Урок алгебры и начал анализа в 11 классе "Производная и её геометрический смысл"

Открытый урок алгебры и начал анализа в 11 классе по теме «Производная и ее геометрический смысл»

Учитель: Елефтериади Е.В., учитель математики МБОУ СОШ № 42 муниципального образования Абинский район

Тип урока: урок систематизации и обобщения знаний

Цели урока:

•                            ¨ дидактическая – формирование умений анализировать проблему и планировать способы ее решения; применять знания в новой ситуации, анализировать, делать выводы;

•                            ¨ развивающая – развитие интереса к предмету и наблюдательности, учить видеть связь между математикой, другими науками и окружающей жизнью, развивать грамотную  математическую речь;

•                            ¨ воспитательная – формирование умения работать самостоятельно и в коллективе; воспитывать волю и настойчивость для достижения конечных результатов.

Задачи для учителя:

- проконтролировать знания правил дифференцирования, основных формул для нахождения производных элементарных функций, уравнения касательной к графику функции;

- проверить навыки по применению своих знаний в ходе решения нестандартных задач;

- развить представления учащихся об использовании знаний по нахождению производной в окружающей их жизни и в других научных областях;

- продолжить работу над развитием логического мышления, умением анализировать, сопоставлять и обобщать полученные знания.

Задачи для учащихся:

         1. Знать формулы для вычисления производных элементарных и сложных функций, уравнение касательной.

         3. Уметь находить производные функций и уравнение касательной к графику функции.

        4. Уметь применять знания на практике в различных науках.

Форма работы:  индивидуальная, фронтальная, групповая.

Ход урока

Организационный момент

Добрый день, друзья!  Рада вас видеть. Я желаю вам сегодня на уроке удачи, точных расчетов и вычислений, а для кого то и новых открытий. И ответьте, пожалуйста, на мой первый вопрос: «Какую тему мы изучаем? »  («Производная и ее геометрический смысл») (слайд 1)

Проверка домашнего задания.

Есть ли вопросы по выполнению домашнего задания? Если нет, то давайте начнем наш урок. На каждом уроке мы достигаем, каких то целей, а потом в конце урока подводим итог - достиг ли наш урок поставленных  целей.

 Какие же цели  мы сегодня себе поставим  на урок? (слайд 2)

Сегодня мы с вами продолжим знакомство с производными функций, вспомним и обобщим все те знания, которые вы получили на предыдущих уроках, узнаем что - то новое по теме. Откройте тетради и запишите дату и тему урока: " Производная и ее геометрический смысл".

(слайд 3)  Девизом нашего урока по-прежнему остается "Я знаю, что я умею делать. Я знаю, как это сделать", а эпиграфом  возьмем замечательные строки поэта А.Поупа:

 «Был этот мир глубокой тьмой окутан.

   Да будет свет! И вот явился Ньютон».

Догадались, почему именно Ньютон в математике?  

 Великий английский физик, математик и астроном  Исаак Ньютон в конце 12 века ввёл понятие производной, изучая законы механики, тем самым раскрыл  её механический смысл.

  Для того чтобы включиться в работу и сконцентрироваться, предлагаю вам небольшую разминку.

Проверка знаний учащихся.

Вопросы:

1.     Сформулируйте определение производной функции в точке. (производной функции у= f (х) в точке  х называют предел отношения приращения функции в точке х к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю).

2.     Как называют операцию  нахождения производной? (дифференцированием)  

     3. Сформулируйте правила дифференцирования суммы, произведения и частного.

4. В чем заключается геометрический смысл производной? (значение производной функции  у= f (х)  в точке х₀  равно угловому коэффициенту касательной  к графику функции у= f (х)  в точке (х₀; f (х₀));в чем заключается  физический смысл производной?

5. Что называется  касательной к графику функции? (предельное положение секущей). Как называется точка, к которой проведена касательная? (точка касания). Как мы обозначаем точку касания в нашей теме? (х₀)

6. Запишите уравнение касательной к графику функции в заданной точке?

 Чтобы эффективно использовать производную при решении конкретных задач, необходимо, как таблицу умножения, знать таблицу производных элементарных функций.

Убедимся в том, что вы эту таблицу знаете в совершенстве.

Проведем математический диктант. Листочки у вас на столе,  впишите фамилию, дату и номер варианта.

1. а) Записать формулой производную частного (произведения).

       б) Производная суммы                                          (разности)

2. Чему равна производная

      sin x                                                                             (cosх)

3. Производная

       lnx                                                                                (1/x)

 4. Производная

         е^х                                                                                          (а^х)

5.Производная

     ctq x                                                                              (tqx)

6. Производная

      х^п                                                                                                                              (Vх)

7. Найдите значение производной функции у= f (х)   в точке х₀ , если

 f (х)=1-6 ³V х , х₀ = 8                                   f (х)=2-1/Vх  , х₀ =1/4

Обменялись листочками с соседями и произвели проверку. Ответы написаны на оборотной стороне доски.

(Выполнены все задания - «5»,  одна ошибка в заданиях №1-6, или вычислительная ошибка в №7 - «4», если выполнено 4 задания - «3», меньше четырех заданий  - «2»). Поставили оценку. Подними руку  те, кто получил «5», «4», «3», «2». Листочки на край стола, я пройду, соберу.

Работа в парах “Составь пару” (слайд4) на 5 минут.

Учитель. Перед вами таблица. В клетках таблицы в беспорядке записаны функции и их производные. Для каждой функции найдите производную и запишите соответствие номеров клеток.

По окончании времени учитель собирает карточки ответы № 2, а карточки № 1 учащиеся оставляют себе для самоконтроля. (слайд 5)

Одной из пар можно предложить следующее задание: «Для предложенных функций найти значение производной функции в точке х₀ =0 и в таблице найти букву, соответствующую результату каждого примера, буквы расположить  в той же последовательности, что и функции. В данном задании зашифрована фамилия великого немецкого математика.

2	0	-1	-6	5	7	3
б	и	е	н	й	л	ц

функция	значение производной в точке х=0	буква, соответствующая таблице выше
у=7х+4	у'(0)=
у=3х2 - х	у'(0)=
у=ln(5х+1)	у'(0)=
у=sin2х	у'(0)=
у= (х-3)2	у'(0)=
у=х-3	у'(0)=
у=е3х	у'(0)=

Готфрид Лейбниц - один из основателей дифференциального и интегрального исчисления, внес огромный вклад в развитие математического анализа. Позже мы познакомимся  с важной теоремой Ньютона - Лейбница, которая устанавливает связь между дифференциальным и интегральным исчислением.

Работа устно (слайд 6)

 На протяжении пяти лет мы изучали с Вами различные функции. Вспомните, какую функцию мы называем линейной? Что является графиком линейной функции? Какое число мы называем угловым коэффициентом прямой? (слайд 7)

Рассмотрим зависимость углового коэффициента к от угла наклона прямой. (слайд 8).

Повторим еще раз, в чем же заключается геометрический смысл производной (слайд 9).

Вспомним алгоритм составления уравнения касательной. (слайд 10-12) . Устно разбираем слайды.

Работа у доски задание «Прямая у=3х+1 является касательной к графику функции у= ах² +2х +3. Найти а. (Ответ: 0,125)

Самостоятельная работа

стр. 92 учебника  № 104-105 нечетные  (выполняют - Симонян, Луговой, Кузюткина, Абасова, Сопин, Реутов, Харченко)

№ 111, № 112, № 121 нечетные - все остальные.

Домашнее задание: 1 группа подбирает задачи по теме «Производная», связанные с вашей будущей профессией; 2 группа – на основе материала создает либо буклет, либо презентацию. Выбранный  вами из класса учащийся будет этот проект защищать (до понедельника) и № что решали в классе (четные)

 Итог урока (слайд 13)

Слайд 14