Упражнения на закрепление и проверки знаний по теме «Прогрессии»

 Учитель математики  Кожахметова Клара Есмаганбетовна

Упражнения на закрепление и проверки знаний по теме «Прогрессии»

Пример1.Найдите номер  члена арифметической прогрессии, равного 47, если

Решение:

Ответ:11.

Пример2. Найдите  первый  член арифметической  прогрессии, если  , .

Решение:

 .         

  48=23+5d;

  5d=48-23;

  5d=25;

  d=25:5;

  d=5.            

Ответ: -2.

Пример3. Найдите разность арифметической прогрессии, если

Решение

 а

 67=7+15d;

 15d=67-7;

 15d=60;

  d=60:15;

  d=4.            

                                                   Ответ d=4.

Пример4. В арифметической прогрессии .

Найдите а.

Решение:  ;                                          Ответ:1.

Пример5.Между  числами 8 и  26  вставьте  пять  чисел, которые вместе  с данными  числами  составят арифметическую прогрессию.

Решение:

8; .

Ответ: 11; 14;17;20;23.

Пример6. В  арифметической прогрессии  аНайдите

Решение: а

Ответ:102.

Пример7. В арифметической прогрессии ,, .

Найдите n.

Решение:                               Ответ:n=8

Пример8. Найдите сумму  всех натуральных чисел, кратных 6 и не превышающих 70.

                                           Решение.

Из условия следует:

 :

Ответ:396.

Пример9. В арифметической прогрессии , .

Найдите d.

Решение:

  

Ответ:8.

Пример10.             Сколько членов  арифметической прогрессии

105, 98, 91, … нужно взять , чтобы их сумма  была равна нулю?.

Решение:

         Из условия следует , что а, .

Значит d=

Ответ: 31.

Пример11.Найти сумму десяти  первых членов арифметической прогрессии .

Решение:

Так как

  

Ответ: 230.

Пример 12. В арифметической прогрессии , = 16.

Найдите а.

Решение:

По признаку  арифметической прогрессии: каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, есть  среднее арифметическое  соседних с ним членов, имеем:

                         

Ответ: 15,6

Пример13.Найти сумму 19 первых членов арифметической прогрессии, если известно, что

Решение:

 ..

Ответ:1064.

Пример14.Найдите пятый член  геометрической прогрессии, в которой ,

Решение:

Разделим  первое уравнение на второе:  q=2; b;

b; .

Ответ: 48.

Пример15. Между числами 243 и 1 поместите  четыре  числа , которые  вместе  с данными  числами образовали бы геометрическую прогрессию.

Решение:

243; b

Ответ: 81; 27;9;3.

Пример16.Последовательность  3; 6; … - геометрическая прогрессия. Найдите .

Решение:

 

Ответ: 189.

Пример17.Найдите  геометрической прогрессии, если  и .

                                             Решение:

Пользуясь  признаком геометрической прогрессии             найдем b

Ответ: 24

Пример18.Найдите знаменатель геометрической прогрессии, если и .

                                          Решение:

Ответ:

Пример19. В арифметической прогрессии   и  

Найдите  и d.

Решение.

 ; ;  ; 42=;   ; ;  2; (*)   ; 132=;

:4 ; ; (**).Подставив значение

 равенства (*) в равенство (**) получим:

33-7d;   -3d+7d=33-21;  4d=12;  d=12:4=3.

Найдем значение  из равенства (*).

Ответ:

Пример 20. Дана арифметическая прогрессия -18; -14; -10; ….

Укажите номер её первого положительного члена.

Решение.

Так как данная последовательность является арифметической и каждый член начиная со второго больше предыдущего на 4, то получим последовательность: -18;-14; -10; -6; -2; 2;..

Значит , шестой член данной последовательности является положительным числом.

                                           Ответ:n=6.

Пример 21. В геометрической прогрессии  и

Найдите .

Решение:

 и

                           

                              Ответ:±6

Пример 22. Дана арифметическая прогрессия (а, где

. Найдите сумму её членов с 11-го по 20-й включительно.

Решение:

Так как , найдем  и .

  .  Число членов , начиная с 11-го по 20 –й включительно , равно 10.Значит надо найти  сумму десяти членов данной прогрессии, где  первым членом будет  .

Ответ: 320.

Пример23. Дана  бесконечная геометрическая прогрессия (сс суммой 42 и знаменателем .Найти .

Решение:

Найдем   по формуле .

Ответ:24.

Пример24. В арифметической прогрессии 

Найдите число её членов и сумму n первых членов.

Решение.

Ответ: -1975.

Пример25. Найдите сумму шести  членов геометрической прогрессии, у которой  второй  член равен (-2)  , а  пятый член

 равен 16.

Решение:

По условию известно, что прогрессия является геометрической, у которой . Вычислим значение q.

          ;      :

Найдем  по определению геометрической прогрессии.

;   .

Зная  и q можно найти сумму шести членов  данной прогрессии.

.

Ответ:21

Пример26. Является ли  число  членом геометрической прогрессии 4; 2; 1; …? Если является, то укажите его номер.

Решение.

   ; . Зная ,значение  и  найдем q .

q=Найдем  номер члена данной геометрической прогрессии пользуясь формулой n-го члена геометрической прогрессии.

Ответ  :является, n=8.