Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Урок алгебры в 11 классе по теме "Решение показательных уравнений"

Урок алгебры в 11 классе по теме "Решение показательных уравнений"

Идёт приём заявок на самые массовые международные олимпиады проекта "Инфоурок"

Для учителей мы подготовили самые привлекательные условия в русскоязычном интернете:

1. Бесплатные наградные документы с указанием данных образовательной Лицензии и Свидeтельства СМИ;
2. Призовой фонд 1.500.000 рублей для самых активных учителей;
3. До 100 рублей за одного ученика остаётся у учителя (при орг.взносе 150 рублей);
4. Бесплатные путёвки в Турцию (на двоих, всё включено) - розыгрыш среди активных учителей;
5. Бесплатная подписка на месяц на видеоуроки от "Инфоурок" - активным учителям;
6. Благодарность учителю будет выслана на адрес руководителя школы.

Подайте заявку на олимпиаду сейчас - https://infourok.ru/konkurs

  • Математика

Название документа Список литературы.doc

Поделитесь материалом с коллегами:

Список литературы


  1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. Ч. 2. Учебник для 11 класса, профильный уровень, Москва: Мнемозина, 20014.

  2. Семенов П.В. Алгебра и начала анализа. ЕГЭ шаг за шагом, Москва: Мнемозина, 20012.

  3. Семенко Е. А. Тестовые контрольные задания по алгебре и началам анализа. Базовый уровень. Краснодар: «Просвещение – Юг», 20012.

  4. Семенко Е. А. Готовимся к ЕГЭ по математике. Обобщающее повторение курса алгебры и начала анализа. Краснодар: «Просвещение – Юг», 20012. Ч. 1.

  5. Семенко Е. А. Готовимся к ЕГЭ по математике. Обобщающее повторение курса алгебры и начала анализа. Краснодар: «Просвещение – Юг», 20129. Ч. 2.

  6. Семенко Е. А. Готовимся к ЕГЭ по математике. Обобщающее повторение курса алгебры и начала анализа. Краснодар: «Просвещение – Юг», 20012. Ч. 3.



Название документа пояснительная записка 11 класс.doc

Поделитесь материалом с коллегами:

Демиденко Н. И. Учитель математики МАОУ СОШ №7

Ст. Переясловской Краснодарского края. Показательная функция. Решение показательных уравнений. Урок алгебры в 11 классе

Пояснительная записка


  1. Автор (полностью фамилия, имя, отчество, должность, предмет):

Демиденко Наталья Ивановна, учитель математики


  1. Образовательное учреждение (полное название), регион

Муниципальное образование Брюховецкий район Краснодарского края

муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа № 7

ст. Переясловской


  1. Предмет, класс, в котором используется продукт:

Алгебра, 11 класс.

  1. Авторы учебника, учебно-методического комплекса

Мордкович А. Г. «Алгебра» 11 класс, профильный уровень.

  1. Тема урока (уроков):

Урок разноуровневого обобщающего повторения «Показательная функция. Решение показательных уравнений»

  1. Необходимое оборудование и материалы для занятия:

Мультимедийное устройство.

  1. Описание мультимедийного продукта (медиапродукта): среда, редактор, в котором выполнен продукт, вид продукта:

Презентация PowerPoint 2003


  1. Структура, краткое описание содержания, системы навигации (можно сделать схему):

Урок обобщения и систематизации знаний.


  1. Цель урока:

Обобщить знание основных свойств показательной функции, повторить способы решения показательных уравнений базового и повышенного уровня сложности, проконтролировать усвоение данного материала.




Название документа свойства показательной функции.ppt

Учитель математики МАОУ СОШ №7 Демиденко Н. И. Ст. Переясловская 2016 год
На одном из рисунков изображён график функции Укажите номер этого рисунка
2. График какой функции изображён на рисунке? 1) 2) 3) 4)
3. Укажите множество значений функции 1). 2) 3) 4) 4. Какое из следующих чисе...
5. Какое из следующих чисел не входит в множество значений функции ? 1) -1 2)...
1 из 5

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Учитель математики МАОУ СОШ №7 Демиденко Н. И. Ст. Переясловская 2016 год
Описание слайда:

Учитель математики МАОУ СОШ №7 Демиденко Н. И. Ст. Переясловская 2016 год

№ слайда 2 На одном из рисунков изображён график функции Укажите номер этого рисунка
Описание слайда:

На одном из рисунков изображён график функции Укажите номер этого рисунка

№ слайда 3 2. График какой функции изображён на рисунке? 1) 2) 3) 4)
Описание слайда:

2. График какой функции изображён на рисунке? 1) 2) 3) 4)

№ слайда 4 3. Укажите множество значений функции 1). 2) 3) 4) 4. Какое из следующих чисе
Описание слайда:

3. Укажите множество значений функции 1). 2) 3) 4) 4. Какое из следующих чисел входит в множество значений функции ? 1) 3 2) 4 3) 5 4) 6

№ слайда 5 5. Какое из следующих чисел не входит в множество значений функции ? 1) -1 2)
Описание слайда:

5. Какое из следующих чисел не входит в множество значений функции ? 1) -1 2) 0 3) 1 4) 2 6. Укажите характер монотонности функций: а) y=2x+3; б) y=3-x -4; в) y=0,5x+2; г) y=ex; д) y=0,1-x+5;

Название документа урок 11 кл Демиденко.doc

Поделитесь материалом с коллегами:

Муниципальное образование Брюховецкий район Краснодарского края

муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа № 7

ст. Переясловской














Урок разноуровневого обобщающего повторения

в 11 классе по теме:


«ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ.

РЕШЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ»








УЧИТЕЛЬ МАТЕМАТИКИ

МБОУ СОШ №7


ДЕМИДЕНКО Н. И.









Ст. Переясловская

2016 год



Демиденко Н. И. Учитель математики МАОУ СОШ №7

Ст. Переясловской Краснодарского края. Показательная функция. Решение показательных уравнений. Урок алгебры в 11 классе

Урок разноуровневого обобщающего повторения

по теме: «Показательная функция.

Решение показательных уравнений»


Урок разработан для учащихся 11 класса, проводится в форме сдвоенного урока.

Цель урока. Обобщить знание основных свойств показательной функции, повторить способы решения показательных уравнений базового и повышенного уровня сложности, проконтролировать усвоение данного материала.


I этап урока – организационный (1 минута)

Сообщение цели урока.


II этап урока (5 минут)

Повторение свойств показательной функции.


Вопрос: «Какую функцию называют показательной?»

Звучит определение.

Определение. Функция, заданная формулой вида у = ах (где a>0, hello_html_m2f434281.gif), называется показательной функцией с основанием а.

Вопрос: Сформулируйте основные свойства показательной функции.

Ответы учащихся.

  1. Область определения – множество R всех действительных чисел.

  2. Область значений – множество R+ всех положительных действительных чисел.

  3. При а>1 функция возрастает на всей числовой прямой; при 0<а<1 функция убывает на множестве R.

  4. При любых действительных значениях х и у справедливы равенства

hello_html_4a3860ee.gif; hello_html_m6e0e9430.gif;

hello_html_m6d0b7f39.gif; hello_html_m385d6623.gif;

hello_html_m6baf950e.gif.

При ответах на вопросы используется плакат с рисунком показательной функции.


III этап урока (5 минут)

Демиденко Н. И. Учитель математики МАОУ СОШ №7

Ст. Переясловской Краснодарского края. Показательная функция. Решение показательных уравнений. Урок алгебры в 11 классе

Устная работа по теме: «Показательная функция и её свойства»


С помощью мультимедийного устройства на экран проецируются задания. Учащиеся дают ответы на поставленные вопросы, делая ссылки на теоретический материал.

1. На одном из рисунков изображен эскиз графика функции hello_html_m4a5165de.gif. Укажите номер этого рисунка.

hello_html_64e4c557.png

2. График какой функции изображен на рисунке?










3. Укажите множество значений функции hello_html_69d1c2ca.gif.

4. Какое из следующих чисел входит в множество значений функции hello_html_7ddad614.gif?

3

2)

4

3)

5

4)

6

5. Какое из следующих чисел не входит в множество значений функции hello_html_5aca321d.gif?

6. Укажите характер монотонности функций:

а)y=2x+3; б) y=3-x -4; в) y=0,5x+2; г)y=ex; д) y=0,1-x+5;



Демиденко Н. И. Учитель математики МАОУ СОШ №7

Ст. Переясловской Краснодарского края. Показательная функция. Решение показательных уравнений. Урок алгебры в 11 классе

IV этап урока (15 минут)

Повторение теоретического материала и методов решений

показательных уравнений.


Эта часть урока предполагает совместную работу учителя и учащихся, должны прозвучать следующие определения и выводы с примерами.


Определение. Уравнение, содержащее переменную в показателе степени, называется показательным.

Простейшее показательное уравнение имеет вид: ах = b, (а>0, ahello_html_m88d8014.gif1,b>0) ax = b, x = logab

При решении показательных уравнений используют два основных метода: приведение к одному основанию и введение новых переменных.


Теорема. Если а> 0 и а hello_html_m88d8014.gif1, то уравнение af(x) = ag(x) равносильно уравнению f(x)=g(x).


Замена переменного.


Уравнения вида Aa2x+Bax+C=0 и Aax+Ba-x+C=0, где Ahello_html_m88d8014.gif0, B, C некоторые числа, a>0, ahello_html_m88d8014.gif1, ax=t (t>0) сводятся к квадратным уравнениям.


Уравнение вида Aa2x+ Baxbx+ Cb2x=0 (a>0, b>0, ahello_html_m88d8014.gif1, bhello_html_m88d8014.gif1) называется однородным уравнением второй степени и сводится к квадратному уравнению путём деления на a2x или b2x.


Вынесение общего множителя за скобки.

Вынесение за скобки общего множителя рекомендуется тогда, когда в левой части при равных основаниях коэффициенты в показателях при неизвестных совпадают. Рекомендуется за скобки выносить множитель с меньшим показателем, чтобы внутри скобок остались степени с положительными показателями.


На доске заранее записаны четыре уравнения, учитель вызывает учащихся. Они объясняют решение уравнений.


1). Решить уравнение: 2х ∙5х = 0,001(10х-1)х.


Решение.

По свойствам степени приведём обе части уравнения к основанию 10:

10x= 10-3hello_html_7089500b.gif

10х =hello_html_m29cd6506.gif

х2 – 2х – 3=0;

х1 =3 х2 =-1.

Ответ: 3; -1.


Демиденко Н. И. Учитель математики МАОУ СОШ №7

Ст. Переясловской Краснодарского края. Показательная функция. Решение показательных уравнений. Урок алгебры в 11 классе

2) Решить уравнение: 100х – 80∙10х-1 -20 =0.

Решение.

102x – 80∙10x-1 – 20=0,

Обозначим 10x =t, где t>0.

t2 - 8t – 20=0,

t1 =10, t2=-2

t2 не удовлетворяет условию t>0.

10x =10, x =1.

Ответ: 1.


3) Решить уравнение: 69х – 13∙6х + 6∙4х =0.

Решение.

Это однородное уравнение 2-й степени, разделим все члены уравнения на 4х>0;


6∙(9/4)х – 13∙(6/4)х + 6=0,

6∙(3/2) – 13∙(3/2)х + 6=0.

Обозначим (3/2)х =t, t>0, получим

6t2 – 13t +6 =0, t1=3/2, t2=2/3.

(3/2)x = 3/2 или (3/2)x = 2/3,

x = 1 или x = - 1.

Ответ: 1; -1.

4). Решите уравнение hello_html_2058db9b.gif. Если уравнение имеет более одного корня, то в ответе укажите сумму всех корней.

Решение.


hello_html_2058db9b.gif

hello_html_2ceaff36.gif

Ответ: 1,5.


V этап урока (15 минут)

Разноуровневая самостоятельная работа)


Самостоятельная работа составлена для 3-х уровней сложности (по 2 варианта).


I уровень сложности.

Вариант № 1.


Демиденко Н. И. Учитель математики МАОУ СОШ №7

Ст. Переясловской Краснодарского края. Показательная функция. Решение показательных уравнений. Урок алгебры в 11 классе

1. На одном из рисунков изображен эскиз графика функции hello_html_46dae7a2.gif. Укажите номер этого рисунка.

hello_html_m3030cb40.png


2. Укажите множество значений функции hello_html_969c7ed.gif.


3. Упростите выражение hello_html_4e7a4c2c.gif.

4. Найдите значение выражения hello_html_m41c463cf.gif, при hello_html_46af9f16.gif.

5. Укажите область определения функции hello_html_mdb44766.gif.


6. Решите уравнение hello_html_2058db9b.gif. Если уравнение имеет более одного корня, то в ответе укажите сумму всех корней.



Вариант № 2.

  1. На одном из рисунков изображен график функции hello_html_m1f338e82.gif. Укажите номер этого рисунка.








Демиденко Н. И. Учитель математики МАОУ СОШ №7

Ст. Переясловской Краснодарского края. Показательная функция. Решение показательных уравнений. Урок алгебры в 11 классе




2. Какое из следующих чисел входит в множество значений функции hello_html_m4a4bbe2a.gif?

3. Упростите выражение hello_html_4e7a4c2c.gif.

4. Упростите выражение hello_html_m65215339.gif.




5. Решите неравенство hello_html_63a7ed76.gif.


6. Решите уравнение hello_html_4c747196.gif. Если уравнение имеет более одного корня, то в ответе укажите сумму всех корней.


II уровень сложности.

Вариант № 1.

1. Решите неравенство hello_html_736650c.gif.

Демиденко Н. И. Учитель математики МАОУ СОШ №7

Ст. Переясловской Краснодарского края. Показательная функция. Решение показательных уравнений. Урок алгебры в 11 классе

2. Решите уравнение hello_html_283cb61a.gif. Если уравнение имеет более одного корня, то в ответе укажите сумму всех корней.

3. Укажите область определения функции hello_html_m3217bdb2.gif.

.hello_html_m53d4ecad.gif

4. Найдите решение уравнения hello_html_18afd5ae.gif, принадлежащее области определения функции hello_html_m130e8bff.gif.hello_html_m53d4ecad.gif



Вариант № 2.


1. Решите неравенство: hello_html_6b6a63f0.gif

2. Решите уравнение hello_html_m2ec725fd.gif. Если уравнение имеет более одного корня, то в ответе укажите сумму всех корней.

3. Укажите область определения функции hello_html_260a507b.gif.

4. Найдите решение уравнения hello_html_6281b45f.gif, принадлежащее области определения функции hello_html_m130e8bff.gif.hello_html_m53d4ecad.gif




III уровень сложности.

Вариант № 1.


1. Решите уравнение hello_html_m151d7038.gif.hello_html_m53d4ecad.gif



Демиденко Н. И. Учитель математики МАОУ СОШ №7

Ст. Переясловской Краснодарского края. Показательная функция. Решение показательных уравнений. Урок алгебры в 11 классе

2. Решить уравнение hello_html_6d4dcf7b.gif

3. Решить уравнение hello_html_m76e1b1a7.gif



Вариант № 2.

1.  Найдите решение уравнения hello_html_3ea45713.gif, принадлежащее области определения функции hello_html_2e4a8b86.gif.


2. Решить уравнение hello_html_m34bfe9cb.gif

3.Решить уравнение hello_html_d5b68ce.gif


По истечении времени учащиеся сдают работы.



На 2-м уроке разбираются решения показательных уравнений повышенного уровня сложности и задания из части «С».




Использование свойств функции при решении уравнений.


Свойство 1. Если функция f(x) монотонно возрастает на промежутке Х, а функция g(x) монотонно убывает на промежутке Х, то уравнение f(x)=g(x) либо имеет один корень, либо не имеет корней на этом промежутке.


Свойство 2. Если функция f(x) на промежутке Х ограничена сверху, причём sup f(x)=A, а функция g(x) ограничена снизу, причём inf g(x)=A , то уравнение f(x)=g(x) равносильно системе уравненийhello_html_m32d48649.gif


1). Решить уравнение 3х +4х =5х.

Решение.

3, 4, 5 –это стороны египетского треугольника, поэтому х=2 является корнем данного уравнения. Докажем, что других корней уравнение не имеет. Разделим обе части уравнения на 4х>0.

(3/4)х+1=(5/4)х.

Функция, стоящая в левой части монотонно убывает (основание меньше 1), а стоящая в правой части монотонно возрастает (основание больше 1), поэтому х=2 является единственным корнем уравнения. Ответ: 2.


Демиденко Н. И. Учитель математики МАОУ СОШ №7

Ст. Переясловской Краснодарского края. Показательная функция. Решение показательных уравнений. Урок алгебры в 11 классе

2). Решить уравнение 2cos2 hello_html_m536336d0.gif =2х+2.

Решение.

Обозначим 2х=у, где у>0. Тогда правая часть уравнения примет вид у+1/у. Воспользуемся известным неравенством у+1/у>2 (y>0). В то же время справедливо неравенство 2cos2hello_html_4782724b.gif Значит, уравнение сводится к системе уравнений hello_html_7ded1343.gif

Из второго уравнения находим х=0. Это значение удовлетворяет и первому уравнению системы, поэтому х=0 является корнем исходного уравнения.

Ответ: 0.


Решение показательных уравнений с параметрами.


1) Найти все значения параметра т, при которых уравнение

2011 – 4∙2011х - 3m+m2=0 имеет единственный корень.

Решение.

Обозначим 2011х=t, t>0 и исходное уравнение примет вид t2-4t-3m+m2=0. (1).

Чтобы исходное уравнение имело единственный корень, необходимо, чтобы уравнение (1) имело единственный положительный корень.

Возможны три различных случая.

  1. t1=t2, если D=0.

t2- 4t- 3m+m2=0 D/4=4+3m-m2.

m2- 3m- 4=0. m1=-1, m2=4

При m=-1 и m=4 уравнениеt2-4m-3m+m2=0 принимает вид t2-4t+4=0, t1 =t2=2. Т.к. 2>0, то условие единственности для исходного уравнения выполняется.

  1. t1t2 и один из корней отрицателен, а другой положителен. Это

возможно тогда и только тогда, когда t1t2=c/a, где c/a<0.

В этом случае D>0 , т.к. ac<0.

c=-3m+m2, a=1.

m2- 3m<0

m(m- 3)<0

m hello_html_76ee893b.gif(0;3)

  1. t1 t2 и какой-то из этих корней равен нулю, а другой положителен.

Это возможно, если с=0.

-3m+m2=0, m=0 или m=3.

Уравнение t2- 4t- 3m+m2=0 принимает вид t2- 4t=0, t1=0, t2=4.

Объединяя полученные решения, имеем что при m=-1, m=4 и m hello_html_76ee893b.gif [0;3]

уравнение t2-4t-3m+m2=0 имеет единственный положительный корень. Поэтому уравнение 2011- 4∙2011х- 3m+m2=0 имеет единственный корень.

Ответ: mhello_html_m7cb53dec.gif [0;3], m=-1, m=4.


Демиденко Н. И. Учитель математики МАОУ СОШ №7

Ст. Переясловской Краснодарского края. Показательная функция. Решение показательных уравнений. Урок алгебры в 11 классе

2) Найти все значения а, для которых при каждом значении хhello_html_m7cb53dec.gif [2;3) значение выражения 4х – 2х не равно значению выражения а∙2х +4.

Решение.

Значения указанных в задаче выражений не равны друг другу тогда и только тогда, когда выполнено условие 4х- 2х a∙2х.hello_html_m53d4ecad.gifОбозначим 2x=t, где t hello_html_m7cb53dec.gif [4;8). Рассмотрим функцию f(t)=t2- t- at- 4, f(t)=t2- (1+а)t - 4. Следовательно, в задаче требуется, чтобы уравнение f(t)=0 не имело корней на промежутке [4;8).

Изобразим график функции y=f(t). Это парабола, её ветви направлены вверх, f(0)=-4, поэтому t1<0, t2>0.

hello_html_52dd854.jpg

Уравнение f(t)=0 имеет корень на промежутке [4;8) тогда и только тогда, когда

hello_html_m1ecd826.gifhello_html_m232b4336.gif

Решим систему неравенств hello_html_m27f3e907.gif

Итак, уравнение f(t)=0 на промежутке [4; 8) для всех остальных значений а, т.е. тогда и только тогда, когда a<2 или hello_html_772bb51f.gif

Ответ: а<2, hello_html_772bb51f.gif


Подведение итогов урока, комментарии по домашнему заданию.

Учитель подводит итог урока, обращает внимание на то, что теоретические факты и типы уравнений необходимо выучить. В качестве домашнего задания учащиеся получают по два варианта предыдущей краевой контрольной работы.



Самые низкие цены на курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации!

Предлагаем учителям воспользоваться 50% скидкой при обучении по программам профессиональной переподготовки.

После окончания обучения выдаётся диплом о профессиональной переподготовке установленного образца (признаётся при прохождении аттестации по всей России).

Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок".

Начало обучения ближайших групп: 18 января и 25 января. Оплата возможна в беспроцентную рассрочку (20% в начале обучения и 80% в конце обучения)!

Подайте заявку на интересующий Вас курс сейчас: https://infourok.ru/kursy

Автор
Дата добавления 17.11.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров60
Номер материала ДБ-361530
Получить свидетельство о публикации

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.

Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.

Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх