Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Урок алгебры в 9-м классе по теме " Комбинаторные задачи. Правило умножения".

Урок алгебры в 9-м классе по теме " Комбинаторные задачи. Правило умножения".

Идёт приём заявок на самые массовые международные олимпиады проекта "Инфоурок"

Для учителей мы подготовили самые привлекательные условия в русскоязычном интернете:

1. Бесплатные наградные документы с указанием данных образовательной Лицензии и Свидeтельства СМИ;
2. Призовой фонд 1.500.000 рублей для самых активных учителей;
3. До 100 рублей за одного ученика остаётся у учителя (при орг.взносе 150 рублей);
4. Бесплатные путёвки в Турцию (на двоих, всё включено) - розыгрыш среди активных учителей;
5. Бесплатная подписка на месяц на видеоуроки от "Инфоурок" - активным учителям;
6. Благодарность учителю будет выслана на адрес руководителя школы.

Подайте заявку на олимпиаду сейчас - https://infourok.ru/konkurs


Международный конкурс по математике «Поверь в себя»

для учеников 1-11 классов и дошкольников с ЛЮБЫМ уровнем знаний

Задания конкурса по математике «Поверь в себя» разработаны таким образом, чтобы каждый ученик вне зависимости от уровня подготовки смог проявить себя.

Конкурс проходит полностью дистанционно. Это значит, что ребенок сам решает задания, сидя за своим домашним компьютером (по желанию учителя дети могут решать задания и организованно в компьютерном классе).

Подробнее о конкурсе - https://urokimatematiki.ru/

  • Математика

Документы в архиве:

Название документа открытый урок.docx

Поделитесь материалом с коллегами:

Открытый урок алгебры в 9-м классе по теме

" Комбинаторные задачи. Правило умножения".

Цели:

  • Учиться обрабатывать и систематизировать информацию;

  • Выявить математические закономерности при группировке задач по способам их решения.

  • Научиться находить удобный способ решения.

Задачи:

  1. Сформировать и закрепить у учащихся навыки решения комбинаторных задач.

  2. Воспитать умение выделять наиболее существенные моменты при выборе способа решения задачи; умения делать логические выводы из сравнения и анализа условий задач.

  3. Продолжать развивать самоконтроль и взаимоконтроль, опыт общения при работе в парах.

  4. Совершенствовать навыки решения комбинаторных задач; продолжать подготовку к экзамену в новой форме в процессе планового урока.

Ход урока.


Здравствуйте ребята!

Глубоко вдохните и выдохните. Мы начинаем. И я хочу, чтобы сегодняшний наш урок математики стал для вас не просто уроком, а настоящим праздников, на котором у вас будет возможность показать свои знания и узнать что-то новое.



Эпиграфом к нашему уроку хочу взять слова

Если вы хотите научиться плавать,

то смело входите в воду,

а если хотите научиться решать задачи,

то решайте их.

Дьёрдь Пойа
венгерский, швейцарский

и американский математик.

- Ребята, скажите, как вы понимаете данные слова?

-Тогда какова будет сегодняшняя тема урока?

. А если точнее- решение задач с помощью правила умножения.

  1. Давайте поставим цели нашего урока

Повторить способы решения комбинаторных задач.
Научиться подбирать удобный способ решения.
Тренироваться в применении правила умножения при решении комбинаторных задач
.

-Ребята, скажите. Вызвало ли у вас затруднение выполнение домашнего задания ?

Мы проверим это в ходе урока

І А начинаем мы с вами каждый наш урок математики с устного счета!



Вычислите устно: 3!, 5!, 6!: 4!, 5!:3! - Верно ли что: 7! = 7*6!, 8! = 4!*2! - Важен ли порядок в следующих выборках: а)старосты класса и его заместителя б) 6 человек останутся убирать класс в) 2 серии из просмотра нового многосерийного фильма.

- Определите вероятность того, что при бросании игрального кубика (правильной кости) выпадет более 3 очков.

- Определите вероятность того, что при бросании игрального кубика (правильной кости) выпадет менее 4 очков.

_Поднимите руку, у кого данные задания не вызвали затруднений

ІI. Актуализация опорных знаний.

Алгоритм решения комбинаторных задач правилом умножения:

- Внимательно прочитать условие задачи.

- Выяснить, является ли эта задача комбинаторной задачей без повторения.

- Если «да», то необходимо определить количество объектов, принимающих участие в перестановках.

- Записать произведение всех чисел в порядке убывания, начиная с наибольшего определенного вами на предыдущем шаге.

- Если «нет», то это правило не работает.

ЗАТРУДНЕНИЯ


ПРИЧИНЫ


Выяснить является ли задача с повторением или нет


Не внимательно прочитал условие.

Незнание определения перестановки без повторения


Неправильно определено количество объектов, участвующих в перестановках


Непонимание сути задачи


Получил неправильный ответ


а) вычислительная ошибка;

б) умножение на 0;

в) плохое знание формулы.




Задача.

Имеется девять различных книг, четыре из которых - учебники. Сколькими способами можно расставить эти книги на полке? Расставить книги так, чтобы все учебники стояли рядом, не меняя их порядка?

Является ли данная задача комбинаторной?

Определите количество объектов, участвующих в перестановках.

Будет ли отличаться количество объектов, участвующих в перестановках во втором случае?

Какую формулу будем использовать в каждом из случаев?

РЕШЕНИЕ:

-Количество объектов равно девяти:

9 · 8 ·7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 362880

-Учебники рассматриваются как один объект. Количество объектов станет равно шести:

6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720

ІIІ. Работа в парах

1. В автомашине 7 мест. Сколькими способами семья из 7 человек разместиться в машине? 5040)

2. В автомашине 7 мест. Сколькими способами члены семьи разместятся в машине, если за руль садится отец? (720)

3. В автомашине 7 мест. Сколькими способами члены семьи разместятся в машине, если оба родителя сидят рядом, не меняясь местами? (720)

4. В автомашине 7 мест. Сколькими способами разместятся члены семьи, если папа – водитель, а мама сидит рядом? (120)

Самопроверка

Задача 1. Данная задача комбинаторная, без повторений.

В ней 7 объектов.

7· 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5040

Задача 2. Задача с повторением, отец не участвует в перестановках (он водитель). Количество объектов уменьшилось на 1.

Стало 6 объектов.

6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720

Задача 3. Задача с повторением, родители сидят вместе и рассматриваются как один объект перестановок. Количество объектов уменьшилось на 1.

Стало 6 объектов.

6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720

Задача 4. Задача с повторением. Родители не участвуют в перестановках. Количество объектов уменьшилось на 2.

Стало 5 объектов.

5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120

ІV. Решение задач по теме урока ( Открытый банк заданий)

1 Игральный кубик бросают дважды. Найдите вероятность того, что первый раз и во второй раз выпадет одинаковое число очков. Ответ: 1/6

2. В случайном эксперименте бросают два игральных кубика. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Ответ:5/36

3.Игральный кубик бросают дважды. Найдите вероятность того, что первый раз и во второй раз выпадет одинаковое число очков. Ответ:1/6

4. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз. Ответ:0,5

5. Андрей выбирает трёхзначное число. Найти вероятность того, что оно делится на 33

Решение:

1.Найдём количество трёхзначных чисел по формуле N= m-n+1

N=999-100+1=900

2.Найдём все натуральные числа, кратные 33: 100≤33k≤999; 3,3 ≤k ≤30,3

Видим, что данному условию удовлетворяют числа: 4,5, … ,30

Всего таких чисел: 30-4+1=27

Р=27/900=0,03 Ответ: 0,03

6. Валя выбирает трехзначное число. Найти вероятность того, что оно делится на 51.

Решение:

1.Найдём количество трёхзначных чисел по формуле N= m-n+1

N=999-100+1=900

2.Найдём все натуральные числа, кратные 51: 100≤51k≤999; 1,96≤k ≤19,6

Видим, что данному условию удовлетворяют числа: 2,3, … ,19

Всего таких чисел: 19-2+1=18

Р=18/900=0,02 Ответ: 0,02

V. Самостоятельная работа

Вариант 1.

  1. Игральную кость(кубик) бросили один раз. Какова вероятность того, что выпало не менее 4 очков.

  2. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 5 очков. Результат округлите до сотых.

  3. Аня дважды бросает игральный кубик. В сумме у нее выпало 3 очка. Найдите вероятность того, что при первом броске выпало 1 очко.

4. В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 15 очков. Результат округлите до сотых.

5.Коля выбирает трехзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 4.



Вариант 2.

  1. Игральную кость(кубик) бросили один раз. Какова вероятность того, что выпало не более 3 очков?

  2. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите

вероятность того, что в сумме выпадет 10 очков. Результат округлите до сотых.

  1. Женя дважды бросает игральный кубик. В сумме у нее выпало 5 очков. Найдите вероятность того, что при первом броске выпало 2 очка.

  1. В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 17 очков. Результат округлите до сотых.



  1. Стас выбирает трехзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 10

Вариант І


Вариант ІІ


1. Ответ: 0,5

2. Ответ: 011

3. Ответ: 0,5

4. Ответ: 0,05

5. Ответ: 0,1


  1. Ответ: 0,5

  2. Ответ: 0,08

  3. Ответ: 0,25

  4. Ответ: 0,01

  5. Ответ: 0,25


VІ. Постановка задачи следующего урока : Просмотр видео

VІІ . Домашнее задание:

Домашнее задание:

  1. Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что оба раза выпало число, большее 3.

  2. Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что сумма двух выпавших чисел четна.

  3. В случайном эксперименте симметричную монету бросают четыре раза. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно 3 раза.

  4. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно 3 раза.

  5. Андрей выбирает трехзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 99.



Домашнее задание:

  1. Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что наибольшее из двух выпавших чисел равно 5.

  2. Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что оба раза выпало число, большее 3.

  3. Стас выбирает трехзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 20.

  4. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно 2 раза.



Домашнее задание:

1.В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно 1 раз.

2.Определите вероятность того, что при бросании кубика выпало число очков, не большее 3.

3.Женя выбирает трехзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится

VІІІ. Подведение итогов урока. Рефлексия. Выберите каждый начало предложения и закончите его.



  • Сегодня я узнал…

  • Было интересно…

  • Было трудно…

  • Я выполнял задания…

  • Я понял, что…

  • Теперь я могу…

  • Я почувствовал, что…

  • Я приобрёл…



  • Я научился…

  • У меня получилось…

  • Я смог…

  • Я попробую…

  • Меня удивило…

  • Урок дал мне для жизни…

  • Мне захотелось…



















8


Название документа презентация к открытому уроку.1ppt.ppt

Тема урока: «Комбинаторные задачи. Правило умножения» «Если вы хотите научит...
Цели урока: 1. Повторить способы решения комбинаторных задач. 2. Научиться по...
3! 5! 6!/4! 5!/3! Верно ли что? да 120 30 20 7! = 7· 6! 8! = 4!· 2! 6 нет Ва...
Определите вероятность того, что при бросании игрального кубика (правильной к...
Определите вероятность того, что при бросании игрального кубика (правильной к...
Алгоритм решения комбинаторных задач правилом умножения: - Внимательно прочи...
ЗАТРУДНЕНИЯ	ПРИЧИНЫ Выяснить является ли задача с повторением или нет	Не вни...
Задача. Имеется девять различных книг, четыре из которых - учебники. Скольким...
1. В автомашине 7 мест. Сколькими способами семья из 7 человек разместиться в...
Задача 1. Данная задача комбинаторная, без повторений. В ней 7 объектов. 7· 6...
задача1 Ответ: 1/6 Числа на выпавших сторонах	1	2	3	4	5	6 1						 2						 3...
задача2 Ответ: 1/6 Всего вариантов 36 Комбинаций с первой «6» 61,62,63,64,65,...
Задача 3 2 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7 8 4 5 6 7 8 9 5 6 7 8 9 10 6 7 8 9 10 11 7 8 9...
Задача 4. Возможные исходы события: О Р О О О Р Р Р Ответ:0,5 4 исхода 1 брос...
Решение: 1.Найдём количество трёхзначных чисел по формуле N= m-n+1 N=999-100+...
Решение: 1.Найдём количество трёхзначных чисел по формуле N= m-n+1 N=999-100+...
1. Ответ: 0,5 2. Ответ: 011 3. Ответ: 0,5 4. Ответ: 0,05 5. Ответ: 0,1 1. Отв...
Выберите каждый начало предложения и закончите его. Сегодня я узнал… Было инт...
 Спасибо за урок!
1 из 20

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Тема урока: «Комбинаторные задачи. Правило умножения» «Если вы хотите научит
Описание слайда:

Тема урока: «Комбинаторные задачи. Правило умножения» «Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их. Дьёрдь Пойа венгерский, швейцарский и американский математик.

№ слайда 2 Цели урока: 1. Повторить способы решения комбинаторных задач. 2. Научиться по
Описание слайда:

Цели урока: 1. Повторить способы решения комбинаторных задач. 2. Научиться подбирать удобный способ решения. 3.Тренироваться в применении правила умножения при решении комбинаторных задач. .

№ слайда 3 3! 5! 6!/4! 5!/3! Верно ли что? да 120 30 20 7! = 7· 6! 8! = 4!· 2! 6 нет Ва
Описание слайда:

3! 5! 6!/4! 5!/3! Верно ли что? да 120 30 20 7! = 7· 6! 8! = 4!· 2! 6 нет Важен ли порядок в следующих выборках: а)Старосты класса и его заместителя; б) 6 человек останутся убирать класс; в) 2 серии из просмотра нового многосерийного фильма. да нет да

№ слайда 4 Определите вероятность того, что при бросании игрального кубика (правильной к
Описание слайда:

Определите вероятность того, что при бросании игрального кубика (правильной кости) выпадет более 3 очков. 0.5

№ слайда 5 Определите вероятность того, что при бросании игрального кубика (правильной к
Описание слайда:

Определите вероятность того, что при бросании игрального кубика (правильной кости) выпадет менее 4 очков. 0.5

№ слайда 6 Алгоритм решения комбинаторных задач правилом умножения: - Внимательно прочи
Описание слайда:

Алгоритм решения комбинаторных задач правилом умножения: - Внимательно прочитать условие задачи. - Выяснить, является ли эта задача комбинаторной задачей без повторения. - Если «да», то необходимо определить количество объектов, принимающих участие в перестановках. - Записать произведение всех чисел в порядке убывания, начиная с наибольшего определенного вами на предыдущем шаге. - Если «нет», то это правило не работает.

№ слайда 7 ЗАТРУДНЕНИЯ	ПРИЧИНЫ Выяснить является ли задача с повторением или нет	Не вни
Описание слайда:

ЗАТРУДНЕНИЯ ПРИЧИНЫ Выяснить является ли задача с повторением или нет Не внимательно прочитал условие. Незнание определения перестановки без повторения Неправильно определено количество объектов, участвующих в перестановках Непонимание сути задачи Получил неправильный ответ а) вычислительная ошибка; б) умножение на 0; в) плохое знание формулы.

№ слайда 8 Задача. Имеется девять различных книг, четыре из которых - учебники. Скольким
Описание слайда:

Задача. Имеется девять различных книг, четыре из которых - учебники. Сколькими способами можно расставить эти книги на полке? Расставить книги так, чтобы все учебники стояли рядом, не меняя их порядка? Является ли данная задача комбинаторной? Определите количество объектов, участвующих в перестановках. Будет ли отличаться количество объектов, участвующих в перестановках во втором случае? Какую формулу будем использовать в каждом из случаев? РЕШЕНИЕ: Количество объектов равно девяти: 9 · 8 ·7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 362880 Учебники рассматриваются как один объект. Количество объектов станет равно шести: 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720

№ слайда 9 1. В автомашине 7 мест. Сколькими способами семья из 7 человек разместиться в
Описание слайда:

1. В автомашине 7 мест. Сколькими способами семья из 7 человек разместиться в машине? 2. В автомашине 7 мест. Сколькими способами члены семьи разместятся в машине, если за руль садится отец? 3. В автомашине 7 мест. Сколькими способами члены семьи разместятся в машине, если оба родителя сидят рядом, не меняясь местами? 4. В автомашине 7 мест. Сколькими способами разместятся члены семьи, если папа – водитель, а мама сидит рядом? 5040 720 720 120

№ слайда 10 Задача 1. Данная задача комбинаторная, без повторений. В ней 7 объектов. 7· 6
Описание слайда:

Задача 1. Данная задача комбинаторная, без повторений. В ней 7 объектов. 7· 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5040 Алгоритм решения комбинаторных задач правилом умножения. Формула перестановки без повторений Pn = n∙(n-1) ∙(n-2) ∙… ∙2 ∙1 Задача 2. Задача с повторением, отец не участвует в перестановках (он водитель). Количество объектов уменьшилось на 1. Стало 6 объектов. 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720 Задача 3. Задача с повторением, родители сидят вместе и рассматриваются как один объект перестановок. Количество объектов уменьшилось на 1. Стало 6 объектов. 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720 Задача 4. Задача с повторением. Родители не участвуют в перестановках. Количество объектов уменьшилось на 2. Стало 5 объектов. 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120

№ слайда 11 задача1 Ответ: 1/6 Числа на выпавших сторонах	1	2	3	4	5	6 1						 2						 3
Описание слайда:

задача1 Ответ: 1/6 Числа на выпавших сторонах 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6

№ слайда 12 задача2 Ответ: 1/6 Всего вариантов 36 Комбинаций с первой «6» 61,62,63,64,65,
Описание слайда:

задача2 Ответ: 1/6 Всего вариантов 36 Комбинаций с первой «6» 61,62,63,64,65,66 Числа на выпавших сторонах 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6

№ слайда 13 Задача 3 2 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7 8 4 5 6 7 8 9 5 6 7 8 9 10 6 7 8 9 10 11 7 8 9
Описание слайда:

Задача 3 2 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7 8 4 5 6 7 8 9 5 6 7 8 9 10 6 7 8 9 10 11 7 8 9 10 11 12 Ответ:5/36 Числа на выпавших сторонах 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6

№ слайда 14 Задача 4. Возможные исходы события: О Р О О О Р Р Р Ответ:0,5 4 исхода 1 брос
Описание слайда:

Задача 4. Возможные исходы события: О Р О О О Р Р Р Ответ:0,5 4 исхода 1 бросок 2 бросок

№ слайда 15 Решение: 1.Найдём количество трёхзначных чисел по формуле N= m-n+1 N=999-100+
Описание слайда:

Решение: 1.Найдём количество трёхзначных чисел по формуле N= m-n+1 N=999-100+1=900 2.Найдём все натуральные числа, кратные 33: 100≤33k≤999; 3,3 ≤k ≤30,3 Видим, что данному условию удовлетворяют числа: 4,5, … ,30 Всего таких чисел: 30-4+1=27 Р=27/900=0,03 Ответ: 0,03

№ слайда 16 Решение: 1.Найдём количество трёхзначных чисел по формуле N= m-n+1 N=999-100+
Описание слайда:

Решение: 1.Найдём количество трёхзначных чисел по формуле N= m-n+1 N=999-100+1=900 2.Найдём все натуральные числа, кратные 51: 100≤51k≤999; 1,96≤k ≤19,6 Видим, что данному условию удовлетворяют числа: 2,3, … ,19 Всего таких чисел: 19-2+1=18 Р=18/900=0,02 Ответ: 0,02

№ слайда 17
Описание слайда:

№ слайда 18 1. Ответ: 0,5 2. Ответ: 011 3. Ответ: 0,5 4. Ответ: 0,05 5. Ответ: 0,1 1. Отв
Описание слайда:

1. Ответ: 0,5 2. Ответ: 011 3. Ответ: 0,5 4. Ответ: 0,05 5. Ответ: 0,1 1. Ответ: 0,5 2. Ответ: 0,08 3. Ответ: 0,25 4. Ответ: 0,01 5. Ответ: 0,25 Вариант І Вариант ІІ

№ слайда 19 Выберите каждый начало предложения и закончите его. Сегодня я узнал… Было инт
Описание слайда:

Выберите каждый начало предложения и закончите его. Сегодня я узнал… Было интересно… Было трудно… Я выполнял задания… Я понял, что… Теперь я могу… Я почувствовал, что… Я приобрёл… Я научился… У меня получилось… Я смог… Я попробую… Меня удивило… Урок дал мне для жизни… Мне захотелось…

№ слайда 20  Спасибо за урок!
Описание слайда:

Спасибо за урок!

Название документа самостоятельная работа.docx

Поделитесь материалом с коллегами:

Самостоятельная работа.

Вариант 1.

  1. Игральную кость(кубик) бросили один раз. Какова вероятность того, что выпало не менее 4 очков.

  2. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 5 очков. Результат округлите до сотых.

  3. Аня дважды бросает игральный кубик. В сумме у нее выпало 3 очка. Найдите вероятность того, что при первом броске выпало 1 очко.

4. В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 15 очков. Результат округлите до сотых.

5.Коля выбирает трехзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 4.



Вариант 2.

  1. Игральную кость(кубик) бросили один раз. Какова вероятность того, что выпало не более 3 очков?

  2. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите

вероятность того, что в сумме выпадет 10 очков. Результат округлите до сотых.

  1. Женя дважды бросает игральный кубик. В сумме у нее выпало 5 очков. Найдите вероятность того, что при первом броске выпало 2 очка.

  1. В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 17 очков. Результат округлите до сотых.



  1. Стас выбирает трехзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 10





Самые низкие цены на курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации!

Предлагаем учителям воспользоваться 50% скидкой при обучении по программам профессиональной переподготовки.

После окончания обучения выдаётся диплом о профессиональной переподготовке установленного образца (признаётся при прохождении аттестации по всей России).

Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок".

Начало обучения ближайших групп: 18 января и 25 января. Оплата возможна в беспроцентную рассрочку (20% в начале обучения и 80% в конце обучения)!

Подайте заявку на интересующий Вас курс сейчас: https://infourok.ru/kursy

Автор
Дата добавления 20.10.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров331
Номер материала ДВ-081762
Получить свидетельство о публикации

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.

Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.

Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх