Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Универсальная формула. Исследовательский проект по математике.
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Универсальная формула. Исследовательский проект по математике.

библиотека
материалов




Бюджетное общеобразовательное учреждение города Омска

«Средняя общеобразовательная школа № 152»





Универсальная формула


Исследовательский проект по математике





Свинцицкая Дарья,

ученица 8 класса,

БОУ г. Омска «СОШ №152»

Руководитель:

Никитина Людмила Ивановна,

учитель физики и математики,

БОУ г. Омска «СОШ №152» 






ОМСК, 2015

ОГЛАВЛЕНИЕ 


Введение:

Актуальность темы.

Цели и задачи темы.

Методы исследования.

Наглядность.

Практическая значимость проекта.

стр. 3

Глава 1. Теоретическая часть

    1. Понятие объема, единицы измерения объема.

    2. Свойства объемов тел.

1.3 Формулы для вычисления объемов геометрических тел.

1.4 Формула Симпсона. …стр. 5

Глава 2. Практическая часть

2.1 Нахождение объёмов правильных геометрических тел.

2.2 Практическое применение универсальной формулы.

... стр. 9


Заключение … стр. 19


Библиографический список …стр. 20









Актуальность исследования:

Одна из интереснейших задач геометрии, результат решения которой важен и в физике, и в химии, и в других областях - определение объемов. Мир вокруг кажется настолько простым и понятным, что определенные школьные знания относят к разряду «ненужных». Но стоит столкнуться, к примеру, с транспортировкой и возникает вопрос о том, как посчитать объем груза. Вопрос определения объемов играет немаловажную роль в строительстве. Возведение домов, других сооружений – дело затратное, стройматериалы требуют внимательного отношения и предельно точного расчета. Некоторые прикладные задачи требуют знаний об объеме зданий и сооружений. Современные квартиры и офисы невозможно представить без системы отопления. Как посчитать объем системы отопления?

Что предпринимать, если форма тела не столь четко определена? Определение объема сложных геометрических конструкций - работа не из легких. Существует ли такая универсальная формула для нахождения объёма тел сложной формы?

Цель работы: Найти универсальную формулу для вычисления объемов нестандартных тел и показать применение этой формулы в различных областях науки, сельском хозяйстве, производстве, а так же в различных жизненных ситуациях.

Задачи:

1. Изучить понятие объема, единицы измерения объема, свойства объемов тел.

2. Познакомиться с формулами для вычисления объемов геометрических тел: куба, прямоугольного параллелепипеда, пирамиды, конуса, цилиндра, шара.

3. Познакомиться с формулой Симпсона.

4. Доказать, что объем геометрического тела можно найти при помощи формулы Симпсона.

5. Собрать и обработать информацию о применении формулы Симпсона в различных жизненных ситуациях.


Методы исследования

Теоретические методы:

Моделирование - практические действия с «заместителем» объекта – моделью.

Анализ и синтез. Методами анализа и синтеза проводится, в частности, начальный этап исследования – изучение специальной литературы по теории вопроса.

Эмпирические методы:

Сравнение - установить сходство предметов и явлений.

Наглядность: модели геометрических тел, таблицы. 

Тип проекта: информационно-исследовательский. 

Практическая значимость работы:

Тема данного проекта актуальна не только для учащихся, но и для взрослых. Умение вычислять объемы различных тел и особенно тел сложной конструкции может пригодиться в любой сфере жизнедеятельности человека.

hello_html_34d3734e.jpg

Глава 1.

1.1 Понятие объема, единицы измерения объема

Наш мир трехгранен, это значит, что у всех тел в природе есть три характеристики: длина, ширина и высота. В совокупности эти величины объединяются в физической величине, называемой объемом тел. Объем — это вместимость геометрического тела, т. е. части пространства, ограниченной одной или несколькими замкнутыми поверхностями. В Международной системе единиц СИ объем измеряется в м3 . [1]

1.2 Свойства объемов тел

Любое тело можно разбить на более простые части. Объем равен сумме объемов его отдельных частей. Равновеликие тела имеют равные объемы. Единицей объема считают объем куба с ребром единичной длины. [1]


1.3 Формулы для вычисления объемов геометрических тел


Все эти формулы объединяет один математический принцип: произведение высоты фигуры на площадь ее основания (V=S*h, где V- объем, S- площадь основания, h – высота фигуры). Вследствие того, что основания у таких фигур представляют собой различные плоские фигуры: квадрат, ромб, треугольник, круг и т.д., тогда и общая формула объема видоизменяется, из-за разных формул площадей основания.

Объем куба

hello_html_2363ebf3.png

Объем куба равен кубу длины его грани.

Формула объема куба: V = a3

V - объем куба,  - длина грани куба.

Объем прямоугольного параллелепипеда

hello_html_m4d719acc.png

Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению его длины, ширины и высоты.

Формула объема прямоугольного параллелепипеда: V = a · b · h

V - объем прямоугольного параллелепипеда,  - длина,  - ширина,  - высота.

Объем пирамиды

hello_html_m55ea132a.png

Объем пирамиды равен трети от произведения площади ее основания на высоту.

Формула объема пирамиды: V = 

1

 So · h

3

V - объем пирамиды,  So - площадь основания пирамиды,  - длина высоты пирамиды.

Объем цилиндра

hello_html_m64749ab6.png

Объем цилиндра равен произведению площади его основания на высоту.

Формулы объема цилиндра: V = π R2 h, V = So h

V - объем цилиндра,  So - площадь основания цилиндра, R - радиус цилиндра, h - высота цилиндра,  π = 3,14.

Объем конуса

hello_html_4891a9aa.png

Объем конуса равен трети от произведению площади его основания на высоту.

Формула объема конуса: V = 

1

 πR2 h

3

V - объем конуса,  So - площадь основания конуса,  - радиус основания конуса,  - высота конуса,  π = 3,14.

Объем шара

hello_html_meb2b7c7.png

Объем шара равен четырем третьим от его радиуса в кубе помноженного на число пи.

Формула объема шара: V = 

4

π R3

3

V - объем шара,  - радиус шара,  π = 3,14. [1]

1.4 Формула Симпсона

То́мас Си́мпсон (20 августа 1710 -14 мая 1761) - английский математик. В 1746 году Симпсон избран в члены Лондонского королевского общества, а ранее — в члены основанного в 1717 году в Лондоне Математического общества. В 1758 избран иностранным членом Шведской королевской академии наук. Назначенный профессором в Королевскую военную академию в Вулидже, Симпсон составил учебники по элементарной математике. В особых отделах геометрии рассматриваются задачи о наибольших и наименьших величинах, решаемые с помощью элементарной геометрии, правильные многогранники, измерение поверхностей, объёмы тел и, наконец, смешанные задачи.

Вот эта замечательная формула, известная в математике под названием формулы Симпсона:

hello_html_m130ae6a6.png[4]









Глава 2

2.1 Нахождение объёмов правильных геометрических тел

Цель исследования: Доказать, что формула Симпсона действительно справедлива для разного рода геометрических фигур.

Задачи исследования:

  1. Используя модели геометрических фигур, рассмотреть способы нахождения объемов при помощи обычных формул и формулы Симпсона.

  2. Сравнить два решения одной задачи.

  3. Проанализировать рациональность применения универсальной формулы на конкретных моделях.


Задача № 1.

Вычисляем объём модели куба по обычной формуле. Для этого измеряем ребро модели куба: а = 12,5 см. V=a3 = 1953,125 cм3


hello_html_27bf9b65.png







Вычисляем объем модели куба по формуле Симпсона V = h/6(Sнижнего основания + Sверхнего основания + 4Sсреднего сечения): площади верхнего, нижнего основания и среднего сечения равны между собой 12,5 * 12,5 = 156,25 см2, h= а.

V = 12,5/6( 156,25 +156,25 + 4* 156,25) = (12,5/6)* (6*156,25) = 12,5*156,25 =1953,125 см3

Задача № 2.

Вычисляем объём модели правильной шестиугольной пирамиды по обычной формуле. Для этого измеряем высоту модели h = 17,2 см и сторону основания а = 6,5 см. Вычисляем S основания= ½(Роснования* r) = 1/2(6*6,5*5,6) = 109,2 см2 , r = Rcos(180/n) = 6,5 *cos(180\6) = 5,6 см, R = а = 6,5 см, V =1/3(S*h) = 1/3(109,2*17,2) = 626 cм3

hello_html_m10d78196.png


Вычисляем объем модели по формуле Симпсона V = h/6(Sнижнего основания + Sверхнего основания + 4Sсреднего сечения): площадь нижнего основания = 109,2 см2 , площадь верхнего основания = 0 и площадь среднего сечения =27,72 см2 S сечения= ½(Рсечения* r) = 1/2(6*3,3*2,8) = 27,72 см2 , r = Rcos(180/n) = 3,3 *cos(180\6) = 2,8 см, R = а = 6,5/2 = 3,3 см, h= 17,2 см.

V = 17,2/6( 0 +109,2 + 4* 27,72) = 626 см3



Задача № 3.

Вычисляем объём модели цилиндра по обычной формуле. Для этого измеряем высоту модели h = 20,4 см и радиус основания R = 14 см. Вычисляем S = π *R2 = 3,14* 142 см2 , V =S*h = 3,14*196*20,4 = 12554,976 cм3

hello_html_3bf3b0b0.png


Вычисляем объем модели по формуле Симпсона V = h/6(Sнижнего основания + Sверхнего основания + 4Sсреднего сечения): площади верхнего, нижнего основания и среднего сечения равны между собой S = π *R2 = 3,14* 142 = 615,44см2, h= 20,4 см.

V = 20,4/6( 615,44 +615,44 + 4* 615,44) = 20,4/6*(6*615,44) = 20,4*615,44 = 12554,976 см3



Задача № 4.

Вычисляем объём модели конуса по обычной формуле. Для этого измеряем высоту модели h = 21 см и радиус основания R = 6 см. Вычисляем S = π *R2 = 3,14* 62 см2 , V =1/3(S*h) = 1/3(3,14*36*21) = 791,28 cм3


hello_html_3d92c6f8.png


Вычисляем объем модели по формуле Симпсона V = h/6(Sнижнего основания + Sверхнего основания + 4Sсреднего сечения): площадь нижнего основания = 3,14* 62 = 113,04 см2, площадь верхнего основания = 0 и площадь среднего сечения S = π *(R/2)2 = 3,14* 32 = 28,26 см2, h= 21 см.

V = 21/6( 113,04 + 0 + 4* 28,26) = 791,28 см3



Задача № 5.

Вычисляем объём модели шара по обычной формуле. Для этого измеряем радиус шара R = 7 см. Вычисляем V =4/3(π *R3) = 4/3(3,14*343) = 1436 cм3

hello_html_m507e1286.png









Вычисляем объем модели по формуле Симпсона V = h/6(Sнижнего основания + Sверхнего основания + 4Sсреднего сечения): площадь нижнего основания + 0, площадь верхнего основания = 0 и площадь среднего сечения S = π *R2 = 3,14* 72 = 153,86 см2, h= 2*R = 14 см.

V = 14/6(0 + 0 + 4*153,86) = 1436 см3


Вывод:

Объемы для каждой модели геометрических тел, найденные двумя способами, оказались равны. Формула Симпсона универсальна для таких тел, как пирамида, цилиндр, шар, куб и конус.


2.2 Практическое применение универсальной формулы

Цель: Показать применение формулы Симпсона в различных областях науки, сельском хозяйстве, производстве, а так же в различных жизненных ситуациях.

Объем ствола дерева

При строительстве, а также в разного рода житейских вопросах иногда бывает необходимо определить объем ствола дерева, вычислить, сколько в нем кубических метров древесины, а заодно и взвесить его. Оказывается, эта задача не так проста, как кажется; точного решения не существует, а довольствуются лишь приближенной оценкой. Даже для срубленного и очищенного от сучьев ствола дерева, задача разрешается далеко не просто. Объем ствола дерева более или менее близок либо к объему усеченного конуса, либо – для ствола дерева с вершинным концом – к объему полного конуса, либо, наконец, – для коротких бревен – к объему цилиндра. Но нельзя ли для расчета взять такую формулу объема, которая годилась бы сразу для всех трех названных тел?

Расчёт объема и массы ствола берёзы

hello_html_5e46d852.png

Воспользуемся формулой Симпсона. Для этого понадобятся четыре измерения – длина ствола и площади трех оснований дерева: нижнего сруба, верхнего и среднего сечения. Если измерить бечевкой окружность ствола и разделить ее длину на число два пи, получим радиус. Высота березы(h) - 10 метров, а окружность ствола (L) на высоте груди и в основании ствола оказалась равной 1,2 м. R = L/(2 π).

S = π *R2 - площадь соответствующих кругов равна 0,113 м 2, а объем ствола по формуле Симпсона V = h/6(Sнижнего основания + Sверхнего основания + 4Sсреднего сечения) V = 10/6(0,113 + 0 + 4*0,113) = 0,94 м3

Можно оценить и массу дерева на корню. Принимая, что 1 куб. метр свежей березовой древесины весит в среднем 670 кг, находим, что масса данной березы = 630 кг.

Вывод: Я располагаю формулой, по которой можно приближенно вычислить объем ствола дерева, не задаваясь вопросом о том, на какое геометрическое тело оно похоже: на цилиндр, на конус или на усеченный конус. Зная плотности различных пород древесины, можно вычислить массу дерева на корню.  

hello_html_1e13a61f.jpg

Объем и масса сена

Для определения запасов корма каждому хозяйству необходимо оценить массу сена, уложенного в скирды и стога. Так как взвесить все скирды и стога невозможно, то для определения их массы находят объем, предварительно определив с помощью пробного взвешивания массу 1 м3 сена. На практике скирды и стога бывают довольно разнообразной формы, поэтому можно воспользоваться универсальной формулой Симпсона.

hello_html_4af3fdab.jpg

Объём помещения сложной формы

Вычислить объем помещения бывает нужно в самых разных ситуациях. Так, объем комнаты нужно знать при установке секционного радиатора отопления. Количество секций в нем прямо зависит от объемов комнаты. Если устанавливается кондиционер, также нужно знать объемы помещения, поскольку отдельный кондиционер предназначен только для конкретного объема помещения.

hello_html_283941b4.jpghello_html_m76d6e72c.jpg

Объём емкостей сложной формы

Вычислить объем емкости, если нет под рукой измерительного цилиндра.



hello_html_m8a65892.png hello_html_4699925.pnghello_html_m1da9e6f2.jpg hello_html_m5ad55324.jpg

Измерение объемов сыпучих материалов


hello_html_7d8ea876.pngТочные замеры объемов складов и объемов перевозимых сыпучих и жидких материалов — это неотъемлемая часть работы горнорудных комбинатов, шахт, нефтеперерабатывающих заводов, химических производств, различных транспортных компаний и предприятий агропромышленного комплекса. Это касается тех производств, сырье или готовая продукция которых довольно сложно поддается точному учету. Речь, прежде всего, идет об учете сыпучих материалов: сельскохозяйственная продукция (зерно, клубни, подсолнечник), стройматериалы (песок, гравий, щебень, цемент), полезные ископаемые (уголь, руда).

hello_html_m5ba84d41.jpg

Традиционным инструментом для определения объемов сыпучих материалов и грунта как при инвентаризации складов так и при земляных работах является обыкновенная геодезическая съемка или применения технологии 3D лазерного сканирования.

Этапы выполняемых работ: 3D лазерное сканирование объектов съемки (бурты, насыпи, котлованы, материалы на складах); построение 3D моделей объектов съемки; вычисление объемов объектов съемки.

hello_html_4b70c3a9.jpg

hello_html_7d8ea876.png

hello_html_7d8ea876.png

Объем котлована

При расчете объема грунта, разрабатываемого при рытье котлована экскаватором, принимают ряд допущений, а именно: неровности дна и стен незначительны, форма котлована соответствует одной из геометрических фигур.

hello_html_c886287.jpg

Объем воронки или ямы


hello_html_16f54fd9.jpg


Ликвидировать последствия стихии поможет формула Симпсона.

Конус выноса в геологии

В геологии существует понятие «конус выноса». Это форма рельефа, образованная скоплением обломочных пород (гальки, гравия, песка), вынесенными горными реками на предгорную равнину или в более плоскую широкую долину. Оценить масштабы поможет формула Симпсона.

hello_html_18894822.jpg

Конус безопасности

По статистике на Земле ежегодно гибнет от разрядов молний 6 человек на 1000000 жителей. Этого бы не случалось, если бы везде были громоотводы, так как они образуется конус безопасности. Чем выше громоотвод, тем больше объем такого конуса.

hello_html_32e18ba8.png

Формула Симпсона так же применима в различных жизненных ситуациях. И такой пример применения описан в художественной литературе.


«Морской волчонок»

В романе "Морской волчонок" Майн Рид повествует о юном любителе морских приключений, который не имея средств заплатить за проезд, пробрался в трюм незнакомого корабля и здесь неожиданно оказался закупоренным на всё время морского перехода. Роясь в багаже, заполнявшем его темницу, он наткнулся на ящик сухарей и бочку воды. Ему необходимо было установить дневную порцию воды. Для этого нужно было узнать, сколько её содержится в бочке, и затем разделить на порции. Как мальчик вычислил объём бочки?


hello_html_2630217b.png

















Вывод:

Проделав исследование, я доказала, что формула Симпсона универсальна для таких тел, как пирамида, цилиндр, шар, куб и конус.

Если форма тела имеет сложные геометрические конструкции, то для определения объема существует универсальная формула - формула Симпсона.

Из всей проделанной работы можно сделать вывод о том, что я располагаю формулой, по которой можно приближенно вычислить объем ствола дерева, воронки, стога сена, не задаваясь вопросом о том, на какое геометрическое тело оно похоже: на цилиндр или конус.

Теперь прогуливаясь по лесу, вам наверно будет, вероятно, интересно определить объём любого дерева. Вычислить сколько в нём кубических метров древесины, а заодно и взвесить его – зная плотность различных пород древесины, можно определить вес дерева на корню.

Формула Симпсона достаточно проста для запоминания, её стоит включить в школьную программу.



















Список используемой литературы

  1. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия, 10-11 : Учеб. для общеобразоват. учреждений – 13-ое изд. – М.: Просвещение, 2007.- 206 с.

  2. Геометрические фигуры. geometricheskie.narod.ru

  3. www.ru.wikipedia.org Геометрия

  4. Перельман Я.И; А.Л. Бондаренко. Геометрия на вольном воздухе.- М.: АСТ: Астрель; Владимир: ВКТ, 2008.- 94,[2] c.

Электронный адрес: www.ast.ru

  1. http://e-science.ru/

  2. http://www.freesession.ru/























Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 02.10.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров411
Номер материала ДБ-231528
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх