Каждая из наклонных образует с плоскостью угол 60°. Угол между наклонными 120°.
    Найти расстояние между основаниями наклонных.

  4. Из точки С к данной плоскости проведены перпендикуляр СО и две наклонные СВ и АС.
    ОВ= 8,
    САО = 30°, СВО = 60°, а угол между наклонными 90°. Найти расстояние между основаниями наклонных.

  5. Диагонали квадрата АВСD пересекаются в точке О. Из точки О проведён к плоскости квадрата перпендикуляр ОМ. Найти расстояние от точки М до стороны ВС, если AD = 12 см, ОМ = 8 см.

  6. Прямые АВ, АС и AD попарно перпендикулярны.
    Найдите отрезок CD, если: АВ = 6 см, ВС = 14 см, AD = 3 см;

  7. Дан параллелепипед АВСDА1В1С1D1 , у которого основание квадрат.
    Докажите, что
    а) С1D1 ВС, б) СD А1D1 .

3)Решить задачи :

  1. Дано: АС - перпендикуляр, АВ - наклонная,
    а)
    АВ = 10 см, ВС = 6 см, АС = ?, б) АС = 12 см, ВС = 5 см, АВ = ? (Указание:АВ2 = ВС2 + АС2 )

  2. Дано: Δ АВС – равнобедренный, АК(АВС), АК = 12 см, АВ = АС = 5 см, ВС = 6 см,
    КМ
    ВС. Найти: КМ, АМ.

(Указание: АВ = АС => КВ = КС => Δ СКВ – равнобедренный, КМ ВС => ВМ- медиана,

ВМ = МС = ВС : 2, КС2 = АК2 + АС2 , КМ2 = КС2 - МС2 , АМ2 = АС2 - МС2 )

  1. Дано: АО - перпендикуляр, АВ и АС - наклонные, АВ = АС, ОАВ = ВАС = 60°,
    АО = 2,5 см.
    Найти: ВС. (Указание: Δ ВАС – равносторонний, ВС = АВ = АС = 2АО)

  2. Телефонная проволока длиной 15 м протянута от телефонного столба, где она прикреплена на высоте 8 м от поверхности земли, к дому, где ее прикрепили на высоте 20 м. Найдите расстояние между домом и столбом, предполагая, что проволока не провисает.

Дано: AB = 15 м, АС = 8 м, BD = 20 м, Найти: CD.

(Указание: Δ BKА – прямоугольный, АK2 = AB2 - BK 2)

  1. Дан куб АВСDА1В1С1D1 . Найдите следующие двугранные углы: а) АВ В1С , б) АDD1В,
    в) А
    1ВВ1К, где К- середина А1D1.

  2. Из вершины равностороннего треугольника АВС проведен перпендикуляр АК к плоскости треугольника. Найдите длину АК, если ВС = 3 см, КС = 3 см.

  3. Найдите тангенс угла между диагональю куба и плоскостью одной из его граней.


Инструкционная карта

ПР № 2«Вычисление расстояния между прямыми и плоскостями».

Задание:

1) Перепишите и заполните пропуски:

Пример 1. Дан параллелепипед АВСDА1В1С1D1 , у которого основание квадрат. Докажите, что а) СD В1С1 , б) С1D1 АD . hello_html_75ed7ad2.jpg

Доказательство: а) СD || A1B1, A1B1 В1С1 СD В1С1 ( по лемме),hello_html_m66ec6653.jpg

б) С1D1 || ВС , ВС АD С1D1 АD ( по лемме) .

Пример 2. Прямые АВ, АС и AD попарно перпендикулярны . Найдите отрезок CD, если: АВ = 3 см, ВС = 7 см, AD = 1,5 см;

Дано: АВ, АС и AD попарно перпендикулярны, АВ = 3 см, СD = 6,5 см, AD = 1,5 см; Найти: ВC

Решение:

Δ САD – прямоугольный, СD2 = АС2 + АD2, АС2 = 6,52 – 1,52 = 42,25 – 2,25 = …,

Δ САВ – прямоугольный, АС2 = СВ2 – АВ2, ВС2 = 40 + 32 = …, ВС = …

Ответ: ВС = 7 см.

Пример 3. Через точки А и В проведены прямые, перпендикулярные плоскости α, пересекающие ее в точках С и D соответственно. Найдите расстояние между точками А и В, если АС = 2 м, BD = 3 м, CD = 2,4 м и отрезок АВ не пересекает плоскость α.

Дано: АС α , BD α , АС = 2 м, BD = 3 м, CD = 2,4 м

Найти: AB

Решение: BK = BD – АС = 3 – 2 = 1,

Δ BKА – прямоугольный, AB2 = АK2 + BK 2 = СD2 + BK2,

AB2 = 2,42 + 12 = 5,76 + 1 = …, AB = … м.

Ответ: AB = 2,6 м.

Пример 4. Телефонная проволока длиной 15 м протянута от телефонного столба, где она прикреплена на высоте 8 м от поверхности земли, к дому, где ее прикрепили на высоте 20 м. Найдите расстояние между домом и столбом, предполагая, что проволока не провисает.

Дано: AB = 15 м, АС = 8 м, BD = 20 м,

Найти: CD

Решение: BK = BD – АС = 20 – 8 = …,

Δ BKА – прямоугольный, АK2 = AB2 BK 2 = 152 122 = 225 – 144 = …, АK = … см.

CD = АK =… см. Ответ: CD = 9 см.

Пример 5. К плоскости треугольника из центра, вписанной в него окружности радиуса 0,7 м восставлен перпендикуляр длиной 2,4 м. Найдите расстояние от конца этого перпендикуляра до сторон треугольника.

Дано: Δ АВС, О – центр , вписанной в него окружности,

ОК = r = 0,7 м, ОМ (АВС), ОМ = 2,4 м,

Найти: МК
Решение: ΔМОК - прямоугольный,

МК2 = ОК2 + ОМ2 = 0,72 + 2,42 = 0,49 + 5,76 = …,МК = …м.

Ответ: МК = 2,5 м.

2)Задание:

  1. Дан параллелепипед АВСDА1В1С1D1 , у которого основание квадрат.

Докажите, что а) С1D1 ВС, б) СD А1D1 .

  1. Прямые АВ, АС и AD попарно перпендикулярны . Найдите отрезок CD, если: АВ = 6 см, ВС = 14 см, AD = 3 см;

  2. Через точки А и В проведены прямые, перпендикулярные плоскости α, пересекающие ее в точках С и D соответственно. Найдите расстояние между точками А и В, если АС = 8 см, BD = 20 см, CD = 5см и отрезок АВ не пересекает плоскость α.

  3. Телефонная проволока длиной 26 м протянута от телефонного столба, где она прикреплена на высоте 6 м от поверхности земли, к дому, где ее прикрепили на высоте 30 м. Найдите расстояние между домом и столбом, предполагая, что проволока не провисает.

  4. К плоскости треугольника из центра, вписанной в него окружности радиуса 1 м восставлен перпендикуляр длиной 2,4 м. Найдите расстояние от конца этого перпендикуляра до сторон треугольника.

3) Решение теста. Методические рекомендации к выполнению теста:

  1. Прочитать вопрос, ответить на его и записать букву , под которой записан правильный ответ.

  2. Решив задачу, нужно выбрать правильный ответ и записать номер, под которым он записан.

Задание:

1. Расстоянием от точки до плоскости называется

а) длина перпендикуляра, опущенного из точки на эту плоскость.

б) длина перпендикуляра, проведенного из плоскости к этой точке.

в)длина перпендикуляра, проведенного из любой точки одной

плоскости ко второй плоскости, на которой лежит эта точка.

г) расстояние от этой точки до любой из точек лежащих на плоскости.

2. Расстоянием от прямой до параллельной ей плоскости называется

а) длина перпендикуляра, опущенного из произвольной точки на эту плоскость.

б) длина перпендикуляра, опущенного из произвольной точки прямой на эту плоскость.

в) расстояние от точки лежащей на прямой, до любой из точек лежащих на плоскости.

г) длина перпендикуляра, опущенного из произвольной точки плоскости на эту прямую.

3. Отрезок DM является высотой параллелограмма ABCD.

DK – перпендикуляр к плоскости параллелограмма. На стороне АВ выбрана

точка Х, не совпадающая с точкой М. Какое из соотношений является верным?

а) КМ<КХ, б) КМ>КХ, в) КМ≤КХ, г) КМ≥КХ.

4. Найдите расстояние между скрещивающимися прямыми, содержащими

диагональ куба и ребро куба, если ребро куба равно см.

а) см ,б) 1 см, в) 0,5 см, г) 2 см.

5.Если угол между двумя прямыми равен 90°, то эти прямые:

а) пересекаются, б) параллельны, в) скрещиваются, г) перпендикулярны, д) совпадают.

6. Какое из следующих утверждений неверно:

а) если прямая перпендикулярна к двум прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна и к этой плоскости,

б) если прямая перпендикулярна к плоскости, то она ее пересекает,

в) если две плоскости перпендикулярны к прямой, то они параллельны,

г) если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны,

д) если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости,

то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.

7.Если одна из двух скрещивающихся прямых перпендикулярна к плоскости,

то будет ли перпендикулярна к этой плоскости вторая прямая?

а) да, б) да, но при определенных условиях, в) определить нельзя, г) нет, д) другой ответ.

8. Прямая а перпендикулярна к прямым с и в, лежащим в плоскости α,

прямая а перпендикулярна к плоскости α. Каково взаимное расположение прямых с и в?

а) параллельны, б) пересекаются, в) параллельны или пересекаются, г) совпадают,  д) определить нельзя.

9.Одна из двух параллельных плоскостей перпендикулярна прямой, тогда:

а) другая плоскость параллельна прямой, б) прямая лежит в другой плоскости,

в) другая плоскость перпендикулярна прямой, г) прямая не пересекает другую плоскость, 

д) выполняются все случаи, указанные в пунктах а - г.

10.Точка Е не принадлежит плоскости прямоугольника АВСD, ВЕ АВ, ВЕ ВС.

Тогда прямая и плоскость ВСЕ:

а)параллельны, б)перпендикулярны, в)скрещиваются,

г)прямая лежит в плоскости,  д) перпендикулярны, но не пересекаются.

11.Какое из следующих утверждений неверно?

а) перпендикуляр и наклонная, выходящие из одной точки, имеют равные длины,

б) проекцией прямой на плоскость является точка или прямая,

в) наклонные разной длины, проведенные к плоскости из одной точки,

имеют проекции разных длин, 

г) прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной

перпендикулярно к ней, перпендикулярна к ее проекции,

д) расстояние от произвольной точки одной из параллельных плоскостей

до другой плоскости называется расстоянием между параллельными плоскостями.

12.Расстояния от точки М до сторон прямоугольного треугольника АВС

(угол С равен 90°) равны. Какое из следующих утверждений верно?

а) плоскости МАВ и АВС перпендикулярны,

б) плоскости МВС и АВС перпендикулярны,

в) плоскости МАС и АВС перпендикулярны,

г) плоскости МАС и МВС перпендикулярны, д) условия в пунктах а - г неверны.

13.Угол между двумя плоскостями равен 80°. Какое из следующих утверждений неверно?

а) плоскости пересекаются,

б) в одной из плоскостей найдется прямая, перпендикулярная другой плоскости,

в) в одной из плоскостей все прямые не перпендикулярны другой плоскости,

г) в одной из плоскостей найдется прямая, параллельная другой плоскости,

д) плоскости не перпендикулярны.

14.Какое из следующих утверждений верно?

а) градусная мера двугранного угла не превосходит 90°,

б) двугранным углом называется плоский угол, образованный прямой а и

двумя полуплоскостями с общей границей а,

в) если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к

другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны,

г) угол между плоскостями всегда тупой, 

д) все линейные углы двугранного угла различны.

15.Какое из следующих утверждений верно?

а) в прямоугольном параллелепипеде все шесть граней - произвольные параллелограммы,

б) все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда - острые,

в) прямоугольный параллелепипед, у которого все три измерения равны, называется кубом,

г) квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме трех его измерений,

д) параллелепипед называется прямоугольным, если его боковые ребра

перпендикулярны к основанию.

16.Длины трех ребер, имеющих общую вершину, называются:

а) высотами прямоугольного параллелепипеда,

б) диагоналями прямоугольного параллелепипеда,

в) измерениями прямоугольного параллелепипеда,

г) диагоналями основания прямоугольного параллелепипеда,

д) смежными ребрами прямоугольного параллелепипеда.

Т Е С Т по теме «Перпендикулярность плоскостей». 1 часть.

1.Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой , то как расположена вторая прямая по отношению к третьей ?

а) параллельна ;б) перпендикулярна; в) скрещивается; г) совпадают;

2.Если две прямые перпендикулярны к плоскости , то как они расположены по отношению друг к другу ?

а) параллельны ; б) перпендикулярны; в) скрещиваются; г) пересекаются;

3.Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым , лежащим в плоскости , то как расположена эта прямая по отношению к плоскости ?

а) параллельна плоскости; б) перпендикулярна к плоскости;в) лежит в плоскости;

4.Прямая а параллельна плоскости α , а прямая b перпендикулярна к этой плоскости. Как расположены прямые а и b ?

а) параллельны; б) перпендикулярны; в) скрещиваются; г) совпадают;

5.Сколько прямых , перпендикулярных к данной плоскости проходит через данную точку пространства ?

а) одна; б) две; в) ни одной; г) бесконечное множество;

6.Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости , то как расположены такие плоскости ?

а) параллельны; б) перпендикулярны; в) скрещиваются; г) совпадают;

7.Сколько двугранных углов имеет параллелепипед ?

а) четыре ; б) восемь; в) десять; г) двенадцать;

8.Диагональ квадрата перпендикулярна к некоторой плоскости . Как расположена другая диагональ квадрата по отношению к этой плоскости ?

а) параллельна плоскости ; б) перпендикулярна к плоскости;

в) лежит в плоскости; г) пересекает плоскость;

9.Каждая из плоскостей α и β перпендикулярна к плоскости γ . Каково взаимное расположение плоскостей α и β ?

а) параллельны; б) перпендикулярны; в) совпадают; г) скрещиваются;

10.Что больше : перпендикуляр, проведенный из данной точки к плоскости или наклонная проведенная из той же точки к этой плоскости?

а) перпендикуляр; б) наклонная; в) они равны;

2 часть .

  1. Расстояние от некоторой точки до плоскости квадрата равно 4 см, а до каждой из его вершин – 6 см. Найдите диагональ квадрата.

А) 2 см; Б) 5 см; В) 5 см; Г) другой ответ.

2. Через вершину квадрата ABCD проведена прямая AM, перпендикулярная его плоскости. Какое из данных утверждений неверно?

А) MA перпендикулярна BD; В) MB перпендикулярна CB;

Б) MD перпендикулярна СD; Г) MC перпендикулярна СB.

3. Найдите расстояние от середины отрезка АВ, пересекающего плоскость α,до плоскости α, если расстояния от точек А и В до плоскости равны соответственно 7 см и 9 см. А) 8 см; Б) 1 см;

В) 4 см; Г) другой ответ.

4. Расстояния от вершин А, В, С параллелограмма ABCD, не пересекающего плоскость α, до плоскости α равны соответственно 3 см, 15 см и 18 см. Найдите расстояние от вершины D до плоскости α . А) 3 см; Б) 3 см; В) 6 см; Г) другой ответ.

5. Точка А находится на расстоянии 3 см и 5 см от двух перпендикулярных плоскостей α и β. Найдите расстояние от точки А до прямой пересечения плоскостей α и β.
А)
см; В) 4 см; В) 6 см; Г) другой ответ.

6. Из вершины равностороннего треугольника АВС проведен перпендикуляр АК к плоскости треугольника. Точка D – середина стороны ВС. Найдите длину АК, если ВС = см, КD = 8 см.

А) 14 см; В) 12 см; В) 7 см; Г) другой ответ.

  1. Расстояние от некоторой точки до плоскости прямоугольника равно см, а до всех его вершин – 3 см. Найдите диагональ прямоугольника. А) 4 см; Б) 2 см; В) 5 см; Г) другой ответ.

8. Найдите расстояние от середины отрезка АВ, пересекающего плоскость α ,до плоскости α, если расстояния от точек А и В до плоскости равны соответственно 4 см и 10 см.

А) 7 см; Б) 3 см; В) 2 см; Г) другой ответ.

9. Расстояния от вершин А, В, С параллелограмма ABCD, не пересекающего плоскость α, до плоскости α равны соответственно 19 см, 6 см и 16 см. Найдите расстояние от вершины D до плоскости α . А) 23 см; Б) 11 см; В) 29 см; Г) другой ответ.

10. Точка А находится на расстоянии 2 см и 3 см от двух перпендикулярных плоскостей α и β. Найдите расстояние от точки А до прямой пересечения плоскостей α и β. А) см; В) см; В) 3 см; Г) другой ответ.

11. Из вершины равностороннего треугольника АВС проведен перпендикуляр АК к плоскости треугольника. Найдите длину АК, если ВС = 3 см, КС = 3 см.

А) 2 см; В) 3 см; В) 4 см; Г) другой ответ.

Инструкционная карта

ПР № 3«Построение многогранников. Вычисление площадей и объемов многогранников».

Задание:

1) Перепишите и заполните пропуски:hello_html_3a511f3b.png

  • А)Пример 1. Высота правильной треугольной пирамиды 4 см, а ее апофемы 8 см. Вычислите площадь боковой поверхности пирамиды. 
    Решение:  Исходя из того, что MK = 8, MO = 4, синус угла OKM равен  MO/MK = 1/2 , откуда угол равен arcsin 1/2 = 30 °. Откуда  KO / MK = cos 30° , KO / 8 = cos 30° ,

KO = 8 cos 30° .KO = 8/2 = 4 .
Тогда по свойству равностороннего треугольника
  КО = r = a/6.

4 = a /6 , a = 24. 
Теперь, зная размер основания боковой грани и ее апофему, найдем площадь боковой грани как площадь равнобедренного треугольника:
 Sт = 1/224 8 = 12 8 = … см2 .
Откуда площадь боковой поверхности пирамиды
 S = 3 Sт = 3 96 = … см2 . 
Ответ: 288 см2.

Пример 2. Дано: усеченная правильная пирамида, n = 3, h = 4, a1= 16 , a2= 10 . Надо найти площадь полной поверхности усеченной пирамиды .

Решение: r1= a1 / 2  = 16  : 2  = 16 : 2 = …, r2= a2 / 2  = 10  : 2  = 10 : 2 = … ,

l2 = h2 + (r2 r1)2, l2 = 42 + (5 8)2 = 16 + 9 = …, l = … Sn =  /4 (a12 + a22) + 1,5 l(a1 + a2) .

Sn =  /4 ((16 )2 + (10 )2) + 1,5 5(16  + 10 ) =  /4 (768 + 300) + 1,5 5 = =267 + 195  =   .

Ответ: 462 

Пример 3. Дано: усеченная правильная пирамида, n = 4, h = 3, a1= 16, a2= 8 . Надо найти площадь полной поверхности усеченной пирамиды .

Решение: r1= a1 / 2= 16: 2= …, r2= a2 / 2= 8  : 2  = …,

l2 = h2 + (r2 r1)2, l2 = 32 + (4 8)2 = 9 + 16 = …, l = ….

Sn = (a12 + a22) + 2 l(a1 + a2) .Sn = (162 + 82) + 2 5(16 + 8) = 320 + 240 = … .

Ответ: 560

Пример 4. Дано: усеченная правильная пирамида, n = 6, h = 2, a1= 2 , a2= 6 . Надо найти площадь полной поверхности усеченной пирамиды .

Решение: r1= a1 / 2  = 2  : 2  =  , r2= a2 / 2  = 6  : 2  = 3 ,

l2 = h2 + (r2 r1)2, l2 = 22 + ( )2 = 4 + 12 = …, l = ….

Sn =3  /2 (a12 + a22) + 3 l(a1 + a2) .Sn =3  /2 (22 + 62) + 3 4(2 + 6) = …   + .

Ответ: 60   + 96

Пример 5. Дано: усеченная правильная пирамида, n = 4, h = 3, r1=2, r2= 6 . Надо найти площадь полной поверхности усеченной пирамиды .

Решение: l2 = h2 + (r2 r1)2, l2 = 32 + (6 2)2 = 9 + 16 = …, l = ….

Sn = 4 (r12 + r22) + 4 l(r1 + r2) . Sn = 4 (22 + 62) + 2 5(2 + 6) = 160 + 80 = … .

Ответ: 240.

  • В)Пример 1. Площадь грани прямоугольного параллелепипеда равна 12. Ребро,

перпендикулярное этой грани, равно 4. Найдите объем параллелепипеда.
Решение: Каждая грань прямоугольного параллелепипеда –прямоугольник.

Пусть SABCD= a b = 12 , тогда АА1= h = 4, т.к. АА1 АВСD

Используем формулу объема прямоугольного параллелепипеда: V = a b h , V = 12 4 = ...

Ответ: 48 см3.

Пример 2. Объем прямоугольного параллелепипеда равен 12. Одно из его ребер равно 3. Найдите площадь грани параллелепипеда, перпендикулярной этому ребру.

Решение: Пусть АА1 АВСD, V = 12 , АА1= h = 3.

Найдём SABCD. Используем формулу объема прямоугольного параллелепипеда V = a b h, где SABCD= a b, S ABCD 3 = 12,S ABCD = 12 : 3 = ... Ответ: 4 см2.

Пример 3. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2, 4. Диагональ параллелепипеда равна 6. Найдите объем параллелепипеда.

Решение: a = 4, b = 2, d = 6. Найдем V.

Формула диагонали прямоугольного параллелепипеда:

d2 = a2 + b2 + h2 , 16 + 4 + h2 = 36, h2 = … , h = ...

Формула объема прямоугольного параллелепипеда: V = abh , V = 4 2 4 = ... Ответ: 32 см3.

Пример 4. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2, 3. Объем параллелепипеда равен 36. Найдите его диагональ и высоту.

Решение: a = 3, b = 2. Формула объема прямоугольного параллелепипеда: V = abh , 3 . 2 . h = 36,

6h = 36, h = ..., V = 36. Найдем d. d2 = 9 + 4 + 36, d2 = 49, d = ... Ответ: 7 и 6 см.
Пример 5. Дано: ABCDA1B1C1D1 - прямоугольный параллелепипед, диагональ 
D1= 18 составляет угол в 30° с плоскостью боковой грани, и угол в 45° с боковым ребром (рис. ). Найти: V.
hello_html_m49e41dc8.jpg

 Решение: BC1 - проекция D1на плоскость боковой грани BB1С1С,
поэтому 
D1BC1 = 30°D1BB1= 45°.
Рассмотрим Δ
D1C1BD1C1= 90° (рис.). ∠В = 30°. => D1C1 = 18 : 2 = … см.
Рассмотрим Δ
D1B1- прямоугольный: BB1= 18 cos 45° = 18 : 2 = … см.
Диагональ (d) и измерения (а, b, с) прямоугольного параллелепипеда связаны соотношением:
d2 = a2 + b2 + h2 , 182 = 92 + (9)2 + B1C12 ,(ΔD1B1B: B1B =D1 B1).
B1C12 = 182 92 (9)2 = 324 – 8181 2 = 81, B1C1 = …см. V = 99 9 = … см3.   
Ответ:
V = 729см3.

Пример 6. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда 3 и 4. Найти его объём, если высота равна длине диагонали его основания.

Решение: BD - диагональ основания прямоугольного параллелепипеда. BD2 = АВ2 + АD2,
BD2 = 32 + 42 = 9 + 16 = …, BD = …, h = 5. V = 345 = … см3.
Ответ:
60 см3.

Пример 7. Найти объём прямоугольного параллелепипеда, если стороны основания 2 и 3, а диагональ параллелепипеда .

Решение: d2 = a2 + b2 + h2 , ()2 = 22 + 32 + h2 , h 2 = 38 – 49 = 25, h = ... V = 23 5 = … см3.
Ответ: 30 см3.

  • С)Пример 1. Дано: АВСА1В1С1 - прямая призма, АС = ВС, ACB = 90°BN NACNC1 = 45°CC1 = 6 (рис.). Найти: V. Решение: V = Sh , S = BC2 : 2, BC2 = BN2 + CN2 , BN =CN
    (
    ΔABC – прямоугольный,AC =BC), ΔC1CN – прямоугольный,CNC1 = 45°
    CC1 = CN= 6, BC2 =2CN2 = 2 62 = 236 = …, BC = 6 ,
    V = (62 6 : 2 = 36 6 = … см3.    Ответ:216см3.     Пример 2. Дано: ABCDА1В1С1D1 - прямая призма,  ABCD - ромб, BAD = 60° (рис.). ВВ1 = 2, B1DB = 45°. Найти: V. РешениеSp = AB AD sin 60°. ΔABD – равносторонний( AB = AD,BAD = 60° ).
    AB = BD = AD. ΔB1DB –прямоугольный ,
    B1DB = 45°. => ΔB1DB – равнобедренный, ВВ1 = ВD = 2,
    V = AB AD sin 60° BB1= BB13 sin 60° = 23 / 2 = … см3.
    hello_html_m47ca6280.jpghello_html_6c1a9bbb.jpg

Ответ: 4 см3

Пример 3. Дано: ABCDFM...M1 - правильная шестиугольная призма. AD1 = 8 см - наибольшая диагональ.AD1= 30°(рис.).hello_html_72355ff0.jpg

Найти: V. 
Решение: V= S0 · h. h = DD1 в ΔADD1, = 90°. D1 = 30°,

DD1 = AD1 · cos 30°. DD1 = 8 / 2 = … , AD = AD1 : 2 = 8 : 2 = … см,
OD = OC = CD = AD : 2 = 4 : 2 = …
см,
S
0 = 6S ΔOCD = 6 / 4) a2 = 6 / 4) 22 = 6 см. V = 6 = 6 43 = … см3.    

Ответ: 72 см3.   hello_html_m62762a7f.jpg

Пример 4. Дана трапеция, S(BB1C1C) = 8 см2, S(AA1D1D) = 12см2, BH = 5 см (рис.).Найти: Vnp. 
Решение:1)Расстояние между параллельными плоскостями ВВ1С1 и AA1D1 есть длина перпендикуляра ВН, который является высотой трапеции ABCD.

2) Обозначим верхнее основание трапеции - а, нижнее - b, высоту призмы h, тогда S(BB1C1C) = ah, 8 = ah, a = 8 / h, S(AA1D1D) = bh , 12 = bh, b = 12 / h,

3) S0 = (AD + BC)BH : 2 =( a + b ) BH : 2 = (8 / h + 12 / h) 5 : 2 = … / h,

4) V= S0 · h. V= 50 / · h = … см3.  Ответ: 50 см3.

  • Д)Пример 1. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 9 см. Сторона основания 4 см. Найдите объем пирамиды.

Решение: V= 1/3 S0 · h. V= 1/3 a2 · h = 1/3· 42·9 = 1/3 · 16 · 9 = 16 · 3 = … см3. Ответ: 48см3. 

Пример 2. a) Объем правильной четырехугольной пирамиды равен 27 см3, высота 9 см. Найти сторону основания.

Решение: V= 1/3 S0 · h. V= 1/3 a2 · h, a2  = 3V : h = 3 · 27 : 9 = 3 · 3 = ... , a = … см.

Ответ: 3 см.hello_html_m12ec6366.jpg

б) Объем пирамиды равен 56 см3, площадь основания 14 см2. Чему равна высота?

Решение: V= 1/3 S0 · h.  h = 3 V : S0  = 3 · 56 : 14 = 3 · 4 = … см.

Ответ: 12 см.

Пример 3. Дано: ABCD - правильная пирамида.

АВ = a = 3; AD = 2 (рис.).Найти: aSocн.; б) АО; в) DO; г) V.

 Решение:

а) S0 = 0,25 · a2  = 0,25 · 32 = 2,25 (используем формулу для вычисления площади правильного треугольника). 

б) AO = R = 2/3h = 1/3 a  (формула радиуса описанной окружности через сторону правильного треугольника). AO = 1/3 · 3 = .

в) DO2 = AD2AO2, (по теореме Пифагора).

DO2 = (2)2 – ()2 = 4 · 3 – 3 = … , DO = h = 3.hello_html_5fef969e.jpg

г) V= 1/3 S0 · h. V= 1/3 · 2,25 · 3 = … см3.

Ответ: aSocн. = 2,25 см2; б) АО = см; в) DO = 3см; г) V = 2,25 см3 .

Пример 4. Дано: ABCDF - правильная пирамида. 

FCO = 45°FO = 2 (рис.). Найти: a) Socн.; б) V. 

Решение:

1) Рассмотрим ΔFOC= 90°= 45°, значит, = 45°. Следовательно, ΔFOC - равнобедренный, ОС ≈ FO = h= 2.

2) АС = 2OС = 4. AC = AD (по свойству диагонали квадрата, d2 = 2а2).

Тогда  AD = AC / = 4 / = 2 .

3) ABCD - квадрат (пирамида правильная). S0 = AD2 = (2)2 = 2 · 4 = ...

4) V= 1/3 S0 · h. V= 1/3 · 8 · 2 = 16/3 5,3. Ответ: a) 8; 6) 5,3.hello_html_6d91a8cf.jpg

Пример 5. Дано: ABCA1B1C1 – усеченная пирамида. ΔАВС – прямоугольный,
AB = 18 дм, BC = 24 дм, AA1 = BB1 = СС1 = 12,5 дм, k = 0,5. Найти V.

Решение: S1 = SABC = 1/2 · AB · BC = 1/2 · 18 · 24 = 9 · 24 = … ,
S
2 = S(A1B1C1) = 1/2· A1B1 · B1C1 = 1/2 (k · AB) · (k · BC) =
= 1/2· 0,5 · 18 · 0,5 · 24 = 6 · 9 = … ,
S = S
1 + S2 + = = 216 + 54 + = 216 + 54 + 54 = … ,
V = 1/3 · h · S = 1/3 378 h = 126 h, R
1 = abc/4S1 ,

c = = = … , R1 = = = …, hello_html_m78f1984a.jpg

R2 = R1 : 2 = 7,5; h2 = 12,52 – (15 – 7,5)2 = 12,52 – 7,52 = (12,5 – 7,5) · (12,5 + 7,5) =

= 5 · 20 = … , h = … ,

V = 126 h = 126 · 10 = … (дм3).
Ответ: 1260 (дм3).

Пример 6. усеченная пирамида а) n = 3, а1 = 2, а2 = 5, h = 12, V =?
Решение: A = 22 + 52 + 2 · 5 = 39, V = · h · A = · 12 · 39 = … . Ответ: 39 .

б) n = 4, a1 = 3, a2 = 8, h = 6, V = ?
Решение: A = 32 + 82 + 3 · 8 = 97, V = 1/3 · 6 · 97 = 2 · 97 = ...

Ответ: 194.



2)Решить задачи ( по примерам):

А)

  1. Высота правильной треугольной пирамиды 8 см, а ее апофемы 16 см. Вычислите площадь боковой поверхности пирамиды. 

  2. Дано: усеченная правильная пирамида, n = 3, h = 8, a1 = 14 , a2 = 2 . Надо найти площадь полной поверхности усеченной пирамиды .

  3. Дано: усеченная правильная пирамида, n = 4, h = 8, a1 = 16, a2 = 4 . Надо найти площадь полной поверхности усеченной пирамиды .

  4. Дано: усеченная правильная пирамида, n = 6, h = 2, a1 = 4 , a2 = 8 . Надо найти площадь полной поверхности усеченной пирамиды .

  5. Дано: усеченная правильная пирамида, n = 4, h = 3, r1 = 5, r2 = 9 . Надо найти площадь полной поверхности усеченной пирамиды .

В)

  1. Площадь грани прямоугольного параллелепипеда равна 15. Ребро, перпендикулярное этой грани, равно 6. Найдите объем параллелепипеда.

  2. Объем прямоугольного параллелепипеда равен 24. Одно из его ребер равно 3. Найдите площадь грани параллелепипеда, перпендикулярной этому ребру.

  3. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 3, 4. Диагональ параллелепипеда равна 13. Найдите объем параллелепипеда.

  4. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 3, 6. Объем параллелепипеда равен 108. Найдите его диагональ и высоту.

  5. Дано: ABCDA1B1C1D1 - прямоугольный параллелепипед, диагональ  D1= 12 составляет угол в 30° с плоскостью боковой грани, и угол в 45° с боковым ребром. Найти: V.

  6. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда 6 и 8. Найти его объём, если высота равна длине диагонали его основания.

  7. Найти объём прямоугольного параллелепипеда, если стороны основания 4 и 6, а диагональ параллелепипеда .

С)

  1. Дано: АВСА1В1С1 - прямая призма, АС = ВС, ACB =90°BN NACNC1 = 45°CC= 8 (рис.). Найти: V.

  2. Дано: ABCDА1В1С1D1 - прямая призма,  ABCD - ромб, BAD = 60° (рис.). ВВ1 = 4, B1DB = 45°. Найти: V.

  3. Дано: ABCDFM...M1 - правильная шестиугольная призма. AD1 = 16 см - наибольшая диагональ.AD1= 30° (рис.). Найти: V. 

  4. Дана трапеция, S(BB1C1C) = 10 см2, S(AA1D1D) = 14см2, BH = 10 см (рис.). Найти: Vnp. 

Д)

  1. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 6 см. Сторона основания 5 см. Найдите объем пирамиды.

  2. a)Объем правильной четырехугольной пирамиды равен 48 см3, высота 4 см. Найти сторону основания. б) Объем пирамиды равен 28 см3, площадь основания 4 см2. Чему равна высота?

  3. Дано: ABCD - правильная пирамида. АВ = a = 6; AD = 4 . Найти: aSocн.; б) АО; в) DO; г) V.

  4. Дано: ABCDF - правильная пирамида.  FCO = 45°FO = 4 . Найти: a) Socн.; б) V. 

  5. Дано: ABCA1B1C1усеченная пирамида. ΔАВС прямоугольный, AB = 12 дм,BC = 16 дм, AA1 = BB1 = СС1 = 13 дм, k = 0,5. Найти V.

  6. а) n = 3, а1 = 2, а2 = 5, h = 24, V =?, б) n = 4, a1 = 3, a2 = 8, h = 3, V = ?,

3)Решить задачи :

  1. Дана правильная четырехугольная пирамида со стороной основания a=12 см и
    высотой
    h=8 см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
    hello_html_m3eb51a34.png

  2. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда с ребрами 3 см, 5 см и 8 см.

а) 120 см3; б) 60 см3; в) 32 см3; г) другой ответ.

  1. Длина прямоугольной комнаты в 2 раза больше ширины и на 2 м больше высоты. Найдите объем комнаты, если ее длина равна 6 м. а) 432 м3; б) 144 м3; в) 72 м3; г) другой ответ.

  2. Три ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1; 0,5 и 16. Найдите ребро равновеликого ему куба.

Инструкционная карта

ПР № 4«Вычисление координат векторов».

Задание:

1)Перепишите и заполните пропуски:
Пример 1. Дано:



Решение:

  1. Находим координаты вектора

;

  1. Затем находим координаты вектора


  1. Теперь находим аналогично координаты вектора


  1. Теперь находим сумму данных векторов, складывая соответствующие координаты:


Ответ:
Пример 2. Дано: , . Найдите  

Решение: Первый случай

  1. Находим координаты вектора

;

  1. Затем находим разность векторов

;

  1. Теперь находим длину вектора :

Второй случай

  1. Находим координаты вектора

;

  1. Находим координаты вектора

;

  1. Затем находим сумму векторов

;

  1. Теперь находим длину вектора : =

Ответ:

Пример 3. Даны векторы   и . Найти

Решение: Для действий с векторами справедлив обычный алгебраический приоритет: сначала умножаем, потом складываем:

=  3 - 2= - =
= = .

= + 4 {7; -9 ;1 } = + = =

=
Ответ:  ,

Пример 4. Найдите сумму векторов: и .

Решение: , .

Ответ:

Пример 5. Даны векторы , Найдите координаты векторов

Решение: , , с ,

, .

Ответ: .

Пример 6. Дано: ΔАВС, А(2; 0; 1), В(1; 2; 3), С(8; 4; 9). ВМ - медиана.

Найти: координаты вектора .

Решение: По определению медианы, М - середина отрезка АС. Следовательно, координаты М найдем по формулам координат середины отрезка  M ((82)/2, (4 + 0)/2,(9 + 1)/2), M(…,…,…).{3 + 1,22,53}, {…,… ,…}. Ответ: {4; 4; 2}.

Пример 7. Дано: А(1; 5; 3), В(7; 1; 3), С(3; 2; 6). Доказать: ΔABC - прямоугольный.

Решение: По формуле расстояния между двумя точками найдем длины отрезков АВ, АС, ВС.
AB2 = (7 + 1)2 + (5 + 1)2 + (3 – 3)2, AB2 = 64 + 36 = … , BC2 = (7– 3)2 + (– 2 + 1)2 + (6 – 3)2,
BC2 = 16 + 1 + 9 = … , AC2 = (3 + 1)2 + (5 + 2)2 + (6 – 3)2, AC2 = 16 + 49 + 9 = ...

Проверим равенство АВ2 = ВС2 + АС2, 100 = 26 + 74 верно.

По теореме обратной теореме Пифагора делаем вывод, что ΔABC - прямоугольный
с гипотенузой АВ.

Пример 8. Дано: ΔАВС; М, N, К - середины сторон соответственно АВ, ВС, АС. М(3; 2; 5), 
N(3,5; 1; 6), К(1,5; 1; 2). Найти: координаты А, В, С.

Решение: Пусть A (х1; у1z1), В(х2; у2z2), С(х3; у3z3). По формулам координат середины отрезка составим системы для абсцисс, ординат и аппликат. Пользуясь методом сложения, решим эту систему:

Ответ: А(2; 0; 1), В(8;4; 9), С(1; 2; 3).

Пример 9. Дано: А(-2; 1; 2), B(-6; 3; -2), С  оси OZ; АС = ВС. Найти: координаты точки С.

Решение: По условию С  оси OZ, значит она имеет координаты С(0; 0; z) и АС = ВС. Составим уравнение, пользуясь формулой расстояния между двумя точками: 4 + 1 + (z 2)2 = 36 + 9 + (z + 2)2, 5 + z2 – 4z + 4 = 45 + z2 + 4z + 4, 8z = 40, z = … Ответ: (0; 0;5).

Пример 10. Дано: А(2; 1; 2), B(6; 3; 2), С (0; 0; 5); АС = ВС. Найти: SABC).

Решение: По формуле координат середины отрезка АВ найдем координаты точки М — середины:
M ((62)/2, (1 + 3)/2,(22)/2), M(4,2,0). AB2 = (6 + 2)2 + ( 31)2 + (2 + 2)2 = 16 + 4 + 16 = …, AB = ... СМ-высота равнобедренного ΔABC.
CM2 = (40)2 + (20)2 + (0 (5))2 = 16 + 4 + 25 = … , CM = 3 ,
SABC) = AB · CM : 2 = 6 · 3 : 2 = … . Ответ: 9.

2)Решить задачи ( по примерам):

  1. Дано: А(2;1;6), В (2;0; 1), С(1; 5; 0)

  1. Дано: , , ; 2).

  2. Даны векторы   и ,  . Найти

  3. Найдите сумму векторов: и .

  4. Даны векторы , , . Найдите координаты векторов

и

  1. Дано: ΔАВС; А(1; 2; 3), B(1; 0; 4), С(3; 2; 1). AM - медиана.Найти: координаты вектора

  2. Дано: А(1; 5; 3), В(1; 3; 9), С(3; 2; 6).Доказать: ΔAВС - прямоугольный.

  3. Дано: ΔАВС, М, N, К - середины сторон соответственно ABBС, AС. М(3; 2; 4), 
    N(6; 4; 10), К(7; 2; 12).Найти: координаты вершин А, В, С.

  4. Дано: A(4; 5; 4), B(2; 3; 4); С  оси  OXAC = ВС. Найти: координаты точки С.

  5. Дано: А(4; 5; 4), B(2; 3; 4), С(1; 0; 0), АС = ВС. Найти: S(ΔABC).

3)Решить задачи :

А)

  1. Найдите координаты вектора , если

  2. Даны векторы {1;3; 3} и . Найдите координаты и длину вектора.

  3. Даны векторы {3;1; 2} и . Найдите координаты вектора ,

  4. Найдите длину вектора , , если {2;1; 5} и .

  5. Из точки А построен вектор . Найдите координаты точки В , если:

А(3;1; 2), .

  1. Даны точки А(4;6; –2) и В (–10;6; 0) . Найти длину отрезка АВ.

  2. Даны точки: А(10;14; 4), В (10;8; 12) , С (18;8; 18) 

Выяснить, равнобедренный ли треугольник, построенный на этих точках.

  1. а) Даны два вектора:  и .Найти .

б) Даны четыре вектора: .

Найти координаты векторов  

  1. В кубе АВСDА1В1С1D1, сторона которого равна 3, на диагоналях граней АD1 и D1В1 взяты точки Е и К так, что D1Е : АD1 = 2 : 3, D1K : D1B1 = 1 : 3. Найдите длину отрезка DK.

  2. Дано:

  3. Найдите длину вектора КА АС, диагонали ромба 6 и 8 см.

  4. Даны точки А(2;3; –1) и В (–5;3; 0) . Найти длину отрезка АВ.

  5. Даны точки: А(5;7; 2), В (5;4; 6) , С (9;4; 9) Выяснить, равнобедренный ли треугольник.

  6. Даны два вектора:  и .Найти .

В)

  1. Дано: A (10, 4, 3), B (6, 2, 1). Найти координаты точки M – середины отрезка AB.

  2. Дано: A (5, 4, 7), B (10, 10, 0). Найти координаты вектора .

  3. Дано: {0, 5, 0}, {2, 2, 1}. Найти длину векторов.

  4. Даны точки А (1,5; 1; –2), B (2; 2; –3); и C (2; 0; –1). Найдите: периметр треугольника ABC.

  5. Дано: М(–4; 7; 0) N(0; –1; 2).Найти: расстояние от начала координат до середины отрезка MN.

  1. В кубе АВСDА1В1С1D1, сторона которого равна 3, на диагоналях граней АD1 и D1В1
    взяты точки Е и К так, что
    D1Е : АD1 = 1 : 3, D1K : D1B1 = 2 : 3. Найдите длину отрезка DK.


  1. Даны четыре вектора: .

Найти координаты векторов  

  1. Дано:

  2. Даны векторы и   Найдите координаты вектора .

  3. Даны векторы,. Найдите координаты вектора 

  4. На каком расстоянии от плоскости (хОу) находится точка А(2; 3; 5).

  5. На каком расстоянии от начала координат находится точка А(3; 4; 0).

  6. Найти длину вектора  если А(5; 3; 2), В(3; 1; 4).

  7. На каком расстоянии от плоскости (yOz) находится точка В(3; 2; 4).

  8. Даны векторы и  . Найдите  

  9. Изобразить систему координат Оху: и построить точку А(1; 2; 4).
    Найти расстояние от этой точки до координатных плоскостей.

  10. Вершины ΔАВС имеют координаты А(2; 0; 1), В(1; 2; 3), С(8; 4; 9).
    Найдите координаты вектора
      если ВМ - медиана ΔABC.

  11. Даны точки А(1; 5; 3) В(7; 1; 3) С(3; 2; 6). Доказать, что ΔАВС - прямоугольный.

  12. Даны точки А(2; 1; 2), В(6; 3; 2) на оси аппликат.
    Найти точку С, равноудаленную от точек А и В.

  13. Дано: А(2; 5; 8), В(6; 1;0).На оси ординат найти точку С, равноудаленную от точек А и В.
    Найти: площадь Δ
    ABC.

  14. Даны точки А(2; 1; 2), В(6; 3;2) на оси аппликат. Найти точку С, равноудаленную от
    точек А и В. Найти площадь ΔАВС.

  15. Середины сторон ΔАВС имеют координаты: М(3; 2; 4). N(6; 4; 10), К(7; 2; 12).
    Найдите координаты вершин ΔАВС.

  16. Даны точки А(4; 5; 4), В(2; 3; 4) на оси абсцисс. Найти точку С, равноудаленную от точек А и В. Найти площадь ΔABC

  17. Даны точки А(3; 1; 2) и В(1; 1; 2). Найдите: а) координаты середины отрезка АВ;

б) координаты и длину вектора  в) координаты точки С, если .

  1. Даны точки А(0; 4; 0), В(2; 0; 0), С(4; 0; 4) и D(2; 4; 4). Докажите, что ABCD - ромб.

  2. Даны точки А(0; 1; 2), В(√2 ; 1; 2), С(; 2; 1) и D(0; 2; 1). Докажите, что ABCD- квадрат.

  3. Даны точки А(2; 1; 8), В(1;5; 0), С(8; 1; 4). Докажите, что ΔАВС - равнобедренный и
    найдите длину средней линии треугольника, соединяющей середины боковых сторон.

  4. Даны координаты трех вершин параллелограмма ABCD:
    А(
    6; 4; 0), В(6; 6; 2), С(10; 0; 4). Найдите координаты точки D и
    угол между векторами
      и .
    hello_html_793497f7.jpg

  5. Дано: О(0; 0; 0), А(4; 0; 0), В(0; 6; 0), С(0; 0; 2).
    Δ
    AОВ - вписанный в окружностьW(D; r).
    Найти: а) координаты центра окружности
     D;
    б)
     r- радиус окружности.

  6. Дано: ΔАВС - прямоугольный; АС, ВС - катеты;AC = b = 9 ;BC = a = 12;
    CD = m = 4; CD  (ABC); М - середина гипотенузы АВ. Найти: DM.






Инструкционная карта

ПР № 5 «Решение комбинаторных задач».

Задание:

1)Перепишите и заполните пропуски:

Пример 1. а) Сколько трехзначных чисел можно записать, используя цифры 1,3,6,7,9, если каждая их них может быть использована в записи только один раз?

Решение: по формуле получаем: способов.

Ответ:60.

б) Из 20 учащихся надо выбрать старосту, его заместителя и редактора газеты. Сколькими способами это можно сделать?

Решение: по формуле получаем: способов.

Ответ:6840.

в)Сколькими способами четверо юношей могут пригласить четырех из шести девушек на танец?

Решение: Два юноши не могут одновременно пригласить одну и ту же девушку. И варианты,

при которых одни и те же девушки танцуют с разными юношами, считаются разными, поэтому:

Ответ: 360.

Пример 2. а)Сколькими способами можно представлять друг с другом цифры 1, 2, 3, 4?

Решение: Р4 = 4!= = …

Ответ: 24.

б)За столом пять мест. Сколькими способами можно расставить пятерых гостей?

Решение: Р5 = 5! =

Ответ:120.

в)Сколькими способами можно выложить в ряд красный, черный, синий и зеленый шарики?

Решение: На первое место можно поставить любой из четырех шариков (4 способа), на

второе – любой из трех оставшихся (3 способа), на третье место – любой из

оставшихся двух (2 способа), на четвертое место – оставшийся последний шар.

Всего 4 · 3 · 2 · 1 = 24 способа. Р4 = 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24. Ответ: 24 способа.

г)Сколькими способами можно переставить буквы слова «ананас»?

Решение: всего букв 6. Из них одинаковы n1«а»=3, n2«н»=2, n3«с»=1. Следовательно, число различных перестановок равно

Ответ:60.

Пример 3. а) Из 15 членов туристической группы надо выбрать трех дежурных. Сколькими способами можно сделать этот выбор?

Решение: каждый выбор отличается от другого хотя бы одним дежурным. Значит, здесь речь идет о сочетаниях из 15 элементов по 3. Следовательно, по формуле получаем

Ответ:455.

б) На полке стоит 12 книг: англо-русский словарь и 11 художественных произведений на английском языке. Сколькими способами читатель может выбрать 3 книги, если :

1) словарь нужен ему обязательно; 2) словарь ему не нужен?

Решение:

1) 2)

Ответ: 1) 55,2) 165.

в) Учащимся дали список из 10 книг, которые рекомендуется прочитать во время каникул. Сколькими способами ученик может выбрать из них 6 книг?


Решение: Выбор 6 из 10 без учёта порядка: способов.

Ответ: 210 способов.

г) Сколько трехкнопочных комбинаций существует на кодовом замке (все три кнопки нажимаются одновременно), если на нем всего 10 цифр.

Решение: Так как кнопки нажимаются одновременно, то выбор этих трех кнопок – сочетание. Отсюда возможно вариантов.

Ответ:120.

Пример 4. а)Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 1,4,7, используя в записи числа каждую из них не более одного раза?

Решение: для того, чтобы не пропустить и не повторить ни одно из чисел, будем записывать их в порядке возрастания. Сначала запишем числа, начинающиеся с цифры 1, затем с цифры 4, и, наконец, с цифры 7: 14, 17, 41, 47, 71, 74.

Ответ: 6.

б) На завтрак Вова может выбрать плюшку, бутерброд, пряник или кекс, а запить их он может кофе, соком или кефиром. Из скольких вариантов завтрака Вова может выбирать?

Решение: Составим таблицу:

плюшка бутерброд пряник кекс

кофе

КП

КБ

КПР

КК

сок

СП

СБ

СПР

СК

кефир

КЕП

КЕБ

КЕПР

КЕК


В ней три строки и четыре столбца, они образуют 12 клеток. Так как выбор еды и напитка происходит независимо, то в каждой клетке будет стоять один из возможных вариантов завтрака и, наоборот, любой вариант завтрака будет записан в одной из клеток. Значит, всего вариантов столько же, сколько клеток в таблице.

Ответ: 12.

Пример 5. а) Имеются 10 различных книг, три из которых – справочники. Сколькими способами

можно расставить эти книги на полке так, чтобы все справочники стояли рядом?

Решение: Т.к. в справочники должны стоять рядом, то будем рассматривать их как одну книгу. Тогда на полке надо расставить 10 – 3 + 1= … книг. Это можно сделать P8 способами. Для каждой из полученных комбинаций можно сделать P3 перестановок справочников.

Поэтому число способов расположения книг на полке равно произведению:

P8 · P3 = 8! · 3! = 40320 · 6 = ...

Ответ: 241920.

б) Сколько всего существует результатов опыта, заключающегося в подбрасывании двух одинаковых игральных костей?

Решение: Формула числа сочетаний из m элементов по n элементов с повторениями имеет вид:

,
Ответ: 21.

2)Решить задание ( по примерам):

  1. а) Сколько трехзначных чисел можно записать, используя цифры 1,2,4,6,7,9, если каждая их них может быть использована в записи только один раз?

б) Из 15 учащихся надо выбрать старосту, его заместителя и редактора газеты. Сколькими способами это можно сделать?

в)Сколькими способами четверо юношей могут пригласить четырех из пяти девушек на танец?

  1. а)Сколькими способами можно представлять друг с другом цифры 1, 2, 3, 4,5?

б)За столом семь мест. Сколькими способами можно расставить семерых гостей?

в)Сколькими способами можно выложить в ряд красный, черный, синий, белый и зеленый шарики?

г)Сколькими способами можно переставить буквы слова «Миссисипи»?

  1. а) Из 25 членов туристической группы надо выбрать трех дежурных. Сколькими способами можно сделать этот выбор?

б) На полке стоит 15 книг: англо-русский словарь и 14 художественных произведений на английском языке. Сколькими способами читатель может выбрать 3 книги, если :
1) словарь нужен ему обязательно; 2) словарь ему не нужен?

в) Учащимся дали список из 10 книг, которые рекомендуется прочитать во время каникул. Сколькими способами ученик может выбрать из них 7 книг?

г) Сколько четырехкнопочных комбинаций существует на кодовом замке (все три кнопки нажимаются одновременно), если на нем всего 10 цифр.

  1. а)Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 1,4,5,7, используя в записи числа каждую из них не более одного раза?

б) На завтрак Вова может выбрать бутерброд, пряник или кекс, а запить их он может кофе, соком или кефиром. Из скольких вариантов завтрака Вова может выбирать?

  1. а)Имеются 10 различных книг, 6 из которых – справочники. Сколькими способами

можно расставить эти книги на полке так, чтобы все справочники стояли рядом?
б)
Сколько всего существует результатов опыта, заключающегося в подбрасывании трех одинаковых игральных костей?

3)Решить задание:
подсчет числа размещений, перестановок, сочетаний.

  1. «Вороне где-то Бог послал кусочек сыра», колбасы, хлеба и шоколада. «На ель Ворона взгромоздясь, позавтракать совсем уж было собралась, да призадумалась»: если есть кусочки по очереди, то из скольких вариантов придется выбирать?

  2. Сколькими способами можно из 25 учащихся выбрать 5 для участия в школьном марафоне?

  3. Сколькими способами могут быть распределены золотая и серебряная медали по итогам первенства по футболу, если число команд 12?

  4. В классе 7 человек успешно занимаются математикой. Сколькими способами можно выбрать из них двоих для участия в математической олимпиаде?

  5. Из 12 солдат нужно в разведку послать 5. Сколькими способами это можно сделать?

  6. Сколько пятизначных чисел можно составить, используя только цифры 3 и 5?

  7. «Проказница Мартышка, Осел, Козел и косолапый Мишка затеяли сыграть квартет». Сколькими способами они могут распределить четыре имеющихся у них инструмента?

  8. «Проказница Мартышка, Осел, Козел и косолапый Мишка затеяли сыграть квартет». На складе 12 музыкальных инструментов. Мишке поручили принести со склада 8 любых инструментов. Сколько вариантов выбора есть у мишки?

  9. Гера, Афина и Афродита попросили Париса не только назвать самую красивую из них, но и указать, кто «на втором и третьем местах». Сколько есть вариантов ответа?

  10. В магазине «Филателия» продается 8 различных наборов марок, посвященных «Дню Победы». Сколькими способами можно сформировать из них 3 набора?

  11. Сколько существует способов составить расписание уроков на один день из 6 предметов?

  12. Алфавит племени тумба-юмба состоит из букв А, У, С. Словом является любая последовательность из 4 букв. Сколько слов в языке этого племени?

  13. Сколькими способами можно выложить в ряд красный, зеленый, черный, синий кубики?

  14. Из колоды в 36 карт вынимают 5 карт. Найдите число всех возможных вариантов выбора.

  15. В классе 27 учеников, из которых нужно выбрать троих: первый ученик должен решить задачу, второй – сходить за мелом, третий – пойти дежурить в столовую. Сколькими способами это можно сделать?

  16. Сколькими способами можно из 6 человек составить комиссию, состоящую из двух человек?

  17. В соревновании участвуют 10 человек. Сколькими способами могут распределиться между ними места?

  18. Сколькими способами можно расставить на полке 4 различные книги?

  19. Сколько различных словарей необходимо переводчику, чтобы он мог переводить с любого из 5 языков – русского, английского, немецкого, французского, испанского – на любой другой из этих языков?

  20. Пять человек обменялись друг с другом фотографиями. Сколько всего фотографий было?

  21. На плоскости отмечены 6 точек. Каждые две точки соединили отрезком. Сколько получилось отрезков?

  22. Сколькими способами можно переставить 5 различных геометрических фигур?

  23. Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную буквы из слова «здание»?

  24. За свои рисунки ученик получил две положительные оценки. Какими они могут быть? Сколько вариантов?

  25. Сколько флагов можно составить из трех разных цветов, если имеются полосы синего, белого, красного цветов?

  26. В понедельник в пятом классе 5 уроков. Сколькими способами можно составить расписание на понедельник?

  27. Из десяти учащихся надо выбрать старосту, физорга и культорга. Сколькими способами это можно сделать?

  28. В соревновании участвуют 10 человек. Сколькими способами могут распределиться между ними места?

  29. У одного человека 7 книг по математике, а у второго – 9. Сколькими способами они могут обменять друг у друга две книги на две книги.

  30. Имеется пять различных стульев и семь рулонов обивочной ткани различных цветов. Сколькими способами можно осуществить обивку стульев.

  31. На памятные сувениры в «Поле Чудес» спонсоры предлагают кофеварки, утюги, телефонные аппараты, духи. Сколькими способами 9 участников игры могут получить эти сувениры? Сколькими способами могут быть выбраны 9 предметов для участников игры?

  32. Сколькими способами можно расставить на шахматной доске 8 ладей так, чтобы на одна из них не могла бить другую?

  33. Сколько может быть случая выбора 2 карандашей и 3 ручек из пяти различных карандашей и шести различных ручек?

  34. На ферме есть 20 овец и 24 свиньи. Сколькими способами можно выбрать одну овцу и одну свинью? Если такой выбор уже сделан, сколькими способами можно сделать его еще раз?

  35. Сколько существует четных пятизначных чисел, начинающихся нечетной цифрой?

  36. В 9 классе учатся 7 учащихся, в 10 - 9 учащихся, а в 11 - 8 учащихся. Для работы на пришкольном участке надо выделить двух учащихся из 9 класса, трех – из 10, и одного – из 11 . Сколько существует способов выбора учащихся для работы на пришкольном участке?

  37. Сколько наборов из семи пирожных можно составить, если в продаже имеется четыре сорта пирожных?

перебором вариантов:

  1. 1. Запишите все двузначные числа, в записи которых используются только цифры 3, 5, 7, 9. Сколько двузначных чисел можно записать, если использовать при записи числа каждую цифру только один раз?

  2. 2. В четверг в первом классе должно быть три урока: русский язык, математика и физкультура. Сколько различных вариантов расписания можно составить на этот день?
    Указание: Перебирая варианты введите обозначения:
    Р – русский язык, М – математика, Ф – физкультура.

  3. 3. Саша выбрал в библиотеке 5 книг, но одновременно можно взять только две книги. Сколько вариантов выбора двух книг есть у Саши?

  4. 4. Школьники из Волгограда собрались на каникулы поехать в Москву, посетив по дороге Нижний Новгород. Сколькими различными способами могут ребята осуществить свое путешествие, если из Волгограда в Нижний Новгород можно отправиться на теплоходе ли поезде, а из Нижнего Новгорода в Москву – на самолете, теплоходе, поезде или автобусе?

  5. 5. Девять школьников, сдавая экзамены по математике и английскому языку, получили отметки «4» и «5». Можно ли утверждать, что по крайней мере двое из них получили по каждому предмету одинаковые отметки?

  6. 6. Сколько существует двузначных чисел, у которых первая цифра больше второй?

  7. 7. Несколько стран в качестве символа своего государства решили использовать флаг в виде четырех вертикальных полос, одинаковых по ширине, но разных по цвету: белый, синий, красный, зеленый. У каждой страны свой, отличный от других, флаг.
    а) Сколько всего стран могут использовать такую символику?
    б) Сколько всего стран могут использовать такую символику с верхней белой полосой?
    в) Сколько всего стран могут использовать такую символику с нижней зеленой полосой?
    г) Сколько всего стран могут использовать такую символику с синей и красной полосами, расположенными рядом?

  8. 8. а) Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, 9?

б) Сколько среди них чисел, кратных 5? в) Сколько среди них чисел, кратных 3?

Инструкционная карта

ПР № 6 «Вычисление вероятностей».

Задание:

1)Перепишите и заполните пропуски:
Пример 1. a)В партии из 100 деталей имеется 5 бракованных. Определить вероятность того, что, взятая наугад, деталь окажется стандартной.

Решение: А: взятая наугад деталь оказалась стандартной.

Число исходов, благоприятствующих наступлению события А, равно 95.Поэтому вероятность события равна P(A) = m/ n = 95/100 = … .hello_html_m27618eb7.gif Ответ: 0,95.

б) Из пяти букв разрезной азбуки составлено слово «книга». Ребенок, не умеющий читать, рассыпал эти буквы, а затем собрал их в произвольном порядке. Найти вероятность того, что у него снова получится слово «книга».

Решение: А: из рассыпанных букв сложится слово «книга»

Число всех возможных исходов равно n = Pn = 5! = 120.

Число исходов, благоприятствующих событию А равно m =1.

Вероятность события А равна P(A) = m/ n = 1/120 = … .hello_html_m27618eb7.gif 

Ответ: 0,0083.

Пример 2.a) В коробке лежат 8 зеленых, 7 синих и 15 красных карандашей. Вычислить вероятность того, что взятый наугад карандаш будет, синим или зеленым.

Решение: А: взяли синий карандаш, В: взяли зеленый карандаш, С: взяли синий или зеленый карандаш. Событие С равно сумме событий А и В: С = А + В

Вероятность события А равна P(A) = m/ n = 7/30. 

Вероятность события В равна P(B) = m/ n = 8/30. 

Вероятность события С равна P(C) = P(A) = 7/30 8/30 = 15/30 = ...

Ответ: 0,5. б) В урне лежат шары, двузначные номера которых составлены из цифр 1,2,3,4,5. Какова вероятность вынуть шар с номером 15? Решение: А: вынут шар с номером 15.

Число всех возможных исходов равно n =

Число исходов, благоприятствующих событию А, m = 1.

Вероятность события А равна P(A) = m/ n = 1/20 = … .

Ответ: 0,05.

Пример 3.a) Набирая номер телефона, абонент забыл последние две цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наугад. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

Решение: А: абонент наугад набрал нужные цифры.

Число всех возможных исходов равно n =

Число исходов, благоприятствующих событию А, m = 1

Вероятность события А равна P(A) = m/ n = 1/90 = .... 

Ответ: 0,011.

б) Устройство содержит два независимо работающих элемента. Вероятности отказа элементов равны соответственно 0,05 и 0,08. Найти вероятности отказа устройства, если для этого достаточно, чтобы отказал хотя бы один элемент. 

Решение: Пусть событие А — «устройство не работает», В1 — «отказал первый элемент», 

В2 — « отказал второй элемент». Событие А соответствует тому, что может отказать один из «цементов либо оба элемента. События  В1 и В2  независимы в совокупности, поэтому:

q1 = 10,05 = 0,95,   q2 = 10,08 = 0,92. P(A) = 1 q1q2= 10,950,92 = 10,874 = ...

Ответ:  0,126.

Пример 4. a)Вероятность хотя бы одного попадания в цель при четырех выстрелах равна 0,9984. Найти вероятность попадания в цель при одном выстреле.

Решение: Пусть p - вероятность попадания в цель при одном выстреле. Введем событие 

X = {при четырех выстрелах есть хотя бы одно попадание} и противоположное ему событие  

= {при четырех выстрелах нет ни одного попадания}.

Вероятность события  равна P(  ) = (1p)4, тогда вероятность события Х равна 

P(X) =1P(  ) = 1 (1p)4. По условию эта вероятность равна 0,9984, откуда получаем уравнение относительно p: 1 (1p)4 = 0,9984, (1p)4 = 0,0016, (1p) = 0,2, p = ...

Таким образом, вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,8.

Ответ: 0,8.

б)На полке в случайном порядке расставлено 40 книг, среди которых находится трехтомник Пушкина. Найти вероятность того, что эти тома стоят в порядке возрастания номера слева направо, но не обязательно рядом.

Решение: Используем классическое определение вероятности: P = m/n, где n- число всех равновозможных элементарных исходов, m - число элементарных исходов, благоприятствующих осуществлению события  A = (Тома стоят в порядке возрастания номера слева направо, но не обязательно рядом). n= 40⋅39⋅38 =59280, так как первый том можно поставить на любое из 40 мест, второй - на любое из 39 мест и третий - на любое из оставшихся 38 мест.

А число m= 40! / (37! 3!) = (40⋅39⋅38) : (1⋅2⋅3) = ...

Тогда искомая вероятность P(A)= m/n = 9880/59280 = 1/6.
Ответ: 1/6.

Пример 5. а)В коробке имеется 250 лампочек, из них 100 по 90Вт, 50 - по 60Вт, 50 - по 25Вт и 50 – по 15Вт. Определить вероятность того, что мощность любой наугад взятой лампочки не превысит 60Вт.

Решение: 1. Рассматриваем следующие события: А = {мощность лампочки равна 90Вт}, вероятность Р(А) = 100/250 = 0,4; В = {мощность лампочки равна 60Вт}; С = {мощность лампочки равна 25Вт}; D = {мощность лампочки равна 15Вт}.

2. События А, В, С, D образуют полную систему, так как все они несовместны и одно из них обязательно наступит в данном опыте (выборе лампочки). Вероятность наступления одного из них есть достоверное событие, тогда Р (А)Р (В)Р (С)Р (D) = 1.

3. События {мощность лампочки не более 60Вт} (т.е. меньше или равна 60Вт), и {мощность лампочки более 60Вт} (в данном случае – 90Вт) являются противоположными. По свойству противоположных чисел Р (В)Р (С)Р (D) = 1Р (А).

4. Учитывая, что Р (В)Р (С)Р (D) = Р (ВСD), получим

Р (В СD) = 1Р (А) = 10,4 = ... Ответ: 0,6. 

б) Вероятность поражения цели первым стрелком при одном выстреле равна 0,7, а вторым стрелком – 0,9. Найти вероятность того, что 

1) цель будет поражена только одним стрелком; 2) цель будет поражена хотя бы одним стрелком.

Решение: 1. Рассматриваем следующие события:
А
1 = {первый стрелок поражает цель}, Р (А1) = 0,7 из условия задачи;
1 = {первый стрелок промахнулся}, при этом Р (А1)Р (1) = 1, поскольку А1 и А̄1 – противоположные события. Отсюда Р (1) = 10,7 = …;
А
2 = {второй стрелок поражает цель}, Р (А2) = 0,9 из условия задачи;
2 = {второй стрелок промахнулся}, при этом Р (2) = 10,9 = …

2. Событие А={цель поражена только одним стрелком} означает, что наступило одно из двух несовместных событий: либо А12, либо 1А2.
По правилу сложения вероятностей Р (А) = Р (А12) + Р (1А2).По правилу умножения вероятностей независимых событий:
Р (А12) = Р (А1)Р (2) = 0,70,1= 0,07; Р (1А2) = Р (1)Р (А2) = 0,30,9 = ...
Тогда Р (А)= Р (А12) Р (1А2) = 0,070,27 = ...

3. Событие B ={цель поражена хотя бы одним стрелком} означает, что либо цель поразил первый стрелок, либо цель поразил второй стрелок, либо цель поразили оба стрелка.

Событие = {цель не поражена ни одним стрелком} является противоположным событию В, а значит Р(В) = 1Р ().
Событие B̄ означает одновременное появление независимых событий 1 и 2, следовательно Р () = Р (12) = Р (1)Р (2) = 0,30,1 = 0,03. Тогда Р (В) = 1Р () = 10,03 = ...

Ответ: 1) 0,34; 2) 0,97.

Пример 6. Выпущено 1000 лотерейных билетов: на 5 из них выпадает выигрыш в сумме 500 рублей, на 10 – выигрыш в 100 рублей, на 20 – выигрыш в 50 рублей, на 50 – выигрыш в 10 рублей. Определить закон распределения вероятностей случайной величины X – выигрыша на один билет.

Решение: По условию задачи возможны следующие значения случайной величины X:

0, 10, 50, 100 и 500.

Число билетов без выигрыша равно 1000 – (5+10+20+50) = …, тогда P(X=0) = 915/1000 = ...

Аналогично находим все другие вероятности: P(X=0) = 50/1000=…, P(X=50) = 20/1000=…,

P(X=100) = 10/1000=…, P(X=500) = 5/1000=... Полученный закон представим в виде таблицы:


Вероятности pi

0,915

0,05

0,02

0,01

0,005


Пример 7. a)Закон распределения случайной величины X имеет вид:

X

1

0

1

2

P

0,1

0,2

0,3

0,4

Вычислить Dx   и Ϭx .

Решение: Найдем вначале математическое ожидание случайной величины X:

Mx = .

Вычислим дисперсию Dx :Dx = .

Тогда среднее квадратическое отклонение: Ϭx = .

Ответ: Dx = 1, Ϭx = 1.

б) Закон распределения случайной величины X имеет вид:

X

0

1

2

P

0,1

0,2

x

Найти x. Составить функцию распределения. Вычислить: P{X > 0,7} , Mx , Dx и Ϭx .

Решение. Согласно условию нормировки имеем уравнение: 0,1   Отсюда x = 0,7 . Далее, воспользовавшись рядом распределения, найдем:

P{X > 0,7} = P {X = 1}P{X = 2} = 0,2 0,7 = …; Mx =

Dx = ; Ϭx = .

Ответ: x = 0,7 ; P{X > 0,7} = 0, 9; Mx Dx ; Ϭx

Пример 8. a)Известно, что случайная величина X, принимающая два значения  x1 = 2 и x2 = 3 , имеет математическое ожидание, равное 2,2. Построить ряд распределения случайной величины X, найти дисперсию, среднее квадратическое отклонение и составить функцию распределения.

Решение. Пусть P{X = 2} = p . Тогда, согласно условию нормировки,P{X = 3} = 1  . Используя определение математического ожидания, получим Mx = 2p . Имеем уравнение 3 , откуда находим p = 0,8 . Ряд распределения имеет вид:

X

2

3

P

0,8

0,2

Теперь вычислим дисперсию и среднее квадратическое отклонение:

Dx = ; Ϭx =  .

Согласно определению функция распределения имеет вид

Fx(x) =

Ответ: Dx ; Ϭx =   Fx(x) =

б) Возможные значения случайной величины X таковы: x1 = 2 , x2 = 3, x3 = 3 . Известно, что Mx = 2,3 ,α2 = 5,9 . Найти вероятности, соответствующие возможным значениям X, и записать ряд распределения.

Решение. Ряд распределения, с учетом возможных значений случайной величины X, будет выглядеть следующим образом:

X

1

2

3

P

p1

p2

p3

Найдем вероятности p1 , p2 и p3, соответствующие возможным значениям X.

По условию Mx = 2,3 , поэтому имеем первое уравнение, связывающее p1p2 и p3 :

 . Аналогично из условия α2 = 5,9   получим второе уравнение:

 . Третье уравнение возникает из условия нормировки:

p1 p2 p3 = 1. Итак, имеем систему:


Ответ: ряд распределения имеет вид

X

1

2

3

P

0,2

0,3

0,5


2)Решить задачи ( по примерам):

  1. a)В партии из 100 деталей имеется 3 бракованных. Определить вероятность того, что, взятая наугад, деталь окажется стандартной.

б) Из 4 букв разрезной азбуки составлено слово «мама». Ребенок, не умеющий читать, рассыпал эти буквы, а затем собрал их в произвольном порядке. Найти вероятность того, что у него снова получится слово «мама».

  1. a)В коробке лежат 5 зеленых, 3 синих и 12 красных карандашей. Вычислить вероятность того, что взятый наугад карандаш будет, синим или зеленым.

б) В урне лежат шары, двузначные номера которых составлены из цифр 1,2,3,4. Какова вероятность вынуть шар с номером 123?

  1. a)Набирая номер телефона, абонент забыл последние 3 цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наугад. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

б) Устройство содержит два независимо работающих элемента. Вероятности отказа элементов равны соответственно 0,04 и 0,09. Найти вероятности отказа устройства, если для этого достаточно, чтобы отказал хотя бы один элемент. 

  1. a)Вероятность хотя бы одного попадания в цель при четырех выстрелах равна 0,9919. Найти вероятность попадания в цель при одном выстреле.

б)На полке в случайном порядке расставлено 21 книга, среди которых находится трехтомник Пушкина. Найти вероятность того, что эти тома стоят в порядке возрастания номера слева направо, но не обязательно рядом.

  1. a)В коробке имеется 200 лампочек, из них 60 по 90Вт, 60 - по 60Вт, 40 - по 25Вт и 40 – по 15Вт. Определить вероятность того, что мощность любой наугад взятой лампочки не превысит 60Вт.

б) Вероятность поражения цели первым стрелком при одном выстреле равна 0,4, а вторым стрелком – 0,7. Найти вероятность того, что 

1) цель будет поражена только одним стрелком;

2) цель будет поражена хотя бы одним стрелком.

  1. Выпущено 200 лотерейных билетов: на 5 из них выпадает выигрыш в сумме 500 рублей, на 10 – выигрыш в 100 рублей, на 20 – выигрыш в 50 рублей, на 40 – выигрыш в 10 рублей. Определить закон распределения вероятностей случайной величины X – выигрыша на один билет.

  2. a)Закон распределения случайной величины X имеет вид:

X

1

0

1

2

P

0,1

0,15

0,3

0,45

Вычислить Dx и Ϭx . б) Закон распределения случайной величины X имеет вид:

X

0

1

2

P

0,2

0,3

x

Найти x. Составить функцию распределения. Вычислить: P{X > 0,7} , Mx , Dx и Ϭx .

  1. a)Известно, что случайная величина X, принимающая два значения  x1 = 2 и x2 = 3 , имеет математическое ожидание, равное 2,4. Построить ряд распределения случайной величины X, найти дисперсию, среднее квадратическое отклонение и составить функцию распределения.

б) Возможные значения случайной величины X таковы: x1 = 2 , x2 = 3, x3 = 3 . Известно, что Mx = 2,5 ,α2 = 6,7 . Найти вероятности, соответствующие возможным значениям X, и записать ряд распределения.




Инструкционная карта

ПР № 7 «Вычисление числовых выражений».   

Задание:

1)Перепишите и заполните пропуски:

Пример 1. Найдем значение выражения 800-625 + 331 +87 – 119.

Решение: 800 – 625 = …,   175 + 331 = …,    506 + 87 = …,     593 – 119 = ...

Ответ: 474.

Пример 2. Найдем значение выражения 780 : 39 • 212 : 106 • 13.

Решение: Это выражение не содержит скобок, и в нем имеются действия только второй ступени, поэтому их следует выполнять по порядку слева направо:

780 : 39 = …,    20 • 212 = …,   4240 : 106 = …, 40 • 13 = ...

Ответ: 520.

Пример 3. Найдем значение выражения 5781 –28 • 75 : 25 + 156 : 12.

Решение: Это выражение не содержит скобок, и в нем есть действия первой и второй ступени. Поэтому вначале выполним действия второй ступени:

28 • 75 = …,     2100 : 25 = …,     156 : 12 = …, а потом действия первой ступени:

5781 – 84 = …,   5697 + 13 = ...

Ответ: 5710.

Пример 4. Найдем значение выражения 36 000 : (62+ 14 • 2) – 23 • 5.

Решение: Это выражение содержит скобки. Поэтому выполним сначала действия в скобках:

62 + 14 • 2 = 62 + 28 = ... Подставив это значение, получим: 36 000 : 90 – 23 • 5 = 400 – 115 = ... 

Ответ: 285.
Пример 5.  Запишите выражение по следующей программе вычислений:

1. Сложить числа 215 и 748. 
2. Вычесть из 591 число 318. 
3. Перемножить результаты команд 1 и 2. 
Найдите значение этого выражения.

Решение: 1)215 + 748 = … ,2)591 – 318 = …,3)963 273 = …

Ответ: 262899.

2)Решить задание ( по примерам):

  1. Найдите значение выражения:

а) 48 – 29 + 37 – 19; 
б) 156 + 228 – 193 – 66; 
в) 39 • 45 : 65 • 2; 
г) 1024 : 128 • 15 : 10; 
д) 245 : 7 – 224 : 16 + 35 • 11; 
е) 322 : 23 • 70 – 161 • 9 : 69; 

  1. а) 315 : (162 + 12 • 24 - 11 • 39) + 558 : 31; 
    б) (24 • 7 - 377 : 29) • (2378 : 58 – 38); 
    в) (120 + 16 • 7) • 240 : (300 – 5 • 44); 
    г) (372 + 118 • 6) : (38 • 35 – 34 • 37) - 12; 
    д) 3124 : (3 • 504 – 4 • 307) + 10 403 : 101; 
    е) 15 + (12 322 : (24 + 37) – 12 • 15) : (35 • 2 – 59).

  2. Измените порядок действий на основании свойств сложения, вычитания и умножения для удобства вычислений:

а) 348 + 54 + 46;                      г) 54 • 2 • 50; 
б) 543 + 89 – 43;                       д) 34 • 8 + 66 • 8; 
в) 427 – 33 – 67;                        е) 135 • 12 – 35 • 12.

  1. Выполните действия по схеме .

hello_html_m7f78617e.jpg

  1. Найдите частное:

а) 1 989 680 : 187;                            в) 9 018 009 : 1001; 
б) 572 163 : 709;                               г) 533 368 000 : 83 600.

3)Решить задание :

Вычислить:

  1. а) (– 2,35 – 4,65) · 5 : (16,9 – 2,9),
    б) (7,63 + (– 5,13)) · 0,4 : (3,17 + 6,83),

  2. а) 30,3 · (124,9 – (48,96 : 6,8 + 36,04) : 9,2),

б) 73, 2 · 48, 3 – 37,4 · (166,02 + 219,38) : 1,64,

  1. а) 3,44 : 0,4 + 24,56 , б) 684 · 245 – 675 · 246,

  2. а) (93 · 7 + 141) : 72 , б) 7091 + 9663 – (243916 + 75446) : 527 : 3,

в) (15,964 · 5,2 – 12) · 0,1 , г) (96,6 + 98,6) : 6,4 · 1,2 – 0,2,

  1. а) ((27,12+ 43,08) · 0,007 – 0,0314) · 100,
    б) 1,53 · 54 – 0,42 · (512 – 491,2) + 1,116,

в) (867000 : 2125 – 396,4) · 2,15,

  1. а) 51,6 + (70,2 – 4,4 · (73,73 : 7,3)) · 1,6,
    б) 18,305 : 0,7 – 0,0368 : 0,4 + 0,492 : 1,2,

в) (0,6739 + 1,4261) · 557, 55 : (16,7 · 2,9 – 42,13),

г) 702,3 – (59 – 389,64 : 6,8) · (59,3 – 5,64 : 9,4),

  1. а) 316219 – (27090 : 43 +16422 : 119), б) 565,3 – 465,3 : ((1,25 + 5,8) · (55,8 – 49,2)),

в) 74 : 100 – 0,4 : 10 + 17,8 : 1000, г) 0,35 · 10 + 0,0237 · 100 – 0,00087 · 1000,

  1. а) 0,7 : 0,1 + 0,0474 : 0,01 – 0,00174 : 0,001, б) 12,3 + 7,7 · 187,2 : 4,5 : 6,4 – 3,4,

в) 10,1 + 9,9 · 107,1 : 3,5 · 6,8 – 4,85, г) 37 · 0,01 – 0,2 · 0,1 + 8,9 · 0,001.

  1. Найди значения выражений:
    а) (18370+23679):7, 156-96:(12:4):2,
    б) (800035
    784942)∙6,

в) 98560:7 ,83216:4, 8656:4 ,91620:4,
г) 73170:9 ,3726:9 ,91728:9, 705355:5.

  1. Найди значения выражений:
    а) (10283+16789):9, 5∙(125+75):20+80,
    б) (200496
    134597)∙2,

в) 54663:7, 80395:5, 6543:9, 860073:3,
г) 1836:4,7542:9, 3906:6, 9150:3,

д)795 ·504 248.952:492,

  1. Реши примеры на деление:

    114595 : 215 =

    200064 : 384 =

    404758 : 922 =

    5370 : 358 =

    396204 : 548 =

    263082 : 978 =

    181116 : 387 =

    118956 : 276 =

    115419 : 487 =

    140070 : 435 =

    223925 : 689 =

    420210 : 435 =

  2. а)1098 + (1453 – 564) · 176  + 195 539– 352 004,

б)30257 · 8 + 7 280400 · 5 5 897 · 6 3504: 8.

Инструкционная карта

ПР № 8  « Вычисление углов в радианах».
Задание:

1)Перепишите и заполните пропуски:
Пример 1. Найти радианную меру угла, выраженного в градусах: а) α = 40°, б) α = 120°, в) α = 150°.

Решение:

Ответ:

Пример 2. Найти градусную меру угла, выраженного в радианах:

Решение:

Ответ:

Пример 3. Вычислите:

Решение:



Ответ:

Пример 4. Вычислите:

Решение:



Ответ:

Пример 5.

Решение:



Ответ:

2)Решить задание ( по примерам):

  1. Найти радианную меру угла, выраженного в градусах: а) α = 75°, б) α = 32°, в) α = 140°.

  2. Найти градусную меру угла, выраженного в радианах:

  3. Вычислите:

  4. Вычислите:

3)Решить задание :

  1. Вычислите:

  2. Радианная мера двух углов треугольника равна   и  . Найдите градусную меру каждого из углов треугольника. 

  3. Выразите в градусной мере величину угла: .

  4. Выразите величину угла в радианах: .

  5. Найдите знак произведения, используя правило знаков по четвертям:

  6. Вычислите значение выражения:

  7. Вычислите:

  8. Вычислите:

  9. Найдите знак произведения:

  10. Вычислить значения и ,если α =120°.

  11. Вычислите значение тригонометрических функций:

sin π/3;cos 7π/6;tg π;sin π/4;tg 2π/3;ctg π/2;sin 3π/2;cos 5π/4.

  1. Найдите радианную меру углов треугольника, если их величины относятся как 2:3:4.

  2. Может ли косинус быть равным:  

  3. Может ли синус быть равным:

  4. Вычислите:

  5. Вычислите :

  6. Известно, что Вычислите значение выражения:

  7. Известно, что . Вычислите значение выражения:

  8. Вычислите : .

  9. Известно, что . Вычислите: .

  10. Известно, что Вычислите:

  11. Найдите значение выражения: 5sin²3х – 6,если cos²3х = 0,6.

  12. Найдите значение выражения: 5sin²4х – 6,если cos²4х = 0,8.


Инструкционная карта

ПР № 9  « Преобразование тригонометрических выражений».
Задание:

1)Перепишите и заполните пропуски:
Пример 1.Вычислить : а) cos 18° cos 12° sin 18° sin 12°; б) cos 107° cos 17°sin 107° sin 17°;

в) sin 17° cos 13° sin 13° cos 17°; г) sin 43° cos 13° sin 13° cos 43°;

д) , е) .

Решение: а) cos 18° cos 12° sin 18° sin 12° = cos(18°12°) = cos 30° = …,

б) cos 107° cos 17° sin 107° sin 17° = cos(107°17°) = cos 90° = …,

в) sin 17° cos 13° sin 13° cos 17° = sin(17°13°) = sin 30° = …,

г) sin 43° cos 13° sin 13° cos 43° = sin(43°13°) = sin 30° = …,

д) = tg (9°51°) = tg 60° = …, е) = tg (65°20°) = tg 45° = … .

Ответ: а); б) 0; в) 0,5; г) 0,5; д) ; е) 1.

Пример 2.Вычислить : а) cos π /7 cos /21 sin π/ 7sin /21;

б) sin π /3 cos π /12  cos π /3sin π /12; в) .

Решение: а) cos π /7 cos /21 sin π /7sin /21 = cos /7 4π /21) = cos (3π /21 4π /21) =

= cos /21 = cos π /3 = …,

б) sin π /3 cosπ /12 cos π /3 sin π /12 = sin /3 π /12) = sin (4π /12π /12) = sin /12 =

= sin π /4 = …,

в) = tg (π /7 4π /21) = tg π /3 = …

Ответ: а) 0,5; б) /2; в).

Пример 3. Упростить: а) cos α cos 3α sinα sin3α; б) sin 2α cos α cos 2α sin α;

в) sin α cos 3α cos α sin 3α; г) .

Решение: а) cos α cos 3α sinα sin3α = cos (α 3α) = cosα;

б) sin 2α cos α cos 2α sin α = sin (2α α) = sin α;

в) sin α cos 3α cos α sin 3α = sin (αα) = sinα; г) = tg (x 3x) = tgx.

Ответ: а) cos 4α; б) sin α; в) sin 4α; г) tg 4x.

Пример 4. Упростить : а) cos α cos β sin α sin β, если α = 42 °, β = 18 °;

б) cos(x y) cos(x + y) + sin(x y) sin(x + y).

Решение: а) cos α cos β sin α sin β = cos (α β) = cos (42 ° 18 °) = cos 60 ° = …,

б) cos(x y) cos(x + y) + sin(x y) sin(x + y) = cos ((x  y) – (x + y)) = cos (–2y) = cos 2y.

Ответ: а) 0,5; б) cos 2y .

Пример 5. Упростить выражение:

Решение: Ответ: 1.

Пример 6. Вычислите: cos630°– sin1470°– сtg1125°.

Решение: cos630°– sin1470°– сtg1125° = cos(360° + 270°)– sin(4360° + 30°)сtg(3360 ° + 45°) =

= cos270°– sin30°– сtg45° = 0 – 0,5 – 1= … Ответ: – 1,5.

Пример7. Вычислить

Решение: Ответ:

Пример 8. Вычислить

Решение: Ответ:

Пример 9. Вычислить sin2α, если sinαcosα =

Решение: Возведем обе части равенства в квадрат: (sinαcosα)2 = ,

sin2α – 2sinαcosα + cos2α = , 2sinαcosα = – 1, 2sinαcosα = , sin2α = …

Ответ: .

Пример 10. Вычислить sin2α, если sinα = 0,6,

Решение: sin2α = 2sinα cosα . Т.к. ,то cosα < 0,

cos α =

sin2α = 2() () = ...

Ответ: 0,96.

Пример 11. Вычислить sinα/2, cosα/2, tgα/2, ctgα/2, если cosα = 0,8,

Решение: cos2 α/2 = (1 + cosα) : 2 = 1,8 : 2 = 0,9, cosα/2 = .

sin2 α/2 = (1 cosα) : 2 = 0,2 : 2 = 0,1, sinα/2 = .

tgα/2 = sinα/2 : cosα/2 = 0,33 : 0,95 = 33/95, ctgα/2 = cosα/2 : sinα/2 = 0,95 : 0,33 = 95/33.

Ответ: 0,33; 0,95;33/95; 95/33.

Пример 12. Пусть Найдем sin2, cos2, tg2.

Решение:


Ответ:

2)Решить задание ( по примерам):

  1. Вычислить : а) cos 38° cos 22° sin 38° sin 22°; б) cos 55° cos 10°sin 55° sin 10°;

в) sin 47° cos 13° sin 13° cos 47°; г) sin 103° cos 13° sin 13° cos 103°;

д) , е) .

  1. Вычислить : а) cos  π /5 cos π /20 sin π/ 5sin π /20;

б) sin π /4 cos π /12  cos π /4sin π /12; в) .

  1. Упростить: а) cos 2α cos 6α – sin 2α sin 6α; б) sin 3α cos α cos 3α sin α;

в) sin 2α cos 3α cos 2α sin 3α; г) .

  1. Упростить : а) cos α cos β sin α sin β, если α = 42 °, β = 48 °;

б) cos(2x y) cos(2x + 3y) + sin(2x y) sin(2x + 3y).

  1. Упростить выражение:

  2. Вычислите: cos450°– sin750°сtg765°.

  3. Вычислить

  4. Вычислить

  5. Вычислить sin2α, если sinαcosα = 1/4.

  6. Вычислить cos 2α, если sinα = 0,8,

  7. Вычислить sinα/2, cosα/2, tgα/2, ctgα/2, если sinα = 0,8,

  8. Пусть Найдем sin2, cos2, tg2.

3)Решить задание :

  1. Упростите выражение: sin(3π/2 – αcos(π/2 + α) + sin(2 π – α) + cos(3π/2 + α) + cosα ·sinα.

  2. Найдите cosß, если tgß = 7/24 и ß (π; 3π/2).

  3. Найдите значение выражения: 2sin²2х – 9cos²2х, если cos2х = – 0,9.

  4. Вычислите:3ctg60º· (sin310ºcos70º sin70ºcos310º).

  5. Найдите значение выражения:5 cos(3π/2 + α) , если α = 7π/6.

  6. Найдите значение выражения: 4 + 5tg²х • cos²х, если sinх = 0,4.

  7. Найдите значение выражения:7 cos(π + α) – sin(3π/2 + α), если cosα = 0,6.

  8. Упростить выражение 4⋅(tg(π t) + ctg(π t) + ctg(3π/2 t)) ctg(π t).

  9. Упростите выражение: .

  10. Вычислите:

  11. Докажите тождество: .

  1. Упростите выражение: .

  2. Вычислите

  1. Найди значение выражения sin1050°+cos4620°+tg1035°.

  2. Вычислите:

  3. Упростите выражение 

  4. Вычислите:

  5. Упростите выражение:

  6. Вычислите: а) sin810°cos900o + tg585octg l845o + cos l35osin405°;
    б)
    cosl05°sinl95° + sin(-135°);

  7. Найдите значение выражения sin (х + у), если sin х= 9/41; cos у =40/41; х - угол II четверти.

  8. Найдите , если  и.

  9. Найдите значение выражения, если .

  10. Упростить выражение: .

  11. Упростите выражение:


  1. Вычислить


  1. Дано: cos х =-12/13; 180 º < х < 270 º. Найти: cos х/2,tg x/2.

  2. Упростите выражение 

  3. Упростите выражение 

  4. Найдите ctg 2α, если

  5. Найти значение выражения: 2sin150 cos150.

  6. Найти значение выражения: cos2150 sin2150).

  7. Вычислить: sin330º  и ctg315º.

  8. Упростите выражение :

  1. Найти значение выражения:

  2. Найдите значение выражения

  3. Найдите sin 2α, cos 2α,tg2α,  если и  .

  4. Найдите 24cos2α, если sinα = - 0,2 .

  5. Найдите tgα/2 , если .

  6. Найдите – 16cos2α , если sinα = – 0,6.

  7. Найдите 22cos2α  , если cosα = – 0,8.

  8. Найдите , если sin2α = 0,6.

  9. Найдите , если cos2α = 0,8.

  10. Упростите выражение

  11. Упростите выражение: сtg²х · sin²х cos2х.

  12. Найдите sin 2, если 3sin + 3cos = 1.

  13. Найдите cos 2, если 

  14. Вычислите без помощи таблиц:1) sin 75°; 2) cos 75°; 3)tg75°; 4) ctg 75°.

  15. Вычислите без помощи таблиц и калькулятора: 1) sin 15°; 2) tg22,5°.

  16. Упростите выражение:





Инструкционная карта

ПР № 10  « Решение простейших тригонометрических уравнений и неравенств».
Задание:

1)Перепишите и заполните пропуски:
Пример 1.Решите уравнение sin4xcos2x = 0.

Решение: sin4x – cos2x = 0 , 2sin2x cos2x – cos2 x = 0 , сos2x(2sin2x – 1)=0 ,

сos2x=0 или sin2x=1/2 .

2x = π/2 + π k, k , 2x = (1) n π/6 + π n, n Z .

х1= π/…+ π k/2 , k Z, x2 = (1)n π/…+ π n/2 , n Z .

Ответ: х1= π/4+ π k/2 , k Z; x2 = (1)n π/12+ π n/2 , n Z .

Пример 2. Решите уравнение (2 sin x – 1) (tg x) = 0.

Решение: ( 2 sin x – 1) hello_html_m61765ba1.gif (tg x) = 0,

2 sin x – 1= 0 или tg x = 0,

sin x = 1/2 tg x = ,

х1= (–1) n π/… + π n, n Z , х2 = π/… + π k, k .

Ответ: х1= (–1) n π/6 + π n, n Z , х2 = π/3 + π k, k .

Пример 3. Решите уравнение ( ctg x – 1) hello_html_m61765ba1.gif (2sin + 1) = 0.

Решение: ( ctg x – 1) hello_html_m61765ba1.gif (2sin + 1) = 0,

ctg x – 1 = 0 или 2sin + 1 = 0,

ctg x = 1 sin = – 1/2, х/2 = (–1) n +1 π/6 + π n, n Z,

х1 = π/… + π k, k , х2 = (–1) n +1 π/… + 2π n, n Z.

Ответ: х1 = π/4 + π k, k , х2 = (–1) n +1 π/3 + 2π n, n Z.

Пример 4. Решите уравнение . Решение: , cos (4x 3x) =, cos x =, x = 2πn, nZ. Ответ: x = 2πn, nZ.

Пример 5. Решите уравнение 2cos( х + π/3) = .

Решение: 2cos( х + π/3) = , cos( х + π/3) = –, х + π/3 = ± 5π/6+2πn, nZ, x = – π/3 ± 5π/6 + 2πn, nZ. x1 = – π/3 + 5π/6+2πn, nZ, x1 = π/… +2πn, nZ,

x2 = π/3 – 5π/6+2πn, nZ, x2 = 7π/… +2πn, nZ.

Ответ: x1 = π/2 +2πn, nZ, x2 = –7π/6 +2πn, nZ.

Пример 6. Решите уравнение sin( 2х + π/2) = 0.

Решение: sin( 2х + π/2) = 0, 2х + π/2 = πn, nZ,2х = – + πn, nZ,х = – , nZ.

Ответ: х = = – , nZ

Пример 7. Решите уравнение a) arccos б)arcsin (5x+2) = 0.

Решение: a) arccos cos(arccos ,

б) sin(arcsin (5x+2)) = sin0, 5x + 2 = 0, 5x = – 2,x = …

Ответ: a) 2,5, б) – 0,4.

Пример 8. Решите уравнение arctg (4x – 1) =

Решение: tg(arctg (4x – 1)) = tg 4x – 1 = 1, 4x = 2, x = … Ответ: 0,5.

Пример 9. Решить неравенство sin(t) 1/2.

Решение: Рисуем единичную окружность. Так как sin(t) по определению - это координата y, отмечаем на оси Оу точку у = 1/2. Проводим через неё прямую, параллельную оси Ох. В местах пересечения прямой с графиком единичной окружности отмечаем точки Pt1 и Pt2. Соединяем двум отрезками начало координат с точками Pt1 и Pt2

Решением данного неравенства будут все точки единичной окружности расположенные выше данных точек. Другими словами решением будет являться дуга l. Теперь необходимо указать условия, при которых произвольная точка будет принадлежать дуге l.hello_html_m203b787d.jpg

Pt1 лежит в правой полуокружности, её ордината равна 1/2,

тогда t1= arcsin(1/2) = π/6. Для описания точки Pt1 можно записать следующую формулу: t2 = π – arcsin(1/2) = 7π/6. В итоге получаем

для t следующее неравенство:/6 t 7π/6, Мы сохраняем знаки неравенств. А так как функция синус функция периодичная, значит решения будут повторяться через каждые 2π. Это условие добавляем к полученному неравенству для t и записываем ответ.

Ответ: /6+2πn t 7π/6 + 2πn, при любом целом n.

Пример 10. Решить неравенство cos(t) <1/2.

Решение: Нарисуем единичную окружность. Так как согласно определению cos(t) это координата х, отмечаем на грфике на оси Ох точку x = 1/2.
Проводим через эту точку прямую, параллельную оси Оу. В местах пересечения прямой с графиком единичной окружности отмечаем точки P
t1 и Pt2. Соединяем двум отрезками начало координат с точками Pt1 и Pt2.
hello_html_mecb7ec3.jpg

Решениями будут все точки единичной окружности, которые принадлежать

дуге l. Найдем точки t1 и t2t1 = arccos(1/2) = π/3 ,

t2 = 2π arccos(1/2) = 2π/3 = 5π/6.

Получили неравенство для t: π/3 < t < 5π/6.

Так как косинус - это функция периодичная, то решения будут повторяться через каждые 2π. Это условие добавляем к полученному неравенству для t и записываем ответ.hello_html_m174f9f6b.jpg

Ответ: π/3+2πn π/6+2πn, для любого целого n.

Пример 11. Решить неравенство tg(t) 1.

Решение: Период тангенса равняется π. Найдем решения, которые принадлежат промежутку (-π/2; π/2) правая полуокружность. Далее воспользовавшись периодичностью тангенса, запишем все решения данного неравенства. Нарисуем единичную окружность и отметим на ней линию тангенсов.

Если t будет являться решение неравенства, то ордината точки Т = tg(t) должна быть меньше или равна 1. Множество таких точек будет составлять луч АТ. Множество точек Pt, которые будут соответствовать точкам этого луча – дуга l. Причем, точка P(-π/2) не принадлежит этой дуге. Найдем условие, при котором некоторая точка Pt будет принадлежать дуге l. t1 = arctg(1) = π/4.  Получаем неравенство /2 t/4. 

Учитывая период тангенса записываем ответ.

Ответ: /2 + πnt /4 + πn, для любого целого n.

Пример 12. Решить неравенство:   sin x > 0.

Решение: В пределах одного оборота единичного радиуса это неравенство справедливо

при 0 < x < hello_html_3fac242e.gif. Теперь необходимо добавить период синуса  2hello_html_3fac242e.gif n :hello_html_m12869a62.png

0 + 2πn х π + 2πn, 2πn х π + 2πn, при любом целом n.hello_html_6e343a75.png

Ответ: 2πn х π+ 2πn, при любом целом n.

Пример 13. а) Решить неравенство:   sin x > 0.5 .

Решение: π/6 + 2πn < х < 5π/6 + 2πn, для любого целого n.

б) Решить неравенство cosх > /2.

Решение: /4 + 2πn х π/4 + 2πn, для любого целого n.( по рис.)

Пример 14. Решить неравенство cos (x/4 – 1) ≤ (/2).

Решение: Обозначим x/4 – 1 = у. Решая неравенство cos у ≤ (/2), находим 
3π/4 + 2πn ≤ у ≤ 5π/4 + 2πn, n Z.

Заменяя у = x/4 – 1, получаем 3π/4 + 2πn ≤ x/4 – 1 ≤ 5π/4 + 2πn, откуда 
1 + 3π/4 + 2πn ≤ x/4 ≤ 1 + 5π/4 + 2πn, 4 + 3π + 8 πn ≤ х ≤ 4 + 5π + 8 πn, n Z.

Ответ: 4 + 3π + 8 πn ≤ х ≤ 4 + 5π + 8 πn, n Z.


2)Решить задание ( по примерам):

  1. Решите уравнение sin4xcos2x = 0.

  2. Решите уравнение (2 sin x ) hello_html_m61765ba1.gif (tg x – ) = 0.

  3. Решите уравнение (ctg x ) hello_html_m61765ba1.gif (2sin +) = 0.

  4. Решите уравнение cos 4xcos3x + sin4xsin3x =

  5. Решите уравнение 2cos(х + π/4) =

  6. Решите уравнение sin( 2х + π/3) = 0.

  7. Решите уравнение a) arccos б)arcsin (5x + 4) = 0.

  8. Решите уравнение arctg (3x – 1) =

  9. Решить неравенство cos x ≤ - .

  10. Решить неравенство sin x > - .

  11. Решить неравенство sin x ≥ .

  12. Решить неравенство ctg x < - .

  13. Решить неравенство tg x > 1.

  14. Решить неравенство tg x ≤ 1.

  15. Решить неравенство ctg x ≥ - .

  16. Решить неравенство сtg x ≤ 1.

3)Решить задание :

  1. Решите уравнения:

  1. Решите уравнения:

  1. Решите уравнения:

  1. Решите уравнения:

  1. Решите уравнения:

  2. Решите уравнения:

  1. Решите уравнения:

  2. Решите уравнения:

  3. Решите уравнения:

  4. Решите уравнения:

  5. Решите уравнения:

  1. Решите уравнения:

  1. Решите неравенства: а) ,б) , в) .

  2. Решите неравенства:

а) ;б) ;в) ;

  1. Найдите какой-либо корень уравнения , удовлетворяющий неравенству .

  2. Решите неравенство: .

  3. Решите неравенство:

  1. Решите неравенства:

а) б) в) .

  1. Решите неравенства:

а)

  1. Определите все а, при каждом из которых неравенство

4sinx + 3cosxа имеет хотя бы одно решение.






Инструкционная карта

ПР № 11  « Вычисление обратных тригонометрических выражений».
Задание:

1) Перепишите и заполните пропуски:
Для выполнения заданий, связанных с обратными тригонометрическими функциями, нужно, во-первых, четко помнить определения этих понятий:


hello_html_mc5281e4.gif





,


hello_html_m3aca29e1.gif

Пример 1. Вычислить:

а) arccos (cos ), б) cos(arccos 0,4),в) arcsin (sin ),

г) sin(arcsin 0,6), д) sin (arccos 0,6),е)tg(arcsin 0,8).

Решение:

а) arccos (cos ) = , б) cos(arccos 0,4) = …,

в) arcsin (sin ) = …, г) sin(arcsin 0,6) = 0,6,

д) ,

е) .

Ответ:

а) arccos (cos ) = , б) cos(arccos 0,4) = 0,4,в) arcsin (sin ) = ,

г) sin(arcsin 0,6) = 0,6, д) , е) .

Пример 2. Вычислить cos(4arctg 5).

Решение:

Пусть α = arctg5, тогда tg α = 5. Требуется найти cos4α. Вычислим вначале cos2α, используя универсальную подстановку:

.


Тогда получаем, что:

.

Ответ: .

Пример 3. Вычислить  arcsin (sin 12).

Решение:

По условию задачи требуется найти угол, синус которого равен синусу угла в 12 радиан и который принадлежит промежутку  Заметим, что поэтому . Поскольку  , угол 12 - 4π является искомым углом: его синус равен sin 12, и он находится в области возможных значений арксинуса.

Ответ: arcsin (sin12) = 12 - 4π.

Пример 4. Вычислить  

Решение:

Введем два угла:  и . Оба они лежат в первой четверти, значит, все их тригонометрические функции положительны.

Мы знаем, что. Требуется найти синус суммы этих углов, а для этого нужно знать их синусы и косинусы.

Во-первых,

  .

Во-вторых, 

.

Следовательно,

Ответ:  .

Пример 5. Вычислить 

Решение:

Типичная ошибка в данном случае – это сразу же написать в ответ 4. Как мы указывали в предыдущем примере, для использования основных свойств аркфункций необходимо проверить соответствующие ограничения на их аргумент. Мы имеем дело со свойством:

при . Но 4> .

Главное на этом этапе решения не подумать, что указанное выражение не имеет смысла и его нельзя вычислить. Ведь четверку, которая является аргументом тангенса, мы можем уменьшить при помощи вычитания периода тангенса, и это не повлияет на значение выражения. Проделав такие действия, у нас появится шанс уменьшить аргумент так, чтобы он вошел в указанный диапазон.

 , т.к. < 1 поскольку > 3, следовательно, , т.к. .

Ответ: .


Пример 6. Вычислить sin (2 arcsin 0,6).

Решение:


Ответ: 0,96.

 Пример 7. Вычислить arccos x – arcsin x = arccos .

Решение:

Учитывая, что arccos = и arcsin x + arccos x = , заменим в уравнении arcsin x выражением – arccos x, получим уравнение

arccos x – (– arccos x)= ,

2arccos x – = , 2arccos x = + = .

arccos x = , x = cos , x= 1/2 = …

Ответ: 0,5.

Пример 8. Решите уравнения:

а) 6arcsin (x2 – 6x+8,5) = π ;

б)  3arcsin2x – 10arcsinx + 3 = 0.    

Решение:

а) 6arcsin (x2 – 6x+8,5) = π  , arcsin(x2 – 6x+8,5) = ,

x2 – 6x+8,5 = 0,5; x2 – 6x+8 = 0,

D = 36 – 418 =….

, .

б) 3arcsin2x – 10arcsinx + 3 = 0.    arcsinx = у,

2 – 10у + 3 = 0, D = 100 – 433 = 64.

- не уд. усл.

.

arcsinx = 0,3, х= sin 0,3

Ответ: а) x1= 4,x2 = 2.б) х= sin 0,3

Пример 9. Вычислить: а) arcsin (-2), б) arccos

Решение:

а) Типичная ошибка в данном случае – это начать выносить минус и что-то упрощать. Первое, что необходимо заметить, это то, что аргумент арксинуса не входит в область определения.

Следовательно, данная запись не имеет значения, и вычислить арксинус нельзя.

б) Стандартная ошибка в данном случае заключается в том, что путают местами значения аргумента и функции и дают ответ 1/2. Это неверно! Конечно, возникает мысль, что в таблице косинусу  соответствует значение 1/2, но в таком случае перепутано то, что вычисляются аркфункции не от углов, а от значений тригонометрических функций. Т.е. arccos 1/2 =, а не arccos  = 1/2.

Кроме того, поскольку мы выяснили, что  является именно аргументом арккосинуса,

то необходимо проверить, чтобы он входил в область определения. Для этого вспомним, что >1,т.е. , а значит арккосинус не имеет смысла и вычислить его нельзя.

Кстати, например, выражение arccos  имеет смысл, т.к. , но поскольку значение косинуса, равное  не является табличным, то и вычислить арккосинус с помощью таблицы нельзя.

Ответ: Выражения не имеют смысла.

 Пример 10. Вычислить arcсtg х, если известно, что arctg х =  .

Решение:

Вспомним, по какой формуле связаны между собой указанные функции:


И выразим из нее то, что нам нужно:.

Ответ: .

2)Решить задание ( по примерам):

  1. Вычислить:

а) arccos (cos ), б) cos(arccos 0,25),в) arcsin (sin ),

г) sin(arcsin 0,45), д) sin (arccos 0,8),е)tg(arcsin 0,6).

  1. Вычислить cos(4arctg 3).

  2. Вычислить  arcsin (sin 6).

  3. Вычислить  

  4. Вычислить 

  5. Вычислить sin (2 arcsin 0,8).

  6. Вычислить arccos x – arcsin x = arccos .

  7. Решите уравнения:

а) 6arcsin (x2 – 7x+12,5) = π ;

б)  3arcsin2x – 11arcsinx + 6 = 0.    

  1. Вычислить: а) arcsin (hello_html_m7cdd195e.gif 4), б) arccos

  2. Вычислить arcсtg х, если известно, что arctg х =  .


Инструкционная карта

ПР № 12 «Вычисление и сравнение корней. Выполнение расчетов с радикалами».
Задание:

1) Перепишите и заполните пропуски:
Пример 1. Вычислите: . Решение: .

Ответ: 1.

Пример 2. Вычислите: .

Решение: .

Ответ: 0,2.

Пример 3. Упростите выражение: .

Решение: .

Ответ: 3.

Пример 4. Вычислите: а) б)

в) г)д)

е) ж)

з)

Ответ: а) 6, б) hello_html_15da1ba3.gif8, в) 3,5; г) 40, д) 2, е) 10, ж) 1,25; з) 250.

Пример 5. Выполнить действия: Решение: Ответ:

Пример 6. Решите уравнения:

Решение: Ответ: а) х = 4, б) х = 2.

Пример 7. а) Вынести множитель из-под знака корня: ,

внесите множитель под знак корня: .

Ответ: а) б) .

2)Решить задание ( по примерам):

  1. Вычислите: .

  2. Вычислите: .

  3. Упростите выражение: .

  4. Вычислите:

а) б) в) г)д)

е) ж) з)

  1. Выполнить действия:

  2. Решите уравнения:

  3. а) Вынести множитель из-под знака корня: ,

внесите множитель под знак корня: .


3)Решить задание :

  1. Вычислите: а) ,б) ,в) ,г) ,д) ,

е) ,ж) , з) .

  1. Решите уравнения: а) , б) , в) , г)

  2. Упростите выражение: .

  3. Вычислите: а) б) в)

  4. а) вынести множитель из-под знака корня:

б) внесите множитель под знак корня:

  1. Вычислите а) ,б) ,в) г) ,д) .

  2. Упростите выражение


  1. Найдите значения выражения при у = 16.

  2. Найдите значение выражения:

  3. Сократите дробь: .

  4. Найдите значения выражения при а = 4, b = 5.

  5. Найдите значение выражения при р = 49.

  6. Упростите выражение .

  7. Упростите выражение .

  8. Вычислите

  9. Упростите выражение .

  10. Найдите значение выражения:

  11. Найдите значение выражения: .

  12. Упростите выражение .

  13. Упростите выражение


Инструкционная карта

ПР № 13 «Нахождение значений степеней с рациональными показателями. Сравнение степеней».

Задание:

1)Перепишите:

Определение. Степенью числа с рациональным показателем , где m-целое число, а n-натуральное (), называется число . Итак, по определению .

Свойства степени с рациональным показателем,

где r,s-рациональные числа, ,.





Замечание. При рациональная степень числа а не определяется.

Пример 1.

Пример 2. Сравните числа .

.

Пример 3.

Пример 4.

Пример 5.

Пример 6. Упростите выражение:

Решение:

=======

==27

2)Решить задание:

  1. Найдите значение числового выражения .

  2. Сравните числа .

  3. Вычислите: а) ; б) ; в) ; г) .


  1. Упростите выражение:

а) ; б); в) ; г) ; д) .

  1. Представьте выражение в виде степени и найдите его значение при у = 8.

  2. Сократите дробь: а) ; б).

  3. Вычислите:

  1. Вычислите:

  1. Данные     выражения    представить  в  виде    степеней   с одинаковыми показателями и сравнить их по величине:

1) 42 и 28;  2)  273  и  96 ; 3)  1252 и 253; 4) 4300 и 3400;   5) — 1/8   и   (—1/32)3;  6) ( — 6/7 )4  и (36/49)6;

  1. Найдите значение выражения .

3)Решить задание (тест):

Часть 1.

1. Представьте выражение в виде степени с основанием a. Ответ: ________________

2. Какое из данных выражений не равно ?

А. Б. В. Г.

3. Найдите значение выражения при m =

А. -16 Б. В. Г. 16

4. Решите уравнение: . Ответ: ________________

5. Разложите на множители:

А. ()() Б. ()() В. ()() Г. ()()

6. Найдите значение выражения А. 60 Б. 30 В. 12 Г.

Часть 2.

7. Упростите выражение:

Инструкционная карта

ПР № 14 «Преобразования выражений».

Задание:

1) Перепишите:

hello_html_m7ca5a23c.png

hello_html_mea6a4e4.png

hello_html_1f9e2b77.png

2) Решение теста по теме «Степень с рациональным, действительным показателем, ее свойства».

( заполните пропуски и запишите номер правильного ответа)

А1. Вычислите .

1) 2; 2) 4; 3) 9; 4) .

А2. Вычислите .

1) 2; 2) 4; 3) 5; 4) 4.

А3. Упростите выражение

1) ; 2) ; 3) а2; 4) .


А4. Вычислите 1) 0,25; 2) 0,3; 3) 0,15; 4) 5.

А5. Найдите значения выражения при у = 16.

1) 9(4+3); 2) ; 3) 4+3; 4) .

А.6. Упростите выражение

1) 2) 3) 4)

А7. Найдите значение выражения: .


1) 12; 2) 6; 3) 8; 4) –3.


А8. Найдите значение выражения: .

1) ; 2)1,4; 3) ; 4)

А9. Найдите значение выражения:

1) 4; 2) 9; 3) 45; 4) 5.

А10. Сократите дробь:

1) 0,5а; 2) ; 3) ; 4) а+1.

А11. Вычислите . 1) 9; 2) 4; 3) 25; 4) .

А12. Вычислите .

1) 2; 2) 4; 3)6; 4) 4.

А13. Упростите выражение

1) ; 2) ; 3) а; 4) .

А14. Вычислите

1) 0,09; 2) 0,03; 3) 0,8; 4) 3.

А15. Найдите значения выражения

при а = 4, b = 5.

1) ; 2) 2; 3) 0; 4) .

3)Решить задание :

  1. Упростите иррациональные выражения:

1. ,2. , 3. , 4. ,5. ,

6. ,7. ,8.

  1. Упростите выражения: а) б) в)


  1. Разложите на множители:

а) ,б) ,в) ,г) ,д)

е) ,ж) ,з) ,и) ,к)

  1. Вычислите:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

  1. Найдите значение выражения:

а) б) в) г)

д) е) ж)

  1. Сократите дробь:

а) б)

в) г)


д)


  1. Вычислите:

а) , б) , в) ,г)

д) е)
ж) з) и)

  1. Упростите выражение:

а) 60,7/ 60,3; б) к -5,3∙4к 0,1; в) а7/6-5/6;

г) (а3/2: а-7/2)∙а3;д) 4с2/7+ 3(с1/7 )2 ; е) (4∙ 4-2а) -2.

  1. Вычислите:

а) б) в)

г) д) е)

ж) з)

  1. Найти значение выражения

hello_html_6f3d862e.png

  1. Найти значение выражения

hello_html_ma7e682b.png

  1. Упростите выражение.

hello_html_1432db50.png




Инструкционная карта

ПР № 15 «Нахождение значений логарифма».

Задание:

1)Перепишите:

1.Вычислим пример по формуле

2. Вычислим пример по формуле

3. Вычислим пример по формуле


4.Вычислим пример по формуле


5.Найдите значение выражения:

6. Найдите значение выражения:

7. Найдите значение выражения:
8. Найдите значение выражения:

9. Найдите значение выражения:


10. Найдите значение выражения:


11. Найдите значение выражения:

12. Найдите значение выражения:

13. Найдите значение выражения:

14. Найдите значение выражения:

15. Найдите значение выражения: .

16. Найдите  , если


2) Перепишите и заполните пропуски:

1) 2) 3)

4) 5) 6) 7)

8) 9) 10)

11) 12)

13)

14)

15) 16)

17) 18)

19)

20)

21)

22)

23)

24)

25) 26)

27)

28)


30)

hello_html_m6da07957.png


3)Решить задание :Найдите значение выражения:





Инструкционная карта

ПР № 16 «Вычисление логарифмов».
Задание:

1) Перепишите и заполните пропуски:
Пример 1. log3 9 = 2, так как 32 = 9, log5 25 = 2, так как 52 = 25, log3 81 = 4, так как 34 = 81,

Ответ: 2,2,4.

Пример 2. Вычислите : а) log2 16, б) log3 3, в) , г) , д) log2 2 log3 81, е) log12 2 + log12 72, ж) log5 75 – log5 3.
Решение: а) log2 16 = 4, б) log3 3 = …, в) = 16, г) = = …,

д) log2 2 log3 81= 1· 4 = …, е) log12 2 + log12 72 = log12 (2 ·72) = log12 144 = …,

ж) log5 75 – log5 3= log5 (75:3) = log5 25 = …

Ответ: а) 4, б) 1, в) 16, г) 8, д) 4, е) 2, ж) 2.

Пример 3. Найдите х, если logx 36 = 2 и log2 x = – 2.

Решение: logx 36 = 2, х2 = 36, х = log2 x = - 2, х = 2 -2 = 1 / 4 = …

Ответ: 0,25
Пример 4. Вычислите: а) , б) , в) .

Решение: а) = log2 16=…, б) = 5 · = 5 · 3 = … ,

в) = = 17 = 1296 – 17 = …

Ответ: 4, 15, 1279.

Пример 5. Упростите выражение :

а) ;

б)

;

в) ;

Ответ: 24, 7, 2.

2)А)Решить задание ( по примерам):

  1. Вычислите а) log3 27, б) log4 1,в) log1/2 4,

  2. Вычислите а) log2 32, б) log3 9, в) , г) , д) log3 log2 8, е) lg 5 + lg 2,

ж) log3 15 – log3 5.

  1. Найдите х, если log2 4 = x и log6 x = 2.

  2. Вычислить а) б)

в) .

  1. а)

б)

в)

г)

д)

е)

Б) 1)log9 81 ; 2) 3) log3 1; 4) log5 5 ; 5)

6) 7) log2 log3 9; 8) lg100; 9) 92 log9 5 ; 10) log64 8

Ответы: вставьте номер задания

задания


2

7

10



5



1

ответ

2

4

1

0,5

1

0

-2

25

-1

2


3)Решить задание :

1. Вычислите (по свойству степени):

1) , 2) , 3) , 4) , 5) ,

6) , 7) , 8) ,9) , 10) , 11) ,

12) , 13) , 14) , 15) , 16) .

2. Вычислите (по основному лог. тождеству):

1) , 2) , 3) , 4) , 5) , 6) ; 7) ,

8) , 9) , 10) , 11) , 12) , 13) ,

14) ,15) , 16) , 17) , 18) , 19) , 20) .

3. Вычислите: а),б) , в) ,

г), д).

4. Упростите выражение :

а) ;б) ,в);

5.Вычислить логарифмы: log381,ln e, lg1000, log7343,ln7,29, lg0,001.

6.Вычислить логарифмы: log432 + log42, log552, log2(8 128), log654 + log64, log3108 – log34.

7.Вычислить логарифмы:

8.

Инструкционная карта

ПР № 17 «Вычисление множества значений функций».

Задание:

1)Опорный конспект.

А) Примеры применения различных функций в жизни, технике, природе.

Определение. Числовой функцией с областью определения D называется соответствие, при котором каждому числу x из множества D сопоставляется по некоторому правилу единственное число y, зависящее от x. Принято называтьx независимой переменной или аргументом, а у — зависимой переменной или значением функции.

Записывают указанное соотношение между x и у в общем виде так: у = f (x) или у = F (x) и т. п.

График функции y = f (х) - это множество всех точек плоскости, координаты (х, у) которых удовлетворяют соотношению y = f(x).

Способы задания функции:

  1. аналитический (с помощью формулы);

  2. графический;

  3. табличный;

  4. словесный.

В наши дни без функций невозможно не только рассчитать космические траектории, работу ядерных реакторов, и бег океанской волны и закономерности развития циклона, но и экономично управлять производством, распределением ресурсов, организацией технологичных процессов, прогнозировать течение химических реакций или изменение численности различных взаимосвязанных в природе видов животных и растений, потому что все это – динамические процессы, которые описывает функция.

а) Линейная функция

Функция y = a x + b называется линейной потому, что ее график есть прямая линия. Характеристическим свойством линейной функции является изменение функции пропорционально изменению аргумента. Поэтому с помощью линейной функции описываются пропорциональные зависимости. Например, при равномерном движении с постоянной скоростью v пройденный путь s пропорционален времени t и выражается формулой s = v t, т.е. s – линейная функция t.hello_html_31dd52b1.png

Пример линейной функции дает зависимость между различными шкалами температур. Абсолютная температураТ (по Кельвину) связана с температурой tͦC на шкале Цельсия формулой t = T + 273 ͦ. Другой пример – напряжение в электрической цепи прямо пропорционально силе тока U = IR. Можно много приводить примеров линейных зависимостей в физике, химии. Рассмотрим задачу на линейное расширение тел.

Задача. При температуре 0оС рельс имеет длину l0= 12,5 м. при возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону l(tо) = l0(1 + hello_html_m5cdf3cb6.giftо),где hello_html_m5cdf3cb6.gif= 1,2 ˖ 10–5коэффициент теплового расширения в градусах Цельсия в минус первой степени, tо – температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на 6 мм. Ответ выразить в градусах Цельсия.

Решение. Выразим из заданной формулы t: .

Заметим, ,

тогда hello_html_53e6f54e.gif

Ответ: 40.

б) Квадратичная функция

Графиком квадратичной функции

является парабола.

Хорошо известно, что траектория камня, брошенного под углом к горизонту, летящего футбольного мяча или артиллерийского снаряда будет параболой (при отсутствии сопротивления воздуха). Однако мало кто знает, что зона достижимости для пущенных нами камней вновь будет параболой. В данном случае мы говорим об огибающей кривой траекторией камней, выпущенных из данной точки под разными углами, но с одной и той же начальной скоростью. Если рассматривать такую огибающую в пространстве, то возникнет поверхность, образованная вращением этой параболы вокруг ее оси. Такая поверхность носит название параболоида вращения.

Задача. Выcота над землeй подброшенного вверх мяча меняетcя по закону hello_html_403f5e9b.png, где h — выcота в метрах, t — время в cекундах, прошедшее c момента броcка. Cколько cекунд мяч будет находитьcя на выcоте не менее трeх метров?

Решение. Решим неравенство,

, , t1 = 1,4, t2 = 0,2

0,2t1,4

t = 1,4 - 0,2 = 1,2

Ответ: 1,2

Парабола обладает оптическим свойством: все лучи, исходящие из источника света, находящегося в фокусе параболы, после отражения оказываются направленными параллельно ее оси. Это свойство параболы используется при изготовлении прожекторов, автомобильных фар, карманных фонариков, зеркала которых имеют вид параболоидов вращения. hello_html_m779371d5.png

Б)Функциональные зависимости в повседневной жизни

Пример 1. Рассмотрим деление праздничного торта между гостями. Отчего зависит количество порций?– от числа гостей. А от чего зависит вес порции? – тоже от числа гостей.

В первом случае, чем больше гостей, тем на большее количество порций мы должны разделить торт (рис. 1).hello_html_m9d34e61.png

Здесь наглядно можно представить прямую пропорциональную зависимость.hello_html_m70d6cf06.gif

Во втором случае, чем больше гостей, тем меньше вес порции. Здесь мы видим обратную пропорциональную зависимость (рис. 2).

Пример 2. Мы живём в век информационных технологий. Ежедневно мы получаем массу информации из различных источников: телевидения, радио, газет, журналов, и, конечно, из Интернета. Известно, что объём информации каждые пять лет увеличивается в два раза.hello_html_m64a6d6cd.png

Если построить график зависимости объёма информации от времени, то получим некоторую кривую, которая в математике называется экспонентой и является графиком показательной функции (рис. 3).

Пример 3.На голове человека растут волосы, которые регулярно стригут.hello_html_fde3c9e.png

График полученной зависимости (при условии, что стрижку делают регулярно) похож на функцию дробной части числа, смещённую на aединиц вверх: (рис. 4).


Пример 4. За время обучения в школе каждый год переходим в следующий класс.hello_html_4bc21f47.png

Такая зависимость сходна с функцией целой части числа на ограниченном промежутке (рис. 5).

Пример 5. По графикам оценить

множество значений каждой из

представленных функций.



hello_html_m321966bf.gif

Ответ:

hello_html_5687e039.gif

2)Решить задание:

1)

hello_html_20988e1e.jpg

2) Функция задана формулой f(х) = - 5х – 2. Найдите: а) f(0); б) f(2); в) f(- 3); г) f().

3)Известно, что g(х) = 12 – 4х. Найдите значение х, при котором: а) g(х) = 0; б) g(х) = 6; в) g(х) = - 8.

4)Функция задана формулой f(х) = . Найдите: а) f(0); б) f(2); в) f(- 3); г) f().

5)Постройте график функции у = х +3. При каких значениях х выполняется неравенство ?

6)С помощью формул описано изменение температуры воды в баке (в 0С) как функции времени t (в минутах):

2t + 20, если 0 ≤ t < 40,

p = 100, если 40 ≤ t < 60,

t + 140, если 60 ≤ t ≤ 150.

Найдите: р (20); р (40); р (50); р (60); р (90). Постройте график функции р = f (t). Какой физический смысл имеет рассматриваемый процесс в каждом из промежутков [0;40], [40;60], [60;150]?

7)Известно, что g(х) = 2х – 4. Найдите значение х, при котором: а) g(х) = 0; б) g(х) = 6; в) g(х) = - 8.

8)Зависимость расстояния s (в километрах) велосипедиста до базы от времени его движения t (в часах) задана следующим образом:

2t + 20, если 0 ≤ t < 40,

s = 100, если 40 ≤ t < 60,

t + 140, если 60 ≤ t ≤ 150.

Найдите: s (0); s (1); s (1,4); s (2). Постройте график функции s = f (t) (масштаб по оси t: 1 ед. – 6 клеточек; по оси s: 10 ед. – 4 клеточки). Опишите, как происходило движение велосипедиста.

9) По графикам оценить множество значений каждой из представленных функций.


hello_html_m5e890c1e.gif

10) Садово-огородные процессы тоже можно представить в виде функции и потроить график. К примеру, яблоко росло, зрело, потом его высушили. Постройте эту кусочную функцию.hello_html_m6473b701.gif

11) Графиком проиллюстрировать смысл пословицы «Каково жизнь проживешь, такую славу наживешь».

12) 1. По графику функции у= 2х2 найдите:

а) значение функции, если х=10; х=–12;

б) значение аргумента, если у=4; у=–5.

2. Постройте график функции у=–0,5х2

13) Постройте график функции:

.

14) Вычислите координаты точек пересечения параболы и прямой:

.

15) Постройте график функции:

.



Инструкционная карта

ПР № 18 «Построение графиков функций».

Задание:

1)Опорный конспект.

Построение и чтение графиков.

Построение и чтение графиков должно опираться на множество практических навыков.

Приведем некоторые из рекомендованных правил при графической обработке данных и чтении графиков:

- во всякой диаграмме графический образ, как основной элемент, для которого существуют и которому подчинены все остальные элементы, должен быть в центре внимания пользователя;

- композиция диаграммы должна подчиняться правильному соотношению ее частей (согласованию их размеров, толщины, формы и положения);

- график должен быть достаточно четким, но наиболее важные его элементы должны выделяться на общем фоне в соответствии с их значением;

- вертикальную шкалу для кривой независимо от ее назначения желательно выбирать так, чтобы на диаграмме оказалась нулевая отметка;

- нулевые линии шкал для кривой следует резко отграничивать от других координатных линий;

- когда шкала относится к датам, а представляемый период является неполным, лучше не выделять первые и последние ординаты, так как подобная диаграмма не отмечает начало или конец времени;

- для кривых, которые имеют шкалу, изображающую проценты, желательно выделить каким-то образом линию 100% или другие линии, используемые в качестве основы для сравнения, а также обязательно показывать 0%;

- кривые линии диаграммы должны резко отличаться от прямых линий;

- для кривых, характеризующих группы наблюдений, рекомендуется по возможности ясно указывать на диаграмме все кривые, представляющие отдельные наблюдения;

- горизонтальную шкалу для кривых следует писать слева направо, а вертикальную - снизу вверх;

- рекомендуется показывать достаточный минимум координатных линий для облегчения чтения диаграммы;

- при необходимости желательно включать в график цифровые данные или формулы;

- на графиках при резких колебаниях кривых закраска полос неудобна;

- использование изображения линейных величин с помощью площадей или объемов некорректно, т.к. их не удастся правильно истолковать;

- характер координатной сетки должен быть разный в зависимости от назначения графического образа.

- название графика располагают под ним, хотя иногда его можно писать выше диаграммы, если она не предназначена для печати, например, в настенных графиках;

- наименования следует формулировать возможно яснее и полнее. Если требуется, необходимо дополнительно вводить подзаголовки или пояснения;

- общая структура графиков должна предполагать чтение слева направо;

- чтение графика следует начинать с заголовка, сообщающего, какие сведения можно из него получить. Затем надо уяснить строение графического образа и изучить специфику его элементов: шкалу, масштабы, единицы измерения, легенды и т.п., что необходимо для определения сообщаемой информации по частным вопросам. Нужно начинать восприятие графического образа как общего целого, т. е. во взаимоотношениях элементов. Затем надо увидеть выражаемое содержание графика, ясно представлять, чему соответствуют те или иные изменения графического образа.

Примеры графиков.

1)Оценка ущерба из-за загрязнения окружающей среды при производстве электроэнергии (ленточная диаграмма сравнения с логарифмической шкалой).

hello_html_m188e6616.png

2) Структура потребления энергоресурсов по отраслям в Латвии (диаграмма сравнения).hello_html_m10e5950f.png

3) Изменение количества несчастных случаев со смертельным исходом от поражения человека током в Австрии до и после введения закона об использовании УЗО (диаграмма динамики) .

4)По графику найдите:hello_html_m63b1a32.png

а)Какова область определения функции?

б)Назовите множество значений функции.

в)Назовите нули функции.

г) Назовите точки максимумов функции.

д)Назовите точки минимумов функции.

Ответ:

а) ,б) ,в) – 4, - 2,0,2,4

г) – 3 ;1, д) – 1 ;3

5) По графику выполните задание:

hello_html_48efe2fd.png

hello_html_c75446b.pnghello_html_m72dfc30b.pnghello_html_2cc50b8.png


2)Решить задание:hello_html_142e8802.png

  1. По графику функции найдите:

а)Какова область определения функции?

б)Назовите множество значений функции.

в)Назовите нули функции.

г) Назовите точки максимумов функции.

д)Назовите точки минимумов функции.

  1. Функция задана формулой . Найдите значение , при котором () =0.

  2. Определите при каких значениях существует функция .

  3. Постройте график квадратичной функции и запишите ее свойства (область определения функции, область значений функции, нули функции, промежутки знакопостоянства, промежутки монотонности):

  1. Определите при каких значениях существует функция .hello_html_m18d33162.png

  2. По графику функции найдите:

а) множество значений функции;

б) значение аргумента при у (– 3; 2];

в) промежутки знакопостоянства функции;

г) точки экстремума функции.

  1. По графику выполните задание:

hello_html_m3575ae9b.pnghello_html_m5d77f20a.png

hello_html_m60d1b10c.pnghello_html_3ec17e75.png

  1. Найдите область значения функции .

  2. Функция задана формулой . Найдите (-5).

  3. Функция задана формулой . Найдите (-3).

  4. Функция задана формулой . Найдите значение , при котором () =0.

  5. Для каждой функции, заданной формулой, укажите график.

1) у = х – 1 2) у = – х + 1 3) у = х2 – 1

hello_html_m7e6c4af8.gifhello_html_6cdb33ee.gifhello_html_65e33a5c.gif

а) б) в)

hello_html_745a4c22.gif

  1. На рисунке изображен график функции у = х2 + х – 6. Используя график, решите неравенство х2 + х.

  2. По графику функции у=–0,5х–2 найдите:

а) значение функции, если х=10; х=–12;

б) значение аргумента, если у=4; у=–5.

hello_html_m772b769e.png

  1. Постройте график функции у=2х+3

  2. Постройте график функции:

.

  1. Постройте график функции и запишите ее свойства (область определения, область значений, нули функции, промежутки знакопостоянства, промежутки монотонности):

hello_html_6df4ab9c.png

  1. По графику функции у = найдите:

а) значение у, если х=10; х=–8;

б) значение х, если у=11; у=–7.

  1. Постройте график функции у =

  2. По графику функции у = найдите:hello_html_404ccfeb.gif

а) ;

б) значение аргумента, если у = 3; у = 1,5.

  1. Проходит ли график функции у = через точки А(13; 196 ); В(7; 49); С(–10; 100).

  2. С помощью графика функции у = сравните числа: а) и ; б) и ..

  3. С помощью графика определите, сколько решений имеет система уравнений: hello_html_mbde74e8.png

  4. Постройте график функции у=–х2 + 2х – 1

  5. На рисунке изображены графики функций y = f(x) и y = g(x), заданных на промежутке [-9; 8]. Укажите те значения х, при которых выполняется неравенство f(x) < g(x).

Инструкционная карта

ПР № 19 «Построение графиков по свойствам функций».

Задание:

1)Опорный конспект.

Переменная величина y называется функцией переменной величины x, если каждому значению x соответствует определенное значение y.

Множество всех тех значений, которые принимает аргумент x функции y = f (x) , называется областью определения этой функции.

Множество всех тех значений, которые принимает сама функция y = f (x) , называется областью значений (изменения) этой функции.

Функция y = f (x)   называется четной, если при всех значений x из области определения этой функции f (- x) = f (x).

Функция y = f (x)   называется нечетной, если при всех значений x из области определения этой функции f (- x) = - f (x).

Функция y = f (x)   называется возрастающей (убывающей)  на данном промежутке, если при произвольных двух различных значениях аргумента, из данного промежутка, большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции.

Функция y = f (x)   называется периодической, с периодом T, где T ≠ 0, если значение функции не изменяется при прибавлении числа T к любому допустимому значению аргумента:

 f ( x +T) = f (x).

Функция y = f (x)   называется ограниченной, если можно указать такое положительное число M, что hello_html_m66ebaed3.gifдля всех значений x из области определения функции. Если же точка M не существует, то функция называется неограниченной.

Графиком функции y = f (x)   называется множество всех точек плоскости,

координаты которых (x, f (x)). Функцию вида y = ax2 + bx + c называют квадратичной. Графиком квадратичной функции является кривая, называемая параболой.

Точку с координатами (- b/2a, - (b2 – 4ac) / 4a) называют вершиной параболы.

Соответствие между элементами двух множеств X и Y, при котором каждому элементу множества X сопоставляется не более одного элемента Y, называется функцией.

Отсюда следует, что понятие функции имеет три главных компонента:

множество X (которое называется областью определения функции);

множество Y (которое называется областью значений функции);

закон соответствия (который иногда называется функциональной зависимостью).

При этом закон соответствия может быть задан любым способом: таблицей, графиком, формулой или как-то иначе, например, при помощи словесного описания.

Если функцию задают формулой, то при этом фактически указывают область определения функции и закон соответствия (область значений функции не указывается явно, так как она устанавливается, исходя из данной формулы).

Областью определения функции, заданной явной аналитической формулой, считают множество всех тех значений аргумента, для которых все указанные в формуле операции выполнимы.

Опишем далее способы построения графиков функций.

1 способ «по точкам». Вытекает из определения графика функции. Он является длинным и недостаточно надежным. Применяется в школьном курсе математики при первоначальном знакомстве с простейшими функциями.

2 способ «путем сдвига графиков основных функций или сдвига осей координат». Чтобы построить график функции y = f (x)  + c можно или график функции y = f (x)   сдвинуть вдоль оси 0y на c единиц в сторону, совпадающую со знаком c , или перенести параллельно ось 0y в сторону, противоположную знаку c.

Чтобы построить график функции y = f (x + b) , можно или график функции y = f (x)   вдоль оси 0x на b единиц в сторону, противоположную знаку b, или перенести параллельно ось 0y в сторону, совпадающую со знаком b.

3 способ, «путем симметричного отображения относительно осей координат». Чтобы построить график функции y = - f (x)   , можно построить изображение, симметричное графику функции y = f (x)   относительно оси абсцисс.

Чтобы построить график функции y = f ( - x) , можно построить изображение, симметричное графику функции y = f (x)   относительно оси ординат.

4 способ, «путем деформирования графиков основных функций». Чтобы построить график функции y =a f (x)   при a > 0, можно график исходной функции растянуть (сжать) вдоль оси ординат, если a > 1 (0 < a < 1).

Чтобы построить график функции y = f (bx)    при b > 0, можно график исходной функции растянуть (сжать) вдоль оси абсцисс, если b > 1 (0 < b < 1).

5 способ. «Способы построения графиков функций, аналитическое выражение которых содержит знак абсолютной величины».

  1. Функция четная. Чтобы построить ее график, достаточно построить для всех неотрицательных значении аргумента график функции y = f (x), а затем достроить его левую часть, симметричную правой относительно оси ординат.

  2. Рассмотри далее, как строить функцию. Можно данную функцию рассматривать как совокупность двух функций:  .

  3. Чтобы построить график функции, достаточно построить график функции y = f (x)  и ту часть графика, которая расположена в нижней полуплоскости, симметрично отразить относительно оси абсцисс.

  4. Вспомним, как строится функция.

Функция  четная. Построить для всех неотрицательных значений аргумента график функции y = f (x)   , затем его симметрично отразить относительно оси ординат, и, наконец, ту часть полученного графика, которая расположена в нижней полуплоскости, симметрично отразить относительно оси абсцисс.

6 способ. «Кусочно-линейная функция».

Графиком кусочно-линейной функции является ломаная линия. Для построения графика находят уравнения звеньев ломаной.

Пример 1. Построить график функции hello_html_m13626efb.png 

Решение:

Дана функция hello_html_m13626efb.png. Преобразуем hello_html_m331da3eb.png

  1. Область определения: hello_html_5b28aadc.gif

  2. Область значений: hello_html_m64d87c78.gif

  3. Четность, нечетность: и ни четная, ни нечетная hello_html_m493e4791.gif

  4. Монотонность: убывает во всей области определения hello_html_m247f5f00.gif.

  5. Пересечение с осями 0x и 0yhello_html_m6dc57d6.gif

  6. Промежутки знакопостоянства:

hello_html_m3b988a6f.gif,hello_html_509010ce.gif.hello_html_m64191655.png

  1. Поведение функции вблизи точек разрыва и при hello_html_m263828a.gif:

hello_html_m64b6c4e7.gif

По результатам решения строим график.

Комментарий. При построении графика функции следует найти точки, в которых он пересекает оси координат, а также выяснить поведение функции при x, стремящемся к hello_html_m4087d48.gif в случае, когда ее область определения не ограничена. Необходимо также исследовать поведение функции вблизи тех точек, в которых она не определена.hello_html_m79ff3a83.png

Пример 2. Построить графики следующих функций: .

Решение:

  1. Рассмотрим функцию. Она определена на всей оси 0x, четная. Ее график состоит из двух лучей, выходящих из начала координат и направленных по биссектрисам I и II координатных углов.hello_html_m683ac13a.png

  2. Обратимся к функции hello_html_96be002.gif. Она определена на всей оси 0x, четная. На рисунке приведен ее график, причем он построен из двух половинок y = 2x , при x ≥ 0 и y = 2-x , при x < 0:


  1. Функция  определена на всей оси 0x, они четная: hello_html_61e1f09b.png


Поскольку знаменатель дроби 1 + x2  ≥ 1 при любом x, то 0 < y ≤ 1. В точке x = 0 функция достигает своегоhello_html_2197d339.gif наибольшего значения. При неограниченном возрастании x величина y становится сколь угодно близкой к нулю (стремится к нулю).

Пример 3.Построить график функции hello_html_4124e417.gif на основании результатов исследования функции.

Решение:

Для построения графика функции исследуем ее, придерживаясь общей схемы исследования.

  1. Нахождение области определения:

hello_html_m40b31e73.gif.

  1. Определение четности или нечетности:

hello_html_m6a4e5b1f.gif. Функция hello_html_4124e417.gif — четная.

Дальнейшее исследование будем проводить для hello_html_m4066d436.gif.

  1. Область изменения функции.

Если x = 1, то y = 0. Если hello_html_6087da64.gif. Следовательно, hello_html_402daa4e.gif.

hello_html_m2a046132.gif

  1. Пересечение с координатными осями.

Если . Пересечений с осью 0y нет, т.к. x = 0 не входит в область определения функции.

  1. Выделение промежутков монотонности.

Для x1 > x2  ≥ 1 рассмотрим разность:

hello_html_62b3d6c1.gif.

При возрастании значений x от 1 до ∞ значения y возрастают.hello_html_m7fc1e073.gif

  1. Нахождение корней функции и промежутков знакопостоянства.

Если hello_html_191efdd0.gif при x = 1, hello_html_m77f109f8.gif при всех hello_html_156ca2f3.gif.

По результатам исследований строим график функции hello_html_4124e417.gif

Пример 4.Примеры функций.

hello_html_587b5025.pnghello_html_m7e89d1ab.jpg









2)Решить задание:

  1. С помощью графиков определите, сколько решений имеет система уравнений:

  2. Постройте график функции у = х2 + х – 6.

Используя график, решите неравенство х2 + х – 6 < 0.

  1. Постройте график функции у= 2х2 найдите:

а) значение функции, если х=10; х=–12;hello_html_42f57f2d.png

б) значение аргумента, если у=4; у=–5.

  1. Постройте график у = найдите:

а) значение y, если х=10; х=–8; б) значение x, если у=11;у=–7.

  1. По графику функции у=0,5х+3 найдите:

а) значение функции, если х=10; х=–12;

б) значение аргумента, если у=4; у=–5.

  1. Постройте график функции у=–2х

  2. Решите графически систему уравнений:

  1. Постройте график функции у= 0,5х2 найдите:а) значение функции, если х=10; х=–12;

б) значение аргумента, если у=4; у=–5.

  1. Постройте график функции:

.

  1. Постройте график функции и запишите ее свойства (область определения, область значений, нули функции, промежутки знакопостоянства, промежутки монотонности):



Инструкционная карта

ПР № 20 «Построение графиков периодических функций».

Задание:

1)Перепишите и заполните пропуски:

Пример 1.Определить возрастает или убывает функция: а) y = cos x при ,

б) y = sin x при ,в) у = tg x при .

Решение: а) убывает,…,б) …, возрастает, в) возрастает.

Ответ: а) …, возрастает, б) убывает, …, в) ...

Пример 2.Нацдите х, при котором функция пересекает ось ох: а) y = cos x при ,

б) y = sin x при ,в) у = tg x при .

Решение: а) ,б) ,в) .

Ответ: а) ,б) ,в) .

Пример 3. Определить принимает положительные или отрицательные значения функция:

а) y = cos x при ,б) б) y = sin x при ,в) у = tg x при .

Решение: а) положительные при , отрицательные при ,

б) положительные при , отрицательные при ,

в) положительные при , отрицательные при .

Ответ: а) положительные при , отрицательные при ,

б) положительные при , отрицательные при ,

в) положительные при , отрицательные при .

Пример 4.Построить график функции по таблице:

а) y = 2cos x , б) y = 6sinx .

х


0




у

0

2

0

2

0

х


0




у

6

0

6

6

0


Решение:

а) б)

hello_html_mab2a1ac.jpghello_html_m5dd79f1d.jpg


Пример 5.Сравнить а) и , б) и .

Решение: а) <, (0< < < ),б) >.Ответ: : а) <,б) >.


2)Решить задание ( по примерам):

  1. Определить возрастает или убывает функция: а) y = cos x при ,

б) y = sin x при ,в) у = tg x при.

  1. Нацдите х, при котором функция пересекает ось ох: а) y = cos x при ,

б) y = sin x при,в) у = tg x при .

  1. Определить принимает положительные или отрицательные значения функция:

а) y = cos x при ,б) б) y = sin x при ,в) у = tg x при.

  1. Построить график функции по таблице:

а) y = 6cos x .

x


0




y

0

6

0

6

0


б) y = 4sinx .

x

0





y

0

4

0

4

0


  1. Сравнить а) и , б) и .

3)Решить задание :

  1. Построить график функции y = ctg x ; запишите свойства этой функции, используя свойства функции y = tg x, и то что эти функции взаимо обратны.

  2. Сравнить числа: а) и, б) tg 2,3 и tg 3, в) и, г) tg 1 и tg 1,5.

  3. Построить график функции по таблице: y = sin 4x .


x

0





y

0

1

0

1

0


  1. Построить график функции по таблице: y = cos 4x.


x

0





y

1

0

1

0

1


  1. Построить график функции по таблице: y = tg 2x .


x

0





y

0

1


1

0


  1. Построить график функции по таблице: y = сtg 2x .


x







y

0

1

0

1

1

0


  1. Построить график функции:

а) y = sin 2x , б) y = 2sin x , в) y = cos 2x , г) y = 5sin x , д) y = 4cos x,е) y = 2сtg x .

  1. Построить график функции:

а) y = sin 4x, б) y = cos 4x, в) y = tg 2x, г) y = 2sin x, д) y = 2cos x, е) y = 2tg x.


Инструкционная карта

ПР № 21 «Построение графиков обратных функций».

Задание:

1)А)Опорный конспект.

Определение обратной функции.

Пусть функция hello_html_m94574d3.gif строго монотонная (возрастающая или убывающая) и непрерывная на области определения hello_html_m5c67524f.gif, область значений этой функции hello_html_m1ceea025.gif, тогда на интервале hello_html_m4d9ff88d.gif определена непрерывная строго монотонная функция hello_html_6b07b91.gif с областью значений hello_html_m2f63b715.gif, которая является обратной дляhello_html_m94574d3.gif.

Другими словами, об обратной функции hello_html_6b07b91.gif для функции hello_html_m94574d3.gif на конкретном промежутке имеет смысл говорить, если на этом интервале hello_html_m94574d3.gif либо возрастает, либо убывает.

Функции f и g называют взаимно обратными.

Пример1. Найти функцию обратную для hello_html_2dd2d5b0.gif.

Решение.

Областью определения и областью значений этой функции является все множество действительных чисел. Выразим x через y (другими словами, решим уравнение hello_html_2dd2d5b0.gif относительно x ).

hello_html_m6133d6d7.gif - это и есть обратная функция, правда здесь y – аргумент, а x – функция этого аргумента. Чтобы не нарушать привычки в обозначениях (это не имеет принципиального значения), переставив буквы x и y , будем писать hello_html_10fbd097.gif.hello_html_4ce77a33.gif

Таким образом, hello_html_2dd2d5b0.gif и hello_html_10fbd097.gif - взаимно обратные функции.

Приведем графическую иллюстрацию взаимно обратных линейных функций.

Очевидно, что графики симметричны относительно прямой y=x (биссектрисы первого и третьего квадрантов).

Пример2. Найти функцию обратную для hello_html_38039a0f.gif.

Решение.

Областью определения этой функции является все множество действительных чисел, областью значений является интервал hello_html_4027ae8.gif. Выразим x через y (другими словами, решим уравнение hello_html_38039a0f.gif относительно x). hello_html_m3d98c9db.gif - это и есть обратная функция. Переставив буквы x и y , имеем hello_html_5b975f78.gif.hello_html_m61499e94.png

Таким образом, hello_html_38039a0f.gif и hello_html_5b975f78.gif - показательная и логарифмическая функции есть взаимно обратные функции на области определения.

График взаимно обратных показательной и логарифмической функций.
Перечислим свойства взаимно обратных функций hello_html_m94574d3.gif и hello_html_6b07b91.gif.

  • hello_html_m1bccfa33.gif и hello_html_m57c27ae5.gif.

  • Из первого свойства видно, что область определения функции hello_html_m94574d3.gifсовпадает с областью значений функции hello_html_6b07b91.gif и наоборот.

  • Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой y=x.

  • Если hello_html_m94574d3.gif возрастает, то и hello_html_6b07b91.gif возрастает, если hello_html_m94574d3.gif убывает, то и hello_html_6b07b91.gif убывает.

Примеры нахождения взаимнообратных функций.

1)Для степенной функции hello_html_m3aecfc2f.gif при hello_html_m3f0c2e4.gif обратной является также степенная функция hello_html_2c09c577.gif Если заменить буквы, то получим пару взаимно обратных функций hello_html_m3aecfc2f.gif и hello_html_2c09c577.gif

Графики для положительных а и отрицательных а.
hello_html_2cbbb011.gif

2) Взаимно обратные показательная и логарифмическая функции hello_html_m4ab91685.gif и hello_html_2adc860c.gif, графики.

Подразумеваем, что а положительное и не равное единице число.

Графики для hello_html_m10ba216.gif и для hello_html_6b08bef4.gif
hello_html_3ffd9e74.gif

3) Взаимно обратные тригонометрические и обратные тригонометрические функции.

а)График главной ветви синуса и арксинуса (светлая область).
hello_html_m1494567d.gif hello_html_47303997.pngy = arcsin x


б)График главной ветви косинуса и арккосинуса (светлая область).
hello_html_m21877848.gif hello_html_m5cdd44d0.png y = arccos x


в) График главной ветви тангенса и арктангенса (светлая область).
hello_html_m4f9321da.gif hello_html_m50d8df33.pngy = arctg x


г) График главной ветви котангенса и арккотангенса (светлая область).
hello_html_6b553bd4.gif hello_html_67f26bab.png y=arcctgx

Если Вам потребуются обратные функции для ветвей тригонометрических функций, отличных от главных, то соответствующую обратную тригонометрическую функцию нужно будет сдвинуть вдоль оси ординат на необходимое количество периодов.hello_html_m27c17baf.gif

Например, если Вам потребуется обратная функция для ветви тангенса на промежутке hello_html_m9b7177e.gif (эта ветвь получается из главной ветви сдвигом на величину hello_html_7d78f2fc.gifвдоль оси ох ), то ей будет являться ветвь арктангенса, сдвинутая вдоль оси oy на hello_html_7d78f2fc.gif.

Б) Построить таблицы:

Табличные значения обратных тригонометрических функций.

hello_html_4c5b70ac.jpg

hello_html_m6baf672f.jpg

В) Преобразование выражений.

(Перепишите и заполните пропуски)










2)Решить задание ( по примерам):



hello_html_m46bcf841.gif

hello_html_m3156b9af.gif




3)Решить задание :

В)1. Найдите значение выражения: а) arcsin1; б) arccos; в) arctg(); г)arcctg0.

2. Найдите значение выражения: а) arcsin; б) arccos0; в) arctg; г) arcctg.

3 .Выразите значения данных функций через значения функции у=arcsinx:

а) arccos; б) arctg (); в) arcctg 2.

4.Вычислите значения: a) cos; б)sin; в) sin

5. Упростите выражение: а) arctg+ arctg; б) 3arcsin+ arcsin.

6. Упростите выражение: а) arccos б) - arcsin;

7. Найдите значение выражения: arcctg(ctg(hello_html_24574eef.gif3)).

8. Найдите значение выражения: arcsin(sin(-6)).

9. Докажите справедливость раиенства: tg(2arccos hello_html_24574eef.gif arcsin) = .

10. Докажите справедливость раиенства: tg

11. Решите уравнение: а)arccos x =.б) arcsin x = 2arctg; в)arctg(x-1)+ = 3arctg(x+1); г) arcsin(xhello_html_24574eef.gifxhello_html_24574eef.gif2) = 0;

12. Решите уравнение: а) arcsin x =; б) arcsin x = arcctg x; в) arccos(x+1) = arcctg x;

г) 4arccos xhello_html_24574eef.gif4arccos x hello_html_24574eef.gif 4arcsinx+=0;д) arcsin(x +1) + arcos2x =0;

Инструкционная карта

ПР № 22 «Построение графиков функций с помощью преобразований».

Задание:

1)Опорный конспект.

Преобразования графиков функций — это линейные преобразования функции y = f(x) или её аргумента x к виду y = af(kx + b) + m, а также преобразование с использованием модуля. Зная, как строить графики функции y = f(x), где y = kx + b, y = ax2, y = xn , y=k/x, 

y = sin x, y = cosx, y = tgx, y = ctgx, y=ax,y=logax можно построить график функции y = af(kx + b) + m.


Общий вид функции

Преобразования

y = f(x - b)

Параллельный перенос графика вдоль оси абсцисс на | b | единиц

  • вправо, если b > 0;

  • влево, если b < 0.

y = f(x + b)

  • влево, если b > 0;

  • вправо, если b < 0.

y = f(x) + m

Параллельный перенос графика вдоль оси ординат на | m | единиц

  • вверх, если m > 0,

  • вниз, если m < 0.


Отражение графика

y = f( - x)

Симметричное отражение графика относительно оси ординат.

y = - f(x)

Симметричное отражение графика относительно оси абсцисс.


Сжатие и растяжение графика

y = f(kx)

  • При k > 1 — сжатие графика к оси ординат в k раз,

  • при 0 < k < 1 — растяжение графика от оси ординат в k раз.

y = kf(x)

  • При k > 1 — растяжение графика от оси абсцисс в k раз,

  • при 0 < k < 1 — cжатие графика к оси абсцисс в k раз.


Преобразования графика с модулем

y = | f(x) |

  • При f(x) > 0 — график остаётся без изменений,

  • при f(x) < 0 — график симметрично отражается относительно оси абсцисс.

y = f( | x | )

  • При x≥0— график остаётся без изменений,

  • при x < 0 — график симметрично отражается относительно оси ординат.


hello_html_m1e9c802a.gif

Примеры построения функций.



hello_html_mf8eb205.pnghello_html_4df25cf6.png

hello_html_500049aa.pnghello_html_1aa59faf.png

hello_html_m623ad66f.pnghello_html_m6eb3bff8.png

hello_html_3a70f67b.pnghello_html_m1ba2c529.png

2)Решить задание:

1.

hello_html_60058b54.png

2.

hello_html_m5af30e0a.png

3.

hello_html_m18f76492.png

4. hello_html_m52a0ab8f.png

5. hello_html_m52a0ab8f.png

6. hello_html_m52a0ab8f.png

7.

hello_html_c3deb3c.png

8. Построить графики функций:

hello_html_m25e403ff.png

9. Построить графики функций:1) у = 1/2 sin (3x) – 2, 2) y = 2 3x+1 – 4,

3) y = 2 (x – 1)2 – 3, 4) y = –3 log2(x + 1), .

10.

hello_html_m749d1356.png

Инструкционная карта

ПР № 23 «Решение уравнений с помощью графиков».

Задание:

1)Опорный конспект.

Графиком называется множество точек координатной плоскости, у которых значения x и y связаны некоторой зависимостью и каждому значению x соответствует единственное значение y.

Графический способ - один из самых удобных и наглядных способов представления и анализа информации.

На практике довольно часто оказывается полезным графический метод решения уравнений. Он заключается в следующем: для решения уравнений f(x)=0 строят график функции y=f(x) и находят абсциссы точек пересечения графика с осью Оx: эти абсциссы и являются корнями уравнения. Алгоритм решения уравнений графическим способом

Чтобы решить графически уравнение вида f(х) = g(х), нужно:

1.Построить в одной координатной плоскости графики функции:

у = f(х) и у = g(х).

2. Найти точки пересечения этих графиков.

3. Указать абсциссу каждой из этих пересечения.

4. Записать ответ.

Довольно просто решать графически систему уравнений, так как каждое уравнение системы на координатной плоскости представляет какую- то линию.

Построив графики этих уравнений и найдя координаты точек их пересечения (если они существуют), мы получим искомое решение.

Графическое решение неравенств, сводится к отысканию таких точек x, при которых один график лежит выше или ниже другого.

Примеры:

1. Решите уравнение



2. Решите уравнение





3. Решить уравнение hello_html_m49d202a5.gifhello_html_663ba92f.png

Решение: Построим графики функций hello_html_598b2242.gif и y = x


Графики функций не пересекаются, и, значит, уравнение не имеет корней (см. рисунок).

Ответ: корней нет.

4.Найти значение выражения хhello_html_7b9d0882.gif+ уhello_html_7b9d0882.gif,если (х;у) является решением системы уравнений. hello_html_m7beea7c6.gifhello_html_m4aa16645.jpg

Решение:

hello_html_6938f234.gifhello_html_3fee811a.gif-параллельный перенос на 1 единицу влево.

hello_html_3133347a.gif - параллельный перенос на 2 единицы влево.

х= - 1, у=1

х+ у=0.


Ответ: 0.

5. Решите неравенство hello_html_m6d811b21.gif>12 - 1,5х. №6. Решите неравенство hello_html_m342748d5.gif. Oтвет: х>0.

Ответ: х>2. hello_html_m34a0a2e3.jpg

hello_html_m62d29737.jpg

















7. Решить уравнение  sinx + cosx=1. Построим графики функций y=sinx u y=1-cosx.(рисунок 5) Из графика видно, что уравнение имеет 2 решения: х=2πп,где пЄZ и х=π/2+2πk,где kЄZ.



8.Решить уравнение: 3x = (х-1) 2 + 3hello_html_6222e497.jpg

Решение: применяем функциональный метод решения уравнений:

hello_html_78cdd215.gif

т.к. данная система имеет единственное решение, то методом подбора находим х=1hello_html_1db23044.jpg

Ответ: 1.


9.Решить неравенство: сos x hello_html_m62c2f6f2.gif1 + 3x

Решение:



hello_html_58548c10.gif

Ответ: (hello_html_m293ab4b8.gif ; hello_html_7ea8f9fd.gif).hello_html_m5828edc.png

10. Решить уравнение hello_html_m6e244885.png

В нашем случае функция hello_html_m81b4bc5.pngвозрастает при х>0, а функция y = 3 – x убывает при всех значениях х, в том числе и при х>0, значит, уравнение hello_html_m3f92800e.pngимеет не более одного корня. Заметим, что при х = 2 уравнение обращается в верное равенство, так как hello_html_m47d6d725.png.

Ответ: 2 .

2)Решить задание:

1)Есть ли корень у уравнения и если есть, то положительный он или отрицательный?

а) hello_html_2e3d017c.gif; б) hello_html_m152ef3cd.gif, в) 6х =1/6, г) hello_html_71df238a.gif.hello_html_m1b1b0d93.pnghello_html_m2db28fe1.pnghello_html_66f33c29.png

hello_html_5dceb135.png

2) Решить графическим методом уравнение  .

3) Решите графическим методом уравнения: hello_html_m209c52f.gif

а) б).

4)На рисунке изображен график функции

y=f(x). Найдите количество целых корней уравнения f(x)= 0.

1) 1 2) 6 3) 7 4) 8

5) На каком из рисунков изображен график функции ?

1) у 2) у 3) у 4) у



1 1 1



6) График какой функции изображен на рисунке?

1) у = 2х-1,5; 2) у = 2х – 2;

3) у = 2х – 3; 4) у = 2 – 2.

7)График какой функции изображен на рисунке?

hello_html_m352f9896.gif





1) у = sinx; 2) ; 3) ; 4) .

8) На рисунке изображен график функций y

y = f (x) и y = g (x), заданный на промежутке

[-5;6]. Укажите те значения х, для которых

выполняется неравенство g (x) f (x) 1


1) [-5; 0] 2) [-5; 2]

0 1 x

3) [-2; 2] 4) [2; 6]


9) На рисунке изображен график функции

y=f(x). Найдите количество целых корней уравнения f(x)= 0.hello_html_3b033243.gif

1) 3 2) 4 3) 2 4) 1


10) На рисунке изображен график функции

y=f(x). Найдите количество целых корней уравнения f(x)+2= 0.


1) 3 2) 5 3) 4 4) 1

hello_html_5555b426.gif

Инструкционная карта

ПР № 24 «Решение иррациональных уравнений».

Задание:

1) Перепишите и заполните пропуски:
Пример 1. Решить уравнениеhello_html_m31703e1.gif Решение: Уединим радикал hello_html_727bbaac.gif Это уравнение равносильно системе hello_html_mbbe3903.gif Решим уравнение (1): hello_html_m2e992f18.gif hello_html_m562ce331.gif hello_html_m11152785.gif hello_html_fa2cdec.gif х = … Найденное значение hello_html_m42749eb7.gif удовлетворяет условиям (2) и (3).

Ответ: –1. Пример 2. а) Найдите корень уравнения = 3 . Решение: Возведем в квадрат правую и левую части уравнения: )2 = 32, 15 – 2х = 9, –2х = 9 – 15, –2х = – 6, х = ... Сделаем проверку. Для этого подставим число 3 в исходное уравнение: = 3, 3 = 3 – верно.

Ответ: 3.

б) Решить уравнение = .

Решение: = => ˂=> => => х = ...

Ответ: 1. Пример 3. Решить уравнение = х -7 .

Решение: = х -7 => => => => => х = ...

Ответ: 14.

Пример 4. Решите уравнение   = .

Решение:  = => 7 х + х 2 2 = 2х 5 =>

5 – х = => 25 – 10х + х2 = х2 + 9х – 14 => 2 19х + 39 = 0,

D = (– 19)2 42 39= 361 – 312 = …, х1= (19 + 7) : 4 = …, х2 = (19 – 7) : 4 = …,

Проверка:  а)  х1= 6,5,   = ,

  = –  неверное равенство.

б) х2 = 3,   – = ,   = , –  верное равенство.

Ответ: 3.

Пример 5. Решить уравнение hello_html_m1160f3de.gif

Решение: Возводим в куб обе части уравнения hello_html_598c15c7.gif получим hello_html_m497b4a68.gif Учитывая, что выражение в скобках равно 1 (см. условие), получаем hello_html_625fcde.gif hello_html_52925630.gif hello_html_mdabf98.gif Возводим в куб: hello_html_30511dcf.gif hello_html_5282e7df.gif hello_html_33e13c73.gif Проверкой убеждаемся, что hello_html_m19405068.gif и hello_html_a6221c5.gif корни уравнения.

Ответ: 80, – 109.






2)Решить задание ( по примерам):

Решить уравнения:

  1. а) . б) .

  2. .

3) Решить задание:

  1. Решить уравнение:.

  2. Решить уравнение:.

  3. Решить уравнение:.

  4. Решить уравнение:.

  5. Решить уравнение: .

  6. Решить уравнение:3.

  7. Решить уравнение: .

  8. Решить уравнение:.

  9. Решить уравнение:.

  10. Решить уравнение:.

  11. Найдите корень уравнения:

  12. Найдите корень уравнения:

  13. Найдите корень уравнения:

Если уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них.

  1. Найдите корень уравнения:

  2. Найдите корень уравнения:

  3. Решить уравнение:

  4. Решить уравнение:

  5. Решить уравнение:

  6. Решить уравнение:

  7. Решить уравнение:

  8. Решить уравнение:

  9. Решить уравнение:

  10. Решить уравнение:

  11. Решить уравнение:

  12. Решить уравнение:


Инструкционная карта

ПР № 25 «Решение показательных уравнений».

Задание:

1) Перепишите и заполните пропуски:
Пример 1. а)Найдите корень уравнения .

Решение: Чтобы решить это уравнение, вспомним свойства степени и приведем правую и левую части уравнения к степени с основанием 5: ,

Если степени с равными основаниями равны, то равны их показатели. Приравняем показатели степеней: х – 7 = - 3, х = 7 – 3, х = ...

Ответ: 4 .

б)Найдите корень уравнения .

Решение: Представим правую и левую части уравнения в виде степени с основанием ,

Приравняем показатели степеней: – 3 (– 3+ х) = 9, 9 – 3х = …, – 3х = 0, х = ...

Ответ: 0.

Пример 2. Решите уравнение.

Разделим обе части уравнения на : .

Пустьm,m > 0 , тогда 2m2 – 3m – 5 = 0, D = 9 – 42(– 5) = 9 + 40 = …, m1 = (3 + 7) : 4 = …,

m2 = (3 – 7) : 4 = – 4 : 4 = …, – не удовл. условию m > 0 .
Если m = 2,5 , то
Ответ:  – 1.

Пример 3. Решите уравнение 49x 8∙7x + 7 = 0.

Решение: Обозначим получим уравнение относительно у: у2 – 8у + 7 = 0,

D = (– 8)2 41 7= 64 – 28 = …, у1= (8 + 6) : 2 = …, у2 = (8 – 6) : 2 = ... Получим, что и , отсюда х1 = …, х2 = ... Ответ: х1 = 1, х2 = 0.

Пример 4. а)Решить уравнение .
Решение:

Ответ: 3.

б) Решите уравнение 

Решение:

Ответ: 1.

в)Решите уравнение

Решение:

Ответ: 4.

Пример 5. Решите уравнение а) 2х+1 + 2х-1 + 2х = 28, б) 9х – 8∙3х – 9 = 0, в) 8∙4х – 6∙2х + 1 = 0.

Решение:

а) 2х+1 + 2х-1 + 2х = 28, 2х-1 ∙ (22 + 1 + 2) = 28, 2х-1∙7 = 28, 2х-1 = 4, 2х-1 = 22, х – 1 = 2, х = ...

Ответ: 3.

б) 9х – 8∙3х – 9 = 0, (3х)2 – 8∙3х -9 = 0, Обозначим 3х = t, где t >0, тогда t2 – 8t – 9 = 0,

D = (–8)2 41 (–9) = 64 + 36 = …, t 1= (8 + 10) : 2 = …, t 2 = (8 – 10) : 2 = ... . t1 = 9, t2 = – 1, Возвращаемся к замене: 3х = 9, х = …, 3х = – 1, корней нет.

Ответ: 2.

в) 8∙4х – 6∙2х + 1 = 0, 8∙(2х)2 – 6∙2х + 1 = 0, Обозначим 2х = t, где t >0, тогда 8 t2 – 6t + 1 = 0, D = (–6)2 41 8= 36 – 32 = …, t1= (6 + 2) : 16 = …, t2 = (6 – 2) : 16 = ... t1 =, t2 = Возвращаемся к замене: 2х = , х 1= …, 2х = , х 2= ...

Ответ: – 1, – 2.

2)Решить задание ( по примерам):

  1. а) Найдите корень уравнения .б) Найдите корень уравнения: .

  2. Решите уравнение .

  3. Решите уравнение 25x 6∙5x + 5 = 0.

  4. а)Решить уравнение: б)Решите уравнение 

в)Решите уравнение.

  1. Решите уравнение а) 3х+1 + 3х-1 + 3х = 117, б) 16х – 15∙4х – 16 = 0, в) 81х + 6∙9х + 9 = 0.

3)Решить задание :

  1. Решить уравнения: а) , б) в)

  2. Решите уравнение а) 4x 5∙2x + 4 = 0, б) 9x 4∙3x + 3 = 0.

  3. Решите уравнение  

  4. Найдите сумму корней уравнения :.

  5. Если - корень уравнения , то найдите значение выражения .

  6. Найдите произведение корней уравнения .

  7. Решите уравнение .

  8. Решите уравнение .

  9. Решите уравнение

  10. Решите уравнение 4х + 2х – 6 = 0;

  11. Решите уравнение 9х + 3х+1 = 4;

  12. Решите уравнение

  13. Решите уравнение .

  14. Решите уравнение: .

  15. Решите уравнение: 92х+1 – 9 = 72.

  16. Решите уравнение:

  17. Пусть х0 ─ наибольший корень уравнения . Найти 2х0 – 5.

  18. Решите уравнение: 23х+2 + 8х = 0,625.

  19. Пусть х0 ─ наименьший корень уравнения . Найти 3х0 + 2.

  20. Найти сумму корней уравнения: 4х – 40∙2х + 256 = 0.

  21. Решите уравнение:

  22. Решите уравнение :3∙ + 325 ∙ = 0.

  23. Решите уравнения:


  1. Решите уравнения:

  2. Решите уравнение: .

  3. Решите уравнения:


  1. Решите уравнение: .

  2. Решите уравнения:

  3. Найти корень (или сумму корней, если их несколько) уравнения: 7 · 8х+1 + 8х+3 = 71.

  4. Найти корень (или сумму корней, если их несколько) уравнения: 7 = 6 · 7х + 7.

  5. Решите уравнение: .

  6. Решите уравнение: .

Инструкционная карта

ПР № 26 «Решение логарифмических уравнений».

Задание:

1) Перепишите и заполните пропуски:
Пример 1. Решите уравнение Решение: Используем метод - решение логарифмических уравнений заменой.

ОДЗ: х > 0. Введем замену , чтобы записать исходное уравнение в виде стандартного квадратного уравнения. Тогда уравнение примет вид: у2 – 4у + 4 = 0, ( у – 2)2 = 0, у – 2 = 0, у = ... Вернемся к  х : . Тогда по определению логарифма получаем, что х = 32, х = … - уд.ОДЗ.

Ответ: 9.

Пример 2. Решите уравнение:.  

Решение: Вновь начнем решение с определения области допустимых значений уравнения. Она определяется следующей системой неравенств:


Воспользовавшись правилом сложения логарифмов, переходим к равносильному в области допустимых значений уравнению:

Основания логарифмов одинаковы, поэтому в области допустимых значений можно перейти к следующему квадратному уравнению:

(х + 2) (х + 3) = 1 х , х2 + 6х + 5 = 0, D = (6)2 41 5= 36 – 20 = …,

х1= ( 6 4) : 2 = , х2 = ( 4) : 2 = ...  

Первый корень не входит в область допустимых значений уравнения, второй — входит.

Ответ: x = -1.

Пример 3. Решите уравнение:

Решение: Найдем ОДЗ по определению логарифма. ОДЗ:

.

Перепишем исходное уравнение, используя свойства суммы логарифмов и логарифма степени. Получим следующее уравнение:

Приравняем подлогарифмические выражения:

(3х ) (х) = ,

Найдем корни полученного квадратного уравнения:

D = (92)2 41 () = 8464 + 8436 = …,

х1= (92 + 130) : 6 = 222 : 6 = …, х2 = (92 130) : 6 = .

Учитывая ОДЗ, корнем исходного логарифмического уравнения будет только х = ...

Ответ: х = 37.

Пример 4. Решите уравнение:

Решение: В область допустимых значений входят только те x, при которых выражение, находящееся под знаком логарифма, больше нуля. Эти значения определяются следующей системой неравенств:


С учетом того, что получаем промежуток, определяющий область допустимых значений данного логарифмического уравнения:.

На основании теоремы 1, все условия которой здесь выполнены, переходим к следующему равносильному квадратичному уравнению:

  D = (5)2 41 () = 25 + 56 = …, х1= (5 + 9) : 2 = …, х2 = (5 9) : 2 =

В область допустимых значений входит только первый корень. Ответ: x = 7.

Пример 5. Решите уравнение:

Решение: Используем метод - решение логарифмических уравнений, переходя к одному основанию. ОДЗ: 

К логарифму по основанию x (второе слагаемое) вначале применим свойство логарифма степени, а затем по формуле замены основания логарифма приведем его к основанию 2:



Так как  то


Введем замену  тогда уравнение примет вид: у2 – 5у + 4 = 0.

Найдем корни полученного квадратного уравнения:

D = (5)2 41 = 25 = …, y1= (5 + 3) : 2 = …, y2 = (5 3) : 2 = ...

Вернемся к x, используя определения логарифма:

x = x = …, x = , x = …, Оба значения принадлежат ОДЗ.

Ответ: 16 и 2.

Пример 6. Решите уравнение:

Решение: Область допустимых значений уравнения определяется здесь легко: x > 0.

Используем подстановку: Уравнение принимает вид: 3у2 + 5у = 0,

D = (5)2 43 () = 25 + 24 = …, у1= (5 + 7) : 6 = 1/3, у2 = (5 7) : 6 =

Вернемся к x, используя определения логарифма:

x = , x = , x =... Оба ответа входят в область допустимых значений уравнения, поскольку являются положительными числами.

Ответ: и 4.

2)Решить задание ( по примерам):

  1. Решите уравнение

  2. Решите уравнение .

  3. Решите уравнение

  4. Решите уравнение:

  5. Решите уравнение:

  6. Решите уравнение:

3)Решить задание :

  1. Решите уравнение .

  2. Решите уравнение .

  3. Решите уравнение:

  4. Решите уравнение:

  5. Решите уравнение:

  6. Решите уравнение:

  7. Если - корень уравнения , то найдите значение выражения .

  8. Найдите произведение корней уравнения .

  9. Найдите сумму корней уравнения .

  10. Найдите больший корень уравнения .

  11. Решите уравнение:

  12. Решите уравнение:

  13. Решите уравнение:

  14. Решите уравнение:

  15. Найдите сумму корней уравнения .

  16. Найдите сумму корней уравнения .

  17. Найдите произведение корней уравнения .

  18. Если - корень уравнения , то найдите значение выражения .

  19. Решите уравнение: а) ,б).

  20. Решите уравнение: .

  21. Решите уравнение: .

  22. Решите уравнение:

Инструкционная карта

ПР № 27 «Решение уравнений и их систем».

Задание:

1)Перепишите и заполните пропуски:
Пример 1. Решить систему уравнений:  .

Решение: ,

Выразим у через х из (2) -го уравнения системы и подставим это значение в (1) -ое уравнение системы. Решаем (2) -ое уравнение полученной системы: 2х+2x+2=10, применяем формулу: ax+y=ax∙ay.

2x+2x∙22=10, вынесем общий множитель 2х за скобки: 2х · (1+22)=10 или 2х∙5=10, отсюда 2х=2.

2х=21, отсюда х=... Возвращаемся к системе уравнений. у = х + 1 = 1 + 1 = ...

Ответ: (1; 2).

Пример 2. Решить систему уравнений:  .

Решение: Представляем левую и правую части (1) -го уравнения в виде степеней с основанием 2, а правую часть (2) -го уравнения как нулевую степень числа 5. Если равны две степени с одинаковыми основаниями, то равны и показатели этих степеней — приравниваем показатели степеней с основаниями 2 и показатели степеней с основаниями 5. Получившуюся систему линейных уравнений с двумя переменными решаем методом сложения.

,

Находим х = … и это значение подставляем вместо х во второе уравнение системы, находим у.

2(2 + у) = 7, 2 + у = 3,5 ; у = … Ответ: (2; 1,5).

Пример 3. Решить систему уравнений: .

Решение: ,

Сделаем замену , .

Выразим через . Подставим во 2 уравнение. Решим уравнение с переменной .

. По теореме Виета ,


Возвращаемся к х, у. , х = 2, у = 1. Ответ: (2; 1).

Пример 4. Решить систему уравнений:

Решение: ,

Подставим из 2 уравнения у в 1, решим с переменной х.

х· (4х 15) = 4, 4х2 15х 4 = 0. D = 152 4 = 225 64 = .


По свойству логарифмов х > 0, y > 0, поэтому х = 0,25. Найдем у: у = 4 0,25 15 = 1 + 15 = …

Ответ: (0,25;16).

Пример 5. а)Решить систему уравнений:

Решение: ,

Решаем способом сложения: 2 = 10, = 5, х = …, у = х21 = 25 21 = …

Ответ: (25,4).

б) Решить систему уравнений:

Решение: ,

Из 1 уравнения выразим х и подставим во 2: 2х = 5 у, х = 2,5 0,5у,

, , ,

, D = ()2 4 = 9 352 = …


О.Д.З. : , у2 не уд. О.Д.З., поэтому

Ответ: (3;).

2)Решить задание ( по примерам):

  1. Решить систему уравнений:

  2. Решить систему уравнений: 

  3. Решить систему уравнений:

  4. Решить систему уравнений:

  5. а)Решить систему уравнений:

б) Решить систему уравнений:

3)Решить задание:

  1. Найти значение выражения ,если и - решение системы уравнений

а) ,б) в) г) ,д)

  1. Найти значение выражения ,если и - решение системы уравнений

а)б) в) г) ,д)

  1. Решить систему уравнений: 


а) б) в)

г)д)

  1. Решите систему уравнений , решение принадлежит отрезку [0;2].

  2. Решить систему уравнений:

 а)б)

Инструкционная карта

ПР № 28 «Вычисление членов последовательности».

Задание:

1)Опорный конспект.

ЧИСЛОВАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ  функция вида y = f(x), x О N, где N– множество натуральных чисел (или функция натурального аргумента), обозначается y = f(n) или y1, y2,…, yn,…. Значения y1, y2, y3,… называют соответственно первым, вторым, третьим, … членами последовательности.

Например, для функции y = n2 можно записать:

y1 = 12 = 1;

y2 = 22 = 4;

y3 = 32 = 9;…yn = n2;…

Способы задания последовательностей. Последовательности можно задавать различными способами, среди которых особенно важны три: аналитический, описательный и рекуррентный.

1. Последовательность задана аналитически, если задана формула ее n-го члена:

yn = f(n).

Пример. yn = 2n – 1  последовательность нечетных чисел: 1, 3, 5, 7, 9, …

2. Описательный способ задания числовой последовательности состоит в том, что объясняется, из каких элементов строится последовательность.

Пример 1. «Все члены последовательности равны 1». Это значит, речь идет о стационарной последовательности 1, 1, 1, …, 1, ….

Пример 2. «Последовательность состоит из всех простых чисел в порядке возрастания». Таким образом, задана последовательность 2, 3, 5, 7, 11, …. При таком способе задания последовательности в данном примере трудно ответить, чему равен, скажем, 1000-й элемент последовательности.

3. Рекуррентный способ задания последовательности состоит в том, что указывается правило, позволяющее вычислить n-й член последовательности, если известны ее предыдущие члены. Название рекуррентный способ происходит от латинского слова recurrere – возвращаться. Чаще всего в таких случаях указывают формулу, позволяющую выразить n-й член последовательности через предыдущие, и задают 1–2 начальных члена последовательности.

Пример 1. y1 = 3; yn = yn–1 + 4, если n = 2, 3, 4,….

Здесь y1 = 3; y2 = 3 + 4 = 7; y3 = 7 + 4 = 11; ….

Можно видеть, что полученную в этом примере последовательность может быть задана и аналитически: yn = 4n – 1.

Пример 2. y1 = 1; y2 = 1; yn = yn–2 + yn–1 , если n = 3, 4,….

Здесь: y1 = 1; y2 = 1; y3 = 1 + 1 = 2; y4 = 1 + 2 = 3; y5 = 2 + 3 = 5; y6 = 3 + 5 = 8;

Арифметическая прогрессия.

Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного и того же числа d, называют арифметической прогрессией, а число d – разностью арифметической прогрессии.

Таким образом, арифметическая прогрессия – это числовая последовательность {an}, заданная рекуррентно соотношениями a1 = a, an = an–1 + d (n = 2, 3, 4, …) (a и d – заданные числа).

Пример 1. 1, 3, 5, 7, 9, 11, … – возрастающая арифметическая прогрессия, у которой a1 = 1, d = 2.

Пример 2. 20, 17, 14, 11, 8, 5, 2, –1, –4,… – убывающая арифметическая прогрессия,

у которой a1 = 20, d = –3.

Нетрудно найти явное (формульное) выражение an через n. Величина очередного элемента возрастает на d по сравнению с предыдущим, таким образом, величина n элемента возрастет на величину (n – 1)d по сравнению с первым членом арифметической прогрессии, т.е.

an = a1 + d(n – 1). Это формула n-го члена арифметической прогрессии.

hello_html_m442ca9c.gif. Это формула суммы n членов арифметической прогрессии.

Пример3. При каком значении x числа 3x + 2, 5x – 4 и 11x + 12 образуют конечную арифметическую прогрессию?

Согласно характеристическому свойству, заданные выражения должны удовлетворять соотношению

5x – 4 = ((3x + 2) + (11x + 12))/2.

Решение этого уравнения дает x = –5,5. При этом значении x заданные выражения 3x + 2, 5x – 4 и 11x + 12 принимают, соответственно, значения –14,5, –31,5, –48,5. Это – арифметическая прогрессия, ее разность равна –17.

Геометрическая прогрессия.

Числовую последовательность, все члены которой отличны от нуля и каждый член которой, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением на одно и то же число q, называют геометрической прогрессией, а число q – знаменателем геометрической прогрессии.

Таким образом, геометрическая прогрессия – это числовая последовательность {bn}, заданная рекуррентно соотношениями b1 = b, bn = bn–1 q (n = 2, 3, 4…). (b и q – заданные числа, b ≠ 0, q ≠ 0).

Пример 1. 2, 6, 18, 54, … – возрастающая геометрическая прогрессия b = 2, q = 3.

Пример 2. 2, –2, 2, –2, …  геометрическая прогрессия b = 2, q = –1.

Пример 3. 8, 8, 8, 8, …  геометрическая прогрессия b = 8, q = 1.

Геометрическая прогрессия является возрастающей последовательностью, еслиb1 > 0, q > 1, и убывающей, если b1 > 0, 0 < q < 1.

Одно из очевидных свойств геометрической прогрессии состоит в том, что если последовательность является геометрической прогрессией, то и последовательность квадратов, т.е.

b12, b22, b32, …, bn2,… является геометрической прогрессией, первый член которой равен b12, а знаменатель – q2.

Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид bn = b1qn–1.

Формула суммы первых n членов прогрессии

 hello_html_470610d0.gif, или hello_html_m6e7205ae.gif, hello_html_763ec99f.gif (в случае hello_html_m61e84691.gif, hello_html_1c16e6b4.gif).

Если геометрическая прогрессия бесконечно убывающая (hello_html_m474ab65f.gif), то ее сумма вычисляется по формуле  hello_html_m3403f07c.gif.

Обращение периодической десятичной дроби в обыкновенную. Предположим, мы хотим обратить периодическую десятичную дробь 0,(3) в обыкновенную. Рассмотрим эту десятичную дробь в следующем виде:

hello_html_m3f36da04.gif

Это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, первый член которой равен 3/10, а разность q = 1/10. В соответствии с выше приведенной формулой эта сумма равна:

hello_html_m22101018.gif

Таким образом, 0,(3) = 1/3.

1)

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, т.к Sп=<1.

. . . х-1=3. х=4.

2) 1+2х+4х+…+(2х)+…=3,4-1,2х <0,5

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, т.к <0,5. .

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия (|q|<1). hello_html_m522d392.png.


Пример 1. Найдите сумму всех целых чисел, начиная от 30 и до 80 включительно.

    Решение:

        Сумма всех целых чисел от 30 и до 80 включительно представляет собой сумму членов арифметической прогрессии, где а1 = 30, разность d = 1, а количество членов n = 51. 

        hello_html_m2c236891.png. Ответ: 2805.

Пример 2. Решите уравнение 22∙24∙26∙...∙22n=(0,125)-10 .

    Решение:

        22∙24∙26∙...∙22n=22+4+6+...+2n.  hello_html_m638d9306.png.

        Получили: 22+4+6+...+2n=230 hello_html_3e9ff5b7.png2+4+6+...+2n=30.

        В левой части равенства сумма n членов арифметической прогрессии, где а1 =2, а d = 2. Согласно формуле суммы членов арифметической прогрессии имеем:

        hello_html_m512755f7.png.

        n1 = – 6 не удовлетворяет условию т.к. n отрицательным быть не может.

        n2 =5 удовлетворяет условию. Ответ: n = 5.

Пример 3. В геометрической прогрессии пятый член равен 2, восьмой равен 16. Найти сумму первых десяти членов.

    Решение:Пусть (bn) – геометрическая прогрессия. Известно, что b5 = 2. По формуле n – го члена геометрической прогрессии      b5 = b1 q4 = 2. Аналогично b8 = b1 q7 = 16. Поделив второе равенство на первое, получим q3 = 8, т.е. q = 2. Подставив q = 2 в первое равенство, найдём b1:

        hello_html_6ff45943.png. Согласно формуле hello_html_m65da4e87.pngполучим: hello_html_3f7115ea.png.

Ответ: hello_html_aae12bf.png.

Пример 4. Записать число 0,6222… обыкновенной дробью.

    Решение:

        Запишем число 0,6222…в виде суммы: 0,6222…= 0,6 + 0,02 + 0,002 + 0,0002 + …,

        где 0,02 + 0,002 + 0,0002 + … - сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, которая находится по формуле hello_html_m5ab5ce1b.png, где b1 = 0,02; q = 0,1.

        hello_html_549eecc.png.

Ответ: 28/45 .

2)Решить задание:

  1. Найти произведение третьего и четвёртого членов арифметической прогрессии,

если первый член равен 3, а второй равен – 2.

    2) Между числами – 8,8 и 2 вставьте пять чисел так, чтобы получилась арифметическая прогрессия.

  1. Третий член арифметической прогрессии в три раза меньше шестого, а сумма второго и

пятого равна 16. Определите первый член прогрессии

    4) Найдите знаменатель геометрической прогрессии, если b1=2, b5=162.

    5) В геометрической прогрессии q=0,5, b6=1/32 , найти b1.

    6) Найдите третий член геометрической прогрессии, если её знаменатель равен -2,

а седьмой член 16.

    7) В геометрической прогрессии b1+b2+b3=31, b1+b3=26. Найти b7.

    8) Какое наибольшее число последовательных нечётных чисел, начиная с 1, можно сложить,

чтобы получившаяся сумма осталась меньше 400?

    9) В геометрической прогрессии b2>b1 в два раза, а b=64. Найти b1 .

    10) Найдите сумму первых пяти членов последовательности, общий член которой выражается

формулой hello_html_284c9d.png.

    11) Сумма членов арифметической прогрессии с третьего по одиннадцатый включительно

равна 27. Найти номер члена прогрессии равного 3.

    12) Сумма бесконечной убывающей геометрической прогрессии равна 32, а сумма пяти её

первых членов равна 31. Найдите первый член прогрессии.

    13) Найдите сумму всех чётных натуральных трёхзначных чисел, делящихся на 3.

    14) Вычислить сумму: hello_html_m52b7aa09.png.

    15) Найдите сумму всех положительных членов арифметической прогрессии 10,3; 8,5; ….

    16) В арифметической прогрессии a10=-23 . Найти a3+a17.

    17) В арифметической прогрессии a5+a9=-20. Найти a7.

    18) Произведение девяти первых членов геометрической прогрессии равно hello_html_m6523f58.png.

Какой член геометрической прогрессии можно найти на основании этой информации? Чему он равен?

    19) Решите уравнение hello_html_m14c9512b.png.

    20) Найдите суммуhello_html_m19749d63.png.

    21) Три различных числа a1, a2, a3 в указанном порядке образуют арифметическую прогрессию,

а числа 2a3-a1, a2+a3-a1, a1  в указанном порядке образуют геометрическую прогрессию.

Найти знаменатель геометрической прогрессии.

3)Решить задание:

  1. Пусть – арифметическая прогрессия с разностью d и Sn – сумма n первых членов. Найти:

1. a13, если a5=2; a40=142.

2. a1+a20, если a3+a18=50.

3. n, если a1=3; a2=5; Sn=360.

4. a1 и d, если a17+a20=35; a16a21=150.

5. a1 и d, если Sn=2n2-3n.

6. Сумму всех натуральных трехзначных чисел, не делящихся на 3.

7. Первых 100 натуральных чисел, каждое из которых при делении на 5 дает в остатке 2.

  1. Пусть – геометрическая прогрессия со знаменателем q и Sn – суммой первых n членов. Найти:

8. b6, если b5=36, b7=114.

9. q, если b1=10, b2+b3=60.

10. b13, если b11=25, b15=400.

11. b1 и q, если b1+b2+b3=62, b12+b22+b32=2604.

12. S6, если b1=–2, b6=–486.

13. n, если b1=9, bn=, Sn=25.

14. Какому условию удовлетворяют три числа a1, a2, a3, которые одновременно являются последовательными членами как геометрической, так и арифметической прогрессий?

15. Решить уравнение: .

16. По преданию, индийский шах позволил изобретателю шахматной игры самому назначить себе награду. Изобретатель просил, чтобы ему за первую клетку шахматной доски было дано 1 зерно, за вторую – 2, за третью – 4. В общем случае, за каждую следующую клетку в 2 раза больше, чем за предыдущую. Узнать, сколькими цифрами изображается число зерен, предназначенное изобретателю; найти это число.

17.Три числа образуют геометрическую прогрессию. Если второе число увеличить на 2, то прогрессия станет арифметической, а если после этого последнее число увеличить на 9, то прогрессия станет геометрической. Найти эти числа.

18.Решить уравнение .

19.Найти a1 и d, если a11=6; a16=8,5.

20. Может ли число 75 быть членом геометрической прогрессии , у которой b1=4 и q=?

21.Найти количество всех трехзначных натуральных чисел, делящихся на 7.

22.Доказать, что последовательность с общим членом является арифметической прогрессией.


Инструкционная карта

ПР № 29 «Составление уравнения касательной к графику функции».

Задание:

1)Перепишите и заполните пропуски:

Пример 1. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции y = f(x) в точке с

абсциссой х: а) y(x) = x³, x = 1, б) y(x) = ln x, x = 1, в) y(x) = 3x² 4x, x = 2,

г) y(x) = х3 + 7x² 5x+3, x = 3, д) y(x) = ех, x = ln 7, e) y(x) = 7sinx, x = 0,ж) y(x) = е, x = ln 4.

Решение: угловой коэффициент k равен производной от функции в точке, т.е. k = y (x0) ,

найдем производные и вычислим их в точке x0

a)   бв)  

г)

д) е ln 7= …,е) 7cos x, 7 cos 0 = 7 1 = …,

ж) е3 ln 4 = 343 = 364 = …

Ответ: a)3, б)1, в)8,г) 64,д) 7,е)7,ж) 192.

Пример 2. а) Найти угловой коэффициент k, если α = arctg 6, α = - arctg 8.

б) Найти α,если y(x) = х3, x = 2.

Решение: а) k = tgα = tg k = tgα = tg k = tgα = tg

k = tgα = tg

б)

Ответ: а)1, ,6,- 8, б) arctg 4.

Пример 3. Дана функция y = x3. Составить уравнение касательной к графику этой функции в точке x0 = 2.
Решение: Уравнение касательной: y = f  (x0) · (x − x0) + f(x0). Точка x0 = 2 нам дана, а вот значения f (x0) и f (x0) придется вычислять.

Для начала найдем значение функции. Тут все легко: f (x0) = f (2) = 23 = …;
Теперь найдем производную: f  (x) = (x3) = 3x2;
Подставляем в производную x0 = 2: f   (x0) = f  (2) = 3 · 22 = 34 = …;
Итого получаем: y = 12 · (x − 2) + 8 = 12x − 24 + 8 = 12x − 16. 
Это и есть уравнение касательной.

Ответ: y = 12x − 16. 
Пример 4. Составить уравнение касательной к графику функции f (x) = 2sin x + 5 в точке x0 = π/2.

Решение: f (x0) = f (π/2) = 2sin (π/2) + 5 = 2 + 5 = …; f  (x) = (2sin x + 5) = 2cos x;
f  (x0) = f  (π/2) = 2cos (π/2) = 0;

Уравнение касательной: y = 0 · (x − π/2) + 7  y = ...hello_html_44c9db7b.png

Ответ: y = 7.

Пример 5. Составьте уравнение касательной к графику функции  

в точке M(3; – 2).

Решение: Точка M(3; – 2) является точкой касания, так как

1. a = 3 – абсцисса точки касания.2. f(3) = – 2. 3. f '(x) = x2 – 4, f '(3) = 9 4 = …
y = – 2 + 5(x – 3), y = …x – 17 – уравнение касательной.

Ответ: y = 5x – 17.

Пример 6. Напишите уравнения всех касательных к графику функции y = – x2 – 4x + 2, проходящих через точку M(– 3; 6).

Решение: Точка M(– 3; 6) не является точкой касания, так как f(– 3)  6 (рис. 2).hello_html_m126a8a75.png

1. a – абсцисса точки касания.
2. f(a) = – a
2 – 4a + 2.
3. f '(x) = – 2x – 4, f '(a) = – 2a – 4.
4. y = – a2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – уравнение касательной.

Касательная проходит через точку M(– 3; 6), следовательно, ее координаты удовлетворяют уравнению касательной.

6 = – a2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a),
a
2 + 6a + 8 = 0 , D = 62 41 8 = 36 32 = …,

а1= (6 2) : 2 = 8 : 2 = …, а2 = (6 2) : 2 = 4 : 2 = …,

Если a = – 4, то уравнение касательной имеет вид y = 4x + 18.

Если a = – 2, то уравнение касательной имеет вид y = 6.

Ответ: y = 4x + 18 или y = 6.
Пример 7. Напишите уравнения всех касательных к графику функции y = x3 – 3x2 + 3, параллельных прямой y = 9x + 1.

Решение: 1. a – абсцисса точки касания. 2. f(a) = a3 – 3a2 + 3.3. f '(x) = 3x2 – 6x, f '(a) = 3a2 – 6a.

Но, с другой стороны, f '(a) = 9 (условие параллельности). Значит, надо решить уравнение 3a2 – 6a = 9. 3a2 – 6a 9 = 0, hello_html_5a070ee0.png

D = (6)2 43 () = 36 108 = …, а1= (6 12) : 6 = 18 : 6 = …,

а2 = (6 12) : 6 = 6 : 6 = …,

Его корни a = – 1, a = 3 (рис. 3).

4. 1сл.) a = – 1; f(– 1) = – 1– 3 + 3 = …;  f '(– 1) = 3 + 6 = …;

 y = – 1 + 9(x + 1); y = 9x + 8 – уравнение касательной;

2сл.) a = 3; f(3) = 27–27 + 3 = …; f '(3) = 27 – 18 = …;
y = 3 + 9(x – 3); y = 9x – 24 – уравнение касательной.

Ответ: y = 9x + 8 и y = 9x – 24.

Пример 8. Напишите уравнение касательной к графику функции y = 0,5x2 – 3x + 1, проходящей под углом 45° к прямой y = 0 (рис. 4).hello_html_m32119c54.png

Решение: Из условия '(a) = tg 45°, найдем a:  a – 3 = 1 ,a = 3 + 1 = ...

1. a = 4 – абсцисса точки касания.
2. f(4) = 8 – 12 + 1 = ...
3. f '(4) = 4 – 3 = ...
4. y = – 3 + 1(x – 4). y = x – 7 – уравнение касательной.

Ответ: y = x – 7.

Пример 9. На параболе у = х2 взяты две точки с абсциссами 1 и 3. Через эти точки проведена прямая. В какой точке параболы касательная будет параллельна проведенной прямой?

Решение: у = х2 , (1;1), (3;9). Найдем уравнение прямой .

4х – 4 = у – 1. у = 4х – 3.

Прямые параллельны, если их угловые коэффициенты равны.

- угловой коэффициент касательной в точке с абсциссой х0.

 0 = 4. х0 = ... ,

Ответ: в точке (2;4) касательная параллельна заданной прямой.

Пример 10. При каких b и c прямые y = x и y = – 2x являются касательными к графику

функции y = x2 + bx + c?

Решение: Пусть t – абсцисса точки касания прямой y = x с параболой y = x2 + bx + c;

p – абсцисса точки касания прямой y = – 2x с параболой y = x2 + bx + c.

Тогда уравнение касательной y = x примет вид y = (2t + b)x + c – t2, а уравнение

касательной y = – 2x примет вид y = (2p + b)x + c – p2. Составим и решим систему уравнений:

;


2t = 1,5; t = 0,75;

p = – t = …,

c = = = …,

b = 1 – 2t = 1 – 2 0,75 = 1– 1,5 = …

Ответ: b = – 0,5; c = 0,562 5.

2)Решить задание ( по примерам):

  1. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции y = f(x) в точке с

абсциссой х: а) y(x) = x4, x = 1, б) y(x) = ln x, x = 2, в) y(x) = 3x² - 4x, x = 4,

г) y(x) = х3 + 7x² - 5x+3, x =5, д) y(x) = ех, x = ln 8, e) y(x) = 9sinx, x = 0,ж) y(x) = е, x = ln 6.

  1. а) Найти угловой коэффициент k, если α = arctg 9, α = - arctg 11.

б) Найти α,если y(x) = х3, x = 4.

  1. Дана функция y = x3. Составить уравнение касательной к графику этой функции в точке x0 = 1.

  2. Составить уравнение касательной к графику функции f (x) = 4sin x + 5 в точке x0 = π/2.

  3. Составьте уравнение касательной к графику функции  в точке M(3; – 1).

  4. Напишите уравнения всех касательных к графику функции y = – x2 – 4x + 2, проходящих через точку M(– 3; 9).

  5. Напишите уравнения всех касательных к графику функции y = x3 – 3x2 + 3, параллельных

прямой y = 24x + 1.

  1. Напишите уравнение касательной к графику функции y = 0,5x2 – 5x + 1, проходящей
    под углом 45° к прямой y = 0 .

  2. На параболе у=х2 взяты две точки с абсциссами 1 и 2. Через эти точки проведена прямая.
    В какой точке параболы касательная будет параллельна проведенной прямой?

  3. При каких b и c прямые y = x и y = – 2x являются касательными к графику
    функции y = x2 + 2bx + c?

3)Решить задание:

  1. Напишите уравнения касательных, проведенных к графику функции y = 2x2 – 4x + 3 в точках пересечения графика с прямой y = x + 3.

  2. При каких значениях a касательная, проведенная к графику функции y = x2 – ax в точке графика с абсциссой x0 = 1, проходит через точку M(2; 3)?

  3. Найдите все общие точки графика функции y = 3x – x3 и касательной, проведенной к этому графику через точку P(0; 16).

  4. На кривой y = x2 – x + 1 найдите точку, в которой касательная к графику параллельна
    прямой y – 3x + 1 = 0.

  5. Найдите угол q между касательными к графику функции y = x3 – 4x2 + 3x + 1, проведенными в точках с абсциссами 0 и 1.

  6. Прямая y = 2x + 7 и парабола y = x2 – 1 пересекаются в точках M и N. Найдите точку K пересечения прямых, касающихся параболы в точках M и N.

  7. При каких значениях b касательная, проведенная к графику функции y = bx3 – 2x2 – 4 в точке с абсциссой x0 = 2, проходит через точку M(1; 8)?

  8. Найти угол между касательными к графику функции , проведенными в точках с абсциссами 1 и 2.

  9. Является ли прямая у = х – 1 касательной к кривой у = х3 – 2х + 1?

  10. Найдите уравнение касательной к графику функции  в точке с абсциссой .

  11. К графику функции у = 3(х + 2) проведены две параллельные касательные, одна из которых проходит через точку графика с абсциссой х0 = – 1. Найдите абсциссу точки, в которой

    другая касательная касается графика данной функции.

  12. Напишите уравнение касательной к графику функции f(x) = x2 – 4x + 5, если эта касательная проходит через точку (0; 4) и абсцисса точки касания положительна.

  13. Напишите уравнение касательной к графику функции f(x) = x2 + 3x + 5, если эта касательная проходит через точку (0; 1) и абсцисса точки касания отрицательна.

  14. Найдите уравнение параболы f(x) = ax2 + bx + 1 касающейся прямой у = 7х + 2
    в точке М (1; 5).

  15. К графику функции провести касательную так, чтобы она была параллельна прямой у = 4х – 5.

  16. Из точки (0; 1) провести касательную к графику функции.

  17. Составить уравнение касательной к графику функции  в точке с абсциссой.

  18. Составить уравнение касательной к графику функции  в точке с абсциссой 

  19. Составить уравнение касательной к графику функции
      в точке с абсциссой  .

  20. Составить уравнение касательной к графику функции > 0, отсекающей от осей координат треугольник, площадь которого равна .









Инструкционная карта

ПР № 30 «Вычисление производных элементарных функций».

Задание:

1)Перепишите и заполните пропуски:

Пример 1. Найдите производные функций: а) y = ex x7 ,б) у=3ех+cos2x, в) у = ехsinx,

г) у= ln2x ,д) , е) , ж)

Решение: а) б) в) = ех cosx; г) ,

д)е)ж)

Ответ: а)б) в) = ех cosx; г) ,д)

е)ж)

Пример 2. Вычислите значение производной функции:

а) у= в точке , б) у=ех sinx + x2 в точке ,

в) у = cos2x + 4x в точке ,г) в точке .

Решение: а)


б)

в)

г) Ответ: а)10,5; б)1;в)4; г)2.

Пример 3. Найдите производные функций: а) б)

в) г) д)
Решение: а) у  (x) = (x 2 + sin x) = (x 2) + (sin x) = …x + cos x;
б)
у  (x) = (x 3 · cos x) = (x 3) · cos x + x 3 · (cos x) = …x 2 · cos x + x 3· (− sin x) =

= x 2 · (3cos x  x · sin x),

в) у  (x) = ((x 2 + 7x − 7) · e x ) = (x 2 + 7x − 7) · e x + (x 2 + 7x − 7) · (e x ) = (2x + 7) · e x +

+(x 2 + 7x − 7) · e x = e x · (2x + 7 + x 2 + 7x−7) = (x 2 + …x) · e x = x(x + …) · e x .

г)
д)

По традиции, разложим числитель на множители — это значительно упростит ответ:


Ответ: а) у  (x) = 2x + cos x; б) у  (x) = x 2 · (3cos x  x · sin x), в) у  (x) = x(x + 9) · e x ,

г) д)

Пример 4. Найти производные функций:  f(x) = e 2x + 3g(x) = sin (x 2 + ln x).
Решение: Заметим, что если в функции f(x) вместо выражения 2x + 3 будет просто x, то получится элементарная функция f(x) = e x . Поэтому делаем замену: пусть 2x + 3 = tf(x) = f(t) = e t . Ищем производную сложной функции по формуле:

f  (x) = f  (t) · t  = (e t ) · t  = e t · t . Выполняем обратную замену: t = 2x + 3. Получим:

f  (x) = e t · t  = e 2x + 3 · (2x + 3) = e 2x + 3 · 2 = … · e 2x + 3

Теперь разберемся с функцией g(x). Очевидно, надо заменить x 2 + ln x = t. Имеем:

g  (x) = g  (t) · t  = (sin t) · t  = cos t · t . Обратная замена: t = x 2 + ln x. Тогда:

g  (x) = cos (x 2 + ln x) · (x 2 + ln x) = cos (x 2 + ln x) · (…x + 1/x).

Ответ: f  (x) = 2 · e 2x + 3; g  (x) = (2x + 1/x) · cos (x 2 + ln x).
Пример 5. Найти производную функции :

а)б)
Решение: а)

б)
Ответ: а) б)

2)Решить задание ( по примерам):

  1. Найдите производные функций: а) y = 2ex –3x7 ,б) у=5ех+cos3x, в) у = ехcosx,

г) у= – ln4х, д) , е) , ж)

  1. Вычислите значение производной функции:

а) у= в точке , б) у=2ех sinx +3 x2 в точке ,

в) у = cos2x + 8x в точке ,г) в точке .

  1. Найдите производные функций: а) б)

в) г) д)

  1. Найти производные функций:  f(x) = e 4x + 3; g(x) = sin (2x 2 + ln x).

  2. Найти производные функций : а)б)

3)Решить задание:

  1. Найдите производную функции y = e -x 2x7 , у= 4х3+ е .

  2. Найдите производную функции у = x2 + sinx в точке х0 =.
    Найдите производную функции у = sinх ex – 9x3 в точке xo=0.

  3. Найдите значение производной функции у = 5cos x – 7x в точке хо = 0 .

  4. Вычислите значение производной функции y = ln(2x+11)+ 5x в точке хо= 5.

  5. Найдите производную функции: а) б)

Инструкционная карта

ПР № 31 «Исследование функции с помощью производной».

1)Перепишите и заполните пропуски:

Пример 1. Исследовать и построить график функции:

Решение:

  1. D (f) = R, т.к. f -многочлен.

  2. Выясняем, является ли функция f четной или нечетной. - функция ни четная, ни нечетная.

  3. Функция непериодическая.

  4. Находим точки пересечения графика с осями координат:

а) с осью ОХ: у=0 получаем точки (0;0), (3;0)

б) с осью ОУ: х=0 получаем точки (0;0)

  1. Найдем производную функции:

  2. Найдем критические точки: , т.е. ,х = … или х = ...

Отмечаем эти точки 0 и 2 на числовой прямой, и определяем знак производной в каждом промежутке. −  +  

6(−  1) −  3(−  1)2 = −  6 −  3 = −  9 < 0

0 2 х

Значит, в промежутках и функция убывает и (0;2) – функция возрастает.

х = 0 - точка минимума, т.к. производная меняет знак с минуса на плюс.

Вычислим уmin=

х = 2 – точка максимума, т.к. производная меняет знак с плюса на минус.

Вычислим уmax= .

7.Составляем таблицу для внесения всех данных

x


0

(0;2)

2



− 

0

+

2

− 

f(x)


0


4




min


max


8. Строим график функции.

hello_html_6ac426ef.png


Пример 2. Сколько корней имеет уравнение: x4   4x3   9 = 0?

Решение: р (x) = x4   4x3   9, D(р) = ( hello_html_8781bd9.gif; hello_html_8781bd9.gif).

р ' (x) = 4 x 3 12x 2 = 4 x 2 3) = 0, x1 = 0; 1 петля; x2 = …, р ' (4) = 4 hello_html_m61765ba1.gif16 hello_html_m61765ba1.gif1 > 0






р(x) убывает на интервале (hello_html_8781bd9.gif ; 3]; р (x) возрастает на [3; +hello_html_8781bd9.gif).

x = 3 – min, р min= р (3) = 34   4 hello_html_m61765ba1.gif 33   9 = 81 4hello_html_m61765ba1.gif27 – 9 = 81   117= − < 0, в точке x = 0 график имеет точки перегиба (то есть меняет выпуклость), f(0) = 0   0  9 = ...

Строим эскиз графика

hello_html_331651eb.png

График пересекает ось 0Х в двух точках x1 и x2, следовательно, многочлен, а значит и данное уравнение имеет два корня.

Ответ: два.

Пример 3. Исследовать функцию f(x)= 3x5 3 + 2 и построим ее график.

Решение: 1.D (f ) = R, так как f (x) - многочлен.

2.Функция f не является ни четной, ни нечетной, так как

f (− x) = 3(− x)5 5(− x)3 + 2 = − 3x 5 + 5х3 + 2= −  ( 3x5 − 5х3 − 2) hello_html_382283fb.gif f(x)

3.Найдем координаты точек пересечения графика с осями координат:

а) с осью 0Х, для этого решим уравнение: 3x5 3 + 2 = 0.

Методом подбора можно найти один из корней (x = 1). Другие корни могут быть найдены только приближенно. Поэтому для данной функции остальные точки пересечения графика с осью абсцисс и промежутки знакопостоянства находить не будем.

б) с осью 0У: f(0) = 3hello_html_m61765ba1.gif05  5hello_html_m61765ba1.gif03 + 2 = …

Точка А (0; 2) - точка пересечения графика функции с осью 0У.

Отметили, что промежутки знакопостоянства не будем находить.

4.Найдем промежутки возрастания и убывания функции : а ) f '(x)= 15x4  15х2 = 15х2 hello_html_m61765ba1.gif2   1)

D (f ') = R, поэтому критических точек которых f '(x)не существует, нет.

б) f '(x) = 0, если х2hello_html_m61765ba1.gif2 1)=0 <=> x1 = 0 ; 1 петля ; x2  1= 0, x2 =  1, х2 = …, х3 = …

в) Получим три критические точки, они разбивают координатную прямую на четыре промежутка. Определим знак производной на этих промежутках: f ' (4) = 15 hello_html_m61765ba1.gif16 hello_html_m61765ba1.gif15 > 0






Так как функция непрерывна в точках – 1; 0; 1, то f   возрастает на (– hello_html_8781bd9.gif; – 1] и [1; +hello_html_8781bd9.gif);

f  убывает на [– 1; 0] и [0; 1].

5.Найдем точки экстремума функции и вычислим значения функции в этих точках.

x = − 1 - точка max, f (− 1) = 3hello_html_m61765ba1.gif (− 1) 5  5hello_html_m61765ba1.gif (− 1) 3 + 2 = − 3+ 5 + 2 = 7 – 3 = … ;

x = 1 - точка min, f (1) = 3hello_html_m61765ba1.gif15  5hello_html_m61765ba1.gif13 + 2 = 3− 5 + 2 = 5 – 5 = ...

Полученные результаты занесем в таблицу и построим график .


x


1

(− 1;0)

0

(0;1)

1



+

0

0

0

+

f(x)


4


2


0




max



min



Пример 4. Исследовать и построить график функции:hello_html_m46464d67.png

Решение: проведем исследование функции:

  1. Функция определена и непрерывна на всей числовой

прямой, D (f ) = R .
,

значит, данная функция является четной, ее график симметричен относительно оси ординат.
Очевидно, что функция непериодическая.

  1. Точки пересечения графика с координатными осями, интервалы знакопостоянства функции.
    График функции проходит через начало координат.

 на всей области определения.

  1. Возрастание, убывание, экстремумы функции.



х = 0
 – критическая точка. Определим знаки :
hello_html_5a5cd5d3.jpg

 возрастает на  и убывает на.
В точке х= 0 функция достигает минимума: .

  1. Найдем дополнительные точки и выполним чертёж:


х

0,5

1,5

2

2,5

3

4

5

6


0,08

0,43

0,57

0,68

0,75

0,84

0,89

0,93


hello_html_m1f9f2eb8.jpg


Пример 5. Сколько корней имеет уравнение: ?

Решение: Рассмотрим функцию р(x) =

1) Найдем область определения функции D(р) = (−hello_html_8781bd9.gif; hello_html_8781bd9.gif).

2) Найдем производную р' (x) = x 3 − 3x 2 – x + 3.

3) Найдем критические точки и промежутки возрастания и убывания функции:

р' (x) = 0 <=> x 3 − 3x 2 – х + 3= 0 <=> x 2 hello_html_m61765ba1.gif (х − 3) − (х − 3) = 0 <=> (х − 3) hello_html_m61765ba1.gif ( x 2 − 1) = 0 <=>

х1=3, х2= 1, х3= − 1. Получим три критические точки, они разбивают координатную прямую на четыре промежутка. Определим знак производной на этих промежутках:

р ' (4) = 1 ·15 > 0

hello_html_47ff2293.png




р(x) возрастает на интервалах [1; 1] и [3; +hello_html_8781bd9.gif);

р(x) убывает на (hello_html_8781bd9.gif ; 1] и [1; 3].

4) Найдем точки экстремума и экстремумы функции:

х = − 1 min р min= 1/4 + 1 − 1/2 − 3= 0,25 + 1 – 0,5 – 3 = 1,25 – 3,5 = − … < 0,

x = 1 max р max= 1/4 − 1 − 1/2 + 3 = 0,25 – 1 – 0,5 + 3 = 2 – 0,25=… > 0,

х = 3 min р min = 81/4 − 27 − 9/2 + 9 = 20,25 – 27 – 4,5 + 9 = 29,25 – 31,5 =

= − … < 0.

Строим эскиз графика.

Из рисунка видно, что многочлен имеет 4 корня, следовательно, уравнение имеет 4 решения.

Ответ: уравнение имеет 4 решения.

2)Решить задание ( по примерам):

  1. Исследуйте функцию и постройте ее график.

  2. Сколько корней имеет уравнение: x4 − 4x3 + 9 = 0?

  3. Исследовать функцию f(x)= 3x5 3 + 6 и построим ее график.

  4. Исследовать и построить график функции:.

  5. Сколько корней имеет уравнение: ?

3)Решить задание:

  1. Исследуйте функцию y = 1/3x3 − 3x2 + 8x и постройте ее график.

  2. Сколько корней имеет уравнение: x2 − x3/3− 1= 0?

  3. Исследовать и построить график функции:

а) y = 3x4 − 4x3 − 12x2 + 10; б) y = в) f (х) = x4 − 2х2.

  1. Исследуйте функцию и постройте ее график: f (x) = x4 −2х2 −3.

  2. Найти число корней уравнения: 2x 3 − 3x 2 − 12х − 11= 0.

  3. Исследуйте функцию и постройте ее график: а)б)

  4. Сколько корней имеет уравнение: а)б) в)

  5. Определите промежутки монотонности и экстремумы функции 

  6. Докажите, что функция f(x) = 4x — 3 sin x возрастает на всей числовой прямой.

  7. Исследуйте функцию f(x) = x4 + 4x2  5 и постройте ее график.

  8. Определите промежутки монотонности и экстремумы функции 

  9. Докажите, что функция f(x) = 5 cosx 7x убывает на всей числовой прямой.

  10. Исследуйте функцию f(x) = x4 + 8x2 − 9 и постройте ее график.

  11. Определите промежутки монотонности и экстремумы функции  .

  12. Докажите, что уравнение х5 + 2х3 + 8x + cos 3x = 0 имеет ровно один корень.

  13. Дана функция  
    а) постройте график функции 
    f(х);
    б) сколько корней имеет уравнение 
    f(х) = а?

  14. Дана функция 
    а) постройте график функции 
    f(x); б) сколько корней имеет уравнение f(х) = а?

  15. При каком наибольшем значении параметра а функция  убывает на всей числовой прямой?

  16. Докажите, что уравнение х5 + 4х3 + 7x sin2x = 0 имеет ровно один корень.

  17. При каком наибольшем значении параметра а функция  возрастает на всей числовой прямой?

  18. При каких значениях а функция f(х) = 8ac – a sin 6 7 sin 5х возрастает на всей числовой оси и не имеет стационарных точек?

  19. Проведите исследование и постройте график функции 

  20. Исследуйте функцию f(x) = х3 – 3x2 + 2 и постройте ее график.

  21. Исследуйте функцию f(х) = х3 3х + 2 и постройте ее график.

  22. При каких значениях параметра а функция f(x) = a sin 7x + 8 ax + sin 4 5x убывает на всей числовой оси и не имеет стационарных точек?

Инструкционная карта

ПР № 32 «Вычисление площадей с помощью интегралов».

Задание:

1)Перепишите и заполните пропуски:

Пример 1. а)Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = х2 2, у = 0, х = 2, х = 1.

Решение: Выполним чертеж (обратите внимание, что уравнение у = 0  задает ось  ОХ): Штриховать криволинейную трапецию я не буду, здесь очевидно, о какой площади идет речь. Решение продолжается так:hello_html_m6ea081fc.png

На отрезке[– 2;1]    график функции у = х2 2  расположен над осью ОХ, поэтому:


Ответ: S = 9 eд2.

б)Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у =  , х = 1  и координатными осями.

Решение: Выполним чертеж: Если криволинейная трапеция расположена под осью OX (или, по крайней мере, не выше данной оси), то её площадь можно найти по формуле: S =  .
В данном случае:
hello_html_m521974c9.png

Ответ: 

Пример 2.а)Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями  у = 2х , у =  .hello_html_m34e0aa0e.png

Решение: Сначала нужно выполнить чертеж. Найдем точки пересечения параболы у = 2х   и

прямой у =   . Решаем уравнение: =  , 3х = 0, х(3) = 0,

х1 = …, х2 = ...

Значит, нижний предел интегрирования а = 0, верхний предел интегрирования b = 3 . x = a ,x = b , можно найти по формуле: S = .

Искомая фигура ограничена параболой y = 2х   сверху и прямой у =    снизу.
На отрезке
[0;3]  2х  , по соответствующей формуле

Ответ: S = 4,5 eд2.  . б)Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , y = x  , y = 0  , x = 3 .

Решение: Сначала выполним чертеж: Площадь фигуры считается с помощью двух определенных интегралов. Действительно:hello_html_m2509795.jpg

1) На отрезке [– 1;1]  над осью OX расположен график прямой y = x   ;

2) На отрезке [1;3]   над осью OX  расположен график гиперболы

Совершенно очевидно, что площади можно (и нужно) приплюсовать, поэтому:

Ответ: .hello_html_dfee4aa.png

Пример 3.a) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

 ,2x  .


Решение: Представим уравнения в виде и выполним поточечный чертеж:
Из чертежа видно, что верхний предел у нас «хороший»:
  b = 1.
Найдем точки пересечения прямой
    и параболы
Для этого решаем уравнение:
3x2 = 2x 3x2 2x

D = 4 12 = …, = 4, x1 = , x2 = ... Действительно,a = .

На отрезке по соответствующей формуле: Ответ: .hello_html_3f5273e5.png

б)Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y =  , y = 2x  .

Решение: Выполним чертеж:
На отрезке по соответствующей формуле:


Ответ: S = 10 eд2.  .

Пример 4.Найти площадь фигуры, ограниченной линиями x , xy = 3 .hello_html_m2e7c3126.png

Решение: Выполним чертеж . На отрезке  , по соответствующей формуле:
Ответ:  .
hello_html_78b890fb.jpg

Пример 5.a) Найти площадь фигуры, ограниченной параболой у = х2 +10 и касательными к этой параболе, проведёнными из точки (0;1). 

Решение: Неизвестна абсцисса точки касания х = а. Чтобы её найти, составим уравнение касательной:  y = f (x0) .

Имеем f(x) = x2 f (x) = 2x;значит, f(a) = a2 f (a) = 2a; уравнение касательной имеет вид:

y = a2 2 a(x ) = a2 2 ax ;

Уравнение касательной y = (1)

По условию касательная должна проходить через точку (0;1), то есть координаты точки (0;1) должны удовлетворять уравнению (1):

1 = 2a0 ; , a1 = a2 = ...

Подставим найденные значения в уравнение (1):


Если a =  то y = 9 10 Если a = 3 , то y =  .

Получили два уравнения касательных y =  . Параболы y = х2 + 10 они касаются в точках А(3;19) и В(3;19).

Найдём площадь фигуры DACB: SDACB = 2SDCB ,


hello_html_f9ffd32.gif






SDACB = 2 9 = ...

Ответ: 18.

б) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями hello_html_35881468.jpg

у = 4/x, y = х, х = 4.

Решение: SABC = SMBAD SMBCD;

SMBAD = 1/2(MB ) MD = = 1/2 (2 ) 2 = 6;




hello_html_450e27c6.gif


Ответ: 6 – 4ln2.


2)Решить задание ( по примерам):

  1. а)Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .

б)Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями и координатными осями.

  1. а)Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями  .

б)Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями.

  1. a) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .

б)Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y =  , y = 2x  .

  1. a)Найти площадь фигуры, ограниченной линиями  .

б) В каком отношении парабола делит площадь четырёхугольника, вершины которого находятся в точках с координатами (0;0); (2;0); (0;6); (2;6)? 

  1. a)Найти площадь фигуры, ограниченной параболой и касательными к этой параболе, проведёнными из точки (0;1). 

б) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .

3)Решить задание:

  1. a)Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .

б)Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями и координатными осями.

  1. а)Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями  .

б)Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями.

  1. a)Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями.

б)Найти площадь фигуры, ограниченной линиями .

  1. a)Найти площадь фигуры, ограниченной линиями.

б) В каком отношении парабола делит площадь четырёхугольника, вершины которого находятся в точках с координатами (0;0); (2;0); (0;6); (2;6)? 

  1. a)Найти площадь фигуры, ограниченной параболой и касательными к этой параболе, проведёнными из точки (0;1). 

б) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .

  1. Найти площадь фигуры, ограниченной функцией и осями координат.

  2. Найти площадь фигуры, ограниченной функциями и касательной к этой параболе, проведенной в точке (1/2;3/4).

  3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями.

  4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями.

  5. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями.

  6. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями.

  7. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями..

  8. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями .

  9. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями.

  10. Найти площадь фигуры, ограниченную линиями .

  11. Найти площадь фигуры, ограниченной линиям .

  12. Вычислите площадь фигуры, ограниченной параболой и осью абсцисс.

  13. Вычислите площадь фигуры, ограниченной прямыми , .

  14. Вычислите площадь фигуры, ограниченной прямой и параболой .

  15. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями и .


Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "УМК по прфессии Повар- кондитер."

Получите профессию

HR-менеджер

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ #U041f#U0420 -#U041f#U041e#U0412#U0410#U0420#U0410,2014-2016 #U0443#U0447.#U0433..docx

Инструкционная карта

ПР №1«Вычисление перпендикуляра и наклонной. Вычисление угла между плоскостями».

Задание:

1) а) Записать по рисунку:

  • какой отрезок является перпендикуляр, наклонная, проекция наклонной,

  • угол между наклонной и плоскостью α.

АС - …, АВ - …, СВ – …, АВ2 = ВС2 + АС2.

- угол между наклонной и плоскостью α.

б)Перепишите и заполните пропуски:

Пример 1. Из точки, не принадлежащей данной плоскости , проведены к ней
две наклонные, равные 10см и 18см. Сумма длин их проекций на

плоскость равна 16см. Найти проекцию каждой наклонной.(рис.1)

Дано: ОС - перпендикуляр, АС и ВС - наклонные, АО и ОВ – их проекции, рис.1

АС = 10 см, СВ = 18 см, АО + ОВ = 16 см,

Найти: АО, ОВ

Решение: АС = 10, СВ = 18, АО + ОВ = 16, АО = х, ОВ = 16 х,

АС2 АО2 = ВС2 – ОВ2 , 102 х2 = 182 – (16 х)2, 100 х2 = 324 – 256 + 32 х х2 ,

32 х = 32, х = … , АО = 1, ОВ = 16 – 1 = .... Ответ: 1 и 15 см.

Пример 2. Из точки к плоскости проведены две наклонные. Одна из них длиной 12см наклонена к плоскости под углом 60°, проекция другой на эту плоскость равна 6 см.

Найти длину этой наклонной.

Дано: ОС - перпендикуляр, АС и ВС - наклонные, АО и ОВ – их проекции,

СА = 12 см , САО = 60°, ОВ = 6 см ,

Найти: СВ

Решение: Δ АОС- прямоугольный, АСО = 90 ° 60 ° = 30°, АО = СА : 2 = 12: 2 = … ,

СО2 = СА2 –АО2 = 122 – 62 = 144 – 36 = … ,

СВ2 = СО2 + ОВ2 = 108 + (6 )2 = 108 + 36 6 = 108 + 216 = … , СВ = … см. Ответ: 18 см.

Пример 3. Из точки С к данной плоскости проведены перпендикуляр СО = 6см и две наклонные. Каждая из наклонных образует с плоскостью угол 60°. Угол между наклонными 120°. Найти расстояние между основаниями наклонных.

Дано: ОС - перпендикуляр, АС и ВС - наклонные, АО и ОВ – их проекции,

СО = 6см, САО = СВО = 60°, АСВ = 120°,

Найти: АВ
Решение: sin САО = СО : АС, АС = ВС = СО : sin САО = 6: sin60 ° = 6 : = 12 : = 4 ,

Δ АВС – равнобедренный, АВ2 = АС2 + ВС2 – 2АС ВС cos АСВ =

= (4)2 + (4)2 – 24 cos 120° = 16 3 + 16 3 - 216 3( – ) = 48 + 48 + 48 = … ,

АВ = … см. Ответ: АВ = 12 см.

Пример 4. Из точки С к данной плоскости проведены перпендикуляр СО и две наклонные СВ и АС. ОВ= 4,САО = 30°, СВО = 60°, а угол между наклонными 90°. Найти расстояние между основаниями наклонных.

Дано: ОС - перпендикуляр, АС и ВС - наклонные, АО и ОВ – их проекции,

ОВ= 4,САО = 30°, СВО = 60°, АСВ = 90°,

Найти: АВ

Решение: ΔСОВ – прямоугольный, СВО = 60°, ОСВ = 90 ° - 60 ° = 30 °,

ВС= 2 ОВ = 24 = … , СО2 = ВС2 – ОВ2 = 82 – 42 = 64 – 16 = … , СО = = 4,

АС = 2 СО = 24 = … , ΔАСВ - прямоугольный, АВ2 = АС2 + ВС2 = (8)2 + 82 =

= 64 3 + 64 = … , АВ = … см. Ответ: АВ = 16 см.
Пример 5. Диагонали квадрата АВСD пересекаются в точке О.


Из точки О проведён к плоскости квадрата перпендикуляр ОМ. Найти расстояние от точки М до

стороны ВС, если AD = 6см, ОМ = 4см. (рис.2)

Дано: АВСD - квадрат, ОМ - перпендикуляр,
О - точка пересечения диагоналей квадрата,

МК - расстояние от точки М до стороны ВС, AD = 6см, ОМ = 4см.

Найти: МК

Решение: ОК = АВ : 2 = AD : 2 = 6 : 2 = … , ΔМОК - прямоугольный, Рис.2

МК2 = ОМ2 + ОК2 = 42 + 32 = 16 + 9 = … , МК = ... Ответ: МК = 5 см.
Пример 6. Прямые АВ, АС и AD попарно перпендикулярны . Найдите отрезок CD, если: АВ = 3 см, ВС = 7 см, AD = 1,5 см;

Дано: АВ, АС и AD попарно перпендикулярны, АВ = 3 см, ВС = 7 см, AD = 1,5 см; Найти: CD

Решение: Δ САВ – прямоугольный, АС2 = СВ2 – АВ2, АС2 = 72 – 32 = 49 – 9 = … ,

Δ САD – прямоугольный, СD2 = АС2 + АD2, СD2 = 40 + 1,52 = 40 + 2,25 = … ,

СD = … см. Ответ: СD = 6,5 см.hello_html_75ed7ad2.jpg

Пример 7. Дан параллелепипед АВСDА1В1С1D1 , у которого основание квадрат.

Докажите, что а) СD В1С1 , б) С1D1 АD .

Доказательство: а) СD || A1B1, A1B1 В1С1 СD В1С1 ( по лемме),

б) С1D1 || ВС , ВС АD С1D1 АD ( по лемме) .

2)Решить задачи ( по примерам):

  1. Из точки, не принадлежащей данной плоскости, проведены к ней две наклонные,
    равные 20 см и 36 см. Сумма длин их проекций на плоскость равна 32 см.
    Найти проекцию каждой наклонной.

  2. Из точки к плоскости проведены две наклонные. Одна из них длиной 24 см наклонена к плоскости под углом 60°, проекция другой на эту плоскость равна 12 см. Найти длину этой наклонной.

  3. Из точки С к данной плоскости проведены перпендикуляр СО = 12 см и две наклонные. Каждая из наклонных образует с плоскостью угол 60°. Угол между наклонными 120°.
    Найти расстояние между основаниями наклонных.

  4. Из точки С к данной плоскости проведены перпендикуляр СО и две наклонные СВ и АС.
    ОВ= 8,
    САО = 30°, СВО = 60°, а угол между наклонными 90°. Найти расстояние между основаниями наклонных.

  5. Диагонали квадрата АВСD пересекаются в точке О. Из точки О проведён к плоскости квадрата перпендикуляр ОМ. Найти расстояние от точки М до стороны ВС, если AD = 12 см, ОМ = 8 см.

  6. Прямые АВ, АС и AD попарно перпендикулярны.
    Найдите отрезок CD, если: АВ = 6 см, ВС = 14 см, AD = 3 см;

  7. Дан параллелепипед АВСDА1В1С1D1 , у которого основание квадрат.
    Докажите, что
    а) С1D1 ВС, б) СD А1D1 .

3)Решить задачи :

  1. Дано: АС - перпендикуляр, АВ - наклонная,
    а)
    АВ = 10 см, ВС = 6 см, АС = ?, б) АС = 12 см, ВС = 5 см, АВ = ? (Указание:АВ2 = ВС2 + АС2 )

  2. Дано: Δ АВС – равнобедренный, АК(АВС), АК = 12 см, АВ = АС = 5 см, ВС = 6 см,
    КМ
    ВС. Найти: КМ, АМ.

(Указание: АВ = АС => КВ = КС => Δ СКВ – равнобедренный, КМ ВС => ВМ- медиана,

ВМ = МС = ВС : 2, КС2 = АК2 + АС2 , КМ2 = КС2 - МС2 , АМ2 = АС2 - МС2 )

  1. Дано: АО - перпендикуляр, АВ и АС - наклонные, АВ = АС, ОАВ = ВАС = 60°,
    АО = 2,5 см.
    Найти: ВС. (Указание: Δ ВАС – равносторонний, ВС = АВ = АС = 2АО)

  2. Телефонная проволока длиной 15 м протянута от телефонного столба, где она прикреплена на высоте 8 м от поверхности земли, к дому, где ее прикрепили на высоте 20 м. Найдите расстояние между домом и столбом, предполагая, что проволока не провисает.

Дано: AB = 15 м, АС = 8 м, BD = 20 м, Найти: CD.

(Указание: Δ BKА – прямоугольный, АK2 = AB2 - BK 2)

  1. Дан куб АВСDА1В1С1D1 . Найдите следующие двугранные углы: а) АВ В1С , б) АDD1В,
    в) А
    1ВВ1К, где К- середина А1D1.

  2. Из вершины равностороннего треугольника АВС проведен перпендикуляр АК к плоскости треугольника. Найдите длину АК, если ВС = 3 см, КС = 3 см.

  3. Найдите тангенс угла между диагональю куба и плоскостью одной из его граней.


Инструкционная карта

ПР № 2«Построение многогранников. Вычисление элементов призмы».

Задание:

1) а) Л.С. Атанасян. Геометрия 10-11 класс, стр. 57,59. Построить многогранники.
б) Перепишите и заполните пропуски:
Пример 1. Основанием прямой призмы является равнобедренный треугольник, в котором высота проведенная к основанию равняется 8см.Высота призмы равняется 12см. Найдите полною поверхность призмы если боковая грань что содержит основание треугольника - квадрат. 
Решение:  Площадь поверхности призмы будет равна сумме площадей оснований и сумме площадей боковых поверхностей, то есть  S = 2S1 + S2 + 2S3 , где S1 - площадь основания призмы, S2 - площадь боковой поверхности, содержащей основание, S3 - площадь боковой поверхности, содержащей стороны равнобедренного треугольника. (Они равны, так как стороны основания равны в следствие того, что треугольник равнобедренный, а вторые стороны равны высоте призмы) .
Поскольку боковая грань, содержащая основание треугольника, является квадратом, то основание треугольника также равно 12 см. (основание треугольника одновременно является стороной грани).
 
Таким образом, зная высоту и основание равнобедренного треугольника можно найти его остальные стороны и площадь.
  S1 = 1/2ah = 1/2 12 8 = 6 8 = … см2 . 
Катеты, соответственно равны (у нас высота, являющаяся в равнобедренном треугольнике одновременно и медианой 12 /2 = 6 см, с каждым из катетов образует прямоугольный треугольник) по теореме Пифагора
  62 + 82  = 102 , Таким образом
S
2 = 1212 = … см2 . S3 = 1012 =… см2 . S = 2S1 + S2 + 2S3 = 2 48 + 144 + 2 120 = … см2 . 
Ответ: … см2.

Пример 2. В основании прямой треугольной призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 8 и 6 см. Найти боковое ребро призмы, если ее боковая поверхность равна 120 квадратных сантиметров. 
Решение: Сначала найдем гипотенузу основания призмы. AB2 = AC2 + BC2 , AB2 = 82 + 62 ,
AB
2 = 64 + 36 = …, AB = … .
Обозначим боковое ребро призмы как  h . Боковое ребро одновременно является и высотой призмы, поскольку по условию задачи призма является прямой. Тогда площадь боковой поверхности призмы является суммой площадей трех прямоугольников - ACC
1A1, CBB1C1 и ABB1A1 или, если подставить известные значения катетов основания призмы, то 10h + 6h + 8h = 120,  24h = 120, h =…, 
Ответ: ребро прямоугольной призмы с прямоугольным треугольником в основании равно 5 см. 

Пример 3 . В правильной четырёхугольной призме площадь основания 144 см2, а высота 14 см. Найти диагональ призмы и площадь полной поверхности. 
Решение: Правильный четырехугольник - это квадрат, сторона основания равна а = = … см. 
Откуда диагональ основания правильной прямоугольной призмы будет равна 
d
2 =122 + 122  = …, d = 12 ,
Диагональ правильной призмы образует с диагональю основания и высотой призмы прямоугольный треугольник. Соответственно, по теореме Пифагора диагональ заданной правильной четырехугольной призмы будет равна: d
12 = ( 12)2 + 142 = 288 + 196 = …, d1 = … см.
Ответ: 22 см .

Пример 4. Основанием прямой призмы ABCD A1B1C1D1 является параллелограмм ABCD со сторонами 4 см и 4 см и углом, равным 30 °. Диагональ AC1 призмы образует с плоскостью основания угол в 60 °. Найдите площадь боковой поверхности призмы.
Решение: Поскольку сумма соседних углов параллелограмма равна 180 градусам, то углы B и D. будут равны 180° – 30° = 150 °. 
Диагональ параллелограмма AC, таким образом, образует треугольник ACD с углом C равным 150
°. Применим теорему косинусов, при этом обозначив диагональ параллелограмма как d, а  стороны параллелограмма как a и b.
Учтем, что
  cos( 150° ) = – / 2. Получим: 
d
2 = a2 + b2 – 2abcos 150° , d2 = 16 + 48 – 2 4 4 (/ 2 ) = 16 + 48 + 48 = …,   
d = 4 , AC = 4 .
Зная величину диагонали параллелограмма, найдем высоту параллелограмма. Треугольник, который образует диагональ AC
1 ( AC1С ) с основанием призмы, согласно условию задачи (призма - прямая)
hello_html_a20ca67.png

является прямоугольным. Угол C1AC по условию равен 60 градусов. Для прямоугольного треугольника тангенс угла C1AC равен отношению противолежащего катета к прилежащему, то есть tg ( C1AC ) = C1С / AC . Учтем, что тангенс 60 градусов равен tg 60° = . 
Соответственно,
 C1С  AC tg ( C1AC ) , C1С = 4 tg 60° , C1С = 4 .
Зная высоту призмы, определим площадь ее боковой поверхности:
  S = 2ha + 2hb, 
S = 2
 4 4  + 24 = 96+ ≈ 327,31   
Ответ: 96 + 32 ≈ 327,31.

Пример 5. Определите полную поверхность правильной четырехугольной призмы, если ее диагональ равна 5 см, а диагональ боковой грани равна 4 см. 
Решение:  Поскольку в основании правильной четырехугольной призмы лежит квадрат, то сторону основания (обозначим как a) найдем по теореме Пифагора: 
a
2 + a2 = 52 , 2a2 = … , a =
Высота боковой грани (обозначим как h) тогда будет равна: h
2 + 12,5 = 42 , h2 + 12,5 = 16 ,h2 = … ,
h = .
Площадь полной поверхности будет равна сумме площади боковой поверхности и удвоенной площади основания S = 2a
2 + 4ah , S = 25 + 4 ,S = 25 + 4 ,S = 25 + 4
S = 25 + 4  , S = 25 + 10≈ 51,46 см
2 . 
Ответ: 25 + 10≈ 51,46 см2 .

2)Решить задачи ( по примерам):

  1. Основанием прямой призмы является равнобедренный треугольник, в котором высота проведенная к основанию равняется 6см. Высота призмы равняется 16 см. Найдите полною поверхность призмы если боковая грань что содержит основание треугольника - квадрат.

  2. В основании прямой треугольной призмы лежит прямоугольный треугольник
    с катетами 4 и 3 см. Найти боковое ребро призмы, если ее боковая поверхность
    равна 120 квадратных сантиметров.
     

  3. В правильной четырёхугольной призме площадь основания 36 см2, а высота 7см.
    Найти диагональ призмы и площадь полной поверхности. 

  4. Основанием прямой призмы ABCD A1B1C1D1 является параллелограмм ABCD
    со сторонами 2 см и 2
    см и углом, равным 30°. Диагональ AC1 призмы образует с плоскостью основания угол в 60°. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

  5. Определите полную поверхность правильной четырехугольной призмы, если ее диагональ равна 10 см, а диагональ боковой грани равна 8 см. 

3) Решить задачи:

  1. Дана прямая призма, в основании которой прямоугольный треугольник Δ АВС, В = 90º,
    ВDD 1В1 – сечение , ВD АС, АА1 = 10 см, АD = 27 см, DС = 12 см.
    Найти площадь сечения Sсеч.
    hello_html_m57d4dae2.jpg

  2. Дана прямая треугольная призма со сторонами a=5,b=12 ,c=13 см и высотой h= 8 см. Найдите площадь боковой и полной поверхности призмы.

  3. Основанием прямой призмы АВСА1В1С1 является прямоугольный треугольник АВС с прямым углом В. Через ребро ВВ1 проведено сечение ВВ1D1D перпендикулярное к плоскости грани АА1С1С.

Найдите площадь сечения, если АА1 =14 см, АD =25 см, DС =36 см.

  1. Основание прямой призмы - треугольник со сторонами AB=5 и BC=12 см и углом в 90° между ними. Наибольшая из площадей боковых граней равна S наиб.=39 см2. Найдите площадь боковой поверхности призмы.hello_html_m5af2f329.jpg

  2. Боковое ребро наклонной четырехугольной призмы

равно l = 12 см, а перпендикулярным сечением является ромб со стороной a=8 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы.



Инструкционная карта

ПР № 3«Вычисление элементов пирамиды, правильной пирамиды, усеченной пирамиды.».

Задание:

1) Перепишите и заполните пропуски:
Пример 1. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого 8см, а радиус описанной около него окружности равен 5 см. Основанием высоты этой пирамиды является середина гипотенузы. Высота пирамиды равна 12см. Вычислить боковые ребра пирамиды. 
Решение: В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на его гипотенузе. Соответственно, AB = 10 см, AO = 5 см. 
Поскольку высота ON = 12 см, то величина ребер AN и NB равна
 
AN
2 = AO2 + ON2 , AN2 = 52 + 122 = …, AN = = …. 
Поскольку нам известна величина AO = OB = 5 см и величина одного из катетов основания (8 см), то высота, опущенная на гипотенузу, будет равна
  CB2 = CO2 + OB2 , 64 = CO2 + 25 , CO2 = 39 ,
CO = . Соответственно, величина ребра CN будет равна :CN2 =  CO2 + NO2 , CN2 = 39 + 144 = …,
CN = .
Ответ: 13, 13 , .
hello_html_3a511f3b.png

Пример 2. Боковая грань правильной треугольной пирамиды представляет собой правильный треугольник, площадь которого 16 корней из 3 см2 (16). Вычислить периметр основания пирамиды. 
Решение
: Правильный треугольник - это равносторонний треугольник. Соответственно, боковая грань пирамиды представляет собой равносторонний треугольник. 
Площадь равностороннего треугольника равна:
 . 
Соответственно:
 16 = a2 / 4 , 16 = a2 / 4 , a2 = 64 ,a = … см .
Основанием правильной треугольной пирамиды является правильный (равносторонний) треугольник. Таким образом, периметр основания пирамиды равен
  Р = 83 = … см .
Ответ: 24 см. 

Пример 3. Высота правильной треугольной пирамиды 4 см, а ее апофемы 8 см. Вычислите площадь боковой поверхности пирамиды. 
Решение:  Исходя из того, что MK = 8, MO = 4, синус угла OKM равен  MO/MK = 1/2 , откуда угол равен arcsin 1/2 = 30 °. Откуда  KO / MK = cos 30° , KO / 8 = cos 30° , KO = 8 cos 30° .
 KO = 8/2 = 4 .
Тогда по свойству равностороннего треугольника
  КО = r = a/6. 4 = a /6 , a = 24. 
Теперь, зная размер основания боковой грани и ее апофему, найдем площадь боковой грани как площадь равнобедренного треугольника:
 Sт = 1/224 8 = 12 8 = … см2 .
Откуда площадь боковой поверхности пирамиды
 S = 3 Sт = 3 96 = … см2 . 
Ответ: 288 см2.

Пример 4. Высота и сторона основания правильной четырехугольной пирамиды соответственно равны 24 и 14. найдите апофему пирамиды. 
Решение: Поскольку пирамида правильная, то в ее основании лежит правильный четырехугольник - квадрат. Кроме того, высота пирамиды проецируется в центр квадрата. Таким образом, катет прямоугольного треугольника, который образован апофемой пирамиды, высотой и отрезком, их соединяющим, равен половине длины основания правильной четырехугольной пирамиды.  Откуда по теореме Пифагора длина апофемы будет найдена из уравнения:  72 + 242 = x2 , x2 = …,  x = ….  Ответ: 25 см .
hello_html_m105d4bfc.png

Пример 5. Дано: усеченная правильная пирамида, n = 3, h = 4, a1= 16 , a2= 10 . Надо найти площадь полной поверхности усеченной пирамиды .

Решение: r1= a1 / 2  = 16  : 2  = 16 : 2 = …, r2= a2 / 2  = 10  : 2  = 10 : 2 = … ,

l2 = h2 + (r2 r1)2, l2 = 42 + (5 8)2 = 16 + 9 = …, l = … Sn =  /4 (a12 + a22) + 1,5 l(a1 + a2) .

Sn =  /4 ((16 )2 + (10 )2) + 1,5 5(16  + 10 ) =  /4 (768 + 300) + 1,5 5 = =267 + 195  =   .

Ответ: 462 

Пример 6. Дано: усеченная правильная пирамида, n = 4, h = 3, a1= 16, a2= 8 . Надо найти площадь полной поверхности усеченной пирамиды .

Решение: r1= a1 / 2= 16: 2= …, r2= a2 / 2= 8  : 2  = …,

l2 = h2 + (r2 r1)2, l2 = 32 + (4 8)2 = 9 + 16 = …, l = ….

Sn = (a12 + a22) + 2 l(a1 + a2) .Sn = (162 + 82) + 2 5(16 + 8) = 320 + 240 = … .

Ответ: 560

Пример 7. Дано: усеченная правильная пирамида, n = 6, h = 2, a1= 2 , a2= 6 . Надо найти площадь полной поверхности усеченной пирамиды .

Решение: r1= a1 / 2  = 2  : 2  =  , r2= a2 / 2  = 6  : 2  = 3 ,

l2 = h2 + (r2 r1)2, l2 = 22 + ( )2 = 4 + 12 = …, l = ….

Sn =3  /2 (a12 + a22) + 3 l(a1 + a2) .Sn =3  /2 (22 + 62) + 3 4(2 + 6) = …   + .

Ответ: 60   + 96

Пример 8. Дано: усеченная правильная пирамида, n = 4, h = 3, r1=2, r2= 6 . Надо найти площадь полной поверхности усеченной пирамиды .

Решение: l2 = h2 + (r2 r1)2, l2 = 32 + (6 2)2 = 9 + 16 = …, l = ….

Sn = 4 (r12 + r22) + 4 l(r1 + r2) . Sn = 4 (22 + 62) + 2 5(2 + 6) = 160 + 80 = … .

Ответ: 240.

2)Решить задачи ( по примерам):

  1. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого 16 см, а радиус описанной около него окружности равен 10 см. Основанием высоты этой пирамиды является середина гипотенузы. Высота пирамиды равна 24 см. Вычислить боковые ребра пирамиды. 

  2. Боковая грань правильной треугольной пирамиды представляет собой правильный треугольник, площадь которого 64 корней из 3 см2 (64). Вычислить периметр основания пирамиды. 

  3. Высота правильной треугольной пирамиды 8 см, а ее апофемы 16 см. Вычислите площадь боковой поверхности пирамиды. 

  4. Высота и сторона основания правильной четырехугольной пирамиды соответственно равны 24 и 20. Найдите апофему пирамиды. 

  5. Дано: усеченная правильная пирамида, n = 3, h = 8, a1 = 14 , a2 = 2 . Надо найти площадь полной поверхности усеченной пирамиды .

  6. Дано: усеченная правильная пирамида, n = 4, h = 8, a1 = 16, a2 = 4 . Надо найти площадь полной поверхности усеченной пирамиды .

  7. Дано: усеченная правильная пирамида, n = 6, h = 2, a1 = 4 , a2 = 8 . Надо найти площадь полной поверхности усеченной пирамиды .

  8. Дано: усеченная правильная пирамида, n = 4, h = 3, r1 = 5, r2 = 9 . Надо найти площадь полной поверхности усеченной пирамиды .

3)Решить задачи :hello_html_m3eb51a34.png

  1. Основанием пирамиды является ромб, сторона которого равна AB=15 см, а одна из диагоналей равна BD = 18 см. Найдите боковые ребра пирамиды, если высота ее проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна

SO = .

  1. Дана правильная четырехугольная пирамида со стороной основания a=12 см и
    высотой
    h=8 см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
    hello_html_m3367cdaa.jpg

  2. Дана пирамида со сторонами основания a = 10,b = 24,c = 26 см и апофема равна l=10 см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

  3. Дана пирамида со сторонами основания a=10,b=13,c=13 см и высотой h2=. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.hello_html_m1aa89a30.jpg

  4. Дана усеченная правильная треугольная пирамида со сторонами
    a1 = 26 и а2 = 14 см и высотой h = 8 см. Найдите площадь полной поверхности усеченной пирамиды.

Инструкционная карта

ПР № 4 «Вычисление элементов цилиндра».
Задание:

  1. Перепишите и заполните пропуски:

Пример 1. В цилиндре параллельно его оси проведено сечение, диагональ которого равна 17 см, высота цилиндра равна 15 см., а радиус основания 5 см. На каком расстоянии от оси проведено это сечение? 
Решение. Сечение цилиндра в плоскости представляет собой прямоугольник. Таким образом, BM также представляет собой высоту цилиндра. Треугольник BMK - прямоугольный. Таким образом, можно найти длину стороны MK = BC:
BK
2 = BM2 + MK2 , MK2 = BK2 - BM2 ,MK2 = 172 152 = …, MK = … 
Таким образом, MK = BC = 8 см.
 
AD - диаметр цилиндра, проведенный как сечение, параллельное заданному в условии задачи. BC - прямая, принадлежащая сечению, параллельному оси цилиндра. Поэтому ABCD - трапеция. Если трапеция равнобедренная, то вокруг нее можно описать окружность. Таким образом, ABCD - равнобедренная трапеция. Найдя высоту трапеции, получим расстояние от проведенного по условию задачи сечения до оси цилиндра.
AD = 2R = 2 5 = … см,
 OC = OD = R = 5 см .
В равнобедренной трапеции высота, опущенная из вершины на большее основание, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, другой - полуразности оснований. Таким образом,
 
AN = DP = ( 10 -8 ) / 2 = … см
 , тогда OP = OD DP = 5 1 = … см .
Треугольник CPO - прямоугольный, так как CP - высота трапеции. Откуда
 
CP
2 + OP2 = OC2 ,CP2 = OC2  OP2, CP2 = 52  42 ,CP2 = 25 16 = …,
CP = … . 
Ответ: Проведенное сечение цилиндра находится на расстоянии 3 см от его оси.
hello_html_m518413cd.pnghello_html_m49b1fd63.png

Пример 2. Найдите радиус цилиндра, если диагональ его осевого сечения, равная 8см, составляет с образующей цилиндра угол величиной 30 градусов.  hello_html_2a26c44d.png

Решение:

Поскольку AC = 8 см, а угол ACD = 30°, то 
CD = AC cos 30°  . CD = 8  /2 = 4. Аналогично,  AD = AC sin 30° , AD = 8 1/2 = 8 : 2 = … , 

Откуда радиус основания цилиндра равен R = 4 : 2 = … см. hello_html_1ffef818.jpg

Ответ:  2 см.

Пример 3. Высота цилиндра 20см, радиус основания 10см. Найдите площадь сечения, проведённого параллельно оси цилиндра на расстоянии 6см от неё.

Решение:

r = 10, d = 6, АС 2 = r2d2 = 102 – 62 = 100 – 36 = …,

АС =…, АВ1 = 2АС = 2 8 = … ,

Sсеч. = АВ1 h , h = 20, Sсеч. = 16 20 = …

Ответ:  320 см2 .

Пример 4. Найдите высоту цилиндра, если радиус основания 5см и площадь сечения равна 128 см2 , проведённого параллельно оси цилиндра на расстоянии 3см от неё.

Решение: : r = 10, d = 6, АС 2 = r2d2 = 52 – 32 = 25 – 9 = …,

АС =…, АВ1 = 2АС = 2 4 = … ,

h = Sсеч. : АВ1 = 128 : 8 = …

Ответ: 16 см.

Пример 5. Дано: цилиндр, АВ1 = 16 см, B1AB = 30° (рис.).Найти: hRосн. 

Решение:hello_html_m41d996ff.jpg

1) hк. = BB1;

2)Из ΔАВВ1 находим AB: AB = 16 cos 30° = 16 /2 = 8
R = 1/2 AB = 8 : 2 = 4 .

3) Из ΔВ1АВ находим BB1: BB1 = 16 sin 30 ° = 16 1/2 = 16 : 2 = … см.

Ответ: = 8 см; R = 4 см.

  1. Решить задачи ( по примерам):


  1. В цилиндре параллельно его оси проведено сечение, диагональ которого равна 34 см, высота цилиндра равна 30 см., а радиус основания 10 см. На каком расстоянии от оси проведено это сечение?

  2. Найдите радиус цилиндра, если диагональ его осевого сечения, равная 16 см, составляет с образующей цилиндра угол величиной 30 °

  3. Высота цилиндра 20см, радиус основания 15 см. Найдите площадь сечения, проведённого параллельно оси цилиндра на расстоянии 12 см от неё.

  4. Найдите высоту цилиндра, если радиус основания 13 см и площадь сечения равна 144 см2 , проведённого параллельно оси цилиндра на расстоянии 5 см от неё.

  5. Дано: цилиндр, АВ1 = 8 см, B1AB = 30° (рис.). Найти: hRосн.

3)Решить задачи :hello_html_1ffef818.jpg

  1. Осевое сечение цилиндра – прямоугольник, стороны которого диаметр и образующая цилиндра соответственно. Диагональ осевого сечения цилиндра равна АС = 24 см. Угол α между этой диагональю и диаметром цилиндра равен 30°. Найдите высоту, радиус, площадь основания цилиндра.

  2. Концы отрезка АВ лежат на окружностях оснований цилиндра. Радиус цилиндра равен r, его высота-h, а расстояние между прямой АВ и осью цилиндра равно d. Найдите h, если r = 5, d = 4, АВ = 10 см.

  3. Концы отрезка АВ лежат на окружностях оснований цилиндра. Радиус цилиндра равен r, его высота-h, а расстояние между прямой АВ и осью цилиндра равно d. Найдите d, если r = 10, h = 5, АВ = 13 см.

  4. Диагональ осевого сечения цилиндра равна см, а радиус основания – 3 см. Найдите высоту цилиндра.

  5. Плоскость , параллельная оси цилиндра, отсекает от окружности основания дугу AmD с градусной мерой . Радиус цилиндра равен a, высота равна h, расстояние между осью цилиндра ОО1 и плоскостью равно d. hello_html_45b595c1.gif

1) Докажите, что сечение цилиндра плоскостью есть прямоугольник.

2) Найдите AD, если a =10 см, = 60.

  1. Диагональ осевого сечения цилиндра равна см, а высота – 5 см. Найдите радиус цилиндра.

  2. В цилиндре параллельно его оси проведено сечение. Диагональ сечения, равная 16, составляет угол 60° с плоскостью основания. Радиус основания цилиндра равен 5. Найдите расстояние от оси цилиндра до плоскости сечения.

  3. Диаметр окружности основания цилиндра равен 26, а его образующая – 21. Плоскость пересекает его основания по хордам длины 24 и 10. Найти угол между этой плоскостью и плоскостью основания цилиндра.

  4. В цилиндре проведена плоскость, параллельная оси и отсекающая от окружности основания дугу в 120°. Диагональ сечения равна 20 см и удалена от оси на 3 см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

  5. Осевое сечение цилиндра - квадрат, площадь основания цилиндра равна 16π см2. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

  6. Высота цилиндра 8 дм, радиус основания 5 дм. Цилиндр пересечен плоскостью параллельно оси так, что в сечении получился квадрат. Найдите расстояние от этого сечения до оси цилиндра.hello_html_361456b7.jpg

  7. Дано: цилиндр; CBD = 120°; CD1 = 20 см; OK = 3 см. Найти: Sб.п.ц.

  8. Плоскость, проходящая через центр нижнего основания цилиндра под углом α к основанию, пересекает верхнее основание по хорде, равной b и стягивающей дугу β. Найдите высоту цилиндра.

  9. Отрезок CD равен 25 см, его концы лежат на разных окружностях основания цилиндра. Найдите расстояние от отрезка CD до основания цилиндра, если его высота 7 см, а диаметр основания 26 см.


Инструкционная карта

ПР № 5 «Вычисление элементов конуса, усеченного конуса».
Задание:

  1. Перепишите и заполните пропуски:

Пример 1. Осевое сечение конуса равносторонний треугольник со стороной 10см. Найти радиус основания и высоту конуса.
Решение:  Так как ΔАВС - равнобедренный, то АВ = ВС = АС = 10 см. r = АС : 2 = 10 : 2 = … ,
Из ΔВОС по теореме Пифагора: h2 = OB2 = BC2OC2, h2 = 102 – 52 = 100 – 25 = …, h = = 5

Ответ: r = 5 см, h = 5
Пример 2. Дано: конус, ОР = 15 см, ОВ = r = 8 см (рис.). Найти: РВ. 
Решение: Из ΔОРВ по теореме Пифагора:PB2= PO2 + OB2,
PB2= 152 + 82 = 225 + 64 = … , PB = …
hello_html_m6d6bd24b.jpg

Ответ: 17 см.

Пример 3. Дано: Конус, ABC = 120°, АВ = 6 (рис.). Найти: R, h. hello_html_m6bcb7613.jpg

Решение:1) ΔАВС - равнобедренный, угол при основании  С = 30°.

  1. Из ΔАВО : h = ВО = AB : 2 = 6 : 2 = ... 

  2. R = AO = AB · cos 30° = 6 ·  : 2 = … .
    Ответ: H = 3, R = 3.

Пример 4. Дано: Конус. ΔАВС - равносторонний, АВ = 12, = 10 (рис.). Найти: OK, h. hello_html_m2d0d5103.jpg

Решение: 1)Из ΔВОС по теореме Пифагора: h2 = OB2 = BC2OC2, h2 = 122 – 102 = =144 – 100 = …, h = = 2

2)ΔABC - равносторонний, АС = 12, СК = 6. Из ΔСОК по теореме Пифагора
ОК
2 = ОС2 – СК2, ОК2 = 102 – 62 = 100 – 36 = …, OK = ...

Ответ: h = 2, ОК = 8.

Пример 5. Дано: конус, h = OP = 1,2 см, Sосев. = 0,6 см2 (рис.). Найти: l.hello_html_28ad1e01.jpg

Решение:

  1. Осевое сечение - треугольник: высота 1,2 см и основание 2r.

Sосев. =  · 2r h = r h, r = Sосев. : h = 0,6 : 1,2 = … см.

  1. Из ΔАОР по теореме Пифагора: l2 = h2 + r2  = OP2 + OA2. l2 = 1,22 + 0,52 = 1,44 + 0,25 = …, l = … см.

Ответ: 1,3 см.

Пример 6. Дано: усеченный конус, O1С = 3см, OD = 6 см, OO1 = 4 см (рис. ). Найти: So.сеч., CD . hello_html_m28dc10d1.jpg

Решение: Осевым сечением усеченного конуса является равнобедренная трапеция. Sсеч.= (BC + AD ) · OO1 : 2 ,
BC = 2O
1C = 2 · 3 = … см. AD = 2 OD = 2 · 6 = … см .
S
сеч.= (6 + 12 ) · 4 : 2 = 18 ·  2 = … см2,

ΔCKD - прямоугольный, по теореме Пифагора:
CD
2 = CK2 + KD2, CK = OO1 = 4 см, KD = OD – OK = OD – O1C = 6 – 3 = … см. CD2 = 42 + 32 = 16 + 9 = … ,CD = …

Ответ: Sсеч. = 36 cм2, CD = 5 см. hello_html_m5f94854e.jpg

Пример 7. Дано: усеченный конус, r 1 = 5 см, r 2 = 11 см, CD = 10 см,
Найти:
 So.сеч., h.
Решение: Осевым сечением усеченного конуса является равнобедренная трапеция.
Sсеч.= (BC + AD ) · OO1 : 2 , BC = 2O1C = 2 r 1= 2 · 5 = … см.
AD = 2 OD = 2
r 2 = 2 · 11 = … см .
ΔCKD - прямоугольный, по теореме Пифагора: CD2 = CK2 + KD2,
KD = OD – OK = OD – O1C = r2 r 1= 11 5= … , h = OO1 = CK, CK 2 = CD2 – KD2,
CK2 = 102 – 62 = 100 – 36 = … , CK = … , h = 8 см, Sсеч.= (10 + 22 ) · 8 : 2 = 32 · 4 = … см2. Ответ: Sсеч. = 128 cм2h = 8 см.

Пример 8. Дано: усеченный конус, АС = 40 см, AC  CDCD = 30 см (рис. ). Найти: Sсеч.. 

Решение: Сечение усеченного конуса является равнобедренная трапеция
 
Sсеч.= (BC + AD ) · OO1 : 2 ,

ΔADC - прямоугольный, по теореме Пифагора: AD2 = AC2 + CD2, AD2 = 402 + 302 = 1600 + 900 = … , AD = … см. Так как СН - высота прямоугольного треугольника, то СН2 = АН · HD.

ΔCHD - прямоугольный; CH2 = CD2HD2 , HD = ADAH = 50 – AH, АН · HD = CD2HD2,
AH · ( 50 AH ) = 900 – ( 50 AH)2 , 50AHAH2 = 900 – 2500 + 100 AHAH2, 50 AH = 1600, AH = … см. HD = 50 – 32 = … , OD = AD : 2 = 50 : 2 = … см , OH = OD – HD = 25 – 18 = … см, CH2 = 32· 18, CH = 24 см, Sсеч.= (2OH + 2OD ) · CH : 2 = (14 + 50) · 24 : 2 = … см2,

Ответ: Sсеч. = 768 см2.

Пример 9. Дано: усеченный конус, O1С = 16 см, OD = 25 см. Окружность, вписанная в сечение (осевое) (рис. ). Найти: Sсеч... hello_html_658e6bdc.jpg

Решение:  Осевым сечением усеченного конуса является равнобедренная трапеция. Так как в трапецию вписана окружность, то O1С = CF = 16 (см) и OD = DF = 25 (см)
(как отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки).
CD = CF + DF = 16 + 25 = … см, HD = OD O1C = 25 – 16 = … ,
ΔCHD - прямоугольный:  CH2 = CD2HD2, CH 2 = 412 – 9 2 = 1681 81 = … , CH = … см.

Sсеч. = (OD O1C) CH = (16 + 25) 9 = 41 9 = …

 Ответ: Sполн..  = 369 см2.

Пример 10. Дано: усеченный конус, r 1 = 3 см, r 2 = 6 см, h = 4 см, Найти: l.
Решение:
  l2 = h2 + (r2r1)2 , l2 = 42 + ( 6 3)2  = 16 + 9 = … , l = … см.
Ответ:
l = 5 см.

2)Решить задачи ( по примерам):

  1. Осевое сечение конуса равносторонний треугольник со стороной 8 см. Найти радиус основания и высоту конуса.

  2. Дано: конус, ОР = 12 см, ОВ = r = 9 см (рис.). Найти: РВ. 

  3. Дано: Конус, ABC = 120°, АВ = 8 (рис.). Найти: R, h. 

  4. Дано: Конус. ΔАВС - равносторонний, АВ = 24, = 20 (рис.). Найти: OK, h.

  5. Дано: конус, OP = 2,4 см, Sосев. = 2,4 см2 (рис.). Найти: l.

  6. Дано: усеченный конус, O1С = 6 см, OD = 12 см, OO1 = 8 см (рис. ). Найти: So.сеч., CD. 

  7. Дано: усеченный конус, r1 = 3 см, r2 = 11 см, CD = 10 см, Найти: So.сеч., h.

  8. Дано: усеченный конус, АС = 20 см, AC  CDCD = 15 см .Найти: Sсеч.. 

  9. Дано: усеченный конус,  O1С = 3см, OD = 12 см. Окружность, вписанная в сечение (осевое). Найти: Sсеч.. hello_html_m3219ea58.jpg

  10. Дано: усеченный конус, r 1 = 3 см, r 2 = 9 см, h = 8 см, Найти: l.

3)Решить задачи :

  1. а) Высота конуса равна h = 24 см, а радиус основания равен r = 10 см. Найдите образующую конуса l.hello_html_775d711f.jpg

б) Осевое сечение конуса – прямоугольный треугольник Δ АВС. Найдите площадь этого сечения, если радиус основания конуса равен r = 6 см.

в) Радиусы оснований усеченного конуса равны r 1 = 6 и r 2 = 11 см, а образующая равна l = 13 см. Найдите высоту и площадь осевого сечения усеченного конуса, если его осевое сечение-трапеция.hello_html_m45781634.jpg

г) Разверткой боковой поверхности конуса является сектор с дугой α. Найдите α , если его радиус основания равен 6 см, а образующая равна 20 см.hello_html_1754fa31.jpg

д) Разверткой боковой поверхности конуса является сектор с дугой α. Найдите радиус основания конуса, если α = 90°, а образующая равна 12 см.

  1. Образующая конуса l наклонена к плоскости основания под углом в 30°. Найти высоту конуса и площадь осевого сечения.

  2. Радиус основания конуса равен 3 м, а высота 4 м. Найти образующую и площадь осевого сечения.hello_html_415082a2.jpg

  3. Высота конуса равна 6 см, угол при вершине осевого сечения равен 90°. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

  4. Дано: конус; SO = 6 см; ASB = 90°; CSD = 35°.Найти: S6.п.конуса.

  5. Через вершину конуса проведена плоскость, пересекающая основание по хорде, длина которой равна 5 см, и стягивающей дугу 90°. Плоскость сечения составляет с плоскостью основания угол 60°. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

  6. Высота конуса равна 15 см, а радиус основания равен 8 см.
    Найдите образующую конуса.

Инструкционная карта

ПР № 6 «Вычисление элементов сферы».hello_html_m6a79015f.jpg

Задание:

  1. Перепишите и заполните пропуски:

Пример 1. Дано: шар, BAO = 30°Sсеч. = 75π см2 (рис. ). Найти: АС. 

Решение: S сеч. =r2 , 75 = r2 , r2 = …, r = 5 , AO1= 5 .
Из ΔАО
1О: cos 30° = AO1 / AO , AO = / () = 5 2 = … см.

AC = 2 · AO = 2 · 10 = … см. hello_html_65ab0256.jpg

Ответ: 20 см.

Пример 2. Дано: Rш. = 8 см, OAB = 45° (рис.).Найти: Sceч. 

Решение: S сеч. =r2 , cos 45° = AO1 / AO , AO1 = r = 8 · : 2 = … ,

S сеч. = 16 · 2 = … см2.

Ответ: 32π см2.

Пример 3. Дано: шар с центром в точке О, Sсеч. = 16π см2, расстояние от точки О до сечения OA=3 см (рис. ). Найти: Sсф. hello_html_35dd295d.jpg

Решение: S сеч. =r2 = 16 π, r2 = 16, r = … . 

Рассмотрим ΔОАВ : OA = - расстояние, значит, = 90°.

OB2 = R2 = r2 + OA2 = 42+ 32 = 16 + 9 = …, S сф. =R2 = 4π 25 = … π см2

Ответ: 100π см2.

Пример 4. Сколько кожи пойдет на покрышку футбольного мяча радиуса 10 см? (На швы добавить 8% от площади поверхности мяча.)

Решение: S сф. =R2 = 4π102 = 4100 π = … π см2.

1 способ.

1% составляет 0,01 400 π = 4 π см2.

8% составляет 84 π = 32 π см2. S = 400 π + 32 π = … π 1357 см2.

2 способ. 8% составляет 1,08 400 π = 432 π см2.

Ответ: 432π см2.

Пример 5. Дано: сфера с центром в точке О, АВ  CD, АВ - диаметр сечения, hello_html_68cdf4b6.jpg

CD - диаметр сечения MN – общая хорда. MN = 6 см, ОК = 4, ОО1 = ОО2 (рис.). Найти: Sсф. 

Решение: Рассмотрим прямоугольный ΔONK с OKN = 90°;

NK = MN : 2 = 3см, NO2 = R2 =  OK2 + NK2 = 32 + (4)2 = 9 + 32 = …,

S сф. =R2 = 4π41 = … π см2.

Ответ: 164π см2.

Пример 6. Дано: сфера с центром в точке О и радиусом Rr1 и r2 - радиусы параллельных сечений сферы, r1 = 9 см, r2 = 12 см, l = 3 см - расстояние между секущими плоскостями (рис.). Найти: Sсф. hello_html_1a919b33.jpg

Решение: Проведем диаметры перпендикулярно к данным параллельным сечениям. Через диаметр проведем секущую плоскость, которая пересечет сферу по окружности, радиус которой равен радиусу сферы 

ND = r1 = 9см, MB = r2 = 12 см, NM = 3 см, OD = ОВ = R в ΔOВМ:

OM2 = R2 – 122 = R2 – 144, в ΔODN: ON2 = R2 – 92 = R2 – 81,

MN = NO – MO = – , – = 3,

= 3 + , R2 – 81= 9 + 6 + R2 – 144, 6 = 54 , = 9, R2 – 144 = 81, R2 = 144 + 81 , R2 = 225, R = …, S сф.=R2 = 4π152 = 4π 225 = … π см2. Ответ: 900π см2.

Пример 7. Стороны треугольника 13, 14, 15 см. Найти расстояние от плоскости треугольника до центра шара, касающегося всех сторон треугольника. Радиус шара 5 см.

Решение:

  1. Рассмотрим треугольник АВС со сторонами 13, 14, 15 см

S= p = ; p = = 42 : 2 = (см)

S== 84 (см)

  1. SАВС = pr , где r – радиус вписанной окружности. S= 21r , 84 = 21r r = … см


  1. h = R– r - т. Пифагора, h = = … (см). Ответ: h = 3 (см)


2)Решить задачи ( по примерам):

  1. Дано: шар, BAO = 30°; Sсеч. = 48π см2 (рис. ). Найти: АС.

  2. Дано: Rш. = 10 см, OAB = 45° (рис.).Найти: Sceч. 

  3. Дано: шар с центром в точке О, Sсеч. = 25π см2, расстояние от точки О до сечения OA= 12 см (рис. ). Найти: Sсф. 

  4. Сколько кожи пойдет на покрышку футбольного мяча радиуса 5 см? (На швы добавить 8% от площади поверхности мяча.)

  5. Дано: сфера с центром в точке О, АВ  CD, АВ - диаметр сечения, CD - диаметр сечения MN – общая хорда. MN = 8 см, ОК = 6, ОО1 = ОО2 (рис.). Найти: Sсф. 

  6. Дано: сфера с центром в точке О и радиусом Rr1 и r2 - радиусы параллельных сечений сферы, r1 = 3 см, r2 = 4 см, l = 1 см - расстояние между секущими плоскостями (рис.). Найти: Sсф.

  7. Стороны треугольника равны 5, 5, 6 см. Найдите расстояние от плоскости треугольника до центра шара, касающегося всех сторон треугольника. Радиус шара равен 2,5 (см).

3)Решить задачи :

  1. В сферу вписан конус, образующая которого равна l = 3 см, а угол при вершине осевого сечения равен 60 градусов. Найдите площадь сферы. hello_html_50087654.jpg

  2. Точка М- середина отрезка АВ, концы которого лежат на сфере радиуса R с центром О.(рис.) Найдите ОМ, если R = 10 дм, АВ = 12 дм.

  3. Все стороны треугольника ABC касаются сферы радиуса R = 7 см. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если ВС = а = 10 см, АС = в = 10 см, АВ = с = 12 см.

  4. Сечение шара плоскостью имеет площадь 36(м). Радиус шара 10м. Найти расстояние от центра шара до плоскости сечения.

  5. На поверхности шара даны три точки, кратчайшее расстояние между которыми равно 6 см. Определить площадь сечения, проходящего через эти точки.

  6. Найдите площадь сферы, если радиус сферы равен 3 см.

  7. Найдите радиус сферы, если площадь сферы равна 16π см2.

  8. Найдите площадь центрального сечения сферы, если радиус сферы равен 5 см.

  9. Найдите расстояние от точки касания плоскости и сферы, до точки на касательной плоскости, если радиус сферы равен 5 см, а расстояние от центра сферы до точки на касательной плоскости равно 13 см.

  10. Площадь сечения проходящего через центр шара, равна 16π см2. Чему равен радиус шара?

  11. Через точку, делящую радиус сферы пополам, проведена секущая плоскость, перпендикулярная к этому радиусу. Радиус сферы равен 16 см. Найдите площадь сечения.hello_html_m10715efe.jpg

  12. Шар с центром в точке О касается плоскости в т очке В. Точка А лежит в этой плоскости, ОА = 20 см, АВ = 12 см. Найдите радиус шара.

  13. Дано: шар, AC = 4; BAO = 45°.Найти: Sсеч.

  14. Дано: шар, BAO = 30°; Sсеч. = 75π см2 .Найти: АС.

  15. Радиус шара равен 17 см. Найдите площадь сечения шара, удаленного от его центра на 15 см.

  16. Радиус сферы равен 15 см. Найдите длину окружности сечения, удаленного от центра сферы на 12 см.

  17. Сфера w проходит через вершины квадрата CDEF, сторона которого равна 18 см. Найдите расстояние от центра сферы - точки О до плоскости квадрата, если радиус сферы ОЕ образует с плоскостью квадрата угол, равный 30°.

  18. Стороны треугольника MKN касаются шара. Найдите радиус шара, если МК = 9 см,
    MN = 13 см; KN = 14 см и расстояние от центра шара О до плоскости MNK равно см.

  19. Шар радиусом 41 дм пересечен плоскостью, находящейся на расстоянии 9 дм от центра. Найдите площадь сечения.

  20. Найдите площадь сферы, радиус которой равен 6 см.



Инструкционная карта

ПР № 7«Расчет по модели объёма прямоугольного параллелепипеда».

Задание:

  1. Перепишите и заполните пропуски:

Пример 1. Площадь грани прямоугольного параллелепипеда равна 12. Ребро,

перпендикулярное этой грани, равно 4. Найдите объем параллелепипеда.
Решение: Каждая грань прямоугольного параллелепипеда –прямоугольник.

Пусть SABCD= a b = 12 , тогда АА1= h = 4, т.к. АА1 АВСD

Используем формулу объема прямоугольного параллелепипеда: V = a b h , V = 12 4 = ...

Ответ: 48 см3.

Пример 2. Объем прямоугольного параллелепипеда равен 12. Одно из его ребер равно 3. Найдите площадь грани параллелепипеда, перпендикулярной этому ребру.

Решение: Пусть АА1 АВСD, V = 12 , АА1= h = 3.

Найдём SABCD. Используем формулу объема прямоугольного параллелепипеда V = a b h, где SABCD= a b, S ABCD 3 = 12,S ABCD = 12 : 3 = ...

Ответ: 4 см2.

Пример 3. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2, 4. Диагональ параллелепипеда равна 6. Найдите объем параллелепипеда.

Решение: a = 4, b = 2, d = 6. Найдем V.

Формула диагонали прямоугольного параллелепипеда:

d2 = a2 + b2 + h2 , 16 + 4 + h2 = 36, h2 = … , h = ...

Формула объема прямоугольного параллелепипеда: V = abh , V = 4 2 4 = ...

Ответ: 32 см3.

Пример 4. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2, 3. Объем параллелепипеда равен 36. Найдите его диагональ и высоту.

Решение: a = 3, b = 2. Формула объема прямоугольного параллелепипеда: V = abh , 3 . 2 . h = 36,

6h = 36, h = ..., V = 36. Найдем d. d2 = 9 + 4 + 36, d2 = 49, d = ...

Ответ: 7 и 6 см.
Пример 5. Дано: ABCDA1B1C1D1 - прямоугольный параллелепипед, диагональ 
D1= 18 составляет угол в 30° с плоскостью боковой грани, и угол в 45° с боковым ребром (рис. ). Найти: V.
hello_html_m49e41dc8.jpg

 Решение: BC1 - проекция D1на плоскость боковой грани BB1С1С,
поэтому 
D1BC1 = 30°D1BB1= 45°.
Рассмотрим Δ
D1C1BD1C1= 90° (рис.). ∠В = 30°. => D1C1 = 18 : 2 = … см.
Рассмотрим Δ
D1B1- прямоугольный: BB1= 18 cos 45° = 18 : 2 = … см.
Диагональ (d) и измерения (а, b, с) прямоугольного параллелепипеда связаны соотношением:
d2 = a2 + b2 + h2 , 182 = 92 + (9)2 + B1C12 ,(ΔD1B1B: B1B =D1 B1).
B1C12 = 182 92 (9)2 = 324 – 8181 2 = 81, B1C1 = …см. V = 99 9 = … см3.   
Ответ:
V = 729см3.

Пример 6. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда 3 и 4. Найти его объём, если высота равна длине диагонали его основания.

Решение: BD - диагональ основания прямоугольного параллелепипеда. BD2 = АВ2 + АD2,
BD2 = 32 + 42 = 9 + 16 = …, BD = …, h = 5. V = 345 = … см3.
Ответ:
60 см3.

Пример 7. Найти объём прямоугольного параллелепипеда, если стороны основания 2 и 3, а диагональ параллелепипеда .

Решение: d2 = a2 + b2 + h2 , ()2 = 22 + 32 + h2 , h 2 = 38 – 49 = 25, h = ...

V = 23 5 = … см3.
Ответ: 30 см3.

2)Решить задачи ( по примерам):

  1. Площадь грани прямоугольного параллелепипеда равна 15. Ребро, перпендикулярное этой грани, равно 6. Найдите объем параллелепипеда.

  2. Объем прямоугольного параллелепипеда равен 24. Одно из его ребер равно 3. Найдите площадь грани параллелепипеда, перпендикулярной этому ребру.

  3. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 3, 4. Диагональ параллелепипеда равна 13. Найдите объем параллелепипеда.

  4. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 3, 6. Объем параллелепипеда равен 108. Найдите его диагональ и высоту.

  5. Дано: ABCDA1B1C1D1 - прямоугольный параллелепипед, диагональ  D1= 12 составляет угол в 30° с плоскостью боковой грани, и угол в 45° с боковым ребром. Найти: V.

  6. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда 6 и 8. Найти его объём, если высота равна длине диагонали его основания.

  7. Найти объём прямоугольного параллелепипеда, если стороны основания 4 и 6, а диагональ параллелепипеда .

3)Решить задачи :

1. Объём параллелепипеда равен 60 см3.

Проставьте недостающий размер.

? 4 см

5 см

2. Каковы измерения параллелепипеда на рис. б), сложенного из 3 одинаковых брусков, изображённых на рис. а). Каков его объём?hello_html_m5cd8b5bc.png


3. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда с ребрами 3 см, 5 см и 8 см.

а) 120 см3; б) 60 см3; в) 32 см3; г) другой ответ.

4. Длина прямоугольной комнаты в 2 раза больше ширины и на 2 м больше высоты. Найдите объем комнаты, если ее длина равна 6 м.

а) 432 м3; б) 144 м3; в) 72 м3; г) другой ответ.

5. Найдите объем куба, если площадь его развертки равна 96 см2.hello_html_m115c4d1e.jpg

а) 16 см3; б) 64 см3; в) 80 см3; г) другой ответ.

6. Найдите ребро куба, если его объем равен  512  м3

а) 4 м; б) 8 м; в) 16 м; г) другой ответ.

7. Как изменится объем параллелепипеда, если его длину увеличить в 4 раза, ширину увеличить в 6 раз, а высоту уменьшить в 8 раз?

а) увеличится в 3 раза; б) уменьшится в 12 раз; в) не изменится; г) другой ответ.hello_html_54b46307.png

8. Три ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1; 0,5 и 16. Найдите ребро равновеликого ему куба.

9. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 1,5. Найдите объем параллелепипеда.

10.Площадь грани прямоугольного параллелепипеда равна 12. Ребро, перпендикулярное этой грани, равно 5. Найдите объем параллелепипеда.

11. Дано: ABCDA1B1C1D1 - прямоугольный параллелепипед. B1= 10 .

Найти: V.

12. По готовым чертежам найти: V.hello_html_m523d2727.jpg

а) б) hello_html_763e6c8a.jpg





13. Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 2,5 см, 5 см, 5 см. Найти ребро куба, объем которого в два раза больше объема данного параллелепипеда.

14.Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда по трем его измерениям,

равным 3 см, 4 см, 5 см. 

15.Найдите площадь сечения куба ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через ребро АВ и середину ребра В1С1, если ребро куба равно 2 см.

16.Найдите площадь сечения куба ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через

ребра АВ и C1D1, если ребро куба равно 3 см. 

4) Выполнить расчет по модели прямоугольного параллелепипеда:
измерить длину, ширину, высоту и найти объем.



Инструкционная карта

ПР № 8 «Вычисление объёма прямой призмы. Вычисление объёма цилиндра».

Задание:

  1. Перепишите и заполните пропуски:

Вычисление объёма прямой призмы. hello_html_m47ca6280.jpg

Пример 1. Дано: АВСА1В1С1 - прямая призма, АС = ВС, ACB = 90°BN NACNC1 = 45°CC1 = 6 (рис.). Найти: V. Решение: V = Sh , S = BC2 : 2, BC2 = BN2 + CN2 , BN =CN
(
ΔABC – прямоугольный,AC =BC), ΔC1CN – прямоугольный,CNC1 = 45°
CC1 = CN= 6, BC2 =2CN2 = 2 62 = 236 = …, BC = 6 ,
V = (62 6 : 2 = 36 6 = … см3.    
Ответ:216см3.     Пример 2. Дано: ABCDА1В1С1D1 - прямая призма,  ABCD - ромб, BAD = 60° (рис.). ВВ1 = 2, B1DB = 45°. Найти: V. РешениеSp = AB AD sin 60°. ΔABD – равносторонний( AB = AD,BAD = 60° ).
AB = BD = AD. ΔB1DB –прямоугольный ,
B1DB = 45°. => ΔB1DB – равнобедренный, ВВ1 = ВD = 2,
V = AB AD sin 60° BB1= BB13 sin 60° = 23 / 2 = … см3.
hello_html_6c1a9bbb.jpg

Ответ: 4 см3

Пример 3. Дано: ABCDFM...M1 - правильная шестиугольная призма. AD1 = 8 см - наибольшая диагональ.AD1= 30°(рис.).hello_html_72355ff0.jpg

Найти: V. 
Решение: V= S0 · h. h = DD1 в ΔADD1, = 90°. D1 = 30°,

DD1 = AD1 · cos 30°. DD1 = 8 / 2 = … , AD = AD1 : 2 = 8 : 2 = … см,
OD = OC = CD = AD : 2 = 4 : 2 = …
см,
S
0 = 6S ΔOCD = 6 / 4) a2 = 6 / 4) 22 = 6 см. V = 6 = 6 43 = … см3.    

Ответ: 72 см3.   hello_html_m62762a7f.jpg

Пример 4. Дана трапеция, S(BB1C1C) = 8 см2, S(AA1D1D) = 12см2, BH = 5 см (рис.).Найти: Vnp. 
Решение:1)Расстояние между параллельными плоскостями ВВ1С1 и AA1D1 есть длина перпендикуляра ВН, который является высотой трапеции ABCD.

2) Обозначим верхнее основание трапеции - а, нижнее - b, высоту призмы h, тогда S(BB1C1C) = ah, 8 = ah, a = 8 / h, S(AA1D1D) = bh , 12 = bh, b = 12 / h,

3) S0 = (AD + BC)BH : 2 =( a + b ) BH : 2 = (8 / h + 12 / h) 5 : 2 = … / h,

4) V= S0 · h. V= 50 / · h = … см3.  Ответ: 50 см3.

Вычисление объёма цилиндра.
Пример 1
. Дано: цилиндр, r = 2см, h = 3 см. Найти: V.

Решение: V= S0 · h. V= πr2 · h = π()2 3 = π 8 3= … π см3.
Ответ: 24π см3.

Пример 2. Дано: цилиндр, r = h= 8π см3.Найти: h.

Решение: V= S0 · h. V= πr2 · h, так как r = h, то V = πh3 => h3 = V / π, h3 = 8 π / π = 8, h = … см.
Ответ: 2 см.
hello_html_2cd2a3a8.jpg

Пример 3. Дано: цилиндр, ABCD - осевое сечение, ABCD - квадрат, 

АС = 8см. (рис.). Найдите: Vцил. 

Решение:1) V= S0 · h. 

2)Рассмотрим ΔАВС - прямоугольный, так как ABCD квадрат.
Пусть АВ = ВС =
x см(x >0), тогда x2 + x2 = (8)2, 2x2 = 642,x2 = 64, x = ....
Итак: АВ = ВС = 8 см, т.е. 
= 8 (см).

3) Найдем радиус основания: = 1/2AD = h / 2 = 8 : 2 = … см, тогда S0 = πr2 , S0 = 16π см2. 

4) V= S0 · h. V= 16 π · 8 = … π см3.  

Ответ: 128 π см3.

Пример 4. Дано: цилиндр, ABCD - осевое сечение, ABCD - квадрат, АС = 6см
(рис.
Пример 3.). Найдите: Vцил. Решение:

1) V= S0 · h.  2)Рассмотрим ΔАВС - прямоугольный и равнобедренный, так как ABCD – квадрат.

Обозначим АВ = ВС = х см (x >0), тогда x2 + x2 = (6)2, 2x2 = 362,x2 = 36, x = … ,
т. е. АВ = ВС = 6 см, и так = 6 см. 3) Найдем радиус основания r = AD : 2 = AB : 2 = 6 : 2 = …см. S0  = πr2 = 9πсм2. 

4) V= S0 · h. V= 9π · 6 = … πсм3.  
Ответ: 54π см3.
hello_html_60118f26.jpg

Пример 5. Дано: цилиндр (MNKL) || OO1, ОН =15 см, МК = 20 см, r = 17 см (рис.). Найдите: Vцил. 

Решение:1) MN || OO1 и KL || OO1, т.е. MN || KL; ОО1 основанию  MN  основанию и КО  основанию, кроме того NK ||ML - лежат в параллельных плоскостях, таким образом четырехугольник MNKL - прямоугольник.

2)  V= S0 · h. V= πr2 · h = 172πh = … πh см3

3) Рассмотрим ΔMOL: проведем ОН  ML; ОН и есть расстояние от плоскости сечения до оси цилиндра, т. е. ОН = 15 см. ОН - высота, медиана и биссектриса равнобедренного ΔMOL,

HL = ML : 2 , HL2 = OL2OH2 = 172 – 152 = 289 – 225 = … , HL = … см, ML = 28 = … см.

4) Находим высоту цилиндра из прямоугольного ΔMKL:
h2 = KL2 = MK2ML2 = 202 – 162 = 400 – 256 = … , h = … см.

5) V =289π 12 = … π см3. Ответ: 3468π см3.

2)Решить задачи ( по примерам): Призма.

  1. Дано: АВСА1В1С1 - прямая призма, АС = ВС, ACB =90°BN NACNC1 = 45°CC= 8 (рис.). Найти: V.

  2. Дано: ABCDА1В1С1D1 - прямая призма,  ABCD - ромб, BAD = 60° (рис.). ВВ1 = 4, B1DB = 45°. Найти: V.

  3. Дано: ABCDFM...M1 - правильная шестиугольная призма. AD1 = 16 см - наибольшая диагональ.AD1= 30° (рис.). Найти: V. 

  4. Дана трапеция, S(BB1C1C) = 10 см2, S(AA1D1D) = 14см2, BH = 10 см (рис.). Найти: Vnp.  Цилиндр.

  1. Дано: цилиндр, r = 4см, h = 3 см.Найти: V.

  2. Дано: цилиндр, r = h= 27π см3.Найти: h.

  3. Дано: цилиндр, ABCD - осевое сечение, ABCD - квадрат, АС =10см.(рис.). Найдите: Vцил. 

  4. Дано: цилиндр, ABCD - осевое сечение, ABCD - квадрат, АС = 4 см (рис. Пример 3.). Найдите: Vцил.

  5. Дано: цилиндр (MNKL) || OO1, ОН =30 см, МК = 40 см, r = 34 см (рис.). Найдите: Vцил. 

3)Решить задачи :hello_html_m47ca6280.jpg

  1. Дано: АВСА1В1С1 - прямая призма, АВ = ВС = 20 см, АС = 24 см, К - середина ребра,  KDB =60° (рис.). Найти: Vпр.

  2. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает 27 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если ее перелить в другой такой же сосуд, у которого сторона основания в 3 раза больше, чем у первого?

  3. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 5. Объем призмы равен 60. Найдите ее боковое ребро.

  4. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 5, боковое ребро равно 4. Найдите объём призмы.

  5. Стор она основания правильной треугольной призмы равна 3см, а высота – 4 см. Найдите объём призмы.

  6. Найдите объем цилиндра с высотой, равной 3 см, и диаметром основания, равным 6 см.

  7. Объем цилиндра равен 27π. Найдите диаметр основания цилиндра, если площадь полной его поверхности в два раза больше площади боковой поверхности.

  8. Диагональ осевого сечения цилиндра составляет с плоскостью основания цилиндра угол 60°. Найдите объем цилиндра, если площадь осевого сечения равна 16 см².

  9. Площадь осевого сечения цилиндра равна 21 см², площадь основания - 18π см². Найдите объем цилиндра.

  10. Параллельное оси цилиндра сечение отсекает от окружности основания дугу в 120°. Радиус основания цилиндра равен R, угол между диагональю сечения и осью цилиндра равен 30°. Найдите объем цилиндра.


Инструкционная карта

ПР № 9 «Вычисление объёма пирамиды .Расчет по модели объёма конуса».

Задание:

  1. Перепишите и заполните пропуски:

Пирамида.

Пример 1. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 9 см. Сторона основания 4 см. Найдите объем пирамиды.

Решение: V= 1/3 S0 · h. V= 1/3 a2 · h = 1/3· 42·9 = 1/3 · 16 · 9 = 16 · 3 = … см3. Ответ: 48см3. 

Пример 2. a) Объем правильной четырехугольной пирамиды равен 27 см3, высота 9 см. Найти сторону основания.

Решение: V= 1/3 S0 · h. V= 1/3 a2 · h, a2  = 3V : h = 3 · 27 : 9 = 3 · 3 = ... , a = … см.

Ответ: 3 см.hello_html_m12ec6366.jpg

б) Объем пирамиды равен 56 см3, площадь основания 14 см2. Чему равна высота?

Решение: V= 1/3 S0 · h.  h = 3 V : S0  = 3 · 56 : 14 = 3 · 4 = … см.

Ответ: 12 см.

Пример 3. Дано: ABCD - правильная пирамида.

АВ = a = 3; AD = 2 (рис.).Найти: aSocн.; б) АО; в) DO; г) V.

 Решение:

а) S0 = 0,25 · a2  = 0,25 · 32 = 2,25 (используем формулу для вычисления площади правильного треугольника). 

б) AO = R = 2/3h = 1/3 a  (формула радиуса описанной окружности через сторону правильного треугольника). AO = 1/3 · 3 = .

в) DO2 = AD2AO2, (по теореме Пифагора).

DO2 = (2)2 – ()2 = 4 · 3 – 3 = … , DO = h = 3.hello_html_5fef969e.jpg

г) V= 1/3 S0 · h. V= 1/3 · 2,25 · 3 = … см3.

Ответ: aSocн. = 2,25 см2; б) АО = см; в) DO = 3см; г) V = 2,25 см3 .

Пример 4. Дано: ABCDF - правильная пирамида. 

FCO = 45°FO = 2 (рис.). Найти: a) Socн.; б) V. 

Решение:

1) Рассмотрим ΔFOC= 90°= 45°, значит, = 45°. Следовательно, ΔFOC - равнобедренный, ОС ≈ FO = h= 2.

2) АС = 2OС = 4. AC = AD (по свойству диагонали квадрата, d2 = 2а2).

Тогда  AD = AC / = 4 / = 2 .

3) ABCD - квадрат (пирамида правильная). S0 = AD2 = (2)2 = 2 · 4 = ...

4) V= 1/3 S0 · h. V= 1/3 · 8 · 2 = 16/3 5,3. Ответ: a) 8; 6) 5,3.hello_html_6d91a8cf.jpg

Пример 5. Дано: ABCA1B1C1 – усеченная пирамида. ΔАВС – прямоугольный,
AB = 18 дм, BC = 24 дм, AA1 = BB1 = СС1 = 12,5 дм, k = 0,5. Найти V.

Решение: S1 = SABC = 1/2 · AB · BC = 1/2 · 18 · 24 = 9 · 24 = … ,
S
2 = S(A1B1C1) = 1/2· A1B1 · B1C1 = 1/2 (k · AB) · (k · BC) =
= 1/2· 0,5 · 18 · 0,5 · 24 = 6 · 9 = … ,
S = S
1 + S2 + = = 216 + 54 + = 216 + 54 + 54 = … ,
V = 1/3 · h · S = 1/3 378 h = 126 h, R
1 = abc/4S1 ,

c = = = … , R1 = = = …, hello_html_m78f1984a.jpg

R2 = R1 : 2 = 7,5; h2 = 12,52 – (15 – 7,5)2 = 12,52 – 7,52 = (12,5 – 7,5) · (12,5 + 7,5) =

= 5 · 20 = … , h = … ,

V = 126 h = 126 · 10 = … (дм3).
Ответ: 1260 (дм3).

Пример 6. усеченная пирамида а) n = 3, а1 = 2, а2 = 5, h = 12, V =?
Решение: A = 22 + 52 + 2 · 5 = 39, V = · h · A = · 12 · 39 = … . Ответ: 39 .

б) n = 4, a1 = 3, a2 = 8, h = 6, V = ?
Решение: A = 32 + 82 + 3 · 8 = 97, V = 1/3 · 6 · 97 = 2 · 97 = ...

Ответ: 194.


в) n = 6, a1 = 4, a2 = 9, h = 8, V = ?

Решение: A = 42 + 92 + 4 · 9 = 133, V = · 8 ·133 = 4 · 3 · 133 = ... Ответ: 1596.

Конус.

Пример 1. a) Вычислите объем конуса, если его высота 6 см, а площадь основания 42 см2.

Решение: V= 1/3S0 · h. V= 1/3· 42 · 6 = 42 2 = … см3.

Ответ: 84 см3. 

б) Найти объем конуса с радиусом основания 4 м и высотой 6 м .hello_html_22f040f9.jpg

Решение: V= 1/3 πr2 · h. V= 1/3 · π ·42 · 6 = … π м3. 

Ответ: 32 π м3. 

Пример 2. Образующая конуса равна 60 см, высота 30 см. Найдите Vк (рис.).

Решение: Из ΔАOР (O = 90°): Так как РО = 1/2АР, то = 30°, 
R = AO = 60· cos 30° = 60 · / 2 = …  см,

V= 1/3 πr2 · h. V= 1/3 π(30)2 · 30 = 900 3 10 π = … π см3. Ответ: V = 27000π см3.

Пример 3. Образующая конуса, равна 12 см, наклонена к плоскости основания под углом 30° (рис.).

Найдите объем конуса.hello_html_77625222.jpg

Решение: V= 1/3 π ·AO2 · SO.  Из ΔАSO (O = 90°): h = SO = 1/2 AC = 12 : 2 = … см.

R = AO = 12 · cos 30° = 12 · / 2 = …  см.

V= 1/3 π(6)2 · 6 = 2 π · 36 · 3 = … π см3. Ответ: V= 216π см3.

Пример 4. Образующая конуса 8 см, а угол при вершине осевого сечения 60°.hello_html_6c88cf6d.jpg

Найдите объем конуса. 

Решение: (рис.) V= 1/3 πr2 · h. r = 8 : 2 = … см.

h = 8 · sin 60° = 8 · / 2 = …  см.

V= 1/3 π · 42 · 4 = 64 / 3 21,3π см3. Ответ: 21,3π см3.

2)Решить задачи ( по примерам): Пирамида.

  1. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 6 см. Сторона основания 5 см. Найдите объем пирамиды.

  2. a)Объем правильной четырехугольной пирамиды равен 48 см3, высота 4 см. Найти сторону основания. б) Объем пирамиды равен 28 см3, площадь основания 4 см2. Чему равна высота?

  3. Дано: ABCD - правильная пирамида. АВ = a = 6; AD = 4 . Найти: aSocн.; б) АО; в) DO; г) V.

  4. Дано: ABCDF - правильная пирамида.  FCO = 45°FO = 4 . Найти: a) Socн.; б) V. 

  5. Дано: ABCA1B1C1усеченная пирамида. ΔАВС прямоугольный, AB = 12 дм,BC = 16 дм, AA1 = BB1 = СС1 = 13 дм, k = 0,5. Найти V.

  6. а) n = 3, а1 = 2, а2 = 5, h = 24, V =?, б) n = 4, a1 = 3, a2 = 8, h = 3, V = ?,
    в) n = 6, a1 = 4, a2 = 9, h = 4 , V = ?

Конус.

  1. a)Вычислите объем конуса, если его высота 3 см, а площадь основания 12 см2.

б) Найти объем конуса с радиусом основания 5 м и высотой 9 м .

  1. Образующая конуса равна 4 см, высота 2 см. Найдите Vк (рис.).

  2. Образующая конуса, равна 12 см, наклонена к плоскости основания под углом 30° (рис.).
    Найдите объем конуса.

  3. Образующая конуса 4 см, а угол при вершине осевого сечения 60°.Найдите объем конуса. 

3)Решить задачи :

  1. Дано: ABCDEKF – прав. пирамида. FO  (ABC), FM  AK, FO = 8, FM = 10.
    Найти:
    a) Socн.; б) V. 

  2. В треугольной усеченной пирамиде с высотой, равной 10, стороны одного из оснований равны 27, 29 и 52. Определите объем усеченной пирамиды, если периметр другого основания равен 72.

  3. Дано: конус, АР = см, PAB = 45°. Найти: V. 

  4. Найдите объем конуса, осевое сечение которого представляет собой равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной 6 см.

  5. Найдите объем конуса, полученного в результате вращения вокруг большего катета прямоугольного треугольника с гипотенузой, равной 2 см, и углом 30°.

4) Выполнить расчет по модели конуса: измерить диаметр основания и высоту конуса , найти радиус основания и объем конуса.

Инструкционная карта

ПР № 10 « Расчет по модели площади цилиндра и конуса».

Задание:

  1. Перепишите и заполните пропуски:

Пример 1. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, если диагональ его осевого сечения, равная 8см, составляет с образующей цилиндра угол величиной 30° . Решение: Поскольку AC = 8 см, а угол ACD = 30°, то CD = AC cos 30°  . Треугольник ACD - прямоугольный. Соответственно, CD / AC = cos ACD по свойству тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике.
Значение
  cos 30 найдем из таблицы значений тригонометрических функций. CD = 8  /2 = 4. Аналогично,  AD = AC sin 30° , AD = 8 1/2 = … , Откуда радиус основания цилиндра
равен
R = 4/2 = ... см.
Площадь основания цилиндра, соответственно, равна
  S1 = πR2 = 4π. Площадь боковой поверхности цилиндра равна площади его развертки - произведению длины окружности основания и высоты цилиндра. То есть: S2 = 2πRh = 2π 2 4= … π. Общая площадь поверхности цилиндра равна: 
S =S1 + S2 =   4π +  16π.
Ответ:  4π +  16π.
Пример 2. Дано: цилиндр; ABCD - квадрат; АС = 4 см (рис. ). Найти: Sб.п.ц. Решение: Sб.п.ц. = 2πRH. Пусть АВ = х, тогда х2 + х2 = 42; 2х2 = 16; х2 = 8;
х = 2. 
= ; Н = 2. . Sб.п.ц. = 2π · · 2= 2 2 2 π = …π (см2).
Ответ: 8π см2. Пример 3. Дано: цилиндр, ABCD - квадрат; Sосн.ц. = 16π см2 (рис.). Найти: Sб.п.ц. Решение: πR2 = 16π; R2 = 16; R = ... , АВ = ВС = 4 · 2 = … (см). 
Sб.п.ц. = 2πRH, где R = 4; Н = 8.Sб.п.ц. = 2π · 4 · 8 = … π (см2).
Ответ:
64π см2.
Пример 4. Высота конуса равна 5см, а радиус основания 12см.
Найдите площадь полной поверхности конуса. 
Решение: Для нахождения площади поверхности конуса воспользуемся следующими формулами: S1 = rl - площадь боковой поверхности конуса, где r - радиус конуса, а l - длина образующей, S2 = r2 - площадь круга, то есть основания конуса. Таким образом, площадь поверхности конуса составит 
S = S
1 + S2 . Поскольку S1 = rl , найдем образующую. Поскольку высота конуса, радиус основания конуса и образующая являются сторонами прямоугольного треугольника,
то
l2 = h2 + r2 , l2 = 52 + 122 = 25 + 144 = … , l = ....
Тогда
 S = S1 + S2 = + 144 = 156+ 144 = … ≈ 942,48 
Ответ: 300 ≈ 942,48 см2 .
Пример 5. Дано: конус, h = OP = 1,2 см, Sосев. = 0,6 см2 (рис.). Найти: Sполн. . Решение: 1) Осевое сечение - треугольник: высота 1,2 см и основание 2r.
Sосев. =  · 2r h = r h, r = Sосев. : h = 0,6 : 1,2 = 0,5 см.
Из ΔАОР по теореме Пифагора:
l2 = h2 + r2  = OP2 + OA2.
l2 = 1,22 + 0,52 = 1,44 + 0,25 = …, l = … см.
Sполн. = · (r + l) , Sполн. = 0,5 · (0,5 + 1,3) = · 0,5 · 1,8 = …
hello_html_m6d6bd24b.jpghello_html_2cd2a3a8.jpghello_html_28ad1e01.jpg

Ответ: 0,9π см2.


2)Решить задачи ( по примерам):


  1. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, если диагональ его осевого сечения, равная 16 см, составляет с образующей цилиндра угол величиной 30 °.

  2. Дано: цилиндр; ABCD - квадрат; АС = 16 см . Найти: Sб.п.ц.

  3. Дано: цилиндр, ABCD - квадрат; Sосн.ц. = 25π см2 . Найти: Sб.п.ц.

  4. Высота конуса равна 10 см, а радиус основания 24 см.
    Найдите площадь полной поверхности конуса.

  5. Дано: конус, OP = 2,4 см, Sосев. = 2,4 см2 .Найти: Sполн..



3)Решить задачи :

  1. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, если диагональ его осевого сечения,
    равная 4 см, составляет с образующей цилиндра угол величиной 30
    °. 

  2. Дано: цилиндр; ABCD - квадрат; АС = 8см (рис.). Найти: Sб.п.ц.

  3. Дано: цилиндр, ABCD - квадрат; Sосн.ц. = 36π см2 (рис.). Найти: Sб.п.ц.

  4. Площадь боковой поверхности цилиндра вдвое больше площади основания, а площадь полной поверхности равна 256π см². Найдите радиус r и высоту цилиндра h.

  5. Площадь основания равностороннего цилиндра равна 2π см². Найдите площадь осевого сечения цилиндра.

  6. Найдите угол между высотой и образующей конуса, если площадь боковой поверхности конуса равна 2, а площадь полной его поверхности равна 3.

  7. Образующая конуса, равная 4 см, наклонена к плоскости основания под углом 60°. Найдите площадь осевого сечения конуса.

  8. Угол при вершине осевого сечения конуса равен 60°, сумма длин его высоты и образующей равна 2 см. Найдите площадь полной поверхности конуса.

  9. Радиус основания конуса равен 10 см, а высота равна 15 см. Найдите площадь сечения конуса плоскостью, параллельной основанию и находящейся на расстоянии 2 см от вершины конуса.

  10. Высота конуса равна 6 см, а радиус основания 8 см. Найдите площадь полной поверхности конуса.

  11. Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 60° и равна 4   см. Найдите площадь осевого сечения конуса, 

  12. Радиус основания конуса равен 7 см, а высота — 7 см. Найдите площадь сечения конуса плоскостью, параллельной основанию и находящейся на расстоянии 4 см от его вершины, 

  13. Найдите боковую поверхности цилиндра с высотой, равной 3 см, если осевое сечение цилиндра плоскостью - квадрат,

  14. Найдите боковую поверхность конуса, в осевом сечении которого равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой 6 см. 

  15. Радиус основания конуса равен 2см, а образующие наклонены к плоскости основания под углом 60°. Найдите боковую поверхность и объем конуса,

  16. Боковая поверхности цилиндра равна 48π см2, радиус основания - 6 см. Найдите площадь осевого сечения,

  17. Найдите боковую поверхность конуса, осевое сечение которого равнобедренный треугольник с углом при вершине 120° и боковой стороной 6см. 

  18. Осевое сечение цилиндра - квадрат, диагональ которого 4 см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

  19. Радиус основания конуса равен 6 см, а образующая наклонена к плоскости основания под углом 60°. Найдите площадь сечения, проходящего через две образующие, угол между которыми равен 45° и площадь боковой поверхности конуса.

  20. В цилиндре проведена плоскость, параллельная оси и отсекающая от окружности основания дугу в 120°. Диагональ сечения равна 20 см и удалена от оси на 3 см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

4) Выполнить расчет по модели цилиндра и конуса:
измерить диаметр основания и высоту цилиндра и конуса ,
найти площадь основания цилиндра и конуса,
найти площадь боковой поверхности цилиндра и конуса,
найти площадь полной поверхности цилиндра и конуса.
5) Формулы для расчета площадей (результат округлить до целого числа, принять
при расчете
π = 3) .

Цилиндр:

S осн.= r2 = 0,25 d2 π , S бок.= rh= , S пол .= r ( h + r ) = 0,25 d2 π;

r = 0,5; S пол .= S осн. + S бок.

Конус:

S осн.= r2 = 0,25 d2 π , S бок.= r l = 0,5 l; S пол .= r (r + l ) = 0,25 d2 π + 0,5 l;

l2= h2+ 0,25 d2, r = 0,5; S пол .= S осн. + S бок.



Инструкционная карта

ПР № 11 «Вычисление объёма шара. Расчет объёмов сегмента, слоя, сектора шара».

Задание:

  1. Перепишите и заполните пропуски:

Пример 1. a)Вычислите объем шара, если его радиус = 6 см.
Решение: Vшара = 4/3 R3 = 4/3216 = 72 4 = ….

  • Ответ: 288 см3.

  • б)Вычислите диаметр шара, если его объем V = 36π.

  • Решение: Vшара = 1/6 d3 = 1/6 d3, d3 = 36 6 = … , d = 6.

  • Ответ: 6 см.hello_html_66b842ba.jpg

  • Пример 2.Диаметр основания конуса равен 6 м, образующая наклонена к плоскости основания под углом 60° (рис.). Найти: объем шара описанной около конуса сферы. 

  • Решение:

  • 1) Центр O1  ОС, OBC = 60°  ΔАВС - равносторонний.

  • 2) R = O1C = AB / 3 = 6 /3 = … .

  • 3) Vшара = 4/3 R3 = 4/3 (2)3 = 4/3 8 3 = … .

  • Ответ: 32  м2.

  • Пример 3. Диаметр свинцового шара равен 30 см. Сколько шариков, диаметр которых 3 см, можно сделать из этого свинца?

  • Решение: n = V1 / V2 = /6 d1 3) / (6 d23) = d1 3 / d2 3 = (d1 / d2)3 = (30 / 3) 3 = 103 = ...

  • Ответ: 1000 шариков.

Пример 4. Какую часть шара составляет объем шарового сегмента, у которого высота равна 0,1 диаметра шара?
Решение: Десятая часть диаметра есть пятая часть радиуса. Значит, высота сегмента h= R/5 ,
V сегм. = (R/5)2 (RR /15) = (R2/25) 14R/15 = 14 R3/375,
V сегм.: V = ( 14/375) : (4/3) = 7/250 100 % = 28 : 10 = … % .
Ответ:  2,8%.
Пример 5. Плоскость, перпендикулярная диаметру шара, делит его на части 3 см и 9 см. На какие части делится объем шара?
Решение: = (3 + 9) : 2 = … см. Высота меньшего сегмента h равна 3 см.
Его
V1 = h2 (Rh / 3) = 32 (61) = 5 9 = … см2.
V = 4/3 R3 = 4/3 63 = 4/3 216 = 72 4 = … см3.
Значит, 
V2 = VV1 = 288 – 45 = … см3.
Ответ: 45 , 243 см3. Пример 6. Дано: шар, DС — диаметр секущей плоскости, АМ = 6 см, MB = 12 см (рис.). V1 - объем меньшего шарового сегмента, V2 - объем большего шарового сегмента. Найти: V1, V2. 
Решение: СD  АВ, АМ = 6 см, MB = 12 см. На рисунке: DС - диаметр круга, который является плоскостью, перпендикулярной к диаметру шара, делящей шар на два шаровых сегмента.
Диаметр шара АВ = АМ +
 MB = 6 + 12 = … (см),R = 18 : 2 = … см.
Объем шарового сегмента вычисляется по формуле:
V = h2 (Rh / 3) ,  где h = AM - высота меньшего сегмента. V1 = AM2 (RAM / 3) = 62 (9 – 6/3) = 36 7 = … см3. Объем шара равен:   Vшара = 4/3 R3 = 4/3 93= 4 81 3 = … см3.
V2 = VV1 =  972 252 = … см3.
Ответ: 252π см3 и 720π см3.
Пример 7. Чему равен объем шарового сектора, если радиус окружности основания равен 60 см, а радиус шара - 75 см.
Решение: Пусть R - радиус шара, r - радиус основания сегмента. Вычислим высоту сегмента Н = РО1, OP = R. Из прямоугольного ΔОО1М: 
OO12 = OM2O1M2 = R2r2 = 752602 = 5625 – 3600 = …, OO1 = … см. h = PO1 = OPOO1 = 7545 = … см.
V = 2/3 R2 h = 2/3 75230 = 20 5625 = … см3.
Ответ: 112 500 см3.
Пример 8. Дано: шар, h = 30, R = 45 см. Найти: V1, V2, V3.
Решение:
Объем шарового сегмента вычисляется по формуле: V1 = h2 (Rh / 3) ,  V1= 302 (45 – 30:3) = 900 35 = … см3.
V2 = 4/3R3 2 h2 (Rh / 3)
V2 = 4/3453 2 302 (45 – 30 / 3) = 121500 63000 = …см3.
V3= 2/3 R2h = 2/3452 30 = 2025 20 = … см3.
Ответ: 31500 58500 40500см3.
hello_html_m45f5722.jpghello_html_m4c44f677.jpg

2)Решить задачи ( по примерам):

  1. a)Вычислите объем шара, если его радиус = 3 см.
    б)Вычислите диаметр шара, если его объем V= 32π/3.

  2. Диаметр основания конуса равен 6 м, образующая наклонена к плоскости основания под углом 60° .Найти: объем шара описанной около конуса сферы. 

  3. Диаметр свинцового шара равен 30 см. Сколько шариков, диаметр которых 3 см, можно сделать из этого свинца?

  4. Какую часть шара составляет объем шарового сегмента, у которого высота равна 0,2 диаметра шара?

  5. Плоскость, перпендикулярная диаметру шара, делит его на части 6 см и 12 см. На какие части делится объем шара?

  6. Дано: шар, DС — диаметр секущей плоскости, АМ = 3 см, MB = 9 см . V1 - объем меньшего шарового сегмента, V2 - объем большего шарового сегмента. Найти: V1V2. 

  7. Чему равен объем шарового сектора, если радиус окружности основания равен 12см, а радиус шара - 15 см.

  8. Дано: шар, h = 30, R = 42 см. Найти: V1V2, V3.

3)Решить задачи :

  1. Вычислите объем шара, если его радиус R = 6 см.

  2. Вычислите диаметр шара, если его объем V = 36π.

  3. Объем шара равен 135. Найти объем другого шара, диаметр которого в 3 раза больше, чем у данного.

  4. Площадь сечения шара плоскостью равна 16π. Найти расстояние от плоскости сечения до центра шара, если объем шара равен 500/3 .

  5. Шаровой сегмент, R = 10 см, h = 6 см. Найти объем сегмента V.

  6. Шаровой слой, R = 36 см, h = 12 см, V = ?

  7. Шаровой сектор, R = 6 см, h = 2 см, V = ?

  8. Шаровой сегмент, R = 75 см, r = 60 см, (h > 100). Найти V.

  9. Шар, плоскость α делит его на две части и перпендикулярна AB, AB – диаметр шара,
    AO1 = 6 см, O1В = 12 см, O1 – центр сечения плоскостью шара.
    Найти объемы частей шара
    V1 и V2.

  10. а) Шаровой сегмент, h = 6 см, V = 720 π см3. R - ? б) Шаровой сегмент, r = 5 см, h = 1 см. R - ?

  11. а) Шаровой сектор, h = 15 см, V = 4000 π см3. R - ?
    б) Шаровой сектор,
    R = 10 см, V = 400 π см3. h - ?

  12. а) Шаровой сектор, r = 60 см, R = 75 см. V = ?
    б) Шаровой сектор,
    h = 30 см, V = 112500 π см3. R - ?

  13. Шаровой слой, h = 30 см, R = 45 см. V = ?

  14. Какую часть объема шара составляет объем шарового сегмента, у которого высота равна 0,1 диаметра шара, равного 20 см?

  15. Чему равен объем шарового сектора, если радиус окружности основания равен 60 см, а радиус шара - 75 см.

  16. Диаметр шара радиуса 15 см разделен на 3 части, длины которых относятся как 2:3:5. Через точки деления проведены плоскости, перпендикулярные диаметру. Найдите объем образовавшегося шарового слоя.

  17. Радиусы трех шаров 3, 4 и 5 см. Найдите радиус шара, объем которого равен сумме их объемов.

  18. В шаре радиуса 15 см проведено сечение, площадь которого равна 81 см2. Найдите объем меньшего шарового сегмента, отсекаемого плоскостью сечения.

  19. Найдите объем шарового сектора, если радиус шара равен 6 см, а высота соответствующего сегмента составляет шестую часть диаметра шара.

  20. Радиусы оснований шарового слоя равны 3 см и 4 см, а радиус шара - 5 см. Найдите объем слоя, если его основания расположены по одну сторону от центра шара. 


Инструкционная карта

ПР № 12 «Вычисление объёмов тел».

Задание:

1) Перепишите и заполните пропуски:
Пример 1. Дано: цилиндр, ABCD - осевое сечение, ABCD - квадрат, АС = 8 см. (рис.).
Найдите: 
Vцил.
Решение: 1) V= Sосн · h.
hello_html_2cd2a3a8.jpg

2) Рассмотрим ΔАВС - прямоугольный, так как ABCD квадрат.
Пусть АВ = ВС = х см, тогда х
2 + х2 = (8)2 , 2х2 = 64· 2 , х2 = 64,  х = …,
х = - 8 не удовлетворяет условию задачи. Итак: АВ = ВС = 8 см, т.е. 
= 8 (см).

3) Найдем радиус основания: = 1/2AD = ВС : 2 = 8 : 2 = … см,
тогда
S осн. =  r2 = … ,

4) V= 16 8 = …см3.
Ответ: 128 см3.
Пример 2. Цилиндр имеет диаметр основания 14 см, а высоту 5 см. Найдите объем и площадь полной поверхности цилиндра.

Решение: = 14 : 2 = … см, = 5 см, V= r2 · h = 49 · 5 = … см3.
S пол .= r ( h + r ) = 2 · 7 · · ( 5 + 7) = 14 ·12 = … см2.
Ответ:  245 см3 и 168 см2.
Пример 3. Образующая конуса равна 12 см. Угол между образующей и плоскостью основания равен 30 градусов. Найти объем конуса.
hello_html_m120fbaaf.png

Решение: Объем конуса найдем по формуле: 
 V= 1/3S0 · h.

Поскольку образующая вместе в высотой конуса и радиусом его основания образуют прямоугольный треугольник, то необходимые размеры конуса вычислим исходя из того, что нам известен угол этого прямоугольного треугольника между основанием и образующей конуса.

h / OB = sin 30 , h = OB sin 30 , h = 12 sin 30 , h = 12 · 1/2  = 12 : 2 = … ,
R / OB = cos 30
 , R = OB cos 30 , R = 12 cos 30 ,
R = 12 /2
 , R = 6   

Откуда объем конуса будет равен: 
V = 1/3π ( 6 )2 · 6  = 1/3π· 36 · 3 · 6 = 36 · 6 = …   см3.

Ответ: объем конуса равен   216π см3 .  
Пример 4. Объем конуса равен 27. На высоте конуса лежит точка и делит её в отношении 2:1 считая от вершины. Через точку проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса. 
Решение: Обратим внимание, что треугольники AOB и COD - подобны. Из условия задачи определим коэффициент подобия как 2:3. 
Объем конуса находится по формуле:  Vконуса = 1/3πR
2h = 27 (по условию) 
Тогда объем малого конуса будет равен 
Vмал.конуса = 1/3π
· (2/3R)2 · (2/3h) , то есть  Vмал.конуса = 1/3π· 4/9 R2 ·2/3 h, 
Vмал.конуса = 8/27
·1/3π R2 h 
а так как мы знаем, что 1/3π R
2 h= 27 (см. выше), то  Vмал.конуса = 8/27 · 27 = … 
Ответ:  объем малого конуса равен 8 см3.
Пример 5.Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 10, а угол боковой грани с плоскостью основания равен 60°. Найдите объем шара, вписанного в пирамиду (рис.). 
hello_html_m1caaa07f.jpg

Решение: Рассмотрим сечение, проведение через высоту пирамиды и две апофемы. В сечении получается ΔАВС - равносторонний. Радиус вписанной в него окружности будет равен  r = a / 2, r = 10/2 = 10 : 2 = … ,
Vшара= 4/3R3 = 4/3 53 = 500/3 167.
hello_html_7ac6054e.jpg

Ответ: 167.

Пример 6.В шар вписана правильная треугольная призма так, что ее высота вдвое больше стороны основания. Найдите объем шара, если объем призмы равен 27/π (рис.) 


Решение:

1) Пусть х - сторона основания. Тогда высота призмы 2х. Ее объем Sосн. · h.
V=/4 x2 x = /2x3. По условию V=27/ , /2 x3 = 27/, x3 = 54/, x = 3 .

2) Радиус найдем из ΔOO1A1O1A1 - радиус описанной окружности около треугольника A1B1C1O1A1 = a / ,

O1A1 = = ,
OO1= x = 3 , так как О - середина О1О2.

R2 = OA12 = O1A12 + OO12 = ()2 + ()2 = ( )2 = (2 )2. R = OA1 = 2 .

3)Объем шара Vшара= 4/3R3 = 4/3 8 = 4 · 8 · 2 = ...

 Ответ: = 64.

2)Решить задачи ( по примерам):

  1. Дано: цилиндр, ABCD - осевое сечение, ABCD - квадрат, АС = 6 см. Найдите: Vцил.

  2. Цилиндр имеет диаметр основания 16 см, а высоту 5 см. Найдите объем и площадь полной поверхности цилиндра.

  3. Образующая конуса равна 20 см. Угол между образующей и плоскостью основания равен 30 градусов. Найти объем конуса.

  4. Объем конуса равен 54. На высоте конуса лежит точка и делит её в отношении 2:1 считая от вершины. Через точку проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

  5.  Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 12 , а угол боковой грани с плоскостью основания равен 60°. Найдите объем шара, вписанного в пирамиду.

  6. В шар вписана правильная треугольная призма так, что ее высота вдвое больше стороны основания. Найдите объем шара, если объем призмы равен 54/π .

3)Решить задачи :

  1. Пусть V, r и h соответственно объем, радиус и высота цилиндра.
    Найдите
    V, если r = 5 см, h = 6 см.

  2. Пусть V, r и h соответственно объем, радиус и высота цилиндра. Найдите h,
    если
    r = 10 см, V = 400 см3.

  3. Радиус основания конуса равен 12 см, а его образующая равна 13 см. Найдите ребро куба, объем которого равен объему данного конуса.

  4. Пусть V, r и h соответственно объем, радиус основания и высота конуса. Найдите h,
    если
    r = 6 см, V = 288 см3.

  5. Радиусы оснований усеченного конуса равны r 1 и r 2 , а высота равна h. Найдите объем усеченного конуса V, если r 1 = 3 м, r 2 = 4 м, h = 3 м.

  6. Радиусы оснований усеченного конуса равны r 1 и r 2 , а объем равен V. Найдите высоту усеченного конуса h, если r 1 = 3 м, r 2 = 5 м, V = 294 м3.

  7. Пусть V, R соответственно объем и радиус шара. Найдите объем шара V, если R = 6 см.

  8. Пусть V, d соответственно объем и диаметр шара. Найдите диаметр шара d, если
    V = см3.

  9. Пусть V1, V 2 , V 3 соответственно объем шарового сегмента, объем шарового слоя, объем шарового сектора, R- радиус шара, h – высота шарового сегмента. Найдите V1, V 2 , V 3 , если R = 42 см и h = 30 см.

  10. Объемы двух шаров относятся как 8 : 1. Найдите отношение их радиусов.



Инструкционная карта

ПР № 13 «Составление уравнения сферы».
Задание:

1)Перепишите и заполните пропуски:
Пример 1. Сфера задана уравнением x 2 + (y + 3)2 + (z – 2)2 = 25.

Найдите координаты центра и радиуса сферы.

Решение: О - центр сферы, О(0,3,2), R = = ...
Ответ:
О(0,3,2), R = 5.

Пример 2. Напишите уравнение сферы радиуса = 7 с центром в точке А(2; 0; 1). Решение: (x …)2 + y 2 + (z + …)2 = 72. (x2)2 + y 2 + (z + 1)2 = …
Ответ: (x2)2 + y 2 + (z + 1)2 = 49.

Пример 3. Лежит ли А(2; 1; 4) на сфере, заданной уравнением  (x + 2)2 + (y 1) 2 + (z 3)2 = 1. Решение: Подставим координаты точки А в уравнение сферы (2 + 2)2 + (1 1) 2 + (4 3)2 = 1, 1 = 1(верно), точка А лежит на сфере.
Ответ:
точка А лежит на сфере.

Пример 4. Найти координаты центра и радиус сферы x2 + y2 + z2 + 4y - 2z = 4. Решение: x2 + y2 + z2 + 4y 2z = 4 выделим квадрат двучлена:
х
2 + у2 + 4у + 4 4 + z2  4z + 1 1 = 4, х2 + (у + 2)2 + (z 1)2 = 9, центр окружности С(…; …; …), радиус R = ...
Ответ:
С(0; 2; 1), R = 3.

Пример 5. Дано: уравнение сферы, х2 + у2z2 + 2у 4= 4.

Найти: а) О(х0; у0z0), R; б) m, при котором А(0; m; 2) и В(1; 1; m2) принадлежат сфере.

Решение: а) x 2 + y 2 +2у + z 2 – 4z = 4, x 2 + y 2 +2у +11 + z 2 – 4z + 4 4 = 4,
x 2 + (y + 1)2 + (z – 2)2 = 9. О(...,…,…), R = = ...
б) А(0; 
m; 2) и В(1; 1; m2)


 , , ,

, m = 2. При m = … точки A и В принадлежат сфере. Ответ: а) О(0; 1; 2), R = 3; б) при m = 2.

2)Решить задачи ( по примерам):

  1. Сфера задана уравнением (x – 1)2 + y 2 + (z – 2)2 = 9.

Найдите координаты центра и радиуса сферы.

  1. Напишите уравнение сферы радиуса = 4 с центром в точке А(2; 1; 0).

  2. Лежит ли А(5; 1; 4) на сфере, заданной уравнением  (x 3)2 + (y+ 1) 2 + (z 4)2 = 4.

  3. Найти координаты центра и радиус сферы x2 – 6x + y2 + z2 = 0.

  4. Дано: уравнение сферы, х2 + у2z2 + 4у 2= 4.

Найти: а) О(х0; у0z0), R; б) m, при котором А(0; m; 1) и В(1; 0; m2) принадлежат сфере.

3)Решить задачи :

  1. Точки А(3; –5; 6) и В(5; 7; –1) являются концами одного из диаметров сферы. Составьте уравнение этой сферы.

  2. Дана сфера x2 + y2 + z2 = 450  . Найти координаты точек пересечения сферы с прямой, проходящей через начало координат и точку А(4; 5; 3).

  3. Даны точки А(–1; 3; 2), В(0; 3; 1), С(2; –2; 0), D(–4; 2; 2), Е(5; 7; 8). Какие из этих точек принадлежат сфере с центром О(–2; 1; 0) и радиусом 3?

  4. Составьте уравнение сферы с центром О (2; 3; 4) и радиусом R=5.

  5. Точки А(7; –2; 4) и В(9; –8; 6) лежат на поверхности сферы и на прямой, проходящей через её центр. Составьте уравнение сферы.

  6. Сфера задана уравнением x 2 + y 2 + z 2 + 2y – 4z = 4. a)Найдите координаты центра и радиуса сферы. б) Найдите значение m, при котором точки А(0; m; 2) и В(1; 1; m – 2) принадлежат данной сфере.

  7. Диаметр сферы – отрезок АВ с концами А(2; –1; 4) и В(2; 7; 10). a) Составьте уравнение сферы. б) Найдите кратчайшее расстояние от точки данной сферы до плоскости Оxy.

  8. Сфера задана уравнением (x – 1)2 + y 2 + (z – 2)2 = 9. а)Найдите координаты центра и радиуса сферы. б)Определите, принадлежат ли данной сфере точки А(1; 3; 1) и В(2; 2; 1).


  1. Составить уравнение сферы в каждом из следующих случаев:

а) сфера имеет центр С(0; 0; 0) и радиус r = 9;

б) сфера имеет центр С(5; 3; 7) и радиус r = 2;

в) сфера проходит через начало координат и имеет центр С(4; 4; 2);

г) сфера проходит через точку А(2;1; 3) и имеет центр С(3; 2; 1);

д) точки А(2; 3; 5) и В(4; 1; 3) являются концами одного из диаметров сферы;

  1. Сфера задана уравнением x2 + у2 + z2 + 2у 4z = 4.

а) Найдите координаты центра и радиус сферы.

б) Найдите значение m, при котором точки А(0; m; 2) н В (1; 1; m2) принадлежат данной сфере.

  1. Найдите координаты центра и радиус сферы, заданной уравнением

(x – 2)2 + (y + 3) 2 + z2 = 25. 

  1. Напишите уравнение сферы радиуса R = 7 с центром в точке А(2; 0; 1).

  2. Лежит ли А(2; 0; 3) на сфере, заданной уравнением (x + 2)2 + (y 1) 2 + (z 3)2 = 1. 

  3. Могут ли все вершины прямоугольного треугольника с катетами 4 см и 2см лежать на сфере радиуса см?

  4. Найти координаты центра и радиус сферы x2 + 6х + y2 + z 2 = 0. 

  5. Найдите координаты центра и радиус сферы, заданной уравнением

(x + 3)2 + y 2 + (z 1)2 = 16. 

  1. Напишите уравнение сферы радиуса R = 4 с центром в точке А(2; 1; 0).

  2. Лежит ли точка А(5; 1; 4) на сфере, заданной уравнением

(x –3)2 + (y + 1) 2 + (z 4)2 = 4. 

  1. Могут ли все вершины прямоугольного треугольника с катетами 4 см и 2см лежать на сфере радиуса см?

  2. Найти координаты центра и радиус сферы x2 + y2 + 6у + z2 = 0. 

  3. Составить уравнение сферы с центром в точке А (–3; 4; –9) и проходящую через

точку N (–2; 6; 1).

  1. Составить уравнение сферы которая касается каждой из координатных плоскостей и проходит через точку M (2;1;3).

  2. Составьте уравнение сферы с центром в точке О(–1;0;2), если известно, что этой сфере принадлежит точка А(3;1;1).

  3. Даны точки А(2; –5;8) В(8; –2;5) С(5; –8:2)и Д(–2;-8; –5).Составьте уравнение сферы, если известно, что эти точки лежат на её поверхности.

  4. Точка А лежит на сфере с центром О(3; 0; 0).

  1. Напишите уравнение сферы.

  2. Принадлежат ли этой сфере точки с координатами и (4; –1; 0)?

  1. Составьте уравнение сферы, радиус которой равен 2, если известно, что центр сферы лежит в плоскости ОХZ, а сама сфера проходит через начало координат и точку А(1; 1; 0).

  2. Центр сферы имеет координаты (0; 0; 4). Сфера проходит через точку .

  1. Напишите уравнение сферы.

  2. Принадлежат ли сфере точки с координатами (3; 1; 5) и (0;6)?

  1. Составьте уравнение сферы с радиусом, равным 3, если известно, что центр сферы лежит на оси OZ и сфера проходит через точку К(–2; –2; 1).

  2. Найти уравнение сферы, проходящей через точки  (0;0;0), (4;0;0),(0;6;0) и (0;0;8).

  3. Определить координаты центра С и радиус r сферы, заданной уравнением

х 2 + у 2 + z 2 6х + 4z – 3 = 0.

  1. Определить координаты центра С и радиус r сферы, заданной уравнением

х 2 + у 2 + z 2 – 2х + 2у – 10z + 2 = 0.

  1. Найдите координаты центра и радиус сферы, заданной уравнением:

1)x² + y² + z² = 49,

2)(х 3)² + (у + 1)² + (z + 3)² = 1,

3)х² + (y 4)² + z² = 3,

4)(x 1)² + y² + (z + 2)² = 25.

  1. Найти координаты центра и радиус сферы, заданной уравнением
    x2 + y2 + z2 – x + 2y + 1 = 0.


Инструкционная карта

ПР № 14«Умножение вектора на число .Вычисление координат векторов».

Задание:

1)Перепишите и заполните пропуски:
Пример 1. Дано:



Решение:

  1. Находим координаты вектора

;

  1. Затем находим координаты вектора


  1. Теперь находим аналогично координаты вектора


  1. Теперь находим сумму данных векторов, складывая соответствующие координаты:


Ответ:
Пример 2. Дано: , . Найдите  

Решение: Первый случай

  1. Находим координаты вектора

;

  1. Затем находим разность векторов

;

  1. Теперь находим длину вектора :

Второй случай

  1. Находим координаты вектора

;

  1. Находим координаты вектора

;

  1. Затем находим сумму векторов

;

  1. Теперь находим длину вектора : =

Ответ:

Пример 3. Даны векторы   и . Найти

Решение: Для действий с векторами справедлив обычный алгебраический приоритет: сначала умножаем, потом складываем:

=  3 - 2= - =
= = .

= + 4 {7; -9 ;1 } = + = =

=
Ответ:  ,

Пример 4. Найдите сумму векторов: и .

Решение: , .

Ответ:

Пример 5. Даны векторы , Найдите координаты векторов

Решение: , , с ,

, .

Ответ:

2)Решить задачи ( по примерам):

  1. Дано: А(2;1;6), В (2;0; 1), С(1; 5; 0)

  1. Дано: , , ; 2).

  2. Даны векторы   и ,  . Найти

  3. Найдите сумму векторов: и .

  4. Даны векторы , , . Найдите координаты векторов

и

3)Решить задачи :

  1. Найдите координаты вектора , если

  2. Даны векторы {1;3; 3} и . Найдите координаты и длину вектора.

  3. Даны векторы {3;1; 2} и . Найдите координаты вектора ,

  4. Найдите длину вектора , , если {2;1; 5} и .

  5. Из точки А построен вектор . Найдите координаты точки В , если:

А(3;1; 2), .

  1. Даны точки А(4;6; –2) и В (–10;6; 0) . Найти длину отрезка АВ.

  2. Даны точки: А(10;14; 4), В (10;8; 12) , С (18;8; 18) 

Выяснить, равнобедренный ли треугольник, построенный на этих точках.

  1. а) Даны два вектора:  и .Найти .

б) Даны четыре вектора: .

Найти координаты векторов  

  1. В кубе АВСDА1В1С1D1, сторона которого равна 3, на диагоналях граней АD1 и D1В1 взяты точки Е и К так, что D1Е : АD1 = 2 : 3, D1K : D1B1 = 1 : 3. Найдите длину отрезка DK.

  2. Дано:

  3. Найдите длину вектора КА АС, диагонали ромба 6 и 8 см.

  4. Даны точки А(2;3; –1) и В (–5;3; 0) . Найти длину отрезка АВ.

  5. Даны точки: А(5;7; 2), В (5;4; 6) , С (9;4; 9) Выяснить, равнобедренный ли треугольник.

  6. Даны два вектора:  и .Найти .



Инструкционная карта

ПР № 15 « Решение задач в координатах».

Задание:

1)Перепишите и заполните пропуски:
Пример 1. Дано: ΔАВС, А(2; 0; 1), В(1; 2; 3), С(8; 4; 9). ВМ - медиана.

Найти: координаты вектора .

Решение: По определению медианы, М - середина отрезка АС. Следовательно, координаты М найдем по формулам координат середины отрезка  M ((82)/2, (4 + 0)/2,(9 + 1)/2), M(…,…,…).{3 + 1,22,53}, {…,… ,…}. Ответ: {4; 4; 2}.

Пример 2. Дано: А(1; 5; 3), В(7; 1; 3), С(3; 2; 6). Доказать: ΔABC - прямоугольный.

Решение: По формуле расстояния между двумя точками найдем длины отрезков АВ, АС, ВС.
AB2 = (7 + 1)2 + (5 + 1)2 + (3 – 3)2, AB2 = 64 + 36 = … , BC2 = (7– 3)2 + (– 2 + 1)2 + (6 – 3)2,
BC2 = 16 + 1 + 9 = … , AC2 = (3 + 1)2 + (5 + 2)2 + (6 – 3)2, AC2 = 16 + 49 + 9 = ...

Проверим равенство АВ2 = ВС2 + АС2, 100 = 26 + 74 верно.

По теореме обратной теореме Пифагора делаем вывод, что ΔABC - прямоугольный
с гипотенузой АВ.

Пример 3. Дано: ΔАВС; М, N, К - середины сторон соответственно АВ, ВС, АС. М(3; 2; 5), 
N(3,5; 1; 6), К(1,5; 1; 2). Найти: координаты А, В, С.

Решение: Пусть A (х1; у1z1), В(х2; у2z2), С(х3; у3z3). По формулам координат середины отрезка составим системы для абсцисс, ординат и аппликат. Пользуясь методом сложения, решим эту систему:

Ответ: А(2; 0; 1), В(8;4; 9), С(1; 2; 3).

Пример 4. Дано: А(-2; 1; 2), B(-6; 3; -2), С  оси OZ; АС = ВС. Найти: координаты точки С.

Решение: По условию С  оси OZ, значит она имеет координаты С(0; 0; z) и АС = ВС. Составим уравнение, пользуясь формулой расстояния между двумя точками: 4 + 1 + (z 2)2 = 36 + 9 + (z + 2)2, 5 + z2 – 4z + 4 = 45 + z2 + 4z + 4, 8z = 40, z = … Ответ: (0; 0;5).

Пример 5. Дано: А(2; 1; 2), B(6; 3; 2), С (0; 0; 5); АС = ВС. Найти: SABC).

Решение: По формуле координат середины отрезка АВ найдем координаты точки М — середины:
M ((62)/2, (1 + 3)/2,(22)/2), M(4,2,0). AB2 = (6 + 2)2 + ( 31)2 + (2 + 2)2 = 16 + 4 + 16 = …, AB = ... СМ-высота равнобедренного ΔABC.
CM2 = (40)2 + (20)2 + (0 (5))2 = 16 + 4 + 25 = … , CM = 3 ,
SABC) = AB · CM : 2 = 6 · 3 : 2 = … . Ответ: 9.

2)Решить задачи ( по примерам):

  1. Дано: ΔАВС; А(1; 2; 3), B(1; 0; 4), С(3; 2; 1). AM - медиана.Найти: координаты вектора

  2. Дано: А(1; 5; 3), В(1; 3; 9), С(3; 2; 6).Доказать: ΔAВС - прямоугольный.

  3. Дано: ΔАВС, М, N, К - середины сторон соответственно ABBС, AС. М(3; 2; 4), 
    N(6; 4; 10), К(7; 2; 12).Найти: координаты вершин А, В, С.

  4. Дано: A(4; 5; 4), B(2; 3; 4); С  оси  OXAC = ВС. Найти: координаты точки С.

  5. Дано: А(4; 5; 4), B(2; 3; 4), С(1; 0; 0), АС = ВС. Найти: S(ΔABC).

3)Решить задачи :

  1. Дано: A (10, 4, 3), B (6, 2, 1). Найти координаты точки M – середины отрезка AB.

  2. Дано: A (5, 4, 7), B (10, 10, 0). Найти координаты вектора .

  3. Дано: {0, 5, 0}, {2, 2, 1}. Найти длину векторов.

  4. Даны точки А (1,5; 1; –2), B (2; 2; –3); и C (2; 0; –1). Найдите: периметр треугольника ABC.

  5. Дано: М(–4; 7; 0) N(0; –1; 2).Найти: расстояние от начала координат до середины отрезка MN.

  1. В кубе АВСDА1В1С1D1, сторона которого равна 3, на диагоналях граней АD1 и D1В1
    взяты точки Е и К так, что
    D1Е : АD1 = 1 : 3, D1K : D1B1 = 2 : 3. Найдите длину отрезка DK.

  2. Даны четыре вектора: .

Найти координаты векторов  

  1. Дано:

  2. Даны векторы и   Найдите координаты вектора .

  3. Даны векторы,. Найдите координаты вектора 

  4. На каком расстоянии от плоскости (хОу) находится точка А(2; 3; 5).

  5. На каком расстоянии от начала координат находится точка А(3; 4; 0).

  6. Найти длину вектора  если А(5; 3; 2), В(3; 1; 4).

  7. На каком расстоянии от плоскости (yOz) находится точка В(3; 2; 4).

  8. Даны векторы и  . Найдите  

  9. Изобразить систему координат Оху: и построить точку А(1; 2; 4).
    Найти расстояние от этой точки до координатных плоскостей.

  10. Вершины ΔАВС имеют координаты А(2; 0; 1), В(1; 2; 3), С(8; 4; 9).
    Найдите координаты вектора
      если ВМ - медиана ΔABC.

  11. Даны точки А(1; 5; 3) В(7; 1; 3) С(3; 2; 6). Доказать, что ΔАВС - прямоугольный.

  12. Даны точки А(2; 1; 2), В(6; 3; 2) на оси аппликат.
    Найти точку С, равноудаленную от точек А и В.

  13. Дано: А(2; 5; 8), В(6; 1;0).На оси ординат найти точку С, равноудаленную от точек А и В.
    Найти: площадь Δ
    ABC.

  14. Даны точки А(2; 1; 2), В(6; 3;2) на оси аппликат. Найти точку С, равноудаленную от
    точек А и В. Найти площадь ΔАВС.

  15. Середины сторон ΔАВС имеют координаты: М(3; 2; 4). N(6; 4; 10), К(7; 2; 12).
    Найдите координаты вершин ΔАВС.

  16. Даны точки А(4; 5; 4), В(2; 3; 4) на оси абсцисс. Найти точку С, равноудаленную от точек А и В. Найти площадь ΔABC

  17. Даны точки А(3; 1; 2) и В(1; 1; 2). Найдите: а) координаты середины отрезка АВ;

б) координаты и длину вектора  в) координаты точки С, если .

  1. Даны точки А(0; 4; 0), В(2; 0; 0), С(4; 0; 4) и D(2; 4; 4). Докажите, что ABCD - ромб.

  2. Даны точки А(0; 1; 2), В(√2 ; 1; 2), С(; 2; 1) и D(0; 2; 1). Докажите, что ABCD- квадрат.

  3. Даны точки А(2; 1; 8), В(1;5; 0), С(8; 1; 4). Докажите, что ΔАВС - равнобедренный и
    найдите длину средней линии треугольника, соединяющей середины боковых сторон.

  4. Даны координаты трех вершин параллелограмма ABCD:
    А(
    6; 4; 0), В(6; 6; 2), С(10; 0; 4). Найдите координаты точки D и
    угол между векторами
      и .
    hello_html_793497f7.jpg

  5. Дано: О(0; 0; 0), А(4; 0; 0), В(0; 6; 0), С(0; 0; 2).
    Δ
    AОВ - вписанный в окружностьW(D; r).
    Найти: а) координаты центра окружности
     D;
    б)
     r- радиус окружности.

  6. Дано: ΔАВС - прямоугольный; АС, ВС - катеты;AC = b = 9 ;BC = a = 12;
    CD = m = 4; CD  (ABC); М - середина гипотенузы АВ. Найти: DM.



Инструкционная карта

ПР № 16 «Вычисление числовых характеристик дискретной случайной величины».

Задание:

1)Перепишите и заполните пропуски:

Пример 1. а) М(Х) = 4, М(Y) = 5, Z = 3X – 2Y, М(Z) = ?

Решение: М(Z) = 34 – 2 5 = 12 – 10 = …,

б) D(Х) = 12, D (Y) = 10, Z = 2X + Y, D (Z) = ? D (Х – Y) =?

Решение: D (Z) = 22 12 + 10 = 412 + 10 = 48 + 10 = …, D (Х – Y) = 12 + 10 = …,

Пример 2. Найдите числовые характеристики Х и Y:

Х

10

20

P

0,3

0,7

Y

30

40

60

P

0,5

0,2

0,3


Решение:

М(Х) = р1х1 + р2х2 = 0,3 10 + 0,7 20 = 3 + 14 = …,

D(Х) = р1х12 + р2х22 – (р1х1 + р2х2)2 = 0,3100 + 0,7400 – 289 =30 + 280 – 289 = …,

σ (Х) = = …,

М(Y) = р1у1 + р2у2 + р3у3 = 0,5 30 + 0,2 40 + 0,3 60 = 15 + 8 + 18 = …, D(Y) = 0,5 900 + 0,2 1600 + 0,3 3600 – 1681= 450 + 320 + 1080 – 1681 = …,

σ (Y) = = = …,

Пример 3. а) По данным статистического распределения выборки найдите моду М0 :

xi

1

3

5

7

9

ni

1

5

6

5

3


Решение: Наибольшее n = 6 для Х= 5, поэтому М0 =…,

б) По данным вариационных рядов определить медиану Ме:
1) 23679, 2) 212866 , 3) 67543, 4)2134668553.

Решение: 1) 23679, n = 5, Ме = …, 2) 212866, n = 6, Ме = (2+8):2=…,

3) 67543, n = 5, Ме = …, 4) 2134668553. n =10, Ме = (6+6):2=…,

Пример 4. a)Закон распределения случайной величины X имеет вид:

X

1

0

1

2

P

0,1

0,2

0,3

0,4

Вычислить Dx   и Ϭx .

Решение: Найдем вначале математическое ожидание случайной величины X:

Mx = .

Вычислим дисперсию Dx :Dx = .

Тогда среднее квадратическое отклонение: Ϭx = Ответ: Dx = 1, Ϭx = 1.

б) Закон распределения случайной величины X имеет вид:

X

0

1

2

P

0,1

0,2

x

Найти x. Составить функцию распределения. Вычислить: P{X > 0,7} , Mx , Dx и Ϭx .

Решение. Согласно условию нормировки имеем уравнение: 0,1   Отсюда x = … 

Далее, воспользовавшись рядом распределения, найдем:

P{X > 0,7} = P {X = 1}P{X = 2} = 0,2 0,7 = … ; Mx =

Dx = ; Ϭx = .

Ответ: x = 0,7 ; P{X > 0,7} = 0, 9; Mx Dx ; Ϭx

Пример 5. Известно, что случайная величина X, принимающая два значения  x1 = 2 и x2 = 3 , имеет математическое ожидание, равное 2,2. Построить ряд распределения случайной величины X, найти дисперсию, среднее квадратическое отклонение и составить функцию распределения.

Решение. Пусть P{X = 2} = p . Тогда, согласно условию нормировки,P{X = 3} = 1  . Используя определение математического ожидания, получим Mx = 2p . Имеем уравнение 3 , откуда находим p = …  Ряд распределения имеет вид:

X

2

3

P

0,8

0,2

Теперь вычислим дисперсию и среднее квадратическое отклонение:


Dx = ; Ϭx =  .

Согласно определению функция распределения имеет вид

Fx(x) =

Ответ: Dx ; Ϭx =   Fx(x) =

2)Решить задачи ( по примерам):

  1. а) М(Х) = 5, М(Y) = 7, Z = 3X – 2Y, М(Z) = ?

б) D(Х) = 10, D (Y) = 14, Z = 2X + Y, D (Z) = ? D (Х – Y) =?

  1. Найдите числовые характеристики Х и Y:

Х

10

30

P

0,3

0,7

Y

10

20

40

P

0,5

0,2

0,3


  1. а) По данным статистического распределения выборки найдите моду М0 :

xi

1

4

7

10

13

16

ni

1

5

3

7

2

4


б) По данным вариационных рядов определить медиану Ме:
1) 12457, 2) 123761, 3) 35621, 4) 2235448997.

  1. a)Закон распределения случайной величины X имеет вид:

X

1

0

1

2

P

0,1

0,15

0,3

0,45


X

0

1

2

P

0,2

0,3

x

Вычислить Dx и Ϭx .

б) Закон распределения случайной величины X имеет вид:

Найти x. Составить функцию распределения.
Вычислить: P{X > 0,7} , Mx , Dx и Ϭx .

  1. Известно, что случайная величина X, принимающая два значения  x1 = 2 и x2 = 3 , имеет математическое ожидание, равное 2,4. Построить ряд распределения случайной величины X, найти дисперсию, среднее квадратическое отклонение и составить функцию распределения.

3)Решить задачи :

X

1

2

P

0,2

0,8

  1. Пусть задан закон распределения случайной величины X:

Найти математическое ожидание.


  1. Найти дисперсию случайной величины X со следующим законом распределения:

    X

    2

    3

    5

    P

    0,1

    0,6

    0,3

  2. Математическое ожидание и дисперсия СВ Х соответственно равны 0,5 и 5. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины 2X 3 .

  3. Найти математическое ожидание числа очков, выпадающих при бросании игральной кости.

  4. Независимые дискретные случайные величины заданы законами распределения в табличной форме:

xi

1

2

4


yi

0,5

3

pi

0,2

0,5

0,3

pi

0,4

0,6

Найти математическое ожидание случайных величин Z = 2Х + 3Y и  U = 5XY.

  1. Функция распределения ДСВ Х имеет вид

hello_html_m1caf49ec.png

Найти: hello_html_16e94671.png


Инструкционная карта

ПР № 17 «Решение пропорций. Решение задач с помощью пропорций».

Задание:

1)Перепишите и заполните пропуски:
Пример 1. В городе Жуковском на площади Громова находится магазин Навигатор. Хозяин магазина настолько строг, что за опоздание вычитает из зарплаты по 70 рублей за один день. В одном отделе работали две девушки Юля и Наташа. Их зарплата зависела от числа рабочих дней.

Юля за 20 рабочих дней получила 4100 рублей, а Наташа за 21 день получить должна бы больше, но получила меньше, т.к. опаздывала 3 дня подряд. Узнайте, сколько денег получила Наташа?

Решение:

Рабочие дни

Зарплата (руб.)


Юля

20

4100

Наташа

21

х

Т.к. зависимость прямо пропорциональная, то составляем уравнение:


Значит 4305 рублей зарплата Наташи за 21 день без штрафов.

1) 4305 – 3×70 = …(руб.) - Зарплата Наташи

Ответ: 4095 рублей

Пример 2. У Изабеллы было двенадцать братьев. Жили они очень дружно, пока не позавидовала злая колдунья. Она превратила братьев в лебедей. Изабелле надо связать 12 рубашек из крапивы, чтобы расколдовать братьев. За 3 дня она свяжет 4 с половиной рубашки. За сколько дней Изабелла свяжет 12 рубашек?

Решение: Пусть х дней понадобится Изабелле, чтобы связать 12 рубашек.

Дни Рубашки

  1. 4,5

х 12

Т. к. зависимость прямо пропорциональная составляем пропорцию.

, , Ответ: за 8 дней.

Пример 3. В магазин привезли поровну яблок и груш. Яблоки разложили в 25 ящиков по 18 кг в каждом. а груши – в 30 ящиков. Сколько килограммов груш в каждом ящике?

Решение: Пусть х кг груш в каждом ящике.

25ящ. – 18 кг

30ящ.—х кг

;Ответ: 15кг.

Пример 4. Для нового дельфинария строят бассейн. Необходимо выложить пол и стены бассейна керамической плиткой. На складе имеется плитка двух видов: площадью 1,2 дм2 и площадью 3,8 дм2. Сколько потребуется плитки площадью 1, 2 дм2, если плитки площадью 3, 8 дм2 требуется
2400 упаковок?

Решение: 3, 8 дм² – 2400 упаковок
1,2 дм² – х упаковок

, , , Ответ: 7600 упаковок

Пример 5. Рабочие бригады, состоящей из 8 человек, могут выложить бассейн плиткой за 6 дней. Сколько человек в другой бригаде, если они могут выполнить эту работу на 2 дня быстрее?

(Производительность бригад одинакова)

Решение:

1) 6 – 2 = … (дня) время работы второй бригады

2) 8 человек – 6 дней

х человек – 4 дня

Ответ: 12 человек.

2)Решить задачи ( по примерам):

  1. Для перевозки арбузов с юга на оптовую базу города Жуковского приехали 24 машины грузоподъемностью 7,5 тонн. Сколько нужно машин грузоподъемностью 4,5 тонн, чтобы перевести тот же груз?

  2. Для приготовления 4 порций салата потребуется 50г майонеза. Сколько майонеза потребуется для приготовления 10 порций салата?

  3. Маленькое колесо повозки, имеющее окружность 2,4м, обернулось на некотором расстоянии 1250 раз. Сколько раз обернулось на этом расстоянии большое колесо, имеющее колесо, имеющее окружность 3м?

  4. В магазин привезли поровну яблок и груш. Яблоки разложили в 35 ящиков по 18 кг в каждом. а груши – в 45 ящиков. Сколько килограммов груш в каждом ящике?

  5. Рабочие бригады, состоящей из12 человек, могут выложить бассейн плиткой за 6 дней. Сколько человек в другой бригаде, если они могут выполнить эту работу на 2 дня быстрее?

3)Решить задачи :

  1. Решить пропорцию: а) , б) 2 : 3,4 = х : 17,

  2. Из 15 т руды получено 3 т меди. Сколько тонн меди получится из 20 т этой руды?

  3. Все сваренное варенье разложили в 60 баночек вместимостью 350 мл. Сколько для этого понадобилось бы баночек вместимостью 200 мл, 300 мл? Какой вместимостью понадобилось бы баночки, если их было 50?

  4. Из 5 ц молока получается 40 кг сыра. Сколько центнеров молока потребуется для изготовления 80 кг сыра, 160 кг сыра? Сколько килограммов сыра получится из 1 ц молока?

4)Решить задачи и получите ответ на вопрос.

Во вновь выстроенный и заполненный морской водой бассейн запустили дельфинов – обитателей дельфинария. Как называются виды дельфинов, обитающих в дельфинариях, вы узнаете верно выполнив следующие задания:1)

1 вариант:

2 вариант:

У , Е

Н , Ф

2)Л В начале 50-х годов 20 века в Черном море обитало 2,5 млн дельфинов (название которых зашифровано в таблице 2-го варианта), а ныне из-за загрязнения моря, их поголовье сократилось до 0,1 млн. На сколько процентов меньше стало их в Черном море? Теперь этот вид дельфинов отнесен к редким и включен в Красную книгу России и Украины.

3) А Один из самых быстрых обитателей моря – дельфин-белобочка. Он способен развивать скорость 50 км/ч. А самый быстрый из всех обитателей моря – свирепая косатка, которая тоже относится к семейству дельфинов. Она может плыть со скоростью 55 км/ч. Расстояние между двумя островами дельфин белобочка проплывает за 11 мин. За какое время проплывет это же расстояние косатка?

4)Серый дельфин, или грампус, - самый крупный в семействе дельфинов после косаток и гринд. Длина его тела до 4 м, вес до 0,5 т. плавают серые дельфины в Атлантическом и Тихом океанах, в Средиземном и Красном морях. Один из этих дельфинов по кличке Пелорус-Джек, резвясь и играя, сопровождал корабли как лоцман, указывая им путь в непогоду между двумя островами Новой Зеландии. За это новозеландский парламент даровал ему охранную грамоту, запрещающую убивать и обижать этого дельфина.

В каком году Пелорус-Джек начал сопровождать корабли вы узнаете, если количество букв «о» в слове «пропорция» увеличите в 1000 раз, а из результата вычтете 104 (это задание выполните устно).

У первого варианта под ответом к этому заданию зашифрована буква Б, а у второго варианта буква И.

5)Известно также, что «работал» этот дельфин лоцманом 20 лет. В каком году он ушел на «пенсию»? (Это тоже устное задание).

У первого варианта под ответом к этому заданию зашифрована буква Х, а у второго варианта буква А.

1 вариант. 2 вариант.


1896

10,5

96

0,5

1916

10







1916

10,5

10

96

1896

0,5

1916













Инструкционная карта

ПР № 18 «Решение квадратных уравнений . Решение неравенств ».   

Задание:

1)Перепишите и заполните пропуски:
Пример 1. 5– =0, D = 49 – 40 = …, х1= (7+3):10=…, х2 = (7–3):10=…,

Ответ: 1; 0,4

Пример 2 . а2 –5а +4 =0, D = 25 – 16 = …, а1= (5+3):2=…, а2 = (5–3):2=…

Ответ: 4 и 1.

Пример 3. 2t2 + 3 t – 2= 0,

D = 9 – 4 2 (–2) = 9 + 16 = …, t1= (–3 + 5 )/ 4 = 2 : 4= …, t2= (–3 – 5) / 4 = – 8 : 4=…,

Ответ: 0,5 и (– 2).

Пример 4. 3 а2 – 5 а – 2 = 0, D = 25 – 4 3 (– 2) = 25 + 24 = …,

а1= (5 + 7) / 6= 12 : 6 = …, а2= (5 – 7) / 6= – 2 : 6 =…,

Ответ: 0,5 и (– 0,3) .

Пример 5. х – 3 2 , х 2+3, х …,

Ответ: х 5.

Пример 6. 0, =0,

D = 16 – 12 = …, х1= (4+2):2=…, х2 = (4–2):2=…,

+ – + х

1 3 х …, х …,

Ответ: х 1, х 3.

2)Решить задание ( по примерам):

  1. а) х2 + 4х –21 = 0, б) х2 + 4х + 3 = 0, в) х2 – 7х + 10 = 0,

  2. а) 5– =0, б) 2t2 + 3 t – 5= 0, в) 2t2 – 7 t + 3= 0,

  3. а) – х2 + 2х + 8 = 0, б) – х2 + 7х – 10 = 0, в) – х2 + 4х + 12 = 0,

  4. а) х – 5 2 , б) х – 3 2, в) х – 6 2,

  5. а) х2 + 4х –21 0, б) х2 + 4х + 3 0, в) х2 – 7х + 10 0,

  6. а) – х2 + 2х + 8 0, б) – х2 + 7х – 10 0, в) – х2 + 4х + 12 0,

3)Решить уравнения и неравенства :

  1. а) х · (23 – х) = 120; б) х · (х + 8) = 884;

  2. а) х 2 – 12х = 0, б) 7 х 2 – 1 = 0, в) х 2 – х = 0 . г) 3 х 2 – 120 х = 0.

  3. а) 6х2 – 4х + 32 = 0; б) х2 + 5х – 6 = 0.

  4. а) –5х2 – 4х + 28 = 0; б) 2х2 – 8х – 2=0.

  5. а) (х + 4)2 = 3х + 40; б) (х + 1)2 = (2х–1)2.

  6. а) – 2х2 + Зх + 9 < 0б) 2  – 4х + 1 < 0. 

  7. а) 2х2  – х + 4 >0;       б) – х2 + Зх – 8 > 0. 

  8. а) – 2x2  + 3x + 9 ≤ 0 , б) 4x2  – 4x + 1 ≤ 0, в) 2x2 – x + 4 > 0, г) – x2 + 3x – 8 ≥ 0.

  9. а) 15x2 + 5x = 0, б) x2 – 25 = 0, в) 3x2 – 15 = 0,

г) x2 – 7x + 10 = 0, д) x2 + 2x = 16x – 49, е) x · (2x – 3) = 4x – 3,

ж) (6x + 3) · (9 – x) = 0, з) x2 + 2 = x + 2, и) (10x – 4) · (3x + 2) = 0.

  1. а) x · (x +2) = 3, б) x · (x + 3) = 4, в) x · (x –5) = – 4, г) x · (x – 4) = – 3,

д) x · (2x + 1) = 3x + 4, е) x · (2x – 3) = 4x – 3, ж) = , з) = .

  1. а) 2x2 + 3x – 5 = 0, б) 5x2 – 7x + 2 = 0, в) 2x2 – 7x + 3 = 0, г) 5x2 – 3x – 2 = 0,

д) 6x2 + x – 1 = 0, е) 2x2 – 9x + 4 = 0, ж) – x2 + 2x + 8 = 0, з) – x2 + 7x – 10 = 0,

и) 9x2 – 6x + 1 = 0, к) 4x2 + 4x + 1 = 0, л) x2 + 2x + 3 = 0, м) x2 x + 1 = 0.

  1. а) = , б) = , в) 3 + = x, г) x – = 4, д) + = 4,

е) – = 1, ж) = 0, з) = 0.


  1. а) (x2 + 4x) · (x2 + 4x –17) + 60 = 0, б) (x2 – 3x)2 – 2 · (x2 – 3x) = 8.

  2. а) x2 – 169 > 0, б) x2 – 49 ≤ 0, в) x2 ≥ 0,36, г) x2 ≤ 0,81, д) x2 + x < 0, е) x2 – 3x ≤ 0.

  3. а) x + 2 < 5x – 2 · (x – 3), б) 3 · (1 – x) – (2 – x) ≤ 2, в) 4 · (x – 1) – (9x – 5) ≥ 3,

г) 3 · (x – 2) – 5 · (x + 3) > 27, д) 5x – 2 · (x – 4) ≥ 9x + 23, е) 6x – 3 · (x – 1) ≤ 2 + 5x.

  1. а) x2 – 1 ≤ 0, б) x2 – 9 ≥ 0, в) x2 – 144 > 0, г) x2 – 121 < 0, д) x2 – 25 ≤ 0, е) x2 – 36 ≥ 0.

  2. а) x2 + x – 6 ≤ 0, б) x2 + 4x – 5 ≤ 0, в) x2 + 3x + 2 < 0, г) x2 + 7x + 12 < 0,

д) 2x2 – 9x + 4 ≤ 0, е) 3x2 – 4x + 1 ≤ 0, ж) – x2x + 12 > 0, з) – x2 + 10x – 16 ≥ 0,

и) – x2 + 3x – 2 ≤ 0, к) – x2 + 6x – 8 < 0.

  1. а) – 4 < 2x – 1 < 2, б) – 6 ≤ 5x – 1 ≤ 5, в) 0 < 4x + 3 < 1, г) – 2 ≤ 6x + 7 ≤ 1,

д) – 1 < 2x + 2 < 0, е) – 1 ≤ 2x + 1 ≤ 1.

4)Решите задачи:

  1. Прямоугольный участок земли обнесён забором, длина которого 40 м. Площадь участка 96 м2. Найдите длины сторон участка.

  2. Одно из двух положительных чисел на 4 больше другого. Найдите эти числа, если известно, что их произведение равно 96.

  3. Периметр прямоугольника равен 34 см, а его диагональ равна 13 см. Найдите стороны прямоугольника.

  4. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10 см, а один из катетов на 2 см больше другого. Найдите катеты треугольника.

  5. При каких значениях параметра р квадратное уравнение х2 –5х + р2 = 0: 
    а) имеет два различных корня; б) имеет один корень; в) не имеет -корней?

  6. Два последовательных чётных числа таковы, что квадрат большего из них в 9 раз больше меньшего числа. Найдите эти числа.

  7. Одну сторону квадрата уменьшили на 2 см, а другую – на 1 см и получили прямоугольник с площадью 6 см2. Найдите длину стороны квадрата.

  8. Один из катетов прямоугольного треугольника на 6 см меньше гипотенузы, а другой на 3 см больше первого. Найдите гипотенузу, если площадь треугольника равна 54 см2.

  9. Произведение двух последовательных натуральных нечетных чисел равно 575. Найдите эти числа.

  10. Одно из чисел на 12 больше другого, а их произведение равно 315. Найдите эти числа.

  11. Площадь прямоугольника, одна из сторон которого на 3 см больше другой, равна 54 см². Найти стороны и периметр прямоугольника.

  12. Известно, что один из катетов прямоугольного треугольника на 4 см. меньше другого, а гипотенуза этого прямоугольного треугольника равна 20 см. Найти длины катетов.

Инструкционная карта

ПР № 19   « Решение систем уравнений и неравенств. Вычисления по  формулам сокращенного умножения».
Задание:

1)Перепишите и заполните пропуски:
Пример 1.а) Решить систему уравнений .

Решение: Значения х и у можно рассматривать как корни квадратного уравнения

z ² 5 z + 4 = 0. Имеем: z ₁ =1, z  = 4. Оба уравнения системы симметричны относительно х и у , поэтому получаем две пары решений: если одно решение х  = 1, y  = 4, то второе будет, наоборот: х  = 4, y  = 1.

Ответ: (1;4),(4;1).

б) Решить систему уравнений .

Решение: Здесь коэффициенты при у по абсолютному значению равны между собой, но противоположны по знаку. Для получения уравнения с одним неизвестным уравнения системы почленно складываем:



_________________________________

5х = 20;

х = ...


Полученное значение х = 4 подставляем в какое-нибудь уравнение системы (например, в первое) и находим значение у : 2 · 4 + у = 11, y = 11 8, y = ...

Ответ: (4;3).

Пример 2. Решить систему уравнений .

Решение: .

Составляем уравнение: t ²41 t  400 = 0.

Откуда t  = 25, t  = 16. Значит х ² = 25, у ² = 16 и, наоборот, у ² = 25; x ² = 16.

1, 2 = ±…; x 3, 4 = ±…;

1, 2 = ±…; y 3, 4 = ±….

Учитывая, что ху > 0, получаем всего четыре решения данной системы.

= 5, у  = 4; х  = -5, y  = -4; x  = 4, y  = 5; x  = -4, y  = -5.

Ответ:(5;4),(),(4;5),().


Пример 3. Решить систему .


Решение: Пусть  , тогда  . Имеем:

z ; 15z234z 15 = 0, D = b2 – 4ас = – 4 · 15 · 15 = 1156 900 = …,



Значит, получаем две системы уравнений:






Решим 1 систему, для этого из 2 уравнения выразим х и подставим в 1 уравнение :

x = 0,6y,


Решим 2 систему, для этого из 2 уравнения выразим у и подставим в 1 уравнение :

у = 0,6х,

Откуда находим четыре решения: x  = 3, у  = 5; х  = 3, y  = 5; x  = 5, y  = 3;

= 5, y  = 3.

Ответ: (3;5),(),(5;3),().

Пример 4. Решить систему неравенств: а) , б) ,

Решение: а) ;


Ответ: (…; …].

б) .


Ответ: (–1,25; 0,25].

Пример 5. Решить систему неравенств:

Решение:



Решим 1 неравенство: , , х  = , х  = ...


hello_html_5bd89a69.pngх


Получаем, что .
Решим 2 неравенство:х  = , х  = ...

hello_html_5bd89a69.pngх


Получаем, что .

Общее решение системы будет являться пересечением полученных промежутков, то есть .

Ответ:.

Формулы сокращенного умножения(ф.с.у):


(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 , (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 , a2 - b2 = (a -b) (a+b), (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 ,

(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 , a3 + b3 = (a + b) (a2 - ab + b2) , a3 - b3 = (a - b) (a2 + ab + b2) ,

a3 - b3 = (a - b) (a2 + ab + b2).


Пример 6. Применение формул сокращенного умножения при решении примеров.

1.а) (а – 3)2 = a2 - 6a + …, б) (2у + 5)2 = 4y2 + 20y + …,

в) (4а – b) ( 4а + b) = …a2 - b2 , г) с2 – 0,25 = (c0,5) (c + …), 

д) 2 (3х – 2у) (3х + 2у) = 2 (…x2 …y2) = 18x2 8y2 ,

2. Найдите значение выражения: (х + 4)2 – (х - 2) (х + 2) при х = 0,125

x2 + 8x + 16 - (x2 - 4) = x2 + 8x + 16 – x2 + 4 = …x + … = 8 0,125 + 20=…



2)Решить задание ( по примерам):


1.Решить систему уравнений :

а) ,б) , в) , г) .

2.Решить систему неравенств: а) , б) , в)


3. (ф.с.у):1) а) (а + 4)2 , б) (3у с)2 ,в) (2а – 5) ( 2а + 5) , г) (х2 + у) ( х2 – у) ,

д) 0,36 с2 ,е) 3(1 + 2ху) ( 1 2ху) , ж) (а + b)2 – (а b)2 , з) ( х2  у3)2 ;
2) Найдите значение выражения: (а
2 b)2 + 4 b( а – b) при а = 0,12 .

3)Решить задание :


1.Решить системы уравнений:

а) способом подстановки:

1) ; 2) ; 3) ;

б) способом сложения:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) ; 8) ;

9) ; 10) ; 11) ; 12) ;

2. Решить системы неравенств:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) ;

ж) ; з) ; и) ; к) ;

3. Разложить на множители:

1) а) b2 c2 ; б) x2y2; в) a2 – 9 ; г) b2 – 16 ; д) x2 – 1;

2) а) 9x2 4 ; б) 4a2 – 25 ; в) 16 – 49y2 ; г) 16m2 – 9n2 ; д) 4x2 1 ;

4. Разложить на множители:

1) а) 0,25a2 1; б) 0,16 – 4b2 ; в) 0,09x2y2 ; г)1,44a2 – 1,21; д) a2 b2 ;

2) а) x2 y2z2 ; б) a2 b2 – 16 ; в) 9 – m2 n2 ; г) a2 b2 c2 – 36; д) y6 – 9 ;

5. Вычислить:

а) 372 – 132 ; б) 722 – 282 ; в) 42,42 42,32 ;

г) 6,82 – 3,22 ; д) 19 21 ; е) 99 101;

6. Сократить дробь:

а) ; б) ; в) ; г) ;



7. Выполните умножение:

а) (y – 3)(y + 3) ;

б) (x + y) (xy) ;

в) (1 + 3m) (1 – 3m) ;

г) (2xy) (2x + y) ;

д) (4x + 3y) (3y – 4x) ;

е) (x2 + 2) (x2 – 2) ;

8. Выполните возведение в квадрат:

а) (m n)2 ;

б) (y + 2)2 ;

в) (2x – 1)2 ;

г) (3a + 2)2 ;

д) (2x + 3y)2 ;

е) (4z3)2 ;

9. Представьте трехчлен в виде квадрата двучлена:

а) a2 + 2a + 1 ;

б) 4 – 20c + 25c2 ;

в) 81x2 – 18ax + a2 ;

г) 9n2 +12mn + 4m2;

10. Упростите выражение:

а) (x + 4)2 – 7x ; б) (x y)2 – x (y x) ;

в) 9m2 – (n – 3m)2 ; г) (a + b)2 – 2b (a b) ;

д) (a + 1) (a 1) + a (a 2) ;

е) (2x y) (y + 2x) + x (4 – 3x) ;

ж) 5c (c + 1) – (b – 3c) (b + 3c) ;

11. Представить в виде многочлена:

а) (a – 5) (a – 4) – 3a (2a – 3);

б) (х – 3)2 – 3х (х – 2);

в) 5 (a + 1)2 –10a .

12. Разложить на множители: а) 3x3 – 75х ; б) 3x2 + 6ax + 3a2 ; в) x3 + 8.

13. Упростить выражение (у2 + 6у)2 – у2 (6 + 5у) (6 – 5у) – у2 (12у – у2).

14. Разложить на множители : а) (а – с)2 – а2; б) x3 + у3 + 2xу (х + у).

15. Доказать, что если из квадрата нечетного числа вычесть 1, то результат будет делиться на 8.

16. Представить в виде многочлена:

а) (с – 9) (с – 3) – 6с (3с – 2);

б) (х – 10)2 – 4х (х – 5);

в) (a + 2)2 –12a .

17. Разложить на множители: а) 7x3 – 28х ; б) 5x2 – 10ax + 5a2 ; в) x3 – 8.

18. Упростить выражение (х2 2х)2 – (х – 2) (х + 2) (х2 – 4) – 4х (7х – х2).

19. Разложить на множители : а) (х + с)2 – х2; б) x3 – у3 – 5x2 + ху + у2).

20. Доказать, что произведение двух последовательных четных чисел делится на 8.


Инструкционная карта

ПР № 20 « Вычисление логарифмов ».  

Задание:

1)Перепишите и заполните пропуски:
 
Пример 1. log3 9 = 2, так как 32 = 9, log5 25 = 2, так как 52 = 25, log3 81 = 4, так как 34 = 81,

Ответ: 2,2,4.

Пример 2. Вычислите : а) log2 16, б) log3 3, в) , г) , д) log2 2 log3 81, е) log12 2 + log12 72, ж) log5 75 – log5 3.
Решение: а) log2 16 = 4, б) log3 3 = …, в) = 16, г) = = …,

д) log2 2 log3 81= 1· 4 = …, е) log12 2 + log12 72 = log12 (2 ·72) = log12 144 = …,

ж) log5 75 – log5 3= log5 (75:3) = log5 25 = …

Ответ: а) 4, б) 1, в) 16, г) 8, д) 4, е) 2, ж) 2.

Пример 3. Найдите х, если logx 36 = 2 и log2 x = – 2.

Решение: logx 36 = 2, х2 = 36, х = log2 x = - 2, х = 2 -2 = 1 / 4 = …

Ответ: 0,25
Пример 4. Вычислите: а) , б) , в) .

Решение: а) = log2 16=…, б) = 5 · = 5 · 3 = … ,

в) = = 17 = 1296 – 17 = …

Ответ: 4, 15, 1279.

Пример 5. Упростите выражение :

а) ;

б)

;

в) ;


2)Решить задание ( по примерам):

  1. Вычислите а) log3 27, б) log4 1,в) log1/2 4,

  2. Вычислите а) log2 32, б) log3 9, в) , г) , д) log3 3 log2 8, е) lg 5 + lg 2,

ж) log3 15 – log3 5.

  1. Найдите х, если log2 4 = x и log6 x = 2.

  2. Вычислить а) , б) , в) .

  3. а) , б) , в) .

г) , д) , е) .



3)Решить задание :

1. Вычислите (по свойству степени):

1) , 2) , 3) , 4) , 5) ,

6) , 7) , 8) ,9) , 10) , 11) ,

12) , 13) , 14) , 15) , 16) .

2. Вычислите (по основному лог. тождеству):

1) , 2) , 3) , 4) , 5) ,

6) ; 7) , 8) , 9) , 10) ,

11) , 12) , 13) , 14) ,15) ,

16) , 17) , 18) , 19) , 20) .

3. Вычислите (по свойствам логарифмов):

1) + ,

2) + ,

3) – ,

4) – ,
5) ,

6) ,

7) + – ,

8) - - 3,
9) + – ,

10) .

4. Вычислите: а),б) , в) ,

г), д).

5. Упростите выражение :

а) ;б) ,в);

6.Вычислить логарифмы: log381,ln e, lg1000, log7343,ln7,29, lg0,001.

7.Вычислить логарифмы: log432 + log42, log552, log2(8 128), log654 + log64, log3108 – log34.

8.Вычислить логарифмы:


9.Упростите выражение 
10. Найдите значение выражения 


Инструкционная карта

ПР № 21 «Вычисление множества значений тригонометрических функций по формулам».

Задание:

1)Перепишите и заполните пропуски:
Пример 1. Найти множество значений функции y = 5 – 4sinx.

Решение: Из определения синуса следует, -1  sinx  1. Далее воспользуемся свойствами числовых неравенств.

4   4sinx  4, (умножили все три части двойного неравенства на -4);

1  5 4sinx  9 (прибавили к трем частям двойного неравенства 5);

Так как данная функция непрерывна на всей области определения, то множество ее значений заключено между наименьшим и наибольшим ее значением на всей области определения, если таковые существуют. В данном случаее множество значений функции y =5 4sinx есть множество [1; 9].

Ответ: E(y) = [1; 9].

Пример 2. Найти множество значений E(y) тригонометрической функции

y = 2sin2x cos2x.

Решение: y = 2sin2x cos2x = a , 2sin2x (1 2 sin2x) = 4 sin2x 1 = a, 4 sin2x = a 1,
2(1cos 2x) =
a 1, 2 2cos 2x = a 1, 2 cos 2x = a 1, cos 2x = (a) : (), cos 2x = (1) : ,

E(y) = [ 1; 3]. Ответ: E(y) = [ 1; 3].

Пример 3. Найти множество значений E(y) тригонометрической функции

y = 3 cos 2x 4sin2x.

Решение: y = 3 cos 2x 4sin2x = g, a = 3, b = , k2 = a2 b2 = 32 ()2 = 9 16 = 25,
k = 5, 3/5∙ cos 2x 4/5∙ sin 2x = g /5, sin(φ ) = g/5, E(y) = [; …].
Ответ: E(y) = [ 5; 5].

Пример 4. Найти множество значений E(y) тригонометрической функции

y = 10cos2x 6sin x cos x 2sin2x.

Решение: y = 10cos2x 6sin x cos x 2sin2x = a.

Oбе части уравнения поделим на cos2x. Получим, 10 6 tg x 2tg2x = a∙ (1 tg2x),

10 6 tg x 2tg2 x a tg2x = 0, (2) ∙ tg2 xtg x (10) = 0, tg x = t, (2) ∙ t2t (10) = 0, D = ()2 4∙ (2)∙ (10) = 36 4∙ (20 2) = =3680 48a 2 = 48a 2 = 4∙ (2 , 2

2a1 = …, a2 = ...

hello_html_5bd89a69.png


E(y) = [1; 11]. Ответ: E(y) = [1; 11].

Пример 5. Найти множество значений E(y) тригонометрической функции

y = sinx cosx.

Решение: Преобразуем выражение sinx + cos x  = sinx +sin( – x) =
= 2sin((x  +  – x)/2)cos((x + + x)/2) = 2sin()cos(x + ) = cos(x + ).

Из определения косинуса следует –1  cosx  1;  –1  cos(x + )  1;

 cos( x + )  ;

Так как данная функция непрерывна на всей области определения, то множество ее значений заключено между наименьшим и наибольшим ее значением, если таковые существуют, множество значений функции y =  cos(x + ) есть множество [; ]. Множество значений  функции

y = sinx + cosx есть множество чисел [; ].

Ответ: E(y) = [; ].


2)Решить задание ( по примерам):

  1. Найти множество значений E(y) тригонометрической функции y =7 4sinx

  2. Найти множество значений E(y) тригонометрической функции y = 4sin2x cos2x.

  3. Найти множество значений E(y) тригонометрической функции y = 6 cos 2x 8sin2x.

  4. Найти множество значений E(y) тригонометрической функции

y = 5cos2x 2sin x cos xsin2x.

  1. Найти множество значений E(y) тригонометрической функции y = 2(sinx cosx).

3)Решить задание :

  1. Найдите множество значений функции y = 1 – 8sin2x cos2x.

  2. Найдите множество значений функции y = 10 10sin23x.

  3. Найдите множество значений функции y =6 5sinx

  4. Найдите множество значений функции y =4 + 3sinx

  5. Найдите множество значений функции y = 5 +7sinx

  6. Найдите множество значений функции y = 3(sinx cosx).

  7. Найдите множество значений функции y = (sinx cosx).

  8. Найдите множество значений функции y = (sinx cosx).

  9. Найдите множество значений функции y = 2 (sinx cosx).

  10. Найдите множество значений функции y = 1 – 8 cos2x.

  11. Найдите множество значений функции y = 0,25 + 2 cos2x.

  12. Найдите множество значений функции y = 6sin2x cos2x.

  13. Найдите множество значений функции y = 9 cos 2x 12sin2x.

  14. Найдите множество значений функции y = 6cos2x 8sin x cos x 6sin2x.

  15. Найдите множество значений функции y = cos x – 10.

  16. Найдите множество значений функции y = 0,2sin 5x.

  17. Найдите множество значений функции y = cos2x, если .

  18. Найдите множество значений функции y = sin x + 5.

  19. Найдите множество значений функции y = 6cos 3x.

  20. Найдите множество значений функции y = sin 2x, если .

  21. Найдите множество значений функции .

  22. Найдите множество значений функции .

  23. Найдите множество значений функции .

  24. Найдите множество значений функции

  25. Найдите множество значений функции .

  26. Найдите множество значений функции

  27. Найдите множество значений функции

  28. Найдите множество значений функции

  29. Найдите множество значений функции

  30. Найдите множество значений функции

  31. Найдите множество значений функции

  32. Найдите множество значений функции

  33. Найдите множество значений функции

  34. Найдите множество значений функции .

  35. Найдите множество значений функции y = 8cos2x 6sin x cos x 8sin2x.

  36. Найдите множество значений функции y =16cos2x 10sin x cos x 16sin2x.

Инструкционная карта

ПР № 22 « Нахождение экстремумов функции. Нахождения наибольшего и наименьшего значения функции».

Задание:

1)Перепишите и заполните пропуски:

Пример 1. Найти точку максимума функции y= x3 3x2 24x 5.

Решение: Требуется найти критическую точку, в которой знак производной меняется с плюса на минус. Область определения функции: hello_html_4fb18fd6.gif Найдем критические точки функции:



- Критические точки.

Исследуем знак производной на интервалах, разделенных критическими точками:

х

- 4 2

max min

Ответ: x = ...

Пример 2. Найдите точки экстремума функции и определите их характер y= x 4 8x2.

Решение: y = x 4 8x2 , D(y) = R , y = (x 4 8x2) = 4x 3 – 16x, y = 0,

4x 3 – 16x = 0, 4x(x2 4) = 0, 4x(x2) (x2) = 0,

x1= 0 или х2=0 или х2=0

х2 = … х3 =…

х1= 0, х2 = 2, х3 = 2 – это стационарные точки.


2 0 2 х

Функция убывает на (-;2, на 0; 2. Функция возрастает на -2; 0, на 2; +).

х3 = …, х2 = … – это точки минимума. х1= … – это точка максимума.

Ответ: х3 = 2, х2 = 2– это точки минимума, х1= 0 – это точка максимума.

Пример 3. Найдите точки экстремума функции и определите их характер.

y= x2 6x1.

Решение: y = x2 6x1, D(y) =R,

y = ( x3 x2 6x1) = x25x6 = (х3)(х2) , y = 0, x 2 5x6 = 0,

x1 = 3, x2 = 2 – это стационарные точки.

х

2 3

Функция возрастает на (-; 2, на 3; +).Функция убывает на 2; 3.

x2 = … – это точка максимума, х1 = ... – это точка минимума.

Ответ: х2 = 2 – это точка максимума, х1 = 3 – это точка минимума.

Пример 4. Найдите точки экстремума функции и определите их характер.

y= 2x5 5x4 10x3 3.

Решение: y = 2x5 5x4 10x3 3, D(y) = R, y = (2x5 5x4 10x3 3) = 25x4 54x3 103x2 = =…x4 …x3 …x2 = 10х2 (х1)(х3), y = 0 , 10x4 20x3 30x2 = 0, 10x2 (x2 + 2x 3) = 0,

x 2 = 0 или х2 2х3=0, х1 = 0, х2 = 1, х3 = 3 – это стационарные точки.


-3 0 1 х

Функция возрастает на ( ; 3, на 1; ). Функция убывает на 3; 1.

х3 = – это точка максимума. х2 = … – это точка минимума.

Ответ: х3 = 3 – это точка максимума, х2 = 1 – это точка минимума.

Пример 5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции у(x) = 2x3 12x2 18x  3  на отрезке [– 1;2] .

Решение: 1) Вычислим значения функции в критических точках, принадлежащих данному отрезку:


 

Полученное квадратное уравнение имеет два действительных корня:

х1= 1, х2 = 3 – критические точки. Первая критическая точка принадлежит данному

отрезку: х1= 1 .
А вот вторая – нет: х2= 1 , поэтому про неё сразу забываем.

Вычислим значение функции в нужной точке:

2)Вычислим значения функции  на концах отрезка:


3) Дело сделано, среди чисел выбираем наибольшее и наименьшее.

Ответ:  

Пример 6. Число 24 представьте в виде суммы двух неотрицательных слагаемых так, чтобы сумма квадратов этих чисел была наименьшей.

Решение: Пусть х – первое слагаемое, тогда (24-х) – второе слагаемое. Сумма квадратов этих чисел По условию задачи Рассмотрим функцию Она на интервале (0;24) непрерывна и дифференцируема. Найдем критические точки.

Это значение единственное, поэтому первое число – 12, второе – 12. Ответ: 24=12+12.
Пример 7. Найдите размеры участка прямоугольной формы, имеющего наибольшую площадь, если его периметр равен 200 м.

Решение: A B

x

D C Так как функция S(x) непрерывная на всей числовой прямой, b

то будем искать ее наибольшее значение на отрезке .

Значит, наибольшей будет площадь участка 2500 м2, а стороны участка равны 50 м и 50 м.

Ответ: 50 м и 50 м.

2)Решить задание ( по примерам):

  1. Найти точку максимума функции y = x3 6x2 15x 3.

  2. Найдите точки экстремума функции а) y = x 4 2x2 , б) y = x2 4x3 ,
    в) y = 2x
    5 10x4 40x3 5 и определите их характер.

  3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = x3 3x2 – 72x  90 на отрезке [– 4;5] .

  4. Число 12 представьте в виде суммы двух неотрицательных слагаемых так, чтобы сумма квадратов этих чисел была наименьшей.

  5. Найдите размеры участка прямоугольной формы, имеющего наибольшую площадь, если его периметр равен 120 м.

3)Решить задание : 1.Найдите точки экстремума функции

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = x4 4x2  8 на отрезке [– 1;2] .

  1. Найти максимальное и минимальное значения функции f(x) = на отрезке [– 8;0] .

  2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = 2x312x2 – 30x 9 на отрезке [– 4;2] .

  3. Найти наибольшее и наименьшее значение функции  на отрезке [1;4];

  4. Найдите наибольшее значение функции   на отрезке .


Инструкционная карта

ПР № 23 «Решение иррациональных уравнений».   

Задание:

1)Перепишите и заполните пропуски:

Пример 1. Решить уравнениеhello_html_m31703e1.gif Решение: Уединим радикал hello_html_727bbaac.gif Это уравнение равносильно системе hello_html_mbbe3903.gif Решим уравнение (1): hello_html_m2e992f18.gif hello_html_m562ce331.gif hello_html_m11152785.gif hello_html_fa2cdec.gif х = … Найденное значение hello_html_m42749eb7.gif удовлетворяет условиям (2) и (3).

Ответ: –1. Пример 2. а) Найдите корень уравнения = 3 . Решение: Возведем в квадрат правую и левую части уравнения: )2 = 32, 15 – 2х = 9, –2х = 9 – 15, –2х = – 6, х = ... Сделаем проверку. Для этого подставим число 3 в исходное уравнение: = 3, 3 = 3 – верно.

Ответ: 3.

б) Решить уравнение = .

Решение: = => ˂=> => => х = ...

Ответ: 1. Пример 3. Решить уравнение = х -7 .

Решение: = х -7 => => => => => х = ...

Ответ: 14.

Пример 4. Решите уравнение   = .

Решение:  = => 7 х + х 2 2 = 2х 5 =>

5 – х = => 25 – 10х + х2 = х2 + 9х – 14 => 2 19х + 39 = 0,

D = (– 19)2 42 39= 361 – 312 = …, х1= (19 + 7) : 4 = …, х2 = (19 – 7) : 4 = …,

Проверка:  а)  х1= 6,5,   = ,

  = –  неверное равенство.

б) х2 = 3,   – = ,   = , –  верное равенство.

Ответ: 3.

Пример 5. Решить уравнение hello_html_m1160f3de.gif

Решение: Возводим в куб обе части уравнения hello_html_598c15c7.gif получим hello_html_m497b4a68.gif Учитывая, что выражение в скобках равно 1 (см. условие), получаем hello_html_625fcde.gif hello_html_52925630.gif hello_html_mdabf98.gif Возводим в куб: hello_html_30511dcf.gif hello_html_5282e7df.gif hello_html_33e13c73.gif Проверкой убеждаемся, что hello_html_m19405068.gif и hello_html_a6221c5.gif корни уравнения.

Ответ: 80, – 109.





2)Решить задание ( по примерам):

Решить уравнения:

  1. а) . б) .

  2. .

3) Решить задание:

  1. Решить уравнение:.

  2. Решить уравнение:.

  3. Решить уравнение:.

  4. Решить уравнение:.

  5. Решить уравнение: .

  6. Решить уравнение:3.

  7. Решить уравнение: .

  8. Решить уравнение:.

  9. Решить уравнение:.

  10. Решить уравнение:.

  11. Найдите корень уравнения:

  12. Найдите корень уравнения:

  13. Найдите корень уравнения:

Если уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них.

  1. Найдите корень уравнения:

  2. Найдите корень уравнения:

  3. Решить уравнение:

  4. Решить уравнение:

  5. Решить уравнение:

  6. Решить уравнение:

  7. Решить уравнение:

  8. Решить уравнение:

  9. Решить уравнение:

  10. Решить уравнение:

  11. Решить уравнение:

  12. Решить уравнение:.

  13. Решить уравнение:.

Инструкционная карта

ПР № 24 «Решение показательных и логарифмических уравнений».
Задание:

1)Перепишите и заполните пропуски:

Пример 1. а)Найдите корень уравнения .

Решение: Чтобы решить это уравнение, вспомним свойства степени и приведем правую и левую части уравнения к степени с основанием 5: ,

Если степени с равными основаниями равны, то равны их показатели. Приравняем показатели степеней: х – 7 = - 3, х = 7 – 3, х = ...

Ответ: 4 .

б)Найдите корень уравнения .

Решение: Представим правую и левую части уравнения в виде степени с основанием ,

Приравняем показатели степеней: -3 (-3+ х) = 9, 9 – 3х = …, -3х = 0, х = ...

Ответ: 0.

Пример 2. Решите уравнение.

Разделим обе части уравнения на : .

Пустьm,m > 0 , тогда 2m2 – 3m – 5 = 0, D = 9 – 42(– 5) = 9 + 40 = …, m1 = (3 + 7) : 4 = …,

m2 = (3 – 7) : 4 = – 4 : 4 = …, – не удовл. условию m > 0 .
Если m = 2,5 , то
Ответ:  – 1.

Пример 3. Решите уравнение 49x 8∙7x + 7 = 0.

Решение: Обозначим получим уравнение относительно у: у2 – 8у + 7 = 0,

D = (-8)2 41 7= 64 – 28 = …, у1= (8 + 6) : 2 = …, у2 = (8 - 6) : 2 = ... Получим, что и , отсюда х1 = …, х2 = ... Ответ: х1 = 1, х2 = 0.

Пример 4. а)Решить уравнение .
Решение: Ответ: 3.

б) Решите уравнение 

Решение: Ответ: 1.

в)Решите уравнение

Решение: Ответ: 4.

Пример 5. Решите уравнение Решение: Используем метод - решение логарифмических уравнений заменой.

ОДЗ: х > 0. Введем замену , чтобы записать исходное уравнение в виде стандартного квадратного уравнения. Тогда уравнение примет вид: у2 – 4у + 4 = 0, ( у – 2)2 = 0, у – 2 = 0, у = ... Вернемся к  х : . Тогда по определению логарифма получаем, что х = 32, х = … - уд.ОДЗ.

Ответ: 9.

Пример 6. Решите уравнение:.  

Решение: Вновь начнем решение с определения области допустимых значений уравнения. Она определяется следующей системой неравенств:


Воспользовавшись правилом сложения логарифмов, переходим к равносильному в области допустимых значений уравнению:

Основания логарифмов одинаковы, поэтому в области допустимых значений можно перейти к следующему квадратному уравнению:


(х + 2) (х + 3) = 1 х , х2 + 6х + 5 = 0, D = (6)2 41 5= 36 – 20 = …,

х1= ( 6 4) : 2 = , х2 = ( 4) : 2 = ...  

Первый корень не входит в область допустимых значений уравнения, второй — входит.

Ответ: x = -1.

Пример 7. Решите уравнение:

Решение: Найдем ОДЗ по определению логарифма. ОДЗ:

.

Перепишем исходное уравнение, используя свойства суммы логарифмов и логарифма степени. Получим следующее уравнение:

Приравняем подлогарифмические выражения:

(3х ) (х) = ,

Найдем корни полученного квадратного уравнения:

D = (92)2 41 () = 8464 + 8436 = …,

х1= (92 + 130) : 6 = 222 : 6 = …, х2 = (92 130) : 6 = .

Учитывая ОДЗ, корнем исходного логарифмического уравнения будет только х = ...

Ответ: х = 37.

2)Решить задание ( по примерам):

  1. а) Найдите корень уравнения .б) Найдите корень уравнения: .

  2. Решите уравнение .

  3. Решите уравнение 25x 6∙5x + 5 = 0.

  4. а)Решить уравнение: б)Решите уравнение 

в)Решите уравнение.

  1. Решите уравнение

  2. Решите уравнение .

  3. Решите уравнение

3)Решить задание :

  1. Решить уравнения: а) , б) в)

  2. Решите уравнение а) 4x 5∙2x + 4 = 0, б) 9x 4∙3x + 3 = 0.

  3. Решите уравнение  

  4. Решите уравнение .

  5. Решите уравнение

  6. Найдите сумму корней уравнения :.

  7. Если - корень уравнения , то найдите значение выражения .

  8. Найдите произведение корней уравнения .

  9. Решите уравнение .

  10. Решите уравнение:

  11. Решите уравнение:

  12. Решите уравнение:

  13. Решите уравнение:

  14. Решите уравнение:

  15. Решите уравнение:

  16. Решите уравнение:

  17. Если - корень уравнения , то найдите значение выражения .

  18. Найдите произведение корней уравнения .

  19. Найдите сумму корней уравнения .

  20. Найдите больший корень уравнения .


Инструкционная карта

ПР № 25«Решение тригонометрических уравнений».

Задание:

1)Перепишите и заполните пропуски:

Пример 1.Решите уравнение sin6xcos3x = 0.

Решение: sin6x – co3x = 0 , 2sin3x cos3x – cos3 x = 0 , сos3x(2sin3x – 1)=0 ,

сos3x=0 или sin3x=1/2 .

3x= π/2 + π k, k , 3x = (–1) n π/6 + π n, n Z .

х1= π/6+ π k/3 , k Z, x2= (–1)n π/18+ π n/3 , n Z .

Ответ: х1= π/6+ π k/3 , k Z; x2= (–1)n π/18+ π n/3 , n Z .

Пример 2. Решите уравнение ( ctg x – 1)(2sin + 1) = 0.

Решение: ( ctg x – 1)(2sin + 1) = 0,

ctg x – 1 = 0 или 2sin + 1 = 0,

ctg x = 1 sin = – 1/2, х/2 = (–1) n +1 π/6 + π n, n Z,

х1 = … + π k, k , х2 = (–1) n +1 … + 2π n, n Z.

Ответ: х1 = π/4 + π k, k , х2 = (-1) n +1 π/3 + 2π n, n Z.

Пример 3. Решите уравнение . Решение: , cos (3x 2x) = , cos x = ,
x =

Ответ: x =

Пример 4. a)Решите уравнение sin2 x + 5sin x – 6 = 0.

Решение: sin2 x + 5sin x – 6 = 0. Делаем замену  sin x = t, t ,получаем

квадратное уравнение: t2 + 5t – 6 = 0, 

D = 52 41 (6 ) = 25 + 24 = …, t 1= ( 5 + 7) : 2 = 2 : 2 = …, t 2 = ( 5 7) : 2 = 12 : 2 = ... замечаем, что t2 = – 6 посторонний корень, поскольку t  ,

делаем обратную замену, т.е. решаем уравнение sin x = 1 , у которого корнями будут числа

x = +2πn, nZ .

Ответ: x = π/2 +2πn, nZ.

б) Решите уравнение tg2 x 3tg x + 2 = 0.

Решение: Делаем замену  tg x = t, получаем квадратное уравнение: t2 – 3t + 2 = 0, 

D = ( 3)2 41 2 = 9 8 = …, t 1= (3 + 1) : 2 = 4 : 2 = …, t 2 = ( 1) : 2 = 2 : 2 = ... делаем обратную замену: tg x = 1, x1 = + πn, nZ  или tg x = 2, x 2= arctg … + πk, kZ .

 Ответ: x1 = π/4 + πn, nZ  , x 2= arctg 2 + πk, kZ .

Пример 5. Решить уравнение 4 – cos2x = 4 sin x.

Решение: Вместо cos2x подставим тождественное ему выражение 1 – sin2x . Тогда исходное уравнение примет вид 4 – (1 –sin2x) = 4 sin x, 3 + sin2x = 4 sin x, sin2– 4 sin x + 3 = 0.

Если положить y = sin x, получим квадратное уравнение y2 – 4y + 3 = 0.

D = 42 41 3 = 16 12 = …, y 1= (4 + 2) : 2 = 6 : 2 = …, y 2 = (4 2) : 2 = 2 : 2 = ... Значит, исходное уравнение равносильно совокупности уравнений sin x = 1 или  sin x = 3.

Уравнение sin x = 1 имеет решение . Уравнение sin x = 3 решений не имеет. Ответ: .

Пример 6. Решите уравнение 6 sin2 x+7 cos x-1= 0 .

Решение: 6 sin2 x + 7 cos x – 1= 0 .

Вместо sin2x подставим тождественное ему выражение  1 – cos2x . Тогда исходное уравнение примет вид 6(1 – cos2 x) + 7 cosx – 1=0; – 6 cos2 x + 7 cos x + 5=0; 6 cos2 x – 7 cos x – 5=0;

Замена cos x = t, |t|≤1, 6t2 – 7t – 5 = 0;D = (7)2 46 () = 49 + 120 = …, t1= (7 – 13) : 12 = , t2 = (7 13) : 12 = . - не удовлетворяет условию |t|≤1;

Делаем обратную замену cos x = ; x = ±arccos() + 2πk, kZ ,x = ± (π – π/3) + 2πk , kZ,

x = ± … + 2πk , kZ .

Ответ: x = ± 2π/3 + 2πk , kZ .

Пример 7. Решить уравнение .

Решение: .

Поделим обе части уравнения на cos x или sin x. Но предварительно надо доказать, что это выражение никогда не обращается в нуль. Предположим, что cos x= 0. Тогда 5sin x2∙0 = 0 , sin x = 0. Получается, что если sin x = 0, то и cos x = 0 , чего быть не может ввиду равенства . Значит можно поделить уравнение на cos x:

. Получим уравнение 5tg x 2 = 0, tg x = 2/5= 0,4.

Отсюда .

Ответ: .

Пример 8. Решите уравнение 2 sin2 х 3 sinх cos х 5 cos2 х = 0 .

Решение: 2 sin2 х 3 sinх cos х 5 cos2 х = 0 .

2 sin2 х 3 sinх cos х 5 cos2х = 0 | : cos2х ≠ 0,

2 tg 2x 3 tg x 5 = 0, замена tg x = t. , 2 t2 – 3t – 5 = 0,

D = (3)2 42 (– 5) = 9 + 40 = …, t1= (3 7) : 4 = 4 : 4 = …, t2 = (3 7) : 4 = 10 : 4 = …

Решением уравнения tg х = 1 являются числа вида х1 = … + πk , k Z.

Решением уравнение tg х = 2,5 являются числа вида х2 = arctg … + πn, n Z.

Ответ: х1 = – π/4 + πk , k Z, х2 = arctg 2,5+ πn, n Z.

2)Решить задание ( по примерам):

Решить задание ( по примерам):

  1. Решите уравнение sin4xcos2x = 0.

  2. Решите уравнение (2 sin x – )(tg x – ) = 0.

  3. Решите уравнение cos 4xcos3x + sin4xsin3x = / 2.

  4. a)Решите уравнение sin2 x + 8sin x – 9 = 0,б) Решите уравнение tg2 x 10tg x + 9 = 0.

  5. Решить уравнение 3 – cos2x = 3 sin x.

  6. Решите уравнение 6 sin2 x + 5 cos x– 7=0 .

  7. Решить уравнение .

  8. Решите уравнение hello_html_5b73cee4.gif.

3)Решить задание :

  1. Решить уравнение .

  2. Решите уравнение sin2xcosx = 0.

  3. Решите уравнение (2 cos x – 1)(ctg x – ) = 0.

  4. Решите уравнение ( tg x – 1)(2sin – ) = 0.

  5. Решите уравнение cos 4xcosxsin4xsinx = / 2.

  6. Решите уравнение 2cos(х + π/6) = – .

  7. Решите уравнение 5sin2 x – 7cos x + 1= 0.

  8. Решите уравнение cos 2x = 6cos x – 1.

  9. Решить уравнение : а) ; б) .

  10. Решить уравнение 5 sin x cos x – 3cos2 x = 0.

  11. Решить уравнение 3.

  12. Решите уравнение: .

  13. Решите уравнение: а). б) .

  14. Найдите сумму корней уравнения , принадлежащих промежутку

  15. Решите уравнение .

  16. Решите уравнение .

  17. Решите уравнение .

  18. Решите уравнение .

  19. Решите уравнение

  20. Решить уравнение 4 sin x cos xcos2 x = 0.

Инструкционная карта

ПР № 26«Решение показательных, логарифмических , тригонометрических неравенств».

Задание:

1)Перепишите и заполните пропуски:

Пример 1. Решите неравенства: а) . Решение: х ... Ответ: х 4.

б) , Решение: , 2х 6 – 3х, х

Ответ: х

Пример 2. Решите неравенство: 36x 76x + 6 0.

Решение: Обозначим получим неравенство относительно у: у2 – 7у + 6 0, у2 – 7у + 6 = 0, D = (-7)2 41 6= 49 – 24 = …, у1= (7 + 5) : 2 = 12 : 2 = …,

у2 = (7 - 5) : 2 = 2 : 2 = ...

+ 1 6 + у 1у 6, 1 6, …х ... Ответ: 0х 1.


Пример 3. Решить неравенство

Решение: По определению логарифма, область допустимых значений:

Решение данного неравенства найдем с помощью метода интервалов, для этого левую часть разложим на множители. Решим квадратное уравнение 

D = ()2 41 3 = 1612 = …, х1= ( + 2) : 2 = : 2 = …, х2 = ( 2) : 2 = : 2 = ...

Значит, левую часть неравенства можно представить в виде:

Отметим нули каждого множителя на числовой прямой и определим знаки неравенства в полученных интервалах:

hello_html_6b83020d.pngх

Учитывая знак неравенства, определим ОДЗ:

ОДЗ определили, теперь приступим к решению исходного логарифмического неравенства:


Представим правую часть неравенства как логарифм по основанию 2:

Перейдем от неравенства относительно логарифмов к неравенству для подлогарифмических функций: так как основание логарифма больше единицы ( 2 > 1 ), то знак неравенства не изменится:

Приравняем к нулю левую часть неравенства и решим полученное квадратное уравнение 

D = (4)2 41 () = 16 + 20 = …, х1= (4 + 6) : 2 = 2 : 2 = …,

х2 = (4 6) : 2 = : 2 = …

Таким образом, получили корни х1= 1, х2 = . Отметим точки на числовой оси и определим знаки неравенства в полученных интервалах.

hello_html_m641bb999.pngх

Учитывая, что нас интересуют все значения х, при которых данное неравенство принимает положительные значения, то получаем следующие интервалы:  Это ответ, так как данные интервалы полностью принадлежат ОДЗ. Ответ: 

Пример 4. Решить неравенство

Решение: Находим ОДЗ по определению логарифма.


Перейдем в неравенства от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма, при этом, так как основание логарифма меньше единицы ( 0,5 < 1 ), знак неравенства поменяем на противоположный:

С учетом ОДЗ, окончательно имеем, что   Ответ: 

Пример 5. Решить неравенство

Решение: ОДЗ: х > 0. Логарифмируем левую и правую часть неравенства: .

По свойству логарифма степени получаем:

Ведем замену  Тогда наше неравенство принимает вид:

Решаем данное неравенство методом интервалов. Для этого левую часть надо разложить на


множители. Приравняем ее к нулю и  решаем полученное квадратное уравнение

  D = (1)2 41 () = 1 + 8 = …, y1= (1 + 3) : 2 = 4 : 2 = …,

y2 = (1 3) : 2 = : 2 = ...

Неравенство примет вид: Отметим точки на числовой оси и определим знаки неравенства в полученных интервалах.

hello_html_43066964.pngх

Решением будет отрезок  Перейдем обратно к x:

.

В пересечении с ОДЗ получаем этот же промежуток 

Ответ:

Пример 6. Решить неравенство

Решение: По определению логарифма, находим ОДЗ:

Используя свойство логарифма степени и формулы замены основания, приведем второй логарифм к основанию 3:

Введем замену   y + Перенесем 2 в левую часть и приводим к общему знаменателю: Данное неравенство равносильно следующему: y(y2) > 0.

Для решение полученного неравенства применим метод интервалов, для этого трехчлен

y2 разложим на множители. Приравняем его к нулю и решим полученное квадратное уравнение y2 D = (2)2 41 2 = 4 .

Дискриминант меньше нуля, и старший коэффициент a = 1 > 0, следовательно, при любом значении y выражение y2 > 0. А тогда произведение y(y2) положительно, когда y > 0. Перейдем к x, для этого делаем обратную замену: Пересекая с ОДЗ, окончательно имеем промежуток 

Ответ: 

Пример 7. Решить неравенство sin(t) 1/2.

Решение: Рисуем единичную окружность. Так как sin(t) по определению - это координата y, отмечаем на оси Оу точку у = 1/2. Проводим через неё прямую, параллельную оси Ох. В местах пересечения прямой с графиком единичной окружности отмечаем точки Pt1 и Pt2. Соединяем двум отрезками начало координат с точками Pt1 и Pt2

Решением данного неравенства будут все точки единичной окружности расположенные выше данных точек. Другими словами решением будет являться дуга l. Теперь необходимо указать условия, при которых произвольная точка будет принадлежать дуге l.hello_html_m203b787d.jpg

Pt1 лежит в правой полуокружности, её ордината равна 1/2,

тогда t1= arcsin(1/2) = π/6. Для описания точки Pt1 можно записать следующую формулу: t2 = π – arcsin(1/2) = 7π/6. В итоге получаем

для t следующее неравенство:/6 t 7π/6,

Мы сохраняем знаки неравенств. А так как функция синус функция периодичная, значит решения будут повторяться через каждые 2π. Это условие добавляем к полученному неравенству для t и записываем ответ.

Ответ: /6+2πn t 7π/6 + 2πn, n Z.

Пример 8. Решить неравенство cos(t) <1/2.

Решение: Нарисуем единичную окружность. Так как согласно определению cos(t) это координата х, отмечаем на грфике на оси Ох точку x = 1/2.
Проводим через эту точку прямую, параллельную оси Оу. В местах пересечения прямой с графиком единичной окружности отмечаем точки P
t1 и Pt2. Соединяем двум отрезками начало координат с точками Pt1 и Pt2.
hello_html_mecb7ec3.jpg

Решениями будут все точки единичной окружности, которые принадлежать

дуге l. Найдем точки t1 и t2t1 = arccos(1/2) = π/3 ,

t2 = 2π arccos(1/2) = 2π/3 = 5π/6.

Получили неравенство для t: π/3 < t < 5π/6.

Так как косинус - это функция периодичная, то решения будут повторяться через каждые 2π. Это условие добавляем к полученному неравенству для t и записываем ответ.hello_html_m174f9f6b.jpg

Ответ: π/3+2πn π/6+2πn, n Z.

Пример 9. Решить неравенство tg(t) 1.

Решение: Период тангенса равняется π. Найдем решения, которые принадлежат промежутку (-π/2; π/2) правая полуокружность. Далее воспользовавшись периодичностью тангенса, запишем все решения данного неравенства. Нарисуем единичную окружность и отметим на ней линию тангенсов.

Если t будет являться решение неравенства, то ордината точки Т = tg(t) должна быть меньше или равна 1. Множество таких точек будет составлять луч АТ. Множество точек Pt, которые будут соответствовать точкам этого луча – дуга l. Причем, точка P(-π/2) не принадлежит этой дуге. Найдем условие, при котором некоторая точка Pt будет принадлежать дуге l. t1 = arctg(1) = π/4.  Получаем неравенство /2 t/4. 

Учитывая период тангенса записываем ответ.

Ответ: /2 + πnt /4 + πn, n Z.

Пример 10. Решить неравенство:   sin x > 0.

Решение: В пределах одного оборота единичного радиуса это неравенство справедливо

при 0 < x < hello_html_3fac242e.gif. Теперь необходимо добавить период синуса  2hello_html_3fac242e.gif n :

0 + 2πn х π + 2πn, 2πn х π + 2πn, при любом целом n.

Ответ: 2πn х π+ 2πn, n Z.hello_html_m12869a62.pnghello_html_6e343a75.png

Пример 11. а) Решить неравенство:   sin x > 0.5 .

Решение: π/6 + 2πn < х < 5π/6 + 2πn, для любого целого n.

б) Решить неравенство cosх > /2.

Решение: /4 + 2πn х π/4 + 2πn,

для любого целого n.( по рис.)

Пример 12. Решить неравенство cos (x/4 – 1) ≤ (/2).

Решение: Обозначим x/4 – 1 = у. Решая неравенство cos у ≤ (/2), находим 
3π/4 + 2πn ≤ у ≤ 5π/4 + 2πn, n Z.

Заменяя у = x/4 – 1, получаем 3π/4 + 2πn ≤ x/4 – 1 ≤ 5π/4 + 2πn, откуда 
1 + 3π/4 + 2πn ≤ x/4 ≤ 1 + 5π/4 + 2πn, 4 + 3π + 8 πn ≤ х ≤ 4 + 5π + 8 πn, n Z.

Ответ: 4 + 3π + 8 πn ≤ х ≤ 4 + 5π + 8 πn, n Z.

2)Решить задание ( по примерам):

  1. Решите неравенства: а) . б) ,

  2. Решите неравенство 64x 9∙8x + 8 0.

  3. Решите неравенства: а) . б) ,

  4. Решите неравенство: 9x 4∙3x + 3 0.

  5. Решить неравенство

  6. Решить неравенство

  7. Решить неравенство

  8. Решить неравенство

  9. Решить неравенство

  10. Решить неравенство

  11. Решить неравенство

  12. Решить неравенство

  13. Решить неравенство cos x ≤ - .

  14. Решить неравенство sin x > - .

  15. Решить неравенство sin x ≥ .

  16. Решить неравенство ctg x < - .

  17. Решить неравенство tg x > 1.

  18. Решить неравенство tg x ≤ 1.

  19. Решить неравенство ctg x ≥ - .

  20. Решить неравенство сtg x ≤ 1.

3)Решить задание:

  1. Найдите наименьшее целое решение неравенства .

  2. Найдите наименьшее целое решение неравенства .

  3. Решите неравенство < 1.

  4. Решите неравенство ≥ 1.

  5. Решите неравенство ≤ 1.

  6. Решите неравенство.

  7. Решите неравенство.

  8. Найдите область определения функции;

  9. Найдите наибольшее целое значение х, удовлетворяющее неравенству:

  1. Решите неравенствоhello_html_29386776.gif. 11.Решите неравенство .

  1. Решите неравенство .

  2. Решить неравенства:

  3. Решить неравенства:

  4. Укажите количество целых решений неравенства:   

  5. Решите неравенство .  

  6. Решите неравенство .  

  7. Найдите наибольшее целое решение неравенства .

  8. Найдите наибольшее целое решение неравенства .

  9. Найдите сумму целых решений неравенства .

  10. Укажите количество целых решений неравенства.

  11. Решите неравенства:

  12. Решите неравенства: а) ,б) , в) .

  13. Решите неравенства: 1) ;2) ;3) ;

  14. Найдите какой-либо корень уравнения , удовлетворяющий неравенству .

  15. Решите неравенство: .

  16. Решите неравенство:.

  17. Решите неравенства: а) б) в) .

  18. Решите неравенства: а)

  19. Определите все а, при каждом из которых неравенство 4sinx + 3cosxа имеет хотя бы одно решение.

Инструкционная карта

ПР № 27 «Решение неравенств с помощью метода интервалов».

Задание:

1)Перепишите и заполните пропуски:

Пример 1. Решите неравенства: а) (х ) (х) ( х , б) (х ) (х) ( х

Решение: а) (х ) (х) ( х , х = 0, х = 0, х х1 = …, х2 = …, х3 = ...





Ответ:

б) (х ) (х) ( х х = 0, х = 0, х х1 = …, х2 = …, х3 = ...






Ответ: .

Пример 2. Решите неравенства: а) x3 x < 0, б) (.

Решение: а) x3 x < 0, x(x2 1) < 0, x(x2 1 ) = 0, х1 = …, x2 1 = 0, х2 = 1, х3 = ...





Ответ: .

б) (, () = 0, 0,

D = (6)2 41 8 = 36 32 = …, x1= (6 2) : 2 = 8 : 2 = …, x2 = (6 2) : 2 = 4 : 2 = …,

x 1 = 0, x = ...






Ответ: .

Пример 3. Решите неравенства: а) б)

Решение: а) ,


hello_html_6f29e869.png


Ответ: .

б) ,


hello_html_4f115f52.png


Ответ: .

Пример 4. Решите неравенства: а) , б) ,

Решение: а) , H < 0, D < 0, a > 0 => P = ...

Ответ: P = .

б) , H ≥ 0, D < 0, a > 0 => P = ...

Ответ: P = R.

Пример 5. Решите неравенства: а)

б) .

Решение: а)

х = 0, х = 0, х

х1 = …, х2 = …, х3 = ...

n = 2,1петля n = 3,2петли






, x .

Ответ: .

б) ,

,

x1 = 0, n = 4, 3 петли, х = 0, х2 = …, n = 3, 2петли,

х = 0, х3 = …, n = 2, 1петля , х х4 = ...






Ответ: .

2)Решить задание ( по примерам):

  1. Решите неравенства: а) (х ) (х) ( х , б) (х ) (х) ( х

  2. Решите неравенства: а) x3 4x < 0, б) (.

  3. Решите неравенства: а) б)

  4. Решите неравенства: а) , б) ,

  5. Решите неравенства: а) б) .

3)Решить задание:

  1. Решите неравенства: а) (х ) (х) ( х , б) (х ) (х) ( х

  2. Решите неравенства: а) x3 x < 0, б) (.

  3. Решите неравенства: а) б)

  4. Решите неравенства: а) , б) ,

  5. Решите неравенства: а) б) .

  6. Решите неравенство .

  7. Решите неравенство .

  8. Найти все значения параметра а, при которых неравенство х2+(2а+4)х+8а+1≤ 0 не имеет решений.

  9. Найдите все значения параметра а, при которых неравенство х2 + (2а+6)х7а15< 0 выполняется для любых х.

  10. Решите неравенство > 0.

  11. Решите неравенство (х21)2 (х+5) ≥ 0;

  12. Решите неравенство (х24) (х+7)3 ≤ 0;

  13. а) – (х1) (5х) (х+20) > 0, б) – (х2) (9х) (х+10) > 0.

  14. Решите неравенство

  15. Решите неравенство x3(2x + 8)(x − 3)2 > 0.

Инструкционная карта

ПР № 28 «Вычисление угловых коэффициентов. Составление уравнения касательной к графику функции».

Задание:

1)Перепишите и заполните пропуски:

Пример 1. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции y = f(x) в точке с

абсциссой х: а) y(x) = x³, x = 1, б) y(x) = ln x, x = 1, в) y(x) = 3x² 4x, x = 2,

г) y(x) = х3 + 7x² 5x+3, x = 3, д) y(x) = ех, x = ln 7, e) y(x) = 7sinx, x = 0,ж) y(x) = е, x = ln 4.

Решение: угловой коэффициент k равен производной от функции в точке, т.е. k = y (x0) ,

найдем производные и вычислим их в точке x0

a)   бв)  

г)

д) е ln 7= …,е) 7cos x, 7 cos 0 = 7 1 = …,

ж) е3 ln 4 = 343 = 364 = …

Ответ: a)3, б)1, в)8,г) 64,д) 7,е)7,ж) 192.

Пример 2. а) Найти угловой коэффициент k, если α = arctg 6, α = - arctg 8.

б) Найти α,если y(x) = х3, x = 2.

Решение: а) k = tgα = tg k = tgα = tg k = tgα = tg

k = tgα = tg

б)

Ответ: а)1, ,6,- 8, б) arctg 4.

Пример 3. Дана функция y = x3. Составить уравнение касательной к графику этой функции в точке x0 = 2.
Решение: Уравнение касательной: y = f  (x0) · (x − x0) + f(x0). Точка x0 = 2 нам дана, а вот значения f (x0) и f (x0) придется вычислять.

Для начала найдем значение функции. Тут все легко: f (x0) = f (2) = 23 = …;
Теперь найдем производную: f  (x) = (x3) = 3x2;
Подставляем в производную x0 = 2: f   (x0) = f  (2) = 3 · 22 = 34 = …;
Итого получаем: y = 12 · (x − 2) + 8 = 12x − 24 + 8 = 12x − 16. 
Это и есть уравнение касательной.

Ответ: y = 12x − 16. 
Пример 4. Составить уравнение касательной к графику функции f (x) = 2sin x + 5 в точке x0 = π/2.

Решение: f (x0) = f (π/2) = 2sin (π/2) + 5 = 2 + 5 = …; f  (x) = (2sin x + 5) = 2cos x;
f  (x0) = f  (π/2) = 2cos (π/2) = 0;

Уравнение касательной: y = 0 · (x − π/2) + 7  y = ...hello_html_44c9db7b.png

Ответ: y = 7.

Пример 5. Составьте уравнение касательной к графику функции  

в точке M(3; – 2).

Решение: Точка M(3; – 2) является точкой касания, так как

1. a = 3 – абсцисса точки касания.2. f(3) = – 2. 3. f '(x) = x2 – 4, f '(3) = 9 4 = …
y = – 2 + 5(x – 3), y = …x – 17 – уравнение касательной.

Ответ: y = 5x – 17.

Пример 6. Напишите уравнения всех касательных к графику функции y = – x2 – 4x + 2, проходящих через точку M(– 3; 6).

Решение: Точка M(– 3; 6) не является точкой касания, так как f(– 3)  6 (рис. 2).hello_html_m126a8a75.png

1. a – абсцисса точки касания.
2. f(a) = – a
2 – 4a + 2.
3. f '(x) = – 2x – 4, f '(a) = – 2a – 4.
4. y = – a2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – уравнение касательной.

Касательная проходит через точку M(– 3; 6), следовательно, ее координаты удовлетворяют уравнению касательной.

6 = – a2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a),
a
2 + 6a + 8 = 0 , D = 62 41 8 = 36 32 = …,

а1= (6 2) : 2 = 8 : 2 = …, а2 = (6 2) : 2 = 4 : 2 = …,

Если a = – 4, то уравнение касательной имеет вид y = 4x + 18.

Если a = – 2, то уравнение касательной имеет вид y = 6.

Ответ: y = 4x + 18 или y = 6.
Пример 7. Напишите уравнения всех касательных к графику функции y = x3 – 3x2 + 3, параллельных прямой y = 9x + 1.

Решение: 1. a – абсцисса точки касания. 2. f(a) = a3 – 3a2 + 3.3. f '(x) = 3x2 – 6x, f '(a) = 3a2 – 6a.

Но, с другой стороны, f '(a) = 9 (условие параллельности). Значит, надо решить уравнение 3a2 – 6a = 9. 3a2 – 6a 9 = 0, hello_html_5a070ee0.png

D = (6)2 43 () = 36 108 = …, а1= (6 12) : 6 = 18 : 6 = …,

а2 = (6 12) : 6 = 6 : 6 = …,

Его корни a = – 1, a = 3 (рис. 3).

4. 1сл.) a = – 1; f(– 1) = – 1– 3 + 3 = …;  f '(– 1) = 3 + 6 = …;

 y = – 1 + 9(x + 1); y = 9x + 8 – уравнение касательной;

2сл.) a = 3; f(3) = 27–27 + 3 = …; f '(3) = 27 – 18 = …;
y = 3 + 9(x – 3); y = 9x – 24 – уравнение касательной.

Ответ: y = 9x + 8 и y = 9x – 24.

Пример 8. Напишите уравнение касательной к графику функции y = 0,5x2 – 3x + 1, проходящей под углом 45° к прямой y = 0 (рис. 4).hello_html_m32119c54.png

Решение: Из условия '(a) = tg 45°, найдем a:  a – 3 = 1 ,a = 3 + 1 = ...

1. a = 4 – абсцисса точки касания.
2. f(4) = 8 – 12 + 1 = ...
3. f '(4) = 4 – 3 = ...
4. y = – 3 + 1(x – 4). y = x – 7 – уравнение касательной.

Ответ: y = x – 7.

Пример 9. На параболе у = х2 взяты две точки с абсциссами 1 и 3. Через эти точки проведена прямая. В какой точке параболы касательная будет параллельна проведенной прямой?

Решение: у = х2 , (1;1), (3;9). Найдем уравнение прямой .

4х – 4 = у – 1. у = 4х – 3.

Прямые параллельны, если их угловые коэффициенты равны.

- угловой коэффициент касательной в точке с абсциссой х0.

 0 = 4. х0 = ... ,

Ответ: в точке (2;4) касательная параллельна заданной прямой.

Пример 10. При каких b и c прямые y = x и y = – 2x являются касательными к графику

функции y = x2 + bx + c?

Решение: Пусть t – абсцисса точки касания прямой y = x с параболой y = x2 + bx + c;

p – абсцисса точки касания прямой y = – 2x с параболой y = x2 + bx + c.

Тогда уравнение касательной y = x примет вид y = (2t + b)x + c – t2, а уравнение

касательной y = – 2x примет вид y = (2p + b)x + c – p2. Составим и решим систему уравнений:

;


2t = 1,5; t = 0,75;

p = – t = …,

c = = = …,

b = 1 – 2t = 1 – 2 0,75 = 1– 1,5 = …

Ответ: b = – 0,5; c = 0,562 5.

2)Решить задание ( по примерам):

  1. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции y = f(x) в точке с

абсциссой х: а) y(x) = x4, x = 1, б) y(x) = ln x, x = 2, в) y(x) = 3x² - 4x, x = 4,

г) y(x) = х3 + 7x² - 5x+3, x =5, д) y(x) = ех, x = ln 8, e) y(x) = 9sinx, x = 0,ж) y(x) = е, x = ln 6.

  1. а) Найти угловой коэффициент k, если α = arctg 9, α = - arctg 11.

б) Найти α,если y(x) = х3, x = 4.

  1. Дана функция y = x3. Составить уравнение касательной к графику этой функции в точке x0 = 1.

  2. Составить уравнение касательной к графику функции f (x) = 4sin x + 5 в точке x0 = π/2.

  3. Составьте уравнение касательной к графику функции  в точке M(3; – 1).

  4. Напишите уравнения всех касательных к графику функции y = – x2 – 4x + 2, проходящих через точку M(– 3; 9).

  5. Напишите уравнения всех касательных к графику функции y = x3 – 3x2 + 3, параллельных

прямой y = 24x + 1.

  1. Напишите уравнение касательной к графику функции y = 0,5x2 – 5x + 1, проходящей
    под углом 45° к прямой y = 0 .

  2. На параболе у=х2 взяты две точки с абсциссами 1 и 2. Через эти точки проведена прямая.
    В какой точке параболы касательная будет параллельна проведенной прямой?

  3. При каких b и c прямые y = x и y = – 2x являются касательными к графику
    функции y = x2 + 2bx + c?

3)Решить задание:

  1. Напишите уравнения касательных, проведенных к графику функции y = 2x2 – 4x + 3 в точках пересечения графика с прямой y = x + 3.

  2. При каких значениях a касательная, проведенная к графику функции y = x2 – ax в точке графика с абсциссой x0 = 1, проходит через точку M(2; 3)?

  3. Найдите все общие точки графика функции y = 3x – x3 и касательной, проведенной к этому графику через точку P(0; 16).

  4. На кривой y = x2 – x + 1 найдите точку, в которой касательная к графику параллельна
    прямой y – 3x + 1 = 0.

  5. Найдите угол q между касательными к графику функции y = x3 – 4x2 + 3x + 1, проведенными в точках с абсциссами 0 и 1.

  6. Прямая y = 2x + 7 и парабола y = x2 – 1 пересекаются в точках M и N. Найдите точку K пересечения прямых, касающихся параболы в точках M и N.

  7. При каких значениях b касательная, проведенная к графику функции y = bx3 – 2x2 – 4 в точке с абсциссой x0 = 2, проходит через точку M(1; 8)?

  8. Найти угол между касательными к графику функции , проведенными в точках с абсциссами 1 и 2.

  9. Является ли прямая у = х – 1 касательной к кривой у = х3 – 2х + 1?

  10. Найдите уравнение касательной к графику функции  в точке с абсциссой .

  11. К графику функции у = 3(х + 2) проведены две параллельные касательные, одна из которых проходит через точку графика с абсциссой х0 = – 1. Найдите абсциссу точки, в которой

    другая касательная касается графика данной функции.

  12. Напишите уравнение касательной к графику функции f(x) = x2 – 4x + 5, если эта касательная проходит через точку (0; 4) и абсцисса точки касания положительна.

  13. Напишите уравнение касательной к графику функции f(x) = x2 + 3x + 5, если эта касательная проходит через точку (0; 1) и абсцисса точки касания отрицательна.

  14. Найдите уравнение параболы f(x) = ax2 + bx + 1 касающейся прямой у = 7х + 2
    в точке М (1; 5).

  15. К графику функции провести касательную так, чтобы она была параллельна прямой у = 4х – 5.

  16. Из точки (0; 1) провести касательную к графику функции.

  17. Составить уравнение касательной к графику функции  в точке с абсциссой.

  18. Составить уравнение касательной к графику функции  в точке с абсциссой 

  19. Составить уравнение касательной к графику функции
      в точке с абсциссой  .

  20. Составить уравнение касательной к графику функции > 0, отсекающей от осей координат треугольник, площадь которого равна .









Инструкционная карта

ПР № 29 «Вычисление производных элементарных функций».

Задание:

1)Перепишите и заполните пропуски:

Пример 1. Найдите производные функций: а) y = ex x7 ,б) у=3ех+cos2x, в) у = ехsinx,

г) у= ln2x ,д) , е) , ж)

Решение: а) б) в) = ех cosx; г) ,

д)е)ж)

Ответ: а)б) в) = ех cosx; г) ,д)

е)ж)

Пример 2. Вычислите значение производной функции:

а) у= в точке , б) у=ех sinx + x2 в точке ,

в) у = cos2x + 4x в точке ,г) в точке .

Решение: а)


б)

в)

г) Ответ: а)10,5; б)1;в)4; г)2.

Пример 3. Найдите производные функций: а) б)

в) г) д)
Решение: а) у  (x) = (x 2 + sin x) = (x 2) + (sin x) = …x + cos x;
б)
у  (x) = (x 3 · cos x) = (x 3) · cos x + x 3 · (cos x) = …x 2 · cos x + x 3· (− sin x) =

= x 2 · (3cos x  x · sin x),

в) у  (x) = ((x 2 + 7x − 7) · e x ) = (x 2 + 7x − 7) · e x + (x 2 + 7x − 7) · (e x ) = (2x + 7) · e x +

+(x 2 + 7x − 7) · e x = e x · (2x + 7 + x 2 + 7x−7) = (x 2 + …x) · e x = x(x + …) · e x .

г)
д)

По традиции, разложим числитель на множители — это значительно упростит ответ:


Ответ: а) у  (x) = 2x + cos x; б) у  (x) = x 2 · (3cos x  x · sin x), в) у  (x) = x(x + 9) · e x ,

г) д)

Пример 4. Найти производные функций:  f(x) = e 2x + 3g(x) = sin (x 2 + ln x).
Решение: Заметим, что если в функции f(x) вместо выражения 2x + 3 будет просто x, то получится элементарная функция f(x) = e x . Поэтому делаем замену: пусть 2x + 3 = tf(x) = f(t) = e t . Ищем производную сложной функции по формуле:

f  (x) = f  (t) · t  = (e t ) · t  = e t · t . Выполняем обратную замену: t = 2x + 3. Получим:

f  (x) = e t · t  = e 2x + 3 · (2x + 3) = e 2x + 3 · 2 = … · e 2x + 3

Теперь разберемся с функцией g(x). Очевидно, надо заменить x 2 + ln x = t. Имеем:

g  (x) = g  (t) · t  = (sin t) · t  = cos t · t . Обратная замена: t = x 2 + ln x. Тогда:

g  (x) = cos (x 2 + ln x) · (x 2 + ln x) = cos (x 2 + ln x) · (…x + 1/x).

Ответ: f  (x) = 2 · e 2x + 3; g  (x) = (2x + 1/x) · cos (x 2 + ln x).
Пример 5. Найти производную функции :

а)б)
Решение: а)

б)
Ответ: а) б)

2)Решить задание ( по примерам):

  1. Найдите производные функций: а) y = 2ex –3x7 ,б) у=5ех+cos3x, в) у = ехcosx,

г) у= – ln4х, д) , е) , ж)

  1. Вычислите значение производной функции:

а) у= в точке , б) у=2ех sinx +3 x2 в точке ,

в) у = cos2x + 8x в точке ,г) в точке .

  1. Найдите производные функций: а) б)

в) г) д)

  1. Найти производные функций:  f(x) = e 4x + 3; g(x) = sin (2x 2 + ln x).

  2. Найти производные функций : а)б)

3)Решить задание:

  1. Найдите производную функции y = e -x 2x7 , у= 4х3+ е .

  2. Найдите производную функции у = x2 + sinx в точке х0 =.
    Найдите производную функции у = sinх ex – 9x3 в точке xo=0.

  3. Найдите значение производной функции у = 5cos x – 7x в точке хо = 0 .

  4. Вычислите значение производной функции y = ln(2x+11)+ 5x в точке хо= 5.

  5. Найдите производную функции: а) б)

Инструкционная карта

ПР № 30 «Вычисление площадей с помощью интегралов».

Задание:

1) Перепишите и заполните пропуски:

Пример 1. а)Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = х2 2, у = 0, х = 2, х = 1.hello_html_m6ea081fc.png

Решение: Выполним чертеж (обратите внимание, что уравнение у = 0  задает ось  ОХ): Штриховать криволинейную трапецию я не буду, здесь очевидно, о какой площади идет речь. Решение продолжается так:

На отрезке[– 2;1]    график функции у = х2 2  расположен над осью ОХ, поэтому:


Ответ: S = 9 eд2.

б)Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у =  , х = 1  и координатными осями.

Решение: Выполним чертеж: Если криволинейная трапеция расположена под осью OX (или, по крайней мере, не выше данной оси), то её площадь можно найти по формуле: S =  .
В данном случае:
hello_html_m521974c9.png

Ответ: 

Пример 2.а)Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями  у = 2х , у =  .hello_html_m34e0aa0e.png

Решение: Сначала нужно выполнить чертеж. Найдем точки пересечения параболы у = 2х   и

прямой у =   . Решаем уравнение: =  , 3х = 0, х(3) = 0,

х1 = …, х2 = ...

Значит, нижний предел интегрирования а = 0, верхний предел интегрирования b = 3 . x = a ,x = b , можно найти по формуле: S = .

Искомая фигура ограничена параболой y = 2х   сверху и прямой у =    снизу.
На отрезке
[0;3]  2х  , по соответствующей формуле

Ответ: S = 4,5 eд2.  . б)Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , y = x  , y = 0  , x = 3 .

Решение: Сначала выполним чертеж: Площадь фигуры считается с помощью двух определенных интегралов. Действительно:hello_html_m2509795.jpg

1) На отрезке [– 1;1]  над осью OX расположен график прямой y = x   ;

2) На отрезке [1;3]   над осью OX  расположен график гиперболы

Совершенно очевидно, что площади можно (и нужно) приплюсовать, поэтому:

Ответ: .hello_html_dfee4aa.png

Пример 3.a) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

 ,2x  .


Решение: Представим уравнения в виде и выполним поточечный чертеж:
Из чертежа видно, что верхний предел у нас «хороший»:
  b = 1.
Найдем точки пересечения прямой
    и параболы
Для этого решаем уравнение:
3x2 = 2x 3x2 2x

D = 4 12 = …, = 4, x1 = , x2 = ... Действительно,a = .

На отрезке по соответствующей формуле: Ответ: hello_html_3f5273e5.png

б)Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y =  , y = 2x  .

Решение: Выполним чертеж:
На отрезке по соответствующей формуле:


Ответ: S = 10 eд2.  .

Пример 4.Найти площадь фигуры, ограниченной линиями x , xy = 3 .hello_html_m2e7c3126.png

Решение: Выполним чертеж . На отрезке  , по соответствующей формуле:
Ответ:  .
hello_html_78b890fb.jpg

Пример 5.a) Найти площадь фигуры, ограниченной параболой у = х2 +10 и касательными к этой параболе, проведёнными из точки (0;1). 

Решение: Неизвестна абсцисса точки касания х = а. Чтобы её найти, составим уравнение касательной:  y = f (x0) .

Имеем f(x) = x2 f (x) = 2x;значит, f(a) = a2 f (a) = 2a; уравнение касательной имеет вид:

y = a2 2 a(x ) = a2 2 ax ;

Уравнение касательной y = (1)

По условию касательная должна проходить через точку (0;1), то есть координаты точки (0;1) должны удовлетворять уравнению (1):

1 = 2a0 ; , a1 = a2 = ...

Подставим найденные значения в уравнение (1):


Если a =  то y = 9 10 Если a = 3 , то y =  .

Получили два уравнения касательных y =  . Параболы y = х2 + 10 они касаются в точках А(3;19) и В(3;19).

Найдём площадь фигуры DACB: SDACB = 2SDCB ,


hello_html_f9ffd32.gif






SDACB = 2 9 = ...

Ответ: 18.

б) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями hello_html_35881468.jpg

у = 4/x, y = х, х = 4.

Решение: SABC = SMBAD SMBCD;

SMBAD = 1/2(MB ) MD = = 1/2 (2 ) 2 = 6;




hello_html_450e27c6.gif


Ответ: 6 – 4ln2.

2)Решить задание ( по примерам):

  1. а)Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .

б)Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями и координатными осями.

  1. а)Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями  .

б)Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями.

  1. a) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .

б)Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y =  , y = 2x  .

  1. a)Найти площадь фигуры, ограниченной линиями  .

б) В каком отношении парабола делит площадь четырёхугольника, вершины которого находятся в точках с координатами (0;0); (2;0); (0;6); (2;6)? 

  1. a)Найти площадь фигуры, ограниченной параболой и касательными к этой параболе, проведёнными из точки (0;1). 

б) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .

3)Решить задание:

  1. a)Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .

б)Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями и координатными осями.

  1. а)Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями  .

б)Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями.

  1. a)Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями.

б)Найти площадь фигуры, ограниченной линиями .

  1. a)Найти площадь фигуры, ограниченной линиями.

б) В каком отношении парабола делит площадь четырёхугольника, вершины которого находятся в точках с координатами (0;0); (2;0); (0;6); (2;6)? 

  1. a)Найти площадь фигуры, ограниченной параболой и касательными к этой параболе, проведёнными из точки (0;1). 

б) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .

  1. Найти площадь фигуры, ограниченной функцией и осями координат.

  2. Найти площадь фигуры, ограниченной функциями и касательной к этой параболе, проведенной в точке (1/2;3/4).

  3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями.

  4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями.

  5. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями.

  6. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями.

  7. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями..

  8. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями .

  9. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями.

  10. Найти площадь фигуры, ограниченную линиями .

  11. Найти площадь фигуры, ограниченной линиям .

  12. Вычислите площадь фигуры, ограниченной параболой и осью абсцисс.

  13. Вычислите площадь фигуры, ограниченной прямыми , .

  14. Вычислите площадь фигуры, ограниченной прямой и параболой .

  15. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями и .






Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "УМК по прфессии Повар- кондитер."

Получите профессию

HR-менеджер

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ #U041a#U0422#U041f #U041a#U0420#U0410#U0422#U041a#U041e,#U041f#U041e#U0412#U0410#U0420#U0410,2014-2016 #U0443#U0447.#U0433..docx

Министерство образования и науки Челябинской области


ГБПОУ СПО (ССУЗ) «Чебаркульский профессиональный техникум»


























КАЛЕНДАРНО-ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН




Учебная дисциплина: ОДП.01.Математика


Профессия: 260807.01 . Повар- кондитер.


Преподаватель: Зайцева С.Е.
























2015 г.

Тематический план.

10 ч.


3-4)   Прямоугольные треугольники. Теорема Пифагора.

2


5-6) Теорема косинусов, синусов.

2


7-8)   Параллелограмм, ромб. Прямоугольник, квадрат, трапеция. Правильные многоугольники.   

2


9-10)    Формулы площадей фигур.

2


11-12)  Зачет №1 «Планиметрия».

2


1.2 Аксиомы стереометрии:

2ч.


13-14)   Основные понятия стереометрии. Аксиомы стереометрии. Некоторые следствия из аксиом.

2


1.3 Параллельность и перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве.

22ч.


15-16)   Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Параллельность прямой и плоскости.

2


17-18)  Параллельность прямой и плоскости. Параллельность плоскостей.

2


19-20) Параллельность плоскостей.

2


21-22) Контрольная работа №2 «Параллельность прямых и плоскостей».

2


23-24)     Перпендикулярность прямой и плоскости.

2


25-26) Перпендикуляр и наклонная.

2


27-28) Угол между прямой и плоскостью. Двугранный угол. Угол между плоскостями.

2


29-30) ПР № 1 «Вычисление перпендикуляра и наклонной. Вычисление угла между плоскостями».

2


31-32) Перпендикулярность двух плоскостей. Геометрические преобразования пространства: параллельный перенос, симметрия относительно плоскости.

2


33-34) Параллельное проектирование. Площадь ортогональной проекции. Изображение пространственных фигур.

2


35-36) Контрольная работа №3 «Перпендикулярность прямых и плоскостей».

2

Многогранники.

18ч.


37-38) Вершины, ребра, грани многогранника. Развертка. Многогранные углы. Выпуклые многогранники. Теорема Эйлера. Призма. Прямая и наклонная призма. Правильная призма. Параллелепипед. Куб.

2


39-40) Призма. Прямая и наклонная призма. Правильная призма. Параллелепипед. Куб.

2


41-42)ПР № 2 «Построение многогранников. Вычисление элементов призмы».

2


43-44)Пирамида. Правильная пирамида. Усеченная пирамида. Тетраэдр.

2


45-46) ПР № 3 «Вычисление элементов пирамиды, правильной пирамиды, усеченной пирамиды».

2


47-48) Симметрии в кубе, в параллелепипеде, в призме и пирамиде.

2


49-50) Представление о правильных многогранниках (тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр).

2


51-52) Представление о правильных многогранниках (тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр).

2


53-54) Контрольная работа №4 «Многогранники».

2

Тела и поверхности вращения.

20ч.


55-56) Цилиндр и конус.

2


57-58) Цилиндр и конус.

2


59-60) ПР № 4 «Вычисление элементов цилиндра».

2


61-62) Усеченный конус. Основание, высота, боковая поверхность, образующая, развертка.

2


63-64) ПР № 5 «Вычисление элементов конуса, усеченного конуса».

2


65-66) Осевые сечения и сечения, параллельные основанию. Шар и сфера, их сечения.

2


67-68) ПР № 6«Вычисление элементов сферы».

2


69-70) Касательная плоскость к сфере.

2


71-72) Касательная плоскость к сфере.

2


73-74) Контрольная работа №5 «Тела вращения».

2

Измерения в геометрии.

26ч.


75-76) Объем и его измерение. Интегральная формула объема. Формулы объема куба, прямоугольного параллелепипеда, призмы, цилиндра.

2


77-78) ПР № 7 «Расчет по модели объёма прямоугольного параллелепипеда».

2


79-80) Формулы объема куба, прямоугольного параллелепипеда, призмы, цилиндра.

2


81-82) ПР № 8 «Вычисление объёма прямой призмы. Вычисление объёма цилиндра».

2


83-84) Формулы объема пирамиды и конуса.

2


85-86) ПР № 9 «Вычисление объёма пирамиды .Расчет по модели объёма конуса».

2


87-88) Формулы площади поверхностей цилиндра и конуса.

2


89-90) ПР № 10 « Расчет по модели площади цилиндра и конуса».

2


91-92)  Формулы объема шара и площади сферы.

2


93-94) ПР № 11 «Вычисление объёма шара. Расчет объёмов сегмента, слоя, сектора шара».

2


95-96)  Подобие тел. Отношения площадей поверхностей и объемов подобных тел.

2


97-98) ПР № 12 «Вычисление объёмов тел».

2


99-100)  Контрольная работа №6 «Объёмы тел ».

2

Координаты и векторы.

20ч.


101-102 )Прямоугольная (декартова) система координат в пространстве. Формула расстояния между двумя точками. Уравнения сферы, плоскости и прямой.

2


103-104) ПР № 13 «Составить уравнение сферы ».

2


105-106)  Векторы. Модуль вектора. Равенство векторов. Сложение векторов.

2


107-108) Векторы. Модуль вектора. Равенство векторов. Сложение векторов. 

2


109-110) Умножение вектора на число. Разложение вектора по направлениям. Угол между двумя векторами. Проекция вектора на ось. Координаты вектора.

2


111-112)  ПР № 14 «Умножение вектора на число. Вычисление координат векторов».

2


113-114) Скалярное произведение векторов.

2


115-116)  ПР № 15 «Решение задач в координатах».

2


117-118) Использование координат и векторов при решении математических и прикладных задач.

2


119-120)  Контрольная работа №7

« Координаты и векторы». Зачет №2«Стереометрия».

2


КОМБИНАТОРИКА, СТАТИСТИКА И ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

14ч.

Элементы комбинаторики.

4


121-122) Основные понятия комбинаторики. Задачи на подсчет числа размещений, перестановок, сочетаний.

2


123-124)  Решение задач на перебор вариантов. Формула бинома Ньютона. Свойства биноминальных коэффициентов. Треугольник Паскаля.

2

Элементы теории вероятностей.

8


125-126) Событие, вероятность события, сложение и умножение вероятностей. Понятие о независимости событий. Дискретная случайная величина, закон ее распределения.

2


127-128) Числовые характеристики дискретной случайной величины. Понятие о законе больших чисел.

2


129-130)  ПР № 16 «Вычисление числовых характеристик дискретной случайной величины».

2


131-132) Зачет №3 «Элементы комбинаторики и теории вероятностей».

2

Элементы математической статистики.

2


133-134)  Представление данных (таблицы, диаграммы, графики), генеральная совокупность, выборка, среднее арифметическое, медиана. Понятие о задачах математической статистики. Решение практических задач с применением вероятностных методов.

2


АЛГЕБРА

110ч.

Развитие понятия о числе.

26ч.


9.1 Повторение базисного материала курса основной школы.

20ч.


135-136)   Степень числа и ее свойства.

2


137-138) Пропорция. Основное свойство пропорции.  Прямая и обратная пропорциональная зависимость величин.        

2


139-140) ПР № 17«Решение пропорций. Решение задач с помощью пропорций».

2


141-142)  Вычисление квадратных корней. Решение задач на проценты.     

2


143-144) Контрольная работа №8 «Пропорция. Проценты ».

2


145-146) Уравнения. Неравенства.

2


147-148) ПР № 18«Решение квадратных уравнений . Решение неравенств ».   

2


149-150)  Решение систем уравнений и неравенств. Формулы сокращенного умножения.

2


151-152) ПР № 19   « Решение систем уравнений и неравенств. Вычисления по  формулам сокращенного умножения».

2


153-154)  Контрольная работа №9 «Уравнения. Неравенства ».

2


9.2 Развитие понятия о числе.

6ч.


155-156) Целые и рациональные числа. Действительные числа.

2


157-158) Целые и рациональные числа. Действительные числа.

2


159-160)Приближенные вычисления. Приближенное значение величины и погрешности приближений. Комплексные числа.

2

Корни, степени и логарифмы.

16ч.

2 КУРС

161-162) Корни и степени. Корни натуральной степени из числа и их свойства. Степени с рациональными показателями, их свойства. Степени с действительными показателями.

2


163-164) Степени с действительными показателями. Свойства степени с действительным показателем.   

2


165-166)  Логарифм. Логарифм числа. Основное логарифмическое тождество. Десятичные и натуральные логарифмы.

2


167-168) Правила действий с логарифмами. Переход к новому основанию.

2


169-170) ПР № 20 «Вычисление логарифмов».         

2


171-172) Преобразование алгебраических выражений. Преобразование рациональных, иррациональных выражений.

2


173-174)Преобразование степенных, показательных и логарифмических выражений.

2


175-176) Зачет №4 «Корни и степени. Логарифмы».

2

Основы тригонометрии.

22ч.


177-178)    Радианная мера угла. Вращательное движение. Синус, косинус, тангенс и котангенс числа.

2


179-180)   Основные тригонометрические тождества, формулы приведения. Синус, косинус и тангенс суммы и разности двух углов.

2


181-182) Синус, косинус и тангенс суммы и разности двух углов.

2


183-184) Синус и косинус двойного угла. Формулы половинного угла. Преобразования суммы тригонометрических функций в произведение и произведения в сумму.

2


185-186) Преобразования простейших тригонометрических выражений.

2


187-188) Зачет №5 «Тригонометрические преобразования».

2


189-190) Простейшие тригонометрические уравнения.

2


191-192) Решение тригонометрических уравнений заменой переменной.

2


193-194) Решение тригонометрических уравнений способом деления.

2


195-196) Простейшие тригонометрические неравенства. Арксинус, арккосинус, арктангенс числа.

2


197-198)Зачет №6 «Решение тригонометрических уравнений».

2

Функции, их свойства и графики.

14ч.


199-200) Функции. Область определения и множество значений; график функции, построение графиков функций, заданных различными способами.

2


201-202) Свойства функции: монотонность, четность, нечетность, ограниченность, периодичность.

2


203-204) ПР № 21 «Вычисление множества значений тригонометрических функций по формулам».

2


205-206) Промежутки возрастания и убывания, наибольшее и наименьшее значения, точки экстремума. Графическая интерпретация.

2


207-208) Промежутки возрастания и убывания, наибольшее и наименьшее значения, точки экстремума. Графическая интерпретация.

2


209-210) ПР № 22 «Нахождение экстремумов функции. Нахождения наибольшего и наименьшего значения функции».

2


211-212)Обратные функции. Область определения и область значений обратной функции. График обратной функции. Арифметические операции над функциями. Сложная функция (композиция).

2

Степенные, показательные, логарифмические и тригонометрические функции.

8ч.


213-214) Определения функций, их свойства и графики (степенные, показательные, логарифмические и тригонометрические). Обратные тригонометрические функции.

2


215-216) Преобразования графиков. Параллельный перенос, симметрия относительно осей координат.

2


217-218) Симметрия относительно начала координат, симметрия относительно прямой y = x, растяжение и сжатие вдоль осей координат.

2


219-220) Контрольная работа №10 «Тригонометрические функции».

2

Уравнения и неравенства .

24ч.


221-222) Равносильность уравнений, неравенств, систем. Рациональные, иррациональные, показательные и тригонометрические уравнения и системы.

2


223-224) ПР № 23 «Решение иррациональных уравнений».         

2


225-226) Основные приемы решения уравнений (разложение на множители, введение новых неизвестных, подстановка, графический метод).

2


227-228) ПР № 24 «Решение показательных и логарифмических уравнений».

2


229-230) Основные приемы решения уравнений (разложение на множители, введение новых неизвестных, подстановка, графический метод).

2


231-232)ПР № 25«Решение тригонометрических уравнений».

2


233-234)Рациональные, иррациональные, показательные и тригонометрические неравенства. Основные приемы решения неравенств.

2


235-236) ПР № 26«Решение показательных, логарифмических , тригонометрических неравенств».

2


237-238) Метод интервалов. Изображение на координатной плоскости множества решений уравнений и неравенств

с двумя переменными и их систем.

2


239-240) Применение математических методов для решения содержательных задач из различных областей науки и практики. Интерпретация результата, учет реальных ограничений.

2


241-242) ПР № 27«Решение неравенств с помощью метода интервалов».

2


243-244) Контрольная работа №11 «Виды уравнений и неравенств».

2

НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

33ч.


245-246) Последовательности. Способы задания и свойства числовых последовательностей. Понятие о пределе последовательности. Существование предела монотонной ограниченной последовательности. Суммирование последовательностей. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма.

2


247-248) Понятие о непрерывности функции. Производная. Понятие о производной функции, её геометрический и физический смысл. Уравнение касательной к графику функции.

2


249-250) ПР № 28 «Вычисление угловых коэффициентов. Составление уравнения касательной к графику функции».

2


251-252) Производные суммы, разности, произведения, частного.

2


253-254) Производные основных элементарных функций.

2


255-256) ПР № 29 «Вычисление производных элементарных функций».

2


257-258) Контрольная работа №12 « Производная ».

2


259-260) Применение производной к исследованию функций и построению графиков. Производные обратной функции и композиции функции.

2


261-262) Примеры использования производной для нахождения наилучшего решения в прикладных задачах. Вторая производная, ее геометрический и физический смысл.

2


263-264) Применение производной к исследованию функций и построению графиков. Нахождение скорости для процесса, заданного формулой и графиком.

2


265-266) Контрольная работа №13 «Применение производной ».

2


267-268)  Первообразная и интеграл.

2


269-270)  Применение определенного интеграла для нахождения площади криволинейной трапеции.

2


271-272) Формула Ньютона—Лейбница. Примеры применения интеграла в физике и геометрии.

2


273-274) ПР № 30 «Вычисление площадей с помощью интегралов».

2


275-276)  Контрольная работа №14 «Первообразная ».

2


277) Итоги изученного.

1


Итого практ.работ

60


Итого часов:

277


























Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "УМК по прфессии Повар- кондитер."

Получите профессию

Копирайтер

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ #U041a#U0422#U041f #U041a#U0420#U0410#U0422#U041a#U041e,#U041f#U041e#U0412#U0410#U0420#U0410,2015-2017 #U0443#U0447.#U0433..docx


Министерство образования и науки Челябинской области


ГБПОУ СПО (ССУЗ) «Чебаркульский профессиональный техникум»


























КАЛЕНДАРНО-ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН




Учебная дисциплина: ОУДП.04. Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия.


Профессия: 19.01.17. Повар- кондитер.


Преподаватель: Зайцева С.Е.





















2015 г.

Тематический план.

6 ч.


3-4)   Прямоугольные треугольники. Теорема Пифагора.

Теорема косинусов, синусов.

2


5-6)    Правильные многоугольники. Формулы площадей фигур.

2


7-8)  Зачет №1 «Планиметрия».

2


1.2 Аксиомы стереометрии:

2ч.


9-10)   Основные понятия стереометрии. Аксиомы стереометрии. Некоторые следствия из аксиом.

2


1.3 Параллельность и перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве.

20ч.


11-12)   Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Параллельность прямой и плоскости.

2


13-14)  Параллельность прямой и плоскости. Параллельность плоскостей.

2


15-16) Контрольная работа №2 «Параллельность прямых и плоскостей».

2


17-18)     Перпендикулярность прямой и плоскости.

Перпендикуляр и наклонная.

2


19-20) Угол между прямой и плоскостью. Двугранный угол. Угол между плоскостями.

2


21-22) ПР № 1 «Вычисление перпендикуляра и наклонной к плоскости».

2


23-24) Перпендикулярность двух плоскостей. Геометрические преобразования пространства: параллельный перенос, симметрия относительно плоскости.

2


25-26) ПР № 2 «Вычисление расстояния между прямыми и плоскостями».

2


27-28) Параллельное проектирование. Площадь ортогональной проекции. Изображение пространственных фигур.

2


29-30) Контрольная работа №3 «Перпендикулярность прямых и плоскостей».

2

Многогранники.

10ч.


31-32) Вершины, ребра, грани многогранника. Развертка. Многогранные углы. Выпуклые многогранники. Теорема Эйлера. Призма. Прямая и наклонная призма. Правильная призма. Параллелепипед. Куб.

2


33-34)Пирамида. Правильная пирамида. Усеченная пирамида. Тетраэдр.

2


35-36) ПР № 3 «Построение многогранников. Вычисление площадей и объемов многогранников».

2


37-38) Симметрии в кубе, в параллелепипеде, в призме и пирамиде. Сечения куба, призмы и пирамиды. Представление о правильных многогранниках (тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр).

2


39-40) Контрольная работа №4 «Многогранники».

2

Тела и поверхности вращения.

10ч.


41-42) Цилиндр и конус.

2


43-44) Усеченный конус. Основание, высота, боковая поверхность, образующая, развертка.

2


45-46) Осевые сечения и сечения, параллельные основанию. Шар и сфера, их сечения.

2


47-48) Шар и сфера, их сечения. Касательная плоскость к сфере.

2


49-50) Контрольная работа №5 «Тела вращения».

2

Измерения в геометрии.

10ч.


51-52) Объем и его измерение. Интегральная формула объема. Формулы объема куба, прямоугольного параллелепипеда, призмы, цилиндра.

2


53-54) Формулы объема пирамиды и конуса.

2


55-56) Формулы площади поверхностей цилиндра и конуса.

2


57-58)  Формулы объема шара и площади сферы. Подобие тел. Отношения площадей поверхностей и объемов подобных тел.

2


59-60)  Контрольная работа №6 «Объёмы тел ».

2

Координаты и векторы.

12ч.


61-62 )Прямоугольная (декартова) система координат в пространстве. Формула расстояния между двумя точками. Уравнения сферы, плоскости и прямой.

2


63-64)  Векторы. Модуль вектора. Равенство векторов. Сложение векторов.

2


65-66) Умножение вектора на число. Разложение вектора по направлениям. Угол между двумя векторами. Проекция вектора на ось. Координаты вектора. Скалярное произведение векторов.

2


67-68)  ПР № 4 «Вычисление координат векторов».

2


69-70) Использование координат и векторов при решении математических и прикладных задач.

2


71-72)  Зачет №2«Стереометрия».

2


КОМБИНАТОРИКА, СТАТИСТИКА И ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

14ч.

Элементы комбинаторики.

6


73-74) Основные понятия комбинаторики. Задачи на подсчет числа размещений, перестановок, сочетаний.

2


75-76)  Решение задач на перебор вариантов. Формула бинома Ньютона. Свойства биноминальных коэффициентов. Треугольник Паскаля.

2


77-78) ПР № 5 «Решение комбинаторных задач».

2

Элементы теории вероятностей.

6


79-80) Событие, вероятность события, сложение и умножение вероятностей. Понятие о независимости событий. Дискретная случайная величина, закон ее распределения.

2


81-82) ПР № 6 «Вычисление вероятностей».

2


83-84) Числовые характеристики дискретной случайной величины. Понятие о законе больших чисел.

Зачет №3 «Элементы комбинаторики и теории вероятностей».

2

Элементы математической статистики.

2


85-86)  Представление данных (таблицы, диаграммы, графики), генеральная совокупность, выборка, среднее арифметическое, медиана. Понятие о задачах математической статистики. Решение практических задач с применением вероятностных методов.

2


АЛГЕБРА

115ч.

Развитие понятия о числе.

14ч.


9.1 Повторение базисного материала курса основной школы.

8ч.


87-88)   Степень числа и ее свойства. Пропорция. Прямая и обратная пропорциональная зависимость величин.        

2


89-90)  Вычисление квадратных корней. Решение задач на проценты.   

2


91-92)  Уравнения. Неравенства. Решение систем уравнений и неравенств.

2


93-94) Контрольная работа №7 «Пропорция .Уравнения. Неравенства ».

2


9.2 Развитие понятия о числе.

6ч.


95-96) Целые и рациональные числа. Действительные числа.

2


97-98) Приближенные вычисления. Комплексные числа.

2


99-100) ПР № 7 «Вычисление числовых выражений».

2

Основы тригонометрии.

23ч.


101-102)    Радианная мера угла. Вращательное движение. Синус, косинус, тангенс и котангенс числа.

2


103-104)ПР № 8 «Вычисление углов в радианах».

2


105-106)   Формулы приведения. Формулы сложения.

2


107-108) Формулы удвоения Формулы половинного угла.

2


109-110) Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение и произведения в сумму. Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента.

2


111-112) ПР № 9 «Преобразование тригонометрических выражений».

2


113-114) Зачет №4 «Тригонометрические преобразования».

2


115-116) Простейшие тригонометрические уравнения. Простейшие тригонометрические неравенства.

2


117-118) ПР №10 «Решение простейших тригонометрических уравнений и неравенств».

2


119-120) Арксинус, арккосинус, арктангенс.

2


121-122) ПР № 11 «Вычисление обратных тригонометрических выражений».

2


123) Зачет №5 «Решение тригонометрических уравнений».

1

Корни, степени и логарифмы.

24ч.

2 КУРС

124-125) Корни и степени. Корни натуральной степени из числа и их свойства.

2


126-127) ПР № 12 «Вычисление и сравнение корней. Выполнение расчетов с радикалами».

2


128-129) Степени с рациональными показателями, их свойства. Степени с действительными показателями. Свойства степени с действительным показателем.   

2


130-131) ПР № 13 «Нахождение значений степеней с рациональными показателями. Сравнение степеней».

2


132-133)  Логарифм. Логарифм числа. Основное логарифмическое тождество. Десятичные и натуральные логарифмы.

2


134-135) ПР № 14 «Преобразования выражений».

2


136-137) Правила действий с логарифмами. Переход к новому основанию.

2


138-139) ПР № 15 «Нахождение значений логарифма».

2


140-141) Преобразование алгебраических выражений. Преобразование рациональных, иррациональных выражений.

2


142-143) ПР № 16 «Вычисление логарифмов».

2


144-145)Преобразование степенных, показательных и логарифмических выражений.

2


146-147) Зачет №6 «Корни и степени. Логарифмы».

2

Функции, их свойства и графики.

16ч.


148-149) Функции. Область определения и множество значений; график функции, построение графиков функций, заданных различными способами.

2


150-151) ПР № 17 «Вычисление множества значений функций».

2


152-153) Свойства функции: монотонность, четность, нечетность, ограниченность, периодичность.

2


154-155) ПР № 18 «Построение графиков функций».

2


156-157) Промежутки возрастания и убывания, наибольшее и наименьшее значения, точки экстремума. Графическая интерпретация.

2


158-159) Примеры функциональных зависимостей в реальных процессах и явлениях. Арифметические операции над функциями. Сложная функция (композиция). Понятие о непрерывности функции.

2


160-161) ПР № 19 «Построение графиков по свойствам функций».

2


162-163) Обратные функции. Область определения и область значений обратной функции. График обратной функции.

2

Степенные, показательные, логарифмические и тригонометрические функции.

16ч.


164-165) Определения функций, их свойства и графики (степенные, показательные, логарифмические и тригонометрические).

2


166-167) ПР № 20 «Построение графиков периодических функций».

2


168-169) Преобразования графиков. Параллельный перенос, симметрия относительно осей координат.

2


170-171) ПР № 21 «Построение графиков обратных функций».

2


172-173) Симметрия относительно начала координат, симметрия относительно прямой y = x, растяжение и сжатие вдоль осей координат.

2


174-175) ПР № 22 «Построение графиков функций с помощью преобразований».

2


176-177) ПР № 23 «Решение уравнений с помощью графиков».

2


178-179) Контрольная работа №8 «Тригонометрические функции».

2

Уравнения и неравенства .

22ч.


180-181) Рациональные, иррациональные, показательные и тригонометрические уравнения и системы. Равносильность уравнений, неравенств, систем.

2


182-183) ПР № 24 «Решение иррациональных уравнений».         

2


184-185) Основные приемы решения уравнений (разложение на множители, введение новых неизвестных, подстановка, графический метод).

2


186-187) ПР № 25 «Решение показательных уравнений».

2


188-189) Основные приемы решения уравнений (разложение на множители, введение новых неизвестных, подстановка, графический метод).

2


190-191) ПР № 26 «Решение логарифмических уравнений».

2


192-193) Рациональные, иррациональные, показательные и тригонометрические неравенства. Основные приемы решения неравенств.

2


194-195) Метод интервалов. Изображение на координатной плоскости множества решений уравнений и неравенств

с двумя переменными и их систем.

2


196-197) ПР № 27 «Решение уравнений и их систем».

2


198-199) Применение математических методов для решения содержательных задач из различных областей науки и практики. Интерпретация результата, учет реальных ограничений.

2


200-201) Контрольная работа №9 «Виды уравнений и неравенств».

2

НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

30ч.


202-203) Последовательности. Способы задания и свойства числовых последовательностей. Понятие о пределе последовательности. Существование предела монотонной ограниченной последовательности. Суммирование последовательностей. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма.

2


204-205) ПР № 28 «Вычисление членов последовательности».

2


206-207) Производная. Понятие о производной функции, её геометрический и физический смысл. Уравнение касательной к графику функции.

2


208-209) ПР № 29 «Составление уравнения касательной к графику функции».

2


210-211) Производные суммы, разности, произведения, частного.

Производные основных элементарных функций.

2


212-213) ПР № 30 «Вычисление производных элементарных функций».

2


214-215) Контрольная работа №10 « Производная ».

2


216-217) Применение производной к исследованию функций и построению графиков. Производные обратной функции и композиции функции.

2


218-219) ПР № 31 «Исследование функции с помощью производной».

2


220-221) Примеры использования производной для нахождения наилучшего решения в прикладных задачах. Вторая производная, ее геометрический и физический смысл. Нахождение скорости для процесса, заданного формулой и графиком.

2


222-223)Контрольная работа №11 «Применение производной».

2


224-225)  Первообразная и интеграл. Применение определенного интеграла для нахождения площади криволинейной трапеции.

2


226-227) Формула Ньютона—Лейбница. Примеры применения интеграла в физике и геометрии.

2


228-229) ПР № 32 «Вычисление площадей с помощью интегралов».

2


230-231)  Контрольная работа №12 «Первообразная».

Итоги изученного.

2


Итого практ.работ

64


Итого часов:

231


























Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "УМК по прфессии Повар- кондитер."

Получите профессию

Секретарь-администратор

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ #U041a#U0422#U041f #U041f#U041e#U0412#U0410#U0420#U0410,2014-2016 #U0443#U0447.#U0433..docx

Тематический план по профессии: 260807.01 «Повар- кондитер».


Введение.

2

2

0

0


ГЕОМЕТРИЯ

178

118

30

60

1.

Прямые и плоскости в пространстве.

50

34

2

16


1.1 Повторение основных понятий планиметрии.


10

0

6

1.2 Аксиомы стереометрии.

2

0

0

1.3 Параллельность и перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве.

22

2


10

2.

Многогранники.

28

18

4

10

3.

Тела и поверхности вращения.

30

20

6

10

4.

Измерения в геометрии.

40

26

12

14

5.

Координаты и векторы.

30

20

6

10


КОМБИНАТОРИКА, СТАТИСТИКА И ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

20

14

2


6

6.

Элементы комбинаторики.

6

4

0

2

7.

Элементы теории вероятностей.

12

8

2

4

8.

Элементы математической статистики.

2

2

0

0


АЛГЕБРА

166

110

22

56

9.

Развитие понятия о числе.

38

26

6

12


9.1 Повторение базисного материала курса основной школы.


20

6


10

9.2 Развитие понятия о числе.

6

0

2

10.

Корни, степени и логарифмы.

24

16

2

8

11.

Основы тригонометрии.

34

22

0

12

12.

Функции, их свойства и графики.

22

14

4

8

13.

Степенные, показательные, логарифмические и тригонометрические функции.

12

8

0

4

14.

Уравнения и неравенства .

36

24

10

12

15.

НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА.

50

33

6

17

 

Всего:

416

277

60

139

Тематический план (ВСР) по специальности: 260807.01. «Повар- кондитер».


ОК

ТР

Т

К


Введение.

0

0

0

0

0


ГЕОМЕТРИЯ

12

34

12

2

60

1.

Прямые и плоскости в пространстве.

6

6

4

0

16


1.1 Повторение основных понятий планиметрии.

2

2

2

0

6

1.2 Аксиомы стереометрии.

0

0

0

0

0

1.3 Параллельность и перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве.

4

4

2

0

10

2.

Многогранники.

2

6

2

0

10

3.

Тела и поверхности вращения.

2

6

2

0

10

4.

Измерения в геометрии.

0

10

2

2

14

5.

Координаты и векторы.

2

6

2

0

10


КОМБИНАТОРИКА, СТАТИСТИКА И ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

2

2

2

0

6

6.

Элементы комбинаторики.

2

0

0

0

2

7.

Элементы теории вероятностей.

0

2

2

0

4

8.

Элементы математической статистики.

0

0

0

0

0


АЛГЕБРА

18

26

10

2

56

9.

Развитие понятия о числе.

8

2

0

2

12


9.1 Повторение базисного материала курса основной школы.

6

2

0

2

10

9.2 Развитие понятия о числе.

2

0

0

0

2

10.

Корни, степени и логарифмы.

2

4

2

0

8

11.

Основы тригонометрии.

2

8

2

0

12

12.

Функции, их свойства и графики.

2

6

0

0

8

13.

Степенные, показательные, логарифмические и тригонометрические функции.

0

0

4

0

4

14.

Уравнения и неравенства .

2

8

2

0

12

15.

НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА.

6

8

2

1

17

 

Всего:

44

66

24

5

139


Тематический план


ТЕМА УРОКА

УРОВЕНЬ УСВОЕНИЯ

ТИП УРОКА

ОСНАЩЕНИЕ УРОКА

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

ВНЕАУДИТОРНАЯ САМ.РАБОТА

Коды форм. ОК

 

1-2) Введение. 

Контрольная работа №1 «Нулевой срез».   

2

Урок контроля

Сборник заданий для 9 кл. Л.В.Кузнецова и др. Карточки-задания.

Конспект, задание в тетради




ОК-1


ГЕОМЕТРИЯ

118 ч.




Прямые и плоскости в пространстве.

34 ч.

ПР-2 ч. 

16ч.


 

1.1 Повторение основных понятий планиметрии:

10 ч.

ПР-0 ч. 

6ч.


 

3-4)   Прямоугольные треугольники. Теорема Пифагора.



2

Повторительно-обобщающий

Стенд «Теорема Пифагора».

Карточки-задания.

Конспект, задание в тетради

1)Типовой расчет по теме «Решение треугольников».



ОК-4


5-6) Теорема косинусов, синусов.



2

Повторительно-обобщающий

Карточки-задания. Таблицы Брадиса.

Конспект, задание в тетради




ОК-6

 

7-8)   Параллелограмм, ромб. Прямоугольник, квадрат, трапеция. Правильные многоугольники.   



2

Повторительно-обобщающий

Стенд

«Четырехугольники»

Конспект, задание в тетради

2)Составление опорного конспекта «Четырехугольники».




ОК-5

 

9-10)    Формулы площадей фигур.



2

Повторительно-обобщающий

Карточки-задания

Конспект, задание в тетради




ОК-4


11-12) 

Зачет №1 «Планиметрия».




2

Урок контроля

Карточки-задания

Конспект, задание в тетради

 3)Решение теста по теме «Планиметрия».




ОК-8

 

1.2 Аксиомы стереометрии:


2ч.

 

Учебник: Геометрия 10-11 кл.

Л.С. Атанасян и др.

 

 

13-14)   Основные понятия стереометрии. Аксиомы стереометрии. Некоторые следствия из аксиом.




2

Усвоение новых знаний.

Учебник

«Геометрия

10-11 кл».

(Л.С. Атанасян)

§1-3,№11

 





ОК-5


1.3 Параллельность и перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве.

 22ч.

 ПР-2 ч. 

10ч.


 

15-16)   Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Параллельность прямой и плоскости.



2

Усвоение новых знаний.

Учебник

«Геом. 10-11 кл».

(Л.С. Атанасян)

§4-6,№18(б)

4)Составление опорного конспекта «Параллельность прямых и плоскостей».



ОК-4

 

17-18)  Параллельность прямой и плоскости. Параллельность плоскостей.



2

Усвоение новых знаний.

Учебник

«Геом. 10-11 кл».

(Л.С. Атанасян)

§7-9,№44,

§10-11

5)Типовой расчет по теме «Параллельность плоскостей».



ОК-4


19-20) Параллельность плоскостей.

2

Урок закрепления ЗУН.

Учебник

«Геом. 10-11 кл».

(Л.С. Атанасян)

§10-11, №54



 

21-22) Контрольная работа №2 «Параллельность прямых и плоскостей».



2

Урок контроля

Карточки-задания

§1-11






ОК-2

 

23-24)     Перпендикулярность прямой и плоскости.





2

Усвоение новых знаний.

Учебник

«Геом. 10-11 кл».

(Л.С. Атанасян)

§15-18,№123

6)Составление опорного конспекта «Перпендикулярность прямых, прямой и плоскости». 



ОК-4

 

25-26) Перпендикуляр и наклонная.



2

Усвоение новых знаний.

Учебник

«Геом. 10-11 кл».

(Л.С. Атанасян)

§19-21,№140




ОК-2

 

27-28) Угол между прямой и плоскостью. Двугранный угол. Угол между плоскостями.


2

Усвоение новых знаний.

Учебник

«Геом. 10-11 кл».

(Л.С. Атанасян)

§22,№173




ОК-5

 

29-30) ПР № 1 «Вычисление перпендикуляра и наклонной. Вычисление угла между плоскостями».



2

Урок закрепления ЗУН.

Карточки-задания

§19-22

7)Типовой расчет по теме «Перпендикуляр и наклонная».




ОК-7

 

31-32) Перпендикулярность двух плоскостей. Геометрические преобразования пространства: параллельный перенос, симметрия относительно плоскости.



2

Усвоение новых знаний.

Учебник

«Геом. 10-11 кл».

(Л.С. Атанасян)

§23-24,№187(б)




ОК-3


33-34) Параллельное проектирование. Площадь ортогональной проекции. Изображение пространственных фигур.




2


Усвоение новых знаний.

Учебник

«Геом. 10-11 кл».

(Л.С. Атанасян). Карточки-задания.

с.169-174




ОК-3

 

35-36)

Контрольная работа №3 «Перпендикулярность прямых и плоскостей».



2

Урок контроля

Карточки-задания

§15-24

8)Решение теста по теме «Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве». 



ОК-3

Многогранники.

 18ч.

ПР-4 ч. 

10 ч.


 

37-38) Вершины, ребра, грани многогранника. Развертка. Многогранные углы. Выпуклые многогранники. Теорема Эйлера. Призма. Прямая и наклонная призма. Правильная призма. Параллелепипед. Куб.



2

Усвоение новых знаний.

Учебник

«Геом. 10-11 кл».

(Л.С. Атанасян)

§26-30,№219,

§13,24

9)Типовой расчет по теме «Прямоугольный параллелепипед».



ОК-4


39-40) Призма. Прямая и наклонная призма. Правильная призма. Параллелепипед. Куб.



2

Урок закрепления

ЗУН

Учебник

«Геом. 10-11 кл».

(Л.С. Атанасян)

§26-30,№221,

§13,24


ОК-5


41-42)ПР № 2 «Построение многогранников. Вычисление элементов призмы».



2

Урок закрепления

ЗУН

Учебник

«Геом. 10-11 кл».

(Л.С. Атанасян)

§30




ОК-3


43-44)Пирамида. Правильная пирамида. Усеченная пирамида. Тетраэдр.



2

Усвоение новых знаний.

Учебник

«Геом. 10-11 кл».

(Л.С. Атанасян)

§32-34,12,13,

267

10)Типовой расчет по теме «Пирамида».




ОК-5

 

45-46) ПР № 3 «Вычисление элементов пирамиды, правильной пирамиды, усеченной пирамиды».



2

Урок закрепления ЗУН.

Карточки-задания.

§32-34

11)Типовой расчет по теме «Усеченная пирамида».



ОК-2

 

47-48) Симметрии в кубе, в параллелепипеде, в призме и пирамиде.



2

Усвоение новых знаний.

Учебник

«Геом. 10-11 кл».

(Л.С. Атанасян)

§35,№277




ОК-4

 

49-50) Представление о правильных многогранниках (тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр).



2

Усвоение новых знаний.

Учебник

«Геом. 10-11 кл».

(Л.С. Атанасян)

§36-37,

287(в)

 12)Составление опорного конспекта «Правильные многогранники».



ОК-4


51-52) Представление о правильных многогранниках (тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр).



2

Урок закрепления

ЗУН

Учебник

«Геом. 10-11 кл».

(Л.С. Атанасян)

§36-37, №271


ОК-6

 

53-54)

Контрольная работа №4 «Многогранники».


2

Урок контроля

Карточки-задания.

§27-37

13)Решение теста по теме

«Многогранники». 



ОК-8

Тела и поверхности вращения.

20ч.

ПР-6ч.

10 ч.



55-56) Цилиндр и конус.



2

Усвоение новых знаний.

Учебник

«Геом. 10-11 кл».

(Л.С. Атанасян)

§59,61,№524

14)Составление опорного конспекта «Цилиндр». 



ОК-6


57-58) Цилиндр и конус.



2

Урок закрепления

ЗУН

Учебник

«Геом. 10-11 кл».

(Л.С. Атанасян)

§59,61,№551





ОК-4


59-60) ПР № 4 «Вычисление элементов цилиндра».


2

Урок закрепления ЗУН.

Модель «Цилиндр». Карточки-задания.

§59,61

15)Типовой расчет по теме «Цилиндр».



ОК-2

 

61-62) Усеченный конус. Основание, высота, боковая поверхность, образующая, развертка.



2

Усвоение новых знаний.

Учебник

«Геом. 10-11 кл».

(Л.С. Атанасян)

§63,№556

16)Типовой расчет по теме «Конус».



ОК-3

 

63-64) ПР № 5 «Вычисление элементов конуса, усеченного конуса».


2

Урок закрепления ЗУН.

Модель

« Конус».

Карточки-задания.

§63




ОК-8


65-66) Осевые сечения и сечения, параллельные основанию. Шар и сфера, их сечения.



2

Усвоение новых знаний.

Учебник

«Геом. 10-11 кл».

(Л.С. Атанасян)

§64,№574(в)

17)Типовой расчет по теме «Усеченный конус». 



ОК-4


67-68) ПР № 6«Вычисление элементов сферы».


2

Урок закрепления ЗУН.

Карточки-задания.

§64




ОК-8

 

69-70) Касательная плоскость к сфере.



2

Усвоение новых знаний.

Учебник

«Геом. 10-11 кл».

(Л.С. Атанасян)

§67,

589(б)




ОК-5

 

71-72) Касательная плоскость к сфере.


2

Урок закрепления ЗУН.

Модель

« Сфера».

Карточки-задания.

§59-67, №593(в,г)




ОК-2

 

73-74)

Контрольная работа №5

«Тела вращения».



2

Урок контроля

Карточки-задания.

§59-67

 18)Решение теста по теме

«Тела вращения».



ОК-8

Измерения в геометрии.

26ч.

 ПР-12ч.

 

 

14 ч.

 

75-76) Объем и его измерение. Интегральная формула объема. Формулы объема куба, прямоугольного параллелепипеда, призмы, цилиндра.




2

Усвоение новых знаний.

Учебник, стенд «Объёмы тел».

§74,78,

647(б)




ОК-1

 

77-78) ПР № 7 «Расчет по модели объёма прямоугольного параллелепипеда».


2

Урок закрепления ЗУН.

Учебник, стенд «Объёмы тел», модель «Параллелепипед».

§74,78

19)Типовой расчет по теме «Объём прямоугольного параллелепипеда».



ОК-3

 

79-80) Формулы объема куба, прямоугольного параллелепипеда, призмы, цилиндра.




2

Усвоение новых знаний.

Учебник, стенд «Объёмы тел».

§75-77,

649(в)




ОК-6

 

81-82) ПР № 8 «Вычисление объёма прямой призмы. Вычисление объёма цилиндра».


2

Урок закрепления ЗУН.

Учебник, стенд «Объёмы тел», модель «Призма». Карточки-задания.

§75-77

20)Типовой расчет по теме «Расчет объёма прямой и наклонной призмы».



ОК-3

 

83-84) Формулы объема пирамиды и конуса.


2

Усвоение новых знаний.

Учебник, стенд «Объёмы тел».

§80-81,№685




ОК-8

 

85-86) ПР № 9 «Вычисление объёма пирамиды .Расчет по модели объёма конуса».



2

Урок закрепления ЗУН.

Учебник, стенд «Объёмы тел».

§80-81

21)Типовой расчет по теме «Объём цилиндра».



ОК-2

 

87-88) Формулы площади поверхностей цилиндра и конуса.


2

Усвоение новых знаний.

Учебник, стенд «Объёмы тел».

§60,62, №540,551




ОК-4

 

89-90) ПР № 10 « Расчет по модели площади цилиндра и конуса».


2

Урок закрепления ЗУН.

Учебник, стенд «Объёмы тел».

Карточки-задания.

§60,62

22)Типовой расчет по теме «Объём конуса».



ОК-3

 

91-92)  Формулы объема шара и площади сферы.


2

Усвоение новых знаний.

Учебник, стенд «Объёмы тел».

§82-83,68,

710(в)

  



ОК-4

 

93-94) ПР № 11 «Вычисление объёма шара. Расчет объёмов сегмента, слоя, сектора шара».


2

Урок закрепления ЗУН.

Учебник, стенд «Объёмы тел», Карточки-задания.

§82-83

23)Типовой расчет по теме «Объём сегмента, слоя, сектора шара».



ОК-8


95-96)  Подобие тел. Отношения площадей поверхностей и объемов подобных тел.


2

Урок закрепления ЗУН.

Учебник, стенд «Объёмы тел». Карточки-задания.

§82-83,№723

 





ОК-5

 

97-98) ПР № 12 «Вычисление объёмов тел».




2

Урок закрепления ЗУН.

Учебник, стенд «Объёмы тел». Карточки-задания.

§82-83

24)Решение теста по теме «Объёмы тел».



ОК-2

 

99-100) 

Контрольная работа №6 «Объёмы тел ».




2

Урок контроля

Карточки-задания.

§74-83

25)Составление кроссворда по теме «Тела вращения».



ОК-8

Координаты и векторы.

20ч.

ПР-6 ч.

 

 

10 ч.

 

101-102 )Прямоугольная (декартова) система координат в пространстве. Формула расстояния между двумя точками. Уравнения сферы, плоскости и прямой.



2

Усвоение новых знаний.

Учебник

«Геом. 10-11 кл».

(Л.С. Атанасян)

§42,43, 49,65,№415




ОК-4


103-104) ПР № 13 «Составить уравнение сферы ».



2

Урок закрепления ЗУН.

Учебник

«Геом. 10-11 кл».

(Л.С. Атанасян). Карточки-задания.

§65,№578

26)Типовой расчет по теме «Простейшие задачи в координатах».



ОК-2

 

105-106)  Векторы. Модуль вектора. Равенство векторов. Сложение векторов.



2

Усвоение новых знаний.

Учебник

«Геом. 10-11 кл».

(Л.С. Атанасян)

§38-41,№322

27)Типовой расчет по теме «Уравнение сферы».



ОК-4


107-108) Векторы. Модуль вектора. Равенство векторов. Сложение векторов. 



2

Урок закрепления

ЗУН

Учебник

«Геом. 10-11 кл».

(Л.С. Атанасян)

§38-41, №327(г,д)




ОК-5


109-110) Умножение вектора на число. Разложение вектора по направлениям. Угол между двумя векторами. Проекция вектора на ось. Координаты вектора.



2

Усвоение новых знаний.

Учебник

«Геом. 10-11 кл».

(Л.С. Атанасян). Карточки-задания.

§42,45,47,50,

,№344(в)

28)Составление опорного конспекта «Умножение вектора на число». 




ОК-2

 

111-112)  ПР № 14 «Умножение вектора на число. Вычисление координат векторов».



2

Урок закрепления

ЗУН

Учебник

«Геом. 10-11 кл».

(Л.С. Атанасян)

§42,45,47,50




ОК-5

 

113-114) Скалярное произведение векторов.



2

Усвоение новых знаний.

Учебник

«Геом. 10-11 кл».

(Л.С. Атанасян). Карточки-задания.

§51,№445(а)

29)Типовой расчет по теме «Скалярное произведение векторов».



ОК-2

 

115-116)  ПР № 15 «Решение задач в координатах».



2

Урок закрепления

ЗУН

Учебник

«Геом. 10-11 кл».

(Л.С. Атанасян)

§51




ОК-4


117-118) Использование координат и векторов при решении математических и прикладных задач.




2

Усвоение новых знаний.

Учебник

«Геом. 10-11 кл».

(Л.С. Атанасян)

§42-51,№474





ОК-2

 

119-120) 

Контрольная работа №7

« Координаты и векторы». Зачет №2«Стереометрия».



2

Контрольно-проверочный.

Карточки-задания, билеты.


30)Решение теста по теме «Координаты и векторы». 



ОК-5


КОМБИНАТОРИКА, СТАТИСТИКА И ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

14ч.

ПР-2ч


Элементы комбинаторики.

4


ПР-0ч



121-122) Основные понятия комбинаторики. Задачи на подсчет числа размещений, перестановок, сочетаний.




2

 Усвоение новых знаний

Лекция, карточки-задания


Конспект, задание в тетради

31)Составление опорного конспекта «Основные понятия комбинаторики».





ОК-5


123-124)  Решение задач на перебор вариантов. Формула бинома Ньютона. Свойства биноминальных коэффициентов. Треугольник Паскаля.




2

 Урок закрепления ЗУН

Лекция, карточки-задания


Конспект, задание в тетради

 



ОК-2

Элементы теории вероятностей.

8

ПР-2ч




125-126) Событие, вероятность события, сложение и умножение вероятностей. Понятие о независимости событий. Дискретная случайная величина, закон ее распределения.




2

 Усвоение новых знаний

Лекция, карточки-задания


Конспект, задание в тетради

32)Типовой расчет по теме «Элементы комбинаторики и теории вероятностей».








ОК-5


127-128) Числовые характеристики дискретной случайной величины. Понятие о законе больших чисел.



2

 Урок закрепления ЗУН


Лекция, карточки-задания




Конспект, задание в тетради




ОК-5


129-130)  ПР № 16 «Вычисление числовых характеристик дискретной случайной величины».



2

 Урок закрепления ЗУН


Лекция, карточки-задания




Конспект, задание в тетради




ОК-2


131-132) Зачет №3 «Элементы комбинаторики и теории вероятностей».




2

Урок контроля

Лекция, карточки-задания


33)Решение теста по теме «Элементы комбинаторики и теории вероятностей».



ОК-4

Элементы математической статистики.

2

 

 



133-134)  Представление данных (таблицы, диаграммы, графики), генеральная совокупность, выборка, среднее арифметическое, медиана. Понятие о задачах математической статистики. Решение практических задач с применением вероятностных методов.


2

 Усвоение новых знаний

 Карточки-задания


Конспект, задание в тетради



ОК-2


АЛГЕБРА

110ч.




Развитие понятия о числе.

26ч.

 ПР-6 ч.

12 ч.



9.1 Повторение базисного материала курса основной школы.

20ч.

 ПР-6 ч.

10 ч.



135-136)   Степень числа и ее свойства.


2

Усвоение новых знаний.




Карточки-задания

Конспект, задание в тетради

34)Составление опорного конспекта « Степень числа и ее свойства».




ОК-4


137-138) Пропорция. Основное свойство пропорции.  Прямая и обратная пропорциональная зависимость величин.        




2

Усвоение новых знаний.

Карточки-задания

Конспект, задание в тетради

35)Составление опорного конспекта «Пропорция».






ОК-2


139-140) ПР № 17«Решение пропорций. Решение задач с помощью пропорций».



2

Урок закрепления

ЗУН

Карточки-задания


Конспект, задание в тетради





ОК-3


141-142)  Вычисление квадратных корней. Решение задач на проценты.     



2

Урок закрепления

ЗУН






Карточки-задания




Конспект, задание в тетради





ОК-4


143-144) Контрольная работа №8 «Пропорция. Проценты ».




2

Урок контроля





Карточки-задания



Конспект, задание в тетради




ОК-5


145-146) Уравнения. Неравенства.


2

Усвоение новых знаний.





Карточки-задания



Конспект, задание в тетради

36)Решение криптограмм по теме «Уравнения».


ОК-2


147-148) ПР № 18«Решение квадратных уравнений . Решение неравенств ».   


2

Урок закрепления

ЗУН




Карточки-задания


Конспект, задание в тетради





ОК-3


149-150)  Решение систем уравнений и неравенств. Формулы сокращенного умножения.



2

Усвоение новых знаний.




Карточки-задания


Конспект, задание в тетради

37)Типовой расчет по теме «Решение систем уравнений и неравенств».




ОК-2


151-152) ПР № 19   « Решение систем уравнений и неравенств. Вычисления по  формулам сокращенного умножения».



2

Урок закрепления

ЗУН





Карточки-задания



Конспект, задание в тетради

38)Составление опорного конспекта «Функция, график и её свойства».





ОК-3


153-154)  Контрольная работа №9 «Уравнения. Неравенства ».



2

Урок контроля

Карточки-задания






ОК-5


9.2 Развитие понятия о числе.

6ч.

ПР-0 ч.


2 ч.



155-156) Целые и рациональные числа. Действительные числа.



2

Усвоение новых знаний.




Карточки-задания



Конспект, задание в тетради




ОК-2


157-158) Целые и рациональные числа. Действительные числа.




2

Урок закрепления

ЗУН




Карточки-задания


Конспект, задание в тетради





ОК-3


159-160) Приближенные вычисления. Приближенное значение величины и погрешности приближений. Комплексные числа.




2

Усвоение новых знаний.




Карточки-задания

Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике, §27-28

39)Составление опорного конспекта «Действия над комплексными числами».






ОК-4

Корни, степени и логарифмы.

16ч.

ПР-2ч

Учебник: Алгебра и начала анализа 10-11 кл. Ш.Алимов и др.


8 ч.


2


к

у

р

с


161-162) Корни и степени. Корни натуральной степени из числа и их свойства. Степени с рациональными показателями, их свойства. Степени с действительными показателями.





2

 Усвоение новых знаний

 Таблица

«Степень числа»,

карточки

§4,5,№34

40)Составление опорного конспекта «Понятие о корне

n-й степени».








ОК-4


163-164) Степени с действительными показателями. Свойства степени с действительным показателем.   



2

Урок закрепления

ЗУН

 Учебник.

Карточки-задания

§4,5,№76(2)

41)Типовой расчет по теме «Понятие о корне n-й степени».




ОК-5


165-166)  Логарифм. Логарифм числа. Основное логарифмическое тождество. Десятичные и натуральные логарифмы.



2

Усвоение новых знаний.

 Учебник.

Карточки-задания.

§15-17,№305(2)

42) Решение теста по теме «Степень с рациональным, действительным показателем, ее свойства».






ОК-2


167-168) Правила действий с логарифмами. Переход к новому основанию.



2

Урок закрепления

ЗУН

 Учебник.

Карточки-задания

§15-17,№305(4)





ОК-4


169-170) ПР № 20 «Вычисление логарифмов».         



2

Урок закрепления

ЗУН

Учебник.

Карточки-задания

§15-17





ОК-3


171-172) Преобразование алгебраических выражений. Преобразование рациональных, иррациональных выражений.





2

Усвоение новых знаний.

Учебник.

Карточки-задания

§4,5,15-17, №76(4)








ОК-2


173-174)Преобразование степенных, показательных и логарифмических выражений.



2

Усвоение новых знаний.

Учебник.

Карточки-задания

§4,5,15-17, №298(2)

43)Типовой расчет по теме «Преобразование степенных, показательных и логарифмических выражений».





ОК-3




175-176) Зачет №4
«Корни и степени. Логарифмы».


2

Урок контроля


§4,5,15-17




ОК-4

Основы тригонометрии.

22ч.

ПР-0ч

12ч



177-178)    Радианная мера угла. Вращательное движение. Синус, косинус, тангенс и котангенс числа.




2

Усвоение новых знаний




 Учебник .

Карточки-задания

§21-24,№408

44)Составление опорного конспекта «Синус, косинус, тангенс числового аргумента, их знаки».






ОК-4


179-180)   Основные тригонометрические тождества, формулы приведения. Синус, косинус и тангенс суммы и разности двух углов.


2

Усвоение новых знаний.

 Учебник .

Карточки-задания

§25-28, №452(2)




ОК-8


181-182) Синус, косинус и тангенс суммы и разности двух углов.


2

Урок закрепления

ЗУН

 Учебник .

Карточки-задания

§25-28, №485(2)

45)Типовой расчет по теме «Формулы сложения». 



ОК-4


183-184) Синус и косинус двойного угла. Формулы половинного угла. Преобразования суммы тригонометрических функций в произведение и произведения в сумму.

2

Усвоение новых знаний.

 Учебник .

Карточки-задания

§ 29-32, №503(2)

 46)Типовой расчет по теме «Синус, косинус и тангенс двойного и половинного угла».








ОК-2


185-186) Преобразования простейших тригонометрических выражений.



2

Урок закрепления

ЗУН

 Учебник .

Карточки-задания

§29-32, №538(2)

 



ОК-4


187-188) Зачет №5 «Тригонометрические преобразования».



2

Урок контроля

 Учебник .

Карточки-задания

§21-32





ОК-2


189-190) Простейшие тригонометрические уравнения.



2

 Усвоение новых знаний

 Учебник .

Карточки-задания

§33-35, №571(3),589(3)

47)Типовой расчет по теме «Решение простейших тригонометрических уравнений». 



ОК-5


191-192) Решение тригонометрических уравнений заменой переменной.




2

Усвоение новых знаний.

 Учебник .

Карточки-задания

§36,№622(3)

48)Типовой расчет по теме «Решение тригонометрических уравнений».




ОК-2


193-194) Решение тригонометрических уравнений способом деления.




2


Усвоение новых знаний.

 Учебник .

Карточки-задания

§33-35,36,

,№624(3)

49)Решение теста по теме «Решение тригонометрических уравнений».





ОК-2


195-196) Простейшие тригонометрические и неравенства. Арксинус, арккосинус, арктангенс числа.




2


Усвоение новых знаний.

 Учебник .

Карточки-задания

§33-35,36,37,

648(4)







ОК-3


197-198)

Зачет №6 «Решение тригонометрических уравнений».


2

Урок контроля

 Учебник .

Карточки-задания

§33-37






ОК-4

Функции, их свойства и графики.

14ч.

ПР-4ч



199-200) Функции. Область определения и множество значений; график функции, построение графиков функций, заданных различными способами.


2

 Усвоение новых знаний

 Учебник .

Карточки-задания

§38,№692(3)

50)Составление опорного конспекта «Область определения и множество значений тригонометрических функций».






ОК-4


201-202) Свойства функции: монотонность, четность, нечетность, ограниченность, периодичность.


2

Усвоение новых знаний.

 Учебник .

Карточки-задания

§39,№701(5)

51)Типовой расчет по теме «Область определения и множество значений тригонометрических функций».



ОК-2


203-204) ПР № 21 «Вычисление множества значений тригонометрических функций по формулам».




2

Урок закрепления

ЗУН

 Учебник .

Карточки-задания

§38-39 






ОК-3


205-206) Промежутки возрастания и убывания, наибольшее и наименьшее значения, точки экстремума. Графическая интерпретация.




2

Усвоение новых знаний.

 Учебник .

Карточки-задания

§49,50,52, №914(4),937(2)

52)Типовой расчет по теме «Экстремумы функции». 




ОК-2


207-208) Промежутки возрастания и убывания, наибольшее и наименьшее значения, точки экстремума. Графическая интерпретация.




2

Урок закрепления

ЗУН

 Учебник .

Карточки-задания

§49,50,52, №915(2),938(2)






ОК-3


209-210) ПР № 22 «Нахождение экстремумов функции. Нахождения наибольшего и наименьшего значения функции».


2

Урок закрепления

ЗУН

 Учебник .

Карточки-задания

§49,50,52

53)Типовой расчет по теме «Нахождения наибольшего и наименьшего значения функции ». 



ОК-4


211-212)Обратные функции. Область определения и область значений обратной функции. График обратной функции. Арифметические операции над функциями. Сложная функция (композиция).







2

Усвоение новых знаний.

 Учебник .

Карточки-задания

§7, №133(2)










ОК-2

Степенные, показательные, логарифмические и тригонометрические функции.

8ч.

ПР-0 ч.

4ч.



213-214) Определения функций, их свойства и графики (степенные, показательные, логарифмические и тригонометрические). Обратные тригонометрические функции.










2

Усвоение новых знаний.

 Учебник .

Карточки-задания

§6,11,18, №195(чет),

§40-43, №709(2)







ОК-3


215-216) Преобразования графиков. Параллельный перенос, симметрия относительно осей координат.




2

Усвоение новых знаний.

 Учебник .

Карточки-задания

Конспект, задание в тетради


54)Решение теста по теме «Показательная и логарифмическая функции».




ОК-2


217-218) Симметрия относительно начала координат, симметрия относительно прямой y = x, растяжение и сжатие вдоль осей координат.




2

Урок закрепления

ЗУН

 Учебник .

Карточки-задания

Конспект, задание в тетради






ОК-5


219-220)

Контрольная работа №10 «Тригонометрические функции».




2

Урок контроля

Карточки-задания

§6,11,18,40-43

55)Решение теста по теме «Свойства и график тригонометрических функций».




ОК-3

Уравнения и неравенства .

24ч.

ПР-10ч

12ч



221-222) Равносильность уравнений, неравенств, систем. Рациональные, иррациональные, показательные и тригонометрические уравнения и системы.





2



Усвоение новых знаний.

 Учебник .

Карточки-задания

§8,№139(2,3)

§9,12,19,

33-36,14,

154(4)

56)Типовой расчет по теме «Иррациональные уравнения». 






ОК-2


223-224) ПР № 23 «Решение иррациональных уравнений».         






2

Урок закрепления

ЗУН

 Учебник .

Карточки-задания




§9






ОК-3


225-226) Основные приемы решения уравнений (разложение на множители, введение новых неизвестных, подстановка, графический метод).




2

Усвоение новых знаний.

 Учебник .

Карточки-задания

§9,12,19,

33-36,14,

337(2,4)

57)Типовой расчет по теме «Решение показательных и логарифмических уравнений». 




ОК-2


227-228) ПР № 24 «Решение показательных и логарифмических уравнений».




2

Урок закрепления

ЗУН

 Учебник .

Карточки-задания

§12,19,14






ОК-5


229-230) Основные приемы решения уравнений (разложение на множители, введение новых неизвестных, подстановка, графический метод).




2

Усвоение новых знаний.

 Учебник .

Карточки-задания

§9,12,19,

33-36,14,

341(2,4)







ОК-3


231-232)ПР № 25«Решение тригонометрических уравнений».




2

Урок закрепления

ЗУН

 Учебник .

Карточки-задания

§33-36





ОК-3


233-234)Рациональные, иррациональные, показательные и тригонометрические неравенства. Основные приемы решения неравенств.




2

Усвоение новых знаний.

 Учебник .

Карточки-задания

§8,10,13,19,37,№229(2)

58)Типовой расчет по теме «Решение логарифмических уравнений и неравенств» .






ОК-2


235-236) ПР № 26«Решение показательных, логарифмических , тригонометрических неравенств».



2

Урок закрепления

ЗУН

 Учебник .

Карточки-задания

§9,12,19,

33-36,14





ОК-5



237-238)

Метод интервалов. Изображение на координатной плоскости множества решений уравнений и неравенств

с двумя переменными и их систем.








2

Усвоение новых знаний.

Лекция

Конспект, задание в тетради

59)Составление опорного конспекта «Метод интервалов».







ОК-6


239-240)

Применение математических методов для решения содержательных задач из различных областей науки и практики. Интерпретация результата, учет реальных ограничений.








2

Усвоение новых знаний.

Лекция

Конспект, задание в тетради

60)Типовой расчет по теме «Метод интервалов». 








ОК-4


241-242) ПР № 27«Решение неравенств с помощью метода интервалов».



2

Урок закрепления

ЗУН

Лекция

Конспект, задание в тетради





ОК-3


243-244)

Контрольная работа №11

«Виды уравнений и неравенств».



2

Урок контроля

Карточки-задания


61)Решение теста по теме «Решение показательных и логарифмических неравенств». 




ОК-4

НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

33ч.

ПР-6 ч.

17ч



245-246) Последовательности. Способы задания и свойства числовых последовательностей. Понятие о пределе последовательности. Существование предела монотонной ограниченной последовательности. Суммирование последовательностей. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма.








2

Усвоение новых знаний.

Лекция

Конспект, задание в тетради














ОК-3


247-248) Понятие о непрерывности функции. Производная. Понятие о производной функции, её геометрический и физический смысл. Уравнение касательной к графику функции.






2

Усвоение новых знаний.

 Учебник .

Карточки-задания

§44-45,№778,

§48,№858(4)

62)Типовой расчет по теме «Производная».






ОК-5


249-250) ПР № 28 «Вычисление угловых коэффициентов. Составление уравнения касательной к графику функции».




2

Урок закрепления

ЗУН

 Учебник .

Карточки-задания

§44-45,48

63)Составление опорного конспекта «Геометрический смысл производной».





ОК-3


251-252) Производные суммы, разности, произведения, частного.


2


Усвоение новых знаний.

 Учебник .

Карточки-задания

§46,№806(4)

64)Составление опорного конспекта «Правила дифференцирования».




ОК-4


253-254) Производные основных элементарных функций.




2

Усвоение новых знаний.

 Учебник .

Карточки-задания

§47,№833(4)





ОК-2


255-256) ПР № 29 «Вычисление производных элементарных функций».



2

Урок закрепления

ЗУН

 Учебник .

Карточки-задания, таблица «Производная».  

§47

65)Типовой расчет по теме «Правила дифференцирования».





ОК-3


257-258)

Контрольная работа №12 « Производная ».



2

Урок контроля

Карточки-задания, таблица «Производная».  

§44-48





ОК-5


259-260) Применение производной к исследованию функций и построению графиков. Производные обратной функции и композиции функции.



2

Усвоение новых знаний.

 Учебник .

Карточки-задания

§51,№925






ОК-2


261-262) Примеры использования производной для нахождения наилучшего решения в прикладных задачах. Вторая производная, ее геометрический и физический смысл.






2

Усвоение новых знаний.

 Учебник .

Карточки-задания, таблица «Производная».  

§53,№955(3)









ОК-5


263-264) Применение производной к исследованию функций и построению графиков. Нахождение скорости для процесса, заданного формулой и графиком.






2

Усвоение новых знаний.

 Учебник .

Карточки-задания, таблица «Производная».  

§53,№957(3)









ОК-6


265-266) Контрольная работа №13 «Применение производной ».



2

Урок контроля

Карточки-задания





ОК-4


267-268)  Первообразная и интеграл.


2

Усвоение новых знаний.

 Учебник .

Карточки-задания

§54-57, №989(6)

66)Составление опорного конспекта «Первообразная».

ОК-2


269-270)  Применение определенного интеграла для нахождения площади криволинейной трапеции.





2

Усвоение новых знаний

Учебник, таблица «Первообразная».  

§56-59,№1013

67)Типовой расчет по теме «Правила нахождения первообразных».  





ОК-5


271-272) Формула Ньютона—Лейбница. Примеры применения интеграла в физике и геометрии.





2

Усвоение новых знаний

Учебник, таблица «Первообразная».  

§56-59,

1014(2)

68)Типовой расчет по теме «Вычисление площадей с помощью интегралов». 





ОК-4


273-274) ПР № 30 «Вычисление площадей с помощью интегралов».


2

 Урок закрепления ЗУН

Учебник, таблица «Первообразная».  

§56-59

69)Решение теста по теме «Первообразная».



ОК-3


275-276)  Контрольная работа №14 «Первообразная ».


2

Урок контроля

Таблица

«Первообразная».  

карточки 

§54-59

 

70)Составление кроссворда по теме «Алгебра и начала анализа».(1ч)



ОК-2


277) Итоги изученного.

2 

 Повторительно-обобщающий

Карточки-задания


 


ОК-5


Итого практ.работ

60

 

 

 

 



Итого часов:

277

 

 

 

 139









Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "УМК по прфессии Повар- кондитер."

Получите профессию

Секретарь-администратор

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ #U041a#U0422#U041f-#U041f#U041e#U0412#U0410#U0420#U0410,2015-2017 #U0443#U0447.#U0433..docx

Тематический план по профессии: 19.01.17. «Повар- кондитер».

Введение.

2

2

0

0


ГЕОМЕТРИЯ

106

70

8

36

1.

Прямые и плоскости в пространстве.

36

28

4

8


1.1 Повторение основных понятий планиметрии.


6

0

2

1.2 Аксиомы стереометрии.

2

0

0

1.3 Параллельность и перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве.

20

4


6

2.

Многогранники.

16

10

2

6

3.

Тела и поверхности вращения.

16

10

0

6

4.

Измерения в геометрии.

20

10

0

10

5.

Координаты и векторы.

18

12

2

6


КОМБИНАТОРИКА, СТАТИСТИКА И ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

20

14

4


6

6.

Элементы комбинаторики.

8

6

2

2

7.

Элементы теории вероятностей.

10

6

2

4

8.

Элементы математической статистики.

2

2

0

0


АЛГЕБРА

165

115

42

50

9.

Развитие понятия о числе.

26

14

2

12


9.1 Повторение базисного материала курса основной школы.


8

0


10

9.2 Развитие понятия о числе.

6

2

2

10.

Основы тригонометрии.

33

23

8

10

11.

Корни, степени и логарифмы.

30

24

10

6

12.

Функции, их свойства и графики.

24

16

6

8

13.

Степенные, показательные, логарифмические и тригонометрические функции.

18

16

8

2

14.

Уравнения и неравенства .

34

22

8

12

15.

НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА.

48

30

10

18

 

Всего:

341

231

64

110


Тематический план (ВСР) по специальности: 19.01.17. «Повар- кондитер».

ОК

ТР

Т

К


Введение.

0

0

0

0

0


ГЕОМЕТРИЯ

6

20

10

0

36

1.

Прямые и плоскости в пространстве.

6

0

2

0

8


1.1 Повторение основных понятий планиметрии.

2

0

0

0

2

1.2 Аксиомы стереометрии.

0

0

0

0

0

1.3 Параллельность и перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве.

4

0

2

0

6

2.

Многогранники.

0

4

2

0

6

3.

Тела и поверхности вращения.

0

4

2

0

6

4.

Измерения в геометрии.

0

8

2

0

10

5.

Координаты и векторы.

0

4

2

0

6


КОМБИНАТОРИКА, СТАТИСТИКА И ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

2

2

2

0

6

6.

Элементы комбинаторики.

2

0

0

0

2

7.

Элементы теории вероятностей.

0

2

2

0

4

8.

Элементы математической статистики.

0

0

0

0

0


АЛГЕБРА

16

24

8

2

50

9.

Развитие понятия о числе.

8

2

0

2

12


9.1 Повторение базисного материала курса основной школы.

6

2

0

2

10

9.2 Развитие понятия о числе.

2

0

0

0

2

10.

Основы тригонометрии.

2

6

2

0

10

11 .

Корни, степени и логарифмы.

2

2

2

0

6

12.

Функции, их свойства и графики.

2

6

0

0

8

13.

Степенные, показательные, логарифмические и тригонометрические функции.

0

0

2

0

2

14.

Уравнения и неравенства .

2

8

2

0

12

15.

НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА.

4

10

2

2

18

 

Всего:

28

56

22

4

110



Тематический план

ТЕМА УРОКА

УРОВЕНЬ УСВОЕНИЯ

ТИП УРОКА

ОСНАЩЕНИЕ УРОКА

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

ВНЕАУДИТОРНАЯ САМ.РАБОТА

Коды форм. ОК

 

1-2) Введение. 

Контрольная работа №1 «Нулевой срез».   

2

Урок контроля

Сборник заданий для 9 кл. Л.В.Кузнецова и др. Карточки-задания.

Конспект, задание в тетради






ОК-1


ГЕОМЕТРИЯ

70 ч.




Прямые и плоскости в пространстве.

28 ч.

ПР-2 ч. 

8ч.


 

1.1 Повторение основных понятий планиметрии:

6 ч.

ПР-0 ч. 

2ч.


 

3-4)   Прямоугольные треугольники. Теорема Пифагора. Теорема косинусов, синусов.



2

Повторительно-обобщающий

Стенд «Теорема Пифагора».

Карточки-задания. Таблицы Брадиса.

Конспект, задание в тетради




ОК-4

 

5-6) Правильные многоугольники. Формулы площадей фигур.   



2

Повторительно-обобщающий

Стенд

«Четырехуголь-ники» ,Карточки-задания.

Конспект, задание в тетради

1)Составление опорного конспекта «Четырехугольники».



ОК-5


7-8)  Зачет №1 «Планиметрия».


2

Урок контроля

Карточки-задания




ОК-8

 

1.2 Аксиомы стереометрии:

2ч.

Учебник: Геометрия 10-11 кл. Л.С. Атанасян и др.


 

9-10)   Основные понятия стереометрии. Аксиомы стереометрии. Некоторые следствия из аксиом.




2

Усвоение новых знаний.

Учебник

«Геометрия

10-11 кл».

(Л.С. Атанасян)

§1-3,№11

 




ОК-5


1.3 Параллельность и перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве.

 20ч.

 ПР-4 ч. 

6ч.


 

11-12)   Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Параллельность прямой и плоскости.



2

Усвоение новых знаний.

Учебник

«Геом. 10-11 кл».

(Л.С. Атанасян)

§4-6,№18(б)

2)Составление опорного конспекта «Параллельность прямых и плоскостей».





ОК-4

 

13-14)  Параллельность прямой и плоскости. Параллельность плоскостей.



2

Урок закрепления ЗУН.

Учебник

«Геом. 10-11 кл».

(Л.С. Атанасян)

§7-9,№44,

§10-11, №54





ОК-4

 

15-16) Контрольная работа №2 «Параллельность прямых и плоскостей».



2

Урок контроля

Карточки-задания

§1-11






ОК-2

 

17-18)  Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикуляр и наклонная.



2

Усвоение новых знаний.

Учебник

«Геом. 10-11 кл».

(Л.С. Атанасян)

§15-18,№123, §19-21,№140

3)Составление опорного конспекта «Перпендикулярность прямых, прямой и плоскости». 





ОК-4

 

19-20) Угол между прямой и плоскостью. Двугранный угол. Угол между плоскостями.


2

Усвоение новых знаний.

Учебник

«Геом. 10-11 кл».

(Л.С. Атанасян)

§22,№173





ОК-5

 

21-22) ПР № 1 «Вычисление перпендикуляра и наклонной к плоскости».



2

Урок закрепления ЗУН.

Карточки-задания

§19-21





ОК-7

 

23-24)Перпендикулярность двух плоскостей. Геометрические преобразования пространства: параллельный перенос, симметрия относительно плоскости.



2

Усвоение новых знаний.

Учебник

«Геом. 10-11 кл».

(Л.С. Атанасян)

§23-24,№187(б)









ОК-3


25-26) ПР № 2 «Вычисление расстояния между прямыми и плоскостями».



2

Урок закрепления ЗУН.

Карточки-задания

§22-24





ОК-7


27-28) Параллельное проектирование. Площадь ортогональной проекции. Изображение пространственных фигур.



2


Усвоение новых знаний.

Учебник

«Геом. 10-11 кл».

(Л.С. Атанасян). Карточки-задания.

с.169-174

4)Решение теста по теме «Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве». 





ОК-3

 

29-30)

Контрольная работа №3 «Перпендикулярность прямых и плоскостей».




2

Урок контроля

Карточки-задания

§15-24






ОК-3

Многогранники.

 10ч.

ПР-2 ч. 

6 ч.


 

31-32) Вершины, ребра, грани многогранника. Развертка. Многогранные углы. Выпуклые многогранники. Теорема Эйлера. Призма. Прямая и наклонная призма. Правильная призма. Параллелепипед. Куб.





2

Усвоение новых знаний.

Учебник

«Геом. 10-11 кл».

(Л.С. Атанасян)

§26-30,№219,

§13,24

5)Типовой расчет по теме «Прямоугольный параллелепипед».








ОК-4


33-34)Пирамида. Правильная пирамида. Усеченная пирамида. Тетраэдр.



2

Усвоение новых знаний.

Учебник

«Геом. 10-11 кл».

(Л.С. Атанасян)

§32-34,12,13,

267





ОК-5

 

35-36) ПР № 3 «Построение многогранников. Вычисление площадей и объемов многогранников».



2

Урок закрепления ЗУН.

Карточки-задания.

§32-34

6)Типовой расчет по теме «Пирамида».





ОК-2

 

37-38) Симметрии в кубе, в параллелепипеде, в призме и пирамиде. Сечения куба, призмы и пирамиды. Представление о правильных многогранниках (тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр).



2

Усвоение новых знаний.

Учебник

«Геом. 10-11 кл».

(Л.С. Атанасян)

§35-37,№277, №287(в)










ОК-4

 

39-40)

Контрольная работа №4 «Многогранники».


2

Урок контроля

Карточки-задания.

§27-37

7)Решение теста по теме

«Многогранники». 



ОК-8

Тела и поверхности вращения.

10ч.

ПР-0ч.

6 ч.



41-42) Цилиндр и конус.



2

Усвоение новых знаний.

Учебник

«Геом. 10-11 кл».

(Л.С. Атанасян)

§59,61,№524

8)Типовой расчет по теме «Цилиндр».



ОК-6

 

43-44) Усеченный конус. Основание, высота, боковая поверхность, образующая, развертка.



2

Усвоение новых знаний.

Учебник

«Геом. 10-11 кл».

(Л.С. Атанасян)

§63,№556




ОК-3


45-46) Осевые сечения и сечения, параллельные основанию. Шар и сфера, их сечения.



2

Усвоение новых знаний.

Учебник

«Геом. 10-11 кл».

(Л.С. Атанасян)

§64,№574(в)

9)Типовой расчет по теме «Конус».



ОК-4

 

47-48) Шар и сфера, их сечения. Касательная плоскость к сфере.



2

Усвоение новых знаний.

Учебник

«Геом. 10-11 кл».

(Л.С. Атанасян)

§67,

589(б)

10)Решение теста по теме

«Тела вращения».



ОК-5

 

49-50)

Контрольная работа №5

«Тела вращения».



2

Урок контроля

Карточки-задания.

§59-67

 




ОК-8

Измерения в геометрии.

 10ч.

 ПР-0ч.

 

10ч.

 

51-52) Объем и его измерение. Интегральная формула объема. Формулы объема куба, прямоугольного параллелепипеда, призмы, цилиндра.




2

Усвоение новых знаний.

Учебник, стенд «Объёмы тел».

§74,78,

647(б)

11)Типовой расчет по теме «Объём прямоугольного параллелепипеда».







ОК-1

 

53-54) Формулы объема пирамиды и конуса.



2

Усвоение новых знаний.

Учебник, стенд «Объёмы тел».

§80-81,№685

12)Типовой расчет по теме «Объём цилиндра».



ОК-8

 

55-56) Формулы площади поверхностей цилиндра и конуса.


2

Усвоение новых знаний.

Учебник, стенд «Объёмы тел».

§60,62, №540,551

13)Типовой расчет по теме «Объём конуса».



ОК-4

 

57-58)  Формулы объема шара и площади сферы. Подобие тел. Отношения площадей поверхностей и объемов подобных тел.


2

Усвоение новых знаний.

Учебник, стенд «Объёмы тел».

§82-83,68,

710(в)

14)Типовой расчет по теме «Объём сегмента, слоя, сектора шара».



ОК-4

 

59-60) 

Контрольная работа №6 «Объёмы тел ».



2

Урок контроля

Карточки-задания.

§74-83

15)Решение теста по теме «Объёмы тел».



ОК-8

Координаты и векторы.

12ч.

ПР-2 ч.

 

 

6 ч.

 

61-62)Прямоугольная (декартова) система координат в пространстве. Формула расстояния между двумя точками. Уравнения сферы, плоскости и прямой.



2

Усвоение новых знаний.

Учебник

«Геом. 10-11 кл».

(Л.С. Атанасян)

§42,43, 49,65,№415







ОК-4

 

63-64)  Векторы. Модуль вектора. Равенство векторов. Сложение векторов.



2

Усвоение новых знаний.

Учебник

«Геом. 10-11 кл».

(Л.С. Атанасян)

§38-41,№322




ОК-5


65-66) Умножение вектора на число. Разложение вектора по направлениям. Угол между двумя векторами. Проекция вектора на ось. Координаты вектора. Скалярное произведение векторов.



2

Усвоение новых знаний.

Учебник

«Геом. 10-11 кл».

(Л.С. Атанасян). Карточки-задания.

§42,45,47,50,51,

344(в), №445(а)

16)Типовой расчет по теме «Простейшие задачи в координатах».




ОК-2

 

67-68)  ПР № 4 «Вычисление координат векторов».



2

Урок закрепления

ЗУН

Учебник

«Геом. 10-11 кл».

(Л.С. Атанасян)

§51

17)Типовой расчет по теме «Скалярное произведение векторов».



ОК-4


69-70) Использование координат и векторов при решении математических и прикладных задач.




2

Усвоение новых знаний.

Учебник

«Геом. 10-11 кл».

(Л.С. Атанасян)

§42-51,№474





ОК-2

 

71-72) 

Зачет №2 «Стереометрия».



2

Контрольно-проверочный.

Карточки-задания, билеты.


18)Решение теста по теме «Координаты и векторы». 



ОК-5


КОМБИНАТОРИКА, СТАТИСТИКА И ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

14ч.

ПР-2ч


Элементы комбинаторики.

6

ПР-2ч




73-74) Основные понятия комбинаторики. Задачи на подсчет числа размещений, перестановок, сочетаний.




2

 Усвоение новых знаний

Лекция, карточки-задания


Конспект, задание в тетради

19)Составление опорного конспекта «Основные понятия комбинаторики».




ОК-5


75-76)  Решение задач на перебор вариантов. Формула бинома Ньютона. Свойства биноминальных коэффициентов. Треугольник Паскаля.




2

 Усвоение новых знаний

Лекция, карточки-задания


Конспект, задание в тетради

 








ОК-2


77-78) ПР № 5 «Решение комбинаторных задач».


2

Урок закрепления

ЗУН

Лекция, карточки-задания





ОК-7

Элементы теории вероятностей.

6

ПР-2ч




79-80) Событие, вероятность события, сложение и умножение вероятностей. Понятие о независимости событий. Дискретная случайная величина, закон ее распределения.





2

 Усвоение новых знаний

Лекция, карточки-задания


Конспект, задание в тетради

20)Типовой расчет по теме «Элементы комбинаторики и теории вероятностей».










ОК-5


81-82) ПР № 6 «Вычисление вероятностей».


2

Урок закрепления

ЗУН

Лекция, карточки-задания






ОК-4


83-84) Числовые характеристики дискретной случайной величины. Понятие о законе больших чисел. Зачет №3 «Элементы комбинаторики и теории вероятностей».





2

 Урок закрепления ЗУН

Урок контроля

Лекция, карточки-задания




Конспект, задание в тетради

21)Решение теста по теме «Элементы комбинаторики и теории вероятностей».










ОК-5

Элементы математической статистики.

2

 

 



85-86)  Представление данных (таблицы, диаграммы, графики), генеральная совокупность, выборка, среднее арифметическое, медиана. Понятие о задачах математической статистики. Решение практических задач с применением вероятностных методов.


2

 Усвоение новых знаний

 Карточки-задания


Конспект, задание в тетради











ОК-2


АЛГЕБРА

115ч.




Развитие понятия о числе.

14ч.

 ПР-2 ч.

12 ч.



9.1 Повторение базисного материала курса основной школы.

8ч.

 ПР-0 ч.

10 ч.



87-88)   Степень числа и ее свойства. Пропорция. Прямая и обратная пропорциональная зависимость величин.


2

Повторительно-обобщающий






Карточки-задания

Конспект, задание в тетради

22)Составление опорного конспекта « Степень числа и ее свойства».

23)Составление опорного конспекта «Пропорция».






ОК-4


89-90)  Вычисление квадратных корней. Решение задач на проценты.     



2

Повторительно-обобщающий




Карточки-задания


Конспект, задание в тетради

24)Решение криптограмм по теме «Уравнения».




ОК-4


91-92) Уравнения. Неравенства. Решение систем уравнений и неравенств.


2

Повторительно-обобщающий




Карточки-задания


Конспект, задание в тетради

25)Типовой расчет по теме «Решение систем уравнений и неравенств».




ОК-2


93-94)  Контрольная работа №7

«Пропорция. Уравнения. Неравенства».


2

Урок контроля

Карточки-задания


26)Составление опорного конспекта «Функция, график и её свойства».




ОК-5


9.2 Развитие понятия о числе.

6ч.

ПР-2 ч.


2 ч.



95-96) Целые и рациональные числа. Действительные числа.



2

Повторительно-обобщающий



Карточки-задания

Конспект, задание в тетради




ОК-2


97-98)Приближенные вычисления. Комплексные числа.




2

Усвоение новых знаний.




Карточки-задания

Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике,

§27-28

27)Составление опорного конспекта «Действия над комплексными числами».






ОК-4


99-100) ПР № 7 «Вычисление числовых выражений».


2

Урок закрепления

ЗУН

Лекция, карточки-задания




ОК-2

Основы тригонометрии.

23ч.

ПР-8ч

10ч



101-102)    Радианная мера угла. Вращательное движение. Синус, косинус, тангенс и котангенс числа.




2

Усвоение новых знаний.

 Учебник .

Карточки-задания

§21-24,№408

28)Составление опорного конспекта «Синус, косинус, тангенс числового аргумента, их знаки».





ОК-4


103-104) ПР № 8 «Вычисление углов в радианах».



2

Урок закрепления

ЗУН

Учебник.

Карточки-задания

§21-24




ОК-2


105-106)   Формулы приведения. Формулы сложения.


2

Усвоение новых знаний.

 Учебник .

Карточки-задания

§25-28, №452(2)

29)Типовой расчет по теме «Формулы сложения». 



ОК-8


107-108) Формулы удвоения Формулы половинного угла.

2

Усвоение новых знаний.

 Учебник .

Карточки-задания

§ 29-32, №503(2)

 



ОК-2


109-110) Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение и произведения в сумму. Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента.



2

Урок закрепления

ЗУН

 Учебник .

Карточки-задания

§29-32, №538(2)

 








ОК-4


111-112) ПР № 9 «Преобразование тригонометрических выражений».


2

Урок закрепления

ЗУН

Учебник.

Карточки-задания

§29-32





ОК-2


113-114) Зачет №5 «Тригонометрические преобразования».



2

Урок контроля

 Учебник .

Карточки-задания

§21-32





ОК-4


115-116) Простейшие тригонометрические уравнения. Простейшие тригонометрические неравенства.



2

 Усвоение новых знаний

 Учебник .

Карточки-задания

§33-35, №571(3),589(3)

30)Типовой расчет по теме «Решение простейших тригонометрических уравнений». 



ОК-5


117-118) ПР №10 «Решение простейших тригонометрических уравнений и неравенств».


2

Урок закрепления

ЗУН

Учебник.

Карточки-задания

§33-35





ОК-2


119-120) Арксинус, арккосинус, арктангенс числа.



2


Усвоение новых знаний.

 Учебник .

Карточки-задания

§33-35,36,37,

648(4)

31)Типовой расчет по теме «Решение тригонометрических уравнений».




ОК-3


121-122) ПР № 11 «Вычисление обратных тригонометрических выражений».


2

Урок закрепления

ЗУН

Учебник.

Карточки-задания

§33-37

32)Решение теста по теме «Решение тригонометрических неравенств».




ОК-7


123)

Зачет №5 «Решение тригонометрических уравнений».


2

Урок контроля

 Учебник .

Карточки-задания

§33-37






ОК-4

Корни, степени и логарифмы.

24ч.

ПР-10ч

Учебник: Алгебра и начала анализа 10-11 кл. Ш.Алимов и др.


6 ч.


2

к

у

р

с


124-125) Корни и степени. Корни натуральной степени из числа и их свойства.



2

Усвоение новых знаний

Таблица

«Степень числа»,

карточки

§4,5,№34

33)Составление опорного конспекта «Понятие о корне

n-й степени».





ОК-4


126-127) ПР № 12 «Вычисление и сравнение корней. Выполнение расчетов с радикалами».


2

Урок закрепления

ЗУН

Учебник.

Карточки-задания

§4,5





ОК-2


128-129) Степени с рациональными показателями, их свойства. Степени с действительными показателями. Свойства степени с действительным показателем.   





2

Урок закрепления

ЗУН

 Учебник.

Карточки-задания

§4,5,№76(2)

34)Типовой расчет по теме «Понятие о корне n-й степени».











ОК-5


130-131) ПР № 13 «Нахождение значений степеней с рациональными показателями. Сравнение степеней».


2

Урок закрепления

ЗУН

Учебник.

Карточки-задания

§4,5






ОК-4


132-133)  Логарифм. Логарифм числа. Основное логарифмическое тождество. Десятичные и натуральные логарифмы.



2

Усвоение новых знаний.

 Учебник.

Карточки-задания.

§15-17,№305(2)

35) Решение теста по теме «Степень с рациональным, действительным показателем, ее свойства».






ОК-2


134-135) ПР № 14 «Преобразования выражений».


2

Урок закрепления

ЗУН

Учебник.

Карточки-задания

§15-17




ОК-7


136-137) Правила действий с логарифмами. Переход к новому основанию.



2

Урок закрепления

ЗУН

 Учебник.

Карточки-задания

§15-17,№305(4)




ОК-4


138-139) ПР № 15 «Нахождение значений логарифма».



2

Урок закрепления

ЗУН

Учебник.

Карточки-задания

§15-17




ОК-3


140-141) Преобразование алгебраических выражений.

Преобразование рациональных, иррациональных выражений.





2

Усвоение новых знаний.

Учебник.

Карточки-задания

§4,5,15-17, №76(4)








ОК-2


142-143) ПР № 16 «Вычисление логарифмов».


2

Урок закрепления

ЗУН

Учебник.

Карточки-задания

§15-17




ОК-4


144-145)Преобразование степенных, показательных и логарифмических выражений.



2

Усвоение новых знаний.

Учебник.

Карточки-задания

§4,5,15-17, №298(2)





ОК-3


146-147) Зачет №6
«Корни и степени. Логарифмы».


2

Урок контроля


§4,5,15-17




ОК-4

Функции, их свойства и графики.

16ч.

ПР-6ч



148-149) Функции. Область определения и множество значений; график функции, построение графиков функций, заданных различными способами.


2

 Усвоение новых знаний

 Учебник .

Карточки-задания

§38,№692(3)

36)Составление опорного конспекта «Область определения и множество значений тригонометрических функций».






ОК-4


150-151) ПР № 17 «Вычисление множества значений функций».


2

Урок закрепления

ЗУН

Учебник.

Карточки-задания

§38




ОК-7


152-153) Свойства функции: монотонность, четность, нечетность, ограниченность, периодичность.


2

Усвоение новых знаний.

 Учебник .

Карточки-задания

§39,№701(5)

37)Типовой расчет по теме «Область определения и множество значений тригонометрических функций».



ОК-2


154-155) ПР № 18 «Построение графиков функций».



2

Урок закрепления

ЗУН

 Учебник .

Карточки-задания

§38-39 




ОК-3


156-157) Промежутки возрастания и убывания, наибольшее и наименьшее значения, точки экстремума. Графическая интерпретация.




2

Усвоение новых знаний.

 Учебник .

Карточки-задания

§49,50,52, №914(4),937(2)

38)Типовой расчет по теме «Экстремумы функции». 





ОК-2


158-159) Примеры функциональных зависимостей в реальных процессах и явлениях. Арифметические операции над функциями. Сложная функция (композиция). Понятие о непрерывности функции.




2

Урок закрепления

ЗУН

 Учебник .

Карточки-задания

§49,50,52, №915(2),938(2)










ОК-3


160-161) ПР № 19 «Построение графиков по свойствам функций».


2

Урок закрепления

ЗУН

 Учебник .

Карточки-задания

§49,50,52

39)Типовой расчет по теме «Нахождения наибольшего и наименьшего значения функции ». 





ОК-4


162-163) Обратные функции. Область определения и область значений обратной функции. График обратной функции.






2

Усвоение новых знаний.

 Учебник .

Карточки-задания

§7, №133(2)








ОК-2

Степенные, показательные, логарифмические и тригонометрические функции.

16ч.

ПР-8 ч.

2ч.



164-165) Определения функций, их свойства и графики (степенные, показательные, логарифмические и тригонометрические).






2

Усвоение новых знаний.

 Учебник .

Карточки-задания

§6,11,18, №195(чет),

§40-43, №709(2)








ОК-3


166-167) ПР № 20 «Построение графиков периодических функций».



2

Урок закрепления

ЗУН

Учебник.

Карточки-задания

§40-43




ОК-4


168-169) Преобразования графиков. Параллельный перенос, симметрия относительно осей координат.




2

Усвоение новых знаний.

 Учебник .

Карточки-задания

Конспект, задание в тетради







ОК-2


170-171) ПР № 21 «Построение графиков обратных функций».


2

Урок закрепления

ЗУН

Учебник.

Карточки-задания






ОК-6


172-173) Симметрия относительно начала координат, симметрия относительно прямой y = x, растяжение и сжатие вдоль осей координат.




2

Урок закрепления

ЗУН

 Учебник .

Карточки-задания

Конспект, задание в тетради








ОК-5


174-175) ПР № 22 «Построение графиков функций с помощью преобразований».




2

Урок закрепления

ЗУН

Учебник.

Карточки-задания






ОК-4


176-177) ПР № 23 «Решение уравнений с помощью графиков».


2

Урок закрепления

ЗУН

Учебник.

Карточки-задания





ОК-2


178-179)

Контрольная работа №8 «Тригонометрические функции».




2

Урок контроля

Карточки-задания

§6,11,18,40-43

40)Решение теста по теме «Свойства и график тригонометрических функций».




ОК-3

Уравнения и неравенства .

22ч.

ПР-8ч

12ч



180-181) Рациональные, иррациональные, показательные и тригонометрические уравнения и системы. Равносильность уравнений, неравенств, систем.





2



Усвоение новых знаний.

 Учебник .

Карточки-задания

§8,№139(2,3)

§9,12,19,

33-36,14,

154(4)








ОК-2


182-183) ПР № 24 «Решение иррациональных уравнений».         




2

Урок закрепления

ЗУН

Учебник .

Карточки-задания


§9


41)Типовой расчет по теме «Иррациональные уравнения». 




ОК-3


184-185) Основные приемы решения уравнений (разложение на множители, введение новых неизвестных, подстановка, графический метод).




2

Усвоение новых знаний.

 Учебник .

Карточки-задания

§9,12,19,

33-36,14,

337(2,4)

42)Типовой расчет по теме «Решение показательных и логарифмических уравнений». 




ОК-2


186-187) ПР № 25 «Решение показательных уравнений».



2

Урок закрепления

ЗУН

 Учебник .

Карточки-задания

§12,19,14




ОК-5


188-189) Основные приемы решения уравнений (разложение на множители, введение новых неизвестных, подстановка, графический метод).




2

Усвоение новых знаний.

 Учебник .

Карточки-задания

§9,12,19,

33-36,14,

341(2,4)







ОК-3


190-191)ПР № 26 «Решение логарифмических уравнений».




2

Урок закрепления

ЗУН

 Учебник .

Карточки-задания

§33-36





ОК-4


192-193)Рациональные, иррациональные, показательные и тригонометрические неравенства. Основные приемы решения неравенств.




2

Усвоение новых знаний.

 Учебник .

Карточки-задания

§8,10,13,19,37,№229(2)

43)Типовой расчет по теме «Решение логарифмических уравнений и неравенств» .






ОК-2


194-195)

Метод интервалов. Изображение на координатной плоскости множества решений уравнений и неравенств

с двумя переменными и их систем.








2

Усвоение новых знаний.

Лекция

Конспект, задание в тетради

44)Составление опорного конспекта «Метод интервалов».







ОК-6


196-197) ПР № 27 «Решение уравнений и их систем».


2

Урок закрепления

ЗУН

Учебник.

Карточки-задания





ОК-2


198-199) Применение математических методов для решения содержательных задач из различных областей науки и практики. Интерпретация результата, учет реальных ограничений.








2

Усвоение новых знаний.

Лекция

Конспект, задание в тетради

45)Типовой расчет по теме «Метод интервалов». 









ОК-4


200-201)

Контрольная работа №9

«Виды уравнений и неравенств».



2

Урок контроля

Карточки-задания


46)Решение теста по теме «Решение показательных и логарифмических неравенств». 




ОК-4

НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

30ч.

ПР-10 ч.

18ч



202-203) Последовательности. Способы задания и свойства числовых последовательностей. Понятие о пределе последовательности. Существование предела монотонной ограниченной последовательности. Суммирование последовательностей. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма.








2

Усвоение новых знаний.

Лекция

Конспект, задание в тетради
















ОК-3


204-205) ПР № 28 «Вычисление членов последовательности».


2

Урок закрепления

ЗУН

Учебник.

Карточки-задания






ОК-2


206-207) Производная. Понятие о производной функции, её геометрический и физический смысл. Уравнение касательной к графику функции.






2

Усвоение новых знаний.

 Учебник .

Карточки-задания

§44-45,№778,

§48,№858(4)

47)Типовой расчет по теме «Производная».






ОК-5


208-209) ПР № 29 «Составление уравнения касательной к графику функции».




2

Урок закрепления

ЗУН

 Учебник .

Карточки-задания

§44-45,48

48)Составление опорного конспекта «Геометрический смысл производной».




ОК-3


210-211) Производные суммы, разности, произведения, частного. Производные основных элементарных функций.


2


Усвоение новых знаний.

 Учебник .

Карточки-задания

§46,47,№806(4), №833(4)

49)Составление опорного конспекта «Правила дифференцирования».




ОК-4


212-213) ПР №30 «Вычисление производных элементарных функций».



2

Урок закрепления

ЗУН

 Учебник .

Карточки-задания, таблица «Производная».  

§47

50)Типовой расчет по теме «Правила дифференцирования».





ОК-3


214-215)

Контрольная работа №10 « Производная ».



2

Урок контроля

Карточки-задания, таблица «Производная».  

§44-48





ОК-5


216-217) Применение производной к исследованию функций и построению графиков. Производные обратной функции и композиции функции.



2

Усвоение новых знаний.

 Учебник .

Карточки-задания

§51,№925






ОК-2


218-219) ПР № 31 «Исследование функции с помощью производной».


2

Урок закрепления

ЗУН

Учебник.

Карточки-задания

§51





ОК-4


220-221) Примеры использования производной для нахождения наилучшего решения в прикладных задачах. Вторая производная, ее геометрический и физический смысл. Нахождение скорости для процесса, заданного формулой и графиком.






2

Усвоение новых знаний.

 Учебник .

Карточки-задания, таблица «Производная».  

§53,№955(3)












ОК-5


222-223) Контрольная работа №11 «Применение производной ».



2

Урок контроля

Карточки-задания


51)Составление опорного конспекта «Первообразная».



ОК-4


224-225)  Первообразная и интеграл. Применение определенного интеграла для нахождения площади криволинейной трапеции.


2

Усвоение новых знаний.

 Учебник .

Карточки-задания,

таблица «Первообразная».  

§54-57, №989(6), §56-59,№1013


52)Типовой расчет по теме «Правила нахождения первообразных».  





ОК-2


226-227) Формула Ньютона—Лейбница. Примеры применения интеграла в физике и геометрии.





2

Усвоение новых знаний

Учебник, таблица «Первообразная».  

§56-59,

1014(2)

53)Типовой расчет по теме «Вычисление площадей с помощью интегралов». 





ОК-4


228-229) ПР № 32 «Вычисление площадей с помощью интегралов».


2

 Урок закрепления ЗУН

Учебник, таблица «Первообразная».  

§56-59

54)Решение теста по теме «Первообразная».



ОК-3


230-231)  Контрольная работа №12 «Первообразная ».

Итоги изученного.



2

Урок контроля.

Повторительно-обобщающий

Таблица

«Первообразная».  

карточки 

§54-59

 

55)Составление кроссворда по теме «Алгебра и начала анализа».





ОК-2


Итого практ.работ

64

 

 

 

 



Итого часов:

231

 

 

 

 110









Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "УМК по прфессии Повар- кондитер."

Получите профессию

Копирайтер

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ #U0420#U041f-#U041f#U041e#U0412#U0410#U0420#U0410,2014-2016 #U0443#U0447.#U0433..doc



Министерство образования и науки Челябинской области

государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение

«Чебаркульский профессиональный техникум»















РАБОЧАЯ ПРОГРАММА

УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ

ОДП.01 Математика

основной профессиональной образовательной программы по

специальности среднего профессионального образования

260807.01. ПОВАР,КОНДИТЕР

(профильный уровень подготовки)



Форма обучения – очная

Курс обучения – 1,2













Чебаркуль, 2015 г.



Рабочая программа учебной дисциплины разработана на основе примерной

программы учебной дисциплины «математика» для профессий начального профессионального образования (НПО). Москва, 2008 г.

Организация-разработчик ГБПОУ СПО (ССУЗ)

«Чебаркульский профессиональный техникум » г. Чебаркуля .

Разработчик: ___________________Зайцева С.Е., преподаватель.













































  1. СОДЕРЖАНИЕ


стр.

  1. ПАСПОРТ РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЫ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ


4

  1. СТРУКТУРА и содержание УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ

6

  1. условия реализации учебной дисциплины

18

  1. Контроль и оценка результатов Освоения учебной дисциплины

19







































1. паспорт рабочей ПРОГРАММЫ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ

МАТЕМАТИКА

1.1. Область применения программы

Программа учебной дисциплины является частью основной профессиональной образовательной программы образовательного учреждения в соответствии с ФГОС по профессии НПО

260807.01. Повар- кондитер.

1.2. Место учебной дисциплины в структуре основной профессиональной образовательной программы:

Учебная дисциплина «Математика» относится к общеобразовательному циклу и изучается как профильный предмет.

1.3. Цели и задачи учебной дисциплины – требования к результатам освоения учебной дисциплины.

Обучающийся должен уметь:

Геометрия:

  • Распознавать на чертежах и моделях пространственные формы; соотносить объекты с их описаниями, изображениями;

  • Описывать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве ;

  • Изображать основные многогранники и круглые тела;

  • Решать планиметрические и простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов);

  • Использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы;

Комбинаторика, статистика и теория вероятностей:

  • Решать простейшие комбинаторные задачи методом перебора, а также с использованием формул;

  • Вычислять в простейших случаях вероятности событий на основе подсчета числа исходов;

  • Использовать приобретенные знания и умения для анализа числовых данных, представленных в виде таблиц, диаграмм;

Алгебра:

  • Выполнять арифметические действия, сочетая устные и письменные приемы, применение вычислительных устройств;

  • Решать уравнения и неравенства (линейные, квадратные);

  • Вычислять значения числовых и буквенных выражений, осуществляя необходимые подстановки и преобразования;

  • Находить значения корня натуральной степени, степени с рациональным показателем, логарифма, используя при необходимости вычислительные устройства;

  • Проводить по формулам и правилам преобразования буквенных выражений, включающих степени, радикалы, логарифмы, тригонометрические функции;

  • Строить графики изученных функций;

  • Решать показательные и логарифмические уравнения и неравенства; простейшие иррациональные и тригонометрические уравнения;

Начала математического анализа:

  • Вычислять производные и первообразные элементарных функций, используя справочные материалы;

  • Исследовать в простейших случаях функции на монотонность, находить наибольшие и наименьшие значения функций; строить графики многочленов с использованием аппарата математического анализа;

  • Вычислять в простейших случаях площади и объемы с использованием определенного интеграла;




Обучающийся должен знать:

Геометрия:

  • Распознавание на чертежах и моделях пространственных форм; соотношение объектов с их описанием, изображением;

  • Описание взаимного расположения прямых и плоскостей в пространстве ;

  • Изображение основных многогранников и круглых тел ;

  • Решение планиметрических и простейших стереометрических задач на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов);

  • Использование при решении стереометрических задач планиметрических фактов и методов;

Комбинаторика, статистика и теория вероятностей:

  • Решение простейших комбинаторных задач методом перебора, а также с использованием формул;

  • Вычисление в простейших случаях вероятности событий на основе подсчета числа исходов;

  • Использование приобретенных знаний и умений для анализа числовых данных, представленных в виде таблиц, диаграмм;

Алгебра:

  • Выполнение арифметических действий, сочетая устные и письменные приемы, применение вычислительных устройств;

  • Решение уравнений и неравенств (линейных, квадратных);

  • Вычисление значений числовых и буквенных выражений, осуществляя необходимые подстановки и преобразования;

  • Нахождение значений корня натуральной степени, степени с рациональным показателем, логарифма, используя при необходимости вычислительные устройства;

  • Преобразования буквенных выражений, включающих степени, радикалы, логарифмы, тригонометрические функции;

  • Построение графиков изученных функций;

  • Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств; простейших иррациональных и тригонометрических уравнений;

Начала математического анализа:

  • Вычисление производных и первообразных элементарных функций, используя справочные материалы;

  • Исследование в простейших случаях функций на монотонность, нахождение наибольших и наименьших значений функций; построение графиков многочленов с использованием аппарата математического анализа;

  • Вычисление в простейших случаях площадей и объемов с использованием определенного интеграла;

  • Значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике; широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе;

  • Значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии;

  • Универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности;

В программу включено «Повторение основных понятий планиметрии», « Повторение базисного материала курса основной школы», так как этот материал используется при изучении профессионально значимого материала. Материал сгруппирован по разделам Алгебра и Геометрия.

1.4. Количество часов на освоение рабочей программы учебной дисциплины:

максимальная учебная нагрузка обучающегося 416 час, в том числе:

обязательная аудиторная учебная нагрузка обучающегося 277 часа;

самостоятельная работа обучающегося 139 часов.



2. СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ


2.1. Объем учебной дисциплины и виды учебной работы





Самостоятельная работа над курсовой работой (проектом) (если предусмотрено)

не предусмотрено

Составление опорного конспекта

Типовой расчет

Решение теста

Составление криптограмм, кроссворда

44

66

24

5

Итоговая аттестация в форме письменного экзамена.






















2.2. Тематический план и содержание учебной дисциплины «математика».

50

34

2

16


1.1 Повторение основных понятий планиметрии.


10

0

6

1.2 Аксиомы стереометрии.

2

0

0

1.3 Параллельность и перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве.

22

2


10

2.

Многогранники.

28

18

4

10

3.

Тела и поверхности вращения.

30

20

6

10

4.

Измерения в геометрии.

40

26

12

14

5.

Координаты и векторы.

30

20

6

10


КОМБИНАТОРИКА, СТАТИСТИКА И ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

20

14

2


6

6.

Элементы комбинаторики.

6

4

0

2

7.

Элементы теории вероятностей.

12

8

2

4

8.

Элементы математической статистики.

2

2

0

0


АЛГЕБРА

166

110

22

56

9.

Развитие понятия о числе.

38

26

6

12


9.1 Повторение базисного материала курса основной школы.


20

6


10

9.2 Развитие понятия о числе.

6

0

2

10.

Корни, степени и логарифмы.

24

16

2

8

11.

Основы тригонометрии.

34

22

0

12

12.

Функции, их свойства и графики.

22

14

4

8

13.

Степенные, показательные, логарифмические и тригонометрические функции.

12

8

0

4

14.

Уравнения и неравенства .

36

24

10

12

15.

НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА.

50

33

6

17

 

Всего:

416

277

60

139

Тематический план (ВСР) по специальности: 260807.01 «Повар- кондитер».

6

6

4

0

16


1.1 Повторение основных понятий планиметрии.

2

2

2

0

6

1.2 Аксиомы стереометрии.

0

0

0

0

0

1.3 Параллельность и перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве.

4

4

2

0

10

2.

Многогранники.

2

6

2

0

10

3.

Тела и поверхности вращения.

2

6

2

0

10

4.

Измерения в геометрии.

0

10

2

2

14

5.

Координаты и векторы.

2

6

2

0

10


КОМБИНАТОРИКА, СТАТИСТИКА И ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

2

2

2

0

6

6.

Элементы комбинаторики.

2

0

0

0

2

7.

Элементы теории вероятностей.

0

2

2

0

4

8.

Элементы математической статистики.

0

0

0

0

0


АЛГЕБРА

18

26

10

2

56

9.

Развитие понятия о числе.

8

2

0

2

12


9.1 Повторение базисного материала курса основной школы.

6

2

0

2

10

9.2 Развитие понятия о числе.

2

0

0

0

2

10.

Корни, степени и логарифмы.

2

4

2

0

8

11.

Основы тригонометрии.

2

8

2

0

12

12.

Функции, их свойства и графики.

2

6

0

0

8

13.

Степенные, показательные, логарифмические и тригонометрические функции.

0

0

4

0

4

14.

Уравнения и неравенства .

2

8

2

0

12

15.

НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА.

6

8

2

1

17

 

Всего:

44

66

24

5

139


Объем часов


Уровень освоения

1

2

3

4



Введение.


Содержание учебного материала

1


Введение:  Математика в науке, технике, экономике, информационных технологиях и практической деятельности. Цели и задачи изучения математики в учреждениях начального и среднего профессионального образования.

1

2

Контрольная работа №1 «Нулевой срез».

1



ГЕОМЕТРИЯ

118


Тема 1.









Прямые и плоскости в пространстве.


Содержание учебного материала

26


1.1 Повторение основных понятий планиметрии:

8


Прямоугольные треугольники. Теорема Пифагора. Теорема косинусов, синусов.

Параллелограмм, ромб. Прямоугольник, квадрат, трапеция.

Правильные многоугольники. Формулы площадей фигур.


2

1.2 Аксиомы стереометрии:

2


Основные понятия стереометрии. Аксиомы стереометрии.

Некоторые следствия из аксиом.


2

1.3 Параллельность и перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве:

16


Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Параллельность прямой и плоскости. Параллельность плоскостей. Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикуляр и наклонная. Угол между прямой и плоскостью. Двугранный угол. Угол между плоскостями. Перпендикулярность двух плоскостей.

Геометрические преобразования пространства: параллельный перенос, симметрия относительно плоскости.

Параллельное проектирование. Площадь ортогональной проекции. Изображение пространственных фигур.


2

Практические занятия :

  1. Вычисление перпендикуляра и наклонной. Вычисление угла между плоскостями.


2


Зачет №1 «Планиметрия»

2


Контрольная работа №2 «Параллельность прямых и плоскостей».

2



Контрольная работа №3 «Перпендикулярность прямых и плоскостей».

2



Самостоятельная работа обучающихся:

  1. Типовой расчет по теме «Решение треугольников».

  2. Составление опорного конспекта «Четырехугольники».

  3. Решение теста по теме «Планиметрия».

  4. Составление опорного конспекта «Параллельность прямых и плоскостей».

  5. Типовой расчет по теме «Параллельность плоскостей».

  6. Составление опорного конспекта «Перпендикулярность прямых, прямой и плоскости».

  7. Типовой расчет по теме «Перпендикуляр и наклонная».

  8. Решение теста по теме «Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве» .

16



Тема 2.

Многогранники.


Содержание учебного материала

12


Вершины, ребра, грани многогранника. Развертка. Многогранные углы. Выпуклые многогранники. Теорема Эйлера.

Призма. Прямая и наклонная призма. Правильная призма. Параллелепипед. Куб.

Пирамида. Правильная пирамида. Усеченная пирамида. Тетраэдр.

Симметрии в кубе, в параллелепипеде, в призме и пирамиде.

Сечения куба, призмы и пирамиды.

Представление о правильных многогранниках (тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр).


2

Практические занятия:

  1. Построение многогранников. Вычисление элементов призмы.

  2. Вычисление элементов пирамиды, правильной пирамиды, усеченной пирамиды.


4


Контрольная работа №4 «Многогранники».

2


Самостоятельная работа обучающихся:

  1. Типовой расчет по теме «Прямоугольный параллелепипед».

  2. Типовой расчет по теме «Пирамида».

  3. Типовой расчет по теме «Усеченная пирамида».

  4. Составление опорного конспекта «Правильные многогранники».

  5. Решение теста по теме «Многогранники».

10


Тема 3.

Тела и поверхности вращения.


Содержание учебного материала

12


Цилиндр и конус. Усеченный конус. Основание, высота, боковая поверхность, образующая, развертка. Осевые сечения и сечения, параллельные основанию.

Шар и сфера, их сечения. Касательная плоскость к сфере.


2

Практические занятия:

  1. Вычисление элементов цилиндра.

  2. Вычисление элементов конуса, усеченного конуса.

  3. Вычисление элементов сферы.

6


Контрольная работа №5 « Тела вращения».

2


Самостоятельная работа обучающихся:

  1. Составление опорного конспекта «Цилиндр» .

  2. Типовой расчет по теме «Цилиндр».

  3. Типовой расчет по теме «Конус».

  4. Типовой расчет по теме «Усеченный конус». 

  5. Решение теста по теме «Тела вращения».

10


Тема 4.

Измерения в геометрии.



Содержание учебного материала

12


Объем и его измерение. Интегральная формула объема.

Формулы объема куба, прямоугольного параллелепипеда, призмы, цилиндра. Формулы объема пирамиды и конуса. Формулы площади поверхностей цилиндра и конуса. Формулы объема шара и площади сферы.

Подобие тел. Отношения площадей поверхностей и объемов подобных тел.


2

Практические занятия:

  1. Расчет по модели объёма прямоугольного параллелепипеда.

  2. Вычисление объёма прямой призмы. Вычисление объёма цилиндра.

  3. Вычисление объёма пирамиды .Расчет по модели объёма конуса.

  4. Расчет по модели площади цилиндра и конуса.

  5. Вычисление объёма шара. Расчет объёмов сегмента, слоя, сектора шара.

  6. Вычисление объёмов тел.

12


Контрольная работа №6 «Объёмы тел ».

2


Самостоятельная работа обучающихся:

  1. Типовой расчет по теме «Объём прямоугольного параллелепипеда».

  2. Типовой расчет по теме «Расчет объёма прямой и наклонной призмы».

  3. Типовой расчет по теме «Объём цилиндра».

  4. Типовой расчет по теме «Объём конуса».

  5. Типовой расчет по теме «Объём сегмента, слоя, сектора шара».

  6. Решение теста по теме «Объёмы тел».

  7. Составление кроссворда по теме «Тела вращения».

14


Тема 5.

Координаты и векторы.



Содержание учебного материала

12


Прямоугольная (декартова) система координат в пространстве. Формула расстояния между двумя точками. Уравнения сферы, плоскости и прямой.

Векторы. Модуль вектора. Равенство векторов. Сложение векторов. Умножение вектора на число. Разложение вектора по направлениям. Угол между двумя векторами. Проекция вектора на ось. Координаты вектора. Скалярное произведение векторов.

Использование координат и векторов при решении математических и прикладных задач.


2

Практические занятия:

  1. Составление уравнения сферы.

  2. Умножение вектора на число. Вычисление координат векторов.

  3. Решение задач в координатах.

6


Зачет №2 «Стереометрия»

1


Контрольная работа №7 « Координаты и векторы».

1


Самостоятельная работа обучающихся:

  1. Типовой расчет по теме «Простейшие задачи в координатах».

  2. Типовой расчет по теме «Уравнение сферы».

  3. Составление опорного конспекта «Умножение вектора на число» .

  4. Типовой расчет по теме «Скалярное произведение векторов».

  5. Решение теста по теме «Координаты и векторы».

10



КОМБИНАТОРИКА, СТАТИСТИКА И ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

14


Тема 6. Элементы комбинаторики.

Содержание учебного материала

4


Основные понятия комбинаторики. Задачи на подсчет числа размещений, перестановок, сочетаний. Решение задач на перебор вариантов. Формула бинома Ньютона. Свойства биноминальных коэффициентов. Треугольник Паскаля.


2

Практические занятия.

-


Самостоятельная работа обучающихся:

  1. Составление опорного конспекта «Основные понятия комбинаторики».

2


Тема 7.

Элементы теории вероятностей.


Содержание учебного материала

4


Событие, вероятность события, сложение и умножение вероятностей. Понятие о независимости событий. Дискретная случайная величина, закон ее распределения. Числовые характеристики дискретной случайной величины. Понятие о законе больших чисел.


2

Практические занятия:

  1. Вычисление числовых характеристик дискретной случайной величины.

2


Зачет №3 «Элементы комбинаторики и теории вероятностей ».

2


Самостоятельная работа обучающихся:

  1. Типовой расчет по теме «Элементы комбинаторики и теории вероятностей».

  2. Решение теста по теме «Элементы комбинаторики и теории вероятностей».

4


Тема 8.

Элементы математической статистики.


Содержание учебного материала

2


Представление данных (таблицы, диаграммы, графики), генеральная совокупность, выборка, среднее арифметическое, медиана. Понятие о задачах математической статистики. Решение практических задач с применением вероятностных методов.


2

Практические занятия.

-


Самостоятельная работа обучающихся.

-



АЛГЕБРА

110


Тема 9.

Развитие понятия о числе.


Содержание учебного материала

16


9.1 Повторение базисного материала курса основной школы.

10


Степень числа и ее свойства. Пропорция. Основное свойство пропорции.  Прямая и обратная пропорциональная зависимость величин. Вычисление квадратных корней. Решение задач на проценты. Уравнения. Неравенства. Решение систем уравнений и неравенств. Формулы сокращенного умножения.


2

9.2 Развитие понятия о числе.

6


Целые и рациональные числа. Действительные числа. Приближенные вычисления. Приближенное значение величины и погрешности приближений. Комплексные числа.


2

Практические занятия:

  1. Решение пропорций. Решение задач с помощью пропорций.

  2. Решение квадратных уравнений . Решение неравенств.

  3. Решение систем уравнений и неравенств. Вычисления по формулам сокращенного умножения.

6


Контрольная работа №8 «Пропорция. Проценты ».

Контрольная работа №9 «Уравнения. Неравенства ».

4


Самостоятельная работа обучающихся:

  1. Составление опорного конспекта « Степень числа и ее свойства».

  2. Составление опорного конспекта «Пропорция».

  3. Решение криптограмм по теме «Уравнения».

  4. Типовой расчет по теме «Решение систем уравнений и неравенств».

  5. Составление опорного конспекта «Функция, график и её свойства».

  6. Составление опорного конспекта «Действия над комплексными числами».

12


Тема 10.


Корни, степени и логарифмы.


Содержание учебного материала

12


Корни и степени. Корни натуральной степени из числа и их свойства. Степени с рациональными показателями, их свойства. Степени с действительными показателями. Свойства степени с действительным показателем.

Логарифм. Логарифм числа. Основное логарифмическое тождество. Десятичные и натуральные логарифмы. Правила действий с логарифмами. Переход к новому основанию. Преобразование алгебраических выражений. Преобразование рациональных, иррациональных, степенных, показательных и логарифмических выражений.


2

Практические занятия:

  1. Вычисление логарифмов.

2


Зачет №4 «Корни и степени. Логарифмы».

2


Самостоятельная работа обучающихся:

  1. Составление опорного конспекта «Понятие о корне n-й степени».

  2. Типовой расчет по теме «Понятие о корне n-й степени».

  3. Решение теста по теме «Степень с рациональным, действительным показателем, ее свойства».

  4. Типовой расчет по теме «Преобразование степенных, показательных и логарифмических выражений».

8


Тема 11.

Основы тригонометрии.


Содержание учебного материала

18


Радианная мера угла. Вращательное движение. Синус, косинус, тангенс и котангенс числа. Основные тригонометрические тождества, формулы приведения. Синус, косинус и тангенс суммы и разности двух углов. Синус и косинус двойного угла. Формулы половинного угла. Преобразования суммы тригонометрических функций в произведение и произведения в сумму. Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента. Преобразования простейших тригонометрических выражений.

Простейшие тригонометрические уравнения. Решение тригонометрических уравнений. Простейшие тригонометрические и неравенства. Арксинус, арккосинус, арктангенс числа.


2

Практические занятия.

-



Зачет №5 « Тригонометрические преобразования».

2



Зачет №6 «Решение тригонометрических уравнений».

2


Самостоятельная работа обучающихся:

  1. Составление опорного конспекта «Синус, косинус, тангенс числового аргумента, их знаки» .

  2. Типовой расчет по теме «Формулы сложения».

  3. Типовой расчет по теме «Синус, косинус и тангенс двойного и половинного угла».

  4. Типовой расчет по теме «Решение простейших тригонометрических уравнений».

  5. Типовой расчет по теме «Решение тригонометрических уравнений».

  6. Решение теста по теме «Решение тригонометрических неравенств».

12


Тема 12. Функции, их свойства и графики.


Содержание учебного материала

10


Функции. Область определения и множество значений; график функции, построение графиков функций, заданных различными способами.

Свойства функции: монотонность, четность, нечетность, ограниченность, периодичность. Промежутки возрастания и убывания, наибольшее и наименьшее значения, точки экстремума. Графическая интерпретация. Примеры функциональных зависимостей в реальных процессах и явлениях. Обратные функции. Область определения и область значений обратной функции. График обратной функции. Арифметические операции над функциями. Сложная функция (композиция).


2

Практические занятия:

  1. Вычисление множества значений тригонометрических функций по формулам.

  2. Нахождение экстремумов функции. Нахождения наибольшего и наименьшего значения функции.

4


Самостоятельная работа обучающихся:

  1. Составление опорного конспекта «Область определения и множество значений тригонометрических функций» .

  2. Типовой расчет по теме «Область определения и множество значений тригонометрических функций».

  3. Типовой расчет по теме «Экстремумы функции».

  4. Типовой расчет по теме «Нахождения наибольшего и наименьшего значения функции ».

8


Тема 13.

Степенные, показательные, логарифмические и тригонометрические функции.


Содержание учебного материала

6


Определения функций, их свойства и графики. Обратные тригонометрические функции.

Преобразования графиков. Параллельный перенос, симметрия относительно осей координат и симметрия относительно начала координат, симметрия относительно прямой y = x, растяжение и сжатие вдоль осей координат.


2

Практические занятия.

-


Контрольная работа №10 «Тригонометрические функции».

2


Самостоятельная работа обучающихся:

  1. Решение теста по теме «Показательная и логарифмическая функции».

  2. Решение теста по теме «Свойства и график тригонометрических функций» .

4


Тема 14.

Уравнения и неравенства .


Содержание учебного материала

12


Равносильность уравнений, неравенств, систем.

Рациональные, иррациональные, показательные и тригонометрические уравнения и системы. Основные приемы их решения (разложение на множители, введение новых неизвестных, подстановка, графический метод).

Рациональные, иррациональные, показательные и тригонометрические неравенства. Основные приемы их решения. Использование свойств и графиков функций при решении уравнений и неравенств. Метод интервалов. Изображение на координатной плоскости множества решений уравнений и неравенств с двумя переменными и их систем.

Применение математических методов для решения содержательных задач из различных областей науки и практики. Интерпретация результата, учет реальных ограничений.


2

Практические занятия:

  1. Решение иррациональных уравнений.

  2. Решение показательных и логарифмических уравнений.

  3. Решение тригонометрических уравнений.

  4. Решение показательных, логарифмических , тригонометрических неравенств.

  5. Решение неравенств с помощью метода интервалов.

10


Контрольная работа №11 «Виды уравнений и неравенств».

2


Самостоятельная работа обучающихся:

  1. Типовой расчет по теме «Иррациональные уравнения».

  2. Типовой расчет по теме «Решение показательных и логарифмических уравнений».

  3. Типовой расчет по теме «Решение логарифмических уравнений и неравенств» .

  4. Составление опорного конспекта «Метод интервалов».

  5. Типовой расчет по теме «Метод интервалов». 

  6. Решение теста по теме «Решение показательных и логарифмических неравенств». 

12



НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

33


Тема 15. НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА.


Содержание учебного материала

21


Последовательности. Способы задания и свойства числовых последовательностей. Понятие о пределе последовательности. Существование предела монотонной ограниченной последовательности. Суммирование последовательностей. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма.

Понятие о непрерывности функции.

Производная. Понятие о производной функции, её геометрический и физический смысл. Уравнение касательной к графику функции. Производные суммы, разности, произведения, частного. Производные основных элементарных функций. Применение производной к исследованию функций и построению графиков. Производные обратной функции и композиции функции.

Примеры использования производной для нахождения наилучшего решения в прикладных задачах. Вторая производная, ее геометрический и физический смысл. Применение производной к исследованию функций и построению графиков. Нахождение скорости для процесса, заданного формулой и графиком.

Первообразная и интеграл. Применение определенного интеграла для нахождения площади криволинейной трапеции. Формула Ньютона—Лейбница. Примеры применения интеграла в физике и геометрии.


2

Практические занятия:

  1. Вычисление угловых коэффициентов. Составление уравнения касательной к графику функции.

  2. Вычисление производных элементарных функций.

  1. Вычисление площадей с помощью интегралов.

6


Контрольная работа №12 «Производная ».

2


Контрольная работа №13 «Применение производной ».

2


Контрольная работа №14 «Первообразная ».

2


Самостоятельная работа обучающихся:

  1. Типовой расчет по теме «Производная».

  2. Составление опорного конспекта «Геометрический смысл производной».

  3. Составление опорного конспекта «Правила дифференцирования».

  4. Типовой расчет по теме «Правила дифференцирования».

  5. Составление опорного конспекта «Первообразная».

  6. Типовой расчет по теме «Правила нахождения первообразных».  

  7. Типовой расчет по теме «Вычисление площадей с помощью интегралов».

  8. Решение теста по теме «Первообразная».

  9. Составление кроссворда по теме «Алгебра и начала анализа».(1 ч)

17


Всего:

Содержание учебного материала

Практические занятия

Самостоятельная работа обучающихся

277

60

139


Для характеристики уровня освоения учебного материала использованы следующие обозначения:

1 – ознакомительный (узнавание ранее изученных объектов, свойств); 2 – репродуктивный (выполнение деятельности по образцу, инструкции или под руководством); 3 – продуктивный (планирование и самостоятельное выполнение деятельности, решение проблемных задач)

  1. 3. условия реализации УЧЕБНОЙ дисциплины


3.1.Требования к минимальному материально-техническому обеспечению


Реализация учебной дисциплины требует наличия учебного кабинета математики; лабораторий - нет.

Оборудование учебного кабинета: рабочее место преподавателя, рабочие места обучающихся; комплект учебно-наглядных пособий; объемные модели тел; комплект учебно-методической документации; комплект плакатов.

3.2. Информационное обеспечение обучения

Основные источники:

  1. Алгебра и начала анализа 10-11 кл. Ш.А.Алимов и др. М., «Просвещение», 2009 г.

  2. Геометрия 10-11 кл. Л.С. Атанасян. М., «Просвещение»,2011 г.


Дополнительные источники:

  1. Алгебра и начала математического анализа 10-11 кл. Колмогоров А.Н. и др. М., «Просвещение»,2009г.

  2. Алгебра и начала математического анализа 10-11 кл. Башмаков М.И. М., «Дрофа»,2009г.

  3. Геометрия 10-11 кл. Потоскуев Е.В., Звавич Л.И. М., «Просвещение», 2009г.

  4. Алгебра. Сборник заданий для подготовки к итоговой аттестации в 9 кл. Л.В.Кузнецова и др., М., «Просвещение»,2009 г.

  5. Математика. Сборник заданий для 11 кл. Г.В Дорофеев и др., М., «Дрофа»,2009 г.


Интернет-ресурсы:

  1. http://www.mathedu.ru/

  2. http://www.onecomplex.ru/

  3. http //matemonline.com/wp-content/uploads

  4. Cайты «Энциклопедий», например: http://www.rubricon.ru/; http://www.encyclope.com

  5. Новые технологии в образовании: http://edu.secna.ru/main/ http://festival.1september.ru

  6. http://www.fxyz.ru

  7. http://referat.ru

  8. http://math.immf.ru/

  9. http://integraly.ru/

  10. http://www.alleng.ru/edu/math.htm









  1. 4. Контроль и оценка результатов освоения УЧЕБНОЙ Дисциплины

  2. Контроль и оценка результатов освоения учебной дисциплины осуществляется преподавателем в процессе проведения практических занятий и лабораторных работ, тестирования, а также выполнения обучающимися индивидуальных заданий, проектов, исследований.

Результаты обучения


Формы и методы контроля и оценки результатов обучения

Освоенные умения


Распознавать на чертежах и моделях пространственные формы; соотносить объекты с их описаниями, изображениями;

Оценка деятельности учащегося на практических занятиях.

Тестирование.

Контрольная работа.


Описывать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве;

Изображать основные многогранники и круглые тела;

Решать планиметрические и простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов); Использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы;

Решать простейшие комбинаторные задачи методом перебора, а также с использованием формул;

Вычислять в простейших случаях вероятности событий на основе подсчета числа исходов;

Использовать приобретенные знания и умения для анализа числовых данных, представленных в виде таблиц, диаграмм;

Оценка устного ответа.

Оценка деятельности учащегося на практических занятиях. Тестирование.

Контрольная работа.

Выполнять арифметические действия, сочетая устные и письменные приемы, применение вычислительных устройств;

Вычислять значения числовых и буквенных выражений, осуществляя необходимые подстановки и преобразования;

Оценка деятельности учащегося на практических занятиях.

Оценка устного ответа.

Тестирование.

Контрольная работа.

Решать уравнения и неравенства (линейные, квадратные);

Тестирование.

Контрольная работа.

Находить значения корня натуральной степени, степени с рациональным показателем, логарифма, используя при необходимости вычислительные устройства;

Оценка деятельности учащегося на практических занятиях. Контрольная работа.

Проводить по формулам и правилам преобразования буквенных выражений, включающих степени, радикалы, логарифмы, тригонометрические функции; Строить графики изученных функций;

Оценка деятельности учащегося на практических занятиях. Контрольная работа.

Решать показательные и логарифмические уравнения и неравенства; простейшие иррациональные и тригонометрические уравнения;

Тестирование.

Контрольная работа.

Вычислять производные и первообразные элементарных функций, используя справочные материалы;

Исследовать в простейших случаях функции на монотонность, находить наибольшие и наименьшие значения функций; строить графики многочленов с использованием аппарата математического анализа;

Вычислять в простейших случаях площади и объемы с использованием определенного интеграла;

Оценка устного ответа.

Оценка деятельности учащегося на практических занятиях.

Тестирование.

Контрольная работа.

Усвоенные знания


Распознавание на чертежах и моделях пространственных форм; соотношение объектов с их описанием, изображением;

Описание взаимного расположения прямых и плоскостей в пространстве ;

Изображение основных многогранников и круглых тел ;

Решение планиметрических и простейших стереометрических задач на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов);

Использование при решении стереометрических задач планиметрических фактов и методов;

Оценка деятельности учащегося на практических занятиях.

Тестирование.

Контрольная работа.


Решение простейших комбинаторных задач методом перебора, а также с использованием формул;

Вычисление в простейших случаях вероятности событий на основе подсчета числа исходов;

Использование приобретенных знаний и умений для анализа числовых данных, представленных в виде таблиц, диаграмм;

Оценка устного ответа.

Оценка деятельности учащегося на практических занятиях.

Тестирование.

Контрольная работа.

Выполнение арифметических действий, сочетая устные и письменные приемы, применение вычислительных устройств; Решение уравнений и неравенств (линейных, квадратных);

Вычисление значений числовых и буквенных выражений, осуществляя необходимые подстановки и преобразования;

Нахождение значений корня натуральной степени, степени с рациональным показателем, логарифма, используя при необходимости вычислительные устройства;

Преобразования буквенных выражений, включающих степени, радикалы, логарифмы, тригонометрические функции;

Построение графиков изученных функций;

Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств; простейших иррациональных и

тригонометрических уравнений;

Оценка устного ответа.

Оценка деятельности учащегося на практических занятиях.

Тестирование.

Контрольная работа.


Вычисление производных и первообразных элементарных функций, используя справочные материалы;

Исследование в простейших случаях функций на монотонность, нахождение наибольших и наименьших значений функций; построение графиков многочленов с использованием аппарата математического анализа;

Вычисление в простейших случаях площадей и объемов с использованием определенного интеграла;

Оценка устного ответа.

Оценка деятельности учащегося на практических занятиях.

Тестирование.

Контрольная работа.

Значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике; широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе;


Оценка устного ответа.

Оценка отчета о выполнении практического задания.

Тестирование.

Контрольная работа.

Итоговая аттестация в форме экзамена.

Значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии;

Универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности;









Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "УМК по прфессии Повар- кондитер."

Получите профессию

HR-менеджер

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ #U0420#U041f-#U041f#U041e#U0412#U0410#U0420#U0410,2015-2017 #U0443#U0447.#U0433..docx

Министерство образования и науки Челябинской области

государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение

«Чебаркульский профессиональный техникум»

















РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ «МАТЕМАТИКА: АЛГЕБРА И НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА; ГЕОМЕТРИЯ»

ОУДП.04. Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия.

основной профессиональной образовательной программы по профессии среднего профессионального образования

19.01.17. Повар, кондитер.









Форма обучения – очная Курс обучения – 1,2











Чебаркуль, 2015 г.





УТВЕРЖДАЮ

Заместитель директора по учебной работе

/Ю.Г.Поставит/

«___»__________20___г.





СОГЛАСОВАНО

Заведующий отделением

/Н.В.Невраева/

«___»________________20___г.





Рассмотрено и одобрено на заседании ПЦК

Протокол № ___ от___________20__г.

Председатель ПЦК __________________________























СОДЕРЖАНИЕ










Пояснительная записка……………………………………………………………………4


Общая характеристика учебной дисциплины………………………………………5-6


Место учебной дисциплины в учебном плане………………………………………..7


Результаты освоения учебной дисциплины………………………………………...8-9


Содержание учебной дисциплины………………………………………………..10-17



Тематическое планирование……………………………………………………………..18



Тематический план……………………………………………………………………19



Характеристика основных видов учебной деятельности студентов………………20-24


Учебно-методическое и материально-техническое обеспечение программы

учебной дисциплины……………………………………………………………………...25


Информационное обеспечение обучения……………………………………………….26


ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА










Программа учебной дисциплины Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия (далее — Математика) предназначена для изучения математики в профессиональном образовательном учреждении, реализующем образовательную программу среднего общего образования в пределах освоения основной профессиональной образовательной программы СПО (ОПОП СПО) на базе основного общего образования при подготовке квалифицированных рабочих, служащих по профессии 19.01.17. Повар, кондитер.

Программа разработана на основе требований ФГОС среднего общего образования, предъявляемых к структуре, содержанию и результатам освоения учебной дисциплины Математика, в соответствии с Рекомендациями по организации получения среднего общего образования в пределах освоения образовательных программ среднего профессионального образования на базе основного общего образования с учетом требований федеральных государственных образовательных стандартов и получаемой профессии или специальности среднего профессионального образования (письмо Департамента государственной политики в сфере подготовки рабочих кадров и ДПО Минобрнауки России от 17.03.2015 № 06-259), примерной программы общеобразовательной дисциплины Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия для профессиональных образовательных организаций, рекомендованной Федеральным государственным автономным учреждением «Федеральный институт развития образования» (ФГАУ «ФИРО»). (Протокол № 3 от 21 июля 2015 г. Регистрационный номер рецензии 381 от 23 июля 2015 г. ФГАУ «ФИРО»).

Содержание программы учебной дисциплины Математика направлено на достижение следующих целей:


  • обеспечение сформированности представлений о социальных, культурных и исторических факторах становления математики;


  • обеспечение сформированности логического, алгоритмического и математического мышления;


  • обеспечение сформированности умений применять полученные знания при решении различных задач;


  • обеспечение сформированности представлений о математике как части общечеловеческой культуры, универсальном языке науки, позволяющем описывать и изучать реальные процессы и явления.


В программу включено содержание, направленное на формирование у обучающихся компетенций, необходимых для качественного освоения ОПОП СПО на базе основного общего образования с получением среднего общего образования, — программы подготовки квалифицированных рабочих, служащих (ППКРС).












ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ

Математика является фундаментальной общеобразовательной дисциплиной со сложившимся устойчивым содержанием и общими требованиями к подготовке обучающихся.




В профессиональном образовательном учреждении, реализующем образовательную программу среднего общего образования в пределах освоения ОПОП СПО на базе основного общего образования, изучение математики имеет свои особенности в зависимости от профиля профессионального образования.

При освоении профессии СПО естественно-научного профиля

19.01.17. Повар, кондитер математика изучается на базовом уровне ФГОС среднего общего образования.

Общие цели изучения математики традиционно реализуются в четырех направлениях:

  1. общее представление об идеях и методах математики;

  2. интеллектуальное развитие;

  3. овладение необходимыми конкретными знаниями и умениями;

  4. воспитательное воздействие.


Профилизация целей математического образования отражается на выборе приоритетов в организации учебной деятельности обучающихся. Для естественно-научного профиля профессионального образования более характерным является усиление общекультурной составляющей учебной дисциплины с ориентацией на визуально-образный и логический стили учебной работы.

Реализация содержания учебной дисциплины ориентирует на приоритетную роль процессуальных характеристик учебной работы, зависящих от профиля профессионального образования, получения опыта использования математики в содержательных и профессионально значимых ситуациях по сравнению с формально-уровневыми результативными характеристиками обучения.


Содержание учебной дисциплины разработано в соответствии с основными содержательными линиями обучения математике:

  • геометрическая линия, включающая наглядные представления о пространственных фигурах и изучение их свойств, формирование и развитие пространственного воображения, развитие способов геометрических измерений, координатного и векторного методов для решения математических и прикладных задач;


  • стохастическая линия, основанная на развитии комбинаторных умений, представлений о вероятностно-статистических закономерностях окружающего мира.

  • алгебраическая линия, включающая систематизацию сведений о числах; изучение новых и обобщение ранее изученных операций (возведение в степень, извлечение корня, логарифмирование, синус, косинус, тангенс, котангенс и обратные к ним); изучение новых видов числовых выражений и формул; совершенствование практических навыков и вычислительной культуры, расширение и совершенствование алгебраического аппарата, сформированного в основной школе, и его применение к решению математических и прикладных задач;


  • теоретико-функциональная линия, включающая систематизацию и расширение сведений о функциях, совершенствование графических умений; знакомство с основными идеями и методами математического анализа в объеме, позволяющем исследовать элементарные функции и решать простейшие геометрические, физические и другие прикладные задачи;


  • линия уравнений и неравенств, основанная на построении и исследовании математических моделей, пересекающаяся с алгебраической и теоретико-функциональной линиями и включающая развитие и совершенствование техники алгебраических преобразований для решения уравнений, неравенств и систем; формирование способности строить и исследовать простейшие математические модели при решении прикладных задач, задач из смежных и специальных дисциплин.

Разделы (темы), включенные в содержание учебной дисциплины, являются общими для всех профилей профессионального образования и при всех объемах учебного времени независимо от того, является ли учебная дисциплина Математика базовой или профильной.

В тематическом плане учебный материал представлен в форме чередующегося развертывания основных содержательных линий (геометрической, стохастической, алгебраической, теоретико-функциональной, уравнений и неравенств), что позволяет гибко использовать их расположение и взаимосвязь, составлять рабочий календарный план, по-разному чередуя учебные темы (главы учебника), учитывая профиль профессионального образования, специфику осваиваемой профессии СПО , глубину изучения материала, уровень подготовки обучающихся по предмету.

Изучение учебной дисциплины Математика завершается подведением итогов в форме экзамена в рамках промежуточной аттестации обучающихся в процессе освоения ОПОП СПО на базе основного общего образования с получением среднего общего образования (ППКРС).


В разделе программы «Содержание учебной дисциплины» курсивом выделен материал, который при изучении математики как базовой, так и профильной учебной дисциплины, контролю не подлежит.









































МЕСТО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ В УЧЕБНОМ ПЛАНЕ


Учебная дисциплина Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия является учебным предметом обязательной предметной области «Математика и информатика» ФГОС среднего общего образования.


В профессиональном образовательном учреждении, реализующем образовательную программу среднего общего образования в пределах освоения ОПОП СПО на базе основного общего образования, учебная дисциплина Математика изучается в общеобразовательном цикле учебного плана ОПОП СПО на базе основного общего образования с получением среднего общего образования (ППКРС).


В учебных планах ППКРС учебная дисциплина Математика входит в состав общих общеобразовательных учебных дисциплин, формируемых из обязательных

предметных областей ФГОС среднего общего образования, для профессий СПО соответствующего профиля профессионального образования.


РЕЗУЛЬТАТЫ ОСВОЕНИЯ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ


Освоение содержания учебной дисциплины Математика обеспечивает достижение обучающимися следующих результатов:

  • личностных:

    • сформированность представлений о математике как универсальном языке науки, средстве моделирования явлений и процессов, идеях и методах математики;


    • понимание значимости математики для научно-технического прогресса, сформированность отношения к математике как к части общечеловеческой культуры через знакомство с историей развития математики, эволюцией математических идей;


    • развитие логического мышления, пространственного воображения, алгоритмической культуры, критичности мышления на уровне, необходимом для будущей профессиональной деятельности, для продолжения образования и самообразования;


    • овладение математическими знаниями и умениями, необходимыми в повседневной жизни, для освоения смежных естественно-научных дисциплин и дисциплин профессионального цикла, для получения образования в областях, не требующих углубленной математической подготовки;


    • готовность и способность к образованию, в том числе самообразованию, на протяжении всей жизни; сознательное отношение к непрерывному образованию как условию успешной профессиональной и общественной деятельности;

    • готовность и способность к самостоятельной творческой и ответственной деятельности;


    • готовность к коллективной работе, сотрудничеству со сверстниками в образовательной, общественно полезной, учебно-исследовательской, проектной и других видах деятельности;


    • отношение к профессиональной деятельности как возможности участия в решении личных, общественных, государственных, общенациональных проблем;

  • метапредметных:


    • умение самостоятельно определять цели деятельности и составлять планы деятельности; самостоятельно осуществлять, контролировать и корректировать деятельность; использовать все возможные ресурсы для достижения поставленных целей и реализации планов деятельности; выбирать успешные стратегии в различных ситуациях;


    • умение продуктивно общаться и взаимодействовать в процессе совместной деятельности, учитывать позиции других участников деятельности, эффективно разрешать конфликты;


    • владение навыками познавательной, учебно-исследовательской и проектной деятельности, навыками разрешения проблем; способность и готовность к самостоятельному поиску методов решения практических задач, применению различных методов познания;


    • готовность и способность к самостоятельной информационно-познавательной деятельности, включая умение ориентироваться в различных источниках информации, критически оценивать и интерпретировать информацию, получаемую из различных источников;


    • владение языковыми средствами: умение ясно, логично и точно излагать свою точку зрения, использовать адекватные языковые средства;


    • владение навыками познавательной рефлексии как осознания совершаемых действий и мыслительных процессов, их результатов и оснований, границ своего знания и незнания, новых познавательных задач и средств для их достижения;

    • целеустремленность в поисках и принятии решений, сообразительность и интуиция, развитость пространственных представлений; способность воспринимать красоту и гармонию мира;

  • предметных:

    • сформированность представлений о математике как части мировой культуры и месте математики в современной цивилизации, способах описания явлений реального мира на математическом языке;



    • сформированность представлений о математических понятиях как важнейших математических моделях, позволяющих описывать и изучать разные процессы и явления; понимание возможности аксиоматического построения математических теорий;


    • владение методами доказательств и алгоритмов решения, умение их применять, проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач;

    • владение основными понятиями о плоских и пространственных геометрических фигурах, их основных свойствах; сформированность умения распознавать геометрические фигуры на чертежах, моделях и в реальном мире; применение изученных свойств геометрических фигур и формул для решения геометрических задач и задач с практическим содержанием;


    • сформированность представлений о процессах и явлениях, имеющих вероятностный характер, статистических закономерностях в реальном мире, основных понятиях элементарной теории вероятностей; умений находить и оценивать вероятности наступления событий в простейших практических ситуациях и основные характеристики случайных величин;


    • владение стандартными приемами решения рациональных и иррациональных, показательных, степенных, тригонометрических уравнений и неравенств, их систем; использование готовых компьютерных программ, в том числе для поиска пути решения и иллюстрации решения уравнений и неравенств;


    • сформированность представлений об основных понятиях математического анализа и их свойствах, владение умением характеризовать поведение функций, использование полученных знаний для описания и анализа реальных зависимостей;


    • владение навыками использования готовых компьютерных программ при решении задач.











СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ


Введение.

Математика в науке, технике, экономике, информационных технологиях и практической деятельности. Цели и задачи изучения математики при освоении профессий СПО и специальностей СПО.

ГЕОМЕТРИЯ.

1. Прямые и плоскости в пространстве.

1.1 Повторение основных понятий планиметрии:

Прямоугольные треугольники. Теорема Пифагора. Теорема косинусов, синусов.

Правильные многоугольники. Формулы площадей фигур.

1.2 Аксиомы стереометрии:

Основные понятия стереометрии. Аксиомы стереометрии.

Некоторые следствия из аксиом.

1.3 Параллельность и перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве:

Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Параллельность прямой и плоскости. Параллельность плоскостей. Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикуляр и наклонная. Угол между прямой и плоскостью. Двугранный угол. Угол между плоскостями. Перпендикулярность двух плоскостей.

Геометрические преобразования пространства: параллельный перенос, симметрия относительно плоскости. Параллельное проектирование. Площадь ортогональной проекции. Изображение пространственных фигур.

Практические занятия:

  1. Вычисление перпендикуляра и наклонной к плоскости.

Признаки взаимного расположения прямых. Угол между прямыми. Взаимное расположение прямых и плоскостей. Перпендикуляр и наклонная к плоскости. Угол между прямой и плоскостью. Теоремы о взаимном расположении прямой и плоскости. Теорема о трех перпендикулярах.

  1. Вычисление расстояния между прямыми и плоскостями.

Признаки и свойства параллельных и перпендикулярных плоскостей. Расстояние от точки до плоскости, от прямой до плоскости, расстояние между плоскостями, между скрещивающимися прямыми, между произвольными фигурами в пространстве. Параллельное проектирование и его свойства. Теорема о площади ортогональной проекции многоугольника. Взаимное расположение пространственных фигур.

Самостоятельная работа:

  1. Составление опорного конспекта «Четырехугольники».

  2. Составление опорного конспекта «Параллельность прямых и плоскостей».

  3. Составление опорного конспекта «Перпендикулярность прямых, прямой и плоскости».

  4. Решение теста по теме «Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве».

2. Многогранники.

Вершины, ребра, грани многогранника. Развертка. Многогранные углы. Выпуклые многогранники. Теорема Эйлера.

Призма. Прямая и наклонная призма. Правильная призма. Параллелепипед. Куб.

Пирамида. Правильная пирамида. Усеченная пирамида. Тетраэдр. Симметрии в кубе, в параллелепипеде, в призме и пирамиде. Сечения куба, призмы и пирамиды. Представление о правильных многогранниках (тетраэдре, кубе, октаэдре, додекаэдре и икосаэдре).

Практические занятия:

  1. Построение многогранников. Вычисление площадей и объемов многогранников.

Различные виды многогранников. Их изображения. Сечения, развертки многогранников.


Площадь поверхности. Виды симметрий в пространстве. Симметрия тел вращения и многогранников. Вычисление площадей и объемов.

Самостоятельная работа:

  1. Типовой расчет по теме «Прямоугольный параллелепипед».

  2. Типовой расчет по теме «Пирамида».

  3. Решение теста по теме «Многогранники».

3.Тела и поверхности вращения.

Цилиндр и конус. Усеченный конус. Основание, высота, боковая поверхность, образующая, развертка. Осевые сечения и сечения, параллельные основанию.

Шар и сфера, их сечения. Касательная плоскость к сфере.

Самостоятельная работа:

  1. Типовой расчет по теме «Цилиндр».

  2. Типовой расчет по теме «Конус».

  3. Решение теста по теме «Тела вращения».

4. Измерения в геометрии.

Объем и его измерение. Интегральная формула объема. Формулы объема куба, прямоугольного параллелепипеда, призмы, цилиндра. Формулы объема пирамиды и конуса. Формулы площади поверхностей цилиндра и конуса. Формулы объема шара и площади сферы. Подобие тел. Отношения площадей поверхностей и объемов подобных тел.

Самостоятельная работа:

  1. Типовой расчет по теме «Объём прямоугольного параллелепипеда».

  2. Типовой расчет по теме «Объём цилиндра».

  3. Типовой расчет по теме «Объём конуса».

  4. Типовой расчет по теме «Объём сегмента, слоя, сектора шара».

  5. Решение теста по теме «Объёмы тел».

5. Координаты и векторы.

Прямоугольная (декартова) система координат в пространстве. Формула расстояния между двумя точками. Уравнения сферы, плоскости и прямой.

Векторы. Модуль вектора. Равенство векторов. Сложение векторов. Умножение вектора на число. Разложение вектора по направлениям. Угол между двумя векторами. Проекция вектора на ось. Координаты вектора. Скалярное произведение векторов.

Использование координат и векторов при решении математических и прикладных задач.

Практические занятия:

  1. Вычисление координат векторов.

Векторы. Действия с векторами. Декартова система координат в пространстве. Уравнение окружности, сферы, плоскости. Расстояние между точками. Действия с векторами, заданными координатами. Скалярное произведение векторов. Векторное уравнение прямой и плоскости. Использование векторов при доказательстве теорем стереометрии.

Самостоятельная работа:

  1. Типовой расчет по теме «Простейшие задачи в координатах».

  2. Типовой расчет по теме «Скалярное произведение векторов».

  3. Решение теста по теме «Координаты и векторы».

КОМБИНАТОРИКА, СТАТИСТИКА И ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.

6. Элементы комбинаторики.

Основные понятия комбинаторики. Задачи на подсчет числа размещений, перестановок, сочетаний. Решение задач на перебор вариантов. Формула бинома Ньютона. Свойства биноминальных коэффициентов. Треугольник Паскаля.

Практические занятия:

  1. Решение комбинаторных задач.

История развития комбинаторики, теории вероятностей и статистики и их роль в различных сферах человеческой жизнедеятельности. Правила комбинаторики. Решение комбинаторных задач. Размещения, сочетания и перестановки. Бином Ньютона и треугольник Паскаля. Прикладные задачи.

Самостоятельная работа:

  1. Составление опорного конспекта «Основные понятия комбинаторики».

7. Элементы теории вероятностей.

Событие, вероятность события, сложение и умножение вероятностей. Понятие о независимости событий. Дискретная случайная величина, закон ее распределения. Числовые характеристики дискретной случайной величины. Понятие о законе больших чисел.

Практические занятия:

  1. Вычисление вероятностей.

Классическое определение вероятности, свойства вероятностей, теорема о сумме вероятностей. Вычисление вероятностей. Прикладные задачи. Представление числовых данных. Прикладные задачи.

Самостоятельная работа:

  1. Типовой расчет по теме «Элементы комбинаторики и теории вероятностей».

  2. Решение теста по теме «Элементы комбинаторики и теории вероятностей».

8. Элементы математической статистики.

Представление данных (таблицы, диаграммы, графики), генеральная совокупность, выборка, среднее арифметическое, медиана. Понятие о задачах математической статистики. Решение практических задач с применением вероятностных методов.

АЛГЕБРА.

9. Развитие понятия о числе.

9.1 Повторение базисного материала курса основной школы.

Степень числа и ее свойства. Пропорция. Прямая и обратная пропорциональная зависимость величин. Вычисление квадратных корней. Решение задач на проценты. Уравнения. Неравенства. Решение систем уравнений и неравенств.

9.2 Развитие понятия о числе. Целые и рациональные числа. Действительные числа. Приближенные вычисления. Комплексные числа.

Практические занятия:

  1. Вычисление числовых выражений.

Арифметические действия над числами, нахождение приближенных значений величин и погрешностей вычислений (абсолютной и относительной), сравнение числовых выражений.

Самостоятельная работа:

  1. Составление опорного конспекта « Степень числа и ее свойства».

  2. Составление опорного конспекта «Пропорция».

  3. Решение криптограмм по теме «Уравнения».

  4. Типовой расчет по теме «Решение систем уравнений и неравенств».

  5. Составление опорного конспекта «Функция, график и её свойства».

  6. Составление опорного конспекта «Действия над комплексными числами».

10. Основы тригонометрии.

Основные понятия.

Радианная мера угла. Вращательное движение. Синус, косинус, тангенс и котангенс числа.

Основные тригонометрические тождества.

Формулы приведения. Формулы сложения. Формулы удвоения Формулы половинного угла.

Преобразования простейших тригонометрических выражений.

Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение и произведения в сумму. Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента.

Тригонометрические уравнения и неравенства.

Простейшие тригонометрические уравнения. Простейшие тригонометрические неравенства.

Обратные тригонометрические функции. Арксинус, арккосинус, арктангенс.

Практические занятия:

  1. Вычисление углов в радианах.

Радианный метод измерения углов вращения и связь с градусной мерой.

  1. Преобразование тригонометрических выражений.

Основные тригонометрические тождества, формулы сложения, удвоения, преобразование суммы тригонометрических функций в произведение, преобразование произведения тригонометрических функций в сумму.

  1. Решение простейших тригонометрических уравнений и неравенств.

Простейшие тригонометрические уравнения и неравенства.

  1. Вычисление обратных тригонометрических выражений.

Обратные тригонометрические функции: арксинус, арккосинус, арктангенс.

Самостоятельная работа:

  1. Составление опорного конспекта «Синус, косинус, тангенс числового аргумента, их знаки».

  2. Типовой расчет по теме «Формулы сложения».

  3. Типовой расчет по теме «Решение простейших тригонометрических уравнений».

  4. Типовой расчет по теме «Решение тригонометрических уравнений».

  5. Решение теста по теме «Решение тригонометрических неравенств».

11. Корни, степени и логарифмы.

Корни и степени. Корни натуральной степени из числа и их свойства. Степени с рациональными показателями, их свойства. Степени с действительными показателями. Свойства степени с действительным показателем.

Логарифм. Логарифм числа. Основное логарифмическое тождество. Десятичные и натуральные логарифмы. Правила действий с логарифмами. Переход к новому основанию.

Преобразование алгебраических выражений. Преобразование рациональных, иррациональных, степенных, показательных и логарифмических выражений.

Практические занятия:

  1. Вычисление и сравнение корней. Выполнение расчетов с радикалами.

  2. Нахождение значений степеней с рациональными показателями. Сравнение степеней.

  3. Преобразования выражений.

Преобразования выражений, содержащих степени. Решение прикладных задач.

  1. Нахождение значений логарифма.

Нахождение значений логарифма по произвольному основанию. Переход от одного основания к другому.

  1. Вычисление логарифмов.

Вычисление и сравнение логарифмов. Логарифмирование и потенцирование выражений. Приближенные вычисления и решения прикладных задач.

Самостоятельная работа:

  1. Составление опорного конспекта «Понятие о корне n-й степени».

  2. Типовой расчет по теме «Понятие о корне n-й степени».

  3. Решение теста по теме «Степень с рациональным, действительным показателем, ее свойства».

12. Функции, их свойства и графики.

Функции. Область определения и множество значений; график функции, построение графиков функций, заданных различными способами.

Свойства функции. Монотонность, четность, нечетность, ограниченность, периодичность. Промежутки возрастания и убывания, наибольшее и наименьшее значения, точки экстремума. Графическая интерпретация. Примеры функциональных зависимостей в реальных процессах и явлениях. Арифметические операции над функциями. Сложная функция (композиция). Понятие о непрерывности функции.

Обратные функции. Область определения и область значений обратной функции. График обратной функции.

Практические занятия:

  1. Вычисление множества значений функций.

Примеры зависимостей между переменными в реальных процессах из смежных дисциплин. Определение функций.

  1. Построение графиков функций.

Построение и чтение графиков функций. Исследование функции.

  1. Построение графиков по свойствам функций.

Свойства линейной, квадратичной, кусочно-линейной и дробно-линейной функций.

Самостоятельная работа:

  1. Составление опорного конспекта «Область определения и множество значений тригонометрических функций».

  2. Типовой расчет по теме «Область определения и множество значений тригонометрических функций».

  3. Типовой расчет по теме «Экстремумы функции».

  4. Типовой расчет по теме «Нахождения наибольшего и наименьшего значения
    функции ».

13. Степенные, показательные, логарифмические и тригонометрические функции.

Определения функций, их свойства и графики (степенные, показательные, логарифмические и тригонометрические).

Преобразования графиков. Параллельный перенос, симметрия относительно осей координат и симметрия относительно начала координат, симметрия относительно прямой y = x, растяжение и сжатие вдоль осей координат.

Практические занятия:

  1. Построение графиков периодических функций.

Непрерывные и периодические функции. Свойства и графики синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

  1. Построение графиков обратных функций.

Обратные функции и их графики. Обратные тригонометрические функции.

  1. Построение графиков функций с помощью преобразований.

Преобразования графика функции. Гармонические колебания. Прикладные задачи.

  1. Решение уравнений с помощью графиков.

Показательные, логарифмические, тригонометрические уравнения и неравенства.

Самостоятельная работа:

  1. Решение теста по теме «Свойства и график тригонометрических функций».

14. Уравнения и неравенства.

Уравнения и системы уравнений.

Рациональные, иррациональные, показательные и тригонометрические уравнения и системы.

Равносильность уравнений, неравенств, систем.

Основные приемы решения уравнений (разложение на множители, введение новых неизвестных, подстановка, графический метод).

Неравенства.

Рациональные, иррациональные, показательные и тригонометрические неравенства. Основные приемы решения неравенств.

Использование свойств и графиков функций при решении уравнений и неравенств.

Метод интервалов. Изображение на координатной плоскости множества решений уравнений и неравенств с двумя переменными и их систем.

Прикладные задачи.

Применение математических методов для решения содержательных задач из различных областей науки и практики. Интерпретация результата, учет реальных ограничений.

Практические занятия:

  1. Решение иррациональных уравнений.

  2. Решение показательных уравнений.

  3. Решение логарифмических уравнений.

  4. Решение уравнений и их систем.

Корни уравнений. Равносильность уравнений. Преобразование уравнений. Основные приемы решения уравнений. Решение систем уравнений. Использование свойств и графиков функций для решения уравнений и неравенств.

Самостоятельная работа:

  1. Типовой расчет по теме «Иррациональные уравнения».

  2. Типовой расчет по теме «Решение показательных и логарифмических уравнений».

  3. Типовой расчет по теме «Решение логарифмических уравнений и неравенств».

  4. Составление опорного конспекта «Метод интервалов».

  5. Типовой расчет по теме «Метод интервалов». 

  6. Решение теста по теме «Решение показательных и логарифмических неравенств». 

15.НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА.

Последовательности. Способы задания и свойства числовых последовательностей.

Понятие о пределе последовательности. Существование предела монотонной ограниченной последовательности. Суммирование последовательностей. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма.

Производная. Понятие о производной функции, ее геометрический и физический смысл. Уравнение касательной к графику функции. Производные суммы, разности, произведения, частного. Производные основных элементарных функций. Применение производной к исследованию функций и построению графиков. Производные обратной функции и композиции функции.

Примеры использования производной для нахождения наилучшего решения в прикладных задачах. Вторая производная, ее геометрический и физический смысл. Нахождение скорости для процесса, заданного формулой и графиком.

Первообразная и интеграл. Применение определенного интеграла для нахождения площади криволинейной трапеции. Формула Ньютона—Лейбница. Примеры применения интеграла в физике и геометрии.

Практические занятия:

  1. Вычисление членов последовательности.

Числовая последовательность, способы ее задания, вычисления членов последовательности. Предел последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.

  1. Составление уравнения касательной к графику функции.

Производная: механический и геометрический смысл производной. Уравнение касательной в общем виде.

  1. Вычисление производных элементарных функций.

Правила и формулы дифференцирования, таблица производных элементарных функций.

  1. Исследование функции с помощью производной.

Исследование функции с помощью производной. Нахождение наибольшего, наименьшего значения и экстремальных значений функции.

  1. Вычисление площадей с помощью интегралов.

Интеграл и первообразная. Теорема Ньютона—Лейбница. Применение интеграла к вычислению физических величин и площадей.

Самостоятельная работа:

  1. Типовой расчет по теме «Производная».

  2. Составление опорного конспекта «Геометрический смысл производной».

  3. Составление опорного конспекта «Правила дифференцирования».

  4. Типовой расчет по теме «Правила дифференцирования».

  5. Составление опорного конспекта «Первообразная».

  6. Типовой расчет по теме «Правила нахождения первообразных».  

  7. Типовой расчет по теме «Вычисление площадей с помощью интегралов».

  8. Решение теста по теме «Первообразная».

  9. Составление кроссворда по теме «Алгебра и начала анализа».


Примерные темы рефератов (докладов), исследовательских проектов


  • Непрерывные дроби.

  • Применение сложных процентов в экономических расчетах.

  • Параллельное проектирование.

  • Средние значения и их применение в статистике.

  • Векторное задание прямых и плоскостей в пространстве.

  • Сложение гармонических колебаний.

  • Графическое решение уравнений и неравенств.

  • Правильные и полуправильные многогранники.

  • Конические сечения и их применение в технике.

  • Понятие дифференциала и его приложения.

  • Схемы повторных испытаний Бернулли.

  • Исследование уравнений и неравенств с параметром.


ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ


Количество часов на освоение программы учебной дисциплины МАТЕМАТИКА:

максимальная учебная нагрузка (всего) составляет - 341 час;

обязательная аудиторная учебная нагрузка (всего) - 231 час в том числе:

практические занятия - 64 часа;

контрольные работы, зачеты - 33 часа.

Самостоятельная работа (всего) - 110 часов в том числе:

самостоятельная работа над учебным проектом (если предусмотрено) - не предусмотрено.


Тематический план.

36

28

4

8


1.1 Повторение основных понятий планиметрии.


6

0

2

1.2 Аксиомы стереометрии.

2

0

0

1.3 Параллельность и перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве.

20

4


6

2.

Многогранники.

16

10

2

6

3.

Тела и поверхности вращения.

16

10

0

6

4.

Измерения в геометрии.

20

10

0

10

5.

Координаты и векторы.

18

12

2

6


КОМБИНАТОРИКА, СТАТИСТИКА И ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

20

14

4


6

6.

Элементы комбинаторики.

8

6

2

2

7.

Элементы теории вероятностей.

10

6

2

4

8.

Элементы математической статистики.

2

2

0

0


АЛГЕБРА

165

115

42

50

9.

Развитие понятия о числе.

26

14

2

12


9.1 Повторение базисного материала курса основной школы.


8

0


10

9.2 Развитие понятия о числе.

6

2

2

10.

Основы тригонометрии.

33

23

8

10

11.

Корни, степени и логарифмы.

30

24

10

6

12.

Функции, их свойства и графики.

24

16

6

8

13.

Степенные, показательные, логарифмические и тригонометрические функции.

18

16

8

2

14.

Уравнения и неравенства.

34

22

8

12

15.

НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

48

30

10

18

 

Всего:

341

231

64

110

Итоговая аттестация в форме экзамена


ХАРАКТЕРИСТИКА ОСНОВНЫХ ВИДОВ УЧЕБНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ОБУЧАЮЩИХСЯ


Прямые и плоскости в пространстве.

Формулировка и приведение доказательств признаков взаимного расположения прямых и плоскостей. Распознавание на чертежах и моделях различных случаев взаимного расположения прямых и плоскостей, аргументирование своих суждений. Формулирование определений, признаков и свойств параллельных и перпендикулярных плоскостей, двугранных и линейных углов.

Выполнение построения углов между прямыми, прямой и плоскостью, между плоскостями по описанию и распознавание их на моделях.

Применение признаков и свойств расположения прямых и плоскостей при решении задач.

Изображение на рисунках и конструирование на моделях перпендикуляров и наклонных к плоскости, прямых, параллельных плоскостей, углов между прямой и плоскостью и обоснование построения.

Решение задач на вычисление геометрических величин. Описывание расстояния от точки до плоскости, от прямой до плоскости, между плоскостями, между скрещивающимися прямыми, между произвольными фигурами в пространстве.

Формулирование и доказывание основных теорем о расстояниях (теорем существования, свойства).

Изображение на чертежах и моделях расстояния и обоснование своих суждений. Определение и вычисление расстояний в пространстве. Применение формул и теорем планиметрии для решения задач.

Ознакомление с понятием параллельного проектирования и его свойствами. Формулирование теоремы о площади ортогональной проекции многоугольника.

Применение теории для обоснования построений и вычислений.

Аргументирование своих суждений о взаимном расположении пространственных фигур.

Многогранники.

Описание и характеристика различных видов многогранников, перечисление их элементов и свойств.

Изображение многогранников и выполнение построения на изображениях и моделях многогранников.

Вычисление линейных элементов и углов в пространственных конфигурациях, аргументирование своих суждений.

Характеристика и изображение сечения, развертки многогранников, вычисление площадей поверхностей.

Построение простейших сечений куба, призмы, пирамиды. Применение фактов и сведений из планиметрии.

Ознакомление с видами симметрий в пространстве, формулирование определений и свойств. Характеристика симметрии тел вращения и многогранников.

Применение свойств симметрии при решении задач.

Использование приобретенных знаний для исследования и моделирования несложных задач. Изображение основных многогранников и выполнение рисунков по условиям задач.

Тела и поверхности вращения.

Ознакомление с видами тел вращения, формулирование их определений и свойств.

Формулирование теорем о сечении шара плоскостью и плоскости, касательной к сфере.

Характеристика и изображение тел вращения, их развертки, сечения.

Решение задач на построение сечений, вычисление длин, расстояний, углов, площадей. Проведение доказательных рассуждений при решении задач.

Применение свойств симметрии при решении задач на тела вращения, комбинацию тел.

Изображение основных круглых тел и выполнение рисунка по условию задачи.

Измерения в геометрии.

Ознакомление с понятиями площади и объема, аксиомами и свойствами.

Решение задач на вычисление площадей плоских фигур с применением соответствующих формул и фактов из планиметрии.

Изучение теорем о вычислении объемов пространственных тел, решение задач на применение формул вычисления объемов.

Изучение формул для вычисления площадей поверхностей многогранников и тел вращения.

Ознакомление с методом вычисления площади поверхности сферы. Решение задач на вычисление площадей поверхности пространственных тел.

Координаты и векторы.

Ознакомление с понятием вектора. Изучение декартовой системы координат в пространстве, построение по заданным координатам точек и плоскостей, нахождение координат точек.

Нахождение уравнений окружности, сферы, плоскости. Вычисление расстояний между точками.

Изучение свойств векторных величин, правил разложения векторов в трехмерном пространстве, правил нахождения координат вектора в пространстве, правил действий с векторами, заданными координатами.

Применение теории при решении задач на действия с векторами.

Изучение скалярного произведения векторов, векторного уравнения прямой и плоскости. Применение теории при решении задач на действия с векторами, координатный метод, применение векторов для вычисления величин углов и расстояний.

Ознакомление с доказательствами теорем стереометрии о взаимном расположении прямых и плоскостей с использованием векторов.

КОМБИНАТОРИКА, СТАТИСТИКА И ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Элементы комбинаторики.

Изучение правила комбинаторики и применение при решении комбинаторных задач.

Решение комбинаторных задач методом перебора и по правилу умножения.

Ознакомление с понятиями комбинаторики: размещениями, сочетаниями, перестановками и формулами для их вычисления.

Объяснение и применение формул для вычисления размещений, перестановок и сочетаний при решении задач.

Ознакомление с биномом Ньютона и треугольником Паскаля.

Решение практических задач с использованием понятий и правил комбинаторики.

Элементы теории вероятностей.

Изучение классического определения вероятности, свойств вероятности, теоремы о сумме вероятностей.

Рассмотрение примеров вычисления вероятностей. Решение задач на вычисление вероятностей событий.

Элементы математической статистики.

Ознакомление с представлением числовых данных и их характеристиками.

Решение практических задач на обработку числовых данных, вычисление их характеристик.

АЛГЕБРА

Развитие понятия о числе.

Выполнение арифметических действий над числами, сочетая устные и письменные приемы.

Нахождение приближенных значений величин и погрешностей вычислений (абсолютной и относительной); сравнение числовых выражений.

Нахождение ошибок в преобразованиях и вычислениях (относится ко всем пунктам программы).

ОСНОВЫ ТРИГОНОМЕТРИИ

Основные понятия.

Изучение радианного метода измерения углов вращения и их связи с градусной мерой. Изображение углов вращения на окружности, соотнесение величины угла с его расположением.

Формулирование определений тригонометрических функций для углов поворота и острых углов прямоугольного треугольника и объяснение их взаимосвязи.

Основные тригонометрические тождества.

Применение основных тригонометрических тождеств для вычисления значений тригонометрических функций по одной из них.

Преобразования простейших тригонометрических выражений.

Изучение основных формул тригонометрии: формулы сложения, удвоения, преобразования суммы тригонометрических функций в произведение и произведения в сумму и применение при вычислении значения тригонометрического выражения и упрощения его.

Ознакомление со свойствами симметрии точек на единичной окружности и применение их для вывода формул приведения.

Простейшие тригонометрические уравнения и неравенства.

Решение по формулам и тригонометрическому кругу простейших тригонометрических уравнений.

Применение общих методов решения уравнений (приведение к линейному, квадратному, метод разложения на множители, замены переменной) при решении тригонометрических уравнений.

Умение отмечать на круге решения простейших тригонометрических неравенств.

Арксинус, арккосинус, арктангенс числа.

Ознакомление с понятием обратных тригонометрических функций.

Изучение определений арксинуса, арккосинуса, арктангенса числа, формулирование их, изображение на единичной окружности, применение при решении уравнений.

Корни, степени и логарифмы.

Ознакомление с понятием корня n-й степени, свойствами радикалов и правилами сравнения корней.

Формулирование определения корня и свойств корней. Вычисление и сравнение корней, выполнение прикидки значения корня.

Преобразование числовых и буквенных выражений, содержащих радикалы. Выполнение расчетов по формулам, содержащим радикалы, осуществляя необходимые подстановки и преобразования.

Определение равносильности выражений с радикалами. Решение иррациональных уравнений.

Ознакомление с понятием степени с действительным показателем.

Нахождение значений степени, используя при необходимости инструментальные средства.

Записывание корня n-й степени в виде степени с дробным показателем и наоборот.

Формулирование свойств степеней. Вычисление степеней с рациональным показателем, выполнение прикидки значения степени, сравнение степеней.

Преобразование числовых и буквенных выражений, содержащих степени, применяя свойства. Решение показательных уравнений.

Ознакомление с применением корней и степеней при вычислении средних, делении отрезка в «золотом сечении». Решение прикладных задач на сложные проценты.

Преобразование алгебраических выражений.

Выполнение преобразований выражений, применение формул, связанных со свойствами степеней и логарифмов.

Определение области допустимых значений логарифмического выражения.

ФУНКЦИИ, ИХ СВОЙСТВА И ГРАФИКИ

Функции. Понятие о непрерывности функции.

Ознакомление с понятием переменной, примерами зависимостей между переменными.

Ознакомление с понятием графика, определение принадлежности точки графику функции. Определение по формуле простейшей зависимости, вида ее графика. Выражение по формуле одной переменной через другие.

Ознакомление с определением функции, формулирование его.

Нахождение области определения и области значений функции.

Свойства функции. Графическая интерпретация. Примеры функциональных зависимостей в реальных процессах и явлениях.

Ознакомление с примерами функциональных зависимостей в реальных процессах из смежных дисциплин.

Ознакомление с доказательными рассуждениями некоторых свойств линейной и квадратичной функций, проведение исследования линейной, кусочно-линейной, дробно-линейной и квадратичной функций, построение их графиков. Построение и чтение графиков функций. Исследование функции.

Составление видов функций по данному условию, решение задач на экстремум. Выполнение преобразований графика функции.

Обратные функции.

Изучение понятия обратной функции, определение вида и построение графика обратной функции, нахождение ее области определения и области значений. Применение свойств функций при исследовании уравнений и решении задач на экстремум. Ознакомление с понятием сложной функции.

Степенные, показа- тельные, логарифмические и тригонометрические функции. Обратные тригонометрические функции.

Вычисление значений функций по значению аргумента. Определение положения точки на графике по ее координатам и наоборот.

Использование свойств функций для сравнения значений степеней и логарифмов.

Построение графиков степенных и логарифмических функций.

Ознакомление с понятием непрерывной периодической функции, формулирование свойств синуса и косинуса, построение их графиков.

Применение свойств функций для сравнения значений тригонометрических функций, решения тригонометрических уравнений. Построение графиков обратных тригонометрических функций и определение по графикам их свойств. Выполнение преобразования графиков.

УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

Уравнения и системы уравнений Неравенства и системы неравенств с двумя переменными.

Ознакомление с простейшими сведениями о корнях алгебраических уравнений, понятиями исследования уравнений и систем уравнений.

Изучение теории равносильности уравнений и ее применения. Повторение записи решения стандартных уравнений, приемов преобразования уравнений для сведения к стандартному уравнению.

Решение рациональных, иррациональных, показательных и


тригонометрических уравнений и систем. Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств по известным алгоритмам.

Использование свойств и графиков функций для решения уравнений. Повторение основных приемов решения систем.

Решение уравнений с применением всех приемов (разложения на множители, введения новых неизвестных, подстановки, графического метода). Решение систем уравнений с применением различных способов. Ознакомление с общими вопросами решения неравенств и

использование свойств и графиков функций при решении неравенств.

Решение неравенств и систем неравенств с применением различных способов.

Применение математических методов для решения содержательных задач из различных областей науки и практики. Интерпретирование результатов с учетом реальных ограничений.

НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Последовательности.

Ознакомление с понятием числовой последовательности, способами ее задания, вычислениями ее членов.

Ознакомление с понятием предела последовательности. Ознакомление с вычислением суммы бесконечного числового ряда на примере вычисления суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Решение задач на применение формулы суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Производная и ее применение.

Ознакомление с понятием производной. Изучение и формулирование ее механического и геометрического смысла, изучение алгоритма вычисления производной на примере вычисления мгновенной скорости и углового коэффициента касательной.

Составление уравнения касательной в общем виде. Усвоение правил дифференцирования, таблицы производных элементарных функций, применение для дифференцирования функций, составления уравнения касательной. Изучение теорем о связи свойств функции и производной, формулировка их. Проведение с помощью производной исследования функции, заданной формулой.

Установление связи свойств функции и производной по их графикам.

Применение производной для решения задач на нахождение наибольшего, наименьшего значения и на нахождение экстремума.

Первообразная и интеграл.

Ознакомление с понятием интеграла и первообразной. Изучение правила вычисления первообразной и теоремы Ньютона—Лейбница.

Решение задач на связь первообразной и ее производной, вычисление первообразной для данной функции.

Решение задач на применение интеграла для вычисления физических величин и площадей.


















УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ И МАТЕРИАЛЬНО - ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ПРОГРАММЫ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ

Освоение программы учебной дисциплины Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия предполагает наличие в профессиональном образовательном учреждении, реализующем образовательную программу среднего общего образования в пределах освоения ОПОП СПО на базе основного общего образования, учебного кабинета, в котором имеется возможность обеспечить обучающимся свободный доступ в Интернет во время учебного занятия и период внеучебной деятельности.


Помещение кабинета должно удовлетворять требованиям Санитарно-эпидемиологических правил и нормативов (СанПиН 2.4.2 № 178-02) и быть оснащено типовым оборудованием, указанным в настоящих требованиях, в том числе специализированной учебной мебелью и средствами обучения, достаточными для выполнения требований к уровню подготовки обучающихся.


  • кабинете должно быть мультимедийное оборудование, посредством которого участники образовательного процесса могут просматривать визуальную информацию по математике, создавать презентации, видеоматериалы, иные документы.


  • состав учебно-методического и материально-технического обеспечения программы учебной дисциплины Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия входят:


  • многофункциональный комплекс преподавателя;


  • наглядные пособия (комплекты учебных таблиц, плакатов, портретов выдающихся ученых-математиков и др.);

  • информационно-коммуникативные средства;

  • экранно-звуковые пособия;


  • комплект технической документации, в том числе паспорта на средства обучения, инструкции по их использованию и технике безопасности;

  • библиотечный фонд.


  • библиотечный фонд входят учебники, учебно-методические комплекты (УМК), обеспечивающие освоение учебной дисциплины Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия, рекомендованные или допущенные для использования в профессиональном образовательном учреждении, реализующем образовательную программу среднего общего образования в пределах освоения ОПОП СПО на базе основного общего образования.


Библиотечный фонд может быть дополнен энциклопедиями, справочниками, научной, научно-популярной и другой литературой по математике.


В процессе освоения программы учебной дисциплины Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия обучающиеся должны получить возможность доступа к электронным учебным материалам по математике, имеющимся в свободном доступе в сети Интернет (электронным книгам, практикумам, тестам, материалам ЕГЭ и др.).

















ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ОБУЧЕНИЯ

Для обучающихся


Алимов Ш.А. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровни).10—11 классы. — М., 2014.


Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа. Геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни). 10—11

классы. — М., 2014.

Башмаков М.И. Математика: учебник для студ. учреждений сред. проф. образования. —

М., 2014.


Башмаков М.И. Математика. Сборник задач профильной направленности: учеб. пособие для студ. учреждений сред. проф. образования. — М., 2014.


Башмаков М.И. Математика. Задачник: учеб. пособие для студ. учреждений сред. проф. образования. — М., 2014.


Башмаков М.И. Математика. Электронный учеб.-метод. комплекс для студ. учреждений сред. проф. образования. — М., 2015.


Башмаков М.И. Математика (базовый уровень). 10 класс. — М., 2014. Башмаков М.И. Математика (базовый уровень). 11 класс. — М., 2014. Башмаков М.И. Алгебра и начала анализа, геометрия. 10 класс. — М., 2013.

Башмаков М.И. Математика (базовый уровень). 10 класс. Сборник задач: учеб. пособие. — М., 2008.

Башмаков М.И. Математика (базовый уровень). 11 класс. Сборник задач: учеб. пособие. — М., 2012.

Гусев В.А., Григорьев С.Г., Иволгина С.В. Математика для профессий и специальностей социально-экономического профиля: учебник для студ. учреждений сред. проф. образования. — М., 2014.

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федерова Н.Е. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровни). 10 класc / под ред. А.Б.Жижченко. — М., 2014.

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федерова Н.Е. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровни). 11 класс / под ред. А.Б.Жижченко. — М., 2014.

Для преподавателей


Федеральный закон от 29.12.2012 № 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации». Приказ Министерства образования и науки РФ от 17.05.2012 № 413 «Об утверждении федерального государственного образовательного стандарта среднего (полного) общего образования».


Приказ Министерства образования и науки РФ от 29.12.2014 № 1645 «О внесении изменений в Приказ Министерства образования и науки Российской Федерации от 17.05.2012 № 413 «Об утверждении федерального государственного образовательного стандарта среднего (полного) общего образования».


Письмо Департамента государственной политики в сфере подготовки рабочих кадров и ДПО Министерства образования и науки РФ от 17.03.2015 № 06-259 «Рекомендации по организации получения среднего общего образования в пределах освоения образовательных программ среднего профессионального образования на базе основного общего образования с учетом требований федеральных государственных образовательных стандартов и получаемой профессии или специальности среднего профессионального образования».


Башмаков М.И. Математика: кн. для преподавателя: метод. пособие. — М., 2013 Башмаков М.И., Цыганов Ш.И. Методическое пособие для подготовки к ЕГЭ. — М., 2011.

Интернет-ресурсы


www.fcior.edu.ru (Информационные, тренировочные и контрольные материалы). www.school-collection.edu.ru (Единая коллекции цифровых образовательных ресурсов).


Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "УМК по прфессии Повар- кондитер."

Получите профессию

Интернет-маркетолог

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Получите профессию

Интернет-маркетолог

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 662 852 материала в базе

Скачать материал

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

  • Скачать материал
    • 08.06.2016 2222
    • ZIP 20.8 мбайт
    • Оцените материал:
  • Настоящий материал опубликован пользователем Зайцева Светлана Егоровна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

    Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

    Удалить материал
  • Автор материала

    Зайцева Светлана Егоровна
    Зайцева Светлана Егоровна
    • На сайте: 8 лет и 2 месяца
    • Подписчики: 0
    • Всего просмотров: 344124
    • Всего материалов: 170

Ваша скидка на курсы

40%
Скидка для нового слушателя. Войдите на сайт, чтобы применить скидку к любому курсу
Курсы со скидкой

Курс профессиональной переподготовки

Менеджер по туризму

Менеджер по туризму

500/1000 ч.

Подать заявку О курсе

Курс повышения квалификации

Преподавание математики в школе в условиях реализации ФГОС

72/144/180 ч.

от 2200 руб. от 1100 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 79 человек из 34 регионов
  • Этот курс уже прошли 734 человека

Курс повышения квалификации

Методика преподавания математики в среднем профессиональном образовании в условиях реализации ФГОС СПО

36 ч. — 144 ч.

от 1700 руб. от 850 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 68 человек из 37 регионов
  • Этот курс уже прошли 522 человека

Курс профессиональной переподготовки

Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Учитель математики и информатики

500/1000 ч.

от 8900 руб. от 4150 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 681 человек из 79 регионов
  • Этот курс уже прошли 1 808 человек

Мини-курс

Организация и планирование воспитательной работы в СПО

6 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Детско-родительские отношения: эмоциональный аспект

6 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 33 человека из 20 регионов

Мини-курс

Самосовершенствование: шаги к личному росту и эмоциональному благополучию

10 ч.

1180 руб. 590 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 257 человек из 61 региона
  • Этот курс уже прошли 73 человека