681487
столько раз учителя, ученики и родители
посетили сайт «Инфоурок»
за прошедшие 24 часа
+Добавить материал
и получить бесплатное
свидетельство о публикации
в СМИ №ФС77-60625 от 20.01.2015
Дистанционные курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации для педагогов

Дистанционные курсы для педагогов - курсы профессиональной переподготовки от 5.520 руб.;
- курсы повышения квалификации от 1.200 руб.
Престижные документы для аттестации

ВЫБРАТЬ КУРС СО СКИДКОЙ ДО 70%

ВНИМАНИЕ: Скидка действует ТОЛЬКО сейчас!

(Лицензия на осуществление образовательной деятельности № 5201 выдана ООО "Инфоурок")

ИнфоурокМатематикаКонспектыУрок алгебры в 11 классе по теме "Решение задач экономического содержания"(подготовка к ЕГЭ)

Урок алгебры в 11 классе по теме "Решение задач экономического содержания"(подготовка к ЕГЭ)

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ

Выбранный для просмотра документ Конспект урока.doc

библиотека
материалов
Скачать материал целиком можно бесплатно по ссылке внизу страницы.

МАОУ СОШ №7 СТ. ПЕРЕЯСЛОВСКОЙ


Конспект урока алгебры в 11 классе, проведенного учителем математики

Демиденко Н. И.


Тема: Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

Применение производной к решению задач на оптимальный выбор.

Дидактические цели:

Обучающая:
  • повторить понятие наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке;

  • закрепить алгоритм вычисления наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке;

  • продолжить работу по формированию умения проводить исследование непрерывной функции y=f(x) на монотонность и экстремумы.

Развивающая:

  • содействовать развитию у школьников умений использовать научные методы познания (наблюдение, анализ, синтез, сравнение, гипотеза);

  • создать условия для развития у школьников умений решать задачи, поставленные на уроке.

Воспитывающая:

  • обеспечить развитие у школьников умения ставить цель и планировать свою деятельность;

  • воспитывать чувство уважения между учащимися для максимального раскрытия их способностей.

Учащиеся должны:

  • усвоить алгоритм вычисления наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке;

  • научиться находить наибольшее и наименьшее значения заданных функций на отрезке;

  • применять полученные знания при решении упражнений.

Тип урока: комбинированный: повторение и применение полученных знаний в новых условиях




Оборудование: доска, мультимедийный проектор, интерактивные тесты. Ход урока:

1. Организационный момент.

Активизировать внимание, объявить тему и цель урока.

Девиз урока: Математика уступает  свои крепости лишь  сильным и смелым.

2. Проверка домашнего задания:

На слайде записаны правильные ответы и критерии выставления оценки за домашнее задание. Производится взаимопроверка. Результаты записываются в лист достижений учащегося.

(Дом. задание – приложение №1)


Критерии: 9-10 зад. – «5»

7- 8 зад. – «4»

5- 6 зад. – «3»


3. Актуализация знаний и умственных умений.

а) Повторение теории.

  • Достаточный признак возрастания (убывания) функции.

  • Какая точка называется критической точкой функции?

  • Необходимое условие экстремума функции.

  • Классификация критических точек.

  • Признак максимума (минимума) функции.

4. Тестирование по вариантам.

Учащиеся выполняют интерактивные тесты с сайта учителя математики Савченко Елены Михайловны. Самопроверка. Результат записывают в лист.

Один учащийся выполняет тест за учительским компьютере, результат сразу проекцируется на доске.


5. Решение задач на оптимальный выбор из части «С»

ЕГЭ по математике


Объяснение нового материала.

1) Водная беседа учителя. Постановка перед учащимися учебной проблемы.

Испокон веку люди, приступая к осуществлению своих мероприятий, пытались принимать оптимальные решения. Некоторые решения могли приниматься без специального математического анализа, просто на основе опыта и здравого смысла.

Возьмем пример: человек вышел утром из дому, чтобы ехать на работу. По ходу дела ему приходится принять целый ряд решений: брать ли с собой зонтик? В каком месте перейти улицу. И так далее.

С задачами, требующими оптимального решения, в наше время приходится иметь дело представителям самых разных специальностей. Технологи – стараются так организовать производство, чтобы выпускалось как можно больше продукции.

Экономисты стараются спланировать связи завода с источниками сырья так, чтобы транспортные расходы оказались минимальными, и т.д. Решение таких задач опирается на точные математические расчеты. Задачи подобного рода носят общее название – задачи на оптимизацию (от латинского слова optimum – “наилучший” – Слайд 15).

П.Л.Чебышев говорил, что “особенную важность имеют те методы науки, которые позволяют решать задачу, общую для всей практической деятельности человека: как располагать своими средствами для достижения наибольшей выгоды”.

Слайд 16

В самых простых задачах на оптимизацию мы имеем дело с двумя величинами, одна из которых зависит от другой, причём надо найти такое значение второй величины, при котором первая принимает своё наименьшее или наибольшее (наилучшее в данных условиях) значение.

Решение этой задачи учитель объясняет у доски:


За­да­ние 17 № 510075. Вла­ди­мир яв­ля­ет­ся вла­дель­цем двух за­во­дов в ра­зных го­ро­дах. На за­во­дах про­из­во­дят­ся аб­со­лют­но оди­на­ко­вые то­ва­ры, но на за­во­де, рас­по­ло­жен­ном во вто­ром го­ро­де, ис­поль­зу­ет­ся более со­вер­шен­ное обо­ру­до­ва­ние. В ре­зуль­та­те, если ра­бочие на за­во­де, рас­по­ло­жен­ном в пер­вом го­ро­де, трудят­ся сум­мар­но t 2 часов в не­де­лю, то за эту не­де­лю они про­из­во­дят 2t еди­ниц то­ва­ра; если ра­бо­чие на за­во­де, рас­по­ло­жен­ном во вто­ром го­ро­де, тру­дят­ся сум­мар­но t 2 часов в не­де­лю, то за эту не­де­лю они про­из­во­дят 5t еди­ниц то­ва­ра.

За каж­дый час ра­бо­ты (на каж­дом из за­во­дов) Вла­ди­мир пла­тит ра­бо­че­му 500 руб­лей. Вла­ди­ми­ру нужно каж­дую не­де­лю про­из­во­дить 580 еди­ниц то­ва­ра. Какую наи­мень­шую сумму при­дет­ся тра­тить еже­не­дель­но на опла­ту труда ра­бо­чих?

Решение:

Пусть рабочие на первом заводе трудятся x2 часов, а значит производят 2x единиц товара. А на втором заводе рабочие трудятся y2 часов и соответственно производят 5y единиц товара.

Так как Владимиру нужно каждую неделю производить 580 единиц товара, то 2x+5y=580.

При этом сумма, которую придется еженедельно тратить на оплату труда будет равна

f=500(x2+y2)

Чтобы найти наименьшую сумму, которую придется еженедельно тратить на оплату труда, нужно исследовать функцию f на минимум.

Из первого уравнения выразим y:

y=(580−2x)/5, где 0<x<290

Подставим это выражение в функцию f:

f=500(x2+(580−2x)/5)2

Исследуем эту функцию на минимум. Для этого найдем ее производную:

f′=500(2х-4(580-2х)/25)=20(50х-2320+8х)=20(58х-2320)

58х=2320

x=40 –единственная точка минимума.

Находим соответствующий y:

y=(580−80)/5=100.

Значит, наименьшая сумма, которую придется еженедельно тратить на зарплату рабочим равна

500(402+1002)=5800000.

 

Ответ: 5800000.

 

За­да­ние 17 № 509205. Гри­го­рий яв­ля­ет­ся вла­дель­цем двух за­во­дов в раз­ных го­ро­дах. На за­во­дах про­из­во­дят­ся аб­со­лют­но оди­на­ко­вые то­ва­ры, но на за­во­де, рас­по­ло­жен­ном во вто­ром го­ро­де, ис­поль­зу­ет­ся более со­вер­шен­ное обо­ру­до­ва­ние. В ре­зуль­та­те, если ра­бо­чие на за­во­де, рас­по­ло­жен­ном в пер­вом го­ро­де, тру­дят­ся сум­мар­но t2 часов в не­де­лю, то за эту не­де­лю они про­из­во­дят 3t еди­ниц то­ва­ра; если ра­бо­чие на за­во­де, рас­по­ло­жен­ном во вто­ром го­ро­де, тру­дят­ся сум­мар­но t2 часов в не­де­лю, то за эту не­де­лю они про­из­во­дят 4t еди­ниц то­ва­ра.

За каж­дый час ра­бо­ты (на каж­дом из за­во­дов) Гри­го­рий пла­тит ра­бо­че­му 500 руб­лей.

Гри­го­рий готов вы­де­лять 5 000 000 руб­лей в не­де­лю на опла­ту труда ра­бо­чих. Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство еди­ниц то­ва­ра можно про­из­ве­сти за не­де­лю на этих двух за­во­дах?


Решение: Пусть время работы I завода x часов в неделю,
                                время работы II завода
 y часов в неделю.

Тогда: 

hello_html_m3814a169.jpg

Так как нужно найти наибольшее количество единиц товара, то: hello_html_m1941b846.jpg

Выразим x из уравнения (1) и подставим в уравнение (2):

hello_html_m42cac1df.jpg

Чтобы найти наибольшее значение, найдём производную:

hello_html_6a8ea418.jpg

Приравняем производную к нулю: 

hello_html_m747c3db6.jpg

Подставим полученное значение y в уравнение (1): 

hello_html_m618911b4.jpg

Подставим x и y в уравнение (2):
3 · 60 + 4 · 80 = 180 + 320 = 500 (единиц)

Ответ: 500 единиц товара



Выводы:

1. Если функция у = f(х) на отрезке [а; b] имеет лишь одну точку и она является точкой максимума (минимума), то в этой точке функция принимает наибольшее (наименьшее) значение.

2. Если функция у = f(х) на отрезке [а; b] не имеет критических , то это означает, что на нем функция монотонно возрастает или убывает. Следовательно, свое наибольшее значение функция принимает одном конце отрезка, а наименьшее – на другом.

3. Если на отрезке [а; b] функция имеет несколько критических точек, то своего наибольшего (наименьшего) значения она достигает либо на концах этого отрезка, либо в критических точках, лежащих на данном отрезке.

VI. Рефлексия. Определение домашнего задания.


Учитель предлагает учащимся обсудить урок и свою деятельность при постановке учебной задачи, планировании, изучении нового материала, обращая внимания на следующие моменты:

  • каковы ваши главные результаты, что вы поняли, чему научились;

  • способы, которые использовались в ходе вашей учебной деятельности для достижения цели урока;

  • какие чувства испытывали во время урока;

  • пережили ли вы чувство радости, успеха;

  • с каким настроением вы уходите с урока;


Дома предлагается выполнить задания:

Задачи на оптимальный выбор с сайта РЕШУ ЕГЭ на карточках.(приложение №2)


Выбранный для просмотра документ Проверка домашнего задания.pptx

библиотека
материалов
Критерии: 9-10 зад. – «5» 7- 8 зад. – «4» 5- 6 зад. – «3» Проверка домашнего...
Повторение теории Достаточный признак возрастания (убывания) функции. Какие т...
Решение задач на оптимальный выбор Шаг первый: вводим переменные. Шаг второй:...
Ключевые моменты решения задач 17 на оптимальный выбор из ЕГЭ по математике З...

Описание презентации по отдельным слайдам:

1 слайд Критерии: 9-10 зад. – «5» 7- 8 зад. – «4» 5- 6 зад. – «3» Проверка домашнего
Описание слайда:

Критерии: 9-10 зад. – «5» 7- 8 зад. – «4» 5- 6 зад. – «3» Проверка домашнего задания № зад. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ответ -9 -3 -8 1 -5 2 35 -14 9 256

2 слайд Повторение теории Достаточный признак возрастания (убывания) функции. Какие т
Описание слайда:

Повторение теории Достаточный признак возрастания (убывания) функции. Какие точки называются критическими точками функции? Необходимое условие экстремума. Признак максимума (минимума) функции. Правило нахождения наибольшего (наименьшего ) значения функции на отрезке.

3 слайд Решение задач на оптимальный выбор Шаг первый: вводим переменные. Шаг второй:
Описание слайда:

Решение задач на оптимальный выбор Шаг первый: вводим переменные. Шаг второй: составляем и решаем уравнение. Шаг третий: находим максимальное или минимальное значение функции.

4 слайд Ключевые моменты решения задач 17 на оптимальный выбор из ЕГЭ по математике З
Описание слайда:

Ключевые моменты решения задач 17 на оптимальный выбор из ЕГЭ по математике Знать правила вычисления сложных функций! Уметь решать уравнения. Без ошибок производить вычисления с многозначными числами.

Выбранный для просмотра документ дом. задание.doc

библиотека
материалов
Скачать материал целиком можно бесплатно по ссылке внизу страницы.

Приложение №1

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ ПО ТЕМЕ «НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ НА ОТРЕЗКЕ»

1. За­да­ние 12   наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции hello_html_m30649654.png на от­рез­ке hello_html_m3f628343.png

2. За­да­ние 12   Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции hello_html_31694e3.png

3. За­да­ние 12  Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции hello_html_m45cb2e66.png 

на от­рез­ке hello_html_mf385335.png

4. За­да­ние 12  Най­ди­те точку ми­ни­му­ма функ­ции hello_html_m11687e36.png.

5. За­да­ние 12  Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции hello_html_24b48f55.png

6. За­да­ние 12  Най­ди­те точку ми­ни­му­ма функ­ции hello_html_18bf620f.png.

7. За­да­ние 12  Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции hello_html_f73d35d.png 

на от­рез­ке hello_html_18cedea2.png

8. За­да­ние 12  Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции hello_html_m669b248a.png

 на от­рез­ке hello_html_m53a311a2.png.

9. За­да­ние 12  Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции hello_html_2df9075b.png 

на от­рез­ке hello_html_m18a5cd4a.png.

10. За­да­ние 12  Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции hello_html_e52ff29.png



ОТВЕТЫ ЗАПИСАТЬ В ТАБЛИЦЕ В ТЕТРАДИ ПОД РЕШЕНИЕМ!

Выбранный для просмотра документ задачи на оптимальный выбор.doc

библиотека
материалов
Скачать материал целиком можно бесплатно по ссылке внизу страницы.

Приложение №2

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

За­да­ние 17 № 510075. Вла­ди­мир яв­ля­ет­ся вла­дель­цем двух за­во­дов в ра­зных го­ро­дах. На за­во­дах про­из­во­дят­ся аб­со­лют­но оди­на­ко­вые то­ва­ры, но на за­во­де, рас­по­ло­жен­ном во вто­ром го­ро­де, ис­поль­зу­ет­ся более со­вер­шен­ное обо­ру­до­ва­ние. В ре­зуль­та­те, если ра­бочие на за­во­де, рас­по­ло­жен­ном в пер­вом го­ро­де, трудят­ся сум­мар­но t 2 часов в не­де­лю, то за эту не­де­лю они про­из­во­дят 2t еди­ниц то­ва­ра; если ра­бо­чие на за­во­де, рас­по­ло­жен­ном во вто­ром го­ро­де, тру­дят­ся сум­мар­но t 2 часов в не­де­лю, то за эту не­де­лю они про­из­во­дят 5t еди­ниц то­ва­ра.

За каж­дый час ра­бо­ты (на каж­дом из за­во­дов) Вла­ди­мир пла­тит ра­бо­че­му 500 руб­лей. Вла­ди­ми­ру нужно каж­дую не­де­лю про­из­во­дить 580 еди­ниц то­ва­ра. Какую наи­мень­шую сумму при­дет­ся тра­тить еже­не­дель­но на опла­ту труда ра­бо­чих?

За­да­ние 17 № 509205. Гри­го­рий яв­ля­ет­ся вла­дель­цем двух за­во­дов в раз­ных го­ро­дах. На за­во­дах про­из­во­дят­ся аб­со­лют­но оди­на­ко­вые то­ва­ры, но на за­во­де, рас­по­ло­жен­ном во вто­ром го­ро­де, ис­поль­зу­ет­ся более со­вер­шен­ное обо­ру­до­ва­ние. В ре­зуль­та­те, если ра­бо­чие на за­во­де, рас­по­ло­жен­ном в пер­вом го­ро­де, тру­дят­ся сум­мар­но t2 часов в не­де­лю, то за эту не­де­лю они про­из­во­дят 3t еди­ниц то­ва­ра; если ра­бо­чие на за­во­де, рас­по­ло­жен­ном во вто­ром го­ро­де, тру­дят­ся сум­мар­но t2 часов в не­де­лю, то за эту не­де­лю они про­из­во­дят 4t еди­ниц то­ва­ра.

За каж­дый час ра­бо­ты (на каж­дом из за­во­дов) Гри­го­рий пла­тит ра­бо­че­му 500 руб­лей.

Гри­го­рий готов вы­де­лять 5 000 000 руб­лей в не­де­лю на опла­ту труда ра­бо­чих. Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство еди­ниц то­ва­ра можно про­из­ве­сти за не­де­лю на этих двух за­во­дах?

За­да­ние 17 № 509824. Антон яв­ля­ет­ся вла­дель­цем двух за­во­дов в ра­зных го­ро­дах. На за­во­дах про­из­во­дит­ся аб­со­лют­но оди­на­ко­вые то­ва­ры при ис­поль­зо­ва­нии оди­на­ко­вых тех­но­ло­гий. Если ра­бо­чие на одном из за­во­дов тру­дят­ся сум­мар­но t2 часов в не­де­лю, то за эту не­де­лю они про­из­водит t еди­ниц то­ва­ра.

За каж­дый час ра­бо­ты на за­во­де, рас­по­ло­жен­ном в пер­вом го­ро­де, Антон пла­тит ра­бо­че­му 250 руб­лей, а на за­во­де, рас­по­ло­жен­ном во вто­ром го­ро­де, — 200 руб­лей.

Антон готов вы­де­лять 900 000 руб­лей в не­де­лю на опла­ту труда ра­бо­чих. Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство еди­ниц то­ва­ра можно про­из­ве­сти за не­де­лю на этих двух за­во­дах?

 За­да­ние 17 № 513288. Стро­и­тель­ство но­во­го за­во­да стоит 78 млн руб­лей. За­тра­ты на про­из­вод­ство х тыс. ед. про­дук­ции на таком за­во­де равны hello_html_6a121ce0.png млн руб­лей в год. Если про­дук­цию за­во­да про­дать по цене р тыс. руб­лей за еди­ни­цу, то при­быль фирмы (в млн руб­лей) за один год со­ста­вит hello_html_m71840a3.png. Когда завод будет по­стро­ен, фирма будет вы­пус­кать про­дук­цию в таком ко­ли­че­стве, чтобы при­быль была наи­боль­шей. При каком наи­мень­шем зна­че­нии р стро­и­тель­ство за­во­да оку­пит­ся не более, чем за 3г.? Зада­ние 17 № 512995. Пред­при­ни­ма­тель купил зда­ние и со­би­ра­ет­ся от­крыть в нём отель. В отеле могут быть стан­дарт­ные но­ме­ра пло­ща­дью 27 квад­рат­ных мет­ров и но­ме­ра «люкс» пло­ща­дью 45 квад­рат­ных мет­ров. Общая пло­щадь, ко­то­рую можно от­ве­сти под но­ме­ра, со­став­ля­ет 981 квад­рат­ный метр. Пред­при­ни­ма­тель может по­де­лить эту пло­щадь между но­ме­ра­ми раз­лич­ных типов, как хочет. Обыч­ный номер будет при­но­сить отелю 2000 руб­лей в сутки, а номер «люкс» — 4000 руб­лей в сутки. Какую наи­боль­шую сумму денег смо­жет за­ра­бо­тать в сутки на своём отеле пред­при­ни­ма­тель?

За­да­ние 17 № 513298. В двух об­ла­стях есть по 160 ра­бо­чих, каж­дый из ко­то­рых готов тру­дить­ся по 5 часов в сутки на до­бы­че алю­ми­ния или ни­ке­ля. В пер­вой об­ла­сти один ра­бо­чий за час до­бы­ва­ет 0,1 кг алю­ми­ния или 0,3 кг ни­ке­ля. Во вто­рой об­ла­сти для до­бы­чи x кг алю­ми­ния в день тре­бу­ет­сяx2 че­ло­ве­ко-часов труда, а для до­бы­чи у кг ни­ке­ля в день тре­бу­ет­ся y2 че­ло­ве­ко-часов труда.

Для нужд про­мыш­лен­но­сти можно ис­поль­зо­вать или алю­ми­ний, или ни­кель, причём 1 кг алю­ми­ния можно за­ме­нить 1 кг ни­ке­ля. Какую наи­боль­шую массу ме­тал­лов можно до­быть в двух об­ла­стях сум­мар­но для нужд про­мыш­лен­но­сти?



Общая информация

Номер материала: ДБ-361475

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Табличный процессор MS Excel в профессиональной деятельности учителя математики»
Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»

Благодарность за вклад в развитие крупнейшей онлайн-библиотеки методических разработок для учителей

Опубликуйте минимум 3 материала, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную благодарность

Сертификат о создании сайта

Добавьте минимум пять материалов, чтобы получить сертификат о создании сайта

Грамота за использование ИКТ в работе педагога

Опубликуйте минимум 10 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Свидетельство о представлении обобщённого педагогического опыта на Всероссийском уровне

Опубликуйте минимум 15 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данное cвидетельство

Грамота за высокий профессионализм, проявленный в процессе создания и развития собственного учительского сайта в рамках проекта "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 20 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Грамота за активное участие в работе над повышением качества образования совместно с проектом "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 25 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Почётная грамота за научно-просветительскую и образовательную деятельность в рамках проекта "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 40 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную почётную грамоту

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.