Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Конспекты / Урок алгебры в 10 классе. Методы решения тригонометрический уравнений.
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

Урок алгебры в 10 классе. Методы решения тригонометрический уравнений.

библиотека
материалов


Методы решения сложных

тригонометрических уравнений


І тип. Двучленные уравнения. Уравнения, содержащие две тригонометрические функции с коэффициентами 1.


Пример 1. hello_html_m273b90f8.gifhello_html_m53d4ecad.gif

Решение


hello_html_m6c859b21.gif


hello_html_228080a3.gifили hello_html_47c10c75.gif

hello_html_22fa6393.gif

hello_html_m6cd130c1.gif

hello_html_m53d4ecad.gif

hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m5cfd02d9.gif


Ответ: hello_html_m6cd130c1.gif; hello_html_m5cfd02d9.gif



Пример 2. hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_38eb9ffa.gif


Решение

hello_html_m99083c7.gif


hello_html_416028c4.gif


hello_html_m7ef3b232.gif


hello_html_m671cc140.gif


hello_html_62f3f001.gif

hello_html_6f5ad0a7.gif

hello_html_574712a5.gif


hello_html_m6e311ceb.gifhello_html_3b932103.gif


hello_html_6aba7b79.gifhello_html_m241c735b.gif


hello_html_m30be5e2d.gifhello_html_m40a9b569.gif


hello_html_m49c60bad.gif

Ответ: hello_html_558d1850.gif; hello_html_m73d084e4.gif.


ІІ тип. Многочленные тригонометрические уравнения. Все функции содержащиеся в этом уравнении, переносят в левую часть и полученный тригонометрический многочлен раскладываю на множители.

Если многочлен уравнения содержит четную степень, то формулам понижают степень и превращают в произведение.

Если тригонометрический многочлен содержит функции таким образом, что этот многочлен будет стандартного вида, то применяют метод подстановки.

1) hello_html_m78c4fa62.gif

hello_html_m42ecceeb.gif

2) hello_html_m44087953.gif

hello_html_23195a7.gif

ІІІ тип. Однородные тригонометрические уравнения.

1) hello_html_mfc4ffdb.gif(уравнение І степени)

2) hello_html_m33c3d1b8.gif (уравнение ІІ степени)

3) hello_html_6e1813f3.gif ( уравнение ІІІ степени)

Эти уравнения решаются делением этого уравнения на старшую степень hello_html_m3b894081.gif

или hello_html_5cd5c882.gif.

1) hello_html_mfc4ffdb.gif/: hello_html_5cd5c882.gif, hello_html_cd0646e.gif

hello_html_ed5b0e8.gif

hello_html_70b44514.gif


2)hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_4e9caaaa.gif

hello_html_m5f9bfeb5.gif


3) hello_html_m601104e3.gif

hello_html_m7d91b958.gif



Пример 1. hello_html_3aeafeeb.gif


Решение

hello_html_m7f3a8cd2.gif


hello_html_m604cc56a.gifПусть hello_html_m646f47af.gifтогда


hello_html_320178cc.gif


hello_html_m58cdc360.gif


hello_html_935ac36.gif


Ответ: hello_html_3ae3d1d4.gif






Пример 2. hello_html_29d52218.gif


Решение


Это уравнение можно свести к однородному третьего порядка относительно hello_html_m3b720646.gifили hello_html_151bdef7.gif если заменить

hello_html_m66e8a8f8.gif

Получим


hello_html_7d1c0bb3.gif


Разделили обе части уравнения на hello_html_5f80539e.gifполучим hello_html_m2e57b9da.gif


Пусть hello_html_m1ca1b4d9.gif

hello_html_m6392b45.gifЛегко проверить, что hello_html_m653c2013.gifявляется корнем этого уравнения.

hello_html_me024cd0.gif

hello_html_m1c0252d6.gif

hello_html_1462c66f.gif

hello_html_m3e2b40e0.gif


Поэтому hello_html_m685cffbf.gif


hello_html_e12792f.gifили hello_html_m2c86f93a.gif

hello_html_4030d111.gifкорней нет.

hello_html_m343acadc.gif


Ответ: hello_html_m7f357da8.gif


ІV тип. Линейные неоднородные тригонометрические уравнения.

hello_html_480a7c63.gif


1) если hello_html_eef41fa.gifто делим на hello_html_cf73747.gif


hello_html_m83c4364.gifhello_html_4b5b351a.gif


hello_html_m535afef8.gif


hello_html_m3f4d51cd.gif


2) если hello_html_m23915bae.gif тогда применяем метод универсальной подстановки

hello_html_m476ce3df.gif


hello_html_m7304fb3d.gif


hello_html_1899f4bd.gifhello_html_2a498cdf.gif


hello_html_m35cf3cb7.gifhello_html_m565037e0.gif



hello_html_m4f17f4d4.gif

и так далее.


3) если hello_html_m23915bae.gif то неоднородное уравнение приводим к однородному второй степени с помощью тригонометрической единицы.

hello_html_1ba26bd5.gif


hello_html_221e4dee.gif


V тип. Уравнения, содержащие тригонометрические дроби.


Находим ОДЗ ( т.к. знаменатель hello_html_3750bfcb.gif0). Либо приводим к общему знаменателю, либо применяем метод подстановки.


Пример 1. hello_html_3333f5d3.gif


Решение


ОДЗ: hello_html_1cd04af9.gif


Пусть hello_html_m53505c35.gif, тогда hello_html_573df11d.gif


Это уравнение упростим, обозначив hello_html_m3e0abcf.gifтогда hello_html_529b2c36.gif


hello_html_9475bee.gif


hello_html_m75761227.gifТогда hello_html_64b0ce31.gif

hello_html_m4fa72096.gifhello_html_m7c8dc3d1.gifhello_html_m61b1fb1c.gif


hello_html_m2d559f0a.gif


hello_html_m40aaef4e.gifhello_html_223ce887.gifкорней нет


hello_html_m5ccde976.gif


Ответ: hello_html_m40f03f20.gif


VІ тип. Иррациональные тригонометрические уравнения.


Содержание тригонометрические функции под знаком радикала.

Указать ОДЗ.

Пример 1. Решить уравнение hello_html_e0d59ff.gif

Решение

hello_html_2e4c4f44.gifпри любых hello_html_79b2e299.gif

Сделав замену hello_html_509f4569.gifполучим иррациональное уравнение hello_html_44218ba6.gif

которое равносильно системе


hello_html_37cb26b8.gif

hello_html_m38802ff8.gif

Поэтому неравенству системы hello_html_m71ac6570.gif удовлетворяет только hello_html_74bcd43d.gif

Значит hello_html_1771c1e2.gif.

hello_html_192471fd.gif

Ответ: hello_html_m4e2b8225.gif

VІІ тип. Функциональные.

В качестве аргументов используются другие функции.

Пример 1.

hello_html_m7a82e195.gif

hello_html_55e1c9ec.gifили hello_html_5c2611a6.gif

hello_html_m4e01dc18.gifhello_html_m28b56e3.gif

при при


hello_html_4a0fc4ff.gif hello_html_7dabd3fb.gif


Ответ: hello_html_m15504522.gif где hello_html_143182ce.gif при hello_html_m10941d8b.gif


hello_html_5d85f8ed.gifгде hello_html_51d07026.gif при hello_html_m14771ee5.gif



Пример 2. hello_html_4501b094.gif


Решение


Так как hello_html_m5257b755.gif то hello_html_m1927a356.gif


Пусть hello_html_4b0ede1c.gif

hello_html_m7504c7db.gif


hello_html_m6487a8e9.gifили hello_html_3032d412.gif


hello_html_m4535fbd5.gifhello_html_ad0cd8c.gif
т.к. hello_html_5a8cb513.gif то hello_html_6ec5b02a.gifhello_html_m7560ccd4.gif
не удовлетворяет

условию hello_html_m4d868fd2.gif

hello_html_m1c851a48.gifhello_html_2ae16f6c.gif

Подставив вместо t его значение

hello_html_m36a82962.gifhello_html_m79f6dbcd.gif

Ответ: hello_html_6a066d8c.gif


VІІІ тип. Уравнения, в которых в качестве коэффициента число hello_html_m980c3de.gif перед hello_html_m3b720646.gifилиhello_html_278f2317.gif, то делают числовую подстановку hello_html_7fbd08d3.gif или hello_html_6f72cec2.gif.


Пример.1 Решить уравнение hello_html_524ee40f.gif


Решение


hello_html_754a0957.gif


hello_html_37c295b7.gif


hello_html_6ecb2a19.gifили hello_html_m162a7040.gif

hello_html_375bebf3.gifhello_html_39a9b718.gif

Ответ: hello_html_1e9b0a52.gif


ІX тип. Уравнения вида


hello_html_24ef569d.gif


решаются с помощью замены hello_html_300b14b1.gif или hello_html_136ca98c.gif


1) 2)

hello_html_54af569c.gifhello_html_m71c18518.gif


Пример 1. Решить уравнение hello_html_48ea121e.gif


Решение


hello_html_4e5ddc92.gif


Пусть

hello_html_m58529d2d.gif

Тогда,


hello_html_m1b02a1d9.gif


hello_html_3ab2cef6.gifhello_html_441311ee.gif


корней нет.








Ответ: hello_html_9eac3a3.gif





Метод оценок при решении тригонометрических уравнений

Некоторые тригонометрические уравнения удается решить, используя неравенства: hello_html_7c5dd8ed.gif верны для всех hello_html_513ce007.gif


Пример 1. Решить уравнение hello_html_m49be8321.gif


Решение


hello_html_5a042f2d.gifПоскольку hello_html_m36d99e13.gif и hello_html_m284102de.gifто hello_html_588a5cec.gif причем

равенство здесь имеет место тогда и только тога, корда одновременно выполняются равенства hello_html_m24af8908.gif и hello_html_39418809.gifЗначит исходное уравнение равносильно системе:

hello_html_m3f1f7377.gifhello_html_1b730b13.gifhello_html_m28c2b9d0.gifhello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m53d4ecad.gifhello_html_1b730b13.gifhello_html_21a7762.gif

Изобразим эти решения соответствующими точками единичной окружности

(hello_html_6fcde119.gif решения первого уравнения , решение второго уравнения – точки помеченные крестиком *).



hello_html_m216842c8.gifhello_html_6fcde119.gifhello_html_1defae9.gif*


hello_html_m6c598cf0.gifhello_html_78d2ed74.gifhello_html_7dd8637.gifhello_html_m67a6e35b.gif


hello_html_m126804b5.gifhello_html_48ed164c.gifhello_html_41589e2.gifhello_html_a5aa8c6.gif

hello_html_494565ca.gifhello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m8d06281.gifhello_html_m269e8d97.gifhello_html_5008ed37.gif
hello_html_6cba0baf.gifhello_html_m4a2dbad8.gif


Число х будет решением системы тогда и только тогда, когда оно является решением обоих уравнений системы. Из рисунка видно, что такими числами являются числа hello_html_4ee9cff8.gif

hello_html_228df9db.png


Ответ: hello_html_f6b6cdf.gif

Пример 2. Решить уравнение hello_html_m685cac91.gif

Решение

Воспользуемся формулой hello_html_10738bd4.gif

hello_html_m6f46ce39.gif

hello_html_60535b85.gifhello_html_m7ecbd447.gif

hello_html_m3f08dc71.gifи hello_html_m7ecbd447.gif, значит hello_html_20401bb1.gif

Равенство возможно при hello_html_57adaaa6.gif и hello_html_m535a09aa.gif Значит данное неравенство равно системе:

hello_html_eb20f48.gif

Решениями системы являются те и только те значения hello_html_492e989.gif для которых при некоторых hello_html_m601acf03.gif и hello_html_m6994a4e1.gifвыполняются равенства hello_html_m2a19eb95.gif Найдем целые hello_html_m601acf03.gif и hello_html_m6994a4e1.gif, для которых hello_html_72229774.gifСократив hello_html_m32e42a43.gif на hello_html_m1162da4f.gifполучим, что hello_html_140aaf64.gif но это равенство возможно только при hello_html_m6c598cf0.gif и hello_html_mcace6f1.gif Таким образом система, а значит , и исходное уравнение имеют единственное решение hello_html_m78768323.gif


Ответ: hello_html_m78768323.gif


Пример 3. Решить уравнение hello_html_10cd7fa1.gif


Решение

hello_html_58b45bb5.gif

hello_html_228080a3.gifили hello_html_74dfa4d7.gif

hello_html_m2873ab59.gifhello_html_m7e8daea3.gif, данное уравнение равносильно


hello_html_m749df3d1.gifhello_html_m53d4ecad.gif


hello_html_6fcde119.gifРешения первого уравнения , решение второго уравнения – точки помеченные крестиком *.

hello_html_49b44d89.gifhello_html_m45942444.gifhello_html_m53d4ecad.gifhello_html_39387e4b.gif

hello_html_6fdb67d1.gifhello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m53d4ecad.gifhello_html_6082c40d.gif




hello_html_17d7c135.png









Ответ: hello_html_1425718e.gif




Использование области определения функции при решении уравнений.


К «функциональным» методам решения тригонометрических уравнений и неравенств относится применение основных свойств тригонометрических функций.

Иногда знание областей определения функций, входящих в уравнение или неравенство, дает возможность показать, что уравнение или неравенство не имеет решений. Иногда знание ОДЗ позволяет найти решения уравнения или неравенства непосредственной подстановкой чисел из ОДЗ.


Решить уравнение: hello_html_289e83f6.gif

Решение


ОДЗ этого уравнения состоит из всех hello_html_m5547f17b.gif, удовлетворяющих условиям:



hello_html_m2382d230.gifОДЗ: hello_html_m19d69a13.gif

Подставляя эти значения hello_html_m5547f17b.gif в уравнение, получаем, что его правая и левая части равны нулю, а это означает, что все hello_html_m19d69a13.gif являются его решением.

Ответ: hello_html_m19d69a13.gif





Тригонометрические уравнение типа


hello_html_235a130c.gif


Решение таких уравнений сводится к группировке, последующему разложению правой части уравнения на множители и переходу к решению эквивалентной совокупности простейших уравнений.


Пример 1. hello_html_158608e5.gif

Решение


ОДЗ: hello_html_m3742561f.gif

hello_html_m4364570d.gif


hello_html_2c5f84d0.gifили hello_html_21cf23ad.gif или hello_html_585452f3.gif



В общем случае предположим, что серия решений hello_html_m7d400f82.gif содержит параметр hello_html_23efa8f9.gif

а серия решений hello_html_m143463e.gif - параметр hello_html_70b962f9.gif Чтобы выяснить, содержится ли одна из этих серий в другой, нужно приравнять эти решения и найти зависимость hello_html_m601acf03.gifот hello_html_m3eaab3d9.gif

Если эта зависимость линейна hello_html_3d7964cd.gif и hello_html_70e05b77.gif то серия решений hello_html_m143463e.gif содержится в серии решения hello_html_1499d4a1.gif Если хотя бы один из коэффициентов ( hello_html_m734afb91.gif или hello_html_559071c1.gif) не целый, то нужно найти зависимость hello_html_m5faf1d98.gif от hello_html_4cefdce1.gif Если эта зависимость имеет вид hello_html_m3c9b1496.gif где hello_html_794ee2c4.gif то серия решений hello_html_m7d400f82.gif содержится в серии решений hello_html_16fcc21f.gifПри условии, что либо hello_html_6cdccad.gif либо hello_html_559071c1.gifне целое, серии решений hello_html_m7d400f82.gif и hello_html_m143463e.gif не содержат одно другое.

Выясним, не содержатся ли какие – либо из полученных серий решений в других:

1) hello_html_e0c23f3.gifhello_html_18ca51ff.gifhello_html_3bdf8f43.gif следовательно решение hello_html_3aec97c8.gif содержится в

решении hello_html_m1fd9e57d.gifпоэтому hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_5bd4cd2a.gifисключают из решения.

2) hello_html_m37ae2ce4.gifhello_html_78b902da.gifhello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m4cea1fc1.gifhello_html_m378273eb.gif что невозможно

при hello_html_m5aa866c0.gif

Ответ: hello_html_m1fd9e57d.gifhello_html_m4eea78b5.gif

Пример 2. hello_html_629bb367.gif


Решение


hello_html_m1b60e6fb.gif


hello_html_1b6a439.gifили hello_html_m2a4fe74e.gif


hello_html_1a768206.gifhello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m168959c0.gif

hello_html_m62c5b2f0.gif

hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m3a42847d.gifили hello_html_m10c3dcbc.gifhello_html_m53d4ecad.gif
hello_html_681b9f9a.gifhello_html_m53d4ecad.gifhello_html_704d777e.gif

Сравним полученные решения


hello_html_3ae9493.gif

Следовательно серия решения hello_html_m6282453.gif содержится в серии решений hello_html_6782d50a.gif


hello_html_m650494b9.gif




что невозможно при hello_html_1d3c4094.gif


Ответ: hello_html_m11bb6bda.gif






Пример 3. hello_html_m2c8d0417.gif


Решение


hello_html_m3841ad32.gif

hello_html_1b6a439.gifили hello_html_m6a215912.gif

hello_html_1a768206.gif hello_html_1b8844d.gif

Сравним решения


hello_html_m795fb3d6.gif



Серия hello_html_m33f9e606.gif не содержится в серии hello_html_6782d50a.gif


hello_html_m1f57d962.gif

Значит и серия hello_html_6782d50a.gif не содержится в серии hello_html_e5ce55a.gif


Ответ: hello_html_42526e63.gif





Автор
Дата добавления 26.02.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров501
Номер материала ДВ-486801
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх