Урок алгебры и начал математического анализа по теме "Применение непрерывности" (10 класс)

МОУ «Средняя общеобразовательная школа с. Ездочное»

Урок алгебры и начал анализа  в 10 классе по теме

 «Применение непрерывности и производной»

                                                                                     Учитель Середа Л. В.

2012

Цели урока:

1) обобщить и систематизировать полученные знания по теме        «Применения непрерывности и производной»;

закрепить полученные теоретические знания при решении задач;

закрепить умение решать задания из материалов ЕГЭ с применением производной;

2) способствовать развитию логического мышления, математической речи, умений говорить и слушать, осуществлять самоконтроль;

3) развивать умение выделять главное в изучаемом материале, развивать самостоятельность, умение преодолевать трудности.

Тип урока. Урок обобщения и систематизации знаний и способов действий.

Оборудование: компьютер, проектор, экран, презентация урока.

Технология. Традиционная в сочетании с элементами информационно-коммуникационной технологии.

Ход урока

I. Организационный момент (приветствие, запись в тетрадь даты и темы урока) (Слайд № 1)

II. Формулировка задач в действиях учащихся

Сегодня на уроке нам предстоит обобщить и систематизировать полученные знания по теме «Применения непрерывности и производной» и закрепить эти знания при решении задач. Мы еще раз заострим внимание на таких вопросах, как: свойство непрерывных функций, которое лежит в основе решения неравенств методом интервалов; геометрический смысл производной; уравнение касательной; механический смысл производной.

 Истинная красота человека – это его знания. Я бы очень хотела, чтобы вы сегодня были красивы не только внешне, но и внутренне. Итак, мы начинаем. (Слайд № 2)

III. Проверка домашнего задания (4 ученика пишут на доске решения  заданий из домашней работы).

1. Решить неравенство методом интервалов

2. Найдите тангенс угла наклона с оси абсцисс касательной, проходящей через точку М( 2), к графику функции у = 2 – sinx.

3. Составить уравнение касательной к графику функции у = х² – 3х +2 в точке с абсциссой х₀ = 1.

4. Материальная точка движется прямолинейно по закону

х(t)=t³- 4t². Найдите скорость и ускорение в момент времени  t =5с. (Перемещение измеряется в метрах).

IV. Актуализация опорных знаний и умений

IV₁. Устная работа.  Фронтальный опрос по теории.

1) На каком свойстве непрерывных функций основан метод интервалов? (Слайд № 3)

2) Рассказать алгоритм решения неравенств методом интервалов.(Слайд № 4)

3) В чем заключается геометрический смысл производной? (Слайд № 5)

4) Каков общий вид уравнения касательной? (Слайд № 6)

5) Каков алгоритм нахождения уравнения касательной? (Слайд № 7)

6) В чем состоит механический смысл производной? (Слайд № 8)

7) Каков алгоритм нахождения скорости и ускорения в данный момент времени? (Слайд № 9)

Учащиеся, работавшие у доски, комментируют свои решения, а сидящие на местах, проверяют.

IV₂. Устная работа. Задания – на экране. (Слайд №  10).  Фронтальная работа с классом.

1. Найдите производную функции:

а) у = х⁷;    б) у = 5;    в) у = ;   г) у = 4х + 5;   д) у = 3 cosx + sinx;

 е) y = tg5x;     ж) y = (5x + 6)⁸;      з) у = sinx + ;       и) у = sin(3x–4);

 к)  у = cos6x.

 2. (Слайд № 11 )  В8. На рисунке изображен график функции    y = f(x)  и касательная к нему в  точке с абсциссой   x₀.  Найдите значение производной функции   f(x)    в точке  x₀.

3. (Слайд № 12 )  В8. На рисунке изображен график функции    y = f(x)  и касательная к нему в  точке с абсциссой   x₀.  Найдите значение производной функции   f(x)    в точке  x₀.

4. (Слайд № 13). Вопрос. Как зависит угол наклона касательной в точке с абсциссой х₀ к положительной полуоси Ох от знака ?

В8.  На рисунке изображен график функции   y = f(x) . Найдите среди точек  х₁, х₂, х₃, х₄, х₅, и  х₆  те точки, в которых производная функции   f(x) положительна. В ответ запишите количество найденных точек.

5. (Слайд № 14). В8. Функция  y = f(x) определена на интервале (-1; 10). На рисунке изображен график функции f(x) . Найдите среди точек  х₁, х₂,…, х₇  те точки, в которых производная функции   f(x) равна нулю. В ответ запишите количество найденных точек.

          6. (Слайд №  15). В8. На рисунке изображен график производной функции   y = f(x) , определенной на интервале (-2; 9). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции  у = f(x)               параллельна прямой у = х+5 или совпадает с ней.

       7. (Слайд № 16). В8. На рисунке изображен график производной функции  y = f(x) , определенной на интервале (-10; 4). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции   y = f(x)                параллельна прямой у = -2х + 6 или совпадает с ней.

VI. Самостоятельная работа (тест)

Вариант1

1. Найдите производную функции y = 9x² – cos x.

1) =18x – sinx       2)

3)      4)

2. Найдите производную функции y = (4 – 3x)⁵.

1)         2)

3)       4)

3. Найдите тангенс угла наклона касательной, проведённой к графику функции y = 2x²  в его точке с абсциссой х₀ = -0,5.

1) 1            2) 2          3) -2            4) -4

4. Координата материальной точки изменяется с течением времени по закону x(t) = 3t²- 7t + 6.  Найдите скорость точки в момент времени t =6.

1) 2                  2) 29               3) 32                 4) 36

5. В каких точках графика функции f(х) = - х³ – х² + 5х касательная к нему образует тупой угол с осью абсцисс?

а)                                  б)                                       

в)                                                  г) другой ответ.

Вариант 2

1. Найдите производную функции y = x¹² + sinx .

1)          2)

3)        4)

2. Найдите производную функции y = (2x – 3)¹².

1)            2)

3)             4) .

3. . Найдите тангенс угла наклона касательной, проведённой к графику функции y = -0,5x²  в его точке с абсциссой х₀ = -3.

1) -3            2) -4,5               3) 3                       4) 0

4. Координата материальной точки изменяется с течением времени по закону x(t) = t⁵- t⁴ + 6.  Найдите скорость точки в момент времени t =2.

1) 48                 2) 54                   3) 70                 4) 88

5. В каких точках графика функции f(х) = х³ – 2х² + х +8 касательная к нему образует острый угол с осью абсцисс?

а)                                          б)

в)                                                             г) другой ответ.

Ответы на тест (взаимопроверка) (Слайд № 18)

№	1	2	3	4	5
В-1	3	3	3	2	1
В-2	4	3	3	2	1

V. Физкультминутка

1. Упражнение для глаз (Слайд №  19)

2. Исходное положение: сидя на стуле: прогнуться в пояснице, кисти к плечам. Вдох – потянуться, руки вверх, кисти расслаблены. Выдох – кисти к плечам, локти свести вперед.

VI.  Закрепление знаний и способов действий. (Слайд № 20)

1. Какой из предложенных прямых параллельна касательная к графику функции у = 3х² – 6х + 1 в точке х₀ = 2?

1) у = -3х + 2;    2) у = 6х + 11;   3) у = 9х – 4;    4) у = -  х + 3. (Ответ: 2)

2.  Прямая у = 5х + 14 является касательной к графику функции   у = х³ – 4 х² + 9х + 14.  Найдите абсциссу точки касания. (Ответ: 2)

3. Точка движется по координатной прямой так, что зависимость ее координаты х от времени t  задается формулой  x(t) = 4t² – 6t + 10. Найдите момент времени, в который скорость точки равна 50. (Ответ: 7)

Дополнительное задание. (Слайд № 21).  Тело, выпущенное вертикально вверх со скоростью v₀, движется  по закону _, где  h – путь в метрах,  t- время в секундах. Найдите наибольшую высоту, которой достигнет тело, если  v₀ = 60 м/с,  g = 10 м/с². (Ответ: 180 м)

VII. Домашнее задание:  (Слайд № 22 )

п. 18-21 повторить, решить тест (см. приложение)

Дополнительно.  Задание из материалов ЕГЭ (С3): Решите неравенство

VIII. Подведение итогов (оценки за урок …)

IX. Рефлексия

- Какая у нас была сегодня цель урока?

- Как вы думаете, мы достигли ее?

Закончите предложения: (Слайд № 24).

1)      А вы знаете, что сегодня на уроке я_____ .

2)      Больше всего мне понравилось_________ .

3)      Самым интересным сегодня на уроке было _________.

4)      Самым сложным для меня сегодня было __________.

5)      Сегодня на уроке я почувствовал ________.

6)       Сегодня я понял____________ .

7)       Сегодня я научился_________ .

8)       Сегодня я задумался_________ .

9)       Сегодняшний  урок  показал  мне  _________.

10)    На будущее мне надо иметь в виду _________.

Приложение

Домашнее задание

Вариант 1

1. Найдите промежутки непрерывности функции 

а)                       б)

в)                                  г) другой ответ.

2.  Решите неравенство                                         

а)                                      б)                                                  

в)                                           г) другой ответ.  

3. Решите неравенство

а)                                        б)

в)                                                     г) другой ответ.

4. Материальная точка движется по закону (перемещение измеряется в метрах). Найдите скорость и ускорение в момент  c после начала движения.

а) 37 м/с и 34 м/с²;                                       б) 27 м/с и 22 м/с²;

в) 24 м/с и 16 м/с²;                                       г) другой ответ.

5.Напишите уравнение касательной к функции у = 2х – х² + 2 в точке х₀= -1.

а) у = 4х + 3;                                                 б) у = 4х + 5;

в) у = 3х + 4;                                                 г) другой ответ.

6.  На графике функции  y = 2x –2x² +3  найдите точку М, в которой касательная к данному графику параллельна прямой y = 6x + 2.

7. При движении по прямой расстояние s(в метрах) от начальной точки изменяется по закону s(t) =  (t - время движения в секундах).Через сколько секунд после начала движения тело сделает вторую мгновенную остановку (V_мгн = 0)?

Вариант 2

1. Найдите промежутки непрерывности функции

а)                             б)

в)                                             г) другой ответ.

2. Решите неравенство:

а)                                                б)

в)                                                           г) другой ответ.

3. Решите неравенство:

а)                                                              б)

в)                                                                г) другой ответ.

4. Материальная точка перемещается по закону  (перемещение происходит в метрах). Найдите скорость и ускорение в момент =2 с после начала движения.

а) 19 м/с и 14 м/с²;                                            б) 14 м/с и 12 м/с²;

в) 12 м/с и 18 м/с²;                                            г) другой ответ.

5. Напишите уравнение касательной к функции у = х - 2х² – 1 в точке х₀ =1.

а) у = -3х – 6;                                                    б) у = -3х – 4;

в) у = -3х – 2;                                                    г) другой ответ.

6. На графике функции  y = 7 + 2x – 3x²  найдите точку М, в которой касательная к данному графику параллельна прямой

y = 4x + 2.

7. При движении тела по прямой расстояние s (в метрах) от начальной точки изменяется по закону s(t)  = (t - время движения в секундах). Сколько мгновенных остановок(V_мгн = 0) сделает тело за 5,5 секунд своего движения?

№	1	2	3	4	5	6	7
В-1	а	г	а	а	а	М(-1;-1)	Через 5 сек.
В-2	б	б	а	в	г	М	Одну

Дополнительное задание.  Тело, выпущенное вертикально вверх со скоростью v₀, движется  по закону _, где  h – путь в метрах,  t- время в секундах. Найдите наибольшую высоту, которой достигнет тело, если  v₀ = 60 м/с,  g = 10 м/с².

-------------------------------------------------------------------------------------------

Дополнительное задание.  Тело, выпущенное вертикально вверх со скоростью v₀, движется  по закону _, где  h – путь в метрах,  t- время в секундах. Найдите наибольшую высоту, которой достигнет тело, если  v₀ = 60 м/с,  g = 10 м/с².

-------------------------------------------------------------------------------------------

Дополнительное задание.  Тело, выпущенное вертикально вверх со скоростью v₀, движется  по закону _, где  h – путь в метрах,  t- время в секундах. Найдите наибольшую высоту, которой достигнет тело, если  v₀ = 60 м/с,  g = 10 м/с².

-------------------------------------------------------------------------------------------

Дополнительное задание.  Тело, выпущенное вертикально вверх со скоростью v₀, движется  по закону _, где  h – путь в метрах,  t- время в секундах. Найдите наибольшую высоту, которой достигнет тело, если  v₀ = 60 м/с,  g = 10 м/с².

-------------------------------------------------------------------------------------------

Дополнительное задание.  Тело, выпущенное вертикально вверх со скоростью v₀, движется  по закону _, где  h – путь в метрах,  t- время в секундах. Найдите наибольшую высоту, которой достигнет тело, если  v₀ = 60 м/с,  g = 10 м/с².

-------------------------------------------------------------------------------------------

Дополнительное задание.  Тело, выпущенное вертикально вверх со скоростью v₀, движется  по закону _, где  h – путь в метрах,  t- время в секундах. Найдите наибольшую высоту, которой достигнет тело, если  v₀ = 60 м/с,  g = 10 м/с².

-------------------------------------------------------------------------------------------

Дополнительное задание.  Тело, выпущенное вертикально вверх со скоростью v₀, движется  по закону _, где  h – путь в метрах,  t- время в секундах. Найдите наибольшую высоту, которой достигнет тело, если  v₀ = 60 м/с,  g = 10 м/с².

-------------------------------------------------------------------------------------------

• 1 слайд

  Урок алгебры и начал анализа
  в 10 классе
  
  ПРИМЕНЕНИЯ НЕПРЕРЫВНОСТИ И ПРОИЗВОДНОЙ
  
  
  
  

• 2 слайд

  Активно работай на уроке!
  

• 3 слайд

  
  Свойство непрерывных функций:
  
  
  Если на интервале (a;b) функция f непрерывна и не обращается в , то она на этом интервале сохраняет постоянный знак.
  
  

• 4 слайд

  Алгоритм решения неравенств методом интервалов
  Найти D(f);
  Найти нули функции, решая уравнение f(x)=0;
  Отметить на D(f) все полученные нули;
  Определить знак функции на каждом полученном промежутке;
  Записать ответ, выбрав промежутки с соответствующим знаком.
  
  

• 5 слайд

  Геометрический смысл производной
  
  Значение производной функции f в точке равно угловому коэффициенту касательной к графику функции f в точке с абсциссой .
  
  
  

• 6 слайд

  Уравнение касательной
  к графику функции y = f(x)
  
  
  в точке с абсциссой x0 имеет вид:
  
  
  где (x0;f (x0))-координаты точки касания.
  y = f(x ) + f ' (x )(x - x )
  0
  0
  0
  

• 7 слайд

  Алгоритм нахождения
  уравнения касательной
  1. Найти
  2. Найти
  3. Найти
  4. Подставить найденные числа
  и в уравнение
  

• 8 слайд

  Механический смысл производной заключается в том, что производная от координаты по времени есть скорость, а производная от скорости по времени -ускорение.
  Механический смысл
  производной
  (t)=x(t)
  a(t) =(t)
  X-перемещение
   -скорость
  а –ускорение
  t-время
  

• 9 слайд

  Алгоритм нахождения
  скорости и ускорения
  материальной точки в
  любой момент времени
  1.Находим производную от координаты по времени (скорость).
  2. Подставляем в полученную формулу заданное значение времени.
  3.Находим производную от скорости по времени (ускорение).
  4.Подставляем в полученную формулу заданное значение времени.
  
  

• 10 слайд

  Устная работа
  Найдите производную функции:
  а) у = ; б) у = 5; в) у = ;
  
  г) у = 4х + 5; д) у = 3 cosx + sinx; е)y = tg5x;
  
  ж) y = ; з) у = sinx + ;
  
  и) у = sin(3x–4); к) у = cos6x.
  
  

• 11 слайд

  Задания из КИМов ЕГЭ
  В8. На рисунке изображен график функции и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной функции в точке .
  

• 12 слайд

  Задания из КИМов ЕГЭ
  В8. На рисунке изображен график функции и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной функции в точке .
  
  

• 13 слайд

  Задания из КИМов ЕГЭ
  В8. На рисунке изображен график функции . Найдите среди точек те точки, в которых производная функции положительна. В ответ запишите количество найденных точек.
  

• 14 слайд

  Задания из КИМов ЕГЭ
  В8. Функция определена на интервале (-1; 10). На рисунке изображен график функции . Найдите среди точек те точки, в которых производная функции равна нулю. В ответ запишите количество найденных точек.
  

• 15 слайд

  Задания из КИМов ЕГЭ
  В8. На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале (-2; 9). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой у = х+5 или совпадает с ней.
  

• 16 слайд

  Задания из КИМов ЕГЭ
  В8. На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале (-10; 4). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой у = -2х + 6 или совпадает с ней.
  
  

• 17 слайд

  Справочный материал
  

• 18 слайд

  Ответы на тест
  

• 19 слайд

  Гимнастика для глаз
  

• 20 слайд

  Решите задачи
  Какой из предложенных прямых параллельна касательная к графику функции
  в точке
  1) у = -3х + 2; 2) у = 6х + 11; 3) у = 9х – 4; 4) у = - х + 3.
  Прямая у = 5х + 14 является касательной к графику функции Найдите абсциссу точки касания.
  3. Точка движется по координатной прямой так, что зависимость ее координаты х от времени t задается формулой Найдите момент времени, в который скорость точки равна 50.
  

• 21 слайд

  Дополнительное задание
  4. Тело, выпущенное вертикально вверх со скоростью , движется по закону , где h – путь в метрах, t- время в секундах. Найдите наибольшую высоту, которой достигнет тело, если = 60 м/с, g = 10 .
  

• 22 слайд

  Домашнее задание:
  п. 18 – 21 повторить, решить тест.
  Дополнительно. Задание из материалов ЕГЭ (С3):
  
  
  
  
  

• 23 слайд

  Задание C3 (ЕГЭ-2011)
  Решить неравенство:
  
  Перейдем к неравенству:
  
  
  
  
  Используя метод интервалов:
  
  -3
  -1
  -0,5
  X
  3
  +
  +
  -
  -
  -
  Ответ:
  

• 24 слайд

  Закончите предложения
  1) А вы знаете, что сегодня на уроке я _____ .
  
  2) Больше всего мне понравилось _________ .
  
  3) Самым интересным сегодня на уроке было ____________.
  
  4) Самым сложным для меня сегодня было _____________.
  
  5) Сегодня на уроке я почувствовал ____________.
  
  6) Сегодня я понял ____________ .
  
  7) Сегодня я научился _________ .
  
  8) Сегодня я задумался _________ .
  
  9) Сегодняшний урок показал мне _________.
  
  10) На будущее мне надо иметь в виду ___________.
  

• 25 слайд