Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Конспекты / Урок алгебры и начала анализа " Первообразная "11 класс
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Урок алгебры и начала анализа " Первообразная "11 класс

библиотека
материалов


Урок алгебры и начала анализа в 11 классе

Тема: Первообразная

Цель: Ввести понятие первообразной для функции у=f(x), уяснить ее физический и геометрический смысл. Учить «догадываться», проводить доказательства гипотез, учить составлять конспект.

Тип урока: школьная лекция

І Изучение нового материала

Вспомним понятие обратной задачи

  1. Решить уравнение х2 – 5х + 6 = 0

Обратная задача: составить квадратное уравнение, зная его корни х1 = 2, х2=3

  1. Построить график функции: у = 2х + 3

Обратная задача: составить уравнение функции, заданной графиком.

  1. Вспомним парность действий в математике

+ → −

х → : Противоположности в диалектике

у' = f(x) → ?

Применим аналогию для выдвижения гипотезы. Так как все известные нам действия имеют обратные, естественно, предположить обратное и для дифференцирования.

Постановка проблемы. Есть ли обратное действие дифференцированию, и какие задачи к нему приводят.

Вспомним все о прямом действии – дифференцировании.

А) определение f' (хо)=

Б) физический смысл производной

В физике мгновенная скорость

В) Геометрический смысл производной



В геометрии – тангенс угла наклона касательной к положительному направлению оси

у = кх + в

к = tg y = f '(xo)

Пример Закон движения S(t) = hello_html_m7713492a.gif

V(t) = S'(t) = (hello_html_3861a23a.gifgt2)2=hello_html_3861a23a.gifg ·2t = gt

a(t)= v'(t) = (gt)'=g

Зная закон движения точки, можно предположить v(t), a(t)

Сформулируйте обратную задачу.

a(t)v(t)→s(t)

Зная закон ускорения, найти скорость v(t) и закон движения точки s(t)

В физике чаще всего решают именно эту задачу. Задать закон движения труднее.

Итог: сформулирована практическая задача, обратная дифференцированию.

Теперь наша задача разобрать, изучить математический аппарат для ее решения. Математика всегда на службе других наук, а практика – одна из движущих сил развития науки, воспитание диалектического мировоззрения. Один из источников развития науки: жизнь ставит задачи – наука должна их решать.

Введем понятие первообразной.

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке J, если для каждого значения х из этого промежутка F'(x) = f(x).

Значит S(t) – первообразная для v(t), а v(t) – первообразная для a(t).

Действие нахождения первообразной называется интегрированием

Решение упражнений на применение понятия первообразной.

  1. Докажите, что функция F(x) = x4 – первообразная для функции f(x) = 4 x3

  2. Докажите, что функция F(x) является первообразной для f(x),если

а) F(x) = hello_html_273c798.gifx3 + 5+hello_html_43819a8e.gif, f(x) = hello_html_3861a23a.gifx2hello_html_m3f7f0387.gif, x є (0;∞)

б) F(x) = 2sin 3x, f(x) = 6 cos 3x, x є R

в) F(x) = 4 + tg 3x, f(x) = hello_html_m149c96fe.gif, x є - hello_html_1f9e1d52.gif; hello_html_1f9e1d52.gif

Геометрическое истолкование нахождения первообразной.

Учащиеся сами ищут ответ

(вспомнить геометрическую суть производной, определение первообразной…)

Применение теории на практике

Отыскивание первообразных ( угадывание, доказательство)

Пример: У=Х, найти первообразную для данной функции.

Решение

F(x) = hello_html_m73df1047.gif,т.к. F' (x) = ( hello_html_3861a23a.gifx2)' = (hello_html_3861a23a.gif·2x) = x = f(x)

Анализ своей мыслительной деятельности при отыскании первообразных

  1. Вспомнить, какая функция имеет данную производную.

  2. Восстановить первообразную по ее производной.

Обратить внимание на тех учащихся, у кого затруднен ход мысли.

Перенос по аналогии на простом материале.

У=Х2F(x) = hello_html_m21b3d307.gif

У = Х3F(x) = hello_html_12d42877.gif

Обобщение по индукции ( сравнить, найти общее, существенные связи)

У = ХnF(x) = hello_html_4bd2f2ee.gif ( гипотеза)

Подчеркнуть идею доказательства

Доказательство

F(x) = (hello_html_4bd2f2ee.gif)' = (hello_html_mf3301e2.gif· xn+1)' = hello_html_mf3301e2.gif· (n+1) ·xn+1-1 = xn, что и требовалось доказать.

Устно. Верна ли запись ?

У = sin x → F(x) = − cos x

У = cos x → F(x) = sin x

Как понимать эти записи?

Задачи на доказательство того, что функция F(x) есть первообразная для f(x) на задуманном промежутке.

Пример: F(x) =3 hello_html_m33328834.gif, f(x) = hello_html_4b249a10.gif, x є (0;∞)

Решение

F(x) = 3xhello_html_2e8f5b3.gif, F'(x) = ( 3·xhello_html_2e8f5b3.gif)' = 3·hello_html_m29a81ded.gifxhello_html_2e8f5b3.gifhello_html_m4178c8f8.gif = xhello_html_3ccb8eb6.gif = hello_html_m2279a8b3.gif = hello_html_4b249a10.gif для всех х є (0;∞)

Отработать общий поход: приступая к решению новой задачи, вспомнить, не было ли раньше похожей ситуации, применить анологию, накапливать свой опыт решения задач.

Подведение итога урока

  1. Выделить главное в материале

  2. Что нужно прочно знать ?

Домашнее задание: § 24 стр. 221, конспект № 912, 913, 917, 920



Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 15.10.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров50
Номер материала ДБ-262896
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх