Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Другое / Другие методич. материалы / Умножение без калькулятора (работа, представленная на НПК)

Умножение без калькулятора (работа, представленная на НПК)

  • Другое

Название документа УМНОЖЕНИЕ БЕЗ КАЛЬКУЛЯТОРА.pptx

УМНОЖЕНИЕ БЕЗ КАЛЬКУЛЯТОРА Выполнила Федорова Настя 6 класс МОУ «Краснопресне...
Яков Перельман Российский ученый, основоположник жанра научно-занимательной л...
Сергей Рачинский – (1836-1902) российский учёный и просветитель, преподавате...
21 век
Цель работы: изучить некоторые рациональные приемы вычислений, представленные...
Чему же мы научились? Какие приема счета Рачинского и Перельмана будем примен...
Прием перекрестного умножения (удобен, когда числа близки к 100) 92 х 98 8 2...
Умножение на 11 35х11=385 356х11= 3916 1238х11=13618 48х11=528 236х11=2596
Умножение на 101, 1001 236х1001=236236 569х1001=569569 96х101=9696 36х101=363...
Умножение на 99, 999, 9999.. 63х99=6237 456х999=455544 8652х9999=86511348 423...
Умножение на 5, 25, 125 34х5=170 32х125=4000 28х25=700
Наше исследование 4 -11 классы 8 примеров на 8 минут
Вопрос Средний % Должен ли современный человек уметь выполнять арифметические...
Мастер-класс
Результат 8 примеров уже за 5 минут Ошибок меньше
Так нужно ли тратить время на то, чтобы научиться считать быстро, рационально...
«Счет и вычисления – основа порядка в голове» Песталоцци Рисунки выполнены а...
1 из 17

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 УМНОЖЕНИЕ БЕЗ КАЛЬКУЛЯТОРА Выполнила Федорова Настя 6 класс МОУ «Краснопресне
Описание слайда:

УМНОЖЕНИЕ БЕЗ КАЛЬКУЛЯТОРА Выполнила Федорова Настя 6 класс МОУ «Краснопресненская СОШ им. В.П. Дмитриева»

№ слайда 2 Яков Перельман Российский ученый, основоположник жанра научно-занимательной л
Описание слайда:

Яков Перельман Российский ученый, основоположник жанра научно-занимательной литературы.

№ слайда 3 Сергей Рачинский – (1836-1902) российский учёный и просветитель, преподавате
Описание слайда:

Сергей Рачинский – (1836-1902) российский учёный и просветитель, преподаватель Московского университета. Создатель сельской школы на своей родине.

№ слайда 4 21 век
Описание слайда:

21 век

№ слайда 5 Цель работы: изучить некоторые рациональные приемы вычислений, представленные
Описание слайда:

Цель работы: изучить некоторые рациональные приемы вычислений, представленные Перельманом и Рачинским, и научиться применять их в математике и в повседневной жизни

№ слайда 6 Чему же мы научились? Какие приема счета Рачинского и Перельмана будем примен
Описание слайда:

Чему же мы научились? Какие приема счета Рачинского и Перельмана будем применять?

№ слайда 7 Прием перекрестного умножения (удобен, когда числа близки к 100) 92 х 98 8 2
Описание слайда:

Прием перекрестного умножения (удобен, когда числа близки к 100) 92 х 98 8 2 Ответ: 9016   87 х 93 13 7 Ответ: 8091

№ слайда 8 Умножение на 11 35х11=385 356х11= 3916 1238х11=13618 48х11=528 236х11=2596
Описание слайда:

Умножение на 11 35х11=385 356х11= 3916 1238х11=13618 48х11=528 236х11=2596

№ слайда 9 Умножение на 101, 1001 236х1001=236236 569х1001=569569 96х101=9696 36х101=363
Описание слайда:

Умножение на 101, 1001 236х1001=236236 569х1001=569569 96х101=9696 36х101=3636 696х1001=696696

№ слайда 10 Умножение на 99, 999, 9999.. 63х99=6237 456х999=455544 8652х9999=86511348 423
Описание слайда:

Умножение на 99, 999, 9999.. 63х99=6237 456х999=455544 8652х9999=86511348 42315х99999=4231457685 325641х999999=325640674359

№ слайда 11 Умножение на 5, 25, 125 34х5=170 32х125=4000 28х25=700
Описание слайда:

Умножение на 5, 25, 125 34х5=170 32х125=4000 28х25=700

№ слайда 12 Наше исследование 4 -11 классы 8 примеров на 8 минут
Описание слайда:

Наше исследование 4 -11 классы 8 примеров на 8 минут

№ слайда 13 Вопрос Средний % Должен ли современный человек уметь выполнять арифметические
Описание слайда:

Вопрос Средний % Должен ли современный человек уметь выполнять арифметические действия с натуральными числами? Да - 95,3 Должен ли современный человек уметь выполнять арифметические действия с натуральными числами в уме? Да - 72 Знаете ли вы другие способы выполнения арифметических действий кроме умножения, сложения, вычитания числа столбиком, деления «уголком»? Нет – 83,4 Хотели бы вы научиться технике быстрого счёта, рационализации вычислений? Да – 92,3

№ слайда 14 Мастер-класс
Описание слайда:

Мастер-класс

№ слайда 15 Результат 8 примеров уже за 5 минут Ошибок меньше
Описание слайда:

Результат 8 примеров уже за 5 минут Ошибок меньше

№ слайда 16 Так нужно ли тратить время на то, чтобы научиться считать быстро, рационально
Описание слайда:

Так нужно ли тратить время на то, чтобы научиться считать быстро, рационально?  

№ слайда 17 «Счет и вычисления – основа порядка в голове» Песталоцци Рисунки выполнены а
Описание слайда:

«Счет и вычисления – основа порядка в голове» Песталоцци Рисунки выполнены автором работы

Название документа Умножение без калькулятора Федорова Настя.doc

Поделитесь материалом с коллегами:

Министерство образования и науки

Российской Федерации

Муниципальное образовательное учреждение

«Краснопресненская средняя общеобразовательная школа

им. В.П. Дмитриева»





проблемно-реферативная работа





«УМНОЖЕНИЕ БЕЗ КАЛЬКУЛЯТОРА»









Выполнила:

учащаяся 6 класса

Федорова Анастасия

Научный руководитель:
учитель математики и информатики

высшей квалификационной категории

Глазунова В.Г.






Тhello_html_m5ec1ff60.gifhello_html_m4e35b090.gifhello_html_m7a5ca17d.gifhello_html_m436288f4.gifверь, 2015



ОГЛАВЛЕНИЕ





















ВВЕДЕНИЕ



«Счет и вычисления – основа порядка в голове»

Песталоцци1

«Умеете ли вы считать? Вопрос, пожалуй, даже обидный для человека старше трехлетнего возраста. Кто не умеет считать? Чтобы произносить подряд «один», «два», «три», - особого искусства не требуется. И все же, я уверен, вы не всегда хорошо справляетесь с таким, казалось бы, простым делом. Все зависит от того, что считать», - писал Яков Перельман в своей «Живой математике».

Сергей Рачинский об обучении своих учеников писал в своей «Сельской школе»: «Посторонних посетителей, изредка заглядывавших в мою школу, всего более поражают умственный счет моих учеников. Та быстрота и легкость, с которой они производят в уме умножения и деления, обращаются с мерами квадратными и кубическими, соображают данные сложной задачи, то радостное оживление, с которым они передаются этой умственной гимнастике, наводят на мысль, что в этой школе употребляются особые усовершенствованные приемы для преподавания арифметики».

В наших учебниках по математике нет ни одного слова про Якова Перельмана и его приемах счета, нет никакой информации и о Сергее Рачинском и его сельской школе. А ведь если посмотреть, какие примеры решали в уме крестьянские дети, можно только удивляться. На каком же высоком уровне стояло математическое мышление у детей.

Последние годы, когда у каждого ученика появился мобильный телефон, компьютер, планшет, желание считать в уме или ручкой на бумаге в столбик, значительно снизилось. И результат – вычислительные ошибки в контрольных, проверочных, экзаменационных работах, когда в руках нет «помощника».

А ведь быстрый счет – это и настоящая гимнастика ума, приучающая в самых разных жизненных ситуациях находить в кратчайшее время нестандартные решения.

И сегодня, когда обществу нужен не просто исполнитель, а человек, способный к самообразованию, который может сам добывать новую информацию, творчески подходит к делу, обладает высокой культурой мышления, стремится к совершенствованию окружающего мира, вновь возрастает роль вычислительных навыков. Вычислять быстро, почти на ходу – вот требование 21 века, несмотря на то, что мир наполнен различными гаджетами.

Гипотеза: изучив рациональные приемы вычислений, учащиеся будут меньше допускать вычислительных ошибок и при этом затрачивать значительно меньше времени.

Объект исследования: использование методов и приёмов быстрого счета для математического развития школьников.

Предмет исследования: нестандартные приёмы и навыки быстрого счета Якова Перельмана и Сергея Рачинского.

Цель данной работы: изучить некоторые рациональные приемы вычислений, представленные Перельманом и Рачинским, и научиться применять их в математике и в повседневной жизни.

Для достижения поставленной цели предполагается решение следующих задач:

  • Изучить литературу по данной теме.

  • Освоить различные приемы быстрого счета и научиться их использовать.

  • Провести диагностику навыков быстрого счета у учащихся

  • Провести мастер-классы «Приемы быстрого счета».

  • Опытным путем установить: способствуют ли знания рациональных приемов быстроте вычислений.


При подготовке работы использовались следующие методы:

поисковый метод с использованием научной и учебной литература, а также поиск необходимой информации в сети Интернет;

практический метод выполнения вычислений с применением нестандартных приемов счета;

анализ полученных в ходе исследования данных.

Никакие компьютеры не заменят человеку живого воображения и памяти, которые формируются или развиваются при устном счете. А навыки устных вычислений нужны были раньше и нужны сейчас, о чем все время свидетельствуют представители разных профессий. «В поле за карандашом и бумагой не побежишь», - говорили когда-то ученики С.А. Рачинского. «На клавиши компьютера не станешь нажимать, когда надо быстро прикинуть стоимость финансовых соглашений», - говорят современные бизнесмены. Везде нужна своя голова, и надо, чтобы она была не пустая.

Именно поэтому, данную тему я считаю актуальной и, изучив приемы быстрого счета, я обязательно научу всех желающих.














ГЛАВА 1. ПРИЕМЫ СЧЕТА ОТ ЯКОВА ПЕРЕЛЬМАНА



    1. Яков Перельман и его «Занимательная математика»

Яhello_html_9d2a2ab.jpgков Исидорович Перельман (1882 – 1942) – российский и советский популяризатор физики, математики, астрономии, один из основоположников жанра научно-популярной литературы и основоположник занимательной науки, автор понятия научно- фантастическое.

Родился 4 декабря 1882 г. в г. Белосток Гродненской губернии. В 1890 г. Яков пошел учиться в первый класс начальной школы, в 1895 г. поступил в Белостокское реальное училище. В 1901 г. поступил в Лесной институт в Санкт-Петербурге. Уже с первого курса начал сотрудничать с журналом «Природа и люди». После окончания института Перельман не только сам пишет для журнала очерки, но и печатает работы других. В июле 1913г. вышла в свет первая часть книги «Занимательная физика». Книга имела ошеломляющий успех у читателей. Вызвала она интерес и в среде физиков. Профессор физики Петербургского университета О. Хвольсон, познакомившись с Перельманом и узнав, что книга написана не ученым-физиком, а ученым-лесоводом, сказал Якову Исидоровичу: «Лесоводов-ученых у нас предостаточно, а вот людей, которые умели бы так писать о физике, как пишете Вы, нет вовсе. Мой вам настоятельнейший совет: продолжайте, обязательно продолжайте писать подобные книги и впредь» [7].

После «Занимательной физики» Перельман издает занимательные «…арифметику», «…алгебру», «…астрономию», «…геометрию» и «…механику» (а также «Живую математику»). В то время книги за авторством Перельмана пользовались огромной популярностью и издавались миллионными тиражами.  Словосочетание «Занимательная <название темы>» говорило о том, что книги с такими названиями — это полезно, понятно и увлекательно.  

У «старости» книг Перельмана есть свои плюсы. Математики тех лет считали, что привычка решать задачи алгебраическими методами портит неокрепшие умы школьников. И самый крутой ученик в классе не тот, кто решил задачу быстрее всех и без помарок, а тот, кто кроме алгебраического решения нашёл и арифметическое, а то и не одним способом. [4]

В нашей работе взяты задачи, приемы счета из книги Я.И. Перельмана «Занимательная арифметика», издание восьмое (1954 г.), электронной брошюры Якова Перельмана «Быстрый счет» (1941) [5] и электронной книги Перельмана «Живая математика» (1967) [6]


1.2 «Русский» способ умножения

Вы не можете выполнить умножение многозначных чисел, хотя бы даже двузначных, если не помните наизусть всех результатов умножения однозначных чисел, т.е. того, что называется таблицей умножения.

В старинной «Арифметике» Магницкого2 необходимость твердого знания таблицы умножения воспета в таких – чуждых для современного слуха –
стихах [2]:

Аще кто не твердит И во всей науки,

Таблицы и гордит, небосвод от муки,

Не может познати Колико не учит,

Числом что множати туне ся удручит

И в пользу не будет,

Аще ю забудет.


Автор этих стихов, очевидно не знал или упустил из виду, что существует способ перемножать числа и без знания таблицы умножения. Этот способ был употребителен в обиходе русских крестьян и унаследован ими из глубокой древности. Суть его в том, что умножение любых двух чисел сводится к ряду последовательных делений одного числа пополам при одновременном умножении другого числа на два. Деление пополам продолжают до тех пор, пока в частном не получится 1. Последнее удвоенное число и есть результат.

Например: 32 х 13

16 х 26

8 х 52

4 х 104

2 х 208

1 х 416


416 и есть результат 32 х13.

А как поступить, если приходится делить пополам нечетное число?

Надо – гласит правило – в случае нечетного числа откинуть единицу и делить пополам остаток, но зато к последнему числу правого столбика нужно будет прибавить все те числа этого столбца, которые стоят против нечетных чисел левого столбика, сумма и будет искомым произведением. Практически это делают так: все строки с четными левыми числами зачеркивают, остаются только те, которые содержат слева нечетные числа.

Пример:

19 х 17

9 х 34

hello_html_m1df1b235.gif4 х 68

hello_html_39e3ff6e.gif2 х 136

1 х 272

Остается сложить 17+34+272 = 323





1.3 Приемы ускоренного умножения

Прием перекрестного умножения [1]

Одним из приемов ускоренного умножения является прием перекрестного умножения, удобный при действии с двузначными числами. Способ этот не нов: он восходит к грекам и индусам и в старину назывался «способом молнии» или «умножением крестиком».

Пусть требуется перемножить 24 х 32. Мысленно располагаем числа по следующей схеме, одно под другим:

2hello_html_21c7bc43.gifhello_html_7e205f73.gif 4

х

3 2

Теперь последовательно производим следующие действия:

  1. 4 х 2 =8 –это последняя цифра результата;

  2. 2 х 2=4; 4 х 3 = 12; 4+12=16; 6 – предпоследняя цифра результата; единицу запоминаем;

  3. 2 х 3=6 да еще удержанная в уме единица, имеем 7 – это первая цифра результата.

  4. Получаем 768.

Другой способ, состоящий в употреблении «дополнений», удобен в тех случаях, когда перемножаемые числа близки к 100.

Например, надо перемножить 92 х 96. Дополнение для 92 до 100 будет 8, для 96 – 4.

Множители: 92 и 96,

Дополнения 8 и 4.

Первые две цифры результата получаются простым вычитанием из множителя «дополнения» множимого или наоборот: т.е. из 92 вычитают 4 или из 96 – 8. В том и другом случае получаем 88; к этому приписывают произведение «дополнений»: 8 х 4 = 32. Получаем результат 8832.

Что полученный результат верен, наглядно видно из следующих преобразований:

92 х 96 = (88+4) х 96 = 88х 96 +4 х 96= 88 (100-4) + 4 (88+8) = 88х100 – 88х4 + 4х88 +4 х 8=8800+32 = 8832.

Еще пример.

Найти произведение 78 и 77.

Множители: 78 и 77

Дополнения 22 и 23.

78 – 23 = 55,

22 х 23 = 506,

5500 +506 = 6006.



Умножение на числа 5, 15, 25 и 125.

Умножение на числа 5, 25 и 125 значительно ускоряется, если иметь ввиду следующее:

5= 10/2; 25 = 100/ 4; 125 = 1000/ 8.

Поэтому, например,

36х5 = 36х10/2=180; 87 х5=87 х10/2=870/2=435;

36х25 = 36х100/4=900; 87х25=8700/4 = 2175;

36х125= 36х1000/8= 4500; 87х125 = 87000/8 = 10875.

При умножении на 15 можно пользоваться тем, что 15 = 10 х 1,5

Например, 36 х 15 = 360+180 = 540;

87х15 = 870 + 435 = 1305.



Умножение на 11, 1001

При умножении на 11 нет надобности писать пять строк:

383

hello_html_297f8edc.gifх 11

383

hello_html_499e926c.gif+ 383

4213

Достаточно лишь под умноженным числом подписать его еще раз, отодвинув на одну цифру:

383 383

+ или +

hello_html_5650447.gifhello_html_m3c4e68d5.gif383 383

4213 4213

Удобный прием существует для умножения двузначных чисел на 11: надо раздвинуть цифры множимого и вписать между ними их сумму:

43 х 11 = 4 7 3.

Если сумма цифр двузначная, то число ее десятков прибавляют к первой цифре множимого:

48 х11 = 4 (12)8 = 528.

При умножении трехзначного числа на 1001, получается результат, состоящий из самого умноженного числа, только написанного дважды, например: 873 х 1001 = 873873; 207 х 1001 = 207207.

При умножении двузначного числа на 10 101 получится также удивительный результат.

73 х 10101=737373; 21 х 10101 = 212121 (само число записывается трижды)

Три девятки

Как быстро умножить любое трехзначное число на число 999?

Например, 573 х 999=573 х (1000-1)=573000-573= 572999 – 572 = 572427

Получается шестизначное произведение; первые три цифры его есть умножаемое число, уменьшенное на единицу, а остальные цифры – «дополнения» первых до 9.

Зная эту особенность, можно «мгновенно» умножать любое трехзначное число на 999.

947х999 = 946 053, 509 х 999 = 508 491,

981 х 999 = 980 019, 247 х 999= 246 753 и т.д.

Также умножают четырехзначные числа на 9999 и т.п.

1372 х 9999 = 13719999 – 1371= 13718628





















ГЛАВА 2 . СЕРГЕЙ РАЧИНСКИЙ И ЕГО ПРИЕМЫ СЧЕТА

2hello_html_m304b9b7c.png.1. Сергей Александрович Рачинский (1836-1902)

Российский учёный и просветитель, преподаватель Московского университета, начавший своё образование на медицинском, а закончивший его на физико-математическом факультете этого учебного заведения, Сергей Александрович Рачинский родился в Смоленской губернии в 1833 в году [8]

Степень магистра ботаники была присвоена ему за диссертационную работу «О движении высших растений». Несмотря на весьма успешную деятельность на поприще естественных наук, в 1867 году Рачинский её оставляет, а в 1872 году поселяется в своем родовом селе Татево и целиком посвящает себя просветительской деятельности, открыв народную школу для крестьянских детей.

В этот период своей жизни, посвятив себя изучению свойств чисел, Рачинский написал несколько книг, наиболее известными из которых стали «1001 задача для умственного счета», хорошо известная и сегодня, «Арифметические забавы» и «Геометрические забавы».

Своим наиболее талантливым ученикам Рачинский предоставлял возможность продолжения образования в Москве и Санкт-Петербурге. Один из них, Богданов-Бельский, был отправлен Сергеем Александровичем вначале в училище иконописи «Троице-Сергиевой лавры», а впоследствии в «Московскую школу живописи и ваяния».

Позднее поселившийся в Татево художник, написал несколько картин, наиболее известной из которых стала картина «Устный счёт. В народной школе С.А. Бельского», ныне находящаяся в Третьяковской галерее в Москве.

На картине Николая Петровича Богданова-Бельского, написанной в 1895 году, сhello_html_1595b6d5.jpgельские школьники решают очень интересный пример hello_html_m43169ffd.png

Видно, что им он дается непросто. Похоже, только один парень из одиннадцати одноклассников догадался, как решать этот пример в уме.

Оказывается, что  102 + 112 + 122= 100 + 121 + 144 = 365  и  132 + 142 = 365,  так что (365 + 365) : 365 = 2.

Арифметические задачи, решаемые в уме, ученики особенно любили. Было заведено так, что сам Рачинский сидел или стоял в сторонке, а тот, кто решит написанную на большой черной доске задачу, подбегает к нему и шепчет на ухо ответ. Если решение верно, мальчик становится по правую руку учителя, если неверно - по левую. Желая поощрить наиболее смышленых детей, Рачинский оделял пряниками тех, кто быстрее всех шептал ему на ухо правильный ответ. Эти задачи были напечатаны в особой книжке «1001 задача для устного счета» [10]. Примеры задач приведены в Приложении 1.

Впоследствии, вспоминая свою жизнь, художник напишет: «На дорогу меня вывел Рачинский. Удивительный человек, учитель жизни. Я всем, всем ему обязан. На собственные средства он создал образцовую школу для крестьянских детей. Чистая и радостная атмосфера царила здесь»….Прошли годы. В Татевской средней школе, носящей славное имя народного педагога, раздаются звонки, идут уроки, слышны детские голоса. В школе бережно относятся к памяти замечательного педагога, выполняют его заветы. В актовом зале на стенах пейзажи местных художников, портрет Рачинского, выставки детских рисунков. А на уроках звучат тексты из книги Сергея Александровича «Сельская школа», решаются примеры из его сборника «1001 задача для устного счета»; дети на уроках рисования делают зарисовки с натуры, копируют персонажей с картины Богданова-Бельского «Устный счет». 

2.2. Необычные приемы счета


Последовательности Рачинского для счета в уме

Математически можно доказать, что следующие суммы квадратов равны:

32+42 = 52 (обе суммы равняются 25)

102+112+122 = 132+142 (сумма равняется 365)

212+222+232+242 = 252+262+272 (что составляет 2030)

362+372+382+392+402 = 412+422+432+442 (что равняется 7230)

Последовательность Рачинского может пригодиться для решения  задач из сборника "1001 задача для умственного счета".


Способ возведения в квадрат любого двузначного числа,
превышающего 25. [9]

Однажды на уроке арифметики Сергей Александрович спросил учеников: «Сколько будет 84 х 84?» Ответ не заставил себя долго ждать. Один из учеников быстро назвал результат умножения: 7056.

Как мы сказали бы сегодня, он нашел квадрат числа 84. Удивленный учитель спросил мальчика: «Как ты получил такой результат?» Ответ был короток: «Да ведь это квадратная сажень!» Ученик знал, что в сажени содержится 7 футов, а в каждом футе - 12 дюймов. Поэтому его решение было таким:
84 х 84 = (7 х 12) х (7 х 12) = 49 х 144 = 50 х 144 - 144 = 7200 - 144 = 7056.

Оно было красивым и быстрым. А главное, произведено в уме.

Если запомнить квадраты всех чисел от 1 до 25 (большинство учеников их помнят), то легко найти и квадрат любого двузначного числа, превышающего 25.

Рачинский указывает для этого следующий способ: «Для того чтобы найти квадрат любого двузначного числа, надо разность между этим числом и 25 умножить на 100 и к получившемуся произведению прибавить квадрат дополнения данного числа до 50 или квадрат избытка его над 50».

Если найти квадрат числа 37 по методу С.А. Рачинского, то получится следующее: 372 = 12 х 100 + 132 = 1200 + 169 = 1369.

В книге «1001 задача для умственных вычислений» приводится общее правило и его вывод, по которому можно найти квадрат любого двузначного числа.
Пусть М - двузначное число. М = 10m + n.

(М - 25) х 100 + (50 - М)2 = 100M - 2500 + 2500 - 100M + M2 = M2.

Способ умножения двузначных чисел, сумма единиц которых равна 10.

«Пусть даны два двузначных числа, у которых сумма единиц равна 10.

М = 10m + n, K = 10a + 10 - n. Составим произведение.

M x K = (10m+n)x(10a+10-n)= 100am+100m - 100mn + 10an + 10n - n2 = mx(a+1)x100+nx(10a+10-n)-10mn=(10m)x(10x(a+1)+nx(K-10m)».

Полученный вывод применим к нахождению произведения двух чисел, у которых сумма единиц равна 10.

Например, 54х26=60х20+6х34=1200+204=1404

Интересно, что этот удобный способ умножения придумал один из учеников Сергея Александровича. «Этот прием - измышление 12-летнего мальчика, усердствовавшего в моей школе по части умственного счета и удивившего меня мгновенным умножением 43 на 87. От него научился я в таких случаях множить 40 на 90 и прикладывать 3 на 47», - писал С.А. Рачинский.


Способ умножения числа, записанного только одними девятками, на число, имеющее с ним одинаковое количество цифр

 Для того чтобы найти произведение числа, написанного одними девятками, на число, имеющее с ним одинаковое количество цифр, надо от множителя отнять единицу и к получившемуся числу приписать другое число, все цифры которого дополняют цифры числа до 9.



Примеры:

hello_html_ma466f9e.jpg


Числа, «раздвигаемые» при умножении

Следует "раздвинуть" цифры числа, умножаемого на 11, и в образовавшийся промежуток вписать сумму цифр десятков и единиц, причем если эта сумма больше 9, то, как при обычном сложении, следует единицу перенести в старший разряд.

Пример:

34 · 11 = 374, так как 3 + 4 = 7, семерку помещаем между тройкой и четверкой;

68 · 11 = 748, так как 6 + 8 = 14, четверку помещаем между семеркой  и восьмеркой (к шестерке прибавляется перенесенная единица)

Объяснение:

10a+b - произвольное число, где a - число десятков, b - число единиц.

Имеем:

(10a+b)·11 = 10a·11 + b·11 = 110a + 11b = 100a + 10a + 10b + b = 100a + 10·(a+b) + b,

где мы имеем a сотен, a+b десятков и b единиц. т.е. результат содержит a·(a+1) сотен, два десятка и пять единиц.

Рассмотрим пример: 43625·11

Составляем произведение: 5 единиц, 5+2=7 десятков, 2+6=8 сотен, 6+3=9 тысяч, 3+4=7 десятков тысяч, 4 сотни тысяч.

Итак, 43625·11=479875

8324·11 = 91564.



ГЛАВА 3. ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ ЧАСТЬ

Диагностика навыков быстрого счета учащихся.

Практика показывает, что многие учащиеся не владеют прочными вычислительными навыками, допускают различные ошибки. Анализируя ошибки, допущенные в проверочных, контрольных работах, можно сделать вывод, что большая часть ошибок - вычислительные. Одна из причин, в руках нет калькулятора, а таблица умножения без ежедневных тренировок забывается, да и считать в столбик долго (не хочется).

Для того чтобы выяснить, знают ли учащиеся нашей школы другие способы выполнения арифметических действий, кроме стандартных умножения столбиком и деления «уголком» и хотели бы узнать новые способы, был проведен опрос среди учащихся 4 – 11 классов.

Ребятам были предложены следующие вопросы:

Должен ли современный человек уметь выполнять арифметические действия с натуральными числами?

Должен ли современный человек уметь выполнять арифметические действия с натуральными числами в уме?

Знаете ли вы другие способы выполнения арифметических действий кроме умножения, сложения, вычитания числа столбиком, деления «уголком»?

Хотели бы вы научиться технике быстрого счёта, рационализации вычислений?

Результаты опроса по классам приведены в Приложении 2.

Анализируя результаты опроса можно сделать вывод, большая часть учащихся считает, что современный человек должен уметь производить арифметические действия с числами (95,3 %), процент учащихся, которые считают, что нужно уметь считать и в уме ниже (72 %), но, несмотря на это, большинство хотят научиться приемам рациональных вычислений.



Сводная таблица результатов анкетирования


Вопрос

Средний %

Должен ли современный человек уметь выполнять арифметические действия с натуральными числами?

Да - 95,3

Должен ли современный человек уметь выполнять арифметические действия с натуральными числами в уме?

Да - 72

Знаете ли вы другие способы выполнения арифметических действий кроме умножения, сложения, вычитания числа столбиком, деления «уголком»?

Нет – 83,4

Хотели бы вы научиться технике быстрого счёта, рационализации вычислений?

Да – 92,3


В каждом классе (с 4 по 11) мы провели небольшую работу, в которую включили 8 примеров на 8 минут:

  1. 37 х 99 = ; 518 х 999=

  2. 72 х 11 = ; 569 х 1001 = ;

  3. 97 х 92 = ; 89 х 93 =

  4. 32 х 25 = ; 24 х 125=

Результаты выполнения заданий приведены в Приложении 2.

Анализируя результаты, можно сделать вывод, что вычислительные ошибки допускает большая часть учащихся. Без единой ошибки выполнила только Ганжа Диана (9 класс).





Сводная таблица результатов вычисления по классам


Средний процент выполнения работы

Правильность выполненных заданий %

4 класс

82,5

78

5 класс

77

77

6 класс

84,4

74

7 класс

72,5

70,2

8 класс

87,5

67,8

9 класс

67,2

86

10 класс

93,75

71,4

11 класс

100

87,5



Затем был проведен мастер-класс по решению подобных примеров. Ребята с интересом слушали, решали сами и запоминали. На закрепление выполнили подобные задания: умножение четырехзначного числа на 9999, умножение трехзначных чисел на 11, умножение на 25, 125, умножение двузначных чисел, близких к 100 способом перекрестного умножения. Не только сократилось время выполнения (за 5 мин выполнены все задания большинством учащихся), но и ошибок практически не стало.

Так нужно ли тратить время на то, чтобы научиться считать быстро, рационально?









ЗАКЛЮЧЕНИЕ



«Математику уже затем учить надо, что она ум в порядок приводит», - писал Михаил Ломоносов3.

Возрастание роли математики в современной жизни привело к тому, что для адаптации в современном обществе и активному участию в нем необходимо быть математически грамотным человеком, знающим свою историю. Каждый должен знать такие имена, как Яков Перельман и Сергей Рачинский. Ученики Рачинского прекрасно знали арифметику. Они легко и быстро решали самые разные задачи. Педагогические находки С.Рачинского надо использовать и в современной школе. И конечно же, надо взять в руки книги Перельмана. В них можно узнать новое и интересное, что не изучается в школьной программе: что это за числовые великаны и числовые лилипуты, что за математические загадки пирамиды Хеопса, а какие есть фокусы без обмана и многое другое.

В процессе исследования:

  • Проведена диагностика навыков быстрого счета учащихся.

  • В результате анализа подобранной литературы найдены и изучены различные рациональные приемы вычислений на умножение.

  • Проведены мастер-классы «Приемы быстрого счета» в 4 – 11 классах.

  • Опытным путем установлено, что знание нестандартных рациональных приемов способствуют быстроте вычислений и при этом допускается меньше ошибок.



Я выбрала тему «Умножение без калькулятора» потому, что хочу научиться считать быстро и рационально, не прибегая к использованию калькулятора. Это поможет более успешно сдать экзамен по математике, а также это необходимо и в повседневной жизни.

Кроме того, умение считать без калькулятора развивает внимательность, наблюдательность и сообразительность, повышает интерес к предмету.

Считаю, задачи работы выполнены, цель достигнута.



































СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ



  1. Я.И. Перельман Занимательная арифметика. Государственное издание Детской Литературы Министерства Просвещения РСФСР Москва 1954.

  2. И.Я. Депман История арифметики. Издательство «Просвещение» Москва 1965.

  3. Научно-теоретический и методический журнал «Математика в школе» №9 2004.

  4. [Электронный ресурс] – Режим доступа: http://lurkmore.to/ Яков Перельман /- Загл. с экрана.

  5. Электронная брошюра Якова Перельмана «Быстрый счет 1941г.» [Электронный ресурс] – Режим доступа: http://www.big-library./

- Загл. с экрана.

  1. Электронная книга Я.Перельман «Живая математика» [Электронный ресурс] – Режим доступа: http://ilib.mccme.ru/djvu/perelman/alive_math.htm /- Загл. с экрана.

  2. Электронная библиотека ЛитМир
    [Электронный ресурс] – Режим доступа: http://www.litmir.me/- Загл. с экрана.

  3. [Электронный ресурс] – Режим доступа: http://uchimsya-reshat-zadach.ru/ - Загл. с экрана.

  4. «Учительская газета», №14 от 5 апреля 2005 года
    [Электронный ресурс] - Режим доступа: http://www.ug.ru/ - Загл. с экрана.

  5. [Электронный ресурс]–Режим доступа: http://www.1001task.ru/topic/ - Загл. с экрана.



ПРИЛОЖЕНИЕ 1


Примеры задач из книги: И.И.Баврин "Сельский учитель С.А.Рачинский и его задачи для умственного счета" М., Физматлит, 2003

1. В течение февраля я прочел весь Ветхий Завет. Прочитывал я по 36 страниц в день. Сколько страниц в Ветхом Завете? [1008]

2. Я купил 11 десятин земли по 23 руб. и 13 десятин по 19 руб. Сколько я заплатил? [500 руб.]

3. Я купил 18 десятин земли по 18 руб. и 12 десятин по 23 руб. Сколько я заплатил? [600 руб.]

4. Я купил 13 десятин земли по 39 руб. и 17 десятин по 29 руб. Сколько я заплатил? [1000 руб.]

5. Куплено 16 десятин леса по 97 руб. и 26 десятин пахоты по 48 руб. Сколько стоит вся земля? [2800 руб.]

6. Куплено 31 десятина леса по 32 руб. и 28 десятин по 36 руб. Сколько стоит вся земля? [2000 руб.]

7. Я купил 37 десятин земли по 37руб. и 11 десятин по 21 руб. Сколько я заплатил? [1600 руб.]

8. Некто был учителем в течение 14 лет. Сколько дней он учительствовал? [5110]

9. Я купил 32 десятины земли, и каждая обошлась мне в 31 руб. 25 коп. Сколько я заплатил? [1000 руб.]

10. Сколько вершков в 375 аршинах? [6000]

11. Я за 100 руб. купил 16 аршин бархата. Сколько стоит аршин?
[6 руб. 25 коп.]

12. Я за 60 руб. купил 16 аршин сукна. Сколько стоит аршин?
[3 руб. 75 коп.]

13. Купец купил за 150 руб. 120 аршин сукна. Сколько стоит аршин?
[1 руб. 25 коп.]

14. Некто тратит 40 коп. в день. Сколько он тратит в год? [146 руб.]

ПРИЛОЖЕНИЕ 2



Результаты анкетирования


5 класс

10 класс

11 класс

8 класс

Должен ли человек уметь выполнять арифметические действия?

Да-100%

Да – 100 %

Да – 100 %

Да - 100%

Должен ли современный человек уметь выполнять арифметические действия с натуральными числами в уме?

Да- 71 %

Да -50 %
Скорее да – 50%

Скорее да -100 %

Да – 83 %

Знаете ли вы другие способы выполнения арифметических действий кроме умножения, сложения, вычитания числа столбиком, деления «уголком»?

Нет-100%

Нет -100 %

Немного – 100 %

Нет - 75%

Хотели бы вы научиться технике быстрого счёта, рационализации вычислений?

Да-71 %

Да -100 %

Да - 100%

Да - 100%







Результаты анкетирования


4 класс

6 класс

7 класс

9 класс

Должен ли человек уметь выполнять арифметические действия?

Да-100%

Да – 87,5 %

Да -100%

Да - 75%

Должен ли современный человек уметь выполнять арифметические действия с натуральными числами в уме?


Да- 83,3%

Да – 62,5 %

Да -80 %

Да – 75%

Знаете ли вы другие способы выполнения арифметических действий кроме умножения, сложения, вычитания числа столбиком, деления «уголком»?

Нет– 100%

Нет-87,5 %

Нет - 80%

Нет - 75%

Хотели бы вы научиться технике быстрого счёта, рационализации вычислений?

Да-100%

Да -100%

Да - 80%

Да – 87,5%









Результаты вычислений по классам
(количество верно выполненных заданий из 8 в %)

5 класс

8 заданий – 0%

7 заданий – 50 %

3 задания – 17 %

2 задания – 33 %

6 класс

8 заданий – 0%

7 заданий – 12,5 %

6 заданий – 62,5 %

3 задания – 12,5 %

1 задание – 12,5 %

7 класс

8 заданий – 0%

6 заданий – 60 %

3 задания – 25 %

15 % не стали выполнять

8 класс

8 заданий – 0%

7 заданий – 14,3 %

6 заданий – 57 %

4 задания – 14,3 %

Нет правильных- 14,3 %





9 класс

8 заданий – 12,5%

7 заданий – 25 %

6 заданий – 25 %

4 задания – 50 %

1 задание – 12,5%

10 класс

8 заданий – 0%

7 заданий – 50%

5 заданий – 50%

11 класс

8 заданий – 0 %

7 заданий – 100%

























1 Иоганн Генрих Песталоцци (1746 - 1827) – швейцарский педагог, «отец современной педагогики»

2 Магницкий Л.Ф. (1699-1739) – русский математик, составил первый русский учебник математики, охватывающий все ее отделы, известные в ту эпоху. Это одна из двух книг, которые Ломоносов назвал «вратами своей учености»

3 Михаил Васильевич Ломоносов (1711 – 1765) – первый русский ученый-естествоиспытатель мирового значения, химик, физик. Разработал проект Московского университета.

28


Краткое описание документа:

Работу выполнила ученица 6 класса. Заняла 1 место на районной научно-практической конференции.

Последние годы, когда у каждого ученика появился мобильный телефон, компьютер, планшет, желание считать в уме или ручкой на бумаге в столбик, значительно снизилось. И результат – вычислительные ошибки в контрольных, проверочных, экзаменационных работах, когда в руках нет «помощника».Но сегодня, когда обществу нужен не просто исполнитель, а человек, способный к самообразованию, который может сам добывать новую информацию, творчески подходит к делу, стремится к совершенствованию окружающего мира, вновь возрастает роль вычислительных навыков.

Цель работы: изучить некоторые рациональные приемы вычислений, представленные Перельманом и Рачинским, и научиться применять их в математике  и в повседневной жизни.

 

 

Автор
Дата добавления 24.03.2015
Раздел Другое
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров755
Номер материала 456752
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх