Урок " Арифметическая и геометрическая прогрессии"

ТЕМА УРОКА: Арифметическая и геометрическая прогрессии.

ЦЕЛЬ: создать условия для развития у школьников

• Интеллектуальной культуры посредством содержания учебного материала, т.е. применение знаний и умений при решении заданий разных уровней трудности, не стандартных заданий.
• Организационной культуры, т.е.уметь осуществлять самоконтроль и самооценку, работать во времени.
• Коммуникативной культуры, т.е. развивать математическую речь, уметь общаться, высказывать своё мнение и слушать мнение других, анализировать работу, подводить итог.

ТИП: УРОК- ПРАКТИКУМ ( решение разноуровневых заданий)

УЧЕБНИК: МОРДКОВИЧ А.Г.

ХОД УРОКА:

Ребята! Закончите высказывание:

« Дорогу осилит идущий, а математику …мыслящий.»

Отслеживать своё мышление поможет вам   листок – самооценка, в котором за каждое задание вы  будете выставлять баллы.

1. Актуализация знаний ( целепологание ).

Внимание! Задание 1( 5 баллов). На доске записаны числовые последовательности:

1)      2, 4, 6, 8, …;

2)      1, 2, 4, 8, 16,….;

3)      2, 2², 2³, 2⁴,…;

4)      2, 2, 2, 2, …;

5)     

      6)  

      7)   2, 2, 

Разбейте их на группы.

• Анализируя  ответы, ребята выявили ошибки и обосновали правильные ответы, тем самым, повторили определения арифметической и геометрической прогрессий.

Ответ: 1-я группа: Арифметическая прогрессия 1), 4), 5);

            2-я группа: Геометрическая прогрессия  2), 3), 4), 6);

            3-я группа: Ни арифм. и ни геометр. прогрессии 7).

Какая тема урока?

-Прогрессии.

Ребята! Внимательно посмотрите на задания , записанные на доске и ответьте на вопрос:

Чем вы сегодня будете заниматься на уроке?

- Мы будем решать задания разных уровней трудности,   не стандартные задания.

Как вы хотите работать?

- В парах, индивидуально, в группах.

Выберите задание, с которого вы начнёте работу. За консультацией можно обращаться к учителю.

2. Самостоятельная работа.

Задание 2. Найдите такие значения х, при которых числа 2, х, 3х являются последовательными членами арифметической прогрессии? Геометрической прогрессии?

5 баллов

Решение:

1-й способ

2-й способ

1. По характеристическому свойству арифметической прогрессии мы знаем, что . Тогда получим уравнение   . Решим это уравнение.  , 2х =2 + 3х, - х = 2, х = -2. При х = -2  числа 2, х, 3х являются последовательными членами арифметической прогрессии. 2. По характеристическому свойству геометрической прогрессии мы знаем, что . Тогда составим уравнение х2 =2 *3х и решим .  х2 – 6х =0,  х( х – 6) =0,  х = 0 или х = 6. х =0 исключаем, т.к. по определению геом.прогрессии . Значит, при х = 6 числа 2, х, 3х являются последовательными членами геометрической прогрессии. Ответ: х = -2; х = 6.

1. По определению разности арифметической прогрессии мы знаем, что . Составим уравнение х – 2 = 3х – х. х – 2 = 3х – х, х – 2х = 2, - х = 2, х = -2. Получили, что , при х = -2 числа 2, х, 3х являются последовательными членами арифметической прогрессии. 2.По определению знаменателя геометрической прогрессии мы знам, что выполняется равенство .Составим и решим уравнение ; х2 -6х = 0, D = 36, 36>0, 2корня, х1 = 0, х2 =6. Проверка: 1) х = 6, 3=3, верно, является корнем; 2) х = 0, на нуль делить нельзя, исключаем. Значит, при х = 6 числа 2, х, 3х являются последовательными членами геометрической прогрессии. Ответ: х = -2; х = 6.

Задание 3. Начиная с какого номера п все члены заданной арифметической прогрессии (а_п) будут больше заданного числа А?

а₁ = -12,d = 3, А = 141.( в учебнике № 434 А). 5 баллов

 Решение.

а_п = а₁ + d(n-1).  Так как а₁ = -12, d = 3,a_n = 141, то получим неравенство 141< -12 + 3( n – 1). Решим это неравенство.

          141< -12 + 3( n – 1),

     141< -12 + 3n -3,

 141< -15 + 3n,

156< 3n,

n>52.

Так как п натуральное число по условию, то с 53-го номера члены заданной арифметической прогрессии будут больше числа А=141.

Ответ: п = 53.

Задание 4. Решите уравнение 1 + 7 + 13 + …+ х = 280.( 10 баллов)

Решение.

Слагаемые, стоящие в левой части уравнения , задают конечную арифметическую прогрессию (а_п).

1, 7, 13,…, х.

а₁ = 1, d = 7 – 1 =6, S_n =280. Найти а_п.

.( Формула суммы п- членов арифметической прогрессии)

Составим и решим уравнение.

,

280 = ( 3п-2)п,

3п² – 2п -280 = 0,

D = 3364, D>0, 2 корня;

п₁ = 10, п₂ = .

п₂ =  исключаем, т.к. по условию п – натуральное число. Так как а_п = а₁ + d(n-1), то а₁₀  = 1 + 6(10 – 1) = 55. Получили , что х = 55.

Ответ: 55.

Задание 5. Бактерия, попав в живой организм, к концу 20-й минуты делится на две бактерии, каждая из них к концу следующих 20 минут делится опять на две и т.д. Найдите число бактерий, образующихся из одной бактерии к концу суток. ( в учебнике № 524) 10 баллов

Решение.

В данной задаче присутствует конечная геометрическая прогрессия: 1, 2, 2², 2³, ,…,2⁷². В сутках 24 часа, а минут получается 24*60=1440,

тогда 1440: 20 = 72 , 72 члена в этой прогрессии. Найдём их сумму.

, .

S_n = .

Ответ: 2⁷² – 1.

Ребята! Это очень большое число. Для сравнения приведу пример: 2³⁰  около миллиарда.

3. Анализ ответов.

4. Подводим итоги урока. Выставите в оценочный лист баллы и

• Если вам удалось набрать 15 баллов, то ставьте оценку «4»
• Если вы решили только 4-е или 5-е задание, то ставьте оценку «5»
• Если вы набрали более 15-ти баллов, то тоже ставьте «5»
• Если вы набрали менее 15-ти баллов, но более10-ти, то ставьте оценку «3»

Рефлексия.

Есть ли успехи?

- Да, в целом все задания  сегодня на уроке выполнены.

Результаты: «5» - 8, «4» - 8, «3» -7, «2» -2.

Что помогло вам преодолеть трудности на уроке?

- Справочный материал, учитель, работа в группе, знания других ребят, общение, интересные задания.

Что не получилось? Почему? Над чем работать надо ещё?

Надо больше решать такие задания, чтобы знать способы, как рассуждать, применять формулы .

Ещё я хочу отметить ,ребята, что вы использовали разные подходы при решении одного и того же задания, а , значит, вы, действительно  мыслили .  Благодарю всех за работу. Спасибо за урок, дети!

    5. Домашнее задание.

На «5» - № 473, № 525 и решить уравнение (х + 1) + ( х + 4) + ( х + 7) +…+(х + 28) =145.

На «4» - № 470, № 451, № 434 в.

На «3» - № 438 в г, № 445, № 506.

Краткое описание документа:

Обобщающий урок по теме " Арифметическая и геометрическая прогрессии" в 9 классе содержит подбор разноуровневых заданий -от базовых до олимпиадных. Урок направлен на развитие у учащихся интеллектуальной культуры посредством содержания учебного материала, т.е. применение знаний и умений при решении заданий разных уровней трудности, не стандартных заданий. Также направлен на развитие у учащихся организационной культуры, т.е.уметь осуществлять самоконтроль и самооценку, работать во времени.