Урок 1 - 3 "Последовательность"

Технологическая карта урока

Предмет	Алгебра
Класс	9 (ФГОС)
Тема раздела	Раздел 1. «Последовательности»  (18 часов)
Тема	«Определение числовой последовательности» (Урок № 1)
Цели Образовательная Развивающая Воспитательная	Создание условий для  расширения понятийной базы за счет  включения в нее новых элементов: числовая последовательность, члены последовательности, общий член последовательности. Развитие  речи (обогащение и усложнение словарного запаса), способности правильно формулировать свои мысли, формирование  умений и навыков практического характера. Формирование устойчивого познавательного интереса к математике, развитие способности к сотрудничеству, общению, работе в коллективе.
Решаемые учебные задачи	1.       Сформировать представление о числовой последовательности, членах последовательности, общем члене числовой последовательности; 2.       Разъяснить смысл фразы «задать последовательность»; 3.       Рассмотреть примеры числовых последовательностей; 4.       Учить вычислять члены последовательности, заданной формулой общего члена
Планируемые  результаты Предметные умения Метапредметные  умения Личностные умения	Обучающиеся научатся: Владеть базовым понятийным аппаратом,  вычислять любой член последовательности, соответствующий конкретному номеру n; ПУУД: ориентироваться в своей системе знаний: отличать новое от уже известного с помощью учителя. РУУД:  самостоятельно  планировать пути достижения целей,  выбирать действия в соответствии с поставленной задачей и условиями ее реализации; КУУД:  выстраивать аргументацию, участвовать в диалоге. Проявляют критичность  мышления
Тип урока	Урок  открытия нового знания
Вид урока	Комбинированный урок
Технология	Личностно-ориентированное обучение  + ИКТ (презентация)
Методы	Объяснительно-иллюстративный, репродуктивный,  практический
Форма работы	Фронтальная,  индивидуальная
Организация образовательной среды	Источники информации:  Алгебра. 9 класс.  Учебник для общеобразовательных учреждений/С.М. Никольский и др./М: «Просвещение», 2014 г. ТСО: компьютеры, проектор, экран Средства наглядности: презентация «Определение числовой последовательности» Дидактические средства:

Структура урока

Этапы урока Время этапа Задачи этапа	Основные элементы содержания урока ФОУД	Виды учебной деятельности учащихся
1.Оргмомент                            (2 мин.)                     Задачи  этапа: организация внимания и внутренней готовности к уроку	Ф           Взаимное приветствие.         Проверка    готовности учащихся к уроку, фиксация отсутствующих. Положительный эмоциональный настрой учащихся на работу	Контролируют собственную готовность .                   Раппорт дежурного
3. Мотивация учебной деятельности                                 (10  мин.) Задачи этапа: сообщить план работы, вызвать интерес к теме урока	Ф                                 Вводное слово учителя.              - Прежде, чем приступим к изучению нового материала, подведем итоги работы класса за 2 четверть (обговаривают результаты, ставят цели)                                                          - Последовательность - одно из самых основных понятий математики. Последовательность может быть составлена из чисел, точек, функций, векторов и т.д. - Сегодня мы познакомимся с последовательностями, составленными из чисел. - Пример. Во многих семьях есть обычай, своего рода ритуал: в день рождения ребёнка родители подводят его к дверному косяку и торжественно отмечают на нём рост именинника. Ребёнок растёт, и на косяке с годами возникает целая лесенка отметок. Три, пять, два: Такова последовательность приростов от года к году. Но есть и другая последовательность, и именно её члены аккуратно выписывают рядом с засечками. Это - последовательность значений роста.   Две последовательности связаны друг с другом. Вторая получается из первой сложением. Рост - это сумма приростов за все предыдущие годы.	Слушают учителя, рассматривают слайды презентации с диаграммой успеваемости. Записывают тему урока
3. Открытие нового знания               (15 мин.) Задачи этапа: обеспечить усвоение понятия числовой последовательности	Ф           Изложение нового материала                   проводится на основании §6. 1  и  подкрепляется презентацией «Определение числовой последовательности» План 1.       Определение последовательности, членов последовательности, общего члена последовательности; 2.       Примеры последовательностей; 3.       Упорядоченность последовательностей, предыдущий и последующий члены последовательности 4.       Что значит задать последовательность? 5.       Способ задания последовательности с помощью формулы	Слушают учителя, отвечают на вопросы, записывают в тетрадях опорные схемы
4.Закрепление (15  мин.) Задачи этапа: организовать деят- ть по применению новых знаний	Ф/И   Выполненяют   №  408 (устно) ( на слайде) № 409, 410 (а),  411 (а), 412	Осмысливают задание, отвечающие у доски обосновывают шаги решения
5. Дом/зад. (3 мин.)                                Задачи этапа: обеспечить понимание  д/з	И   Читать п. 6.1 стр. 119. Отвечать на вопросы 407 (а, б) Выполнить № 410 (б); 411 (б); 413 (а)	Записывают домашнее задание в дневники

Технологическая карта урока

Предмет	Алгебра
Класс	9 (ФГОС)
Тема раздела	Раздел 1. «Последовательности»  (18 часов)
Тема	«Способы задания числовых последовательностей» (Урок № 2)
Цели Образовательная Развивающая Воспитательная	Создание условий для  углубления понятийной базы за счет  включения в нее новых элементов: способы задания числовой  последовательности, формирование навыков вычисления членов числовой последовательности. Развитие  речи (обогащение и усложнение словарного запаса), способности правильно формулировать свои мысли, формирование  умений и навыков практического характера. Формирование устойчивого познавательного интереса к математике, развитие способности к сотрудничеству, общению, работе в коллективе.
Решаемые учебные задачи	5.       Закрепить представление о числовой последовательности, членах последовательности, общем члене числовой последовательности; 6.       Рассмотреть способы задания числовой последовательности: описанием, рекуррентной формулой 7.       Учить вычислять члены последовательности, заданные разными способами
Планируемые  результаты Предметные умения Метапредметные  умения Личностные умения	Обучающиеся научатся: Владеть базовым понятийным аппаратом,  вычислять любой член последовательности, соответствующий конкретному номеру n; ПУУД: ориентироваться в своей системе знаний: отличать новое от уже известного с помощью учителя. РУУД:  самостоятельно  планировать пути достижения целей,  выбирать действия в соответствии с поставленной задачей и условиями ее реализации; КУУД:  выстраивать аргументацию, участвовать в диалоге. Проявляют критичность  мышления
Тип урока	Урок  открытия нового знания
Вид урока	Комбинированный урок
Технология	Личностно-ориентированное обучение  + ИКТ (презентация)
Методы	Объяснительно-иллюстративный, репродуктивный,  практический
Форма работы	Фронтальная,  индивидуальная
Организация образовательной среды	Источники информации:  Алгебра. 9 класс.  Учебник для общеобразовательных учреждений/С.М. Никольский и др./М: «Просвещение», 2014 г. ТСО: компьютеры, проектор, экран Средства наглядности: презентация «Способы задания числовых последовательностей» Дидактические средства:

Структура урока

Этапы урока Время этапа Задачи этапа	Основные элементы содержания урока ФОУД	Виды учебной деятельности учащихся
1.Оргмомент                            (1 мин.)                     Задачи  этапа: организация внимания и внутренней готовности к уроку	Ф           Взаимное приветствие.         Проверка    готовности учащихся к уроку, фиксация отсутствующих. Положительный эмоциональный настрой учащихся на работу	Контролируют собственную готовность.                   Раппорт дежурного
2.Проверка д/з             (5 мин.)             Задачи этапа: установить полноту и осознанность выполнения д/з	1.       Ф/И   Опрос по вопросам № 408 ; 2.       Проверка у доски выполнения № 412	Фронтальный опрос. Индивидуальный  опрос.
3. Мотивация учебной деятел.                               (1  мин.) Задачи этапа: сообщить план работы, вызвать интерес к теме урока	Ф                                 Вводное слово учителя.              - На прошлом уроке мы познакомились со способом задания последовательности указанием формулы ее общего члена. - Сегодня мы узнаем, как еще можно задавать числовые последовательности.	Слушают учителя, Записывают тему урока
4. Открытие нового знания               (15 мин.) Задачи этапа: обеспечить усвоение некоторых способов задания числовых последовательностей	Ф           Изложение нового материала                   проводится на основании §6. 1  и  подкрепляется презентацией «Способы задания числовых последовательностей» План 6.       Игра «Продолжи ряд понятий или чисел» 7.       Рассмотреть пример 3, где последовательность задана несколькими первыми членами; 8.       Рассмотреть пример с использованием  рекуррентной  формулы; 9.       Рассмотреть пример (последовательность чисел Фибоначчи), в котором  способ задания – описание 10.   Перечислить способы задания числовой последовательности, предъявить схему на слайде;	Слушают учителя, рассматривают слайды презентации, включаются в учебный диалог, записывают в тетрадях опорную схему
5.Закрепление (15  мин.) Задачи этапа: организовать деятельность  по применению новых знаний	И/П   Выполнение   №  414, 415 (а, б), 416 (а, б), 419 (б), 420 (а,б) № 416 (а),  а1= 3,  аn+1 = an+ 2, т.е. a2 = 3+2 = 5                       Как число 3 связано с номером члена 1? Как число 5 связано с номером члена 2?                                                            3 = 2∙1+ 1;    5 = 2∙2 + 1…… тогда  an= 2∙ n + 1                           Тогда на третьем месте будет 2∙ 3+ 1 = 7; На четвертом месте 2∙ 4+1 = 9; На пятом месте 2∙ 5 + 1 = 11. Ответ: 3, 5; 7; 9; 11, …	Осмысливают задание, отвечающие у доски обосновывают шаги решения
6. Дом/зад. (3 мин.)                                Задачи этапа: обеспечить понимание  д/з	И   Читать п. 6.1 стр. 119. Выполнить № 415 (в, г), 417 (а, б); 422 (а). Подготовить сообщение «Числа Фибоначчи» (для интересующихся)	Записывают домашнее задание в дневники
7.Подготовка к ОГЭ (5 мин.) Задачи этапа: отработка навыков	Найти значение каждого выражения. В ответе записать номер наибольшего из них	Самостоятельная работа с последующей проверкой.  Ответ: 2).

Приложение

Этап проверки д/з                                                                    

Решение  № 413(а)             

a₁= 3∙1 – 2 =1

a₂= 3∙2 – 2 = 4

a₃= 3∙3 – 2 =7

a₁₀= 3∙10 – 2 =28

Этап: Усвоение новых знаний

1.       Игра «Продолжи ряд …»

Учитель: Проверим ваши логические способности. Я называю несколько слов, а вы должны продолжить:
а). Понедельник, вторник,…..
б). Январь, февраль, март…;
в). Несколько первых фамилий учащихся класса (Андреева, Бабанов , Власов, ….;
г). 10,11,12,…99. (последовательность двузначных чисел)

Из ответов ребят делается вывод, что вышеназванные ряды  – это последовательности, то есть какой-то упорядоченный ряд чисел или понятий, когда каждое число или понятие стоит строго на своем месте, и, если поменять местами члены, то последовательность нарушится (вторник, четверг, понедельник – это просто перечисление дней недели).

2.       Пример 3 (Числовая последовательность задается несколькими первыми ее членами,  когда имеется в виду, что закономерность получения каждого следующего члена сохраняется  и для остальных членов).

3.       Важный способ задания последовательности состоит в том, что указывается правило, позволяющее вычислить n-й член последовательности, если известны ее предыдущие члены. Такой способ задания последовательности называют рекуррентным (от лат. слова recurrere – возвращаться). Например ряд чисел Фибоначчи: 1; 1; 2; 3; 5: 8; 13; … можно задать  формулами  x₁ = x₂ = 1  x_{n + 2} = x_n+  x_{n+ 1}

4.        Описанием. Например, последовательность 1; 4; 9; 16; 25; … представляет из себя квадраты последовательных натуральных чисел

Леонардо Фибоначчи (1180-1240)

Слайд презентации.

Крупный итальянский математик, автор «Книги абака».

Эта книга несколько веков оставалась основным хранилищем сведений по арифметике и алгебре. Именно по трудам Л. Фибоначчи вся Европа осваивала арабские цифры, систему счета, а также практическую геометрию. Они оставались настольными учебниками, чуть ли не до эпохи Декарта (а это уже 17 век!).

 Но по иронии судьбы до нашего времени сохранилась память только об одной задаче из этой книги.

Некто поместил пару кроликов в некоем месте, огражденном со всех сторон стеной, чтобы узнать, сколько пар кроликов родится при этом в течение года, если природа кроликов такова, что через месяц пара кроликов производила на свет другую пару, а рождают кролики со второго месяца после своего рождения.

 (Слайд презентации).

   Именно в этой задаче появляется последовательность, обессмертившая имя Фибоначчи:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, …

Много интересного в арифметике чисел Фибоначчи.

Каждое третье число Фибоначчи чётно, каждое четвёртое делится на три, каждое пятнадцатое оканчивается нулём, два соседних числа взаимно просты.

Число а_п  делится на число а_к тогда и только тогда, когда п делится на к.

 В этой последовательности сумма любых двух предыдущих чисел равна следующему числу: 1+2=3, 3+5=8, 5+8=13,…

Отношение любого числа последовательности к предыдущему колеблется вокруг значения, которое ещё в древности под названием золотого сечения: 1,61803398…

 «Золотое сечение» определяется как такое положительное число, которое на единицу больше обратного к нему числа: t -  = 1.

  «Золотое сечение», как идеальная и приятная глазу пропорция человеческого тела и его элементов, широко использовалось многими художниками, начиная с другого великого Леонардо – Леонардо да Винчи
. Слайд презентации.

ТРЕУГОЛЬНИК ПАСКАЛЯ

 Блез Паскаль (1623-1662) один из самых знаменитых людей в истории человечества. Французский математик, механик, физик, литератор и философ. Классик французской литературы, один из основателей математического анализа, теории вероятностей и проективной геометрии, создатель первых образцов счётной техники, автор основного закона гидростатики.

 Треугольник Паскаля – это  бесконечная  числовая таблица треугольной формы, в которой на вершине и по боковым сторонам стоят единицы, каждое из остальных чисел равно сумме двух чисел, стоящих над ними слева и справа в предыдущей строке.

  В такой форме треугольник Паскаля приведён в «Трактате

об арифметическом треугольнике», опубликованном в 1665 г.,

уже после смерти автора. Слайд презентации

  Популярность чисел, составляющих треугольник Паскаля,

не удивительна: они возникают в самых естественных задачах

алгебры, комбинаторики, теории вероятностей,

математического анализа, теории чисел.

 

 Этот треугольник можно записать в прямоугольной форме.

Слайд презентации.

Суммы чисел по диагоналям равны последовательным

 числам Фибоначчи.

Числа Фибоначчи

Между рядом Фибоначчи и треугольником Паскаля существует любопытная связь.    

 Образуем для каждой восходящей диагонали треугольника Паскаля сумму всех стоящих на этой диагонали чисел. Получим для первой диагонали 1, для второй 1, для третьей 2, для четвертой 3, для пятой 5.                                                                                                                                                                           Мы получили не что иное, как пять начальных чисел Фибоначчи. Оказывается, что всегда сумма чисел n-й диагонали есть n-е число Фибоначчи. Для доказательства интересующего нас предложения достаточно показать, что сумма всех чисел, составляющих n-ю и (n+1) диоганали треугольника Паскаля равна сумме чисел, составляющих его т+2-ю диагональ.

Технологическая карта урока

Предмет	Алгебра
Класс	9 (ФГОС)
Тема раздела	Раздел 1. «Последовательности»  (18 часов)
Тема	«Монотонность числовых последовательностей» (Урок № 3)
Цели Образовательная Развивающая Воспитательная	Создание условий для  расширения понятийной базы за счет  включения в нее новых элементов: возрастающая,  убывающая, невозрастающая, неубывающая последовательности, формирование навыков определения типа монотонности. Развитие  речи (обогащение и усложнение словарного запаса), способности правильно формулировать свои мысли, формирование  умений и навыков практического характера. Формирование устойчивого познавательного интереса к математике, развитие способности к сотрудничеству, общению, работе в коллективе.
Решаемые учебные задачи	8.    Сформировать представление о возрастающей, убывающей, невозрастающей, неубывающей последовательностях; 9.    Учить определять вид монотонности последовательности; 10. Учить приводить примеры монотонных и немонотонных последовательностей
Планируемые  результаты Предметные умения Метапредметные  умения Личностные умения	Обучающиеся научатся: Владеть базовым понятийным аппаратом,  определять и доказывать тип монотонности последовательности; ПУУД: ориентироваться в своей системе знаний: отличать новое от уже известного с помощью учителя. РУУД:  самостоятельно  планировать пути достижения целей,  выбирать действия в соответствии с поставленной задачей и условиями ее реализации; КУУД:  выстраивать аргументацию, участвовать в диалоге. Проявляют критичность  мышления
Тип урока	Урок  открытия нового знания
Вид урока	Комбинированный урок
Технология	Личностно-ориентированное обучение  + ИКТ (презентация)
Методы	Объяснительно-иллюстративный, репродуктивный,  практический
Форма работы	Фронтальная,  индивидуальная
Организация образовательной среды	Источники информации:  Алгебра. 9 класс.  Учебник для общеобразовательных учреждений/С.М. Никольский и др./М: «Просвещение», 2014 г. ТСО: компьютеры, проектор, экран Средства наглядности: презентация «Монотонность  числовых последовательностей» Дидактические средства:

Структура урока

Этапы урока Время этапа Задачи этапа	Основные элементы содержания урока ФОУД	Виды учебной деятельности учащихся
1.Оргмомент                            (1 мин.)                     Задачи  этапа: организация внимания и внутренней готовности к уроку	Ф           Взаимное приветствие.         Проверка    готовности учащихся к уроку, фиксация отсутствующих. Положительный эмоциональный настрой учащихся на работу	Контролируют собственную готовность.                   Раппорт дежурного
2.Проверка д/з             (5 мин.)             Задачи этапа: установить полноту и осознанность выполнения д/з	3.       Ф/И   Заслушать сообщение учащихся о числах Фибоначчи; 4.       Проверка у доски выполнения № 422 (а) (смотри приложение)	Слушают и анализируют выступление товарища. Индивидуальный   опрос.
3. Мотивация учебной деятел.                               (1  мин.) Задачи этапа: сообщить план работы, вызвать интерес к теме урока	Ф                                 Вводное слово учителя.               - Сегодня мы узнаем некоторые свойства числовых последовательностей	Слушают учителя, Записывают тему урока
4. Открытие нового знания               (15 мин.) Задачи этапа: обеспечить усвоение понятия монотонности последовательности	Ф           Изложение нового материала                   проводится на основании §6. 2 (стр. 123-124)  и  подкрепляется презентацией «Монотонность числовых последовательностей» План 11.   Строго возрастающая последовательность, пример; 12.   Строго убывающая последовательность, пример; 13.   Неубывающая последовательность, пример; 14.   Невозрастающая последовательность, пример	Слушают учителя, рассматривают слайды презентации, включаются в учебный диалог, записывают в тетрадях опорную схему
5.Закрепление (15  мин.) Задачи этапа: организовать деятельность  по применению новых знаний	И/П   Выполнение  (только  вопрос о монотонности, ограниченность оставляем на следующий урок) №  428 (а, б), № 429 (а, б), №  430 (а, б), № 434 (а,б)	Осмысливают задание, отвечающие у доски обосновывают шаги решения
6. Дом/зад. (3 мин.)                                 Задачи этапа: обеспечить понимание  д/з	И   Читать п. 6.2 стр. 123 – 124; Выполнить № 427 (а, б, в, ж, з)  (устно); Выполнить № №  428 (в, г), 429 (в, г), 430 (в, г).	Записывают домашнее задание в дневники
7.Подготовка к ОГЭ (5 мин.) Задачи этапа: организовать деятельность по отработке  навыков решения заданий ОГЭ	Запишите в ответе номера выражений, значение которых равно 0. 1) (–1)3 – (–1)5;                 2) – (–1)5 + (–1)6;                               3) –12 + ((–1)2)3;                 4) (–15)2– (–1)4.	Самостоятельная работа с последующей проверкой.  Ответ: 134

Этап проверки д/з                                                                    

 № 422(а).

 Сколько отрицательных членов имеет последовательность, заданная формулой общего члена:

a_n = n² – 12n + 27

Решение:

a_n < 0;

n² – 12n + 27< 0 – квадратное неравенство, решим способом интервалов.

n² – 12n + 27= 0

D= (-12)² - 4∙1∙27 = 144 – 108 = 36

 

9

3

    Разобъем область определения функции  y = n² – 12n + 27  на интервалы                                                                

Расставим знаки трехчлена +, -, +, начиная справа.

Тогда получим, что трехчлен n² – 12n + 27  принимает отрицательные значения на промежутке от 3 до 9.

Сюда попадают 5 натуральных чисел: 4; 5; 6; 7; 8  (n – натуральное число, номер члена последовательности!).

Ответ: 5 отрицательных чисел

Этап закрепления

№ 434 (а, б)

Задайте формулой последовательность:

а). 2; 2; 3; 3; 4; 4; 5; 5; …

Эту последовательность можно задать формулой общего члена , где квадратные скобки означают, что берется только целая часть числа  

  

Задайте формулой последовательность:

б). 2; 3; 3; 4; 4; 5; 5; …

Эту последовательность можно задать формулой общего члена , где квадратные скобки означают, что берется только целая часть числа   .                          Например,

Этап подготовки к ОГЭ

Запишите в ответе номера выражений, значение которых равно 0.

1) (–1)³ – (–1)⁵ = - 1 – (- 1) = -1 + 1 = 0;

2) – (–1)⁵ + (–1)⁶ = 1 (- 1) + 1 = 1 + 1 = 2   

3) –1² + ((–1)²)³ = - 1 + 1 = 0

4) (–1⁵)²– (–1)⁴ = 1- 1= 0