Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Урок алгебры в 11 классе: Логарифмы вокруг нас

Урок алгебры в 11 классе: Логарифмы вокруг нас

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Урок алгебры в 11 классе:

Логарифмы вокруг нас


Цели урока:

-расширять представления учащихся о логарифмах, логарифмической функции, применении ее свойств в нестандартных ситуациях;

-развивать интерес к истории математики и ее практическим приложениям, логическое мышление, математическую грамотность речи;

-воспитывать познавательную активность, чувство ответственности, культуру общения, культуру диалога.

Оборудование: компьютер, мультимедийные презентации, логарифмическая линейка, таблица логарифмов.

Потому-то словно пена,

Опадают наши рифмы.

И величие степенно

Отступает в логарифмы.

Борис Слуцкий

Ход урока

I. Организационный момент

Приветствие. Сообщение темы и цели урока. Подготовка учащихся к работе на уроке.

II. Актуализация опорных знаний.

1.Устные упражнения:

3log2(log416)+log0,52, log16128,

81log35+27log936+34 log97,

log0,5(5+2√6)+ log0,5(5-2√6)

2.Графическая минутка.

Вопрос №1

hello_html_2a0e712a.png

Вопрос №2

Что представляет собой график каждой из функций:

y=х+2, у=log525+x2, y=ln(x-1), y=0,5x-3,y=log28+√x?

Вопрос №3

Совпадают ли графики функций f(x)=x+4 и g(x)3log3(x+4)?

Вопрос №4

При каких значениях х имеет смысл выражение log0,5(log2x)?


Вопрос №5

Найдите область определения функции y=log4(7-3x).

Учитель: Итак, мы повторили свойства логарифмов и логарифмической функции. Расширим наши представления о логарифмической функции и применим ее свойства в нестандартных ситуациях. Сегодня мы поговорим об истории возникновения «абстрактно красивого» одного из величайших человеческих достижений»- так звучит фраза английского поэта Элмера Брила, написавшего «Оду экспоненте».

III. Сообщения учащихся по теме урока и решение нестандартных заданий:

(Учащимся было дано предварительное задание: приготовить презентации «Из истории», «Логарифмы в природе» и т.п.)

1.Из истории логарифмов. (Презентация №1).

Поистине безграничны приложения показательной и логарифмической фун­кций в самых различных областях науки и техники, а ведь придумывали логарифмы для облегчения вычислений. Более трех столетий прошли с того дня, как в 1614 году были опубликованы первые логарифмические таблицы, составленные Джоном Непером. Они помогли астрономам и инженерам, сокращая время на вычисления, и тем самым, как сказал знаменитый французский ученый Лаплас, «удлиняли жизнь вычислителям»,

Еще недавно трудно было представить инженера без логарифмической линейки в кармане; изобретенная через десяток лет после появления логарифмов Непера английским математиком Гунтером, она позволяла быстро получать ответ с достаточной для инженера точностью в три значащие цифры. Теперь ее из инженерного обихода вытеснили микрокалькуляторы, но без логарифмической линейки не были бы построены ни первые компьютеры, ни калькуляторы.

Многообразие применения показательной (или как ее еще называют экспоненциальной) функции вдохновили английского поэта Элмера Брила, он написал «Оду экспоненте»:

«…Ею порождено многое из того,

Что достойно упоминания»,

Как говорили наши

Англосаксонские предки.

Могущество ее порождений

Заранее обусловлено ее

Собственной красотой и силой,

Ибо они суть физическое воплощение

Абстрактной идеи ее.

Английские моряки любят и знают ее

Под именем «Гунтер».

Две шкалы Гунтера –

Вот чудо изобретательности.

Экспонентой порождена

Логарифмическая линейка:

У инженера и астронома не было

Инструмента полезнее, чем она.

Даже изящные искусства питаются ею.

Разве музыкальная гамма не сеть

Набор передовых логарифмов?

И таким образом абстрактно красивое

Стало предком одного из величайших

Человеческих достижений».

Учитель: Были поэты, которые не посвящали од экспоненте и логарифмам, но упоминали их в своих стихах. Например, в своем стихотворении «Физики и лирики» поэт Борис Слуцкий написал те строки, которые вынесены в эпиграф к уроку (записаны на доске).

Зhello_html_5de91cd.gifадание классу;

Построить график функции:


2. Сообщение «Логарифмы в музыке».

Музыканты редко увлекаются математикой; большинство из них питают к этой науке чувство уважения. Между тем, музыканты - даже те, которые не проверяют подобно Сальери у Пушкина «алгеброй гармонию», - встречаются с математикой гораздо чаще, чем сами подозревают, и притом с такими «страшными» вещами, как логарифмы.

Известный физик Эйхенвальд вспоминал: «Товарищ мой по гимназии любил играть на рояле, но не любил математики. Он даже говорил с оттенком пренебрежения, что музыка и математика друг с другом не имеют ничего общего. «Правда, Пифагор нашел какие-то соотношения между звуковыми колебаниями, - но ведь как раз пифагорова-то гамма для нашей музыки и оказалась неприемлемой». Представьте же себе, как неприятно был поражен мой товарищ, когда я доказал ему, что, играя по клавишам современного рояля, он играет, собственно говоря, на логарифмах...»

И действительно, так называемые ступени темперированной хроматической гаммы (12-звуковой) частот звуковых колебаний представляют собой логарифмы. Только основание этих логарифмов равно 2 (а не 10, как принято в других случаях).

Положим, что ноте «до» самой низкой октавы - будем ее называть нулевой - соответствует частота, равная n колебаниям в секунду. В октаве частота колебаний нижнего звука в два раза меньше верхнего, т.е. эти частоты соотносятся как 1 : 2. Тогда ноте «до» первой октавы будут соответствовать 2п колебания в секунду, а ноте «до» третьей октавы - n·2m колебания в секунду и т. д. Обозначим все ноты хроматической гаммы номерами р. Тогда высоту, т.е. частоту, выразить формулой

hello_html_2071a782.png

Логарифмируя эту формулу, получаем

hello_html_2215dafb.png

Принимая чистоту самого низкого «до» за единицу (n=1) и приводя все алгоритмы к основанию 2, имеем

hello_html_c6c5373.pnghello_html_m7c68055f.gif

Задание классу; Решите уравнение




3. Звезды, шум и логарифмы. (Звучит музыка:Иоганн Себастьян Бах Прелюдия Фуга «до-минор» опус546).

Этот заголовок связывает столь, казалось бы, несоединимые вещи. Шум и звезды объединяются здесь потому, что громкость шума и яркость звезд оцениваются одинаковым образом - по логарифмической шкале.

Астрономы делят звезды по степени яркости на видимые и абсолютные звездные величины - звезды первой величины, второй, третьей и т. д. Последовательность видимых звездных величин, воспринимаемых глазом, представляет собой арифметическую прогрессию. Но физическая их яркость изменяется по иному закону: яркости звезд составляют геометрическую прогрессию со знаменателем 2,5. Легко понять, что «величина» звезды представляет собой логарифм ее физической яркости. Короче говоря, оценивая яркость звезд, астроном оперирует таблицей логарифмов, составленной при основании 2,5.

Аналогично оценивается и громкость шума. Вредное влияние промышленных шумов на здоровье рабочих и на производительность труда побудило выработать приемы точной числовой оценки громкости шума. Единицей громкости звука служит «бел», но практически используются единицы громкости, равные его десятой доле, - так называемые «децибелы». Последовательные степени громкости 1 бел, 2 бела и т.д. составляют арифметическую прогрессию... Физические же величины, характеризующие шумы (энергия, интенсивность звука и др.), составляют геометрическую прогрессию со знаменателем 10. Громкость, выраженная в белах, равна десятичному логарифму соответствующей физической величины.


5. Сообщение «Логарифмическая спираль».

Самолет, вылетевший из какой-нибудь точки земного шара на север, через некоторое время окажется над Северным полюсом. Если же он полетит на восток, то, облетев параллель, вернется в тот же пункт, из которого вылетел. Предположим теперь, что самолет будет лететь пересекая все меридианы под одним и тем же углом, отличным от прямого, т. е. держась все время одного и того же курса. Когда он облетит земной шар, то попадет в точку, имеющую ту же долготу, что и точка вылета, но расположенную ближе к Северному полюсу. После следующего облета он окажется еще ближе к полюсу и, продолжая лететь указанным образом, будет описывать вокруг полюса сужающуюся спираль.

Уравнение этой спирали r = hello_html_mc3ef69c.gifhello_html_379c1090.gif,

где r - расстояние от произвольной точки М на спирали до выбранной точки О, hello_html_6f95504e.gif- угол между лучом ОМ и выбранным лучом Ох, а и k - постоянные.

Решая его, получим

ln ehello_html_m53d4ecad.gif= lnhello_html_m207619a7.gif = lnhello_html_m207619a7.gif φ = hello_html_m21b8801a.gifln hello_html_m3d65e801.gif


Так как это уравнение связано с логарифмической функцией, то вычисленную по этой формуле спираль называют логарифмической.

Живые существа обычно растут, сохраняя общее очертание своей формы. При этом они растут чаще всего во всех направлениях - взрослое существо и выше и толще детеныша. Но раковины морских животных могут расти лишь в одном направлении. Чтобы не слишком вытягиваться в длину, им приходится скручиваться, причем каждый следующий виток подобен предыдущему. А такой рост может совершаться лишь по логарифмической спирали или ее некоторым пространственным аналогам. Поэтому раковины многих моллюсков, улиток, а также рога таких млекопитающих, как архары (горные козлы), закручены по логарифмической спирали. Можно сказать, что эта спираль является математическим символом соотношения форм роста. Великий немецкий поэт Иоганн Вольфганг Гете считал ее даже математическим символом жизни и духовного развития.

Очертания, выраженные логарифмической спиралью, имеют не только раковины, в подсолнухе семечки расположены по дугам, также близким к логарифмической спирали, и т.д.

Один из наиболее распространенных пауков, эпейра, сплетая паутину, закручивает нити вокруг центра по логарифмической спирали. По логарифмическим спиралям закручены и многие галактики, в частности, Галактика, которой принадлежит Солнечная система.


6. Логарифмический софизм: «2 > 3»

Учитель: Продолжим урок остроумной алгебраической головоломкой,

Доказательство начинается с неравенства hello_html_26e6ee15.gif, бесспорно правильного. Затем следует преобразование hello_html_m3a92533b.gif, тоже не внушающее сомнения. Большему числу соответствует больший логарифм, значит, lghello_html_6f5e3c74.gif lg hello_html_5020d769.gif, по свойству логарифма степени 2lg hello_html_m6f06f8e4.gif 3lghello_html_6c83d7fc.gif После сокращения на lghello_html_6c83d7fc.gif имеем 2 > 3.

В чем ошибка этого доказательства?

hello_html_43188585.gif

Задание классу: Решить неравенство:



IV. Итог урока.

Рефлексия

  • О чем вы не имели представления до сегодняшнего урока и что теперь вам стало ясно?

  • Что нового вы узнали о логарифмической функции и ее приложениях?

  • Какая информация вас заинтересовала?

  • С какими трудностями вы столкнулись при решении нестандартных заданий?

  • Понравился ли вам сегодняшний урок?


V. Домашнее задание (из вариантов ЕНТ)

13 из вариантов1-6,9,15;

16 из 2 и 6 варианта;

5 из 7 и 14.



Выберите курс повышения квалификации со скидкой 50%:

Автор
Дата добавления 09.09.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров424
Номер материала ДA-035213
Получить свидетельство о публикации

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх