Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Презентации / Урок алгебры в 9 классе на тему "Сумма бесконечной геометрический прогрессии"

Урок алгебры в 9 классе на тему "Сумма бесконечной геометрический прогрессии"

  • Математика

Название документа Сумма бесконечной геометрической прогрессии.docx

Поделитесь материалом с коллегами:

6

Сумма бесконечной геометрической прогрессии при ІqІ<1

Завгородняя Л.В.

учитель математики

МОУ «Краснооктябрьская СОШ Белгородского района

Белгородской области»


Цели урока: (слайд 1)

  1. ознакомление учащихся с новым видом последовательности – бесконечно убывающей геометрической прогрессией;

  2. формулирование начального представления о пределе числовой последовательности;

  3. знакомство с ещё одним способом обращения бесконечных периодических дробей в обыкновенные с помощью формулы суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Ход урока

1. Проверка домашнего задания. (слайд 2)

1) Проверка основных формул, связанных с арифметической и геометрической прогрессиями. Два ученика готовят записи формул у доски.

2) Остальные учащиеся выполняют математический диктант по теме «Формулы суммы».

Задания:

№1. Найдите сумму первых пяти членов арифметической прогрессии, если её первый член равен 6 (1-й вариант), -20 (2-й вариант), а пятый член -6 (1-й вариант), 20 (2-й вариант).

№2. Найдите сумму первых пяти членов арифметической прогрессии, если её первый член равен -20(1-й вариант), 6 (2-й вариант), а разность равна 10(1-й вариант), -3(2-й вариант).

№3. Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии, если её первый член равен 1(1-й вариант),-1 (2-й вариант), а знаменатель равен -2(1-й вариант), 2(2-й вариант).

По окончании диктанта, выборочно, у двоих учеников работы проверяются на оценку, остальные выполняют самопроверку по готовым решениям, записанным на отворотах доски.

Решения: (слайд 3)


№1

а1=6, а5=-6, S5=?



№2

а1=-20, d=10, S5=?


2й вариант

№1

а1=-20, а5=20, S5=?



№2

а1=6, d=-3, S5=?


№3

b1=1, q=-2, S5=?



№3

b1=-1, q=2, S5=?




2. Изучение новой темы. (демонстрация презентации).

1) Слайд №4.

Рассмотрим квадрат со стороной, равной 1. Нарисуем ещё один квадрат, сторона которого равна половине первого квадрата, затем ещё один, сторона которого – половина второго, потом следующий и т.д. Каждый раз сторона нового квадрата равна половине предыдущего.

В результате, мы получили последовательность сторон квадратов


образующих геометрическую прогрессию со знаменателем .

И, что очень важно, чем больше мы будем строить таких квадратов, тем меньше будет сторона квадрата. Например,






Т.е. с возрастанием номера n члены прогрессии приближаются к нулю.

С помощью этого рисунка можно рассмотреть и ещё одну последовательность. Например, последовательность площадей квадратов:

.

И, опять, если n неограниченно возрастает, то площадь, как угодно близко приближается к нулю.

2) Слайд №5.

Рассмотрим ещё один пример. Равносторонний треугольник со стороной равной 1см. Построим следующий треугольник с вершинами в серединах сторон 1-го треугольника, по теореме о средней линии треугольника – сторона 2-го равна половине стороны первого, сторона 3-го – половине стороны 2-го и т.д. Опять получаем последовательность длин сторон треугольников.

Если рассмотреть геометрическую прогрессию с отрицательным знаменателем:



то, опять, с возрастанием номера n члены прогрессии приближаются к нулю. Обратим внимание на знаменатели этих последовательностей. Везде знаменатели были меньше 1 по модулю. Можно сделать вывод: геометрическая прогрессия будет бесконечно убывающей, если модуль её знаменателя меньше 1.

Фронтальная работа. (работа у доски)

Записать определение: геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если модуль её знаменателя меньше единицы. С помощью определения можно решить вопрос о том, является ли геометрическая прогрессия бесконечно убывающей или нет.

Задача №1.

Является ли последовательность бесконечно убывающей геометрической прогрессией, если она заданна формулой:


Решение:

а) (фронтальная работа, запись на доске)


следовательно данная геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей.

б) (самостоятельно)


следовательно данная последовательность не является бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

Продолжить работу с презентацией.

3) Слайд №6.

Рассмотрим квадрат со стороной, равной 1. Разделим его пополам, одну из половинок ещё пополам и т.д. площади всех полученных прямоугольников при этом образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию:


Сумма площадей всех полученных таким образом прямоугольников будет равна площади 1-го квадрата и равна 1.


Но в левой части этого равенства – сумма бесконечного числа слагаемых.

Рассмотрим сумму n первых слагаемых.


По формуле суммы n-первых членов геометрической прогрессии, она равна

.

Если n неограниченно возрастает, то

4) Слайд №7.

Записать определение. Суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии называют число, к которому стремится сумма её первых n членов при n →hello_html_ce4a710.gif. Теперь получим формулу, с помощью которой будем вычислять сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Рассмотрим формулу n первых членов геометрической прогрессии.



  1. Тренировочные упражнения.

Задача №2. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом 3,вторым 0,3.

Решение:


Задача №3.

Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии:


Решение:


Задача №4.

Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если


Решение:


Пользуясь формулой суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, можно записывать бесконечную периодическую десятичную дробь в виде обыкновенной дроби.

Задача №4. Записать бесконечную периодическую десятичную дробь 0,(5) в виде обыкновенной дроби.

1-й способ: пусть х=0,(5)=0,555…

10х=5,555…

10х=5+0,555…

10х-х=5

9х=5

х=

Ответ: 0,(5)=.


2-й способ:

- бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.


Ответ: 0,(5)=.

Задача №5.

Записать бесконечную периодическую десятичную дробь 0,(12) в виде обыкновенной дроби.

.

Ответ: 0,(12)=.

5) Слайд №8.

4. Подведение итогов.

  1. С какой последовательностью сегодня познакомились?

  2. Дайте определение бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

  3. Как доказать, что геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей?

  4. Назовите формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Самостоятельная работа. (выполняется в рабочих тетрадях с использованием копирок и чистых листов бумаги, по окончании работы, откопированные записи решений сдаются на проверку, а по записям в тетрадях учащиеся выполняют самопроверку по готовым решениям).

Задания (слайд №8):

  1. Является ли геометрическая прогрессия бесконечно убывающей, если: b7= -30; b6= 15?

  2. Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии: -25; -5; -1;…

  3. Записать бесконечную десятичную периодическую дробь 0,(9) в виде обыкновенной дроби.

Самопроверка (слайд №9).

геометрическая прогрессия не является убывающей.


3).


5. Домашнее задание. П. 28, №653(б), 654(а), №705(а), №660(б)




Список использованной литературы.


  1. Алгебра. 9 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений [Текст]/ [под ред. С.А. Теляковского]. – 21-е изд. – М.: Просвещение, 2014. – 271 с. :ил., – ISBN 978-5-09-032009-2.

Название документа Сумма бесконечной геометрической прогрессии.ppt

Поделитесь материалом с коллегами:

Сумма бесконечной геометрической прогрессии при ‌‌‌‌‌ ‌‌‌ІqІ
Проверка домашнего задания 1й вариант №1 а1=6, а5=-6, S5=? №2 а1=-20, d=10, S...
Проверка 1 вариант	 0 0 -22 2 вариант 0 0 -31 *
Бесконечно убывающие геометрические прогрессии 1 1 1/2 1/2 1/4 1/4 1/8 1/8 Ст...
Бесконечно убывающие геометрические прогрессии 1см Последовательность длин ст...
Сумма бесконечной убывающей геометрической прогрессии при |q|
Сумма бесконечной убывающей геометрической прогрессии при |q|
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия Опр. Геометрическая прогрессия...
Самостоятельная работа (с комментариями) * 1). Является ли геометрическая про...
самопроверка 1). Является ли геометрическая прогрессия бесконечно убывающей,...
* Список использованной литературы   1. Алгебра. 9 класс: учеб. для общеобраз...
1 из 11

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Сумма бесконечной геометрической прогрессии при ‌‌‌‌‌ ‌‌‌ІqІ
Описание слайда:

Сумма бесконечной геометрической прогрессии при ‌‌‌‌‌ ‌‌‌ІqІ<1 Учитель математики Завгородняя Л.В первая квалификационная категория, МОУ «Краснооктябрьская СОШ им. А.Ф. Пономарева Белгородского района Белгородской области» "Сравнение есть основа всякого понимания и всякого мышления, чтобы какой-нибудь предмет был понят ясно, отличайте его от самых сходных с ним предметов и находите сходство с самыми отдельными от него предметами, тогда только вы выясните себе все существенные признаки, а это значит – понять предмет". (К.Д. Ушинский) *

№ слайда 2 Проверка домашнего задания 1й вариант №1 а1=6, а5=-6, S5=? №2 а1=-20, d=10, S
Описание слайда:

Проверка домашнего задания 1й вариант №1 а1=6, а5=-6, S5=? №2 а1=-20, d=10, S5=? №3 b1=-2, q=-2, S5=? 2й вариант №1 а1=-20, а5=20, S5=? №2 а1=6, d=-3, S5=? №3 b1=-1, q=2, S5=? *

№ слайда 3 Проверка 1 вариант	 0 0 -22 2 вариант 0 0 -31 *
Описание слайда:

Проверка 1 вариант 0 0 -22 2 вариант 0 0 -31 *

№ слайда 4 Бесконечно убывающие геометрические прогрессии 1 1 1/2 1/2 1/4 1/4 1/8 1/8 Ст
Описание слайда:

Бесконечно убывающие геометрические прогрессии 1 1 1/2 1/2 1/4 1/4 1/8 1/8 Стороны квадратов: Площади квадратов: *

№ слайда 5 Бесконечно убывающие геометрические прогрессии 1см Последовательность длин ст
Описание слайда:

Бесконечно убывающие геометрические прогрессии 1см Последовательность длин сторон треугольников: Опр. Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если модуль её знаменателя меньше единицы. *

№ слайда 6 Сумма бесконечной убывающей геометрической прогрессии при |q|
Описание слайда:

Сумма бесконечной убывающей геометрической прогрессии при |q|<1. , то , т.е. *

№ слайда 7 Сумма бесконечной убывающей геометрической прогрессии при |q|
Описание слайда:

Сумма бесконечной убывающей геометрической прогрессии при |q|<1. Опр. Суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии называют число, к которому стремится сумма её первых n членов при n → то при Поэтому *

№ слайда 8 Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия Опр. Геометрическая прогрессия
Описание слайда:

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия Опр. Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если модуль её знаменателя меньше единицы. Формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии *

№ слайда 9 Самостоятельная работа (с комментариями) * 1). Является ли геометрическая про
Описание слайда:

Самостоятельная работа (с комментариями) * 1). Является ли геометрическая прогрессия бесконечно убывающей, если: b7= -30; b6= 15 ? 2). Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии: -25; -5; -1;… 3). Записать бесконечную десятичную периодическую дробь 0,(9) в виде обыкновенной дроби.

№ слайда 10 самопроверка 1). Является ли геометрическая прогрессия бесконечно убывающей,
Описание слайда:

самопроверка 1). Является ли геометрическая прогрессия бесконечно убывающей, если: b7= -30; b6= 15 ? Г.П. не является бесконечно убывающей 2). Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии: -25; -5; -1;… 3). Записать бесконечную десятичную периодическую дробь 0,(9) в виде обыкновенной дроби. *

№ слайда 11 * Список использованной литературы   1. Алгебра. 9 класс: учеб. для общеобраз
Описание слайда:

* Список использованной литературы   1. Алгебра. 9 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / [под ред. С.А. Теляковского]. – 21-е изд. – М.: Просвещение, 2014. – 271 с. :ил., – ISBN 978-5-09-032009-2

Выберите курс повышения квалификации со скидкой 50%:

Автор
Дата добавления 20.08.2016
Раздел Математика
Подраздел Презентации
Просмотров160
Номер материала ДБ-160680
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх