Пилипенко А.В. – учитель математики, специалист высшей категории, Муниципального бюджетного общеобразовательного учреждения
«Гвардейская школа-гимназия № 3»
Урок алгебры в 9 классе
Тема: Формула суммы n-первых членов арифметической прогрессии
Цели урока:
Образовательные:
формирование у школьников познавательных интересов и потребности в знаниях;
обеспечить в ходе урока закрепление понятия – сумма n-первых членов арифметической прогрессии;
продолжить формирование у учащихся общеучебных умений и навыков.
Воспитательные:
Развивающие:
продолжить формирование правильной математической речи;
развивать мышление путем анализа;
содействовать развитию воли и настойчивости в учении путем решения практических задач;
развивать интерес школьников к учению путем показа значимости изучаемых понятий для развития производства, введение в обучение деловых игр.
Тип урока: деловая игра.
Оборудование, наглядные пособия и раздаточный материал:
компьютерная презентация «Сумма n- первых членов арифметической прогрессии»;
Алгебра 9 класс: учебник для общеобразовательных учреждений/Макарычев и др.
таблички с названием групп;
рисунки-задания для каждой группы;
накладные для каждой группы.
Основные этапы урока:
организационный;
подготовка к активной деятельности на основном этапе урока;
изучение нового материала;
первичная проверка усвоения знаний;
историческая пауза;
закрепление знаний (работа в группах);
контроль и проверка знаний;
подведение итогов урока;
домашнее задание и инструктаж по его выполнению.
Ход урока
№
Содержание
Деятельность
Учителя
Ученика
1
Организационный
Сегодня у нас необычный урок: на нем не только займемся выводом математических формул и вычислениями с их применением, а познакомимся с интересными математическими и историческими фактами, прикоснемся к миру прекрасного и попробуем ощутить себя в роли работников некоторых городских предприятий.
Предлагаю сформулировать цели урока ученикам
(слайд 1)
Слушают учителя
2
Подготовка к активной деятельности на основном этапе урока
Перед тем как перейти к новому материалу вспомним уже известный материал об арифметической прогрессии:
Дайте определение арифметической прогрессии;
Дайте определение разности арифметической прогрессии и найдите её, если:25, 21. 17,…..;
Дайте определение n-ого члена арифметической прогрессии и найдите а12, если а1=3, d=4.
Теперь запишем число и тему урока «Сумма n- первых членов арифметической прогрессии».
Из истории арифметической прогрессии
С темой сегодняшнего урока связан интересный исторический факт из жизни немецкого математика Карла Гаусса.
Когда Карлу было 9 лет, учитель, занятый проверкой работ учеников других классов, задал детям следующую задачу: «Сосчитать сумму всех натуральных чисел от 1 до 40 включительно».
Каково же было удивление учителя, когда один из его учеников (а это был К. Гаусс) через минуту воскликнул: «Я уже решил!». Большинство учеников после долгих подсчетов ошиблись, а в тетради Гаусса были следующие записи:
1 + 2 + 3 + 4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20
40+39+38+37+ . . . +23+ 22+21
41+41+41+41+ . . . +41+41+41
20 пар
41∙20 = 820
Озвучиваю устные задания, следит за правильностью ответов
(слайд 2)
(слайд 3)
(слайд 4)
(слайд 5,6)
(слайд 7)
(слайд 8)
Решают устные задания, комментируя каждый шаг решения.
Слушают.
3
Изучение нового материала
Однако для вычисления суммы n – первых членов любой арифметической прогрессии нам необходима формула.
Запишем сумму n- первых членов арифметической прогрессии двумя способами:
Sn = a1 + a2 + a3 + . . . + an-1 + an
Sn = an + an-1 + . . . + a2 + a1
По определению арифметической прогрессии можем записать
Sn = a1 + (a1 + d) + (a1 + 2d) + . . . + (a1 + (n -1)d)
Sn = an + (an - d) + (an - 2d) + . . . + (an - (n - 1)d)
2Sn = (a1 + an) + (a1 + an) + . . . + (a1 + an) – n-слагаемых
2Sn = (a1 + an)n
Разделим обе части равенства на два, тогда формула для вычисления n-первых членов арифметической прогрессии имеет вид:
Sn = n
Комментирую вывод формулы суммы n- первых членов арифметической прогрессии.
(слайд 9)
(слайд 10)
(слайд11)
Ученица у доски выводит формулу суммы
Записывают формулу в рабочие тетради.
4
Первичная проверка закрепления знаний
Сейчас применим полученную формулу для вычисления суммы n-первых членов арифметической прогрессии. На доске, с полным оформлением, учащиеся выполняют №605(а), №606, №607 в рабочих тетрадях (с комментарием).
Слушаю комментарии учеников, выполняющие задания из учебника.
Записывают условия и решения задач в рабочие тетради.
5
Закрепление знаний (работа в группах)
Многие из вас уже задумывались над выбором будущей профессии и сейчас вы представите себя в одной из четырех специальностей: продавец, нефтяник, работник лесхоза, работник совхоза «Таежный».
Каждая из четырех групп получает задачу с условиями в виде рисунка и заданием: вычислить объем затрат и стоимость той или иной продукции. Для этого каждая группа получает накладную или смету, в которую заносятся результаты вычислений (необходимое условие для вычислений – это применение формулы n-первых членов арифметической прогрессии).
(слайды 8 по 15)
Консультирую группы, у которых возникли какие либо вопросы по выполнению задания.
Выполняют групповую работу, делая вычисления на отдельном бланке.
6
Контроль и проверка знаний
Бригадир каждой группы отчитывается о выполненной работе перед всем классом, в это время на слайдах высвечиваются результаты верно выполненных действий в виде заполненных смет или накладных.
Оцениваю работу каждой группы.
(слайды 16 - 19)
Сравнивают результаты своей работы с результатами, представленными на слайдах.
7
Подведение итогов урока
Ребята, что нового вы узнали на уроке?
Чему научились?
Подводя итоги урока, учитель знакомит учащихся с русской народной пословицей «Была бы охота – заладится всякая работа».
Задаю вопросы классу.
(слайд 23)
Делятся впечатлениями о том, что нового они узнали на уроке.
8
Домашнее задание и его инструктаж
Знать терему о Sn,
П.26
Проговариваю домашнее задание и даю краткий инструктаж по его выполнению.
Записывают домашнее задание в дневник.
Урок алгебры в 9 классе
Тема: Последовательности
Цели:
Образовательная: разъяснить учащимся смысл понятий «последовательность», «n-ый член последовательности»; познакомить со способами задания последовательности.
Развивающая: развитие самостоятельности, взаимопомощи при работе в группе, сообразительности.
Воспитательная: воспитание активности и аккуратности.
Презентацию, разработана в программе Microsoft Power Point для 9 класса по теме
“ Числовые последовательности ”, как изложение к объяснительному тексту. Все слайды меняются по щелчку, что дает возможность остановиться и подробно разобрать любой вопрос. Во всех слайдах используется анимация, которая поможет ученикам проверить себя и четко запомнить интересно представленный материал. Приложение1
Ход урока:
1. Организационный момент
Сегодня на уроке мы познакомимся с понятием «последовательность», узнаем, какими могут быть последовательности и рассмотрим способы задания последовательностей.
2. Подготовка обучающихся к активной учебно-познавательной деятельности на основном этапе урока (работа в группах, дифференцированный подход)
Каждая группа учеников получает свое задание. После его выполнения представитель каждой группы отвечает классом, начинают ученики 1 группы.
Задание для учеников 1 группы:
Какие события в нашей жизни происходят последовательно? Приведите примеры таких явлений и событий.
Ответы учеников 1 группы: дни недели, названия месяцев, возраст человека, номер счёта в банке, последовательно происходит смена дня и ночи, последовательно увеличивает скорость автомобиль, последовательно пронумерованы дома на улице и т. д.
Задание для учеников 2 и 3 групп: ученикам предлагается найти закономерности и показать их с помощью стрелки.
2 группа:
В порядке возрастания положительные нечетные числа
1/2; 1/3; 1/4; 1/5; 1/6…
В порядке убывания правильные дроби с числителем, равным 1
1; 3; 5; 7; 9; …
В порядке возрастания положительные числа, кратные 5
5; 10; 15; 20; 25; …
3 группа: найдите закономерности
1; 4; 7; 10; 13; …
Увеличение на 3
10; 19; 37; 73; 145; …
Чередовать увеличение на 2 и увеличение в 2 раза
6; 8; 16; 18; 36; …
Увеличение в 2 раза и уменьшение на 1
Ответы 2 группы:
В порядке возрастания положительные нечетные числа (1; 3; 5; 7; 9; … )
В порядке убывания правильные дроби с числителем, равным 1 (1/2; 1/3; 1/4; 1/5; 1/6…)
В порядке возрастания положительные числа, кратные 5 (5; 10; 15; 20; 25; …)
Ответы 3 группы:
1; 4; 7; 10; 13; … (Увеличение на 3)
10; 19; 37; 73; 145; … (Увеличение в 2 раза и уменьшение на 1)
6; 8; 16; 18; 36; … (Чередовать увеличение на 2 и увеличение в 2 раза)
3. Изучение нового материала
Рассмотренные нами числовые ряды и есть примеры числовых последовательностей.
Числа, образующие последовательность, называют соответственно первым, вторым, третьим, и т. д., n-ным членами последовательности.
Обозначают члены последовательности так а1; а2; а3; а4; … аn;
Последовательности могут быть конечными и бесконечными, возрастающими и убывающими.
Задания для устной работы
Назовите в последовательности 1; 1/2; 1/3; 1/4; 1/5; … 1/n; 1/(n+1) члены а1; а4; а10; аn;
Является ли последовательность четырёхзначных чисел конечной? (да)
Назовите её первый и последний члены. (Ответ: 1000; 9999)
Является ли последовательностью запись чисел 2; 4; 7; 1; -21; -15; …? (нет, так как нельзя по первым шести членам обнаружить какую-нибудь закономерность)
Существуют различные способы, которые позволяют задать последовательность.
С помощью формулы n-ого члена последовательности (аналитический способ).
Формула общего члена позволяет вычислить член последовательности с любым заданным номером. Например, если хn=3n+2, то
х5=3.5+2=17;
х45=3.45+2=137.
Рекуррентный способ
Формулу, выражающую любой член последовательности, начиная с некоторого, через предыдущие (один или несколько), называют рекуррентной (от латинского слова recurro– возвращаться).
Например, последовательность, заданную правилом
а1=1; аn+1= аn +3
можно записать с многоточием:
1; 4; 7; 10; 13; …
4. Закрепление изученного материала (работа в группах, дифференцированный подход)
Каждая группа получает индивидуальное задание, которое выполняют самостоятельно. При выполнении заданий ребята обсуждают решение и записывают его в тетрадь.
Даны последовательности: аn=n4 ; аn=(-1)nn2 ; аn=n +4; аn=-n-4; аn=2n -5; аn=3n -1.
Задание для учеников 1 группы: Последовательности заданны формулами. Впишите пропущенные члены последовательности:
1; ___; 81; ___; 625; ...
-1; 4; ___; ___; -25; …
5; ___; ___; ___; 9; …
___; -6; ___; ___ ; -9; …
___; ___; 3; 11; ___; …
2; 8; ___; ___; ___; …
Задание для учеников 2 группы:
Задать последовательность формулой n-ого члена и выписать первые пять членов последовательности.
Задание для учеников 3 группы:
Определите, какими числами являются члены этих последовательностей, заполните таблицу.
Положительные и отрицательные числа
Положительные числа
Отрицательные числа
Работа с учебником № 566(а, б), № 569 (а,б). Правильность решения ребята проверяют на слайдах (взаимопроверка).
5. Историческая справка (сообщение учеников)
Рекуррентное задание последовательности может быть и более сложным. Например, равенства: х1=1; х2=1; хn+2= хn+1 + хn
Также позволяют вычислять поочередно члены последовательности:
х3= х2 + х1 =1+1=2;
х4= х3 + х2 =2+1=3;
х5= х4 + х3 =3+2=5; … .
Проще всего выписывать члены этой последовательности, если перевести равенство на русский язык: каждый член последовательности, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих членов.
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, … .
Члены этой последовательности называются числами Фибоначчи – по имени средневекового итальянского ученого Леонардо Фибоначчи (1180 – 1240 ) из г. Пизы. Последовательность Фибоначчи рассмотрена им в 1202 году в книге «Liber abacci». Эти числа встречаются в математике и природе довольно часто: треугольник Паскаля, количество веток на дереве или приплод от пары кроликов за определенный период времени, семена в подсолнечнике.
Блез Паскаль (1623 – 1662 ) один из самых знаменитых людей в истории человечества. Треугольник Паскаля – это бесконечная числовая таблица треугольной формы, в которой на вершине и по боковым сторонам стоят единицы, каждое из остальных чисел равно сумме двух чисел, стоящих над ним слева и справа в предшествующей строке:
Продолжите строчку сами!
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
(1 6 15 20 15 6 1)
Между числами Фибоначчи и треугольником Паскаля существует интересная связь. Подсчитав для каждой восходящей диагонали треугольника Паскаля сумму всех стоящих на этой диагонали чисел, получим:
для 1 диагонали – 1;
для 2 диагонали – 1;
для 3 диагонали – 1+1=2;
для 4 диагонали – 1+2=3;
для 5 диагонали – 1+3+1=5;
для 6 диагонали – 1+4+3=8;
для 7 диагонали – 1+5+6+1=13 ….
Мы получили не что иное, как числа Фибоначчи. Оказывается, что всегда сумма чисел n-ой диагонали есть n-ое число Фибоначчи.
6. Домашнее задание: п.24, №565 (а,б,в), №568, №570*
7. Подведение итогов урока
Итак, мы разобрали понятие последовательности и способы ее задания.
Приведите примеры числовой последовательности: конечной и бесконечной.
Какие способы задания последовательности вы знаете.
Какая формула называется рекуррентной?
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Урок алгебры в 7 классе
Тема: Разложение многочлена на множители способом группировки
Три пути ведут к знанию: путь
размышления – это путь самый
благородный, путь подражания
– это путь самый легкий и путь
опыта – это путь самый
горький. (Конфуций)
Цель урока:
продолжать работу по формированию у каждого учащегося личной потребности в последовательной деятельности, связанной с “открытием” нового правила, развитию творческих способностей учащихся;
продолжить работу по формированию ответственности учащихся за свою деятельность на уроке, умений самостоятельно добывать знания, овладению способами и критериями самоконтроля и самооценки.
Тип урока: закрепление знаний, проблемный.
закрепить полученные знания и умения в ходе выполнения упражнений;
рассмотреть упражнения более сложного характера;
обучить навыкам контроля и самопроверки.
План урока
Постановка задач урока для учеников.
Устная работа
Самостоятельная работа (дифференцированная)
Решение уравнений.
Исследовательская работа на примере.
Самостоятельная работа творческого характера с самопроверкой.
Итог урока, домашнее задание.
Ход урока
Постановка задач урока для учеников:
Слово учителя. Сегодня мы продолжим изучение способа группировки, рассмотрим задания, при выполнении которых нам понадобится более глубокое понимание этого способа разложения на множители.
Устная работа (презентация)
Слайд 3 Вставьте пропущенное выражение
5x(2-x)=10x-…
-3ay-12y=-3y(a+…)
(a-5)(11-b)=11a-ab-55+…
Слайд4 Восстановите порядок выполнения разложения многочлена на множители
Слайд 5 Найдите ошибку
3x(x-3)=3x-9x
2x+3xy=x(2+y)
(8+3x)(2x-y)=16x-8y+6x+3xy
X(a+c)-2(a+c)=(a+c)(x+2)
Слайд 6 Выполните группировку
5a-5b+ma-mb
xy+2y-2x-4
ma+3a+mb+3b-m-3
Самостоятельная работа (дифференцированная)
Разложить на множители: «3»
(m-n)+2p(m-n); (m-n)(1+2p)
7а-7в+ах-вх (a-b)(7+x)
ху+2у+2х+4 (x+2)(y+2)
«4»
xy+2y-2x-4 (x+2)(y-2)
2cx-cy-6x+3y (2x-y)(c-3)
x2+xy+xy2+y3 (x+y)(x+y2)
«5»
x4+x3y-xy3-y4 (x+y)(x3-y3)
xy2-by2-ax+ab+y2-a (y2-a)(x-b+1)
x2-3x+6-2x (x-2)(x-3)
Решение уравнений:
y3-2y2+y-2=0 y=2
x2+x=x+x3 x=0, x=1
x2-7x+12=0 x2-3x-4x+12=0 x=3, x=4
Слово учителя: можно сделать небольшой фокус: если представить слагаемое - 7х в виде суммы - Зх - 4x, то получится сумма уже не трех (как в заданном многочлене), а четырех слагаемых. Эти четыре слагаемых можно распределить по двум группам.
Физкультминутка.
Крепко зажмуриться, широко открыть глаза ( повторить 4-5 раз)
Нарисовать глазами следующие фигуры ( справа налево): круг, написать свое имя, горизонтальную восьмерку.
Взять ручку в вытянутую руку. Посмотреть на выбранную точку на доске, затем на кончик ручки, затем на кончик носа. Повторить в обратном порядке. Выполнить упражнение 3 раза.
Исследовательская работа на примере (работа в парах)
а) Разложите многочлен на множители 35a2-21ax+30ac-18xc
Как вы считаете, каким образом знак влияет на многочлен? Сможем ли мы разложить многочлен, поменяв знаки? Проведите исследование и сделайте вывод. Каким образом их можно менять, а каким нельзя.
б) поменяйте знак у каждого члена, разложите на множители, сделайте вывод
-35a2+21ax-30ac+18xc = (-35a2+21ax) - (30ac-18xc) =
- 7a (5a-3x) - 6c (5a-3x) = - (5a-3x)*(7a+6c);
Вывод: да, можно вынести за скобки (-1).
в) измените все знаки, кроме одного, разложите на множители, сделайте вывод
г)измените только два знака, разложите на множители, сделайте вывод
Самостоятельная работа творческого характера с самопроверкой:
Вместо коэффициентов многочлена ax3+bx2+cx+d запишите числа: 3,5,6,10 так, чтобы полученный многочлен можно было разложить на множители.
Ответ: Всего можно составить 8 таких многочленов:
3x3+5x2+6x+10
5x3+3x2+10x+6
6x3+3x2+10x+5
10x3+5x2+6x+3
3x3+6x2+5x+10
5x3=10x2+3x+6
6x3+10x2+3x+5
10x3+6x2+5x+3
Итог урока:
Где используется способ группировки?
Что нового узнали на уроке?
С каким настроением уходите с урока?
Оцените свою работу на уроке (оценка за самостоятельную работу, оценка за исследование многочлена, оценка за творческое задание)
Выставление оценок.
Домашнее задание: №717(б), №718(в), №768 (а,в), № 773(а)* ,п.30
Урок математики в 5 классе
Тема урока: Объемы. Объем прямоугольного параллелепипеда. Единицы объема.
Цели урока:
Сформировать учащимися понятий: «Объем», «Объем прямоугольного параллелепипеда. Объем куба». Выработать умение выводить формулу Объем прямоугольного параллелепипеда и применять её при вычислении объема параллелепипеда при решении задач.
Развивающие:
развить навыки поиска, обработки и представления информации ;
развить умение сравнивать, анализировать, делать выводы ;
развить наблюдательность , а также коммуникативные умения.
Воспитательные:
воспитать внимательность, умение выражать правильно мысли, усидчивость;
сформировать понимание значимости математики как способа познания окружающего мира, прививать любовь к математике.
Оборудование урока: Мультимедиа, маркеры, копи-устройство mimio, индивидуальные конверты с карточками трех цветов : желтый, зеленый, красный и листочка для диктанта, модели прямоугольного параллелепипеда различных объемов и кубов, куб, объемом 1 см 3 и куб, объемом 1 дм 3
Тип урока: Комбинированный
Оборудование урока: бумага А4, маркер, скотч, кубики, коробка, губка, компьютер и модели фигур.
Ход урока
1 этап
Организационный момент
Актуализация опорных знаний
2 этап
Длина прямоугольника 14 см, а ширина – 5 см. Чему равна площадь? (70 см2)
Сторона квадрата равна 4 см. Чему равна его площадь? (16 см2 )
Площадь квадрата равна 25 см2,, 81 дм2, 121 м2
Вычислить: 32, 82-1, 6*42 (9; 63; 96)
Сколько м2 в 6а
6а=600 м2 Где используется эта единица площади?
Сколько а в 3га?
3га=300а
1) Любой прямоугольный параллелепипед состоит из граней. Их у него:
а)12 б)8 в)6 г)10
2) У каждого параллелепипеда есть рёбра. Это:
а)Прямоугольники б)Прямые
в)Треугольник г)Отрезки
3) У куба все рёбра:
а)Попарно равны б)Разные
в)Равны г)Другой ответ
4) У параллелепипеда противоположные грани:
а)Равны б)Квадраты
в)Разные г)Другой ответ
5) Площадь поверхности параллелепипеда можно вычислить по формуле:
а)S=4×(a+b+c) б)S=2×(a×b+b×c+a×c)
в)S=abc г)S=6abc
1
2
3
4
5
в
г
в
а
б
3 этап
Стратегия «Критическое мышление»
ЗНАЕМ: ХОТИМ ЗНАТЬ:
ЗНАЕМ
6 граней имеет прямоугольный параллелепипед
Грани и имеют форму прямоугольника
12 ребер и 8 вершин.
Куб – это прямоугольный параллелепипед.
Имеет 3 измерения – длину, ширину и высоту
ХОТИМ ЗНАТЬ
Хотим знать об объеме.
Формулу объема.
Что вы хотели бы знать в сегодняшней новой теме?
Висят таблички: “Знаем”, “Хотим знать” и после объснение новой темы “Узнали”
IV Этап
Объяснение нового материала. Новая тема: Объемы. Объем прямоугольного параллелепипеда.
Слово учителя. Объем – это вместимость. Чтобы сравнить объемы двух сосудов, можно наполнить один из них водой и перелить её во второй сосуд. Практически буду показывать. Какой из них по объему больше скажут ученики. Возьму формочку от кекса и наполню тестом, а потом перевернуть и снять её, получится фигура, имеющая тот же объем, что и формочка.
Формочка объем формочки
Возьму коробку из-под кубиков и начну укладывать их в коробку. Какой объем имеет коробка ответят ученики.
Чтобы найти объем прямоугольного параллелепипеда, надо его длину умножить на ширину и на высоту
Формула прямоугольного параллелепипеда имеет вид V= a*b*c, где V – объем, a,b,c измерения
Если ребро куба равно а, то объем V=a*a *a=а3. Формула объема куба имеет вид
V=а3
1 л = 1дм3=1000 см3
1 см3=1000 мм3
1 км3=1 000 000 000 м3
Длина
высота
ширина
Историческая справка 2 учеников. Куб имеет и другое название - ГЕКСАЭДР. Древние греки дали кубу такое название по числу граней. «ГЕКСА» значит шесть, «ХЕДРА» - грань. ГЕКСАЭДР – шестигранник.
5 этап. Работа в парах (Взаимопроверка)
Ученики выполняют практическую работу в парах. Вычисляют объем и площадь поверхности изготовленных дома моделей куба и прямоугольного параллелепипеда. Устно проверить у 3 учеников.
ФИЗКУЛЬТМИНУТКАДля расслабления шеи делаем зарядку. Все закрытыми глазами пишут носом число сегоднящнее и формулы объема. В конце пишут слово “Молодец!”
6 этап. Работа с учебником устно: №510 (б,в)
№514 (а,б)
Решение занимательных задач* (Работа в 4 группах) слайд 12,13,14,15
Вырази в кубических см:
6 дм³, 287 дм³
5 дм³ 23 см³ 16000 мм³
5 дм³ 635 см³ 2 дм³ 80 см³
Вырази в кубических дм:
4 м³ 137 м³
6м³ 580см³ 7м³ 15дм³
ИТОГ УРОКА
ВОПРОС:
Я узнал…
Я научился…
Мне понравилось…
Я затруднялся…
Моё настроение…
УЗНАЛИ
Единицы измерения объема.
Формулы объема
V= a*b*c
V=а3
Домашнее задание : п.2.11,№513,515; творческое задание: найти объем своей комнаты
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.