Инфоурок Алгебра КонспектыУрок алгебры в 10 классе "Иррациональные уравнения"

Урок алгебры в 10 классе "Иррациональные уравнения"

Скачать материал
библиотека
материалов

УРОК АЛГЕБРЫ В 10 КЛАССЕ ПО ТЕМЕ «ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ»

Автор: учитель математики высшей категории ГБОУ школа №38 набок Елена Ивановна

«Выкорчевав даже целый лес, вы едва ли извлечёте квадратные корень»

Фольклор.

Тип урока: урок ознакомления с новым материалом и первичное его закрепление.

Цель урока: ввести понятие иррациональных уравнений и показать способы их решения

Задачи:

Образовательные: сформировать у учащихся умение решать иррациональные уравнения различными способами, отработать навыки решения иррациональных уравнений.

Развивающие:

  • развитие алгоритмического мышления, памяти, внимательности;

  • развитие операционного мышления, направленного на выбор оптимальных решений;

  • развитие у учащихся умения излагать мысли, делать выводы, обобщения;

  • развитие познавательного интереса, логического мышления.

Воспитательные:

  • воспитывать умение преодолевать трудности при решении задач;

  • усиление познавательной мотивации , воспитание у учащихся самостоятельности, умение достойно вести спор, находчивость

Материал разработан применительно к учебнику “Алгебра и начала анализа, 10-11” под редакцией Ю.М.Колягина



Алгебраические выражения А(х) будем называть иррациональными, если неизвестная величина входит в это выражение под знаком корня.

Назовём иррациональными уравнения вида А(х)= В(х), в которых хотя бы одно из выражений иррационально.

Рассмотрим типы иррациональных уравнений.

=a? где a – некоторое число.

0, уравнение не имеет решений. Если а0, возведём обе части в квадрат и решим уравнение А(x)=

Решим уравнение из открытого банка ЕГЭ:

Найдите корень уравнения hello_html_26999dc7.png Возводим обе части в квадрат:

hello_html_30888c6.png

Скажите, обязательно ли искать ОДЗ? Верно, здесь не нужно, т.к. после возведения в квадрат подкоренное выражение оказалось равным положительному числу.

Сразу поговорим об уравнениях, где переменная величина будет находиться под знаком корня нечётной степени. С этими проще всего. Как вы считаете, что нужно сделать в этом уравнении?

Найдите корень уравнения hello_html_m2bdfb4f2.png

Верно, здесь достаточно возвести обе части в куб. (Класс решает самостоятельно, ответ проверяем: х=31).

Теперь посмотрим на уравнения, вида:

. Как вы предлагаете решать это уравнение? Возвести в квадрат? Я с вами соглашусь, но, кажется, этого недостаточно. Кто-то предлагает ещё найти ОДЗ. Но математики очень ленивы, и всячески стараются облегчить себе жизнь. Зачем искать всю область допустимых значений, тем более, что иногда это затратно по времени. Найдём только её часть. Решим, к примеру В(х)≥0. Почему не А(х)≥0 – спросите вы? И вы совершенно правы! Выбирайте, какое неравенство вам решить легче и решайте его! Ведь вы, возведя уравнение в квадрат, только что получили А(х)= В(х). Решим такое уравнение:

=3. Попробуйте сами. Проверим ответ: х=2, всё верно. Интересно, нашлись среди нас герои, которые решали неравенство

х

И, наконец, третий вид иррациональных уравнений:

. Это уравнение сводится к равносильной системе:





На эту тему хочется показать вам самое коварное уравнение среди иррациональных в банке ЕГЭ:

Решите уравнение hello_html_42d82496.png Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Обратите внимание на постановку вопроса: «Если уравнение имеет более одного корня». Но мы не такие простаки, мы знаем, что условие неотрицательности правой части выведет нас на правильный ответ! Зачем за этим следить? Правильно, неотрицательная левая часть тащит за собой то же условие для правой.

hello_html_7386df6c.png

А теперь, десерт, господа! Ещё несколько нестандартных приёмов для решения наших прекрасных иррациональных уравнений.

Метод замены

2=33.

Пусть y=, заметим, что y2+3х+9 и уравнение примет вид:

+y-9=33. Находим корни: y=6 (y= - 7 нам не подходит). Получаем уравнение:

=6 и, мы уже знаем, что его достаточно просто возвести в квадрат.

Подожду, пока вы решите сами. Ответ: -4,5 и 3.

Покажу вам более сложную замену. Решим уравнение:

+=1.

Естественно принять за t выражение , tх=+1 и исходное уравнение перепишется в виде: лицах, ибо вы догадались, что следующий переход - к уравнению с модулями:

Снимем модули методом интервалов. Недавно это проходили, кто хочет попробовать?

Ученик решает на доске. Получаем ответ: Для себя отметим, что решая уравнение, мы получили промежуток! Необычно!

Правило «расщепления»

(16

Произведение двух множителей равно нулю, тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен 0, а остальные при этом имеют смысл.

Тогда уравнение сводим к системе: и уравнению

Ответ: -4; 3.

Метод «угадывания»

. Думаю, ни у кого не возникло желания возводить обе части в куб, тем более, что это не избавит нас от радикалов. Я бы сказала, что это усложнит ситуацию. Заметим, что корень уравнения легко подбирается. Это х=1. Докажем, что других корней нет. Левая часть представляет собой сумму двух возрастающих функций и, следовательно, сама является возрастающей. Т.е. принимает каждое своё значение ровно один раз. А правая часть уравнения – const. Поэтому, других корней нет. Попробуйте этим же способом решить следующее:

= 3-х. Верно, корень х=1. Не забудьте пояснить проверяющему, что с учётом монотонности левой и правой части, других корней нет. Иначе вам не зачтётся решение – подбор надо обосновать!

Метод решения путём анализа области определения

+= 2.

Попытки возведения в квадрат приведут к сложному уравнению четвёртой степени. Выпишем условия, при которых выражения в левой части имеют смысл:

. Эта система не имеет решений! Значит и всё уравнение не имеет решения! Как нам повезло! Если бы не додумались сразу найти ОДЗ, какое разочарование ждало бы нас часа через полтора упорного возведения в квадрат!

Метод «оценок»

. Заметим, что оба радикала в левой части уравнения существуют при любых значениях переменной, правая же часть неотрицательна на . Заметим также, что левая часть может быть равна правой только если обе части одновременно равняются 3. Отсюда находим единственное решение уравнения х=0.

Вспомним, что вы сегодня узнали на уроке?

*Какие уравнения называются иррациональными?

*Какой метод является основным при решении иррациональных уравнений?

*Как избежать проверки и всегда ли надо находить ОДЗ?

*Какие методы решения вы запомнили?

Домашнее задание:

    1. изучите по учебнику метод решения при помощи графиков – задача 4 из §9;

    2. 154;

    3. 158 решите при помощи монотонности функции;

    4. Найдите корень уравнения: hello_html_42165e1f.png Если уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них;

    5. Решите, исследуя область определения =.

«Всё есть число» - сказал когда-то Пифагор. Но открытие пифагорейцами иррациональности опровергло эту теорию. Есть трагическая легенда о том, что произошло с учеником Пифагора, рассказавшим эту правду людям. Интрига? Есть повод с толком использовать компьютер и продолжение этой истории мы услышим от самого любознательного на следующем уроке.

Спасибо всем, урок окончен.





  • Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
    Пожаловаться на материал
Курс профессиональной переподготовки
Учитель математики
Скачать материал
Найдите материал к любому уроку,
указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
также Вы можете выбрать тип материала:
Общая информация
Учебник: «Алгебра и начала математического анализа. Базовый и углубленный уровни», Алимов А.Ш., Колягин Ю.М. и др.
Тема: § 9. Иррациональные уравнения

Номер материала: ДБ-833606

Скачать материал
Похожие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Библиотечно-библиографические и информационные знания в педагогическом процессе»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Управление персоналом и оформление трудовых отношений»
Курс повышения квалификации «Организация практики студентов в соответствии с требованиями ФГОС технических направлений подготовки»
Курс повышения квалификации «Организация практики студентов в соответствии с требованиями ФГОС медицинских направлений подготовки»
Курс повышения квалификации «Правовое регулирование рекламной и PR-деятельности»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Управление ресурсами информационных технологий»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс повышения квалификации «Источники финансов»
Курс профессиональной переподготовки «Уголовно-правовые дисциплины: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Эксплуатация и обслуживание общего имущества многоквартирного дома»

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.