Организационная
информация
|
Тема урока
|
«Касательная.
Уравнение касательной»
|
Предмет
|
Алгебра и начала
анализа
|
Класс
|
11
|
Автор/ы урока
(ФИО, должность)
|
Полякова Г.А.
учитель математики
|
Образовательное
учреждение
|
МБОУ Шпикуловская
СОШ
|
Методическая
информация
|
Тип урока
(мероприятия, занятия)
|
Изучение нового
материала
|
Цели урока
(мероприятия, занятия)
(образовательные,
развивающие, воспитательные)
|
·
Уточнить понятие «касательной».
·
Вывести уравнение касательной.
·
Составить алгоритм «составления уравнения
касательной к графику функции
у = f (x)».
·
Начать отрабатывать умения и навыки в составлении
уравнения касательной в различных математических ситуациях.
|
Задачи урока
(мероприятия, занятия)
|
·
Отработать умения и навыки по применению производной;
·
Расширять кругозор; развивать математическую
речь, внимание, скорость, память, логическое мышление.
·
Развивать умения анализировать, обобщать,
показывать, использовать элементы исследования.
·
Развивать навыки исследовательской работы.
|
Используемые
педагогические технологии, методы и приемы
|
Технология
развивающего обучения, проблемный метод, контроля и взаимоконтроля, мозговой
штурм.
|
Время реализации
урока (мероприятия, занятия)
|
45 минут,
школьный урок
|
Знания, умения,
навыки и качества, которые актуализируют/приобретут/закрепят/др. ученики в
ходе урока (мероприятия, занятия)
|
«Уточняют»
понятие касательной, выводят уравнение касательной, создают алгоритм
написания уравнения касательной, отрабатывают умения и навыки в составлении
уравнения касательной в различных математических ситуациях, учатся решать
задания ЕГЭ В-8.
|
Необходимое
оборудование и материалы
|
Компьютер,
презентация, проектор, интерактивная (или маркерная) доска
|
Дидактическое
обеспечение урока (мероприятия, занятия)
|
Карточки с
памяткой, карточки для рефлексии.
|
Список учебной и
дополнительной литературы
|
Алгебра и начала анализа. 10-11 класс.
Учебник. -Мордкович,
Д. А. Мальцев и др.
«МАТЕМАТИКА Всё для ЕГЭ 2013»
|
Ход
и содержание урока (мероприятия, занятия),
деятельность
учителя и учеников.
|
1. Мотивация учащихся
|
Тема сегодняшнего урока: «Уравнение касательной к графику
функции». Откройте тетради, запишите число и тему урока. (Слайд 1)
Пусть слова, которые вы видите на экране, станут девизом
сегодняшнего урока. (слайд 2)
ü
Плохих идей не бывает
ü
Мыслите творчески
ü
Рискуйте
ü
Не критикуйте
Чтобы настроиться на урок повторим ранее изученный
материал. Внимание на экран. Решение запишите в тетрадь.
|
2. Повторение изученного материала
|
(слайд 3).Цель: проверить знание
основных правил дифференцирования.
Найти производную функции:
1.
у =2х10
2.
у=4
3.
у=7х+4
4.
у = tg x +
5.
у = х3sin x
6.
у =
Поменяйтесь тетрадью с соседом, оцените работу. Тест
проверяют сами учащимися (слайд3 ).
У кого не одной ошибки? У кого одна?
|
3. Актуализация
|
Цель: Активизировать
внимание, показать недостаточность знаний о касательной, сформулировать цели
и задачи урока. (Слайд 4)
Давайте обсудим, что такое касательная к графику функции?
Согласны ли вы с утверждением, что «Касательная – это
прямая, имеющая с данной кривой одну общую точку»?
Давайте рассмотрим конкретные примеры:
Примеры. (слайд 5)
1) Прямая x = 1 имеет с параболой y = x2 одну
общую точку M(1; 1), однако не является касательной к параболе.
Прямая же y = 2x – 1, проходящая через
ту же точку, является касательной к данной параболе.
Прямая x = π не является касательной к графику y = cos x,
хотя имеет с ним единственную общую точку K(π; 1). С другой стороны,
прямая y = - 1, проходящая через ту же точку, является касательной
к графику, хотя имеет с ним бесконечно много общих точек вида (π+2
πk; 1), где k – целое число, в каждой из которых она касается графика.
|
4. Постановка
цели и задачи перед детьми на уроке:
|
Попробуйте сами сформулировать цель урока.
Выяснить, что такое касательная к графику
функции в точке, вывести уравнение касательной. Применять формулу при
решении задач
|
5. Изучение
нового материала
|
Посмотрите, чем отличается положение прямой х=1 от положения
у=2х-1? (слайд 7)
Сделайте вывод, что же такое касательная?
Примем за определение: касательная это предельное положение
секущей.
Раз касательная это прямая линия, а нам нужно составить
уравнение касательной, то что, как вы думаете, нам нужно вспомнить?
Вспомнить общий вид уравнения прямой.( у= кх+b)
Как еще называют число к? (угловой коэффициент или тангенс
угла между этой прямой и положительным направлением оси Ох) к = tg α
В чем заключается геометрический смысл производной?
Тангенс угла наклона между касательной и положительным
направлением оси оХ
Т. Е. я могу записать tg α = yˈ(а). (слайд 8)
Давайте проиллюстрируем это на чертеже. (слайд 9)
Пусть дана функция y = f (x) и точка М принадлежащая
графику этой функции. Давайте определим её координаты следующим образом: х=а,
у= f (а), т.е. М (а, f (а) ) и пусть существует производная f '(а), т.е. в
данной точке производная определена. Проведем через точку М касательную.
Уравнение касательной – это уравнение прямой, поэтому оно имеет вид: y = kx +
b. Следовательно, задача состоит в том, чтобы отыскать k
и b. Обратите внимание на доску, из того что там
записано, можно ли найти к? ( да, k = f '(а).)
Как теперь найти b? Искомая прямая
походит через точку М(а; f(a)), подставим эти координаты в уравнение прямой:
f(a) = ka +b , отсюда b = f(a) –
ka, т. к. к = tg α= yˈ(x), то b = f(a) – f '(а)а
Подставим значение b и к в уравнение
y = kx + b.
y = f '(а)x + f(a) – f '(а)a, вынося за скобку общий
множитель, получаем:
y = f(a) + f '(а) · (x-a).
Нами получено уравнение касательной к графику функции y =
f(x) в точке х = а.
Чтобы уверенно решать задачи на касательную, нужно четко
понимать смысл каждого элемента в данном уравнении. Давайте ещё раз
остановимся на этом: (слайд 10)
1.
(а, f (а) ) – координаты точки касания
2.
f '(а) = tg α = к тангенс
угла наклона или угловой коэффициент
3.
(х,у) – координаты любой точки касательной
И так мы вывели уравнение касательной, проанализировали
смысл каждого элемента в данном уравнении, давайте попробуем теперь вывести
алгоритм составления уравнения касательной к графику функции y = f (x)
|
6. Составление
алгоритма
|
(слайд 11) Предлагаю составить алгоритм самим учащимся:
- Обозначим
абсциссу точки касания буквой а.
- Вычислим f(a).
- Найдем f '( х)
и вычислим f '( а).
- Подставим
найденные значения числа а, f( а), f '( а) в уравнение касательной.
5.
y = f(a) + f '(а) · (x-a).
(Раздаю учащимся напечатанный заранее алгоритм как памятку
для последующей работы.)
|
7. Историческая справка
|
Внимание на экран. Расшифруйте слово
С
|
f(x) = √(3-2х)
|
f '(1) = ?
|
Я
|
f(x) = 5 / ³√ (3х+2)
|
f '(-1/3) = ?
|
Ю
|
f(x) = 12 / √ (3х ²+1)
|
f '(1) = ?
|
Ф
|
f(x) = 4√ (3-2х²)
|
f '(-1) = ?
|
К
|
f(x) = 2 ctg 2x
|
f '(-π/4) = ?
|
И
|
f(x) = 4/(2-cos 3x)
|
f '(- π/6) = ?
|
Л
|
f(x) = tg x
|
f '( π /6 ) = ?
|
Ответ: ФЛЮКСИЯ (слайд 13).
Какова история происхождения этого названия? (слайд 14,15)
Понятие производная возникло в связи с необходимостью
решения ряда задач физики, механики и математики. Честь открытия основных
законов математического анализа принадлежит английскому ученому Ньютону и немецкому математику
Лейбницу. Лейбниц рассматривал задачу о проведении касательной к произвольной
кривой.
Знаменитый физик Исаак Ньютон, родившейся в английской
деревушке Вульстроп, внес немалый вклад и в математику. Решая задачи на
проведение касательных к кривым, вычисляя площади криволинейных фигур, он
создал общий метод решения таких задач – метод флюксий
(производных), а саму производную называл флюентой.
Он вычислил производную и интеграл степенной функции. О
дифференциальном и интегральном исчислениях он пишет в своей работе «Метод флюксий»
(1665 – 1666гг.), послужившей одним из начал математического анализа,
дифференциального и интегрального исчисления, которое ученый разработал
независимо от Лейбница.
Многие ученые в разные годы интересовались касательной.
Эпизодически понятие касательной встречалось в работах итальянского
математика Н.Тартальи (ок. 1500 – 1557гг.) – здесь касательная появилась в
ходе изучения вопроса об угле наклона орудия, при котором обеспечивается
наибольшая данность полета снаряда. И. Кепплер рассматривал касательную в
ходе решения задачи о наибольшем объеме параллелепипеда, вписанного в шар
данного радиуса.
В 17 веке на основе учения Г.Галилея о движении активно
развилась кинематическая концепция производной. Различные варианты изложения
встречаются у Р.Декарта.
|
8.
Закрепление
|
(слайд 16-18).
1) Составить уравнение касательной к графику функции f(x)
= х² - 3х + 5 в точке с абсциссой а = -1.
Решение:
Составим уравнение касательной (по алгоритму). Вызвать
сильного ученика.
- а = -1;
- f(a) = f(-1) =
1 + 3 + 5 = 9;
- f '(x) = 2х –
3,
f '(a) = f '(-1) = -2 – 3 = -5;
- y = 9 – 5 · (x
+ 1),
y = 4 – 5x.
Ответ: y = 4 – 5x.
Задания ЕГЭ 2011 года В-8
1.Функция у = f(x) определена на промежутке (-3; 4). На
рисунке изображён её график и касательная к этому графику в точке с
абсциссой а = 1. Вычислите значение производной f'(x) в точке а= 1.
Решение: для решения необходимо вспомнить, что если
известны координаты каких-либо двух точек А и В, лежащих на данной прямой, то
её угловой коэффициент можно вычислить по формуле: к = , где (x1;у1),
(х2; у2)— координаты точек А, В соответственно. По
графику видно, что эта касательная проходит через точки с координатами (1;
-2) и (3; -1),
значит к=(-1-(-2))/(3-1)= 0,5.
к= fˈ(1)=0,5
2. Функция у = f(x) определена на промежутке (-3;4). На
рисунке изображён её график и касательная к этому графику в точке с
абсциссой а = -2. Вычислите значение производной f'(x) в точке а = -2.
Решение : график проходит через точки (-2;1) (0;-1) .
fˈ(-2)= -2
|
8.Домашнее
задание
|
(слайд 19).
Подготовка к ЕГЭ В-8 № 3 - 10
|
9.Самостоятельная работа
|
Напишите уравнение касательной к графику функции у=f(x) в точке с абсциссой а.
вариант 1 вариант 2
f(x) = х²+ х+1, а=1
f(x)= х-3х², а=2
ответы: 1 вариант: у=3х; 2 вариант: у= -11х+12
|
10. Подведение итогов.
|
ü
Что называется касательной к графику функции в
точке?
ü
В чём заключается геометрический смысл
производной?
ü
Сформулируйте алгоритм нахождения уравнения
касательной в точке?
|
Рефлексия деятельности на уроке
(мероприятии, занятии)
|
Выберете смайлик, соответствующий вашему настроению и
состоянию после проведенного урока. Спасибо за урок.
|
Дополнительная
необходимая информация
|
|
Ссылки на
использованные интернет-ресурсы
|
http://festival.1september.ru/articles/584315/
http://festival.1september.ru/articles/518318/
|
В
помощь учителю
|
Обоснование,
почему данную тему оптимально изучать с использованием медиа-, мультимедиа,
каким образом осуществить
|
Данная тема очень
объемна, за счет использования мультимедиа высвобождается достаточное
количество времени для отработки практических навыков, хорошо работает
принцип наглядности.
|
Советы по
логическому переходу от данного урока к последующим
|
На последующих
уроках желательно продолжить отработку навыков составления уравнения
касательной, желательно уделить время для решения тренировочных заданий В -8
из сборников по ЕГЭ.
|
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.