Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Презентации / Урок алгебры на тему " Квадратные уравнения" ( 8 класс)
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Урок алгебры на тему " Квадратные уравнения" ( 8 класс)

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ кв.уравнения.pptx

библиотека
материалов
Решение квадратных уравнений
История квадратного уравнения Процесс " решения" уравнения есть просто акт пр...
1.Решение дробных рациональных уравнений 2.Решение задач. 3.Решение квадратны...
1.Выделение полного квадрата 2.Решение неполных квадратных уравнений 3.Решени...
ах² + вх + с= 0 а –первый коэффициент в – второй коэффициент с - свободный член
Назовите коэффициенты в квадратном уравнении 2х² + 3х +4 =0 х² - 7х -8 =0 х²...
Свойство коэффициентов ах² + вх + с = 0 Если а + в + с = 0, то х₁ = 1 х₂ = 34...
Неполные квадратные уравнения Если в квадратном уравнении ax²+ bx + c =0 хотя...
Неполные квадратные уравнения бывают трех видов: 1)ax² + c = 0, где b=0; 2)ax...
Вообще для решения неполного квадратного уравнения вида ax² + c = 0 при c ≠0...
Пример 1. -3x²+15=0. Перенесем свободный член в правую часть уравнения и разд...
Пример 2. 4x²+3 =0 Перенесем свободный член в правую часть уравнения и обе ча...
Вообще для решения неполного квадратного уравнения вида ax²+ bx = 0 при b ≠ 0...
Следовательно, произведение x(ax+ b) обращается в нуль при x = 0 и при x=- b/...
Пример 3. 4 x²+ 9 x=0 Разложим левую часть уравнения на множители: x(4 x + 9)...
Неполное квадратное уравнение вида ax² = 0 равносильно уравнению x² = 0 и поэ...
Решите уравнения: а)3х2 – 12 = 0 ; б) 2х2 + 6х = 0; в) у2 + 5 = 0
Формула корней квадратных уравнений
Что такое дискриминант? Пусть дано квадратное уравнение ax²+bx+c=0. Применим...
Теорема 1 Если D
Теорема 2 Если D=0, то квадратное уравнение ax²+bx+c=0 имеет один корень, кот...
Например: Решить уравнение: 4x²-20x+25=0 Решение: a=4, b=-20, c=25. D=b²-4ac=...
Теорема 3 Если D>0, то квадратное уравнение ax²+bx+c=0 имеет два корня, кото...
Замечание: От какого слова происходит слово «дискриминант»? Слово «дискримина...
Например: Решить уравнение 3x²+8x-11=0 Решение: a=3, b=8, c=-11. D=b²-4ac=8²-...
Общая формула:
Решите уравнения а) 5х2 – 8х + 3 = 0; б) х2 – 4х + 4= 0; в) 2х2 + х + 2 = 0
Теорема Виета Теорема Виета
Приведенное уравнение Если в уравнении вида: ax2+bx+c=0, где a, b, с  R а≠0...
Теорема Виета Сумма корней приведенного квадратного трехчлена x2 + px + q =...
Применение Теоремы Виета Теорема Виета замечательна тем, что, не зная корней...
Вычисление корней Так, еще не зная, как вычислить корни уравнения: x2 + 2x – ...
Пример Теорема Виета позволяет угадывать целые корни квадратного трехчлена. Т...
Решение Это разложение очевидно: 10 = 5 × 2, 5 + 2 = 7. Отсюда должно следова...
1.Найдите сумму и произведение корней. а)х2 – 16х + 28 = 0 ; б) у2 + 17у + 60...
Итог урока Решите уравнение: х² +8х – 9 = 0 х₁=1 х₂= -9
36 1

Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Решение квадратных уравнений
Описание слайда:

Решение квадратных уравнений

№ слайда 2 История квадратного уравнения Процесс " решения" уравнения есть просто акт пр
Описание слайда:

История квадратного уравнения Процесс " решения" уравнения есть просто акт приведения его к возможно более простой форме. В какой бы форме уравнение ни было написано, его информационный характер остается тот же. Лодж О.

№ слайда 3 1.Решение дробных рациональных уравнений 2.Решение задач. 3.Решение квадратны
Описание слайда:

1.Решение дробных рациональных уравнений 2.Решение задач. 3.Решение квадратных неравенств 4.Решение систем уравнений 5.Решение тригонометрических уравнений 6.Решение логарифмических уравнений 7.Решение показательных уравнений

№ слайда 4 1.Выделение полного квадрата 2.Решение неполных квадратных уравнений 3.Решени
Описание слайда:

1.Выделение полного квадрата 2.Решение неполных квадратных уравнений 3.Решение по формуле 4.Метод переброски 5.Свойство коэффициентов 6.По теореме Виета 7.Графически 8.С помощью циркуля и линейки

№ слайда 5 ах² + вх + с= 0 а –первый коэффициент в – второй коэффициент с - свободный член
Описание слайда:

ах² + вх + с= 0 а –первый коэффициент в – второй коэффициент с - свободный член

№ слайда 6 Назовите коэффициенты в квадратном уравнении 2х² + 3х +4 =0 х² - 7х -8 =0 х²
Описание слайда:

Назовите коэффициенты в квадратном уравнении 2х² + 3х +4 =0 х² - 7х -8 =0 х² - х = 0 5х² + 10 = 0 2х² + 3х -5 =0

№ слайда 7 Свойство коэффициентов ах² + вх + с = 0 Если а + в + с = 0, то х₁ = 1 х₂ = 34
Описание слайда:

Свойство коэффициентов ах² + вх + с = 0 Если а + в + с = 0, то х₁ = 1 х₂ = 345х² - 137х -208 = 0 Если а – в + с = 0, то х₁ = - 1 х₂ = 132х² + 247х + 115 = 0

№ слайда 8 Неполные квадратные уравнения Если в квадратном уравнении ax²+ bx + c =0 хотя
Описание слайда:

Неполные квадратные уравнения Если в квадратном уравнении ax²+ bx + c =0 хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением.

№ слайда 9 Неполные квадратные уравнения бывают трех видов: 1)ax² + c = 0, где b=0; 2)ax
Описание слайда:

Неполные квадратные уравнения бывают трех видов: 1)ax² + c = 0, где b=0; 2)ax²+ bx = 0, где c=0; 3) ax² = 0, где b=0, c=0.

№ слайда 10 Вообще для решения неполного квадратного уравнения вида ax² + c = 0 при c ≠0
Описание слайда:

Вообще для решения неполного квадратного уравнения вида ax² + c = 0 при c ≠0 переносят его свободный член в правую часть и делят обе части уравнения на a. Получают уравнение x²= - c/a, Если - c/a > 0, то уравнение имеет два корня: x₁= - √-c/a и x₂= √-c/a. Если - c/a < 0 уравнение не имеет корней.

№ слайда 11 Пример 1. -3x²+15=0. Перенесем свободный член в правую часть уравнения и разд
Описание слайда:

Пример 1. -3x²+15=0. Перенесем свободный член в правую часть уравнения и разделим обе части получившегося уравнения на -3: - 3x²=-15, x²=5. Отсюда x = √5 или x= -√5 Ответ: x₁= √5, x₂= -√5.

№ слайда 12 Пример 2. 4x²+3 =0 Перенесем свободный член в правую часть уравнения и обе ча
Описание слайда:

Пример 2. 4x²+3 =0 Перенесем свободный член в правую часть уравнения и обе части получившегося уравнения разделим на 4: 4 x² = -3, x²=- Так как квадрат числа не может быть отрицательным числом, то получившееся уравнение не имеет корней. А следовательно, не имеет корней и равносильное ему уравнение 4x²+3 =0. Ответ: корней нет.

№ слайда 13 Вообще для решения неполного квадратного уравнения вида ax²+ bx = 0 при b ≠ 0
Описание слайда:

Вообще для решения неполного квадратного уравнения вида ax²+ bx = 0 при b ≠ 0 раскладывают его левую часть на множители и получают уравнение x(ax+ b)=0. Произведение x(ax+ b) равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю: x = 0 или ax+ b=0 Решая уравнение ax+ b=0, в котором a ≠0, находим ax=- b, x=- b/a.

№ слайда 14 Следовательно, произведение x(ax+ b) обращается в нуль при x = 0 и при x=- b/
Описание слайда:

Следовательно, произведение x(ax+ b) обращается в нуль при x = 0 и при x=- b/a. Корнями уравнения ax²+ bx = 0 являются числа 0 и =- b/a. Значит, неполное квадратное уравнение вида ax²+ bx = 0 при b ≠ 0 всегда имеет два корня.

№ слайда 15 Пример 3. 4 x²+ 9 x=0 Разложим левую часть уравнения на множители: x(4 x + 9)
Описание слайда:

Пример 3. 4 x²+ 9 x=0 Разложим левую часть уравнения на множители: x(4 x + 9) =0 Отсюда x=0 или 4 x + 9 =0. 4 x + 9 =0: 4 x=-9, x=-2 Ответ: x₁=0, x₂= -2

№ слайда 16 Неполное квадратное уравнение вида ax² = 0 равносильно уравнению x² = 0 и поэ
Описание слайда:

Неполное квадратное уравнение вида ax² = 0 равносильно уравнению x² = 0 и поэтому имеет единственный корень x=0.

№ слайда 17 Решите уравнения: а)3х2 – 12 = 0 ; б) 2х2 + 6х = 0; в) у2 + 5 = 0
Описание слайда:

Решите уравнения: а)3х2 – 12 = 0 ; б) 2х2 + 6х = 0; в) у2 + 5 = 0

№ слайда 18 Формула корней квадратных уравнений
Описание слайда:

Формула корней квадратных уравнений

№ слайда 19 Что такое дискриминант? Пусть дано квадратное уравнение ax²+bx+c=0. Применим
Описание слайда:

Что такое дискриминант? Пусть дано квадратное уравнение ax²+bx+c=0. Применим к квадратному трёхчлену ax²+bx+c преобразования: Обычно выражение b²-4ac обозначают буквой D и называют дискриминантом квадратного уравнения ax²+bx+c=0

№ слайда 20 Теорема 1 Если D
Описание слайда:

Теорема 1 Если D<0, то квадратное уравнение ax²+bx+c=0 не имеет корней. Например: Решить уравнение 2x²+4x+7=0 Решение: a=2, b=4, c=7. D=b²-4ac=4²-4∙2∙7=16-56=-40. Так как D<0, то данное квадратное уравнение не имеет корней.

№ слайда 21 Теорема 2 Если D=0, то квадратное уравнение ax²+bx+c=0 имеет один корень, кот
Описание слайда:

Теорема 2 Если D=0, то квадратное уравнение ax²+bx+c=0 имеет один корень, который находится по формуле:

№ слайда 22 Например: Решить уравнение: 4x²-20x+25=0 Решение: a=4, b=-20, c=25. D=b²-4ac=
Описание слайда:

Например: Решить уравнение: 4x²-20x+25=0 Решение: a=4, b=-20, c=25. D=b²-4ac=(-20)²-4∙4∙25=400-400=0 Так как D=0, то данное квадратное уравнение имеет один корень. Этот корень находится по формуле: Значит,

№ слайда 23 Теорема 3 Если D&gt;0, то квадратное уравнение ax²+bx+c=0 имеет два корня, кото
Описание слайда:

Теорема 3 Если D>0, то квадратное уравнение ax²+bx+c=0 имеет два корня, которые находятся по формуле:

№ слайда 24 Замечание: От какого слова происходит слово «дискриминант»? Слово «дискримина
Описание слайда:

Замечание: От какого слова происходит слово «дискриминант»? Слово «дискриминация» означает унижение одних и возвышение других, т.е. различное отношение к различным людям. И слово «дискриминант» и «дискриминация» происходят от латинского discriminans – различающий.

№ слайда 25 Например: Решить уравнение 3x²+8x-11=0 Решение: a=3, b=8, c=-11. D=b²-4ac=8²-
Описание слайда:

Например: Решить уравнение 3x²+8x-11=0 Решение: a=3, b=8, c=-11. D=b²-4ac=8²-4∙3∙(-11)=64+132=196. Так как D>0, то данное квадратное уравнение имеет два корня, которые находятся по формулам:

№ слайда 26 Общая формула:
Описание слайда:

Общая формула:

№ слайда 27 Решите уравнения а) 5х2 – 8х + 3 = 0; б) х2 – 4х + 4= 0; в) 2х2 + х + 2 = 0
Описание слайда:

Решите уравнения а) 5х2 – 8х + 3 = 0; б) х2 – 4х + 4= 0; в) 2х2 + х + 2 = 0

№ слайда 28 Теорема Виета Теорема Виета
Описание слайда:

Теорема Виета Теорема Виета

№ слайда 29 Приведенное уравнение Если в уравнении вида: ax2+bx+c=0, где a, b, с  R а≠0
Описание слайда:

Приведенное уравнение Если в уравнении вида: ax2+bx+c=0, где a, b, с  R а≠0 а = 1, то квадратное уравнение вида x2+px+q=0 называется приведенным.

№ слайда 30 Теорема Виета Сумма корней приведенного квадратного трехчлена x2 + px + q =
Описание слайда:

Теорема Виета Сумма корней приведенного квадратного трехчлена x2 + px + q = 0  равна его второму коэффициенту p с противоположным знаком, а произведение – свободному члену q. Т. е.  x1 + x2 = – p  и   x1∙x2 = q

№ слайда 31 Применение Теоремы Виета Теорема Виета замечательна тем, что, не зная корней
Описание слайда:

Применение Теоремы Виета Теорема Виета замечательна тем, что, не зная корней квадратного трехчлена, мы легко можем вычислить их сумму и произведение, то есть простейшие симметричные выражения x1 + x2 и x1∙x2.

№ слайда 32 Вычисление корней Так, еще не зная, как вычислить корни уравнения: x2 + 2x – 
Описание слайда:

Вычисление корней Так, еще не зная, как вычислить корни уравнения: x2 + 2x – 8 = 0, мы, тем не менее, можем сказать, что их сумма должна быть равна – 2, а произведение должно равняться –8.

№ слайда 33 Пример Теорема Виета позволяет угадывать целые корни квадратного трехчлена. Т
Описание слайда:

Пример Теорема Виета позволяет угадывать целые корни квадратного трехчлена. Так, находя корни квадратного уравнения x2 – 7x + 10 = 0, можно начать с того, чтобы попытаться разложить свободный член (число 10) на два множителя так, чтобы их сумма равнялась бы числу 7.

№ слайда 34 Решение Это разложение очевидно: 10 = 5 × 2, 5 + 2 = 7. Отсюда должно следова
Описание слайда:

Решение Это разложение очевидно: 10 = 5 × 2, 5 + 2 = 7. Отсюда должно следовать, что числа 2 и 5 являются искомыми корнями.

№ слайда 35 1.Найдите сумму и произведение корней. а)х2 – 16х + 28 = 0 ; б) у2 + 17у + 60
Описание слайда:

1.Найдите сумму и произведение корней. а)х2 – 16х + 28 = 0 ; б) у2 + 17у + 60 = 0 2.Найдите корни уравнения а) х2 – 5х + 6 = 0 ; б) х2 + 8у + 15 = 0 ; в) х2 – 8х – 9=0

№ слайда 36 Итог урока Решите уравнение: х² +8х – 9 = 0 х₁=1 х₂= -9
Описание слайда:

Итог урока Решите уравнение: х² +8х – 9 = 0 х₁=1 х₂= -9

Выбранный для просмотра документ открытый урок кв.ур..docx

библиотека
материалов

hello_html_m694eb8e5.gifТема: Решение квадратных уравнений

Цели:

1)Научить учащихся решать квадратные уравнения способом коэффициентов, неполные квадратные уравнения, по формуле, по теореме Виета.

2)развивать логическое мышление у школьников

3)воспитывать интерес к предмету; прививать навыки коллективного труда.

План урока:

1.Метод коэффициентов.

2.Неполные квадратные уравнения.

3.Решение квадратных уравнений по формуле.

4.Теорема Виета.


Ход урока:

1.Организационный момент. (Слайд 2)

2.Актуализация знаний

История квадратных уравнений. Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени ещё в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н.э. вавилоняне. Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом тракте «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабахаттой.

Формулы решения квадратных уравнений в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 г. Итальянским математиком Леонардо Фибоначчи.

Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. Учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.


1) Применение квадратных уравнений (Слайд 3)

2)Существует множество способов решения квадратных уравнений:

1.Выделение полного квадрата

2.Решение неполных квадратных уравнений.

3.Решение по формуле.

4.Метод переброски .

5. Свойство коэффициентов.

6.Теорема Виета.

7.Графически.

8.С помощью циркуля и линейки.( Слайд 4)

3.Устная работа.

1.Как называются числа в квадратном уравнении?(Слайд 5)

2.Назовите коэффициенты в данных квадратных уравнениях. (Слайд 6)

3.Определите, в каких уравнениях сумма коэффициентов равна нулю?

4. Изучение нового материала:

1)Решение уравнений методом коэффициентов.( Слайд 7)

ах2+вх+с =0 , а=0

Если а +в + с =0, то х1=1 х2 =hello_html_37f9032d.gif

345х – 137х – 208 = 0

а =345 в = -37 с=-208

345 – 137 – 208 = 0 х1 =1 х2 = hello_html_7c23e8b8.gif

Если а - в +с =0, в =а + с ,то х1 = - 1 х2 =hello_html_1f3b7780.gif


132х2 + 247х +115 = 0

132 – 247 +115 =0 х1= - 1 х2 =hello_html_5b45e76b.gif


Решить самостоятельно: 5х2 - 3х – 2 = 0

Следующим этапом являются доклады учащихся.


2) Неполные квадратные уравнения. ( Слайд 8 – 16)

Докладывает группа Чугайнова Вячеслава.

Решить уравнения.

а)3х2 – 12 = 0 ; б) 2х2 + 6х = 0; в) – у2 + 5 = 0 (Слайд 17)


3) Решение уравнений по формуле. ( Слайд 18 – 26)

Докладывает группа Галимовой Регины

Решить уравнения

а) 5х2 – 8х + 3 = 0; б) х2 – 4х + 4= 0; в) 2х2 + х + 2 = 0 ( Слайд 27)


4) Теорема Виета. ( Слайд 28 – 34)

Докладывает группа Смородинова Кирилла

Найдите сумму и произведение корней.

а)х2 – 16х + 28 = 0 ; б) у2 + 17у + 60 = 0 ( Слайд 35)

Найдите корни уравнения

а) х2 – 5х + 6 = 0 ; б) х2 + 8у + 15 = 0 ; в) х2 – 8х – 9=0


Итог урока:

Решите уравнение: ( Слайд 36)

х2 + 8 х – 9= 0

1 группа по свойству коэффициентов

2 группа по теореме Виета

3 группа по формуле.

Домашнее задание.




Литература :

  1. Макарычев Ю.Н. , Миндюк Н.Г. Алгебра, 8 класс, - Просвещение, 2009

  2. Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных. 8 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений / Г. В. Дорофеев и др. – М.: Дрофа, 2004

  3. Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика: Справочные материалы: Книга для учащихся. – М.: Просвещение, 1988














Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 03.02.2016
Раздел Математика
Подраздел Презентации
Просмотров281
Номер материала ДВ-409471
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх