Урок алгебры в 11 классе по теме "Решение показательных уравнений"

Демиденко Н. И. Учитель математики МАОУ СОШ №7

 Ст. Переясловской Краснодарского края. Показательная функция. Решение показательных уравнений. Урок алгебры в 11 классе

Пояснительная записка

1.     Автор (полностью фамилия, имя, отчество, должность, предмет):

   Демиденко Наталья Ивановна, учитель математики

2.     Образовательное учреждение (полное название), регион

         Муниципальное образование Брюховецкий район Краснодарского края

         муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

         средняя общеобразовательная школа № 7

         ст. Переясловской

3.     Предмет, класс, в котором используется продукт:

Алгебра, 11 класс.

4.     Авторы учебника, учебно-методического комплекса

Мордкович А. Г. «Алгебра» 11 класс, профильный уровень.

5.     Тема урока (уроков):

Урок разноуровневого обобщающего повторения «Показательная функция. Решение показательных уравнений»

6.     Необходимое оборудование и материалы для занятия: 

Мультимедийное устройство.

7.     Описание мультимедийного продукта (медиапродукта): среда, редактор, в котором выполнен продукт, вид продукта: 

Презентация PowerPoint 2003

8.     Структура, краткое описание содержания, системы навигации (можно сделать схему):  

    Урок  обобщения и систематизации знаний.

9.     Цель урока:

Обобщить знание основных свойств показательной функции, повторить способы решения показательных уравнений базового и повышенного уровня сложности, проконтролировать усвоение данного материала.

• 1 слайд

  Учитель математики
  МАОУ СОШ №7
  Демиденко Н. И.
  Ст. Переясловская 2016 год
  Устная работа по теме
  «Показательная функция»
  

• 2 слайд

  На одном из рисунков изображён график
  
  функции
  Укажите номер этого рисунка
  

• 3 слайд

  2. График какой функции изображён на рисунке?
  1)
  2)
  3)
  4)
  

• 4 слайд

  3. Укажите множество значений функции
  1). 2) 3) 4)
  4. Какое из следующих чисел входит в множество
  значений функции
  ?
  1) 3 2) 4 3) 5 4) 6
  

• 5 слайд

  5. Какое из следующих чисел не входит
  в множество значений функции
  ?
  1) -1 2) 0 3) 1 4) 2
  6. Укажите характер монотонности функций:
  а) y=2x+3; б) y=3-x -4; в) y=0,5x+2; г) y=ex; д) y=0,1-x+5;
  
  

Список литературы

1.                Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. Ч. 2. Учебник для  11 класса, профильный уровень, Москва: Мнемозина, 20014.

2.                Семенов П.В. Алгебра и начала анализа. ЕГЭ шаг за шагом, Москва: Мнемозина, 20012.

3.                Семенко Е. А. Тестовые контрольные задания по алгебре и началам анализа. Базовый уровень. Краснодар: «Просвещение – Юг», 20012.

4.                Семенко Е. А. Готовимся к ЕГЭ по математике. Обобщающее повторение курса алгебры и начала анализа. Краснодар: «Просвещение – Юг», 20012. Ч. 1.

5.                Семенко Е. А. Готовимся к ЕГЭ по математике. Обобщающее повторение курса алгебры и начала анализа. Краснодар: «Просвещение – Юг», 20129. Ч. 2.

6.                 Семенко Е. А. Готовимся к ЕГЭ по математике. Обобщающее повторение курса алгебры и начала анализа. Краснодар: «Просвещение – Юг», 20012. Ч. 3.

Муниципальное образование Брюховецкий район Краснодарского края

муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа № 7

ст. Переясловской

Урок разноуровневого обобщающего повторения

в 11 классе по теме:

«ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ.

РЕШЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ»

УЧИТЕЛЬ МАТЕМАТИКИ

                                                                     МБОУ СОШ №7

                                                                                                        ДЕМИДЕНКО Н. И.

Ст. Переясловская

2016 год

        Демиденко Н. И. Учитель математики МАОУ СОШ №7

 Ст. Переясловской Краснодарского края. Показательная функция. Решение показательных уравнений. Урок алгебры в 11 классе

 Урок разноуровневого обобщающего повторения 

 по теме: «Показательная функция.

Решение показательных уравнений»

         Урок разработан для учащихся 11 класса, проводится в форме сдвоенного урока.

         Цель урока. Обобщить знание основных свойств показательной функции, повторить способы решения показательных уравнений базового и повышенного уровня сложности, проконтролировать усвоение данного материала.

I этап урока – организационный (1 минута)

Сообщение цели урока.

II этап урока (5 минут)

Повторение свойств показательной функции.

Вопрос: «Какую функцию называют показательной?»

Звучит определение.

         Определение. Функция, заданная формулой вида  у = а^х  (где a>0,  ), называется показательной функцией с основанием  а.

         Вопрос: Сформулируйте основные свойства показательной функции.

         Ответы учащихся.

1.     Область определения – множество R всех действительных чисел.

2.     Область значений – множество R₊   всех положительных действительных чисел.

3.     При а>1 функция возрастает на всей числовой прямой; при  0<а<1 функция убывает на множестве R.

4.     При  любых действительных значениях  х и у справедливы равенства

   ;           ;

                                          ;     ;

.

При ответах на вопросы используется плакат с рисунком показательной функции.

III этап урока (5 минут)

Демиденко Н. И. Учитель математики МАОУ СОШ №7

 Ст. Переясловской Краснодарского края. Показательная функция. Решение показательных уравнений. Урок алгебры в 11 классе

Устная работа по теме: «Показательная функция и её свойства»

         С помощью мультимедийного устройства на экран проецируются задания. Учащиеся  дают ответы на поставленные вопросы, делая ссылки на теоретический материал.               

          1. На одном из рисунков изображен эскиз графика функции . Укажите номер этого рисунка.

2. График какой функции изображен на рисунке?

1)
2)
3)
4)

            3. Укажите множество значений функции    .

1)

2)

3)

4)

             4. Какое из следующих чисел входит в множество значений функции    ?

1)

3

2)

4

3)

5

4)

6

            5. Какое из следующих чисел не входит в множество значений функции ?

1)

– 1

2)

0

3)

1

4)

2

            6. Укажите характер монотонности функций:

    а)y=2^x+3;      б)  y=3^-x -4;    в) y=0,5^x+2;          г)y=e^x;        д) y=0,1^-x+5;

Демиденко Н. И. Учитель математики МАОУ СОШ №7

 Ст. Переясловской Краснодарского края. Показательная функция. Решение показательных уравнений. Урок алгебры в 11 классе

IV этап урока (15 минут)

Повторение теоретического материала и методов решений

 показательных уравнений.

         Эта часть урока предполагает совместную работу учителя и учащихся, должны прозвучать следующие определения и выводы с примерами.

          Определение. Уравнение, содержащее переменную в показателе степени, называется показательным.

         Простейшее показательное уравнение имеет вид:    а^х  = b,  (а>0, a1,b>0)                     a^x = b,    x = log_ab

При решении показательных уравнений используют два основных метода: приведение к одному основанию и введение новых переменных.

         Теорема.  Если а> 0 и а 1, то уравнение   a^f(x) = a^g(x)   равносильно уравнению  f(x)=g(x). 

         Замена переменного.

Уравнения вида    A∙a^2x+B∙a^x+C=0   и         A∙a^x+B∙a^-x+C=0, где  A0,  B,  C  некоторые числа,  a>0, a1,  a^x=t  (t>0)  сводятся к квадратным уравнениям.

Уравнение вида  A∙a^2x+ B∙a^xb^x+ C∙b^2x=0  (a>0,  b>0,  a1,  b1)   называется  однородным  уравнением второй степени и сводится к квадратному уравнению путём деления на  a^2x  или  b^2x.

Вынесение общего множителя за скобки.

Вынесение за скобки общего множителя рекомендуется тогда, когда в левой части при равных основаниях коэффициенты в показателях при неизвестных совпадают. Рекомендуется за скобки выносить множитель с меньшим показателем, чтобы внутри скобок остались степени с положительными показателями.

На доске заранее записаны четыре уравнения, учитель вызывает учащихся. Они объясняют решение уравнений.

1). Решить уравнение:   2^х ∙5^х = 0,001(10^х-1)^х.

Решение.

По свойствам степени приведём обе части уравнения к основанию 10:

10^x= 10^-3∙ 

10^х =

х² – 2х – 3=0;

х₁ =3    х₂ =-1.

Ответ:  3;  -1.

Демиденко Н. И. Учитель математики МАОУ СОШ №7

 Ст. Переясловской Краснодарского края. Показательная функция. Решение показательных уравнений. Урок алгебры в 11 классе

2) Решить уравнение:    100^х – 80∙10^х-1 -20 =0. 

Решение.

10^2x – 80∙10^x-1 – 20=0,

Обозначим 10^x =t, где  t>0.

t² - 8t – 20=0,

t₁ =10,   t₂=-2

t₂ не удовлетворяет условию  t>0.

10^x =10,   x =1.

Ответ: 1.

3) Решить уравнение:   69^х – 13∙6^х + 6∙4^х =0.

Решение.

Это однородное уравнение 2-й степени, разделим все члены уравнения на 4^х>0;   

      6∙(9/4)^х – 13∙(6/4)^х + 6=0,

      6∙(3/2)^2х – 13∙(3/2)^х + 6=0.

      Обозначим  (3/2)^х =t,  t>0, получим

      6t² – 13t +6 =0,   t₁=3/2,    t₂=2/3.

      (3/2)^x = 3/2     или     (3/2)^x = 2/3,

       x = 1              или        x = - 1.

Ответ:  1;  -1.

        4). Решите уравнение      .   Если уравнение имеет более одного корня, то в ответе укажите сумму всех корней.

Решение.

Ответ: 1,5.

V этап урока  (15 минут)

Разноуровневая самостоятельная работа)

Самостоятельная работа составлена для 3-х уровней сложности (по 2 варианта).

I уровень сложности.

Вариант № 1.

Демиденко Н. И. Учитель математики МАОУ СОШ №7

 Ст. Переясловской Краснодарского края. Показательная функция. Решение показательных уравнений. Урок алгебры в 11 классе

1. На одном из рисунков изображен эскиз графика функции . Укажите номер этого рисунка.

2. Укажите множество значений функции    .

1)

2)

3)

4)

3. Упростите выражение  .

1)

2)

3)

4)

4. Найдите значение выражения    ,   при    .

1)

2)

3)

4)

5. Укажите область определения функции    .

1)

2)

3)

4)

6. Решите уравнение      .   Если уравнение имеет более одного корня, то в ответе укажите сумму всех корней.

Вариант № 2.

1. На одном из рисунков изображен график функции . Укажите номер этого рисунка.

Демиденко Н. И. Учитель математики МАОУ СОШ №7

 Ст. Переясловской Краснодарского края. Показательная функция. Решение показательных уравнений. Урок алгебры в 11 классе

1)

2)

3)

4)

2. Какое из следующих чисел входит в множество значений функции ?

1)

6

2)

7

3)

8

4)

9

3. Упростите выражение  .

1)

2)

3)

4)

4. Упростите выражение  .

1)

2)

3)

4)

5. Решите неравенство    .

1)		3)
2)		4)

6. Решите уравнение      .   Если уравнение имеет более одного корня, то в ответе укажите сумму всех корней.

II уровень сложности.

Вариант № 1.

1. Решите неравенство   .

1)

2)

3)

4)

Демиденко Н. И. Учитель математики МАОУ СОШ №7

 Ст. Переясловской Краснодарского края. Показательная функция. Решение показательных уравнений. Урок алгебры в 11 классе

2. Решите уравнение      .   Если уравнение имеет более одного корня, то в ответе укажите сумму всех корней.

3. Укажите область определения функции    .

1)		3)
2)		4)

.

4. Найдите решение уравнения  , принадлежащее области определения функции  .

Вариант № 2.

1. Решите неравенство:

1)

2)

3)

4)

2. Решите уравнение      .    Если уравнение имеет более одного корня, то в ответе укажите сумму всех корней.

3. Укажите область определения функции    .

1)		3)
2)		4)

4. Найдите решение уравнения  , принадлежащее области определения функции  .

III уровень сложности.

Вариант № 1.

1. Решите уравнение    .

Демиденко Н. И. Учитель математики МАОУ СОШ №7

 Ст. Переясловской Краснодарского края. Показательная функция. Решение показательных уравнений. Урок алгебры в 11 классе

2. Решить уравнение         

3. Решить уравнение         

Вариант № 2.

1.  Найдите решение уравнения   ,  принадлежащее области определения функции .

2. Решить уравнение         

3.Решить уравнение         

            По истечении времени учащиеся сдают работы.

На 2-м уроке  разбираются решения показательных уравнений повышенного уровня сложности и задания из части «С».

Использование свойств функции при решении уравнений.

Свойство 1. Если функция f(x) монотонно возрастает на промежутке Х, а функция g(x) монотонно убывает на промежутке Х, то уравнение f(x)=g(x) либо имеет один корень, либо не имеет корней на этом промежутке.

Свойство 2. Если функция f(x) на промежутке Х ограничена сверху, причём sup f(x)=A, а функция g(x) ограничена снизу, причём   inf g(x)=A , то уравнение f(x)=g(x) равносильно системе уравнений

1). Решить уравнение  3^х +4^х =5^х.

Решение.

3, 4, 5 –это стороны египетского треугольника, поэтому х=2 является корнем данного уравнения. Докажем, что других корней уравнение не имеет. Разделим обе части уравнения на 4^х>0.

(3/4)^х+1=(5/4)^х.

Функция, стоящая в левой части монотонно убывает (основание меньше 1), а стоящая в правой части монотонно возрастает (основание больше 1), поэтому х=2 является единственным корнем уравнения.                                       Ответ: 2.

Демиденко Н. И. Учитель математики МАОУ СОШ №7

 Ст. Переясловской Краснодарского края. Показательная функция. Решение показательных уравнений. Урок алгебры в 11 классе

2). Решить уравнение 2cos²    =2^х+2^-х.

Решение.

Обозначим 2^х=у, где у>0. Тогда правая часть уравнения примет вид у+1/у. Воспользуемся известным неравенством у+1/у>2 (y>0). В то же время справедливо неравенство  2cos² Значит, уравнение сводится к системе уравнений  

 Из второго уравнения находим х=0. Это значение удовлетворяет и первому уравнению системы, поэтому х=0 является корнем исходного уравнения.

Ответ: 0.

Решение показательных уравнений с параметрами.

1) Найти все значения параметра  т, при которых уравнение

2011^2х – 4∙2011^х - 3m+m²=0 имеет единственный корень.

Решение.

Обозначим 2011^х=t, t>0 и исходное уравнение примет вид t²-4t-3m+m²=0. (1).

Чтобы исходное уравнение имело единственный корень, необходимо, чтобы уравнение (1) имело единственный положительный корень.

         Возможны три различных случая.

1.     t₁=t₂, если D=0.

t²- 4t- 3m+m²=0     D/4=4+3m-m². 

m²- 3m- 4=0.          m₁=-1,     m₂=4

При m=-1 и m=4  уравнениеt²-4m-3m+m²=0  принимает вид t²-4t+4=0,  t₁ =t₂=2.        Т.к. 2>0, то условие единственности для исходного уравнения выполняется.

2.     t₁ ≠t₂ и один из корней отрицателен, а другой положителен. Это

возможно тогда и только тогда, когда t₁∙t₂=c/a,  где c/a<0.

В этом случае D>0 , т.к. ac<0.

c=-3m+m²,    a=1.

m²- 3m<0

m(m- 3)<0

m (0;3)

3.     t₁ ≠ t₂ и какой-то из этих корней равен нулю, а другой положителен.

Это возможно, если с=0.

-3m+m²=0,         m=0     или        m=3.

Уравнение  t²- 4t- 3m+m²=0    принимает вид     t²- 4t=0,    t₁=0,   t₂=4.

Объединяя полученные решения, имеем что при m=-1, m=4 и m  [0;3]

уравнение   t²-4t-3m+m²=0  имеет единственный положительный корень. Поэтому уравнение   2011^2х- 4∙2011^х- 3m+m²=0    имеет единственный корень.

Ответ:  m [0;3],  m=-1,  m=4.

       Демиденко Н. И. Учитель математики МАОУ СОШ №7

 Ст. Переясловской Краснодарского края. Показательная функция. Решение показательных уравнений. Урок алгебры в 11 классе

2) Найти все значения а, для которых при каждом значении  х [2;3) значение выражения  4^х – 2^х  не равно значению выражения   а∙2^х +4.

Решение.

        Значения указанных в задаче выражений не равны друг другу тогда и только тогда, когда выполнено условие 4^х- 2^х  ≠ a∙2^х.Обозначим  2^x=t,   где t  [4;8). Рассмотрим функцию  f(t)=t²- t- at- 4,    f(t)=t²- (1+а)t - 4. Следовательно, в задаче требуется, чтобы уравнение  f(t)=0 не имело корней на промежутке [4;8).

Изобразим график функции y=f(t). Это парабола, её ветви направлены вверх, f(0)=-4, поэтому t₁<0,  t₂>0.

                                                                     

Уравнение f(t)=0 имеет корень на промежутке [4;8) тогда и только тогда, когда

 

Решим систему неравенств

Итак, уравнение f(t)=0 на промежутке  [4; 8)  для всех остальных значений  а, т.е. тогда и только тогда, когда a<2 или  

                                 Ответ: а<2,

         Подведение итогов урока, комментарии по домашнему заданию.

Учитель подводит итог урока, обращает внимание на то, что теоретические факты и типы уравнений необходимо выучить. В качестве домашнего задания учащиеся получают по два варианта предыдущей краевой контрольной работы.