Урок алгебры в 8 классе по теме: "Квадратные уравнения. Основные понятия.Методы решения. Решение неполных квадратных уравнений".

Конспект урока

по теме:

«Квадратные уравнения.

Основные понятия».

8 класс

Учитель:

Елена Викторовна Лемешко

Тема: Квадратные уравнения. Основные понятия.

Цели: Повторить известные ранее и изучить новые понятия, связанные с темой: «Квадратные уравнения и методы их решения», ознакомить учащихся с аналитическим методом решения неполных квадратных уравнений; выявить необходимость алгоритмического решения квадратных уравнений, не зависящего от эвристик метода разложения на множители и от ненадежности и приблизительности графического метода.

Ход урока:

1.      Повторение определения квадратного уравнения.

2.      Введение новых понятий.

3.      Разбор методов решения квадратных уравнений:

-графический (повторение)

-аналитический

·         Аналитические метод решения квадратных уравнений.

·         Выявление необходимости в универсальном способе решения любых квадратных уравнений

     4. Итоги урока.

     5. Домашнее задание.

Подробный конспект хода урока.

1.Вопросы классу:

a)   Как называются многочлены вида , где коэффициенты a, b, c – любые действительные числа, причем, а=0?

b)      Какое уравнение называют квадратным?

Устно (записи на доске):

Являются ли данные уравнения квадратными? Если да, то чему равны a, b и c?

1)   2)   3)  4)

5) ;  6)   7)*

2. Введение новых понятий.

Настало время изучить квадратные уравнения более детально.

Определение №1:

Квадратное уравнение называется приведенным, если старший коэффициент равен 1 и соответственно неприведенным, если он отличается от 1.

Примеры:

а) (неприведенное); б) (приведенное).

Вопрос:

Какие из следующих уравнений являются приведенными? В случае неприведенного квадратного уравнения, выполните такие его преобразования, чтобы оно стало приведенным.

Устно (запись на доске).

а) б) в) 

г); д)

Определение №2:

         Полное квадратное уравнение - это квадратное уравнение, в котором присутствуют все три слагаемых, т.е. это уравнение вида  где, а≠0; b≠0; c≠0.

Неполное квадратное уравнение - это квадратное уравнение, в котором присутствуют не все три слагаемых (т.е. это уравнение с различными комбинациями равенства нулю коэффициентов b и c, но а).

Устно (записи на доске).

                Какие из следующих уравнений являются неполными?

а) ; б)   в)  =; г) .

4. Итоги урока.

Итак, наши успехи в решении квадратных уравнений зависят от наличия двух благоприятных обстоятельств:

1. Квадратный трехчлен удается разложить на множители

2. Графики, которые мы используем для графического решения уравнения,  пересекаются в «хороших» точках.

Но рассмотрим пример:

Пример:      

3. Например, отыскание абсцисс точек пересечения гиперболы  и прямой

Пример:       

Недостатки метода:

В большинстве случаев даёт представление лишь о приближённых значениях корней, т.е. этот метод не даёт стопроцентной гарантии решения любого квадратного уравнения.

Аналитический метод

Нам давно знаком метод разложения многочлена на множители, которые в ряде случаев также даёт возможность решить квадратное уравнение.

Остановимся сначала на аналитическом методе решения неполных квадратных уравнений:

• Если , то уравнение имеет вид:  |

Ответ:

• Если , то уравнение имеет вид:

 или

Ответ: ,

• Если , , , то уравнение имеет вид:

;

;

;

a.    Если , то уравнение корней не имеет.

b.   Если , то пусть , тогда

Примеры:

1. 

;

Ответ:

2. а)

 или

Ответ:

б)        Варианты оформления решения:

                1 вариант                                                  2 вариант

                                                      

                 или                             

                                                                             или     

                            Ответ: ;                                                                       

                                                                                               Ответ: ; .

3.   a)                                                         б)
                                                               
                                                                 
Ответ: уравнение корней                                       
не имеет                                                                    ;   
                                                                                   Ответ:    

Теперь рассмотрим решение полного квадратного уравнения:

Пример:

1 способ Разложим многочлен  на множители с помощью группировки.

Т.о.
         или

                                                       

Ответ:

2 способ Разложим квадратный трёхчлен  на множители, используя метод выделения полного квадрата.

Т.о.

Далее аналогично.

Метод разложения на множители в данном случае не применим, да и графический метод дает представление лишь о приближенных значениях корней. Т.о. появляется необходимость найти алгоритм решения квадратных уравнений, не зависящий от эвристик метода разложения на множители и от ненадежности, приблизительности графического метода.

Итак, на следующем уроке, мы познакомимся с универсальным способом, пригодным для решения любых квадратных уравнений.

5. Домашнее задание (на доске):

№955 (устно)- подготовка к математическому диктанту

№966 (б)   1. Разложением на множители

                     2. Графически

№958-№962(в,г);

№963* (г) (прокомментирован учителем)

Краткое описание документа:

Материал данного урока содержит начальные сведения, касающиеся темы "Квадратные уравнения". Изучение темы начинается с основных понятий, рассмотрения методов решения квадратных уравнений (графический и аналитический), а так же разбирается решение неполных квадратных уравнений.

Цель: Повторить известные ранее и изучить новые понятия, связанные с темой: «Квадратные уравнения и методы их решения», ознакомить учащихся с аналитическим методом решения неполных квадратных уравнений; выявить необходимость алгоритмического решения квадратных уравнений, не зависящего от метода разложения на множители и от ненадежности и приблизительности графического метода.

Ход урока:

• Повторение определения квадратного уравнения.
• Введение новых понятий.
• Разбор методов решения квадратных уравнений:

-графический (повторение)

-аналитический

• Аналитические метод решения квадратных уравнений.
• Выявление необходимости в универсальном способе решения любых квадратных уравнений