Урок алгебры в 9 кл по теме "Квадратный трехчлен" по УМК Муравина Г.К. и др.

Решение задач на исследование квадратного трехчлена. Алгебра, 9кл

Тип урока: урок комплексного применения  знаний.

Оборудование и материалы: компьютеры, проектор, экран, интерактивная доска.

Организация пространства: учебный кабинет математики  №2

Цель урока:  обеспечить повторение, обобщение и систематизацию материала темы; создать условия для коррекции, контроля знаний и умений учащихся, восполнить некоторые содержательные пробелы темы, придающие ему необходимую целостность; показать некоторые нестандартные приемы решения задач на основе  свойств  квадратного трехчлена и графических соображений.

Задачи:

Образовательные: повторить и закрепить знания по теме «Квадратичная функция», совершенствовать навыки решения уравнений, неравенств, построение параболы, разложение квадратного трехчлена на множители; формировать общеучебные умения и навыки выполнения задач, содержащих квадратный трехчлен.

Развивающие: развивать мыслительные процессы анализа, сравнения  на основе соотнесения образца и результата своей деятельности; развивать интерес к математике, учить проводить доказательные рассуждения, используя грамотную математическую речь; рефлексия способов и условий действия, контроль и оценка процесса и результатов своей деятельности и деятельности своего товарища.

Воспитательные: создать условия для формирования чувства уверенности в себе, своих знаниях, возможностях; воспитание  культуры коллективной работы по достижению общей цели; владение навыками совместной деятельности, уметь распределять работу  в группе,  формировать коммуникативную компетенцию учащихся,  умения выслушивать и уважать мнение других.

Приобретаемые учащимися знания и умения                                                              

В результате изучения курса учащиеся должны уметь:

·        уверенно находить корни квадратного трехчлена, выбирая при этом рациональные способы решения;

·        преобразовывать квадратный трехчлен (разложение на ли­нейные множители, выделение квадрата двучлена);

·        уверенно владеть системой определений, теорем, алгоритмов;

·        проводить самостоятельное исследование корней квадратного трехчлена;

·        решать типовые задачи с параметром, требующие исследова­ния расположения корней квадратного трехчлена

Материал для повторения:  Решение квадратных уравнений и неравенств, построение графика квадратичной функции, исследование квадратного трехчлена.

Формы работы:  фронтальная, коллективная, индивидуальная, групповая.

Методы работы:  компьютерные технологии,  репродуктивные и частично-поисковые.

Основная часть урока представляла собой практикум решения задач по теме.

Ресурсы:

•    Учебник «Алгебра 9» под редакцией . Г.К.Муравина, О.В. Муравиной. - М.: «Просвещение»,2014г.

•    Миндюк М.Б., Миндюк Н.Г. Разноуровневые материалы по алгебре 8,9 класса. -М.: Генжер, 2012.

•    Презентация

•    Демонстрационный и раздаточный материал

Структура  урока:

1 этап - мотивационно - ориентировочный: разъяснение целей  учебной деятельности учащихся, мотивация учащихся: выйти на результат.

2 этап - подготовительный: актуализация опорных знаний, необходимых для освоения темы - решения квадратных уравнений, неравенств, построение параболы, разложение квадратного трехчлена на множители и его исследование.

3 этап - основной:  осмысление последовательности выполнения действий согласно правилу (работа  с проговариванием правил); совершенствование или коррекция умений учащихся в зависимости от успешности выполнения предыдущего этапа (кто быстро справился – работает с более сложными заданиями; кто испытывал затруднения – продолжает работать с заданиями стандартного уровня);  отчёт учащихся о выполнении заданий.

4 этап – компьютерное тестирование. Контроль знаний обучающихся через тестирование в тестовой оболочке КРАБ 2

5 этап  - заключительный: подведение общих итогов, инструкция по выполнению домашнего задания, рефлексия.

Ход урока

Мало иметь хороший ум, главное –

хорошо его применять.

Рене Декарт.

1 этап - мотивационно – ориентировочный

·      определение целей и задач урока (предварительная организация внимания учащихся, которая способствует созданию необходимого делового и психологического контакта между учителем и учащимися)

·      подготовка учащихся к продуктивной работе на уроке

·      развитие внимания к действиям учителя

·      подготовка учащихся к слаженной работе на уроке

·      воспитание дисциплинированности, собранности требовательности к себе при организации рабочего труда учащегося.

– Доброе утро! Здравствуйте , ребята . Сегодня у нас необычный урок, потому что у нас   гости . «Гости в дому — это к добру!». Посмотрите друг на друга, улыбнитесь, и пожелайте мысленно  своим друзьям удачи! 

 Эпиграфом нашего урока я взяла высказывание великого французского ученого Рене Декарта «Мало иметь хороший ум, главное – хорошо его применять» …

Чтобы урок оказался успешным, необходимо, чтобы ему способствовали хорошее знание материала, бодрое самочувствие,  продуманный ответ.

 У вас на столах лежат листы достижений – оценочный лист. Поскольку урок состоит из нескольких этапов:  устный опрос, решение квадратных уравнений, решение квадратных неравенств, исследование квадратного трехчлена и  тестирование, вы должны будете оценить свои знания на каждом этапе урока.

 К концу урока вы их заполните и вернете мне.

Оценочный лист обучающегося ____________________________

N	Этапы урока	Оценка
1	Устный опрос	*
2	Решение квадратных уравнений   Решение квадратных неравенств   Исследование квадратного  трехчлена	* * *
3	Тестирование	*
Оценка за урок		*

Итак, начинаем.

2 этап - подготовительный:  актуализация опорных знаний

Сегодня  проведем урок обобщения знаний, приобретенных в процессе изучения главы «Квадратичная функция». Еще раз вспомним эти удивительные квадратные уравнения и неравенства, все встречающиеся формулы и поговорим о параболе.

В школьном курсе математики эта тема одна из важнейших. Нет практически ни одной главы, где бы вы не встретились с квадратными уравнениями. Почти  около 30 – 40 % экзаменационной работы содержит то, чем вы занимались при изучении данной главы.  Вспомним еще раз об этом.

Вопрос.  Что называется уравнением?

Ответ. Уравнением называется равенство, содержащее неизвестную,  обозначенную буквой, значение которой надо найти.

Вопрос. Что значит решить уравнение?

Ответ. Решить уравнение, значит найти его корни или установить, что их нет.

Вопрос.  Какое уравнение называется квадратным?

Ответ. Уравнение вида ах²+bx+c=0, где х - переменная, а,b,c –некоторые числа,

Вопрос. Какие квадратные уравнения называются неполными?

Ответ. Неполными называются квадратные уравнения, где 1)b=0, 2)c=0, 3) b=c=0.

Вопрос. Какие способы решения квадратных уравнений вам известны?

Ответ. По общей формуле корней квадратного уравнения, по формуле второго четного коэффициента, по формуле корней приведенного квадратного уравнения, по теореме Виета, по сумме коэффициентов, равной 0, через разложение на множители.

Задание 1.   Решите уравнения:   (уравнения выведены на экран)

1)  х² – 16 = 0

2)  х²+25 = 0

3)  х²+25х = 0  

4) 2х² = 0

5)  х² – х – 12 = 0

6) 9x² - 12x +3=0

Вопрос.  Какое неравенство называется квадратным?

Ответ. Неравенства вида  ах²+bx+c>0   или  ах²+bx+c<0 ,    где х - переменная, а,b,c –некоторые числа,

Вопрос. Какие способы решения квадратных неравенств вам известны?

Ответ. Методом систем неравенств, методом  интервалов, графический метод.

Задание 2.   Решите неравенство     

(Неравенство и все его способы решения  выведены на экран. Учащиеся комментируют каждый шаг решения, а на ИАД последовательно открываются этапы решения, используя  «шторку»)

1 способ – методом  систем неравенств	2 способ – методом интервалов.	3 способ – графический метод.
=	= +                                  -                          +                                    1               4              х	=                                                           1                           4                 х
Ответ.

В материалах ЕГЭ в 11 классе и на ОГЭ в 9 классе всегда присутствуют задачи на нахождение области допустимых значений функций или выражений. Откройте учебники на стр.103, №219(6)

 Задание № 219 (6)   Найдите все значения переменной, при которых

имеет  смысл выражение  

Решение. Выражение имеет смысл, если одновременно выполняются два условия:       

Ответ. 

Задание № 205 (1)  Сумма двух чисел равна 14. Определите, какое наибольшее значение может иметь произведение этих чисел.

Решение.  ( Ученик  на  ИАД  заполняет пропуски в представленном решении и получает результат)

Пусть х   – первое число, тогда

(14 - х)  – второе число.

х(14 - х) = 14х - х² = - х² + 14х    – произведение 

Рассмотрим функцию     y = - х² + 14х        

Она принимает  наибольшее  значение, равное ординате  у₀ 

 координат вершины параболы (х₀ ; у₀) ,   т.е

при     х₀=7     у₀= -7² + 14*7 = -49+98 =49   .

Ответ. 49.

IV этап.   Тестирование.            Компьютерное тестирование.

Из предложенных вариантов ответа выбрать правильный.

№	Вопрос	Варианты ответов
1	Функция называется квадратичной, если она задана формулой…	1) 2) y=(x-a)(x-b) 3) 4)y=kx+l
2	Графиком квадратичной функции является …	1)      Прямая 2)      Парабола 3)      Гипербола 4)      Окружность
3	Если первый (старший) коэффициент отрицательный, то ветви параболы направлены…	1)      Вверх 2)      Возрастают 3)      Вниз 4)      убывают
4	Парабола пересекается с осью ОХ в одной точке, если	1)      D>0 2)      D=0 3)      D<0
5	Координаты вершины параболы	1)      (-2;5) 2)      (-2;-3) 3)      (-1;-5) 4)      (2;5)
6	Координаты вершины параболы	1)      (4;2) 2)      (-4;2) 3)      (-3;2) 4)      (-3;-2)
7	Квадратное уравнение имеет один корень, если дискриминант...	1) Больше 0 2) Равен 0 3) Меньше 0 4) Равен 1
8	При каком значении Х дробь     теряет смысл	1) при    2) при    3) при  х=5 4) при х=7
9	Решите уравнение	1) 2) 3) 4)
10	Найдите корни уравнения     , используя теорему Виета	1) 1 и 6 2) -6 и -1 3) 2 и 3 4) -2 и -3
11	Найдите корни уравнения	1)6 и 7 2) Нет корней 3) -6 и -7 4) 6 и -7
12	Решите уравнение	1) 1 и 64 2) 56 и 64 3) 4)
13	Решением неравенства  является	1)    (нет решения) R (любое число) 2)   3)   x>
14	Решением неравенства	1)   (нет решения) 2)      любое число 3)      х<-2 4)   x<

Историческая справка.

Задачи на нахождение корней квадратного трехчлена и составление квадратных уравнений встречаются уже в древнеегипетских математических папирусах.

Общее правило нахождения корней и решения уравнений вида: ax² + bx = c, где a > 0, b и c – любые, сформулировал Брахмагупта (VII в. н. э.). Брахмагупта еще не знал, что квадратное уравнение может иметь и отрицательный корень.

Бхаскара Ачарья (XII в.) сформулировал  соотношения между коэффициентами уравнения. Составил много задач.

Вопрос. Какую информацию о графике квадратичной  функции  можно получить, зная коэффициенты квадратного трехчлена?

Ответ.

  • если старший коэффициент квадратного трехчлена больше нуля, то ветви параболы направлены вверх;

  • если старший коэффициент квадратного трехчлена меньше нуля, то ветви параболы направлены вниз;

  • если дискриминант больше нуля, то парабола пересекает ось абсцисс в двух точках;

  • если дискриминант равен нулю, то парабола касается оси абсцисс;

  • если дискриминант меньше нуля, то парабола не имеет общих точек с осью абсцисс;

  • абсцисса вершины параболы равна    …

  • парабола пересекает ось ординат в точке ….

Квадратные уравнения содержат неизвестную, но наряду с этим бывает так, что один из его коэффициентов тоже неизвестен. Такая фиксированная неизвестная называется параметром, а такого рода уравнения называются параметрическими.

Параметр – это постоянная величина, выраженная буквой, сохраняющая своё постоянное значение лишь в условиях данной задачи. В задачах с параметрами наряду с неизвестными фигурируют величины, численные значения которых хотя и не указаны конкретно, но считаются известными и заданными на некотором числовом множестве. При этом параметры, входящие в условие, существенно влияют на логический и технический ход и форму ответа. Интересная часть решения задачи – выявить, как зависит ответ от параметра.

Задание 5. При каких значениях а парабола  f (x) = ах² – 2х + 25  касается оси ОХ? 

Задание 6.  При каких значениях k уравнение  kх² – (k – 7)х + 9 = 0  имеет два равных  положительных корня?

Задание 7.  При каких значениях т функция      с осью ОХ пересекается в двух точках?

Решение.

Ответ. При .

Задание 8. Дана функция   .

При каких значениях параметра   m  данная функция 

а) не является квадратичной;

б) является квадратичной;

в) парабола касается оси ОХ;

г*) график её пересекает ось абсцисс в двух точках.

  (Учащиеся намечают план решения, сопровождая объяснение необходимыми правилами. Пункты а) и б) прорешиваются устно, в) и г) – письменно)

Задание 9.  При каком значении параметра m  квадратный трехчлен

2х² + 2mх – m – 0,5 = 0  имеет единственный корень?

Найдите этот корень.

Решение.

1)     Квадратное уравнение имеет один корень, если    D=0

D =(2m)² - 4 × 2 × (- m – 0,5) = 4m² + 8m +4

         4m² + 8m +4 = 0        m² + 2m +1 = 0        (m + 1)² = 0       m= - 1

2)    Подставим найденное значение m в исходное уравнение:

                     2х²  - 2х + 1 – 0,5 = 0

                     4х²  - 4х + 1 = 0

                     (2х – 1) ² =0           2х -1 =0             х = 0,5

Ответ. При   m= - 1    х = 0,5

                    V этап.  Заключительный.

 Подведение итога урока.

На сегодняшнем уроке повторили о квадратичной функции, о её графике, именуемой параболой, поговорили о свойствах, исследовали квадратный трехчлен,  рассмотрели решения некоторых уравнений и  неравенств, обратили внимание на задания с параметром, встречающиеся на экзаменах.

Все знания, полученные на нашем уроке, вам будут необходимы в дальнейшем. Я думаю, что вы не утратили интереса, а напротив, будете стремиться к знаниям более глубоким и не только на уроках математики, чтобы войти во взрослую жизнь грамотными, активными и успешными.

У каждого на столе есть лист рефлексии. Заполните его и передайте мне.

Лист рефлексии

Фамилия, имя__________________

№	Вопрос	Ответ ( +  или  -  )
1	Комфортно ли вам было на уроке?	.
2	Поняли ли вы материал урока?	.
3	Требовалась ли вам помощь: а) учителя б) учебника в) соседа по парте?	. . .
4	Оцените свою работу на уроке по пятибалльной системе.	.

Многие на уроке были  активными …

Некоторым  придется еще немного поработать.

Английский поэт Альберт Порт сказал: «Силу ума придают упражнения, а не покой». Поэтому откройте дневники и запишите номера упражнений для силы ума.

Домашнее задание.

1)      № 205 (2)

2)   Для функции    найдите значения параметра m, при которых график пересекается с ОХ в двух точках.