Урок алгебры в 8 классе "Рациональные числа"

Урок алгебры в 8 классе А

Тема урока: Рациональные числа.

Тип урока: объяснение нового материала

Учебник: Алгебра – 8,Ю.Н.Макарычев,И.Е.Феоктистов,2011г.

Цели урока:

1.  Образовательные. Дать ученикам понятие о множестве рациональных чисел.
2. Развивающие. Продолжать формирование элементов алгоритмической культуры, развивать логическое  мышление, память, формировать грамотную математическую речь, способность к анализу и самооценке.
3. Воспитательные. Продолжить формирование коммуникабельности, толерантности, ответственности за свои суждения.

Ход урока:

1.Приветствие.

2.Устный счет:

   а) 16,2+4,5=20,7

   б) 27,8-12,3=15,5

   в) 4,5· 6=27

   г) 3,5 ÷ 0,7=5

3.Изучение нового материала.

Давайте вспомним, какие числа на сегодняшний день мы с вами знаем:

1.Натуральные числа – N

2.Для того чтобы вычитание натуральных чисел было выполнимо во всех случаях, множество натуральных чисел дополняют числом 0 и числами, противоположными натуральным и все вместе они составляют множество целых чисел – Z

3.Обыкновенной дробью называется число вида  (где m – целое число, а n – натуральное число). Например:,,, – обыкновенные дроби. Число m называют числителем дроби, а число n – знаменателем дроби.

Всякое целое число можно также рассматривать как обыкновенную дробь со знаменателем 1. Например:-7,0,5

Напомню основное свойство дроби: если числитель и знаменатель данной дроби умножить или разделить на одно и тоже (не равное нулю) число, то получится дробь, равная данной дроби.

Пример 1.

Рассмотрим дробь . Умножив ее числитель и знаменатель на число 2. Получаем дробь . Эта дробь равна данной.

Разделим теперь числитель и знаменатель дроби  на число (-3). Получаем дробь=. Эта дробь также равна данной. Итак, имеем:  . Поэтому одну и ту же дробь можно представить в виде  разными способами.

Обыкновенная дробь  называется правильной, если

Пример 2.

а) дробь

б) дробь

в) дробь

г) дробь (-11)=11.

Неправильная дробь может быть записана в виде смешанной дроби, т.е. дроби, содержащей целую и дробную части. Например, ,

4.Любую обыкновенную дробь можно записать в виде десятичной дроби, разделив «уголком» ее числитель на знаменатель.

Пример 3.

Обратить в десятичную дробь: а) .

В случае а) была получена конечная десятичная дробь: . В случае б) легко увидеть, что после выполненного деления вновь получается остаток 40, и процесс деления будет неограниченно продолжаться (отметь скобкой справа). Поэтому получаем:  бесконечную периодическую десятичную дробь. При этом повторяющаяся группа цифр называется периодом. Принято период указывать в скобках:0,5 36 36 …=0,5(36). Читают: 0 целых 5 десятых и 36 в периоде.

Учитывая, что конечная десятичная дробь не измениться, если после последней цифры записать любое количество нулей (например, 0,075=0,0750=0,07500 и т.д.), конечные десятичные дроби можно рассматривать как бесконечные периодические десятичные дроби с периодом нуль (например. 0,075=0,075(0)). Однако замечу, что период нуль никогда не указывается.

Таким образом, любая обыкновенная дробь  может быть представлена единственным образом в виде бесконечной периодической десятичной дроби.

Справедливо также и обратное утверждение: любая бесконечная периодическая десятичная дробь может быть представлена единственным образом в виде обыкновенной дроби .

На примере рассмотрим, как производится такое обращение.

Пример 4.

Обратить в обыкновенную дробь: а)1,6; б)1,(15).

а) сразу запишем данную дробь в виде обыкновенной и выполним сокращение: 1,6=1.

б) обозначим данное число буквой х=1,(15)=1,1515… т.к. период этой дроби содержит две цифры, то умножим число х на 10²=100 и получим 100х=115,1515…. Теперь найдем разность чисел 100х и х: 100х-х=99х=115,1515….-1,1515….=114. Для нахождения х получим уравнение: 99х=114,откуда х=.

Проверить полученные результаты очень просто: надо опять обратить полученные обыкновенные дроби в десятичные:

а) 1                                                   б) 1

К сожалению, операции над бесконечными периодическими десятичными дробями выполнить намного сложнее. Самый простой способ решения таких задач: перевести эти дроби в обыкновенные и выполнить действия с ними.

Пример 5.

Вычислить (1,(3)-1,(6))÷0,(21)

а) х=1,(3)=1,3333….Умножим это число на 10 и получим:10х=13,3333….Тогда 10х-х=9х=13,3333….-1,3333….=12.Имеем 9х=12 и х=.

б)х=1,(6)=1,666…Умножим и это число на 10:10х=16,666….Получаем 10х-х=9х=16,666….-1,666…=15.Имеем 9х= 15 и х= .

в) х=0,(21)=0,2121…Умножим это число на 100 и получим:100х=21,2121… Тогда 100х-х=99х=21,2121….-0,2121….=21,откуда 99х=21 и х=.

Теперь запишем этот пример для полученных обыкновенных дробей:

(1.

Таким образом, получаем дробь

В заключение сделаем основной вывод: к рациональным числам относятся: целые числа, обыкновенные дроби, конечные десятичные дроби и бесконечные десятичные дроби. Все рациональные числа можно представить в виде  (где m- целое число, n – натуральное число).

Множество рациональных чисел обозначают буквой Q.

Заметим, что разные бесконечные десятичные периодические дроби представляют разные рациональные числа. Исключением являются дроби с периодом 9, которые считают другой записью дробей с периодом 0.

Пример 6.

а) 2,(9)=2,99….=3,00…=3;

б) 2,37(9)=2,3799…=2,3800…=2,38.

Бесконечные десятичные дроби с периодом 9 заменяют дробями с периодом 0. При обращении обыкновенной дроби в десятичную не может получиться дробь с периодом 9.

Изобразите с помощью кругов Эйлера множество рациональных чисел.

4.Задание на уроке:

№360(устно),363,369,372,375.

5.Подведение итогов.

Контрольные вопросы:

1.Какие числа относятся к рациональным?

2.В каком виде записываются рациональные числа?

3.Как обозначают множество рациональных чисел?

Выставление оценок.

6.Домашнее задание:

П.16,вопр.1 на стр.132,№362,368,374.

Задание по карточкам:

а) 3,6 · 0,(3) + 6,(4) ÷ 2;

б) 2,8(3) – 1,2 · 1,(1) + 1;

в) 3,1(3) + 1,4÷0,(3) – 2,2;

г) 5,(2) ÷(3-1,(1)·2,4)+0,8;

д) 4,8(3) – 0,625- 2,25 · 0,1(6).