Урок алгебры по теме "Уравнение х кв. = а" (8 класс)

Середа Лариса Викторовна Приложение №

Муниципальное общеобразовательное учреждение «СОШ с. Ездочное»

Урок алгебры в 8 классе

по теме

«Уравнение х² = а»

Учитель Середа Л. В.

Дата проведения урока

20 ноября 2009 года

2009

Урок алгебры в 8 классе по теме «Уравнение х² = а»

Цели:

Образовательные: рассмотреть решение простейшего квадратного уравнения х²=а; формировать навык решения такого вида уравнений.

Развивающие: содействовать развитию у школьников логического мышления, культуры математической речи, памяти.

Воспитательные: содействовать формированию у учащихся чувства ответственности за собственную и коллективную деятельность, содействовать осознанию учащимися ценности изучаемого предмета.

Тип урока. Урок изучения новых знаний и способов действий.

Оборудование: компьютер, проектор, презентация урока, карточки с заданиями.

Логика урока

Мотивация актуализация субъектного опыта (личностные смыслы, опорные зна­ния и умения, ценностные отношения) организация восприятия, осмысления и пер­вичного запоминания нового учебного материала как единого процесса первичная проверка правильности понимания нового учебного материала организация первичного закрепления н.у.м. анализ итогов рефлексия.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Постановка цели урока. Мотивация.

• Ребята, восточная мудрость гласит: «Можно коня привести к воде, но нельзя заставить его пить». И человека невозможно заставить учиться хорошо, если он сам не старается узнать больше, не имеет желания работать над своим умственным развитием. Ведь знания только тогда знания, когда они приобретены усилиями своей мысли, а не одной памятью.

Сегодня у нас урок по теме «Уравнение х² = а». Мы познакомимся с простейшим квадратным уравнением х² = а. Научимся решать такого вида уравнения. (Познакомить учащихся с планом урока, слайд № 2).

III. Актуализация субъектного опыта.

1. Проверка домашнего задания.

№ 301(б) – 1 ученик пишет на доске;

№ 455 (а - д) – 2 -й ученик на доске;

№ 455 (е - к) – 3- й ученик на доске;

№ 300 – комментирование с места.

2. Устная работа.

1) Верно ли, что (слайд № 3) а) ;

б) ;

в) .

2) Чтобы успешно работать практически, нужно знать теоретический материал. Проверим ваши знания.

• Дайте определение квадратного корня.

• Определение арифметического квадратного корня.

• При каких условиях = b.

• Для каких значений а выражение имеет смысл?

3) Имеет ли смысл выражение (слайд № 4): ?

4) Вычислите: .

5) (Слайд № 5). Пересекаются ли графики функций у = 9 и у = х²; у = 16 и у = х²;

у = - 25 и у = х²; у = 0 и у = х²; у = 2 и у = х²; у = 12 и у = х²? В случае положительного ответа найдите абсциссы точек пересечения.

IV. Изучение нового материала (Организация восприятия, осмысления и пер­вичного запоминания нового учебного материала)

Рассмотрим простейшее квадратное уравнение х² = а (где а – произвольное число). В зависимости от числа а при решении этого уравнения возможен один из трех случаев. (Слайд № 6)

1. Если 0, то данное уравнение корней не имеет. Действительно, для любого числа х левая часть уравнения х² 0, а правая часть – число а 0. Получаем противоречие: неотрицательная величина не может равняться отрицательному числу.

2. Если а = 0, то уравнение имеет единственный корень, равный нулю (т. е. х = 0). Только для числа х = 0 уравнение х² = 0 обращается в верное равенство.

3. Если 0, то уравнение имеет два корня х₁ = и х₂ = . Действительно, при подстановке в данное уравнение числа получаем: ² = (-1)² ∙ = 1 ∙ а = а (верное равенство), при подстановке значения

имеем: (также верное равенство).

Три возможных случая решения уравнения х² = а имеют простую графическую иллюстрацию (Слайд № 7). Построим график функции у = х² (парабола). Для различных значений а построим график функции у = а (прямая, параллельная оси абсцисс).

В случае 0 прямая расположена ниже оси абсцисс и не имеет с параболой общих точек. Поэтому данное уравнение решений не имеет.

В случае а = 0 прямая у = а совпадает с осью абсцисс и имеет с параболой одну общую точку, абсцисса которой х = 0. Поэтому данное уравнение имеет единственный корень х = 0.

В случае 0 прямая у = а расположена выше оси абсцисс и пересекает параболу в двух точках В и С. Так как парабола симметрична относительно оси ординат, то точки В и С также симметричны относительно оси ординат. Пусть абсциссы этих точек х₂ и х₁ соответственно. Так как х₂ есть положительное число, квадрат которого равен а, то х₂ является арифметическим квадратным корнем из а. т. е. х₂ = . Так как х₁ есть число, противоположное х₂, то х₁ = .

Примеры (Слайды № 8-9)

а) Уравнение х² = 16 имеет два корня х₁ = = - 4 и х₂ = = 4.

б) Уравнение х² = 3 также имеет два корня х₁ = и х₂ = . Эти корни являются иррациональными числами, т. к. не существует рационального числа, квадрат которого равен 3.

в) Решим уравнение (х -2)² = 6,25.

Обозначим буквой z величину х – 2 (т. е. z = х – 2) и получим простейшее квадратное уравнение z² = 6,25. Это уравнение имеет два корня:

z ₁ = = - 2,5 и z₂ = = 2,5. Теперь вернемся к старой неизвестной х и получим два линейных уравнения: х – 2 = - 2,5 (его корень х₁ = - 0,5) и х – 2 = 2,5 (его корень х₂ = 4,5). Итак, данное уравнение имеет два корня х₁ = - 0,5 и х₂ = 4,5.

V. Первичная проверка правильности понимания нового учебного материала. Организация первичного закрепления н.у.м.

Контрольный вопрос. Каковы возможные случаи решения уравнения х² = а?

№ 305 (устно).

№№ 306, 309 (а-д), 311(а, в). Резерв. №№456, 459 (Ответ: х = 49)

VI. Компьютерная презентация исторического материала (5 мин).

VII. Итоги урока

• Приведите пример уравнения х² = а, которое: а) имеет два рациональных корня; б) имеет два иррациональных корня; в) не имеет корней.

VIII. Рефлексия (Слайд № 11)

• Что нового вы узнали сегодня на уроке?

Надеюсь, что этот материал вы не забудете, он обязательно пригодится вам при дальнейшем изучении математики. Помните слова французского инженера-физика М. Лауэ: «Образование есть то, что остается, когда все выученное уже забыто».

• Оцените степень усвоения материала:

  • Усвоил полностью, могу применять;

  • Усвоил, но затрудняюсь в применении;

  • Усвоил частично;

  • Не усвоил.

IX. Информация о домашнем задании (Слайд № 12)

п. 12 изучить, выполнить задания на карточке (решить 10 уравнений).

Приложение

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Самостоятельная работа по теме «Уравнение х² = а» Вариант 1

1) х² = 4; 2) х² = 0,09; 3) х² = -9; 4) х² = 17; 5) 2х² = 0,08; 6) х² – 9 = 0;

7) - 1 = 0; 8) (2х – 5)(2х + 5) = 75; 9) (х – 9)² = 49; 10) (х + 5)² = 2.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Самостоятельная работа по теме «Уравнение х² = а» Вариант 2

1) х² = 100; 2) х² = 0,25; 3) х² = -16; 4) х² = 13; 5) 3х² = 0,48; 6) х² – 49 = 0;

7) - 1 = 0; 8) (3х – 2)(3х + 2) = 5; 9) (х + 1)² = 64; 10) (х - 3)² = 3.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Историческая справка

Извлечение квадратного корня из положительного числа.

Потребность в действиях возведения в степень и извлечения корня была вызвана, как и другие четыре арифметические действия, практической жизнью. Так, наряду с задачей вычисления площади квадрата, сторона а которого известна, с давних времён встречалась обратная задача: какую длину должна иметь сторона квадрата, чтобы его площадь была равна b?

Ещё 4000 лет назад вавилонские учёные составляли наряду с таблицами умножения и таблицами обратных величин таблицы квадратов чисел и квадратных корней из чисел. При этом они умели находить приблизительное значение квадратного корня из любого целого числа. Вавилонский метод извлечения корня можно иллюстрировать на следующем примере, изложенном в одной из найденных при раскопках клинописных табличек.

Найдите квадратный корень из 1700. Для решения задачи данное число разлагается на сумму двух слагаемых:1700=1600+100=40²+100, первое из которых является полным квадратом. Затем указывается, что =40+100/2*40=41¹/₄.

Правило, применявшееся вавилонянами, может быть выражено так: чтобы извлечь корень из числа с, его разлагают на сумму a+b (b должно быть достаточно малым в сравнении с а) и вычисляют по приближенной формуле ==a+b/2a.

О знаке корня.

Начиная с 13 века Итальянские и другие европейские математики обозначили корень латинским словом Radix ( корень) или сокращенно R. Используемый в настоящее время знак корня произошел от обозначения, которое применяли немецкие математики в15—16 веках. Они обозначили квадратный корень точкой впереди числа или выражения. В скорописи точки заменялись черточками, позже перешедшими в символ. Так, в рукописи, написанной в 1480 году на латинском языке, один такой символ точки перед числом () означал квадратный корень, два таких знака () означали корень четвертой степени, а три знака –кубический корень. Вероятно, из этих обозначений впоследствии и образовался знак, близкий к современному символу корня, но без верхней черты. Этот знак встречается впервые в немецкой алгебре “Быстрый и красивый счет при помощи искусных правил алгебры, обычно называемых Косс”, изданной в 1525 году в Страсбурге. Лишь в 1637 году Рене Декарт соединил знак корня с горизонтальной чертой.

• 1 слайд

  Урок алгебры в 8 классе по теме «Уравнение х2 = а» Дата проведения урока: 20 ноября 2009 г.

• 2 слайд

  План урока Проверка домашнего задания. Устная работа. Подготовка к изучению нового материала. Изучение нового материала. Закрепление изученного. Компьютерная презентация исторического материала.

• 3 слайд

  Устная работа Верно ли, что а) б) в)

• 4 слайд

  Устная работа Имеет ли смысл выражение: Вычислите:

• 5 слайд

• 6 слайд

  х2 = а Если а 0, то решений нет. Если а = 0, то х = 0. Если а 0, то и

• 7 слайд

• 8 слайд

  Примеры а) х2 = 16, и Ответ: -4; 4. б) х2 = 3, и Ответ: в) х2 = - 4 – решений нет.

• 9 слайд

  г) (х -2)2 = 6,25. z = х – 2, z2 = 6,25, 1) х – 2 = - 2,5, 2) х – 2 = 2,5, Ответ: -0,5; 4,5.

• 10 слайд

  Помните: «Образование есть то, что остается, когда все выученное уже забыто». М. Лауэ

• 11 слайд

  Оцените степень усвоения материала: Усвоил полностью, могу применять; Усвоил, но затрудняюсь в применении; Усвоил частично; Не усвоил.

• 12 слайд

  Домашнее задание п. 12 изучить, выполнить задания на карточке (решить 10 уравнений).

• 13 слайд

  Спасибо!