Инфоурок / Математика / Конспекты / Урок алгебры и начал анализа в 11 классе "Решение иррациональных неравенств"
Обращаем Ваше внимание: Министерство образования и науки рекомендует в 2017/2018 учебном году включать в программы воспитания и социализации образовательные события, приуроченные к году экологии (2017 год объявлен годом экологии и особо охраняемых природных территорий в Российской Федерации).

Учителям 1-11 классов и воспитателям дошкольных ОУ вместе с ребятами рекомендуем принять участие в международном конкурсе «Законы экологии», приуроченном к году экологии. Участники конкурса проверят свои знания правил поведения на природе, узнают интересные факты о животных и растениях, занесённых в Красную книгу России. Все ученики будут награждены красочными наградными материалами, а учителя получат бесплатные свидетельства о подготовке участников и призёров международного конкурса.

ПРИЁМ ЗАЯВОК ТОЛЬКО ДО 21 ОКТЯБРЯ!

Конкурс "Законы экологии"

Урок алгебры и начал анализа в 11 классе "Решение иррациональных неравенств"

библиотека
материалов



Учитель математики: Фролова Марина Александровна.( Частное учреждение Центр образования «Русская школа» г.Москва).

Урок алгебры и начала анализа в 11 классе( в рамках итогового повторения и подготовки к ЕГЭ).

Тема: Решение иррациональных неравенств.

Тип урока: совершенствование умений и навыков.

Цели урока:

дидактическая: научить применять полученные знания при решении заданий повышенного уровня сложности, стимулировать учащихся к овладению рациональными приемами и методами решения;

развивающая: развивать логическое мышление, память, познавательный интерес, продолжать формирование математической речи, вырабатывать умение анализировать и сравнивать;

воспитательная: прививать аккуратность и трудолюбие, приучать к эстетическому и грамотному оформлению записи в тетради.

1.Организационный этап урока. (1мин.)

Приветствие учащихся. Отметить отсутствующих учащихся.

2.Постановка цели урока (3мин.)

-Сегодня мы продолжим отрабатывать навыки решения иррациональных неравенств, используя не только стандартные методы и способы, но и нестандартные.

(Записывается дата, тема урока)

3.Проверка домашнего задания(10 мин.)

На дом было предложено решить иррациональное неравенство:

hello_html_m79bc419d.gif=5- x

различными методами.

У доски 4 человека показывают свои решения. (Если учащиеся не могут показать все методы решений, то правильное решение показывается на интерактивной доске.)

1 способ.

Метод равносильных преобразований.

hello_html_m79bc419d.gif= 5- х,

hello_html_mf9b495f.gif hello_html_m565dfd07.gif hello_html_m2cb56c87.gif hello_html_m73f80c79.gif -15hello_html_78ee8f02.gif

Ответ:[-15;1].

2 способ.

Метод интервалов.

hello_html_75f6af74.gif hello_html_m49dd5e48.gif

hello_html_75f6af74.gif +x-5hello_html_1b4af986.gif

Пусть f(x)=hello_html_75f6af74.gif +x-5

D(f)=[-15;+∞)

f(x)=0, если hello_html_m4b3add74.gif

hello_html_1fbb805f.gif

hello_html_3f0e8bb9.gif

hello_html_c8193cb.gif

hello_html_m41833cc4.gif

x=1.

f(10)>0

f(0)<0,значит f(x)≤0 при -15≤x≤1,т.е. hello_html_m2a2a4cb7.gif ≤5-x при -15≤x≤1.

Ответ :[-15;1].

3 способ.

Метод замены переменной.

hello_html_75f6af74.gif hello_html_m49dd5e48.gif

Пусть hello_html_75f6af74.gif =y, где y≥0, тогда x+15=y2, x=y2 -15.

Неравенство примет вид:

y≤5-(y2 -15)

y≤20- y2

y2 +y-20≤0

(y+5)(y-4)≤0

-5≤y≤4, так как y≥0, то 0≤y≤4.

Выполнив обратную замену, получим:

0≤hello_html_75f6af74.gif≤4

0≤x+15≤16

-15≤x≤1

Ответ:[-15;1]

4 способ.

Функционально –графический.

hello_html_m79bc419d.gif hello_html_mf1914b.gif

Рассмотрим функции y(x)=hello_html_70c2ffd5.gif и g(x)=hello_html_m52e0a548.gif в их общей области определения, т.е. на промежутке [-15;+∞). Так как y(х) - возрастающая функция, а g(х)- убывающая функция, то при условии существования значения x, при котором значения функций f и g равны, это значение единственное. Подбором находим x=1-единственный корень уравнения

hello_html_m79bc419d.gif hello_html_m4750866.gifтогда y(x)≤g(x) при -15≤x≤1.

Ответ: [-15;1]

В это время остальные учащиеся класса устно отвечают на вопросы:

а)Какие неравенства называются иррациональными?

Ответ: Иррациональными неравенствами называются неравенства, у которых неизвестные величины находятся под знаком корня.

б)Перечислите методы решения иррациональных неравенств.

Ответ: Метод интервалов, метод равносильных преобразований, метод замены переменной, функционально-графический метод.

в)Какой метод решения является основным?

Ответ: основным методом решения иррациональных неравенств является метод равносильных преобразований.

г)Что следует помнить при решении иррациональных неравенств?

Ответ: При возведении обеих частей неравенства в нечетную степень всегда получается равносильное неравенство, а при возведении в четную степень равносильное неравенство получается лишь, когда обе части неравенства неотрицательны.

4.Выполнение упражнений:

1) устно: найти целые решения неравенства(2 мин): решает один ученик, другие следят за верностью рассуждений. Учитель следит за правильностью решения и оценивает ответ.

hello_html_m29c66c9d.gif+ 5hello_html_135ee97e.gif <3

Решение:

Т.к. ОДЗ неравенства : 1≤х≤2, то целыми решениями могут быть только числа 1 или 2.проверкой убеждаемся, что х=2 -единственное целое решение неравенства.

2)Письменное решение неравенств.

а) У доски один учащийся решает неравенство(4мин) Учитель следит за правильностью решения и оценивает ответ.

Решить неравенство:

hello_html_m1ee71384.gif>0

Решение.

Заметим, что x2+2x+3>0 при любом значении переменной. Умножим обе части неравенства

hello_html_m2f1098fd.gif>0 hello_html_m58931a9a.gif>0 x2-x-2>0 (x+1) (x-2)>0

Ответ:(hello_html_59a9d11d.gif.

В это время другой ученик решает индивидуально на боковой доске, затем проверяется решение, исправляются ошибки. Учитель следит за правильностью решения и оценивает ответ.

Решить неравенство:

hello_html_m3ade63d2.gif>6-x

Решение .

Данное неравенство равносильно совокупности двух систем.

а) hello_html_db27421.gif hello_html_m3b7f3e74.gif x>6.

б) hello_html_m44ba20c3.gif2 hello_html_m31397dc6.gif hello_html_6f881cb2.gif<x≤6.

Ответ: x>hello_html_6f881cb2.gif.

б)Один ученик решает у доски.

Учитель следит за правильностью решения и оценивает ответ.( 4мин)

hello_html_23888792.gif +hello_html_m297253a1.gifhello_html_m60575ea2.gif

Решение.

Данное неравенство равносильно системе

hello_html_1a556f57.gif

hello_html_5a5f736a.gif. Понятно, что эта система решений не имеет.

Ответ: решений нет.

3 ученика работают по карточкам.

1.

Решить неравенство функционально-графическим методом:

hello_html_m5141d3e6.gif +hello_html_75f6af74.gif <6.

2.

Решить неравенство:

(x+2)hello_html_5ecc5557.gif ≥0.

3.Решить неравенство:

3hello_html_m333178a6.gifhello_html_m5141d3e6.gif >1

в) у доски один ученик решает, другие записывают решение в тетрадь. Учитель следит за правильностью решения и оценивает ответ.(5мин)

Решить неравенство

hello_html_m493eed08.gif -hello_html_m25ea968b.gif >1.

Решение.

Пусть 3x2 +5x+2=t, t≥0.

Тогда hello_html_441c271.gifhello_html_m32e5add6.gif >1, hello_html_441c271.gif >hello_html_m34ab7732.gif +1.

Это неравенство равносильно системе

hello_html_1016f4fc.gif hello_html_m1f8d093e.gif

Отсюда 0≤ t <4.Теперь достаточно решить систему

hello_html_64e294a8.gif hello_html_7246c8db.gif hello_html_6a56bc46.gif

3)Самостоятельная работа.

Учащиеся решают самостоятельно, затем решение проверяется по изображению на интерактивной доске.(8 мин)



Решить неравенство методом интервалов.

hello_html_m268043e.gif ≤3x-4 .

Решение.

Рассмотрим функцию f(x)=hello_html_m3259e90.gif -3x+4.

1)D(x)=R, поскольку x2 -3x+6≥0 для любого x;

2)функция f (x) –непрерывна на R;

3) Найдем корни уравнения f(x) =0.

Данное уравнение равносильно системе:

hello_html_2c9c4a85.gif hello_html_m4c1fef9.gif

Получаем единственный корень x=2,таким образом, f(x) сохраняет свой знак на промежутках (hello_html_m67e96ae8.gif

Определим знак f(x) на каждом из указанных промежутков:

  1. f(x)>0 на (-hello_html_m560602e8.gif +4>0;

  2. f(x)<0 на (2;+hello_html_1ddabc06.gif,так как f(3) =hello_html_57a826c5.gif -9+4=hello_html_md48b73f.gif -5<0.

Ответ: [2;+hello_html_m1d20d8dc.gif

5.Домашнее задание.(5 мин) Заранее записано на интерактивной доске. Записывается в тетрадь, учитель поясняет задание, обращает внимание, что аналогичные были решены на уроке. Решить неравенства:

1.hello_html_m594d1ca2.gif < х-1

2.hello_html_m5141d3e6.gif <hello_html_3da710aa.gif +hello_html_m4275aaf9.gif .

3.hello_html_m17cbf284.gif +hello_html_m48f1acc1.gif >3.

4.hello_html_m13120c94.gif <2x+1.

5.Необязательное задание.

Найти сумму и число целых корней неравенства:hello_html_66f6be2a.gif >0

6.Подведение итогов урока.(3 мин).







Общая информация

Номер материала: ДВ-033574

Похожие материалы

Комментарии:

1 месяц назад
Решение неравенств -самая сложная тема, объемная по оформлению и пониманию. Урок рассчитан на различные категории обучающихся, от простого к сложному, до самостоятельного мышления. А это современно!!!! Спасибо!!!!