Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Научные работы / Уравнение высших степеней. (Работа полезна студентам и начинающим трудовую деятельность педагогам)
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Уравнение высших степеней. (Работа полезна студентам и начинающим трудовую деятельность педагогам)

библиотека
материалов


Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

Первомайская средняя общеобразовательная школа














Исследование видов и методов решения алгебраических уравнений высших степеней







Выполнил: Кугутко Николай,

обучающийся 10А класса


Руководитель: учитель математики высшей квалификационной категории

МБОУ Первомайская СОШ

Забелина Галина Михайловна














Первомайское 2012

СОДЕРЖАНИЕ


Введение………………………………………………………………........................................ 3

Глава 1. История вопроса………………………………………………………………………..4

Глава 2. Методы решения алгебраических уравнений

2.1. Схема Горнера (деление уголком)…………………………………………………………7

2.2. Возвратные уравнения и к ним сводящиеся……………………………………………..11

2.3. Симметрические уравнения………………………………………………………………12

2.4. Однородные уравнения……………………………………………………………………14

2.5. Уравнения вида hello_html_m61c8d865.gif, где hello_html_716f5686.gif ………………………17

2.6. В уравнениях вида hello_html_303616f4.gif……………………………………20

2.7. В уравнениях вида hello_html_m67779b94.gif…………………………………...22

2.8. Выделение полного квадрата……………………………………………………………..23

2.9. Решение уравнений с помощью формулы hello_html_e0f13ef.gif……………………25

2.10. Уравнения вида hello_html_m37f985ba.gif…………………………………………………..25

2.11. Уравнения вида hello_html_62adcd5a.gif……………………………25

2.12. Метод разложения на простейшие дроби....…………………………………………….26

2.13. Метод введения параметра………………………………………………………………28

Заключение……………………………………………………………………………………...29

Список литературы……………………………………………………………………………..29

Приложение 1. Задания для самостоятельного решения «Проверь себя»………………….30

Приложение 2. Ответы к заданиям «Проверь себя»…………………………………………30






Введение

Уравнения в школьном курсе алгебры занимают ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему. Действительно, уравнения не только имеют важное теоретическое значение, но и служат чисто практическим целям. Подавляющее большинство задач о пространственных формах и количественных отношениях реального мира сводится к решению различных видов уравнений и их систем. Овладев способами их решения, можно найти ответы на различные вопросы из науки и техники.

Практика олимпиад, выпускных и вступительных экзаменов по математике показывает, что довольно часто приходится сталкиваться с уравнениями степени выше второй. Решение таких уравнений зачастую вызывает большие трудности. Не все уравнения удается решить. Как решить эту проблему? В школьных учебниках уравнение высшей степени – редкость. Поэтому я выбрал тему «Исследование методов решения алгебраических уравнений высших степеней». На будущий год мне предстоит поступление в ВУЗ, что делает эту работу для меня актуальной.


Передо мной встала проблема: при помощи дополнительной литературы, образовательных порталов выявить виды и методы решения алгебраических уравнений высших степеней, не рассматривающиеся в школьном курсе математики, затем освоить найденные методы.

Цель моей исследовательской работы заключается в исследовании видов и методов решения алгебраических уравнений высших степеней и формировании знаний по теме исследования.

Для достижения цели я поставил следующие задачи:

  1. Исследовать литературу, образовательные порталы по теории решения алгебраических уравнений высших степеней.

  2. Отобрать, обработать и классифицировать исследуемый материал.

  3. Составить сборник уравнений высших степеней.

  4. Подготовиться к решению конкурсных заданий по данной теме.

Гипотеза: Возможно ли найти применение выбранной темы в олимпиадных заданиях и ЕГЭ.

Объект исследования: алгебраические уравнения высших степеней.

Методы исследования:

hello_html_57fe94a1.gif поисково-исследовательский;

hello_html_57fe94a1.gif аналитический.

Глава 1. История вопроса

Решение уравнений высших степеней – история полная драматизма, разочарования и радости открытия. В течение почти 700 лет математики разных стран пытались найти приёмы решения уравнений третьей, четвёртой и более высоких степеней.

Со времен Омара Хайяма ученые средневековья почти 400 лет искали формулу для решения уравнений третьей степени.

Паоло Вальмес за свое открытие поплатился жизнью. Инквизиция отправила Вальмеса на костер. Однако трагедии и неудачи не смогли остановить прогресс.


hello_html_m4039399e.jpg





Омар Хайям (1048 – 1123)

В своих математических трудах таджикский ученый описал все возможные виды уравнений третьей степени и рассмотрел геометрический способ их решения.

hello_html_717a694d.jpg





Николо Тарталья (1499 – 1557)

решил уравнение в радикалах hello_html_m7842d167.gif

hello_html_m53c41bd.jpg







Джероламо Кардано (1501 – 1576)

Обобщил приемы решения разных видов кубических уравнений. Независимо от Тартальи открыл формулу корней («формула Кардано»).

hello_html_m27f5b06d.jpg







Франсуа Виет (1540 – 1603)

Установил, каким образом корни уравнения выражаются через коэффициенты. Поставил вопрос о существовании решения уравнений произвольных степеней в радикалах.


hello_html_47ff8a.jpg







Паоло Руффини (1765 – 1822)

Пытался доказать невозможность алгебраического решения общих уравнений выше четвертой степени.

hello_html_m75ba16cc.jpg







Жозеф Луи Лагранж (1736 – 1813)

Иhello_html_1ef1e47f.jpgскал признаки уравнений высших степеней, разрешимых в радикалах







Нильс Хенрик Абель (1802 – 1829)

Доказал неразрешимость в радикалах уравнения пятой степени и более высоких степеней в общем случае.

hello_html_ma0946e0.jpg







Эварист Галуа (1811 – 1832)

Нашел необходимое и достаточное условие, которому удовлетворяет алгебраическое уравнение, разрешимое в радикалах.



На сегодняшний день нет особых формул решения уравнений высших степеней (степень больше 3-х). Существует некоторое множество видов и методов решения этих уравнений. При разборе решений мне удалось систематизировать некоторый материал по теме исследования.


Обобщённая таблица видов и методов решения уравнений высших степеней.


hello_html_262fc687.gif


чётная степень - делим обе части на х2 и вводим новую переменную

нечётная степень – сводим к чётной степени

3

Симметрические уравнения a0xn + a1xn-1 +…+ anxn-R +…+ a1x + a0 = 0

решаются, как и возвратные

4

Однородные уравнения

hello_html_147c631.gif

2х2 + 16ху +14у2 = 0, hello_html_192cd599.gif

все члены уравнения делятся на dg3

5

Уравнения вида hello_html_m61c8d865.gif, где hello_html_716f5686.gif

эффективно решать перемножением hello_html_42980c6d.gif и hello_html_6705ca5a.gif, а затем делать замену.

6

Уравнения вида hello_html_303616f4.gif

в знаменателях обоих дробей необходимо вынести х за скобки и сделать замену.

7

Уравнения вида hello_html_m67779b94.gif

обе части уравнения делятся на hello_html_5cbecb8b.gif

8

Уравнения вида hello_html_787c88d8.gif

hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_5b7617e6.gifhello_html_m451c5df0.gif=8

выделение полного квадрата.


9

Уравнение вида hello_html_3573d8f2.gif

с помощью формулы

hello_html_m16a3e173.gif

10

Уравнения вида hello_html_m37f985ba.gif

решаются при помощи замены hello_html_46c3f375.gif

11

Уравнения вида

hello_html_62adcd5a.gif

делим обе части на х2 и вводим новую переменную

12

Уравнение вида

hello_html_md1268df.gif

сведение левой части к сумме более простых дробей

13

Уравнение вида

х3 –(√3 + 1) х2 + 3.

метод введения параметра

Исходя из таблицы, выделяю следующие методы решения:

Стандартные:

1. Разложение на множители

2. Введение новой переменной

Специальные:

1. Деление на подходящее выражение с переменной

2. Выделение полного квадрата

3. Схема Горнера

4. Деление уголком

5. Группировка скобок

6. Специальная замена

7. Представление дроби в виде двух дробей

8. Метод введения параметра

Глава 2. Методы решения алгебраических уравнений

2.1. Схема Горнера (деление уголком)

Теорема: Пусть несократимая дробь q/p является корнем уравнения a0xn+a1xn−1+hello_html_56aabb19.pnghello_html_56aabb19.pnghello_html_56aabb19.png+an-1 x+an=0 c целыми коэффициентами, тогда число является делителем старшего коэффициента a0, а число р является делителем свободного члена an.

Замечание 1. Любой целый корень уравнения с целыми коэффициентами является делителем его свободного члена.

Замечание 2 . Если старший коэффициент уравнения с целыми коэффициентами равен 1, то все рациональные корни, если они существуют - целые.

Корнем многочлена f(x)=a0xn+a1xn−1+hello_html_56aabb19.pnghello_html_56aabb19.pnghello_html_56aabb19.png+an-1 x+an является x=c , такое, что f(c)=0 .

Замечание 3. Если x=c корень многочлена f(x)= a0xn+a1xn−1+hello_html_56aabb19.pnghello_html_56aabb19.pnghello_html_56aabb19.png+an-1 x+an, то многочлен можно записать в виде : f(x)=(xc)q(x) , где q(x)=b0xn−1+b1xn−2+hello_html_m78184aa9.pnghello_html_m78184aa9.pnghello_html_m78184aa9.png+bn−2х+bn−1  это частное от деления многочлена f(x) на одночлен x - c

Деление многочлена на одночлен можно выполнить по схеме Горнера:

Если f(x)=a0xn+a1xn−1+hello_html_56aabb19.pnghello_html_56aabb19.pnghello_html_56aabb19.png+an-1x+an, а0 hello_html_m88d8014.gif0, g(x)=xc, то при делении f(x) на g(x) частное q(x) имеет вид q(x)= b0xn−1+b1xn−2+hello_html_m78184aa9.pnghello_html_m78184aa9.pnghello_html_m78184aa9.png+bn−2х+bn−1, где b0=a0 , bk=chello_html_m6538d114.pngbk−1+ak, k=1hello_html_m2c93ad48.png2hello_html_m2c93ad48.pnghello_html_m78184aa9.pnghello_html_m78184aa9.pnghello_html_m78184aa9.pnghello_html_m2c93ad48.pngn−1 . Остаток находится по формуле r=chello_html_m6538d114.pngbn−1+an 


В первой строке этой таблицы записывают коэффициенты многочлена f(х). Если какая-то степень переменной отсутствует, то в соответствующей клетке таблицы пишется 0. Всегда старший коэффициент частного равен старшему коэффициенту делимого b0=a0 . Если x = c является корнем многочлена, то в последней клетке получается 0, т.е. остаток от деления будет равен нулю.

Пример 1.  Решить уравнение hello_html_54c8135c.gif.

hello_html_m53bc1fd4.gif равно ±1, hello_html_401b6b8c.gif, тогда при х = 1:

2 – 5 – 1 + 3 + 1 = 0 => х = 1- корень этого уравнения.

Воспользуемся схемой Горнера для понижения степени уравнения:


Имеем:hello_html_m4cf57f21.gif

(х - 1)=0 или hello_html_m1124ba2a.gif,

х = 1 hello_html_m53bc1fd4.gif равно ±1, hello_html_401b6b8c.gif, тогда при х = -0,5:

-0,25 - 0,75 + 2 – 1 = 0 => х = -0,5 - корень этого уравнения.

Воспользуемся схемой Горнера для понижения степени уравнения:

х = 1 или х = -0,5 илиhello_html_m66b76777.gif

hello_html_762707ab.gif

Ответ: х = 1, х = - 0,5, hello_html_74f2a63d.gif.

Пример 2. Решить уравнение x3x2−8x+12=0. 

Решение: Коэффициент при старшей степени равен 1, поэтому целые корни уравнения надо искать среди делителей свободного члена: 1; 2; 3; 4; 6; 12. используя схему Горнера, найдем целые корни уравнения:


Если один корень подобран по схеме Горнера. то можно дальше решать так x3x2−8x+12=(x−2)( x2+x−6)=0hello_html_m783b3da3.png(x−2)2(x−3)=0hello_html_m783b3da3.pngx=2; x=3   

Ответ: x =2, x =3 .




Одним из способов решения УВС является способ разложения на множители многочлена в левой части. Так как, если известен хотя бы один корень уравнения, то с помощью схемы Горнера можно разложить многочлен на множители и понизить степень уравнения.


Значит, основная задача - задача нахождения корня (подбором)!


Пример 3. Решить уравнение hello_html_m5e012c9b.gif.

Старший коэффициент равен 1, коэффициенты целые числа, значит, корнями могут быть делители числа 6, т.е. hello_html_m30eb8769.gif. Используем схему Горнера



Так как уравнение третьей степени, значит, уравнение может иметь только три корня. По схеме Горнера мы их нашли: -1; -2; -3.

Можно было найти один корень с помощью проверки и разделить многочлен, расположенный в левой части уравнения на (х- х0), где х0 найденный корень.

Тогда получим следующее уравнение: ( х + 1 )( х2 + 5х + 6 ) = 0. Квадратные уравнения мы решать умеем.

Ответ: hello_html_38f2f44d.gif.


  • Если старший коэффициент не равен 1, то уравнение с целыми коэффициентами имеет вид: а0хп + а1хп-1 + а2хп-2 + .. + ап = 0. Если несократимая дробь hello_html_51b42e68.gif (hello_html_5e1a43a.gif) является корнем этого уравнения, то р является делителем свободного члена, т.е. ап , а п является делителем старшего коэффициента а0.


Пример 4. Решить уравнение hello_html_77dbb334.gif.

Делители свободного члена: hello_html_m2c6475c2.gif, делители старшего коэффициента:hello_html_6eaa41a5.gif.

Тогда корнями уравнения могут быть: hello_html_mdbe894f.gif. Проверка: hello_html_4b021a89.gif - корни

Ответ:hello_html_21a6fc2a.gif


  • Очень часто по свободному члену найти корни подбором бывает невозможно. Но и в этом случае иногда можно воспользоваться данным способом с помощью метода переброски.


Пример 5. Решить уравнение hello_html_m63398bf2.gif.

Корнями могут быть hello_html_m2c6475c2.gif.

Тогда воспользуемся переброской коэффициентов и получим: hello_html_7e33accf.gif

Пусть hello_html_418bc156.gif, тогда hello_html_m6df8df55.gifhello_html_m53d4ecad.gif

hello_html_1f00a448.gif

Корнями могут быть: hello_html_m49048cac.gif.

Подбором hello_html_m5460010e.gif - корень

Тогда разделим многочлен hello_html_1d4f781e.gif на (hello_html_1d85fac8.gif)

Воспользуемся схемой Горнера:


а 3636363636363636363636363636363636363636363636363636363636363636363636363636363636363636363636Тогда: у2 + 2у + 7= 0, решая, находим у1,2 = -1± hello_html_20329080.gif. Теперь находим х.

Ответ:hello_html_507c0cc.gif

Удобно найдя корень х=а, разделить левую часть уравнения на х - а


Пример 6. Решить уравнение x3 – 2x2 – 9 = 0.


Делители 9: ±1: ±3: ±9

х = 3 27 – 18 – 9 = 0 0 = 0

х = 3 – корень уравнения

hello_html_6445041.gifhello_html_m37d303df.gifx3 – 2x2 – 9 х – 3 hello_html_m53d4ecad.gif

х3 – 3х3 х2 + х +3

х2 – 9

hello_html_6445041.gifх2 – 3х

3х – 9

hello_html_6445041.gif3х – 9

0

2 + х + 3)(х – 3) = 0

х2 + х + 3 = 0 или х – 3 = 0

D = 1 – 12 = - 11 (корней нет) х = 3

Ответ: х = 3.


Пример 7. Решить уравнение 3 - х2 – 20х + 12 = 0.

hello_html_m77fbcad6.gif– несократимая дробь,

p– делитель 12 ±1: ±2: ±3: ±4: ±6: ±12

q– делитель 6 1; 2; 3; 6.

х = -2 – корень уравнения, т.к. - 48 – 4 + 40 + 12 = 0 0 = 0

hello_html_6445041.gifhello_html_m37d303df.gif3 - х2 – 20х + 12 х + 2

3 + 12х2 2 – 13х +6

-13х2 – 20х

hello_html_6445041.gif-13х2 – 26х

6х + 12

hello_html_6445041.gif6х + 12

0

(6х2 – 13х +6)(х + 2) = 0

2 – 13х +6 = 0 или х + 2 = 0

D = 169 – 144 = 25 х = -2

х1 = hello_html_m4c2e26e5.gif= 1,5 hello_html_m53d4ecad.gif х2 = hello_html_6a196757.gif= hello_html_mb16866a.gif

Ответ: х1 = 1,5: х2 = hello_html_mb16866a.gif: х3 = -2.

Пример 8. Решить уравнение х3 - 6х2 + 5х + 12 = 0.


Делители12: ±1: ±2: ±3: ±4: ±6: ±12

х = 1 – корень уравнения т.к. - 1 – 6 – 5 + 12 = 0

хhello_html_5de75049.gif3 - 6х2 + 5х + 12 х +1

хhello_html_6445041.gif3 + х2х2 – 7х + 12

-7х2 + 5х

hello_html_6445041.gif -2 – 7х

12х + 12

hello_html_6445041.gif12х +12

0

2 – 7х + 12)(х +1) = 0

х2 – 7х + 12 = 0 или х + 1 = 0

х1 + х2 = 7 х1 = 3 х = -1

х1 * х2 = 12 х2 = 4

Ответ: х1 = 3; х2 = 4: х3 = -1.


Пример 9. Решить уравнение hello_html_m3f096943.gif.


Очевидно hello_html_34c7112f.gif - корень уравнения

hello_html_m5580c817.gif

Очевидно hello_html_m562f18a7.gif - корень уравнения

hello_html_41ff3a.gif

hello_html_7af27c33.gif

Ответ: -5; 2; 3; 4


2.2. Возвратные уравнения и к ним сводящиеся.


hello_html_262fc687.gif

Уравнение называется возвратным, если в нем коэффициенты равноудаленные от концов совпадают, т.е. hello_html_23432c7a.gif, hello_html_m71cf9457.gif, hello_html_m2d09c40d.gif


1) Возвратные уравнения четной степени.


Пример 10. Решить уравнение hello_html_m5fa16881.gif.

т.к. hello_html_22ded3a.gif - не является корнем уравнения, то разделим обе части уравнения на hello_html_5cbecb8b.gif.

hello_html_m43cc441c.gif

hello_html_m186f773.gif

Введем замену.

Пусть hello_html_8fd47de.gif, hello_html_m5f689f44.gif, получим

hello_html_404b8315.gifhello_html_m37bbe6d4.gif; hello_html_m51030bf4.gif

Вернемся к замене.

hello_html_m5834ed8a.gif или hello_html_42ff21a3.gif

hello_html_539105ec.gifhello_html_m22c4526d.gif

hello_html_m46ef1bb3.gif корней нет

Ответ: hello_html_m46ef1bb3.gif

2) Возвратные уравнения нечетной степени.


Любое возвратное уравнение нечетной степени сводится к квадратному уравнению четной степени, т.к у любого возвратного уравнения нечетной степени один из корней всегда равен –1


Пример 11 Решить уравнение hello_html_m389969ae.gif.

Очевидно hello_html_120075d.gif - корень уравнения.

hello_html_bbfe577.gif

hello_html_120075d.gif или hello_html_21e0eb70.gif

т.к hello_html_22ded3a.gif - не является корнем уравнения, то разделим обе части

уравнения на hello_html_m21a3c2ce.gif

hello_html_b5697ff.gif

hello_html_m48c33c15.gif

Введем замену.

Пусть hello_html_8fd47de.gif, hello_html_m5f689f44.gif, hello_html_m768bc39a.gif, получим

hello_html_m54f472ab.gif

hello_html_m2d6ea3e5.gif

hello_html_5fcb1e6.gif или hello_html_5699b166.gif или hello_html_m3094f31b.gif

hello_html_m42c55ba.gifhello_html_26613764.gifhello_html_m74fa08a0.gif

hello_html_77df19d5.gifhello_html_m7deebe6c.gifhello_html_m5215e547.gif

корней нет hello_html_m67cb4e95.gifhello_html_m479a8515.gif

Ответ: hello_html_120075d.gif, hello_html_m67cb4e95.gif, hello_html_m479a8515.gif


2.3. Симметрические уравнения.


Определение: уравнение n-ой степени называется симметриче­ским, если у него равны коэффициенты при xR и при хn-R.Таким образом симметрическое уравнение имеет вид:

a0xn + a1xn-1 +…+ anxn-R +…+ a1x + a0 = 0

Симметрические уравнения являются частным видом возвратного уравнения, поэтому симметрические уравнения решаются тем же способом, что и возвратные.

Различают симметрические уравнения 3-ого порядка и 4-ого по­рядка.

Некоторые свойства симметрических уравнений:

  1. Симметрическое уравнение нечетной степени имеет корень -1.

  2. В результате деления симметрического уравнения нечетной сте­пени на (х + 1) получается симметрическое уравнение чет­ной степени на единицу меньше

  3. Симметрическое уравнение четной степени 2n подстановкой y = x + hello_html_m43db75af.gif может сводиться в области действительных чисел к уравнению степени n и к уравнениям второй степени.


Пример 12. Решить уравнение hello_html_6d3f81c1.gif.


Это симметрическое уравнение, разделим обе части уравнения на х2. Тогда hello_html_70db3e06.gifhello_html_m53e72115.gif

Пусть hello_html_m2054510b.gif, тогда hello_html_m4078a173.gif. Получаем уравнение:

hello_html_2b0ccd3d.gif

Чтобы найти х надо решить два уравнения:

hello_html_m39212d82.gif и hello_html_6a1c28c4.gif

х2- х+1 = 0 2х2 -5х +1 =0

нет корней х1=2, х2=0,5
Ответ: 0,5; 2


Пример 13. Решить уравнение hello_html_16320829.gif.


Уравнение имеет корень х = -1, т.к. это симметрическое уравнение нечетной степени. Разделим многочлен в левой части на ( х – 1).Получим: ( х – 1 )( х6- 3х5+ 6х4 – 7х3 + 6х2 -3х + +1) = 0, х6-3х5+ 6х4- 7х3 +6х2- 3х + 1 = 0. Разделим обе части уравнения на х3 и объединим первый член с последним, второй с предпоследним и т.д. Получим: hello_html_30b571e6.gif

Пусть hello_html_m5fa6db07.gif, тогда hello_html_m2a1f6589.gif, hello_html_m51c4bef4.gif.

Получаем: hello_html_68d30d62.gif, ( у – 1 )3= 0, значит у=1

Т.к. hello_html_m5fa6db07.gif, тогда hello_html_m39212d82.gif, hello_html_m503a9da1.gif. Это уравнение не имеет корней, значит, имеем только один корень -1. Ответ: -1


Пример 14. Решить уравнение


hello_html_1bcbbd5f.gif

hello_html_5a104c1f.gif


Корней нет.

Ответ:hello_html_m6527c93c.gif


Пример 15. Решить уравнение hello_html_37ca7f0b.gif (6)

Решение. Данное уравнение является симметрическим уравнением четвертой степени. Так как х = 0 не является его корнем, то, разделив уравнение (6) на х2, получим равносильное ему уравнение:

hello_html_51577f91.gif (7)

Сгруппировав слагаемые, перепишем уравнение (7) в виде

hello_html_m6444c395.gif

или в виде

hello_html_m3c5dec3a.gif

Положив hello_html_m2a77491f.gif, получим уравнение

hello_html_39754bac.gif

имеющее два корня у1 = 2 и у2 = 3. Следовательно, исходное уравнение равносильно совокупности уравнений

hello_html_m5a4b4f66.gif и hello_html_m1c59c10a.gif

Решение первого уравнения этой совокупности есть х1 = 1, а решение второго есть hello_html_m7ff70179.gif и hello_html_4426133c.gif.

Следовательно, исходное уравнение имеет три корня: х1, х2 и х3.

Ответ: х1=1, hello_html_m7ff70179.gif, hello_html_4426133c.gif.

2.4. Однородные уравнения.


Однородные уравнения – это такие уравнения, у которых в левой части находятся одночлены одной степени, а правая часть равна нулю.

hello_html_147c631.gif- это уравнение однородное третьей степени. Чтобы решить однородное уравнение, нужно обе его части разде­лить на одно из неизвестных в степени каждого многочлена, с уче­том, что он не равен нулю.


Пример 16. Решить уравнение hello_html_64868225.gif.


Это уравнение можно свести к однородному, введя новые переменные: пусть х2= а; (х+1)= в, тогда получим однородное уравнение второй степени: а2 + 5ав = 6в2, разделим обе части уравнения на в2hello_html_me836c16.gif. Получаем: hello_html_7b143b67.gif, пусть hello_html_14a72c76.gif, тогда hello_html_6dca46cf.gif, где с1 = 1, с2 = -6. Получаем зависимость для а и в: hello_html_1d4b9db8.gif. Т.е. а=в, значит х2 = х+ 1 и а = -6в, значит х2= -6( х + 1 )

hello_html_m53d4ecad.gifх2 – х – 1 = 0 х2+ 6х + 6х = 0

hello_html_m6308ed9b.gifhello_html_m47df5636.gif

ответ hello_html_m4ed58ba9.gif


Пример 17. Решить уравнение 2х2 + 16ху +14у2 = 0.

Это однородное уравнение второй степени относительно х и у.

( 0;0) является решением уравнения.

Пусть уhello_html_me836c16.gif, тогда разделим обе части уравнения на у2hello_html_me836c16.gif.

Получаем: hello_html_1abd11be.gif. Пусть hello_html_fdfff1d.gif, hello_html_m4f18474e.gif. Где а1= -1,

а2= -7. Тогда получаем такие уравнения:


hello_html_m6203d0fc.gif и hello_html_7850ce96.gif-7

х = -у х = -7у

2у2 – 16у + 14у2= 0 98у2 – 112у + 14у2 = 0

у1=0, у2= 1 у3 =0, у4 =1

х1=0, х2= -1 х3 =0, х4 = -7

Ответ: ( 0; 0 ), ( -1; 1 ), ( -7; 1 ).


Пример 18. Решить уравнение hello_html_192cd599.gif.

Введем замену.

Пусть hello_html_m41a8c2c2.gif, hello_html_m3e3cc55.gif, тогда

hello_html_2925798.gif

1) если hello_html_4bf1cc29.gif, тогда hello_html_5e677e6b.gif, тогда

hello_html_28764fee.gif

hello_html_m2651d946.gif решений нет

2) Разделим обе части уравнения на hello_html_m28718f30.gif, получим

hello_html_768cd455.gif

Решим последнее уравнение, как квадратное относительно hello_html_m5c9f978.gif, получим

hello_html_m273ef4a7.gif; hello_html_1583c9dd.gif

hello_html_a19b18f.gif; hello_html_m54e03ad4.gif

Вернемся к замене.

hello_html_m2f171e98.gif или hello_html_m1dca8150.gif

hello_html_173164b5.gifhello_html_247a8cfd.gif корней нет

hello_html_d3478e0.gif

Ответ: hello_html_d3478e0.gif


Пример 19. Решить уравнение hello_html_m348a22a.gif, hello_html_m35eca41f.gif

Пусть hello_html_m23fd3514.gif, hello_html_m51a86da6.gif, тогда hello_html_1b04a216.gif

Найдем hello_html_m111510e.gif

Составим систему:

hello_html_e77c88.gif

Решая систему подстановкой, получим

hello_html_1b97c63d.gif или hello_html_m4b6bf6f6.gif

hello_html_m3d1569f5.gifhello_html_m57800e13.gif

hello_html_m182dbba.gifhello_html_m8f45f95.gif

корней нет hello_html_m61665094.gif; hello_html_67f0e9ed.gif

Ответ: hello_html_m61665094.gif; hello_html_67f0e9ed.gif


Пример 20. Решить уравнение hello_html_m34ded5e1.gif.

hello_html_m5693fd5b.gif - не является корнем уравнения

Разделим обе части уравнения на hello_html_m58b52780.gif, получим

hello_html_m4a843be9.gif

Введем замену.

Пусть hello_html_3d82ad0b.gif, тогда

hello_html_m1da38951.gif

hello_html_263a9212.gif; hello_html_m194957fc.gif

hello_html_3011742.gif или hello_html_m1e13caa.gif

hello_html_m62ef2a24.gifhello_html_398723f6.gif

hello_html_m2c6836e2.gif; hello_html_m5c5ede3f.gifhello_html_m693255b9.gif; hello_html_m213b79a7.gif

Ответ: hello_html_m2c6836e2.gif; hello_html_m5c5ede3f.gif; hello_html_m693255b9.gif; hello_html_m762fbc7c.gif


Пример 21. Решить уравнение hello_html_m6479b0fa.gif.

Проверим, является ли hello_html_m4f6f47a.gifкорнем уравнения:

hello_html_m2894e085.gifhello_html_53c19096.gif

можно разделить обе части уравнения на hello_html_m3952e4c1.gif. Получаем:

hello_html_3e621424.gif.

Пусть hello_html_5dfd3f6d.gif, тогда

hello_html_4ef54bef.gif,

hello_html_m5e481f19.gif, hello_html_mee573c7.gif.

Решаем уравнения:

1) hello_html_603806f.gifhello_html_4d140ff4.gif, 2) hello_html_m2643e6bb.gifhello_html_4d140ff4.gif,

hello_html_m29eec010.gif, hello_html_17c627b.gif,

hello_html_m40519307.gif. hello_html_6fb09d81.gif,

hello_html_m31c3eb83.gif.

Ответ: hello_html_44886373.gif.


2.5. Уравнения вида hello_html_m61c8d865.gif, где hello_html_716f5686.gif


эффективно решать перемножением hello_html_42980c6d.gif и hello_html_6705ca5a.gif, а затем делать замену.


Пример 22. Решить уравнениеhello_html_m4b46cd3b.gif.


Перегруппируем сомножители и преобразуем полученное уравнение:

hello_html_3762d497.gif

Пусть hello_html_e8bfeb8.gif, тогда получим уравнение:

hello_html_22cd7b32.gif

Тогда hello_html_mcfa25af.gif и х2 + 5х = - 12

х2 + 5х – 6 = 0 х2 + 5х + 12 = 0

D =49 D = - 23< 0, значит нет корней

х1=1, х2= - 6

Значит 1 и - 6 корни уравнения.

Ответ: 1; - 6.

Пример 23. Решить уравнение hello_html_m73e00520.gif (9)

Решение. Сделаем замену неизвестных

hello_html_fb27d55.gif

т.е. y=x+3 или x = y3. Тогда уравнение (9) можно переписать в виде

(y-2)(y-1)(y+1)(y+2)=10, т.е. в виде

(y2- 4)(y2-1)=10 (10)

Биквадратное уравнение (10) имеет два корня hello_html_m5834b7bc.gif. Следовательно, уравнение (9) так же имеет два корня: hello_html_1da6d25d.gif

Ответ: hello_html_6d837eeb.gif

Пример 24. Решить уравнение

hello_html_1a6baab6.gif



































hello_html_2e08be2a.gifhello_html_m53d4ecad.gif



Ответ: hello_html_127ea3f3.gif

Пример 25. Решить уравнение

hello_html_m66e8865c.gif2

hello_html_421fe4f5.gif

hello_html_m7d09ee56.gif

hello_html_m1b48f061.gif2

hello_html_m6c4931a.gif2 +hello_html_m3eb39e21.gifhello_html_m1d843afb.gif2hello_html_196b8d81.gif2 hello_html_m1ef5fe4c.gif2

hello_html_c7bc5f7.gif

hello_html_m4e95c970.gif

hello_html_m36526fb8.gif2hello_html_18316de3.gif

hello_html_m36526fb8.gif2 = 16

hello_html_727236ec.gif

hello_html_m61ace184.gifhello_html_m53d4ecad.gifhello_html_47cf7c02.gif

Ответ:hello_html_47803712.gif

2.6. В уравнениях вида hello_html_303616f4.gif


и в уравнениях к ним сводящимся, в знаменателях обоих дробей необходимо вынести х за скобки и сделать замену.


Пример 26. Решить уравнение


hello_html_m2f6b0160.gif (1) hello_html_2bcfa7f6.gif

hello_html_71afa54.gif (2)

При переходе hello_html_m24ba4691.gif область определения уравнения сузилась на hello_html_5c7142bc.gif. Проверим, является ли hello_html_22ded3a.gif корнем уравнения. Не является.

hello_html_md4800c1.gif

Введем замену.

Пусть hello_html_m6813a7b6.gif, hello_html_1b737783.gif, тогда

hello_html_179fe9f4.gif

hello_html_6064deb5.gif; hello_html_63800efa.gif

hello_html_6da34c91.gif или hello_html_79d05390.gif

hello_html_2f3869fd.gifhello_html_5bb9173b.gif

hello_html_7f792b29.gifhello_html_60a8e505.gif

Ответ: hello_html_7f792b29.gif; hello_html_60a8e505.gif


Пример 27. Решить уравнение hello_html_m488947b8.gif.


Так как x=0 не является корнем уравнения, то разделим и числитель и знаменатель на х.

hello_html_m67120d97.gif

hello_html_m62193551.gif

hello_html_m22b60f8f.gif

hello_html_4a39533c.gif

Корней нет.

Ответ:hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_16ee9ae1.gif

Пример 28. Решить уравнение

hello_html_1aa717c3.gif. (26)

Решение. Так как hello_html_4e5549cb.gif не является решением уравнения (26), то разделив числитель и знаменатель каждой дроби в левой части на hello_html_46dff828.gif, перепишем его в виде

hello_html_6b1cb891.gif (27)

Сделав замену переменных hello_html_1a97798f.gif перепишем уравнение (27) в виде

hello_html_644ae0ec.gif. (28)

Решая уравнение (28) есть hello_html_m3db0afb0.gif и hello_html_702b314e.gif. Поэтому уравнение (27) равносильно совокупности уравнений

hello_html_553fb42e.gif и hello_html_m8a731e8.gif. (29)

Корни первого уравнения этой совокупности есть hello_html_m59413bca.gif и hello_html_m250f49ec.gif. Второе уравнение решений не имеет. Следовательно, совокупность (29), а значит, и исходное уравнение имеет два корня: hello_html_101a975d.gif и hello_html_6b35ed7b.gif.

Ответ: hello_html_712a9695.gif.

2.7. В уравнениях вида hello_html_m67779b94.gif обе части уравнения делятся на hello_html_5cbecb8b.gif


Пример 29. Решить уравнениеhello_html_3b5ab694.gif.


hello_html_m4d27a716.gif - не является корнем уравнения. Разделим на hello_html_m4e37c915.gif, получим

hello_html_m49e547bb.gif

Введем замену.

Пусть hello_html_m76041cc5.gif; hello_html_m7a88117e.gif, тогда

hello_html_3177e9d2.gif

hello_html_18955e0f.gif; hello_html_1678c268.gif

hello_html_4a9f0d.gif или hello_html_m2f18cd61.gif

hello_html_m16d318e9.gifhello_html_m75eefcfb.gif

Ответ: hello_html_m16d318e9.gif; hello_html_m75eefcfb.gif


Пример 30. Решить уравнение hello_html_m5825c08d.gif.


Проверим, является ли hello_html_4e5549cb.gif корнем уравнения:

hello_html_67c37bc4.gifhello_html_m5a389ad5.gif

можно разделить обе части уравнения на hello_html_39f69f37.gif. Получаем

hello_html_64449d94.gif,

hello_html_6437c908.gif.

Пусть hello_html_5e4b7ac9.gif, тогда

hello_html_705dced7.gif,

hello_html_m22e1f074.gif,

hello_html_44177400.gif,

hello_html_12d6fdd8.gif, hello_html_609dccc8.gif.

Решаем уравнения:

1) hello_html_7c0ad2a.gifhello_html_796efeaa.gif, 2) hello_html_785ef20c.gifhello_html_796efeaa.gif,

hello_html_m29de2d92.gif, hello_html_37fb2da7.gif,

hello_html_2e5c1ea9.gif, hello_html_44d2f25f.gif. hello_html_mf351a32.gif.

Ответ: hello_html_2e5c1ea9.gif, hello_html_44d2f25f.gif.


2.8. Выделение полного квадрата.


Пример 31. Решить уравнение hello_html_m61d3d89f.gif, ОДЗ: hello_html_m550779dd.gif.

hello_html_m407a4de3.gif

hello_html_1c8bdd16.gif

Введем замену.

Пусть hello_html_cc1b443.gif, тогда

hello_html_3603c7a9.gif

hello_html_m7c4a1c35.gif; hello_html_50bdaed3.gif

Вернемся к замене.

hello_html_m5d306dbe.gif или hello_html_m7ffd7944.gif

hello_html_m7ca22a74.gifhello_html_346fbb6e.gif

hello_html_m28bfe0ef.gif корней нет

Ответ: hello_html_m28bfe0ef.gif


Пример 32. Решить уравнение hello_html_5b7617e6.gifhello_html_m451c5df0.gif=8 ОДЗ: hello_html_m65c7b6a7.gif

Выделим полный квадрат в правой части уравнения, тогда получим:

hello_html_105cc91f.gif, hello_html_17ec60e.gif,

hello_html_1f5e2f2.gif, пусть hello_html_m17545b09.gif, тогда у2 = 8 + 2у,

у2 – 2у – 8 = 0, где у1 =-2, у2 = 4.

т.к. hello_html_m4c3eda07.gif, то

hello_html_m490a8614.gifhello_html_m3c2cd8ea.gif

Значит с учетом ОДЗ hello_html_76a3436b.gif- корни уравнения

Ответ: hello_html_e9a188d.gif


Пример 33. Решить уравнение hello_html_m46b1ae48.gif

Выделим полный квадрат в левой части уравнения: hello_html_m2ee4676a.gif ,

hello_html_3a8680ca.gif, пусть hello_html_19a78a9.gif , тогда у2 + 2у -3 = 0, где у1= 1, у2 =-3.

Получаем два уравнения: hello_html_m1bd16d34.gif и hello_html_m11b323df.gif

х2 - х - 1=0 х2 +3х +3 = 0

hello_html_4a99a634.gif нет корней.

Ответ: hello_html_m65843a6e.gif.


Пример 34. Решить уравнение hello_html_10e293fc.gif.


Дополним левую часть уравнения до квадрата суммы:

hello_html_m54aeebaf.gif,

hello_html_m589fbf3b.gif,

hello_html_5ef9910a.gif.

Пусть выражение hello_html_75099e6.gif = Т, тогда

Т 2 – Т – 2 = 0,

Т = -1, Т = 2.

Решаем уравнения:

1) hello_html_75099e6.gif = 2, 2) hello_html_75099e6.gif = -1,

hello_html_m22660c64.gif, hello_html_7add2016.gif

x = 1. hello_html_3f911293.gif

x = hello_html_1c2970d2.gif

Ответ: hello_html_522efa8.gif hello_html_1c2970d2.gif


2.9. Решение уравнений с помощью формулы hello_html_e0f13ef.gif


Пример 35. Решить уравнение hello_html_2a5cd17b.gif.


hello_html_64367499.gif

hello_html_75134628.gif

hello_html_72b71226.gif

hello_html_1536f030.gif или hello_html_m4c4388d5.gif

hello_html_485585ac.gif корней нет


2.10. Уравнения вида hello_html_m37f985ba.gif и к ним сводящиеся решаются при помощи замены hello_html_46c3f375.gif


Пример 36. Решить уравнение hello_html_m79225bf0.gif.


Введем замену: у=х+hello_html_1cec2209.gif

Пусть hello_html_24d64796.gif, тогда hello_html_20f9c403.gif

hello_html_m49100b27.gif

hello_html_c018c6f.gif

hello_html_28829f7d.gif

hello_html_ma9be9ee.gif

hello_html_m7c67054c.gif или hello_html_m21d32435.gif корней нет

hello_html_6122e2b4.gif; hello_html_3c2ea7f.gif

Вернемся к замене.

hello_html_m7f884808.gif или hello_html_77075cd9.gif

hello_html_51cc6c79.gifhello_html_m480003e0.gif

Ответ: hello_html_51cc6c79.gif; hello_html_m480003e0.gif


2.11. Уравнения вида hello_html_62adcd5a.gif


Уравнение

hello_html_62adcd5a.gif (15)

где числа a, b, c, q, A таковы, что hello_html_m42e5be68.gif, не имеет корня х = 0, поэтому, разделив уравнение (15) на х2. получим равносильное ему уравнение hello_html_9d3383a.gif, которое после замены неизвестной hello_html_m5d8bea96.gif перепишется в виде квадратного уравнения, решение которого не представляет трудностей.


Пример 37. Решить уравнение


hello_html_m5fa1a08c.gif

Пример 38. Решить уравнение hello_html_m6483639d.gif .

Решение. Так как х = 0 не является корнем уравнения то, разделив обе его части на х2, получим уравнение hello_html_m4adf206c.gif,

равносильное данному. Сделав замену неизвестной hello_html_4c159689.gif, уравнение перепишем в виде

hello_html_16ca78e3.gif. (18)

Квадратное уравнение имеет 2 корня: у1 = 1 и у2 = -1. Поэтому уравнение равносильно совокупности уравнений

hello_html_5b37204e.gif и hello_html_c426f2f.gif (19)

Совокупность уравнений имеет 4 корня: hello_html_4def4245.gif, hello_html_m35b9ebbf.gif, hello_html_m10860801.gif, hello_html_m5339d05d.gif.

Они будут корнями исходного уравнения

Ответ: hello_html_4def4245.gif, hello_html_m35b9ebbf.gif, hello_html_m10860801.gif, hello_html_m5339d05d.gif.


2.12. Метод разложения на простейшие дроби.


Пример 39. Решить уравнение hello_html_md1268df.gif ОДЗ:hello_html_5eece70.gif

hello_html_m160d23b8.gif

hello_html_m77d0f1e3.gif

hello_html_m23f1c7b9.gif

hello_html_193a37e3.gif

hello_html_45832e45.gif

hello_html_4209e4a.gif

hello_html_4a113dee.gif

Ответ: hello_html_4a113dee.gif


Пример 40. Решить уравнение hello_html_m6096e44d.gif .

Решение. Запишем уравнение в виде

hello_html_437be6d.gif

или в виде

hello_html_4bc8e422.gif .

Суммируя слагаемые в скобках, перепишем уравнение в виде

hello_html_m52d03e2c.gif .

Делая замену неизвестного hello_html_m243df2a.gif, перепишем уравнение в виде

hello_html_4795a150.gif.

Суммируя члены в левой части уравнения , перепишем его в виде

hello_html_maf11fc2.gif.

Легко видеть, что уравнение имеет два корня: hello_html_m6b18858.gif и hello_html_m389bd77b.gif. Следовательно, исходное уравнение имеет четыре корня:

hello_html_m49fbb2fe.gif.

Ответ: hello_html_m47045684.gifhello_html_43f5f4b6.gif.

Пример 41. Решить уравнение hello_html_2a7abfde.gif.

Решение. Перепишем уравнение в виде

hello_html_m7dbe5ea8.gif

или в виде

hello_html_m2823a9b2.gif

Теперь, группируя первый член с последним, а второй с третьим, перепишем уравнение в виде

hello_html_6009175c.gif .

Это уравнение равносильно совокупности уравнений

hello_html_4e5549cb.gif и hello_html_m34162a20.gif (24)

Последнее уравнение совокупности можно переписать в виде

hello_html_556f78fc.gif.

Решения этого уравнения есть hello_html_m4f3d7292.gif и hello_html_m1c343ba2.gif, так как hello_html_4e5549cb.gif входит в ОДЗ второго уравнения совокупности,

то совокупность

имеет три корня: hello_html_45744731.gif. Все они есть решения исходного уравнения.

Ответ:hello_html_45744731.gif .

Пример 42. Решить уравнение


hello_html_m484f6c51.gif Ответ:hello_html_39a9c33.gif


Пример 43. Решить уравнение


hello_html_m4bc80fb9.gif


Ответ: х=0 или х =- 2,5


2.13. Метод введения параметра.

Иногда при разложении многочлена на множители помогает метод введения параметра. Суть этого мето­да поясним на следующем примере.


Пример 44. Решить уравнение х3 –(√3 + 1) х2 + 3 =0.


Решение. Рассмотрим многочлен с параметром а:

х3 - (а + 1)х2 + а2,

который при а = √3 превращается в заданный много­член. Запишем этот многочлен как квадратный трех­член относительно а:

аг - ах2 + 3 - х2).

Так как корни этого квадратного относительно а трехчлена есть а1 = х и а2= х2 - х , то справедливо равенство а2 - ах2 + {xs - х2 ) = {а – х)(а - х2 + х). Следо­вательно, многочлен х3 - (3 + 1)х2 + 3 разлагается на множители √3 – х и √3 - х2 + х, т. е.

х3 – (√3+1)х2+3=(х-√3)(х2-х-√3)= х=√3 или х2-х-√3 =0


Заключение

В ходе выполнения исследования мною рассмотрена и изучена следующая информация по данной проблеме:

  • история вопроса глазами математиков разных эпох;

  • виды уравнений высших степеней;

  • методы решения уравнений высших степеней.

Проделана следующая работа:

1. Подобраны источники информации.

2. Составлена историческая справка.

2. Изучено 13 видов уравнений высших степеней.

3. Изучено 10 методов решения уравнений высших степеней.

4. Составлена обобщающая таблица видов и методов уравнений высших степеней.

5. Решено 44 уравнения разных видов и разными методами.

Выводы:

После завершения исследовательской работы я научился:

  • применять полученные знания для решения уравнений высших степеней;

  • работать с дополнительной литературой и систематизировать материал;

  • увидеть проблему и наметить пути решения.

Литература

  1. Шабунин М.И. Пособие по математике для поступающих в вузы.- М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2000.

  2. Иванов М.А. Математика без репетитора –М. изд. Центр"Вентана-Граф" , 2002

  3. Яковлев Г.Н. Пособие по математике для поступающих в вузы.- М.: Физматлит, 2001.

  4. Образцы конкурсных олимпиадных заданий по математике и письменных вступительных экзаменов для абитуриентов, (2009-2011)

  5. Алексашенко. 140 билетов по математике: Учебное пособие для поступающих в МГУДТ. – М.: ИИЦ МГУДТ, 2006.

  6. Билеты письменных вступительных экзаменов в МФТИ по математике (2001-2010г.).





Приложение 1. Проверь себя!


Задания для самостоятельного решения

  1. hello_html_m4b46cd3b.gif

  2. hello_html_m282e8c1f.gif

  3. hello_html_15c719e4.gif

  4. hello_html_2e2d7227.gif

  5. hello_html_m65f1885e.gif

  6. х4 + 4х3 – 2х2 – 12х + 9 = 0

  7. 2х4х3 – 7х2 – 2х + 8 = 0

  8. hello_html_m3f4e694e.gif

  9. hello_html_m70988996.gif

  10. hello_html_601f5d8e.gif

  11. hello_html_m3253ab8e.gif

  12. hello_html_6d3f81c1.gif

  13. hello_html_16320829.gif

  14. hello_html_m754b5a88.gif

  15. 2х2 + 16ху +14у2 = 0


Приложение 2.

Ответы к заданиям для самостоятельного решения

1.

Перегруппируем сомножители и преобразуем полученное уравнение:

hello_html_3762d497.gif

Пусть hello_html_e8bfeb8.gif, тогда получим уравнение:

hello_html_22cd7b32.gif

Тогда hello_html_mcfa25af.gif и х2 + 5х = - 12

х2 + 5х – 6 = 0 х2 + 5х + 12 = 0

D =49 D = - 23< 0, значит нет корней

х1=1, х2= - 6

Значит 1 и - 6 корни уравнения.

Ответ: 1; - 6.

2. Это биквадратное уравнение, подстановка х2 = t, где t > 0, получим уравнение t2 -2t – 8 = 0, его корни 4 и -2 (не удовлетворяет условию ), х = ± 2. Ответ: ± 2.

3. Ввести новую переменную у = х2 + 5х, тогда ( у -2 )( у + 1)=64; у2 - у – 2 = 4;

у2 - у – 6 = 0, у1 = -2, у2 = 3. Находим х из уравнений: х2 + 5х = -2 и х2 + 5х= 3.

Ответ: hello_html_m7922f0e5.gif.

4. Сгруппировать скобки: (( х + 1)( х+ 4))( (х + 2)( х+ 3 )) = 1

hello_html_b35222.gif

Пусть hello_html_6a24d4e0.gif, тогда

hello_html_m13e0a6a1.gif

Значит, чтобы найти х надо решить уравнения:

hello_html_m321eb015.gifhello_html_m28997d0f.gif


Ответ: hello_html_613afe8c.gif .


5.

hello_html_m464f54f9.gif

Пусть hello_html_mfb1c667.gif, тогда а2 – 13а + 36 =0, где а1=4, а2 =9. hello_html_m53d4ecad.gif


Т.к. hello_html_mfb1c667.gif, тогда: hello_html_m6af4fc37.gif и hello_html_m6b5f9d07.gif

х2 + 6х + 25 = 0 х2 + х + 25 + 0

нет корней нет корней

Ответ: нет корней.


6. Это возвратное уравнение. Делим обе части на х 2 и вводим новую переменную:

х2 + 4х – 2 - hello_html_m2f99923e.gif + hello_html_m40b03036.gif= 0, пусть hello_html_m28045b34.gif, тогда: hello_html_m577364d.gif. Получаем:

у2 + 6 +4у -2 = 0, у2 + 4у + 4 = 0, у = -2. Найдём х, решив уравнение:

hello_html_m1115ba93.gif.Ответ: х1= -3, х2= 1.

7. Это возвратное уравнение. Делим обе части на х2 и вводим новую переменную:

2х2 – х -7 - hello_html_14de8438.gif, пусть hello_html_m656edf2d.gif, тогда hello_html_me73df42.gif. Получаем:

2 (у2- 4 ) - у – 7 = 0, 2у2 - у -15 = 0 , у1 = -2,5; у2 = 3.Найдём х , решив уравнения:

hello_html_638b14b9.gif и hello_html_d5e428a.gif. Ответ: 1; 2.






8.

hello_html_m46b1ae48.gif

Выделим полный квадрат в левой части уравнения: hello_html_m2ee4676a.gif ,

hello_html_3a8680ca.gif, пусть hello_html_19a78a9.gif , тогда у2 + 2у -3 = 0, где у1= 1, у2 =-3.

Получаем два уравнения: hello_html_m1bd16d34.gif и hello_html_m11b323df.gif

х2 - х - 1=0 х2 +3х +3 = 0

hello_html_4a99a634.gif нет корней.

Ответ: hello_html_m65843a6e.gif.


9.

hello_html_m70988996.gif

Пусть hello_html_572d992f.gif

Тогда hello_html_7c88b61d.gif Это квадратное уравнение относительно у, в котором

A=1 B=2x C= -3x2 , тогда:

hello_html_m41b9710b.gif

Тhello_html_1727aff0.gif.к. hello_html_572d992f.gif, то получаем два уравнения:

hello_html_72bbfd6.gif

Ответ: -4;2; hello_html_m1ea48f53.gif


10.

hello_html_601f5d8e.gif Сгруппируем слагаемые hello_html_m17475cea.gif

Пусть hello_html_m2054510b.gif

hello_html_m7bb70d1b.gif

Т.к. hello_html_m2054510b.gif , тогда:

hello_html_74e05809.gifhello_html_6225bab9.gif

Значит корни уравнения hello_html_1221e660.gif

Ответ: hello_html_1221e660.gif


11.

hello_html_m3253ab8e.gif

Пусть hello_html_m4f982fd3.gif,тогда hello_html_1fbf1d1e.gif

Решим это уравнение относительно квадратное относительно у, в котором а =1,в = -6х2,

с =5х4. Тогда D =hello_html_77518c7c.gif. Значит у1 = 5х2, у2 = х2. Т.к. hello_html_5d876bb4.gif, то получаем два уравнения: х2 –х + 1 = 5х2 и х2 – х + 1 = х2

4 х2+ х – 1 = 0 х =1


hello_html_mfcea404.gif

Значит корни уравнения hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_54b62154.gif

Ответ: hello_html_4dc9c5f5.gif.

12.

hello_html_6d3f81c1.gif

Это симметрическое уравнение, разделим обе части уравнения на х2. Тогда hello_html_70db3e06.gifhello_html_m53e72115.gif

Пусть hello_html_m2054510b.gif, тогда hello_html_m4078a173.gif. Получаем уравнение:

hello_html_2b0ccd3d.gif

Чтобы найти х надо решить два уравнения:

hello_html_m39212d82.gif и hello_html_6a1c28c4.gif

х2- х+1 = 0 2х2 -5х +1 =0

нет корней х1=2, х2=0,5
Ответ: 0,5; 2

13.

hello_html_16320829.gif

Уравнение имеет корень х = -1, т.к. это симметрическое уравнение нечетной степени. Разделим многочлен в левой части на ( х – 1).Получим: ( х – 1 )( х6- 3х5+ 6х4 – 7х3 + 6х2 -3х + +1) = 0, х6-3х5+ 6х4- 7х3 +6х2- 3х + 1 = 0. Разделим обе части уравнения на х3 и объединим первый член с последним, второй с предпоследним и т.д. Получим: hello_html_30b571e6.gif

Пусть hello_html_m5fa6db07.gif, тогда hello_html_m2a1f6589.gif, hello_html_m51c4bef4.gif.

Получаем: hello_html_68d30d62.gif, ( у – 1 )3= 0, значит у=1

Т.к. hello_html_m5fa6db07.gif, тогда hello_html_m39212d82.gif, hello_html_m503a9da1.gif. Это уравнение не имеет корней, значит, имеем только один корень -1. Ответ: -1

14.

hello_html_64868225.gif

Это уравнение можно свести к однородному, введя новые переменные: пусть х2= а; (х+1)= в, тогда получим однородное уравнение второй степени: а2 + 5ав = 6в2, разделим обе части уравнения на в2hello_html_me836c16.gif. Получаем: hello_html_7b143b67.gif, пусть hello_html_14a72c76.gif, тогда hello_html_6dca46cf.gif, где с1 = 1, с2 = -6. Получаем зависимость для а и в: hello_html_1d4b9db8.gif. Т.е. а=в, значит х2 = х+ 1 и а = -6в, значит х2= -6( х + 1 )

hello_html_m53d4ecad.gifх2 – х – 1 = 0 х2+ 6х + 6х = 0

hello_html_m6308ed9b.gifhello_html_m47df5636.gif

Ответ:hello_html_m4ed58ba9.gif

15.

2х2 + 16ху +14у2 = 0 Это однородное уравнение второй степени относительно х и у. ( 0;0) является решением уравнения. Пусть уhello_html_me836c16.gif, тогда разделим обе части уравнения на

у2hello_html_me836c16.gif.Получаем: hello_html_1abd11be.gif. Пусть hello_html_fdfff1d.gif, hello_html_m4f18474e.gif. Где а1= -1,

а2= -7. Тогда получаем такие уравнения:


hello_html_m6203d0fc.gif и hello_html_7850ce96.gif-7

х = -у х = -7у

2у2 – 16у + 14у2= 0 98у2 – 112у + 14у2 = 0

у1=0, у2= 1 у3 =0, у4 =1

х1=0, х2= -1 х3 =0, х4 = -7

Ответ: ( 0; 0 ), ( -1; 1 ), ( -7; 1 ).












Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Краткое описание документа:

Уравнения в школьном курсе алгебры занимают ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему. Действительно, уравнения не только имеют важное теоретическое значение, но и служат чисто практическим целям. Подавляющее большинство задач о пространственных формах и количественных отношениях реального мира сводится к решению различных видов уравнений и их систем. Овладев способами их решения, можно найти ответы на различные вопросы из науки и техники.

Практика олимпиад, выпускных и вступительных экзаменов по математике показывает, что довольно часто приходится сталкиваться с уравнениями степени выше второй. Решение таких уравнений зачастую вызывает большие трудности. Не все уравнения удается решить.Как решить эту проблему?В школьных учебниках уравнение высшей степени – редкость. Поэтому я выбрал тему «Исследование методов решения алгебраических уравнений высших степеней». На будущий год мне предстоит поступление в ВУЗ, что делает эту работу для меня актуальной.

Данная работа полезна молодым педагогам.

Автор
Дата добавления 25.08.2016
Раздел Математика
Подраздел Научные работы
Просмотров119
Номер материала ДБ-165901
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх