Урок алгебры и начала анализа в 11 классе «Логарифм числа»

Школа: КГУ « Школа-гимназия №10»  акимата города Рудного

Учитель:  Кирдина  Татьяна Васильевна

Предмет:  алгебра и начала анализа                                               

Класс:11  «А»

Тема урока:  Логарифм.

Цель: Создать условия  для изучения темы «Логарифм». Содействовать формированию знаний о  логарифме.

Обучающие:

сформировать умение применять теоретические знаний при решении практических задач;

Развивающие:

 развивать умения анализировать, сравнивать, обобщать, делать выводы, развивать внимание .

Воспитательные: продолжить формировать умение правильно воспринимать и активно запоминать новую информацию;

                                                                    

 Эпиграф к уроку:   «Счет и вычисления – основа порядка в голове».

                                                          Песталоцци

1.      Организационный этап.

  Создать  благоприятный психологический настрой на работу.

  Звучит  музыка. Притча.

            Эта история произошла  давно. В одном городе жил добрый мудрец и злой человек, который завидовал славе мудреца.  И решил он придумать такой вопрос, чтобы мудрец не смог на него ответить. Пошел он на луг, поймал бабочку, и подумал «Спрошу-ка я: о, мудрейший, какая бабочка у меня в руках- живая или мертвая? Если он скажет мёртвая, раскрою ладони- бабочка улетит,  а если скажет- живая,  сомкну ладони, и бабочка умрет.  Так завистник и сделал, пошёл к мудрецу и спросил « Какая бабочка у меня в руках- живая или мертвая?»   На что мудрый человек ответил «Всё в твоих руках». Поэтому всё в ваших руках, сегодня на уроке.

                                                         

  2.Историческая справка.

Возникновение логарифма связано с именем шотландского математика Джона Непера, жившего в XVI - XVII веках.

XVI век - это эпоха географических открытий и путешествий. Чтобы правильно определить место, где находится корабль в открытом море, нужно было проводить сложные вычисления. Развитие мореплавания способствовало развитию знаний по астрономии и математике.

В 1614 году был опубликован труд Джона Непера "Описание удивительной таблицы логарифмов", в котором содержались определение логарифмов, объяснение их свойств, таблицы логарифмов. Это открытие сразу же приветствовали математики и астрономы, в частности Кеплер, так как предложенные логарифмические таблицы в значительной мере сокращали многие вычисления.

Джон Непер предложил термин "логарифм" : он возник из сочетания греческих слов  λογοφ (число) и αρіνμοφ (отношение). Таким образом "логарифм" у Непера означало "число отношения", т.е. вспомогательное число для измерения отношения двух чисел. Основное свойство логарифма Непера: если величины образуют геометрическую прогрессию, то их логарифмы образуют прогрессию арифметическую. Однако правила логарифмирования для неперовой функции отличались от правил для современного логарифма.

Например, LogNap(ab) = LogNap(a) + LogNap(b) — LogNap(1).

Все значения таблицы Непера, как оказалось, содержали вычислительную ошибку после шестого знака. Однако это не помешало новой методике вычислений получить широчайшую популярность, составлением и уточнением логарифмических таблиц занялись многие европейские математики, включая Кеплера. Книга Непера переиздавалась 5 раз и была переведена на многие языки мира

3. Изучение нового материала.   

Определение: Логарифмом положительного числа b по положительному и отличному от 1 основанию а называют показатель степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число b.

     для любого уравнения вида,   где а˃0 и b˃0 причем а ≠1, существует     единственный корень и его условились записывать так:  

 Решим  уравнение  Обдумывая, ситуацию с показательным уравнением  математики ввели в рассмотрение новый символ – логарифм. С помощью этого символа корень уравнения  записали так: .

Введение основного логарифмического тождества 

Обратите внимание на то, что  является корнем уравнения  , а поэтому =8

Таким образом и получается основное логарифмическое тождество

Это равенство является краткой символической записью определения логарифмов.

Решить примеры согласно тождеству: ;

=5;   .

                                                   

Основные свойства логарифмов 

Эти свойства вытекают из определения логарифма и свойств показательной функции.

При любом a > 0 (a  1) и любых положительных x и y выполнены равенства:

·         log_a 1 = 0.

·         log_a a = 1.

·         log_a xy = log_a x + log_a y.

·         log_a = log_a x - log_a y.

·         log_a x^p = p log_a x

для любого действительного p.

  4.Первичное закрепление. 

1.          Найти логарифм чисел по основанию 3:

3;  27; ;

2.      При  каком основании логарифм числа  равен:

1; 4;  2;  -1

3.      Найти числа, логарифмы которых по основанию 2 равны:

3;  -2;  32.

4.      Вычислите:

    5.Упростите выражения, пользуясь основным логарифмическим тождеством.

1)  2)  3)  4) 

8. Итог урока.  Выставление оценок. Что изучали сегодня на уроке?  Притча. Шел мудрец, а я навстречу ему три человека, которые везли под горячим солнцем тележки с камнями для строительства. Мудрец остановился и задал вопрос каждому. У первого спросил: «А что ты делал целый день?». И тот с ухмылкой ответил, что целый день возил проклятые камни. У второго мудрец спросил: «А что ты делал целый день?», и тот ответил: «А я добросовестно выполнил свою работу.» А третий улыбнулся, его лицо засветилось радостью и удовольствием: «А я принимал участие в строительстве храма!» - Ребята! Давайте мы попробуем с вами оценить каждый свою работу за урок. - Кто работал как первый человек? - Кто работал добросовестно? - Кто принимал участие в строительстве храма?