907007
столько раз учителя, ученики и родители
посетили сайт «Инфоурок»
за прошедшие 24 часа
+Добавить материал
и получить бесплатное
свидетельство о публикации
в СМИ №ФС77-60625 от 20.01.2015
Дистанционные курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации для педагогов

Дистанционные курсы для педагогов - курсы профессиональной переподготовки от 5.520 руб.;
- курсы повышения квалификации от 1.200 руб.
Престижные документы для аттестации

ВЫБРАТЬ КУРС СО СКИДКОЙ ДО 70%

ВНИМАНИЕ: Скидка действует ТОЛЬКО сейчас!

(Лицензия на осуществление образовательной деятельности № 5201 выдана ООО "Инфоурок")

ИнфоурокМатематикаПрезентацииУрок алгебры в 9 классе по теме "Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии"

Урок алгебры в 9 классе по теме "Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии"

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ

Выбранный для просмотра документ Арифметическая прогрессия1.docx

библиотека
материалов
Скачать материал целиком можно бесплатно по ссылке внизу страницы.


У р о к

сумма n первых членов Арифметической прогрессии




Цель урока: ознакомление учащихся с выводом формул суммы n первых членов арифметической прогрессии и формирование умения применения формул при решении задач.

Задачи урока:

  • Учебная: познакомить учащихся с формулой суммы n-первых членов арифметической прогрессии, создать условия для формирования умений решать задачи на применение

  • Воспитательная: воспитывать интерес к истории математики.

  • Развивающая: развивать любознательность и вычислительные навыки.

Оснащение урока: компьютер, мультимедийный проектор, интерактивная доска, демонстрационный материал для устного счета, презентация, раздаточный материал (кроссворд), дидактический материал (самостоятельная работа).

Ход урока

  1. Организационный момент.

  2. Устный счет.

  3. Повторение теоретического материала (кроссворд).

hello_html_7cb1a76c.png

  1. Актуализация опорных знаний (математическое лото).

Задание 1.

Из предложенных последовательностей выберите ту, которая может являться арифметической прогрессией:

1) 1; 2; 4; 9; 16… 2) 1; 11; 21; 31…

3) 2; 4; 8; 16…

Дополнительный вопрос. А почему остальные не могут являться арифметической прогрессией?



Задание 2.

Перед вами три числа. Какое из этих чисел является шестым членом последовательности натуральных чисел, кратных 5: 1) 25; 2) 30; 3) 20; ?

Задание 3. Чему равна разность арифметической прогрессии:

-2; 1; 4;

Задание 4. Укажите n-ый член арифметической прогрессии, если d=2, n=4, а1 =10

Задание 5. Найдите восьмой член последовательности, заданной формулой аn =n*(n-1)

Задание 6. Найдите двадцать третий член арифметической прогрессии ( ап ), если а1= 15 и d = 3.






IV. Объяснение нового материала (лекция).

1. Рассказать предание о маленьком Карле Гауссе, будущем немецком короле математики XIX века, решившем в возрасте 9 лет очень быстро задачу о нахождении суммы первых ста натуральных чисел. (Сообщение ученика).

2. Предложить найти сумму первых ста натуральных чисел; решить на доске эту задачу.

Задание 7.

Задача очень непроста:

Как сделать, чтобы быстро

От единицы и до ста

Сложить в уме все числа?

Пять первых связок изучи,

Найдешь к решению ключи!

Давным – давно сказал один мудрец, что прежде надо

Связать начало и конец

У численного ряда.

1) 5000; 2) 4949; 3) 5050; 4) 5151.


3. С помощью аналогичных рассуждений можно найти сумму первых членов любой арифметической прогрессии.

4. Вывод формулы суммы n первых членов арифметической прогрессии (аn):

(На интерактивной доске)


(I) hello_html_m73ce618f.gif

(II) hello_html_m63a24a5.gif

V.Обобщение (заполнение таблицы).

hello_html_m7e607f62.png

5. Разобрать решение примера 6 на с. 152–153 учебника.


III. Закрепление изученного материала.

1. Решить № 16.33 (в; г) с комментированием на месте.

в) hello_html_m67817223.gif S10 = –90.

г) hello_html_m69c9127d.gif S25 = 600.

2. Решить № 16.34 (в; г) на доске и в тетрадях.

в) hello_html_m78bcd921.gif S50 = 3175.

г) hello_html_m287c2f28.gif S50 = –245.

3. Решить № 16.35 (в; г) по формуле (II):

в) hello_html_m358d9e92.gif

г) hello_html_m34b76f58.gif

О т в е т: в) 2350; г) –6175.

4. Решить № 16.37 (в; г) на доске и в тетрадях.

в) аn = –2n + 8; а1 = –2 1 + 8 = 6; а30 = –2 30 + 8 = –52;

hello_html_m6987bb07.gif

г) аn = –2,5n – 6; а1 = –8,5; а30 = –2,5 30 – 6 = –81;

hello_html_40d156d4.gif

О т в е т: в) –690; г) –1342,5.

hello_html_c9b8f28.png

VI. Итог урока. Выставление отметок.

Домашнее задание: изучить по учебнику материал на с. 151–154 и записать в тетради решение примеров 7 и 8; решить № 16.33 (а; б) – 16.35 (а; б); № 16.37 (а; б).

VII.Рефлексия.  Закончить наш урок я хочу словами великого учёного  Фалеса:

 «Что есть больше всего на свете? - Пространство.

Что быстрее всего на свете? - Ум.

Что мудрее всего? - Время.

Что приятнее всего? – Достичь желаемого»  

 



Выбранный для просмотра документ Сумма n первых членов арифметической прогрессии.pptx

библиотека
материалов
Тема урока: Сумма n первых членов арифметической прогрессии
Цель урока: ознакомление учащихся с выводом формул суммы n первых членов ариф...
Задачи урока: Учебная: познакомить учащихся с формулой суммы n-первых членов...
Немного из истории Слово «прогрессия» латинского происхождения (progressio),...
Устный счет
р е д ы д у щ и й п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь р м о н н т н ы й р р у...
ИГРА «ЛОТО» Выбирай правильный ответ, и у тебя получится красивая картинка…...
Из предложенных последовательностей выберите ту, которая может являться арифм...
Какое из этих чисел является шестым членом последовательности натуральных чис...
Чему равна разность арифметической прогрессии: -2; 1; 4; 3 5 6 4 3 -1 5
5 6 4 -4 16 18 Укажите n-ый член арифметической прогрессии, если d=2, n=4, а...
Найдите восьмой член последовательности, заданной формулой аn =n*(n-1) 5 6 47...
Найдите двадцать третий член арифметической прогрессии ( ап ), если а1= 15 и...
Молодцы!
Из истории математики: С формулой суммы n первых членов арифметической прогре...
Когда ему было 9 лет, учитель, занятый проверкой работ учеников других класс...
Как Гауссу удалось так быстро сосчитать сумму такого большого количества чисел?
Попытаемся найти ответ на данный вопрос.
З А Д А Н И Е Задача очень непроста: Как сделать, чтобы быстро От единицы и...
Давным-давно сказал один мудрец Что прежде надо Связать начало и конец У числ...
Вот схема рассуждений Гаусса. 	Сумма чисел в каждой паре 101. Таких пар 50,...
Тема урока: Сумма n-первых членов арифметической прогрессии
аn) – арифметическая прогрессия. Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + … + an-1 + an, Sn =...
Арифметическая прогрессия Рекуррентная формула арифметической прогрессии an=...
Тренировочные упражнения: 1. (an) – арифметическая прогрессия. a1 = 6, a5 = 2...
Решение: Sn = (а1+а5) : 2 × 5 Теперь вычислим сумму пяти первых членов арифме...
2. (an) – арифметическая прогрессия. a1 = 12, d = - 3. Найти S16.
Решение: S16 = (а1+а16):2×16 Заметим, что в данной прогрессии не задан послед...
Работа по учебнику. Решить № 16.33 (в; г) с комментированием на месте. Решить...
Работа по учебнику. 1. Решить № 16.33 (в; г) с комментированием на месте. в)...
Самостоятельная работа: В ари ант 1. Найдите сумму двадцати одного члена ариф...
Домашнее задание изучить по учебнику материал на с. 151–154 и записать в тетр...
 «Что есть больше всего на свете? - Пространство. Что быстрее всего на свете...
Спасибо за урок!
Подумай ещё!

Описание презентации по отдельным слайдам:

1 слайд Тема урока: Сумма n первых членов арифметической прогрессии
Описание слайда:

Тема урока: Сумма n первых членов арифметической прогрессии

2 слайд Цель урока: ознакомление учащихся с выводом формул суммы n первых членов ариф
Описание слайда:

Цель урока: ознакомление учащихся с выводом формул суммы n первых членов арифметической прогрессии и формирование умения применения формул при решении задач.

3 слайд Задачи урока: Учебная: познакомить учащихся с формулой суммы n-первых членов
Описание слайда:

Задачи урока: Учебная: познакомить учащихся с формулой суммы n-первых членов арифметической прогрессии, создать условия для формирования умений решать задачи на применение Воспитательная: воспитывать интерес к истории математики. Развивающая: развивать любознательность и вычислительные навыки.

4 слайд Немного из истории Слово «прогрессия» латинского происхождения (progressio),
Описание слайда:

Немного из истории Слово «прогрессия» латинского происхождения (progressio), буквально означает «движение вперед» ( как и слово «прогресс») и встречается впервые у римского автора Боэция (V-VI вв.). Правило для нахождения суммы членов произвольной арифметической прогрессии даётся в «Книге абака» (1202г.) Леонардо Фибоначчи.

5 слайд Устный счет
Описание слайда:

Устный счет

6 слайд р е д ы д у щ и й п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь р м о н н т н ы й р р у
Описание слайда:

р е д ы д у щ и й п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь р м о н н т н ы й р р у к е р ч е н о к а я о л ь ь с о н з а р ч и т е м ф и р а л н ы ч Проверь себя По горизонтали Первый из двух стоящих рядом членов последовательности 2. Разность последовательно одинаковых членов 3. Способ задания последовательности 4. Число в арифметической прогрессии 5. Элементы, из которых состоит последовательность 6. Натуральное число, обозначающее место члена в последовательности По вертикали 1. Функция, заданная на множестве натуральных чисел 7.  Вид прогрессии 8. Последовательность, содержащая конечное число членов с к а я 1 2 3 4 5 6 7 8

7 слайд ИГРА «ЛОТО» Выбирай правильный ответ, и у тебя получится красивая картинка…
Описание слайда:

ИГРА «ЛОТО» Выбирай правильный ответ, и у тебя получится красивая картинка… Начинаем

8 слайд Из предложенных последовательностей выберите ту, которая может являться арифм
Описание слайда:

Из предложенных последовательностей выберите ту, которая может являться арифметической прогрессией. 1 2 3 5 6 4 1; 2; 4; 9; 16… 1; 11; 21; 31… 2; 4; 8; 16…

9 слайд Какое из этих чисел является шестым членом последовательности натуральных чис
Описание слайда:

Какое из этих чисел является шестым членом последовательности натуральных чисел, кратных 5 2 3 5 6 4 20 25 30

10 слайд Чему равна разность арифметической прогрессии: -2; 1; 4; 3 5 6 4 3 -1 5
Описание слайда:

Чему равна разность арифметической прогрессии: -2; 1; 4; 3 5 6 4 3 -1 5

11 слайд 5 6 4 -4 16 18 Укажите n-ый член арифметической прогрессии, если d=2, n=4, а
Описание слайда:

5 6 4 -4 16 18 Укажите n-ый член арифметической прогрессии, если d=2, n=4, а1 =10

12 слайд Найдите восьмой член последовательности, заданной формулой аn =n*(n-1) 5 6 47
Описание слайда:

Найдите восьмой член последовательности, заданной формулой аn =n*(n-1) 5 6 47 36 56

13 слайд Найдите двадцать третий член арифметической прогрессии ( ап ), если а1= 15 и
Описание слайда:

Найдите двадцать третий член арифметической прогрессии ( ап ), если а1= 15 и d = 3. 81 396 84 6

14 слайд Молодцы!
Описание слайда:

Молодцы!

15 слайд Из истории математики: С формулой суммы n первых членов арифметической прогре
Описание слайда:

Из истории математики: С формулой суммы n первых членов арифметической прогрессии был связан эпизод из жизни немецкого математика К. Ф. Гаусса (1777 – 1855).

16 слайд Когда ему было 9 лет, учитель, занятый проверкой работ учеников других класс
Описание слайда:

Когда ему было 9 лет, учитель, занятый проверкой работ учеников других классов, задал на уроке следующую задачу: «Сосчитать сумму натуральных чисел от 1 до 100 включительно: 1 + 2 + 3 + … +100. Каково же было удивление учителя, когда один из учеников (это был Гаусс) через минуту воскликнул: «Я уже решил…» Большинство учеников после долгих подсчетов получили неверный результат. В тетради Гаусса было написано одно число и притом верное.

17 слайд Как Гауссу удалось так быстро сосчитать сумму такого большого количества чисел?
Описание слайда:

Как Гауссу удалось так быстро сосчитать сумму такого большого количества чисел?

18 слайд Попытаемся найти ответ на данный вопрос.
Описание слайда:

Попытаемся найти ответ на данный вопрос.

19 слайд З А Д А Н И Е Задача очень непроста: Как сделать, чтобы быстро От единицы и
Описание слайда:

З А Д А Н И Е Задача очень непроста: Как сделать, чтобы быстро От единицы и до ста Сложить в уме все числа? Пять первых связок изучи, Найдешь к решению ключи! 101 101 101 101 101

20 слайд Давным-давно сказал один мудрец Что прежде надо Связать начало и конец У числ
Описание слайда:

Давным-давно сказал один мудрец Что прежде надо Связать начало и конец У численного ряда.

21 слайд Вот схема рассуждений Гаусса. 	Сумма чисел в каждой паре 101. Таких пар 50,
Описание слайда:

Вот схема рассуждений Гаусса. Сумма чисел в каждой паре 101. Таких пар 50, поэтому искомая сумма равна 101×50 = 5050. Попытаемся понять как ему это удалось. Выведем формулу суммы n первых членов арифметической прогрессии.

22 слайд Тема урока: Сумма n-первых членов арифметической прогрессии
Описание слайда:

Тема урока: Сумма n-первых членов арифметической прогрессии

23 слайд аn) – арифметическая прогрессия. Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + … + an-1 + an, Sn =
Описание слайда:

аn) – арифметическая прогрессия. Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + … + an-1 + an, Sn = an + an-1 +an-2 + an-3 + … =a2 + a1 a2 + an-1 = (a1 + d) + (an – d) = a1 + an, a3 + an-2 = (a2 + d) + (an-1 – d) = a2 + an-1 = a1 + an, a4 + an-3 = (a3 + d) + (an-2 – d) = a3 + an-2 = a1 + an и т.д. 2Sn = (a1 + an)n.   Sn = (a1 + an)n : 2 – формула суммы n первых членов арифметической прогрессии. Sn = (a1 + an)n : 2 , an = a1 + d(n – 1) Sn = (a1 + a1 + d(n-1))n : 2 = (2a1 + d(n – 1))n : 2   Sn = (2a1 + d(n – 1))n : 2 – формула суммы n первых членов арифметической прогрессии.

24 слайд Арифметическая прогрессия Рекуррентная формула арифметической прогрессии an=
Описание слайда:

Арифметическая прогрессия Рекуррентная формула арифметической прогрессии an=an-1+d Формулаn –го члена арифметической прогрессии an=a1+(n-1)d Характеристическоесвойствоарифметической прогрессии Формула суммыnпервых членов арифметической прогрессии

25 слайд Тренировочные упражнения: 1. (an) – арифметическая прогрессия. a1 = 6, a5 = 2
Описание слайда:

Тренировочные упражнения: 1. (an) – арифметическая прогрессия. a1 = 6, a5 = 26. Найти S5.

26 слайд Решение: Sn = (а1+а5) : 2 × 5 Теперь вычислим сумму пяти первых членов арифме
Описание слайда:

Решение: Sn = (а1+а5) : 2 × 5 Теперь вычислим сумму пяти первых членов арифметической прогрессии: S5 = (6+26) : 2 × 5=80. Ответ: 80.

27 слайд 2. (an) – арифметическая прогрессия. a1 = 12, d = - 3. Найти S16.
Описание слайда:

2. (an) – арифметическая прогрессия. a1 = 12, d = - 3. Найти S16.

28 слайд Решение: S16 = (а1+а16):2×16 Заметим, что в данной прогрессии не задан послед
Описание слайда:

Решение: S16 = (а1+а16):2×16 Заметим, что в данной прогрессии не задан последний член этой суммы. Найдем 16 член прогрессии: а16 = 12+ 15×(-3) =12+(-45) =-33 Теперь вычислим сумму: S16 = (12+ (-33)) ×16: 2 = (-21) ×8 = -168. Ответ: -168. При решении таких задач можно воспользоваться второй формулой S16 =(2а1 +d( n -1)):2×16 =(2×12+15×(-3)):2×16 =-21:2×16 = -168. Ответ: - 168.

29 слайд Работа по учебнику. Решить № 16.33 (в; г) с комментированием на месте. Решить
Описание слайда:

Работа по учебнику. Решить № 16.33 (в; г) с комментированием на месте. Решить № 16.35 (в; г) по формуле (II): Решить № 16.37 (в; г) на доске и в тетрадях.

30 слайд Работа по учебнику. 1. Решить № 16.33 (в; г) с комментированием на месте. в)
Описание слайда:

Работа по учебнику. 1. Решить № 16.33 (в; г) с комментированием на месте. в) S10 = –90. г) S25 = 600. 3. Решить № 16.35 (в; г) по формуле (II): О т в е т: в) 2350; г) –6175. 4. Решить № 16.37 (в; г) на доске и в тетрадях. в) аn = –2n + 8; а1 = –2 × 1 + 8 = 6; а30 = –2 × 30 + 8 = –52; г) аn = –2,5n – 6; а1 = –8,5; а30 = –2,5 × 30 – 6 = –81; О т в е т: в) –690; г) –1342,5.

31 слайд Самостоятельная работа: В ари ант 1. Найдите сумму двадцати одного члена ариф
Описание слайда:

Самостоятельная работа: В ари ант 1. Найдите сумму двадцати одного члена арифметической прогрессии (ап), еслиа1= 15иd= 3. Найдите сумму первых шестидесяти членов последовательности (bn), заданной формулой bn= 3n – 1. В ари ант 2. Найдите сумму шестнадцати членов арифметической прогрессии (ап),еслиа1= 70иd= -3. Найдите сумму первых сорока членов последовательности (bn),заданной формулой bn= 4n – 2.

32 слайд Домашнее задание изучить по учебнику материал на с. 151–154 и записать в тетр
Описание слайда:

Домашнее задание изучить по учебнику материал на с. 151–154 и записать в тетради решение примеров 7 и 8; решить № 16.33 (а; б) – 16.35 (а; б); № 16.37 (а; б).

33 слайд  «Что есть больше всего на свете? - Пространство. Что быстрее всего на свете
Описание слайда:

 «Что есть больше всего на свете? - Пространство. Что быстрее всего на свете? - Ум. Что мудрее всего? - Время. Что приятнее всего? – Достичь желаемого»    

34 слайд Спасибо за урок!
Описание слайда:

Спасибо за урок!

35 слайд Подумай ещё!
Описание слайда:

Подумай ещё!

Выбранный для просмотра документ Арифметическая прогрессия.docx

библиотека
материалов
Скачать материал целиком можно бесплатно по ссылке внизу страницы.

Арифметическая прогрессия
(4 ч)

У р о к 1

Цели: дать определение арифметической прогрессии; вывести формулу n-го члена арифметической прогрессии.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

1. Собрать листочки с домашней контрольной работой.

2. Решить на доске задания, вызвавшие затруднения у учащихся в домашней работе.

II. Изложение нового материала (лекция).

1. З а д а ч а. Бригада стеклодувов изготовила в январе 80 изделий, а в каждый следующий месяц изготовляла на 17 изделий больше, чем в предыдущий. Сколько изделий изготовила бригада в июне?

2. Определение арифметической прогрессии.

Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного и того же числа d, называют арифметической прогрессией, а число dразностью арифметической прогрессии.

3. Таким образом, арифметическая прогрессия – это числовая последовательность (an), заданная рекуррентно соотношениями:

a1 = a, an = an – 1 + d (n = 2; 3; 4; …)

4. Решить № 16.1 и № 16.3 устно. Формула разности арифметической прогрессии d = a2a1 = a3a2 = a4a3 = …

5. Арифметическая прогрессия является возрастающей последовательностью, если d > 0, и убывающей, если d < 0. Рассмотреть решение примеров 1 и 2 на с. 146 учебника.

6. Обозначение арифметической прогрессии: а1, а2, а3, … аn

7. Решить № 16.4 (в; г) и № 16.5 (в; г).

8. Задание арифметической прогрессии, о котором идет речь в определении, является рекуррентным. Во многих случаях оно неудобно: чтобы вычислить, например, а100, надо предварительно найти предшествующие 99 членов последовательности. Эту вычислительную работу можно существенно упростить, если удастся найти формулу n-го члена, то есть перейти к аналитическому заданию арифметической прогрессии.

9. Вывод формулы n-го члена арифметической прогрессии:

an = a1 + (n – 1)d.

Разобрать решение примеров 1, 2 на с. 148–149 учебника.

10. Формулу n-го члена арифметической прогрессии

an = a1 + (n – 1)d

можно записать иначе:

an = dn + (a1d).

Введем обозначения:

аn = y, a1d = m.

Получим y = dn + m, или y = dx + m, x hello_html_m315b8ec8.gifN.

Значит, арифметическую прогрессию можно рассматривать как линейную функцию (у = dx + m), заданную на множестве N натуральных чисел.

Рассмотреть график арифметической прогрессии – рис. 126 на с. 148 учебника.

III. Закрепление изученного материала.

1. Решить № 16.7 (в; г).

в) 100; 90; 80; 70; … Найти d и а10.

а1 = 10; а2 = 90; d = а2а1 = 90 – 100 = –10; d = –10;

а10 = а1 + 9d = 100 + 9 (–10) = 100 – 90 = 10; а10 = 10.

г) 3; hello_html_650177d7.gif hello_html_m30f95d3d.gif hello_html_3bbaeecc.gif … Найти d и а10.

hello_html_m63377e8.gif

2. Решить № 6.14 (в; г) с комментированием на месте.

в) 7; 5; 3; 1; … Найти аn.

а1 = 7; а2 = 5; d = 5 – 7 = –2; аn = a1 + d(n – 1) = 7 – 2(n – 1) = 7 – 2n +
+ 2 = 9 – 2
n.

О т в е т: аn = 9 – 2n.

г) –1; hello_html_m732d6eea.gif hello_html_709ace93.gif hello_html_5488e4aa.gifd = hello_html_m1ba716df.gif аn = –1 – hello_html_mdba96ea.gif (n – 1) = – 1 – hello_html_78838608.gif hello_html_m678cf607.gif

О т в е т: аn = hello_html_m2518cf94.gif

3. Решить № 16.16 (в; г) самостоятельно.

в) a17 = a1 + 16d = –12 + 16 2 = –12 + 32 = 20; a17 = 20.

г) a9 = a1 + 8d = 101 + 8 hello_html_m7fe0265e.gif = 105.

О т в е т: а9 = 105.

IV. Итог урока.

1. Сформулируйте определение арифметической прогрессии.

2. Какой функцией можно рассматривать арифметическую прогрессию.

Домашнее задание: изучить материал на с. 145–149 учебника; решить № 16.4 (а; б); №; 16.6; № 16.7 (а; б); № 16.14 (а; б); № 16.16 (а; б).

У р о к 2

Цели: учить учащихся решать задачи, используя формулу n-го члена арифметической прогрессии.

Ход урока

I. Актуализация опорных знаний учащихся.

1. Сформулируйте определение арифметической прогрессии. Какое число называют разностью арифметической прогрессии?

2. Решить № 16.2 устно.

3. Один учащийся на доске выводит формулу n-го члена арифметической прогрессии.

4. Решить № 16.24 (а) и № 16.5 (а; б), записывая решение только на доске, обсуждая решение со всем классом.

II. Выполнение упражнений. Решение задач.

1. Решить № 16.8 на доске и в тетрадях.

хn = 5n + 3; х1 = 5 1 + 3 = 8; х2 = 13; х3 = 18; х4 = 23; х5 = 28…

Имеем: 8; 13; 18; 23; 28; … арифметическая прогрессия. Первый член равен 8, разность 5.

2. Решить № 16.17 (в; г). Найти разность d.

в) а1 = –8; а11 = –28; а11 = а1 + 10d; –28 = – 8 + 10d; –20 = 10d; d = –2.

О т в е т: –2.

г) а11 = 4,6; а36 = 54, 6.

Решим систему уравнений:

hello_html_af39899.gif

О т в е т: 2.

3. Решить № 16.18 (в; г). Найти первый член а1.

в) а26 = –71; d = –3; а26 = а1 + 25d; –71 = а1 + 25 (–3); –71 = а1 – 75;
а1 = 4.

О т в е т: 4.

г) а14 = hello_html_m11a6bdb2.gifd = hello_html_m6a977215.gif

а14 = а1 + 13d; hello_html_m4e173004.gif

hello_html_323a1cc0.gif

О т в е т: hello_html_7438a25b.gif

4. Решить с комментированием на месте.

an = –0,1n + 3;

а1 = –0,1 1 + 3 = 2,9; а2 = –0,1 2 + 3 = 2,8;

d = а2а1 = 2,8 – 2,9 = –0,1; d = –0,1.

О т в е т: а1 = 2,9; d = –0,1.

аn = 5 – 2n;

а1 = 5 – 2 1 = 3; а2 = 5 – 2 2 = 1; d = 1 – 3= –2; d = –2.

О т в е т: а1 = 3; d = –2.

5. Решить № 16.19 (б) на доске и в тетрадях.

3; 7; 11; …

аn = 43.

Найти номер n.

аn = а1 + d(n – 1); 43 = 3 + 4(n – 1);

d = 7 – 3 = 4; d = 4; 43 = 3 + 4n – 4; 4 n = 44; n = 11.

О т в е т: 11.

6. Решить № 16.20 (б) с комментированием на месте.

7,5; 11; 14,5; …

Является ли аn = 43,5?

а1 = 7,5; а2 = 11; d = 11 – 7,5 = 3,5;

аn = а1 + d(n – 1); 43,5 = 7,5 + 3,5(n – 1);

43,5 – 7,5 + 3,5 = 3,5n; 39,5 = 3,5n; hello_html_m9c2330d.gif

О т в е т: не является.

7. Решить № 16.21 (б) самостоятельно с проверкой.

б) а1 = 3; d = –6; аn = – 33?

an = a1 + (n – 1)d; –33 = 3 – 6 (n – 1); –33 = 3 – 6n + 6;

42 = –6n; n = 7.

О т в е т: является.

8. Решить задачу № 16.31. Решение объясняет учитель.

hello_html_6956efcb.gif

hello_html_3e239760.gif

Решим уравнение 0,75d2 – 18d + 60 = 0 | hello_html_m16e4f06c.gif

d2 – 24d + 80 = 0; d1 = 20; d2 = 4.

Если d = 20, то а1 = 9 – 50 = –41; а2 = –41 + 20 = –21 hello_html_m67830e63.gifN, но по условию а2 – натуральное число.

Если d = 4, то а1 = 9 – 10 = – 1; а2 = –1 + 4 = 3; а2 hello_html_m315b8ec8.gifN.

Найдем прогрессию: –1; 3; 7; 11; 15; …

9. Повторение ранее изученного материала.

Решить № 21 (а; б) на с. 7 из «Задачи на повторение». Вспомнить правило умножения и деления дробей.

III. Итог урока.

Домашнее задание: изучить по учебнику на с. 149–151 решение при-
меров 4 и 5 и записать решения в тетрадь; решить № 16.9; № 16.17 (а; б);
№ 16.19 (а); № 16.21 (а); № 16.30.

У р о к 3

Цели: вывести формулу суммы n первых членов арифметической прогрессии и научить применять ее при решении упражнений.

Ход урока

I. Самостоятельная работа (15 мин).

В а р и а н т I

1. В арифметической прогрессии известны а1 = –1,2 и d = 3. Найдите
а4; а8; а21.

2. Найдите разность арифметической прогрессии (аn), если а1 = 2;
а11 = –5.

3. В арифметической прогрессии известны а1 = –12 и d = 3. Найти номер члена прогрессии, равного 9.

4. Выписали двадцать членов арифметической прогрессии 6,5; 8; … Встретится ли среди них число 36?

В а р и а н т II

1. В арифметической прогрессии (аn) известны а1 = –0,8 и d = 4. Найдите а3; а7; а24.

2. Найдите разность арифметической прогрессии (аn), если а1 = 4;
а18 = –11.

3. В арифметической прогрессии известны а1 = 14 и d = 0,5. Найти номер члена прогрессии, равного 34.

4. Выписали двадцать членов арифметической прогрессии 18; 4; … Встретится ли среди них число –38?

II. Объяснение нового материала (лекция).

1. Рассказать предание о маленьком Карле Гауссе, будущем немецком короле математики XIX века, решившем в возрасте 5 лет очень быстро задачу о нахождении суммы первых ста натуральных чисел.

2. Предложить учащимся найти сумму первых ста натуральных чисел; решить на доске эту задачу.

3. С помощью аналогичных рассуждений можно найти сумму первых членов любой арифметической прогрессии.

4. Вывод формулы суммы n первых членов арифметической прогрессии (аn):

(I) hello_html_m73ce618f.gif

(II) hello_html_m63a24a5.gif

5. Разобрать решение примера 6 на с. 152–153 учебника.

III. Закрепление изученного материала.

1. Решить № 16.33 (в; г) с комментированием на месте.

в) hello_html_m67817223.gif S10 = –90.

г) hello_html_m69c9127d.gif S25 = 600.

2. Решить № 16.34 (в; г) самостоятельно.

в) hello_html_m78bcd921.gif S50 = 3175.

г) hello_html_m287c2f28.gif S50 = –245.

3. Решить № 16.35 (в; г) по формуле (II):

в) hello_html_m358d9e92.gif

г) hello_html_m34b76f58.gif

О т в е т: в) 2350; г) –6175.

4. Решить № 16.37 (в; г) на доске и в тетрадях.

в) аn = –2n + 8; а1 = –2 1 + 8 = 6; а30 = –2 30 + 8 = –52;

hello_html_m6987bb07.gif

г) аn = –2,5n – 6; а1 = –8,5; а30 = –2,5 30 – 6 = –81;

hello_html_40d156d4.gif

О т в е т: в) –690; г) –1342,5.

5. Решить № 16.39. Решение объясняет учитель.

hello_html_1927e7e5.gif

hello_html_53cda8f3.gif

О т в е т: 122,5.

6. Решить задачу № 16.65. Учитель помогает ученикам при решении задачи.

а1 = 30 см; d = 5 см; S = 5,25 м = 525 см. Найдем n.

hello_html_22dd2759.gif

1050 = (55 + 5n) n; 5n2 + 55n – 1050 = 0; n2 + 11n – 210 = 0;

n1 = 10, n2 = –21 hello_html_m67830e63.gif N.

О т в е т: 10 минут.

IV. Итог урока. Выставление отметок.

Домашнее задание: изучить по учебнику материал на с. 151–154 и записать в тетради решение примеров 7 и 8; решить № 16.33 (а; б) – 16.35 (а; б); № 16.37 (а; б); № 16.66.

У р о к 4

Цели: изучить характеристическое свойство арифметической прогрессии; способствовать выработке навыков и умений решения задач с использованием формул суммы n первых членов арифметической прогрессии; закрепить изученный материал.

Ход урока

I. Анализ самостоятельной работы.

1. Указать ошибки, сделанные учащимися при выполнении работы.

2. Решить на доске задания, вызвавшие затруднения у учащихся.

3. Проверить решение домашней задачи № 16.66.

Р е ш е н и е

а1 = 1400; d = –100; S = 5000. Найдем n.

hello_html_503b695.gif10000 = 2900n – 100n2;

n2 – 29n + 100 = 0; n1 = 4; n2 = 25.

По смыслу задачи из двух найденных значений n выбираем n = 4.

О т в е т: 4 дня.

II. Работа по учебнику.

1. Пусть дана арифметическая прогрессия (аn). Рассмотрим три ее члена, следующие друг за другом: аn – 1; аn; аn + 1. Известно, что аnd = аn – 1; аn + d = an + 1.

Сложив эти равенства, получим hello_html_19a35e58.gif при любом n >1.

2. Прочитать по учебнику формулировку этого утверждения и ему обратного (с. 155).

3. Формулировка теоремы, выражающей характеристическое свойство арифметической прогрессии.

4. Разобрать по учебнику на с. 155–156 решение примера 9.

III. Выполнение упражнений.

1. Решить № 16.40 устно, используя характеристическое свойство арифметической прогрессии:

а) hello_html_m21aad638.gif тогда hello_html_1cdfd529.gif

б) hello_html_1df36a34.gif тогда а18 + а20 = 2 а19 = 2 5 = 10;

в) а6 + а8 = 2 а7 = 2 4 = 8;

г) hello_html_1dc97d5a.gif

О т в е т: а) 61; б) 10; в) 8; г) –1.

2. Решить № 16.42 (б) с комментированием на месте.

Если а14 + а16 = –20, то а15 = –20 : 2 = –10;

Если а29 + а31 = 40, то а30 = 40 : 2 = 20;

Найдем а15 + а30 = –10 + 20 = 10.

О т в е т: 10.

3. Решить № 16.44 на доске и в тетрадях.

Согласно характеристическому свойству, заданные выражения должны удовлетворять соотношению

hello_html_73bb7bc5.gif2у = 5у – 3; 3у = 3; у = 1.

О т в е т: 1.

4. Решить № 16.46. Решение объясняет учитель.

а) Речь идет о сумме членов конечной арифметической прогрессии 104; 112; 120; … 992. У этой прогрессии а1 = 104; аn = 992; d = 8. Сначала найдем n (количество членов прогрессии):

аn = а1 + (n –1)d; 992 = 104 + (n – 1) 8;

992 = 8n + 96; n = 112.

Имеем hello_html_m3e7e1aa6.gif

О т в е т: 61376.

б) Речь идет о сумме членов конечной арифметической прогрессии 101; 113; 125; 137; …; 989.

а1 = 101; d = 12; аn = 989. Найдем n.

аn = а1 + (n – 1)d; 989 = 101 + (n –1) 12; 12n = 900; n = 75.

Найдем hello_html_m5b4cb212.gif

О т в е т: 40875.

5. Решить № 16.48 (б; г) на доске и в тетрадях.

б) а9 = –30; а19 = –45. Найдем аn.

hello_html_m9905536.gif

аn = а1 + (n – 1)d = –18 + (n – 1)(–1,5) = –1,5n – 16,5.

г) а5 = 0,2; а16 = –7,5. Найдем an.

hello_html_58c449c5.gif

аn = 3 – 0,7(n – 1).

О т в е т: б) –18 – 1,5(n – 1); г) 3 – 0,7(n – 1).

6. Решить № 16.68. Решение объясняет учитель.

Используя характеристическое свойство арифметической прогрессии, получаем уравнение hello_html_m3416a32a.gif hello_html_1c5d48bd.gif х – 3 =
= (
х – 5)2; х2 – 11х + 28 = 0; х1 = 7; х2 = 4 – посторонний корень, не удовлетворяющий иррациональному уравнению hello_html_1ad3fdad.gif

О т в е т: 7.

IV. Итог урока.

Домашнее задание: повторить материал на с. 145–156; решить
№ 16.42 (а); 16.43; № 16.48 (а; в); 16.36 (а; б); 16.47 (в).



Общая информация

Номер материала: ДБ-399377

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Табличный процессор MS Excel в профессиональной деятельности учителя математики»
Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»

Благодарность за вклад в развитие крупнейшей онлайн-библиотеки методических разработок для учителей

Опубликуйте минимум 3 материала, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную благодарность

Сертификат о создании сайта

Добавьте минимум пять материалов, чтобы получить сертификат о создании сайта

Грамота за использование ИКТ в работе педагога

Опубликуйте минимум 10 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Свидетельство о представлении обобщённого педагогического опыта на Всероссийском уровне

Опубликуйте минимум 15 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данное cвидетельство

Грамота за высокий профессионализм, проявленный в процессе создания и развития собственного учительского сайта в рамках проекта "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 20 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Грамота за активное участие в работе над повышением качества образования совместно с проектом "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 25 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Почётная грамота за научно-просветительскую и образовательную деятельность в рамках проекта "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 40 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную почётную грамоту

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.