Уравнение высших степеней. (Работа полезна студентам и начинающим трудовю деятельность педагогам)

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

Первомайская средняя общеобразовательная школа

Исследование видов и методов решения алгебраических уравнений высших степеней

Выполнил: Кугутко Николай,

обучающийся 10А класса

Руководитель: учитель математики высшей квалификационной категории

МБОУ Первомайская СОШ

Забелина Галина Михайловна

Первомайское 2012

СОДЕРЖАНИЕ

Введение………………………………………………………………........................................ 3

Глава 1. История вопроса………………………………………………………………………..4

Глава 2. Методы решения алгебраических уравнений

2.1. Схема Горнера (деление уголком)…………………………………………………………7

2.2. Возвратные уравнения и к ним сводящиеся……………………………………………..11

2.3. Симметрические уравнения………………………………………………………………12

2.4. Однородные уравнения……………………………………………………………………14

2.5. Уравнения вида , где  ………………………17

2.6. В уравнениях вида   ……………………………………20

2.7. В уравнениях вида …………………………………...22

2.8. Выделение полного квадрата……………………………………………………………..23

2.9. Решение уравнений с помощью формулы ……………………25

2.10. Уравнения вида …………………………………………………..25

2.11. Уравнения вида ……………………………25

2.12. Метод разложения на простейшие дроби....…………………………………………….26

2.13. Метод введения параметра………………………………………………………………28

Заключение……………………………………………………………………………………...29

Список литературы……………………………………………………………………………..29

Приложение 1. Задания для самостоятельного решения «Проверь себя»………………….30

Приложение 2. Ответы к заданиям «Проверь себя»…………………………………………30

Введение

Уравнения в школьном курсе алгебры занимают ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему. Действительно, уравнения не только имеют важное теоретическое значение, но и служат чисто практическим целям. Подавляющее большинство задач о пространственных формах и количественных отношениях реального мира сводится к решению различных видов уравнений и их систем. Овладев способами их решения, можно найти ответы на различные вопросы из науки и техники.

Практика олимпиад, выпускных и вступительных экзаменов по математике показывает, что довольно часто приходится сталкиваться с уравнениями степени выше второй. Решение таких уравнений зачастую  вызывает большие трудности. Не все уравнения удается решить.  Как решить эту проблему?  В школьных учебниках уравнение высшей степени – редкость. Поэтому я выбрал тему «Исследование методов решения алгебраических уравнений высших степеней». На будущий год мне предстоит поступление в ВУЗ, что делает эту работу для меня актуальной.

Передо мной встала проблема: при помощи дополнительной литературы, образовательных порталов выявить виды и методы решения алгебраических уравнений высших степеней, не рассматривающиеся в школьном курсе математики, затем освоить найденные методы.

Цель моей исследовательской работы заключается в исследовании видов и методов решения алгебраических уравнений высших степеней и формировании знаний по теме исследования.

Для достижения цели я поставил следующие задачи:

1.        Исследовать литературу, образовательные порталы по теории решения алгебраических уравнений высших степеней.

2.        Отобрать, обработать и классифицировать исследуемый материал.

3.        Составить сборник уравнений высших степеней.

4.        Подготовиться к решению конкурсных заданий по данной теме.

Гипотеза: Возможно ли найти применение выбранной темы в олимпиадных заданиях и ЕГЭ.

Объект исследования: алгебраические уравнения высших степеней.

            Методы исследования:

            поисково-исследовательский;

            аналитический.

Глава 1. История вопроса

Решение уравнений высших степеней – история полная драматизма, разочарования и радости открытия. В течение почти 700 лет математики разных стран пытались найти приёмы решения уравнений третьей, четвёртой и более высоких степеней.        

Со времен Омара Хайяма ученые средневековья почти 400 лет  искали формулу для решения уравнений третьей степени.

Паоло Вальмес за свое открытие поплатился жизнью. Инквизиция отправила Вальмеса на костер. Однако трагедии и неудачи не смогли остановить прогресс.

                                           

Омар Хайям (1048 – 1123)

В своих  математических трудах таджикский ученый описал все возможные виды уравнений  третьей степени и рассмотрел геометрический способ  их решения.

 

Николо Тарталья (1499 – 1557)

решил уравнение в радикалах

 

Джероламо Кардано (1501 – 1576)

Обобщил приемы решения разных видов кубических уравнений. Независимо от  Тартальи открыл формулу корней («формула Кардано»).

                                  

Франсуа Виет (1540 – 1603)

Установил,   каким образом  корни уравнения выражаются через коэффициенты.  Поставил вопрос о существовании  решения уравнений произвольных  степеней в радикалах.

 

Паоло Руффини (1765 – 1822)

Пытался доказать невозможность алгебраического решения общих уравнений  выше четвертой степени.

 

Жозеф Луи Лагранж (1736 – 1813)

Искал признаки уравнений высших степеней, разрешимых в радикалах

Нильс Хенрик Абель (1802 – 1829)

Доказал  неразрешимость в радикалах уравнения пятой степени и более высоких степеней в общем случае.

 

Эварист Галуа (1811 – 1832)

Нашел необходимое и достаточное условие, которому удовлетворяет алгебраическое уравнение, разрешимое в радикалах.

На сегодняшний день нет особых формул решения уравнений высших степеней (степень больше 3-х). Существует некоторое множество видов и методов решения этих уравнений. При разборе решений мне удалось систематизировать некоторый материал по теме исследования.

Обобщённая таблица видов и методов решения уравнений высших степеней.

№	Вид уравнения	Метод  решения
1	Уравнения с целыми коэффициентами	Схема Горнера
2	Возвратные уравнения и к ним сводящиеся.	чётная степень - делим обе части на х2 и вводим новую переменную нечётная степень – сводим к чётной степени
3	Симметрические уравнения                                    a0xn + a1xn-1 +…+ anxn-R +…+ a1x + a0 = 0	решаются, как и возвратные
4	Однородные уравнения  2х2 + 16ху +14у2 = 0,	все члены уравнения делятся на dg3
5	Уравнения вида , где	эффективно решать перемножением  и , а затем делать замену.
6	Уравнения вида	в знаменателях обоих дробей необходимо вынести х за скобки и сделать замену.
7	Уравнения вида	обе части уравнения делятся на
8	Уравнения вида   =8	выделение полного квадрата.
9	Уравнение вида	с помощью формулы
10	Уравнения вида	решаются при помощи замены
11	Уравнения вида	делим обе части на х2 и вводим новую переменную
12	Уравнение вида	сведение левой части к сумме более простых дробей
13	Уравнение вида х3 –(√3 + 1) х2  + 3.	метод введения параметра

Исходя из таблицы, выделяю следующие методы решения:

Стандартные:

1. Разложение на множители

2. Введение новой переменной

Специальные:

1. Деление на подходящее выражение с переменной

2. Выделение полного квадрата

3. Схема Горнера

4. Деление уголком

5. Группировка скобок

6. Специальная замена

7. Представление дроби в виде двух дробей

8. Метод введения параметра

Глава 2. Методы решения алгебраических уравнений

2.1. Схема Горнера (деление уголком)

Теорема: Пусть несократимая дробь q/p является корнем уравнения a₀x_n+a₁x_n−1++a_n-1 x+a_n=0 c целыми коэффициентами, тогда число q является делителем старшего коэффициента a₀, а число р является делителем свободного члена a_n.

Замечание 1. Любой целый корень уравнения с целыми коэффициентами является делителем его свободного члена.

Замечание 2 . Если старший коэффициент уравнения с целыми коэффициентами равен 1, то все рациональные корни, если они существуют - целые.

Корнем многочлена f(x)=a₀x_n+a₁x_n−1++a_n-1 x+a_n является x=c , такое, что f(c)=0 .

Замечание 3. Если x=c корень многочлена f(x)= a₀x_n+a₁x_n−1++a_n-1 x+a_n, то многочлен можно записать в виде : f(x)=(x−c)q(x) , где q(x)=b₀x_n−1+b₁x_n−2++b_n−2х+b_n−1  это частное от деления многочлена f(x) на одночлен x - c

Деление многочлена на одночлен можно выполнить по схеме Горнера:

Если f(x)=a₀x_n+a₁x_n−1++a_n-1x+a_n, а_{0 0}, g(x)=x−c, то при делении f(x) на g(x) частное q(x) имеет вид q(x)= b₀x_n−1+b₁x_n−2++b_n−2х+b_n−1, где b₀=a₀ , b_k=cb_k−1+a_k, k=12n−1 . Остаток r находится по формуле r=cb_n−1+a_n 

	a0	a1	a2	...	an−1	an
x = c	b0=a0	b1=cb0+a1	b2=cb1+a2	...	bn−1=cbn−2+an−1	r=f(c)=cbn−1+an

В первой строке этой таблицы записывают коэффициенты многочлена f(х). Если какая-то степень переменной отсутствует, то в соответствующей клетке таблицы пишется 0. Всегда старший коэффициент частного равен старшему коэффициенту делимого b₀=a₀ . Если x = c является корнем многочлена, то в последней клетке получается 0, т.е. остаток от деления будет равен нулю.

Пример 1.  Решить уравнение .

 равно ±1, , тогда при х = 1:

2 – 5 – 1 + 3 + 1 = 0  => х  = 1- корень этого уравнения.

Воспользуемся схемой Горнера для понижения степени уравнения:

	2	-5	-1	3	1
х =1	2	2*1+(-5)=-3	-3*1+(-1)=-4	-4*1+3=-1	-1*1+1=0	Корень уравнения

Имеем:

              (х - 1)=0 или ,

              х = 1                 равно ±1, , тогда при х = -0,5:

                                     -0,25 - 0,75 + 2 – 1 = 0 => х  = -0,5 - корень этого уравнения.

Воспользуемся схемой Горнера для понижения степени уравнения:

	2      -3      - 4      -1
х = - 0,5	2     - 4      - 2       0

 Имеем: ,

  х = 1 или х = -0,5 или 

 

Ответ: х = 1, х = - 0,5, .

Пример 2. Решить уравнение x³−x²−8x+12=0. 

Решение: Коэффициент при старшей степени равен 1, поэтому целые корни уравнения надо искать среди делителей свободного члена: 1; 2; 3; 4; 6; 12. используя схему Горнера, найдем целые корни уравнения:

	a0=1	a1=−1	a2=−8	a3=12
x = 1	1	0	-8	4	не корень
x = -1	1	-2	-6	18	не корень
x = 2	1	1	-6	0	корень

Если один корень подобран по схеме Горнера. то можно дальше решать так x³−x²−8x+12=(x−2)( x2+x−6)=0(x−2)2(x−3)=0x=2; x=3   

Ответ: x =2, x =3 .

Одним из способов решения УВС является способ разложения на множители многочлена в левой части. Так как, если известен хотя бы один корень уравнения, то с помощью схемы Горнера можно разложить многочлен на множители и понизить степень уравнения.

Значит, основная задача - задача нахождения корня (подбором)!

Пример 3. Решить уравнение .

 Старший коэффициент равен 1, коэффициенты целые числа, значит, корнями могут быть делители числа 6, т.е.  . Используем схему Горнера

	1	6	11	6
-1	1	5	6	0
1	1	7	18	24
-2	1	4	3	0
2	1	8	27	60
-3	1	3	2	0

Так как уравнение третьей степени, значит, уравнение может иметь только три корня.  По схеме Горнера мы их нашли: -1; -2; -3.

Можно было найти один корень с помощью проверки и разделить многочлен, расположенный в левой части уравнения на (х- х₀), где х₀ найденный корень.

 Тогда получим следующее уравнение:  ( х + 1 )( х² + 5х + 6 ) = 0. Квадратные уравнения мы решать умеем.      

Ответ: .

·         Если старший коэффициент не равен 1, то  уравнение с целыми коэффициентами имеет вид:  а₀х^п + а₁х^п-1 + а₂х^п-2 + .. + а_п = 0. Если несократимая дробь  () является корнем этого уравнения, то  р является делителем свободного члена, т.е. а_п , а  п является делителем старшего коэффициента  а₀.

Пример 4. Решить уравнение .

                  Делители свободного члена: , делители старшего коэффициента:.

Тогда корнями уравнения могут быть: .  Проверка:  - корни

Ответ:

·         Очень часто по свободному члену найти корни подбором бывает невозможно. Но и в этом случае иногда можно воспользоваться данным способом с помощью метода переброски.

 Пример 5. Решить уравнение .

Корнями могут быть .

 Тогда воспользуемся переброской коэффициентов и получим:    

 Пусть , тогда

        

Корнями могут быть: .

Подбором  - корень

Тогда разделим  многочлен   на ()

Воспользуемся схемой Горнера:

	1	5	-1	-21
-3	1	2	-7	0

а                                                                          Тогда:  у² + 2у + 7= 0, решая, находим  у_1,2 = -1± . Теперь находим  х.

 Ответ:

Удобно найдя корень х=а, разделить левую часть уравнения на  х - а

Пример 6. Решить уравнение x³ – 2x² – 9 = 0.

Делители 9:  ±1: ±3: ±9

х = 3           27 – 18 – 9 = 0               0 = 0    

х = 3 – корень уравнения

    x³ – 2x² – 9                 х – 3                   

   х³  – 3х³                        х² + х +3                            

                  х² – 9

           х² – 3х

                  3х – 9

                  3х – 9

                          0

(х² + х + 3)(х – 3) = 0

х² + х + 3 = 0                              или                                   х – 3 = 0

D = 1 – 12 = - 11 (корней нет)                                           х = 3                                 

Ответ: х = 3.

Пример 7. Решить уравнение 6х³  - х² – 20х + 12 = 0.

– несократимая дробь,

p– делитель 12         ±1: ±2: ±3: ±4: ±6: ±12

q– делитель 6     1; 2; 3; 6.

х = -2 – корень уравнения, т.к.  - 48 – 4 + 40 + 12 = 0        0 = 0    

 

 6х³  - х² – 20х + 12          х + 2                        

 6х³ + 12х²                        6х² – 13х +6                            

                  -13х² – 20х

           -13х² – 26х

                        6х + 12                                                

                        6х + 12 

                                  0         

(6х² – 13х +6)(х + 2) = 0

6х² – 13х +6 = 0                         или                                       х + 2 = 0

D = 169 – 144 = 25                                                                 х = -2

х₁ = = 1,5               х₂ = =

Ответ: х₁ = 1,5: х₂ = : х₃ = -2.

Пример 8. Решить уравнение  х³  - 6х² + 5х + 12 = 0.

Делители12:              ±1: ±2: ±3: ±4: ±6: ±12

 х = 1 – корень уравнения т.к.    - 1 – 6 – 5 + 12 = 0

х³  - 6х² + 5х + 12               х +1

х³ + х²                                                 х² – 7х + 12

       -7х² + 5х

       -7х² – 7х

                  12х + 12

                   12х +12

                                   0

(х² – 7х + 12)(х +1)  = 0

 х² – 7х + 12 = 0                    или                             х + 1 = 0

 х₁ + х₂ = 7                  х₁ = 3                                     х = -1

 х_{1 *} х₂ = 12                х₂ = 4

Ответ: х₁ = 3;  х₂ = 4: х₃ = -1.

Пример 9. Решить уравнение .

Очевидно  - корень уравнения

Очевидно  - корень уравнения

Ответ: -5; 2; 3; 4

2.2. Возвратные уравнения и к ним сводящиеся.

Уравнение называется возвратным, если в нем коэффициенты равноудаленные от концов совпадают, т.е. , ,

1) Возвратные уравнения четной степени.

Пример 10. Решить уравнение .

т.к.  - не является корнем уравнения, то разделим обе части уравнения на .

Введем замену.

Пусть , , получим

                     ;

Вернемся к замене.

                  или                

                                  

                                 корней нет

Ответ:

2) Возвратные уравнения нечетной степени.

Любое возвратное уравнение нечетной степени сводится к квадратному уравнению четной степени, т.к у любого возвратного уравнения нечетной степени один из корней всегда равен –1

Пример 11 Решить уравнение .

Очевидно  - корень уравнения.

             или    

                                    т.к  - не является корнем уравнения, то разделим обе части

уравнения на

Введем замену.

Пусть , , , получим

             или                                           или                

                                                                         

                                                           

корней нет                                                                 

Ответ: , ,

2.3. Симметрические уравнения.

Определение: уравнение n-ой степени называется симметриче­ским, если у него равны коэффициенты при x^R и при  х^n-R.Таким образом симметрическое уравнение имеет вид:

a₀xⁿ + a₁x^n-1 +…+ a_nx^n-R +…+ a₁x + a₀ = 0

          Симметрические уравнения являются частным видом возвратного уравнения, поэтому симметрические уравнения решаются тем же способом, что и возвратные.

            Различают симметрические уравнения 3-ого порядка и 4-ого по­рядка.

Некоторые свойства симметрических уравнений:

1.      Симметрическое уравнение нечетной степени имеет корень -1.

2.      В результате деления симметрического уравнения нечетной сте­пени на (х + 1) получается симметрическое уравнение чет­ной степени на единицу меньше

3.      Симметрическое уравнение четной степени 2n  подстановкой y = x +  может сводиться в области действительных чисел к уравнению степени n и к уравнениям второй степени.

Пример 12. Решить уравнение .

Это симметрическое уравнение, разделим обе части уравнения на х².  Тогда   

Пусть ,  тогда . Получаем уравнение:

                        

Чтобы найти  х надо решить два уравнения:

                            и             

            х²- х+1 = 0                            2х² -5х +1 =0

          нет корней                           х₁=2, х₂=0,5
Ответ:  0,5; 2

Пример 13. Решить уравнение .

Уравнение имеет корень х = -1, т.к. это симметрическое уравнение нечетной степени. Разделим многочлен в левой части на ( х – 1).Получим:  ( х – 1 )( х⁶- 3х⁵+ 6х⁴ – 7х³ + 6х² -3х + +1) = 0,  х⁶-3х⁵+ 6х⁴- 7х³ +6х²- 3х + 1 = 0.    Разделим обе части  уравнения на х³ и объединим первый член с последним, второй с предпоследним и т.д. Получим:   

Пусть , тогда  ,   .

Получаем:   ,   ( у – 1 )³= 0, значит   у=1

Т.к. , тогда  ,  . Это уравнение не имеет корней, значит, имеем только один корень  -1.  Ответ:  -1

Пример 14. Решить уравнение

Корней  нет.

Ответ:

Пример 15.  Решить уравнение                                                       (6)                                                            

Решение. Данное уравнение является симметрическим уравнением четвертой степени. Так как х = 0 не является его корнем, то, разделив уравнение (6) на х², получим равносильное ему уравнение:

                                                                             (7)

Сгруппировав слагаемые, перепишем уравнение (7) в виде

или в виде

Положив , получим уравнение  

имеющее два корня у₁ = 2 и у₂ = 3. Следовательно, исходное уравнение равносильно совокупности уравнений

 и

            Решение первого уравнения этой совокупности есть х₁ = 1, а решение второго есть  и .  

            Следовательно, исходное уравнение имеет три корня: х₁, х₂ и х₃.

Ответ: х₁=1,  ,  .

2.4. Однородные уравнения.                                                                        

Однородные уравнения – это такие уравнения, у которых в левой части находятся одночлены одной степени, а правая часть равна нулю.

- это уравнение однородное третьей степени. Чтобы решить однородное уравнение, нужно обе его части разде­лить на одно из неизвестных в степени каждого многочлена, с уче­том, что он не равен нулю.

Пример 16. Решить уравнение .

Это уравнение можно свести к однородному, введя новые переменные: пусть х²= а;  (х+1)= в, тогда получим однородное уравнение второй степени:  а² + 5ав = 6в², разделим обе части уравнения на в². Получаем:  ,  пусть , тогда  , где  с₁ = 1, с₂ = -6. Получаем зависимость для а и  в:  .           Т.е.           а=в, значит  х² = х+ 1         и           а = -6в,  значит  х²= -6( х + 1 ) 

                                   х² – х – 1 = 0                                            х²+ 6х + 6х = 0

                                                                                           

ответ

Пример 17. Решить уравнение 2х² + 16ху +14у² = 0.     

Это однородное уравнение второй степени относительно х и у.       

( 0;0) является решением уравнения.

Пусть у, тогда  разделим обе части уравнения на у².

Получаем:    .  Пусть ,     .  Где а₁= -1,

а₂= -7.  Тогда получаем такие уравнения: 

                                         и                     -7

                       х = -у                                          х = -7у

         2у² – 16у + 14у²= 0                                98у² – 112у + 14у² = 0

           у₁=0,   у₂= 1                                            у₃ =0,    у₄ =1

          х₁=0,   х₂= -1                                           х₃ =0,    х₄ = -7

   Ответ:  ( 0; 0 ), ( -1; 1 ), ( -7; 1 ).

Пример 18. Решить уравнение .

Введем замену.

Пусть , , тогда

1) если , тогда , тогда

 решений нет

2) Разделим обе части уравнения на , получим

Решим последнее уравнение, как квадратное относительно , получим

;

;

Вернемся к замене.

                     или                

                                                корней нет

Ответ:

Пример 19. Решить уравнение ,                        

Пусть , , тогда

Найдем

Составим систему:

Решая систему подстановкой, получим

                                  или                            

                                                           

                                                        

корней нет                                                                ;

Ответ: ;

Пример 20. Решить уравнение .

 - не является корнем уравнения

Разделим обе части уравнения на , получим

Введем замену.

Пусть , тогда

;

                         или                            

                                                          

;                                                            ;

Ответ: ; ; ;

Пример 21. Решить уравнение .

Проверим, является ли корнем уравнения:

можно разделить обе части уравнения на . Получаем:

.

Пусть , тогда

,

,   .

Решаем уравнения:

1)  ,      2)  ,

     ,                         ,

      .                                     ,

                                                      .

Ответ: .

2.5. Уравнения вида , где  

эффективно решать перемножением  и , а затем делать замену.

Пример 22. Решить уравнение.

Перегруппируем сомножители и преобразуем полученное уравнение:

                                              

Пусть , тогда получим уравнение:

                                    

Тогда                                  и                   х² + 5х = - 12

                               х² + 5х – 6 = 0                            х² + 5х + 12 = 0

                               D =49                                         D = - 23< 0, значит нет корней

                              х₁=1, х₂= - 6

Значит  1  и  - 6 корни уравнения.  

Ответ: 1; - 6.

Пример 23. Решить уравнение                                             (9)

Решение. Сделаем замену неизвестных

т.е. y=x+3  или x = y – 3. Тогда уравнение (9) можно переписать в виде

(y-2)(y-1)(y+1)(y+2)=10, т.е. в виде

(y²- 4)(y²-1)=10                                                                                                         (10)

Биквадратное уравнение (10) имеет два корня . Следовательно, уравнение (9) так же имеет два корня:

Ответ:

Пример 24.  Решить уравнение                         

 

Ответ:

Пример 25. Решить уравнение

²                                                             

²

² +^{22 2}

                               

 ² 

 ² = 16

   

                      

Ответ:

2.6. В уравнениях вида

и в уравнениях к ним сводящимся, в знаменателях обоих дробей необходимо вынести х за скобки и сделать замену.

Пример 26. Решить уравнение

                  (1)                              

             (2)

При переходе  область определения уравнения сузилась на . Проверим, является ли  корнем уравнения. Не является.

Введем замену.

Пусть , , тогда

;

                        или                            

                                                       

                                                                        

Ответ: ;

Пример 27. Решить уравнение .

Так  как  x=0  не  является  корнем  уравнения, то  разделим  и  числитель  и  знаменатель  на х.

 

Корней  нет.

Ответ:

Пример 28.  Решить уравнение

                    .                                                                           (26)

Решение. Так как   не является решением уравнения (26), то разделив числитель и знаменатель каждой дроби в левой части на , перепишем его в виде  

                                                                                                     (27)                                                                   

 Сделав замену переменных  перепишем уравнение (27) в виде

                                                  .                                                                    (28)

Решая уравнение (28) есть   и   . Поэтому уравнение (27) равносильно совокупности уравнений

                                                     и        .                                              (29)

Корни первого уравнения  этой совокупности есть   и  . Второе уравнение решений не имеет. Следовательно, совокупность (29), а значит, и исходное уравнение имеет два корня:   и  .

Ответ:   .

2.7. В уравнениях вида  обе части уравнения делятся на                                                        

Пример 29.  Решить уравнение.

 - не является корнем уравнения. Разделим на , получим

Введем замену.

Пусть ; , тогда

;

                                или                            

                                                                     

Ответ: ;

Пример 30. Решить уравнение .

Проверим, является ли  корнем уравнения:

можно разделить обе части уравнения на . Получаем

,

.

Пусть , тогда

,

,

,

, .

Решаем уравнения:

1)  ,       2)  ,

    ,                 ,

    , .               .

                                                          Æ

Ответ: , .

2.8. Выделение полного квадрата.

Пример 31. Решить уравнение ,                                 ОДЗ: .

Введем замену.

Пусть , тогда

;

Вернемся к замене.

                                или                            

                                                        

                                                          корней нет

Ответ:

Пример 32. Решить уравнение =8        ОДЗ: 

Выделим полный квадрат в правой части уравнения, тогда получим:

           ,      ,

            ,  пусть  , тогда  у² = 8 + 2у,

            у² – 2у – 8 = 0, где  у₁ =-2,  у₂ = 4.

   т.к. , то    

Значит с учетом ОДЗ - корни уравнения

Ответ:

Пример 33.  Решить уравнение   

Выделим полный квадрат в левой части уравнения:    ,

    , пусть     , тогда  у² + 2у -3 = 0, где у₁= 1, у₂ =-3.

 Получаем два уравнения:                 и                  

                                               х² - х - 1=0                                х² +3х +3 = 0

                                                                           нет корней.

Ответ:  .

Пример 34. Решить уравнение .

 Дополним левую часть уравнения до квадрата суммы:

,

,

.

Пусть выражение   = Т, тогда

Т ² – Т – 2 = 0,

Т = -1, Т = 2.

Решаем уравнения:

1)  = 2,                                       2)  =  -1,

,                                   

x = 1.                                                      

                                                                  x =

Ответ:  

2.9. Решение уравнений с помощью формулы

Пример 35.  Решить уравнение   .

                                   или                            

                                                                     корней нет

2.10. Уравнения вида  и к ним сводящиеся решаются при помощи замены

Пример 36. Решить уравнение  .

Введем замену: у=х+

Пусть , тогда

                                     или                              корней нет

;

Вернемся к замене.

                     или                

                                             

Ответ: ;

2.11. Уравнения вида

Уравнение

                     (15)

где числа a, b, c, q, A таковы, что , не имеет корня х = 0, поэтому, разделив уравнение (15) на х². получим равносильное ему уравнение , которое после замены неизвестной  перепишется в виде квадратного уравнения, решение которого не представляет трудностей.

Пример 37. Решить уравнение 

Пример 38. Решить уравнение  .                                                                                

Решение. Так как х = 0 не является корнем уравнения то, разделив обе его части на х², получим уравнение ,

равносильное  данному. Сделав замену неизвестной , уравнение перепишем в виде

.                                                                                               (18)

Квадратное уравнение имеет 2 корня: у₁ = 1 и у₂ = -1. Поэтому уравнение равносильно совокупности уравнений

 и                                                                                               (19)

Совокупность уравнений  имеет 4 корня: , , , .

Они будут корнями исходного уравнения

Ответ: , , , .

2.12. Метод разложения на простейшие дроби.

Пример 39.  Решить уравнение                  ОДЗ:

Ответ:

Пример 40. Решить уравнение   .                                                                                      

Решение.  Запишем уравнение в виде

                           

или в виде

                          .                                                                       

Суммируя слагаемые в скобках, перепишем уравнение в виде

 .

Делая замену неизвестного , перепишем уравнение в виде

.

Суммируя члены в левой части уравнения , перепишем его в виде

.

Легко видеть, что уравнение имеет два корня:     и   . Следовательно, исходное уравнение  имеет четыре корня:                   

                                 .

Ответ:  .

Пример 41. Решить уравнение .                                                          

Решение. Перепишем уравнение в виде

или в виде

                                                                                                                           

Теперь, группируя первый член с последним, а второй с третьим, перепишем уравнение в виде

 .

Это уравнение равносильно совокупности уравнений

   и                        (24)

Последнее уравнение совокупности можно переписать в виде

.

Решения этого уравнения есть     и  , так как    входит в ОДЗ второго уравнения совокупности,

то совокупность

имеет три корня: .  Все они есть решения исходного уравнения.  

Ответ: .

Пример 42. Решить уравнение 

 Ответ:

Пример 43. Решить уравнение 

 Ответ: х=0 или х =- 2,5

2.13. Метод введения параметра.

Иногда при разложении многочлена на множители помогает метод введения параметра. Суть этого мето­да поясним на следующем примере.

Пример 44. Решить уравнение х³ –(√3 + 1) х²  + 3 =0.

Решение. Рассмотрим многочлен с параметром а:

х³ - (а + 1)х² + а²,

который при а = √3 превращается в заданный много­член. Запишем этот многочлен как квадратный трех­член относительно а:

а^г - ах² + (х³ - х²).

Так  как  корни  этого квадратного  относительно   а  трехчлена  есть  а₁  = х  и     а₂  = х²  - х , то  справедливо  равенство а² - ах² + {x^s - х² ) = {а – х)(а - х² + х). Следо­вательно, многочлен х³ - (√3 + 1)х² + 3 разлагается на множители √3 – х и √3 - х² + х, т. е.

х³ – (√3+1)х²+3=(х-√3)(х²-х-√3)=    х=√3    или   х²-х-√3 =0

Заключение

В ходе выполнения исследования мною рассмотрена и изучена следующая информация по данной проблеме:

Ø  история вопроса глазами математиков разных эпох;

Ø  виды уравнений высших степеней;

Ø  методы  решения уравнений высших степеней.

Проделана следующая работа:

1. Подобраны источники информации.

2. Составлена историческая справка.

2. Изучено 13 видов уравнений высших степеней.

3. Изучено 10 методов решения уравнений высших степеней.

4. Составлена обобщающая таблица видов и методов уравнений высших степеней.

5. Решено 44 уравнения разных видов и разными методами.

Выводы:

После завершения исследовательской работы я научился:

Ø  применять полученные знания для решения уравнений высших степеней;

Ø  работать с дополнительной литературой и систематизировать материал;

Ø  увидеть проблему и наметить пути решения.

Литература

1.        Шабунин М.И. Пособие по математике для поступающих в вузы.- М.: Лаборатория  Базовых Знаний, 2000.

2.        Иванов М.А. Математика без репетитора –М. изд. Центр"Вентана-Граф" , 2002

3.        Яковлев Г.Н. Пособие по математике для поступающих в вузы.- М.: Физматлит, 2001.

4.        Образцы конкурсных олимпиадных заданий по математике и письменных вступительных экзаменов для абитуриентов, (2009-2011)

5.        Алексашенко. 140 билетов по математике: Учебное пособие для  поступающих в МГУДТ. – М.: ИИЦ МГУДТ, 2006.

6.        Билеты письменных вступительных экзаменов в МФТИ по математике (2001-2010г.).

Приложение 1. Проверь себя!

Задания для самостоятельного решения      

1.     

2.     

3.     

4.     

5.     

6.      х⁴ + 4х³ – 2х² – 12х + 9 = 0

7.      2х⁴ –х³ – 7х² – 2х + 8 = 0

8.     

9.     

10. 

11. 

12. 

13. 

14. 

15.  2х² + 16ху +14у² = 0     

Приложение 2.

      Ответы к заданиям для самостоятельного решения

№ 1.

Перегруппируем сомножители и преобразуем полученное уравнение:

                                              

Пусть , тогда получим уравнение:

                                    

Тогда                                  и                   х² + 5х = - 12

                               х² + 5х – 6 = 0                            х² + 5х + 12 = 0

                               D =49                                         D = - 23< 0, значит нет корней

                              х₁=1, х₂= - 6

Значит  1  и  - 6 корни уравнения.   

Ответ: 1; - 6.

№ 2. Это биквадратное уравнение, подстановка  х² = t, где t > 0, получим уравнение                  t² -2t – 8 = 0, его корни  4 и -2 (не удовлетворяет условию ), х = ± 2. Ответ: ± 2.

№ 3. Ввести новую переменную  у = х² + 5х, тогда  ( у -2 )( у + 1)=64;  у² - у – 2 = 4;

  у² - у – 6 = 0,  у₁ = -2, у₂ = 3. Находим  х из уравнений:  х² + 5х = -2  и  х² + 5х= 3.

 Ответ:  .

№ 4.  Сгруппировать скобки: (( х + 1)( х+ 4))( (х + 2)( х+ 3 )) = 1

                                        

                                            Пусть , тогда

                                                           

Значит, чтобы найти х надо решить уравнения: 

                                         

Ответ:  .

№ 5.

       

Пусть , тогда   а² – 13а + 36 =0, где а₁ =4, а₂ =9.                        

Т.к. , тогда:                 и                       

                                            х² + 6х + 25 = 0                          х² + х + 25 + 0   

                                            нет корней                                   нет корней

Ответ:  нет корней.    

№ 6. Это возвратное уравнение. Делим обе части на х ² и вводим новую переменную:

    х² + 4х – 2 -  + = 0, пусть  , тогда:  . Получаем:

     у² + 6 +4у -2 = 0,  у² + 4у + 4 = 0, у = -2. Найдём  х, решив уравнение:

     .Ответ: х₁= -3, х₂= 1.

№ 7. Это возвратное уравнение. Делим обе части на  х² и вводим новую переменную:

     2х² – х -7 - , пусть  , тогда  . Получаем:

    2 (у²- 4 ) - у – 7 = 0,  2у² - у -15 = 0 ,   у₁ = -2,5; у₂ = 3.Найдём  х , решив уравнения:

      и  . Ответ: 1; 2.

№ 8.

   

  Выделим полный квадрат в левой части уравнения:    ,

    , пусть     , тогда  у² + 2у -3 = 0, где у₁= 1, у₂ =-3.

 Получаем два уравнения:                 и                  

                                               х² - х - 1=0                                х² +3х +3 = 0

                                                                           нет корней.

Ответ:  .

№ 9.

Пусть

Тогда  Это квадратное уравнение относительно  у, в котором

A=1   B=2x   C= -3x² ,  тогда:

Т.к. , то получаем два уравнения:

                  

Ответ: -4;2;

№ 10.

 Сгруппируем слагаемые   

Пусть

Т.к.  , тогда:

           

Значит корни уравнения

Ответ:

№ 11.

Пусть ,тогда  

Решим это уравнение относительно  квадратное относительно у, в котором  а =1,в = -6х²,

с =5х⁴. Тогда  D =. Значит  у₁ = 5х², у₂ = х².   Т.к. , то получаем два уравнения:           х² –х + 1 = 5х²                          и             х² – х + 1 = х²

                      4 х²+ х – 1 = 0                                          х =1

                 

Значит корни уравнения

Ответ: .

№ 12.

Это симметрическое уравнение, разделим обе части уравнения на х².  Тогда   

Пусть ,  тогда . Получаем уравнение:

                        

Чтобы найти  х надо решить два уравнения:

                            и             

            х²- х+1 = 0                            2х² -5х +1 =0

          нет корней                           х₁=2, х₂=0,5
Ответ:  0,5; 2

№ 13.

Уравнение имеет корень х = -1, т.к. это симметрическое уравнение нечетной степени. Разделим многочлен в левой части на ( х – 1).Получим:  ( х – 1 )( х⁶- 3х⁵+ 6х⁴ – 7х³ + 6х² -3х + +1) = 0,  х⁶-3х⁵+ 6х⁴- 7х³ +6х²- 3х + 1 = 0.    Разделим обе части  уравнения на х³ и объединим первый член с последним, второй с предпоследним и т.д. Получим:   

Пусть , тогда  ,   .

Получаем:   ,   ( у – 1 )³= 0, значит   у=1

Т.к. , тогда  ,  . Это уравнение не имеет корней, значит, имеем только один корень  -1.  Ответ:  -1

№ 14.

Это уравнение можно свести к однородному, введя новые переменные: пусть х²= а;  (х+1)= в, тогда получим однородное уравнение второй степени:  а² + 5ав = 6в², разделим обе части уравнения на в². Получаем:  ,  пусть , тогда  , где  с₁ = 1, с₂ = -6. Получаем зависимость для а и  в:  .           Т.е.           а=в, значит  х² = х+ 1         и           а = -6в,  значит  х²= -6( х + 1 ) 

                                   х² – х – 1 = 0                                            х²+ 6х + 6х = 0

                                                                                           

Ответ:

№ 15.

2х² + 16ху +14у² = 0      Это однородное уравнение второй степени относительно х  и у.        ( 0;0) является решением уравнения. Пусть у, тогда  разделим обе части уравнения на

у².Получаем:    .  Пусть ,     .  Где а₁= -1,

а₂= -7.  Тогда получаем такие уравнения: 

                                         и                     -7

                       х = -у                                          х = -7у

         2у² – 16у + 14у²= 0                                98у² – 112у + 14у² = 0

           у₁=0,   у₂= 1                                            у₃ =0,    у₄ =1

          х₁=0,   х₂= -1                                           х₃ =0,    х₄ = -7

   Ответ:  ( 0; 0 ), ( -1; 1 ), ( -7; 1 ).

Краткое описание документа:

Уравнения в школьном курсе алгебры занимают ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему. Действительно, уравнения не только имеют важное теоретическое значение, но и служат чисто практическим целям. Подавляющее большинство задач о пространственных формах и количественных отношениях реального мира сводится к решению различных видов уравнений и их систем. Овладев способами их решения, можно найти ответы на различные вопросы из науки и техники.

Практика олимпиад, выпускных и вступительных экзаменов по математике показывает, что довольно часто приходится сталкиваться с уравнениями степени выше второй. Решение таких уравнений зачастую вызывает большие трудности. Не все уравнения удается решить.Как решить эту проблему?В школьных учебниках уравнение высшей степени – редкость. Поэтому я выбрал тему «Исследование методов решения алгебраических уравнений высших степеней». На будущий год мне предстоит поступление в ВУЗ, что делает эту работу для меня актуальной.

Данная работа полезна молодым педагогам.