Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / УМК по специальности Технология машиностроения.

УМК по специальности Технология машиностроения.


  • Математика

Название документа #U0412#U0421#U0420- #U0422#U0415#U0425#U041c#U0410#U0428,1 #U041a#U0423#U0420#U0421.docx

Поделитесь материалом с коллегами:

Самостоятельная работа № 1

Тема: Составление опорного конспекта «Треугольники».

Цель работы:

  • повторить понятия: треугольники и их виды, признаки равенства треугольников, признаки подобия треугольников, теорема Пифагора, теорема синусов, теорема косинусов, решение треугольников;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

План работы:

  1. Определение треугольника и виды треугольников;

  2. Признаки равенства треугольников, признаки подобия треугольников;

  3. Теорема Пифагора, теорема синусов, теорема косинусов;

  4. Примеры на вычисления по теореме Пифагора, теореме синусов, теореме косинусов;

  5. Решение треугольников;

  6. Примеры на вычисление элементов треугольника;

Методические рекомендации к составлению конспекта:


Конспект– это работа с другим источником.

Цель –зафиксировать ,переработать тот или иной текст.

Конспект представляет собой дословные выписки из текста источника. При этом конспект это не полное переписывание чужого текста. При написании конспекта сначала прочитывается текст –источник, в нем выделяются основные положения , подбираются примеры , идет перекомпоновка материала, а затем уже оформляется текст конспекта. Конспект может быть полным, когда работа идет со всем текстом источника или неполным, когда интерес представляет какой-либо один или несколько вопросов, затронутых в источнике.

Общую последовательность действий при составлении конспекта можно определить таким образом:

1. Уяснить цели и задачи конспектирования.

2.Внимательно прочитать текст параграфа, главы и отметить информационно значимые места.

3. Составить конспект.

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : содержание соответствует теме, материал проработан глубоко, грамотно и полно использованы источники, приведены сложные примеры;

Оценка «4» выставляется , если : материал проработан не глубоко, использованы не все источники, приведены сложные примеры ;

Оценка «3» выставляется, если : материал проработан не полностью, приведены примеры.


Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.











Самостоятельная работа № 2

Тема: Типовой расчет по теме «Решение треугольников».

Цель работы:

  • повторить теорему Пифагора, теорему синусов, теорему косинусов, решение треугольников;

  • развитие умений и навыков работы с таблицами Брадиса,

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал:

  1. использовать материал : Самостоятельная работа № 1,

  2. использовать формулы:

а2+b2 = с2 , а2 = с2b2 , b 2 = с2а2,

, а = , b = , с = ,

с2 = а2 + b2 – 2 а b cos C , а2 = b2 + с2 -2 b с cos А, b2 = а2 + с2 – 2ас cos В,

cos А = (b2 + с2 а2) : (2 b с), cos В = (а2 + с2b2) : (2ас), cos C = (а2 + b2 –с2) : (2 а b),

А+ В + С = 180°.

Решение типовых заданий:

Пример 1. а = 5, b = 12, найти с. Решение: с2 = а2+b2 = 52 + 122= 25 + 144=169, с = 13; Ответ: 13.

Пример 2. с = 41, а = 40, найти b. Решение: b 2 = с2 - а2 = 412-402=1681-1600 = 81, b = 9; Ответ: 9.

Пример 3. а = 10, b = , найти с. Решение: с2 = а2+b2 = 102 + 2 = 100 + 44 = 144,с = 12; Ответ: 12.

Пример 4. а = 10, b = 10, с = 12, найти h1, h2, h3.

Решение: p = (а + b + с) : 2 = (10 + 10 + 12) : 2 = 16, S = =

= = = 642 = 48,

h1 = 2S : a = 2 48: 10 = 9,6, h2 = 2S : b = 2 48:10 = 9,6, h3 = 2S : с = 2 48 : 12 = 8; Ответ: 8.

Пример 5. а = 12, b = 18, С = 50°, найти с, А, В.

Решение: с2 = а2 + b2 – 2 а b cos C = 122 +182 -2 12 18 cos 50° = = 144 + 324 - 2 12 18 0,6428 = 144 +3 24 – 278 = 190, с ≈ 14,

cos А = (b2 + с2 а2) : (2 b с) = (182 + 142 – 122) : (21814) = 0,7460, А = 41°45 / ,

В = 180° – (50° + 41°45 /) = 180° – 91°45 / = 89° - 45 / = 88°15 /; Ответ: 14, 41°45 / , 88°15 / .



Пример 6. а =24,6, В = 45°,С = 70°, найти А, b, с.

Решение: А = 180° – (45° + 70°) = 65°,

b = = 24,6 = 24,6 = 19,2;

с = = 24,6 = 24,6 = 25,6; Ответ: 65°,19,2; 25,6 .

Пример 7. а = 14, b = 18, с = 20, найти А, В, С .

Решение: cos А = (b2 + с2 а2) : (2 b с) = (182 + 202 142) : (2 18 20) = 0,7333;

А = 42°50 / ≈ 43°, cos В = (а2 + с2b2) : (2ас) = (142 + 202 – 182) : (21420) = 0,4857;

В = 60°56 / ≈ 61°, С = 180° – (43° + 61°) = 76°; Ответ: 43°,61°,76°.

Задание:

а = 10, b = 10, с = 16,

найти h1, h2, h3.

а = 20, b = 20, с = 32,

найти h1, h2, h3.

а = 6, b = 8, с = 10,

найти h1, h2, h3.

4.

а = 6,3, b = 6,3, <С = 54°, найти с, А, В.

а = 10, b = 7, <С = 60°, найти с, А, В.

а = 16, b = 10, <С = 80°, найти с, А, В.

5.

а =14, <В = 40°,<С = 60°, найти А, b, с.

а =4,5, <В = 30°,<С = 75°, найтиА, b, с.

а =32, <В = 45°,<С = 87°, найти А, b, с.

6.

а = 6, b = 7,3, с = 4,8, найти А, В, С .

а = 7, b = 9, с = 10, найти А, В, С .

а = 12, b = 14,6, с = 9,6, найтиА, В, С .



Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-6,

Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-4,

Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3.

Требования к оформлению самостоятельной работы:

Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.







Самостоятельная работа № 3


Тема: Составление опорного конспекта «Четырехугольники».

Цель работы:

  • повторить понятия: параллелограмм, прямоугольник, ромб, трапеция, квадрат, их свойства;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

План работы:

  1. Определение параллелограмма, изображение параллелограмма и его свойства;

  2. Определение прямоугольника, изображение прямоугольника и его свойства;

  3. Определение ромба, изображение ромба и его свойства;

  4. Определение трапеции, изображение трапеции и ее свойства;

  5. Определение квадрата, изображение квадрата и его свойства;

  6. Формулы для вычисления площади четырехугольников;

Методические рекомендации к составлению конспекта:


Конспект– это работа с другим источником.

Цель –зафиксировать ,переработать тот или иной текст.

Конспект представляет собой дословные выписки из текста источника. При этом конспект это не полное переписывание чужого текста. При написании конспекта сначала прочитывается текст –источник, в нем выделяются основные положения , подбираются примеры , идет перекомпоновка материала, а затем уже оформляется текст конспекта. Конспект может быть полным, когда работа идет со всем текстом источника или неполным, когда интерес представляет какой-либо один или несколько вопросов, затронутых в источнике.

Общую последовательность действий при составлении конспекта можно определить таким образом:

1. Уяснить цели и задачи конспектирования.

2.Внимательно прочитать текст параграфа, главы и отметить информационно значимые места.

3. Составить конспект.

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : содержание соответствует теме, материал проработан глубоко, грамотно и полно использованы источники, приведены сложные примеры;

Оценка «4» выставляется , если : материал проработан не глубоко, использованы не все источники, приведены сложные примеры ;

Оценка «3» выставляется, если : материал проработан не полностью, приведены примеры.


Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.












Самостоятельная работа № 4

Тема: Решение теста по теме «Планиметрия».

Цель работы: повторить, закрепить основные понятия планиметрии.

Методические рекомендации к выполнению теста: Решив задачу, нужно выбрать правильный ответ и записать номер, под которым он записан.

Задание:

hello_html_6a76ff4a.pnghello_html_5f7da47a.png

hello_html_49969193.png

hello_html_d25e025.png

hello_html_340838f4.pnghello_html_m1cf7c3c4.png

hello_html_5b10e420.pnghello_html_7b6af9ff.png



hello_html_m7fb89045.png

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-18,с записью решения, даже с недочетами.

Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-15, с записью решения,даже с недочетами.

Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-10.

Требования к оформлению самостоятельной работы:

Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.






Самостоятельная работа № 5

Тема: Составление опорного конспекта «Параллельность прямых и плоскостей».

Цель работы:

  • повторить понятия: параллельные прямые, параллельность прямой и плоскости, параллельные плоскости, их свойства;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

План работы:

  1. Определение параллельных прямых и их свойства( теоремы и лемма);

  2. Взаимное расположение прямой и плоскости(определение и чертежи);

  3. Определение параллельности прямой и плоскости, их свойства;

  4. Взаимное расположение прямых (определение и чертежи);

  5. Определение параллельности плоскостей, их свойства;

Методические рекомендации к составлению конспекта:


Конспект– это работа с другим источником.

Цель –зафиксировать ,переработать тот или иной текст.

Конспект представляет собой дословные выписки из текста источника. При этом конспект это не полное переписывание чужого текста. При написании конспекта сначала прочитывается текст –источник, в нем выделяются основные положения , подбираются примеры , идет перекомпоновка материала, а затем уже оформляется текст конспекта. Конспект может быть полным, когда работа идет со всем текстом источника или неполным, когда интерес представляет какой-либо один или несколько вопросов, затронутых в источнике.

Общую последовательность действий при составлении конспекта можно определить таким образом:

1. Уяснить цели и задачи конспектирования.

2.Внимательно прочитать текст параграфа, главы и отметить информационно значимые места.

3. Составить конспект.

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : содержание соответствует теме, материал проработан глубоко, грамотно и полно использованы источники, приведены сложные примеры;

Оценка «4» выставляется , если : материал проработан не глубоко, использованы не все источники, приведены сложные примеры ;

Оценка «3» выставляется, если : материал проработан не полностью, приведены примеры.


Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.












Самостоятельная работа № 6

Тема: Типовой расчет по теме «Параллельность плоскостей».

Цель работы:

  • повторить, закрепить основные понятия по теме «Параллельность плоскостей».

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал: Л.С. Атанасян. Геометрия 10-11 класс, глава 1.

Решение типовых заданий:

Пример 1. Два отрезка длин а и b упираются концами в две параллельные плоскости. Проекция первого отрезка (длины а) на плоскость равна с. Найдите проекцию второго отрезка, если а = 17 , b = 10, с = 15 см.

Дано: α || β, а = 17 , b = 10, с = 15 см

Найти: х

Решение: а2 – с2 = b2 – х2, х2 = b2а2 + с2 , х2 = 102 – 172 + 152 =

= 100 – 289 + 225 = 36, х = 6 см. Ответ: х = 6 см.


Пример 2. Две параллельные плоскости расстояние между

которыми 2 дм, пересечены прямой, составляющей с каждой из

плоскости угол в 300. Найти длину отрезка этой прямой, заключенной

между плоскостями.

Дано: α || β, АВα = А, АВβ = В, АВС = 30°, АС = 2 дм.

Найти: АВ

Решение: Δ АСВ – прямоугольный, АВС = 30°, АС = 2 дм.

АВ = 2 АС = 2 2 = 4 дм. Ответ: АB = 4 дм.


Пример 3. Расстояние между параллельными плоскостями равно 8 см. Отрезок прямой длина которого 17 см расположен между ними так, что его конец принадлежит плоскости. Найти проекцию этого отрезка на другую плоскость.

Дано: α || β, АВα = А, АВβ = В, АВ = 17 см, АС = 8 см.

Найти: ВС

Решение: Δ АСВ – прямоугольный, ВС2 = АВ2 – АС2 = 172 – 82 = 289 – 64 = 225, ВС = 15 см.

Ответ: BС = 15 см.

Пример 4. На параллельных плоскостях α и β, выбрано по паре точек А12 и В12 соответственно так, что прямые А1В1 и А2В2 пересекаются в точке S Вычислите SА1 и SВ2, если А1В1= 6см; SА2 = 2,5см; SВ2 : SА2 = 3 : 1 . S

Дано: α || β, А1 А2В1 В2 = S, А1, А2 α, В12 β,

А1В1= 6см; SА2 = 2,5см; SВ2 : SА2 = 3 : 1

Найти: 1, SВ2

Решение: Δ SА1 А2 ~ Δ SВ1В2 , (α || β), SВ2 : SА2 = 3 : 1, SА2 = 2,5см,

2 = 3 2,5 = 7,5 см. 1 : SА1 = 3 : 1, А1В1= 6см, SА1 = х ,

( х + 6 ) : х = 3 : 1, 3х = х + 6 , 2х = 6, х = 3, SА1 = 3 см.

Ответ:1 = 3 см, SВ2 = 7,5 см .





Пример 5.hello_html_m40fa69e3.jpg

Дано: α || β, а α, b β, а || b, с - секущая, 1 = 150°,

Найти: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

Решение: 3 = 1 = 150°(верт.), 3 = 5 = 150°(н.леж.),

5 = 7 = 150°(верт.), 1 + 2 = 180°(смежные),

2 = 180° - 1 = 180° - 150° = 30°,

2 = 4 = 30°(верт.), 4 = 6 = 30°(н.леж.), 6 = 8 = 30°(верт.).

Ответ: 3 = 5 = 7 = 150°, 2 = 4 = 6 = 8 = 30°.

Задание:

1 вариант.

  1. Два отрезка длин а и b упираются концами в две параллельные плоскости. Проекция первого отрезка (длины а) на плоскость равна с. Найдите проекцию второго отрезка, если а = 13 , b = 15, с = 5 см.

  2. Две параллельные плоскости расстояние между которыми 6 дм, пересечены прямой, составляющей с каждой из плоскости угол в 300. Найти длину отрезка этой прямой, заключенной между плоскостями.

  3. Расстояние между параллельными плоскостями равно 10 см. Отрезок прямой длина которого 26 см расположен между ними так, что его конец принадлежит плоскости. Найти проекцию этого отрезка на другую плоскость.

  4. На параллельных плоскостях α и β, выбрано по паре точек А12 и В12 соответственно так, что прямые А1В1 и А2В2 пересекаются в точке S Вычислите SА1 и SВ2, если А1В1= 12см; SА2 = 4,5см; SВ2 : SА2 = 3 : 1.

  5. Дано: α || β, а α, b β, а || b, с - секущая, 1 = 140°,

Найти: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

2 вариант.

  1. Два отрезка длин а и b упираются концами в две параллельные плоскости. Проекция первого отрезка (длины а) на плоскость равна с. Найдите проекцию второго отрезка, если а = 25 , b = 17, с = 20 см.

  2. Две параллельные плоскости расстояние между которыми 8 дм, пересечены прямой, составляющей с каждой из плоскости угол в 300. Найти длину отрезка этой прямой, заключенной между плоскостями.

  3. Расстояние между параллельными плоскостями равно 9 см. Отрезок прямой длина которого 15 см расположен между ними так, что его конец принадлежит плоскости. Найти проекцию этого отрезка на другую плоскость.

  4. На параллельных плоскостях α и β, выбрано по паре точек А12 и В12 соответственно так, что прямые А1В1 и А2В2 пересекаются в точке S Вычислите SА1 и SВ2, если А1В1= 18см; SА2 = 6,5см; SВ2 : SА2 = 3 : 1.

  5. Дано: α || β, а α, b β, а || b, с - секущая, 1 = 110°,

Найти: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-5,

Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-4,

Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3.

Требования к оформлению самостоятельной работы:

Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.

Самостоятельная работа № 7

Тема: Типовой расчет по теме «Параллельность прямых и плоскостей».

Цель работы:

  • повторить, закрепить основные понятия по теме «Параллельность прямых и плоскостей»,

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал: Л.С. Атанасян. Геометрия 10-11 класс, глава 1.

Решение типовых заданий:

Пример 1. Через основание AD трапеции ABCD проведена плоскость α. ВС α. Докажите, что прямая, проходящая через середины сторон АВ и CD, параллельна плоскости α. рис. 1

hello_html_m20ed3981.jpg

Дано: ABCD - трапеция; AD α, СВ α; АК = КВ, CN = ND (рис.1).

Доказать: KN || α.

Доказательство:1. KN - средняя линия трапеции, значит KN || AD.

2. KN || AD , AD α, KN || α (по теореме о параллельности прямой и плоскости).

Пример 2. Дан ΔВСЕ. Плоскость, параллельная прямой СЕ, пересекает BE в точке Е1,а ВС - в точке С1. Найдите ВС1, если С1Е1 : СЕ = 3 : 8, ВС = 28 см.

Дано: ΔВСЕ, α || СЕ , BE ∩ α = Е1, ВС∩ α = С1, С1Е1 : СЕ = 3 : 8, ВС = 28 см  (рис. 2).

Найти: ВС1. 

Решение:1. С1Е1 α, СЕ || αС1Е1||СЕ.hello_html_6b28556a.jpg

2. ΔВС1Е1 ~ ΔВСЕ (по двум углам);

 см.

Ответ: 10,5 см.

Пример 3. Дано: А, В, С, D; В (ACD). Е, F, М, К- середины сторон АВ, ВС, CD, AD; AC = 6 см, BD = 8 см (рис. 3). hello_html_m1a1d6694.jpg

Доказать: EFMK - параллелограмм. Найти: P(EFMK).   рис.3

Решение: 1) Δ АВС, АЕ = ЕВ, ВF = FС EF - средняя линия,

EF || АС, EF =1/2 АС,

2) Δ АСD, АK = KD, СM = MD КМ  - средняя линия, МК || АС, КМ = 1/2АС. EF || AC (значит EF || (ACD)), АС || КМ EF || КМ

по теореме о параллельности прямой и плоскости.

3) Аналогично ЕК || FM.

4) EFMK - параллелограмм, то есть EF || КМ, ЕК || FM.

5) Учитывая свойства параллелограмма EF = KM, ЕK = FM Р(EFMK) = 2(EF + ЕK).

рис. 4

  1. Из п. 1 и 2 следует, что KM = EF = 1/2АС, EF =1/2 6 = 6 : 2 = 3,

  2. ЕK = FM = 1/2 ВD, ЕK = 1/2 8 = 8 : 2 = 4, hello_html_m4507016a.jpg

  3. Р(EFMK) = 2(EF + ЕK) = 2 (4 + 3) = 14 см.

Ответ: 14 см.

Пример 4. Дано: ΔАВК, М (АВК); E.D- точки пересечения медиан

ΔМВК и ΔАВМ; АК = 14 см (рис. 4).

Доказать: ADEK - трапеция. Найти: DE

Решение:

1) Δ АВK, KO = OВ, ВN = NА ON - средняя линия ON || AK, ON = 1/2AK.

2) Рассмотрим (MNO). ΔMON (MNO). Точки Е и  D - точки пересечения медиан:

по свойству медиан ,

3) ΔMED ~ ΔMON, M – общий, ,  значит, MED = МОN, то есть ED || ON.

4) ON (АВK) , ED || ON ED || (АВK) ,(по теореме о параллельности прямой и плоскости).

5) Из п. 1,3 ON || АK, ON || ED АK || ED по признаку, значит, KEDA – трапеция, ED и AK - основания.

6) ON = 1/2AK = 1/2 14 = 14 : 2 = 7 см.(из п. 1),

7) Рассмотрим ΔMED и ΔMON, ΔMED ~ ΔMON (из п. 3), значит,

 Ответ:.

Пример 5. Дано: AC || BD, AC ∩ α = A; BD ∩ α = B. AC = 8 cm, BD = 6 см, AB = 4 см (рис. 5). Доказать: CD ∩ α = E.Найти: BE. hello_html_4fbb0191.jpg

Решение: 1) Проведем плоскость (ACDB), если CD || АВ, то ACDB - параллелограмм, то есть АС = BD, но это противоречит условию, значит, CDAB = Е.

  1. Рассмотрим ΔАСЕ и ΔBDE. CAE = DBE, АСЕ = BDE - как соответственные при параллельных прямых, значит, ΔEDB ~ ΔЕСА (по 3 углам) следовательно,

= , то есть ,  BE = 12 (см).

Ответ: BE = 12 см. рис. 6

Задание:hello_html_m41773e40.jpg

1 вариант.

  1. Дано: ABCD - трапеция; AD α, АЕ = ЕВ, CF = FD (рис. 6). Доказать: EF || α.  

  2. Дан ΔВСЕ. Плоскость, параллельная прямой СЕ, пересекает BE в точке Е1, а ВС - в точке С1. Найдите ВС1, если С1Е1 : СЕ = 3 : 7, ВС = 21 см.

  3. Дано: А, В, С, D; В (ACD). Е, F, М, К- середины сторон АВ, ВС, CD, AD; AC = 10 см, BD = 16 см. Доказать: EFMK - параллелограмм. Найти: P(EFMK).  

  4. Дано: ΔАВК, М (АВК); E.D- точки пересечения медиан ΔМВК и ΔАВМ; АК = 18 см.

Доказать: ADEK - трапеция. Найти: DE

  1. Дано: AC || BD, AC ∩ α = A; BD ∩ α = B. AC = 10 см, BD = 8 см, AB = 2 см.

Доказать: CD ∩ α = E.Найти: BE

2 вариант.

  1. Дано: ΔABC, AC α, AD = DB, BE = EC. Доказать: DE || α. (рис. 7) рис. 7  hello_html_m7f9b8754.jpg

  2. Дан ΔВСЕ. Плоскость, параллельная прямой СЕ, пересекает BE в точке Е1, а ВС - в точке С1. Найдите ВС1, если С1Е1 : СЕ = 3 : 5, ВС = 30 см.

  3. Дано: А, В, С, D; В (ACD). Е, F, М, К- середины сторон АВ, ВС, CD, AD; AC = 8 см, BD = 14 см. Доказать: EFMK - параллелограмм. Найти: P(EFMK).  

  4. Дано: ΔАВК, М (АВК); E.D- точки пересечения медиан ΔМВК и ΔАВМ; АК = 24 см.

Доказать: ADEK - трапеция. Найти: DE

  1. Дано: AC || BD, AC ∩ α = A; BD ∩ α = B. AC = 12 см, BD = 10 см, AB = 3 см.

Доказать: CD ∩ α = E.Найти: BE

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-5,

Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-4,

Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3.

Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.

Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.


Самостоятельная работа №8

Тема: Составление опорного конспекта «Перпендикулярность прямых, прямой и плоскости». 

Цель работы:

  • повторить понятия: перпендикулярность прямых, перпендикулярность прямой и плоскости, их свойства;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

План работы:

  1. Определение перпендикулярных прямых, их свойства;

  2. Определение перпендикулярности прямой и плоскости, их свойства(теоремы, чертежи, признак);

  3. Перпендикуляр и наклонные( определение и чертежи ) ;

  4. Теорема о 3 перпендикулярах;

Методические рекомендации к составлению конспекта:


Конспект– это работа с другим источником.

Цель –зафиксировать ,переработать тот или иной текст.

Конспект представляет собой дословные выписки из текста источника. При этом конспект это не полное переписывание чужого текста. При написании конспекта сначала прочитывается текст –источник, в нем выделяются основные положения , подбираются примеры , идет перекомпоновка материала, а затем уже оформляется текст конспекта. Конспект может быть полным, когда работа идет со всем текстом источника или неполным, когда интерес представляет какой-либо один или несколько вопросов, затронутых в источнике.

Общую последовательность действий при составлении конспекта можно определить таким образом:

1. Уяснить цели и задачи конспектирования.

2.Внимательно прочитать текст параграфа, главы и отметить информационно значимые места.

3. Составить конспект.

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : содержание соответствует теме, материал проработан глубоко, грамотно и полно использованы источники, приведены сложные примеры;

Оценка «4» выставляется , если : материал проработан не глубоко, использованы не все источники, приведены сложные примеры ;

Оценка «3» выставляется, если : материал проработан не полностью, приведены примеры.


Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.












Самостоятельная работа № 9

Тема: Типовой расчет по теме «Перпендикуляр и наклонная».

Цель работы: повторить, закрепить основные понятия:

  • перпендикуляра и наклонной, проведенных из точки к плоскости, проекции наклонной на плоскость;

  • расстояния от точки до плоскости;

  • проекции точки и произвольной фигуры на данную плоскость;

  • угла между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярную к ней;

Основной теоретический материал: Л.С. Атанасян. Геометрия 10-11 класс, глава 2.

(рис.1)

АС - перпендикуляр, АВ - наклонная, СВ – проекция наклонной, АВ2 = ВС2 + АС2.

φ - угол между наклонной и плоскостью α.




Рис.1 рис.2

Решение типовых заданий:

Пример 1. Из точки, не принадлежащей данной плоскости , проведены к ней две наклонные, равные 10см и 18см. Сумма длин их проекций на плоскость равна 16см. Найти проекцию каждой наклонной.(рис.2)

Дано: ОС - перпендикуляр, АС и ВС - наклонные, АО и ОВ – их проекции,

АС = 10 см, СВ = 18 см, АО + ОВ = 16 см,

Найти: АО, ОВ

Решение: АС = 10, СВ = 18, АО + ОВ = 16, АО = х, ОВ = 16 – х,

АС2 – АО2 = ВС2 – ОВ2 , 102–х2 = 182 – (16 – х)2, 100 – х2 = 324 – 256 + 32 х – х2 ,

32 х = 32, х = 1, АО = 1, ОВ = 16 – 1 = 15.

Ответ: 1 и 15 см.

Пример 2. Из точки к плоскости проведены две наклонные. Одна из них длиной 12см наклонена к плоскости под углом 60°, проекция другой на эту плоскость равна 6 см.

Найти длину этой наклонной.

Дано: ОС - перпендикуляр, АС и ВС - наклонные, АО и ОВ – их проекции,

СА = 12 см , САО = 60°, ОВ = 6 см ,

Найти: СВ

Решение: Δ АОС- прямоугольный, АСО = 90 °–60 ° = 30°, АО = СА : 2 = 12: 2 = 6,

СО2 = СА2 –АО2 = 122 – 62 = 144 – 36 = 108,

СВ2 = СО2 + ОВ2 = 108 + (6 )2 = 108 + 36 6 = 108 + 216 = 324, СВ = 18 см

Ответ: 18 см.


Пример 3. Из точки С к данной плоскости проведены перпендикуляр СО = 6см и две наклонные. Каждая из наклонных образует с плоскостью угол 60°. Угол между наклонными 120°. Найти расстояние между основаниями наклонных.

Дано: ОС - перпендикуляр, АС и ВС - наклонные, АО и ОВ – их проекции,

СО = 6см, САО = СВО = 60°, АСВ = 120°,

Найти: АВ

Решение: sin САО = СО : АС, АС = ВС = СО : sin САО = 6: sin60 ° = 6 : = 12 : = 4 ,

Δ АВС – равнобедренный, АВ2 = АС2 + ВС2 – 2АС ВС cos АСВ =

= (4)2 + (4)2 – 24 cos 120° = 16 3 + 16 3 – 216 3( – ) = 48 + 48 + 48 = 144,

АВ = 12 см.

Ответ: АВ = 12 см.

Пример 4. Из точки С к данной плоскости проведены перпендикуляр СО и две наклонные СВ и АС. ОВ= 4,САО = 30°, СВО = 60°, а угол между наклонными 90°. Найти расстояние между основаниями наклонных.

Дано: ОС - перпендикуляр, АС и ВС - наклонные, АО и ОВ – их проекции,

ОВ= 4,САО = 30°, СВО = 60°, АСВ = 90°,

Найти: АВ

Решение: ΔСОВ – прямоугольный, СВО = 60°, ОСВ = 90 ° – 60 ° = 30 °,

ВС= 2 ОВ = 24 = 8, СО2 = ВС2 – ОВ2 = 82 – 42 = 64 – 16 = 48, СО = = 4,

АС = 2 СО = 24 = 8 , АСВ - прямоугольный, АВ2 = АС2 + ВС2 = (8)2 + 82 =

= 64 3 + 64 = 256, АВ = 16 см.

Ответ: АВ = 16 см.

Пример 5. Диагонали квадрата АВСD пересекаются в точке О. Из точки О проведён к плоскости квадрата перпендикуляр ОМ. Найти расстояние от точки М до стороны ВС, если AD = 6см, ОМ = 4см. (рис.3)

Дано: АВСD - квадрат, ОМ - перпендикуляр, О - точка пересечения диагоналей квадрата,

МК - расстояние от точки М до стороны ВС, AD = 6см, ОМ = 4см.

Найти: МК

Решение: ОК = АВ : 2 = AD : 2 = 6 : 2 = 3, МОК - прямоугольный,

МК2 = ОМ2 + ОК2 = 42 + 32 = 16 + 9 = 25, МК = 5.

Ответ: МК = 5 см.

Рис.3








А В









Задание: Задачи № 1-4 по рис.2., задача № 5 по рис.3.

1 вариант.

  1. Из точки, не принадлежащей данной плоскости , проведены к ней две наклонные, равные 20 см и 36 см. Сумма длин их проекций на плоскость равна 32 см. Найти проекцию каждой наклонной.

  2. Из точки к плоскости проведены две наклонные. Одна из них длиной 24 см наклонена к плоскости под углом 60°, проекция другой на эту плоскость равна 12 см. Найти длину этой наклонной.

  3. Из точки С к данной плоскости проведены перпендикуляр СО = 12 см и две наклонные. Каждая из наклонных образует с плоскостью угол 60°. Угол между наклонными 120°. Найти расстояние между основаниями наклонных.

  4. Из точки С к данной плоскости проведены перпендикуляр СО и две наклонные СВ и АС. ОВ= 8,САО = 30°, СВО = 60°, а угол между наклонными 90°. Найти расстояние между основаниями наклонных.

  5. Диагонали квадрата АВСD пересекаются в точке О. Из точки О проведён к плоскости квадрата перпендикуляр ОМ. Найти расстояние от точки М до стороны ВС, если AD = 12 см, ОМ = 8 см.

2 вариант.

  1. Из точки, не принадлежащей данной плоскости , проведены к ней две наклонные, равные 5см и 9см. Сумма длин их проекций на плоскость равна 8 см. Найти проекцию каждой наклонной.

  2. Из точки к плоскости проведены две наклонные. Одна из них длиной 6 см наклонена к плоскости под углом 60°, проекция другой на эту плоскость равна 3 см. Найти длину этой наклонной.

  3. Из точки С к данной плоскости проведены перпендикуляр СО = 3см и две наклонные. Каждая из наклонных образует с плоскостью угол 60°. Угол между наклонными 120°. Найти расстояние между основаниями наклонных.

  4. Из точки С к данной плоскости проведены перпендикуляр СО и две наклонные СВ и АС. ОВ= 12,САО = 30°, СВО = 60°, а угол между наклонными 90°. Найти расстояние между основаниями наклонных.

  5. Диагонали квадрата АВСD пересекаются в точке О. Из точки О проведён к плоскости квадрата перпендикуляр ОМ. Найти расстояние от точки М до стороны ВС, если AD = 10 см, ОМ = 12 см.

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-5,

Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-4,

Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3.

Требования к оформлению самостоятельной работы:

Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.

Самостоятельная работа № 10

Тема: Составление опорного конспекта «Перпендикулярность плоскостей».

Цель работы:

  • закрепить понятия: перпендикулярность прямых, перпендикулярность прямой и плоскости, перпендикуляр и наклонная, теорема о 3-х перпендикулярах, перпендикулярность плоскостей, их свойства ;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

План работы:

  1. Двугранный угол, линейные углы двугранного угла, их виды ,свойство (определение и чертежи);

  2. Определение перпендикулярных плоскостей;

  3. Перпендикулярность плоскостей: изображение и свойства;

  4. Примеры на вычисление линейного угла двугранного угла.

Методические рекомендации к составлению конспекта:


Конспект– это работа с другим источником.

Цель –зафиксировать ,переработать тот или иной текст.

Конспект представляет собой дословные выписки из текста источника. При этом конспект это не полное переписывание чужого текста. При написании конспекта сначала прочитывается текст –источник, в нем выделяются основные положения , подбираются примеры , идет перекомпоновка материала, а затем уже оформляется текст конспекта. Конспект может быть полным, когда работа идет со всем текстом источника или неполным, когда интерес представляет какой-либо один или несколько вопросов, затронутых в источнике.

Общую последовательность действий при составлении конспекта можно определить таким образом:

1. Уяснить цели и задачи конспектирования.

2.Внимательно прочитать текст параграфа, главы и отметить информационно значимые места.

3. Составить конспект.

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : содержание соответствует теме, материал проработан глубоко, грамотно и полно использованы источники, приведены сложные примеры;

Оценка «4» выставляется , если : материал проработан не глубоко, использованы не все источники, приведены сложные примеры ;

Оценка «3» выставляется, если : материал проработан не полностью, приведены примеры.


Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.










Самостоятельная работа № 11

Тема: Решение теста по теме «Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве». 

Цель работы: повторить, закрепить основные понятия по теме «Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве».

Методические рекомендации к выполнению теста:

Прочитать вопрос, ответить на его и записать букву , под которой записан правильный ответ.

Задание: тест по теме «Перпендикулярность прямых и плоскостей».

1.Если угол между двумя прямыми равен 90°, то эти прямые: а) пересекаются, б) параллельны, в) скрещиваются, г) перпендикулярны, д) совпадают. 2. Какое из следующих утверждений неверно: а) если прямая перпендикулярна к двум прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна и к этой плоскости, б) если прямая перпендикулярна к плоскости, то она ее пересекает, в) если две плоскости перпендикулярны к прямой, то они параллельны, г) если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны, д) если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости. 3.Если одна из двух скрещивающихся прямых перпендикулярна к плоскости, то будет ли перпендикулярна к этой плоскости вторая прямая? а) да, б) да, но при определенных условиях, в) определить нельзя, г) нет, д) другой ответ. 4. Прямая а перпендикулярна к прямым с и в, лежащим в плоскости hello_html_6f92222e.gif, прямая а перпендикулярна к плоскости hello_html_6f92222e.gif. Каково взаимное расположение прямых с и в? а) параллельны, б) пересекаются, в) параллельны или пересекаются, г) совпадают, д)определить нельзя. 5.Одна из двух параллельных плоскостей перпендикулярна прямой, тогда: а) другая плоскость параллельна прямой, б) прямая лежит в другой плоскости, в) другая плоскость перпендикулярна прямой, г) прямая не пересекает другую плоскость, д)выполняются все случаи, указанные в пунктах а - г. 6.Точка Е не принадлежит плоскости прямоугольника АВСD, ВЕ hello_html_m5d32ab2b.gifАВ, ВЕ hello_html_m5d32ab2b.gifВС. Тогда прямая и плоскость ВСЕ: а) параллельны, б) перпендикулярны, в) скрещиваются, г) прямая лежит в плоскости,  д) перпендикулярны, но не пересекаются. 7.Какое из следующих утверждений неверно? а) перпендикуляр и наклонная, выходящие из одной точки, имеют равные длины, б) проекцией прямой на плоскость является точка или прямая, в) наклонные разной длины, проведенные к плоскости из одной точки, имеют проекции разных длин, 

г) прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна к ее проекции, д) расстояние от произвольной точки одной из параллельных плоскостей до другой плоскости называется расстоянием между параллельными плоскостями. 8.Расстояния от точки М до сторон прямоугольного треугольника АВС (угол С равен 90°) равны. Какое из следующих утверждений верно? а) плоскости МАВ и АВС перпендикулярны, б) плоскости МВС и АВС перпендикулярны, в) плоскости МАС и АВС перпендикулярны, г) плоскости МАС и МВС перпендикулярны, д) условия в пунктах а - г неверны. 9.Угол между двумя плоскостями равен 80°. Какое из следующих утверждений неверно? а) плоскости пересекаются, б) в одной из плоскостей найдется прямая, перпендикулярная другой плоскости, в) в одной из плоскостей все прямые не перпендикулярны другой плоскости, г) в одной из плоскостей найдется прямая, параллельная другой плоскости, д) плоскости не перпендикулярны.




10.Какое из следующих утверждений верно? а) градусная мера двугранного угла не превосходит 90°, б) двугранным углом называется плоский угол, образованный прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей а, в) если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны, г) угол между плоскостями всегда тупой,  д) все линейные углы двугранного угла различны. 11.Какое из следующих утверждений верно? а) в прямоугольном параллелепипеде все шесть граней - произвольные параллелограммы, б) все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда - острые, в) прямоугольный параллелепипед, у которого все три измерения равны, называется кубом, г) квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме трех его измерений, д) параллелепипед называется прямоугольным, если его боковые ребра перпендикулярны к основанию. 12.Длины трех ребер, имеющих общую вершину, называются: а) высотами прямоугольного параллелепипеда, б) диагоналями прямоугольного параллелепипеда, в) измерениями прямоугольного параллелепипеда, г) диагоналями основания прямоугольного параллелепипеда, д) смежными ребрами прямоугольного параллелепипеда.


Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-12,

Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-10,

Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-6.


Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.



























Самостоятельная работа № 12

Тема: Типовой расчет по теме «Прямоугольный параллелепипед».

Цель работы:

  • повторить, закрепить основные понятия по теме «Прямоугольный параллелепипед»,

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал: Л.С. Атанасян. Геометрия 10-11 класс, глава 2.п.24.

Решение типовых заданий:

Пример 1. Найти площадь основания ABCD прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 если DB1 = см, DB = 5 см, BC1 = 4 см.

Решение: Для нахождения длин сторон ( поскольку параллелепипед в условии задачи прямоугольный, а значит, все ребра пересекаются под прямым углом  )  используем теорему Пифагора. Найдем BB1 в прямоугольном треугольнике  DBB1 :
BB1 =   
BB12 =  (34 – 25) = 9. BB1 =3.Соответственно  СС1 = BB1 = 3 см. Для прямоугольного треугольника BC1C : BC2 =  ( BC12  – C1C2 ) , BC2 =  ( 16 – 9 ) = 7 . BC = В треугольнике BCD найдем CD:  CD2 =  ( BD2 – BC2 ), CD2 =  ( 25 – 7 ) = 18, CD = 3 . Откуда площадь основания параллелепипеда равна: 
S = BC CD =  3 = 3.
Ответ:   площадь основания  прямоугольного параллелепипеда равна 3. Пример 2.Сумма трех измерений прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равна 40, AB : AA1 : AD = 2 : 2 : 4.   Найдите наибольшую из диагоналей граней параллелепипеда. Решение: Обозначим ребра 2х, 2х, 4х. 2х+2х+4х =40, 8х=40,   х=5. Ребра 10,10 и 20. Грани имеют размеры 10х10 или 10х20. Диагональ грани 10х10:   d12= (102+102) = 200, d1= 10, Диагональ грани 10х20:   d22= (102 +202) = 500, d2= 10- наибольшая диагональ . Ответ: d2= 10- наибольшая диагональ . Пример 3. Сумма всех ребер параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равна 120 см. Найти каждое ребро параллелепипеда. если АВ/ВС= 4/5 и ВС/ВВ1 = 5/6. Решение: Пусть АВ = 4х, тогда ВС= 5х,  ВВ1 = 6х. У параллелепипеда по 4 равных ребра, а всего 12 ребер. 4 (4х+5х+6х)=120, 4 15х=120, 60х=120, х=2, АВ = 8,  ВС = 10,  ВВ1 = 12. Ответ:  АВ = 8 см,  ВС = 10 см,  ВВ1 = 12 см. Пример 4. Дано: а = 3, b = 4, с = 12, Найти d. Решение: d2 = а2 + b2 + с2 , d2 = 32 + 42 + 122 = 9 + 16 + 144 = 169, d= 13. Ответ:  d= 13. Пример 5. Дано: ABCDA1B1C1D1 - прямоугольный параллелепипед, AB = 12 см, BC= 5 см, ÐBDB1 = 45° . Найти BB1. Решение: В треугольнике BАD найдем ВD:  ВD2 =  АD2 + АB2 , ВD2 = =  ВС2 + АB2 , ВD2 =  52 + 122 = 25 + 144 = 169, ВD = 13 см. В прямоугольном треугольнике BDB1 найдем BB1: ÐBDB1 = 45°, BB1 = ВD = 13 см. Ответ:  BB1 = 13 см. Пример 6. Дано: ABCDA1B1C1D1 - прямоугольный параллелепипед, AС1 = 12 см, α = 30°, β = 45°. Найти измерения прямоугольного параллелепипеда а, b, с. Решение: В прямоугольном треугольнике BАD1, α = 30°, AB = а = BD1 : 2 = AС1: 2 = 12: 2 = 6 см. В прямоугольном треугольнике BDD 1, β = 45°, с = DD 1= BD = = 6 . В прямоугольном треугольнике АBD, BD = 6, АВ = 6 см, АD2 =  BD2 –АВ2  , АD2 = 72 – 36 = 36, АD = b = 6 см.
hello_html_m321ec67f.gif

Ответ:  а = b = 6 см, с = 6 см.




Задание: 1 Вариант.

  1. Найти площадь основания ABCD прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, если DB1 = см, DB = 10 см, BC1 = 7 см.

  2. Сумма трех измерений прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равна 48, AB : AA1 : AD = 2 : 2 : 4.   Найдите наибольшую из диагоналей граней параллелепипеда.

  3. Дано: а = 8, b = 9, с = 12, Найти d.

  4. Дано: ABCDA1B1C1D1 - прямоугольный параллелепипед, AB = 24 см, BC= 10 см, ÐBDB1 = 45° . Найти BB1.

  5. Дано: ABCDA1B1C1D1 - прямоугольный параллелепипед, AС1 = 16 см, α = 30°, β = 45°. Найти измерения прямоугольного параллелепипеда а, b, с.

2 Вариант.

  1. Найти площадь основания ABCD прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 если DB1 = см, DB = 6 см, BC1 = 12 см.

  2. Сумма всех ребер параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равна 240 см. Найти каждое ребро параллелепипеда. если АВ/ВС= 4/5 и ВС/ВВ1 = 5/6.

  3. Дано: а = 6, b = 8, с = 24, Найти d.

  4. Дано: ABCDA1B1C1D1 - прямоугольный параллелепипед, AB = 30 см, BC= 15 см, ÐBDB1 = 45° . Найти BB1.

  5. Дано: ABCDA1B1C1D1 - прямоугольный параллелепипед, AС1 = 20 см, α = 30°, β = 45°. Найти измерения прямоугольного параллелепипеда а, b, с.

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-5,

Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-4,

Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3.


Требования к оформлению самостоятельной работы:

Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.

























Самостоятельная работа № 13

Тема: Типовой расчет по теме «Пирамида. Усеченная пирамида».

Цель работы:

  • повторить, закрепить основные понятия по теме «Пирамида. Усеченная пирамида»,

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал: Л.С. Атанасян. Геометрия 10-11 класс, глава 3.§ 2.

Решение типовых заданий: 1 ЧАСТЬ. ПИРАМИДА.

Пример 1. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого 8см, а радиус описанной около него окружности равен 5 см. Основанием высоты этой пирамиды является середина гипотенузы. Высота пирамиды равна 12см. Вычислить боковые ребра пирамиды. 
Решение: В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на его гипотенузе. Соответственно, AB = 10 см, AO = 5 см. 
Поскольку высота ON = 12 см, то величина ребер AN и NB равна
 
AN
2 = AO2 + ON2 , AN2 = 52 + 122 , AN = , AN = 13. 
Поскольку нам известна величина AO = OB = 5 см и величина одного из катетов основания (8 см), то высота, опущенная на гипотенузу, будет равна
  CB2 = CO2 + OB2 , 64 = CO2 + 25 , CO2 = 39 , CO = .
Соответственно, величина ребра CN будет равна
 :CN2 =  CO2 + NO2 , CN2 = 39 + 144 ,
CN = .
Ответ: 13, 13 , .hello_html_m48fa674b.gif

Пример 2. Боковая грань правильной треугольной пирамиды представляет собой правильный треугольник, площадь которого 16 корней из 3 см2 (16). Вычислить периметр основания пирамиды. 
Решение
: Правильный треугольник - это равносторонний треугольник. Соответственно, боковая грань пирамиды представляет собой равносторонний треугольник. 
Площадь равностороннего треугольника равна:
 . 
Соответственно:
 16 = a2 / 4 , 16 = a2 / 4 , a2 = 64 ,a = 8 см .
Основанием правильной треугольной пирамиды является правильный (равносторонний) треугольник. Таким образом, периметр основания пирамиды равен
  Р = 83 = 24 см .
Ответ: 24 см. 
Пример 3. Высота правильной треугольной пирамиды 4 см, а ее апофемы 8см. Вычислите площадь боковой поверхности пирамиды. 
Решение:  Исходя из того, что MK = 8, MO = 4, синус угла OKM равен  MO/MK = 1/2 , откуда угол равен arcsin 1/2 = 30 °. 
Откуда  KO / MK = cos 30° , KO / 8 = cos 30° , KO = 8 cos 30° .
KO = 8/2 = 4
 . KO является радиусом вписанной окружности в основании правильной треугольной пирамиды. Тогда по свойству равностороннего треугольника КО= r = a/6. 4 = a /6 , a = 24. 
Теперь, зная размер основания боковой грани и ее апофему, найдем площадь боковой грани как площадь равнобедренного треугольника:
 Sт = 1/224 8 = 96 см2 .
Откуда площадь боковой поверхности пирамиды
 S = 3 Sт = 3 96 = 288 см2 . 
Ответ: 288 см2. hello_html_m3f19bf97.gif

Пример 4. Высота и сторона основания правильной четырехугольной пирамиды соответственно равны 24 и 14. Найдите апофему пирамиды. 
Решение: Поскольку пирамида правильная, то в ее основании лежит правильный четырехугольник - квадрат. Кроме того, высота пирамиды проецируется в центр квадрата. Таким образом, катет прямоугольного треугольника, который образован апофемой пирамиды, высотой и отрезком, их соединяющим, равен половине длины основания правильной четырехугольной пирамиды.  Откуда по теореме Пифагора длина апофемы будет найдена из уравнения:  72 + 242 = x2 , x2 = 625,  x = 25. 
Ответ: 25 см .hello_html_m678d7f82.png

2 ЧАСТЬ. УСЕЧЕННАЯ ПИРАМИДА.

Пример 1. Дано: усеченная правильная пирамида, n = 3, h = 4, a1= 16 , a2= 10 . Надо найти площадь полной поверхности усеченной пирамиды .

Решение: r1= a1 / 2  = 16  : 2  = 8, r2= a2 / 2  = 10  : 2  = 5,

l2 = h2 + (r2 r1)2, l2 = 42 + (5 8)2 = 16 + 9 = 25, l = 5.

Sn =  /4 (a12 + a22) + 1,5 l(a1 + a2) .

Sn =  /4 ((16 )2 + (10 )2) + 1,5 5(16  + 10 ) =  /4 (768 + 300) + 1,5 5 = =267 + 195  = 462  .

Ответ: 462 

Пример 2. Дано: усеченная правильная пирамида, n = 4, h = 3, a1= 16, a2= 8 . Надо найти площадь полной поверхности усеченной пирамиды .

Решение: r1= a1 / 2= 16: 2= 8, r2= a2 / 2= 8  : 2  = 4,

l2 = h2 + (r2 r1)2, l2 = 32 + (4 8)2 = 9 + 16 = 25, l = 5.

Sn = (a12 + a22) + 2 l(a1 + a2) .Sn = (162 + 82) + 2 5(16 + 8) = 320 + 240 = 560 .

Ответ: 560

Пример 3. Дано: усеченная правильная пирамида, n = 6, h = 2, a1= 2 , a2= 6 . Надо найти площадь полной поверхности усеченной пирамиды .

Решение: r1= a1 / 2  = 2  : 2  =  , r2= a2 / 2  = 6  : 2  = 3 ,

l2 = h2 + (r2 r1)2, l2 = 22 + ( )2 = 4 + 12 = 16, l = 4.

Sn =3  /2 (a12 + a22) + 3 l(a1 + a2) .Sn =3  /2 (22 + 62) + 3 4(2 + 6) = 60   + 96 .

Ответ: 60   + 96

Пример 4. Дано: усеченная правильная пирамида, n = 4, h = 3, r1=2, r2= 6 . Надо найти площадь полной поверхности усеченной пирамиды .

Решение: l2 = h2 + (r2 r1)2, l2 = 32 + (6 2)2 = 9 + 16 = 25, l = 5.

Sn = 4 (r12 + r22) + 4 l(r1 + r2) . Sn = 4 (22 + 62) + 2 5(2 + 6) = 160 + 80 = 240 .

Ответ: 240.


Задание: 1 вариант.

1 ЧАСТЬ. ПИРАМИДА.


  1. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого 16 см, а радиус описанной около него окружности равен 10 см. Основанием высоты этой пирамиды является середина гипотенузы. Высота пирамиды равна 24 см. Вычислить боковые ребра пирамиды. 

  2. Боковая грань правильной треугольной пирамиды представляет собой правильный треугольник, площадь которого 64 корней из 3 см2 (64). Вычислить периметр основания пирамиды. 

  3. Высота правильной треугольной пирамиды 8 см, а ее апофемы 16 см. Вычислите площадь боковой поверхности пирамиды. 

  4. Высота и сторона основания правильной четырехугольной пирамиды соответственно равны 24 и 20. Найдите апофему пирамиды. 

2 ЧАСТЬ. УСЕЧЕННАЯ ПИРАМИДА.


  1. Дано: усеченная правильная пирамида, n = 3, h = 8, a1= 14 , a2= 2 . Надо найти площадь полной поверхности усеченной пирамиды .

  2. Дано: усеченная правильная пирамида, n = 4, h = 8, a1= 16, a2= 4 . Надо найти площадь полной поверхности усеченной пирамиды .

  3. Дано: усеченная правильная пирамида, n = 6, h = 2, a1= 4 , a2= 8 . Надо найти площадь полной поверхности усеченной пирамиды .

  4. Дано: усеченная правильная пирамида, n = 4, h = 3, r1=5, r2= 9 . Надо найти площадь полной поверхности усеченной пирамиды .


2 вариант.


1 ЧАСТЬ. ПИРАМИДА.


  1. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого 9 см, а радиус описанной около него окружности равен 6 см. Основанием высоты этой пирамиды является середина гипотенузы. Высота пирамиды равна 8 см. Вычислить боковые ребра пирамиды. 

  2. Боковая грань правильной треугольной пирамиды представляет собой правильный треугольник, площадь которого 4 корня из 3 см2 (4). Вычислить периметр основания пирамиды. 

  3. Высота правильной треугольной пирамиды 2 см, а ее апофемы 4 см. Вычислите площадь боковой поверхности пирамиды. 

  4. Высота и сторона основания правильной четырехугольной пирамиды соответственно равны 12 и 18. Найдите апофему пирамиды. 


2 ЧАСТЬ. УСЕЧЕННАЯ ПИРАМИДА.


  1. Дано: усеченная правильная пирамида, n = 3, h = 6, a1= 18 , a2= 2 . Надо найти площадь полной поверхности усеченной пирамиды .

  2. Дано: усеченная правильная пирамида, n = 4, h = 6, a1= 18, a2= 2 . Надо найти площадь полной поверхности усеченной пирамиды .

  3. Дано: усеченная правильная пирамида, n = 6, h = 2, a1= 6 , a2= 10 . Надо найти площадь полной поверхности усеченной пирамиды .

  4. Дано: усеченная правильная пирамида, n = 4, h = 4, r1=5, r2= 8 . Надо найти площадь полной поверхности усеченной пирамиды .


Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-4 (1 и 2 часть), Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-3(1 и 2 часть), Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-2(1 и 2 часть). Требования к оформлению самостоятельной работы: Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.

Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.


















Самостоятельная работа № 14

Тема: Составление опорного конспекта «Правильные многогранники».

Цель работы:

  • закрепить понятия: правильных многогранников, их виды, элементы симметрии правильных многогранников ;

  • развитие графических и вычислительных умений и навыков: построение чертежей, вычисление элементов правильных многогранников;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

План работы:

  1. Определение правильного многогранника;

  2. Виды правильных многогранников и их описание, изображения;

  3. Расчет элементов правильных многогранников по теореме Эйлера;

  4. Элементы симметрии правильных многогранников: центр, ось, плоскость;

Методические рекомендации к составлению конспекта:


Конспект– это работа с другим источником.

Цель –зафиксировать ,переработать тот или иной текст.

Конспект представляет собой дословные выписки из текста источника. При этом конспект это не полное переписывание чужого текста. При написании конспекта сначала прочитывается текст –источник, в нем выделяются основные положения , подбираются примеры , идет перекомпоновка материала, а затем уже оформляется текст конспекта. Конспект может быть полным, когда работа идет со всем текстом источника или неполным, когда интерес представляет какой-либо один или несколько вопросов, затронутых в источнике.

Общую последовательность действий при составлении конспекта можно определить таким образом:

1. Уяснить цели и задачи конспектирования.

2.Внимательно прочитать текст параграфа, главы и отметить информационно значимые места.

3. Составить конспект.

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : содержание соответствует теме, материал проработан глубоко, грамотно и полно использованы источники, приведены сложные примеры;

Оценка «4» выставляется , если : материал проработан не глубоко, использованы не все источники, приведены сложные примеры ;

Оценка «3» выставляется, если : материал проработан не полностью, приведены примеры.


Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.









Самостоятельная работа № 15

Тема: Решение теста по теме «Многогранники» .

Цель работы: повторить, закрепить основные понятия по теме «Многогранники».

Методические рекомендации к выполнению теста:

Прочитать вопрос, ответить на его и записать букву , под которой записан правильный ответ.

Задание:

1) тетраэдр -  поверхность, составленная из…

 А) 4 треугольников;            Б ) 3 треугольников;

 В) 5 треугольников;             Г) 4 четырехугольников;

2) параллелепипед – поверхность, составленная из ….

 А) параллелограммов;        Б) 6 параллелограммов;

 В) 4 треугольников;             Г) 6 прямоугольников;

3) любая поверхность ограничивает….., отделяет …… от остальной части……..

А) многогранник, плоскости;  Б) тело, пространство;

В) геометрическое тело, плоскость; 

Г) геометрическое тело, пространство;

4) поверхность, составленная из многоугольников и ограничивающую геометрическое тело, называют…..

 А) многогранником;           Б) многоугольником;

 В) тетраэдром;                     Г) параллелепипедом;

 5) концы ребер многоугольника называют….

 А) грани;               Б) ребра;            В) вершины;               Г) диагонали;

6) Сколько ребер у тетраэдра?

А) 6; Б) 7; В) 8; Г) 12;

7) Двойственный многогранник это …

А) тетраэдр; Б) октаэдр; В) додекаэдр;

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-7,

Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-6,

Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-4.


Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.









Самостоятельная работа № 16

Тема: Составление опорного конспекта «Цилиндр» .

Цель работы:

  • закрепить понятия: цилиндра и его элементов, сечения цилиндра различными плоскостями, развертка боковой поверхности цилиндра;

  • развитие графических и вычислительных умений и навыков: построение чертежей, вычисления по формулам площади цилиндра;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

План работы:

  1. Определение цилиндра и его элементов: основания, ось, радиус, высота, образующая;

  2. Сечения цилиндра различными плоскостями;

  3. Развертка боковой поверхности цилиндра;

  4. Формулы для вычисления площади полной поверхности и площади боковой поверхности цилиндра;

Методические рекомендации к составлению конспекта:


Конспект– это работа с другим источником.

Цель –зафиксировать ,переработать тот или иной текст.

Конспект представляет собой дословные выписки из текста источника. При этом конспект это не полное переписывание чужого текста. При написании конспекта сначала прочитывается текст –источник, в нем выделяются основные положения , подбираются примеры , идет перекомпоновка материала, а затем уже оформляется текст конспекта. Конспект может быть полным, когда работа идет со всем текстом источника или неполным, когда интерес представляет какой-либо один или несколько вопросов, затронутых в источнике.

Общую последовательность действий при составлении конспекта можно определить таким образом:

1. Уяснить цели и задачи конспектирования.

2.Внимательно прочитать текст параграфа, главы и отметить информационно значимые места.

3. Составить конспект.

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : содержание соответствует теме, материал проработан глубоко, грамотно и полно использованы источники, приведены сложные примеры;

Оценка «4» выставляется , если : материал проработан не глубоко, использованы не все источники, приведены сложные примеры ;

Оценка «3» выставляется, если : материал проработан не полностью, приведены примеры.


Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.

Самостоятельная работа № 17

Тема: Типовой расчет по теме «Цилиндр».

Цель работы:

  • повторить, закрепить основные понятия по теме «Цилиндр»,

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал:

  1. Л.С. Атанасян. Геометрия 10-11 класс, глава 6. § 1.

  2. Самостоятельная работа № 16.

Решение типовых заданий:

Пример 1. В цилиндре параллельно его оси проведено сечение, диагональ которого равна 17 см, высота цилиндра равна 15 см., а радиус основания 5 см. На каком расстоянии от оси проведено это сечение? 
Решение. 
Сечение цилиндра в плоскости представляет собой прямоугольник. Таким образом, BM также представляет собой высоту цилиндра. Треугольник BMK - прямоугольный. Таким образом, можно найти длину стороны MK = B
C:
BK
2 = BM2 + MK2 , MK2 = BK2 - BM2 ,MK2 = 172 - 152 ,
MK
2 = 64 , MK = 8. 
Таким образом, MK = BC = 8 см.
 
Теперь, проведем сечение через основание цилиндра. Рассмотрим получившуюся плоскость.
 
(
это делать совершенно необязательно, сечение основания цилиндра проведено только для простоты понимания решения задачи). 
AD - диаметр цилиндра, проведенный как сечение, параллельное заданному в условии задачи. BC - прямая, принадлежащая сечению, параллельному оси цилиндра. Поэтому ABCD - трапеция. Если трапеция равнобедренная, то вокруг нее можно описать окружность. Таким образом, ABCD - равнобедренная трапеция. Найдя высоту трапеции, получим расстояние от проведенного по условию задачи сечения до оси цилиндра. Найдем величины некоторых отрезков.
 AD = 2R = 2 5 = 10 см, OC = OD = R = 5 см .
В равнобедренной трапеции высота, опущенная из вершины на большее основание, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, другой - полуразности оснований. Таким образом,
 
AN = DP = ( 10 -8 ) / 2 = 1 см
 , тогда OP = OD -DP = 5 - 1 = 4 см .
Треугольник CPO - прямоугольный, так как CP - высота трапеции. Откуда
 
CP
2 + OP2 = OC2 ,CP2 = OC2 OP2, CP2 = 52  42 ,CP2 = 25 16= 9 ,CP = 3. 
Ответ: Проведенное сечение цилиндра находится на расстоянии 3 см от его оси. hello_html_m1ed0129.gifhello_html_m2050d35.gif

Пример 2. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, если диагональ его осевого сечения, равная 8см, составляет с образующей цилиндра угол величиной 30° . Решение: Поскольку AC = 8 см, а угол ACD = 30°, то 
CD = AC cos 30°  . Пояснение. Треугольник ACD - прямоугольный. Соответственно, CD / AC = cos ACD по свойству тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике. Значение  cos 30 найдем из таблицы значений тригонометрических функций. CD = 8  /2 = 4. Аналогично,  AD = AC sin 30° , AD = 8 1/2 = 4, Откуда радиус основания цилиндра равен R = 4/2 = 2 см. Площадь основания цилиндра, соответственно, равна  S1 = πR2 = 4π. Площадь боковой поверхности цилиндра равна площади его развертки - произведению длины окружности основания и высоты цилиндра. То есть: S2 = 2πRh = 2π 2 4= 16π. Общая площадь поверхности цилиндра равна:  S =S1 + S2 =   4π +  16π. Ответ:  4π +  16π. Пример 3. Дано: цилиндр; ABCD - квадрат; АС = 4 см (рис. ). Найти: Sб.п.ц. Решение: Sб.п.ц. = 2πRH. Пусть АВ = х, тогда х2 + х2 = 42; 2х2 = 16; х2 = 8; х = 2. = ; Н = 2. . Sб.п.ц. = 2π · · 2= 8π (см2). Ответ: 8π см2. Пример 4. Дано: цилиндр, ABCD - квадрат; Sосн.ц. = 16π см2 (рис.). Найти: Sб.п.ц. Решение: πR2 = 16π; R2 = 16; R = 4. АВ = ВС = 4 · 2 = 8 (см). Sб.п.ц. = 2πRH, где R = 4; Н = 8.Sб.п.ц. = 2π · 4 · 8 = 64π (см2). Ответ: 64π см2. Пример 5. Дано: цилиндр, АВ1 = 16 см, B1AB = 30° (рис.). Найти: hRосн.  Решение:1) hк. = BB1; 2)Из ΔАВВ1 находим AB: AB = 16 cos 30° = 16 /2 = 8 R = 1/2 AB = 8 : 2 = 4 . 3) Из ΔВ1АВ находим BB1: BB1 = 16 sin 30 ° = 16 1/2 = 16 : 2 = 8 см. Ответ: = 8 см; R = 4 см.
hello_html_m2ae74cee.jpghello_html_40222fab.gif

Задание:hello_html_m5b1a35f0.jpghello_html_m41d996ff.jpg

1вариант.

1)В цилиндре параллельно его оси проведено сечение, диагональ которого равна 34 см, высота цилиндра равна 30 см., а радиус основания 10 см. На каком расстоянии от оси проведено это сечение?

2)Найдите площадь полной поверхности цилиндра, если диагональ его осевого сечения, равная 16 см, составляет с образующей цилиндра угол величиной 30 °.

3)Дано: цилиндр; ABCD - квадрат; АС = 16 см (рис. ). Найти: Sб.п.ц.

4) Дано: цилиндр, ABCD - квадрат; Sосн.ц. = 25π см2 (рис.). Найти: Sб.п.ц.

5)Дано: цилиндр, АВ1 = 8 см, B1AB = 30° (рис.). Найти: hRосн.

2 вариант.

1)В цилиндре параллельно его оси проведено сечение, диагональ которого равна 10 см, высота цилиндра равна 6см., а радиус основания 5 см. На каком расстоянии от оси проведено это сечение?

2)Найдите площадь полной поверхности цилиндра, если диагональ его осевого сечения, равная 4 см, составляет с образующей цилиндра угол величиной 30 °. 

3)Дано: цилиндр; ABCD - квадрат; АС = 8см (рис. ). Найти: Sб.п.ц.

4)Дано: цилиндр, ABCD - квадрат; Sосн.ц. = 36π см2 (рис.). Найти: Sб.п.ц.

5)Дано: цилиндр, АВ1 = 20 см, B1AB = 30° (рис.). Найти: hRосн.

Критерии оценки: Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-5, Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-4, Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3.

Требования к оформлению самостоятельной работы: Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.

Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.

























Самостоятельная работа № 18

Тема: Типовой расчет по теме «Конус».

Цель работы:

  • повторить, закрепить основные понятия по теме «Конус»,

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал: Л.С. Атанасян. Геометрия 10-11 класс, глава 6. § 2.

Решение типовых заданий:

Пример 1. Высота конуса равна 5см, а радиус основания 12см. Найдите площадь полной поверхности конуса. 
Решение
Для нахождения площади поверхности конуса воспользуемся следующими формулами: S
1 = rl - площадь боковой поверхности конуса, где r - радиус конуса, а l - длина образующей, S2 = r2 - площадь круга, то есть основания конуса. Таким образом, площадь поверхности конуса составит  S = S1 + S2 .
Поскольку S
1 = rl , найдем образующую. Поскольку высота конуса, радиус основания конуса и образующая являются сторонами прямоугольного треугольника, то  l2 = h2 + r2 , l2 = 52 + 122 = 25 + 144 = 169 , l = 13.
Тогда
 S = S1 + S2 = + 144 = 156+ 144 = 300 ≈ 942,48 
Ответ: 300 ≈ 942,48 см2 .hello_html_m6d6bd24b.jpg

Пример 2. Дано: конус, ОР = 15 см, ОВ = r = 8 см (рис.). Найти:РВ.  Решение: Из ΔОРВ по теореме Пифагора:PB2= PO2 + OB2, PB2= 152 + 82 = 225 + 64 = 289, PB = 17. Ответ: 17 см.

Пример 3. Дано: Конус, ABC = 120°, АВ = 6 (рис.). Найти: R,h.  Решение:1) ΔАВС - равнобедренный, угол при основании  С = 30°. 2)Из ΔАВО : h = ВО = AB : 2 = 3. 3)R = AO = AB · cos 30° = 6 ·  : 2 = 3 . Ответ: H = 3, R = 3.hello_html_m6bcb7613.jpg

Пример 4. Дано: Конус. ΔАВС - равносторонний, АВ = 12, = 10 (рис.). Найти: OK,h.  Решение:1) Из ΔВОС по теореме Пифагора: h2 = OB2 = BC2OC2, h2 = 122 – 102 = =144 – 100 = 44, h = = 2 2)ΔABC - равносторонний, АС = 12, СК = 6. Из ΔСОК по теореме Пифагора ОК2 = ОС2СК2, ОК2 = 102 62 = 100 36 = 64, OK = 8. Ответ: h = 2, ОК = 8.hello_html_m2d0d5103.jpg

Пример 5. Дано: конус, h = OP = 1,2 см, Sосев. = 0,6 см2 (рис.). Найти: Sполн. . Решение:hello_html_28ad1e01.jpg

  1. Осевое сечение - треугольник: высота 1,2 см и основание 2r.

Sосев. =  · 2r h = r h, r = Sосев. : h = 0,6 : 1,2 = 0,5 см.

  1. Из ΔАОР по теореме Пифагора: l2 = h2 + r2  = OP2 + OA2. l2 = 1,22 + 0,52 = 1,44 + 0,25 = 1,69, l = 1,3 см.

  2. Sполн. = · (r + l) , Sполн. = 0,5 · (0,5 + 1,3) = · 0,5 · 1,8 = 0,9 Ответ: 0,9π см2.


Задание: 1вариант.

  1. Высота конуса равна 10 см, а радиус основания 24 см. Найдите площадь полной поверхности конуса.

  2. Дано: конус, ОР = 12 см, ОВ = r = 9 см (рис.). Найти: РВ. 

  3. Дано: Конус, ABC = 120°, АВ = 8 (рис.). Найти: R, h. 

  4. Дано: Конус. ΔАВС - равносторонний, АВ = 24, = 20 (рис.). Найти: OK, h.

  5. Дано: конус, OP = 2,4 см, Sосев. = 2,4 см2 (рис.). Найти: Sполн. 

2 вариант.

  1. Высота конуса равна 6 см, а радиус основания 8 см. Найдите площадь полной поверхности конуса.

  2. Дано: конус, ОР = 15 см, ОВ = r = 20 см (рис.). Найти: РВ. 

  3. Дано: Конус, ABC = 120°, АВ = 10 (рис.). Найти: R, h. 

  4. Дано: Конус. ΔАВС - равносторонний, АВ = 32, = 20 (рис.). Найти: OK, h.

  5. Дано: конус, OP = 0,9 см, Sосев. = 1,08 см2 (рис.). Найти: Sполн. 

Критерии оценки: Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-5, Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-4, Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3.



Требования к оформлению самостоятельной работы: Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.



Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.






Самостоятельная работа № 19

Тема: Решение теста по теме «Тела вращения».

Цель работы: повторить, закрепить основные понятия по теме «Тела вращения».

Методические рекомендации к выполнению теста:

  1. Прочитать вопрос, ответить на его и записать букву , под которой записан правильный ответ.

  2. Решив задачу, нужно выбрать правильный ответ и записать номер, под которым он записан.

Задание: Тест: «Тела вращения».

1. Сколько диаметров у сферы? А.1. Б.3.В.2. Г. бесконечно много.

2. Какой фигурой является сечение шара плоскостью?

А. отрезком. Б. Кругом. В. окружностью. Г. сферой.

3. Если радиус сферы увеличить в 2 раза то объём увеличиться

А. в 2 раза .Б. в 8 раз. В. в 4 раза. Г. в 16 раз.

4. В формуле V=4/3. R 3 ,V-объём

А. шара. Б. Цилиндра. В. конуса .Г. шарового сектора.

5. Конус можно получить, если вращать вокруг стороны

А. равносторонний треугольник .Б. остроугольный треугольник.

В. тупоугольный треугольник .Г. прямоугольный треугольник.

6. Площадь поверхности шара (сферы) уменьшили в 9 раза. Объём уменьшиться в ...

А. 3 раз. Б. 27 раз. В. 9 раз. Г.81 раз.

7.Площадь боковой поверхности конуса равна

А. 2, Б. 4 , В. ;

8.Тело вращения, площадь боковой поверхности которого равна 2 называется

А. цилиндр, Б. Шар, В. конус;

9.У какого тела вращения 2 основания

А. конус, Б. шар, В. цилиндр;

10.В сечении треугольник. В каком теле вращения это возможно?

А. конус, Б. шар, В. цилиндр;

11.В каком теле вращения нет высоты;

А. шар, Б. цилиндр, В. конус, Г. усеченный конус;

12.Какая фигура в осевом сечении у шара

А. квадрат, Б. ромб, В. круг, Г. прямоугольник;


Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-12,

Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-10,

Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-6.


Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.








Самостоятельная работа № 20

Тема: Типовой расчет по теме «Объём прямоугольного параллелепипеда».

Цель работы:

  • повторить, закрепить основные понятия по теме «Объём прямоугольного параллелепипеда»,

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал: Л.С. Атанасян. Геометрия 10-11 класс, глава 7. § 1. Решение типовых заданий:

Пример 1. Площадь грани прямоугольного параллелепипеда равна 12. Ребро, перпендикулярное этой грани, равно 4. Найдите объем параллелепипеда. Решение: Каждая грань прямоугольного параллелепипеда –прямоугольник. Пусть SABCD= a b = 12 , тогда АА1= h = 4, т.к. АА1 АВСD. Используем формулу объема прямоугольного параллелепипеда V = a b h , V = 12 4 = 48. Ответ: 48 см3. Пример 2. Объем прямоугольного параллелепипеда равен 12. Одно из его ребер равно 3. Найдите площадь грани параллелепипеда, перпендикулярной этому ребру. Решение: Пусть АА1 АВСD, V = 12 , АА1= h = 3. Найдём SABCD. Используем формулу объема прямоугольного параллелепипеда V = a b h, где SABCD= a b, S ABCD 3 = 12,S ABCD = 4. Ответ: 4 см2. Пример 3. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2, 4. Диагональ параллелепипеда равна 6. Найдите объем параллелепипеда. Решение: a = 4, b = 2, d = 6. Найдем V. Формула диагонали прямоугольного параллелепипеда: d2 = a2 + b2 + h2 , 16 + 4 + h2 = 36, h2 = 16, h = 4. Формула объема прямоугольного параллелепипеда: V = abh , V = 4 2 4 = 32. Ответ: 32 см3. Пример 4. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2, 3. Объем параллелепипеда равен 36. Найдите его диагональ и высоту. Решение: a = 3, b = 2. Формула объема прямоугольного параллелепипеда: V = abh , 3 . 2 . h = 36, 6h = 36, h = 6. V = 36.Найдем d. d2 = 9 + 4 + 36, d2 = 49, d = 7. Ответ: 7 и 6 см. Пример 5. Дано: ABCDA1B1C1D1 - прямоугольный параллелепипед, диагональ D1= 18 составляет угол в 30° с плоскостью боковой грани, и угол в 45° с боковым ребром (рис. ). Найти: V.

 Решение: BC1 - проекция D1на плоскость боковой грани BB1С1С, поэтому D1BC1 = 30°D1BB1= 45°. Рассмотрим ΔD1C1BD1C1= 90° (рис.). ∠В = 30°. => D1C1 = 18 : 2 = 9 см. Рассмотрим ΔD1B1- прямоугольный: BB1= 18 cos 45° = 18 : 2 = 9 см. Диагональ (d) и измерения (а, b, с) прямоугольного параллелепипеда связаны соотношением: d2 = a2 + b2 + h2 , 182 = 92 + (9)2 + B1C12 , (ΔD1B1B: B1B =D1 B1). B1C12 = 182 92 (9)2 = 324 – 8181 2 = 81, B1C1 = 9см. V = 99 9 = 729 см3hello_html_m49e41dc8.jpg

Ответ: V = 729см3.

Пример 6. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда 3 и 4. Найти его объём, если высота равна длине диагонали его основания.

Решение: BD - диагональ основания прямоугольного параллелепипеда. BD2 = АВ2 + АD2, BD2 = 32 +42 = 9 + 16 = 25, BD = 5, h = 5. V = 345 = 60 см3. Ответ: 60 см3.

Пример 7. Найти объём прямоугольного параллелепипеда, если стороны основания 2 и 3, а диагональ параллелепипеда .

Решение: d2 = a2 + b2 + h2 , ()2 = 22 + 32 + h2 , h 2 = 38 – 4 9 = 25, h = 5.

V = 23 5 = 30 см3. Ответ: 30 см3.

Задание: 1вариант.

  1. Площадь грани прямоугольного параллелепипеда равна 15. Ребро, перпендикулярное этой грани, равно 6. Найдите объем параллелепипеда.

  2. Объем прямоугольного параллелепипеда равен 24. Одно из его ребер равно 3. Найдите площадь грани параллелепипеда, перпендикулярной этому ребру.

  3. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 3, 4. Диагональ параллелепипеда равна 13. Найдите объем параллелепипеда.

  4. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 3, 6. Объем параллелепипеда равен 108. Найдите его диагональ и высоту.

  5. Дано: ABCDA1B1C1D1 - прямоугольный параллелепипед, диагональ  D1= 12 составляет угол в 30° с плоскостью боковой грани, и угол в 45° с боковым ребром (рис. ). Найти: V.

2 вариант.

  1. Площадь грани прямоугольного параллелепипеда равна 18. Ребро,перпендикулярное этой грани, равно 5. Найдите объем параллелепипеда.

  2. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 3, 4. Объем параллелепипеда равен 144. Найдите его диагональ и высоту.

  3. Дано: ABCDA1B1C1D1 - прямоугольный параллелепипед, диагональ  D1= 16 составляет угол в 30° с плоскостью боковой грани, и угол в 45° с боковым ребром (рис. ). Найти: V.

  4. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда 6 и 8. Найти его объём, если высота равна длине диагонали его основания.

  5. Найти объём прямоугольного параллелепипеда, если стороны основания 4 и 6, а диагональ параллелепипеда .

Критерии оценки: Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-5, Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-4, Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3.

Требования к оформлению самостоятельной работы: Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.

Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.

Самостоятельная работа № 21

Тема: Типовой расчет по теме «Расчет объёма прямой и наклонной призмы».

Цель работы:

  • повторить, закрепить основные понятия по теме «Объём прямой и наклонной призмы»,

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал: Л.С. Атанасян. Геометрия 10-11 класс, глава 7. § 2-3. Решение типовых заданий: 1 ЧАСТЬ. Объём прямой призмы.hello_html_m3970c1fc.jpg

Пример 1. Дано: АВСА1В1С1 - прямая призма, АС = ВС, ACB = 90°BN NACNC1 = 45°CC1 = 6 (рис.). Найти: V. Решение: V = Sh , S = BC2 : 2, BC2 = BN2 + CN2 , BN =CN (ΔABC – прямоугольный,AC =BC), ΔC1CN – прямоугольный,CNC1 = 45°CC1 = CN= 6, BC2 =2CN2 = 2 62 = 236 = 72, BC =6 , V = (62 6 : 2 = 216 см3.    
Ответ:216см3.     Пример 2. Дано: ABCDА1В1С1D1 - прямая призма,  ABCD - ромб, BAD = 60° (рис.). ВВ1 = 2, B1DB = 45°. Найти: V. РешениеSp = AB AD sin 60°. ΔABD – равносторонний( AB = AD,BAD = 60° ). AB = BD = AD. ΔB1DB –прямоугольный , B1DB = 45°. => ΔB1DB – равнобедренный, ВВ1 = ВD = 2, V = AB AD sin 60° BB1= BB13 sin 60° = = 23 / 2 = 4 см3.hello_html_6c1a9bbb.jpg

Ответ: 4 см3hello_html_72355ff0.jpg

Пример 3. Дано: ABCDFM...M1 - правильная шестиугольная призма. AD1 = 8 см - наибольшая диагональ.AD1= 30°(рис.). Найти: V.  Решение: V= S0 · h. h = DD1 в ΔADD1, = 90°. D1 = 30°, DD1 = AD1 · cos 30°. DD1 = 8 / 2 = 4 , AD = AD1 : 2 = 4 см, OD = OC = CD = AD : 2 = 2 см, S0 = 6S ΔOCD = 6 / 4) a2 = 6 / 4) 22 = 6 см.
V
= 6 = 72 см3.    

Ответ: 72 см3.     hello_html_m47ca6280.jpg

Пример 4. Дано: АВСА1В1С1 - прямая призма, АВ = ВС = 10 см, АС = 12 см, К - середина ребра,  KDB =60° (рис.). Найти: Vпр. Решение:1) Рассмотрим получившееся сечение: ΔАКС и определим угол между плоскостью (АКС) и плоскостью основания. В ΔАВС проведем BD AC, тогда AC  KD (теорема о трех перпендикулярах).KDB и есть линейный угол двугранного угла между плоскостью (АКС) и плоскостью основания;KDB = 60°. 2) V= S0 · h. 3) Найдем площадь основания. S0 = ah : 2 . Рассмотрим AВС: равнобедренный, поэтому BD - высота, медиана и биссектриса треугольника, т. е.AD DC = 6 см. Далее из BDC по теореме Пифагора находим высоту треугольника ABC: h2 = BD2 = BC2DC2 = 102 62 = 100 36 = 64, h = BD = 8 см. a = AC = 12 см,S0 = 128 : 2 = 48 см2. 4) Найдем высоту призмы ВВ1. Рассмотрим ΔBDK - прямоугольный, BDK =60°, BK = BD tg 60° = 8 = 8см. h = BB1 = 2BK = 16 см. 5) V= S0 · h. V= 48 · 16 = 768 см3.  Ответ: 768 см3.    

Пример 5. a) трапеция, S(BB1C1C) = 8 см2, S(AA1D1D) = 12см2, BH = 5 см (рис.).Найти: Vnp.  Решение:1)Расстояние между параллельными плоскостями ВВ1С1 и AA1D1 есть длина перпендикуляра ВН, который является высотой трапеции ABCD. hello_html_m62762a7f.jpg

2) Обозначим верхнее основание трапеции - а, нижнее - b, высоту призмы h, тогда S(BB1C1C) = ah, 8 = ah, a = 8 / h, S(AA1D1D) = bh , 12 = bh, b = 12 / h,

3) S0 = (AD + BC)BH : 2 = ( a + b ) BH : 2 = (8 / h + 12 / h) 5 : 2 = 50 / h,

4) V= S0 · h. V= 50 / · h = 50 см3.  Ответ: 50 см3.

б) Дано: АВСDА1В1С1D1 — прямая призма,  ABCD - трапеция. 

V np. = 40 см3, S(BB1C1C) = 6 см2, S(AA1D1D )= 14 см 2. Найдите: BH. Решение:1) Расстояние между параллельными плоскостями ВВ1С1 и AA1D1 есть длина перпендикуляра ВН, который является также высотой трапеции ABCD. 2) Обозначим: а - верхнее основание трапеции, b - нижнее основание, h - высота призмы, тогда S(BB1C1C) = ah, 6 = ah, a = 6 / h, S(AA1D1D) = bh , 14 = bh, b = 14 / h, S0 = (AD + BC)BH : 2 = ( a + b ) BH : 2= (6 / h + 14 / h) BH : 2 = 10 BH / h. 3) V= S0 · h.  40 = 10 BH / h h = 10 BH, BH = 40 : 10 = 4 см. Oтвет: 4 см.

2ЧАСТЬ. Объём наклонной призмы.

Пример 1. В наклонной призме боковое ребро равно 7 см, перпендикулярное сечение - прямоугольный треугольник с катетами: 4 см и 3 см. найдите объем призмы. Решение: V= Sперп.сеч. · а. Sперп.сеч – площадь перпендикулярного сечения, а – боковое ребро. Sперп.сеч = b·с : 2 = 4·3 : 2 = 6, V= Sперп.сеч. · а = 6 ·7 = 42 см3. Ответ: 42 см3. Пример 2. Дано: АВСА1В1С1 - наклонная призма, АВ = 10 см, ВС = 10 см, АС = 12 см, ВВ1 = 8 см,  B1BK = 60° (рис.).Найти: Vnp. Решение:1) V= S0 · h.  p = (a + b + c) : 2= (10 + 12 +10) : 2 = 16,hello_html_m2de4b194.jpg

S0 = (ф-ла Герона).

S0 = см2.

2) ΔBB1- прямоугольный, так как В1Н - высота. В1Н = ВВ1 · sin60°; В1Н = h = 8 · / 2 = 4 см.

3) V= S0 · h = · 48 = 192 см3

Ответ: Vnp. = 192 см3.

Пример 3. Дано: АВСА1В1С1 - наклонная призма, ВВ1С1С - ромб, B1С  (ABC), В1С = 3, ΔАВС - равносторонний, ВВ1 = 5 (рис.).hello_html_67079322.jpg

Найти: Vnp. Решение:1) V= S0 · h. BB1 = BC  (по условию).

2) S0 = 1/2 AB · BC · sin 60° = 1/2· 5· 5 · sin 60° = 1/2 · 25 · / 2 = 6,25

3) B1CK = 90° (по определению угла между прямой и плоскостью);

В1С = 3. V= 6,25 = 18,75  см3. Ответ: 18,75  см3

Пример 4. Дано: АВСА1В1С1 - наклонная призма, АВ = АС = 3 см; ВС = 2 см; АА1 = 4 см;  А1АН = 45°Vnp. = Vкуба. (рис.).hello_html_54f588cc.jpg

Найти: а - ребро куба. Решение:

1) Vnp.= S0 · h.  p = (a + b + c) : 2= (2 + 3 + 3) : 2 = 4,

S0 = по формуле Герона; 

S0 = см2.

2) AK  BС;  АК; ΔАА1Н - прямоугольный, A1H = A1A · sinА1АН, A1H = h = 4 · sin45° = 4 · / 2 = 2 см. 3) Vnp.= S0 · h =  2 = 8 см3. 4) Vк = Vnp. Vк = a3 = 8 , a = 2 см.

Ответ: а = 2 см.

Пример 5. Дано: ABCDA1B1C1D1 - наклонная призма;

ABCD - прямоугольник; АВ = 6 см; AD = 8 см,

AA1B1B - квадрат; KHF = 60° (рис.).

Найти: Vnp.

Решение:hello_html_m5492efc4.jpg

1. Vnp.= S0 · h. S0 = AB · AD, S0 = 6 · 8 = 48см2.

2. КО - высота призмы; ΔКОН - прямоугольный, KO = h = KH · sinKHF,

 KO = 6 · sin 60° = 6 · / 2 = 3 KH = AA1 = AB = 6 см.

3. Vnp.= S0 · h = 48 · 3 = 144 см3.

Ответ: 144 см3.

Задание: 1 ЧАСТЬ.

1вариант.

  1. Дано: АВСА1В1С1 - прямая призма, АС = ВС, ACB =90°BN NACNC1 = 45°CC= 8 (рис.). Найти: V.

  2. Дано: ABCDА1В1С1D1 - прямая призма,  ABCD - ромб, BAD = 60° (рис.). ВВ1 = 4B1DB = 45°. Найти: V.

  3. Дано: ABCDFM...M1 - правильная шестиугольная призма. AD1 = 16 см - наибольшая диагональ.AD1= 30° (рис.). Найти: V. 

  4. Дано: АВСА1В1С1 - прямая призма, АВ = ВС = 20 см, АС = 24 см, К - середина ребра,  KDB =60° (рис.). Найти: Vпр.

  5. a)трапеция, S(BB1C1C) = 10 см2, S(AA1D1D) = 14см2, BH = 10 см (рис.). Найти: Vnp.  б)Дано: АВСDА1В1С1D1 — прямая призма,  ABCD - трапеция. 

V np. = 35 см3, S(BB1C1C) = 4 см2, S(AA1D1D )= 10 см 2 .Найдите: BH.

2 вариант.

  1. Дано: АВСА1В1С1 - прямая призма, АС = ВС, ACB =90°BN NACNC1 = 45°CC= 10 (рис.). Найти: V.

  2. Дано: ABCDА1В1С1D1 - прямая призма,  ABCD - ромб, BAD = 60° (рис.). ВВ1 = 6B1DB = 45°. Найти: V.

  3. Дано: ABCDFM...M1 - правильная шестиугольная призма. AD1 = 4 см - наибольшая диагональ.AD1= 30° (рис.). Найти: V. 

  4. Дано: АВСА1В1С1 - прямая призма, АВ = ВС = 5 см, АС = 6 см, К - середина ребра,  KDB =60° (рис.). Найти: Vпр.

  5. a)трапеция, S(BB1C1C) = 6 см2, S(AA1D1D) = 10см2, BH = 8 см (рис.). Найти: Vnp.  б)Дано: АВСDА1В1С1D1 — прямая призма,  ABCD - трапеция. 

V np. = 80 см3, S(BB1C1C) = 8 см2, S(AA1D1D )= 12 см 2 .Найдите: BH.

2 ЧАСТЬ.

1вариант.

  1. В наклонной призме боковое ребро равно 5 см, перпендикулярное сечение - прямоугольный треугольник с катетами: 6 см и 8 см. найдите объем призмы.

  2. Дано: АВСА1В1С1 - наклонная призма, АВ = 5 см, ВС = 5 см, АС = 6 см, ВВ1 = 12 см,  B1BK = 60° (рис.). Найти: Vnp.

  3. Дано: АВСА1В1С1 - наклонная призма, ВВ1С1С - ромб, B1С  (ABC), В1С = 5, ΔАВС - равносторонний, ВВ1 = 6 (рис.). Найти: Vnp.

  4. Дано: АВСА1В1С1 - наклонная призма, АВ = АС = 6 см; ВС = 4 см; АА1 = 8 см; А1АН = 45°Vnp. = Vкуба. (рис.).Найти: а - ребро куба.

  5. Дано: ABCDA1B1C1D1 - наклонная призма; ABCD - прямоугольник; 

АВ = 8 см; AD = 10 см, AA1B1B - квадрат; KHF = 60° (рис.). Найти: Vnp.

2 вариант.

  1. В наклонной призме боковое ребро равно 10 см, перпендикулярное сечение - прямоугольный треугольник с катетами: 5 см и 8 см. найдите объем призмы.

  2. Дано: АВСА1В1С1 - наклонная призма, АВ = 15 см, ВС = 15 см, АС = 18 см, ВВ1 = 14 см,  B1BK = 60° (рис.). Найти: Vnp.

  3. Дано: АВСА1В1С1 - наклонная призма, ВВ1С1С - ромб, B1С  (ABC), В1С = 9, ΔАВС - равносторонний, ВВ1 = 4 (рис.). Найти: Vnp.

  4. Дано: АВСА1В1С1 - наклонная призма, АВ = АС = 9 см; ВС = 6 см; АА1 = 10 см; А1АН = 45°Vnp. = Vкуба. (рис.).Найти: а - ребро куба.

  5. Дано: ABCDA1B1C1D1 - наклонная призма; ABCD - прямоугольник; 

АВ = 4 см; AD = 10 см, AA1B1B - квадрат; KHF = 60° (рис.). Найти: Vnp.

Критерии оценки: Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-5, обе части, Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-4, обе части, Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3, обе части.

Требования к оформлению самостоятельной работы: Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2. Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.

Самостоятельная работа № 22

Тема: Типовой расчет по теме «Объём цилиндра».

Цель работы:

  • повторить, закрепить основные понятия по теме «Объём цилиндра»,

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал: Л.С. Атанасян. Геометрия 10-11 класс, глава 7. § 2.

Решение типовых заданий:

Пример 1. Дано: цилиндр, r = 2см, h = 3 см.

Найти: V.

Решение: V= S0 · h. V= πr2 · h = π()2 3 = π 8 3= 24 π см3.

Ответ: 24π см3.

Пример 2. Дано: цилиндр, r = h= 8π см3.

Найти: h.

Решение: V= S0 · h. V= πr2 · h, так как r = h, то V = πh3 => h3 = V / π, h3 = 8 π / π = 8, h = 2 см. Ответ: 2 см.hello_html_2cd2a3a8.jpg

Пример 3. Дано: цилиндр, ABCD - осевое сечение, ABCD - квадрат, 

АС = 8см. (рис.). Найдите: Vцил. 

Решение:1) V= S0 · h. 

2)Рассмотрим ΔАВС - прямоугольный, так как ABCD квадрат. Пусть АВ = ВС = x см(x >0), тогда

x2 + x2 = (8)2, 2x2 = 642,x2 = 64, x = 8. Итак: АВ = ВС = 8 см, т.е. = 8 (см).

3) Найдем радиус основания: = 1/2AD = h / 2 = 4 см, тогда S0 = πr2 , S0 = 16π см2. 

4) V= S0 · h. V= 16 π · 8 = 128 π см3.  

Ответ: 128 π см3.

Пример 4. Дано: цилиндр, ABCD - осевое сечение, ABCD - квадрат, АС = 6см (рис. Пример 3.).

Найдите: Vцил. Решение: 1) V= S0 · h.  2)Рассмотрим ΔАВС - прямоугольный и равнобедренный, так как ABCD – квадрат. Обозначим АВ = ВС = х см (x >0), тогда x2 + x2 = (6)2, 2x2 = 362,x2 = 36, x = 6, т. е. АВ = ВС = 6 см, и так = 6 см. 3) Найдем радиус основания r = AD : 2 = AB : 2 = 6 : 2 = 3см. S0  = πr2 = 9πсм2. 

4) V= S0 · h. V=  · 6 = 54πсм3.   Ответ: 54π см3.

Пример 5. Дано: цилиндр (MNKL) || OO1, ОН =15 см, МК = 20 см, r = 17 см (рис.). Найдите: Vцил. hello_html_60118f26.jpg

Решение:

1) Рассмотрим получившееся сечение: так как плоскость параллельна оси цилиндра, то MN || OO’ иKL || OO’, т.е. MN || KL; ОО1 основанию  MN  основанию и КО  основанию, кроме того NK ||ML - лежат в параллельных плоскостях, таким образом четырехугольник MNKL - прямоугольник.

2)  V= S0 · h. V= πr2 · h = 172πh = 289 πh см3

3) Рассмотрим ΔMOL: проведем ОН  ML; ОН и есть расстояние от плоскости сечения до оси цилиндра, т. е. ОН = 15 см. ОН - высота, медиана и биссектриса равнобедренного ΔMOL, HL = ML : 2 , HL2 = OL2OH2 = 172 – 152 = 289 – 225 = 64 , HL = 8см, ML = 16 см.

4) Находим высоту цилиндра из прямоугольного ΔMKL: h2 = KL2 = MK2ML2 = 202 – 162 = 400 – 256 = 144, h = 12см.

5) V =289π 12 = 3468π см3.

Ответ: 3468π см3.

Задание: 1вариант.

  1. Дано: цилиндр, r = 4см, h = 3 см.Найти: V.

  2. Дано: цилиндр, r = h= 27π см3.Найти: h.

  3. Дано: цилиндр, ABCD - осевое сечение, ABCD - квадрат, АС =10см.(рис.). Найдите: Vцил. 

  4. Дано: цилиндр, ABCD - осевое сечение, ABCD - квадрат, АС = 4 см (рис. Пример 3.). Найдите: Vцил.

  5. Дано: цилиндр (MNKL) || OO1, ОН =30 см, МК = 40 см, r = 34 см (рис.). Найдите: Vцил. 

2 вариант.

  1. Дано: цилиндр, r = 6см, h = 3 см.Найти: V.

  2. Дано: цилиндр, r = h= 64π см3.Найти: h.

  3. Дано: цилиндр, ABCD - осевое сечение, ABCD - квадрат, АС =12см.(рис.). Найдите: Vцил. 

  4. Дано: цилиндр, ABCD - осевое сечение, ABCD - квадрат, АС = 14см (рис. Пример 3.). Найдите: Vцил.

  5. Дано: цилиндр (MNKL) || OO1, ОН = 24 см, МК = 25 см, r = 26 см (рис.). Найдите: Vцил.

Критерии оценки: Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-5, Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-4, Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3.

Требования к оформлению самостоятельной работы: Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.

Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.



Самостоятельная работа № 23

Тема: Типовой расчет по теме «Объём конуса».

Цель работы:

  • повторить, закрепить основные понятия по теме «Объём конуса»,

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал: Л.С. Атанасян. Геометрия 10-11 класс, глава 7. § 3.

Решение типовых заданий:

Пример 1. a) Вычислите объем конуса, если его высота 6 см, а площадь основания 42 см2.

Решение: V= 1/3S0 · h. V= 1/3· 42 · 6 = 84 см3.

Ответ: 84 см3. 

б) Найти объем конуса с радиусом основания 4 м и высотой 6 м .

Решение: V= 1/3 πr2 · h. V= 1/3 · π ·42 · 6 = 32 π м3. 

Ответ: 32 π м3. 

Пример 2. Образующая конуса равна 60 см, высота 30 см. Найдите Vк (рис.).hello_html_22f040f9.jpg

Решение: Из ΔАOР (O = 90°): Так как РО = 1/2АР, то

= 30°,  R = AO = 60 · cos 30° = 60 · / 2 = 30 см,

 V= 1/3 πr2 · h. V= 1/3 π(30)2 · 30 = 27000 π см3.

Ответ: V = 27000π см3.

Пример 3. Образующая конуса, равна 12 см, наклонена к плоскости основания под углом 30° (рис.).hello_html_77625222.jpg

Найдите объем конуса.

Решение: V= 1/3 π ·AO2 · SO. 

Из ΔАSO (O = 90°): h = SO = 1/2 AC = 12 : 2 = 6 см.

R = AO = 12 · cos 30° = 12 · / 2 = 6 см.

V= 1/3 π(6)2 · 6 = 2 π · 36 · 3 = 216 π см3.

Ответ: V= 216π см3.

Пример 4. Образующая конуса 8 см, а угол при вершине осевого сечения 60°.

Найдите объем конуса. hello_html_6c88cf6d.jpg

Решение: (рис.) V= 1/3 πr2 · h. r = 8 : 2 = 4 см.

h = 8 · sin 60° = 8 · / 2 = 4  см.

V= 1/3 π · 42 · 4 = 64 / 3 21,3π см3.

Ответ: 21,3π см3.


Пример 5. Дано: конус, АР = см, PAB = 45° (рис. ).

Найти: V. hello_html_20ab41b2.jpg

Решение: V= 1/3 πr2 · h. 

 AO= РО. Из ΔAОР ((= 90°): APO = 45°, значит, AO = PO = r = h.

По теореме Пифагора 2r= 6, r2 = 3, r = h = .

V= 1/3 π()2 ·  = 1/3· π · 3 · = π см3.

Ответ: V = π см3.






Задание:

1вариант.

  1. a)Вычислите объем конуса, если его высота 3 см, а площадь основания 12 см2.

б) Найти объем конуса с радиусом основания 5 м и высотой 9 м .

  1. Образующая конуса равна 4 см, высота 2 см. Найдите Vк (рис.).

  2. Образующая конуса, равна 12 см, наклонена к плоскости основания под углом 30° (рис.).Найдите объем конуса.

  3. Образующая конуса 4 см, а угол при вершине осевого сечения 60°.

Найдите объем конуса. 

  1. Дано: конус, АР = см, PAB = 45° (рис. ).Найти: V. 


2 вариант.

  1. a)Вычислите объем конуса, если его высота 9 см, а площадь основания 15 см2.

б) Найти объем конуса с радиусом основания 7 м и высотой 3 м .

  1. Образующая конуса равна 8 см, высота 4 см. Найдите Vк (рис.).

  2. Образующая конуса, равна 12 см, наклонена к плоскости основания под углом 30° (рис.).Найдите объем конуса.

  3. Образующая конуса 6 см, а угол при вершине осевого сечения 60°.

Найдите объем конуса. 

  1. Дано: конус, АР = см, PAB = 45° (рис. ).Найти: V. 


Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-5,

Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-4,

Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3.

Требования к оформлению самостоятельной работы:

Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.





















Самостоятельная работа № 24

Тема: Типовой расчет по теме «Объём сегмента, слоя, сектора шара».

Цель работы:

  • повторить, закрепить основные понятия по теме «Объём сегмента, слоя, сектора шара»,

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал: Л.С. Атанасян. Геометрия 10-11 класс, глава 7. § 4.

Решение типовых заданий:

Пример 1. Какую часть шара составляет объем шарового сегмента, у которого высота равна 0,1 диаметра шара? Решение: Десятая часть диаметра есть пятая часть радиуса. Значит, высота сегмента h= R/5 , V сегм. = (R/5)2 (RR /15) = (R2/25) 14R/15 = 14 R3/375, V сегм.: V =( 14/375) : (4/3) = 7/250 = 2,8 % . Ответ:  2,8%. Пример 2. Плоскость, перпендикулярная диаметру шара, делит его на части 3 см и 9 см. На какие части делится объем шара? Решение: = (3 + 9) : 2 = 6 см. Высота меньшего сегмента h равна 3 см. Его V1 = h2 (Rh / 3) = 32 ( 6 1) = 45 см2. V = 4/3 R3 = 4/3 63 = 4/3 216 = 288 см3. Значит,  V2 = VV1 = 28845 = 243 см3. Ответ: 45 , 243 см3. Пример 3. Дано: шар, DС — диаметр секущей плоскости, АМ = 6 см, MB = 12см (рис.). V1 - объем меньшего шарового сегмента,  V2 - объем большего шарового сегмента. Найти: V1V2.  Решение: СD  АВ, ЛМ = 6 см, MB = 12 см. На рисунке: DС - диаметр круга, который является плоскостью, перпендикулярной к диаметру шара, делящей шар на два шаровых сегмента. Диаметр шара АВ = АМ + MB = 6 + 12 = 18 (см), R = 9 см. Объем шарового сегмента вычисляется по формуле: V = h2 (Rh / 3) ,  где h = AM - высота меньшего сегмента. V1 = AM2 (RAM / 3) = 62 (9 – 6/3) = 36 7 = 252 см3. Объем шара равен:   Vшара = 4/3 R3 = 4/3 93= 4 81 3 = 972 см3. V2 = VV1 =  972 252 = 720 см3.
Ответ: 252π см3 и 720π см3. Пример 4. Чему равен объем шарового сектора, если радиус окружности основания равен 60 см, а радиус шара - 75 см. Решение: Пусть R - радиус шара, r - радиус основания сегмента. Вычислим высоту сегмента Н = РО1OP = R. Из прямоугольного ΔОО1М:  OO12 = OM2O1M2 = = R2r2 = 752 602 = 5625 – 3600 = 2025, OO1 = 45 см.
h = PO1 = OPOO1 = 75 – 45 = 30 см.
V = 2/3 R2h = 2/3 75230 = 20 5625 = 112 500 см3. Ответ: 112 500 см3. Пример 5. Дано: шар, h = 30, R = 45 см. Найти: V1V2, V3. Решение: Объем шарового сегмента вычисляется по формуле: V1 = h2 (Rh / 3) ,  V1= 302 (45 – 30:3) = 900 35 = 31500 см3. V2 = 4/3R3 2 h2 (Rh / 3) = 4/3453 2 302 (45 – 30 / 3) = 121500 63000 = = 58500см3. V3= 2/3 R2h =2/3452 30 = 40500см3. Ответ: 31500 58500 40500см3.
hello_html_m45f5722.jpghello_html_m4c44f677.jpg





Задание:

1вариант.

  1. Какую часть шара составляет объем шарового сегмента, у которого высота равна 0,2 диаметра шара?

  2. Плоскость, перпендикулярная диаметру шара, делит его на части 6 см и 12 см. На какие части делится объем шара?

  3. Дано: шар, DС — диаметр секущей плоскости, АМ = 3 см, MB = 9 см (рис.). V1 - объем меньшего шарового сегмента, V2 - объем большего шарового сегмента. Найти: V1V2. 

  4. Чему равен объем шарового сектора, если радиус окружности основания равен 12см, а радиус шара - 15 см.

  5. Дано: шар, h = 30, R = 42 см. Найти: V1V2, V3.

2 вариант.

  1. Какую часть шара составляет объем шарового сегмента, у которого высота равна 0,4 диаметра шара?

  2. Плоскость, перпендикулярная диаметру шара, делит его на части 8 см и 10 см. На какие части делится объем шара?

  3. Дано: шар, DС — диаметр секущей плоскости, АМ = 10 см, MB = 14 см (рис.). V1 - объем меньшего шарового сегмента, V2 - объем большего шарового сегмента. Найти: V1V2. 

  4. Чему равен объем шарового сектора, если радиус окружности основания равен 24 см, а радиус шара - 30 см.

  5. Дано: шар, h = 12, R = 15 см. Найти: V1V2, V3.

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-5,

Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-4,

Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3.

Требования к оформлению самостоятельной работы:

Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.

Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.

















Самостоятельная работа № 25

Тема: Решение теста по теме «Объёмы тел».

Цель работы: повторить, закрепить основные понятия по теме «Объёмы тел».

Методические рекомендации к выполнению теста:

  1. Прочитать вопрос, ответить на его и записать букву , под которой записан правильный ответ.

  2. Решив задачу, нужно выбрать правильный ответ и записать номер, под которым он записан.



Задание: 1 вариант.

1. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда с ребрами 3 см, 5 см и 8 см.

а) 120 см3; б) 60 см3; в) 32 см3; г) другой ответ.

2. Длина прямоугольной комнаты в 2 раза больше ширины и на 2 м больше высоты. Найдите объем комнаты, если ее длина равна 6 м.

а) 432 м3; б) 144 м3; в) 72 м3; г) другой ответ.

3.. Найдите ребро куба, если его объем равен  512  м3

а) 4 м; б) 8 м; в) 16 м; г) другой ответ.

4. Как изменится объем параллелепипеда, если его длину увеличить в 4 раза, ширину увеличить в 6 раз, а высоту уменьшить в 8 раз?

а) увеличится в 3 раза; б) уменьшится в 12 раз; в) не изменится; г) другой ответ.

5. Выберите неверное утверждение.

а) Объём прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник, равен произведению площади основания на высоту;

б) Объём правильной треугольной призмы вычисляется по формуле V = a2h, где а – сторона основания , h – высота призмы;

в) Объём прямой призмы равен половине произведения площади основания на высоту.

6. Сторона основания правильной треугольной призмы равна 2 см, а высота – 5 см. Найдите объём призмы.

а) 15 см3; б) 45 см3; в) 10 см3; г) 12 см3; д) 18 см3.

7.Выпишите формулу для нахождения объёма пирамиды.

а) V=Sоснh; б) V=Sоснh; в) V=Sоснh.

8.Найдите объем пирамиды, высота которой равна 1, а основание — прямоугольник со сторонами 4 и 6. а) 4; б) 8; в) 16.hello_html_37ae8577.jpg

9.Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 1, а высота равна hello_html_6f3a9b7f.png. а) 1,25; б) 1; в) 0,25.

10.В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 12 м, объем равен 200 м3. Найдите боковое ребро этой пирамиды. а) 10 м; б) 13 м; в) 8 м.

11.Найдите объём правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна 3 см, а высота – 4 см. а) 12 см3; б) 42 см3; в) 8 см3.

12.Диагональ квадрата, лежащего в основании правильной пирамиды, равна 8 дм, а её высота равна 12 дм. Найдите объём пирамиды. а) 768 дм3; б) 384 дм3; в) 128 дм3.

13. Найдите объём прямоугольного параллелепипеда, если его длина равна 6 см, ширина – 5 см, а диагональ 11 см. а) 60 см3; б) 2 см3; в) 85 см3.

14. Основанием пирамиды МАВС служит треугольник со сторонами АВ = 5 см, ВС = 12 см, АС = 13 см. Найдите объём пирамиды, если МВ (АВС) и МВ = 10 см.

а) 300 см3; б) 260 см3; в)100 см3.

15. а) Найдите объём цилиндра, если r = 4, h = 5. А) 80, В) 80 π, С) 16, Д) 21 π.

б) Найдите высоту цилиндра , если V = 100 π, r = 10 . А) 4, В) 3 π, С) 1, Д) 2 π.

16. а) Найдите объём конуса, если r = 2, h = 6. А) 4 π, В) 4, С) 8 π, Д) 8.

б) Найдите высоту конуса , если V = 144 π, r = . А) 4, В) 8 π, С) 144 π, Д) 4 π,

17. Найдите объём усеченного конуса, если h = 6, r1 = 3, r2 = 4.

А) 74, В) 74 π, С) 37, Д) 37 π.

18. а)Найдите объём шара, если его радиус R = 6. А) 288 π, В) 288, С) 72 π, Д) 72.

б) Найдите диаметр шара, если его объем V = . А) 6, В) 14, С) 7, Д) 12.

2 вариант.

1. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда с ребрами 6 см, 3 см и 4 см.

а) 72 см3; б) 13 см3; в) 22 см3; г) другой ответ.

2. Длина прямоугольной комнаты в 3 раза больше ширины и на 2 м больше высоты. Найдите объем комнаты, если ее длина равна 6 м.

а) 432 м3; б) 144 м3; в) 48 м3; г) другой ответ.

3. Найдите ребро куба, если его объем равен  729  м3

а) 9 м; б) 8 м; в) 16 м; г) другой ответ.

4. Как изменится объем параллелепипеда, если его длину увеличить в 5 раза, ширину увеличить в 8 раз, а высоту уменьшить в 10 раз?

а) увеличится в 4 раза; б) уменьшится в 12 раз; в) не изменится; г) другой ответ.

5. Выберите верное утверждение.

а) Объём прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник, равен произведению площади основания на высоту;

б) Объём правильной треугольной призмы вычисляется по формуле V = a2h, где а – сторона основания , h – высота призмы;

в) Объём прямой призмы равен половине произведения площади основания на высоту.

6. Сторона основания правильной треугольной призмы равна 3см, а высота – 4 см. Найдите объём призмы.

а) 15см3; б) 45 см3; в) 27см3; г) 12 см3; д) 18 см3.

7.Выпишите формулу для нахождения объёма пирамиды.

а) V=Sоснh; б) V=Sоснh; в) V=Sоснh. hello_html_37ae8577.jpg

8.Найдите объем пирамиды, высота которой равна 6, а основание — прямоугольник со сторонами 3 и 4. А) 48; б) 24; в) 12.

9.Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 4, а объем равен hello_html_m3b6e9642.png. а) 1,5; б) 3,5; в) 16.

10.В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 6 м, объем равен 200 м3. Найдите боковое ребро этой пирамиды. а) 86 м; б) м; в) м.hello_html_m390fd290.jpg

11.Найдите объём правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна 2 см, а высота – 3 см.

а) 8 см3; б) 4 см3; в) 3 см3.

12. Измерения прямоугольного параллелепипеда 25 м, 10 м, 32 м. Определите ребро куба, равновеликого прямоугольному параллелепипеду. а) 1,8 м; б) 3 м; в) 20 м.

13. Найдите объём прямоугольного параллелепипеда, если его длина равна 6 см, ширина – 7 см, а диагональ 11 см. а) 252 см3; б) 24 см3; в) 85 см3.

14.Найдите объём треугольной пирамиды, стороны основания которой 5 см, 5 см и 6 см, а высота равна 12 см. а) 144 см3; б) 48 см3; в) 12 см3.

15. а) Найдите объём цилиндра, если r = 6, h = 5. А) 80, В) 180 π, С) 16, Д) 21 π,

б) Найдите радиус основания цилиндра , если V = 100 π, h = 25. А) 2, В) 20 π, С) 4, Д) 4.

16. а) Найдите объём конуса, если r = 4, h = 6. А) 32 π, В) 4, С) 8 π, Д) 8,

б) Найдите высоту конуса , если V = 144 π, r = . А) 4, В) 8 π, С) 144 π, Д) 4 π,

17. Найдите объём усеченного конуса, если h = 3, r1 = 3, r2 = 4. А) 74, В) 74 π, С) 37, Д) 37 π.

18.а) Найдите объём шара, если его диаметр d = 6. А) 36, В) 36 π, С) 216 π, Д) 216,

б) Найдите радиус шара, если V = 112500 π, h = 30. А) 60 π, В) 75 π, С) 60, Д) 75.

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-4,

Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-3,

Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-2.



Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.



Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.

























Самостоятельная работа № 26

Тема: Составление кроссворда по теме «Тела вращения».

Цель работы: повторение и закрепление знаний, в части правильности написания терминов и определений к ним; формирование умений поиска информации.

Методические рекомендации к составлению кроссвордов

  1. Повторите теоретический материал, соответствующий теме кроссворда, воспользовавшись материалом учебника, справочной литературой, конспектом лекции..

  2. Запишите ответы по определениям.

  3. Проведите анализ, проверьте орфографию.

  4. Оформите пустую и заполненную сетку кроссворда.

Задание:

1) Тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя кругами называется ….

2) Круги называются ….

3) Длина образующей называется ….

4) За площадь боковой поверхности цилиндра принимается площадь ее ….

5) r - …. цилиндра.

6) Тело, ограниченное конической поверхностью и кругом называются ….

7) Точка, в которой сходятся образующие называется ….

8) Отрезок, соединяющий вершину конуса с любой точкой основания называется ….

9) Если у конуса отсечена верхняя часть, то оставшаяся часть называется …. конусом.

10) Цилиндр, получается при вращении ….

11) Конус получается при вращении ….

12) Усеченный конус получается при вращении ….

13) Поверхность, составленная из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки называется ….

14) Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через ее цилиндр,

называется ….

15) Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется ….

16) Тело, ограниченное сферой, называется ….

(таблица ниже)

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : отгаданы все слова верно и построена таблица с ответами,

Оценка «4» выставляется , если : отгаданы все слова верно, но не построена таблица с ответами,

Оценка «3» выставляется, если : отгаданы не все слова верно, не построена таблица с ответами,.

Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.












Кроссворд по теме «Тела вращения».







3




12




9





7


16




















13















14








































































15






8

















5
































































1













10




2


































11



























































4







6























































































































Самостоятельная работа № 27

Тема: Составление опорного конспекта «Прямоугольная система координат в пространстве».

Цель работы:

  • закрепить понятия: прямоугольная система координат в пространстве, координатные плоскости, координаты точки, координаты вектора и их свойства;

  • развитие графических умений и навыков: построение чертежей;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

План работы:

  1. Прямоугольная система координат в пространстве: оси, начало координат, координатные плоскости, координаты точки;

  2. Координаты вектора и их свойства;

  3. Примеры задач;



Методические рекомендации к составлению конспекта:


Конспект– это работа с другим источником.

Цель –зафиксировать ,переработать тот или иной текст.

Конспект представляет собой дословные выписки из текста источника. При этом конспект это не полное переписывание чужого текста. При написании конспекта сначала прочитывается текст –источник, в нем выделяются основные положения , подбираются примеры , идет перекомпоновка материала, а затем уже оформляется текст конспекта. Конспект может быть полным, когда работа идет со всем текстом источника или неполным, когда интерес представляет какой-либо один или несколько вопросов, затронутых в источнике.

Общую последовательность действий при составлении конспекта можно определить таким образом:

1. Уяснить цели и задачи конспектирования.

2.Внимательно прочитать текст параграфа, главы и отметить информационно значимые места.

3. Составить конспект.

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : содержание соответствует теме, материал проработан глубоко, грамотно и полно использованы источники, приведены сложные примеры;

Оценка «4» выставляется , если : материал проработан не глубоко, использованы не все источники, приведены сложные примеры ;

Оценка «3» выставляется, если : материал проработан не полностью, приведены примеры.


Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.





Самостоятельная работа № 28

Тема: Типовой расчет по теме «Простейшие задачи в координатах».

Цель работы:

  • повторить, закрепить основные понятия по теме «Простейшие задачи в координатах»,

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал:

Л.С. Атанасян. Геометрия 10-11 класс, глава 5. §1.

Решение типовых заданий:

Пример 1. Дано: ΔАВС, А(-2; 0; 1), В(-1; 2; 3), С(8; -4; 9). ВМ - медиана.

Найти: координаты вектора BM . Решение: По определению медианы, М - середина отрезка АС. Следовательно, координаты М найдем по формулам координат середины отрезка  M ((82)/2, (4+0)/2,(9+1)/2), M(3,2,5). BM{3+1,22,53}, BM {4,4,2}. Ответ: {4; 4; 2}.

Пример 2. Дано: А(1; 5; 3), В(7; -1; 3), С(3;2; 6). Доказать: ΔABC - прямоугольный. Решение: По формуле расстояния между двумя точками найдем длины отрезков АВ, АС, ВС. AB2 = (7 + 1)2 + (5 + 1)2 + (33)2, AB2 = 64 + 36 = 100, BC2 = (73)2 + (2 + 1)2 + (6 3)2, BC2 = 16 + 1 + 9 = 26, AC2 = (3 + 1)2 + (5 + 2)2 + (63)2, AC2 = 16 + 49 + 9 = 74. Проверим равенство АВ2 = ВС2 + АС2, 100 = 26 + 74 верно. По теореме обратной теореме Пифагора делаем вывод, что ΔABC - прямоугольный с гипотенузой АВ.

Пример 3. Дано: ΔАВС; М, N, К - середины сторон соответственно АВ, ВС, АС. М(3; 2; 5), N(3,5; 1; 6), К(1,5; 1; 2). Найти: координаты А, В, С. Решение: Пусть A (х1; у1z1), В(х2; у2z2), С(х3; у3z3). По формулам координат середины отрезка составим системы для абсцисс, ординат и аппликат. Пользуясь методом сложения, решим эту систему:

Ответ: А(2; 0; 1), В(8; 4; 9), С(1; 2; 3).

Пример 4. Дано: А(2; 1; 2), B(6; 3; 2), С  оси OZ; АС = ВС. Найти: координаты точки С.

Решение: По условию С  оси OZ, значит она имеет координаты С(0; 0; z) и АС = ВС. Составим уравнение, пользуясь формулой расстояния между двумя точками: 

4 + 1 + (z 2)2 = 36 + 9 + (z + 2)2, 5 + z2 – 4z + 4 = 45 + z2 + 4z + 4, 8z = 40, z = 5. Ответ: (0; 0; 5).

Пример 5. Дано: А(2; 1; 2), B(6; 3; 2), С (0; 0; 5); АС = ВС. Найти: SABC).

Решение: По формуле координат середины отрезка АВ найдем координаты точки М — середины: M ((62)/2, (1 + 3)/2,(22)/2), M(4,2,0). AB2 = (6 + 2)2 + (31)2 + (2 + 2)2 = 16 + 4 + 16 = 36, AB = 6.

 СМ-высота равнобедренного ΔABC. CM2 = (40)2 + (20)2 + (0 (5))2 = 16 + 4 + 25 = 45, CM = 3 , SABC) = AB · CM : 2 = 6 · 3 : 2 = 9. Ответ: 9.

Задание: 1вариант.

  1. Дано: ΔАВС; А(1; 2; 3), B(1; 0; 4), С(3; 2; 1). AM - медиана.

Найти: координаты вектора AM .

  1. Дано: А(1; 5; 3), В(1; 3; 9), С(3; 2; 6).Доказать: ΔAВС - прямоугольный.

  2. Дано: ΔАВС, М, N, К - середины сторон соответственно ABBС, AС. М(3; 2; 4), N(6; 4; 10), К(7; 2; 12). Найти: координаты вершин А, В, С.

  3. Дано: A(4; 5; 4), B(2; 3; 4); С  оси  OXAC = ВС. Найти: координаты точки С.

  4. Дано: А(4; 5; 4), B(2; 3; 4), С(1; 0; 0), АС = ВС. Найти: S(ΔABC).

2 вариант.


  1. Дано: ΔАВС; А(1; 4; 3), B(2; 0; 4), С(4; 2; 2). AM - медиана.

Найти: координаты вектора AM .

  1. Дано: А(1; 4; 2), В(7; 2; 2), С(3; 2; 6).Доказать: ΔAВС - прямоугольный.

  2. Дано: ΔАВС, М, N, К - середины сторон соответственно ABBС, AС. М(3; 2; 1), N(3; 2; 2), К(2; 4; 3).Найти: координаты вершин А, В, С.

  3. Дано: A(1; 2; 1), B(3; 2; 1); С  оси  OXAC = ВС. Найти: координаты точки С.

  4. Дано: А(1; 2; 1), B(3; 2; 1), С(0; 0; 1), АС = ВС. Найти: S(ΔABC).

Критерии оценки: Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-5, Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-4, Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3.

Требования к оформлению самостоятельной работы: Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.

Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.







Самостоятельная работа № 29

Тема: Составление опорного конспекта «Умножение вектора на число». 

Цель работы:

  • закрепить понятия: умножения вектора на число и его свойства, законы;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

План работы:

  1. Определение умножения вектора на число;

  2. Свойства умножения вектора на число;

  3. Законы умножения вектора на число;

  4. Примеры задач;



Методические рекомендации к составлению конспекта:


Конспект– это работа с другим источником.

Цель –зафиксировать ,переработать тот или иной текст.

Конспект представляет собой дословные выписки из текста источника. При этом конспект это не полное переписывание чужого текста. При написании конспекта сначала прочитывается текст –источник, в нем выделяются основные положения , подбираются примеры , идет перекомпоновка материала, а затем уже оформляется текст конспекта. Конспект может быть полным, когда работа идет со всем текстом источника или неполным, когда интерес представляет какой-либо один или несколько вопросов, затронутых в источнике.

Общую последовательность действий при составлении конспекта можно определить таким образом:

1. Уяснить цели и задачи конспектирования.

2.Внимательно прочитать текст параграфа, главы и отметить информационно значимые места.

3. Составить конспект.

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : содержание соответствует теме, материал проработан глубоко, грамотно и полно использованы источники, приведены сложные примеры;

Оценка «4» выставляется , если : материал проработан не глубоко, использованы не все источники, приведены сложные примеры ;

Оценка «3» выставляется, если : материал проработан не полностью, приведены примеры.


Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.









Самостоятельная работа № 30

Тема: Типовой расчет по теме «Скалярное произведение векторов».

Цель работы:

  • повторить, закрепить основные понятия по теме «Скалярное произведение векторов»,

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал: Л.С. Атанасян. Геометрия 10-11 класс, глава 5. §2.

Решение типовых заданий:

Пример 1. Даны векторы hello_html_m411373b9.jpgВычислите hello_html_m255ec84f.jpg

Решение: hello_html_m75aa0817.jpgОтвет: 6. Пример 2. Вычислить угол между прямыми AB и CD, если А(; 1; 0), В(0; 0; 2), С(0; 2; 0), D(; 1; 2). Решение:

hello_html_30566bad.jpgОтвет: 60°. Пример 3. Найдите скалярное произведение hello_html_mde78fa2.jpgесли hello_html_m3e197e0a.jpg Решение: hello_html_mde78fa2.jpg = 3·  cos 120° = 12· (1/2) = 6. Ответ: 6. Пример 4. В кубе ABCDA1B1C1D1 диагонали грани ABCD пересекается в точке N, а точка M ежит на ребреA1D1, причем А1М : MD1 = 1 : 4.Вычислите синус угла между прямой MN и плоскостью грани DD1C1C. Дано: ABCDA1B1C1D1 - куб, AC ∩ BD N A1D1, А1М : MD1 = 1 : 4 (рис.). Найти:  sin(MN,(DD1C1C)). Решение: Введем систему координат так, чтобы В(0; 0; 0), АВ  ох, ВС  оу, ВВ1  oz, А(а; 0; 0), С(0; а; 0), D(а; а; 0), В1(0; 0; а), А1(а; 0; а), С1(0; aa), D1(а; а; а), М(а; a/5; a), N(a/2;a/2; 0).Угол между прямой и плоскостью –это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость. hello_html_m1dc61b1.jpg В ΔMFNhello_html_5450a8af.jpg так как hello_html_6c6424dc.jpghello_html_7f82cb27.jpg Значит, hello_html_m399731d3.jpg  Ответ: hello_html_m249782ba.jpg.hello_html_4ab53b1a.jpg



Пример 5. Дано: прямые АВ и CD; А(8; 2; 3), В(3; 1; 4), С(5; 2; 0), D(7; 0; 2). Найти: hello_html_m7b608a66.jpgРешение: hello_html_m53566d8c.jpg hello_html_17d41745.jpghello_html_m32b98f0.jpg Так как углом между прямыми считают острый угол, то hello_html_m3112ab02.jpg Ответ: 5/9.

Задание: 1вариант.

  1. Даны векторы hello_html_13c664e1.jpg Вычислите hello_html_m255ec84f.jpg 

  2. Вычислите угол между прямыми АВ и CD, если А(6; 4; 8), В(8; 2; 4), С(12; 6; 4), D(14; 6; 2).

  3. Найдите скалярное произведение hello_html_47df0bda.jpg если hello_html_4cc243af.jpg

  4. В кубе ABCDA1B1C1D1 диагонали грани ABCD пересекается в точке N, а точка M ежит на ребреA1D1, причем А1М : MD1 = 1 : 4. Вычислите синус угла между прямой MN и плоскостью грани  AA1D1D.

  5. Дано: прямые АВ и CD; А(7; 8; 15), В(8; 7; 13), С(2; 3; 5),  D(1; 0; 4). Найти: hello_html_66809286.jpg

2 вариант.

  1. Вычислите скалярное произведение hello_html_6774ecbf.jpg если hello_html_6f5e66b5.jpg

  2. Вычислите угол между прямыми АВ и CD, если А(3; 2; 4), В(4; 1; 2), С(6; 3; 2), D(7; 3; 1).

  3. Найдите скалярное произведение hello_html_47df0bda.jpg если hello_html_4cc243af.jpg120 °.

  4. В кубе ABCDA1B1C1D1 диагонали грани ABCD пересекается в точке N, а точка M ежит на ребреA1D1, причем А1М : MD1 = 1 : 4. Вычислите синус угла между прямой MN и плоскостью грани  ABCD.

  5. Дано: прямые АВ и CD; А(4; 1; 2), В(5; 0; 1), С(3; 1; 0),  D(7; 3; 4). Найти: hello_html_66809286.jpg


Критерии оценки: Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-5, Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-4, Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3.

Требования к оформлению самостоятельной работы: Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.

Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.





Самостоятельная работа № 31

Тема: Составление кроссворда по теме «Стереометрия».

Цель работы: повторение и закрепление знаний, в части правильности написания терминов и определений к ним; формирование умений поиска информации.

Методические рекомендации к составлению кроссвордов

  1. Ознакомьтесь со списком рекомендуемой литературы и источников.

  2. Повторите теоретический материал, соответствующий теме кроссворда, воспользовавшись материалом учебника, справочной литературой, конспектом лекции..

  3. Запишите ответы по определениям по горизонтали и вертикали.

  4. Проведите анализ, проверьте орфографию.

  5. Оформите второй вариант кроссворда с заполненной сеткой.

Задание:

hello_html_53682ddb.jpg





Кроссворд по теме «Стереометрия».



hello_html_m175650b9.png

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : отгаданы все слова верно и построена таблица с ответами,

Оценка «4» выставляется , если : отгаданы все слова верно, но не построена таблица с ответами,

Оценка «3» выставляется, если : отгаданы не все слова верно, не построена таблица с ответами.

Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.
Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.

Самостоятельная работа № 32

Тема: Составление опорного конспекта « Степень числа и ее свойства».

Цель работы:

  • повторить понятия: степень числа , основание и показатель степени, свойства степени;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом .

План работы:

  1. Определение понятия «Степень числа»;

  2. Определение основания и показателя степени;

  3. Свойства степени числа;

  4. Примеры на вычисление степени числа ;

  5. Составить таблицу степеней от 1 до 10 чисел от 2 до 9;

Методические рекомендации к составлению конспекта:


Конспект– это работа с другим источником.

Цель –зафиксировать ,переработать тот или иной текст.

Конспект представляет собой дословные выписки из текста источника. При этом конспект это не полное переписывание чужого текста. При написании конспекта сначала прочитывается текст –источник, в нем выделяются основные положения , подбираются примеры , идет перекомпоновка материала, а затем уже оформляется текст конспекта. Конспект может быть полным, когда работа идет со всем текстом источника или неполным, когда интерес представляет какой-либо один или несколько вопросов, затронутых в источнике.

Общую последовательность действий при составлении конспекта можно определить таким образом:

1. Уяснить цели и задачи конспектирования.

2.Внимательно прочитать текст параграфа, главы и отметить информационно значимые места.

3. Составить конспект.

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : содержание соответствует теме, материал проработан глубоко, грамотно и полно использованы источники, приведены сложные примеры;

Оценка «4» выставляется , если : материал проработан не глубоко, использованы не все источники, приведены сложные примеры ;

Оценка «3» выставляется, если : материал проработан не полностью, приведены примеры.


Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.











Самостоятельная работа № 33

Тема: Составление опорного конспекта «Пропорция».

Цель работы:

  • повторить понятия: отношения величин, пропорции, свойство пропорции, виды пропорций;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

План работы:

  1. Определение отношения величин;

  2. Составить таблицу перехода от одних величин к другим (единицы измерения массы, времени);

  3. Примеры на вычисление отношения величин;

  4. Определение понятия пропорции;

  5. Виды пропорций;

  6. Свойство пропорции;

  7. Примеры на вычисление пропорций;

  8. Примеры на вычисление пропорций профессионального характера.

Методические рекомендации к составлению конспекта:


Конспект– это работа с другим источником.

Цель –зафиксировать ,переработать тот или иной текст.

Конспект представляет собой дословные выписки из текста источника. При этом конспект это не полное переписывание чужого текста. При написании конспекта сначала прочитывается текст –источник, в нем выделяются основные положения , подбираются примеры , идет перекомпоновка материала, а затем уже оформляется текст конспекта. Конспект может быть полным, когда работа идет со всем текстом источника или неполным, когда интерес представляет какой-либо один или несколько вопросов, затронутых в источнике.

Общую последовательность действий при составлении конспекта можно определить таким образом:

1. Уяснить цели и задачи конспектирования.

2.Внимательно прочитать текст параграфа, главы и отметить информационно значимые места.

3. Составить конспект.

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : содержание соответствует теме, материал проработан глубоко, грамотно и полно использованы источники, приведены сложные примеры;

Оценка «4» выставляется , если : материал проработан не глубоко, использованы не все источники, приведены сложные примеры ;

Оценка «3» выставляется, если : материал проработан не полностью, приведены примеры.


Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.






Самостоятельная работа №34

Тема: Решение криптограмм по теме «Уравнения».

Цель работы:

  • повторить решение линейных уравнений;

  • расширение кругозора обучающихся;

  • развитие творческого интереса к математике;

  • воспитание стойкости, находчивости, любознательности;



Методические рекомендации :

Криптограммы- это зашифрованное письмо, где с помощью цифр можно найти ответ на вопрос или составить цитату, используя таблицу «цифра-буква».

В этой работе надо решить линейные уравнения, найти их корни, а затем по таблице найти ответ на вопрос или составить цитату.

Пример: (из к-2)

Решив уравнения, найти ответ на вопрос: «Что есть у каждого слова, растения и уравнения?»

1)2х -15 =5, 2) х + 6 = 20, 3) 12 – х = - 4, 4) 3х -8 = 10,5) 15 – х = 2, 6) х - 15 = 10 ,

Решение: решив данные уравнения, получим числа 10, 14, 16, 6, 13,25 ,

по таблице найдем буквы к, о, р, е, н, ь. Ответ: корень.

Задание: К-1. Составить цитату:

  1. 22 6 11 14 3 6 10 *15 14 5 14 2 6 13 *5 16 14 2 9,22 9 17 11 9 18 6 11 25*6 6*18 14, 22 18 14*14 13* 6 17 18 25, 1* 8 13 1 12 6 13 1 18 6 11 25*18 14, 22 18 14* 14 13* 14* 17 6 2 6* 5 19 12 1 6 18. 22 6 12* 2 14 11 25 23 6*8 13 1 12 6 13 1 18 6 11 25, 18 6 12* 12 6 13 25 23 6*5 16 14 2 25. ( 11.13. 18 14 11 17 18 14 9 ).

  2. 13 6 * 5 19 12 1 9,22 18 14*4 14 3 14 16 9 18 25* 9* 5 6 11 1 18 25* 15 16 1 3 5 19* 13 19 7 13 14* 18 14 11 25 10 14 * 3 * 5 6 11 1 21* 3 1 7 13 30 21.

( 11.13. 18 14 11 17 18 14 9 ).

  1. 4 14 3 14 16 9 18 25* 9* 5 6 11 1 18 25* 15 16 1 3 5 19* 13 19 7 13 14* 3 17 6 4 5 1 , 5 1 7 6 *3* 17 1 12 30 21 * 13 6 * 15 14 8 3 14 11 28 18 25* 17 6 2 6*11 7 9. (11.13. 18 14 11 17 18 14 9).

  2. 3 9 5 6 18 25*13 6 17 15 16 1 3 6 5 11 9 3 14 17 18 25*9* 12 14 11 22 1 18 25*14* 13 6 9*--26 18 14 *8 13 1 22 9 18*17 1 12 14 12 19* 5 6 11 1 18 25* 18 1 10 19 27*7 6 * 13 6 17 15 16 1 36 5 11 9 3 14 17 18 25.(1.16. 19 17 17 14).

  3. 5 6 11 1 9 1 9 23 28 18 14, 22 18 14 3 15 14 17 11 6 5 17 18 3 9 9 13 6 14 4 14 16 22 9 18 18 6 2 28 9 13 6 15 16 9 13 19 5 9 18

16 1 17 10 1 9 3 1 18 25 17 28 . ( 15 9 20 1 4 14 16) .

  1. 13 6 5 6 11 1 9 13 9 10 14 4 5 1 18 14 4 14, 22 6 4 14 13 6 8 13 16 2325.

13 14 13 1 19 22 9 17 25 3 17 6 12 19, 22 18 14 17 11 6 5 19 6 18 8 13 1 18 25. ( 15 9 20 1 4 14 16).

  1. 13 6 15 16 6 13 6 2 16 6 4 1 9 8 5 14 16 14 3 25 6 12 17 3 14 6 4 14 18 6 11 1. ( 15 9 20 1 4 14 16).

  2. 15 16 9 19 22 1 9 17 28 7 9 18 25 15 16 14 17 18 14 9 2 6 8 16 14 17 10 14 23 9. ( 15 9 20 1 4 14 16).

К-2. Найти ответ на вопрос:

  1. Решив уравнения, найти ответ на вопрос: «Что означает слово канитель»

1) 2х – 16 = 0, 2) 5х = 4х + 14, 3) 3х = 33, 4) 7х = 5х + 28,

5) 6х = 5х + 18, 6) 14в = 14, 7) 5а – 28 = 4а,

8) 2а – 26 = 0, 9) 5х – 45 = 0, 10) 6х – 18 = 5х, 11) 7у – 25 = 6у.

  1. Решив уравнения, найти ответ на вопрос:

«Как в мифологии называется богиня утренней зари»

  1. 15в – 15 = 0, 2) 12х = 36, 3) 7у = 6у + 16, 4) 7а – 14 = 6а, 5)6у – 96=0,6)17а – 17=0.

  1. Решив уравнения, найти ответ на вопрос:

«Какое растение оказало неоценимую услугу биологии в установлении законов генетики»

1) 5к – 20 = 0,2) 6а = 5а + 14, 3) 7к = 6к + 16, 4) 2у = у + 14, 5) 9а = 8а + 21.

  1. Решив уравнения, найти ответ на вопрос: «Что означает слово Адам»

1) 2к = к + 22, 2) 7а = 42, 3) 4к = 44, 4) 7к = 6к + 14, 5) 12к = 36, 6) 8а – 48 = 0, 7) 7к – 70 = 0.

  1. Решив уравнения, найти ответ на вопрос: «Какой древний символ мудрости?»

  1. 7к = 56,2) 2х = х + 12, 3) 4а – 24 = 0, 4) 7к = 6к + 28.

  1. Решив уравнения, найти ответ на вопрос:

«В каком городе сначала убивают, а потом арестовывают?»

  1. 14х = 28, 2) 7х = 6х + 14, 3) 9у – 21 = 8у, 4) 17а = 17, 5) 5х = 4х + 16, 6) 8к = 48, 7) 3х = 2х + 17, 8) 4а = 3а + 17.

  1. Решив уравнения, найти ответ на вопрос: «Какая самая высокая трава?»

  1. 2х = х + 15, 2) 14к = 14, 3) 7а = 77, 4) 2а = 50, 5) 4к = 48, 6) 13х – 13 = 0.

  1. Решив уравнения, найти ответ на вопрос: «Кто всегда работает с огоньком?»

  1. 2х = 30, 2) 2к = к + 14, 3) 4к – 28 = 0, 4) 13а – 13 = 0, 5) 4к = 3к + 16, 6) 2х – 26 = 0, 7) 7к – 63 = 0, 8) 5к – 50 = 0.

  1. Решив уравнения, найти ответ на вопрос: «Какой самый дорогой металл?»

  1. 2х – 30 = 0, 2) 2у = у + 11, 3) 13к – 13 = 0, 4) 4а = 3а + 18,5) 3х = 27, 6) 6к = 5к + 13, 7) 15х – 15 = 0.

  1. Решив уравнения, найти ответ на вопрос: «Какой самый высокий злак?»

  1. 4х = 8, 2) 11к = 11, 3) 4х = 3х + 12, 4) 4у = 8, 5) 6к = 5к + 19, 6) 8х = 80.

  1. Решив уравнения, найти ответ на вопрос:

«Какое священное растение в Индии и Китае?»

  1. 2х = 22, 2) 2к = к + 14, 3) 7х = 6х + 18, 4) 2х = 28, 5) 5х = 4х + 17.


  1. Решив уравнения, найти ответ на вопрос: «Какое древнее название Ирака?»

  1. 4к = 3к + 15, 2) 4х – 24 = 0, 3) 7к – 16 = 6к, 4) 8х – 17 = 7х, 5) 10у – 90 = 0, 6) 5у – 28 = 4у.

  1. Решив уравнения, найти ответ на вопрос:

«Как называется всякий чужестранец у древних римлян и греков?»

1) 7х – 21 = 0,2) 12к – 12 = 0, 3) 4к = 3к + 16, 4) 5х – 25 = 0,

5) 14х = 14, 6) 3к = 48.

  1. Решив уравнения, найти ответ на вопрос:

«Как называется место впадения реки?»

  1. 2х = 38, 2) 2у = у + 17, 3) 4к – 72 = 0, 4) 3х = 75, 5) 7у – 42 = 0.



Таблица «цифра-буква».



цифра-буква

цифра-буква

цифра-буква

цифра-буква

цифра-буква

1) А

7) Ж

13) Н

19) У

25) Ь

2) Б

8) З

14) О

20) Ф

26) Э

3) В

9) И

15) П

21) Х

27) Ю

4) Г

10) К

16) Р

22) Ч

28) Я

5) Д

11) Л

17) С

23) Ш

29) Ц

6) Е

12) М

18) Т

24) Щ

30) Ы



Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнена работа полностью (к-1,к-2), с подробным решением уравнений;

Оценка «4» выставляется если : выполнена работа не полностью ( 70-80 % ) из к-1,к-2, с подробным решением уравнений;

Оценка «3» выставляется если : выполнена работа не полностью ( 50 %), уравнения решены кратко.

Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.

Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.





Самостоятельная работа №35

Тема: Типовой расчет по теме «Решение систем уравнений и неравенств».

Цель работы:

  • повторить понятия: решение систем уравнений разными способами;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал:

Ш.А. Алимов. Алгебра 7-9 класс.

Решение типовых заданий:

Пример 1.а) Решить систему уравнений .

Решение: Значения х и у можно рассматривать как корни квадратного уравнения

z ² 5 z + 4 = 0.

Имеем: z ₁ =1, z  = 4. Оба уравнения системы симметричны относительно х и у , поэтому получаем две пары решений: если одно решение х  = 1, y  = 4, то второе будет, наоборот: х  = 4, y  = 1.

Ответ: (1;4),(4;1).

б) Решить систему уравнений .

Решение: Здесь коэффициенты при у по абсолютному значению равны между собой, но противоположны по знаку. Для получения уравнения с одним неизвестным уравнения системы почленно складываем:


___________

5х = 20;

х = 4.

Полученное значение х = 4 подставляем в какое-нибудь уравнение системы (например, в первое) и находим значение у :

2 · 4 + у = 11, y = 11 8, y = 3.

Следовательно, система имеет решение: х = 4, у = 3.

Ответ: (4;3).

Пример 2. Решить систему уравнений .

Решение: .

Составляем уравнение

t ²41 t  400 = 0.

Откуда t  = 25, t  = 16. Значит х ² = 25, у ² = 16 и, наоборот, у ² = 25; x ² = 16.

1, 2 = ±5; x 3, 4 = ±4;

1, 2 = ±4; y 3, 4 = ±5.

Учитывая, что ху > 0, получаем всего четыре решения данной системы.

= 5, у  = 4; х  = -5, y  = -4; x  = 4, y  = 5; x  = -4, y  = -5.

Ответ:(5;4),(),(4;5),().


Пример 3. Решить систему уравнений .


Решение: Умножим обе части второго уравнения на 2 и прибавим к первому:

х ² у ² 2 ху  2( x y ) = 24.

Положим х  у = z , тогда z ² 2 z  24 = 0, откуда z  = 6, z  = 4. Получается две системы:

,

которые имеют два действительных решения:

= 1, y  = 3 и x  = 3, y  = 1

Ответ: (1;3),(3;1).

Пример 4. Решить систему .

Решение: Пусть  , тогда  .

Имеем:

z ; 15z234z 15 = 0, D = b2 – 4ас = – 4 · 15 · 15 = 1156 900 = 256,

Значит, получаем две системы уравнений:


Решим 1 систему, для этого из 2 уравнения выразим х и подставим в 1 уравнение :

x = 0,6y,

Решим 2 систему, для этого из 2 уравнения выразим у и подставим в 1 уравнение :

у = 0,6х,

Откуда находим четыре решения: x  = 3, у  = 5; х  = 3, y  = 5; x  = 5, y  = 3; x  = 5, 

= 3.

Ответ: (3;5),(),(5;3),().

Пример 5. Решить систему неравенств: а) , б), в)

Решение: а) ; Ответ: (0,5; 5].

б) . Ответ: (–1,25; 0,25].

в)

Решим 1 неравенство: , , х  = , х  = 16.

hello_html_5bd89a69.png


Получаем, что .Решим 2 неравенство:х  = , х  = 4.

hello_html_5bd89a69.png

Получаем, что .

Общее решение системы будет являться пересечением полученных промежутков, то есть .

Ответ:.


Задание:

1 вариант.

  1. а) Решить систему уравнений .


б) Решить систему уравнений
.

  1. Решить систему уравнений .


  1. Решить систему уравнений .


  1. Решить систему уравнений .


  1. Решить систему неравенств:


а) , б) , в)


2 вариант.

  1. а) Решить систему уравнений .


б) Решить систему уравнений
.


  1. Решить систему уравнений .


  1. Решить систему уравнений .


  1. Решить систему .


  1. Решить систему неравенств:


а)
, б) , в)


Критерии оценки:


Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-5,


Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-4,


Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3.


Требования к оформлению самостоятельной работы:

Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.










Самостоятельная работа № 36

Тема: Составление опорного конспекта «Формулы сокращенного умножения». 

Цель работы:

  • Повторить формулы сокращенного умножения, виды преобразований с помощью формул сокращенного умножения;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

План работы:

  1. Формулы сокращенного умножения;

  2. Виды преобразований с помощью формул сокращенного умножения;

  3. Примеры преобразований с помощью формул сокращенного умножения;

Методические рекомендации к составлению конспекта:


Конспект– это работа с другим источником.

Цель –зафиксировать ,переработать тот или иной текст.

Конспект представляет собой дословные выписки из текста источника. При этом конспект это не полное переписывание чужого текста. При написании конспекта сначала прочитывается текст –источник, в нем выделяются основные положения , подбираются примеры , идет перекомпоновка материала, а затем уже оформляется текст конспекта. Конспект может быть полным, когда работа идет со всем текстом источника или неполным, когда интерес представляет какой-либо один или несколько вопросов, затронутых в источнике.

Общую последовательность действий при составлении конспекта можно определить таким образом:

1. Уяснить цели и задачи конспектирования.

2.Внимательно прочитать текст параграфа, главы и отметить информационно значимые места.

3. Составить конспект.

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : содержание соответствует теме, материал проработан глубоко, грамотно и полно использованы источники, приведены сложные примеры;

Оценка «4» выставляется , если : материал проработан не глубоко, использованы не все источники, приведены сложные примеры ;

Оценка «3» выставляется, если : материал проработан не полностью, приведены примеры.


Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.











Самостоятельная работа № 37

Тема: Составление опорного конспекта «Функция, график и её свойства».



Цель работы:

  • повторить понятия: функция, виды функций и их свойства, область определения и множество значений функции, график функции, виды функций и их графики;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

План работы:



  1. Определение понятия «Функция»;

  2. Виды функций и их свойства;

  3. Область определения и множество значений функции;

  4. Примеры на вычисление области определения и множество значений функции;

  5. Определение понятия «График функции»;

  6. Виды функций и их графики;

  7. Примеры на построение функций;


Методические рекомендации к составлению конспекта:


Конспект– это работа с другим источником.

Цель –зафиксировать ,переработать тот или иной текст.

Конспект представляет собой дословные выписки из текста источника. При этом конспект это не полное переписывание чужого текста. При написании конспекта сначала прочитывается текст –источник, в нем выделяются основные положения , подбираются примеры , идет перекомпоновка материала, а затем уже оформляется текст конспекта. Конспект может быть полным, когда работа идет со всем текстом источника или неполным, когда интерес представляет какой-либо один или несколько вопросов, затронутых в источнике.

Общую последовательность действий при составлении конспекта можно определить таким образом:

1. Уяснить цели и задачи конспектирования.

2.Внимательно прочитать текст параграфа, главы и отметить информационно значимые места.

3. Составить конспект.


Критерии оценки:


Оценка «5» выставляется если : содержание соответствует теме, материал проработан глубоко, грамотно и полно использованы источники, приведены сложные примеры;


Оценка «4» выставляется , если : материал проработан не глубоко, использованы не все источники, приведены сложные примеры ;


Оценка «3» выставляется, если : материал проработан не полностью, приведены примеры.


Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.

Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.

Самостоятельная работа №38

Тема: Составление опорного конспекта по теме «Действия над комплексными числами».

Цель работы:

  • повторить понятия: алгебраическую, тригонометрическую и показательную форму комплексного числа; действия с комплексными числами: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

План работы:

  1. Понятие комплексного числа.

  2. Алгебраическая форма комплексного числа. Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел.

  3. Возведение комплексных чисел в степень.

  4. Извлечение корней из комплексных чисел. Квадратное уравнение с комплексными корнями.

  5. Действия над комплексными числами (примеры).

Методические рекомендации к составлению конспекта:


Конспект– это работа с другим источником.

Цель –зафиксировать ,переработать тот или иной текст.

Конспект представляет собой дословные выписки из текста источника. При этом конспект это не полное переписывание чужого текста. При написании конспекта сначала прочитывается текст –источник, в нем выделяются основные положения , подбираются примеры , идет перекомпоновка материала, а затем уже оформляется текст конспекта. Конспект может быть полным, когда работа идет со всем текстом источника или неполным, когда интерес представляет какой-либо один или несколько вопросов, затронутых в источнике.

Общую последовательность действий при составлении конспекта можно определить таким образом:

1. Уяснить цели и задачи конспектирования.

2.Внимательно прочитать текст параграфа, главы и отметить информационно значимые места.

3. Составить конспект.

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : содержание соответствует теме, материал проработан глубоко, грамотно и полно использованы источники, приведены сложные примеры;

Оценка «4» выставляется , если : материал проработан не глубоко, использованы не все источники, приведены сложные примеры ;

Оценка «3» выставляется, если : материал проработан не полностью, приведены примеры.


Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение № 1.






Самостоятельная работа № 39

Тема: Типовой расчет по теме «Понятие о корне n-й степени».

Цель работы:

  • повторить понятия: арифметический корень, его свойства, корень n-й степени, применение в вычислениях;

  • развитие умений и навыков работы с таблицами степеней,

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал:

Ш.А. Алимов. Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс, глава 1, §4-5.

Решение типовых заданий:


Пример 1. Вычислите: . Решение: . Ответ: 1.

Пример 2. Вычислите: .

Решение: .

Ответ: - 0,2.

Пример 3. Упростите выражение: .

Решение: . Ответ: 3.

Пример 4. а) = 2 3 = 6. б) 2 = 2 (-3) = - 6. в) 5 = 50,7 = 3,5.

г) = 225 = 45 = 20. д) = = 2. е) = = 3 2 = 6.

ж) = 5 : 22 = 5 : 4 = 1,25. з) = = 9 22 = 9 4 = 36.

Пример 5. Выполнить действия: Решение: Ответ: 28 - .

Пример 6. Решите уравнения: а) х4= 81 ,б) х5=32. Решение: а) х4= 81 , х = 3. б) х5=32, х = 2.

Ответ: а) х = 3, б) х = 2.

Пример 7. а) Вынести множитель из-под знака корня: .

= = 10 .

внесите множитель под знак корня: .



Задание:



1 вариант.

1. Вычислите: а) , б) , в) , г) ,

д) , е) , ж) , з) .

2. Решите уравнения: а) , б) , в) , г)

3.Упростите выражение: .

4. Вычислите: а) , б) , в) .

5. а) внесите множитель под знак корня: 4.

б) вынести множитель из-под знака корня:

, , , .

2 вариант.

1. Вычислите: а) , б) , в) , г) ,

д) , е) , ж) , з) .

2. Решите уравнения: а), б) , в) , г)

3. Упростите выражение: .

4. Вычислите: а) , б) , в) .

5. а) внесите множитель под знак корня: 5.

б) вынести множитель из-под знака корня:

, , ,



Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-6,

Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-4,

Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3.

Требования к оформлению самостоятельной работы:

Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.

Самостоятельная работа № 40

Тема: Решение теста по теме «Степень с рациональным, действительным показателем, ее свойства».

Цель работы: повторить, закрепить основные понятия по теме «Степень с рациональным, действительным показателем, ее свойства».

Методические рекомендации к выполнению теста: Решив задачу, нужно выбрать правильный ответ и записать номер, под которым он записан.

Задание: 1 вариант.

А1. Вычислите .

1) 2; 2) 3; 3) 9; 4) .

А2. Вычислите .

1) 2; 2) 4; 3) 2; 4) 4.

А3. Упростите выражение

1) ; 2) ; 3) а; 4) .

А4. Вычислите

1) 0,25; 2) 0,5; 3) 0,15; 4) 5.

А5. Найдите значения выражения при у = 18.

1) 9(4+3); 2) ; 3) 4+3; 4) 9.

А.6. Упростите выражение

1) 2) 3) 4)

А7. Найдите значение выражения: .


1) 12; 2) 6; 3) 3; 4) –3.


А8. Найдите значение выражения: .

1) ; 2) 1,2; 3) ; 4) .

А9. Найдите значение выражения:

1) 4; 2) 9; 3) 5; 4) 5.


А10. Сократите дробь:

1) а; 2) ; 3) ; 4) а+1.


2 вариант.

А1. Вычислите .

1) 5; 2) 4; 3) 25; 4) .

А2. Вычислите .

1) 2; 2) 4; 3)2; 4) 4.

А3. Упростите выражение

1) ; 2) ; 3) а; 4) .

А4. Вычислите

1) 0,09; 2) 0,03; 3) 0,3; 4) 3.

А5. Найдите значения выражения при а = 4, b = 5.

1) ; 2) 2; 3) 0; 4) .

А.6. Упростите выражение .

1) 2) 3) 4)

А7. Найдите значение выражения: .


1) 45; 2) 5; 3) 3; 4) –45.

А8. Найдите значение выражения: .

1) 5,5; 2) 2; 3) ; 4) .

А9. Найдите значение выражения:

1) 4; 2) 25; 3) 9; 4) 16.

А10. Найдите значение выражения при р = 49.

1) 49; 2) ; 3) ; 4) 7.


Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-10,с записью решения, даже с недочетами. Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-8, с записью решения, даже с недочетами. Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-5. Требования к оформлению самостоятельной работы: Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2. Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.


Самостоятельная работа № 41

Тема: Типовой расчет по теме «Вычисление логарифмов».

Цель работы: Проверить знания и практические умения по преобразованию показательных и логарифмических выражений, используя свойства степени и логарифмов.

Основной теоретический материал:

  1. Ш.А. Алимов. Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс, глава 1, §4-5.

  2. КОНСПЕКТ: Определение логарифма

Логарифм положительного числа hello_html_m2bb7c253.png по основанию hello_html_m6a5903ae.png (обозначается hello_html_m4e112d45.png) — это показатель степени, в которую надо возвести hello_html_m6a5903ae.png, чтобы получить hello_html_m2bb7c253.pngb > 0a > 0а≠ 1.

hello_html_31d4e4e1.png,hello_html_47b89344.png

Пример:

hello_html_m3538fa08.png

Десятичный логарифм — логарифм с основанием 10, который обозначается как hello_html_mcfec4cd.png.

hello_html_148f7858.pnghello_html_m4a295e74.png, так как hello_html_58063524.png

Натуральный логарифм — логарифм с основанием hello_html_74a85552.png, обозначается hello_html_2135e28.png

Свойства логарифма

hello_html_m2d09f31d.jpg


hello_html_63f83bd4.jpg

hello_html_m2c6c867f.jpg

hello_html_m67f8df12.jpg

hello_html_m3de2e483.jpg

hello_html_1c757088.jpg

hello_html_6cbcd636.jpg

Основное логарифмическое тождество

hello_html_2cd4117a.png

hello_html_1f62cf0f.png

Логарифм произведения — это сумма логарифмов

hello_html_m1156f08e.png

hello_html_m456882bb.png

Логарифм частного — это разность логарифмов

hello_html_4474dc35.png

hello_html_m3943a6c3.png

Свойства степени логарифмируемого числа и основания логарифма

Показатель степени логарифмируемого числа hello_html_m2d09f31d.jpg

Показатель степени основания логарифмаhello_html_m2c6c867f.jpghello_html_3a695cbf.jpg

,

в частности если m = n, мы получаем формулу:hello_html_1c757088.jpg,

например:hello_html_14d8aec3.png


Переход к новому основанию

hello_html_m67f8df12.jpg, частности, если c = b, то hello_html_131007ff.png, и тогда:

hello_html_6cbcd636.jpg

hello_html_m4cb88145.jpg

Логарифмирование – это нахождение логарифмов заданных чисел или выражений.

                                                              b
Пример: Найдем логарифм x = a2 · — .
                                                             c

Решение.

Последовательно воспользуемся сразу всеми тремя основными свойствами логарифмов, которые изложены выше (логарифм произведения, логарифм частного и логарифм степени):
                      
b
lg 
x = lg (a2 · —) = lg a2 + lg b – lg c = 2lg a + lg b – lg c.
                      
c

Потенцирование – это нахождение чисел или выражений по данному логарифму числа (выражения).

Потенцировать – значит освобождаться от значков логарифмов в процессе решения логарифмического выражения.

Например, надо решить уравнение log2 3x = log2 9.

Убираем значки логарифмов – то есть потенцируем:

3х = 9.В результате получаем простое уравнение, которое решается за несколько секунд:

х = 9 : 3 = 3.

Но потенцирование не сводится к простому и произвольному убиранию значков логарифмов. Для этого в обоих частях уравнения как минимум должно быть одинаковое значение основания (в нашем случае это число 2).

Решение типовых заданий:

1.1) ;

1.2) ;

1.3) ;

1.4)

;

2.1) ;

3.1) ;

3.2) ;

3.3) ;

3.4)

hello_html_48f51e60.gif.

Задание:

Вариант – 1

  1. Вычислить:

а) ; б) ; в) ; г) . д)

  1. Найдите x, если .

  2. Известно, что , найдите .

  3. Упростите выражение, пользуясь основным логарифмическим тождеством

, , .

  1. Прологарифмируйте по основанию 4 (c>0, b>0)


Вариант – 2

  1. Вычислить:

а) ; б) ; в) ; г) . д)

  1. Найдите x, если .

  2. Известно, что , найдите .

  3. Упростите выражение, пользуясь основным логарифмическим тождеством

, , .

  1. Прологарифмируйте по основанию 10 (a>0, b>0)


Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-5,

Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-4,

Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3.

Требования к оформлению самостоятельной работы:

Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.

Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.

Самостоятельная работа №42

Тема: Составление опорного конспекта «Синус, косинус, тангенс числового аргумента, их знаки».

Цель работы:

  • повторить понятия: синус, косинус, тангенс числового аргумента, их знаки, их вычисление для углов в радианной мере ;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом .



План работы:



  1. Определение понятия синус, косинус, тангенс числового аргумента;

  2. Знаки тригонометрических функций ;

  3. Формулы для вычисления синуса, косинуса, тангенса , их преобразование;

  4. Примеры вычисления тригонометрических функции.


Методические рекомендации к составлению конспекта:


Конспект– это работа с другим источником.

Цель –зафиксировать ,переработать тот или иной текст.

Конспект представляет собой дословные выписки из текста источника. При этом конспект это не полное переписывание чужого текста. При написании конспекта сначала прочитывается текст –источник, в нем выделяются основные положения , подбираются примеры , идет перекомпоновка материала, а затем уже оформляется текст конспекта. Конспект может быть полным, когда работа идет со всем текстом источника или неполным, когда интерес представляет какой-либо один или несколько вопросов, затронутых в источнике.

Общую последовательность действий при составлении конспекта можно определить таким образом:

1. Уяснить цели и задачи конспектирования.

2.Внимательно прочитать текст параграфа, главы и отметить информационно значимые места.

3. Составить конспект.


Критерии оценки:


Оценка «5» выставляется если : содержание соответствует теме, материал проработан глубоко, грамотно и полно использованы источники, приведены сложные примеры;


Оценка «4» выставляется , если : материал проработан не глубоко, использованы не все источники, приведены сложные примеры ;


Оценка «3» выставляется, если : материал проработан не полностью, приведены примеры.


Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.






















Самостоятельная работа № 43

Тема: Составление опорного конспекта «Преобразование тригонометрических выражений».

Цель работы:

  • повторить понятия: cинус, косинус и тангенс двойного и половинного угла, формулы сложения и приведения ;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом .



План работы:



  1. Формулы сложения;

  2. Формулы для вычисления синуса, косинуса и тангенса двойного угла ;

  3. Формулы для вычисления синуса, косинуса и тангенса половинного угла;

  4. Формулы приведения;

  5. Преобразование тригонометрических выражений с помощью формул(примеры).


Методические рекомендации к составлению конспекта:


Конспект– это работа с другим источником.

Цель –зафиксировать ,переработать тот или иной текст.

Конспект представляет собой дословные выписки из текста источника. При этом конспект это не полное переписывание чужого текста. При написании конспекта сначала прочитывается текст –источник, в нем выделяются основные положения , подбираются примеры , идет перекомпоновка материала, а затем уже оформляется текст конспекта. Конспект может быть полным, когда работа идет со всем текстом источника или неполным, когда интерес представляет какой-либо один или несколько вопросов, затронутых в источнике.

Общую последовательность действий при составлении конспекта можно определить таким образом:

1. Уяснить цели и задачи конспектирования.

2.Внимательно прочитать текст параграфа, главы и отметить информационно значимые места.

3. Составить конспект.


Критерии оценки:


Оценка «5» выставляется если : содержание соответствует теме, материал проработан глубоко, грамотно и полно использованы источники, приведены сложные примеры;


Оценка «4» выставляется , если : материал проработан не глубоко, использованы не все источники, приведены сложные примеры ;


Оценка «3» выставляется, если : материал проработан не полностью, приведены примеры.


Требования к оформлению самостоятельной работы:

Работа должна быть выполнена в рабочей тетради №2.


Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.


















Самостоятельная работа № 44


Тема: Типовой расчет по теме «Формулы сложения».

Цель работы:

  • повторить понятия: формулы сложения, преобразования с помощью формул сложения;

  • развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал:

  1. Ш.А. Алимов. Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс, глава 5, §28.

  2. Самостоятельная работа № 43.

  3. Формулы:

sin(α β) = sin α cos β cos α sin β; sin(α β) = sin α cos βcos α sin β;


cos(α β) = cos α cos β sin α sin β; cos(α β) = cos α cos β sin α sin β;




Решение типовых заданий:

Пример 1.Вычислить : а) cos 18° cos 12° sin 18° sin 12°; б) cos 107° cos 17°sin 107° sin 17°;

в) sin 17° cos 13° sin 13° cos 17°; г) sin 43° cos 13° sin 13° cos 43°;

д) , е) .

Решение: а) cos 18° cos 12° sin 18° sin 12° = cos(18°12°) = cos 30° = ;

б) cos 107° cos 17° sin 107° sin 17° = cos(107°17°) = cos 90° = 0;

в) sin 17° cos 13° sin 13° cos 17° = sin(18°12°) = sin 30° = 0,5;

г) sin 43° cos 13° sin 13° cos 43° = sin(43°13°) = sin 30° = 0,5;

д) = tg (9°51°) = tg 60° = ;

е) = tg (65°20°) = tg 45° = 1 .

Ответ: а); б) 0; в) 0,5; г) 0,5; д) ; е) 1.

Пример 2.Вычислить : а) cos π /7 cos /21 sin π/ 7sin /21; б) sin π /3 cos π /12  cos π /3sin π /12; в) .

Решение: а) cos π /7 cos /21 sin π /7sin /21 = cos /7 4π /21) = cos (3π /21 4π /21) =

= cos /21 = cos π /3 = 0,5.

б) sin π /3 cosπ /12 cos π /3 sin π /12 = sin /3 π /12) = sin (4π /12π /12) = sin /12 =

= sin π /4 = /2;

в) = tg (π /7 4π /21) = tg π /3 = .

Ответ: а) 0,5; б) /2; в).

Пример 3. Упростить: а) cos α cos 3α sinα sin3α; б) sin 2α cos α cos 2α sin α;

в) sin α cos 3α cos α sin 3α; г) .

Решение: а) cos α cos 3α sinα sin3α = cos (α 3α) = cos 4α;

б) sin 2α cos α cos 2α sin α = sin (2α α) = sin α;

в) sin α cos 3α cos α sin 3α = sin (αα) = sin 4α; г) = tg (x 3x) = tg 4x.

Ответ: а) cos 4α; б) sin α; в) sin 4α; г) tg 4x.

Пример 4. Упростить : а) cos α cos β sin α sin β, если α = 42 °, β = 18 °;

б) cos(x y) cos(x + y) + sin(x y) sin(x + y).

Решение: а) cos α cos β sin α sin β = cos (α β) = cos (42 ° 18 °) = cos 60 ° = 0,5.

б) cos(x y) cos(x + y) + sin(x y) sin(x + y) = cos ((x  y) – (x + y)) = cos (–2y) = cos 2y.

Ответ: а) 0,5; б) cos 2y .

Пример 5. Докажите справедливость равенства 
sin 2α ( sin 2α sin 2β ) cos 2α ( cos 2α cos 2β ) = 2 cos 
2 ( α β ) . Доказательство: sin 2α ( sin 2α sin 2β ) cos 2α ( cos 2α cos 2β ) = 
=
sin 2 2α sin 2α sin 2β cos 2 2α cos 2α cos 2β =  1 cos ( 2α 2β ) = 2 cos 2 ( αβ ) , что и требовалось доказать.

Задание:

1 вариант.

  1. Вычислить : а) cos 38° cos 22° sin 38° sin 22°; б) cos 55° cos 10°sin 55° sin 10°;

в) sin 47° cos 13° sin 13° cos 47°; г) sin 103° cos 13° sin 13° cos 103°;

д) , е) .

  1. Вычислить : а) cos  π /5 cos π /20 sin π/ 5sin π /20;

б) sin π /4 cos π /12  cos π /4sin π /12; в) .

  1. Упростить: а) cos 2α cos 6α sin 2α sin 6α; б) sin 3α cos α cos 3α sin α;

в) sin 2α cos 3α cos 2α sin 3α; г) .

  1. Упростить : а) cos α cos β sin α sin β, если α = 42 °, β = 48 °;

б) cos(2x y) cos(2x + 3y) + sin(2x y) sin(2x + 3y).

  1. Докажите справедливость равенства 
    sin 2
    α ( sin 2α sin 2β ) cos 2α ( cos 2α cos 2β ) = 2 sin 2 ( α β ) .

2 вариант.

  1. Вычислить : а) cos 95° cos 35° sin 95° sin 35°; б) cos 125° cos 35°sin 125° sin 35°;

в) sin 35° cos 25° sin 25° cos 35°; г) sin 123° cos 33° sin 33° cos 123°;

д) , е) .

  1. Вычислить : а) cos  π /5 cos 2π /15 sin π/ 5sin 2π /15;

б) sin 4π /7 cos π /14  cos 4π /7sin π /14; в) .

  1. Упростить: а) cos 4α cos 3α sin 4α sin 3α; б) sin 5α cos 3α cos 5α sin 3α;

в) sin 2α cos 7α cos 2α sin 7α; г) .

  1. Упростить : а) cos α cos β sin α sin β, если α = 12 °, β = 18 °;

б) cos(3x y) cos(3x + 2y) + sin(3x y) sin(3x + 2y).

  1. Докажите справедливость равенства 
    sin 2
    α ( sin 2α sin 2β ) cos 2α ( cos 2α cos 2β ) = 2 sin 2 ( α β ) .

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание № 1-5,

Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание № 1-4,

Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание № 1-3.

Требования к оформлению самостоятельной работы:

Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.

Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.


Самостоятельная работа № 45

Тема: Типовой расчет по теме «Синус, косинус и тангенс двойного и половинного угла».

Цель работы:

  • повторить понятия: