Зам.Дир по УВР_______________
Утверждаю
№_____
Дата_________
Предмет Алгебра
Класс 10
Тема урока: КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ И ЭКСТРЕМУМЫ
ФУНКЦИИ
Цели урока: Изучив данную тему, вы ознакомитесь с понятиями критической точки
функции, научитесь находить критические точки и точки экстремума функции с
помощью ее производной.
Тип урока: Изучения нового
материала.
ХОД
УРОКА
1. Организационный момент.
Приветствие учащихся,
проверка готовности класса к уроку, организация внимания учащихся, раскрытие
общих целей урока и плана его проведения.
2. Этап проверки домашнего
задания.
Задачи: Установить
правильность, полноту и осознанность выполнения д/з всеми учащимися, выявить
пробелы в знаниях и способах деятельности учащихся. Определить причины
возникновения затруднений, устранить обнаруженные пробелы.
3.Этап актуализации.
Задачи: обеспечение
мотивации учения школьников, включение в совместную деятельность по определению
целей урока. Актуализировать субъективный опыт учащихся. №261. Повторить п 3
4. Формирование новых
понятий и способов действия.
При исследовании функции и построении ее графика нужно не только
уметь определять промежутки возрастания и убывания функций, которые вы
научились находить с помощью производной по предыдущему параграфу, а также
уметь находить критические
точки и экстремумы. С понятием экстремума
функции вы ознакомились в § 3.
Определение. Внутренние точки области определения функции, в которых
производная равна нулю или не существует, называются критическими точками.
Точками экстремума могут быть только критические точки.
Введем необходимое условие существования экстремума функции.
Теорема. Если точка х0 является точкой экстремума и
в окрестности этой точки функция f (х) имеет
производную, то производная в этой точке равна нулю, т.е. f'(x0)
= 0.
Но теорема, обратная этой теореме, не всегда верна, т.е. не
обязательно, чтобы всякая критическая точка была точкой экстремума.
Пример 1. Дана функция г/ = лс3 — 1. Найдем производную
функции /' (х) = Зх2. Решим уравнение f
'(х)= 0, тогда Зх2 = 0 или х =
0. f (0) = 3 • 0 = 0, но экстремума в этой точке функция не имеет
(рис. 57).
Поэтому сформулируем достаточные условия существования экстремума (максимума
и минимума).
Теорема. Если функция f(х)
в точке х0 непрерывна, а на интервале (а; х0)
f '(х) > 0, на интервале
(х0; b) f '(х)
< 0, то точка х0 является точкой максимума.
Теорема. Если функция f (х) в точке х0 непрерывна, а на
интервале (а; х0) f '(x) < 0,
на интервале (х0; b) f '(x) > 0,
то точка х0 является точкой минимума.
Удобно пользоваться упрощенной
формулировкой этого условия: если в окрестности точки х0 производная
функции меняет знак с плюса на минус (с минуса на плюс), то точка х0
является точкой
максимума (минимума) функции.
Алгоритм нахождения точек экстремума функции:
1)
найти производную функции;
2)
решить уравнение f ' (х) = 0,
найти критические точки;
3)
с помощью метода интервалов
определить знаки производной в окрестностях критических точек;
4)
используя достаточное условие
существования экстремума, найти точки максимума и минимума.
Рассмотрим примеры на нахождение точек экстремума.
Пример 2. Определим точки экстремума функции у =
2х3 - х2
- 4х + 5.
Решение. Для
нахождения точек экстремума используем данный алгоритм:
1)
у'= (2x3 - х2 - 4х
+ 5)' = 6х2
-
2х - 4 = 2 (Зх2 - х - 2);
2)
чтобы определить точки
экстремума, производную приравняем
к нулю: 2 (Зх2 - х
- 2) = 0, Зх2 - х - 2 = 0, x1 = 1, х2 = -
3)
используя точки xt = 1, х, = - 2/3 , разделим координатную прямую на промежутки и определим
знак производной на каждом интервале.
Для этого возьмем х=0и определим знак
производной функции f
'(0) = 2 • (3 • 02 - 0 - 2) =
-4 < 0, т.е. при х >
1 f
'(x)
> 0. Тогда знаки производной на интервалах имеют следующий вид (рис.
58.1):
в
окрестности точки х = - 2/3 производная меняет знак с плюса на минус, а в окрестности точки х = 1 производная меняет
знак с минуса на плюс. Пользуясь условием
экстремума, получаем, что точка х = -2/3 это точка максимума, а х = 1 — точка минимума. Ответ: хmax= -2/3, xmin= 1.
5.
Применение. Формирование умений и навыков.
Задачи: Обеспечить
применение учащимися знаний и способов действий, которые им необходимы для СР,
создать условия для выявления школьниками индивидуальных способов применения
изученного.
Содержание этапа: № 267
,268, 269, 270, 273(а).
6.Этап информации о домашнем
задании.
Задачи: Обеспечить
понимание учащимися цели, содержания и способов выполнения домашнего задания.
№ 267 ,268, 269, 270,
273(б).
7.Подведение итогов урока.
Задача: Дать качественную
оценку работы класса и отдельных учащихся.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.