Урок алгебры и начала анализа " Первообразная "11 класс

Урок алгебры и начала анализа в 11 классе

Тема: Первообразная

Цель: Ввести понятие первообразной для функции у=f(x), уяснить ее         физический и геометрический смысл. Учить «догадываться», проводить доказательства гипотез, учить составлять конспект.

Тип урока: школьная лекция

І Изучение нового материала

Вспомним понятие обратной задачи

1.     Решить уравнение х² – 5х + 6 = 0

Обратная задача: составить квадратное уравнение, зная его корни х₁ = 2, х₂=3

2.     Построить график функции: у = 2х + 3

Обратная задача: составить уравнение функции, заданной графиком.

3.     Вспомним парность действий в математике

+ → −

х → : Противоположности в диалектике

у' = f(x) → ?

Применим аналогию для выдвижения гипотезы. Так как все известные нам действия имеют обратные, естественно, предположить обратное и для дифференцирования.

Постановка проблемы. Есть ли обратное действие дифференцированию,  и какие задачи к нему приводят.

Вспомним все о прямом действии – дифференцировании.

А) определение f' (х_о)=

Б) физический смысл производной

В физике мгновенная скорость

В) Геометрический смысл производной

В геометрии – тангенс угла наклона касательной к положительному направлению оси

у = кх + в

к = tg y = f '(x_o)

Пример Закон движения S(t) =

V(t) = S'(t) = (gt²)²=g ·2t = gt

a(t)= v'(t) = (gt)'=g

Зная закон движения точки, можно предположить v(t), a(t)

Сформулируйте обратную задачу.

a(t) → v(t)→s(t)

Зная закон ускорения, найти скорость v(t) и закон движения точки s(t)

В физике чаще всего решают именно эту задачу. Задать закон движения труднее.

Итог: сформулирована практическая задача, обратная дифференцированию.

Теперь наша задача разобрать, изучить математический аппарат для ее решения. Математика всегда на службе других наук, а практика – одна из движущих сил развития науки, воспитание диалектического мировоззрения. Один из источников развития науки: жизнь ставит задачи – наука должна их решать.

Введем понятие первообразной.

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке J, если для каждого значения х из этого промежутка F'(x) = f(x).

Значит S(t) – первообразная для v(t), а v(t) – первообразная для a(t).

Действие нахождения первообразной называется интегрированием

Решение упражнений на применение понятия первообразной.

1.     Докажите, что функция F(x) = x⁴ – первообразная для функции f(x) = 4 x³

2.     Докажите, что функция F(x) является первообразной для f(x),если

а) F(x) = x³ + 5+,       f(x) = x² − ,        x є (0;∞)

б) F(x) = 2sin 3x,              f(x) = 6 cos 3x,           x є R

в)  F(x) = 4 + tg 3x,           f(x) = ,             x є - ;

Геометрическое истолкование нахождения первообразной.

Учащиеся сами ищут ответ

(вспомнить геометрическую суть производной, определение первообразной…)

Применение теории на практике

Отыскивание первообразных ( угадывание, доказательство)

Пример: У=Х, найти первообразную для данной функции.

Решение

F(x) = ,т.к. F' (x) = ( x²)' = (·2x) = x = f(x)

Анализ своей мыслительной деятельности при отыскании первообразных

1.     Вспомнить, какая функция имеет данную производную.

2.     Восстановить первообразную по ее производной.

Обратить внимание на тех учащихся, у кого затруднен ход мысли.

Перенос по аналогии на простом материале.

У=Х²  → F(x) =

У = Х³ → F(x) =

Обобщение по индукции ( сравнить, найти общее, существенные связи)

У = Хⁿ → F(x) =     ( гипотеза)

Подчеркнуть идею доказательства

Доказательство

F(x) = ()' = (· xⁿ⁺¹)' = · (n+1) ·x^n+1-1 = xⁿ, что и требовалось доказать.

Устно. Верна ли запись ?

У = sin x → F(x) = − cos x

У = cos x → F(x) = sin x

Как понимать эти записи?

Задачи на доказательство того, что функция F(x)  есть первообразная для f(x)  на задуманном промежутке.

Пример: F(x) =3 , f(x) = , x є (0;∞)

Решение

F(x) = 3x,  F'(x) = ( 3·x)' = 3·x = x =  =  для всех х є (0;∞)

Отработать общий поход: приступая к решению новой задачи, вспомнить, не было  ли раньше похожей ситуации, применить анологию, накапливать свой опыт решения задач.

Подведение итога урока

1.     Выделить главное в материале

^2.        Что нужно прочно знать ?

Домашнее задание: § 24 стр. 221, конспект  № 912, 913, 917, 920